Page 1

Vsebina 1. Naravna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n

1.1 Deljivost števil s 4, z 8 in 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Praštevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Največji skupni delitelj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Najmanjši skupni večkratnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utrdi svoje znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povzetek & Preizkus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Preslikave in simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Premik in zasuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Zrcaljenje čez premico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Zrcaljenje čez točko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Preslikave in geometrijski vzorci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Simetrala daljice in kota. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utrdi svoje znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povzetek & Preizkus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Ulomki kot deli celote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Razširjanje in krajšanje ulomkov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kako uporabljamo? GEOPLOŠČA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ulomki kot količniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Seštevanje in odštevanje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Množenje ulomkov z naravnimi števili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Množenje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Deljenje ulomkov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utrdi svoje znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povzetek & Preizkus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Decimalna števila in odstotki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Decimalna števila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Odstotki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Računanje z odstotki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Sprememba celote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kako uporabljamo? ŽEPNO RAČUNALO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utrdi svoje znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povzetek & Preizkus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 8 11 13 16 18 20 22 24 26 30 34 37 42 44 46 48 53 56 57 61 66 70 74 77 80 82 85 89 92 95 97 98 100


5. Trikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.1 Koti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kako uporabljamo? GEOTRIKOTNIK IN ŠESTILO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Vrste trikotnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Koti v trikotniku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Načrtovanje trikotnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Znamenite točke trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Obseg in ploščina trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utrdi svoje znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povzetek & Preizkus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104 108 109 111 114 119 122 126 128

6. Štirikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.1 Vrste štirikotnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Paralelogrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Obseg in ploščina štirikotnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utrdi svoje znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povzetek & Preizkus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132 135 137 138 144 146

7. Izrazi in enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.1 Številski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Izrazi s spremenljivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Vrednost izraza s spremenljivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Enačbe in neenačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utrdi svoje znanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Povzetek & Preizkus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150 152 155 158 162 164

8. Podatki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.1 Zbiranje in obdelava podatkov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Prikaz podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Medsebojno odvisne količine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Predstavitev izbir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168 172 176 180


3. poglavje

Ulomki 3.1 ULOMKI KOT DELI CELOTE 3.2 RAZŠIRJANJE IN KRAJŠANJE ULOMKOV KAKO UPORABLJAMO? GEOPLOŠČA 3.3 ULOMKI KOT KOLIČNIKI 3.4 SEŠTEVANJE IN ODŠTEVANJE ULOMKOV 3.5 MNOŽENJE ULOMKOV Z NARAVNIMI ŠTEVILI 3.6 MNOŽENJE ULOMKOV 3.7 DELJENJE ULOMKOV UTRDI SVOJE ZNANJE POVZETEK & PREIZKUS

Interval

Toni in zvoki Ko je slavni grški matematik Pitagora nekoč obiskal kovačnico, je opazil, da so ob udarjanju z različno težkimi kladivi ob nakovalo nastali različni toni. Zaradi tega opažanja se je začel ukvarjati s harmoničnimi zvoki. Za svoje raziskave je sestavil inštrument na strune, s katerim je lahko primerjal tonske višine. Pri tem je ugotovil, da močno napeta struna z brenkanjem ustvari določen zvok.

prima sekunda terca kvarta kvinta seksta septima oktava

Kvarta

0

3 4

dolžine strune

1

48 53 56 57 61 66 70 74 77 80

Dolžina strune 1 _ 1 8 _ 9 4 _ 5 3 _ 4 2 _ 3 3 _ 5 8 __ 15 1 _ 2


Ulomki

■ 3.1 Ulomki kot deli celote

1

Pozorno preberi dialog med Nejcem in Alenom. Izpiši, kje nastopajo ulomki. Ali tudi ti v svojem vsakdanu naletiš na ulomke? Lahko našteješ primere? Napiši zgodbico.

2 Vzemi list papirja. a) Naštej vsaj tri možnosti, kako lahko list z enim pregibom razdeliš na dva enako velika dela.

V zvezku skiciraj vse najdene možnosti, kot je prikazano na robu. b) Najmanj kolikokrat moraš prepogniti papir, da dobiš štiri enako velike dele? c) Največ koliko delov dobiš, če list prepogneš štirikrat?

3 Tamara, Mira in Grega si želijo pravično razdeliti pico. Kateri način rezanja jim predlagaš? Utemelji.

1

2

3

4

4

5

Matic, Mika, Lucija in Lovro morajo z rdečo pobarvati tri četrtine kvadrata. Ustvarili so spodnje slike. a) Opiši, kaj imajo skupnega in v čem se razlikujejo njihovi postopki. b) V zvezek nariši kvadrat z dolžino stranice a = 4 cm. Z rdečo pobarvaj pet osmin njegove ploščine. Primerjaj rezultat z rezultatom svojega soseda. Razložita si, kako sta se lotila naloge. c) V zvezek nariši pravokotnik z a = 4 cm, b = 3 cm. Pobarvaj različne deleže in jih poimenuj. Matic

48

Mika

Lovro

Lucija


3.1 Ulomki kot deli celote

Pravila in primeri Z ulomki lahko opišemo dele celote. Če celoto razdelimo na 2, 3, 4, 5, 6, ... enako velikih delov, dobimo dve polovici, tri tretjine, štiri četrtine ...

PRIMER 1

Lena pico razreže na štiri enako velike kose. En kos ustreza _14 (eni četrtini) pice.

En del lahko zapišemo kot _12, _13 , _14 , _15, _16 , ...

1 2

1 3

1 4

Števec ulomka pove, koliko enakih delov celote nas zanima.

3 4

1 5

1 6

PRIMER 2

Lena poje _34 (tri četrtine) pice. Preostanek pusti svoji mami, ki dobi četrtino pice.

Imenovalec ulomka pove, na koliko enakih delov je razdeljena celota.

PRIMER 3

1 4

2 4

3 4

2 3

3 5

5 6

Če sta števec in imenovalec enaka, ulomek ponazarja celoto. Velja: _22 = _33 = _44 = ... = 1

6 10

6 10

6 10

PRIMER 4

1 pica = _44 kosov pice

Če je števec večji od imenovalca, ulomek ponazarja več kot celoto. Če je števec manjši od imenovalca, ulomek ponazarja manj kot celoto.

49


Ulomki

Vaje

1 Kolikšen del kroga je pobarvan rdeče. a)

b)

c)

c) ˇ

2 Kolikšen del lika je pobarvan rdeče

4 Pregani krog tako, da dobiš štiri enako

oziroma zeleno?

velike dele.

a)

b)

c)

c) ˇ

d)

e)

a) Pobarvaj eno četrtino kroga rdeče in dve

četrtini modro. b) Zdaj ga pregani tako, da dobiš osem enako

velikih delov, in pobarvaj tri osmine kroga zeleno.

3 Kolikšen del lika je pobarvan rdeče? 5

Kolikšen del lika je moder? a)

b)

c)

Kolikšen del lika je pobarvan rdeče oziroma zeleno? a)

c) ˇ

d) e)

f)

50

b)

g)

h)

c)

c) ˇ


3.1 Ulomki kot deli celote

6 Slika kaže zemljišči kmeta Gorjanca in kmeta Dolinarja. kmet Gorjanc

repa

kmet Dolinar

pašnik

pašnik

žito

žito

repa

a) Z ulomkom zapiši, kolikšen del površine svojih zemljišč namenja kmet Gorjanc repi. b) Z ulomkom zapiši, kolikšen del površine svojih zemljišč namenja kmet Dolinar žitaricam. c) Z ulomkom zapiši, kolikšen del površine svojih zemljišč namenja kmet Dolinar repi.

7 ➠ Vzemi list A4. Prepogni ga, kot narekuje 11 ➠ V spodnjih likih je bilo treba z modro naloga. Nato med seboj primerjajte svoje rezultate. Kaj opazite? a) Prepogni papir tako, da dobiš 8 enako velikih delov. Pobarvaj _58 lika. b) Prepogni papir tako, da lahko pobarvaš 9 __ lika. 16

pobarvati tretjino lika. Pri nekaterih likih je prišlo do napake. Poišči jih in pojasni, kaj je narobe.

1

2

3

4

Izziv Za vsako barvo posebej z ulomkom zapiši njen delež glede na celotno sestavljanko.

8

Navedene ulomke priredi ustrezno pobarvanim krogom. a) _3 4

b) _1 2

3 c) __ 10

1

č) _5 8

2

5

d) _1 8

7

3

0 8

4

6

e) _2 6

5

9

6

12 Saša je naredila mozaik iz perlic. Z ulomkom izrazi, kolikšen del vseh perlic je posamezne barve.

9

Nariši kroge s polmerom r = 5 cm. Pobarvaj jih tako, da bodo ponazarjali spodnje ulomke. a) _3 4

b) _6 8

c) _3 8

č) _4 8

10 Oglej si ploščice, ki so del igre Tangram. Za posamezno ploščico z ulomkom izrazi delež, ki ga zavzema v kvadratu.

51


Ulomki

13

Narisane dele likov oziroma daljic preriši v zvezek in jih v skladu z zapisanimi ulomki dopolni v celoto. Če je mogoče, nariši več možnosti. a)

b)

1 3

1 4

c)

1 8

➠ Kako pravično razdeliš tablico čokolade med dva, tri, štiri, šest ali osem prijateljev? Kaj pa, če je prijateljev pet?

16

➠ Na sliki je kos torte. Približno kolikšen delež celotne torte predstavlja ta kos? Primerjaj s sošolcem.

17

c) ˇ

d) 1 2

1 5

e) 1 7

18 V povprečnem slovenskem gospodinjstvu 14 ➠ V atlasu, leksikonu ali na svetovnem spletu poišči zastave Belgije, Avstrije, Grčije, Švedske, Španije in Češke. a) Z ulomki izrazi za vsako državo, kolikšen del celotne površine zastave zavzemajo posamezne barve. Pri katerih zastavah je to zelo preprosto? Pri katerih je to težje ali pa ni mogoče? Rešitve primerjaj s sošolci. b) V atlasu, leksikonu ali na svetovnem spletu poišči še druge zastave. Ugotovi, kolikšen del celotne površine zastave zavzemajo posamezne barve c) Nariši svojo zastavo, ki je _16 zelena, _13 oranžna, preostanek pa je rumen. Zapiši, kolikšen del celotne površine je rumene barve. Svojo zastavo predstavi razredu.

15 ➠ Gaja si je odrezala kos pice. Oceni, kolikšen del pice si je odrezala?

je poraba vode takšna: pranje perila, cišcenje Ċ Ċ bivalnih prostorov pomivanje posode, pranje sadja, zelenjave pitje, kuhanje drugo splakovanje stranišca Ċ prhanje in kopanje

Oceni posamezne deleže. Rezultate primerjaj s sošolcem. Drug drugemu razložita, kako sta postopala.

19

V skodelici je 10 oranžnih, 10 rožnatih in 10 modrih kroglic. a) Ugotovi delež kroglic posamezne barve v primerjavi s številom vseh kroglic. b) Predstavljaj si, da dodamo še dve modri kroglici. Katere ulomke za opis deležev barv dobiš v tem primeru? c) Izmisli si podobno nalogo, kot je naloga b). Zapiši jo, tvoj sošolec pa naj jo reši.

20

Ugotovi, kolikšen del površine telesa je obarvan oranžno. a)

52

b)

c)


3.2 Razširjanje in krajšanje ulomkov

■ 3.2 Razširjanje in krajšanje ulomkov 1 Žana, Pavel in Monika so obložili pice s salamo, z gobami in s papriko, kot je prikazano na slikah. Pice so spekli in razrezali na enako velike dele.

Žanina pica

Dogovor Rezultati naj bodo podani z okrajšanimi ulomki. Krajšanje po korakih: Krajšanje v enem koraku:

Pavlova pica

Monikina pica a) Kolikšen del svojih pic so s salamo obložili Žana, Pavel in Monika? b) Kolikšen del posameznih pic je obložen z gobami? c) Nariši tri 6 cm in 8 cm široke pravokotnike na list papirja in v njih skiciraj različne nadeve.

Primerjaj del pic posameznih okusov, tako da pravokotnike razrežeš. Kaj opaziš? č) Žana, Pavel in Monika so na pico povabili še tri prijatelje. Koliko pice lahko poje vsak izmed

šestih prijateljev, če si pico razdelijo pravično? d) Ali lahko vsak od prijateljev dobi enak delež od vsakega nadeva, če je ta po picah razporejen

tako, kot kažejo slike zgoraj? Kaj je treba narediti?

2 Kateri sliki ponazarjata enak del celote? a)

b)

c)

c) ˇ

53


Ulomki

Pravila in primeri Ulomek razširimo tako, da števec in imenovalec ulomka pomnožimo z istim naravnim številom. Ulomek in njegov krajšani ulomek predstavljata enak del celote.

Ulomek krajšamo tako, da števec in imenovalec ulomka delimo z istim naravnim številom. Ulomek in njegov krajšani ulomek predstavljata enak del celote.

PRIMER 1

PRIMER 2

Tian in Špela želita svoji polovici pice deliti še s štirimi prijatelji, zato jo razrežeta na šest enakih delov. Polovica pice sedaj predstavlja _36 pice.

Vrtnar se je odločil, da zmanjša število gredic na vrtu za trikrat. Prej so cvetlične 9 , sedaj pa _35 gredic. gredice predstavljale __ 15

1 2

9 15

3 6

1 = 1ľ3 = 3 2ľ3 6 2

9 = 9:3 = 3 15 15 : 3 5

3 5

Razširjanje si lahko predstavljamo kot dodatno delitev delov, krajšanje pa kot združevanje 9 . delov. Vrednost ulomka se s krajšanjem ali z razširjanjem ne spremeni: _36 = _12 in _35 = __ 15

Vaje

1 Krajšaj ulomke s 5. 15 a) __ 25 __ e) 65 75

40 b) ___ 100 20 f) __ 30

35 c) __ 45 __ g) 45 60

4 Zapiši manjkajoče število. 50 č) __ 30 __ h) 80 95

10 d) __ 55 ___ i) 105 125

č) _5 7 __ h) 29 23

d) _9 2 __ i) 31 25

2 Razširi ulomke s 3. a) _7 5 _ e) 7 3

b) _3 4 _ f) 53

6 c) __ 11 10 g) __ 2

■ a) _5 = __

15 ■ = __ a) __ 7

24 a) _3 = __

6 12 28 _ g) __ =4 35 5

12 = _ 1 c) __ 36 3 4 e) _1 = __ 3 12 28 h) _7 = __ 8 32

45 ■ = __ b) __

■ = __ 12 c) __

84 b) _7 = ___

50 c) _5 = __

9 81 7 ■ __ d) = __ 3 21

35 35 ■ __ č) = __ 11 77

6 Koliko je x?

4 d) _2 = __

6 24 ■ e) _8 = __ 9 63

5 Poišči manjkajoče število.

da enakost velja. 12 = _ 2 a) _2 = _1 b) __ 6 3 36 6 12 36 24 = _ 1 f) __ 48 2

■ c) _5 = __

5 30 ■ d) _2 = __ 3 27

3 S krajšanjem in razširjanjem se prepričaj, 4 = __ 12 č) __

5 20 56 ■ __ e) = ___ 15 120

x 108 10 __ __ d) = 40 96 x

x 56 8 __ _ č) = 72 x 90

x 90 66 11 __ e) = __ x 96

7 Napiši kot ulomek z imenovalcem 24. a) _2 3

54

■ b) _4 = __

8 32 ■ č) _7 = __ 4 28

7 b) __ 12

c) _3 8

č) _1 2

11 d) __ 3


3.2 Razširjanje in krajšanje ulomkov

8 Napiši kot ulomek z imenovalcem 48. a) _1 2

b) _5

7 c) __ 12

6

23 č) __ 24

d) _7 3

9 Ali enakost velja? 96 a) _8 = ___

63 b) _7 = __

9 108 12 ___ č) 96 = __ 104 13

8 64 15 ___ d) 154 = __ 214 21

5 c) _1 = __

9 95 34 ___ e) 105 = __ 213 71

10 Odkrij pravilo za številski vzorec in nadaljuj niz. 81 __ 9 __ ■ a) _1 , _3 , __ , 27 , ___ , ■ , __

96 a) ___ 120 96 d) ___ 162

42 b) ___ 126 44 e) ___ 132

60 c) ___ 144 42 f) __ 30

48 č) ___ 128 112 g) ___ 84

16 Krajšaj, dokler ne bosta števec 504 a) ___

528 b) ___

630 c) ____

1260 č) ____

72 d) ____ 1728

384 e) ____ 3072

210 f) ___ 350

693 g) ___ 594

672

42 a) __

11 Razširi ulomka na poljubni skupni imenovalec. a) _1 , _2 2 3

b) _3 , _4

c) _8 , _6

č) _1 , _1

d) _2 , _1

20 __ e) __ , 30

6 8

792

4410

1620

70 210 d) ___ 350 ___ h) 11 132

60 b) __

90 210 e) ___ 245 ___ i) 55 121

105 c) ___ 280 14 f) ___ 119 39 j) ___ 195

126 č) ___ 168 37 g) ___ 222 86 k) ___ 301

18 S krajšanjem obeh ulomkov preveri,

12 Razširi ulomka na najmanjši skupni imenovalec. a) _2 , _3 4 5

19 S krajšanjem ali razširjanjem preveri,

č) _1 , _1 5 7

4 8

24 36

9 __ b) __ , 14 10 15 __ d) 8 , _5 12 4

12 __ c) __ , 8 8 12 10 __ __ e) , 10 24 35

13 Izračunaj manjkajoča števila.

7 __ č) __ , 8 21 32

60 ■ = __ ■ = __ ■ = __ ■ a) ___ = __

180 90 18 6 3 36 __ 72 ■ 4 ___ __ __ b) = = = 270 ■ 45 ■ 48 __ ■ = __ ■=_ 2 c) ___ = 12 = __ 360 ■ 6 3 ■ 240 __ 20 __ ■ = __ ■ = 10 = __ č) ___ = 72 24 ■ 6 ■ 45 ___ 5 ■ ■ 1 ___ __ __ d) = = = = __ 630 ■ 105 35 ■ 72 __ ■ = __ ■ = __ 2 e) ___ = 24 = __ 360 ■ 60 15 ■

20 __ d) __ , 30 4 6

ali sta ulomka enakovredna. 88 __ 12 a) _2 , __ b) __ , 56 4 20 55 35 6 __ č) __ , 28 16 72

Krajšanje po korakih: :2

:3

:7

168 ___ 28 __ ___ = 84 = __ =4 210 105 35 5

ali imata isto vrednost. 18 __ a) __ , 15 b) _4 , _6 24 20 6 8

5 9

Pomni Ulomek je okrajšan, ko je krajšan »do konca«, kar pomeni, da sta števec in imenovalec tuji si števili.

in imenovalec tuji si števili.

