Racine Math - Livre-cahier 4e année - Analyse/Statistique - EXTRAIT

RACINE MATH

VAN

LIVRE-CAHIER

STATISTIQUE ÉditionsVANIN

RACINE MATH

ANALYSE

Anne-Laure Andrieu

Justine Bellistrì

Marie-Noëlle Herkens

Anne-France Mauclet

Pauline Pirenne

Pierre Scourneau

La plate-forme te donne, par exemple*, accès à : -des exercices en ligne pour t’entraîner, -un aperçu de tes progrès et de tes résultats, -du matériel de cours, -des vidéos et des audios, -et bien plus encore...

*En fonction de la méthode

Crée-toi un compte sur www.udiddit.be et accède à ton contenu à l’aide du code d’activation ci-dessous : CODE ÉLÈVE

Cette licence est valable pendant 1 an à partir de la date d’activation.

RACINE MATH 4 – Livre-cahier : Analyse – Statistique

Composition de Racine Math 4

Pour l’élève –2 livres-cahiers –des exercices numériques via Pour l’enseignant(e) –un guide pédagogique – un accès professeur via au manuel numérique, aux compléments et aux exercices numériques , la plate-forme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignants

Auteur(e)s : Anne-Laure Andrieu, Justine Bellistrì, Marie-Noëlle Herkens, Anne-France Mauclet, Pauline Pirenne, Pierre Scourneau

Couverture : Nord Compo

Mise en page : Nord Compo

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages.

En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes.

Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due.

C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi.

ÉditionsVANIN

L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2024

Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition : 2024

ISBN 978-94-647-0668-0

D/2024/0078/183

Art. 606698/01

INTRODUCTION

Bienvenue dans Racine Math 4.

Pour utiliser au mieux le potentiel de ce livre-cahier, voici quelques informations sur sa structure et sur les compléments numériques qui l’accompagnent. Les différentes UAA (Unités d’Acquis d’Apprentissage) sont réparties dans deux livres-cahiers : – Analyse et statistique ; – Géométrie et trigonométrie.

Prérequis

Certaines UAA sont introduites par une partie « Prérequis » afin de rappeler les notions nécessaires à la découverte de la matière.

Introduction historique

Afin de donner du sens à l’apprentissage, chaque UAA commence par une mise en contexte historique de la matière et par des exemples de son application dans le quotidien. Toujours dans l’idée d’ancrer les concepts mathématiques dans la réalité, un défi t’est proposé à la fin de cette introduction. Avec tout ce que tu auras appris dans le chapitre, tu seras en mesure de le résoudre.

Découverte

La matière de chaque UAA est divisée en plusieurs parties cohérentes et structurées afin de garantir un apprentissage progressif et clair. Tu es ainsi invité(e) à découvrir la nouvelle matière de chaque partie via des activités, à la fin desquelles la rubrique πG résume ce qui a été découvert.

Théorie

La partie « Théorie » reprend les notions essentielles à la compréhension de la matière. Celles-ci sont classées dans différentes rubriques :

Définition

Exercices

Les exercices permettent d’appliquer la théorie vue.

Des exercices dits de « dépassement » sont parfois proposés et sont reconnaissables à ce logo :

Synthèse et Exercices récapitulatifs

Chaque chapitre se conclut avec une synthèse claire et précise. Celle-ci est suivie d’exercices récapitulatifs qui te permettent de retravailler de façon transversale toutes les notions vues.

GeoGebra

La visualisation de certains concepts et notions mathématiques est rendue possible grâce à l’utilisation de l’application GeoGebra. Soit via des manipulations, soit via des vidéos, tu es invité(e) à découvrir une notion ou comprendre la construction d’un schéma. Les GeoGebra sont proposés via des codes QR, mais sont également disponibles sur la plateforme numérique iDiddit.

Mode d’emploi simplifié pour accéder à la plateforme

Racine Math te permet d’accéder à iDiddit, la plateforme numérique d’apprentissage de VAN IN.

Tu trouveras ci-dessous les étapes à suivre pas à pas pour te connecter à iDiddit

Pour toute question, scanne le code QR à la fin de ce mode d’emploi. Il te renverra vers notre site

Internet où un guide plus détaillé est à ta disposition.

⚠ Attention : tu ne peux accéder à iDiddit qu’en ligne, sur un ordinateur ou une tablette !

Voici les étapes à suivre pour accéder rapidement à iDiddit :

1. Crée ton compte et connecte-toi sur iDiddit

a. Tu as déjà un compte Udiddit ?

Bonne nouvelle ! Tu peux te connecter à iDiddit avec ton compte Udiddit

Rends-toi sur www.ididdit.be/fr, ensuite clique sur le bouton « Se connecter ».

Connecte-toi de la même façon que sur Udiddit

b. Tu n’as pas encore de compte Udiddit ou iDiddit ?

�� Astuce : ton compte iDiddit te permettra également de te connecter sur Udiddit.

Rends-toi pour cela sur www.ididdit.be/fr, ensuite clique sur le bouton « Créer un compte ».

Tu peux créer ton compte iDiddit de deux façons différentes :

ÉditionsVANIN

• de manière traditionnelle en renseignant ton adresse e-mail, le mot de passe de ton choix ainsi que ton nom et ton prénom dans les champs adéquats. Clique ensuite sur « Inscription » afin de confirmer la création de ton compte iDiddit.

⚠ Attention : renseigne une adresse e-mail valide à laquelle tu as accès. Un e-mail te demandant de cliquer sur un lien pour valider la création de ton compte iDiddit te sera envoyé. Il est donc primordial que tu puisses recevoir et lire ce message.

Une fois ton compte validé en cliquant sur le lien du message électronique, tu seras automatiquement redirigé(e) vers iDiddit et tu pourras te connecter avec tes identifiants.

• Tu peux également créer un compte iDiddit en utilisant tes identifiants de connexion à Smartschool, Microsoft ou Google. Si tu disposes d’un compte Smartschool, Microsoft ou Google, clique simplement sur le logo correspondant au compte dont tu disposes et suis les étapes proposées.

⚠ Attention : ne crée par un compte sur iDiddit à l’aide de tes identifiants Smartschool, Microsoft ou Google si tu disposes déjà d’un compte Udiddit ou iDiddit. Ce faisant, tu créerais un second compte doublon de ton compte déjà existant. Si tu disposes déjà d’un compte Udiddit ou iDiddit et que tu souhaites t’identifier sur iDiddit à l’aide de ton compte Smartschool, Microsoft ou Google, tu peux lier les comptes dans le menu « Paramètres du compte » de iDiddit.

2. Lie ton compte iDiddit à ton école

Afin de bénéficier de toutes les fonctionnalités de iDiddit, il est nécessaire de lier ton compte iDiddit à ton école. Si tu n’es pas déjà lié(e) à une école lors de ta première connexion à iDiddit, une page « Se lier à une école » te proposera de le faire.

– Sur cette page « Se lier à une école », clique sur « Se lier en tant qu’élève ».

– Renseigne dans le champ adéquat le code de liaison à l’école (6 caractères) reçu de ton enseignant(e).

– Sélectionne ton nom dans la liste des élèves et clique sur « Terminer ».

– Ton compte iDiddit est maintenant lié à ton école !

�� Astuce : si tu ne disposes pas encore d’un code de liaison à l’école de 6 caractères, clique sur « Passer cette étape » en veillant à demander à iDiddit de te rappeler cette démarche plus tard. Si tu sélectionnes malencontreusement « Ne plus afficher », rassure-toi, tu peux toujours retrouver le bouton « Me lier à mon école » via le menu « Paramètres du compte » de iDiddit.

3. Ajoute ton livre-cahier Racine Math à iDiddit

Une fois connecté(e) à iDiddit, la page d’accueil te propose d’activer la méthode Racine Math à l’aide de ton code d’activation. Tu trouveras ce code d’activation de Racine Math à la deuxième page de cet ouvrage et ci-dessous.

– Sur la page d’accueil de iDiddit, clique sur le bouton te permettant d’activer une première méthode. Si tu disposes déjà de méthode(s) dans iDiddit et que ce bouton n’apparaît plus, tu peux accéder à ce bouton via « Mes méthodes » dans le menu « Paramètres du compte » de iDiddit

– Dans le menu « Mes méthodes », clique sur le bouton « Ajouter une méthode ».

ÉditionsVANIN

– Introduis le code d’activation de Racine Math dans le champ débutant par la lettre « V » et clique sur « Activer ». V I 4 Z 8 A 4 H G X G J J 7

Racine Math apparaît maintenant dans la liste de tes méthodes, associée au logo de iDiddit. Clique sur le titre Racine Math et navigue dans le contenu de la collection sur iDiddit

Nous te souhaitons un bon travail avec Racine Math et iDiddit. Pour toute question complémentaire, scanne le code QR suivant :

4 UAA ÉditionsVANIN

Objectifs

Connaître

• Tracer le graphique d’une fonction de référence.

