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UNISEMINAR


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Prüfungen

Übungen

Aufgaben

Theorie

Seminar


Einleitung Statistik Bachelor

Winterthur, M채rz 2013


Einleitung

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Über uns Uniseminar ist 2005 von zwei HSG Studenten und zwei Doktoranden der ETH gegründet worden, um die Prüfungsvorbereitung einfacher, effizienter und verständlicher zu gestalten. Das Team von Uniseminar ist über die Jahre stark gewachsen und besteht mittlerweile unter anderem aus zahlreichen Mathematikern der ETH, Statistikern der University of Cambridge, Betriebsökonomen der HSG, Volkswirtschaftern der Universität Zürich als auch der London School of Economics (LSE), die allesamt grosse didaktische und fachspezifische Erfahrung mit sich bringen. Alle Dozenten von Uniseminar haben an diversen europäischen, als auch amerikanischen Universitäten langjährige Unterrichtserfahrung in ihrem Fach gesammelt und können Dich deshalb in den Seminaren optimal bei Deiner Prüfungsvorbereitung unterstützen. Die Macher von Uniseminar haben alle vor kurzem selbst noch studiert und wissen deshalb über das Studentenleben und die Prüfungsvorbereitung bestens Bescheid. Zudem haben wir alle grosse Freude am unterrichten und wollen Dir auf angenehme Weise die teilweise etwas komplizierte und trockene Materie so näher bringen, dass Lernen auf einmal Spass macht!

Unterlagen Sämtliche Unterlagen von Uniseminar werden ausschliesslich von qualifizierten Doktoranden erstellt, die selbst im jeweiligen Fachgebiet doktorieren und damit über grosse Erfahrung und Expertise verfügen. Dadurch kann eine hohe didaktische Qualität des Skripts garantiert werden. Alle unsere Unterlagen werden zudem jedes Semester in enger Zusammenarbeit mit Studierenden überarbeitet, die zur Zeit die Vorlesung an der ZHAW vor Ort besuchen. Damit können wir Dir garantieren, dass Dir stets der aktuellste Stoff in unseren Unterlagen und Seminaren vorgelegt wird! Es wird dabei genau auf diejenigen Schwerpunkte eingegangen, welche den Prioritäten der Professoren entsprechen. Das vorliegende Statistik-Skript ist deshalb optimal auf die Vorlesungen und Übungen abgestimmt und enthält alle prüfungsrelevanten Materialien für Deine Prüfung an der ZHAW. Ebenfalls ist es seit jeher unser hartnäckig verfolgtes Ziel alle unsere Unterlagen laufend zu verbessern und perfekt an den relevanten Prüfungsstoff anzupassen. Damit ist Dir eine optimale Klausurvorbereitung garantiert! Die Aktualität der Unterlagen ist uns ein grosses Anliegen: Wir wollen, dass Du genau das lernst, und wirklich nur das, was an den Prüfungen schliesslich auch dran kommt. Weder zu viel noch zu wenig!

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Seminare Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Alle Dozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen Universitäten und wissen deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten können. Oberstes Ziel unserer Seminare ist es den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich und verständlich in zwei vierstündigen Seminarblöcken zu vermitteln. Zuerst werden die wichtigsten mathematischen Grundlagen und Themen der Vorlesung besprochen, um danach auf die häufigst auftretenden Aufgabentypen einzugehen und geeignete Vorgehensweisen an der Prüfung zu erklären. Während den Seminaren werden zu 30% theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und Grundkenntnisse erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu bearbeiten und effiziente Prüfungsstrategien zu besprechen. Es wird somit in den Seminaren zuerst ein theoretisches Fundament gelegt, da grundlegende theoretische Kenntnisse beim Lösen von Prüfungsaufgaben von grosser Bedeutung sind. Es ist also unser Ziel nicht nur den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich zu erklären, sondern auch theoretische Kenntnisse zu vermitteln, die nötig sind, um fachliche Zusammenhänge auch wirklich zu verstehen. Theoretische Zusammenhänge erscheinen auf den ersten Blick komplex, dennoch sind sie bis zu einem gewissen Grade nötig um Prüfungsaufgaben selbstständig zu lösen. Wir sehen es als unsere Aufgabe Dir den nötigen Grad an theoretischem Wissen auf möglichst einfache und kompakte Weise aufzuzeigen und Dir anzueignen. Mit dem richtigen Mass an Theorie wird Dir das Lösen der Prüfungsaufgaben viel leichter fallen! In unseren Seminaren erlernst du somit einfache theoretische Grundkenntnisse, um spezifische Aufgabentypen zu lösen, die an der Prüfung mit grosser Wahrscheinlichkeit erscheinen werden.

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Aufbau Dieser Ordner soll Dir als Lernhilfe zur effizienten Prüfungsvorbereitung der Statistik-Prüfung dienen und umfasst 5 Teile. Wir möchten Dir im Folgenden einen Überblick über den Aufbau des Ordners geben. 1. Theorie: Das Theorieskript fasst in einfacher und übersichtlicher Form den gesamten Stoff der Vorlesung Statistik zusammen und erklärt diesen anhand anschaulicher Beispiele. Am Ende findest Du jeweils ein Stichwortverzeichnis, welches Dir bei allfälligen Fragen schnellstmöglich Zugriff auf das erforderliche Wissen verschafft. Das Theorieskript umfasst alle prüfungsrelevanten Kapitel aus der Vorlesung, diese werden im Seminar der Reihe nach bearbeitet. 2. Aufgaben: Zu allen Kapiteln in unserem Theorieskript haben wir abgestimmte Übungsaufgaben erstellt. Wir empfehlen Dir diese Aufgaben gleich nach den erfolgten Seminarblöcken zu lösen, um anschliessend Fragen an unsere Dozenten stellen zu können. Diese sind gerne während den Pausen und auch nach den offiziellen Seminarstunden für Dich da, um Dir bei Deinen persönlichen Problembereichen weiterzuhelfen. 3. Übungen: In den vergangenen Jahren hat es sich gezeigt, dass die Übungsserien der ZHAW zunehmend wichtiger für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung geworden sind. Die Professoren haben die aktuellsten Prüfungsaufgaben vermehrt unter Berücksichtigung der Serien konzipiert. Der Grund dafür liegt darin, dass die Anwesenheit der Studenten während der Übungen sich lohnen und auszahlen soll. Aus diesem Grund haben wir Dir sämtliche Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt. 4. Prüfungen: Beginne früh damit bisherige Prüfungen zu lösen, denn nur so gewinnst Du das nötige Verständnis für deren Aufbau. Du wirst erkennen, was für die Prüfung relevant ist und kannst Dich gezielt darauf vorbereiten. Dazu haben wir Dir alle verfügbaren Prüfungen aus beiden Vorlesungsteilen mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt. 5. Formeln: Die Formelsammlung stellt die wichtigen Formeln der Vorlesung zusammen. Nimm Dir nach dem Durcharbeiten der Theorieskripte die Formelsammlung öfter vor, um sie zeilenweise abzulesen und die Formeln zu memorieren. Jede Formel, die im Kopf verfügbar ist und nicht während der Prüfung nachgeschlagen werden muss, spart wertvolle Zeit.

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Vorgehensweise Wir empfehlen Dir mit dem Ordner wie folgt schrittweise vorzugehen um einen perfekten Lernerfolg zu erzielen: 1. Theorie: Lies als erstes ein Theoriekapitel aufmerksam durch und versuche die theoretischen Inhalte zu verstehen. 2. Aufgaben: Löse nun einige oder am besten alle unsere eigens erstellten Aufgaben passend zum soeben gelesenen Theoriekapitel komplett durch. Diese umfassen exakt den in diesem Theoriekapitel erlernten Stoff. So siehst Du gleich, an welchen Stellen Du allenfalls ein Theoriekapitel nochmals gründlicher durchlesen solltest. 3. Prüfungen: Mit Deinem aktuellen theoretischen Wissensstand kannst Du nun ideal ausgewählte Prüfungsaufgaben lösen. So siehst Du gleich was Dich an der Prüfung erwartet und kannst Dich bereits jetzt perfekt darauf einstellen. Dazu haben wir Dir am Ende von jedem Theoriekapitel einige ausgewählte Prüfungsaufgaben zusammengestellt, die sich auf das soeben behandelte Thema beziehen. 4. Mache eine Pause und beginne danach wieder mit einem weiteren Theoriekapitel.