17 Okrajšaj.

2 6 18 54 162 ■ ■ 32 __ 8 _ ■ , __ 1 ___ b) 64 , __ , 16 , __ , 4 , __ 128 64 32 16 8 4 ■

4 5

15 Okrajšaj.

8 __ d) __ , 20 18 45



:2 :3

:7

Krajšanje v enem koraku: : 42 168 __ ___ =4 210 5

 : 42

3 __ c) __ , 7 12 24 35 __ e) 23 , __ 23 35

35 __ c) __ , 56 42 48 22 __ e) 9 , __ 33 77

20 Kateri ulomki so prikazani z rdečimi deli lika? a)

b)

14 Krajšaj, kolikor je mogoče. 32 a) __

40 __ d) 24 60 75 ___ h) 105 ___ l) 105 120

25 b) __

30 __ e) 8 12 ___ i) 80 120 ___ m) 60 108

72 c) __

84 __ f) 16 20 __ j) 20 24 ___ n) 216 102

56 č) __

64 __ g) 15 35 __ k) 39 65 ___ o) 276 216

Krajšaj, dokler števec in imenovalec ne bosta več imela skupnega delitelja, in primerjaj ulomke.

55


Ulomki

Kako uporabljamo? Geoplošča Pravila in primeri Ulomke lahko ponazorimo tudi s pomočjo geoplošče. Poleg plošče potrebujemo še dve elastiki različnih barv.

PRIMER 1

Na fotografiji je geoplošča, na kateri je prikazan ulomek _14 .

Prvo elastiko napnemo okoli vseh žebljičkov. S tem ponazorimo celoto, torej lik, ki ga bomo razdelili na enake dele. Z drugo elastiko omejimo del celote (lika), ki ga iščemo.

Vaje

6

1 Na različne načine prikaži ... a) eno polovico, c) eno osmino,

b) eno četrtino, č) eno šestino.

2 Na različne načine prikaži ... a) tri četrtine, b) pet osmin, c) sedem šestnajstin, č) enajst dvaintridesetin.

3 Z drugo elastiko ogradi čim manjšo (večjo) površino. Z ulomkom izrazi to površino in rezultat primerjaj s sošolcem.

Igraj igro Črni Peter z ulomki s sošolcem po znanih pravilih. Za igro potrebuješ 21 kart. Izdelava kart: _14 ;

3 _ 5 __ _ ; 3 ; __ ; 3 8 4 16 32

Razmisli, kako bi ulomke ponazoril na štiri različne načine, in jih nariši na posamezne karte. Dodaj Črnega Petra − karto, ki ponazarja celoto. 1 PRIMER Štiri ponazoritve za _: 8

1

2

3

4

4

Zakaj z geoploščo ne moremo prikazati 1 , če prva elastika ograjuje celotno ulomka __ 13 površino? Naštej še druge ulomke, ki jih ni mogoče prikazati z geoploščo.

5 Kolikšen del celote je prikazan na geoplošči? a)

b)

c)

7

Spremeni območje celote tako, da lahko prikažeš spodaj naštete ulomke. Svoje rezultate predstavite pred razredom. c) ˇ

56

d)

e)

a) _1

3 _ č) 1 in _1 hkrati 5 3

b) _1

6 _ d) 1 in _2 3 3

c) _1 5


3.3 Ulomki kot količniki

■ 3.3 Ulomki kot količniki 1 Preriši spodnjo številsko premico v zvezek. 1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

0

6 6

7 6

1

2

a) Utemelji položaj ulomkov _1 in _3 . 6

6

b) Ožbej meni, da lahko namesto _3 zapišemo tudi _1 . Ali ima prav? 6

2

c) Zapisane ulomke skrajšaj, če je to mogoče. Okrajšane ulomke upodobi na številski premici.

Kaj opaziš? č) Kateri ulomek je na številski premici upodobljen natanko med _1 in _2 ? d) Določi lego upodobitve ulomkov _1 in _3 na številski premici.

2

3

4 4 6 _ e) Zakaj sta upodobitvi ulomkov in 1 na istem mestu številske premice? 6 f) Florjan bi namesto _7 raje napisal 1_1 . Ali sme to narediti? Utemelji. 6 6

g) Nariši številski premici, dolg vsaj 14 cm. Med 0 na začetku in 1 je točno 8 cm. 5 . Na številski premici upodobi ulomke: _18, _38, _78 , _14, _34 , _12 , 1_12 , 1_38 , __ 16

2 Večerja pri družini Oražem: oče, mama in trije otroci so hudo lačni. V zamrzovalniku najdejo samo še tri pice in pet porcij sladoleda. a) Kako si lahko petčlanska družina pravično razdeli tri pice? b) Mama po pici ni več lačna. Kako si lahko ostali štirje pravično razdelijo sladoled?

3

Jon je na rojstnodnevno zabavo povabil devet prijateljev. Za večerjo je Jonova mama kupila sedem pic za deset otrok: pet mesnih in dve zelenjavni. Ker so Taj, Gašper in Pika vegetarijanci, je povsem jasno, da si bodo razdelili zelenjavne pice. Drugi otroci pa si razdelijo mesne pice. a) Kolikšen del pice prejme posamezni otrok, ki ni vegetarijanec? b) Kolikšen del pice dobi vsak otrok, ki je vegetarijanec? c) Ali je v tem primeru dobro biti vegetarijanec? Utemelji svoj odgovor.

57


Ulomki

Pravila in primeri Pomni Ulomek je večji od drugega ulomka, če je na številski premici upodobljen bolj desno.

4 _1 _ > 6 6

Ulomke lahko upodobimo na številski premici. Krajšani ali razširjeni ulomki so po velikosti enaki, zato njihove upodobitve na številski premici ležijo na istem mestu. Količnik dveh naravnih števil lahko vedno zapišemo kot ulomek. Tudi ostanek pri deljenju dveh naravnih števil lahko zapišemo z ulomkom.

4 _1 < _ 2 6

Ulomki z imenovalcem, enakim 1 (oziroma imenovalcem, ki ga lahko okrajšamo na 1), so enaki naravnim številom. Ulomke s števcem, večjim od imenovalca, lahko zapišemo s celim delom in ulomkom, manjšim od 1, in obratno. Ulomke z istim imenovalcem primerjamo tako, da primerjamo števce. Večji je tisti, ki ima večji števec. Ulomke z različnimi imenovalci najlažje primerjamo tako, da jih najprej razširimo na skupni imenovalec.

4 6

PRIMER 1

4 _ _ =2 6 3

2 3

0

PRIMER 2 1 : 4 = _14

1

3 : 5 = _35

13 : 4 = 3 ostane 1 → ostanek = _14 8 _ _ =2=2 4 1 11 2 ∙ 4 + 3 = __ 2 _34 = _______ 4 4 7 _ = 2 _13 , saj je 7 : 3 = 2 ost. 1 3

PRIMER 3

2<_ 4 _ 5 5

ker je 2 < 4

5 __ > _3 12 8

5 9 10 > __ ker je __ = __ = _3 12 24 24 8

Ulomek leži med naravnim številom, ki predstavlja celi del ulomka in naslednikom tega naravnega števila.

Vaje

1

Kateri ulomki so upodobljeni na številski premici? a) b) c)

a) 0

1

0

1

0

1

V zvezek poleg ulomkov napiši stavke, na primer: »_12 je manjše od _34«.

2 Nariši številsko premico v zvezek in na njej upodobi naslednje ulomke: 5 __ 5 1 ; __ 11 ; 1_ 1 ; 1__ __ ; 7 ; _1 ; _5 ; _2; _1; _3; _1 ; __ 12 12 12 6 6 3 4 4 2 24 3 24

58

3

Kateri ulomki so upodobljeni na številski premici z rdečo barvo? 0

b) c) c) ˇ

4

0

1

2 1

3 2

0

1

0

1

Nariši ulomke na številsko premico in ugotovi pravilo za številski vzorec ter nadaljuj niz. 2 __ 6 a) _1 , _2 , _3 , ... b) __ , 4 , __ , ... 10 10 10 6 6 6


3.3 Ulomki kot količniki

5

11 Zapiši kot ulomek brez celega dela.

9 _ 1 ; __ 12 ; _ b) enota 3 cm: _1 ; _5 ; _1 ; 3 _2 ; __ ; 11

3 2 ∙ 5 + 3 13 PRIMER 2 _ = _______ = __ 5 5 5 7 a) 1_3 b) 2 _3 c) 2 __ 4 8 11 7 e) 4 _5 f) 4 _3 g) 3 __ 10 6 5

Nariši številsko premico z navedeno enoto (razmik med 0 do 1) in na njej ponazori spodaj zapisane ulomke. 18 a) enota 4 cm: _1 ; _3 ; _1 ; _5 ; _7 ; _8 ; 2 _1 ; _5 ; __ 4 4 2 8 4 4 2 2 8

d) 5 _8

č) 1_2

3 h) 3 _27

9

i) 5 _1 2

3 6 2 3 12 6 3 6 10 __ 7 __ c) enota 6 cm: _4 ; _1 ; _1 ; _1 ; 1_3 ; __ ; 5 ; __ ; 13 6 3 2 4 4 6 12 24 12

12 Zapiši najprej kot ulomek in nato kot

6 Za vsako nalogo nariši ustrezno številsko

ulomek s celom delom in ulomkom, manjšim od 1. Če je mogoče, okrajšaj rezultat.

premico in na njej označi lego zapisanih ulomkov. 5 _ a) _1 ; _3 ; _4 b) _1 ; _5 ;__1 c) _1 ; _5 , _2 č) __ ; 1 ; _3 9 9 3 12 2 4 6 6 2 5 5 5

7 Celoto predstavljajo vsi liki. Obarvani del zapiši kot ulomek s celim delom in ulomkom, manjšim od 1. a)

b)

PRIMER

6 14 = 1_ 14 : 8 = __ = 1_34 8 8

a) 7 : 6 č) 8 : 10 f) 21 : 4

b) 5 : 3 d) 17 : 5 g) 34 : 3

c) 12 : 5 e) 13 : 2 h) 75 : 5

➠ V primeru naloge 11 je bil ulomek najprej zapisan kot ulomek s celom delom in ulomkom, manjšim od 1, nato pa okrajšan. Ali se rezultat spremeni, če najprej okrajšamo in nato zapišemo kot ulomek s celom delom in ulomkom, manjšim od 1?

13

14

Nariši štiri kroge s polmerom 3 cm in vsak krog razdeli na štiri enako velike dele. Izreži kroge in jih razreži po črtah. c)

15 __ 14 ; _ 4 ; __ a) Sestavi ulomke _7 ; _9 ; __ ; 12 ; _2 in jih 4 4 4 4 4

4 4

zapiši kot ulomke s celim delom in ulomkom, manjšim od 1.

8 Z ustrezno sliko (podobno kot v nalogi 7) 2

b) 1_3 4

c) 3 _5 6

č) 1_2

8 a) __ =2

■ 1 __ č) 7 = 3 __ ■ ■

ulomkom, manjšim od 1. 1 16 PRIMER __ = 5 _; saj je 16 : 3 = 5 ost. 1 3 3 16 61 25 26 __ __ a) b) c) __ č) __ 3 4 3 5 67 35 53 41 __ __ __ __ e) f) g) h) 7 13 8 12

37 d) __ 6 81 __ i) 5

10 Ostanek pri deljenju zapiši kot ulomek. Krajšaj, če je mogoče. b) 3 : 2 c) 7 : 5 e) 4 : 10 f) 88 : 77

4

2

4

15 Zapiši manjkajoča števila.

3

9 Zapiši kot ulomek s celim delom in

a) 1 : 2 d) 10 : 4

4

zapiši kot ulomek.

prikaži ulomke. a) 2 _1

b) Sestavi števila _1 ; 2 _3 ; 4; 2 _1 ; 3 _3 ; 2 in jih

č) 13 : 6 g) 202 : 20

■=4 b) __

3 10 ■ __ d) = 1 __ 4 ■

18 ■ = __ c) 2 __ 7 7 19 ■ __ __ e) 3 = 10

16 Preveri spodnje izjave. Utemelji jih, za napačne izjave pa navedi nasproten primer. a) Vsako naravno število lahko zapišemo

v obliki ulomka. b) Če je števec delitelj imenovalca, ulomek lahko zapišemo kot naravno število. c) Če imata dva ulomka enak imenovalec, je ulomek z večjim števcem upodobljen na številski premici bolj desno.

59


Ulomki

➠ Zapiši ulomek, ki je na številski premici upodobljen: a) čim bolj levo od ena, b) čim bolj desno od ena.

17 Kateri ulomek je večji? Utemelji. 5 11 a) __ ali __ 24 24 1 1 _ _ č) ali 2 4 3 _ __ f) ali 9 4 12 Razmisli Ela pravi: »Če mi poveste dva poljubna ulomka, bom našla enega, ki leži med njima.« Ela le za trenutek pomisli in že pove število.

5 7 b) __ ali __ 12 12 d) _5 ali _2 3 6 2 _ _ g) ali 3 3 4

25

9 4 c) __ ali __ 12 12 e) _1 ali _1 8 6

26 Učiteljica prešteje vse besede in število

18 Prepiši v zvezek in vstavi < ali >. a) _1 ■ 1 2 _ č) 7 ■ 0 8

b) 2 _3 ■ 2 4

d) _6 ■ 1 5

c) 3 _5 ■ 3 6 2 _ e) ■ 2 2

napačno zapisanih besed, da bi lahko ocenila nalogo iz angleščine. a) Izračunaj, kolikšen delež besed je napačno zapisan. b) Kateri učenec ima največji (najmanjši) delež napačno napisanih besed?

19

Med katerima dvema naravnima številoma leži ulomek? 13 a) _5 b) 1 _1 c) 2 _7 č) __ 4 8 4 6

Število vseh besed

15 d) __ 3

Število Delež napačno napačno zapisanih zapisanih besed besed

Sofija

200

7

20 Prepiši v zvezek in vstavi < ali >.

Naja

250

8

5 7 a) __ ■ __

Ivana

140

6

Lena

300

9

12 12 5 1 _ _ č) ■ 6 6

b) _3 ■ _1

4 4 7 11 __ d) ■ __ 12 12

c) _1 ■ _2

3 3 13 13 __ e) ■ __ 15 14

27 Katero naravno število je med danima 21 Prepiši v zvezek in vstavi < ali >. a) _2 ■ _2 3 č) _67 ■

5 6 __ 13

b) _3 ■ _37

4 7 7 d) __ ■ __ 12 11

c) _5 ■ _5 9 6 2 3 e) _ ■ _ 5 5

22

Rok zelo rad fotografira. Na fotoaparatu mora nastavljati čas osvetlitve. Izbira lahko med 1/500 s, 1/250 s, 1/125 s in 1/60 s. Kateri čas mora nastaviti za čim krajši čas osvetlitve?

ulomkoma? a) _1 , 1 _1 2

2

b) _57 , _75

1 11 , 2 __ c) 1 __ 12

12

č) 3 _1 , 2 _1 3

2

28

Razporedi ulomke po velikosti od najmanjšega do največjega. a) _3 , _2 , _5

4 3 8 13 _ 11 , __ č) __ ,3 15 20 5

3 _ 11 , _ b) __ ,7 7 2 6 15 _ d) _9 , __ ,8 4 6 3

c) _47 , _2 , _1 5 2

5 __ e) _5 , __ , 11 3 12 9

29 Primerjaj ulomke. Pred tem jih okrajšaj. 23 Ulomka razširi na skupni imenovalec in primerjaj. a) _3 in _57 4 č) _5 in _7 8 9 4 _ _ f) in 92 3

b) _7 in _2

3 5 5 _ __ d) in 3 11 6 7 __ g) in _45 12

c) _2 in _47 3 e) _9 in _7

8 6 3 2 __ h) in __ 16 15

24 Izračunaj skupni imenovalec, ulomka razširi in ju primerjaj. a) _5 , _3

6 8 __ č) 5 , _7 12 9 15 __ f) __ , 10 27 18

60

3 __ b) __ , 4 10 15 5 __ d) 3 , __ 16 24 13 11 , __ g) __ 20 25

11 c) _7 , __

8 12 10 __ e) 5 , __ 14 21 33 22 , __ h) __ 33 44

10 16 a) __ in __

14 21 9 15 __ ___ č) in 120 64

8 7 b) __ in __ 40 30 8 __ __ d) in 11 18 33

13 15 c) __ in __ 30 26 48 __ __ e) in 14 16 5

30

Prepiši v zvezek in vstavi <, = ali >. Utemelji. 3 4 ■_ a) __

12 9 12 __ __ č) ■ 40 14 35

31

18 b) _2 ■ __ 5 45 27 __ d) ■ _64 18

7 c) __ ■ _5

12 6 36 __ __ e) ■ 30 42 36

Igrajte v paru ali v skupini. Nekdo pove naravno število in reče »večje« ali »manjše«. Ostali povedo ustrezen ulomek.