• Associer un type de fonction de référence à une situation donnée.

• Identifier la relation de réciprocité qui unit les fonctions x → x2 et xx → , x → x3 et xx → 3 .

• Interpréter graphiquement les notions de croissance, décroissance, extremum, parité.

Appliquer

FONCTIONS DE RÉFÉRENCE ÉditionsVANIN

• Apparier des graphiques de transformées de fonctions de référence et des expressions analytiques et justifier.

• Trouver l’expression analytique d’une transformée d’une fonction de référence à partir de son graphique.

• Tracer le graphique d’une transformée d’une fonction de référence.

• Résoudre algébriquement et graphiquement des équations du type f(x) = r (r ∈ ℝ) où f est une transformée d’une fonction de référence.

Transférer

• Modéliser une situation par une transformée d’une fonction de référence pour en tirer des informations.

Introduction historique

Le concept de fonction est utilisé dans toutes les disciplines scientifiques : des mathématiques aux sciences humaines. Son principe est de mettre en relation différentes quantités.

Au XIVe siècle, Oresme exprime une fonction par une description de sa propriété ou par un graphe. Grâce à ses premières représentations graphiques, il établit une relation entre la vitesse et le temps.

Avec l’apport de Viète sur les notations littérales, des formules sont utilisées pour représenter des règles exprimant les lois de la physique. Galilée et Newton les exploitent pour décrire des trajectoires de points en mouvement.

En 1637, dans La Géométrie, Descartes expose l’idée d’une relation fonctionnelle entre une grandeur x et une autre grandeur y qui dépend de x

En 1673, Leibniz travaille sur ce sujet. C’est le premier à utiliser les mots « fonction » et « variable ».

Au XVIIIe siècle, Euler définit la fonction d’une quantité variable comme une expression analytique. On lui doit, entre autres, la notation f(x) et l’étude systématique des fonctions élémentaires, que nous appelons ici fonctions de référence.

Les fonctions de référence et leurs transformées, que nous étudions à travers ce chapitre, sont utilisées dans de nombreux domaines :

• en mathématique : pour approximer d’autres fonctions plus complexes ou pour définir d’autres notions comme les limites. Elles permettent aussi de modéliser l’aire d’une figure ou le volume d’un solide ;

• en physique : pour décrire la trajectoire d’un objet lorsqu’il est lâché sous l’action de la pesanteur ou propulsé par un moteur ;

• en météorologie : pour décrire des modèles de prédiction ;

• en finance : pour définir des polices d’assurance.

Théa organise une soirée all inclusive pour célébrer le nouvel an. La location de la salle coûte 900 €. Théa a défini un budget de 14 € par personne pour l’achat de la décoration, des zakouskis et des boissons.

Combien de personnes au minimum doivent participer à la soirée pour que Théa fasse un bénéfice en fixant le prix de l’entrée à 25 € ?

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de répondre à cette question !

Leibniz Euler

Prérequis

TEST DIAGNOSTIQUE

Connaître

1. Pour chaque graphique ci-dessous représentant une relation, indique s’il s’agit d’une fonction ou non. Justifie.

ÉditionsVANIN

Graphique123456789

Il s’agit d’une fonction

Il ne s’agit pas d’une fonction

Justification :

Appliquer

2. Soit f la fonction représentée ci-dessous.

(a) Précise les caractéristiques de f en complétant le tableau.

Domaine de définition f(–2) = …

Ensemble-image

Antécédent(s) de 3

Ordonnée à l’origine f(…) = –1

Zéro(s)

Image de 4

Minima en x = …

Maxima en x = …

(b) Dresse son tableau de signes et son tableau de variations.

ÉditionsVANIN

3. Voici l’expression analytique de deux fonctions du premier degré : f(x) = 3x – 1 et g(x) = –2x + 3.

(a) Détermine le(s) zéro(s), aussi appelé(s) racine(s), de chaque fonction.

(b) Calcule leur ordonnée à l’origine.

(c) Calcule l’image de 2 par ces fonctions.

(d) Résous algébriquement l’équation f(x) = –5.

(e) Après avoir représenté la fonction g dans le repère ci-dessous, résous graphiquement l’équation g(x) = –1.

FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

THÉORIE

Définition

Fonction

Soit f : ℝ → ℝ une relation. f est une fonction si pour tout réel x correspond au plus une image par f

Définitions

Domaine de définition, ensemble-image et graphe d’une fonction

Soit f : ℝ → ℝ une fonction. Le domaine de définition de f, noté dom f, est l’ensemble des réels x ayant une image par f

Soit f : ℝ → ℝ une fonction.

L’ensemble-image de f, noté im f, est l’ensemble des réels y ayant un antécédent par f

Soit f : ℝ → ℝ une fonction.

Le graphe de f, noté Gr f, est l’ensemble des points (x; f(x)) tels que x appartient à dom f : Gr f = {(x; f(x)) | x ∈ dom f }.

Remarque

Tout réel a appartenant au domaine de f a une seule image par f, mais tout réel b appartenant à l’ensemble-image de f peut avoir plusieurs antécédents par f

Définitions

Zéro et ordonnée à l’origine d’une fonction

Soient f : ℝ → ℝ une fonction et a un réel appartenant au domaine de f a est un zéro de f si a est l’abscisse d’un point d’intersection du graphe de f et de l’axe Ox. Algébriquement, trouver les zéros d’une fonction revient à trouver les valeurs de x telles que f(x) = 0.

ÉditionsVANIN

Soient f : ℝ → ℝ une fonction et b un réel. b est l’ordonnée à l’origine de f si b est l’ordonnée du point d’intersection du graphe de f et de l’axe Oy. Algébriquement, trouver l’ordonnée à l’origine d’une fonction revient à calculer f(0).

Définitions

Signe et variation d’une fonction

Étudier le signe d’une fonction revient à donner les intervalles sur lesquels les images sont strictement positives, strictement négatives ou nulles.

Étudier la variation d’une fonction revient à donner les intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante, strictement décroissante ou constante, ainsi qu’à préciser ses maxima et minima.

Exemple

y

Domaine de définition ℝ

Ensemble-image [–4; +∞[

Zéro(s) –3; 1; 5

Minima en x = … –3; 3

Maxima en x = … –1

Ordonnée à l’origine 2

Tableau

sur   et entraîne-toi avec des exercices complémentaires

1. Caractéristiques d’une fonction

DÉCOUVERTE 1

Activité 1 Croissance et décroissance d’une fonction

1. Considérons les fonctions représentées ci-dessous. Complète les phrases par « croissante », « strictement croissante », « décroissante » ou « strictement décroissante ». Sois le plus précis possible.

• f est sur [–3; 0] et est sur [0; 3].

• g est sur ℝ.

• h est sur ]–∞; 1] et est sur ]–∞; 3].

2. Considérons les fonctions f1 et f2 représentées ci-dessous.

(a) Quel est le type de croissance de ces fonctions ?

(b) Pour chaque fonction, complète le tableau de valeurs en choisissant des paires de valeurs de x1 et de x2 telles que x1 < x2.

xx1 = x2 = x1 = x2 = x1 = x2 = x1 = x2 = f1(x)

xx1 = x2 = x1 = x2 = x1 = x2 = x1 = x2 =

f2(x)

(c) Complète :

Si une fonction est croissante sur un intervalle I, pour chaque paire de réels x1 et x2 de cet intervalle telle que x1 < x2, on a que f(x1) f(x2).

πG

Tu viens de découvrir comment définir qu’une fonction f est croissante sur un intervalle I. En langage mathématique, f est croissante sur I si ∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).

3. Considérons les fonctions f3 et f4 représentées ci-dessous.

(a) Quel est le type de croissance de ces fonctions ?

(b) Pour chaque fonction, complète le tableau de valeurs en choisissant des paires de valeurs de x1 et de x2 telles que x1 < x2

xx1 = x2 = x1 = x2 = x1 = x2 = x1 = x2 =

f3(x) xx1 = x2 = x1 = x2 = x1 = x2 = x1 = x2 = f4(x)

(c) Complète :

Si une fonction est strictement décroissante sur un intervalle I, pour chaque paire de réels x1 et x2 de cet intervalle telle que x1 < x2, on a que f(x1) f(x2).

πG

Tu viens de découvrir comment définir qu’une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I.

En langage mathématique, f est strictement décroissante sur I si ∀ x1, x

4. Déduis-en les définitions de fonction décroissante et de fonction strictement croissante en langage mathématique.

Soient f une fonction et I un intervalle inclus dans le domaine de f

• f est décroissante sur I si

• f est strictement croissante sur I si

Activité 2 Extrema d’une fonction

Considérons la fonction f représentée ci-dessous.

