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UNISEMINAR


Wirtschaftsmathematik I

Winterthur, Oktober 2012


Wirtschaftsmathematik I Herzlich Willkommen bei Uniseminar! Wir freuen uns, dass Du Dich fßr ein Karteikartenset von Uniseminar entschieden hast. Diese Karteikarten decken in Kombination mit unserem Ordner den gesamten prßfungsrelevanten Sto ab und helfen Dir Dein Wissen und Verständnis der essenziellsten Themen, Begrie und Zusammenhänge in Wirtschaftsmathematik I prßfungsorientiert zu unterstßtzen. Lerne also gleichzeitig mit dem Ordner und den Karteikarten von Uniseminar um optimal auf die Prßfungen vorbereitet zu sein, damit Dir auf dem Weg zu einer erfolgreichen Prßfung nichts mehr im Weg steht! Wir wßnschen Dir eine eziente Prßfungsvorbereitung und viel Erfolg bei Deiner Prßfung. Dein Uniseminar-Team


Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1. Mathematische Grundlagen und Begrie 2. Folgen und Reihen 3. EinfĂźhrung in die Finanzmathematik 4. EinfĂźhrung in die Funktionslehre

1 - 27 28 - 67 68 - 90 91 - 121

5. Elementare Funktionen

122 - 174

6. Ă–konomische Anwendungen

175 - 185

7. Grundlagen der Dierentialrechnung

186 - 203

Notizen

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Wirtschaftsmathematik I

Wie kannst Du eine gute Note bei Deiner Pr端fung erzielen?

4/209


Prüfungsvorbereitung Gehe wie folgt vor: 1.

Ordner & Karteikarten: Besorge Dir die einfach strukturierten und

umfangreichen Unterlagen von Uniseminar. Arbeite parallel mit dem Ordner und den perfekt darauf abgestimmten Karteikarten. 2.

Lernen: Lese alle Theoriekapitel des Uniseminar Ordners aufmerksam durch, wage Dich anschliessend an die Karteikarten und löse danach alle Aufgaben und Prüfungen.

3.

Seminar:

Besuche am Ende des Semester das 8-stündige Seminar von Uniseminar und runde Dein prüfungsspezisches Wissen ideal ab. Diese Seminare werden von didaktisch kompetenten Doktoranden mit langjähriger Unterrichtserfahrung geleitet, die Dir gezielt bei Deinen Problembereichen helfen.

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 1 - Abschnitt 2

Wie bestimmt man die Umkehrfunktion f −1 einer Funktion f (x) ? - Vorgehensweise -

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Funktionen Vorgehensweise Umkehrfunktion

S. 13

• Ersetze f (x) durch y • Vertausche x und y • Löse nach y auf • Ersetze y durch f −1 (x)

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 2 - Abschnitt 1

Wie lautet die Formel f端r die Steigung m der Geraden durch P1 (x1 |y1 ) und P2 (x2 |y2 ) ? - Rechengesetz -

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Lineare Funktionen Rechengesetz Gerade

m=

S. 16

y2 − y1 x2 − x1

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 2 - Abschnitt 1

Wie bestimmt man den Schnittpunkt zweier Geraden y = m1 x + n1 und y = m2 x + n2 ? - Vorgehensweise -

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Lineare Funktionen Vorgehensweise Schnittpunkt

S. 19

• Setze die beiden Funktionsvorschriften gleich: m1 x + n1 = m2 x + n2 • Löse diese Gleichung nach x auf. Dies ergibt xS . • Setze den erhaltenen x-Wert in eine der beiden

Geradengleichungen ein (egal welche!). Dies ergibt yS . • Der Schnittpunkt der beiden geraden ist nun gegeben durch S(xS |yS ).

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 2 - Abschnitt 2

Wie geht man beim Lรถsen von linearen Gleichungen vor? - Vorgehensweise -

58/209


Lineare Gleichungen

S. 22

Vorgehensweise lineare Gleichungen

• Falls nötig: Vereinfache beide Seiten der Gleichung

(ausmultiplizieren etc.).

• Alle Terme, die x enthalten, auf die eine Seite, alle Terme, die x nicht enthalten, auf die andere Seite der Gleichung bringen. So erhältst du eine Gleichung der Form ax = b . • Diese Gleichung hat im Normalfall (a 6= 0) genau eine Lösung. Sie kann aber auch gar keine Lösung (a = 0, b 6= 0) oder unendlich viele Lösungen (a = 0, b = 0) haben.

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 3 - Abschnitt 1

Was ist eine quadratische Funktion? - Denition -

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Quadratische Funktionen

S. 33

Denition quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form ax2 + bx + c,

wobei a, b, c Zahlen sind und a 6= 0.

