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UNISEMINAR


Extras

Prüfungen

Übungen

Aufgaben

Theorie

Seminar


Einleitung Mathematik II Assessment

Z端rich, Februar 2013


Einleitung

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Herzlich Willkommen bei Uniseminar

Vorwort Ziel von Uniseminar ist es, Dich optimal auf Deine Prüfungen vorzubereiten und Deine Prüfungsvorbereitung an der Universität Zürich so ezient wie möglich zu gestalten. Um dieses Ziel zu erreichen, haben wir ein dreiteiliges Konzept entwickelt, das sich nun mehrere Jahre als grosse Hilfe für die Studenten bewährt hat. Dieses besteht zum einen aus sehr umfangreichen Lernunterlagen in Form eines Ordners, perfekt darauf abgestimmten Karteikarten und dazu passenden Prüfungsvorbereitungsseminaren am Ende des Semesters. Damit werden sämtliche Inhalte aus den Vorlesungen und Übungen in einfacher und anschaulicher Form kompakt zusammengefasst.

Gleich zu Beginn des Semesters bieten wir Dir deshalb unsere umfangreichen Lernunterlagen in Form eines Ordners und perfekt darauf abgestimmten Karteikarten an. Diese beiden Lehrmittel solltest Du im Selbststudium bereits während des Semesters begleitend zur Vorlesung verwenden.

Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir zur gezielten Prüfungsvorbereitung unsere Seminare zu besuchen, wo wir Dir in acht Stunden nochmals die essentiellsten Aufgaben und Konzepte näherbringen und Dich so optimal auf Deine Prüfungen vorbereiten. Dieser dreiteilige Ansatz ermöglicht Dir mit einer ausgewogenen Mischung verschiedener aufeinander abgestimmter Medien Deinen Lernerfolg nachhaltig zu verbessern.

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Einleitung

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Ăœber uns Uniseminar ist vor 6 Jahren von zwei HSG Studenten und zwei Doktoranden der ETH gegrĂźndet worden, um die PrĂźfungsvorbereitung einfacher, ezienter und verständlicher zu gestalten. Seit 2005 sind wir nun an der Universität ZĂźrich aktiv und wissen aus eigener Erfahrung wie anspruchsvoll das Assessmentjahr sein kann.

Das Team von Uniseminar ist ßber die Jahre stark gewachsen und besteht mittlerweile unter anderem aus zahlreichen Mathematikern der ETH, Statistikern der University of Cambridge, BetriebsÜkonomen der HSG, Volkswirtschaftlern der Universität Zßrich als auch der London School of Economics (LSE), die allesamt grosse didaktische und fachspezische Erfahrung mit sich bringen. Alle Dozenten von Uniseminar haben an diversen europäischen, als auch amerikanischen Universitäten langjährige Unterrichtserfahrung in ihrem Fach gesammelt und kÜnnen Dich deshalb in den Seminaren optimal bei Deiner Prßfungsvorbereitung unterstßtzen.

Die Macher von Uniseminar haben alle vor kurzem selbst noch studiert und wissen deshalb ßber das Studentenleben und die Prßfungsvorbereitung bestens Bescheid. Zudem haben wir alle grosse Freude am Unterrichten und wollen Dir auf angenehme Weise die teilweise etwas komplizierte und trockene Materie so näher bringen, dass Lernen auf einmal Spass macht!

Unterlagen Sämtliche Unterlagen von Uniseminar werden ausschliesslich von qualizierten Doktoranden erstellt, die selbst im jeweiligen Fachgebiet promovieren und damit ßber grosse Erfahrung und Expertise verfßgen. Dadurch kann eine hohe didaktische Qualität der Skripte garantiert werden.

Alle unsere Unterlagen werden zudem jedes Semester in enger Zusammenarbeit mit Studierenden Ăźberarbeitet, die zur Zeit die Vorlesung an der Uni ZĂźrich vor Ort besuchen. Damit kĂśnnen wir Dir garantieren, dass Dir stets der aktuellste Sto in unseren Unterlagen und Seminaren vorgelegt wird! Es wird dabei genau auf diejenigen Schwerpunkte eingegangen, welche den Prioritäten der Professoren entsprechen. Das vorliegende Mathematik II Skript ist deshalb optimal auf die Vorlesungen und Ăœbungen abgestimmt und enthält alle prĂźfungsrelevanten Materialien fĂźr Deine PrĂźfung an der Universität ZĂźrich.

Ebenfalls ist es seit jeher unser hartnäckig verfolgtes Ziel alle unsere Unterlagen laufend zu verbessern und perfekt an den relevanten Prßfungssto anzupassen. Damit ist Dir eine optimale Klausurvorbereitung garantiert! Die Aktualität der Unterlagen ist uns ein grosses Anliegen: Wir wollen, dass Du genau das lernst, und wirklich nur das, was an den Prßfungen schliesslich auch dran kommt. Weder zu viel noch zu wenig!

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Karteikarten Die Karteikarten von Uniseminar decken in Kombination mit unserem Ordner den gesamten prßfungsrelevanten Sto ab und helfen Dir Dein theoretisches wie auch praktisches Wissen der wichtigsten Themen, Begrie und Zusammenhänge in Mathematik II prßfungsorientiert zu unterstßtzen. Um dies zu gewährleisten, haben wir eine Vielfalt von Fragentypen entwickelt, die Dein inhaltliches Verständnis umfassend abrunden und verbessern.

Die Karteikarten enthalten zum einen die wichtigsten Denitionen, Vorgehensweisen und Formeln. Zum anderen haben wir Dir aber auch relevante Verständnisfragen und kurze Rechenaufgaben erstellt um Dein erlerntes Wissen selbstständig und umfassend abzufragen. Denn an der Prßfung musst Du nicht nur wichtige Formeln auswendig kÜnnen, sondern die Thematik umfassend verstehen.

Ziel ist es folglich, den kompletten prĂźfungsrelevanten Lehrsto in Mathematik auf mĂśglichst kompakte Art und Weise auf Karteikarten zusammenzufassen, sodass Du Dich in kurzer Zeit ezient auf die PrĂźfungen vorbereiten kannst. Lerne also gleichzeitig mit dem Ordner und den Karteikarten von Uniseminar um optimal auf die PrĂźfungen vorbereitet zu sein.

Seminare Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Alle Dozenten verfßgen ßber langjährige Unterrichtserfahrung an diversen Universitäten und wissen deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten kÜnnen.

Oberstes Ziel unserer Seminare ist es den prßfungsrelevanten Sto anschaulich und verständlich in zwei vierstßndigen SeminarblÜcken zu vermitteln. Zuerst werden die wichtigsten mathematischen Grundlagen und Themen der Vorlesung besprochen, um danach auf die häugsten auftretenden Aufgabentypen einzugehen und geeignete Vorgehensweisen an der Prßfung zu erklären.

Während den Seminaren werden zu 30% theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und Grundkenntnisse erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prßfungsaufgaben zu bearbeiten und eziente Prßfungsstrategien zu besprechen. Es wird somit in den Seminaren zuerst ein theoretisches Fundament gelegt, da grundlegende theoretische Kenntnisse beim LÜsen von Prßfungsaufgaben von grosser Bedeutung sind.

Es ist also unser Ziel nicht nur den prßfungsrelevanten Sto anschaulich zu erklären, sondern auch theoretische Kenntnisse zu vermitteln, die nÜtig sind, um fachliche Zusammenhänge auch wirklich zu verstehen. Theoretische Zusammenhänge erscheinen auf den ersten Blick komplex,

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dennoch sind sie bis zu einem gewissen Grade nötig um Prüfungsaufgaben selbstständig zu lösen. Wir sehen es als unsere Aufgabe Dir den nötigen Grad an theoretischem Wissen auf möglichst einfache und kompakte Weise aufzuzeigen und Dir anzueignen. Mit dem richtigen Mass an Theorie wird Dir das Lösen der Prüfungsaufgaben viel leichter fallen!

In unseren Seminaren erlernst du somit einfache theoretische Grundkenntnisse, um spezische Aufgabentypen zu lösen, die an der Prüfung mit grosser Wahrscheinlichkeit erscheinen werden.