1. Complète.

• f admet un maximum en x = et son maximum vaut

• f admet des minima en x = et en x = qui valent respectivement et .

2. Si une fonction admet un maximum en x = a,

(a) peut-on affirmer que l’image de a est la plus grande sur l’ensemble du domaine de la fonction ?

Base-toi sur le graphique de f pour y répondre.  Oui  Non

(b) peut-on affirmer que l’image de a est la plus grande sur un certain intervalle contenant a ?

Base-toi sur le graphique de f pour y répondre.  Oui  Non

3. Revenons à la fonction f.

(a) Donne un intervalle ouvert contenant 1 afin que l’image de 1 soit la plus grande dans cet intervalle.

(b) Complète :

La fonction f admet un maximum en x = 1 car

πG

Tu viens de découvrir comment définir qu’une fonction admet un maximum.

4. En suivant le même raisonnement, complète :

• La fonction f admet un minimum en x = –2 car

• La fonction f admet un minimum en x = 3 car

πG

Tu viens de découvrir comment définir qu’une fonction admet un minimum.

Activité 3 Parité d’une fonction

1. Considérons les fonctions f1, f2 et f3 représentées ci-dessous.

ÉditionsVANIN

(a) Les graphiques de ces fonctions ont une caractéristique commune. Quelle est-elle ?

(b) Sur la base des graphiques, complète le tableau de valeurs suivant.

x –11–22–33–44

f1(x)

f2(x)

f3(x)

(c) Quelle conclusion peux-tu tirer du tableau de valeurs par rapport à chaque fonction ?

(d) Traduis, en langage mathématique, la condition qu’une fonction f doit respecter pour avoir cette particularité.

∀ x ∈ dom f,

Tu viens de découvrir la notion de fonction paire.

• Une fonction est dite paire si pour tout réel de son domaine de définition, son opposé appartient aussi à son domaine et ces deux réels ont même image.

• Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe Oy

2. Considérons les fonctions f4, f5 et f6 représentées ci-dessous.

(a) Les graphiques de ces fonctions ont une caractéristique commune. Quelle est-elle ?

(b) Sur la base des graphiques, complète le tableau de valeurs suivant.

x –11–22–33–440

f4(x)

f5(x)

f6(x)

(c) Quelle conclusion peux-tu tirer du tableau de valeurs par rapport à chaque fonction ?

(d) Traduis, en langage mathématique, la condition qu’une fonction f doit respecter pour avoir cette particularité.

∀ x ∈ dom f,

(e) Pour une fonction f qui possède cette particularité :

Si 0 appartient au domaine de f, alors f(0) vaut

πG

Tu viens de découvrir la notion de fonction impaire.

• Une fonction est dite impaire si pour tout réel de son domaine de définition, son opposé appartient aussi à son domaine et ces deux réels ont des images opposées.

• Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport au centre (0; 0).

3. Existe-t-il des fonctions qui sont paires et impaires ?

THÉORIE

Définitions

Fonction (strictement) croissante et (strictement) décroissante sur un intervalle

Soient f : ℝ → ℝ une fonction et I un intervalle inclus dans le domaine de f f est croissante sur I si ∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).

Soient f : ℝ → ℝ une fonction et I un intervalle inclus dans le domaine de f. f est décroissante sur I si ∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).

ÉditionsVANIN

Soient f : ℝ → ℝ une fonction et I un intervalle inclus dans le domaine de f. f est strictement croissante sur I si ∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

Soient f : ℝ → ℝ une fonction et I un intervalle inclus dans le domaine de f. f est strictement décroissante sur I si ∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

Illustrations

La fonction f est croissante, car quels que soient les réels x1 et x2 choisis, si x1 est strictement plus petit que x2, alors l’image de x1 est plus petite que celle de x2.

La fonction g est décroissante, car quels que soient les réels x1 et x2 choisis, si x1 est strictement plus petit que x2, alors l’image de x1 est plus grande que celle de x2.

La fonction h est strictement croissante, car quels que soient les réels x1 et x2 choisis, si x1 est strictement plus petit que x2, alors l’image de x1 est strictement plus petite que celle de x2

La fonction i est strictement décroissante, car quels que soient les réels x1 et x2 choisis, si x1 est strictement plus petit que x2, alors l’image de x1 est strictement plus grande que celle de x2

Propriétés

• Si une fonction est strictement croissante, alors elle est aussi croissante. De même, si une fonction est strictement décroissante, alors elle est aussi décroissante.

• Les fonctions constantes sont à la fois des fonctions croissantes et décroissantes.

GeoGebra

Définitions

Maximum, minimum et extremum d’une fonction

Soient f : ℝ → ℝ une fonction et a un réel appartenant au domaine de f f(a) est un maximum de f si ∃ a1, a2 ∈ ℝ, a1 < a < a2 tel que ∀ x ∈ ]a1; a2[ ∩ dom f, f(x) ≤ f(a).

Soient f : ℝ → ℝ une fonction et a un réel appartenant au domaine de f. f(a) est un minimum de f si ∃ a1, a2 ∈ ℝ, a1 < a < a2 tel que ∀ x ∈ ]a1; a2[ ∩ dom f, f(x) ≥ f(a).

Soient f : ℝ → ℝ une fonction et a un réel appartenant au domaine de f. f(a) est un extremum de f si f(a) est un maximum ou un minimum de f

Illustrations

f(a) est un maximum de f, car on a trouvé un intervalle ]a1; a2[ contenant a tel que tout réel  x de cet intervalle a une image plus petite que celle de a

ÉditionsVANIN

g(a) est un minimum de g, car on a trouvé un intervalle ]a1; a2[ contenant a tel que tout réel  x de cet intervalle a une image plus grande que celle de a

Remarques

• Dire qu’une fonction f admet un maximum ou un minimum en a signifie que f(a) est respectivement un maximum ou un minimum de f

• Les définitions données pour un maximum ou un minimum d’une fonction sont celles d’un maximum ou d’un minimum local que tu as étudiées l’an dernier.

GeoGebra

Définition

Fonction paire

Soit f : ℝ → ℝ une fonction.

f est une fonction paire si ∀ x ∈ dom f, –x ∈ dom f et f(–x) = f(x).

Illustrations

Les fonctions f et g sont paires, car quel que soit le réel x appartenant à leur domaine, l’opposé de x appartient aussi à leur domaine et les réels x et –x ont même image.

Définition

Fonction impaire

Soit f : ℝ → ℝ une fonction. f est une fonction impaire si ∀ x

Illustrations

Les fonctions f et g sont impaires, car quel que soit le réel x appartenant à leur domaine, l’opposé de x appartient aussi à leur domaine et les réels x et –x ont des images opposées.

GeoGebra

GeoGebra

Propriétés

• Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe Oy.

• Le graphe d’une fonction impaire est symétrique par rapport au centre de symétrie O(0; 0).

• Le domaine d’une fonction paire ou d’une fonction impaire est symétrique par rapport à 0.

• Si f est une fonction impaire telle que 0 ∈ dom f, alors f(0) = 0.

• Seule la fonction nulle est à la fois paire et impaire.

EXERCICES

1. Sur la base des graphiques ci-dessous, donne la parité des fonctions représentées. Justifie.

• Les fonctions sont paires car

• Les fonctions sont impaires car

• Les fonctions ne sont ni paires ni impaires car

2. Complète la représentation graphique de chaque fonction afin que :

(a) f soit une fonction paire ;

(b) g soit une fonction impaire.

3. Quelles informations peux-tu déduire sur les fonctions f, g et h ? Coche la bonne réponse.

(a) ∀ a, b ∈ [–2; 6], a < b ⇒ f(a) ≤ f(b).

 f est croissante sur [–2; 6].

 f est décroissante sur [–2; 6].

 f est strictement croissante sur [–2; 6].

 f est strictement décroissante sur [–2; 6].

(b) ∀ x ∈ ]–3; –1[, g(x) ≥ g(–2).

 g admet un maximum en –2.

 g admet un minimum en –2.

 g est croissante sur ]–3; –1[.

 g est décroissante sur ]–3; –1[.

(c) ∃ a ∈ dom h, h(–a) ≠ –h(a) et h(–a) ≠ h(a).

 h est une fonction paire.

 h est une fonction impaire.

 h est une fonction qui n’est ni paire ni impaire.

4. Soit la fonction f représentée ci-dessous. Complète chaque phrase et justifie à l’aide des définitions données en langage mathématique.

(a) Parité : f est une fonction car

(b) Croissance : f est une fonction sur [–5; –2] car

(c) Type d’extremum : 4 est un de f car

5. Dans chaque repère orthonormé, trace le graphique d’une fonction respectant les conditions suivantes : (a) f est une fonction paire, de domaine [–5; 5] et d’ensemble-image [–2; 4].

