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Matemáticas X° - Comercio

Profa. Velkis Rujano

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: Aplica las fórmulas del Interés Simple e Interés Compuesto para resolver diversas situaciones comerciales. Interpreta los datos y resultados obtenidos en el cálculo del interés simple e Interés compuesto para la toma de decisiones pertinentes. Introducción El concepto de interés, asociado al préstamo de dinero, viene ligado a las relaciones comerciales desde tiempos muy antiguos. Actualmente la existencia de muchos negocios es posible en razón del cobro de interés. El interés es un elemento inseparable a los actos comerciales de la vida moderna. En muchas ocasiones, cuando una persona utiliza un bien que no le pertenece, por lo general debe pagar una renta por el uso de dicho bien; por ejemplo se paga una renta al habitar una casa que no nos pertenece. Lo mismo ocurre con el dinero; cuando se pide dinero prestado se paga una renta por el uso del dinero. Conceptos importantes 1) Interés: del latín interese que significa importar. El término interés tiene un uso en las finanzas vinculado al valor, la utilidad y la ganancia. El interés de un crédito es lo que debe pagar la persona que solicita el préstamo a una entidad financiera en virtud del tiempo transcurrido desde la adquisición del mismo y teniendo en cuenta las condiciones pactadas en el contrato. Por ejemplo al solicitar un crédito de Bl.5000 con interés del 20% , el sujeto tendrá que pagar Bl.1000 de interés, por lo que devolverá la suma de Bl.6 000 2) Prestamista o acreedor: que cede o presta el capital 3) Prestatario o deudor: recibe el capital. Está obligado a devolver a su acreedor o prestamista el capital recibido más una cantidad adicional, que es interés. 4) Interés simple: se trata de los intereses que produce una inversión en el tiempo gracias al capital inicial. Por lo tanto, el interés simple se calcula en base al capital principal, la tasa de interés y el periodo (el tiempo de la inversión). Lo importante a la hora de considerar al interés simple es que los intereses producidos por el capital en un determinado periodo no se acumulan al mismo para generar los intereses correspondientes al siguiente periodo. Esto quiere decir que el interés simple que genere el capital invertido será igual en todos los periodos de duración de la inversión, siempre que la tasa y el plazo no varíen. Elementos del interés simple Capital o principal: es la cantidad de dinero sobre el cual se calcula el interés. Interés: cantidad que paga quien solicita un préstamo de dinero o crédito por determinado tiempo. Es el beneficio que produce el capital. O sea es el resultado de aplicar la tasa de interés al capital. Tiempo: es el lapso o período durante el cual ese dinero ha sido prestado. Tasa de interés: es la medida de cobro o pago que se hace por utilizar determinada cantidad de dinero. Generalmente se mide en por ciento.

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Monto: es la cantidad de dinero que se recibirá en el futuro por prestar determinada cantidad de dinero, o más bien es la suma de capital más intereses. El interés se obtiene cuando 1) Se invierte el dinero en forma productiva 2) Se consigue o se otorga un préstamo 3) Se adquieren bienes o servicios en operaciones crediticias Fórmula del interés simple

El interés es una función directa del tiempo  t  , la tasa de interés  i  y el capital inicial  C  . El cálculo del interés simple está basado en la siguiente fórmula:

INTERÉS SIMPLE= Capital por tasa de interés por tiempo Simbólicamente

I  Cit

Ejemplo#1 Calcule el interés sobre B/ 500 por 1 año al 11% Solución: Datos conocidos:

C  Bl.500 i  11% t  1 año

Sustituyendo en la fórmula I  C i t se tiene que: I  Cit

Recuerda

I   500  0.111

11% 

I  Bl.55

11  0.11 100

Respuesta: el interés simples es de B/. 55 Ejemplo#2 ¿Cuál es el interés sobre B/. 10 000 al 12% en ocho meses? Solución: Datos conocidos:

C  Bl.10 000

Recuerda

i  12%

12% 

t  8 meses Sustituyendo en la fórmula I  C i t se tiene que: I  Cit

8 I  10000  0.12     12  I  Bl.800

Cálculo de los elementos del interés simple

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12  0.12 100


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Calculo del capital: también conocido como el valor presente o valor actual Para encontrar el capital, debemos conocer la tasa de interés, el interés y el tiempo. Formula: I C it Ejemplo#1 ¿Cuál es el capital que al 10% anual se produjo B/. 30 000.00 de interés en 1 año, 3meses, 10 días? Solución: Datos conocidos

I  Bl.30 000.00

i  10%  0.10 t  1 año, 3 meses, 10 días Como el tiempo está combinado, debemos convertirlo a días, 1 año  12  30   360 días

3 meses   3 30   90 días  10 días

10 días total

 460 días

Sustituyendo en la fórmula C 

C

I it

C

30 000 460  0.10     360 

I se tiene que: it

C  Bl.234 782.61 Respuesta: el capital que se produjo es de B/. 234782.61

Ejemplo #2 1 3

Se presta al 3 % una suma el 15 de junio al 15 de agosto del mismo año se pagan B/.20 de intereses. ¿Cuál fue la suma prestada? I  Bl.20 1 i  3 %  0.033 3 t  15 de junio al 15 de agosto Como el tiempo está dado entre fechas determinadas, debemos calcular el tiempo exacto, utilizando el calendario para encontrar el número de días entre dos fechas

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15 de junio al 30 15 días mes de julio

 31 días

agosto

 15 días total

 61 días

Sustituyendo en la fórmula C 

C

I it

C

20 61  0.035    360 

I se tiene que: it

C  Bl.3576.75

Cálculo de la tasa de interés o tanto por ciento A partir de la fórmula de interés simple, podemos conocer la tasa si nos dan el interés, el capital y el tiempo. Fórmula: I i Ct Observación: la tasa y el tiempo se deben referir a una misma unidad de tiempo. La tasa de interés por lo general se expresa en porcentaje sin indicar el período. En este caso debe entenderse que el período es de un año. Ejemplo#1 ¿Cuál es la tasa de interés a que se ha colocado un capital de B/. 35 000.00 para producir un interés de B/ 11 200 en 4 años? Solución:

I  Bl.11200

C  Bl.35000 t  4 año Sustituyendo en la fórmula i 

i

I Ct

i

11200  35 000  4 

I se tiene que: Ct

i  0.08   0.08100%   8% Respuesta: la tasa de interés es de 8%

Cálculo del tiempo

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El plazo o tiempo es el número de días, meses o años que trascurren en un intervalo dado entre la fecha inicial y la fecha final de una operación financiera. Es aconsejable calcular el tiempo en día. Una vez calculado en días, el número de días se divide entre 360 para reducirlo a año y entre 30 para determinar los meses Fórmula I t Ci Ejemplo#1 ¿Durante cuánto tiempo hay que colocar B/. 4 800 al 5% para obtener B/. 236 de interés? Solución:

I  Bl.236

C  Bl.4800 i  5%  0.05 Sustituyendo en la fórmula t 

t

I Ci

t

236  4800  0.05 

I se tiene que: Ci

t  0.9833 años Respuesta: hay que colocar e dinero en un tiempo de 0.9833 años o 11 meses 24 días o 354 días.

PRÁCTICA I.

