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Ángulos Es una magnitud física adimensional que se define como la razón entre la longitud del arco de circunferencia trazado entre dos semirrectas y su distancia al centro o vértice de las mismas que lo limitan. Esta relación nos da una idea de la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.1 Su unidad natural es el radián, aunque habitualmente para evitar el uso de múltiplos de π, se utilizan equivalencias como son el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Relación entre ángulos Ángulos de intersección no llanos Ángulo QOP Ángulo SOQ Ángulo POR Ángulo ROS Existen relaciones de posición entre estos cuatro ángulos.

Ángulos consecutivos


Dos ángulos son consecutivos cuando solo tienen en común el vértice y uno de sus lados.

Los pares de ángulos consecutivos determinados en la figura son los siguientes: Ángulos QOP y POR Ángulos POR y ROS Ángulos ROS y SOQ Ángulos SOQ y QOP La amplitud de un ángulo formado por dos o más ángulos consecutivos es igual a la suma de las amplitudes de los ángulos que lo forman. Los ángulos consecutivos a un lado de una recta son aquellos que forman un ángulo llano, por tanto suman 1800.

Ángulos adyacentes Dos ángulos consecutivos a un mismo lado de una recta se denominan ángulos adyacentes.


Los pares de ángulos adyacentes son: Ángulos QOP y POR Ángulos POR y ROS Ángulos ROS y SOQ Ángulos SOQ y QOP.

Los ángulos adyacentes cumplen una propiedad muy importante y es que suman 1800. Aquí les ofrezco los pares de ángulos que no son adyacentes en esta figura.

Ángulos QOP y ROS. Ángulos POR y SOQ.

Ángulos opuestos por el vértice Son aquellos ángulos que se forman al cortarse dos rectas y que no son adyacentes. Los ángulos opuestos por el vértice tienen el mismo vértice y sus lados respectivos son semirrectas opuestas.


Según sus amplitudes, ¿qué relación es posible establecer entre dos ángulos opuestos por el vértice?

Si dos ángulos son opuestos por el vértice entonces son de igual amplitud. Según las características de los ángulos opuestos por el vértice, sus lados respectivos son semirrectas opuestas, y las características del movimiento de simetría central, todo punto y su imagen se encuentran en semirrectas opuestas. Tomemos como centro de simetría a O, apliquemos al ángulo una rotación de 180°, entonces la semirrecta OR se transforma en la semirrecta OQ, y OS se transforma en OP. Luego el ángulo ROP se transforma en el ángulo SOQ por un movimiento de simetría de centro O de donde se puede inferir que estos ángulos son iguales o de igual amplitud. Medidas grados l grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo: 

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).

1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).

1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

Esta notación sexagesimal tiene su origen en Mesopotamia, donde los astrónomos y matemáticos usaron para sus cálculos frecuentemente números en sistema sexagesimal lo cual facilitaba sus cálculos.


Radianes El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas. Esta unidad se utiliza primordialmente en física, cálculo infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.

Ángulos complementarios Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90° (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son consecutivos, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto. Así, para obtener el ángulo complementario de α, teniendo α una amplitud de 70°, se restará α de 90°: β = 90° – 70º = 20º el ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa) Sabiendo esto, dichos ángulos formarán siempre un triángulo rectángulo puesto que los ángulos en un triángulo rectángulo son uno de 90º y los


otros dos deben sumar 90 (180º(grados totales de un triángulo)-90º=90º). Por tanto, el seno de α es igual al coseno de βy el seno de β igual al coseno de α puesto que pertenecen al mismo triángulo rectángulo. La diagonal de un rectángulo también configura ángulos complementarios (90°) con los lados adyacentes.

Ángulos suplementarios Dos ángulos y son ángulos suplementarios, si suman 180° (grados sexagesimales). 

Un ángulo es o tiene suplementario si es menor que 180º.

El valor de 180º es el mismo que dos ángulos rectos, rad o grados centesimales.

Opuestos por el vértice En geometría euclidiana dadas dos rectas r y s, del plano, que se cortan en el punto P, dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro. En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. formado por rectas paralelas En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.

Cortadas con una secante


La relación entre dos rectas paralelas cortadas por una secante es un análisis clásico de la geometría euclidiana, que permite analizar una infinidad de problemas prácticos, así como definir algunos conceptos de interés en cuanto a congruencia y suplementaria de ángulos.