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S


Seminar Statistik Bachelor

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Seminar

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Ziel und Inhalt Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir unsere gezielten Prüfungsvorbereitungsseminare zu besuchen. In zwei vierstündigen Seminarblöcken zeigen wir Dir dabei welche Themen für das erfolgreiche Bestehen Deiner Prüfung essentiell sind und erarbeiten mit Dir gemeinsam effiziente Strategien um die spezifischen Aufgabentypen gezielt anzugehen. Dabei wird Dir nur das Allerwichtigste an Theorie kurz und prägnant erklärt und repetiert. Der Fokus des Seminars liegt im Lösen alter Prüfungsaufgaben wobei wir Dir mit strukturierten Vorgehensweisen einen zielgerichteten Ansatz aufzeigen, wie Du die Prüfung optimal lösen kannst.

Während des Seminars werden deshalb zu 30% Grundkenntnisse und theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu bearbeiten und effiziente Prüfungsstrategien zu besprechen.

Unsere erfahrenen Dozenten zeigen Dir auch wichtige Tipps und Tricks um Deine Prüfungschancen zu optimieren. In den Pausen und nach Seminarende hast Du zudem die Möglichkeit, dem Dozenten individuelle Fragen zu stellen, um letzte Unklarheiten zu beseitigen.

Seminarleitung Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Alle Dozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen schweizerischen und europäischen Universitäten und wissen deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten können. Weitere Infos zu Deinem persönlichen Seminarleiter und zu unseren Dozenten im Allgemeinen findest Du auf unserer Webseite www.uniseminar.ch in der Rubrik “Über uns”.

Anmeldung Unter www.uniseminar.ch kannst Du Dich jederzeit für die Seminare anmelden.


Notizen

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Übungen

Aufgaben

Theorie

T


Theorie Statistik Bachelor

Winterthur, M채rz 2013


Inhaltsverzeichnis 1 Deskriptive Statistik: Graphische Methoden

1

1.1

Umgang mit Unsicherheit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Zentrale Begrisbestimmungen

1.3

Graphische Darstellung von Daten

1.4

Zeitreihen

1.5

Diagramme zur Darstellung metrischer Daten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6

Beziehungen zwischen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Statistische Kennzahlen

23

2.1

Lagemasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2

Streuungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3

Gewichtetes arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4

Die Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3 Wahrscheinlichkeitstheorie

42

3.1

Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2

Wahrscheinlichkeitsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3

Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.4

Baumdiagramme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4 Diskrete Zufallszahlen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1

EinfĂźhrung in Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4.2

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

66

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.3

Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.4

Rechenregeln fĂźr die KenngrĂśssen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.5

Bernoulliverteilung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

4.6

Binomialverteilung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

4.7

Poissonverteilung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

5 Stetige Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

80

5.1

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.2

Mittelwert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.3

Die Gleichverteilung

85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5.4

Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.5

Approximation der Binomialverteilung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.6

Die Exponentialverteilung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

6 Stichprobenerhebungen und die Verteilung von Stichprobenstatistiken

94

6.1

Stichprobendesign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

6.2

In Richtung statistische Inferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

6.3

Prognoseintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7 Kondenzintervallschätzung: Eine Population

105

7.1

Punktschätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.2

Kondenzintervalle

7.3

Schätzung des Mittelwerts bei bekanntem

7.4

Schätzung des Mittelwerts bei unbekanntem

7.5

Schätzung eines Anteils einer Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

σ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

σ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

9 Hypothesentests: Eine Population

117

9.1

Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.2

Hypothesentests für Mittelwert

µ

und bekanntem

9.3

Hypothesentests für Mittelwert

µ

und unbekanntem

9.4

Hypothesentests für Anteil

p

11.1 Einführung in die Regressionsanalyse

σ

. . . . . . . . . . . . . . . 126

133

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

11.3 Inferenz bei linearer Regression

Stichwortverzeichnis

. . . . . . . . . . . . . . . . 123

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11 Regressions- und Korrelationsrechnung 11.2 Streuungsanalyse

σ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

151


Theorie

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Das zugehörige Kreisdiagramm ist

Abbildung 2: Kreisdiagramm

Beim Pareto-Diagramm wird dagegen die relative Häufigkeit aufgetragen, die Balken werden nach Häufigkeit und nicht nach ihrem Wert sortiert. Durch sortieren der Tabelle aus dem letzten Beispiel nach relativer Häufigkeit erhalten wir Wert

Absolute Häufigkeit

Relative Häufigkeit

In Prozent

Gut

6

0.60

60%

Schlecht

3

0.30

30%

Sehr Gut

1

0.10

10%

Mittel

0

0.00

0%

Abbildung 3: Pareto-Diagramm

-10-


Theorie

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Jahr

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Absolventen

432

412

462

482

532

512

551

578

stellt man geeigneterweise als Liniendiagramm dar.

Abbildung 5: Liniendiagramm einer Zeitreihe

Hier macht es keinen Sinn, die Datenwerte in Klassen einzuteilen oder nach Häufigkeiten zu fragen. Die Datenwerte stammen nicht aus einer gezogenen Stichprobe, sondern aus einem zeitlichen Prozess. Die zeitliche Entwicklung ist hier die Information die das Diagramm vermitteln soll.

1.5

Diagramme zur Darstellung metrischer Daten

Die wichtigste Darstellungsform für metrische Daten ist das Histogramm: Dazu werden die Originaldaten in Klassen eingeteilt (sie werden sozusagen kategoriell gemacht), diese werden dann als Säulendiagramm dargestellt. Die Klassen müssen so gewählt werden, dass jeder Datenpunkt in eine und nur eine Klasse fällt. In einer Häufigkeitstabelle werden die Daten in Klassen eingeteilt und dann werden die verschiedenen Klassen miteinander verglichen. Die Balken im Histogramm sind Flächenproportional zur relativen Häufigkeit der Klasse, zu der der Balken gehört. Bei der Wahl gleichbreiter Klassen ist die Breite

-12-


Theorie

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Die zugehörige Kreuztabelle vom Format r × s = 3 × 3 entsteht durch Zählen der absoluten Häufigkeiten und Ausrechnung der Summen am Rand: X\Y

1

2

3

Σ

P

1

1

2

4

L

1

1

2

4

S

0

1

0

1

Σ

2

3

4

9

Die Werte am Rand geben die absoluten Häufigkeiten der (voneinander getrennten) Merkmale X und Y an, unten rechts steht stets der Umfang n der Stichprobe. Um diese Daten darzustellen eignen sich Säulendiagramme, wobei man die Säulen nach der ersten Variable gruppiert:

Abbildung 9: Gruppiertes Säulendiagramm

Metrische Merkmale Bei zwei metrischen Variablen bietet sich das Streuungsdiagramm (Scatterplot) an: Jedes Individuum wird als Punkt im Plot dargestellt, dessen horizontale Position durch das erste und die vertikale Position durch das zweite Merkmal bestimmt wird. Diese Diagramme veranschaulichen eventuelle Zusammenhänge zwischen den Merkmalen.

-19-


Theorie

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y @in Mio CHFD

8

6

4

2

0.5

1.0

1.5

x @in 1000 m2D

Abbildung 10: Streuungsdiagramm der Datenpaare (xi , yi ) aus der Tabelle

Dieser Plot legt nahe, dass es einen linearen Zusammenhang zwischen den x- und den y-Werten gibt, da sie nahe an einer gemeinsamen Geraden liegen. Ein Scatterplot zu Merkmalen ohne Zusammenhang besitzt dagegen typischerweise dieses Aussehen:

Abbildung 11: Streuungsdiagramm unzusammenh채ngender Merkmale

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Theorie

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Abbildung 12: Eine rechtssschiefe Verteilung mit Modus, Mittelwert und Median

Durch die Asymmetrie fallen die Lageparameger im Plot nicht auf denselben Punkt. Bei rechtsschiefen Verteilungen zieht die Verteilung zur linken Seite und umgekehrt. Das gilt ebenso f端r Histogramme.