(b) g est une fonction impaire qui possède trois zéros.

(c) h est une fonction telle que ∀ x ∈ ℝ, h(x) = h(–x) et ∀ x ∈ ]0; 4[, h(x) ≤ h(2).

(d) k est une fonction telle que :

• ∀ x ∈ ℝ, k(–x) = –k(x)

• ∀x1, x2 ∈ [–4; –1], x1 < x2 ⇒ k(x1) < k(x2)

• k(4) = 3

6. Complète le tableau de signes suivant, sachant que la fonction f est une fonction paire.

f(x) +0–0+0–

7. Complète le tableau de variations suivant, sachant que la fonction f est une fonction impaire et qu’elle est strictement croissante sur [–9; 0]. x –12 –9 f(x) ↗ –2

ÉditionsVANIN

8. Démontre que la fonction f définie par f(x) = x4 – 3x2 + 2 est paire.

9. Démontre que la fonction f définie par f(x) = –3x + 100 est strictement décroissante sur ℝ

DÉCOUVERTE 2

Activité Concavité

1. Lors de l’étude du graphe d’une fonction, il est possible d’observer la manière dont la courbe est tournée, vers le haut ou vers le bas. Cette caractéristique est appelée concavité. Décris la concavité (vers le haut : ∪ ou vers le bas : ∩) des graphes suivants.

• Le graphe de f a sa concavité tournée vers sur ℝ.

• Le graphe de g a sa concavité tournée vers sur ℝ– et vers sur ℝ+ .

• Le graphe de h a sa concavité tournée vers sur ]–∞; 1] et vers sur [1; +∞[.

2. Le graphe d’une fonction peut changer de concavité sur son domaine de définition. Un point correspondant au changement de concavité du graphe d’une fonction continue est appelé point d’inflexion.

(a) Sur chacun des graphiques ci-dessous, marque le(s) point(s) d’inflexion.

ÉditionsVANIN

(b) Complète.

• Le(s) point(s) d’inflexion du graphe de i est (sont)

• Le(s) point(s) d’inflexion du graphe de j est (sont)

• Le(s) point(s) d’inflexion du graphe de k est (sont)

THÉORIE

Définitions

Concavité d’une fonction

Le graphe d’une fonction f présente une concavité tournée vers le haut (∪) sur un intervalle si, sur cet intervalle, le graphe de f se trouve en dessous de tout segment qui relie deux points quelconques du graphe de f sur l’intervalle considéré.

Le graphe d’une fonction f présente une concavité tournée vers le bas (∩) sur un intervalle si, sur cet intervalle, le graphe de f se trouve au-dessus de tout segment qui relie deux points quelconques du graphe de f sur l’intervalle considéré.

Illustrations

Le graphe de f présente une concavité tournée vers le haut, car tout segment [AB] formé par deux points du graphe de f est situé au-dessus du graphe de f sur l’intervalle considéré.

Définition

Point d’inflexion

Le graphe de g présente une concavité tournée vers le bas, car tout segment [AB] formé par deux points du graphe de g est situé en dessous du graphe de g sur l’intervalle considéré.

Un point d’inflexion (PI) est un point correspondant au changement de concavité du graphe d’une fonction continue.

Illustrations

Le graphe de f admet un point d’inflexion (PI), car sa concavité change (tournée vers le haut puis tournée vers le bas) en ce point. 1

2. Graphiques des fonctions de référence

DÉCOUVERTE – THÉORIE

1. La fonction identité

Considérons la fonction f définie par f(x) = x

(a) Complète le tableau de valeurs suivant.

x –5–3–10135

f(x)

(b) Représente graphiquement cette fonction et donne ses caractéristiques.

dom f = im f =

Zéro(s) :

Ordonnée à l’origine :

Parité :

Tableau de signes :

x f(x) Tableau de variations : x f(x)

2. La fonction carré

Considérons la fonction f définie par f(x) = x2 .

(a) Complète le tableau de valeurs suivant. x –3–2–10 1 2 3

(b) Représente graphiquement cette fonction et donne ses caractéristiques.

dom f = im f =

Zéro(s) :

Ordonnée à l’origine :

Parité :

Tableau de signes : x f(x)

Tableau de variations :

(x)

3. La fonction racine carrée

Considérons la fonction f définie par fx x ()=

(a) Complète le tableau de valeurs suivant. x 014916

f(x)

(b) Représente graphiquement cette fonction et donne ses caractéristiques.

dom f = im f =

Zéro(s) :

Ordonnée à l’origine :

Parité :

Tableau de signes :

Tableau de variations :

4. La fonction cube

Considérons la fonction f définie par f(x) = x3 .

(a) Complète le tableau de valeurs suivant.

x –3–2–10123

f(x)

(b) Représente graphiquement cette fonction et donne ses caractéristiques.

dom f = im f = Zéro(s) :

Ordonnée à l’origine :

Parité :

Point d’inflexion :

Tableau de signes : x f(x)

Tableau de variations : x f(x)

5. La fonction racine cubique

Considérons la fonction f définie par fx x ()=3 .

(a) Complète le tableau de valeurs suivant. x –27–8–101827

f(x)

(b) Représente graphiquement cette fonction et donne ses caractéristiques.

dom f = im f =

Zéro(s) :

Ordonnée à l’origine :

Parité :

Point d’inflexion :

Tableau de signes : x f(x)

Tableau de variations :

)

6. La fonction inverse

Considérons la fonction f définie par fx x ()=1

(a) Complète le tableau de valeurs suivant. x –4–2–1

f(x)

(b) Représente graphiquement cette fonction et donne ses caractéristiques.

dom f = im f =

Zéro(s) :

Ordonnée à l’origine :

Parité :

Asymptotes :

Tableau de signes :

x f(x)

Tableau de variations : x f(x)

Tu peux observer sur le graphe que la fonction inverse s’approche de plus en plus de la droite verticale d’équation x = 0 et de la droite horizontale d’équation y = 0 sans jamais les atteindre. Ces droites sont appelées des asymptotes.

7. La fonction valeur absolue

Considérons la fonction f définie par f(x) =|x|.

(a) Complète le tableau de valeurs suivant.

x –5–3–10135

f(x)

(b) Représente graphiquement cette fonction et donne ses caractéristiques.

dom f = im f =

Zéro(s) :

Ordonnée à l’origine :

Parité :

Tableau de signes : x f(x)

8. Les fonctions constantes

Considérons la fonction f définie par f(x) = r où r ∈ ℝ.

Tableau de variations : x f(x)

(a) Complète le tableau de valeurs suivant. x –5–3–10135

(x)

(b) Représente graphiquement les fonctions constantes f1(x) = 2 et f2(x) = –1 et donne les caractéristiques d’une fonction constante f(x) = r pour un réel r quelconque.

dom f = im f = Zéro(s) :

Ordonnée à l’origine :

Parité :

Tableau de signes : x f(x)

Tableau de variations : x

(x)

Définition

Fonctions réciproques

Deux fonctions sont dites réciproques l’une de l’autre si leurs graphes sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Propriétés

Relations de réciprocité

• Les fonctions cube et racine cubique sont réciproques l’une de l’autre sur ℝ.

• Les fonctions carré et racine carrée sont réciproques l’une de l’autre sur ℝ+

ÉditionsVANIN

Remarque

Soient f et g deux fonctions réciproques l’une de l’autre et soient a et b deux réels. Le point (a; b) appartient au graphe de f si et seulement si le point (b; a) appartient au graphe de g.

EXERCICES

1. Des fonctions de référence ont été partiellement représentées. Complète leur graphique et donne leur expression analytique.

2. Parmi les fonctions de référence, donne l’expression analytique

(a) de deux fonctions paires :

(b) de deux fonctions impaires :

3. Parmi les fonctions de référence,

(a) donne une fonction positive sur son domaine de définition.

(b) donne une fonction dont le graphique est symétrique par rapport à l’origine d’un repère orthonormé.

(c) donne une fonction définie sur ℝ+

(d) donne une fonction strictement croissante sur son domaine de définition.

(e) donne une fonction qui n’est pas définie sur ℝ

ÉditionsVANIN

4. Nomme les fonctions de référence qui ont un point d’inflexion.

3. Transformées de fonctions

DÉCOUVERTE

Considérons la fonction f définie par fx x ()= Plusieurs fonctions g sont définies ci-dessous.

1. gx x ()=+3

(a) Complète le tableau de valeurs suivant.

x 0149

g(x)

(b) Dans le repère ci-dessous, représente graphiquement la fonction g.