3.4 Seštevanje in odštevanje ulomkov

■ 3.4 Seštevanje in odštevanje ulomkov Potrebščine za delo v skupini: 1 karton za plakate ali ovojni papir velikosti 50 cm × 70 cm, vsaj 7 listov karirastega papirja, barvice, ravnilo, škarje in lepilo. Priprava: Na spodnji rob kartona za plakate prilepite približno 5 cm širok rob iz karirastega papirja. Pri lepljenju delov traku pazite, da se kvadratki natančno ujemajo. Na trak karirastega papirja narišite 60 cm dolgo številsko premico od 0 do 2. Oznaka 1 torej leži na razdalji 30 cm. Območje med oznakama 0 in 1 predstavlja eno celoto. Območji številske premice od 0 do 1 in od 1 do 2 razdelite na šestdesetine. Za lažje odčitavanje na številsko premico zapišite vrednosti kot sledijo: 5 __ 15 55 65 115 ; 10; __ ; ... ; __ ; 1; __ ; ... ; ___ ; 2 ... 0; __ 60 60 60 60 60 60

Potrebujete še trakove karirastega papirja različnih dolžin. Ti trakovi predstavljajo ulomke na številski premici. Izdelajte trakove s spodaj naštetimi dolžinami, nanje napišite posamezne ulomke in jih pobarvajte z različnimi barvami: 1. trak _12 dolg 15 cm, trak _13 dolg 10 cm, trak _23 dolg 20 cm, trak _14 , trak _15 , trak _16 in trak __ 10

1 Seštejte poljubne ulomke tako, da ustrezne trakove položite drugega za drugim. a) Trakove polagajte na številsko premico tako, da začnete pri 0 in da med njimi ni praznega

prostora. Nato s številske premice odčitajte, do kod seže vaš sestavljeni trak. Če je mogoče, rezultat okrajšajte. b) Seštevek svojih ulomkov zapišite na plakat za trakovi. 1 PRIMER _ 2

+ _23 = _76

To pomeni: Če _12 celote dodamo _23 iste celote, dobimo _76 prvotne celote.

2 Kako lahko uporabite svojo številsko premico pri odštevanju ulomkov? 3 Zakaj s to številsko premico ne morete sešteti delov različnih celot? 4 Zakaj je bila za številsko premico izbrana delitev na šestdesetine? Katero delitev bi morali izbrati, da bi lahko na enak način sešteli in odšteli vse možne trakove z osminami (z devetinami)?

5

Rezultate, zamisli in razmišljanja zberite na plakatu in ga predstavite pred razredom. Razložite težave, ki so se pojavile, in kako ste jih obravnavali.

61


Ulomki

Pravila in primeri Ulomke z enakimi imenovalci seštevamo tako, da števce seštejemo, imenovalce pa ohranimo. Rezultat okrajšamo.

PRIMER 1

5 1 + __ Nejc želi izračunati, koliko je __ in _16 + _14. 12 12 Pomaga si s številsko premico. 1 12

5 12 6 12

0

Pomni Pri seštevanju ulomkov se oba seštevanca nanašata na isto celoto.

Ulomke z različnimi imenovalci moramo pred seštevanjem razširiti na skupni imenovalec.

1

5 6 1 + __ __ = __ = _1 12 12 12 2 1 6

1 4 5 12

0

1

3 5 1+_ 1 = __ 2 + __ _ = __ 6 4 12 12 12

Enako velja tudi za odštevanje ulomkov.

PRIMER 2 3 __ 2−_ _ = 10 3 5 15

9 1 − __ = __ 15 15

Vaje

1 ➠ Dva ulomka želimo sešteti ali odšteti.

5 Izračunaj.

a) Zakaj je priporočljivo, da poiščemo čim

a) _1 + _1

manjši skupni imenovalec? b) Kako lahko najdemo ta čim manjši skupni

5 b) _2 + __

2 3 _ č) 3 + _57 4

c) _2 + _37 3 __ e) 23 − _3

5 10 _ d) 1 − _1 4 8

30

5

imenovalec?

6 Izračunaj. 2 Seštej ulomka. a) _2 + _4 9 9 7 4 č) __ + __ 33 33

12 + __ 22 b) __ 17 17 5 7 d) __ + __ 24 24

5 7 c) __ + __ 18 18 e) _3 + _1 4 4

b) _27 + _3

13 _ a) __ +7 7

8 23 __ __ č) + 4 18 155 20 __ f) __ − 6 35 12

5 5 __ d) + _8 16 9 23 __ g) __ − 17 12 15

15 __ c) __ + 11 24 16 1 _ e) 2 − __ 9 12 7 14 − __ h) __ 25 30

3 Odštej ulomka. a) _8 − _4

9 9 19 __ č) __ − 4 25 25

8 2 b) __ − __ 21 21 18 __ d) __ − 2 11 11

c) _5 − _2

3 3 5 1 e) __ − __ 12 12

7 Izračunaj skupni imenovalec in izračunaj. 9 a) _8 − __

1 b) _5 + ___

5 13 11 __ č) 19 − __ 9 12

4 100 __ d) 49 − _8 42 9

15 _ c) __ +3 14 5 __ e) 7 − _1 15 6

4 Vstavi ustrezen znak (=, ≠). a) _1 + _3 ■ _2 + _3

4 4 5 5 9 5 3 11 c) _7 + _7 ■ _ + __ 8 8 13 _ 11 2 __ _ __ − 9 ■ 4 − 94 d) 9

62

27 __ 17 __ b) __ + 11 ■ __ + 43 13 13 20 20 5 3 2 č) _ − _ ■ _ − _2 4 4 6 6 3 7 _ _ _ e) − ■ 57 − _27 8 8

8 Oglej si spodnje naloge in razmisli, kako jih lahko spretno rešiš. 15 25 12 + __ b) _3 + __ a) __ 16 12 6 10

15 __ c) __ − 3 25

10

16 3 __ 250 ___ 210 12 + __ č) _5 + __ d) _7 − __ − 18 e) ____ + 150 + ___ 6

9

18

8

24

48

1 000

600

280


3.4 Seštevanje in odštevanje ulomkov

9

Računske zidove preriši v zvezek. Dopolni jih tako, da sešteješ ulomka, ki sta na zidakih drug poleg drugega, rezultat pa zapišeš v zidak nad njima. a)

b)

c)

d)

e)

b)

c)

PRIMER 5 6

c) ˇ

10 Dopolni računske zidove. a)

11 Dopolni računske zidove. Rezultate primerjaj s sošolcem. Kaj opaziš? a)

b)

c)

c) ˇ

d)

e)

12 ➠ Dopolni spodnja računska zidova. Kaj opaziš? a)

b)

63


Ulomki

13

Preglednico preriši v zvezek in jo dopolni. Od ulomkov v levem stolpcu odštej ulomke iz zgornje vrstice. 1 __ 6

7 __ 8

16 Like prenesi v zvezek in dopolni prazne kvadrate in kroge. a)

b) 2 7

3 _ 2 19 __ 10 49 ___ 24 11 __ 12 17 __ 9

+

5 b) ■ − _3 = __ 4

12 7 11 __ č) + ■ = __ 10 15 9 __ __ e) − ■ = 13 36 18

+

c) ˇ

1 10

14 Vstavi ustrezne ulomke. + 1 100

1 + 8

+

+ 3 7

c)

14 7 13 3 __ _ c) + ■ = 16 8 6 __ _ d) ■ + = 13 5 10

1 4

+

1 14

3 a) _5 − ■ = __

1 16

9 __ 12

4 __ 9

1

+

+

+ 11 1000

+

2 3 2

+

15

Like preriši v zvezek in dopolni manjkajoče ulomke, tako 1 da sešteješ po dva 2 sosednja kroga 9 3 in rezultat zapiši 4 + 10 + v kvadrate. 1 4

PRIMER

a)

+ 1 4

+ 1 5

+

1 100

2 3 +

1 + 8

+

1 + 2 + 1 3

+ 1 2

17 ➠ Ali najdeš rešitev? Utemelji jo.

1 10 +

e)

0

2 5

+ 13 20

b)

1 3

d)

1

+ 1 1000

+

+

+

2

+ 3

c)

+ 2 8

64

c) ˇ

1 4

+

+ +

4 16

1 9

18 Odštej manjše število od večjega.

1 3

3 a) _57 in __ +

+

1 27

14 č) _7 in _9 4 8 4 f) _7 in _4 9 20 13 __ i) in __ 27 14

b) _7 in _87

8 d) _2 in _3 3 5 9 4 g) __ in __ 15 25 6 10 j) __ in __ 39 26

3 c) __ in _17 14 5 e) _2 in __

12 5 29 4 h) ___ in __ 100 25 49 28 k) __ in __ 72 54


3.4 Seštevanje in odštevanje ulomkov

Seštevanje in odštevanje ulomkov s celim delom Ulomke s celimi deli in ulomki, manjšimi od 1, lahko seštevamo in odštevamo na različne načine. 1. način Seštevamo jih tako, da posebej seštejemo cele dele in posebej ulomke in vsoti združimo.

PRIMER

Rokova mama je za rojstnodnevno zabavo naredila češnjevo sodavico. Kupila je 7 _12 ¬ soka in 5 _14 ¬ slatine.

2. način Najprej jih pretvorimo v ulomke brez celega dela in jih seštejemo. Vsoto ponovno zapišemo s celim delom in ulomkom, manjšim od 1.

a) Koliko litrov pijače lahko pripravi?

Pri odštevanju je najbolje ulomke vedno najprej pretvoriti v ulomke brez celega dela.

b) Koliko pijače ostane, če so jo gostje popili

7 _12 + 5 _14 = 7 + 5 + _12 + _14 = 12 + _24 + _14 = 12 _34 ali 15 __ 30 __ 51 7 _12 + 5 _14 = __ + 21 = __ + 21 = __ = 12 _34 2 4 4 4 4

11 _12 ¬?

51 __ 51 __ 12 _34 − 11 _12 = __ − 23 = __ − 46 = _54 = 1 _14 4 2 4 4

Vaje

1

Družina Božič načrtuje krožno pohodniško turo po Pokljuki. Na zemljevidu pohodniškega vodiča najdejo podatke o trajanju poti. Koliko časa družina Božič hodi, če želi narediti _34 -urni postanek pri Blejski koči in _12 -urni postanek na Rudnem polju? Celotna pot brez postankov sicer traja 4_12 ure.

2 Seštej ulomke s celim delom in ulomkom, manjšim od 1. a) 12 _5 + 9 _1 6

6

č) 8 _4 + 6 _8 9

9

b) 17 _3 + 6 _4

5 5 9 2 __ d) 9 __ + 9 11 11

c) 25 _7 + 13 _5 8

8

5 11 e) 20 __ + 13 __ 14

14

3 Odštej ulomke s celim delom in ulomkom, manjšim od 1. a) 14 _37 − 5 _17 b) 10 _1 − 8 _2 3 3 č) 6 __8 − 4 _2

9 9 7 11 __ f) 21 − 9 __ 12 12

d) 3 _1 − 1_3 4

4 9 7 __ g) 17 − 7 __ 10 10

4 ➠ Na kmetiji molzejo krave. V eni

kanglici je 3 ¬ mleka. Od tega uporabimo 1 _34 ¬ mleka za pripravo kakava, 1 _18 ¬ pa za puding. Je mleka ostalo še za en kozarec?

5 Izračunaj. 3 2 5 č) 21_57 − 7 __ 28 f) 4 _5 − 3 _1 4 6 3 2 _ _ i) 4 + 1 3 5

8 10 d) 8 _5 + 8 _4 9 6 1 _ g) 11 − 2 _2 8 3 7 2 _ j) 30 − 10 __ 10 5

c) 8 _1 − 4 _1 2

2

7 e) 3 __ + 2 _3

10 4 1 2 _ _ h) 4 + 3 2 5 7 11 __ k) 7 − 6 __ 18 12

6 Izračunaj. a) 5 − 2 _1 + 1_1

b) 9 _1 − 1_4 − 5 _1

c) 8 _3 − 3 _1 − 2 _3

3 č) 4 _2 + _3 − 3 __

2

4

11 − 1__ 1 c) 2 __ 12 12 13 4 e) 6 __ − 2 __ 25 25 h) 30 _1 − 5 _2 6 6

3 b) 4 _5 + __

a) 6 _1 + _1

3

8 5 3 7 __ __ d) 15 − 13 + _1 20 10 5 1 11 _ __ f) 28 − 10 − _37 2 14

6

9

5

10 5 3 14 _ __ e) 16 + 12 + _2 5 15 3 5 5 __ g) 25 + 14 _3 − __ 24 8 12 5

65


Ulomki

■ 3.5 Množenje ulomkov z naravnimi števili 1 Tine se vozi z avtobusom v šolo _14 h. Vsak šolski dan se pelje tja in nazaj. Kako časa prebije na poti v enem tednu, ki ima pet šolskih dni?

Ana razmišlja: pet dni se vozi tja in nazaj, torej skupaj desetkrat. Računa: _14 h + _14 h + _14 h + _14 h + _14 h + _14 h + _14 h + _14 h + _14 h + _14 h Jernej računa: 10 · _14 h Lia računa: 2 · 15 min = 30 min, 30 min · 5 = 150 min = 2h 30 min a) Razloži potek reševanja. b) Ali so prišli vsi trije do istega rezultata?

2 Izračunaj __103 · 3 in 4 · _15.

a) Razmisli, kako bi lahko od množencev prišli do rezultata z računanjem z ulomki. b) Preveri svojo domnevo iz naloge a). c) Kako rešiš spodnje naloge?

1 _16 · 5 Izziv Za spodnje naloge nariši podobne risbe in izračunaj: iz treh pekačev pice je vsake dovoljeno pojesti polovico; iz dveh pekačev pice je vsake dovoljeno pojesti 23 .

2

_2 · 3 7

3 _34 · 5

3 Trije otroci gospe Vidmar prihajajo domov na kosilo ob različnih časih. Gospa Vidmar je pripravila dva pekača pice in otrokom dovolila, da lahko vsak od vsake pice poje eno četrtino.

a) Opiši misli treh otrok in primerjaj rezultate. b) Koliko bi dobil vsak, če bi gospa Vidmar pripravila tri pekače pice in bi od vsake pice vsak

otrok pojedel eno četrtino? Tako kot otroci gospe Vidmar tudi ti izračunaj ali nariši na tri različne načine.

4 _23 od 12 je 8, ker ... 0

12

a) Razloži, kako si prišel do rešitve. b) Nariši podobne risbe in izračunaj:

1 _23 od 9

66

2 _14 od 8

3 _13 od 9

4

_2 od 20 5


3.5 Množenje ulomkov z naravnimi števili

Pravila in primeri Množenje ulomka z naravnim številom pomeni tako kot pri množenju naravnih števil skrajšano seštevanje.

PRIMER 1

Jan ima danes 5 ur pouka. Vsaka učna ura traja _34 ure. Koliko časa bo danes pri pouku?

Ulomek pomnožimo z naravnim številom tako, da števec pomnožimo z danim številom, imenovalec pa prepišemo.

5·3 15 5 · _34 h = ___ h = __ h = 3 _34 h 4 4

Ulomek s celim delom in ulomkom, manjšim od 1, pred množenjem pretvorimo v ulomek brez celega dela.

3 · 5 __ = 154 = 3 _34 3 · 1 _14 = 3 · _54 = ___ 4

Zmnožek _ab ∙ n pomeni tudi _ab od n.

PRIMER 2 3 _ od 20 učencev 4

ima doma računalnik. Koliko učencev je to? 60 _3 od 20 = _3 · 20 = __ = 15 4 4 4

Pomni Zakon o zamenjavi za množenje pravi, da lahko množence poljubno zamenjamo. To velja tudi za ulomke (glej str 151).

Vaje

1 Napiši kot zmnožek in izračunaj. PRIMER _15

_1 7 _1 8

a) _17 + +

4 Zmnoži.

+ _15 + _15 + _15 = 4 · _15 = _45

Če je mogoče, predhodno krajšaj. 5 7 a) 14 · __ b) 15 · _56 c) 45 · __ 21 18

_1 7 _1 8

b) _18 + + + _18 + _18 + _18 + _18 3 3 3 3 3 c) __ + __ + __ + __ + __ 10 10 10 10 10

č) _35 + _35 + _35 + _35 + _35 + _35 + _35 4 4 4 4 4 4 4 4 4 d) __ + __ + __ + __ + __ + __ + __ + __ + __ 15 15 15 15 15 15 15 15 15

e) _12 + _12 + _12 + _12 + _12 f) _5 + _5 + _5 + _5 + _5 + _5 + _5 8

8

8

8

8

8

6 č) 12 · __ 10

d) 5 · _34

6 e) 17 · __ 34

f) 10 · _35

3 g) 11 · __ 11

1 h) 15 · __ 30

i) 8 · _49

7 j) 3 · __ 16

5 k) 2 · __ 24

5 Vsaka učna ura traja _34 ure. Koliko časa

so prebili učenci pri pouku? a) Hana ima danes 6 ur pouka. b) Klara ima danes samo 4 ure pouka. c) Mira ima ta teden 30 ur pouka. č) Mark ima ta teden 28 ur pouka.

