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M贸dulo III

L贸gica Proposicional Plataforma Virtual Moodle Castellanos & Le贸n


Fase III. Refuerza: Conocimientos Básicos La Lógica Proposicional Históricamente, hasta finales del siglo XIX solo se utilizó el lenguaje natural para expresar las formas de razonamiento. Pero a partir de esa época empezaron a usarse lenguaje lógicos, es decir, lenguajes artificiales diseñados especialmente para describir con mayor fuerza formas de razonamiento, que originalmente son expresadas en len-

Unidad III.

guaje natural, con el propósito de facilitar las demostraciones de validez o no-validez.

La lógica utiliza un lenguaje exacto

que no da lugar a imprecisiones,

para tal fin toma como elemento básico de análisis a la proposición, que no es otra cosa que una oración del lenguaje cotidiano con un significado mucho más limitado, en tales condiciones, se puede considerar una proposición como una excepción lingüística que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa, y para simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados; crea un lenguaje simbólico artificial, en donde establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente.

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Fase III. Refuerza: Conocimientos Básicos Lenguaje Natural.

Origen.

Es el resultado de un proceso

Es construido por el hombre.

histórico-cultural espontaneo.

Ejemplo: Lenguaje de la química,

Ejemplo: Inglés, Castellano,

de la física, de la aritmética, de la

Francés, entre otros.

lógica, entre otros.

Sirve de vehículo de comuniUso.

Lenguaje Artificial.

cación entre los seres humanos.

Inventado por el hombre para satisfacer necesidades especificas.

El lenguaje natural no fue inventado específicamente por alguien, por el contrario, es el producto de una larga historia. Mientras que el

Unidad III.

lenguaje artificial fue creado por el hombre con el propósito de satisfacer ciertas necesidades. En este sentido de ideas, la lógica como ciencia tiene su lenguaje propio y exacto. Sus signos y símbolos perfectamente claros y definidos conforman su vocabulario, el cual hace que nuestro lenguaje se despoje del sentido de ambigüedad que lo caracteriza. Conforme a lo anterior, la Lógica Proposicional (L.P.) puede considerarse como un lenguaje artificial diseñado para representar las formas más elevadas del razonamiento. En tal sentido la está constituido por tres elementos, que son: 

Las proposiciones lógicas.

Los conectivos lógicos.

Los signos de agrupación.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Las Proposiciones Lógicas.

Es cualquier enunciado u oración a la cual se le pueda asignar un valor de verdad o

Unidad III.

falsedad, pero nuca ambos (Uso del lenguaje comunicativo). Algunos ejemplos son:

El agua es una composición química.

Alejandro Magno nació en cuba.

Los reptiles son animales de sangre caliente.

Las plantas son minerales.

7 . ( 1 + 2 ) – 2 = 19

Una hora tiene 160 segundos.

Existen oraciones que no son proposiciones lógicas porque no podemos asignarles un valor de verdad, es decir, no poseemos ningún criterio que nos permita afirmar sobre la veracidad o falsedad de su contenido.

¡Qué mala suerte la mía!

Cállate, por favor.

¿Qué hora es?

Las mujeres poseen la belleza de las flores.

Nota: Una proposición es pues, un enunciado, escrito en lenguaje comunicativo, en el cual se afirma algo independientemente de lo que se afirma sea verdadero o sea falso.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Variables Proposicionales.

Es importante tener en cuenta que las proposiciones representan oraciones declarativas, las cuales contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugación del verbo ser. Es por ello que para simplificar el carácter complejo, confuso y a veces ambiguo del lenguaje natural, la lógica utiliza símbolos en lugar de proposiciones completas. Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de variables

Unidad III.

proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural. Un ejemplo claro de ello lo son: 

Venezuela es un país.

p

El viernes es mi último día de trabajo.

q

La clase comienza a las 4 p.m.

r

La escuela de educación pertenece a la facultad de ciencias de la salud.

s

El parque Fernando Peñalver esta ubicado en la ciudad de valencia.

t

Como se puede observar, no importa lo largo o corto de una proposición, lo importante es sustituirla por una sola variable.