(c) Complète :

Si le point P(x; y) appartient au graphe de f, alors les coordonnées de ce point deviennent P′( ;  ) pour le graphe de g

(d) Quelle transformation du plan permet de passer du graphe de f au graphe de g ?

ÉditionsVANIN

(e) Qu’en est-il pour la fonction h définie par hx x ()=-1 ? Conjecture le résultat en faisant varier k dans l’animation GeoGebra suivante ou en représentant la fonction h dans le repère ci-dessus.

Le graphe d’une fonction du type f(x) + k où k ∈ ℝ est obtenu en effectuant une translation verticale de k unités du graphe de f.

GeoGebra

2. gx x ()=+3

(a) Complète le tableau de valeurs suivant.

x –3–216

g(x)

(b) Dans le repère ci-dessous, représente graphiquement la fonction g

(c) Complète :

Si le point P(x; y) appartient au graphe de f, alors les coordonnées de ce point deviennent P′( ;  ) pour le graphe de g.

(d) Quelle transformation du plan permet de passer du graphe de f au graphe de g ?

(e) Qu’en est-il pour la fonction h définie par hx x ()=–1 ? Conjecture le résultat en faisant varier k dans l’animation GeoGebra suivante ou en représentant la fonction h dans le repère ci-dessus.

ÉditionsVANIN

Le graphe d’une fonction du type f(x + k) où k ∈ ℝ est obtenu en effectuant une translation horizontale de –k unités du graphe de f

3. gx x ()=-

(a) Complète le tableau de valeurs suivant.

x 0149

g(x)

GeoGebra

(b) Dans le repère ci-dessous, représente graphiquement la fonction g.

(c) Complète :

Si le point P(x; y) appartient au graphe de f, alors les coordonnées de ce point deviennent P′( ;  ) pour le graphe de g

(d) Quelle transformation du plan permet de passer du graphe de f au graphe de g ?

πG

Le graphe d’une fonction du type –f(x) est obtenu en effectuant une symétrie orthogonale d’axe Ox du graphe de f

4. gx x ()=-

(a) Complète le tableau de valeurs suivant.

x –9–4–10 g(x)

(b) Dans le repère ci-dessous, représente graphiquement la fonction g

ÉditionsVANIN

(c) Complète :

Si le point P(x; y) appartient au graphe de f, alors les coordonnées de ce point deviennent P′( ;  ) pour le graphe de g

(d) Quelle transformation du plan permet de passer du graphe de f au graphe de g ?

πG

Le graphe d’une fonction du type f(–x) est obtenu en effectuant une symétrie orthogonale d’axe Oy du graphe de f.

5. gx x ()=2

(a) Complète le tableau de valeurs suivant. x 014916

g(x)

(b) Dans le repère ci-dessous, représente graphiquement la fonction g

8 f x y

(c) Complète :

Si le point P(x; y) appartient au graphe de f, alors les coordonnées de ce point deviennent P′( ;  ) pour le graphe de g

(d) Quelle transformation du plan permet de passer du graphe de f au graphe de g ?

(e) Qu’en est-il pour la fonction h définie par hx x ()=1 2  ? Conjecture le résultat en faisant varier k dans l’animation GeoGebra suivante ou en représentant la fonction h dans le repère ci-dessus.

G

ÉditionsVANIN

Le graphe d’une fonction du type k·f(x) où k ∈ ℝ est obtenu en effectuant une déformation verticale du graphe de f

GeoGebra

6. gx x ()=2

(a) Complète le tableau de valeurs suivant.

g(x)

(b) Dans le repère ci-dessous, représente graphiquement la fonction g.

(c) Complète :

Si le point P(x; y) appartient au graphe de f, alors les coordonnées de ce point deviennent P′( ;  ) pour le graphe de g.

(d) Quelle transformation du plan permet de passer du graphe de f au graphe de g ?

(e) Qu’en est-il pour la fonction h définie par hx x ()=2  ? Conjecture le résultat en faisant varier k dans l’animation GeoGebra suivante ou en représentant la fonction h dans le repère ci-dessus.

GeoGebra

Le graphe d’une fonction du type f(k ⋅ x) où k ∈ ℝ est obtenu en effectuant une déformation horizontale du graphe de f.

πG

THÉORIE

1. Transformées de fonctions par translation

Propriété

Transformées de fonctions par translation verticale

Soit f : ℝ → ℝ : x ↦ f(x) une fonction.

Pour obtenir le graphe de la fonction g définie par g(x) = f(x) + k où k ∈ ℝ, le graphe de la fonction f a subi une translation de vecteur 0 k , c’est-à-dire une translation verticale de |k| unités vers le haut si k ≥ 0 et vers le bas si k < 0.

Exemples

Pour obtenir la courbe

d’équation y = x2 + 2, le graphe de la fonction carré a subi une translation de vecteur 0 2 , c’està-dire une translation verticale de 2 unités vers le haut.

ÉditionsVANIN

Pour obtenir la courbe

d’équation y = |x|– 3, le graphe de la fonction valeur absolue a subi une translation de vecteur 0 , c’est-à-dire

une translation verticale de 3 unités vers le bas.

Pour obtenir la courbe

d’équation y = f(x) + 4, le graphe de la fonction f a subi une translation de vecteur 0 4 ,

c’est-à-dire une translation verticale de 4 unités vers le haut.

Pour obtenir la courbe

d’équation y = f(x) – 1, le graphe de la fonction f a subi une translation de vecteur 0 ,

c’est-à-dire une translation verticale de 1 unité vers le bas.

Propriété

Transformées de fonctions par translation horizontale

Soit f : ℝ → ℝ : x ↦ f(x) une fonction.

Pour obtenir le graphe de la fonction g définie par g(x) = f(x+k) où k ∈ ℝ, le graphe de la fonction f a subi une translation de vecteur -k 0 , c’est-à-dire une translation horizontale de |k| unités vers la gauche si k ≥ 0 et vers la droite si k < 0.

Exemples

Pour obtenir la courbe d’équation y = (x + 2)2, le graphe de la fonction carré a subi une translation de vecteur -2 0 , c’est-à-dire une translation de 2 unités vers la gauche.

Pour obtenir la courbe d’équation y = (x – 4)3, le graphe de la fonction cube a subi une translation de vecteur 4 0 , c’est-à-dire une translation de 4 unités vers la droite.

ÉditionsVANIN

Pour obtenir la courbe d’équation y = f(x + 3), le graphe de la fonction f a subi une translation de vecteur -3 0 , c’est-à-dire une translation de 3 unités vers la gauche.

Pour obtenir la courbe d’équation y = f(x – 1), le graphe de la fonction f a subi une translation de vecteur 1 0 , c’est-à-dire une translation de 1 unité vers la droite.

2. Transformées de fonctions par symétrie orthogonale

Propriété

Transformées de fonctions par symétrie orthogonale d’axe Ox

Soit f : ℝ → ℝ : x ↦ f(x) une fonction.

Pour obtenir le graphe de la fonction g définie par g(x) = –f(x),

le graphe de la fonction f a subi une symétrie orthogonale d’axe Ox.

Exemples

Pour obtenir la courbe d’équation y = –x2, le graphe de la fonction carré a subi une symétrie orthogonale d’axe Ox

Propriété

Pour obtenir la courbe d’équation y = –f(x), le graphe de la fonction f a subi une symétrie orthogonale d’axe Ox

Transformées de fonctions par symétrie orthogonale d’axe Oy

Soit f : ℝ → ℝ : x ↦ f(x) une fonction.

Pour obtenir le graphe de la fonction g définie par g(x) = f(–x), le graphe de la fonction f a subi une symétrie orthogonale d’axe Oy

Exemples

Pour obtenir la courbe d’équation y x=– , le graphe de la fonction racine carrée a subi une symétrie orthogonale d’axe Oy

Pour obtenir la courbe d’équation y = f(–x), le graphe de la fonction f a subi une symétrie orthogonale d’axe Oy.

3. Transformées de fonctions par affinité

Propriété

Transformées de fonctions par transformation affine des ordonnées

Soit f : ℝ → ℝ : x ↦ f(x) une fonction.

Pour obtenir le graphe de la fonction g définie par g(x) = k f(x) où k ∈ ℝ, le graphe de la fonction f a subi une multiplication de ses ordonnées par k

Exemples

Pour obtenir la courbe d’équation yx =3 , le graphe de la fonction racine carrée a subi une multiplication de ses ordonnées par 3.

Remarques

ÉditionsVANIN

Pour obtenir la courbe d’équation yf x = 1 2() , le graphe de la fonction f a subi une multiplication de ses ordonnées par 1 2 . Cela revient à parler d’une division de ses ordonnées par 2.

• Parler d’une multiplication des ordonnées par k pour les points du graphe d’une fonction revient, graphiquement, à effectuer un étirement vertical du graphique de cette fonction si k > 1, et une compression verticale du graphique de cette fonction si 0 < k < 1.