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Aufbau Dieser Ordner soll Dir als Lernhilfe zur ezienten PrĂźfungsvorbereitung der MathematikprĂźfungen dienen und umfasst 5 Teile. Wir mĂśchten Dir im Folgenden einen Ăœberblick Ăźber den Aufbau des Ordners geben. 1. Theorie: Das Theorieskript fasst in einfacher und Ăźbersichtlicher Form den gesamten Sto des FrĂźhlingssemesters 2012 zusammen und erklärt diesen anhand anschaulicher Beispiele. Am Ende ndest Du ein Stichwortverzeichnis, welches Dir bei allfälligen Fragen schnellstmĂśglichst Zugri auf das erforderliche Wissen verschat. Das Theorieskript umfasst 6 Kapitel, die im Seminar der Reihe nach bearbeitet werden. 2. Aufgaben: Zu allen Kapiteln in unserem Theorieskript haben wir abgestimmte Ăœbungsaufgaben erstellt. Wir empfehlen Dir diese Aufgaben gleich nach den erfolgten SeminarblĂścken zu lĂśsen, um anschliessend Fragen an unsere Dozenten stellen zu kĂśnnen. Diese sind gerne während den Pausen und auch nach den oziellen Seminarstunden fĂźr Dich da, um Dir bei Deinen persĂśnlichen Problemen weiterzuhelfen. 3. Ăœbungen: In den vergangenen Jahren hat es sich gezeigt, dass die Ăœbungsserien der Universität ZĂźrich zunehmend wichtiger fĂźr das erfolgreiche Bestehen der PrĂźfung geworden sind. Die Mathematik Professoren haben die aktuellsten PrĂźfungsaufgaben vermehrt unter BerĂźcksichtigung der Serien konzipiert. Der Grund dafĂźr liegt darin, dass die Anwesenheit der Studenten während der Ăœbungen sich lohnen und auszahlen soll. Aus diesem Grund haben wir Dir sämtliche Aufgaben und alle Ergänzungsaufgaben mit ausfĂźhrlichen LĂśsungswegen zusammengestellt. Diese kannst Du am Schluss des Semesters in der Druckerei ADAG in ZĂźrich gĂźnstig erwerben. 4. PrĂźfungen: Beginne frĂźh damit bisherige PrĂźfungen zu lĂśsen, denn nur so gewinnst Du das nĂśtige Verständnis fĂźr deren Aufbau. Du wirst erkennen, was fĂźr die PrĂźfung relevant ist und kannst Dich gezielt darauf vorbereiten. Dazu haben wir Dir alle verfĂźgbaren Assessment-PrĂźfungen mit ausfĂźhrlichen LĂśsungswegen zusammengestellt. 5. Extras: Hier ndest du die aktuellste Formelsammlung. Schau Dir die Formelsammlung gut an und merke Dir die wichtigsten Formeln! Gewisse Formeln werden an der PrĂźfung nämlich als bekannt vorausgesetzt und andere werden Dir an der PrĂźfung ausgeteilt. Keine Angst, Du musst nicht viel auswendig lernen.

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Vorgehensweise Wir empfehlen Dir mit dem Ordner und den Karteikarten wie folgt schrittweise vorzugehen um einen perfekten Lernerfolg zu erzielen: 1. Theorie: Lies als erstes ein Theoriekapitel aufmerksam durch und versuche die theoretischen Inhalte zu verstehen. 2. Prßfungen: Mit Deinem aktuellen theoretischen Wissensstand kannst Du nun ideal ausgewählte Prßfungsaufgaben lÜsen. So siehst Du gleich was Dich an der Prßfung erwartet und kannst Dich bereits jetzt perfekt darauf einstellen. Dazu haben wir Dir am Ende von jedem Theoriekapitel einige ausgewählte Prßfungsaufgaben zusammengestellt, die sich auf das soeben behandelte Thema beziehen. 3. Karteikarten: Schaue Dir anschliessend die passenden Karteikarten an, welche wir Dir am Ende des Theoriekapitels empfehlen und versuche die wichtigsten Punkte zu memorieren. Die Karteikarten runden Dein bereits erlerntes Wissen perfekt ab und zeigen Dir auf, wo du allenfalls noch Schwächen hast. 4. Aufgaben: LÜse nun einige oder am besten alle unserer eigens erstellten Aufgaben passend zum soeben gelesenen Theoriekapitel komplett durch. Diese umfassen exakt den in diesem Theoriekapitel erlernten Sto. So siehst Du gleich, an welchen Stellen Du allenfalls ein Theoriekapitel nochmals grßndlicher durchlesen solltest. 5. Mache eine Pause und beginne danach wieder mit einem weiteren Theoriekapitel.

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Seminar Mathematik II Assessment

Z端rich, Februar 2013


Seminar

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Ziel und Inhalt Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir unsere gezielten Prüfungsvorbereitungsseminare zu besuchen. In zwei vierstündigen Seminarblöcken zeigen wir Dir dabei welche Themen für das erfolgreiche Bestehen Deiner Prüfung essentiell sind und erarbeiten mit Dir gemeinsam eziente Strategien um die spezischen Aufgabentypen gezielt anzugehen. Dabei wird Dir nur das Allerwichtigste an Theorie kurz und prägnant erklärt und repetiert. Der Fokus des Seminars liegt im Lösen alter Prüfungsaufgaben wobei wir Dir mit strukturierten Vorgehensweisen einen zielgerichteten Ansatz aufzeigen, wie Du die Prüfung optimal lösen kannst. Während dem Seminar werden deshalb zu 30% Grundkenntnisse und theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu bearbeiten und eziente Prüfungsstrategien zu besprechen. Unsere erfahrenen Dozenten zeigen Dir auch wichtige Tipps und Tricks um Deine Prüfungschancen zu optimieren. In den Pausen und nach Seminarende hast Du zudem die Möglichkeit, den Dozenten individuelle Fragen zu stellen, um letzte Unklarheiten zu klären.

Unterlagen Die Seminarunterlagen werden entweder auf unserer Homepage www.uniseminar.ch unter 'Mein Account' online bereitgestellt oder im Seminar vor Ort ausgeteilt. Sobald Du Dich für das Seminar angemeldet hast, wirst Du rechtzeitig informiert, wenn die Unterlagen für Dich zur Verfügung stehen.

Seminarleitung Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Alle Dozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen schweizerischen und europäischen Universitäten und wissen deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten können. Weitere Infos zu Deinem persönlichen Seminarleiter und zu unseren Dozenten im Allgemeinen ndest Du auf unserer Webseite www.uniseminar.ch in der Rubrik 'Über uns'.

Anmeldung Unter www.uniseminar.ch kannst Du Dich jederzeit für die Seminare anmelden.


Notizen

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Theorie Mathematik II Assessment

Z端ri h, Februar 2013


Inhaltsverzei hnis 1 Na hhaltiger Lernerfolg in Mathematik

1

2 Integralre hnung

2

2.1

Unbestimmtes Integral

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.2

Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3

Hauptsatz der Dierential- und Integralre hnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.4

Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4.1

Partielle Integration

6

2.4.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Integration dur h Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.5

Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.6

Uneigentli he Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.7

Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.7.1

Idee und Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.7.2

Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.7.3

Anwendung fĂźr die Bestimmung von Extrema

. . . . . . . . . . . . . . .

16

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.8

3 Lineare Glei hungssysteme 3.1

21

Vektoren und Matrizen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.1.1

Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.1.2

Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.1.3

Operationen mit Matrizen und Vektoren

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.2

Motivation Lineare Glei hungssysteme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.3

LĂśsbarkeit eines LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.4

Lineare Glei hungssysteme in Expliziter Form

3.5

Gauss Algorithmus

3.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.5.1

Ă„quivalente Glei hungssysteme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.5.2

Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4 Vektoren und Vektorräume

48

4.1

Abstrakter Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Skalarprodukt und Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2.1

Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2.2

Norm

49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.3

Rang einer Matrix

4.4

Lineare Unabhängigkeit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.5

Erzeugendensystem und Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

4.6

Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.7

Vollständige Klassizierung linearer Glei hungssysteme

. . . . . . . . . . . . . .

63

4.8

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5 Matrizen und DeterminantenkalkĂźl 5.1

Matrixmultiplikation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

69 69

5.2

Inverse einer regulären Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.3

Matrizentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

5.4

Re hengesetze fĂźr Matrixoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76


5.5

Determinante

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.5.1

Denition und Bere hnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.5.2

Eigens haften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.6

Cramer's he Regel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.7

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

6 Spezielle Kapitel der linearen Algebra 6.1

Lineare Abbildungen

89

Denition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

6.1.2

Bildraum

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.3

Anwendung

6.1.1

6.2

6.3

6.4

89

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90 91

Denitheit von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

6.2.1

Denition

92

6.2.2

Bestimmung der Denitheit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Optimalitätsbedingungen 2. Ordnung in

n

93

Dimensionen . . . . . . . . . . . . . .

96

6.3.1

Dierentiation in

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

6.3.2

Optimalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

n

Variablen

Optimierung unter linearen Restriktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.4.1

LĂśsung mit Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4.2

LĂśsung mit der Lagrangemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.5

Verbrau hsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.6

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Sti hwortverzei hnis

116


Theorie: Integration

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2.7 Taylorreihen 2.7.1 Idee und Denition Idee: Wir approximieren die Funktion f (x) um den (xen) Punkt (x0 , f (x0 )) herum durch ein Polynom.

Wenn

f

genĂźgend oft dierenzierbar ist, kĂśnnen wir

f (x)

1 f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + f ′′ (x0 )(x − x0 )2 + 2

schreiben als

...

+

Taylorreihe um x0 :

1 (n) f (x0 )(x − x0 )n + Rn,x0 (x) n! (5)

Beachte, dass

variabel, x0

f

der

(n)

(x0 )

xe

die

n-te

Ableitung, ausgewertet am Punkt

Punkt, um den wir entwickeln und

machen, weil wir nur bis Ordnung

n

gehen. Es gilt

Rn,x0

x0

bezeichnet. Dabei ist

x

Rn,x0 (x) der Fehler, den wir dabei âˆŤx n f (n+1) (t) dt. Falls Rn,x0 (x) = (x−t) n x0

!

weggelassen wird, sollte man bei der Entwicklung '=' durch '≈' ersetzen (siehe Beispiel unten).