Resuelva los siguiente problemas sobre interés simple

1 1) Una financiera ofrece un préstamo de B/. 200.50 a una Sra., cobrándole un interés de 8 % durante 6 meses 2 ¿Cuánto tuvo que pagar de interés? 2) Un Señor solicita al Banco Nacional, un préstamo por B/. 1500.75 pagando 12% durante 15 meses. ¿Cuánto pago de interés? 1 3) La Sra. Carmen, solicita un préstamo a la Caja de Ahorros por B/. 10 000 al 11 % durante 2 años tres meses. 2 ¿Cuánto debe pagar al finalizar el plazo? 1 4) Si Virginia solicita un préstamo a la Cooperativa Juan XXIII, por B/.3020.50 al 9 % durante 5 años 2 meses. 4 ¿Cuánto debe pagar al finalizar el plazo 5) ¿Cuánto tendría que pagar mensualmente el joven Joaquín en concepto de interés por una deuda de B/. 7 500.000, si le cobraron 35% de interés semestral? II.

Resuelva los siguientes problemas sobre capital 1) Por un dinero que recibí en préstamo al 1% mensual y devolví a los 10 días tuve que pagar de interés B/. 525. ¿Cuál fue la suma prestada? 1 2) Se presta a Lineth a 7 % la suma el 22 de julio al 22 de diciembre del mismo año se pagan los intereses B/. 2 98.75. ¿Cuál es suma prestada?

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3) Luis desea obtener un interés de B/. 10 000. ¿Qué capital deberá colocar durante 6 meses a una tasa del 24% anual? 4) ¿A cuánto asciende un capital que prestado al 12% durante 4 meses produjo un interés de B/. 7 000? 5) Un inversionista obtuvo un intereses por B/. 18 900 a un plazo de 3 años, por un capital que coloco al 18% anual. ¿Qué capital invirtió? III.

Resuelve los siguientes problemas sobre la tasa de interés 1) Una casa que costo B/. 35 000 produce un beneficio mensual de B/. 3 500. ¿A qué tanto por ciento se colocó ese capital? 2) Se toman B/. 7 500 a préstamo el 4 de marzo y el capital prestado se devuelve el 20 de diciembre del mismo año, pagando B/. 265.50 de intereses. ¿Cuál fue la tasa de interese? 3) ¿A qué tasa de interés se impusieron B/ 5000 el 20 de enero si al 24 de abril del mismo año se pagaron B/. 125 de interés? 4) Un capital del B/. 50 000 produjo B/. 10 000 de interés en 6 meses 20 días. ¿A qué tasa de interés se colocó? 5) ¿A qué tanto por ciento hay que invertir un capital de B/. 200 000 para que se produzca un interés de B/. 16 000 en 4 meses?

IV.

Resuelve los siguientes problemas sobre el tiempo 1) Un capital de B/. 540 000 fue colocado al 7.2%. Al retirarlo se recibe un monto de B/. 547 778. Durante ¿cuánto tiempo quedo depositado? 2) Un inversionista prestó un capital de B/. 50 000 al 18% anual, después de cierto tiempo recibió por capital e intereses reunidos un total de B/. 60 000; durante ¿cuánto tiempo estuvo prestado el capital? 3) Gloria desea tener B/. 325 000 para lo cual coloca un capital de B/. 300 000 al 24% anual, dentro ¿cuánto tiempo obtendrá la suma deseada? 4) José presta B/ 195 000 al 24% anual, durante ¿cuánto tiempo tuvo su capital prestado si recibió B/. 15 000 de intereses? 5) ¿Cuánto tiempo necesita la inversionista Elida para que B/. 300 000 de capital produzcan un interés de B/. 18 500 al 18% anual

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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: Aplica las fórmulas del Interés Simple e Interés Compuesto para resolver diversas situaciones comerciales. Interpreta los datos y resultados obtenidos en el cálculo del interés simple e Interés compuesto para la toma de decisiones pertinentes. Monto o valor aproximado al vencimiento a interés simple Es el valor acumulado del capital original más los intereses generados en el transcurso del tiempo.

S  Monto C  Capital

Fórmula:

Monto  Capital  int erés S CI

I  Interés

S  C  Cit sustituyendo I por Cit S  C 1  it  factorizando por C

Ejemplos: 1) Calcule el monto que se debe pagar por una deuda de B/ 25 000 el 9 de julio si el documento fue firmado el 27 de enero al 6% de interés. Solución: Datos conocidos y desconocidos

C  Bl 25000

6%  0.06 100 t  27 de enero al 9 julio  163 días i  6%  S ? Luego,

S  C 1  it    163   S  25 000 1   0.06     360    S  Bl 25 679.17

Respuesta: el monto a pagar por la deuda es de B/ 25 679.17

1 2

2) Calcula el monto de B/ 1 000 al 9 % durante 2 años Solución: Datos conocidos y desconocidos

C  Bl 1000 1 19 9.5% i9 % %  0.095 2 2 1005 t  2 años S ? Luego,

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S  C 1  it  S  1000 1   0.095  2   S  1000 1  0.19  S  1000 1.19  S  Bl 1190 Respuesta: el monto a pagar es de B/ 1190

Valor actual o presente de una deuda a interés simple Es el valor de una deuda, en una fecha anterior a la de vencimiento. Fórmula:

C

S 1  it

El valor actual se puede calcular con tasa de interés anual, semestral, mensual, etc. Ejemplos:

1 2

Calcule el valor presente al 7 % de interés simple, de B/ 3 000 con vencimiento en 6 meses Solución: Datos conocidos y desconocidos

S  Bl 3000 1 15 7.5% i7 % %  0.075 2 2 1005 t  6 meses C ? Luego,

C C

S 1  it 3000

 6 1   0.075     12  C  B / 2891.57

Respuesta: el valor presente o actual a pagar es de B/ 2891.5

PRÁCTICA I.

Resuelva los siguientes problemas sobre el monto

1 2

1) Calcule el monto de B/ 2 000 al 8 % durante 3 años

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2) Calcule el monto que se debe pagar por una deuda de B/ 25 770.50 el 9 de julio si el documento fue firmado el 27 de

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enero al 10 % de interés

1 2 3 4) Calcule el monto de B/ 476.88 al 5 % durante 90 días 4 3) Calcule el monto de B/ 982.34 al 4 % durante un mes

5) Un Sr solicita un préstamo de B/ 3 414.75 al 5.5% mensual durante 90 días. ¿Cuánto deberá pagar el Sr?

1 2

6) La Sra. Elida invirtió la suma de B/ 1 348. 30 al 6 % durante 6 meses ¿Cuánto recibió?

1 2

7) El Sr. Jacinto colocó B/ 462.40 al 4 % desde el 1 de abril al 1 de octubre del mismo año. Encuentre la suma recibida. 8) La asociación de estudiante de un colegio, colocó la suma de B/ 182. 60 al 7.4% desde el 30 de marzo al 15 de diciembre del mismo año. ¿Cuánto recibieron? II.