• Si k < 0, parler d’une multiplication des ordonnées par k pour les points du graphe d’une fonction revient à effectuer une symétrie orthogonale d’axe Ox et une multiplication des ordonnées par |k|.

Propriété

Transformées de fonctions par transformation affine des abscisses

Soit f : ℝ → ℝ : x ↦ f(x) une fonction.

Pour obtenir le graphe de la fonction g définie par g(x) = f(k·x) où k ∈ ℝ, le graphe de la fonction f a subi une division de ses abscisses par k.

Exemples

Pour obtenir la courbe d’équation y x = 3 3 , le graphe de la fonction cube a subi une division de ses abscisses par 1 3 . Cela revient à parler d’une multiplication de ses abscisses par 3.

Remarques

Pour obtenir la courbe d’équation y = f(2x), le graphe de la fonction f a subi une division de ses abscisses par 2.

• Parler d’une division des abscisses par k pour les points du graphe d’une fonction revient, graphiquement, à effectuer une compression horizontale du graphique de cette fonction si k > 1, et un étirement horizontal du graphique de cette fonction si 0 < k < 1.

• Si k < 0, parler d’une division des abscisses par k pour les points du graphe d’une fonction revient à effectuer une symétrie orthogonale d’axe Oy et une division des abscisses par |k|.

EXERCICES

1. Associe chaque expression analytique au graphique qui lui correspond. Justifie ton choix. (a) f(x) = (x – 3)2 + 2 h(x) = x2 – 1 jx x ()()=-21 2 2 g(x) = (x + 3)2 – 2 i

La fonction f est représentée graphiquement sur le graphique n° car

La fonction g est représentée graphiquement sur le graphique n° car

ÉditionsVANIN

La fonction h est représentée graphiquement sur le graphique n° car

La fonction i est représentée graphiquement sur le graphique n° car

La fonction j est représentée graphiquement sur le graphique n° car

La fonction k est représentée graphiquement sur le graphique n° car

)

)

ÉditionsVANIN

La fonction f est représentée graphiquement sur le graphique n° car

La fonction g est représentée graphiquement sur le graphique n° car

La fonction h est représentée graphiquement sur le graphique n° car

La fonction i est représentée graphiquement sur le graphique n° car

La fonction j est représentée graphiquement sur le graphique n° car

La fonction k est représentée graphiquement sur le graphique n° car

2. Pour chaque fonction définie ci-dessous :

• représente la fonction de référence associée ;

• représente la fonction donnée.

(a) f1(x) = |x + 2|

(b) f x x 2 1 1 ()2 =-

(c) fx x 33 ()=-

(d) fx x 43()=-

(g) f x x 7 13 ()4() = + - (h) f x x 8312 ()= + -

(i) fx x 9 13 2 ()32 () =+ - (j) fx x 10 ()2426 () =+-

ÉditionsVANIN

3. Détermine l’expression analytique des fonctions représentées ci-dessous. Indique ton raisonnement.

f(x) =

Justification : g(x) =

Justification :

h(x) =

Justification : i(x) =

Justification :

j(x) =

Justification : k(x) =

Justification :

l(x) =

Justification :

m(x) =

Justification :

4. Complète le tableau suivant.

Expression analytique de la fonction de référence f

Exemple :

Expression analytique de la transformée g

f(x) = x3 g(x) = 3x3 + 1

gx x ()= + + 2 3 1

Transformations du plan subies par le graphe de f pour obtenir le graphe de g

Un étirement vertical de facteur 3 suivi d’une translation verticale de 1 unité vers le haut.

Si (x; y) appartient au graphe de f, alors un point du graphe de g est

(x; 3y + 1)

fx x ()=

Une symétrie orthogonale d’axe Ox et une translation horizontale de 4 unités vers la gauche.

fx x ()=3 xy ; 1 2 1

5. Soit la fonction f définie par f(x) = x3 .

(a) Dans un repère orthonormé, représente la fonction f

(b) Dans le même repère, représente en vert la fonction g définie par g(x) = |f(x)|.

(c) Quelle(s) transformation(s) le graphe de f a-t-il subie(s) pour obtenir le graphe de g ?

(d) Applique la même démarche pour représenter les fonctions suivantes :

fx x 1()3

fx x 2 ()1 =

f3(x) = |x2 – 4|

f4(x) = |(x – 1)2 – 3|

f5(x) = |x3 – 1|

fx x 6 1 1 ()––2 +

6. La tension U (en volts) aux bornes d’une résistance R (en ohms) est proportionnelle à l’intensité I du courant électrique (en ampères) qui la traverse suivant la formule U = R · I. Sachant que la tension mesurée aux bornes de la résistance doit être de 230 V :

(a) Exprime l’intensité du courant en fonction de la valeur de la résistance utilisée.

(b) Quelle fonction de référence a été transformée pour obtenir la fonction I ?

(c) Donne les transformations du plan qui permettent de passer du graphe de la fonction de référence au graphe de I.

(d) Pour un conducteur ohmique, la puissance électrique P perdue par effet de Joule est donnée par P = R · I2. Sachant que la résistance a une valeur de 150 ohms, exprime la puissance de la résistance en fonction de l’intensité du courant.

(e) Quelle fonction de référence a été transformée pour obtenir la fonction P ?

(f) Donne les transformations du plan qui permettent de passer du graphe de la fonction de référence au graphe de P.

(g) À partir de la formule obtenue en (d), exprime l’intensité de courant en fonction de la puissance.

(h) Quelle fonction de référence a été transformée pour obtenir la fonction I ?

(i) Donne les transformations du plan qui permettent de passer du graphe de la fonction de référence au graphe de I

7. Lors d’un match de football, Youri effectue une passe à un de ses coéquipiers. La trajectoire de la balle, exprimée en mètres, est donnée par la fonction f définie par f(x) = + 1 8 32 2() x . Le repère dans lequel cette fonction est placée est situé comme ceci :

(a) Cette fonction est la transformée d’une fonction de référence. De quelle fonction s’agit-il ?

(b) Représente cette fonction ci-dessous à l’aide des manipulations de la fonction de référence.

Manipulations appliquées :

(c) À quelle distance de la ligne médiane (ligne séparant le terrain en deux parties égales) se trouve Youri ?

(d) À quelle distance de cette ligne médiane Romelu doit-il se placer pour recevoir la balle à ses pieds ? On suppose qu’aucun autre joueur n’est sur la trajectoire du ballon.

4. Résolution d’équations

DÉCOUVERTE

Activité 1 Résolution graphique d’une équation

1. Afin de résoudre graphiquement l’équation x +-=3123, réalise les étapes suivantes :

(a) représente ci-dessous la fonction f définie par f xx ()=+-312  ;

(b) représente la fonction constante g définie par g(x) = –3 ;

(c) marque le (ou les) point(s) d’intersection des graphes de f et de g.

2. Quel lien y a-t-il entre ce point et les solutions de l’équation ?

3. Donne l’ensemble des solutions de cette équation.

Activité 2 Déterminer algébriquement les zéros d’une fonction

Tu sais déjà déterminer graphiquement les zéros d’une fonction.

1. Quelle équation dois-tu résoudre pour déterminer algébriquement le(s) zéro(s) de la fonction f définie par fx x ()=+ + 1 2 1 ?

2. Résous algébriquement cette équation et déduis-en le(s) zéro(s) de f

3. Vérifie graphiquement le zéro obtenu.

Activité 3 Domaine d’une transformée d’une fonction référence

ÉditionsVANIN

1. Considérons la fonction f définie par f(x) = (x – 2)3 + 1.

(a) Peut-on donner toutes les valeurs à x ?

(b) Donne les conditions d’existence de cette fonction.

(c) Déduis-en le domaine de définition de cette fonction.

2. Considérons la fonction g définie par gx x ()= +1 2 4 .

(a) Peut-on donner toutes les valeurs à x ?

(b) Donne les conditions d’existence de cette fonction.

(c) Déduis-en le domaine de définition de cette fonction.

3. Considérons la fonction h définie par h xx ()=-3 .

(a) Peut-on donner toutes les valeurs à x ?

(b) Donne les conditions d’existence de cette fonction.

(c) Déduis-en le domaine de définition de cette fonction.

THÉORIE

Méthodo

Résolution graphique d’une équation

Pour résoudre graphiquement une équation du type f(x) = r où r ∈ ℝ :

1. représente dans un repère orthonormé la fonction f ;

2. représente dans le même repère la fonction constante g(x) = r ;

3. note l’ensemble des solutions, abscisses des points d’intersection entre les graphes de f et de g.

