Matematiska Institutionen Uppsala universitet

Page 1

MATEMATISKA INSTITUTIONEN


Innehåll

Martin Herschend

Svante Jansson

Cecilia Holmgren

Vi är i utkanten av matematikens universum – det finns hur mycket som helst kvar att upptäcka.

Något som i detalj är slumpmässigt och kaotiskt kan utgöra en ordnad helhet.

Undersöker smittspridning, algoritmer och släktträd genom sannolikhetsteori och kombinatorik.

6

8

4 Tobias Ekholm

Benny Avelin

Anna Sakovich

En serie lyckliga omständigheter har lett mig fram till den punkt där jag är i dag.

Matematiker har nyligen fått upp ögonen för maskin­inlärningsaspekten av artificiell intelligens.

Det vore intressant att förstå rörelsemängds­ moment inom relativitetsteori.

10 Andreas Strömbergsson

Erik Ekström

Vill bidra med insikter om hur Boltzmannekvationen kan härledas utifrån enkla fysikaliska lagar.

Våra begåvade studenter har många valmöjligheter tack vare bredden inom Uppsalamatematiken.

16

Georgios Dimitroglou Rizell Som topolog vill man hitta alla sorters geometriska rum.

18

20

Raazesh Sainudiin

Warwick Tucker

Silvelyn Zwanzig

I mänskliga språk finns stort utrymme för missförstånd medan matematiken är exakt.

Datorer har förvandlat vår värld. Det är fram­ tiden för matematiken, framtiden för forskningen.

Det roliga med matematisk statistik är att man kan göra vad som helst med den.

24

26

22 Vill du också forska i matematik?

Klarar du kluringarna?

28

28

© 2020 Uppsala universitet Text & form: Ina Bergström Foto: Mikael Wallerstedt 2

14

12

Uppsala universitet 2020


Sverige har stort behov av fler duktiga matematiker Uppsala universitet är Sveriges första universitet, grundat redan 1477. Vi är i dag ett internationellt, modernt och brett forskningsuniversitet med tydliga mål. Universitetets uppgift är att vinna och förmedla kunskap till mänsklighetens gagn och för en bättre värld.

Vårt övergripande mål är att bedriva utbildning och forskning av högsta kvalitet och relevans. För att detta ska bli mer än bara ord på papper krävs skickliga lärare, engagerade forskare och vetgiriga studenter. Några av lärarna och forskarna möter du i denna broschyr. Vi hoppas att du som läser ska bli sugen på att själv börja forska inom matematik hos oss i Uppsala!

kontaktuppgifter Post Matematiska institutionen Uppsala universitet Box 480 751 06 UPPSALA Besök Ångströmlaboratoriet Lägerhyddsvägen 1, hus 1, 6 och 7, plan 4

Webbplats www.math.uu.se www.math.uu.se/om-oss E-post för allmänna frågor info@math.uu.se E-post studievägledare studievagledare@math.uu.se Uppsala universitet 2020

3


MARTIN HERSCHEND

Vi är i utkanten av matematikens universum – det finns hur mycket som helst kvar att upptäcka.

R

edan i tidiga tonåren stod det klart att Martin Herschend intresserade sig för den matematiska metoden snarare än för resultatet. När han och kompisen programmerade datorspel hemma på pojkrummet gjorde Martin beräkningarna för hur den lilla svävaren skulle flyttas på skärmen, medan hans spelsugna kompis längtade efter att det skulle bli klart. Martin Herschend, som är född 1981, disputerade 2008 med avhandlingen On the ClebschGordan problem for quiver representations. Det är representationsteori som är Martins specialitet inom matematiken. Efter disputationen sökte han och antogs till en post doc-tjänst i japanska Nagoya. Professor Osamu Iyama, som var värd för tjänsten, hade utvecklat högre dimensionell Auslander-Reitenteori och därmed fick Martin möjlighet att under två år forska i denna teori. Tiden i Japan var givande även på ett personligt plan – här träffade Martin sin blivande hustru som han nu har två barn med.

människor kan jag på ett produktivt sätt bidra till kunskapsutvecklingen inom det matematiska fältet. Att se en student plötsligt förstå ett matematiskt problem är en rätt häftig känsla. Sin undervisningsfria tid ägnar han åt forskning. För närvarande undersöker han egenskaper hos en familj av algebror som generaliserar Heisenbergalgebran. – Universitetet erbjuder en fruktbar och aktiv forskningsmiljö inom mitt område. Min drivkraft är att förstå, och att hitta lösningar på öppna problem. Om han inte hade fastnat för matematiken tror Martin att han hade jobbat med programmering. – Men jag spelar också piano och gitarr. Dessutom gillar jag att laga mat, så det kunde kanske ha blivit något sådant i stället.

2013 fick han en fast lektorstjänst vid matematiska institutionen på Uppsala universitet. – I min tjänst kombinerar jag undervisning med forskning. Genom att undervisa ett stort antal

Höjdpunkter i karriären • Att antas som doktorand vid forskarskolan i matematik och beräkningsvetenskap, FMB • Att disputera • Post doc-tjänst hos professor Osamu Iyama i japanska Nagoya • Fast tjänst vid matematiska institutionen 2013

Koger – ett kombinatoriskt verktyg inom representationsteori. 4

Uppsala universitet 2020


representationsteori Representationsteori handlar om att konkret representera abstrakta matematiska objekt. Ofta uppstår representationerna genom geometrisk symmetri. Till exempel har en liksidig triangel sex symmetrier: tre rotationer och tre speglingar. Om hörnen i triangeln betecknas med talen 1, 2 och 3 kan dessa sex symmetrier förstås som permutationer av samma tal. På så sätt kan de sex permutationerna av talen 1, 2 och 3 representeras geometriskt.

Geometrisk representation av symmetrier hos fysikaliska system kan ge information om det ursprungliga systemet. Modern representationsteori har kopplingar många ämnen, till exempelvis algebraisk och symplektisk geometri. Genom att utforska dessa kopplingar hoppas forskarna få insikt om bland annat spegelsymmetri.

Uppsala universitet 2020

5



D

et är svårt att beskriva Svante Janson utan att använda ord som ”underbarn” och ”geni”. Som nioåring fick han sitt första studentbetyg, i kemi, i 1960-talets skolform där gymnasieelever måste avlägga krävande prov i olika ämnen innan de fick ta på sig studentmössan.

– Jag märkte att jag gjorde bättre saker på det området.

– Jag var intresserad av kemi och astronomi som liten och läste i min mammas kemiböcker, så jag kunde ju en del redan innan jag började i skolan.

– Jag har studerat olika egenskaper hos slumpgrafer mycket, men också t.ex. slumpmässiga träd och slumpmässiga permutationer. Det gäller att titta på hur slumpmässiga strukturer ser ut i stort. I detalj kan något vara slumpmässigt och kaotiskt, medan helheten ofta är ordnad. Jag försöker bland annat ta reda på i hur stor skala något måste undersökas för att slumpen inte märkbart ska påverka svaret.