Abbildung 13: Ein rechtsschiefes Histogramm

Bei symmetrischen Verteilungen bzw. Stichproben liegen die drei Lageparameter auf dem selben Punkt:

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Theorie

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Abbildung 14: Ein symmetrisches Histogramm

Den genauen Zusammenhang der drei Lagemasse mit der Schiefe gibt die folgende Tabelle: mo < m < µ: Wir haben eine rechtsschiefe bzw. linkssteile Verteilung der Daten. mo > m > µ: Wir haben eine linksschiefe bzw. rechtssteile Verteilung der Daten. mo = m = µ: Wir haben eine symmetrische Verteilung der Daten. Um genauere Informationen über die Form der Verteilung zu erhalten, benötigt man Quantile. Das Quantil für 0 < α < 1 ist derjenige Wert xα , der die Datenmenge in α und 1 − α Anteile unterteilt. Zum Beispiel ist für α = 0.9 das α-Quantil xα derjenige Wert, für den 90% aller Daten darunter liegen und 10% aller Daten darüber. Von besonderer Wichtigkeit sind die Quantile an den Viertelstellen, man nennt sie die Quartile: • 25%-Quantil x0.25 . Dieses Quantil nennt man das 1. Quartil Q1 . • 50%-Quantil x0.50 . Dieses Quantil nennt man das 2. Quartil Q2 , es ist gleich dem Median. • 75%-Quantil x0.75 . Dieses Quantil nennt man das 3. Quartil Q3 . Die Quartile Q1

und -29-

Q3


Theorie

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• Eine stetige Zufallsvariable X hat die Dichtefunktion f , wenn die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert im Intervall [a, b] annimmt, der Fläche unterhalb der Dichtefunktion in den Grenzen a und b entspricht:

Zb P (a ≤ X ≤ b) =

f (x)dx = F (b) − F (a) a

• Ob die Intervallgrenzen a und b dabei im Intervall enthalten sind oder nicht, spielt für den Wert des Integrals keine Rolle, d.h. ≤ kann nach Belieben durch < ersetzt werden.

Abbildung 25: Wahrscheinlichkeit als Fläche unter der Dichtefunktion

• Die Verteilungsfunktion kann auch für stetige Zufallsvariablen definiert werden:

Zx F (x) = P (X ≤ x) =

f (t)dt −∞

Typischerweise ist nicht f (x), sondern F (x) in Tabellen nachzuschlagen: die Wahrscheinlichkeit P (a ≤ X ≤ b) ist die Fläche unter der Kurve die durch f (x) beschrieben wird, aber wenn wir die Stammfunktion F (x) kennen, genügt es, die Werte an deren Rändern zu bestimmen:

-83-


Theorie

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Abbildung 26: Zusammenhang Verteilungs- und Dichtefunktion

• Verteilungsfunktion und Dichte hängen über die Ableitung zusammen: f = F 0 .

5.2

Mittelwert und Varianz

Wie im diskreten Fall werden stetige Zufallsvariablen durch Erwartungswert und Varianz charakterisiert. Die Summe wird nun aber durch ein Integral und die Gewichte P (X = xi ) durch die Dichtefunktion ersetzt. Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen X ist

Z∞ µX = E(X) =

xf (x)dx −∞

Man kann den Ausdruck E(g(X)) auch wie eine Auswertungsvorschrift verstehen: sie ordnet g(X) (was eine Funktion, eine Zufallsvariable, eine Zahl oder sonst irgendein Ausdruck in X sein kann) das Mittel über die Werte g(x) mit der Dichte f (x) zu. Der Erwartungswert von X selbst µX = E(X) ist der Spezialfall, dass man X selbst einsetzt. Für eine beliebige Funktion g(X) in X hat man dagegen

-84-


Theorie

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Einsetzen der Summen in die Gleichung für die Steigung der Regressionsgeraden ergibt b1 =

=

=

xy − x¯ · y¯ x2 − (¯ x)2 1 n

· 65.3952 − n1 10.68 · n1 62.6 1 11.4058 − ( n1 10.68)2 n

65.3952 − n1 10.68 · 62.6 9.6812 = = 5.093 . 1 2 1.9006 11.4058 − n 10.68

Der Achsenabschnitt dazu ist b0 = y¯ − b1 x¯ =

1 1 62.6 − 5.093 · 10.68 = 0.684 . n n

Unser Regressionsmodell ist also y = 0.684 + 5.093x.

Abbildung 33: Scatterplot mit Regressionsgerade

11.2

Streuungsanalyse

Die Regressionsrechnung erlaubt auch eine genauere Analyse der Streuung bzw. Varianz von Y . Diese zerlegt man in • die Streuung, welche durch den Einfluss des Regressors X verursacht wird, • die restliche (nicht abhängige) Streuung. -142-


Stichwortverzeichnis

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Interquartilsabstand, 31

Metrische Skala, 6

Intervallschätzer, 110

Minimumseigenschaft, 25, 34, 139

Intervallskala, 6

Mittelwert arithmetisch, 25

Kleinste-Quadrate-Schätzer, 139

geometrisch, 26

Kombinationen, 49

gewichtet, 35

Kombinatorik, 49

zu Datenwerten, 25

Konfidenzgleichung, 110 Konfidenzintervall, 106, 110 Konfidenzniveau, 110, 120 Konsistenz, 100, 109

Mittelwertschätzung, 101, 112 Modus, 24 Multiplikationssatz, 54, 61

Kontingenztabelle, 18

Nominalskala, 6

Korrelationskoeffizient, 38

Normalverteilung, 87

Kovarianz, 38

Notation, 23, 69

Kreisdiagramm, 9

Nullhypothese, 120, 126

Kreuztabelle, 18 Kritischer Wert, 124 Laplace-Modell, 48 Lineare Regression, 136 Liniendiagramm, 11

Ogive-Diagramm, 14 Ordinalskala, 6 P-Wert, 125, 149 Parameter, 4, 99, 106 Pareto-Diagramm, 10

Mächtigkeit, 122

Pareto-Kurve, 11

Margin of error, 110

Permutationen, 49

Median

Perzentil, 85

stetig, 86

Poissonverteilung, 78

zu Datenwerten, 24

Population, 3, 97

Merkmal, 3

Power, 122

diskret, 5

Prognoseintervall, 105

kategoriell, 5

Punktschätzer, 110

numerisch, 5

Quantil, 106

qualitativ, 5

stetig, 85

quantitativ, 5 stetig, 5

zu Datenwerten, 29 Quartile, 29 -155-


Extras

Prüfungen

Übungen

Aufgaben

A


Aufgaben Statistik Bachelor

Winterthur, M채rz 2013


Inhaltsverzeichnis 1 Deskriptive Statistik

1

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Statistische Masszahlen

17

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung

31

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4 Diskrete Zufallsvariablen

43

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5 Stetige Zufallsvariablen

54

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

7 Kondenzintervalle

63

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

9 Hypothesentests

68

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

11 Regressionsrechnung

73

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74


Deskriptive Statistik: Lösungen

uniseminar.ch

15

10

5

500

1000 Ein Histogramm

1500

Angenommen man hat nur das Diagramm, nicht aber die Stichprobe. Kann man dann die Stichprobenwerte aus dem Diagramm wieder rekonstruieren?

Lösung: Diese Verteilung ist nicht unimodal (es gibt mehr als einen „Hügel“). Sie ist rechtsschief (links mehr Masse als rechts) und hat daher voraussichtlich einen höheren Mittelwert als Median.

Die Datenwerte sind sehr unregelmässig verteilt und nicht in einem zentralen Bereich gehäuft (weder beim Mittelwert noch beim Median). Zudem liegen einige Ausreisser sehr weit am Rand (die x-Achse reicht bis zum Wert 1’500). Alle diese Eigenschaften verursachen vermutlich eine sehr hohe Varianz bzw. Standardabweichung.

Prinzipiell ist es möglich die Verteilung zu rekonstruieren wenn jedem Datenwert ein Balken zugeordnet wird. Dazu erzeugt man soviele Datenpaare wie die Höhe des Balkens angibt und versieht sie mit dem Wert der unter dem Balken steht. Das ist hier aber nicht möglich, weil beispielsweise der erste Balken Datenwerte im Bereich 1-35 umfasst. Der Balken ist als Zusammenfassung mehrerer verschiedener Datenwerte entstanden. Diese Einzelwerte sind verloren, nur noch ihre Anzahl ist bekannt (Höhe des Balkens). -9-


Deskriptive Statistik: Lösungen

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Histogramm zu Aufgabe 2-2

Die Verteilungsfunktion der (kumulativen) relativen Häufigkeiten wird durch die folgende Kurve dargestellt:

Verteilungsfunktion zur Aufgabe 2-2

Die gepunkteten Linien beschreiben die 25%, 50% und 75% Quantile. b) f5 + f6 = 27 (absolute Häufigkeit). c) f4 /n + f5 /n + f6 /n = 0.15 + 0.175 + 0.1625 = 0.4875 (relative Häufigkeit). -12-


Deskriptive Statistik: Lösungen

uniseminar.ch

d)

P4

fi /n = 0.3875 (kumulative relative Häufigkeit).

e)

P9

fi /n = 0.275.

i=1

i=7

Aufgabe 4: Diagramme interpretieren Betrachten Sie die beiden folgenden Abbildungen. Um welche Diagrammtypen handelt es sich jeweils? Bestimmen Sie aus den Diagrammen jeweils die beschriebene Variable, deren Typ und die Häufigkeitstabelle mit allen Häufigkeitsarten die man den Diagrammen entnehmen kann. Runden Sie alle Werte auf zwei Stellen hinter dem Komma.