Triángulos

Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y su limitación. Cada punto dado pertenece a dos segmentos.1 Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo2 y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente convexa. Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores,3 tres lados y tres vértices entre otros elementos. Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.


CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS La congruencia de triángulos se representa mediante tres rayas horizontales y, en el caso de los ángulos y de los lados, las tres rayas horizontales indican que, moviendo uno de ellos sin deformarlo se puede superponer sobre el otro para hacerlos coincidir. Al observar y comparar figuras geométricas, se advierte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tamaños o y, en otros, puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son congruentes.

El símbolo que se emplea para denotar la congruencia es:

Para comparar dos triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se describen y ejemplifican a continuación. Primer criterio: lado, lado, lado (LLL) Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro triángulo.


Segundo criterio: lado, �ángulo, lado (LAL) Dos triángulos son congruentes si, en el primer triangulo, dos de sus lados y el Angulo comprendido entre ellos del segundo triangulo.

Con la finalidad de ejemplificar los criterios de congruencia de los triángulos, considérense los puntos que se dan a continuación. 1. Los siguientes triángulos son congruentes, lo cual puede comprobarse al medir los lados de cada triangulo.

2. Los siguientes triángulos no son congruentes, lo cual se comprueba al medir los


lados de cada triangulo.

3. En los siguientes triรกngulos, los segmentos y los รกngulos congruentes estรกn marcados de la misma manera. En funciรณn de tal circunstancia, es posible determinar en cual de los tres criterios de congruencia son LLL, LAL y ALA.

Como puede observarse, los tres lados del primer triangulo son congruentes con los tres lados del segundo triangulo; por lo tanto, estos triรกngulos se identifican con el primer criterio de congruencia: lado, lado, lado (LLL).


Puede verse que estos triángulos son congruentes debido a que presentan sus ángulos y sus lados congruentes, respectivamente; por lo tanto, se identifican con el segundo criterio de congruencia: lado, ángulo, lado (LAL).

CRITERIOS DE CONGRUENCIA Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes. Estas son: 1.- Congruencia de sus lados 2.- Congruencia de sus ángulos Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente (los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.


CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Primer criterio: Dos triángulos que tienen los tres ángulos iguales son semejantes entre sí. Segundo criterio: Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. Tercer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

A=A

B=B


Dos triรกngulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

Dos triรกngulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el รกngulo comprendido entre ellos igual.

B=B


SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS ENTRE TRIANGULOS CONGRUENTES Y SEMEJANTES Para empezar, debemos decir que un triángulo es un polígono de 3 lados. Además tienen las siguientes propiedades: 1.La suma de todos los ángulos interiores es igual a 180° 2.- Un lado de un triángulo siempre es menor que la suma de los otros 2, pero mayor que la diferencia entre ellos. 3.- El valor de un ángulo exterior, es igual a la suma de los 2.

Clasificación de Triángulos según sus lados: 1.- Triángulo Escaleno: Tiene los 3 lados diferentes. 2.- Triángulo Equilátero: Los 3 lados son iguales. 3.- Triángulo Isósceles: Tiene 2 lados iguales y 1 diferente.

Clasificación de Triángulos según sus ángulos: 1.- Triángulo Rectángulo: Tiene un ángulo recto, el lado mayor es la hipotenusa y


los lados menores son los catetos. 2.-Triángulo Acutángulo: Tiene los 3 ángulos agudos. 3.-Triángulo obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:

Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un


ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.

A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:

De acuerdo al teorema de pitágoras :


Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:

Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:

Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:

Su solución :

Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:


Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:

Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:

Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:

Identidades trigonométricas de ángulo doble:

Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:

Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :

ELEMENTOS DE LAS SECCIONES CONICAS DISTANCIA FOCAL. E n e l c a s o d e e l i p s e s e h i p é r b o l a s , e s l a distancia entre sus dos focos. -


FOCOS. El foco de una curva es un punto (o puntos) singular, respecto del cual se mantienen constantes determinadas distancias relacionadas con los puntos de dicha curva. RADIO VECTOR. Es la distancia desde un punto de la cónica hasta su respectivo foco. CENTRO. Es el punto que se encuentra en medio de una cónica. EJE FOCAL. Es la recta que pasa por el foco (o focos). VERTICE. En cónicas son los puntos de intersección de la cónica con su eje focal. EJE MAYOR. Es el segmento que tiene por extremos a los vértices. EJE MENOR.Es la recta mediatriz del eje mayor a cuyos extremos se les suele llamara covértices. DIAMETRO. El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. EXCENTRICIDAD “la excentricidad es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con res p e c t o a u n a circunferencia Circunferencia

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.