Resuelva los siguientes problemas sobre el valor actual o presente

1 2

1) Alfredo obtuvo del Banco B/ 300 por haber depositado una cantidad de dinero durante, 45 días al 4 % de interés. ¿Cuál fue la suma depositada inicialmente? 2) Juan, ahorro el 26 de julio un capital, el cual recibió B/ 3 000 el 30 de diciembre. Si el Banco pagaba el 7.2% de interés. ¿Cuál fue la suma ahorrada? 3) ¿Qué capital a una tasa de interés de 8% produce un interés de B/120 000 en 6 meses? 4) ¿Qué capital impuesto a una tasa de interés de 4% anual produce intereses de B/ 2 500 en 6 meses? 5) Calcule el valor presente al 6% de interés simple, de B/ 800.15 con vencimiento en 8 meses?

1 4

6) Calcule el valor presente al 7 % de interés simple, de B/ 500.15 con vencimiento en 60 días

1 4

7) Calcule el valor presente al 4 % de interés simple, de B/ 600.48 con vencimiento en 120 días

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8) ¿Qué suma debe ser invertida al 6 % para obtener B/ 816,36 después de 9 meses?

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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: Aplica las fórmulas del Interés Simple e Interés Compuesto para resolver diversas situaciones comerciales. Interpreta los datos y resultados obtenidos en el cálculo del interés simple e Interés compuesto para la toma de decisiones pertinentes. Introducción El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con la vida de las personas y de los negocios. Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorra durante un período determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original disponible; en otras ocasiones, en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se debe pagar un interés por su uso. En períodos cortos se utiliza generalmente, el interés simple. En períodos largos, sin embargo, se utilizará casi exclusivamente el interés compuesto y debido a esto el dinero puede crecer mucho más rápido que si pagara interés simple. Los bancos son instituciones que ofrecen interés compuesto en inversiones. En el interés compuesto, el cálculo de intereses es aplicado varias veces durante el periodo del préstamo o inversión, dependiendo de cada cuanto tiempo este es capitalizable. El interés compuesto da un interés más alto que el interés simple porque da interés sobre interés, lo que lo hace atractivo para ser utilizado por los bancos para calcular el interés en las cuentas de ahorro y en certificados de depósito. El interés que se gana en cada período es reinvertido o agregado al capital o saldo inicial, convirtiéndose en el nuevo capital para el siguiente periodo. Conceptos básicos En el interés simple el capital original sobre el que calculan los intereses permanece sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto, en cambio, los interés que se van generando se van incrementando al capital original en periodos establecidos y, a su vez, van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso. Se dice entonces que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una operación de interés compuesto. En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al final de cada periodo por la adición de intereses ganados de acuerdo con la tasa convenida. Esta diferencia se puede captarse con claridad por medio del ejemplo siguiente:

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Ejemplo Supóngase que se depositan $100 000 en una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral (20% de interés anual). ¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses? Solución:

I  Cit I Bl.100 000  0.10 1 I  Bl.10 000 Supóngase que se depositan otros $100 000 en una cuenta de valores que paga el 20% de interés convertible trimestralmente. ¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses? (Nota: la tasa de interés nominal es la misma en ambos casos: 5% trimestral = 20% anual.)

i trimestral 

20% anual  5% 4 trimestres

Primer trimestre

I1  Cit

I1  100 000  0.051 I1  Bl.5000

Segundo trimestre

I 2   C  I1  it

I 2  100 000  5000  0.05 1 I 2  105 000  0, 05 1 I 2  Bl. 5250 Luego,

I t  I1  I 2 I t  Bl. 5000  Bl. 5 250 I t  Bl. 10 250

El interés en el segundo caso es superior al ganado en el primero pues, al acumular al final del primer. trimestre al capital original el interés ganado, el producto del segundo trimestre será superior al del primero. El capital en este caso se incrementa por la adición de los intereses al final de cada periodo y éstos, a su vez, se incrementan al ser calculados sobre una base cada vez mayor. La cantidad acumulada al final de la operación es conocida como monto compuesto. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.

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Periodo de capitalización El interés puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral, bimestral, mensual, diario, entre otros. Dicho periodo es denominado “periodo de capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año de le denomina frecuencia de conversión. A continuación se muestra una tabla que muestra las frecuencias de capitalización más comunes

Periodo de capitalización  Trimestral  Semestral  Mensual  Anual  bimestral  cuatrimestral

Frecuencia de conversión 4 2 12 1 6 3

Tasa de interés compuesto La tasa de interés se expresa comúnmente en forma anual indicando, si es necesario, su periodo de capitalización. Ejemplos  28% anual capitalizable mensualmente  20% anual capitalizable semestralmente  14% anual capitalizable trimestralmente Si el interés se expresa sin mención alguna al respecto a su capitalización, se entiende que esta ocurre anualmente. Es muy importante que, para la solución de cualquier problema de interés compuesto, el interés anual sea convertido a una tasa que corresponda de acuerdo con el periodo de capitalización que se establezca; si el interés se capitaliza mensualmente debe transformarse el interés anual a interés mensual; si es trimestralmente, a interés trimestral. El periodo de capitalización y la tasa de interés compuesto siempre deberán ser equivalentes. Así, en el ejemplo inicial, el interés de 20% anual es transformado en interés trimestral del 5% para hacerlo equivalente al periodo de capitalización que se estaba manejando. Dos conclusiones pueden establecerse en este momento: 1) El interés compuesto es mayor que el interés simple. Esto resulta así, pues el primero gana intereses por sí mismo, en tanto que le segundo no. 2) A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés que se obtenga siendo igual la tasa anual nominal; así, un depósito bancario que obtenga intereses de forma mensual tendrá mayor rendimiento que uno que los obtenga cada semestre.

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Ejemplos: Tasa de interés

Periodo de capitalización por año

8% capitalizados anualmente 8% capitalizados semestralmente

1

Tasa de interés por periodo de capitalización 8%

8%  4% 2 8%  2% 4 5 % 12

2

8% capitalizados trimestralmente

4

5% capitalizados mensualmente

12

Aplicaciones sucesivas del interés simple Cuando el interés se acumula anualmente, se seguirá el siguiente procedimiento: 1) Se halla el interés simple por año, la tasa dada, sobre el capital 2) Se suma el interés al capital, para tener el capital nominal o monto que ha de ser usado como capital al principio del segundo año. La fórmula es S  C  I 3) Se halla el interés simple de este nuevo capital en dicha segunda unidad de tiempo; y el interés que se obtenga se le suma el capital. La suma de este interés con el capital empleado para hallarlo, será el nuevo capital que ha de usarse para la tercera unidad de tiempo. 4) Se repite este procedimiento tantas veces como unidades de tiempo haya que acumular el interés que se está calculando. Ejemplos: 1) ¿Cuál será el interés compuesto producido por un capital inicial de B/. 300 colocado al 3% durante 2 años? Solución: Empleando la fórmula de interés simple Capital inicial: B/. 300 Interés del primer año