Verteilung der Studienart an einer Universität

-13-


Deskriptive Statistik: Lösungen

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Altersjahrgänge eines Kindergartens (keine Zeitreihe)

Lösung: Beim ersten Diagramm handelt es sich um ein Pareto-Diagramm mit eingetragener ParetoKurve. Man erkennt es daran, dass die Klassen nach Häufigkeit sortiert sind und die Kurve der kumulierten Häufigkeiten bei 100% endet. Damit ist auch klar, dass hier relative Häufigkeiten gegeben sind. Die Höhe der Säulen bezeichnet die relative Häufigkeit, die Höhe der Pareto-Kurve die kumulative relative Häufigkeit der Klassen: Klasse i

Relative Häufigkeit fi /n Kumulative relative Häufigkeit Fi /n

Bachelor

0.5

0.5

Master

0.3

0.8

Doktorat

0.1

0.9

Dozentur

0.1

1.0

Da die Gesamtzahl n der Stichprobe fehlt, können wir hier keine absoluten Häufigkeiten berechnen. Die beschriebene Variable ist erstmal nur kategoriell. Man könnte sie ordinal machen wenn man die Anordnung Bachelor < Master < Doktorat < Dozentur ansetzt, das kann man aber aus dem Diagramm so nicht interpretieren, weil die Klassen auch nach Häufigkeit diese Anordnung besitzen. Das zweite Diagramm ist ein Ogive-Diagramm. Das erkennt man daran, -14-


Deskriptive Statistik: Lösungen

uniseminar.ch

dass die Kurve monoton anwächst (also kumuliert), und der stärkste Anstieg der Kurve bei der zweiten Klasse stattfindet. Damit sind die Klassen hier nicht nach Häufigkeit sortiert, es ist also keine Pareto-Kurve. Damit ist das beschriebene Merkmal Jahrgang ordinal skaliert. Da es sich um Zahlen handelt, ist es sogar numerisch. Die Ogive-Kurve endet bei 30, also sind hier absolute und nicht relative Häufigkeiten aufgetragen und wir schliessen, dass n = 30 der Stichprobenumfang ist. In der Häufigkeitstabelle können wir also alle Häufigkeitsarten eintragen: absolute Häufigkeit fi , relative Häufigkeit fi /n, kumulative absolute Häufigkeit Fi , kumulative relative Häufigkeit Fi /n. Die Höhe der Kurve im Ogive-Diagramm beschreibt Fi : Klasse i fi

fi /n

Fi

2005

6

2006

18

2007

26

2008

28

2009

30

Fi /n

Teilen durch die Gesamtzahl n = 30 ergibt die kumulativen relativen Häufigkeiten: Klasse i fi

fi /n

Fi

Fi /n

2005

6

0.20

2006

18

0.60

2007

26

0.87

2008

28

0.93

2009

30

1.00

Die absolute Häufigkeit fi bekommt man als Differenz der kumulativen absoluten Häufigkeiten: fi = Fi − Fi−1 . Klasse i

fi

2005

fi /n

Fi

Fi /n

6

6

0.20

2006

12

18

0.60

2007

8

26

0.87

2008

2

28

0.93

2009

2

30

1.00

Division durch n = 30 ergibt die relativen Häufigkeiten: -15-


Statistische Masszahlen: Lösungen

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Preis

Anzahl

Relative Häufigkeit Kumulative relative Häufigkeit

xi [Fr.]

fi

fi /n

12.00 - 14.40

8

0.1

14.40 - 16.80

17

0.2125

16.80 - 19.20

15

0.1875

19.20 - 21.60

24

0.3

21.60 - 24.00 P

16

0.2

Fi /n

0.3125

1.0

80

Durch Summieren der relativen Häufigkeiten bis zur gegebenen Zeile berechnen wir die verbleibenden kumulativen relativen Häufigkeiten: Preis

Anzahl

Relative Häufigkeit Kumulative relative Häufigkeit

xi [Fr.]

fi

fi /n

Fi /n

12.00 - 14.40

8

0.1

0.1

14.40 - 16.80

17

0.2125

0.3125

16.80 - 19.20

15

0.1875

0.5

19.20 - 21.60

24

0.3

0.8

21.60 - 24.00 P

16

0.2

1.0

80

Aufgabe 8: Lageparameter bestimmen Ermitteln Sie Median, die drei Quartile sowie die Quantile x1/3 , x1/6 , x1/9 und das Dezil x10% aus den Daten: 1, 6, 4, 4, 3, 2, 3, 4, 2, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2.

Lösung: Die Datenfolge muss zuerst aufsteigend sortiert werden: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 6. -25-


Statistische Masszahlen: Lösungen

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Streuungsdiagramm Wir berechnen die Kovarianz n = 6 der Datenwerte. Dazu benötigen wir zunächst die Mittelwerte: x¯ =

1 3 (0.0 + 0.2 + · · · + 1.0) = = 0.5 6 6

sowie y¯ =

1 88 (12 + 14 + 17 + 18 + 17 + 10) = = 14.66 . 6 6

Dann folgt n

Covn (X, Y ) =

1 X (xi − x¯)(yi − y¯) n − 1 i=1

=

1 ((0.0 − 0.5)(12 − 14.66) + · · · + (1.0 − 0.5)(10 − 14.66)) 5

=

1 ·0 = 0. 5

-29-


Diskrete Zufallsvariablen: Lösungen

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Mit den Ergebnissen P (X = 3) und P (X = 5) von oben erhalten wir somit P (3 ≤ X ≤ 5) = 0.224 + 0.168 + 0.101 = 0.493 .

Aufgabe 22: Die hypergeometrische Verteilung In einem Tram sitzen 12 Fahrgäste, davon haben 3 keinen Billet gelöst. Bei einer Kontrolle werden nur 6 Fahrgäste überprüft. Es beschreibe X die Anzahl der kontrollierten Personen ohne Billet. Zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X als Säulendiagramm.

Lösung: Da jede Person nur höchstens einmal kontrolliert wird, handelt es sich hier um ein Ziehen der Personen ohne Zurücklegen. Die Variable X ist hypergeometrisch verteilt mit folgenden Parametern: • N = 12 Personen im Tram, • davon sind S = 3 „Erfolge“ in der Kontrolle, • nur n = 6 Personen werden kontrolliert. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X ist dann durch den Binomial-Bruch aus dem Skript gegeben:             3 12 − 3 3 9 S N −S · · · k n−k k 6−k k 6−k     P (X = k) = = = . N 12 924 n 6

-54-


Diskrete Zufallsvariablen: Lösungen

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Dabei können nur die Werte k = 0, 1, 2, 3 überhaupt eintreten, weil nur 3 Personen kein Billet haben. Einsetzen der Werte für k in den Bruch ergibt     3 9 · 1 · 84 0 6−0 P (X = 0) = = = 0.091 924 924     3 9 · 3 · 126 1 6−1 = = 0.409 P (X = 1) = 924 924     3 9 · 3 · 126 2 6−2 P (X = 2) = = = 0.409 924 924     3 9 · 1 · 84 3 6−3 P (X = 3) = = = 0.091 924 924 Hier lohnt es sich, das Ergebnis schnell zu überprüfen. Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten sollte Eins ergeben: 0.091 + 0.409 + 0.409 + 0.091 = 1.

