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Un vector está contigo en todo momento y en toda dirección… en cualquier momento, siempre en todo lo que hagas encontrarás un vector.

Elaborada y editada por: Belia Vanessa Ayerdi-13006 José Andrés Búrbano-13103 Jaime Andrés González-13073 José Alejandro Mejía-13037 Elsa Mercedes Pineda-13055


Vector: Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento de un punto A a otro punto B. notación es una letra minúscula y una flecha encima o en otras ocasiones es una letra minúscula en negrillas. Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A a otro punto B. Posee magnitud y dirección (siempre en radianes).

NOTAS IMPORTANTES

Dos vectores son iguales si sus componentes correspondientes son iguales.

El conjunto de todos los vectores con dos componentes se denota R2.

Se denota con una letra mayúscula y una flecha encima en negrita.

Dos vectores se definen iguales si tienen la misma longitud y la misma dirección.

Link de video recomendado: https://www.youtube.com/watch?v=wPQcA42XwGk

Vectores iguales o equipolentes:. Dos vectores a y b son iguales si tienen la misma longitud (magnitud o norma) y la misma dirección. Link de info: http://www.tiposde.org/cienciasexactas/91-tipos-de-vectores/

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Vectores paralelos: Son vectores que se asemejan por tener la misma longitud o por tener

la misma dirección, sin embargo no poseen ambas características juntas. Dos vectores son paralelos entre sí si son múltiplos escalares mutuos.

Vectores opuestos: Son vectores con la misma magnitud pero con direcciones contrarias.

Vector nulo: Indica que no hay desplazamiento, la longitud del vector es 0. También es posible que después de varios desplazamientos volvamos al punto de origen del primer sumando, donde obtendríamos un vector cero o nulo.

Para más información, visita el link: http://www.thphys.uniheidelberg.de/~hefft/vk1/k9/934s.htm, el cual demuestra el desplazamiento de vectores nulos.

Vector unitario: Son vectores de magnitud 1. Link de información: http://www.tiposde.org/ciencias-exactas/91-tiposde-vectores/

Vectores ortogonales o paralelos: Dos vectores son ortogonales cuando el ángulo entre ellos es de 90°. Se calcula con el producto punto de los dos vectores igualados a cero

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Vector renglón: Es un tipo de vector que solo tiene un renglón en su matriz.

Vector columna: Es un vector formado por solo una columna de x cantidad de componentes.

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Propiedad

⃑ +(⃑

⃑⃑⃑ )= ⃑ +⃑ ⃑⃑⃑ ⃑ +⃑ ⃑ +⃑ ⃑ +0=⃑ ⃑ +(-⃑ )=0 c (⃑ +⃑ )=c ⃑ +c⃑ ⃑ (c+d) ⃑ =c⃑ 1⃑ =⃑

Asociativa Conmutativa Neutro adictivo Inverso adictivo distributiva Sin nombre Sin nombre

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Operaciones con vectores:

La

suma

es la primera operación con vectores,

gráficamente se suman con la regla del paralelogramo como se explica en la siguiente figura. El final de un vector se pone en el extremo del otro, y la recta resultante desde el inicio es la suma de esos dos vectores

La Resta de un vector se realiza de igual forma que una suma, con la diferencia que se invierte el signo de + a un -, teniendo como resultado un vector menor a los dos vectores originales.

PRODUCTO PUNTO DE UN VECTOR

PRODUCTO ESCALAR DE UN VECTOR

El resultado es un escalar: U•V = u₁v₁ + u₂v₂

El resultado es un vector en tres dimensiones

Combinación Lineal: Un vector v es una combinación lineal de vectores v1, v2, …, vk ; si existen escalares c1, c2, …, ck tal que c1 v1, c2 v2, …, ck vk. Los escalares se llaman coeficientes de la combinación lineal.

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Desigualdad de Cauchy- Schwarz: El valor absoluto del producto punto entre dos vectores siempre será menor o igual a la multiplicación de la magnitud de dos vectores.

Desigualdad del triángulo

Proyección de un vector La proyección de un vector es la distancia que hay entre dos vectores que forman un ángulo rectángulo entre ellos, por medio de la fórmula:

Normalización de un vector Es el proceso mediante el cual se encuentra un vector unitario en la misma dirección de V.