I1  Cit

I1  300  0.031 I1  Bl. 9.00

Tiempo 1 año

Capital B/. 300.00

Tasa 3%

Interés B/. 9.00

Monto B/. 309.00

2 año

B/. 309.00

3%

B/. 9.27

B/. 318.27

IC

B/. 18.27

Capital para el segundo año

C  I1  Bl. 300  Bl. 9.00  Bl. 309.00 Interés para el segundo año

I 2  Cit

I 2  309  0.031 I 2  Bl. 9.27

Capital final

Bl.309.00  Bl. 9.27  Bl.318.27

El interés compuesto

I total  I1  I 2  Bl. 9.00  Bl. 9.27  Bl. 18.27

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Monto final


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2) ¿Cuál es el monto y el interés compuesto en 2 años, 5 meses de B/. 400 al 5%? Solución: Empleando la fórmula de interés simple Capital inicial: B/. 400 Interés del primer año

I1  Cit

I1  400  0.051 I1  Bl. 20.00

Capital para el segundo año

C  I1  Bl. 400  Bl. 20.00  Bl. 420.00 Interés para el segundo año

I 2  Cit

I 2  420  0.05 1 I 2  Bl. 21.00

Capital nuevo

Bl.420.00  Bl. 21.00  Bl.441.00

Interés en los 5 meses que hacen falta

I 3  Cit  5 I 3  441 0.05     12  I 3  Bl. 9.19 Capital final o monto

Bl. 441  Bl. 9.19  Bl. 450.19

El interés compuesto

I total  I1  I 2  I 3  Bl. 20.00  Bl. 21.00  Bl. 9.19  Bl. 50.19 PRÁCTICA I.

Calcule los periodos de capitalización por año y la tasa por periodo de capitalización Tasa de interés por periodos de Tasa de interés Periodo de capitalización por año capitalización 16% capitalizados anualmente 24% capitalizados semestralmente 20% capitalizados trimestralmente 12% capitalizados bimestralmente 4% capitalizados mensualmente

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Matemáticas X° - Comercio II.

III.

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Calcule la tasa de interés por período de capitalización Tasa de interés anual

Periodo de capitalización por año

12 16 14 5 24

3 4 2 1 12

Tasa de interés por periodos de capitalización

Resuelva 1) Encuentre la frecuencia de conversión de un deposito que paga 18% anual de interés capitalizable bimestralmente 2) ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito que paga un interés de 20% capitalizable mensualmente? 3) Si la tasa de interés es de 18% capitalizables semestralmente durante 3 años, determine: a) Frecuencia de capitalización b) El interés por periodo c) El número total de periodos de capitalización 4) ¿Cuál será el interés compuesto producido por un capital inicial de B/. 500 colocado al 5% durante 2 años? 5) ¿Cuál es el monto y el interés compuesto que genera un capital inicial de B/. 26 345 colocado al 6.5% anual, capitalizable cuatrimestralmente? 6) María deposito en una cuenta un capital inicial de B/. 2 500. El banco le otorga un 7% anual, capitalizable bimestralmente. ¿En seis meses cuanto tiene de monto y cuanto le ha dado el banco de interés compuesto?

1 2 1 8) Calcule el monto y el interés compuesta de B/ 982.34 al 4 % anual durante un año. Capitalizable trimestralmente. 2 3 9) Calcule el monto e interés compuesto de B/ 476.88 al 5 % anual, durante 90 días. Capitalizable mensualmente. 4 1 10) La Sra. Elida invirtió la suma de B/ 1 348. 30 al 6 % anual durante 6 meses. Capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto 2 7) Calcule el monto y el interés compuesto de B/ 2 000 al 8 % anual durante 3 años. Capitalizable semestralmente.

recibió de interés compuesto?

1 2

11) El Sr. Jacinto colocó B/ 462.40 al 4 % anual. Encuentre la suma recibida al cabo de 2 años. Capitalizable cuatrimestralmente 12) La asociación de estudiante de un colegio, colocó la suma de B/ 182. 60 al 7.4% anual durante 4 años ¿Cuánto recibieron al cabo de ese tiempo?

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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: Aplica las fórmulas del Interés Simple e Interés Compuesto para resolver diversas situaciones comerciales. Interpreta los datos y resultados obtenidos en el cálculo del interés simple e Interés compuesto para la toma de decisiones pertinentes. Recordemos la definición de Interés compuesto como los intereses generados a través de la suma del capital inicial más los intereses que produjo dicha suma. Monto o capital final: es la suma del capital y sus intereses, calculada en un determinado momento. ¿Cómo obtenemos el monto a interés compuesto? Trabajaremos con una situación problemática a corto plazo, analizando todos los pasos para obtener al final la fórmula de monto para cualquier capital invertido a largo plazo. Supongamos la siguiente situación problemática ¿Cuál es el monto obtenido a partir de un capital de B/. 100 000 al cabo de 3 años con una tasa de interés anual al 10%? Solución: Datos:

Ci  Bl.100 000 i  10% t  3 años Cf  ?

Representemos en una línea de tiempo la operación

uuuuuuuuuuuuuuur capitalización

Hoy

C f o monto ?

Bl 10 000 1

2

3

1er periodo 2do periodo 3er periodo

i  10% 

10%  0.10 100%

Observemos la inversión en cada periodo de capitalización:  Hoy B/. 100 000 (en el instante, hoy no generó interés por lo tanto el capital es B/. 100 000)

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Matemáticas X° - Comercio  En el 1er periodo

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 Bl. 10000  0.10   Bl.1000

Bl. 10 000  Bl.1 000  Bl.11 000 (el capital

genera 10% de interés en el 1er periodo de capitalización, al final de este obtenemos un capital inicial más los intereses generados, es decir, un monto de B/. 11 000)  En el 2do periodo  Bl. 11000  0.10   Bl.1100 Bl. 11 000  Bl.1 100  Bl.12 100 (el capital en el 2do periodo de capitalización B/. 11 000 y los intereses obtenidos por este es de B/.1 100, por lo tanto el monto final para este periodo es B/. 12 100)  En el 3er periodo  Bl. 12 100  0.10   Bl.1210 Bl. 12 100  Bl.1 210  Bl.13 310 (el capital en el 3er periodo de capitalización B/. 12 100 y los intereses obtenidos por este es de B/.1 210, por lo tanto el monto final para este periodo es B/. 13 310)

Cf  ? 3 (Años)

Hoy

1

Ci  Bl. 10 0000 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur 10%del capital inicial

2

El monto varía en cada tiempo que transcurre

Bl. 11 0000 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur 10% del capital

El monto es el capital formado por el capital invertido más los intereses que produjo dicho capital

inicial del 2do periodo Bl.12 100 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur El monto es la acumulación 10% del capital del capital e intereses inicial del 3er periodo Bl. 13 310 Observaciones importantes:  Al invertir un capital durante un cierto tiempo, nos devuelven ese capital más los intereses; estos se acumulan al capital inicial para volver a generar intereses, por lo tanto el capital varía periodo a periodo presentando un crecimiento.  El régimen a interés compuesto se presenta como la acumulación de capital e intereses, es decir, los intereses producen interés. Hemos analizado el movimiento de una inversión de 3 años (corto plazo) con una tasa anual. Pero es necesario que obtengamos una fórmula general para calcular el monto a interés compuesto para cualquier periodo de tiempo, es decir para “n” periodos.