Säulendiagramm zu Aufgabe 0

-55-


Extras

Prüfungen

Übungen

Ü


Ă&#x153;bungen Statistik Bachelor

Winterthur, März 2013


Inhaltsverzeichnis Deskriptive Statistik: Graphische Methoden

1

Aufgabe 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Aufgabe 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Aufgabe 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Aufgabe 1.10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Aufgabe 1.30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Aufgabe 1.32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Aufgabe 1.34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Aufgabe 1.42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Aufgabe 1.47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Aufgabe 1.64

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Deskriptive Statistik: Statische Kennzahlen

8

Aufgabe 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Aufgabe 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Aufgabe 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Aufgabe 2.12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Aufgabe 2.14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Aufgabe 2.18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Aufgabe 2.26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Aufgabe 2.30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Aufgabe 2.31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Aufgabe 2.32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Aufgabe 2.36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Aufgabe 2.37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Aufgabe 2.44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Aufgabe 2.55

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Aufgabe 2.1 (Weitere Übungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Aufgabe 2.2 (Weitere Übungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Aufgabe 2.3 (Weitere Übungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17


Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

18

Aufgabe 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Aufgabe 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Aufgabe 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Aufgabe 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Aufgabe 3.10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Aufgabe 3.12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Aufgabe 3.14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Aufgabe 3.16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Aufgabe 3.18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Aufgabe 3.20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Aufgabe 3.22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Aufgabe 3.24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Aufgabe 3.26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Aufgabe 3.28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Aufgabe 3.30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Aufgabe 3.32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Aufgabe 3.37 [3.38 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Aufgabe 3.40 [3.42 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Aufgabe 3.42 [3.44 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Aufgabe 3.44 [3.46 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Aufgabe 3.45 [3.47 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Aufgabe 3.46 [3.48 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Aufgabe 3.48 [3.50 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Aufgabe 3.76 [3.78 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Aufgabe 3.92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Aufgabe 3.112 [3.110 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

30

Aufgabe 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Aufgabe 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Aufgabe 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Aufgabe 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30


Aufgabe 4.11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Aufgabe 4.13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Aufgabe 4.16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Aufgabe 4.20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Aufgabe 4.26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Aufgabe 4.28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Aufgabe 4.30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Aufgabe 4.32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Aufgabe 4.34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Aufgabe 4.36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Aufgabe 4.44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Aufgabe 4.45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Aufgabe 4.46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Aufgabe 4.50 [4.60 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Aufgabe 4.54 [4.64 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Aufgabe 4.56 [4.66 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Aufgabe 4.60 [4.70 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Stetige Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

43

Aufgabe 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Aufgabe 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Aufgabe 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Aufgabe 5.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Aufgabe 5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Aufgabe 5.14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Aufgabe 5.16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Aufgabe 5.17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Aufgabe 5.18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Aufgabe 5.20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Aufgabe 5.22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Aufgabe 5.28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Aufgabe 5.30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Aufgabe 5.32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51


Aufgabe 5.34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Aufgabe 5.36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Aufgabe 5.38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Aufgabe 5.39

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Aufgabe 5.44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Aufgabe 5.46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Aufgabe 5.78

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Aufgabe 5.80

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Aufgabe 5.84

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Aufgabe 5.88

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Aufgabe 5.90

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Verteilung von Stichprobenstatistiken

64

Aufgabe 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Aufgabe 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Aufgabe 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Aufgabe 6.10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Aufgabe 6.12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Aufgabe 6.14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Aufgabe 6.16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Aufgabe 6.20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Aufgabe 6.22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Aufgabe 6.24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Aufgabe 6.26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Aufgabe 6.28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Aufgabe 6.30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Aufgabe 6.32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Aufgabe 6.36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Kondenzintervallsch채tzung: Eine Population

77

Aufgabe 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Aufgabe 7.10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Aufgabe 7.16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78


Aufgabe 7.17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Aufgabe 7.19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Aufgabe 7.21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Aufgabe 7.27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Aufgabe 7.29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Aufgabe 7.30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Aufgabe 7.34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Hypothesentests: Eine Population

83

Aufgabe 9.7 [9.6 in Auage 7]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

Aufgabe 9.8 [9.7 in Auage 7]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Aufgabe 9.10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Aufgabe 9.12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Aufgabe 9.14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Aufgabe 9.16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

Aufgabe 9.22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Aufgabe 9.24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Aufgabe 9.26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

Aufgabe 9.30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

Aufgabe 9.32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

Aufgabe 9.36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Lineare Einfachregression Aufgabe 11.2

92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Aufgabe 11.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

Aufgabe 11.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Aufgabe 11.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

Aufgabe 11.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Aufgabe 11.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Aufgabe 11.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Aufgabe 11.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Aufgabe 11.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

Aufgabe 11.25 [11.26 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99


Aufgabe 11.27 [11.28 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Aufgabe 11.28 [11.29 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Aufgabe 11.31 [11.34 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Aufgabe 11.32 [11.35 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Aufgabe 11.34 [11.37 in Auage 7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


Übungen

uniseminar.ch

Aufgabe 1.10 Das Pareto-Diagramm hat folgende Gestalt:

Die Defektarten sind nach ihrer Häufigkeit geordnet. Daher nimmt die Steigung der stückweise (affin) linearen Funktion ab. Ihr „Endwert “ muss 1 betragen.

Aufgabe 1.16 Wir beschreiben die Daten mithilfe eines Kreisdiagramms:

Der Prozentsatz einer Kategorie entspicht dem Anteil im Kreisdiagramms. So erkennt man, dass 50% aller Internetbenutzer entweder Nachrichten einholen oder E-Mails aufrufen.

-3-


Übungen

uniseminar.ch

Aufgabe 1.18 a) Component-bar-chart:

Bei dem Component-bar-chart sind die Daten für die Jahrgänge 2004 und 2009 übereinander gelegt. Durch farbliche Abgrenzung werden die Daten miteinander verglichen. Die Höhe der Balken entspricht der Anzahl der Studenten. b) Cluster-bar-chart:

Beim Cluster-bar-chart sind die Daten für die Jahrgänge 2004 und 2009 nebeneinander gelegt. Eine Abgrenzung wird durch die unterschiedlichen Höhen der Balken erreicht.

-4-


Übungen

uniseminar.ch

Lieferant

defekte Teile

nicht defekte Teile

gelieferte Teile

A

4

54

58

B

10

60

70

C

6

66

72

Gesamt

20

180

200

Dabei addieren sich komponentenweise die zweite mit der dritten Spalte zur Vierten und die erste, zweite und dritte Zeile zur Untersten. b) Wir wählen als Darstellungsform das Cluster-bar-chart und erhalten:

Aufgabe 1.47 a) Wie ein Histogramm bei ungleichen Klassenbreiten erstellt wird, wird in der Vorlesung gezeigt. Eine mögliche Darstellung sähe dann wie folgt aus:

-9-


Übungen

uniseminar.ch

b) Wir erhalten dann für die Verteilungsfunktion: x

44

45

46

47

48

49

50

P(x)

0.04

0.13

0.21

0.29

0.2

0.1

0.03

F(x)

0.04

0.17

0.38

0.67

0.87

0.97

1.00

Kosten

163

165

167

169

171

173

175

Sie hat folgende Gestalt:

c) Mithilfe der Verteilungsfunktion berechnen wir: P (46 ≤ X ≤ 48) = F (48) − F (45) = 0.87 − 0.17 = 0.7 -38-


Übungen

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Ereignisse in a), b) und c) den Wahrscheinlichkeitsraum. Aus der Disjunktheit folgt dann, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist.

Aufgabe 5.26 Sei X die normalverteilte Zufallsvariabe, die das Gewicht der Fremdkörper simuliert. Wir transformieren X in eine Standardnormalverteilung Z: Z:=

X − 12.2 2.8

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht der Fehlmenge weniger als 10 Gramm wiegt, liegt bei:   10 − 12.2 P (X < 10) = P Z < ≈ 1 − Φ(0.79) = 0.2148 2.8 b) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht der Fehlmenge mehr als 15 Gramm wiegt, liegt bei:   15 − 12.2 = 1 − Φ(1) = 0.1587 P (X > 15) = P Z > 2.8 c) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht der Fehlmenge zwischen 12 und 15 Gramm wiegt,

-60-


Übungen

uniseminar.ch

e) σp2ˆ ist ein erwartungstreuer Punktschätzer für die Varianz des Stichprobenanteils: σp2ˆ =

pˆ (1 − pˆ) = 0.0156 12

Aufgabe 7.10 a) Gegeben sind die Werte n = 64, σ 2 = 144 und ein Konfidenzniveau von 98%. Daraus ergibt sich dann das uppertail -Quantil z α2 = z0.01 = 2.33 und wir erhalten folgende Fehlermarge: σ 12 ME = 2.33 · √ = 2.33 · = 3.495 8 n b) Gegeben sind die Werte n = 120, σ = 100 und ein Konfidenzniveau von 99%. Daraus ergibt sich dann z α2 = z0.005 = 2.58 und wir erhalten folgende Fehlermarge: 100 σ = 23.552 ME = 2.58 · √ = 2.58 · √ n 120

α 2

α 2

1−α z α2

−z α2

Aufgabe 7.12 a) Gegeben sind x = 50, n = 64, σ = 40 und α = 0.05. Dann gilt: z α2 = 1.96

-93-

x


Extras

Pr端fungen

P


Pr체fungen Statistik Bachelor

Winterthur, M채rz 2013


Inhaltsverzeichnis Prüfung HS 2012

1

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Prüfung FS 2012

19

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Prüfung HS 2011

41

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Prüfung FS 2011

64

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Prüfung HS 2010

91

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Prüfung FS 2010

111

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Prüfung HS 2009

134

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Prüfung FS 2009

160

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Prüfung HS 2008

181

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Prüfung FS 2008

203

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209


Einleitung

uniseminar.ch

PrĂźfung HS 2007

223

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

LĂśsungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228


Prüfung FS 2011

uniseminar.ch

Aufgabe 7 (12 Punkte) Der CEO einer Unternehmung hat Sie gebeten, die lineare Beziehung zwischen Einzelhandelsumsatz (Y in USD) und verfügbarem Haushaltseinkommen (X in USD) zu untersuchen.

