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Las Relaciones Trigonométricas y el Círculo trigonométrico Prof. Irene Mar Condori Área: Matemética Especialidad: Trigonometría 5to de Secundaria


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Presentación

Las funciones trigonométricas se pueden estudiar teniendo en cuenta el triángulo rectángulo y relacionandolo con el círculo trigonométrico.


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Contenido Temático Relacionamos Ángulos y longitudes con tablas y cuerdas

Construcción de Tablas Funciones trigonométricas en el Círculo Funciones Trigonométricas a partir de un Triángulo Rectángulo Funciones trigonométricas de ángulos arbitrarios Signos de las funciones Trigonométricas

Ejercicios Problemas Evaluación


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Sigamos con el problema de encontrar los ángulos en triángulos rectángulos.

Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que representen a cada triángulo rectángulo.

Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.


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Construcci贸n de tri谩ngulos de hipotenusa unitaria

c

b de

1 pasamos a

a

a 2 + b 2 = c2

b/c

1 a/c

(a/c)2 + (b/c)2 = 1


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Relacionamos ángulos y longitudes con Tablas de Cuerdas 

cuerda

En un comienzo, a cada ángulo se asoció la cuerda subtendida por él en una circunferencia de radio fijo.


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blas de cuerdas Para conseguir nuevos valores se usa la identidad 

1 cos 

sen 

 2 sen  1  cos  2 2

y se obtienen tablas de cuerdas que van de 5o en 5o.


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Construcción de Tablas ángulo

60o

30o

cuerda

3 2

1

2 3

15o

45o

seno

2 ?

1/2

coseno

tangente

1/2

3 3 2

1 3

2 3 2

2 3 2

1 2 3

2 2

2 2

1


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La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia

sen 

 

cos 

seno

cosecante

coseno

tan 

secante

cotan 

sec cosec


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Tablas de cuerdas

/2 /2

Razonando con la figura al lado se muestra que

cuerda    sen 2 2


Funciones trigonométricas: coseno de un ángulo agudo cateto adyacente b cos    hipotenusa c

1

c

a

 b

b/c

a/c


Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un ángulo agudo

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cateto opuesto a cateto adyacente b tan    cotan    cateto adyacente b cateto opuesto a

1

c

a

 b

b/c

a/c


Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un ángulo agudo sec  

hipotenusa c  cateto adyacente b

hipotenusa c cosec    cateto opuesto a

1

c

a

 b/c

b

a/c

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Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios P 

Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura.

El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección de la hipotenusa con el círculo.

Pero no es necesario tener todo el rectángulo, basta con tener la recta que une con el origen.

P

P


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Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios 

DEFINIMOS para un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj:

P

l

l

sen 

la ordenada de

cos 

la abscisa de

P P


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Funciones Trigonométricas de ángulos arbitrarios tan 

P 

tan 

P

l

La tangente de un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj, l es la longitud (orientada) señalada


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Signos de las Funciones Trigonométricas II I I

P

I

P 

l

P

I

II

III

IV

sen 

+ + +

+ -

+

+ -

cos 

tan 

P III III

P

VI VI

¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?


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Medida absoluta de ángulos: RADIANES Como la circunferencia unitaria mide 2, un cuarto de circunferencia mide /2 y como un ángulo recto subtiende un cuarto de circunferencia, el ángulo recto mide /2 radianes.


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Medida absoluta de ángulos: RADIANES Como

90o

/2

Entonces si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados,

Grad Rad  180 


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Medida absoluta de ángulos: RADIANES ángulo en radianes

Grad Rad  180 

ángulo en grados

1 1 /3 45 120


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Actividad I… Construir un triángulo cuyos lados sean de longitud 3, 4 y 5 . Comparar los distintos triángulos que se obtienen. Nota: cada quien es libre de escoger la escala


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Actividad II… Para cada uno de los triángulos rectángulos proporcionados, midan las siguientes razones, según el ángulo marcado con el círculo rojo:

a) Cateto opuesto e hipotenusa b) Cateto adyacente e hipotenusa c) Cateto opuesto y cateto adyacente


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‌ Actividad II


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Ejercicio

5 O

En una circunferencia de centro O y radio 5 está trazada una cuerda que mide 3.5 ¿cuánto mide el ángulo central asociado? En la misma circunferencia, halle la longitud de la cuerda subtendida por un ángulo de 72o.


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Problema Con apoyo del círculo unitario, construya la gráfica de la función sen

(0,1)

(-1,0)

(-1,-1)

(0,1)

sen( ) 15 30 45

60 75 90 105 120 135 150

···


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Problema… 1. Trace los triángulos rectángulos definidos por las siguientes ternas de puntos: a) (0,0), (8,0), (8,6) b) (0,0), (-4,0), (-4,3) c) (0,0), (-3,0), (-3,-4) d) (0,0), (8,-6), (8,0) 2. En cada uno de los triángulos trazados, ubique el ángulo formado entre la hipotenusa y el eje de las abscisas.

3. Calcule el seno, coseno y tangente de tal ángulo.


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Seguimos con los ejercicios II

III

I

IV

I

II

III

IV

sen()

+

+

-

-

cos()

+

-

-

+

tan()

+

-

+

-


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Preguntas de Evaluación ¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función seno ?

¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función coseno ?

c

a

b

¿alguno de los catetos puede ser mayor que la hipotenusa? ¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función tangente ?


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Recursos http://www.youtube.com/user/julioprofe

Sopa de letras de trigonometrĂ­a


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Evaluación

¿Qué es un círculo trigonométrico? ¿Para que se utiliza el triángulo rectángulo en el círculo trigonométrico? ¿Qué unidades de medida se utilizan en el círculo trigonométrico?


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BibliografĂ­a

http://www.hiru.com/matematicas/funciones-trigonometricas

http://ileanafumero.blogspot.es/ http://es.wikipedia.org/wiki/Computadora http://personal.iddeo.es/ztt/For/F3_Funciones_Trigonometricas.htm


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