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Armemos un cuadro de marcha progresiva del interés compuesto y deduzcamos la fórmula Número Capital al inicio del Interés durante el periodo Monto al final del periodo de periodo periodo s 1 Ci i Ci  Bl. 10 000 S  C  C i  C 1  i  1

 Bl.10 000  0.10 

i

i

i

 Bl.10 000  Bl.1000  Bl.11 000

 Bl.1000

Ci 1  i   11 000

2

Ci 1  i  i  Bl.11 000  0.10   Bl.1100

S 2  Ci 1  i   Ci 1  i  i  Ci 1  i 1  i   Ci 1  i  S 2  Bl.11 000  Bl. 1100  Bl.12 100

Ci 1  i   Bl.12 100 Ci 1  i  i  Bl. 12 100  0.10  S3  Ci 1  i   Ci 1  i 2 i  Ci 1  i 3

3

2

2

2

 Bl. 1 210

M

M

n

Ci 1  i 

M n 1

Ci 1  i 

S3  Bl. 12 100  Bl. 1 210  Bl. 13 310

M n 1

i

S n  Ci 1  i 

n

Fórmula del Monto a Interés compuesto para cualquier periodo “n”

S n  Ci 1  i 

n

Ejemplos: 1) Calcular el monto producido por un capital de B/. 35 000, al 7.5% anual con capitalización anual en 10 años. Solución: Hoy futuro

Bl.35 000

i

10 años

7.5%  0.075 100%

Luego el monto al cabo de 10 años, lo obtenemos por medio de la fórmula:

S n  Ci 1  i 

n

S n  35 000 1  0.075 

10

S n  72 136.10 Respuesta: el monto al cabo de 10 años es de B/. 72 136.10

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2


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2) Calcular el monto que producirá un capital B/. 40 000 colocado al 3% trimestral, con capitalización trimestral, en 3 años. Solución: Capitalización trimestral. Se capitaliza por trimestre

i

3%  0.03 Trimestralmente 100%

Hoy

futuro

1

2

3

1er año

4

5

2do año

6

7

8

9

10

11 12 (Trimestres)

3er año

En el año se capitaliza 4 veces, luego en 3 años se capitaliza 12 veces Por lo tanto el monto al cabo de 12 trimestres va a ser:

S n  Ci 1  i 

n

S n  40 000 1  0.03

12

S n  Bl. 57 030.44 Respuesta: el monto la cabo de 12 trimestres es de B/. 57 030.44

PRÁCTICA 1) Calcular cuál es el monto que se obtiene al depositar $10000 al 10% de interés semestral, sabiendo que esa suma permanece depositado durante 4 semestres. 2) Una persona deposita $ 7200 en una entidad financiera que paga el 12% semestral de interés. Sabiendo que el capital permanece depositado durante 4 años, se desea saber: ¿cuánto se retira al final del plazo estipulado? 3) Una persona deposita a plazo fijo por 8 meses la suma de $ 20000, sabiendo que la tasa es de 3,5% mensual, calcular cuánto podrá retirar al vencimiento. 4) Calcule el interés compuesto de B/. 2 000 colocados al 7% anual capitalizable cada año, producido en un plazo de 4 años. 5) Una suma B/. 300 se impone al 5% de interés compuesto durante 3 años. ¿Cuál será el monto? 6) Calcular el monto y los intereses obtenidos al invertir $200. Al 5% de interés anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta. 7) Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga 15% anual convertible mensualmente: a) Al cabo de un año, b) Al cabo de dos años 8) Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300 000 si se reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es de 0.24 anual convertible trimestralmente?

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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: Utiliza la Estadística Descriptiva para representar e interpretar datos estadísticos.. Introducción La palabra Estadística procede del vocablo “Estado”, pues era función principal de los Gobiernos de los Estados establecer registros de población, nacimientos, defunciones, impuestos, cosechas, entre otras cosas. La necesidad de poseer datos cifrados sobre la población y sus condiciones materiales de existencia han debido hacerse sentir desde que se establecieron sociedades humanas organizadas. Es difícil conocer los orígenes de la Estadística. Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos. La estadística descriptiva, por ejemplo trata de la tabulación de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas. Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia, contabilidad, control de calidad y en otras actividades; estudios de consumidores; análisis de resultados en deportes; administradores de instituciones; en la educación; organismos políticos; médicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones. Definición de Estadística La Estadística es la ciencia cuyo objetivo es reunir una información cuantitativa concerniente a individuos, grupos, series de hechos, etc. y deducir de ello gracias al análisis de estos datos unos significados precisos o unas previsiones para el futuro. La estadística, en general, es la ciencia que trata de la recopilación, organización presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con e fin de realizar una toma de decisión más efectiva. División de la Estadística La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas:  Estadística Descriptiva: consiste sobre todo en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales; esto es, sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos, como tales.  Estadística Inferencial: se deriva de muestras, de observaciones hechas sólo acerca de una parte de un conjunto numeroso de elementos y esto implica que su análisis requiere de generalizaciones que van más allá de los datos. Como consecuencia, la característica más importante del reciente crecimiento de la estadística ha sido un cambio en el énfasis de los métodos que describen a métodos que sirven para hacer generalizaciones. La Estadística Inferencial investiga o analiza una población partiendo de una muestra tomada.

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Medidas de posición Son aquellas medidas que nos ayudan a saber dónde están los datos pero sin indicar como se distribuyen. Medidas de posición central a) Media aritmética  X  : la media aritmética o simplemente media, que denotaremos por X , es el número obtenido al dividir la suma de todos los valores de la variable entre el número total de observaciones  N  , y se define por la siguiente expresión: n

X  X 2  X 3  ...  X n X  1  N

X i 1

i

N

Ejemplo: Hallar la media de 11, 14, 17, 20, 16 y 10, con aproximación a 2 cifras decimales. Solución:

X 

b) Mediana

11  14  17  20  16  10  14.67 6

 Mdn 

Dada una distribución de frecuencias con los valores ordenados de menor a mayor, llamamos

mediana y la representamos por Mdn , al valor de la variable, que deja a su izquierda el mismo número de frecuencias que a su derecha. Es el valor que está en el centro de todos. Ejemplo: La siguiente lista corresponde a las edades de los alumnos de una clase: 15, 13, 16, 18, 15, 11, 10, 18, 12, 15, 16, 15, 12,13, 14 Solución: Si ordenamos de menor a mayor nos queda:

10, 11, 12, 12, 13, 13, 14 15 15, 15, 16, 16, 18, 18, 18 1 4 4 44 2 4 4 4 43 1 4 4 44 2 4 4 4 43 edades

edades

El valor central de la serie ordenada es 15. Este valor es la mediana de las edades considerada. El cálculo se facilita recordando que el valor central de una serie de n datos es el si son siete los datos la mediana ocupa el cuarto lugar, porque

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7 1 8   4. 2 2

n 1 término de la serie. Por ejemplo, 2


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Si en la clase tuviéramos un número par de alumnos y las edades fueran: 9, 10, 10, 10, 13, 15, 10, 12, 14, 13, 15. ¿Cuál sería la mediana? Solución: Ordenamos la lista de menor a mayor;

9, 10, 10, 10, 12, 13 13, 14, 15, 15 1 44 2 4 43 1 44 2 4 43 edades

edades

En este caso, son dos valores centrales: 12 y 13. Por tanto, la mediana será el promedio de los valores centrales; es decir,