Wir kĂśnnen so zu einer einem Punkt

x0

n-fach

dierenzierbaren Funktion

das sogenannte Taylorpolynom

n-ter

-14-

f :D→R

Ordnung bilden.

in einer Umgebung von


Theorie: Integration

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2.7.2 Taylor-Reihen Funktionen, die unendlich oft stetig dierenzierbar sind, kĂśnnen als Taylor-Reihe geschrieben werden, d.h. als Taylorpolynom 'unendlichen' Grades.

Was sind wichtige Taylor-Reihen? • ex = 1 + x + • sin x = x − • cos x = 1 −

x2 2

+ ... +

xn n!

+ ... =

∞ ∑

xk , k!

k=0

∀x ∈ R

x3 3!

x + ... + (−1)n (2n+1)! + ... =

2n+1

x2 2!

x + ... + (−1)n (2n)! + ... =

2n

Die Taylor-Reihen sind im Punkt

x0 = 0

∞ ∑

(−1)k ¡

k=0

∞ ∑

x2k+1 , (2k+1)!

2k

∀x ∈ R

∀x ∈ R

x (−1)k (2k)! ,

k=0

entwickelt, gelten aber fĂźr alle

x ∈ R.

2.7.3 Anwendung fĂźr die Bestimmung von Extrema Wir kĂśnnen das Taylorpolynom dazu verwenden, Extrema zu bestimmen.

Wie bestimme ich Extrema mit Hilfe des Satzes von Taylor? Sei

f n-mal

stetig dierenzierbar in einer Umgebung von

f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0

x0 .

und

Falls

f (n) (x0 ) ̸= 0,

dann gilt:

•

Ist

n

gerade und

f (n) (x0 ) > 0,

so hat

f

in

x0

ein relatives Minimum.

•

Ist

n

gerade und

f (n) (x0 ) < 0,

so hat

f

in

x0

ein relatives Maximum.

â&#x20AC;˘

Ist

n

ungerade, so hat

Sattelpunkt von f .

f

in

x0

kein relatives Extremum. In diesem Fall heisst

-16-

x0


Theorie: Integration

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2.8 Zusammenfassung â&#x20AC;˘ Denition:

â&#x2C6;Ť f (x)dx = F (x) + C , C â&#x2C6;&#x2C6; R.

â&#x20AC;˘ Rechenregeln: â&#x2C6;Ť â&#x2C6;Ť  c ¡ f (x)dx = c ¡ f (x)dx fĂźr beliebiges c â&#x2C6;&#x2C6; R. â&#x2C6;Ť â&#x2C6;Ť â&#x2C6;Ť  f (x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx. â&#x2C6;Ť â&#x2C6;Ť â&#x2C6;Ť  ac f (x)dx = ab f (x)dx + bc g(x)dx. â&#x2C6;Ť â&#x2C6;Ť  ba f (x)dx = â&#x2C6;&#x2019; ab f (x)dx. â&#x20AC;˘ Standardbeispiele der Integration: â&#x2C6;Ť  1dx = x + C . â&#x2C6;Ť 1  xn dx = n+1 xn+1 + C. â&#x2C6;Ť  ex dx = ex + C . â&#x2C6;Ť  x1 dx = ln(x) + C . â&#x2C6;Ť  sin(x)dx = â&#x2C6;&#x2019;cos(x) + C . â&#x2C6;Ť  cos(x)dx = sin(x) + C . â&#x20AC;˘ Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung: â&#x2C6;Ť b f (x)dx = F (b) â&#x2C6;&#x2019; F (a) a

â&#x20AC;˘ Partielle Integration: â&#x2C6;Ť â&#x2C6;Ť â&#x20AC;˛ v(x) ¡ u (x)dx = v(x) ¡ u(x) â&#x2C6;&#x2019; v â&#x20AC;˛ (x) ¡ u(x)dx. â&#x2C6;Ť b â&#x2C6;Ť b b â&#x20AC;˛ v(x) ¡ u (x)dx = v(x) ¡ u(x)|a â&#x2C6;&#x2019; v â&#x20AC;˛ (x) ¡ u(x)dx. a

a

â&#x20AC;˘ Integration durch Substitution: â&#x2C6;Ť â&#x2C6;Ť â&#x20AC;˛ f (g(x)) ¡ g (x)dx = f (u)du. â&#x2C6;Ť b â&#x2C6;Ť u(b) â&#x20AC;˛ f (g(x)) ¡ g (x)dx = f (u)du a

u(a)

â&#x20AC;˘ Uneigentliche Integrale: â&#x2C6;Ť â&#x2C6;Ť  Aâ&#x2C6;&#x17E; f (x)dx = lim AN f (x)dx. N â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;ŤA â&#x2C6;Ť  â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; f (x)dx = lim NA f (x)dx. N â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

-18-

wobei

u(x) = g(x).


Theorie: Integration

Falls bei

 

∫B

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B

eine Polstelle vorliegt:

A

f (x)dx = lim

B

f (x)dx = lim

∫A

N →B

∫N A

f (x)dx.

N

f (x)dx.

∫A

N →B

• Taylorreihe entwickelt um x0 : f (x) =

n ∑ f (k) (x0 ) k=0

k!

(x − x0 )k + Rn,x0 (x)

1 1 = f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + f ′′ (x0 )(x − x0 )2 + . . . + · f (n) (x0 )(x − x0 )n + Rn,x0 (x) 2 n!

• Taylorpolynom n-ter Ordnung entwickelt um x0 : f (x) =

n ∑ f (k) (x0 ) k=0

k!

(x − x0 )k

1 1 = f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + f ′′ (x0 )(x − x0 )2 + . . . + · f (n) (x0 )(x − x0 )n 2 n! • Allgemeines Vorgehen bei Integralen 1. Ist es ein unbestimmtes (zu

3.)

oder ein bestimmtes Integral (zu

2.)?

2. Gibt es im Integrationsintervall Singularitäten oder ist der Integrationsbereich unbeschränkt? Falls eines von beiden gilt, handelt es sich um ein uneigentliches Integral. Beachte die oben angegebenen Rechenregeln für unbestimmte Integrale. 3. Wir versuchen der Reihe nach: (a) Kannst Du die Stammfunktion erraten? (b) Liegt die Struktur

f (g(x))g′ (x)

vor?

−→

Substitution.

(c) Gibt es einen Faktor, der sich leicht integrieren lässt?

−→

partielle Integration.

4. Ev. Resultat durch Ableiten überprüfen. 5. Was genau verlangt die Aufgabe? Bei unbestimmten Integralen die Konstante nicht vergessen!

-19-

C


Theorie: Integration

uniseminar.ch

Arbeitsanweisungen: 1.

Mit Deinem aktuellen Wissensstand kannst Du nun ideal die folgenden Prßfungsaufgaben lÜsen. So siehst Du gleich was Dich an der Prßfung erwartet und kannst Dich bereits jetzt perfekt darauf einstellen. Dazu haben wir Dir einige ausgewählte Prßfungsaufgaben zusammengestellt, die sich auf das soeben behandelte Thema beziehen. Die neusten Prßfungen haben wir dabei bewusst ausgelassen, da Du diese optimalerweise als ganze Prßfungen am Stßck zur Vorbereitung nutzen sollst. a) Probeklausur 2005, Aufgabe 1, Seite 1 b) Prßfung 2005, Aufgabe 1, Seite 18 c) Prßfung 2006, Aufgabe 5, Seite 32 d) Prßfung 2007, Aufgabe 5, Seite 44

2.

Schaue Dir nun die Karteikarten 14 - 46 an und versuche die wichtigsten Punkte zu memorieren. Die Karteikarten runden Dein bereits erlerntes Wissen perfekt ab und zeigen Dir auf, wo du allenfalls noch Schwächen hast.

3.

LĂśse nun einige oder am besten alle unsere eigens erstellten Aufgaben des Kapitels 'Integralrechnung' komplett durch. Diese umfassen exakt den in diesem Theoriekapitel erlernten Sto. So siehst Du gleich, an welchen Stellen Du allenfalls ein Theoriekapitel nochmals grĂźndlicher durchlesen solltest.

-20-


Theorie: Lineare Gleichungssysteme

uniseminar.ch

3 Lineare Gleichungssysteme In diesem Kapitel geht es um Lineare Gleichungssysteme und die Grundlagen der Vektor- und Matrizenrechnung.

Abkürzung: Wir kürzen im folgenden lineare Gleichungssysteme ab mit LGS.

3.1 Vektoren und Matrizen I 3.1.1 Vektoren n-Tupel.   v1  v2    v =  ..   .  vn

Ein Vektor ist ein sogenanntes

und

Es gibt

Spaltenvektoren 

respektive

 4 w= 6  5

Zeilenvektoren a=

(

a1 a2 . . . an

)

respektive

b=

(

4 6 5

)

.

Zeilen-/Spaltenvektoren lassen sich in Spalten/-Zeilenvektoren umschreiben durch TransponieT T T ren (Notation: ... ). v ist also ein Zeilenvektor und a ein Spaltenvektor.

Interpretation: • Geometrisch:

Wir können Vektoren interpretieren als 'Pfeile' aus dem Ursprung oder

als Koordinaten eines Punktes.