8

2 Zmnoži. a) 5 · _27

b) 3 · _23

c) 6 · _15

č) 7 · _45

d) 2 · _79

e) 9 · _27

f) 8 · _34

g) 7 · _19

h) 5 · _12

i) 3 · _78

j) 4 · _56

k) 9 · _67

3 Zmnoži. a) _23 · 6

b) _17 · 7

c) _12 · 4

č) _45 · 15

d) _28 · 20

9 e) __ · 30 10

f) _65 · 15

g) _43 · 12

h) _45 · 1

i) _23 · 17

j) _56 · 14

k) _37 · 21

6 Izračunaj. a) 2 · _14

7 b) 36 · __ 12

c) 90 · _45

20 č) __ · 92 23

1 d) __ ·5 10

e) 12 · _49

11 f) 13 · __ 26

19 g) __ · 48 36

27 h) 24 · __ 84

i) _56 · 20

1 j) 27 · __ 36

25 k) 36 · __ 28

67


Ulomki

7

Namig Pri deležih celote pomeni beseda »od« množenje.

Zmnoži. Če je mogoče, predhodno krajšaj. 5 12 11 a) __ ·2 b) __ ·3 c) __ ·2 24 10 25 5 č) __ ·6 14

f) i)

19 __ 34 7 __ 15

7 d) __ · 11 28

· 17

g)

·3

j)

47 __ 46 6 __ 35

15 e) __ ·5 17

· 23

h)

·9

k)

9 __ 25 18 __ 47

· 13

8

4

3·5 15 3 · _5 = ___ = __ = 3 _3 4

4

4

4

a) 3 · 1_12 č) 2 · 1_1

b) 5 · 1_1

4

d) 3 ·

f) 7 · 1_27

g) 9 ·

i) 10 · 3 _23

j) 3 ·

c) 6 · 1_16 e) 4 · 1_3

3 _ 123 1_16 4 _23

4

4

· 25

Zmnoži. Če je mogoče, rezultate zapiši s celim delom in ulomkom, manjšim od 1. PRIMER 3 · 1_1 =

Z množenjem ulomka z naravnim številom si lahko pomagamo tudi pri nalogah tipa »koliko je _ab od n«. _3 od 20 = _3 · 20

h) 8 · k) 4 ·

4 2 _12 5 _25

14 Izračunaj. PRIMER _23 od

16 8 m = _23 · 8 m = __ m = 5 _13 m 3

a) _56 od 24 km

b) _37 od 28 m

c) _23 od 15 ¬

č) _49 od 72 t

d) _45 od 60 kg

e) _58 od 96 km

f) _25 od 15 cm

7 g) __ od 24 m2 87

3 h) __ od 22 m2 11

i) _67 od 14 km2

7 j) __ od 1 m 10

k) _58 od 1 km

15 V 7.a razredu je 27 učencev, med njimi je _49 deklic. Koliko deklic in koliko dečkov je v razredu?

9 Izračunaj. a) 1_23 · 5

b) 1_35 · 3

c) 1_78 · 4

16 _ od 28 učencev 7.b razreda je edincev.

9 č) 1__ ·6 10

d) 2 _16 · 7

e) 3 _17 · 2

Koliko učencev je to?

f) 4 _16 · 4

g) 1_78 · 8

9 h) 1__ ·5 12

i) 2 _23 · 7

j) 3 _16 · 6

k) 4 _19 · 9

10 Množi z 10. a) _12

b) _25

1 c) __ 10

10 č) __ 12

d) 1_45

11 Množi. a) _14 · 10

b) _58 · 100

9 c) __ · 1000 10

č) 1_35 · 100

12 ➠ Primerjaj spodnja načina računanja. 28 = 5 _35 1 4 · 1_25 = 4 · _75 = __ 5 2 4 · 1_25 = 4 · ( 1 + _25 ) = 4 + _85 = 4 + 1_35 = 5 _35

3 7

17 Prepiši v zvezek in dopolni manjkajoče. 9 ■ a) 3 · __ = __ 10 10

2 14 b) ■ · __ = __ 15 15

4 c) 2 · __ = _89 ■

■ č) 4 · __ = _23 6

5 d) __ · ■ = _56 12

1 e) 5 · __ = _12 ■

■ f) 8 · __ = 3 _13 12

g) ■ · _23 = 4

18 _ od 27 učencev 7.a 1 9

razreda se v šolo vozi s kolesom. Koliko učencev je to?

Opiši postopek računanja. Katere računske zakone smo uporabili?

13 Izračunaj na dva različna načina, kot je

19 V 7.b razredu imajo na teden 30 šolskih

prikazano v nalogi 12.

6 teh ur poučuje razredničarka. Koliko ur ur. __ 15 poučuje v svojem razredu?

a) 9 · 2 _45

7 b) 8 · 3 __ 10

c) 4 _12 · 6

č) 2 _38 · 4

Kateri način izračuna ti je lažji in zakaj?

20 __ od 28 učencev 7.b razreda slovenščina 3 14

ni materni jezik. Koliko takšnih otrok je v razredu?

68


3.5 Množenje ulomkov z naravnimi števili

21

Dopolni tako, da bo veljala enakost. Poišči več možnosti. ■ ■ ■ b) 2 · __ = 1 __ a) 3 · __ = 1 _12 15 5 ■ c) _23 · ■ = ■ _13

■ č) __ · ■ = _89 9

2 ■ d) 6 · __ = __ 5 ■

e) 1 _34 · ■ = ■ _12

22 Pomnoži vsak ulomek s 3 (s 7). 3 4 9 20

2 7

7 10

1 8

5 9

1 2 5 6

4 5 5 7

1 1 2 5 12

23 Predstavljaj si, da je bila tvoja sošolka bolna in te prosi, da ji ti razložiš, kako pomnožimo ulomek z naravnim številom. Zapiši razlago v zvezek.

24 Človeški las s premerom __ mm 1 10

raziskujemo pod mikroskopom. Objektiv omogoča 15-kratno povečavo, uporabljeni okular doda še 10-kratno povečavo. Skupaj dobimo torej 150-kratno povečavo. Kolikšen je navidezni premer lasu z mikroskopom?

27 ➠ Vstavi števke 2, 3 in 5 (3, 4 in 9) tako, ■ da bo rezultat čim večji (čim manjši): ■ · __ ■

28 Koliko litrov pijače je v posameznem zaboju? Ponudnik pijač med drugim ponuja spodaj naštete zaboje. 7 a) mineralno vodo v 12 plastenkah po __ ¬ 10 b) limonado v 24 plastenkah po _13 ¬ c) kokakolo v 12 plastenkah po 1 _12 ¬ č) vodo v 10 plastenkah po _34 ¬ 2 d) jabolčni sok v 12 plastenkah po __ ¬ 10 8 e) pomarančni sok v 8 plastenkah po __ ¬ 10

29 Zvok prepotuje v eni sekundi približno _13 km, svetloba pa približno milijonkrat več. Denis je ugotovil, da je od tedaj, ko je zaznal blisk, pa do tedaj, ko je zaslišal grom, preteklo sedem sekund. Kako naj izračuna, kako daleč je nevihta?

30 Za spodnje naloge si izmisli ustrezne računske zgodbice in jih reši. (Namig: uporabi določen delež oziroma število učencev, ki imajo izbrano lastnost) 3 a) _13 od 30 b) dvakrat __ 10 c) _34 od 1092

č) _78 od 24

31 V Sloveniji živi okoli 2 milijona ljudi. 7 izmed njih je mlajših od 15 let; Približno __ 50 _1 jih živi v glavnem mestu in vsak peti ni 8 slovenske narodnosti. V zapisu nadomesti ulomke z ustreznim številom oseb.

Namig Najprej izračunaj velikost slike lasu po povečavi skozi objektiv, nato pa še dodatno povečavo skozi okular.

32 Tekstilna trgovina praznuje jubilej in zato ponuja vse izdelke po _14 nižji ceni. Kavbojke so pred tem stale 48 €. Koliko stanejo zdaj?

25 Pod mikroskopom opazujemo paramecij dolžine _15 mm. Objektiv tega mikroskopa ima 25-kratno povečavo, okular pa poveča še za 10-krat. Izračunaj, kako velik paramecij vidimo.

26 ➠ Naja pravi: »Razširjanje z 2 je isto kot množenje z 2.« Pojasni Naji, zakaj nima prav.

69


Ulomki

■ 3.6 Množenje ulomkov 1 Marija pravi: »Nisem tako zelo lačna. Zmogla bom le polovico od polovice hlebčka.« Njen oče se nasmehne in jo vpraša: »Kako bi lahko rekli drugače?« Marija pravi: »Polovica od polovice hlebčka je četrtina hlebčka, torej _12 · _12 = _14.« Ali to drži? Utemelji.

2 Luka praznuje rojstni dan. Vpraša: »Kdo bi še torto?« »Jaz,« hkrati zakličejo Patrik, Sara in Larisa. »Prav, torej bo vsak prejel tretjino kosa, ki je ostal.« »In koliko je tretjina od četrtine?« vpraša Patrik. 1 a) Razloži s pomočjo risb ali računa, zakaj je rešitev __ . 12 b) Za spodnje naloge nariši podobne skice in izračunaj: _1 od _1 , _2 od _4 , _2 od _3 2 4 3 4 5 5 2 4 2 4 8 PRIMER _3 od _5 celote = _3 · _5 iste celote = __ iste celote 15 1 4

0

1 4

1 2 1 1 1 · = 3 4 12

1 3

3 Reši spodnje naloge. Kaj opaziš? Po potrebi logično nadaljuj. a) 4 · _12

b) 12 · _12

c) 10 · _25

2 · _12

6 · _12

5 · _25

1 · _12

3 · _12

2 _12 · _25

_1 · _1

1_12 · _12

1_14 · _25

·

_3 · _1

_5 · _2

·

5 _ __ ·2

2 _1 4 _1 8

Izziv Koliko vode je v merilnem vrču, če je do 2/3 napolnjen z vodo?

·

2 _1 2 _1 2

4 _3 8

8

16

4 Za to nalogo potrebuješ merilni vrč s prostornino _ ¬.

Napolni ga do _34 celotne prostornine. a) Kako bi to lahko naredili? b) Koliko litrov vode bo v merilnem vrču? c) Napiši številski izraz.

5 Izračunaj __ · __ in __ · __. 3 10

7 10

9 10

3 10

a) Razmisli, kako si dobil rezultat. b) Preveri domnevo iz naloge a). c) Kako rešiš te naloge?

1 _14 · _23

70

2 _1 2

2

_1 · _3 2

8

3

3 _2 · __ 5

11

1 2

5 5

1


3.6 Množenje ulomkov

Pravila in primeri Ulomke množimo tako, da števec pomnožimo s števcem in imenovalec z imenovalcem.

Račun lahko poenostavimo tako, da ulomke pred množenjem krajšamo. Ulomke s celim delom in ulomkom, manjšim od 1, pred množenjem pretvorimo v ulomke brez celega dela.

PRIMER 1 3 učencev _ 5

7.a razreda je deklic, _23 jih ima mobilni telefon. Kolikšen delež vseh učencev je to? 3·2 6 _2 od _3 = _3 · _2 = ___ = __ = _25 3 5 5 3 5·3 15

2 učencev 7.a razreda je deklic _ 5

z mobilnikom. PRIMER 2 4 _ __ · 5 = _1 · _5 12

8

3

8

1·5 5 = ___ = __ 3·8 24

1·5 _1 · 1_1 = _1 · _5 = ___ = _5 2

4

2

4

2·4

8

Vaje

1

Preriši pravokotnike v zvezek in reši z risanjem. Razmisli, kaj je v posameznem primeru celota. PRIMER

_1 od _1 = _1 · _1 = _1 2

3

2

3

6

a) _12 od _34

3 Izračunaj zmnožke. Predhodno krajšaj. 2 3 2 3 1 PRIMER _9 · _4 = _9 · _4 = _6

a) _52 · _35

b) _52 · _53

12 _ c) __ ·5 13 6

12 _ č) __ ·6 13 5

8 _ d) __ ·7 21 2

28 _ e) __ ·2 16 7

16 _ f) __ ·3 17 4

16 _ g) __ ·4 17 3

h) _26 · _89

2 _ i) __ ·9 15 8

12 __ j) __ · 15 10 16

12 __ k) __ · 16 10 15

l) _34 · _43

m) _32 · _56

n) _16 · _61

o) _41 · _14

4 Prepiši preglednico v zvezek. Izračunaj. b) _1 od _3 3

4

·

_3

_4

_5

_7

9 __

4

5

6

8

10

_1 2

_1 4

c) _12 od _15

_1 8

_4 5

_2

č) _14 od _35

5

5 Ostala je še _ torte. 1 4

a) Val in Nejc dobita vsak _12 .

2 Izračunaj zmnožek. a) _79 · _13

b) _25 · _37

c) _38 · _17

č) _16 · _15

9 _ d) __ ·2 13 5

5 _ e) __ ·2 12 3

9 __ f) __ · 7 10 10

11 _ g) __ ·4 15 9

h) _56 · _78

Kolikšen del celotne torte dobi vsak od njiju? b) Zara, Polona in Živa dobijo vsaka po _13 . Kolikšen del celotne torte dobi vsaka izmed njih?

Pomni Tako kot za množenje naravnih števil velja tudi za množenje ulomkov (glej str. 151): – zakon o zamenjavi: množence lahko poljubno zamenjamo; – zakon o združevanju: množence lahko poljubno združujemo; – zakon o razčlenjevanju: število lahko množimo z vsoto tako, da ga množimo z vsakim seštevancem posebej.

71


Ulomki

Rešitev naloge 7. 14 _61 A 3 3 __ K 10

7 15 __ K 12

6

11 Pred računanjem zaokroži in oceni

a) _29 · _35

b) _34 · _85

c) _34 · _78

rezultat. a) 4 _56 · 2 _45

č) _25 · _16

d) _23 · _35

11 __ e) __ · 6 24 13

15 __ f) __ · 32 16 60

12 _ g) __ ·1

5 __ h) __ · 9

Kateri zmnožek je največji in kateri najmanjši? Preveri z izračunom.

14 __ i) __ · 21 15 28

25 __ j) __ · 49 28 50

69 __ k) __ · 35 70 39

12 Na šoli Gornje Dole _ učencev

Izračunaj zmnožek. Če je mogoče, krajšaj že pred množenjem.

17

9

18

10

7 Izračunaj. Posameznim nalogam dodeli

32 _51 A 16 _45 T 13 21 __ L 56

5 18 __ I 12

rešitve na robu. Če bereš od zadaj naprej, dobiš geslo. a) 2 _12 · 3 _14

b) 3 _25 · 4 _16

c) 4 _17 · 5 _18

č) 5 _23 · 2 _34

d) 7 _23 · 4 _15

e) 8 _12 · 9 _13

f) 3 _34 · 3 _35

g) 6 _25 · 2 _58

h) 4 _13 · 4 _14

i) 5 _27 · 3 _13

j) 1 _38 ·2 _25

k) 9 _12 · 3 _45

13 _21 I

8 Prepiši v zvezek in dopolni prazna mesta. 1 36 __ S 10

8 _81 D 79 _31 Z 13 17 __ R 21

6 ■ a) _27 · __ = __ 5 35

■ b) _23 · __ = _16 4

■ __ c) __ · 4 = _29 6 15

3 _ 1 č) __ · 2 = __ 12 ■ 9

■ _ e) 1 __ · 5 = 1 _12 5 6

3 d) 1 _23 · __ = 1 _14 ■

c) 8 _29 · 7 _37

2 5

v 6. razredu izbere drugi tuji jezik. Tretjina teh učencev v 8. razredu izbere tretji tuji jezik. a) Kolikšen je delež učencev, ki se učijo treh tujih jezikov? b) V vsakem letniku je 120 učenk in učencev. Koliko se jih uči en, dva oziroma tri tuje jezike?

13 Polovica ljudi, ki živi v Sloveniji, je lansko leto odpotovala na počitnice. V Sloveniji jih je dopustovala _17 . a) Kolikšen del vseh Slovencev je lani dopustoval doma? b) V Sloveniji živi približno 2 milijona ljudi. Koliko Slovencev je dopustovalo doma?

9 Zamenjaj x z ustreznim številom.

14 V podjetju RetroFoto fotografskim

6 a) _35 · _3x = __ 15

2 b) _1x · _29 = __ 36

8 c) _3x · _25 = __ 15

23 č) _78 · _9x = 1 __ 40

6 d) _63 · _7x = __ 21

e) _5x ·1 _18 = 5 _58

zanesenjakom omogočajo razvijanje črnobelih fotografij. V ta namen potrebujejo razvijalno, prekinjevalno in fiksirno tekočino. Za razvijanje filma potrebujejo _15 litrov razvijalca. Danes morajo razviti 7 filmov. Koliko litrov razvijalca potrebujejo?

10 Podani ulomek zapiši kot zmnožek dveh ulomkov. Primerjaj svojo rešitev s sošolcem.

72

b) 5 _38 · 3 _47

12 a) __ 27

18 b) __ 21

49 c) __ 54

36 č) __ 75

32 d) __ 45

98 e) ___ 144

81 f) __ 85

47 g) ___ 100

27 h) __ 32

84 i) __ 96

96 j) ___ 210

53 k) __ 77

46 l) __ 60

75 m) __ 69

18 n) ___ 102

33 o) ___ 132


3.6 Množenje ulomkov

15 Gozdno mravljo dolžine 5 _ mm

18 Pretvori ulomke s celim delom in

opazujemo skozi lupo s a) 3 _12 -kratno b) 4 _34 -kratno povečavo. Izračunaj navidezno velikost mravlje.

ulomkom, manjšim od 1, v ulomke brez celega dela in izračunaj. a) 3 _12 ∙ _45 b) 2 _13 ∙ _47 c) 1_34 · _25

1 2

č) 5 _23 · 2_34

d) 7 _23 · 4 _15

e) 8 _12 ∙ 9 _13

f) 3 _34 · 3 _35

g) 6 _25 · 2 _58

h) 4 _13 ∙ 4 _14

Izziv Kolikšna bi bila tvoja navidezna višina, če bi te opazovali skozi povečevalno steklo s 3 1/2 -kratno povečavo?