Den vanliga skolan blev snabbt långtråkig för Svante, men tack vare tillmötesgående lärare fick den unge gossen undervisning på gymnasienivå redan som åttaåring. Vid 14 år kunde han titulera sig fil. kand. På sin 22-årsdag, 1977, disputerade han med avhandlingen On BMO and related spaces. – BMO står för Bounded Mean Oscillation. Kortfattat handlar avhandlingen om analys av vissa vektorrum av funktioner, säger Svante.

SVANTE JANSON

Något som i detalj är slumpmässigt och kaotiskt kan utgöra en ordnad helhet.

Kombinatorisk sannolikhetsteori handlar om olika strukturer, till exempel grafer, som konstrueras slumpmässigt.

Svantes fält är intressant ur både teoretiskt och tillämpat perspektiv. En hel del av de frågeställningar han tittar på är inspirerade • Studentbetyg i kemi vid 9 års ålder av praktisk tillämpning, men • Slutade vanliga skolan vid 11 år han intresserar sig för den • Avlade kandidatexamen som 14-åring teoretiska delen.

Höjdpunkter

• Disputerade på 22-årsdagen • Ordinarie professor vid 32 år

Efter vektorrummen kom han in på sannolikhetsteori och så småningom på kombinatorisk sannolikhetsteori.

Med undantag för en del utflykter till Stockholm, Chicago och Cambridge har Svante förblivit Uppsala universitet trogen.

– Det är ett bra universitet som har givit åtminstone mig en utmärkt miljö för min forskning.

kombinatorisk sannolikhetsteori

Kombinatorisk sannolikhetsteori är ett gränsområde mellan sannolikhetsteori och kombinatorik. Det går ut på att med sannolikhetsteoretiska metoder studera olika diskreta (vanligen ändliga) strukturer som har konstruerats slumpmässigt på något sätt, till exempel olika typer av slumpmässiga grafer, träd, permutationer, bokstavsföljder, och så vidare.

Vanligen studerar man asymptotiken när storleken på strukturerna går mot oändligheten; detta kan ses som en approximativ beskrivning av egenskaperna hos stora men ändliga slumpmässiga strukturer. Området har starka kontakter med tillämpningar både inom matematik (främst kombinatorik) och inom bland annat datavetenskap, bioinformatik och epidemiologi, men studeras också för sin egen skull.

Uppsala universitet 2020

7


CECILIA HOLMGREN

Undersöker smittspridning, algoritmer och släktträd genom sannolikhetsteori och kombinatorik.

R

edan vid femton års ålder, 1999, hade Cecilia Holmgren tentat av matematiken på gymnasiets naturvetarprogram och fick dispens för att börja läsa matematik vid Chalmers. Hon fastnade tidigt för slumpgrafer, slumpträd och splitträd. När hon försvarade sin avhandling Split trees, Cuttings and Explosions i Uppsala (2010) var hon först i världen med att bevisa generella egenskaper hos splitträden som är en stor klass av slumpträd. En känd typ av splitträd är binära sökträd, som motsvaras av sorteringsalgoritmen Quicksort, som används för att sortera data. Cecilias forskning är rent matematisk. Den ligger i skärningen mellan de två områdena sannolikhetsteori och kombinatorik, men stora delar av den har praktiska tillämpningar. – Slumpgrafer och splitträd används bland annat för att utveckla algoritmer för sökningar och rekommendationer på internet, studera hur smittor eller rykten sprids och analysera sorteringsalgoritmer i datorer för att sortera data. Resultaten kan också tillämpas inom artificiell intelligens där studiet av sociala nätverk och utvecklingen av olika typer av algoritmer är viktigt. Cecilia, som numera är docent och lektor, arbetar också med betingade Galton Watson-träd, som är en annan stor klass av slumpträd som bland annat kan beskriva en släkts överlevnad.

– Jag tycker om att arbeta med stora klasser av slumpgrafer på en gång i stället för enskilda slumpgrafer, säger hon. En intressant egenskap hos flera slumpstrukturer är att relativt små förändringar hos sannolikheterna ger stora förändringar totalt. Ett exempel är släktträd. Om antalet barn i släkten i medeltal är mindre än 1 dör den ut, men är antalet i medeltal större än 1 överlever den. Ett annat exampel är smittspridning där en liten förändring i immunitet/ spridning (via exempelvis hur många procent som vaccinerar sig) kan avgöra om en smitta dör ut eller sprider sig över världen. Sådana brytpunkter kallas tröskelvärden och är kopplade till s.k. perkolationsteori. Utöver det arbetar Cecilia med konfigurations­ modellen, en allmän slumpgrafsmodell, som används i alltifrån Facebook och andra sociala nätverk, biologiska nätverk som hjärnan, tele­ kommunikationer och elektriska kraftnät. Cecilias framgångar har gjort att hon fått flera stora anslag och på så vis haft möjlighet att knyta duktiga doktorander och postdocs till sin forskargrupp. – Jag är glad över att ha en stark forskargrupp. Mina doktorander och postdocs arbetar med spännande projekt och håller många intressanta seminarier och föredrag på konferenser. Detta kan

slumpgrafer och splitträd En graf består av noder och kanter mellan noderna. Noderna kan stå för webbplatser och kanterna representera länkar mellan dem, eller så kan noderna stå för individer och kanterna för kontakter mellan dem, som sexuella relationer eller handskakningar. Ett träd är en graf där det bara finns en väg av kanter mellan två noder. Man kan tänka på ett släktträd där noderna står för individer och det finns en kant mellan två individer om den ena är barn till den andra. 8

Slumpgrafer och slumpträd är grafer och träd som genereras av slumpprocesser.Vi kan skapa en kant mellan två noder med en viss sannolikhet. Om sannolikheten är hög nog är det troligt att hela grafen sitter ihop. Splitträd är slumpträd som konstrueras för att modellera olika sorteringsalgoritmer. Genom att studera motsvarande splitträd kan man analysera algoritmens egenskaper (exempelvis söktiden som ger ett mått på hur effektiv algoritmen är).

Uppsala universitet 2020


i sin tur attrahera andra duktiga forskare och knyta internationella kontakter. Bilden av matematikforskaren som sitter ensam i ett rum med travar av böcker omkring sig stämmer inte på Cecilia: – Jag trivs bäst när jag samarbetar med andra, det gäller både seniora forskare, postdocs och doktorander. På Uppsala universitet träffar jag även studenter och får tillfälle att väcka intresse för mitt område hos dem, vilket är väldigt roligt.

– Tack vare att universitetet och jag och min forskargrupp har gott rykte får vi många duktiga studenter och forskare.

Tre stora anslag Cecilia har fått • Swedish Foundations’ Starting Grant från Ragnar Söderbergs stiftelse, 15 miljoner kr (motsvarar ett stort ERC­anslag) • Projektanslag för seniora forskare från Vetenskapsrådet • Två anslag från Knut och Alice Wallenbergs stiftelse: För rekrytering av forskare samt del i ett stort projektanslag.