Ein Vektor in

R3

auf zwei verschiedene Arten aufgefasst.

-21-


Theorie: Lineare Gleichungssysteme

â&#x20AC;˘ GĂźterbĂźndel:

uniseminar.ch

Wir kĂśnnen Vektoren auch als GĂźterbĂźndel auassen, z.B.



 4 200  x= 160 180

4 Eier 200 gr Mehl 160 gr Zucker 180 gr Butter

â&#x2030;Ą

3.1.2 Matrizen Eine Matrix

aij

Seien

A

(Mehrzahl

beliebige Zahlen, dann ist die folgende Matrix



a11  a21  .  .  . A=  ai1  .  ..

a12 a22 . . .

ai2 . . .

¡¡¡ ¡¡¡

a1j a2j

¡¡¡

aij

am1 am2 ¡ ¡ ¡ |

. . .

¡¡¡

. . .

amj ¡ ¡ ¡

amn

A

eine allgemeine Matrix:

              

m

Zeilen

und

dim(A) = m Ă&#x2014; n

}

Spalten

kann aufgefasst werden als eine Anordnung von m Spaltenvektoren der Länge n, mĂ&#x2014;n Zeilenvektoren der Länge m. Wir sagen, A â&#x2C6;&#x2C6; R , bzw. A ist eine (m Ă&#x2014; n)-Matrix.

Die Matrix

n

 a1n a2n   .  . .   ain   . .  .

¡¡¡ ¡¡¡

{z n

bzw.

Matrizen) ist eine Anordnung von Zahlen in Tabellenform.

Beispiel.

A

Nehmen wir an, eine Bäckerei bietet 3 verschiedene Kuchen an: Zitronencake, Schog-

gikuchen und RĂźeblitorte. FĂźr jeden Kuchen wird eine gewisse Menge Eier, Mehl, Zucker und Butter benĂśtigt.

Zitronencake Eier

Schoggikuchen

RĂźeblitorte

4

2

5

Mehl

200

250

70

Zucker

160

180

200

Butter

180

200

100

Die obige Tabelle kĂśnnen wir als Anordnung von GĂźterbĂźndeln verstehen, und sie kompakter als (4

Ă&#x2014; 3)-Matrix

schreiben:



 4 2 5 200 250 70   B= 160 180 200 . 180 200 100 -22-


Theorie: Lineare Gleichungssysteme

uniseminar.ch

3.3 Lösbarkeit eines LGS Sei

A

eine

m × nMatrix

sowie

x

und

b

ndimensionale

zwei

Spaltenvektoren. Wir betrachten

folgendes allgemeines Gleichungssystem in Matrixform:

 A·x=b

···

a11

 ..  . am1 · · ·

respektive

a1n

 

x1

b1

  ..   ..  · . = .  amn xn bm . . .

Wir überlegen uns nun, dass ein solches System entweder

keine Lösung

genau eine Lösung oder

unendlich viele Lösungen

haben kann, und wann welcher Fall eintritt.

Wir betrachten dazu exemplarisch die Gleichung 3 Ebene im R .

2 · x1 + 6 · x2 + 6 · x3 = 4.

Sie beschreibt eine

4

3

2

1

0 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.5

1.0 y

1.5

x

Wenn wir mehrere Gleichungen haben, sind das mehrere Ebenen im

R3 ,

welche sich schneiden

können, oder auch nicht. Lösbarkeit bedeutet, dass es mindestens einen Vektor

(x1 , x2 , x3 )

gibt, der alle Gleichungen erfüllt. Geometrisch beschreibt dieser Vektor einen Punkt in der Schnittmenge der Ebenen, die durch die Gleichungen beschrieben werden. Angenommen, wir haben 3 Ebenen (also 3 Gleichungen), dann gibt es 3 Fälle:

Ebene 1 Ebene 3 Ebene 2

-27-


Theorie: Anwendungen der linearen Algebra

uniseminar.ch

6.3.2 Optimalitätsbedingungen In diesem Kapitel wollen wir nun konkret untersuchen, wo Maxima / Minima von reellwertigen Funktionen in für

n=2

n

Variablen vorliegen. Die Bedingungen lassen sich vergleichen mit denjenigen

aus dem

ersten Semester.

Denition. Extrema:

Zuerst denieren wir Maxima / Minima, analog zur Situation in einer Variablen. Sei f : Rn → R. f besitzt in x(0) ein

Maximum relatives

Minimum

f (x(0) ) ≥ f (x)

für x in (kleiner) Umgebung von x

(0)

absolutes

f (x(0) ) ≥ f (x) für alle x ∈ Rn

striktes relatives

f (x(0) ) > f (x)

für x in (kleiner) Umgebung von x(0) f (x(0) ) ≤ f (x) für alle x ∈ Rn

für x in (kleiner) Umgebung von x

(0)

striktes absolutes

f (x(0) ) ≤ f (x)

f (x(0) ) > f (x) für alle x ∈ Rn

f (x(0) ) < f (x)

für x in (kleiner) Umgebung von x(0) f (x(0) ) < f (x) für alle x ∈ Rn

Denition. Stationäre Punkte:

Sei f : Rn → R. x(0) heisst stationärer Punkt von f , falls gradf (x(0) ) = 0. Beispiel.

Im vorherigen Unterkapitel hatten wir berechnet, dass für

f (x1 , x2 , x3 ) := x21 x2 − x32

gilt

( (0)

gradf (x

)=

Also wäre der Punkt

)T ( ) ∂f (0) ∂f (0) ∂f (0) (0) (0) (0) (0) (x ), (x ), (x ) = 2x1 x2 , (x1 )2 − 3(x2 )2 , 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 (0)

x(0) = (0, 0, x3 )

ein solcher stationärer Punkt für alle

-98-

(0)

x3 ∈ R.


Stichwortverzeichnis

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Stichwortverzeichnis Ă&#x201E;quivalente Gleichungssysteme, 32

Hesse-Matrix, 96

Ă&#x201E;quivalenz von Gleichungssystemen, 32

Homogenes System, 64

Abbildungen, lineare, 89

indenit, 92

Abstrakter Vektorraum, 48

Integral, 2

Addition Matrizen, 23

Integral, bestimmtes, 4

Algorithmus von Gauss, 32

Integral, doppelt, 10

Allgemeine Matrix, 22

Integral, Eigenschaften, 3

Allgemeine Tipps, 1

Integral, unbestimmt, 2

Analyse LĂśsungsmenge LGS II, 63

Integral, uneigentlich, 12 Integration, Hauptsatz, 5

Basis, 60 Berechnung der Denitheit, 93 Berechung von Determinanten, 77 Bestimmtes Integral, 4 Bestimmung der Denitheit, 93 Cramer'sche Regel, 84

Integration, partielle, 6 Integration, Regeln, 6 Integrationsgrenzen, 4 Integrationskonstante, 2 Integrationsregeln, 6 Inverse einer

2 Ă&#x2014; 2Matrix

Denitheit, 94

Inverse Matrix, 72

Denitheit von Matrizen, 92

invertierbar, 81, 86

Denitheit, Bestimmung, 93 Determinante, 69, 77 Determinante, allgemeine, 79 Determinante, Berechnung von, 77 Diagonalmatrix, 74 Dierentiation in

n

Variablen, 96

Doppeltes Integral, 10 Dreiecksmatrix, 74 Eigenschaften Determinante, 81 Einheits-Matrix, 80 Einheitsmatrix, 74 Erzeugendensystem, 60 Explizite Form eines LGS, 29 freie Extrema, 96

nach Cramer, 85

Inverse einer regulären Matrix, 72

Klassizierung Linearer Gleichungssysteme, 63 LÜsbarkeit eines linearen Gleichungssystems, 27 LÜsen linearer Gleichungssysteme, 32 LÜsung mit Parameterform, 102 LÜsung von LGS, 63 LÜsungsmenge eines LGS I, 53 LÜsungsmenge LGS II, 63 Lagrangemethode, 104, 105 LGS, 21 LGS, explizite Form, 29 LGS, Klassizierung, 63 LGS, LÜsbarkeit, 27 LGS, LÜsung, 32 linear abhängig, 54 linear unabhängig, 54

Gauss Algorithmus, 32, 33

Lineare Abbildungen, 89

Gleichheit von Matrizen, 23

Lineare Algebra, spezielle Kapitel, 89

Gleichungssystem, LĂśsungen, 28

Lineare Gleichungssystem, 21

Gleichungssysteme, lineare, 21

Lineare Gleichungssystem, Motivation, 26

Gradient, 96

Lineare Gleichungssysteme, Klassizierung, 63

HĂźlle, lineare, 60 Hauptabschnittsdeterminante, 93 Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung, 5

lineare Hßlle, 60 lineare Restriktionen, 101 Lineare Unabhängigkeit, 54, 57 Lineares Gleichungssystem, explizite Form, 29


Extras

Prüfungen

Übungen

Aufgaben

A


Aufgaben Mathematik II Assessment

Z端rich, Februar 2013


Inhaltsverzeichnis 1

2

3

4

5

Integralrechnung

1

1.1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Lineare Gleichungssysteme

14

2.1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Vektoren und Vektorräume

27

3.1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Matrizen und Determinantenkalkül