Unglücklicherweise hat der CEO Ihnen nicht den ganzen Datensatz zur Verfügung gestellt, sondern lediglich den folgenden unvollständigen Gretl-Output: Summary Statistics, using the observations 1-20 Variable

Mean

Median

Minimum

Maximum

Income

57362.7

57706.0

55637.0

59066.0

Retail

22446.3

22534.5

21699.0

23315.0

Variable

Std. Dev.

C.V.

Skewness

Ex. kurtosis

Income

1246.53

0.0217307

-0.164240

-1.52345

Retail

511.397

0.0227831

0.0259196

-1.25170

Model 1: OLS, using observations 1-20 Dependent variable: Retail Coefficient

Std. Error

t-ratio

p-value

const

...

1579.22

-0.0719

0.94344

income

...

0.0275242

14.2887 < 0.00001

Mean dependent var

22446.35

S.D. dependent var

511.3974

Sum squared resid

402588.2

S.E. of regression

149.5527

R-squared

0.918980

Adjusted R-squared

0.914479

F(1,18)

204.1683

P-value(F)

2.90e-11

Log-likelihood

-127.4781

Akaike criterion

258.9563

Schwarz criterion

260.9477

Hannan-Quinn

259.3450

(a) Bestimmen Sie die Koeffizienten der relevanten linearen Regressionsgleichung mit der Methode der kleinsten Quadrate. (b) Was ist der erwartete Einzelhandelsumsatz Y bei einem verfügbaren Haushaltseinkommen von x = $200 000? (c) Betrachten Sie weiter oben in den Tabellen die Statistiken zum Hypothesentest der Steigung der Regressionsgeraden. -7-


Prüfung FS 2011

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(i) Welche Hypothese wurde dort genau getestet? Nennen Sie die korrekte Null- und Alternativhypothese. (ii) Können Sie die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau 5% verwerfen? Erklären Sie kurz Ihre Antwort. (c) Da die Stichprobe sehr klein ist, muss für den oben durchgeführten Test eine zusätzliche Annahme erfüllt sein. Nennen Sie diese Annahme und überprüfen Sie sie mittels des unten abgebildeten Diagramms. Erläutern Sie kurz.

-8-


Prüfung HS 2010

uniseminar.ch

Aufgabe 7: Der t -Test (5 Punkte) Ein Fast-Food-Restaurant erzielt an Werktagen einen durchschnittlichen Umsatz von Fr. 2’000. Um zu sehen, ob sich der Geschäftsgang wegen der sich verschlechternden Wirtschaftslage (welche für Fast-Food-Restaurants gut oder schlecht sein kann) verändert hat, beschliesst das Management, die Umsatzzahlen für die nächsten 20 Tage sorgfältig zu studieren. (a) Wie lautet die Null- und Alternativhypothese in diesem Fall? (b) Die mit der Untersuchung beauftragte Statistikerin möchte überprüfen, ob die Daten approximativ normalverteilt sind, um den t -Test (in einer kleinen Stichprobe) durchzuführen. Sie erstellt in Gretl dazu den folgenden Normal-Q-Q-Plot:

Wie lautet das Fazit? Kurze Begründung. (c) Die Statistikerin führt in Gretl den t -Test durch und erhält folgenden Output:

-30-


Prüfung HS 2010

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Hat sich der Tagesumsatz signifikant verändert durch die Verschlechterung der Wirtschaftslage (Signifikanzniveau 5%)? Kurze Begründung.

Aufgabe 8: Lineare Regression (8 Punkte) In einer Studie wurde der Zusammenhang zwischen Nahrungsmittelausgaben (foodexp) und Gesamtausgaben (totexp) von indischen Haushalten mit einer linearen Einfachregression untersucht. Beide Variablen sind in indischen Rupien gemessen. Für die Untersuchung wurden 41 zufällig ausgewählte Haushalte befragt.

Die folgenden Tabellen aus Gretl enthalten grundlegende Statistiken und Regressionsresultate (bestimmt nach der Kleinsten-Quadrate-Methode) zur Untersuchung. Leider ging beim Transfer von Gretl in dieses Dokument der Wert der Steigung verloren.

-31-


Prüfung FS 2010: Lösungen

uniseminar.ch

Wert

Absolute Häufigkeit

Relative Häufigkeit

1

120

0.36

2

90

0.27

4

90

0.27

3

30

0.09

Das Pareto-Diagramm sieht dann wie folgt aus:

Abbildung 4: Pareto-Diagramm

-65-


Prüfung HS 2009

uniseminar.ch

Aufgabe 3: Dual Choice (8 Punkte) Kreuzen Sie bei jeder der 15 untenstehenden Aussagen richtig oder falsch an. Nr 1

Aussage

richtig falsch

In einer Unternehmung steigen die Löhne aller Beschäftigten um 50

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Fr. Somit steigt auch das arithmetische Mittel der Löhne um 50 Fr. 2

In einer Unternehmung steigen die Löhne aller Beschäftigten um 3%. Somit steigt auch das arithmetische Mittel der Löhne um 3%.

3

Ein Wertpapier steigt im ersten Jahr um 50% und sinkt im zweiten Jahr um 20%. Der durchschnittliche jährliche prozentuale Kursanstieg liegt somit bei 15%.

4

Ist der Korrelationskoeffizient zweier Stichproben rXY < 0, so ist rY X > 0.

5

Ein Korrelationskoeffizient von rxy = 0 bedeutet, dass es keinen linearen Zusammenhang zwischen den zwei metrisch skalierten Variablen X und Y gibt.

6

Der Median ist nur für metrische Daten sinnvoll definiert.

2

2

7

Der Median des Datensatzes (2; 3; 9; 4; 5) ist 9.

2

2

8

Der Variationskoeffizient einer Datenreihe sei CV = 17%. Die Stan-

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

dardabweichung ist somit 17% grösser als das arithmetische Mittel. 9

Die Standardabweichung s > 0 einer Datenreihe erhöht sich, falls alle Werte der Datenreihe verdoppelt werden.

10

Die Standardabweichung s > 0 einer Datenreihe erhöht sich, falls alle Werte der Datenreihen um eine Konstante c > 0 erhöht werden.

11

In einem Histogramm mit gleichgrossen Klassen sind die Höhen der Säulen proportional zu den Häufigkeiten.

12

Bei einer symmetrischen Verteilung liegen Median und arithmetisches Mittel an der gleichen Stelle.

13

Der Wert einer stetigen Dichtefunktion f (x) kann niemals > 1 sein.

2

2

14

Es gilt immer: P (A|B) = P (B|A).

2

2

15

Es gilt immer: P (A ∩ B) < P (A).

2

2

-75-


Prüfung HS 2009: Lösungen

uniseminar.ch

Klasse (Brenndauer in h)

xi

wi

fi

fi /n

di

200 ≤ x < 800

500

600

14

800 ≤ x < 10 000

900

200 151 0.3775 0.755

0.0350 0.023

10 000 ≤ x < 10 300

1’150 300 200 0.5000 0.667

10 300 ≤ x < 10 700

1’500 400

35

0.0875 0.088

Beschreibung der Tabelle • Wir haben n = 400 =

P

fi Datenwerte insgesamt.

• Die Zeilen stellen die verschiedenen Klassen dar. • wi ist die Breite der i-ten Klasse, das ist die Breite der Säule im Diagramm. • fi ist die absolute Häufigkeit und ist gleich der Anzahl Daten in der jeweiligen Klasse. • fi /n ist die relative Häufigkeit und ist gleich der Anzahl Daten in der jeweiligen Klasse geteilt durch die Gesamtanzahl Daten mit n = 400. • di ist die Höhe für die Säule im Diagramm:

Histogramm mit verschiedenen Klassenbreiten

-79-


Prüfung HS 2009: Lösungen

uniseminar.ch

Häufigkeit

kumulierte Häufigkeit

Verdienst Klasse

absolut

relativ

absolut

von . . .

bis unter . . .

fi

fi /n

Fi

6

5’500

6’000

84

14.00%

312

5

5’000

5’500

78

13.00%

228

7

6’000

6’500

72

12.00%

384

8

6’500

7’000

66

11.00%

450

4

4’500

5’000

60

10.00%

150

9

7’000

7’500

54

9.00%

504

3

4’000

4’500

42

7.00%

90

10

7’500

8’000

36

6.00%

540

2

3’500

4’000

30

5.00%

48

11

8’000

8’500

30

5.00%

570

12

8’500

9’000

30

5.00%

600

1

3’000

3’500

18

3.00%

18

Abbildung 5: Pareto-Diagramm zu b)

-83-


Prüfung FS 2008

uniseminar.ch

Aufgabe 4: Dual Choice (8 Punkte) Kreuzen Sie bei jeder der 15 untenstehenden Aussagen richtig oder falsch an. Nr 1

Aussage

richtig falsch

Das Merkmal “Kundenzufriedenheit” wird mit den Ausprägungen

2

2

2

2

2

2

2

2

“sehr unzufrieden”, “unzufrieden”, “zufrieden”, “gut” und “sehr gut” erfasst. Hierbei handelt es sich um ein ordinalskaliertes Merkmal. 2

In einer symmetrischen Verteilung liegen der Median und das arithmetische Mittel an derselben Stelle.