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 3 - Abschnitt 1

Wann hat eine quadratische Funktion keine, eine oder zwei Nullstellen?

f (x) = ax2 + bx + c

- Rechengesetz -

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Quadratische Funktionen Rechengesetz Nullstellen

b2 − 4ac > 0 ⇒ 2

b − 4ac = 0 ⇒ 2

b − 4ac < 0 ⇒

S. 36

zwei Nullstellen eine Nullstelle keine Nullstelle

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 3 - Abschnitt 1

Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel? - Denition -

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Quadratische Funktionen Denition Scheitelpunkt

S. 36

Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der Hochpunkt (Maximum), wenn diese nach unten geรถnet ist, bzw. der Tiefpunkt (Minimum), wenn die Parabel nach oben geรถnet ist.

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 3 - Abschnitt 1

Wie bestimmt man den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion f (x) ? - Vorgehensweise -

82/209


Quadratische Funktionen Vorgehensweise

S. 37

y -Achsenabschnitt

• Man bringt die Funktion auf die Form ax2 + bx + c • Man bestimmt die Koezienten a, b und c • Durch die Scheitelpunktformel

den Scheitelpunkt



b

− 2a c−

b2 4a



erhält man

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 3 - Abschnitt 2

Wie lรถst man eine biquadratische Gleichung der Form ax4 + bx2 + c = 0 ? - Vorgehensweise -

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Quadratische Gleichungen

S. 42

Vorgehensweise biquadratische Gleichungen

• Man ersetzt x2 durch z , d.h. x4 mit z 2 • Man erhält die Form az 2 + bz + c = 0 • Durch Einsetzen von a, b, c in die Mitternachtsformel kriegt man die Lösungen z1 und z2 • Die endgültige Lösung ist dann gegeben durch √ √ √ √ z1 , − z1 , z2 , − z2 (Beachte, dass oft Lösungen

wegfallen, da nicht denierte Wurzeln auftreten)

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 4 - Abschnitt 2

Welcher der folgenden Graphen ist eine Hyperbel?

- Beispiel -

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Potenzfunktionen

S. 48/52

Beispiel Potenzfunktion

Antwort: Graph

Herleitung: Der Graph von

g(x)

g(x)

ist eine Hyperbel.

besitzt die

x-

und die

y -Achse

als

Asymptoten, deshalb kann es sich nur um eine Hyperbel und nicht um eine Parabel handeln.

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 4 - Abschnitt 2

Welcher der folgenden Graphen ist y -Achsensymmetrisch?

- Beispiel -

117/209


Potenzfunktionen

S. 47

Beispiel Potenzfunktion

Antwort: Graph

f (x)

ist

y -Achsensymmetrisch.

Herleitung: Spiegelt man den Graphen von

f (x)

an der

y -Achse,

so

wird er in sich selbst 端berf端hrt. Also ist er symmetrisch bez端glich der

y -Achse.

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 4 - Abschnitt 2

Welcher der folgenden Graphen ist punktsymmetrisch zum Ursprung?

- Beispiel -

118/209


Potenzfunktionen

S. 48

Beispiel Potenzfunktion

Antwort: Graph

f (x)

ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Herleitung: Spiegelt man den Graphen von

f (x)

am Ursprung, so

wird er in sich selbst überführt. Dies gilt hingegen nicht für den Graphen von

g

(beachte den Hügel zwischen

−1

und

0).

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 5 - Abschnitt 1

Produktregel f眉r den Logarithmus: logb (x 路 y) = ? - Rechengesetz -

158/209


Exponential- und Logarithmusfunktion

S. 82

Rechengesetz Logarithmus

logb(x 路 y) = logb x + logb y

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 6 - Abschnitt 2

Wann ist eine Folge an divergent? - Denition -

193/209


Eigenschaften von Folgen Denition divergente Folge

S. 97

Die Folge an ist divergent, falls der Grenzwert lim an nicht nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; existiert.

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 6 - Abschnitt 2

Welche der beiden Folgen an = 3 + n2 und an = konvergiert?

 3 n 2

- Beispiel -

194/209


Eigenschaften von Folgen

S. 97

Beispiel konvergente Folge

Antwort: Die Folge

an = 3 +

2 konvergiert, die Folge n

an =

 3 n 2

jedoch nicht. Herleitung: Es gilt

lim

n→∞

 3 n 2

=∞

gegen

3,

lim (3 + n2 ) = lim 3 + lim

n→∞ 3 (da 2

n→∞

> 1).

2 n→∞ n

= 3+0 = 3

und

Somit konvergiert die erste Folge

während die zweite Folge divergiert.

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Wirtschaftsmathematik I Kapitel 6 - Abschnitt 3

Wie lautet der Zusammenhang zwischen drei aufeinanderfolgender Glieder anâ&#x2C6;&#x2019;1 , an und an+1 einer geometrischen Folge? - Rechengesetz -

209/209


Spezielle Folgen Rechengesetz geometrische Folge

|an| =

p

S. 101

|anâ&#x2C6;&#x2019;1 ¡ an+1|

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Wirtschaftsmathematik I Notizkarten

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ZHAW Mathe 1 Sample Karteikarten

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