Mdn 

12  13 25   12.5 2 2

c) La moda  Mo  : la moda es el valor de la variable que más veces se repite, y en consecuencia, en una distribución de frecuencias, es el valor de la variable que viene afectada por la máxima frecuencia de la distribución. En distribuciones no agrupadas en intervalos se observa la columna de las frecuencias absolutas, y el valor de la distribuci6n al que corresponde la mayor frecuencia será la moda. A veces aparecen distribuciones de variables con más de una moda (bimodales, trimodales, entre otras). La moda en ciertos casos no puede existir, es decir, no estar definida, e incluso si existe puede no ser única. En este último caso la serie de datos tienen más de un valor modal. Ejemplos:  En la siguiente serie sobre las edades de un grupo de personas, observamos la edad moda: 15, 18, 15, 13, 20, 15, 12, 15,18. La edad es 15  En la serie 4, 9, 8, 3, 12, la moda no está definida  En la serie 50, 55, 55, 55, 62, 73, 73, 73, 80, se presentan dos modas, ya que los valores 55 y 73 se repiten tres veces cada uno y recibe el nombre de bimodal. PRÁCTICA I.

Encuentre la media aritmética a cada uno de los siguientes conjuntos de números: 1) 8, 10, 12, 5, 4, 9 2) 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.25, 0.50

3) 7.50, 11.25, 15.40, 17.80, 12.60, 8.75

4) 137.4, 158.6, 129.1, 151.7, 142.5

5) 46, 45, 41, 44, 38, 40, 34, 31, 39

6) 387.42, 248.86, 365.62, 274.58

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Matemáticas X° - Comercio II.

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Encuentre la media : 1) Un grupo de empleados gana los siguientes salarios semanales: Sueldo

Cantidad de empleados Cantidad total ganada

B/ 90

2

B/ 180

B/ 100

B/ 110

1

B/ 100

2

B/ 220

B/ 120

B/ 130

4

B/ 480

2

B/ 260

B/ 140

1

B/ 140

2) Los salarios semanales de cinco empleados de una compañía son: B/88, B/94.50, B/. 106.20, B/.145, B/. 192.30. ¿Cuál es el salario medio del grupo? III.

IV.

Encuentre la mediana de cada conjunto de datos:

1) B/10 834; B/ 10 900, B/ 10 913, B/ 10 971, B/ 10 990

2) 9cm, 10cm, 4cm, 14cm, 15cm, 19cm, 12cm, 14cm

3) 79, 81, 81, 84, 85, 89, 96.

4) 8,9 10, 11, 12, 15, 17, 43, 44, 60, 61

Encuentre la moda de los siguientes conjuntos de datos. Ordene si es necesario 1) 2, 3, 5, 13, 4, 7, 23, 6, 8, 15, 8, 17, 9, 8, 30, 2, 8, 31, 8, 9, 18, 1, 8 2) 2.1, 2.5, 2.7, 2.6, 3.4, 3.2, 3.5, 3.3, 3.1, 2.8, 2.7, 3.0, 2.9, 3.1, 3.2, 2.8, 2.9, 3.0, 2.8, 2.8, 2.8, 2.8, 2.8, 3.9, 3.6 3) 0.018, 0.016, 0.012, 0.027, 0.051, 0.021, 0.034, 0.042, 0.057, 0.063, 0.019, 0.032, 0.072, 0.065, 0.039, 0.0081, 0.011, 0.025, 0.073, 0.058, 0.051, 0.044, 0.056, 0.060, 0.036 4) 9, 23, 45, 98, 101, 102, 104, 109, 98, 98, 68, 53

5) 66, 118, 42, 91, 86, 67

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Objetivo de aprendizaje: Aplica distintos mĂŠtodos como estrategia de soluciĂłn para determinar las raĂ­ces de ecuaciones. Las ecuaciones de segundo grado corresponden, grĂĄficamente, a elipses, parĂĄbolas e hipĂŠrbolas, que son formas cĂłnicas expresadas por ecuaciones cuadrĂĄticas, y las cuales tienen grandes posibilidades de aplicaciones en situaciones de la vida real. El estudio de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica se realiza en dos formas distintas, primero con una incĂłgnita: en donde se trabaja los mĂŠtodos para resolver una ecuaciĂłn de segundo grado y la fĂłrmula general y se usa el discriminante para determinar la naturaleza de las raĂ­ces. La segunda, es cuando se trabaja con dos incĂłgnitas, que viene hacer el estudio de la parĂĄbola como soluciĂłn grĂĄfica de la ecuaciĂłn de segundo grado, lo cual se verĂĄ en undĂŠcimo grado. La palabra “cuadrĂĄticaâ€? se deriva del vocablo latino “quadratusâ€?, que significa “cuadradoâ€?. Por muchos aĂąos, los matemĂĄticos se negaron en aceptar los nĂşmeros negativos y el cero, esto tuvo como resultado el atraso de muchos aĂąos en la soluciĂłn completa y general de las ecuaciones. La resoluciĂłn de la ecuaciĂłn de segundo grado se remonta a los comienzos de la MatemĂĄtica, en general; y a los del Ă lgebra, en particular. Se sabe de valiosos aportes hechos desde la antigĂźedad, por matemĂĄticos procedentes de Babilonia, la India, Arabia, para su soluciĂłn. Los egipcios usaron la AritmĂŠtica para encontrar los conjuntos soluciĂłn de las ecuaciones cuadrĂĄticas. Los griegos, usaron la GeometrĂ­a para resolverlas. Los hindĂşes, desarrollaron un mĂŠtodo algebraico para resolver las ecuaciones cuadrĂĄticas. Sin embargo, hasta principios del siglo XVII, el inglĂŠs Thomas Harriet usĂł la factorizaciĂłn para resolver las ecuaciones cuadrĂĄticas, descartando las soluciones negativas. Ecuaciones cuadrĂĄticas o se segundo grado: La palabra “cuadrĂĄticaâ€? deriva del vocablo latino “quadratusâ€?, que significa cuadrado. DefiniciĂłn: la ecuaciĂłn đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0 đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘Ś đ?‘? constante, y a es un nĂşmero distinto de cero se llama una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. La condiciĂłn de que a es un nĂşmero diferente de cero en la definiciĂłn asegura que exista el tĂŠrmino x2 en la ecuaciĂłn. Existen varios mĂŠtodos para resolver las ecuaciones cuadrĂĄticas. El mĂŠtodo apropiado para resolver una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica depende del tipo de ecuaciĂłn cuadrĂĄtica que se va a resolver. Ejemplos: ďƒź đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;— = đ?&#x;Ž ; đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?&#x;Ž; đ?&#x;?đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;’ = đ?&#x;Ž ClasificaciĂłn de las ecuaciones cuadrĂĄticas: 1) EcuaciĂłn cuadrĂĄtica completa: son ecuaciones de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0, que tienen un tĂŠrminođ?’™đ?&#x;? , un tĂŠrmino en x y un tĂŠrmino independiente. O sea a, b y c todos distintos de cero. Ejemplos: ďƒź đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ + 6 = 0, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ž = 1, đ?‘? = −3 đ?‘Ś đ?‘? = 6 ďƒź 2đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ − 8 = 0, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ž = 2, đ?‘? = 1 đ?‘Ś đ?‘? = −8 ďƒź 144 = 96đ?‘Ą − 16đ?‘Ą 2 , đ?‘ đ?‘’ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘’ đ?‘’đ?‘› đ?‘ đ?‘˘ đ?‘“đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Ž đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ 16đ?‘Ą 2 − 96đ?‘Ą + 144 = 0, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ž = 16, đ?‘? = −96 đ?‘Ś đ?‘? = 144 ďƒź −đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ś + 5 = 0, đ?‘Ś 2 + 2đ?‘Ś − 5 = 0, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ž = 1, đ?‘? = 2 đ?‘Ś đ?‘? = −5