Nota: Para representar proposiciones, la lógica proposicional utiliza las letras minúsculas: p, q, r, s, t, …, a estas se les denomina variables proposicionales. Cada una de ellas representa a un enunciado

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Clases de Proposiciones.

Existen dos clases de proposiciones, que son:

Las atómicas o simples y Las moleculares o compuestas.

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Proposiciones Atómicas.

Son aquellas que no contienen otra proposición como parte integrante de ellas. También reciben el nombre de proposiciones simples.

Ejemplos: 

El próximo viernes comienzan las clases de Francés.

Física II es una asignatura adscrita al Departamento de Matemática .

Manuelita Sáenz se caso con el libertador.

El triángulo es un polígono de tres lados.

5+3=8

En la última década se ha detectado un aumento del 20% en las muertes por causa de accidentes aéreos.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos

Proposiciones Moleculares.

Cuando dos o más proposiciones simples se encuentran enlazadas por un conectivo. También se les

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llama proposiciones compuestas.

Ejemplos: 

Venezuela es un país Suramericano “y” España es un país Europeo.

“Si” las clases comienzan el lunes “entonces” terminaron mis vacaciones.

El índice de ahorristas aumentara “si y solo si” suben los intereses.

Voy de vacaciones a margarita “o” me voy de vacaciones a Mérida.

“Si” construyen nuevos edificios, podremos albergar 40 familias que carecen de viviendas.

Los buhoneros desalojarán las calles de la ciudad “solamente si” los ubican en un sitio céntrico.

“O” la ballena es un pez “o” la ballena es un mamífero.

Este año “o” cosecho papas “o” cosecho jojotos.

Obtendré cupo en la Universidad “solo si” mi promedio es mayor de diecisiete puntos.

“Cuando” llegan las vacaciones “entonces” las personas se dirigen hacia los lugares turísticos del país.

“Cuando” llega la noche, el sol se oculta.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Conectivos Lógicos.

Son palabras del lenguaje lógico que se utilizan para relacionar o combinar proposiciones simples originando una proposición compuesta. A excepción del “no” que por ser un conectivo unitario no conecta

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dos proposiciones sino que niega a una proposición.

Nombre del Operador.

Nombre del Lenguaje.

Tipo de Conectivo.

Símbolo Utilizado

Negación.

No

Unitario

Binario

۸

Binario

۷

Binario

Binario

Binario

Conjunción. Disyunción Inclusiva.

Y (También, pero, además) O

Disyunción Exclusiva.

O ….. o

Condicional.

Si …… entonces

Bicondicional.

Si y solo si, Solamente si.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos 1. Negación (−)

El Operador unitario “No”, es la palabra que cumple más comúnmente, con la función de negar un enunciado, aún cuando existe otras palabras que también indican negación como son: “es falso que”, “no es cierto que”, “no ocurre que”, “no es el caso que”. El símbolo que utilizado para representar este conectivo es un guion “−”, el cual se coloca delante de la variable proposicional.

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Un ejemplo claro seria: 

No existen las sirenas.

La simbolización será: “−p” ya que la expresión “las sirenas existen” se simboliza: “p”. Si “p” representa una variable proposicional, la proposición compuesta por “no p” se escribe “−p” y se llama proposición negativa o negación de “p”. Cabe esperar que, si poseemos una proposición simple “p” que sea verdadera entonces la proposición compuesta “−p” será falsa y si “p” es falsa entonces “−p” será verdadera. Ejemplos: 

Ana no tiene dinero

“−p”

No es cierto que Ana sea profesora.

“−q”

Es falso que Víctor aprobó la asignatura.

“−r”

No ocurre que la suma de dos mas cinco sea cinco.

“−s”

Hoy no es domingo.

“−t”

No tengo trabajo.