Höjdpunkter i karriären • Att vara först med att visa allmänna resultat för splitträd (redan i avhandlingen) • Postdoc: (INRIA) Paris och Cambridge 2010–12 • Lektorstjänst Stockholms universitet 2011 • Docent Uppsala universitet 2014 • Lektorstjänst Uppsala universitet 2018 • Många publikationer i högt rankade tidskrifter

• A tt ha fått internationell erkänsla och stora anslag och därmed kunnat bygga upp en stark forskargrupp. • Swedish Foundations’ Starting Grant fellow 2018–22 • Edlundska priset från Kungliga Vetenskapsakademin 2020 • Göran Gustafssons pris i teknisk fysik för yngre forskare 2020.

Uppsala universitet 2020

9


T

obias Ekholm, född 1970, doktorerade 1998 med avhandlingen Immersions and their self intersections som handlar om hur man läser av deformationsegenskaper hos geometriska objekt genom att studera hur de korsar sig själva.

– Redan som liten var jag intresserad av matte och fysik. Samtidigt har det aldrig varit en självklarhet för mig att vara inom matematiken, utan det känns snarare som om en serie lyckliga omständigheter har lett mig fram till den punkt där jag är i dag.

Höjdpunkter i karriären • Postdoc Stanford 1999–2000 • Associate professor vid University of Southern California 2004–07 • Sloan fellow 2005 • Professor Uppsala universitet 2007 • Gustafssonpris 2008 • Ledamot i Kungl.Vetenskapsakademien 2010 • Thureuspriset 2015 • Wallenberg scholar 2012, 2017, 10

• Föreståndare Institut Mittag-Leffler 2018 • Chefredaktör för Acta Mathematica 2018 • Inbjuden talare vid International Congress of Mathematicians 2018 • Rudbeckmedaljen 2020

Uppsala universitet 2020


När Tobias började på universitetet ville han läsa fysik eller bli civilingenjör. – Jag började med matematik och blev tagen av ämnet. Man kan säga att jag fångades av sättet att tänka och resonera, det var som att komma hem. Tobias slukade allt han kom över inom matematiken. År 1994 inledde han sina doktorandstudier. Hans handledare var den ryske matematikern Oleg Viro. Viro hade arbetat i USA och tog med sig ämnesområdet geometrisk topologi, ”rubber space geometry”, till Uppsala universitet. – Det kan översättas till ”gummirumsgeometri”, och handlar om geometri utan längder och vinklar, vilket kanske låter lite märkligt, men det rör sig om mycket grundläggande geometriska strukturer. Efter avhandlingen fick Tobias en postdoctjänst vid Stanford University. Där var Yakov Eliashberg hans handledare. – I samband med det började jag arbeta med symplektisk geometri, vilket ändrade inriktningen på min forskning. Området har starka beröringspunkter med fysik, som exempelvis strängteori och kvantfältteori.

TOBIAS EKHOLM

En serie lyckliga omständigheter har lett mig fram till den punkt där jag är i dag. knutteori som innehåller överraskande mycket information om en knuts deformationsklass. Tobias och hans forskarkollega Lenny Ng hade tillämpat symplektisk geometri i knutteori och funnit samma polynom. Tillsammans lyckades de fyra forskarna förklara fenomenet både matematiskt och fysiskt. – Det samarbetet förde mig längre in i gränslandet mellan matematiken och fysiken. För mig är det inte olika områden, utan olika aspekter av samma sak. Saker och ting hänger ihop. Områden inom matematiken hänger väldigt väl ihop, och i mitt arbete använder jag mig av stora delar av matematiken. År 2014 började Tobias arbeta tillsammans med Maxim Zabzine vid institutionen för astronomi och fysik inom Wallenbergprojektet Geometry and Physics, som innebär ett nära samarbete mellan matematik och fysik. Projektet pågår till år 2020. – Jag håller fortfarande på med aspekter av det jag ägnade mig åt i min avhandling. Ingenting försvinner, utan det byggs hela tiden på. Jag är tacksam för att Uppsala universitet har gett mig möjlighet att bygga upp en miljö i symplektisk geometri i världsklass.

Nästa utvidgning av Tobias forskningsområde kom 2012, då två fysiker, Cumrun Vafa och Mina Aganagic, hade hittat ett polynom inom

symplektisk geometri Den symplektiska geometrin har sina rötter i Hamiltons geometriska beskrivning av den klassiska mekaniken. I mitten av 1980-talet revolutionerades området av Gromov och Floer med så kallade holomorfa kurvtekniker, där man får geometrisk information genom kvalitativa egenskaper hos rum av lösningar till generaliserade Cauchy-Riemannekvationer, system av första ordningens partiella

differentialekvationer. Holomorfa kurvor återfinns också inom topologisk strängteori och gränslandet mellan geometri och fysikens sträng- och gaugeteorier är ett område i snabb utveckling. Blickar man framåt är utvecklingen av topologisk M-teori och topologiska aspekter av AdS/CFT centrala områden med avgörande frågeställningar.

Uppsala universitet 2020

11


BENNY AVELIN

Matematiker har nyligen fått upp ögonen för maskininlärningsaspekten av artificiell intelligens.

B

enny Avelin, född 1984, disputerade 2013 med avhandlingen Boundary behavior for p-Laplace equations. I korthet handlar avhandlingen om så kallat randbeteende för den typen av ekvationer, det vill säga hur värdet på lösningar till ekvationen förändras vid en viss punkt nära randen. Han lämnade akademin under ett år för att ägna sig åt att arbeta som data scientist på industrinätverket Combient. När han nu har återvänt ägnar han merparten av sin tid åt att forska inom data science och artificiell intelligens, AI. Tonvikten ligger på neurala nätverk och hur de lär sig det vi vill att de ska lära sig. – Såvitt vi kan se kan stora neurala nätverk lära sig väldigt komplicerade mönster. Ett exempel är när sökmotorer lär sig känna igen bilder, eller skilja ut vissa motiv i en stor mängd bilder, säger Benny. Forskning om maskininlärningsaspekten av AI har sin grund inom datavetenskap. Matematiker fick upp ögonen för området sedan en forskargrupp som hade skapat ett artificiellt neuralt nätverk för att klassificera bilder ställde upp i en bildigenkänningstävling* år 2012 och vann med endast 15,3 procent felgissningar. Andrapristagaren hade 26,1 procent fel.

neurala nätverk

Eftersom området är så nytt finns det mycket som ännu är outforskat. – Forskning inom AI är otroligt spännande eftersom grundforskning har en direkt inverkan på tillämpningar. Rent matematiskt är det extremt intressant för det finns väldigt starka kopplingar till en stor del av den moderna matematiken. Utöver matematik är Benny intresserad av fysik och hade kunnat välja även den banan, men han tilltalas av den större exaktheten hos matematiken. – Inom matematik går man från enkla antaganden till ett bevis. Utan matematiska bevis kan man försöka att empiriskt bevisa något men det bästa man kan hoppas på är en rimlig teori. Under 2019 beviljades Benny forskningsanslag från Vetenskapsrådet, som medför att han kan finansiera beräkningsresurser, doktorander och postdocs. – Det är mycket förmånligt att få den här typen av anslag och slippa bekymra sig för finansiering under fyra år framåt. *ImageNet Large Scale Visual Recognition Challenge

Höjdpunkter i karriären

Nätverken är uppbyggda av neuroner, som tar emot och skickar signaler. Nätverken kan beskrivas som maskinella kopplingar som hittar mönster som åtskiljer objekt. Algoritmerna som ligger till grund för nätverken är självlärande, vilket medför att nätverken lär sig mer och mer.