Primera ecuación ordinaria En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la ecuación diferencial que relaciona una función desconocida de una variable independiente con sus derivadas. Es decir, una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus derivadas respecto de tal variable.

Centros de la Elipse e Hipérbola en el origen respecto a los ejes focales El modo de determinar los focos a partir de los ejes, o un eje a partir de otro y los focos, se basa en la definición. Dibujados los dos ejes principales, se toma con el compás la medida a de la mitad del eje mayor. Haciendo centro en un extremo del eje menor, el compás cruza por el eje mayor en los focos.

Dado el eje mayor con los focos, la medida a aplicada a cada foco nos da arcos que se cruzan en los extremos del eje menor. Dado un eje menor y la distancia de los focos, primero debemos hallar la recta sobre la que está el eje mayor, luego dibujar los focos a la distancia dada, y desde ellos tomar la distancia a los extremos del eje menor, que es la mitad del eje mayor.


Tipos de triángulos 1. Según sus lados:

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales.


2. Según sus ángulos: Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.


Ángulos internos y externos

Ángulos internos: Es un ángulo formado por dos lados de un polígono que como comparten un extremo común, está contenido dentro del polígono. Ángulo externo: Son los ángulos formados por un lado de un polígono y la prolongación del lado adyacente. La suma de los ángulos externos de un polígono es 360

Las medidas de los ángulos internos y externos de los polígonos.

Ángulos Internos Polígonos

Ángulos externos

Los ángulos internos de un Los ángulos externos de polígono suma 180º

un polígono suman 360º

El teorema de Pitágoras En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:


o Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. o En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración: Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. El área de este cuadrado será (b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):


más el área del cuadrado amarillo

. Es decir, el

área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

Circulo Un círculo, en geometría elucídela, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida. En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, y a veces se utiliza indistintamente círculo por circunferencia siendo esta última una curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud (es decir, el perímetro del círculo). "Aunque ambos conceptos


están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)

Recta secante Son denominadas rectas secantes aquellas rectas que cortan una circunferencia en dos puntos determinados. Y conforme a estos puntos de corte se acercan, la recta va aproximándose al punto y al solo existir un punto que toca la circunferencia se le denomina tangente. De manera general una recta secante se puede definir como aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano que han de cortarse en un punto. Cabe destacar que una recta es la unión de una serie de puntos que están alineados en una misma dirección, y esta se nombra utilizando la letra minúscula; dependiendo de la dirección de la misma pueden llegar a ser vertical, horizontal o inclinada; además de acuerdo a su posición relativa existen las rectas paralelas que no se cortan y las secantes que si lo hacen, formando ángulos de 90º.


Las rectas secantes pueden clasificarse en oblicuas y perpendiculares. Las oblicuas pueden definirse como aquellas que se cruzan en un dado punto formando ángulos iguales dos a dos, o sea dos ángulos obtusos iguales o afines y dos ángulos agudos iguales o semejantes por ser opuestos o contrarios. Por otro lado están las rectas perpendiculares que también se cruzan en un solo punto con la particularidad de que los ángulos que se forman son rectos de 90º y completamente iguales o semejantes los cuatro. Por el contrario a esto si dos rectas no poseen ningún punto en común, y se encuentran en el mismo plano, se les denomina rectas paralelas. Tangente Tangente proviene del latín «tangens»=que toca. La tangente une a una curva en uno de sus puntos, es una recta que toca a la curva en el punto dado, el punto de tangencia (se puede decir que «forman un ángulo nulo» en la vecindad de dicho punto). Esta noción se puede generalizar, desde la recta tangente a un círculo o una curva, a «figuras tangentes» en dos dimensiones (es decir, figuras geométricas con un único punto de contacto, por ejemplo la circunferencia inscrita), hasta los espacios tangentes, en donde se clasifica el concepto de «tangencia» en más dimensiones.


Cuerda Una cuerda, también llamada subtensa, de una curva es un segmento recto, cuyos extremos son dos puntos de la curva. La recta que contiene a una cuerda se denomina recta secante a la curva; si un extremo tiende al otro, la recta límite se llama tangente a la curva.

Arco En geometría, arco es cualquier curva continua que une dos puntos. También, se denomina arco a un segmento de circunferencia; un arco de circunferencia queda


definido por tres puntos, o dos puntos extremos y el radio, o por la longitud de una cuerda y el radio.