“−u”

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos

2. Conjunción ( ۸ ). Este conectivo o termino de enlace que, en el lenguaje corriente esta expresado generalmente con la palabra “y”, cumple una función conjuntiva al unir dos proposiciones simples, aunque en el lenguaje ordinario se utilizan otras palabras para indicar conjunción como lo son: “además”, “también”, “pero”, entre otros. Cabe destacar que la conjunción es un conectivo lógico “binario”. El símbolo lógico utilizado para representar la conjunción es “ ۸ ” el cual se coloca entre las dos proposiciones. Se considera como un conectivo primitivo, por lo cual su

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expresión y significado no conlleva a mayores problemas ni paradojas. En el ejemplo: Carmen se quedo en Valencia y Ana se fue a Caracas. Se identifican las proposiciones:

Se simboliza:

p = Carmen se quedo en Valencia. q = Ana se fue a Caracas.

p ۸ q, la cual se lee: “p” y “q”

Ejemplos: 

Ana es medico y Rosa es enfermera.

p ۸q

María estudia medicina y Víctor estudia Educación.

r ۸s

Juan no tiene carro y Uriel sí.

−t ۸ u

En los programas educativos se imparte la música y cultura.

v ۸w

Alexander usa lentes convencionales y Sheila de contacto.

x ۸y

No como y no duermo.

−t ۸ −z

Yo aprobé el examen pero tu no lo aprobaste.

p ۸ −r

Luisa compro el carro además de una moto.

s ۸ u

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos

3. Disyunción Inclusiva . La palabra “o” es el conectivo que indica la existencia de una disyunción entre dos proposiciones. El símbolo lógico utilizado para representar una disyunción inclusiva es “ ۷ ”. Las proposiciones que forman una disyunción se denominan disyuntivos y es un conectivo lógico “binario”. En el ejemplo: 

Me tomare un café o té.

Unidad III.

El sujeto de ese enunciado se tomara un café o se tomara un té. Se identifican las proposiciones: p = Me tomare un café. q = Me tomare un té.

Se simboliza: p ۷ q, la cual se lee: “p” o “q”

Ejemplos: 

Ana se vestirá de verde o se vestirá de blanco.

p ۷ q

Víctor canta o baila.

r ۷ s

El lenguaje del parcial será natural o será artificial.

t ۷ u

Comprare un helado o unas galletas.

v ۷ w

María cocinara una pizza o un pollo.

x ۷ y

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos

4. Disyunción Exclusiva. Otra manera de usar la disyunción es usando la “o” de manera doble. En este caso, la expresión “O …….. o” es el conectivo que relaciona dos proposiciones, excluyendo la posibilidad que se den ambas alternativas al mismo tiempo. De igual modo, es un conectivo lógico “binario” y el símbolo lógico que se utiliza para representar una disyunción exclusiva es “⊻”. En el ejemplo:

Unidad III.

O iré a visitarte o te llamare por teléfono.

Allí se excluye la posibilidad que se den ambas alternativas, si se selecciona una alternativa no se seleccionara la otra alternativa. Se identifican las proposiciones: p = Iré a visitarte. q = Te llamare por teléfono.

Se simboliza: p ⊻ q, la cual se lee: O “p” o “q”

Ejemplos: 

O viajo a México o viajo a Italia.

p⊻ q

O salgo de compras o me quedo viendo Televisión.

r ⊻ s

O Uriel aprobó estadística o no la aprobó.

t ⊻ −u

O me jubilo este año o el próximo.

v ⊻ w

O me inscribo en la UC o me inscribo en la UCV.

x ⊻ y

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos

5. Condicional (→ ). Las palabras “Si ………. entonces” es el conectivo utilizado para indicar la existencia de un condicional. La proposición que sigue a la palabra “si” se denomina “antecedente” y viene a ser el que condiciona a la “hipótesis”, por su parte, la preposición que sigue a la palabra “entonces” recibe el nombre de “consecuente” que viene a ser las “tesis”. El símbolo lógico utilizado para representar un condicional es una flecha “→”, de igual mo-

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do, es un conectivo lógico “binario”. Es importante señalar que, en algunas oportunidades la palabra “entonces” queda sustituida por una coma. Por otra parte la palabra “si” puede estar sustituida por la palabra “cuando”. En los ejemplos: 

Si llego temprano a casa entonces veré el noticiero a las diez.