19

učencev mobilnik. _13 izmed njih mora sama plačevati naročnino. Kolikšen del učenk in učencev 7.b razreda z mobilnikom plačuje prispevke?

Reši računsko in z risanjem. Primerjajte med seboj ... a) ena polovica in ena tretjina druge polovice b) dve tretjini ene polovice in ena tretjina druge polovice c) ena četrtina in dve tretjini preostalih treh četrtin č) dve petini in tri četrtine preostalih treh petin d) ena četrtina od petih šestin in ena četrtina preostale šestine.

17

20 Lara potrebuje 135 € za ekskurzijo.

16 V 7.b razredu ima _ vseh učenk in 4 5

Prepiši preglednico v zvezek in izračunaj zmnožke. · _2 9

_3

_1

_4

__7

8 __

3

5

11

15

Doslej je zbrala že _35 zneska. Koliko denarja ji še manjka, da bo lahko plačala ekskurzijo?

21 Dopolni tako, da bo veljala enakost.

8

Zapiši več različnih možnosti.

6 __ 13

4 4 __ a) __ ∙ ■ = __ ■ ■ 9

_4 7

8 ■ č) __ ∙ 17 = __ ■ ■

21 7 __ b) __ ∙ ■ = __ ■ ■ 8

■ ■ __ d) __ ∙ 13 = __ ■ 11 20

10 ■ __ c) __ ∙ 5 = __ ■ ■ 12 ■ ■ __ e) __ ∙ 9 = __ ■ 17 ■

1_21 2 _43 5 _21

73


Ulomki

■ 3.7 Deljenje ulomkov 1 Odgovori na vprašanja na podlagi risb. a) Kolikokrat gre _12 celote v 2 celoti?

b) Kolikokrat gre _13 v 2?

c) Kolikokrat gresta _23 celote v 4 celote?

č) Kolikokrat gre _13 v 2 _13 ?

2 Reši nalogi s pomočjo risb. a)

b) 3 4

0 3 4

Izziv Reši kot v nalogi 1 ali 2.

1

2 3

0 2 3

:2

1

:4

3 Potrebščine: merilni vrč z oznakami _14 ¬, _12 ¬, _34 ¬ in 1¬, plastenka s prostornino 1_12 ¬, 7 ¬, plastenka (ali buteljka za vino) s prostornino __ 10 3 1 _ ¬ (30 c¬) in _12 ¬ (50 c¬). kozarci z oznakami (oznake naredite sami) 5 ¬ (20 c¬), _14 ¬ (25 c¬), __ 10 a) V merilni vrč nalijte 1 ¬ vode. Nato vodo razdelite v kozarce s prostornino _15 ¬.

Koliko kozarcev lahko napolnite? Zapišite ustrezni izraz. b) V merilnem vrču je _34 ¬ vode. Koliko _14 -litrskih kozarcev lahko napolnite z njo? Oblikuj ustrezni številski izraz z deljenjem. c) V plastenki je 1_12 ¬ vode. Koliko kozarcev po _12 ¬ lahko napolnite z njo? Oblikuj ustrezni izraz z deljenjem. č) Izvedi še druge eksperimente s polnjenjem ter si čim bolj natančno zapiši naloge in rezultate. Namig Obratni računski operaciji za 8 · 3 = 24 sta 24 : 8 = 3 in 24 : 3 = 8.

74

4 Izračunaj _ · _ in _ · _. 2 5

3 7

2 3

1 2

a) Napiši številska izraza z deljenjem, ki sodita h gornjima številskima izrazoma z množenjem.

Razmisli, kako iz deljenca in delitelja pridemo do količnika. b) Oblikuj domnevo v obliki pravila, kako delimo ulomke. Preveri svojo domnevo na primeru

1 _12 : _12 . Ali tvoja domneva v tem primeru drži?


3.7 Deljenje ulomkov

Pravila in primeri Ulomek delimo z naravnim številom tako, da imenovalec množimo z danim številom, števec pa prepišemo.

Z ulomkom delimo tako, da množimo z njegovo obratno vrednostjo.

PRIMER 1 _5 : _2 = _5 · _5 6

Obratno vrednost ulomka dobimo tako, da med seboj zamenjamo števec in imenovalec. Obratna vrednost ulomka _25 je _52 , obratna vrednost ulomka _14 je 4, obratna vrednost števila 3 je _13.

6

5

2

Pomni Ulomek s celim delom in ulomkom, manjšim od 1, najprej pretvorimo v ulomek brez celega dela, šele nato mu poiščemo obratno vrednost.

1 25 = __ = 2 __ 12 12

PRIMER 2

V plastenki je1 _12 ¬ vode. Koliko kozarcev s prostornino _25 ¬ lahko napolniš? 15 1 _12 : _25 = _32 : _25 = _32 · _52 = __ = 3 _34 4

Vaje

5 Deli z 10.

1 Tvori obratno vrednost. a) _23 d) h)

b) _14

_5 9 _4 7

e) i)

l) 1 _12

c) _58

_4 5 9 __ 14

f) j)

2 _1

m)

n)

4

č) _78

5 __ 12 17 __ 35 3 _35

g) k) o)

a) _12

_3 7 21 __ 25 5 _47

b) _14 : 2

1 c) __ :4 10

č) _23

d) 1 _25

6 Deli. a) _34 : 10

b) _78 : 100

9 c) __ : 1000 č) 2 _12 : 100 10

2 Deli vrednosti v stolpcih z vrednostmi

7 Deli.

v vrsticah. 1 2 PRIMER 3 : _2 = 3 ∙ _1 = 6

a) _12 : _34

9 b) _38 : __ 10

c) _14 : _78

č) _23 : _49

5 d) _56 : __ 12

10 e) _45 : __ 11

f) _37 : _73

3 _ g) __ :5 12 6

h) _23 : _13

i) _58 : _18

j) _18 : _14

k) _34 : _12

:

_1

_1

_1

_1

_2

_3

_4

2

3

4

5

3

4

5

2

4 6

6

3

Namig Če imaš težave z deljenjem, raje množi z obratno vrednostjo.

8 Deli. Upoštevaj: vsako naravno število lahko zapišemo kot ulomek, npr. z imenovalcem 1, kot na primer 5 = _51 .

4 6 8

3 PRIMER _4

9

3 Izračunaj. a) 400 : _36

5 b) 560 : __ 15

c) 728 : _28

č) 124 : _46

d) 312 : _23

4 e) 901 : __ 12

8 f) 804 : __ 10

g) 405 : _17

h) 120 : _68

b) _23 : 2

8 c) __ :4 10

3 : 5 = _34 : _51 = _34 · _15 = __ 20

a) _34 : 5

b) _56 : 10

c) _29 : 6

č) _57 : 15

3 d) __ : 18 10

e) _78 : 35

f) _13 : 2

g) _38 : 5

h) _25 : 7

i) _59 : 3

j) _56 : 9

k) _18 : 16

9 ➠ Ali imamo obratno vrednost za

4 Deli in krajšaj, če je mogoče. a) _12 : 2

Namig Ulomke lahko zamenjamo tudi z decimalnimi števili, ki jih nato delimo.

č) 2 _37 : 6

število 0? Utemelji.

75


Ulomki

10 Deli in krajšaj, če je mogoče.

16 Nadomesti x z ustreznim številom.

4 2 PRIMER _5 : _3

PRIMER

= _45 · _32 = _65 = 1 _15

:

_4 5

3

_4

1

1 _15

5

_2

_1

_3

_1

_1

2

8

3

4

_2 3

x : _12 = 18, x · _21 = 18; 9 · _21 = 18

a) x : _13 = 27

b) x : _16 = 30

c) x : _17 = 42

č) x : _15 = 25

d) x : _18 = 40

e) x : _19 = 45

5 f) _1x : _13 = __ 12

9 g) _1x : _89 = __ 16

21 h) _3x : _67 = __ 30

_1 2

_3

17 Primerjaj.

8

_1 3

_1 4

_2

a) 14 : _34 in 14 : _43

b) 18 : _56 in 18 : _65

c) 24 : _35 in 24 : _53

č) 10 : _78 in 10 : _87

9 3 __

18 Reši pare v nalogah in primerjaj rezultate.

13

➠ Pojasni razliko med deljenjem ulomka z naravnim številom in krajšanjem ulomka.

11

Razmisli Mia pravi: »Deljenje s 3 in množenje z 1/3 privedeta do istega rezultata.« Na nekaj primerih preveri, ali ima Mia prav.

1 a) _18 : 4 = ■ in _18 : __ =■ 32

b) _25 : _23 = ■ in _25 : _35 = ■ c) 3 : _12 = ■ in 3 : ■ = _12

12 Spremeni ulomke s celim delom in

č) _38 : _12 = ■ in _38 : ■ = _12

ulomkom, manjšim od 1, v ulomke brez celega dela in izračunaj. a) _12 : 1_14 b) _23 : 1_56 c) _35 : 2_41

d) _34 : ■ = 2 in _34 : 2 = ■

č) _57 : 7 _12

d) _58 : 3 _34

e) _29 : 1_13

f) 2 _12 : 1_14

1 g) 1_13 : 1__ 10

h) 2 _13 : 1_34

i) 2 _23 : 2 _16

j) 5 _34 : 2 _38

k) 1_12 : 2 _14

13 V zvezku dopolni množilna zidova. 3 20

2 15

3 10

1 3 2 3

2 3

e) 1_12 : ■ = 2 _14 in 1_12 : 2 _14 = ■

19 Gospod Kovačič je pridelal 13 _ ¬ 1 2

jabolčnega in 4 _15 ¬ češnjevega soka. Jabolčni sok želi naliti v _34 -litrske steklenice, 7 -litrske steklenice. češnjevega pa v __ 10

Koliko steklenic potrebuje za posamezno vrsto soka?

20

Kanalizacijsko napeljavo dolžine 9 m želimo položiti s _34 m dolgimi glinenimi cevmi. Koliko cevi potrebujemo?

14 Izračunaj in okrajšaj. a) _34 : _38

b) _27 : _59

9 __ c) __ : 3 14 10

č) _78 : _18

d) _35 : _25

6 e) _47 : __ 11

3 _ f) __ :5 10 9

8 __ g) __ : 7 11 11

4 h) _16 : __ 15

15 Prepiši v zvezek in dopolni.

8 ■ b) _25 : __ = __ 4 15

21 Poišči pravilo, po katerem je tvorjen

■ c) _56 : __ = 1_19 4 14 d) __7 : __ = _5

■ _ č) __ : 3 = _56 8 4 e) 1_1 : __7 = 3

64 __ 16 __ 4 , ■, ■ a) __ , 32 , __ , 8 , __

f)

g)

3 5 a) _14 : __ = __ 12 ■

76

8 ■ 15 5 21 _3 : __ __ =■ 8 ■

6 2 _25

■ ■ : __ 15

=9

številski vzorec, in nadaljuj niz. 80 80 80 80 80

1 , __ 1 , __ 1 , ■, ■ b) _1 , _1 , __ 3 6 12 24 48


Ulomki

Utrdi svoje znanje 1 Zapiši del lika, ki je obarvan rdeče. a)

oziroma rumeno?

b)

c) ˇ

c)

6 Kolikšen del lika je pobarvan rdeče a)

b)

c)

c) ˇ

d)

e)

f)

e) d)

7 Za vsak ulomek nariši daljico dolžine 8 cm.

Izziv Oceni delež vsake barve glede na celotno površino. Primerjajte rezultate.

Pobarvaj navedeni delež daljice.

2 Zapiši del daljice, ki je označen z rdečo. a) c)

2

b) c) ˇ

b) _1 4

c) _5 8

7 č) __ 16

8

3

Kolikšen del lika je pobarvan rdeče (modro)? a)

a) _1

Za vsak ulomek nariši pravokotnik s stranicama a = 4 cm in b = 5 cm. Pobarvaj naslednje dele lika: a) _1 2

b)

b) _3 4

c) _2 5

č) _3

7 d) __

8

10

9 Ali so pobarvani deli lika oz. daljice zapisani s pravilnim ulomkom? Utemelji. c)

a)

c) ˇ

4 Zapiši del lika, ki je pobarvan rdeče. a)

b)

c)

b)

1 5

1 4

c) ˇ

c) 1 6

1 5

10 Za vsak ulomek nariši pravokotnik s stranicama a = 3 cm in b = 7 cm. Pobarvaj naslednje dele lika.

5 Nariši navedene dolžine. a) Nariši daljico, dolgo 7 cm. Razdeli jo 1 _ 7

na sedem enakih delov. Označi celotne dolžine. b) Nariši daljico, dolgo 10 cm. Razdeli jo na 1 celotne dolžideset enakih delov. Označi __ 10 3 __ ne z rdečo in 10 celotne dolžine z modro.

a) _1 3

b) _2 7

9 c) __ 14

č) _5 6

11 Babica je Eli za rojstni dan podarila 25 evrov. Ela 4 evre porabi za sladkarije. Z _23 preostalega denarja kupi še lopar za namizni tenis. Koliko je Ela plačala za lopar?

77


Ulomki

12 ➠ Nariši miselni vzorec na temo

18 Računska zidova preriši v zvezek.

»Ulomki«, ki zajema vse, kar veš o ulomkih. Predstavi ga sošolcem.

Dopolni ju tako, da sešteješ ulomka sosednjih zidakov in rezultat zapišeš v zidak nad njima. a)

13 Pojasni spodnje slike.

b)

a)

b)

19

Računske trikotnike preriši v zvezek. Dopolni jih tako, da na stranicah sešteješ ulomke sosednjih oglišč in rezultat zapišeš v ustrezen kvadrat. a)

c)

b)

1 13 +

+

14 Kateri ulomki so po velikosti enaki?

1 36

+

+

1 34

+

40 _ 20 __ 4,_ 1, _ 2 , __ 2,_ 1, _ 3 , ___ 4 , __ __ , 3, __ , 10 24 3 6 12 6 8 240 9 12 60 30

0,7

+

6 8

5 12

15 ➠ Primerjaj ulomke. a) _13 ■ _13

4 ■_ 4 b) __ 10 5

c) _26 ■ _28

č) _57 ■ _59

20 Poenostavi, kot kaže primer.

16 Dopolni stavka. a) Če imata dva ulomka enak števec, je večji

tisti ...

44 PRIMER __ 99 79 a) ___ 101 __ č) 21 79 19 f) ___ 379

40 =⋅ ___ = _2 100 5 149 c) ___

51 b) ___ 100 ___ d) 202 301 31 g) ___ 620

199 ____ e) 498 1003 61 h) ___ 304

b) Če imata dva ulomka enak imenovalec,

21 Računske zidove preriši v zvezek.

je večji tisti ...

17 Kateri ulomki sodijo k rdečim oznakam

Dopolni jih tako, da množiš ulomke sosednjih zidakov in rezultat zapišeš v zidak nad njimi.

na številski premici? Zapiši z ulomkom in z desetiškim ulomkom. A

B

C

D

1 40 3 4

E 3

0

78

1

1 2

2 3

3 4

4 5

4


Ulomki

➠ Rebeka pravi: »Vedno ko ulomek množim z njegovo obratno vrednostjo, dobim rezultat 1.« Suzana pravi, da dobimo 1, če ulomek delimo z njegovo obratno vrednostjo. Domen pa nasprotno pravi: »Ne, če ulomek seštejemo z njegovo obratno vrednostjo, dobimo rezultat 1.« Kdo ima prav? Najprej sami razmislite, kako bi to utemeljili. Nato se posvetujte s sošolcem, kasneje pa razpravljajte o tem še v razredu.

22

➠ Pri množenju in deljenju naravnih števil med drugim veljajo spodaj našteta pravila: 1 Če število množimo z 0, je vrednost zmnožka prav tako 0. 2 Zmnožek je vedno (razen množenja z 0 in 1) večji od množiteljev. 3 Če število delimo z 1, je delitelj tudi vrednost količnika. Vrednost količnika je vedno (razen deljenja 4 z 1) manjša od delitelja. a) Prikaži s primeri, da so izjave za naravna števila pravilne. b) Katere lastnosti veljajo tudi za množenje ali deljenje ulomkov?

23

24 Tinkara na tržnici kupi _ kilograma 1 2

jabolk, _14 kg grozdja, eno glavo solate z maso _3 kg in 1_1 kg krompirja. Poleg tega kupi 5 2 3 banan takoj poje. še _1 kg banan, vendar __ 2

10

Koliko tehta hrana, ki jo odnese s tržnice?

25 Na Tour de France kolesarji prevozijo vsega skupaj 3656 km. _25 poti so prekolesarili 8 v drugem, preostalo pot v prvem tednu, __ 25 pa v tretjem tednu. a) Kolikšen delež so prevozili v tretjem tednu? b) Vse deleže zapiši v odstotkih. c) Izračunaj prevoženo pot za prvi, drugi in tretji teden.

26 Podano količino slatine želimo pravično razdeliti med šest otrok. Koliko litrov dobi vsak otrok? a) 1_12 ¬ b) 2 _34 ¬ c) 3 _14 ¬

27 ➠ Lea šteje več kot 13 in manj kot 18 let. Leina babica je 4 _34 -krat starejša kot Lea. a) Koliko sta stari (veljajo samo cela leta)? 1 b) Kuža Fifi je star __ babičine starosti. 19 Koliko je star Fifi?

28 Tekač na stadionski tekaški progi preskuša števec korakov. Po 3750 m kaže 5000 korakov. a) Določi dolžino enega koraka. b) Dolžina Petrovega koraka znaša _35 m. Koliko korakov bo prikazal števec korakov pri tej nastavitvi čez 3750 m? c) Primerjaj tekačevo število korakov s Petrovim številom korakov pri teku na 3000 m.

29 Mija in Jon se odpravita na 18 km pohod. Koliko korakov naredi vsak, če Mijina povprečna dolžina koraka znaša _45 m in Jonova _56 m?