34

4.1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.2

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Spezielle Kapitel der linearen Algebra

52

5.1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.2

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55


Aufgaben - Lineare Gleichungssysteme 1.2

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Lineare Gleichungssysteme

1. Alex, Tim und Max machen Triatlon. Alle haben unterschiedliche Stärken. Einer rennt besonders gut, der Zweite ist speziell gut im Fahrrad fahren und der Dritte schwimmt wahnsinnig schnell. Sie kennen alle ihre Bestmarken, denn sie wissen, wie viele Minuten sie jeweils brauchen um 1 km zurückzulegen: Fahrrad

Schwimmen

Rennen

Alex

1.5

17

5

Tim

2

10

6

Max

2.2

15

3

Sie suchen nun eine Strecke, auf welcher Sie alle gleich schnell sind. Wie weit müsste die Rad-, Schwimm- und Renndistanz sein, damit sie am Schluss nach genau 60 Minuten gleichzeitig über die Ziellinie laufen? Stellen Sie das Gleichungssystem auf und lösen Sie es anhand der Cramer'schen Regel auf. Gauss Algorithmus

2. (a) Es sei folgendes Gleichungssystem gegeben:

x1 + x2 − x3 = 1 2x1 + 3x2 + ux3 = 3 x1 + ux2 + 3x3 = 2 Wann hat dieses Gleichungssystem i. genau eine Lösung? ii. unendlich viele Lösungen? iii. keine Lösung? Gesucht sind alle Lösungen des obigen Gleichungssystems für i. u = 2 respektive ii. u = 1. (b) Wir betrachten folgende Matrix und Vektoren:

  2 −1 1   A = 1 3 2 , 1 −4 −1 -4-

 −1   b1 =  5  , −6

 3   b2 =  2  −7


Aufgaben - Vektoren und Vektorräume 1.3

uniseminar.ch

Vektoren in Vektorräumen

Lineare Unabhängigkeit

1. Wie viele Dimensionen hat der Vektorraum, welcher von den folgenden Vektoren aufgespannt wird? ! 3 (a) a = , 6 (b) c =

! 1 , 2

b=

! 4 1

d=

! 2 4

2. Gegeben sind die folgenden Vektoren im R3 :

  2   a = 1 , 0

  3   b = 3 , 2

  1   c = 3 , 7

 −6   d = −6 , −4

  2   e = t 5

(a) Bei welchen der folgenden Vektorsystemen liegt lineare Abhängigkeit, respektive lineare Unabhängigkeit vor?

{a, b},

{a, c},

{b, d},

{a, b, c},

{a, b, d},

{a, b, c, e}

(b) Für welche t ∈ R sind die folgenden Vektorsysteme linear abhängig, respektive linear unabhängig?

{a, b, e},

{a, c, e},

{b, d, e}

Skalarprodukte und Normen

3. Berechnen Sie für die Vektoren x = (2, 1, −3)T und y = (5, 0, 7)T das Folgende:

xT y

kxk

kx + yk1

](x, y).

-6-

kx − 2yk∞


Lösungen - Lineare Gleichungssysteme

uniseminar.ch

Um die Cramer'sche Regel aufzustellen, benötigen wir die Determinanten verschiedener Matrizen:

 1.5 17 5   det  2 10 6 = 1.5 · 10 · 3 + 17 · 6 · 2.2 + 5 · 2 · 15 2.2 15 3 −5 · 10 · 2.2 − 1.5 · 6 · 15 − 17 · 2 · 3 = 72.4 

 60 17 5   det 60 10 6 = 60 · 10 · 3 + 17 · 6 · 60 + 5 · 60 · 15 60 15 3 −5 · 10 · 60 − 60 · 6 · 15 − 17 · 60 · 3 = 960 

 1.5 60 5   det  2 60 6 = 1.5 · 60 · 3 + 60 · 6 · 2.2 + 5 · 2 · 60 2.2 60 3 −5 · 60 · 2.2 − 1.5 · 6 · 60 − 60 · 2 · 3 = 102 

 1.5 17 60   det  2 10 60 = 1.5 · 10 · 60 + 17 · 60 · 2.2 + 60 · 2 · 15 2.2 15 60 −60 · 10 · 2.2 − 1.5 · 60 · 15 − 17 · 2 · 60 = 234

Somit erhalten wir als Lösung:

x=

960 = 13.26, 72.4

y=

102 = 1.41, 72.4

z=

234 = 3.23 72.4

Sie müssen also 13.36 km Rad fahren, 1.41 km schwimmen und 3.23 km rennen. Gauss Algorithmus

2. (a) Es sei folgendes Gleichungssystem gegeben:

x1 + x2 − x3 = 1 2x1 + 3x2 + ux3 = 3 x1 + ux2 + 3x3 = 2

Wann hat dieses Gleichungssystem i. genau eine Lösung? -21-


Lösungen - Lineare Gleichungssysteme

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ii. unendlich viele Lösungen? iii. keine Lösung? Gesucht sind alle Lösungen des obigen Gleichungssystems für i. u = 2 respektive ii. u = 1. Lösung:

Matrixschreibweise ist:

     1 1 −1 x1 1        2 3 u  · x2  = 3 1 u 3 x3 2 Anwenden des Gauss'schen Algorithmus ergibt

   1 1 −1 1 1 1 −1 1 I −I   IIIII−2·   ; 1 u+2 1   0  2 3 u 3  1 1 u 3 2 0 u−1 4 

 1 1 −1 1 III−(u−1)·II   ; u+2 1  0 1  0 0 4 − (u − 1)(u + 2) −u + 2 

 1 0 −u − 3 0 I−II   ;  0 1 1 u+2  2 0 0 −u − u + 6 −u + 2 Somit hat dieses Gleichungssystem i. genau eine Lösung, falls −u2 − u + 6 = −(u + 3) · (u − 2) 6= 0, d.h. falls u 6= −3 und u 6= 2. ii. unendlich viele Lösungen, falls −u2 −u+6 = −(u+3)·(u−2) = 0 und −u+2 = 0, d.h. falls u = 2. iii. keine Lösung, falls −u2 − u + 6 = −(u + 3) · (u − 2) = 0 und −u + 2 6= 0, d.h. wenn u = −3.

Nun die Lösungen für i. u = 2: Dann entspricht das Resultat des Gauss'schen Algorithmus der folgenden

-22-


Lösungen - Spezielle Kapitel der linearen Algebra

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Verbrauchsmatrizen

1. In einer Fabrik werden Chemikalien, Nahrungsmittel und Öl produziert. Der Zusammen-

hang zwischen benötigtem Input und fabriziertem Output sieht wie folgt aus: Chemikalien-Output 0.2 0.3 0.4 Chemikalien-Input      Nahrungsmittel-Output = 0.4 0.4 0.1 Nahrungsmittel-Input . Öl-Output 0.5 0.1 0.3 Öl-Input 



Um eine Einheit Nahrungsmittel zu produzieren, werden also 0.4 Einheiten Chemikalien, ebensoviel Nahrungsmittel und 0.1 Einheiten Öl benötigt. Die Fabrik bekommt den Auftrag 20 Einheiten Chemikalien, 100 Einheiten Nahrungsmittel sowie 45 Einheiten Öl zu produzieren. (a) Stellen Sie das lineare Gleichungssystem auf. (b) Berechnen Sie die Lösung des Systems. Lösung:

(a) Wir bezeichnen den entsprechenden Input mit xC , xN bzw. xO . Wir erhalten dann das lineare Gleichungssystem

      0.2 0.3 0.4 xC 20 xC        xN  − 0.4 0.4 0.1 xN  = 100 . xO 0.5 0.1 0.3 xO 45 

Sei x = (xC , xN , xO )T , y = (20, 100, 45)T und

  0.2 0.3 0.4   A = 0.4 0.4 0.1 , 0.5 0.1 0.3 so können wir abkürzend schreiben:

(I − A)x = y, wobei mit I die Einheitsmatrix in R3 bezeichnet ist. (b) Wir stellen zunächst fest, dass alle Einträge von A = (aij )ij grösser als Null sind und

-43-


Extras

Prüfungen

Übungen

Ü


Ă&#x153;bungen Mathematik II Assessment

ZĂźrich, Februar 2013


Inhaltsverzeichnis Serie 1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Serie 2

1

1 3 11

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Serie 3

21

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Serie 4

32

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Serie 5

43

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Serie 6

58

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Serie 7

68

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Serie 8

81

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Serie 9

96

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Serie 10

105

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


Inhaltsverzeichnis Serie 11

uniseminar.ch 116

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Lรถsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Serie 12

125

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Lรถsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


Serie 4: Lösungen

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Lösungen Aufgabe 1:

Gegeben sei die Funktion f : R → R mit f (x) =

wobei c > 0, λ > 0 und a =

λ 1−e−λc

 a · e−λx

für 0 ≤ x ≤ c

 0

sonst,

.

a) Zeigen Sie, dass f die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X ist. Z+∞ b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) = µ = xf (x) dx. −∞ Lösung:

a) Damit f eine Dichtefunktion ist, muss gelten f (x) ≥ 0

1.