12

– I dag är de neurala nätverken bättre än människor på att känna igen bilder, säger Benny.

• • • • •

Post doc i Jyväskylä, 1 år Post doc i Esbo, 2 år (VR-anslag) AI-konsult hos Combient AB Forskartjänst UU 2018 VR-anslag på fyra år som ska användas till forskning inom AI samt partiella differentialekvationer • Biträdande lektor 2020

Uppsala universitet 2020


Uppsala universitet 2020

1


14

Uppsala universitet 2020


A

nna Sakovich föddes 1982 i Minsk i Vitryssland. Hon kom till Sverige 2007 för att skriva sin doktorsavhandling och disputerade 2013 med Asymptotically hyperbolic manifolds in mathematical relativity. Hennes område är geometrisk analys och hennes forskning kretsar kring matematiska problem som uppstår vid studiet av Einsteins allmänna relativitetsteori. – Det är ett mycket intressant och spännande område, tack vare kopplingen till universums uppbyggnad. Vår kunskap om svarta hål, Big Bang och de nyligen upptäckta gravitationsvågorna är konsekvenser av Einsteins ekvationer. Allt detta kan beskrivas och studeras matematiskt, med hjälp av geometri och differentiella ekvationer, säger Anna. Hon arbetar bland annat med att konstruera och studera initialdata för det så kallade begynnelsevärdesproblemet i den matematiska relativitetsteorin, se faktarutan.

ANNA SAKOVICH

Det vore intressant att förstå rörelsemängdsmoment inom relativitetsteori. Begynnelsevärdesproblemet upptäcktes av den franska matematikern Yvonne Choquet-Bruhat. Upptäckten revolutionerade forskningen inom relativitetsteori och möjliggjorde forskningsfältet matematisk relativitetsteori. Inom området finns mycket outforskat. – Det rör sig om frågor som att uppskatta storleken på ett svart hål eller beräkna mass­ centrum samt rörelsemängdsmomentet hos en galax. En annan intressant fråga är att ta reda på hur bra olika modeller beskriver vårt universum. I sin tjänst som biträdande lektor har Anna ca 40 procent undervisning. Hon trivs bra i den rollen: – Det är roligt att undervisa vid Uppsala universitet eftersom vi har renodlade matematikstudenter. Det är också gott om seminarier och utbildningen är hela tiden nära knuten till forskningen, vilket gör att vi arbetar med aktuella frågor.

Höjdpunkter i karriären • Post doc vid MSRI Berkeley, Kalifornien, USA • Post doc vid Max Planck Institut für Gravitationsphysik, Potsdam-Golm, Tyskland • Post doc Universität Wien (finansierat av Knut och Alice Wallenbergs stiftelse)

• Biträdande universitetslektor, Uppsala universitet 2016 • VR-anslag på fyra år som ska användas till forskning inom matematisk relativitetsteori • Befordrad till lektor, Uppsala universitet 2020

matematisk relativitetsteori År 1916 publicerade Albert Einstein sina första arbeten om den allmänna relativitetsteorin. Där förklarar han gravitationen som en krökning av ”rumstiden”, den geometriska sammanslagningen av rummet och tiden, med hjälp av sina ekvationer. År 1952 omformulerade Yvonne Choquet-Bruhat Einsteins ekvationer som ett begynnelsevärdesproblem, där rumstid betraktas som tidsutvecklingen av ett givet

initialtillstånd (rumstidens ”snitt”), och bevisade lokal existens och entydighet för lösningarna. Den matematiska relativitetsteorin utgår från ChoquetBruhats arbeten och fokuserar dels på problem som rör initial data för Einsteins ekvationer, dels på evolutionsproblem som beskriver tidsutvecklingen för initial data.

Uppsala universitet 2020

15


ANDREAS STRÖMBERGSSON

Vill bidra med insikter om hur Boltzmannekvationen kan härledas utifrån enkla fysikaliska lagar. Andreas Strömbergsson, född 1973, disputerade 2001 med avhandlingen Studies in the analytic and spectral theory of automorphic forms. Avhandlingen utvecklar några olika tillämpningar av harmonisk analys på så kallade hyperboliska ytor, alltså icke-Euklidiska ytor med konstant negativ krökning. Harmonisk analys handlar om att uttrycka godtyckliga funktioner som en kombination av ”egensvängningar”, i detta fall hos den hyperboliska ytan. Harmonisk analys har tillämpningar i vitt skilda områden av matematiken; i avhandlingen diskuteras bland annat en spektralkorrespondens (Jacquet-Langlands) mellan helt olika typer av hyperboliska ytor, och långtidsbeteendet hos en speciell typ av kurvor, så kallade horocykler, på de hyperboliska ytorna. Andreas forskar kring olika tillämpningar av dynamiska system på homogena rum. Flera av dessa tillämpningar handlar på olika sätt om samlingar av ett stort antal sfärer i rummet. En fråga handlar om vad som händer om sfärerna får röra sig fritt och kollidera med varandra; en annan handlar om hur ett moln av rörliga punktpartiklar beter sig i en fixerad utplacering av orörliga sfärer; en tredje handlar om hur sfärerna kan packas på maximalt effektiva sätt, särskilt i rum av hög dimension.

homogen dynamik Homogen dynamik är ett forskningsfält där man studerar en viss mycket speciell typ av dynamiska system, vars definition utgår från teorin för Liegrupper. Det har skett flera stora framsteg inom detta forskningsfält under de senaste 30 åren, och resultat från homogen dynamik har också kunnat tillämpas och lett till lösningar av ett antal viktiga problem inom bland annat talteori och matematisk fysik. 16

Höjdpunkter i karriären • Postdoc Princeton, 2002–03 • Wallenberg fellow, Uppsala, 2007–12 • Två artiklar i Annals of Mathematics om den periodiska Lorentzgasen i Boltzmann-Grad-gränsen (tillsammans med Jens Marklof) • Befordrad till professor 2011 • Wallenberg scholar 2020–24 • Invald i Kungliga Vetenskapsakademin 2020

Uppsala universitet 2020


– Ett mål med min forskning är att kunna bidra med nya insikter kring hur den så kallade Boltzmannekvationen – som beskriver det statistiska beteendet hos till exempel en gas som inte är i jämvikt – kan härledas utifrån de enkla fysikaliska lagarna för partiklars rörelse på mikroskopisk nivå.

duktiga doktorander och funnit att det är en inte bara givande utan till och med trivsam uppgift. Om Andreas inte hade valt matematiken hade han kanske satsat på att spela violin i en orkester eller arbeta med programmering. Men han är nöjd med sitt yrkesval: – Uppsala universitet är en jättetrevlig arbetsplats. Jag trivs bra och jag får mycket goda förhållanden för att fokusera på min forskning.