Méthodo

Résolution algébrique d’une équation

Pour résoudre algébriquement une équation du type f(x) =  r où r ∈ ℝ, isole la variable x en respectant les règles relatives aux priorités des opérations.

Définition

Zéros d’une fonction

Soit f : ℝ → ℝ une fonction.

Les zéros de f sont les solutions de l’équation f(x) = 0.

Définition

Domaine d’une fonction

Soit f : ℝ → ℝ une fonction.

Le domaine de f, noté dom f, est l’ensemble des réels x ayant une image par f.

Méthodo

Déterminer le domaine d’une fonction

Pour déterminer le domaine d’une fonction définie par son expression analytique, on détermine les conditions d’existence de cette fonction, notées CE.

Parmi les fonctions étudiées dans ce chapitre, seules les transformées des fonctions racine carrée et inverse en admettent.

Propriété

Conditions d’existence des fonctions de référence

Soient A et B des fonctions polynômiales.

Expression analytiqueConditions d’existence (CE)

A(x) Pas de CE

Ax Bx () () B(x) ≠ 0 Ax() A(x) ≥ 0

Exemples

• Soit f la fonction définie par f xx ()=-+283.

CE : x – 8 ≥ 0 ⇔ x ≥ 8.

Donc dom f = [8; +∞[.

• Soit g la fonction définie par gx x ()=1 27 6.

ÉditionsVANIN

CE : 270277 2 xx x.

Donc domg =  \7 2

Remarques

• Les domaines de transformées de fonctions peuvent être obtenus en analysant les transformations successives subies par le graphe de la fonction de référence.

• Il existe des fonctions dont l’expression analytique comporte plusieurs racines carrées et/ou dénominateurs. Dans ce cas, plusieurs conditions d’existence sont à noter.

EXERCICES

1. Considérons les fonctions f et g définies et représentées ci-dessous.

(a) fx x ()=-+21

Résous graphiquement :

I. -+=-213 x S =

II.  -+=211 2 x S =

III. -+=211 x S =

IV. -+=213 x

(b) g(x) = –(x + 1)2 + 2

Résous graphiquement :

I.   –(x + 1)2 + 2 = 2,3 S =

II.  –(x + 1)2 + 2 = 2 S =

III. –(x + 1)2 + 2 = 1 S =

IV. –(x + 1)2 + 2 = –2

2. Résous graphiquement les équations suivantes et vérifie algébriquement ton résultat.

(a) () x+= 5 4 13 3

Résolution graphique :

Vérification algébrique :

(b)+ =1 2 2 x  Résolution graphique : −5−4−3−2−1123

Vérification algébrique :

S =

3. Résous algébriquement les équations suivantes et vérifie tes solutions à l’aide de GeoGebra.

(a) 3x2 – 1 = 242

(b) x +=343

(c) (2x)3 = 1 000 000 (d) 11 25 0 x +=

ÉditionsVANIN

(e) 9271 x +-=

(f) 2 4 113 x+=

(g) 3|x – 6| = 23

(h) 5(x + 2)2 + 4 = 0

4. Détermine le domaine et le(s) zéro(s) des transformées de fonctions de référence données ci-dessous.

(a) f(x) =  31 x -

ÉditionsVANIN

(b) f(x) = |x + 2| + 4

(c) f(x) =  4 2 6 x-

(d) f(x) = 2(x – 1)2 – 50

(e) f(x) = x3 + 6

ÉditionsVANIN

(f) f(x) =  3932 x -+

(g) f(x) =  248 x -+

(h) f(x) =  1 515 1 x + +

5. Recherche le domaine de définition des fonctions définies ci-dessous.

Tu peux t’aider du code QR suivant pour résoudre cet exercice :

(a) fx x x ::  →  5 32 3 2+

(b) fx x x :: ()  →  41 55 2 3-

(c) fx x x ::  →  82 416 + -

(d) fx x x ::  →  82 416 + -

(e) fx x x ::  →  82 416 + -

(f) fx x x ::  →  82 164 + -

ÉditionsVANIN

(g) fx x x ::  →  82 1643 +

(h) fx x x ::  →  +1 324

6. Soit la fonction f dont le domaine est [4; +∞[.

Détermine le domaine des fonctions g, h et i définies par g(x) = f(x + 5) – 1, h

Documents

7. Pour repeindre tous les locaux d’une école, une entreprise estime qu’un ouvrier a besoin de 50 jours. Le graphique suivant donne le nombre de jours de travail nécessaires en fonction du nombre de peintres travaillant sur ce chantier.

(a) Donne l’expression analytique de la fonction f représentée ci-dessus.

(b) Combien d’ouvriers au minimum doivent être présents sur le chantier si l’école exige que le travail soit achevé au bout de 4 jours et demi ?

8. Au tennis, pour être utilisée en compétition, une balle doit être homologuée par la FIT (Fédération internationale de tennis), et avoir un diamètre compris entre 6,35 et 6,67 cm.

(a) Détermine l’intervalle de valeurs que peut prendre le rayon de la balle.

(b) Donne l’expression analytique de la fonction qui donne le volume V d’une sphère en fonction de son rayon r

(c) Représente cette fonction dans le repère pour des valeurs du rayon comprises entre 0 et 5 cm.

Rayon (en cm)

(d) En supposant qu’une balle de tennis soit parfaitement sphérique, détermine algébriquement les valeurs que ce volume peut prendre s’il respecte les contraintes de la FIT. Vérifie ta réponse graphiquement.

9. Un artisan aimerait fabriquer une œuvre ayant la forme d’un cube sur sa pointe.

ÉditionsVANIN

(a) Détermine la surface S du cube en fonction de la longueur x des arêtes, exprimée en mètres.

(b) Sachant qu’il a acheté une plaque métallique de 1,5 m2 qu’il peut fondre, découper et souder afin de lui donner la forme souhaitée, quelle est la longueur de l’arête du plus gros cube qu’il peut réaliser ?

(c) Détermine le volume V du cube en fonction de la longueur x des arêtes, exprimée en mètres.

(d) Quel est le volume maximal qu’il peut obtenir avec sa plaque de 1,5 m2 ?

(e) L’artisan souhaite réaliser un cube dont le volume est égal à 91 125 cm3. Est-ce possible ? Si oui, précise la longueur x de l’arête correspondant à ce cube.

10. La vitesse v (en km/h) d’un satellite tournant autour de la Terre selon une trajectoire circulaire est approximée par la formule suivante

vh h ()= + 2268076 6371

où h est l’altitude (en km) du satellite.

(a) Les satellites géostationnaires sont situés à une altitude de 35 786 km. Quelle est alors la vitesse, arrondie au km/h, de ces satellites ?

(b) Lorsque la vitesse du satellite est de 10 000 km/h, à quelle altitude se situe-t-il ? Arrondis ta réponse au kilomètre près.

(c) Lorsque l’altitude du satellite augmente, comment varie la vitesse de ce satellite ? Justifie.

SYNTHÈSE

Caractéristiques d’une fonction – Définitions mathématiques

• Variation

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si

Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si

Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si

• Extremum

Soient f une fonction et a ∈ dom f

f(a) est un maximum de f si

∃ a1, a2 ∈ ℝ, a1 < a < a2 tel que ∀ x ∈ ]a1; a2[ ⋂ dom f, f(x) ≤ f(a). 1 1 0 f a1 a2 a f(a) x f(x) x y

Soient f une fonction et a ∈ dom f f(a) est un minimum de f si

∃ a1, a2 ∈ ℝ, a1 < a < a2 tel que ∀ x ∈ ]a1; a2[ ⋂ dom f,

f(x) ≥ f(a). 1 1 0 f a1 a2 a f(a) x f(x) x y

• Parité

Une fonction f est paire si

∀ x ∈ dom f, –x ∈ dom f et f(–x) = f(x).

Une fonction f est impaire si ∀ x ∈ dom f, –x ∈ dom f et f(–x) = –f(x).

x ) f (−x) x y

Représentations graphiques des fonctions de référence

• La fonction identité

f(x) = x

• La fonction carré

f(x) = x2

• Les fonctions constantes

f(x) = r où r ∈ ℝ

Par exemple, f1(x) = 2 et f2(x) = –1

• La fonction cube

f(x) = x3

• La fonction racine carrée

f(x) = x 1 23 4 56789 10 1 0 2 3 4 f x y

• La fonction inverse

f(x) = 1 x

• La fonction racine cubique

f(x) = x 3

−4 −3−2 −11 23 4 5678

−1 1 0 2 f x y

• La fonction valeur absolue f(x) = |x|

−4 −3−2 −11 0 23 4 5 1 2 3 4 5 f x y

Transformées de fonctions

Soit f une fonction et k un réel.