Arco de una circunferencia en rojo.

Radio el radio de una circunferencia es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha circunferencia. La longitud del radio es la mitad de la del diámetro. Todos los radios de una circunferencia, un círculo, una esfera y una heterosfera, respectivamente, poseen la misma longitud. Aun de una semicircunferencia, semiesfera El radio de una esfera: cualquier segmento que une el centro con un punto de su superficie. El radio de un poliedro regular: no es sino el radio de la esfera circunscrita 1 Se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscrita (es el segmento que une su centro con cualquier vértice). El radio de la circunferencia inscrita se llama apotema del polígono.


Radio de curvatura: es la magnitud R, recíproca a la curvatura que de una curva en un punto dado M, se denomina radio de curvatura de la curva en este punto de que se trata.2 En un sentido más general —en geometría, ingeniería, teoría de grafos y muchos otros contextos—, el radio (por ejemplo, de un cilindro, un polígono, un grafo o una parte mecánica) es el segmento que une su centro (o eje) y sus puntos más externos. La relación entre la longitud del radio y la de la circunferencia (perímetro de un círculo) es . La relación entre la longitud del radio de un círculo y su área es . 

Radio de torsión. La magnitud que caracteriza la desviación de la curva en el espacio respecto de la curva plana. La magnitud T se llama radio de torsión3

Radio de una vecindad. Si la vecindad es el intervalo abierto (a;b), entonces el radio es [a + b]/2.

Radio vector: es el segmento, en una hipérbola o elipse, que une los focos con un punto de la misma4

Radio de convergencia de una serie. Partiendo de una serie formal, que tiene coeficientes en el conjunto de los números reales o de los complejos, se define al número real R > 0 tal que la serie converge absolutamente para |z| < R y diverge si |z| > R2

Radio de giro . El radio de giro K de un sólido respecto de un eje de giro e viene a ser la distancia al eje e a la que debería situarse una partícula cuya masa fuera igual a la masa total del sólido para que dicha partícula tuviera el mismo momento de inercia que el cuerpo


Diámetro es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia. Más en general, el de una esfera es el segmento que pasando por el centro, tiene sus extremos en la superficie de esta. Esta noción puede extenderse sin variaciones a una hiperesfera de más dimensiones. Incluso puede extenderse una noción de diámetro a figuras que no son esferas, cuando son subconjuntos de un espacio métrico arbitrario. En muchas aplicaciones técnicas se emplea el símbolo Ø para la longitud del diámetro.

Perímetro el perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica plana.


La palabra viene del griego peri (alrededor) y metro (medida). El término puede ser utilizado tanto para la distancia o longitud, como para la longitud del contorno de una forma. El perímetro de un círculo se llama longitud de la circunferencia. La mitad del perímetro es el semiperímetro. Calculando el perímetro tiene considerables aplicaciones prácticas. El perímetro se puede utilizar para calcular la longitud de la valla requerido para rodear un patio o jardín.

El perímetro es la distancia alrededor de una figura de dos dimensiones, o la medición de la distancia en torno a algo; la longitud de la frontera.

Círculo trigonométrico

También conocido como goniométrico, es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano y cuyo radio mide la unidad. El círculo trigonométrico tiene la ventaja de ser una herramienta práctica en el manejo de los conceptos de trigonometría, pero al mismo tiempo es un apoyo teórico, pues ayuda a fundamentar y tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas. Atreves del círculo trigonométrico se puede obtener de forma manual o analítica el valor aproximado de las razones trigonométricas para un ángulo determinado si se dispone de los instrumentos geométricos necesarios.


Teorema de seno y coseno

Teorema de seno Cada lado de un triรกngulo es directamente proporcional al seno del รกngulo opuesto.


Teorema de coseno En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Cálculo de Áreas

El área de una figura geométrica es todo el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura. Para calcular el área de algunas figuras se utilizan las fórmulas que aparecen dentro del dibujo de abajo. En cada caso, debe reemplazarse los valores conocidos en los problemas expuestos y calcular los valores pedidos.

Aplicaciones de la geometría y la trigonometría. Aplicaciones de la geometría  es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico.


También da fundamentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema posicionamiento global

Aplicación de la trigonometría Cálculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible

Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los separa: b= 200 m.

Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 61º 28' y C= 54º 53'.


Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible

Se fija en el plano horizontal dos puntos A y C, y se mide la distancia que los separa: b= 500 m.