30

Karat je merska enota za drage kamne in bisere. 1 karat ustreza masi _15 grama. Diamanti prstana na sliki imajo skupno maso _12 karata. a) Izračunaj maso diamantov v g. b) Koliko karatov ima eden od 8 enakih diamantov?

31

Na obesku verižice so obdelali 9 1 karata in 1 diamant ___ karata. 6 diamantov __ 100 50 a) Izračunaj celotno maso diamantov v karatih. b) Izračunaj maso diamantov v g.

32 Ogrevalna naprava v večdružinski hiši porabi povprečno 28 _14 ¬ kurilnega olja na dan. V cisterni je 2825 ¬ kurilnega olja. V koliko dneh porabimo kurilno olje?

33 Nina prečka 18 m široko križišče v 12 s. a) Koliko metrov prehodi v eni sekundi? b) Koliko sekund potrebuje Domen, ki hodi 11 m na sekundo? s hitrostjo __ 4

79


Ulomki

Povzetek Ulomki kot delež celote Enake dele iste celote lahko predstavimo z ulomki.

Za ulomke s celim delom in ulomkom, manjšim od 1, ponekod zasledimo izraz mešano število.

Imenovalec ulomka pove, na koliko enako velikih delov je bila razdeljena celota. Števec ulomka pove, koliko od teh delov smo vzeli. Ulomke, katerih števec je večji od imenovalca, lahko zapišemo s celim delom in ulomkom, manjšim od 1.

1 2

1 3

1 8

9 ____ _ = 8 +4 1 = 2 _14 4

Razširjanje in krajšanje ulomkov Razširjanje ulomka pomeni, da števec in imenovalec ulomka pomnožimo z istim naravnim številom.

2 = ____ 2·2 =_ 4 _ 3 3·2 6

Krajšanje ulomka pomeni, da števec in imenovalec ulomka delimo z istim naravnim številom. Ulomek je okrajšan, če sta imenovalec in števec tuji si števili.

12 : 3 _ 12 = ____ __ =4 15 15 : 3 5

Primerjanje in urejanje ulomkov Ulomke primerjamo tako, da jih najprej razširimo na skupni imenovalec, nato primerjamo števce. Večji je tisti, ki ima večji števec.

3 _ 1=_ 2<_ _ =1 3 6 6 2

Seštevanje in odštevanje ulomkov Ulomke s celim delom in ulomkom, manjšim od 1, seštevamo ali odštevamo ter množimo in delimo tako, da jih najprej zapišemo brez celega dela in jih nato seštejemo ali odštejemo oziroma množimo ali delimo.

80

Ulomke seštevamo oziroma odštevamo tako, da jih najprej razširimo na skupni imenovalec. Nato števce seštejemo oziroma odštejemo, imenovalec pa prepišemo.

9 3+_ 5 = __ 10 = __ 19 = 1 _ 7 _ + __ 4 6 12 12 12 4

Množenje in deljenje ulomkov Ulomek množimo tako, da pomnožimo števec s števcem in imenovalec z imenovalcem.

2 ·3 6 _2 · _3 = ___ = __ = _12 3 4 3 ·4 12

Ulomek delimo z ulomkom tako, da ga pomnožimo obratno vrednostjo drugega ulomka.

2·4 _2 : _3 = _2 · _4 = ___ = _8 3

4

3

3

3·3

9


Ulomki

Preveri svoje znanje!

A

B

1 Oglej si zastavo na sliki in izmeri širine barvnih trakov. (4 T) a) Določi deleže posameznih barv. b) Zastavo nariši tako, da bodo vsi barvni trakovi imeli enake ploščine.

2 Zapiši manjkajoče števce oziroma imenovalce. (4 T) ■ a) _1 = __

5 10 21 _ č) 3 = __ 4 ■ 66 ■ = __ f) __ 7 77

5 1 b) __ = __

15 ■ ■ _ d) 2 = __ 9 81 5 ___ g) __ = 60 ■ 144

16 ■ = __ c) __ 3 24 49 7 _ e) = __ 8 ■

18 __ a) __ =■

24 4 11 ___ č) 132 = __ 180 ■ 58 2 f) __ = ■ __ 6 ■

2 = __ 12 b) __

■ 30 ■ __ d) 17 = ■ __ 5 5 108 1 __ g) ___ = ■ 48 ■

49 __ c) __ =7

Kako mi gre? 0–9 točk – ojoj, morda potrebuješ pomoč 10–12 točk – tole je komaj zadosti, še vadi! 13–15 točk – ni slabo, zmoreš še več? 16–17 točk – zelo dobro 18–20 točk – odlično!!

63 ■ 3 __ e) 14 = ■ __ 8 ■

3 Seštej oziroma odštej ulomke. Rezultat okrajšaj, če je mogoče. (4 T) a) _1 + _2

b) _1 + _2

6 6 _ c) 3 – _1 5 3

4

a) _3 + _1

8

č) 1 _2 + _1 3

b) _1 + _2

8 8 _ c) 2 – _1 3 5

4

3

6

č) 1 _1 + _1 4

3

4 Zmnoži oziroma deli. (4 T) a) 3 · _2

3 _ d) 5 : 2 3

b) _1 · 2

6 1 _ e) : 2 2

c) _1 · _2

4 5 6 __ f) 3 : __ 14 17

č) 1 _1 : 2 _2

2 3 2 _ g) 1 : 2 _1 3 4

a) 4 · _3

4 _ d) 4 : 3 4

b) _1 · 2 4 3 _ e) : 3 4

c) _1 · _3

3 4 4 _ f) 2 : __ 9 27

5 Zapiši delež bele in črne barve. V katerem primeru bo barva najtemnejša? (4 T) a)

a)

b)

b)

c)

c)

č) 1 _1 · 1 _1

4 3 1 _ _ g) 1 : 4 1 4 6

Če potrebuješ pomoč, so v spodnji preglednici zapisane strani, kjer za posamezno nalogo iz testa najdeš primer, naloge za vajo ali napotek za reševanje. Preveri svoje rezultate z rešitvami na strani 183. naloga 1 2 3 4 5

stran 48–52 53–56 61–65 66–76 57–60

81


4. poglavje

Decimalna števila in odstotki 4.1 DECIMALNA ŠTEVILA

85

4.2 ODSTOTKI

89

4.3 RAČUNANJE Z ODSTOTKI

92

4.4 SPREMEMBA CELOTE

95

KAKO UPORABLJAMO? ŽEPNO RAČUNALO

97

UTRDI SVOJE ZNANJE

98

POVZETEK & PREIZKUS

100

Prestave pri gorskih kolesih Prestave pri gorskih kolesih so zasnovane tako, da lahko vozimo tudi po strmih vzponih in težavnem terenu. Kolesarimo pa lahko tudi po običajnih poteh. Sistem zobnikov skrbi za pravi pogon. Na gonilki gorskega kolesa so trije večji zobniki, ki jih imenujemo sprednji verižniki. Na zadnji osi je nameščenih več manjših zobnikov. Ti zobniki tvorijo kaseto. Novejša gorska kolesa imajo kasete z devetimi in več zobniki.

Prestavna razmerja Prestavno razmerje lahko izračunamo za vsako kombinacijo zobnikov med sprednjimi verižniki in kaseto. Razpredelnica prikazuje prestavna razmerja za tri sprednje verižnike in kaseto z osmimi verižniki. Števila so zaokrožena na desetine. Verižniki na zadnjem kolesu

Sprednji verižniki

22 32 44

28 0,8 1,1 1,6

24 0,9 1,3 1,8

21 1,0 1,5 2,1

18 1,2 1,8 2,4

16 1,4 2,0 2,8

14 1,6 2,3 3,1

12 1,8 2,7 3,7

11 2,0 2,9 4,0


Decimalna števila in odstotki

Kaj že vemo o ulomkih? 1 Kolikšna so prestavna razmerja? Vsaka prestava predstavlja določeno kombinacijo zobnikov. Če na sprednjem verižniku izberemo 32 zob in na zadnji kaseti 16 zob, dobimo prestavno razmerje, ki ga lahko zapišemo 32 _ = 2 = 2. Pri enem obratu gonilke bi se zadnje kolo zavrtelo dvakrat. v obliki ulomka __ 16 1 Zapiši prestavna razmerja za vse kombinacije sprednjega in zadnjega verižnika, jih okrajšaj in zapiši v spodnjo preglednico. Verižniki na zadnjem kolesu 28

24

21

18

16

14

12

11

22

Sprednji verižniki

32

44

2 Katero prestavno razmerje je večje? Za vožnjo v klanec potrebujemo čim manjše prestavno razmerje, za vožnjo navzdol pa čim večje. Dobro si oglej prestavna razmerja v preglednici in ugotovi, katere kombinacije verižnikov bi izbral.

3 So prestave »enakomerno« razporejene? Pri prestavljanju iz ene prestave v drugo je pomembno, koliko se novo prestavno razmerje razlikuje od prejšnjega. Zaželeno je, da so prestavna razmerja čim bolj enakomerno razporejena. Nariši številski trak z dolžino 22 cm (oznaka 1 naj bo na 5,5 cm) in na njem upodobi vse ulomke, ki predstavljajo posamezna prestavna razmerja.

4 Koliko različnih števil (prestav) najdeš? Čeprav je možnih veliko prestavnih kombinacij, nekatere kombinacije ponujajo enako prestavno razmerje. Poišči kombinacije verižnikov, ki imajo enako prestavno razmerje. Gorsko kolo sicer ima veliko prestav, vendar nekatere kombinacije zaradi preveč poševnega teka verige niso primerne.

! 22 32 44

84

prednji verižniki

zadnji verižniki

28 24 21 18 16 14 12 11


4.1 Decimalna števila

■ 4.1 Decimalna števila 1 Na dan Svetih treh kraljev v nekaterih krajih koledniki hodijo po hišah in zbirajo sredstva za dobrodelne namene. Otroci in mladostniki pogosto dobijo tudi sladkarije, ki si jih razdelijo. a) Trikraljevski koledniki so v Žireh zbrali skupno 3000 EUR, ki so jih enakovredno razdelili med tri projekte. Koliko denarja je bilo na voljo za posamezni projekt? b) Štirje koledniki so dobili tri čokolade. Ali je mogoče tablice razdeliti pravično med kolednike?

2 Potrebščine: − vedro s prostornino najmanj 5 ¬ in − merilni vrč s prostornino najmanj 1 ¬. Razdelite, kot je opisano spodaj. Nato za vsako nalogo določite višino vodne gladine in si zapišite rezultat. a) 3 ¬ vode enakomerno razdelimo v štiri merilne vrče. b) 4 ¬ vode enakomerno razdelimo v pet merilnih vrčev. c) 3 ¬ vode enakomerno razdelimo v pet merilnih vrčev. č) 2 ¬ vode enakomerno razdelimo v tri merilne vrče. d) Navedite še druge razdelitve in si zapišite rezultate.

3

Primerjajte možnosti za dobitek iz treh žrebnih bobnov. Iz katerega bobna bi želeli povleči svojo srečko? Utemeljite.

85


Decimalna števila in odstotki

Namig Ko pri deljenju pridemo do vejice, jo v rezultatu tudi takoj zapišemo.

Pravila in primeri Za podajanje delov celote lahko uporabimo ulomke ali decimalna števila. Včasih je primernejši en način zapisa, včasih drugi. Ulomek lahko pretvorimo v decimalno število na več načinov. 1. način: Imenovalec razširimo ali okrajšamo na 10, 100, 1000 itd. Ulomkom, za katere je to mogoče storiti, pravimo desetiški ulomki. 2. način. Ulomke lahko pretvorimo v decimalna števila s pisnim deljenjem (ulomkovo črto lahko razumemo kot znak za deljenje).

PRIMER 2

1 : 4 = 0,25 10 20 0=

– 1 : 3 = 0,333 ... = 0,3 10 10 10 ...

PRIMER 1 25 1 = ___ _ = 0,25 4 100 28 14 = 0,14 ___ = ___ 200 100 56 __ = 56 : 25 = 2,24 25

Pri ulomkih, ki niso desetiški ulomki, pretvorba v decimalno število privede do ponavljanja števk. Ponavljajočo števko ali skupino števk napišemo le enkrat in jo označimo s črto. Imenujemo jo perioda.

Decimalno število je periodično, če se stalno ponavlja ena števka ali skupina števk za decimalno vejico. Zapis decimalnih števil je lahko zelo dolg. Zato pogosto decimalna števila zaokrožimo na toliko mest, kot je potrebno.

PRIMER 3

Izberemo decimalno mesto, po katerem bomo po zaokrožanju zapis končali. Če je prva števka za tem mestom: − 0, 1, 2, 3 ali 4, zaokrožimo navzdol − 5, 6, 7, 8 ali 9, zaokrožimo navzgor.

1,4504

Število 1,4504 zaokroži na eno, dve ali tri decimalna mesta. 1,4504

1,5

1, 4504

Pozor Včasih pri zaokroževanju pride do »verižnih reakcij«: npr. 0,499 je zaokroženo na stotino 0,50 in 19,995 je zaokroženo na stotino 20,00.

1,45

1,450

Vaje

1

Razširi ulomke na imenovalec, ki je desetiška enota (10, 100, 1000 ...). Zapiši v obliki decimalnega števila. a) _2 5 __ d) 3 25

86

b) _1 2 _ e) 1 4

8 c) __ 25 1 f) ___ 250

7 č) __ 20 g) _3 8

2 Pretvori v desetiški ulomek. Zapiši v obliki decimalnega števila. 4 a) __ 80

32 b) __ 40

48 c) __ 60

56 č) ___ 700

154 d) ____ 2 000


4.1 Decimalna števila

3

Ulomke okrajšaj ali razširi ter jih zapiši kot decimalno število. 19 a) __

3 b) ___

40 21 d) __ 24

41 c) ___

125 27 e) __ 45

250 18 f) __ 30

178 č) ___ 500

24 g) __ 64

9 Vstavi ustrezen znak (<, >). _ a) 0,3 _ ■ 0,3 c) 0,__ 7 ■ 0,7 d) 0,75 ■ 0,76 __ f) 8,92 ■ 8,82

_

b) 0,5 ■ 0,5 _ č) 0,6 ■ 0,5 _ e) 3,35 __ ■ 3,35 g) 5,75 ■ 5,78

Pretvori v decimalna števila in razvrsti po velikosti.

10 Vstavi ustrezen znak _(<, >, =). a) _1 ■ 0,3

b) _1 ■ 0,3

c) 0,6 ■ _2

a) _1 , _1 , _3 , _4 , _1 , _2

6 č) 0,6 ■ __

d) _3 ■ 0,4

e) _3 ■ 0,4

4

3 __ 3 __ b) __ , 17, __ , 7 , _3, _7

4 8 4 5 2 5

20 25 50 10 5 8

5 Katera števila so med seboj enaka? 3 1 ; __ 1;_ 1 ; ___ a) 0,1; 0,2; 0,03; 0,05; __ 10 20 5 100 3 _ 1;_ 3; _ 1; _ 2 ; 0,5; 0,25; 0,4 b) __ ; 3; __ 12 5 10 6 4 5 3 _ 3 _ 1;_ c) 0,4; 0,5; 0,6; 0,025; 0,100; __ ; 3; __ ; 1 ; _2 12 5 10 6 4 5 7 _ 1 ; __ 1 ; 0,8; 0,25; 0,7; 0,04; č) _1 ; _4 ; __ ; 1; __ 5 5 10 4 25 20

0,05; 0,2

3

3

10

_

3

_

9

9

11 Razvrsti števila po velikosti. _ 0,3 0,9

a) 0,3 _ b) 0,9

0,334 0,99

0,33 0,09

0,333 __ 0,09

12 Za vsako barvo zapiši delež z okrajšanim ulomkom in decimalnim številom. a)

b)

6 Pretvori v decimalno število. 3 a) 4 __

10 d) 1_1 4 19 h) 9 ___ 40

b) 3 _1

5 9 e) 5 __ 20 7 i) 3 ___ 125

c) 5 _1 2

11 f) 12 ___ 25 3 __ j) 5 16

3 č) 6 ___ 100 g) 17_3 8 1 __ k) 1 32

c)

7

V mnogih receptih si pri navajanju količin pomagamo z ulomki. Jabolčne tortice lahko naredimo po spodnjem receptu. Na novo zapiši seznam sestavin in ulomke zamenjaj z decimalnimi števili. _3 l jabolčne čežane, _1 l kisle smetane, 8 4

1 čajna žlička limoninega soka, 1 zavitek vaniljevega sladkorja, _21 l čokoladne omake, _81 l sladke smetane, 7 listov želatine, meta in popečeni jabolčni krhlji.

8 Zapiši kot decimalno število. Povej, ali gre za periodično decimalno število. a) _1

3 _ e) 4 9 __ j) 5 12

b) _1

9 _ f) 2 3 __ k) 1 33

c) _4

6 _ g) 7 3 __ l) 12 33

1 č) __

11 __ h) 9 12 4 m) __ 15

2 d) __ 11 __ i) 7 27 __ n) 66 99

13 Vstavi pravilna znaka (<,_ >, =). a) 0,3 ■ _1 ■ 0,4 3

_

c) 0,32 ■ _1 ■ 0,3 3 2 2 2 _ __ d) ■ ■ __ 9 10 11 f) 0,5 ■ _5 ■ _6 9 9

b) 0,3 ■ _1 ■ 0,4 _

3

č) 0,4 ■ _1 ■ 0,3

3 _ 2 _ e) ■ 0,2 ■ 0,2 9 6 g) 0,5 ■ _5 ■ __ 9 10

14 Zapiši kot decimalno število. Kaj opaziš? a) _1

9 29 d) __ 99

b) _7

9 80 e) __ 99

c) _8

9 1 f) ___ 999

1 č) __ 99

38 g) ___ 999

15 Pretvori _17, _27, _37, _47, _57, _67 v decimalna

števila. Kaj opaziš?