3

Das arithmetische Mittel ist anfälliger auf Ausreisser als der Median.

4

Eine Aktie ist im 1. Jahr um 9.80% gesunken und im 2. Jahr um 15.60% gestiegen. Die durchschnittliche jährliche Zuwachsrate war demnach 2.90% in diesen zwei Jahren.

5

Wenn die Varianz 0 beträgt, ist auch die Spannweite 0.

2

2

6

Der Median der fünf Werte 6, 4, 7, 9, 5 beträgt 7.

2

2

7

Die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel der

2

2

2

2

2

2

drei Werte 1, 2 und 3 beträgt 1. 8

Der Interquartilsabstand ist im Gegensatz zur Varianz ein robustes Streuungsmass.

9

Die Quantile zα der Standardnormalverteilung sind für α <

1 2

ne-

gativ. 10

Der Variationskoeffizient liegt immer zwischen 0% und 100%.

2

2

11

Die Säulen im Pareto-Diagramm sind nach der Klasse sortiert.

2

2

12

Die Poisson-Verteilung zum Parameter λ ist die Exponentialvertei-

2

2

2

2

lung zum Parameter λ1 . 13

Entsteht ein Datensatz (y) aus einem Datensatz (x) durch Addition einer Konstanten, so ist rXY = 1.

14

Der Modus entspricht dem 50%-Quantil.

2

2

15

Falls P (A|B) = P (A) gilt, dann gilt auch P (B|A) = P (B).

2

2

-146-


Prüfung FS 2008: Lösungen

uniseminar.ch

Lösungen Aufgabe 1: Wahrscheinlichkeitsrechnung (8 Punkte) Eine Fabrik bezieht elektronische Schalter von drei verschiedenen Zulieferfirmen A, B und C. Jeder zweite Schalter kommt von A, jeder dritte von B, der Rest von C. Von den A-Schaltern sind durchschnittlich 10% defekt, von den B-Schaltern 5% und von den C-Schaltern nur 2%. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein zufällig gewählter Schalter von der Fabrik C und ist einwandfrei?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig gewählter Schalter defekt?

(c) Die Fabrik kontrolliert alle angelieferten Schalter. Diese Eingangskontrolle entdeckt 95% aller defekten Schalter und akzeptiert sämtliche einwandfreien Schalter. (i) Welcher Anteil der angelieferten Schalter wird von dieser Eingangskontrolle als defekt aussortiert? (ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Schalter in einem Gerät, das in den Verkauf kommt, defekt?

Lösung

Wir zeichnen ein Baumdiagramm, das uns bei der Lösung dieser Aufgabe behilflich sein wird. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dann die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

-148-


Extras

E


Formeln Statistik Ba helor

Winterthur, M채rz 2013


Inhaltsverzei hnis Wahrs heinli hkeitsre hnung

1

Statistis he Kenngrössen

4

Wahrs heinli hkeitsverteilungen

6

Kondenzintervalle

7

Hypothesentests

9

Lineare Regression

10

Tabelle der Binomialverteilung

12

Wahrs heinli hkeitsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Tabelle der Poisson-Verteilung

18

Wahrs heinli hkeitsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Tabelle der Standardnormalverteilung

22

Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Quantile der Students hen t-Verteilung

23

Hier haben wir alle wi htigen Formeln und Tabellen zur Vorlesung kurz und übersi htli h zusammen gestellt. Zudem ndest Du die S hemas aus den Theorieskripten zu den jeweiligen Tests. Diese helfen Dir s hneller voran zu kommen und einen guten Überbli k zu erhalten.


Formeln

uniseminar.ch

Wahrscheinlichkeitsrechnung - Ereignisraum: S

S = Menge aller möglichen Ergebnisse bzw. Ausgänge eines Zufallexperiments

- Ereignis: A, B, C, . . .

A = Eine Teilmenge von S

- Gegenereignis von A: A

A = S\A = die Komplementmenge

- Wahrscheinlichkeit: P (A)

P (A) = Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt

- Gegenwahrscheinlichkeit: P (A) P (A) = 1 − P (A) = WS, dass A nicht eintritt

Wahrscheinlichkeitsbegriffe Klassische Wahrscheinlichkeit: (nach P.S. Laplace) Zufallsexperiment mit endlich vielen, gleichwahrscheinlichen Ergebnissen P (A) =

g m

(Laplace-Wahrscheinlichkeit)

g = Anzahl der für M günstigen Ergebnisse, m = Anzahl aller möglichen Ergebnisse Statistische Wahrscheinlichkeit: fn (A) = relative Häufigkeit von M [Schätzwert für P (A)] Für grosse n haben wir: fn (A) → P (A) (Empirisches Gesetz der grossen Zahlen) Mathematische Wahrscheinlichkeit: (nach A.N. Kolmogorov) Es gibt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P : A 7→ P (A), für die gilt: - P (A) ≥ 0 (Nichtnegativitätsaxiom) - P (A) = 1 (Normierungsaxiom)

- P (A ∪ B) = P (A) + P (B) für A ∩ B = ∅ (Additionsaxiom für unvereinbare Ereignisse) Es folgt: 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (∅) = 0.

-1-


Formeln

uniseminar.ch

Baumdiagramme: Jede Kolonne ist eine Stufe des Zufallsexperiments

Pfadregeln: - Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades zum Ergebnis. - Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die dieses Ereignis bilden.

Kombinatorik n-Fakultät: n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1

n! = n · (n − 1)!,

Binomialkoeffizienten:   n! n , (0 ≤ k ≤ n) = k! · (n − k)! k

    n n =0 = 1, für k > n ⇒ k 0

Permutationen:

Kombinationen:

1! = 1,

n verschiedene Elemente

Pnn = n!

k aus n Elementen

Pkn =

ohne

Wiederholungen

(ohne Zurücklegen)

-3-

0! = 1

n! (n − k)!   n! n = Ckn = k k! · (n − k)!


Formeln

uniseminar.ch

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Verteilung

Wahrscheinlichkeit

Bernoulli

P (X = 1) = p

p

p(1 − p)

Binomial

  n k p (1 − p)n−k P (X = k) = k

p

np

np(1 − p)

p np(1 − p)

Poisson

P (X = k) =

λ

λ

2 σX

E(X)

e−λ · λk k!

σX

p(1 − p)

λ

    N −S S · n−k k   P (X = k) = N n

Hypergeometrische Verteilung

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Verteilung

Dichtefunktion

E(X)

2 σX

σX

a+b 2

(b − a)2 12

b−a √ 12

µ

σ2

σ

1 λ

1 λ2

1 λ

1 auf [a, b] b−a 1 x−µ 2 1 e− 2 ( σ ) Normalverteilt N(µ, σ) f (x) = √ 2πσ

Gleichverteilt

f (x) =

Exponentialverteilt

f (x) = λe−λx , F (x) = 1 − e−λx

Berechnung der Wahrscheinlichkeit stetiger Verteilungen Linksseitig Rechtsseitig Zweiseitig

P (X ≤ b) P (X ≥ a) P (a ≤ X ≤ b)

=

Z

b

Z

Z

b

−∞

=

f (x)dx = 1 − F (a)

a

=

a

f (x)dx = F (b) → Tabellenwert

f (x)dx = F (b) − F (a)

-6-


Formeln

uniseminar.ch

Konfidenzintervalle Grundprinzip eines Konfidenzintervalls Konfidenzintervall = Schätzer ± FM = Schätzer ± z α2 × SF 1−α