Andreas har nyligen utsetts till Wallenbergscholar. – Tack vare det får jag riktigt mycket tid till att fokusera på min forskning, och kan dessutom ha ett antal postdocs och doktorander att samarbeta med kring relaterade projekt. Att handleda doktorander var något Andreas en gång i världen tvekade inför. – Jag ser det som ett mycket stort ansvar som jag för 15 år sedan inte visste om jag kunde axla. Men nu har jag handlett några mycket

Tesselering av det hyperboliska planet utifrån verkan av den modulära gruppen SL(2,Z).

Tre Wallenberg scholars på matematiska institutionen Knut och Alice Wallenbergs stiftelse är Sveriges största privata forskningsfinansiär. I huvudsak stödjer stiftelsen grundforskning inom medicin, teknik och naturvetenskap. Anslag delas framför allt ut inom två huvudkategorier: forskningsprojekt och individstöd. Stiftelsen, som grundades 1917, delar årligen ut närmare två miljarder kronor per år och kan initiera anslag till strategiska projekt och stipendieprogram.

Programmet Wallenberg Scholars avser att stödja och stimulera några av de mest framgångsrika seniora forskarna vid svenska universitet. Anslaget är femårigt med möjlighet till ytterligare fem års förlängning. Det finns för närvarande 62 aktiva Wallenberg Scholars, varav tre hör till Matematiska institutionen vid Uppsala universitet: professorerna Andreas Strömbergsson, Svante Janson och Tobias Ekholm.

Uppsala universitet 2020

17


18

Uppsala universitet 2020


E

rik Ekström, född 1977, disputerade 2004 med avhandlingen Selected problems in financial mathematics. Han blev professor i matematik år 2015. Numera engagerar han sig i utvecklingen av institutionens masterprogram i finansiell matematik.

ERIK EKSTRÖM

Vi har duktiga studenter som får många möjligheter tack vare bredden i matematikkurserna. På senare tid har forskningsintressena breddats inom sannolikhetsteori och stokastisk kontrollteori. Ett forskningsområde som för tillfället intresserar Erik är så kallade spökspel, där man agerar mot osynliga, i vissa fall icke-existerande medtävlare.

Erik började på ett civilingenjörsprogram på KTH och läste därefter gymnasielärarprogrammet med inriktning mot svenska och matematik i Uppsala, men fann snart att matematiken lockade mer än gymnasielärarrollen.

– Ett exempel är budgivningar på nätet där man inte vet hur många som konkurrerar om en viss vara. Hur ska man då tänka när man lägger sitt bud? Med hjälp av matematiken kan man bestämma så kallade Nashjämvikter, det vill säga strategier som ingen av budgivarna vill avvika från.

– Det är viktigt att komma ut och se hur det fungerar på andra håll i världen, säger Erik, som tycker att det fungerar bra på Uppsala universitet där undervisning och forskning ofta existerar i någon sorts symbios.

Med samma sorts matematik kan man studera problem som modellerar spårning av bedrägerier, där bedragare möjligen stjäl data från en elektronisk överföring under korta sekvenser.

– När det finns ett mönster i – Vi har duktiga studenter som dataförlusterna ökar sannolikheten får många möjligheter tack vare för att de inte är slumpmässiga. bredden i matematikkurserna. De kan välja den akademiska I sitt arbete med att utveckla • Postdoc vid Ludwig Maximilian Universität i banan eller gå till exempelvis master­programmet i finansiell München 2005–06 finansbranschen. matematik strävar Erik efter • Lektor vid University of Manchester 2006–07 mer modern statistik och data • Rådsforskartjänst 2009–15 Under sex år hade Erik en så • Tillförordnad prefekt Uppsala science. kallad rådsforskartjänst, som universitet under våren 2020 finansierades av Vetenskapsrådet – Det blir möjligen på bekostnad och möjliggjorde forskning inom av antalet kurser i ekonomi, säger Erik. finansiell matematik.

Höjdpunkter i karriären

stokastisk kontrollteori

Kontrollproblem uppstår inom många områden, som ekonomi, medicin och datavetenskap samt olika ingenjörsvetenskaper. Inom stokastisk kontrollteori är det underliggande systemet stört av brus och den precisa effekten av en viss strategi omöjlig att förutse. Ett exempel på stokastiska kontrollproblem är kortspel, där effekten av en spelares strategi beror på slumpmässiga faktorer som motspelarens kort och

vilka kort spelaren får i fortsättningen. En komplikation uppstår om de har en lek med okänd fördelning av kort. I och med de starka kopplingarna mellan sannolikhetsteori och differentialekvationer – ett klassiskt exempel utgörs av sannolikhetsfördelningen av en diffusionsprocess, som också löser FokkerPlancks ekvation – används tekniker från både sannolikhetsteori och klassisk analys.

Uppsala universitet 2020

19


GEORGIOS DIMITROGLOU RIZELL

Som topolog vill man hitta alla sorters geometriska rum.

G

eorgios Dimitroglou Rizell pluggade och doktorerade i Uppsala. Hans avhandling, som var färdig år 2012, heter Surgeries on Legendrian Submanifolds och handlar om en speciell typ av geometriska operationer på rum som studeras i symplektisk geometri.

– I avhandlingen studerade jag kirurgier, där man först ”skär ut” en del av ett geometriskt rum, och sedan infogar något nytt i hålet som uppstår. Denna konstruktion är ett sätt deformera rummet, och i min avhandling studerade jag olika aspekter av vad som förändras under en sådan operation. Under arbetet med avhandlingen jobbade Georgios även med andra tekniker i symplektisk geometri, men tekniska svårigheter gjorde att han fastnade. Några år efter avhandlingen lyckades han återkomma till dessa och förstå vad som fattades, vilket ledde till flera bra resultat. – Inom symplektisk topologi studerar vi så kallade Lagrangianska torusar. Jag och mina forskarkolleger lyckades visa att dessa inte kan vara knutna i det fyrdimensionella rummet, vilket var i linje med vad vi och många andra hade förväntat oss, men inte tidigare kunnat leda i bevis.

– Matematiken är intresserad av att klassificera objekten inom området som man studerar. Som topolog vill man alltså hitta och förstå alla sorters geometriska rum, en slags katalogisering. Forskningen har givit Georgios ett stort internationellt kontaktnät. – I min forskning kommunicerar jag mycket med andra topologer, där vi gemensamt utforskar det matematiska landskapet. Detta innebär en hel del resor och många kontakter med andra matematiker. För tillfället utvecklar vi nya teoretiska verktyg, så kallade invarianter, med vilka man kan göra mätningar för att särskilja olika symplektiska rum. Georgios har många intressen utöver geometri, bland annat spelar han gitarr och det grekiska stränginstrumentet bouzouki. Programmering och fysik har också fångat hans uppmärksamhet. – Om jag inte hade fastnat för matematiken hade jag antagligen arbetat med programmering. Det var en slump att jag blev intresserad av symplektisk geometri, men jag gillar geometri och tänker ofta i bilder. Det faller sig naturligt för mig att angripa problem på ett visuellt sätt.