87


Decimalna števila in odstotki

➠ Pri pretvorbi katerih ulomkov dobimo neperiodična decimalna števila, pri pretvorbi katerih pa periodična? Prepiši preglednico v zvezek in jo izpolni.

16

Ulomek

Decimalno število

Razcep na prafaktorje

Tip decimalnega števila

3 __ 10

0,3

10 = 2 · 5

neperiodično

5 _ 6

0,8333 ...

6=2·3

periodično

7 _ 9 7 __ 12 4 __ 25 11 __ 15 3 _ 8 1 _ 7 3 _ 4

17 Prepiši preglednico v zvezek in jo dopolni. PRIMER

Število

Zaokrožitveno mesto

Zaokroženo število

0,3815

tisočina

0,382

0,438

stotina

0,09

desetina

1,8299

desetina

1,8299

stotina

1,8299

tisočina

b) 6,29

c) 13,07

č) 5,505

b) 0,028

c) 0,009

č) 6,6666

20 Zaokroži na tisočine. a) 0,473

b) 9,09044

c) 8,63384

21 Zaokroži na desetine. a) 134,37563

b) 27,37453

c) 9,67895

22 Zaokroži število 37,0895263 na: a) deset

88

b) enine

b) 0,95 €

c) 19,05 €

č) 2,98 €

24 Zaokroži na cente. a) 335,7869 € č) 5,384 €

b) 426,844 € d) 0,039 €

c) 1216,8495 € e) 8,008 €

➠ Nenavadno iz starega veka: Ahil je bil znan kot hitri tekač. Zmogel je doseči desetkratno hitrost želve.

25

Predpostavljamo: Če bi želva imela 10 m prednosti, je tudi Ahil ne bi mogel dohiteti, kajti − v času, v katerem Ahil preteče 10 m, želva napreduje za 1 m; − v času, v katerem Ahil preteče 1 m, želva napreduje za 0,1 m; − v času, v katerem Ahil preteče 0,1 m, želva napreduje za 0,01 m, itd. Ali Ahil res ne more dohiteti želve?

Premisli, kje in koliko ničel lahko dopišemo, da se vrednost decimalnega števila ne spremeni. a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 č) 0,5 d) 0,6 e) 0,04 f) 0,19 g) 0,75 h) 0,63 i) 1,2 j) 0,152 k) 0,549

27 Po svetu najdemo mnogo velikih mest.

19 Zaokroži na stotine. a) 0,473

a) 1,90 €

26 Pretvori v ulomke. Krajšaj, če je mogoče.

18 Zaokroži na desetine. a) 8,51

23 Zaokroži na cele evre.

c) desetine

č) stotine

a) Zaokroži število prebivalcev na milijone z

enim decimalnim mestom. PRIMER Madrid 3 154 000 = 3,2 milijona Rim 2 553 873 Istanbul 10 034 830 London 7 421 209 New York 8 108 040 Praga 1 181 610 Hongkong 6 898 686 Peking 15 224 754 Moskva 10 406 578 Tokio 8 483 050 Chicago 2 862 244 Pariz 2 138 551 Mexico City 8 657 045 b) ➠ V katerih državah so ta mesta?


4.2 Odstotki

■ 4.2 Odstotki 1 Na karirast list papirja nariši pet kvadratov, pri čemer naj bodo stranice posameznega kvadrata dolge 10 kvadratkov. Izrazi ploščino kvadrata v cm2. a) V posameznih kvadratih pobarvaj ustrezni delež:

1

50 ___ 100

2

25 ___ 100

3

b) Primerjaj s sošolcem.

10 ___ 100

4

30 ___ 100

5

delež

ploščina

22,5 ____ 100

Razpravljajta o težavah in postopkih, ki sta jih izbrala. c) Kolikšna je ploščina posameznih pobarvanih deležev? č) Preglednico na desni preriši v zvezek in jo izpolni.

Ploščinam prisodi odstotni delež. Kaj opaziš? d) Še enkrat reši nalogo a) s kvadrati, velikimi 6 × 6 kvadratkov.

Ali lahko to nalogo z risanjem rešimo za prav vse desetiške ulomke?

2 Predstavljaj si skupino skodelic (glej sliko), v katerih je enakomerno razporejenih 360 EUR. a) Koliko denarja je v eni skodelici?

Koliko stotin celotnega zneska je to? b) Koliko denarja je v 12 skodelicah? Koliko stotin od 360 EUR je to? 40 c) Koliko denarja je ___ celotnega zneska? 100

3

Bor in Maj živita v kraju s 300 krajani, od katerih jih ima 210 volilno pravico. Koliko odstotkov krajanov ima volilno pravico v njunem kraju? Bor je to nalogo rešil s preglednico. Postopal je takole.

Maj je nalogo rešil z razmislekom. Razmišljal je takole.

Najprej je ugotovil, koliko odstotkov prestavlja vsak od 300 krajanov. Nato je izračunal, koliko odstotkov predstavlja 210 krajanov.

Celota je 300 krajanov. Del celote je 210. Delež v odstotkih dobim z razmislekom »koliko odstotkov je 210 od 300«.

št. krajanov

300

delež

210 __ = 7 = 0,7 = 70 %. 210 od 300 = ___ 300 10

Odg. Predstavlja 70 % vseh krajanov.

100 % : 300

: 300 1

1/3 %

210

70 %

· 210

· 210

a) Natančno si oglej oba primera in ju ponovi. Kateri se ti zdi enostavnejši? b) Reši nalogo: »Mitja je prejel v dar 20 €. Porabil je že 12 €. Kolikšen odstotni delež

je porabil?« na način, ki se ti zdi lažji.

89


Decimalna števila in odstotki

Pravila in primeri Ulomke z imenovalcem 100 in decimalna števila lahko zapišemo kot odstotke. p ___ =p% 100

PRIMER 1

12 Zapiši v odstotkih __ in 0,25. 25 12 ___ __ = 48 = 48 % 25 100

25 = 25 % 0,25 = ___ 100

Odstotni delež lahko izračunamo na več načinov. Mi bomo uporabili preglednico in razmislek.

1 Izračun s preglednico – V levi stolpec vnesemo celoto, v desni ustrezni delež (100 %). – Najprej izračunamo, kolikšen delež predstavlja en del. – Nato izračunamo, kolikšen delež predstavlja podani del. 2 Izračun z razmislekom – Del celote zapišemo kot ulomek. – Z deljenjem zapišemo ulomek kot decimalno številko. – Rezultat zapišemo v odstotkih.

PRIMER 2

12 od 25 učencev v razredu nosi kavbojke. Koliko odstotkov je to? število

: 25 · 12

25 1 12

delež

100 % 4% 48 %

: 25 · 12

12 __ = 12 : 25 = 0,48 = 48 % 25

Vaje Namig Delež v odstotkih lahko izračunaš enako kot delež pri ulomkih. Rezultat moraš nato pretvoriti v odstotke. Koliko odstotkov je 12 od 25?

1 Obarvane deleže zapiši v odstotkih. a)

b)

c)

á

2 Zapiši ulomke z odstotki. 37 a) ___ 100 __ č) 6 25 _ f) 1 4 __ i) 17 20

90

e)

29 c) __

100 __ d) 7 10 _ g) 3 4 __ j) 12 40

50 _ e) 2 5 _ h) 1 2 __ k) 28 80

3 Kaj je večje? a) _1 ; 10 %

d)

9 b) ___

2 _ c) 3 ; 0,75 % 4 9 ; 46 % d) __ 20

b) 0,25; 2,5 % 6 č) __ ; 1,8 % 25

e) 1,13; 131 %


4.2 Odstotki

4

Za posamezne podatke ugotovi, ali predstavljajo celoto, del celote ali delež v odstotkih. a) 315 od 500 zaposlenih je mlajših od 40 let. To je 63 %. b) Od 260 ležalnikov jih je 35 %, torej 91, ob koncu sezone pokvarjenih. c) 2 % od 600 avtomobilov je rdeče barve.

10 Odrasel slon tehta približno 6 ton. Pravkar skoteni slonji mladiček pa tehta približno 100 kg. a) Koliko odstotkov zavzema teža slonjega mladička v primerjavi s slonjo mamo? Razmisli, kaj je del in kaj celota. b) ➠ Delajte v dvoje: v kakšnem razmerju je teža dojenčka v primerjavi z materjo pri človeku?

5 Izračunaj odstotni delež. Predhodno napiši, kaj je del celote in kaj celota. Koliko odstotkov od ... a) 560 t je 28 t b) 450 kg je 27 kg c) 200 € je 6 € č) 400 m je 30 m

6 Koliko odstotkov je ... a) 498 t od 8300 t c) 99,9 ¬ od 555 ¬ d) 638 € od 1305 €

b) 17,5 g od 437,5 g č) 28 m od 112 m e) 24 cm od 3 dm

11 V 7.a in 7.b so šolsko nalogo iz matematike pisali takole:

7 Izračunaj delež v odstotkih. a) 10 €

20 €

5 € od 50 €

1h

2h

6 min od 4h

5 cm

8 cm

b) c)

nzd (1) zd (2)

100 €

200 €

5h

10 h

1 5

4 8

db (3) pdb (4) odl (5)

8 12

6 3

5 2

a) Izračunaj odstotke ocen od 1 do 5 za

5 cm od 50 cm 80 cm

100 cm

8 Zapiši v odstotkih. a)

2€

20 €

25 € od 200 €

50 €

75 €

b)

1m

5m

10 m 20 m od 200 m

40 m

9

7.a 7.b

Od skupno 720 učencev neke šole se jih v šolo vozi 180 s primestnim avtobusom, 468 s kolesom, preostali učenci pa se vozijo z mestnim avtobusom. a) Koliko učencev se vozi v šolo z mestnim avtobusom? b) Koliko odstotkov učencev se v šolo vozi s primestnim avtobusom, kolesom ali z mestnim avtobusom?

posamezni razred in razreda primerjaj med seboj. b) V katerem razredu je bil delež ocene 3 največji? c) Koliko odstotkov učencev je nalogo pisalo slabše od 4?

12 Na plakatu piše: »Znižanje za 30 % na vse blago«. Ali so bile spodnje ponudbe pravilno znižane? a) Moška obleka s 499 € na 349,30 €. b) Majica z dolgimi rokavi: 39 €, zdaj 29 €. c) Jakna za prosti čas: 199 € na 139,30 €. č) Športni copati: doslej 159 €, zdaj 90 €. Promili Pri majhnih deležih uporabljamo namesto odstotkov promile. 1 = 0,001 = 0,1 % 1 ‰ = ____ 1000

91


Decimalna števila in odstotki

■ 4.3 Računanje z odstotki 1 Preriši spodnje štirikotnike v zvezek in jih v skladu z zapisanimi odstotki dopolni, da dobiš

25 %

3 cm

2 cm

10 % 2 cm

1 cm

30 %

2 cm

1,5 cm

25 %

4 cm

100 %.

5 cm

2 V 7.a razredu je 20 učencev, ki se udeležujejo različnih izvenšolskih aktivnosti. Preriši spodnje slike v zvezek in z barvanjem ponazori, koliko učencev se udeležuje posameznih aktivnosti. a) različni športi 50 %:

b) jezikovni tečaji 25 %:

c) glasbena šola 10 %:

č) modelarstvo 5 %:

3 Pia in Kaja živita v kraju s 1200 prebivalci, od katerih jih je 45 % moškega spola. Koliko prebivalcev je moškega spola. Pia je to nalogo rešila s preglednico. Postopala je takole.

Kaja je nalogo rešil z razmislekom. Razmišljala je takole.

Najprej je ugotovila, koliko ljudi predstavlja 1 % vseh prebivalcev. Nato je izračunala, koliko ljudi predstavlja 45 % vseh krajanov.

Celota je 1200 ljudi. Odstotni delež je 45 %. Del celote dobim z razmislekom »koliko je 45 % od 1200«.

delež

št. krajanov

100 %

1200 : 100

: 100 1%

12

45 %

540

· 45

45 45 % od 1200 = ___ · 1200 = 540 100

Odg. 540 prebivalcev je moškega spola.

· 45

a) Natančno si oglej oba primera in ju ponovi. Kateri se ti zdi lažji? b) Zakaj vsem krajanom ustreza 100 %? c) Poskusi na enega od obeh načinov rešiti tudi nalogo: »Na neki šoli je 900 učenk in učencev.

35 % izmed njih se uči tujih jezikov. Koliko učenk in učencev je to?«

92


4.3 Računanje z odstotki

Pravila in primeri Tudi del celote oziroma celoto lahko izračunamo na več načinov. Izračun dela celote 1 S preglednico: V desni stolpec vnesemo celoto, v levi ustrezni delež (100 %). Izračunamo, kolikšno vrednost predstavlja 1 % celote, nato izračunamo, kolikšno vrednost predstavlja podani odstotek celote.

2 S premislekom:Upoštevamo, da »p % p

od celote« pomeni ___ od celote, zato 100 p množimo ___ in celoto. 100

PRIMER 1

48 % od 25 učencev v razredu nosi kavbojke. Koliko učencev je to? delež

: 100 · 48

število

100 % 1% 48 %

25 0,25 12

48 48 % od 25 = ___ · 25 = 12 100

: 100 · 48

Izračun celote 1 S preglednico: V desni stolpec vnesemo del celote, v levi ustrezni delež. Izračunamo, kolikšno vrednost predstavlja 1 % celote, nato izračunamo, kolikšno vrednost predstavlja celota (100 %).

2 S premislekom: Poznamo del in celoto. Celoto izračunamo tako, da del delimo z odstotnim deležem.

Namig Ni ti treba vedno računati na 1 %. Če so števila ugodna, kot v našem primeru, lahko vmesni korak izpustimo.

PRIMER 2

12 učencev, kar predstavlja 48 % vseh učencev, nosi kavbojke. Koliko je vseh učencev? delež

: 48 · 100

število

48 % 1% 100 %

12 0,25 25

: 48 · 100

48 % od ? = 12 ? = 12 : 48 % = 12 : 0,48 = 25

Vaje

3 Izračunaj. 1 Izračunaj 1 % (25 %, 50 %) od ... a) 50 €, 80 €, 150 €, 200 €, 500 € b) 75 m, 98 m, 112 m, 156 m, 210 m c) 12 kg, 54 kg, 612 kg, 305 kg 440 kg

a) 6 % od 50 kg c) 5 % od 80 ¬ d) 25 % od 98 m f) 60 % od 90 €

2 Izračunaj del celote.

4 Nariši štiri enake kvadrate z dolžino

1%

2%

5%

10 % 25 % 50 % 75 % od 100 €

b) č) e) g)

9 % od 100 kg 4 % od 75 ¬ 45 % od 85 m 75 % od 12 €

stranice 4 cm. Pobarvaj naštete ploščine: 25 %, 50 %, 75 % in 100 %. Izračunaj, koliko cm2 zajema posamezna pobarvana ploščina.

93


Decimalna števila in odstotki

6 Na pamet izračunaj celoto. a) 1 % je 20 g c) 25 % je 360 g d) 75 % je 150 g

13

Na majhni šoli je policija ugotovila, da je za promet neprimernih 6 koles, to je 20 % vseh pregledanih koles. Koliko koles je preverila policija?

b) 50 % je 120 ha č) 10 % je 60 m e) 99 % je 2,97 cm

7 Izračunaj celoto.

14 Cena za bencin super se je zvišala

a) delež 1 %

b) delež 3 %

del celote 20 € c) delež 5 % del celote 15 kg

del celote 12 t č) delež 2 % del celote 6 m

za 1,6 %. To pomeni natanko 2 centa. a) Koliko je stal bencin pred tem? b) Koliko je stal bencin po podražitvi?

15

8 Kolikšna je celota? 24 %

a)

18 612 uD†FODFW

7930 km2

VEFMFßFODFW

65 %

b)

47 %

c)

9 V zvezek dopolni trakove, da dobiš 100 %. a) 10 % c) ˇ

b)

c)

40 %

d)

25 %

e)

15 %

50 %

125 %

10 Izračunaj celoto. delež del celote

Namig Cel krog znaša 360° in ustreza 100 %. Torej 1 % ustreza kotu 3,6° (glej str. 173).

5% 30 €

10 % 86 €

20 % 35 €

b)

c)

č)

d)

4%

10 %

25 %

50 %

80 %

12 Dnevna soba družine Ramšak zavzema površino 32 m2. To je 25 % celotnega stanovanja. Kako veliko je stanovanje? Dnevna soba

WC

94

50 % 230 €

a)

Kuhinja

16 Jogurt iz polnomastnega mleka vsebuje 3,4 % beljakovin. To je 17 g na lonček. Poleg tega ima še 4,8 % maščob in 16 % ogljikovih hidratov. Zapiši, koliko gramov maščobe in ogljikovih hidratov je v enem lončku.

17

Na kiosku za vplačila loterijskih srečk na levi in desni visita dva velika napisa: »35 % dobitkov!« »140 srečk je dobitnih!« a) Koliko je vseh srečk? b) Koliko je srečk brez dobitka?

18 V velikem nakupovalnem središču so

11 Izračunaj celoto, če je zapisani del celote 5 €. del celote

Salama vsebuje 20,4 g beljakovin, kar znaša 17 %. Koliko odstotkov predstavlja 48 g maščobe, ki jo vsebuje salama?

Spalnica

Hodnik Otroška soba

Kopalnica Otroška soba

trgovine z različnim blagom. 56 % (to je 28 trgovin) jih prodaja modna oblačila, 8 % čevlje in usnjeno galanterijo, 14 % izdelke za gospodinjstvo in 22 % elektroniko. a) Izračunaj število trgovin posamezne vrste ter število vseh trgovin v nakupovalnem središču. b) S krožnim diagramom prikaži razdelitev različnih vrst trgovin v nakupovalnem središču (glej rob).