∀x ∈ R

Z∞ 2.

f (x) dx = 1 . −∞

Da λ > 0 und c > 0 ist 0 < 1 − e−λc < 1

und damit a=

λ > 0. 1 − e−λc

Da weiterhin gilt, dass ex > 0 für alle x ∈ R, ist f (x) > 0

∀x ∈ R .

Damit wäre 1. gezeigt. Da f ausserhalb des Intervalls [0, c] stets konstant 0 ist, vereinfacht

-35-


Serie 4: Lösungen

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sich die folgende Rechnung: Z∞

Zc f (x) dx =

f (x) dx

−∞

0

Zc

λ e−λx dx 1 − e−λc 0 c  λ 1 −λx = · − e 1 − e−λc λ 0    λ 1 −λc = 1−e · 1 − e−λc λ

=

= 1.

Damit wäre gezeigt, dass f eine Dichtefunktion ist. b) Wie in a) genügt die Betrachtung von Zc xf (x) dx , 0

da die stetige Funktion unter dem Integral ausserhalb des Intervalls [0, c] stets 0 ist. Gemäss der partiellen Integration sei w(x) = x ⇒

w0 (x) = 1

und

v 0 (x) = e−λx 1 −λx e . v(x) = −λ

-36-


Serie 4: Lösungen

uniseminar.ch

Dann gilt Zc

Zc xf (x) = a

0

0 

= a  =a

xe−λx dx



x −λx e −λ

x −λx e −λ

Zc

c − 0

c + 0

 1 −λx  e dx −λ

0

1 λ

Zc f (x) dx |0

{z

=1

}

c −λc 1 e + −λ λ −λc −ce 1 = + −λc 1−e λ −λce−λc + 1 − e−λc = λ (1 − e−λc ) eλc − 1 − λc = . λ (eλc − 1) =a·

Aufgabe 2:

Ein Vektor v ∈ R2 ist eine Linearkombination der Vektoren {w1 , . . . , wn } ⊆ R2 , wenn er sich schreiben lässt als v=

n X

λi wi , mit λi ∈ R für alle i = 1, . . . , n .

i=1

Schreiben Sie den Punkt (2, 3)T als Linearkombinationen der Vektoren (

a)

! !) 1 0 , 0 1

(

b)

! !) 2 0 , 3 1

(

c)

Lösung:

a) Es ist ! 2 =2· 3

! 1 +3· 0

! 0 . 1

! 2 =1· 3

! 2 +0· 3

! 0 . 1

b) Es ist

-37-

! !) 1 1 , 1 2


Serie 4: Lösungen

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c) Es ist ! 2 =1· 3

! 1 +1· 1

! 1 . 2

Aufgabe 3:

Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: a) 2x1 + 3x2 + x3 = 1 7x2 + 4x3 = −4 2x3 = −2

b) x1 x2

+ 4x3 = 5 − x3 = 2

Wir nummerieren im Folgenden die jeweiligen Zeilen der Gleichungssysteme mit I, II und III . Lösung:

a) Aus III folgt x3 = −1. Setzen wir dies in II ein, so erhalten wir 7x2 − 4 = −4 ⇔

x2 = 0.

Setzen wir nun diese beiden Resultate in I ein, so nden wir 2x1 − 1 = 1 ⇔

Die Lösungsmenge ist also

x1 = 1.

    L=   

 1    0  .   −1

b) Das Gleichungssystem hat mehr Unbekannte als Gleichungen, wir setzen also x3 = r, dann folgt aus II x2 − r = 2 ⇔

x2 = 2 + r

-38-


Serie 4: Lösungen

uniseminar.ch

und aus I x1 + 4r = 5 ⇔

x1 = 5 − 4r.

Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist demnach   

  5 − 4r 

  

L =  2 + r  r ∈ R . 

  

r Aufgabe 4:

Für welche Parameterwerte a, c hat das lineare Gleichungssystem y − ax = c y − x = −1

a) genau eine Lösung? b) keine Lösung? c) unendlich viele Lösungen? Begründen Sie Ihre Antworten auch geometrisch. Lösung:

Man kann die beiden Gleichungen als an-lineare Funktionen im R2 interpretieren: f1 (x) = y = ax + c

und

f2 (x) = y = x − 1 .

Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist dann die Schnittmenge der beiden Geraden. Diese ist einelementig, falls die Geraden sich in einem Punkt schneiden und leer, falls die Geraden echt parallel sind. Falls die Geraden identisch sind, existieren unendlich viele Schnittpunkte. a) Sei also a 6= 1, dann hat das GLS genau eine Lösung: f1 (x) = f2 (x) ⇔ ⇔

ax + c = x − 1 c+1 x= 1−a

-39-


Serie 4: Lösungen

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und damit y=

c+a . 1−a

b) Sei a = 1 und c 6= −1, dann hat das GLS keine Lösung, denn wie in a) folgt f1 (x) = f2 (x) ⇔

(1 − a)x = c + 1

0 = c + 1.

Da aber c 6= −1 gilt, ist dies ein Widerspruch. Damit existiert keine Lösung. c) Sei a = 1 und c = −1, dann gilt f1 (x) = f2 (x) ∀x ∈ R. Damit existieren unendlich viele Lösungen des LGS.

Aufgabe 5:

Gegeben sei die Funktion 1

1

f (x, y) = 2x 2 y 2 − 1 ,

x ≥ 0, y ≥ 0.

a) Berechnen Sie die Tangentialebene z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) · (y − y0 )

an der Stelle (x0 , y0 ) = (1, 1). b) Schneiden Sie die Tangentialebene aus a) mit der Ebene i.) y = 1 ii.) x = 1 iii.) z = 1 und geben Sie jeweils die Schnittmenge in Parameterdarstellung an. c) Ermitteln Sie mit Hilfe von b) eine Parameterdarstellung der Tangentialebene. Gibt es mehrere Möglichkeiten?

Hinweis: Gerade G und Ebene E in R

3

in Parameterdarstellung (u, v, w ∈ R3 gegeben):

G = {u + tv| t ∈ R} E = {u + t1 v + t2 w| t1 ∈ R, t2 ∈ R} .

-40-


Serie 4: Lösungen

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Lösung:

a) Die partiellen Ableitungen von f lauten √ y fx (x, y) = √ x √ x fy (x, y) = √ . y

und

Damit ergibt sich die Tangentialebene für (x0 , y0 ) = (1, 1) durch z = f (1, 1) + fx (1, 1) · (x − 1) + fy (1, 1) · (y − 1) = 1 + (x − 1) + (y − 1) = x + y − 1.

Dann sind diese Darstellungen der Tangentialebene äquivalent: z =x+y−1

b)

x=z−y+1

y = z − x + 1.

i.) Man schneidet mit der Ebene y = 1 und erhält durch Einsetzen z =x+y−1 ⇔

z = x.

Dies entspricht einer um (0, 1, 0)T verschobenen Geraden mit Richtungsvektor (x, 0, z) mit x = z ∀x, z ∈ R. Sei G1 diese Gerade, dann gilt        0 1       G1 = 1 + t 0 | t ∈ R .     0 1

ii.) Man schneidet mit der Ebene x = 1 und erhält durch Einsetzen z =x+y−1 ⇔

z = y.

Dies entspricht einer um (1, 0, 0)T verschobenen Geraden mit Richtungsvektor (0, y, z)

-41-


Serie 4: Lösungen

uniseminar.ch

mit y = z ∀y, z ∈ R. Sei G2 diese Gerade, dann gilt        0  1      G2 = 0 + t 1 | | t ∈ R .     0 1

iii.) Man schneidet mit z = 1 und erhält durch Einsetzen y =z−x+1 ⇔

y = −x .

Dies entspricht einer um (0, 0, 1)T verschobenen Geraden mit Richtungsvektor (x, y, 0)T mit −x = y ∀x, y ∈ R. Sei G3 diese Gerade, dann gilt        0 1       G3 = 0 + t  0  | t ∈ R .     1 −1

c) Je zwei Richtungsvektoren der Geraden, um einen Stützvektor verschoben, spannen die Tangentialebene auf. Es gibt 3 Möglichkeiten. Als Stützvektor der Ebene eignet sich   1   v = 1 . 1

Man verdeutliche sich, dass dies ein Schnittpunkt von je zwei Geraden ist. Nimmt man zum Beispiel die Richtungsvektoren von G1 und G2 , dann lässt sich die Tangentialebene T darstellen als          1 1 0         T = 1 + s 0 + t 1 | s, t ∈ R .     1 1 1

Analog bildet man die 2 anderen Möglichkeiten.

-42-


Extras

Pr端fungen

P


Pr端fungen Mathematik II Assessment

Z端rich, Februar 2013


Inhaltsverzeichnis Prüfung 2012

1

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Midtermtest 2012

16

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Prüfung 2011

30

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Midtermtest 2011

47

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Prüfung 2010

71

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Prüfung 2009

86

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Prüfung 2008

103

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Prüfung 2007

117

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Prüfung 2006

131

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Prüfung 2005

143

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146


Inhaltsverzeichnis

Probeklausur 2005

uniseminar.ch

155

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Lรถsungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159


Probeklausur 2005: Aufgaben

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Probeklausur 2005 Aufgaben Aufgabe 1 (12 Punkte) 1. Zeigen Sie folgende Ungleichungen

1

Z

x39 sin8 (x) dx â&#x2030;¤

0â&#x2030;¤ 0

1 . 40

2. Berechnen Sie das bestimmte Integral

3

Z

3

x â&#x2C6;&#x2019; 1 dx.