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DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES DISTANCIA DESDE UN PUNTO A UNA RECTA DISTANCIA DESDE UN PUNTO A UN PLANO DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS ÁNGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS ÁNGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

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RECTAS EN R2 Nombre

Ecuación

Forma normal Forma general Forma vectorial Ecuaciones paramétricas

RECTAS EN R3 Nombre

Ecuación

Forma normal

Forma general

Forma vectorial

Ecuaciones paramétricas

=

Forma Simétrica

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=


PLANOS EN R3 Nombre

Ecuación

Forma normal Forma general Forma vectorial

Ecuaciones paramétricas

Resolución de sistemas de ecuaciones con solo dos operaciones: Suma y multiplicación, en donde se trabaja en un módulo que rige el número de dígitos que se permite utilizar para resolver dicho sistema de ecuación.

Los módulos se denominan como: NOTAS Cuando se trabaja en números

, tener en cuenta al momento de la adición de dos

Par= 0 Impar=1 Adición en aritmética modular

Resultado

Multiplicación en aritmética modular

Resultado

Par + Par

Par

Par*Par

Par

Par + Impar

Impar

Par*Impar

Par

Impar + Impar

Par

Impar*Impar

impar

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TIP

Para evitar confusión al momento de trabajar con el módulo , es de utilidad trabajar la cantidad de números p como los valores de un reloj. Cada vez que se encuentre en el 0, es al momento en que el número de reloj esté en las 12 horas.

Resolución de ecuaciones sobre Zp Para resolver una ecuación en Zn, solo se permite dos operaciones adición y multiplicación, en donde para obtener el cero se debe llegar al número n por medio del inverso aditivo. Luego se comprueba cuáles números contenidos en el módulo proporciona la solución. Ejemplo Resolver la siguiente ecuación en

x + 4+1=0+1 x+0=1 x=1 Donde x puede ser 1,6,11,16….

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Código Universal del Producto (UPC)

También conocido como código universal del producto, es el código asociado con los códigos de barras que se encuentran en los productos comerciables, el cual está escrito en

con un vector

control

para

de

lo

cual

que

el

producto cruz entre el CPU y el vector control debe ser igual a 0 para que dicho CPU sea correcto. Número estándar internacional de libros (ISBN) Es el número internacional de los libros los cuales existen dos tipos: ISBN-10 y el ISBN-13. Permite registrar los libros en base a estándares internacionales para evitar plagios en los trabajos.

Tipo ISBN-10 ISBN-13

Vector Control [10,9,8,7,6,5,4,3,2,1] [.............3,1]

Módulo 10 13

Conjunto generador Un subconjunto de vectores que puede generar cualquier otro vector, se dice que ese conjunto es un conjunto generador del espacio generado de ese mismo vector. Se ve expresado como la combinación lineal de ese conjunto.

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Sistema Lineal Consistente

Es el que tiene solución puede ser 1 única o infinitas soluciones Inconsistente Es el que NO tiene solución Equivalentes Son los que tienen la misma solución TIP: Se dice que En un sistema lineal homogéneo [Ax|0], siempre tiene solución.

Tipos de conjuntos de vectores Linealmente independiente (l.i.) En un conjunto de vectores igualado al vector cero, donde en su combinación lineal todos los escalares son iguales a cero, se dice que es linealmente independiente. Posee una única solución, también llamado solución trivial. Linealmente dependiente (l.d.) Si existen escalares c1, c2, ck, y al menos uno de ellos NO es cero, cuando combinación lineal entre ellos es igual a cero. Tiene infinitas soluciones. Para determinar si un sistema de vectores es dependientes de gran utilidad el TEOREMA  .

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RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA CON UNA MATRIZ AUMENTADA ESCALONADA POR MEDIO DEL MÉTODO DE GAUSS

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ยกPasatiempo! Resuelve la sopa de letras

Pistas:

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PROXIMA EDICIÓN

 Matrices  Aplicaciones de Vectores  Misterios de los vectores pocos conocidos

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Proyecto final  

-Vanessa Ayerdi - Elsa Pineda - Andrés Búrbano -Jaime Andrés González - Jose Mejía

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