19

Katjin razred je naredil anketo o gledanju televizije in uporabi računalnikov. Od vprašanih jih je 7, torej 28 %, navedlo, da ne gledajo televizije vsak dan, 19 jih je navedlo, da računalnik uporabljajo vsak dan. a) Koliko učenk in učencev je v Katjinem razredu? b) Določi delež tistih, ki vsak dan uporabljajo računalnik.


4.4 Sprememba celote

■ 4.4 Sprememba celote 1 Neka spletna knjigarna ponuja Multimedijsko enciklopedijo po znižani ceni: Multimedijska enciklopedija Priporočena cena 89,95 EUR Akcijska cena: 53,97 EUR Prihranek: 35,98 EUR a) Med seboj si pojasnite podatke, ki jih ne razumete. b) Kateri podatek je celota pred spremembo in kateri celota po spremembi? c) S pomočjo preglednice ali z razmislekom preveri, za koliko odstotkov je znižana prvotna cena oz. za koliko odstotkov se je spremenila celota.

2 Kolo v trgovini stane 500 €. Liam in Sabina dobita 15 % popusta. Na različne načine izračunata novo ceno. a) Razloži, kako sta postopala. Kje so razlike? b) Kako pa bi bilo treba nalogo rešiti po tvoje? Utemelji. Liam 15 % od 500 € = 0,15 · 500 € = 75 € 500 € − 75 € = 425 €

Izziv Ko odštejemo 40 % popusta, stane zgoščenka samo še 9 EUR. a) Izračunaj prvotno ceno. b) Kolikšen je bil popust v evrih?

Sabina 100 % − 15 % = 85 % 85 % od 500 € = 0,85 · 500 € = 425 €

Pravila in primeri Celota se lahko spremeni za določeno vrednost oziroma delež. Če celoto povečamo ali zmanjšamo za p %, znaša nova celota (100 % + p %) oziroma (100 % − p %) prvotne celote. povečanje +p% p%

zmanjšanje −p%

100 %

100 %

100 %

100 %

(100 + p) %

100 %

p% 100 % − p% (100 − p) %

Če poznamo novo vrednost celote in zmanjšanje/zvečanje celote, lahko izračunamo vrednost celote pred spremembo.

PRIMER 1

Najemnina za stanovanje, ki je znašala 500 €, se je znižala 10 %. Kolikšna je najemnina sedaj? 100 % − 10 % = 90 % 90 % od 500 € = 0,9 · 500 € = 450 €

PRIMER 2

Športni copati stanejo po 20-odstotni podražitvi 75,00 €. Kolikšna je bila cena pred zvišanjem? 120 % od ? = 75,00 € 120 100 = 75 € ∙ ___ = 62,5 € 75 € : ___ 100 120

95


Decimalna števila in odstotki

Vaje

1 Trgovina je pred začetkom šolskega leta

9 Vrtnica stane samo 1,70 €.

zvišala vse cene za 5 %. Napiši, koliko so posamezni artikli stali pred tem. Zaokroži na cent.

Cena je bila znižana za 15 %. a) Koliko je stala pred tem? b) Za koliko odstotkov je nižji znesek nakupa, če kupimo 4 vrtnice?

10 Dopolni blagajniški izpis v zvezku. Izračunaj tudi ceno pri plačilu z gotovino. gospodinjski aparati

2 To sezono se je dnevna smučarska

1 pomivalno korito 1 letvica 1 tesnilo 3 montažne ure

vozovnica podražila za 3 % in zdaj znaša 45 €. Koliko je stala lani?

DDV 22 % Znesek za plačilo

3 Cena za DVD-predvajalnik se je znižala

Pri gotovinskem plačilu dodaten 2 % popust!

za 10 % in je zdaj 45 €. Kolikšna je bila stara cena?

11 ➠ Cena ključavnice za kolo znaša 30 €. 4 Izračunaj staro ceno. Zaokroži na cent. nova cena popust

a)

b)

c)

č)

675 € 20 %

460 € 15 %

1200 € 10 %

81,25 € 25 %

Za božič je znižana za 5 %. Pred veliko nočjo jo znižajo še za 15 %. a) Koliko stane ključavnica za božič in koliko za veliko noč? b) Napiši celoten popust, ki je veljal za veliko noč v primerjavi z redno ceno.

5 Najemnina za trgovino z oblačili bo po preteku doslej veljavne najemne pogodbe zvišana. Doslej so plačevali 50 € za m2 na mesec. V prihodnje bo najemnina znašala 80 €. a) Za koliko odstotkov bo zvišana najemnina? b) Koliko več bo treba v prihodnje plačati, če meri trgovina 47 m2?

12 ➠ Za vsako skico oblikuj nalogo z vprašanji iz vsakdana. a) Nato reši nalogo. b) Drug drugemu preberite svoje naloge.

1

6 Izračunaj novo ceno. Zaokroži na cente. stara cena popust

a)

b)

c)

č)

675 € 30 %

460 € 15 %

1200 € 12,5 %

81,25 € 33 %

3

+ 10 %

2

− 10 %

100 %

110 %

100 %

90 %

280 

?

360 

?

4

–20 %

–7,5 %

7 Cena kavbojk je za 20 % znižana in je 50 €. a) Za koliko odstotkov je bila znižana? b) Koliko so kavbojke stale pred tem? 100 %

120 %

Cena brez davka ?

Cena z davkom 71,40 

100 %

?

8

Število članov nogometnega združenja se je zmanjšalo za 10 % na 290. Koliko članov so imeli pred tem?

96

Stara cena Nova cena 18,50  ?


Decimalna števila in odstotki

Kako uporabljamo? Žepno računalo zaslon

tipka za zamenjavo funkcije

2ndF

zaslon

tipka za zamenjavo funkcije

2ndF

a b c tipka za vnos ulomkov

a b c tipka za vnos ulomkov = tipka za izracˇun

. tipka za vnos

= tipka za izracˇun

. tipka za vnos decimalne vejice

decimalne vejice

Namig Nekatere funkcije žepnega računala niso navedene na tipkah, pač pa nad njimi. Te funkcije prikličemo tako, da uporabimo tipko z napisom 2ndF.

Pravila in primeri Ulomke vnesemo v žepno računalo s tipko . Žepno računalo ulomek samodejno okrajša in zapiše s celom delom, če je ulomek večji od 1.

PRIMER 1 3: _ 3 abc 4 = 4

Enako velja za ulomke, sestavljene iz celega dela in ulomka, manjšega od 1.

3 _45 : 3 a b c 4 a b c 5 =

Ulomek, sestavljen iz celega dela in ulomka, manjšega od 1, pretvorimo v ulomek brez , ki jo dobimo celega dela s funkcijo . V obratni smeri s kombinacijo tipk se pretvorba samodejno zgodi ob vnosu.

PRIMER 2 3 _45 : 3 a b c 4 a b c 5 =

Med ulomkom in decimalnim številom . pretvarjamo kar s tipko

PRIMER 3

SHIFT

Pozor Nekatera žepna računala imajo namesto tipke 2ndF tipko Shift ali INV.

d c

19 : __ 1 9 abc 5 = 5

0,5: 0 . 5 a b c 1: _ abc 2 = abc 2 1

Žepna računala znajo zaokroževati. Postopek zaokroževanja se razlikuje glede na model žepnega računala, zato to funkcijo preveri v navodilih.

Vaje

1 Spodnje ulomke vnesi v žepno računalo. a) _1

b) _3

c) _8

č) _4

d) _6

e) 1 _12

f) 2 _24

g) 3 _85

h) 4 _44

i) 1 _05

2

6

5

4

3

3 Z žepnim računalom pretvori ulomke v decimalna števila. a) _1 2

b) _1 3

c) _2 4

č) 1 _15

22 d) __ 7

2 Z žepnim računalom pretvori ulomke

4 Izračunaj z žepnim računalom.

s celim delom in ulomkom, manjšim od 1, v ulomke brez celega dela. a) 1 _23 b) 2 _24 c) 3 _85 č) 11 _13 d) 2 _63

a) _34 + 6 _27

11 b) 1 _56 + 7 __ 30

c) 5 _25 – 3 _56

č) 2 _58 – 2 _35

d) _23 · _45

e) 9 _35 · _56

9 __ f) __ : 18 25 35

g) 3 _79 : 5 _23

h) ti_12 + _14it · _14

97


Decimalna števila in odstotki

Utrdi svoje znanje 1 Zapiši 5 decimalnih števil, ki so večja od 1,2 in manjša od 1,3.

2 Utemelji ali pokaži na primeru. a) Najmanjše število, ki je večje od nič,

9 Koliko odstotkov je ... a) 28 t od 560 t, b) 6 ur od enega dneva, c) 27 minut od ene ure, č) 120 kg od 1,5 t?

ne obstaja. b) Med dvema različnima decimalnima

10 V Klemenovem razredu 13 učencev

številoma je nešteto drugih decimalnih števil. c) Vsak ulomek lahko zapišemo kot decimalno število.

od 27 dobiva žepnino. Koliko odstotkov je to?

3 Jaša si je zamislil decimalno število

11 Koliko odstotkov ploščine je temnejše barve? a)

b)

z dvema decimalnima mestoma. Zaokroži, da dobiš 6,4. Katero število bi si lahko zamislil?

4 Neko število smo zaokrožili na 11,3. Zapiši

c)

najmanjše in največje možno prvotno število.

5 Neko število smo zaokrožili na 124,56. Zapiši najmanjše in največje možno prvotno število.

6 Zaokroži na stotine_ (tisočine). _ a) 0,5_ č) 0,13

b) 0,27_ d) 0,543

_

c) 0,04 5 __ e) 0,045

7 Milja je dolžinska mera (razdalja), ki so jo poznali že v antiki. Poznamo različne milje: kopenska milja: 1609,3426 m morska milja: 1852 m geografska milja: 7420,44 m Zapiši kopensko, morsko in geografsko miljo v kilometrih in zaokroženo na dve decimalni mesti.

8 Na Nizozemskem ne plačujejo s kovanci za 1 in 2 centa. Na blagajni zneske temu primerno zaokrožijo. PRIMER Namesto 4,37 € plačajo 4,35 €. a) Katere zneske bodo plačali? 12,39 €; 18,41 €; 24,16 €; 2,44 €; 5,13 € b) V katerih primerih zaokrožajo v prid kupcu, v katerih v prid trgovcu? c) Ali se ti to ravnanje zdi smiselno?

98

12 Katere vrednosti so enake? 64 % 50 % 0,64 %

7 50

16 25

14 %

0,85 % 12 48

1 2

0,7

0,25

6 5

6 5

0,5

17 20

25 % 0,14

120 %

175 250

58 %

1,2

13 Dopolni preglednico. a) celota delež v % del celote

14

80 5%

b) 12 % 24

c) 20 % 5

č)

d)

120

26 45 %

36

Kraj A ima 25 000 prebivalcev, kraj B pa 45 000. V kraju A se 12 000 ljudi, v kraju B pa 16 000 na delo vozi z avtom. a) Koliko odstotkov več prebivalcev ima kraj B v primerjavi s krajem A?


Decimalna števila in odstotki

b) V katerem kraju se vozi z avtomobilom

20 Mark je odprl hranilno knjižico. Na leto

v službo večji odstotek ljudi? c) Koliko prebivalcev bosta imela kraja čez pet let, če v kraju A število prebivalcev vsako leto naraste za 3 % in v kraju B za 7 %?

dobi 1,7 % obresti. Po prvem letu je to 2,55 EUR. a) Koliko evrov je vplačal? b) Koliko denarja ima na hranilni knjižici po enem letu?

15

21 Pri nakupu na obroke se avto podraži

V pomarančnem soku je 35 % sadnega deleža. K 600 ml soka dolijemo 800 ml vode. Kolikšen je sedaj sadni delež?

za 11 %. Izračunaj gotovinsko ceno avta, če znaša podražitev pri obročnem plačilu 1375 EUR.

16 V veleblagovnici visi napis »Čokoladna krema znižana za 20 %. Nova cena 1,32 €«. a) Kolikšna je bila cena pred znižanjem? b) Po koncu akcije so ceno kreme vrnili

na vrednost pred znižanjem. Za koliko se je pri tem podražila krema?

22

Glasbeni stolp je stal 299 EUR. Znižan je bil za 20 % in kasneje še za 35 %. Če stranka plača blago z gotovino, lahko uveljavi še 2 % gotovinskega popusta. Koliko bi moral Pavel plačati zdaj, če bi plačal z gotovino?

17

Športno društvo ima 640 članov. 20 % vseh članov je v oddelku za nogomet, 30 % v oddelku za košarko, 40 % članov se ukvarja z lahko atletiko, 10 % pa je plavalcev. Izračunaj število članov v posameznih oddelkih.

➠ Iz odprte 0,7 l steklenice vode vsak dan izpari 10 % vode. Izračunaj, po koliko dneh bi bila steklenica prazna. Postopek ponazori z diagramom.

23

➠ Sredi leta 2013 se je osnovna stopnja davka na dodano vrednost zvišala z 20 % na 22 %. Ali so torej cene porasle za 3 %? Razpravljajte in argumentirajte v razredu.

24

18 Lilijina starša sta prejela račun za najemnino, ki je po novem višja za 4 %. Zdaj plačata 34 € več. a) Kolikšna je bila prejšnja najemnina? b) Koliko morata plačati zdaj?

19

Tina se že 3 ure vozi z vlakom. Veseli jo, da ima za sabo že več kot polovico poti, namreč 60 %. Koliko ur traja celotna vožnja?

99


Decimalna števila in odstotki

Povzetek Decimalna števila Dele celote izražamo z ulomki ali pa z decimalnimi števili. Ulomke lahko pretvorimo v decimalna števila na več načinov: 1. način: imenovalec razširimo ali okrajšamo na 10, 100, 1000 ..., 2. način: števec pisno delimo z imenovalcem.

_

5 _ = 5 : 6 = 0,83 6 25 1 _ = ___ = 0,25 4 100

Zapis decimalnih števil je lahko zelo dolg. Če se v zapisu decimalnega števila od nekega mesta naprej zaporedje številk ponavlja, je tako število periodično. Decimalno število zaokrožimo na želeno število mest tako, da zaokrožimo: − navzdol, če je »prva odrezana« števka 0, 1, 2, 3 ali 4, − navzgor, če je »prva odrezana« števka 5, 6, 7, 8 ali 9.

1,442 =· 1,44 1,447 =· 1,45

Odstotki Decimalna števila in ulomke z imenovalcem 100 lahko zapišemo kot odstotke. Delež v odstotkih, del celote ali celoto lahko izračunamo na več načinov. Spoznali smo postopek z uporabo preglednice in z razmislekom.

48 ___ = 48 % 100 25 0,25 = ___ = 25 % 100 število

25 1 12

: 25 · 12

Celota se lahko spremeni za določeno vrednost oziroma delež. Če je podana celota pred spremembo in sprememba, lahko izračunamo stanje po spremembi. Velja tudi obratno.

100

delež

100 % : 25 4% · 12 48 %

+p% p% 100 %

100 %

100 %

(100 + p) %


Decimalna števila in odstotki

Preveri svoje znanje!

A

B

1 Zapiši z odstotki kolikšen del je ... (4 T) obarvan rdeče.

obarvan zeleno.

2 Z enako barvo obkroži ulomke oziroma decimalna števila, ki so med seboj enaki. (4 T) 0,75

75 % 34 ___ 100

3 _ 4

750 ____ 1 000

0,340 17 __ 50

75 ___ 100

2 _ 5

0,4

4 __ 10

40 % 6/8

40 ___ 100

0,34

40 ____ 1000

0,04 1 __ 25

4% 4 ___ 100

0,400

0,040

3 Zapiši kot decimalno število oziroma kot ulomek in krajšaj, kolikor je mogoče. (4 T) 87 a) ___

b) _3

14 c) __

č) _5

78 a) ___

b) _3

15 c) __

č) _7

d) 0,3

e) 0,25

f) 0,375

g) 2,75

d) 0,8

e) 0,20

f) 0,750

g) 3,08

100

4

25

6

100

5

20

9

4 Trgovčev zaslužek znaša 20 % prodajne vrednosti izdelkov. (4 T) a) Koliko zasluži trgovec pri prodaji para

a) Koliko stanejo pohodni čevlji, če trgovec

športnih copat, ki stane 85 €. b) Kolikšen je njegov zaslužek, če ceno copat zniža za 20 %?

pri prodaji vsakega para zasluži 18 €? b) Za koliko odstotkov je znižal ceno čevljev, če jih po novem ponuja po 50 €?

5

Videoteka Zenit načrtuje svojo ponudbo za prihodnje leto. a) Zalogo 600 filmov morajo povečati za 1,5 %. Koliko filmov bodo imeli? b) Z dokupi bo namesto 850 na voljo 1105 risank. Na koliko odstotkov prvotnega števila se bo povečala izbira?

Kako mi gre? 0–9 točk – ojoj, morda potrebuješ pomoč 10–12 točk – tole je komaj zadosti, še vadi! 13–15 točk – ni slabo, zmoreš še več? 16–17 točk – zelo dobro 18–20 točk – odlično!!

Športno društvo Skok je izdalo letno poročilo od delu. a) Število vseh članov društva se je v zadnjem letu povečalo za 12 % na sedanjih 1232 članov. Za koliko članov se je povečalo društvo? b) Število članov v košarkarski sekciji se je zmanjšalo za 24 članov oziroma 6 %. Koliko jih je bilo v društvu lani?

Če potrebuješ pomoč, so v spodnji preglednici zapisane strani, kjer za posamezno nalogo iz testa najdeš primer, naloge za vajo ali napotek za reševanje. Preveri svoje rezultate z rešitvami na strani 183. naloga 1 2 3 4 5

stran 89–91 85–88 85–88 92–94 95–96

101

MA 7.R- Tangram 7- 3. in 4. poglavje