Volume 2: 60 Jogos Para o Pensamento Aritmético - PARTE A Versão: novembro/2011
Página
78
exemplo, se tornam justificáveis perguntas tais como: “O que é suficiente para que um objeto seja considerado uma cadeira, e não uma banqueta?”; “O que é necessário para que um animal seja considerado uma ave?”; “O que é necessário e suficiente para que uma pessoa possa dirigir um automóvel?”
4.2.- Sobre os Teoremas Teorema é uma afirmação que pode ser demonstrada como verdadeira através de argumentações e operações matematicamente aceitáveis. Em geral um teorema é o enunciado de algum princípio geral que faz parte de uma teoria. O processo que visa mostrar que o Teorema é verdadeiro se denomina prova. Philip J. Davis e Reuben Hersh, em seu livro “A Experiência Matemática” [Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985 – pág. 46-47], afirmam que cerca de 200.000 teoremas da matemática são publicados anualmente.
4.3.- A Axiomatização da Aritmética Desde a antiguidade e entre os mais diversos povos, os números naturais: 0,1,2,3,4,5,6,..., são por excelência os números destinados à contagem. Historicamente o número zero, o “nada” apareceu muito depois dos outros, e o seu numeral − um círculo sem nada dentro −, deveria ter representado um continente sem nenhum conteúdo, nenhum elemento em seu interior – como um cercado em um campo, mas sem animais, ou uma cesta, sem nenhum pão, por exemplo. Mas saber apenas isto sobre este tipo de números é muito pouco, e já no final do século XIX e na primeira metade do século XX o estudo das propriedades dos números naturais começou a preocupar os matemáticos. Em resumo, como entidade matemática, o conjunto dos números naturais precisava ser formalizado e, assim foi que, Giuseppe Peano (Itália - 1858/1932) elaborou a Teoria Axiomática dos Números Naturais − e em 1889 Peano publicou um pequeno livro em latim intitulado “Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita” mais conhecido como “Princípios de Aritmética”. Neste texto, Peano menciona os estudos feitos por Boole, Schröder, Peirce, Jevons e MacColl, no campo da lógica e menciona os trabalhos de Dedekind publicado em 1888, reconhecidamente a primeira axiomatização da aritmética. No prefácio de seu livro, Peano introduz a notação lógica que irá utilizar no texto.
4.4.- Uma Axiomatização Equivalente aos Axiomas de Peano Os axiomas de Peano estruturam as propriedades aritméticas dos números naturais, cujo conjunto é dado por: N= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. Peano não somente enunciou os axiomas, como