= Konfidenzniveau

FM

= Fehlermarge = z α2 × SF

SF

= Standardfehler

σ

= Standardabweichung der Grundgesamtheit

s

= Standardabweichung der Stichprobe

n

= Stichprobenzahl

= uppertail -Quantil der Standardnormalverteilung (das z, so dass P (Z ≤ z) = 1 − α)

z α2

= Quantile der Standardnormalverteilung für Intervalle (das z, so dass P (−z ≤ Z ≤ z) = 1 − α)

tdf,α

= Quantile der Studentschen t -Verteilung (das t, so dass P (T ≤ t) = 1 − α)

Konfidenzintervall für Mittelwert, σ bekannt σ x¯ ± z α2 · √ n Gesuchter Parameter:

Mittelwert µ einer Verteilung

Gegeben:

Eine Stichprobe zu n Elementen mit Mittelwert x¯

Der Schätzer:

Das Mittel x¯ der Stichprobe

-7-


Formeln

uniseminar.ch

Konfidenzintervall für Mittelwert, σ nicht bekannt s x¯ ± tn−1, α2 · √ n Gesuchter Parameter:

Mittelwert µ einer Verteilung

Gegeben:

Eine Stichprobe zu n Elementen mit Mittelwert x¯ und Standardabweichung s

Der Schätzer:

Das Mittel x¯ der Stichprobe

Konfidenzintervall für Anteilswert pˆ ± z α2 ·

r

pˆ(1 − pˆ) n

Gesuchter Parameter:

Anteil oder Einzelwahrscheinlichkeit p

Gegeben:

Eine Stichprobe mit n Elementen mit relativer Häufigkeit pˆ des Anteils

Der Schätzer:

Der Anteil pˆ der günstigen Kandidaten innnerhalb der Stichprobe

-8-


Formeln

uniseminar.ch

Hypothesentests Grundprinzip eines Hypothesentests Nullhypothese H0 : θ = θ0 wird getestet gegen Alternative HA : Einseitiger oder zweiseitiger Unterschied zu θ0 1−α

=

Konfidenzniveau des Tests

α

=

Signifikanzniveau

z oder t

=

Standardisierte Teststatistik

PW

=

P (Z ≥ z) falls HA : θ > θ0 einseitig

P (Z ≤ z) falls HA : θ < θ0 einseitig

2P (Z ≥ |z|) falls HA : θ 6= θ0 zweiseitig Testentscheid:

H0 verwerfen falls PW ≤ α, sonst H0 beibehalten

Dabei wird die Wahrscheinlichkeit für Z aus der Tabelle der Standardnormalverteilung abgelesen. Die Berechnung der Teststatistik hängt nur von Nullhypothese H0 ab, die Berechnung des P -Werts dagegen von der Alternative und dem erhaltenen z -Wert.

Die Teststatistiken in den Hauptanwendungen: θ = µ = Mittelwert einer Verteilung, σ bekannt

H0 : µ=µ0

θ = µ = Mittelwert einer Verteilung, σ unbekannt

H0 : µ=µ0

θ = βj = Regressionskoeffizient

H0 : βj =0

θ = p = Anteilswert

H0 : p=p0

−→

−→

df =n−1

−→

df =n−2

−→

z =

x¯ − µ0 √ σ/ n

t =

x¯ − µ0 √ s/ n

t =

bj SEbj

pˆ − p0 z = q

Bei einem Anteil p im zweiten Fall steht die Vermutung p0 im Nenner.

-9-

p0 (1−p0 ) n


Formeln

uniseminar.ch

Verteilungsfunktion Φ(z) = P (Z ≤ z) der Standardnormalverteilung

z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.50000 0.53983 0.57926 0.61791 0.65542

0.50399 0.54380 0.58317 0.62172 0.65910

0.50798 0.54776 0.58706 0.62552 0.66276

0.51197 0.55172 0.59095 0.62930 0.66640

0.51595 0.55567 0.59483 0.63307 0.67003

0.51994 0.55962 0.59871 0.63683 0.67364

0.52392 0.56356 0.60257 0.64058 0.67724

0.52790 0.56749 0.60642 0.64431 0.68082

0.53188 0.57142 0.61026 0.64803 0.68439

0.53586 0.57535 0.61409 0.65173 0.68793

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.69146 0.72575 0.75804 0.78814 0.81594

0.69497 0.72907 0.76115 0.79103 0.81859

0.69847 0.73237 0.76424 0.79389 0.82121

0.70194 0.73565 0.76730 0.79673 0.82381

0.70540 0.73891 0.77035 0.79955 0.82639

0.70884 0.74215 0.77337 0.80234 0.82894

0.71226 0.74537 0.77637 0.80511 0.83147

0.71566 0.74857 0.77935 0.80785 0.83398

0.71904 0.75175 0.78230 0.81057 0.83646

0.72240 0.75490 0.78524 0.81327 0.83891

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

0.84134 0.86433 0.88493 0.90320 0.91924

0.84375 0.86650 0.88686 0.90490 0.92073

0.84614 0.86864 0.88877 0.90658 0.92220

0.84849 0.87076 0.89065 0.90824 0.92364

0.85083 0.87286 0.89251 0.90988 0.92507

0.85314 0.87493 0.89435 0.91149 0.92647

0.85543 0.87698 0.89617 0.91309 0.92785

0.85769 0.87900 0.89796 0.91466 0.92922

0.85993 0.88100 0.89973 0.91621 0.93056

0.86214 0.88298 0.90147 0.91774 0.93189

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.93319 0.94520 0.95543 0.96407 0.97128

0.93448 0.94630 0.95637 0.96485 0.97193

0.93574 0.94738 0.95728 0.96562 0.97257

0.93699 0.94845 0.95818 0.96638 0.97320

0.93822 0.94950 0.95907 0.96712 0.97381

0.93943 0.95053 0.95994 0.96784 0.97441

0.94062 0.95154 0.96080 0.96856 0.97500

0.94179 0.95254 0.96164 0.96926 0.97558

0.94295 0.95352 0.96246 0.96995 0.97615

0.94408 0.95449 0.96327 0.97062 0.97670

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.97725 0.98214 0.98610 0.98928 0.99180

0.97778 0.98257 0.98645 0.98956 0.99202

0.97831 0.98300 0.98679 0.98983 0.99224

0.97882 0.98341 0.98713 0.99010 0.99245

0.97932 0.98382 0.98745 0.99036 0.99266

0.97982 0.98422 0.98778 0.99061 0.99286

0.98030 0.98461 0.98809 0.99086 0.99305

0.98077 0.98500 0.98840 0.99111 0.99324

0.98124 0.98537 0.98870 0.99134 0.99343

0.98169 0.98574 0.98899 0.99158 0.99361

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0.99379 0.99534 0.99653 0.99744 0.99813

0.99396 0.99547 0.99664 0.99752 0.99819

0.99413 0.99560 0.99674 0.99760 0.99825

0.99430 0.99573 0.99683 0.99767 0.99831

0.99446 0.99585 0.99693 0.99774 0.99836

0.99461 0.99598 0.99702 0.99781 0.99841

0.99477 0.99609 0.99711 0.99788 0.99846

0.99492 0.99621 0.99720 0.99795 0.99851

0.99506 0.99632 0.99728 0.99801 0.99856

0.99520 0.99643 0.99736 0.99807 0.99861

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

0.99865 0.99903 0.99931 0.99952 0.99966

0.99869 0.99906 0.99934 0.99953 0.99968

0.99874 0.99910 0.99936 0.99955 0.99969

0.99878 0.99913 0.99938 0.99957 0.99970

0.99882 0.99916 0.99940 0.99958 0.99971

0.99886 0.99918 0.99942 0.99960 0.99972

0.99889 0.99921 0.99944 0.99961 0.99973

0.99893 0.99924 0.99946 0.99962 0.99974

0.99896 0.99926 0.99948 0.99964 0.99975

0.99900 0.99929 0.99950 0.99965 0.99976

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0

0.99977 0.99984 0.99989 0.99993 0.99995 0.99997

0.99978 0.99985 0.99990 0.99993 0.99995 0.99997

0.99978 0.99985 0.99990 0.99993 0.99996 0.99997

0.99979 0.99986 0.99990 0.99994 0.99996 0.99997

0.99980 0.99986 0.99991 0.99994 0.99996 0.99997

0.99981 0.99987 0.99991 0.99994 0.99996 0.99997

0.99981 0.99987 0.99992 0.99994 0.99996 0.99998

0.99982 0.99988 0.99992 0.99995 0.99996 0.99998

0.99983 0.99988 0.99992 0.99995 0.99997 0.99998

0.99983 0.99989 0.99992 0.99995 0.99997 0.99998

Für negative Werte verwende die Symmetrieregel Φ(−z) = 1 − Φ(z). -22-


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