Som topolog studerar Georgios geometrin hos flerdimensionella objekt – från fyra dimensioner och uppåt.

Höjdpunkter i karriären • Doktorandtjänst Uppsala universitet 2007 • Post doc Bryssel och Paris 2012–14 • Post doc Cambridge 2014–16 • Publicerad i GAFA i oktober 2016 • Wallenberg Academy Fellow – biträdande lektor finansierad av Knut och Alice Wallenbergs stiftelse 2017–2022 • Prefekt vid matematiska institutionen, Uppsala universitet, från 2020. 20

En knuten torus i det tredimensionella rummet.

Uppsala universitet 2020


knutteori och lagrangianska torusar Knutteori studerar på hur många olika sätt ett objekt kan inkluderas i ett rum, en frågeställning som studeras i området topologi/geometri. Den klassiska frågan rör vanliga endimensionella knutar i det tredimensionella rummet. Det är sådana knutar vi stöter på dagligdags, när vi knyter skorna eller försöker trassla ut halsband som snott sig. Men det går också att studera hur ytor kan knytas i högredimensionella rum.

Ett intressant forskningsområde inom symplektisk topologi/geometri är Lagrangianska torusar. Det är ytor som lever i fyra dimensioner, med villkoret att komplex multiplikation tar ytans tangentplan till dess normalplan och vice versa.

Uppsala universitet 2020

21


22

Uppsala universitet 2020


R

aazesh Sainudiin föddes 1973 i Chennai, Indien. Han skrev sin avhandling på Cornell university i USA. Den har titeln Machine interval experiments och handlar om hur människor fattar beslut med hänsyn till datorers beslutsprocess. År 2006 fick han en post doc-tjänst vid universitetet i Oxford, inom matematisk populationsgenetik. Då undersökte han hur individer är kopplade till varandra genetiskt och hur dessa kopplingar påverkar ärftlighet ifråga om sjukdomar. När Raazesh 2017 kom till Sverige och Uppsala universitet var hans uppgift att skapa samarbeten inom data science mellan industrin och akademin. Under sin forskarkarriär har Raazesh intresserat sig för data science inom helt olika fält, som populationsgenetik, beteendeekologi, epidemiologi, statistisk fysik, terrorism och extremism samt ytterligare några områden. Raazesh, som behärskar tamilska, hindi och engelska, ser matematiken som sitt fjärde språk. – Matematik är en fantastisk möjlighet om man vill förstå världen. Det är ett språk som kan användas för att kartlägga verkligheten. Dessutom kan man med hjälp av datorvetenskap och statistik

lösa aktuella problem, exempelvis sådana som näringslivet står inför, säger Raazesh. Nu är han involverad i ett projekt som finansieras av Vetenskapsrådet. I samarbete med religionshistorikern Mattias Gardell och sociologen Simon Lindgren kartlägger han hur ideologier sprids i sociala medier. – Det kan beskrivas som matematisk teologi, eftersom spridningen av olika ideologier i många fall har religiösa förtecken, antingen för att ideologin faktiskt är en religion, eller för att grupper lånar terminologi och begreppsvärld från etablerade religioner. Raazesh är knuten till industrinätverket Combient med omkring 30 av Nordens största företag samt deras delade AI-hub, Combient Mix. – Under 2019 var jag med och startade Combient Competence Centre for Data Engineering Sciences, som erbjuder Uppsala­studenter möjlighet att samarbeta med näringslivs­aktörer inom aktuella industriella frågor, säger Raazesh. – Sverige har ett akut behov av fler duktiga matematiker och det finns oerhört stora möjligheter för den som vill fördjupa sig inom just data science.

data science eller ”big data” ”Big data” är benämningen på de ofantligt stora datamängder som på senare år fått allt större betydelse inom näringslivet. Genom att koppla ihop data från olika källor och analysera dem får forskaren en mer heltäckande bild än tidigare och kan använda informationen för förbättrade underlag för beslutsfattande. Som data scientist behöver man ha kunskaper inom matematik, statistik och datavetenskap.

RAAZESH SAINUDIIN

I mänskliga språk finns stort utrymme för missförstånd medan matematiken är exakt.

Höjdpunkter i karriären • ”Research fellow” i statistik, Oxford, 2006–07 • Lektor i matematik och statistik, Christchurch, Nya Zeeland, 2007–15 • Tog fram mjukvara till underrättelse- och säkerhetstjänster inom industrin, Nya Zeeland 2015–17 • Universitetslektor, Uppsala universitet, 2019 • Principal data scientist, Combient, 2019

Uppsala universitet 2020

23


WARWICK TUCKER

Datorer har förvandlat vår värld. Det är framtiden för matematiken, framtiden för forskningen.

F

ör vissa börjar vägen till matematiken i fysiken. Warwick Tucker är en av dem. Han hade läst kemiinriktning på gymnasiet men när han började på universitetet var det med ambitionen att fördjupa sig i fysik. En fantastisk lärare i matematik fick honom dock att i stället välja den banan.

– Lite oväntat kanske, för en som nästan blev underkänd i matematik på gymnasiet, säger Warwick. Han tillägger att det faktiskt inte var för att han var dålig i matte, utan för att han använde en gammaldags räknesticka i stället för modern miniräknare. Som doktorand löste Warwick ett problem som matematiska forskare hade brottats med sedan 1960-talet – huruvida den så kallade Lorenzattraktorn är kaotisk eller ej. Tack vare framgången öppnades nya dörrar för honom. Han lämnade dock kaosteorin och kom att ägna sin forskning åt datorstödda bevis. – Det började med att jag ville lösa problem som är så svåra att den klassiska matematikens redskap– papper, penna, passare och linjal – inte räcker till. Med hjälp av datorkraft kan vi komma mycket längre. Efter doktorsexamen fick Warwick en tvåårig postdoctjänst i Rio de Janerio, och därefter en lika lång tjänst som ”assistant professor” vid Cornell University i USA. Därefter fick han en femårig forskarassistenttjänst vid Uppsala universitet, men redan efter ett år fick han särskild forskartjänst som finansierades av Kungl. Vetenskapsakademien.

Efter åren som särskild forskare blev Warwick rekryterad till universitet i Bergen. Genom stora donationer av Bergens forskningsstiftlse fick han medel för att bygga upp en egen forskargrupp. – Det var en spännande tid. Jag hade i princip obegränsade resurser, men att rekrytera internationellt och i en större skala är verkligen inte lätt. Det var både lärorikt och roligt! Med gruppen väl på plats gick även forskningen framåt. En rådsforskartjänst och ytterligare ett stort anslag – båda från svenska Vetenskapsrådet – fick Warwick att återvända till Sverige 2009. Forskargruppen följde med och har frodats sedan dess. I dag består den av tolv personer: doktorander, postdoktorer, forskare, lektorer, docenter och Warwick själv. Parallellt med att driva sin forskargrupp har Warwick även innehaft administrativa uppdrag på matematiska institutionen: först som ställföreträdande prefekt (2009-14), därefter som prefekt (2014-20). Sedan 2018 har han också arbetat som föreståndare för WASPs nationella forskarskola för artificiell intelligens. – Det har varit en fantastiskt rolig resa; både att leda min heminstitution och att få bygga en stor nationell forskarskola från grunden. Nästa steg i karriären innebär ännu en flytt utomlands. – Nu bär det strax av till Australien där jag ska leda den matematiska institutionen vid Monash University. Det blir min största professionella utmaning hittills!