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2) Ecuaciones cuadrĂĄticas incompletas: son ecuaciones de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘? = 0 que carece del tĂŠrmino en x, o de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ = 0 que carece del tĂŠrmino independiente. O sea los coeficientes b y c sĂ­ pueden anularse uno o los dos. Ejemplos: ďƒź đ?‘Ľ 2 − 16 = 0, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ž = 1, đ?‘? = 0 đ?‘Ś đ?‘? = −16 ďƒź 3đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ = 0, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ž = 3, đ?‘? = 5 đ?‘Ś đ?‘? = 0 ďƒź đ?&#x;?(đ?’™ + đ?&#x;?)đ?&#x;? = (đ?’™ − đ?&#x;?)đ?&#x;? + đ?&#x;’, en su forma reducida es: đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ = 0, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ž = 1, đ?‘? = 2 đ?‘Ś đ?‘? = 0

Las formas de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica incompleta son:

ďƒź đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ = 0, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘? = 0 , ďƒź đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘? = 0, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘? = 0. Esta forma se le llama cuadrĂĄtica pura. ďƒź đ?‘Žđ?‘Ľ 2 = 0, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘? đ?‘Ś đ?‘? đ?‘ đ?‘œđ?‘› đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ 

PRĂ CTICA #1 I.

II.

Coloca las siguientes ecuaciones en su forma general 1) x 2 = 25 − 5x − 15

2) – 4x + x 2 + 3 = 8

4) 5x 2 = 125

5)

+x =4

7

6) x − 5 = x

Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadrĂĄticas, busca los valores de a, b y c correspondiente a đ?’‚đ?’™đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ = đ?&#x;Ž 1) −5x 2 − 2x − 1 = 0 4) u2 − 14 = 0

III.

3 x

3) −3x 2 + 5x = 6

2) 7y 2 = 12y − 3 5) y 2 − 7y = 0

3) 17w − 8w 2 = −1 6) 0 = 4t 2 − t

Clasifique las ecuaciones de segundo grado en completas e incompletas. 1) −5x 2 − 2x − 1 = 0 4) m2 − m − 1 = 0

2) x 2 − 36 = 0 5) 8 + 2x + x 2 = 0

3) 5x 2 − 25 = 0 6) x 2 − 4x = 0

MĂŠtodos para resolver ecuaciones cuadrĂĄticas: Resolver una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica de la forma ax 2 + bx + c = 0 es determinar los valores de la incĂłgnita que satisfacen la ecuaciĂłn. Estos valores que satisfacen dicha ecuaciĂłn se llaman soluciones o raĂ­ces de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. Toda ecuaciĂłn cuadrĂĄtica tiene dos raĂ­ces que pueden ser iguales o diferentes.

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Las ecuaciones completas e incompletas de segundo grado se pueden resolver por tres mÊtodos: por factorización, por ensayo y error, por el mÊtodo de aspa simple, completando cuadrado y por la fórmula general. En las ecuaciones cuadråticas completas, se nos presentan dos casos: Cuando a  1 y cuando a  1 Solución de una ecuación cuadråtica por factorización 1) Ecuación cuadråtica completa de la forma

x 2  bx  c  0 , cuando a  1

Procedimiento para resolver una ecuaciĂłn de segundo grado por factorizaciĂłn o descomposiciĂłn de factores: a) Se simplifica la ecuaciĂłn y se pone en la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0. b) Se factoriza el trinomio. c) Se igualan a cero cada uno de los factores, aplicando el principio de la propiedad del cero. Ejemplos: 1) Resolver la ecuaciĂłn đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;“đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;’ = 0 SoluciĂłn:

x 2  5x  24  0

EcuaciĂłn en su forma general

 x  8   x  3

Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

 0

x8  0 ; x  3  0

Se iguala cada factor a cero y se despeja

x 1 8

Son las raĂ­ces

; x2  3

x

ď œ El conjunto soluciĂłn de la ecuaciĂłn es: S  ď ť  8, 3 ď ˝

2)

x 2  25 x  156

SoluciĂłn:

x 2  25 x  156  0

EcuaciĂłn en su forma general

x 

Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

13  x  12   0

x  13  0 ; x  12  0 Se iguala cada factor a cero y se despeja

x

x 1  13 ; x 2  12

Son las raĂ­ces ď œ El conjunto soluciĂłn de la ecuaciĂłn es: S  ď ť12, 13 ď ˝

3)

x 2  2 xy  y 2  0

SoluciĂłn:

x 2  2 xy  y 2  0

EcuaciĂłn en su forma general

x 

Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

y  x  y   0

x y  0 ; x y  0

Igualando cada factor a cero y se despeja

26

x


Matemáticas X° - Comercio x 1   y ; x2   y

Profa. Velkis Rujano Son las raíces

 El conjunto solución de la ecuación es: S    y,  y  2) Ecuación cuadrática completa de la forma Las ecuaciones cuadráticas completas, de la forma

ax 2  bx  c  0 , cuando ax 2  bx  c  0

a 1

tienen varias formas de resolverse: por el método de

factorización, por el método de ensayo y error, aplicando la fórmula general, completando cuadrados, o por el método de aspa simple. 2 Ejemplos aplicando factorización del trinomio de la forma ax  bx  c  0

1)

2 x 2  7 x  15 Solución:

2 x 2  7 x  15  0

Ecuación en su forma general

2 2 x 2  7 x  15  0 2

2 x 2  72 x 

 30

2

 0

Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 2

El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo Se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.

2 x 

10  2 x  3  0 2

Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

2  x  5 2 x  3  0 2

Factorizando y simplificando uno de los factores

x  5 2 x  3

Se iguala cada factor a cero

 0

x  5  0 ; 2x  3  0

Se despeja la

x

2x   3 x1  5 ;

x2  

3 2

Son las raíces

 3  , 5  2 

 El conjunto solución de la ecuación es: S  

27


Matemáticas X° - Comercio 2)

Profa. Velkis Rujano

12 x 2  11x  5 Solución:

12 x 2  11x  5  0

Ecuación en su forma general

12 12 x 2  11x  5  0 12

12 x 2  1112 x 

 60

Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 2

 0 El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo

12

Se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.

12 x  15 12 x  4 12

3  4 x  5  4  3 x  1

 0

 3  4 

4 x  5 3x  1

 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

Factorizando y simplificando uno de los factores

 0

Se iguala cada factor a cero

4 x  5  0 ; 3x  1  0

4x  5

x1 

Se despeja la

x

3 x  1

5 ; 4

x2  

1 3

Son las raíces

 1 5   3 4

 El conjunto solución de la ecuación es: S   , 3)

6x 2   7 x  2 Solución:

6x 2  7 x  2  0

Ecuación en su forma general

6 6x 2  7x  2  0 6

6 x 2  76 x 

 12

6

 0

Se multiplica y divide por el coeficiente de x 2 , por 6

El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.