“Si ……. entonces” es el conectivo que une las proposiciones simples “llego temprano a casa” y “veré el noticiero a las diez”. El antecedente es una condición necesaria para que se cumpla el consecuente, ya que si no se llega temprano a casa no podrá ver el noticiero a las diez.

Se identifican las proposiciones:

Se simboliza:

Antecedente: p = Llego temprano a casa. Consecuente q = Veré el noticiero a las diez.

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p → q, la cual se lee: “p” entonces “q”


Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos 

Cuando hay tormenta en Alaska, Se interrumpe la energía eléctrica.

En este ejemplo la palabra “Si” queda sustituida por la palabra “Cuando” y la palabra “Entonces” queda sustituida por una coma “,”. Se identifican las proposiciones: Antecedente: p = Hay tormenta en Alaska.

Unidad III.

Consecuente: q = Se interrumpe la energía eléctrica.

Se simboliza:

p → q, la cual se lee: “p” entonces “q”

Ejemplos: 

Si estudias medicina entonces perteneces a la facultad de ciencias de la salud. p→ q

Si apruebas el examen de inglés entonces podrás cursar la especialización. r → s

Si obtienes veinte puntos entonces aprobaras la asignatura con una excelente puntuación.

t → −u

Cuando salgo temprano de clases, me voy al cine.

v → w

Si la reunión es el martes entonces podre ir.

x → y

Nota: Las proposiciones condicionales son muy importantes en matemática, existen varias formas de enunciar “p → q”, las más usuales son: Si “p”, entonces “q”. Cuando “p”, sucede “q”. “p” es suficiente para “q”.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos

6. Bicondicional (↔). Se forma comúnmente con la expresión “Si y solo si”, aun cuando también se utiliza las expresiones: “solamente si”, “únicamente si”, “siempre y cuando”, “cuando y solo cuando”. Cabe destacar que es un conectivo lógico “binario” y este operador recibe el nombre de bicondicional porque establece una relación de doble condición, es decir, está formado por dos proposiciones condicionales. El símbolo utilizado para representar un bicondicional es una flecha doble “↔”. En el ejemplo:

Unidad III.

Jugaremos dominó si y solo si reunimos cuatro jugadores. Se identifican las proposiciones: p = Jugaremos dominó. q = Reunimos cuatro jugadores.

Se simboliza: p ↔ q, la cual se lee: “p” si y solo si “q”

Ejemplos: 

Compro un carro si y solo si me aumentan el sueldo.

p↔ q

Apruebo la asignatura si y solo si estudio.

r ↔ s

Obtendrás cuatro puntos siempre y cuando entregues el trabajo a tiempo. t ↔ −u

Perderás peso solamente cuando disminuyas el consumo de carbohidratos. v↔ w

Asistiré a la competencia únicamente si la realizan en horas de la ma��ana. x↔ y

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Formas Proposicionales. Una de las características fundamentales de la lógica es la traducción del lenguaje natural o matemático, en lenguaje simbólico. La operación de traducir expresiones lingüísticas al lenguaje lógico recibe el nombre de construcción de formas proposicionales, y está se basa en la formalización de las expresiones. Aquí se hace abstracción del contenido y se da gran importancia a las relaciones que existen entre las distintas proposiciones que forman el enunciado.

Nota: Las formas proposicionales son compuestas con dos o más conectivos que se encuentran relacionados por medio de los signos de agrupación.

De esta manera, expresiones corrientes se convierten en expresiones formales, totalmente abstractas, formadas por símbolos.