– Det gav mig fem års oavbruten forskningstid; tid som jag ägnade åt att både fördjupa och bredda mig inom matematiken kring datorstödda bevis. 24

Uppsala universitet 2020


Höjdpunkter i karriären • • • • • • •

Doktorsgrad (The Lorenz Attractor exists), Uppsala universitet, 1998 Svenska matematikersamfundets Wallenbergpris, 2001 The Moore Prize for Applications of Interval Analysis, 2002 EMS-priset for distinguished contributions in Mathematics, 2004 Befordrad till docent, Uppsala universitet, 2004 Befordrad till professor, Uppsala universitet, 2011 INRIA International Chair, ENS-Lyon, 2019–2023

datorstödda bevis Datorstödda bevis består till en viss del av en ren beräkningsdel som i princip kan utföras för hand, men vars omfattning oftast kräver kraftfulla datorberäkningar. För att göra datorberäkningarna matematisk stringenta måste man överge idén om att kunna utföra beräkningar med enskilda tal. Istället måste man göra sk mängdvärda beräkningar, dvs man räknar med mängder av tal, där svaret också blir en mängd. I det enklaste fallet räknar man med intervall

– det baseras på intervallaritmetik. Exempelvis är [3,4] – [1,2] = [1,3]. Mer generellt kan man räkna på oändligtdimensionella mängder, vilket ger en konstruktiv åtkomst till olika slags fixpunktsatser. Dessa används för att ge existens- och entydighetsbevis i lämpliga funktionsrum, beroende på det matematiska problemet man undersöker.

Uppsala universitet 2020

25


sannolikhetsteori och matematisk statistik

Sannolikhetsteori är teorin för modeller för slumpförsök – försök som kan upprepas och där man inte kan förutsäga vad som ska ske, även om man har full kontroll över alla omständigheter. Teorin är en tvillingvetenskap till statistiken, inom vilken man ägnar man sig åt att skapa metoder, principer och kriterier för att behandla data från experiment och observationer av verkligheten. Matematisk statistik är ett undervisningsämne vid universitet och högskolor som utgörs av dessa båda komponenter. 26

Uppsala universitet 2020

Silvelyn Zwanzigs läroböcker i matematik.


Silvelyn Zwanzig föddes 1954 och växte upp i Östberlin. Hon studerade matematik vid HumboldtUniversität zu Berlin. På den tiden samsades ett flertal matematiska områden under samma paraply och Silvelyn läste bland annat optimering, cybernetik, numerik och algebra. Efter studierna började hon som forskare på Weierstraß-insititutet vid Akademie der Wissen­ schaften der DDR och skrev sin avhandling Second order asymptotics in nonlinear regression, som blev färdig 1984. När Berlinmuren hade fallit 1989 enades Tyskland och akademien stängdes. Silvelyn sökte och fick en postdoctjänst vid Universität Hamburg. Där skrev hon sin habilitationsavhandling, Estimation in nonlinear functional error-in-variables models. Habilitation är ett arbete på högsta vetenskapliga utbildningsnivå, som inte har någon motsvarighet i dagens svenska universitetsväsende. Arbetet gav henne professorskompetens, men hon ansökte inte om befordran. – Jag blev den andra kvinnan som genomförde en habilitation i matematik vid Hamburgs universitet, det var belöning nog. Därefter började hon arbeta med astrometri, ett område som sysslar med noggrann bestämning av himlakropparnas positioner och rörelser. – Matematisk statistik har sitt ursprung i astro­ metrin och därmed var det ett naturligt steg för mig som matematisk statistiker. Mitt arbete handlade om att förfina metoder och hantera slumpmässig data. När Silvelyn fick en tjänst som universitetslektor vid Uppsala universitet flyttade hon till Sverige, medan familjen blev kvar i Berlin. – Uppsala har mycket motiverade studenter, vilket gör arbetet roligt. Vår forskning är på absolut toppnivå, och det ger en positiv press.

SILVELYN ZWANZIG

Det roliga med matematisk statistik är att man kan göra vad som helst. Silvelyn arbetar med tillämpad matematik. Hon tycker om att arbeta över gränserna mellan olika vetenskapsområden. Hon sporras av att det är stor efterfrågan på matematisk statistikkompetens: – Alla behöver statistik! Det är viktigt att kunna erbjuda matematiskt grundade metoder för att andra vetenskapsområden ska kunna nå goda resultat. Genetiken, klimatforskningen och ett stort antal andra områden behöver matematisk statistik. I dag går hennes forskning ut på att hitta metoder för att hantera de enorma datamängder - så kallad big data - som finns tillgängliga. – De datamängder som finns är så heterogena att vi inte kan hantera dem med gamla metoder. I juni 2020 utnämndes Silvelyn till professor i matematik. Hennes familj är mycket stolt, men för henne har titlar aldrig varit särskilt viktiga. – Att väcka intresset för matematisk statistik hos studenterna, att se i deras ögon att de vill veta mer, sådant gläder mig på djupet, precis som när gamla studenter hör av sig efter flera år och tackar för mina föreläsningar! När hon går i pension flyttar hon hem till Berlin. – Det skulle vara roligt att skapa lekfull matematikundervisning för små barn.

Höjdpunkter i karriären • Den andra kvinnan att genomföra habilitation i matematik i Hamburg • Haft ett antal doktorander • Författare till två läroböcker i matematik utgivna av det internationella förlaget CRC Press: Introduction to the theory of statistical inference (2012) (med Hannelore Liero) Computer intensive methods in statistics (2020) (med Behrang Mahjani) • Professur, Uppsala universitet, 2020

Uppsala universitet 2020

27


Är du också intresserad av att läsa matematik och av att forska? Vid Uppsala universitet kan du läsa kandidat- och masterprogrammet i matematik.

Kandidatprogrammet Kandidatprogrammet i matematik omfattar 180 högskolepoäng, tre års heltidsstudier. Vi erbjuder ett brett urval av kurser inom aktuella matematiska områden och du får en stadig grund att stå på oavsett om du fortsätter studera eller ger dig ut i arbetslivet. Programmet ger behörighet till masterprogrammen inom matematik (se nedan) samt inom andra ämnesområden, som bioinformatik, tillämpad beräkningsvetenskap och dataanalys. Alla lärare på programmet är aktiva forskare och forskningens mångfald avspeglar sig i ett stort och brett kursutbud. Matematiken är användbar inom såväl teknik och naturvetenskap som på det samhällsvetenskapliga området. De fördjupade matematikkunskaper som en kandidatexamen i matematik motsvarar är mycket eftertraktade på arbetsmarknaden. Som matematiker kan du arbeta inom till exempel finans och försäkring eller som dataanalytiker inom

klarar du kluringarna? a) Om en nod i grafen till höger är bunden till minst två smittade noder blir den också smittad. På så vis sprider sig smittan i grafen. Om hela grafen till slut ska bli smittad, vilket är det minsta antal noder i denna graf som måste vara 28

en rad olika områden: marknadsföring, försäljning, kvalitetssäkring, business intelligence etc. Matematiken spelar även en central roll i moderna tillämpningar av maskininlärning där den framtida arbetsmarknaden bedöms vara mycket god.