6 x  4 6 x  3 6

 0

2 3x  2  3 2 x  1  0 6

Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios Factorizando y simplificando uno de los factores

28


Matemáticas X° - Comercio 3 x  2  2 x  1

Profa. Velkis Rujano

 0

Se iguala cada factor a cero

3x  2  0 ; 2 x  1  0

Se despeja la

x

3x   2 ; 2 x   1

x1  

2 ; 3

x2  

1 2

Son las raíces

1  2 ,  2  3

 El conjunto solución de la ecuación es: S  

Solución de una ecuación cuadrática por ensayo y error Es un método no muy común, que requiere de muchos procedimientos algebraicos, y el dominio de los diferentes casos de factorización. Ejemplos resueltos aplicando el método de ensayo y error 1)

2 x 2  7 x  15

Solución:

2 x 2  7 x  15  0

Ecuación en su forma general

2 x 2  10 x  3x  15  0

Se multiplica

a

por

c , es decir 2 15  30 , y este número se

Descompone en dos factores tales que la suma algebraica De ellos coincida con el término b x , o sea  10 x  3x  7 x

2x

2

 10 x  3x  15  0

Agrupando términos

2 x  x  5  3  x  5  0

Factorizando cada factor

x  5 2 x  3

Factorizando por agrupación de término

 0

x  5  0 ; 2x  3  0

Se despeja la

x

2x   3 x1  5 ;

x2  

3 2

Son las raíces

 3  2

 

 El conjunto solución de la ecuación es: S   , 5 

29


Matemáticas X° - Comercio 2)

Profa. Velkis Rujano

12 x 2  11x  5 Solución:

12 x 2  11x  5  0

Ecuación en su forma general

12 x 2  15 x  4 x  5  0

Se multiplica

a

por

c , es decir 12  5  60 , y este número se

Descompone en dos factores tales que la suma algebraica De ellos coincida con el término b x , o sea  15 x  4 x  11 x

12 x

2

 4 x  15 x  5  0

Agrupando términos

4 x 3 x  1  5 3 x  1  0

Factorizando cada factor por agrupación

4 x  5 3x  1

Se iguala cada factor a cero

 0

4 x  5  0 ; 3x  1  0

Se despeja la

x

4 x  5 ; 3x   1

x1 

5 ; 4

x2  

1 3

Son las raíces

 1 5   3 4

El conjunto solución de la ecuación es: S   , 3)

6 x 2  24 x  18 Solución:

6 x 2  24 x  18  0

Ecuación en su forma general

6 x 2  18 x  6 x  18  0

Se multiplica

a

por

c , es decir 6 18  108 , y este número se

Descompone en dos factores tales que la suma algebraica De ellos coincida con el término b x , o sea  18 x  6 x  24 x

6x

2

 18 x  6 x  18  0

Agrupando términos

6 x  x  3  6  x  3  0

Factorizando cada factor por agrupación

x  3 6 x  6

Se iguala cada factor a cero

 0

x  3  0 ; 6 x  6  0 Se despeja la

x3

;

x1  3 ;

x

6x  6 x2  1

 El conjunto solución de la ecuación es: S  1, 3 

30


Matemáticas X° - Comercio

Profa. Velkis Rujano

PRÁCTICA #1 I.

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización o por ensayo y error 1) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟒 = 𝟎

2) 𝟔𝒘𝟐 = 𝟏𝟎 − 𝟏𝟏𝒘

3) 𝟐𝟎𝒚𝟐 − 𝟐𝟕𝒚 = 𝟏𝟒

4) 𝟕𝒛 = 𝟏𝟓 − 𝟑𝟎𝒛𝟐

5) 𝟔𝟎 = 𝟖𝒎𝟐 + 𝟏𝟓𝟕𝒎

6) 𝒙(𝒙 − 𝟏) − 𝟓(𝒙 − 𝟐) = 𝟐

7) (𝒙 − 𝟐)𝟐 − (𝟐𝒙 + 𝟑)𝟐 = −𝟖𝟎

8)

𝟔 𝒙𝟐

11)

𝒙 + 𝒙−𝟐

𝟗

𝟒

− 𝒙 = −𝟑

9)

𝒙+𝟐 + 𝒙

𝒙=

𝟕𝟒 𝒙

𝟑𝒙+𝟏𝟓 𝟒

12) 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎

13) 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 = 𝟏𝟖

14) 𝟖𝒙 − 𝟔𝟓 = −𝒙𝟐

15) 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 − 𝟑𝒙

16) (𝒚 − 𝟐)(𝟑𝒚 − 𝟏) = 𝟏𝟎𝟎

17) 𝒑(𝟑𝒑 + 𝟐𝟎) = 𝟕

18) 𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 − 𝟔 = 𝟎

19) 𝟓 = 𝒓(𝟐𝒓 + 𝟑)

20) 𝒎𝟐 + (𝒎 + 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟑𝟔

21) 𝒙 = − 𝒙

22) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 = 𝟑𝒂𝟐

23) 𝟐𝒂𝟐 𝒙𝟐 − 𝒂𝒃𝒙 − 𝟑𝒃𝟐 = 𝟎

24) 𝟑𝒂𝟐 + 𝟏𝟏𝒂𝒃𝒄 − 𝟒𝒃𝟐 𝒄𝟐 = 𝟎

10) (𝒙 + 𝟐)𝟐 −

𝟐𝒙−𝟓 𝟑

=𝟑

𝒙=

𝟔 𝟓

𝟔 𝟓

Respuestas a los problemas

𝟏

1) {−𝟒, 𝟐} 7) {𝟑, −

𝟐𝟓 } 𝟑

13) {𝟐, −𝟗} 𝟓

19) {− 𝟐 , 𝟏}

𝟐

𝟓

2) {𝟑 , − 𝟐}

𝟕

𝟐

𝟑

𝟓

6) {𝟐, 𝟒}

10) {−𝟐, − 𝟑}

11) {𝟑, 𝟏𝟎}

12) {𝟑, −𝟐}

𝟏𝟒 , 𝟕} 𝟑

17) {−𝟕, } 𝟑

4) {𝟓 , − 𝟔}

8) {𝟔, 𝟒}

9) {𝟖, −𝟗}

14) {𝟓, −𝟏𝟑}

15) {𝟗, −𝟏𝟐}

16) {−

20) {−𝟏𝟎, 𝟔}

21) {− 𝟐 , 𝟑}

𝟑

𝟑 𝟐

𝟑

5) {−𝟐𝟎, 𝟖}

3) {𝟒 , − 𝟓}

𝟒

22) {𝒂, −𝟑𝒂}

31

𝟏

𝒃 𝟑𝒃

23) {− 𝒂 , 𝟐𝒂}

𝟐 𝟓

18) {− , 𝟑} 24) {

𝒃𝒄 , 𝟑

} −𝟒𝒃𝒄

MODULO DE X COMERCIO  
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