Se miden con el teodolito los ángulos A y C. A= 72º 18' y C= 60º 32'.

También se mide el ángulo HAB = 62º 5'


Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles

Se fija en el plano horizontal dos puntos C y D, y se mide la distancia que los separa: b= 450 m.

Se miden con el teodolito los ángulos C y D. C= 68º 11' y D= 80º 40'.

También se miden los ángulos BCD = 32º 36' y ADC = 43º 52'.


Cónicas

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

Cónicas:

 Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.


Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r 2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0. Si reemplazamos – 2a = D;

– 2b = E;

F = a2 + b2 – r2 tendremos que:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0 Entonces tenemos que: D = 6  6 = – 2a  a = – 3 E = – 8  – 8 = – 2b  b = 4 El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio F = (– 3)2 + 42 – r2 – 11 = (– 3)2 + 42 – r2  r = 6


La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36

 Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:

Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados queda finalmente:


Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería

de ser: Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0 Si hacemos: A = b2 B = a2 C = – 2pb2 D = – 2qa2 E = p2b2 + q2a2 – a2b2 tendremos la ecuación: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales. Ejemplo: Si tenemos la ecuación 4x2 + 9y2 + 24x – 8y + 81 = 0 Entonces tenemos que: A = 4 Þ 4 = b2 Þ b = 2; B = 9 Þ 9 = a2 Þ a = 3 Los radios de la elipse son: sobre el eje x = a = 3; sobre el eje y = b = 2. Hallemos en centro (p, q). C = 24 Þ 24 = – 2pb2 Þ p = – 3 D = – 54 Þ – 54 = – 2qa2 Þ q = 3 El centro es, entonces, (p, q) = (– 3, 3). Para verificar que se trate de una elipse calculemos E que debe tener el valor de 81. E = p2b2 + q2a2 – a2b2 = 81


La ecuación de la elipse queda:

 Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.

Ecuación analítica de la hipérbola: nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a

Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: (c2 – a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0 (los cálculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse). Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c 2 =


a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada término por a2b2obtenemos:

Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación

debería de ser: Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0 Si hacemos: A = b2 B = – a2 C = – 2pb2 D = 2qa2 E = p2b2 – q2a2 – a2b2 tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia, o una elipse, excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales. Asíntotas: son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q)

Las ecuaciones de las asíntotas son:


Parábola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz .

Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ

Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (x– p)2 = 4c(y – q) desarrollando la ecuación tendremos: x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq = 0 Si hacemos D = – 2p E = – 4c F = p2 + 4cq obtendremos que es: x2 + Dx + Ey + F = 0, en la que podemos observar que falta el término de y2.


Observación: es de destacar que el término x y no aparece, la razón es que se ha supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de coordenadas; en caso contrario aparecería este término, que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes.

El vértice de una parábola es el punto donde la parábola cruza su eje de simetría. Si el coeficiente del término x 2 es positivo, el vértice será el punto más bajo en la gráfica, el punto en la parte baja de la forma “U”. Si el coeficiente del término x 2 es negativo, el vértice será el punto más alto en la gráfica, el punto en la parte alta de la forma “U”. La ecuación estándar de una parábola es y = ax 2 + bx + c . Pero la ecuación para una parábola también puede ser escrita en la "forma vértice": y = a ( x – h ) 2+ k En esta ecuación, el vértice de la parábola es el punto ( h , k ).


Puede ver como se relaciona esto con la ecuación estándar al multiplicar: y = a ( x – h )( x – h ) + k y = ax 2 – 2 ahx + ah 2 + k El coeficiente de x aquí es – 2 ah . Esto significa que en la forma estándar, y = ax 2 + bx + c , la expresión

da la coordenada en x del vértice . Ejemplo: Encuentre el vértice de la parábola. y = 3 x 2 + 12 x – 12 Aquí, a = 3 y b = 12. Así, la coordenada en x del vértice es:

Sustituyendo en la ecuación original para obtener la coordenada en y , obtenemos: y = 3(–2) 2 + 12(–2) – 12 = –24 Así, el vértice de la parábola está en ( – 2, – 24). Excentricidad En matemática y geometría la excentricidad, ε (épsilon) es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia.


Este es un parámetro importante en la definición de elipse, hipérbola y parábola: Para cualquier punto perteneciente a una sección cónica, la razón de su distancia a un punto fijo F (foco) y a una recta fija l (directriz) es siempre igual a una constante positiva llamada excentricidad ε.

Trabajo de matematica  

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