0

3. Berechnen Sie das uneigentliche Integral

Z+â&#x2C6;&#x17E;

x dx. (1 + x2 )2

0

f (0, +â&#x2C6;&#x17E;) â&#x2020;&#x2019; (0, â&#x2C6;&#x17E;) zweimal stetig dierenzierbar. Berechnen limxâ&#x2020;&#x2019;0+ f 0 (x) = â&#x2C6;&#x2019;1 und f 0 (1) = 1 das uneigentliche Integral

4. Sei

Sie mit

1

Z

f 0 (x)f 00 (x) dx.

0

5. Berechnen Sie das Doppelintegral

Z

1

Z

1

xye1+y

0

0

und

C:

2

dx dy.

Aufgabe 2 (12 Punkte) 1. Teil Gegeben sind die Matrizen

A, B

      0   â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 0 1 â&#x2C6;&#x2019;2 3 1      A =  1 0 â&#x2C6;&#x2019;2 1 , B =  6 1 2  , C= 1 .   1 1 â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019;2 3 â&#x2C6;&#x2019;1 1 a) Berechnen Sie, falls mĂśglich, die Matrizenprodukte

AB , BA, AC , CA, BC

Andernfalls begrĂźnden Sie, warum das Produkt nicht existiert.

-1-

und

CB .


Probeklausur 2005: Aufgaben

uniseminar.ch

b) Berechnen Sie, falls möglich, die Inverse zu

B,

also

B −1 .

2. Teil Zeigen Sie für eine reguläre

n × nMatrix D,

dass

D · (DT · D)−1 · DT gilt, wobei

I

Einheitsmatrix der Ordnung

n

−1

=I

ist.

Aufgabe 3 (9 Punkte) Berechne die folgenden (unter 17. angegebenen) Determinanten, ausgehend von der Matrix und unter Einbezug der Gesetze für Determinanten:

  1 0 2 1   4 1 0 −1   1 −1 0 4    0 1 3 0 1. det(A) 2. det(3A)

T 3. det(A ) 2 4. det(A ) n 5. det(A ) 6. det(−A)

−1 7. det(A )

Aufgabe 4 (9 Punkte) 1. Teil Gegeben sind die Mengen

                  1 0 1 0 1 0    1                 X = 2 , 1 , 0 , Y = 2 , 1 , 0 , 1 .         1 0 1 1 0 1 0 Betrachten Sie die folgenden Aussagen: (a)

X

ist eine Basis des

R3 . -2-

A


Prüfung 2007: Aufgaben

uniseminar.ch

Prüfung 2007 Aufgaben Aufgabe 1 (8 Punkte) 1. Teil Es seien

B=

1 1 2 1 −2 −1

! ,

−1 1

C=

1 2 1 −2

! und

 11   v =  −16  . 12

Man berechne, falls möglich (andernfalls vermerke man existiert nicht): (a) das Produkt

BC T

(b) das Produkt

BC x = Cv mit der Maximumsnorm ||x||∞ . x = (x1 , ..., xn )T ist ||x||∞ = max |xi |.

(c) die Länge des Vektors Hinweis: Für

1≤i≤n

2. Teil Gegeben sind

1 −1 1 1 4 4 −4 0

A=

! und

b=

1 −2

! .

(a) Ermitteln Sie mit Hilfe des Eliminationsverfahrens von Gauss die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems (b) Die Menge

L = {x ∈ R4 | Ax = 0}

(mit

Ax = b.

0 = (0, 0)T )

ist ein Unterraum des

Stellen Sie fest, ob die Menge

 X = (0, 1, 1, 0)T , (−1, 2, 1, 2)T eine Basis von

L

ist.

Aufgabe 2 (8 Punkte) 1. Teil Gegeben ist die Matrix

 0 1 0   A =  0 0 1 . 1 0 0 -42-

R4 .


Prüfung 2007: Lösungen

uniseminar.ch

Lösungen Aufgabe 1 (8 Punkte) 1. Teil

Es seien

B=

1 1 2 1 −2 −1

! ,

−1 1

C=

1 2 1 −2

! und

 11   v =  −16  . 12

Man berechne, falls möglich (andernfalls vermerke man existiert nicht): (a) das Produkt

BC T

Lösung:

BC T =

(b) das Produkt

4 −2 −5 1

! .

BC

Lösung: Da B zwei Zeilen hat, C aber drei Spalten, existiert das Produkt

x = Cv x = (x1 , ..., xn )T

(c) die Länge des Vektors

Hinweis: Für

mit der Maximumnorm ist

BC

nicht.

||x||∞ .

||x||∞ = max |xi |. 1≤i≤n

Lösung:

−3 −29

x = Cv =

!

=⇒ ||x||∞ = 29. 2. Teil

Gegeben sind

A=

1 −1 1 4 4 −4

1 0

! und

b=

1 −2

! .

(a) Ermitteln Sie mit Hilfe des Eliminationsverfahrens von Gauss die allgemeine Lösung

des inhomogenen linearen Gleichungssystems -46-

Ax = b.


Prüfung 2008: Aufgaben

uniseminar.ch

Prüfung 2008 Aufgaben Aufgabe 1 (8 Punkte) 1. Teil Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems

Ax = b

mit

   1 −1 0 0 4 0     A= 0 0 3 0 0  und b =  3  . 0 0 −3 0 1 5 2. Teil Für Parameter

u, v ∈ R

betrachten wir das lineare Gleichungssystem

x1 −x1 x1

4x2 + 4x3 − x2 − x3 − x4 + x2 + x4 − x2 − x3 + ux4

(a) Bestimmen Sie jeweils alle Werte der Parameter

u

= = = =

6 1 3 v.

(5)

und

v,

für die das lineare Glei-

chungssystem (5) i. keine Lösung, ii. genau eine Lösung, iii. unendlich viele Lösungen hat. (b) Lösen Sie das lineare Gleichungsystem (5) für

u = 0, v = 1.

Aufgabe 2 (8 Punkte) 1. Teil Bestimmen Sie für die Vektorräume

L ={(x1 , x2 , x3 ) ∈ R | x1 + 2x2 = 0, x3 = 0} M ={(x1 , x2 , x3 ) ∈ R | x1 + 2x2 = 0} jeweils eine Basis.

-56-


PrĂźfung 2011: Aufgaben

uniseminar.ch

wahr

FĂźr alle

xâ&#x2C6;&#x2C6;R

gilt

eâ&#x2C6;&#x2019;x â&#x2030;Ľ P1 (x).

FĂźr alle

xâ&#x2C6;&#x2C6;R

gilt

eâ&#x2C6;&#x2019;x â&#x2030;Ľ P2 (x).

FĂźr alle

xâ&#x2C6;&#x2C6;R

gilt

eâ&#x2C6;&#x2019;x â&#x2030;¤ P2 (x).

falsch

Hinweise: Pn (x)

=

n X (x â&#x2C6;&#x2019; a)k (k) f (a) (Taylorpolynom von f an der Stelle a), k! k=0

Rn (x)

=

(x â&#x2C6;&#x2019; a)n+1 (n+1) f (Ξ) an einer Stelle Ξ zwischen a und x (Lagrange-Restglied). (n + 1)!

2. Teil Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem (LGS)

Ax = 0,

wobei

! 0 1 0 2 . 1 â&#x2C6;&#x2019;3 4 2

A=

Untersuchen Sie, ob gewisse Mengen von Vektoren eine Basis bzw. ein Erzeugendensystem der LĂśsungsmenge

L

des homogenen LGS

      4 â&#x2C6;&#x2019;4            2   0     X=   1  ,  1  ,            â&#x2C6;&#x2019;1 0 

Ax = 0

sind. Gegeben sind

       4 8 0              2   2   2       Y =   1  ,  0  ,  2  .              â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1  â&#x2C6;&#x2019;1

Kreuzen Sie an, ob die betreende Aussage wahr oder falsch ist.

wahr

X

ist eine Basis von

Y

ist ein Erzeugendensystem von

Y \X n

L.

ist eine Basis von

L.

o

Hinweis: Y \X = y | y â&#x2C6;&#x2C6; Y und y â&#x2C6;&#x2C6; / X. . -127-

L.

falsch


Prüfung 2011: Lösungen

uniseminar.ch

Lösungen Aufgabe 1 (20 Punkte) 1. Teil

Berechnen Sie das Integral

Z

1

x e2x

2 −1

dx.

0

Lösung: Das Integral kann mittels Integration durch Substitution berechnet werden. Mit

g(x) = 2x2 − 1, g 0 (x) = 4x

erhält man:

1

Z

2x2 −1

xe

Z dx

1

1 2 · (4x) · e2x −1 dx 4

=

0

0

Z

2·12 −1

= 2·02 −1

1 u · e du 4

1 u1 [e ] 4  −1  1 1 = e− . 4 e =

2. Teil

Berechnen Sie das Doppelintegral

Z

1

1

Z

−1

y

x+e



 dx

dy.