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Signos de Agrupación. En el lenguaje natural se utilizan los signos de puntuación para agrupar adecuadamente las proposiciones. Cuando se simbolizan estas proposiciones, la lógica sustituye los mencionados signos por el uso adecuado de los signos de agrupación, los cuales nos permiten dar sentido a las expresiones que deseamos simbolizar. Además, limitan el alcance de los conectivos que unen las proposiciones atómicas para formar las proposiciones moleculares. Por esta razón, los signos de agrupación constituyen otro elemento básico de la lógica proposicional. Los signos de agrupación utilizados son: Nombre del signo.

Símbolo Utilizado Izquierdo

Derecho

Paréntesis: forman un par compuesto por un paréntesis derecho y uno izquierdo.

(

)

Corchete: forman un par compuesto por un corchete derecho y uno izquierdo.

[

]

Llaves: forman un par compuesto por una llave derecha y una izquierda.

{

}

Barras: forman un par compuesto por una barra derecha y una izquierda.

|

|

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Signos de Agrupación.

Ejemplos:

El esquema “p۷q ۸ r” es ambiguo, pero el paréntesis puede eliminar esta ambigüedad.  

Ya que puede significar la disyunción de “p o q” con la conjunción “r” (p۷q)۸r. También podría ser la disyunción de “p” con la conjunción de “q y r” p۷(q۸r).

Cuando se utilizan los signos de agrupación es necesario tener en cuenta los siguientes aspectos: 

Las expresiones pequeñas, que se forman con la unión de dos o más proposiciones atómicas para formar una molécula, se encierran entre los paréntesis. Ejemplo:

Las expresiones de tamaño medio se encierran en entre corchetes.

Unidad III.

Ejemplo: 

p ۸{[(p⊻q) ۷ (s۸t)] → [(p⊻q) ↔ (s ۸ −t)]}.

Las expresiones de mayor tamaño se encierran entre barras. Ejemplo:

−[(p⊻q) →(s۸t)].

Las expresiones mayores se encierran entre llaves. Ejemplo:

p۸(q۷r).

−|{[(p⊻q) ۷ −(s۸t)] → [(p⊻q) ↔ (s ۸ −t)]} ۷(p⊻q)|

Los signos de agrupación se pueden repetir pero delimitando, siempre, el carácter de los conectivos.

En una forma proposicional el conectivo principal (C.P.), es aquel que une a la primera componente del polinomio con la segunda componente del polinomio. Ejemplo:

1. [(p⊻q) ۸s] → (p⊻q) C.P.: Condicional (→) 2. [(p⊻q) ۷ − (s۸t)] ۸ [(p⊻q) ↔ (s ۸ −t)] C.P.: Conjunción ( ۸ )

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Agrupación de proposiciones para obtener una forma proposicional. En el lenguaje natural se utilizan recursos variados para agrupar proposiciones como lo son: las comas, los puntos y comas, los puntos y algunas expresiones de refuerzo como “es falso que” para negar a un polinomio. Cuando el lenguaje es oral se recurre a las pausas y las diferencias de entonación. Pero cuando se trata de simbolizar un enunciado utilizando los símbolos de la lógica

Unidad III.

proposicional debemos estar atentos a cuatro aspectos fundamentales: a)

Identificar las proposiciones simples o atómicas existente en el enunciado.

b)

Asignarle, a cada una de ellas su variable proposicional respectiva.

c)

Identificar los operadores lógicos o conectivos y sustituirlos por los símbolos correspondientes.

d)

Utilizar adecuadamente los signos de agrupación, a fin de obtener el polinomio lógico.

En la práctica se recomienda: a)

Leer el enunciado detectando los conectivos que unen las proposiciones simples.

b)

Asignar una variable a cada una de las proposiciones simples que conforman el enunciado (p, q, r, s, ….., x, y, z)

c)

Sustituir las proposiciones por las variables y uniéndolas con su respectivo conectivo, se incluyen los signos de agrupación.

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Modulo III Fase III y IV