Masterprogrammet Programmet leder till en naturvetenskaplig masterexamen (120 högskolepoäng) med matematik som huvudområde. Efter ett års studier kan du ta ut en naturvetenskaplig magisterexamen (60 högskolepoäng). I masterprogrammet finns följande tre inriktningar: Finansiell matematik • fördjupar studenternas kunskap inom statistik och matematisk analys med tillämpningar inom ekonomin • teoretiska aspekter av finansiell matematik • förberedelse för en karriär inom ekonomi.

Matematik • ger bred teoretisk grund för fortsatta studier och en forskningskarriär • brett utbud av kurser i algebra, analys, geometri och sannolikhetsteori • möjliggör perspektiv på matematisk teori genom att kombinera teoretiska studier med kurser från andra discipliner.

(svar på motstående sida)

smittade från början? Hur ska de placeras?

Vilka siffror representerar bokstäverna?

b) En digitalklocka visar 5:55. Hur många minuter går innan klockan på nytt visar en tid där alla siffror är lika?

d) Vi har 19 vikter med massor 1, 2, 3, ...,19 hg. Av dem är nio järnvikter och nio mässingvikter medan en är gjord av sten. Järnvikternas totala massa är 90 hg mer än

c) Bokstäverna i följande ekvation står för olika siffror: OK + KO = WOW. Uppsala universitet 2020


Tillämpad matematik och statistik • avancerade metoder för att bygga matematiska modeller inom vetenskap, teknik och ekonomi • matematiska aspekter av olika tillämpningar • möjlighet att välja kurser som passar studentens intressen inom matematisk teori eller tillämpningar.

Doktorandutbildningen Som doktorand i matematik i Uppsala får du kontakt med världens mest framstående och moderna matematiska forskning. Utbildningen omfattar 240 högskolepoäng, två års heltidsstudier och två års forskning. Oftast ingår också ett år av undervisning. Ansökan och antagning Matematiska institutionen brukar utlysa lediga doktorandtjänster i februari varje år, med sista ansökningsdag i slutet av mars. Behörighetskrav och fullständig ansökningsprocedur anges i annonsen. Enstaka tjänster utlyses även vid andra tidpunkter, se www.uu.se/jobb/ eller www.math.uu.se

Under utbildningen Varje antagen student tilldelas en handledare och en biträdande handledare. Studieplanen består av tre delar: allmän, ämnesinriktad och individuell del. Alla studenter som antas till forskarutbildningen får avlönad anställning som doktorander vid institutionen. Efter utbildningen Med en doktorsexamen i matematik kan du gå vidare med en forskarkarriär eller satsa på ett yrkesliv utanför akademin. Vår forskning är särskilt stark inom olika former av analys, analytisk talteori, algebra, topologi, geometri och sannolikhetsteori. Ett av de mer utmärkande områdena är symplektisk geometri som har nära koppling till kvant- och strängteorin. Andra områden där vi bedriver framstående forskning i matematik är matematisk biologi, finansiell matematik och matematisk statistik. På nästa sida kan du läsa om de matematiska forskningsområden som finns i Uppsala.

Till din ansökan ska du bifoga masteruppsatsen. Om uppsatsen inte är klar vid ansökningstillfället kan du skicka in det senaste utkastet.

g) När man frågar Max om hans lyckotal ljuger han

varannan gång. Hans första svar kan vara antingen sant eller falskt.

Max svarar ja fem gånger. Vilket är hans lyckotal?

Hans vän Erik ställer följande frågor till honom: Är ditt lyckotal mindre än 100? Är det ett primtal? Är det ett kvadrattal? Är det jämnt? Ingår siffran 4?

svar på kluringarna

e) Åsa lägger 40 procent av sina fickpengar på en födelsedagspresent till sin pappa. För 30 procent av resten köper hon godis. Hur många procent av sina fickpengar har hon kvar?

f) Om en av kvinnorna lämnar festen är 1/3 av gästerna kvinnor. Om i stället ytterligare en kvinna kommer till festen är hälften av alla gäster kvinnor. Hur många gäster är män?

a) Fem. Alla rutor på en diagonal ska vara smittade i början. b) 316 c) K=9, O=2, W=1 d) 10 hg e) 42 procent f) 4 g) 49

mässingvikternas.Vilken massa har stenvikten?

Uppsala universitet 2020

29


Algebra och geometri Forskningen i algebra och geometri genomgår för närvarande en snabb utveckling. Utvecklingen drivs främst av korsbefruktningen mellan de två områdena och deras starka kopplingar till kvantfältteori och strängteori. Ett exempel är spegel­ symmetri som upptäckts i fysik, där homologisk algebra och relaterade strukturer interagerar med symplektisk och algebraisk geometri. Dessutom bedriver vi framgångsrik forskning i såväl kommutativ som icke-kommutativ algebra. Våra forskare har bland annat bidragit till utvecklingen av olika inriktningar inom modern representationsteori och homologisk algebra med tillämpningar inom kombinatorik och topologi. Analys och sannolikhetsteori Analys är en av de äldsta och viktigaste grenarna av matematik och har alltid varit starkt i Uppsala. En känd matematiker är Lennart Carleson som 1966 visade ett viktigt resultat om konvergens av Fourierserier. Även sannolikhetsteori har en lång och stark tradition i Uppsala. Det finns mycket gemensamt mellan de två områdena och många forskare i programmet kombinerar analys och sannolikhetsteori.

Tillämpad matematik och statistik Vi löser problem inom en mängd tillämpningar inom allt från biologi och etologi till ekonomi och sociologi. En stor del av vår tillämpade forskning fokuserar på gruppbeteende hos djur och människor. Här använder vi matematiska modeller för att förstå fågelflockar, mänskligt beteende i sociala situationer och socioekonomisk utveckling. Vi arbetar också tillsammans med läkemedelsföretag med att beräkna hastigheter hos kemiska reaktioner. Utöver direkta tillämpningar ägnar vi oss åt att utveckla rigorösa matematiska metoder. En viktig del av denna forskning är datorstödda bevis och dynamiska system. Genom att utveckla metoder för validerad numerik, där resultaten kan bevisas och inte bara simuleras, kan vi hitta lösningar till problem i icke-linjära system. Inom ramen för vår statistiska forskning fokuserar vi bland annat på icke-linjära error-in-variabler och tidsserieanalys.

Några exempel på områden som vi forskar på i Uppsala är analytisk talteori, dynamiska system, linjära och ickelinjära partiella differential­ ekvationer, sannolikhetsteori, stokastisk kalkyl samt tillämpningar inom finansiell matematik.

30

Uppsala universitet 2020


Uppsala universitet 2020

31