Pour obtenir le graphe de g, le graphe de f a subi

g(x) = f(x) + k une translation de vecteur 0 k , c’est-à-dire une translation verticale de |k| unités vers le haut si k ≥ 0 et vers le bas si k < 0

ÉditionsVANIN

g(x) = f(x + k) une translation de vecteur -k 0 , c’est-à-dire une translation horizontale de |k| unités vers la gauche si k ≥ 0 et vers la droite si k < 0

g(x) = –f(x)une symétrie orthogonale d’axe Ox

g(x) = f(–x)une symétrie orthogonale d’axe Oy

g(x) = k f(x)une multiplication de ses ordonnées par k

g(x) = f(k ⋅ x)une division de ses abscisses par k

EXERCICES RÉCAPITULATIFS

1. Complète les définitions ci-dessous et illustre-les graphiquement sur une feuille à part.

(a) La fonction f est si ∀ x ∈ dom f, –x ∈ dom f et f(–x) = –f(x).

(b) La fonction g est si ∀ x, y ∈ [–3; 0], x < y ⇒ g(x) ≤ g(y).

2. f est une fonction qui admet le tableau de variations suivant :

Pour chaque assertion, coche la bonne réponse.

(a) Le domaine de définition de cette fonction est

 [0; 2]

 [–2; 4]

 [–3; 12]

(b) L’ensemble-image de cette fonction est

 [0; 2]

 [–2; 4]

 [–3; 12]

(c) f est telle que

 ∀ x ∈ ]–3; 12[, f(x) ≥ –1

 ∀ x ∈ ]1; 3[, f(x) ≥ –1

 ∀ x ∈ ]–3; 4[, f(x) ≥ f(–1)

(d) Si x est une valeur comprise entre 4 et 9, alors

 f(4) ≥ f(x) ≥ f(9)

 f(4) ≤ f(x) ≤ f(9)

 f(4) = f(x) = f(9)

(e) Soient x1 et x2 deux réels appartenant à [9; 12]. Si x1 < x2, alors

 f(x1) < f(x2)

 f(x1) > f(x2)

 on ne peut le déterminer

(f) L’équation f(x) =1 admet

ÉditionsVANIN

 une solution

 deux solutions

 trois solutions

 quatre solutions

3. Considérons une fonction f définie sur ℝ

(a) Si f est paire et strictement croissante sur l’intervalle [2; 7], précise sa variation sur l’intervalle [–7; –2].

(b) Si f est impaire et strictement décroissante sur l’intervalle [–11; –1], précise sa variation sur l’intervalle [1; 11].

4. Esquisse le graphique d’une fonction f telle que :

• f est une fonction paire ;

• ∀ x1, x2 ∈ [3; 6], x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) ;

• les zéros de f sont –4, 0 et 4 ;

• l’image de 3 par f vaut 5 ;

• ∀ x ∈ ]1; 4[, f(x) ≤ 5.

5. Détermine algébriquement la parité des fonctions définies ci-dessous.

(a) f(x) = x2 – 8

(d) i(x) = 9x3 – 27x (b) gx x ()=5 (e) jx x x ()() = +32 3

6. Quelle fonction de référence passe par le point (–2; 4) ? Représente-la.

hx x ()=-

7. Apparie chaque expression analytique au graphique qui lui correspond. Justifie ton choix.

f(x) = x -3

i(x) = 3 x gx x ()=-3 jx x ()=3 hx x ()=--3 kx x ()=-3

FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

8. Après avoir représenté la fonction de référence associée, trace le graphe des fonctions définies ci-dessous.

(a) f1(x) = 1 4 2 x-

(c) f3(x) = 3(x + 1) + 2

(e) f5(x) = –(x + 2) 3 – 1

(g) f7(x) = 21 3-+ x

(i) f9(x) = () x -+13 2 3

(b) f2(x) = -2 x

(d) f4(x) = 1 3 32() x

(f) f6(x) = -3 x

(h) f8(x) = -+ x 2

(j) f10(x) = |+|+335 x

9. Détermine l’expression analytique des transformées de fonctions de référence représentées ci-dessous. Justifie.

10. Considérons les fonctions f et g représentées graphiquement ci-dessous.

(a) Résous graphiquement les équations suivantes.

I. f(x) = –2

III. g(x) = 0

(b) Résous algébriquement les équations suivantes.

I. f(x) = 20

11. Résous algébriquement les équations suivantes dans ℝ

(a) 2(x – 3)2 – 1 = 17

(c) (x – 4)3 + 1 = 66

(e)+ +=3 1 12 x

II. f(x) = 5

IV. g(x) = –1

II. g(x) = –3

(b) 3|x + 6| = 27

(d) 2214 x +-=

(f) -= 322 x

12. Coche le type de fonction de référence associée à chaque situation.

(a) L’aire du trapèze représenté ci-dessous en fonction de x 3x 2x 7x

 La fonction identité

 La fonction carré

 La fonction racine carrée

 La fonction cube

 La fonction racine cubique

 La fonction inverse

FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

(b) Le périmètre d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de ses côtés.

 La fonction identité

 La fonction carré

 La fonction racine carrée

 La fonction cube

 La fonction racine cubique

 La fonction inverse

(c) Le temps nécessaire pour nettoyer une salle de bal en fonction du nombre d’agents de nettoyage présents.

 La fonction identité

 La fonction carré

 La fonction racine carrée

 La fonction cube

 La fonction racine cubique

 La fonction inverse

(d) Le volume d’un parallélépipède rectangle dont la longueur vaut le triple de la largeur et la hauteur vaut le double de la longueur en fonction de sa largeur.

 La fonction identité

 La fonction carré

 La fonction racine carrée

 La fonction cube

 La fonction racine cubique

 La fonction inverse

(e) En voulant tourner une vidéo, ton téléphone tombe en chute libre. Voici le tableau de valeurs qui donne la distance parcourue par le téléphone en fonction du temps.

Temps (s) 00,020,040,060,080,10,120,140,16

Distance (m) 00,0020,0080,0180,320,050,0720,0980,128

 La fonction identité

 La fonction carré

 La fonction racine carrée

 La fonction cube

 La fonction racine cubique

 La fonction inverse

13. Des biologistes tentent de modéliser la croissance d’une plante. Ils cherchent à connaître une fonction permettant de déterminer la hauteur de la plante en fonction du nombre de jours écoulés depuis la mise en terre de la graine.

Le tableau ci-dessous présente les résultats de leurs observations. Ces points ont été reportés dans un repère orthonormé.

Nombre de jours

écoulés depuis la plantation

Hauteurdelaplante(enmm)

Nombresdejoursécoulés

(a) Quelle fonction usuelle faut-il transformer pour modéliser au mieux ce nuage de points ?

(b) Donne l’expression analytique de la fonction qui modélise ce problème.

(c) Estime graphiquement dans combien de jours la hauteur de la plante sera de 7 mm. Vérifie algébriquement ton résultat.

14. Un cylindre a une hauteur de 6 cm et un rayon de x cm.

(a) Donne l’expression analytique de la fonction V qui donne le volume du cylindre en fonction de x.

(b) Détermine le rayon pour lequel le volume est égal à 180π cm3.

15. Pour produire un son différent sur une corde de guitare, il faut modifier la tension t, exprimée en newtons (N), présente dans cette corde. Cela se règle à l’aide des clés sur la tête du manche de la guitare.

Le son qui en émane est caractérisé par une fréquence f exprimée en hertz (Hz).

La fonction qui définit la fréquence en fonction d’une tension  t est donnée par la relation f(t) = 20 t

Voici le tableau des fréquences (en hertz) de différentes notes de musique :

Note Do2Ré2Mi2Fa2Sol2La2Si2Do3Ré3Mi3Fa3Sol3La3Si3

Fréquence (en Hz) 132148,5165176198220247,5264297330352396440495

(a) Représente graphiquement cette fonction pour une tension allant de 0 à 900 N.

(b) Détermine la tension à appliquer sur la corde pour obtenir un « La3 ».

(c) Détermine par calculs la note obtenue si on pince la corde lorsqu’une tension de 220,5225 N lui est appliquée.

(d) Quelle fréquence maximale la corde peut-elle émettre avant de casser, sachant qu’elle casse lorsque la tension est supérieure à 900 N ? Détermine-la graphiquement.

DÉFI

16. Te rappelles-tu au début de ce chapitre ?

Théa organise une soirée all inclusive pour célébrer le nouvel an. La location de la salle coûte 900 €. Théa a défini un budget de 14 € par personne pour l’achat de la décoration, des zakouskis et des boissons.

Combien de personnes au minimum doivent participer à la soirée pour que Théa fasse un bénéfice, en fixant le prix de l’entrée à 25 € ?

Tu es maintenant capable d’y répondre ! Connecte-toi sur   et entraîne-toi avec des exercices complémentaires