0

Lösung:

Z

1

−1

Z

1

y

x+e



 dx

1 2 3 y x 2 + xe dy −1 3 0  Z 1 2 y + e − 0 dy 3 −1  1 2 y y+e 3 −1  2 2 1 +e− − + 3 3 e 4 1 +e+ . 3 e Z

dy

=

0

= = = = -131-

1




PrĂźfung 2011: LĂśsungen

uniseminar.ch

3. Teil

Sei

f : (0, +â&#x2C6;&#x17E;) â&#x2020;&#x2019; (0, +â&#x2C6;&#x17E;)

eine stetig dierenzierbare Funktion mit der Eigenschaft

xf 0 (x) â&#x2030;Ą c â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x2C6; (0, +â&#x2C6;&#x17E;), f (x) wobei

câ&#x2C6;&#x2C6;R

a, b > 0

gegeben ist. Berechnen Sie fĂźr beliebige

Z

das Integral

b

(ln f (x)) dx. a

Hinweis:

Rb a

ln f (x) dx =

Rb

a (1¡

ln f (x)) dx.

LĂśsung: Es bietet sich hier an, partielle Integration mit

u0 (x) = 1 und v(x) = ln f (x) zu verwenden:

u0 (x) = 1 â&#x2021;&#x2019; u(x) = x f 0 (x) 0 v(x) = ln f (x) â&#x2021;&#x2019; v (x) = . f (x) Somit erhält man

Z

b

(1 ¡ ln f (x))

dx

[x ln f (x)]ba

=

Z

b

x¡

â&#x2C6;&#x2019; a

a

= [x ln f (x)]ba â&#x2C6;&#x2019;

Z

f 0 (x) dx f (x)

b

c dx a

= [x ln f (x)]ba â&#x2C6;&#x2019; [c ¡ x]ba = b ln f (b) â&#x2C6;&#x2019; a ln f (a) â&#x2C6;&#x2019; (cb â&#x2C6;&#x2019; ca). Aufgabe 2 (20 Punkte) 1. Teil

f (x) = eâ&#x2C6;&#x2019;x , x â&#x2C6;&#x2C6; R. LĂśsen Sie P2 (x) und P1 (x) an der Stelle a = 0:

Gegeben ist die Funktion Taylorpolynome

a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom

die folgenden Aufgaben fĂźr die

P2 (x).

b) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Kreuzen Sie die richtige Antwort an.

-132-


PrĂźfung 2011: LĂśsungen

Da

uniseminar.ch

R1 (x) â&#x2030;Ľ 0

fĂźr alle

xâ&#x2C6;&#x2C6;R

ist

eâ&#x2C6;&#x2019;x = P1 (x) + R1 (x) â&#x2030;Ľ P1 (x). FĂźr alle

x>0

ist

R2 (x) < 0

und somit

eâ&#x2C6;&#x2019;x = P2 (x) + R2 (x) < P2 (x). FĂźr alle

x<0

ist hingegen

R2 (x) > 0

und

eâ&#x2C6;&#x2019;x = P2 (x) + R2 (x) > P2 (x). Die erste Aussage ist daher richtig, die beiden anderen Aussagen sind falsch.

2. Teil

Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem (LGS)

Ax = 0,

wobei

! 0 1 0 2 . 1 â&#x2C6;&#x2019;3 4 2

A=

Untersuchen Sie, ob gewisse Mengen von Vektoren eine Basis bzw. ein Erzeugendensystem der LĂśsungsmenge

L

des homogenen LGS

      4 â&#x2C6;&#x2019;4            2   0      X =  ,  ,   1 1            â&#x2C6;&#x2019;1 0 

Ax = 0

sind. Gegeben sind

       4 8 0              2   2   2        Y =  , ,  .     1   0   2       â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 

Kreuzen Sie an, ob die betreende Aussage wahr oder falsch ist.

wahr

X

ist eine Basis von

Y

ist ein Erzeugendensystem von

Y \X

n

L.

ist eine Basis von



L.

o

Hinweis: Y \X = y | y â&#x2C6;&#x2C6; Y und y â&#x2C6;&#x2C6;/ X. . -134-

L.

 

falsch


Prüfung 2011: Lösungen

uniseminar.ch

d) Unter Anwendung der Cramerschen Regel lauten die beiden Lösungen:

x1 =

α b β c det(A)

=

αc − βb ac − b2

x2 =

a α b β det(A)

=

aβ − bα ac − b2

(∗) unendlich viele (a, b, c, α, β) = (1, 2, 4, 3, 6).

e) Beispiele für 5-Tupel, für welche das lineare Gleichungssystem Lösungen hat, sind

(a, b, c, α, β) = (1, 0, 0, 1, 0)

oder

Damit unendlich viele Lösungen vorliegen, müssen die beiden Zeilen des Systems linear abhängig sein, d.h.

(b, c, β)

muss ein Vielfaches von

(a, b, α)

sein.

Aufgabe 4 (20 Punkte) 1. Teil

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems

x 1 + x2 x3 + 2x4 + 2x5 x4 + x5

= 2 = 2 = 2

.

Lösung: Zieht man zweimal die letzte Gleichung von der zweiten Gleichung ab, so erhält man das System

x1 + x2 x3 x4 + x5 Setzt man nun

x2 = s

und

x5 = t,

= 2 = −2 = 2

.

so erhält man die allgemeine Lösung:

     0 2 −1       0 1 0            x= −2 + s  0  + t  0  ,       0 −1 2 1 0 0 

s, t ∈ R.

Das ist im vorliegenden Fall nicht die einzige richtige Lösung, z.B. könnte einer der beiden Richtungsvektoren durch ein Vielfaches seiner selbst ersetzt werden.

2. Teil

-139-


Extras

E


Formeln Mathematik II Assessment

Z端rich, Februar 2013


Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegende Formeln

1

1.1

Quadratische Gleichung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Potenzieren, Wurzelziehen

1.3

Logarithmen und Exponentialfunktion

1.4

Ableitung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4.1

Ableitung wichtiger Funktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4.2

Ableitungsregeln

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4.3

Extremalstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 Spezische Formeln Mathematik II 2.1

1

Integralrechnung

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.1.1

Wichtige elementare Stammfunktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.1.2

Wichtige nicht-elementare Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.3

Eigenschaften: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.4

Partielle Integration

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.5

Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.6

Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1

Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Norm

5

2.2.3

Zwischenwinkel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.4

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.5

Erzeugendensystem und Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3.1

Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3.2

Inverse und Transponierte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3.3

Inverse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3.4

Inverse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3.5

Determinanten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3.6

Reguläre Matrizen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ă&#x2014; 2 Matrix n Ă&#x2014; n Matrix

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4.1

LĂśsbarkeitskriterium

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4.2

Gauss'scher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4.3

Cramer'sche Regel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4.4

Allgemeine Form der LĂśsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Denitheit von symmetrischen, quadratischen Matrizen . . . . . . . . . . . . . .

12

2.5.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Bestimmung der Denitheit

Dierentiation in

n

Variablen


Formeln

uniseminar.ch

2.7

Freie Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.8

Extrema mit linearen Restriktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.8.1

Parameterform

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.8.2

Lagrangemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15


Formeln

uniseminar.ch

2.1.2 Wichtige nicht-elementare Stammfunktionen R

f (x)

f (x)dx = F(x) + C 1 x a ln a

ax

+C

1 cos2 x

tan x + C

xex

(x − 1)ex + C

x2 2

x ln x

ln x −

x2 4

+C

x sin x

sin x − x cos x + C

x cos x

cos x + x sin x + C

2.1.3 Eigenschaften: -

R

c · f (x) dx = c ·

-

R

(f (x) + g(x)) dx =

-

-

R

für

f (x) dx +

R

c∈R

g(x) dx

f (x)dx gibt die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion a zwischen den Integrationsgrenzen a und b an.

Rb Rb a

-

f (x) dx

Rb

a

-

R

Rb a

f (x) dx =

Rc

f (x) dx +

a

f (x) dx = −

Rb

f (x) dx

c

Ra

f (x) dx

b

f (x) dx = F (b) − F (a)

wobei

d F (x) dx

-4-

= f (x)

f (x)

und der

x-Achse


Formeln

uniseminar.ch

2.3.5 Determinanten Dimension von A det(A) =

2×2

3×3

Matrix

Matrix

a11

a12

= !

a21

a22

a11

a12

a21

a22

a31

a32

=

?

− 

a11 =

a21

!

a31

a13

=

= a11 a22 − a21 a12

a23

! a33

a12

=

a22

! a32

?

= 

+ 

+ 

?

?

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 n×n

Matrix

a11 |A11 | − a12 |A12 | + a13 |A13 | − . . . (−1)n+1 a1n |A1n | −a12 |A12 | + a22 |A22 | − a32 |A32 | + . . . + (−1)n an2 |An2 |

Entw. nach 1. Zeile Entw. nach 2. Spalte

wobei

Aij =

 A mit

i-ter

Zeile und

j -ter

Spalte gestrichen.

Es gelten folgende Rechenregeln:

det(AB) det(A−1 )

=

det(A) · det(B)

=

1 det(A)

det(AT )

=

det(A)

Beachte folgende wichtige Eigenschaft der Determinante:

Die Inverse

A−1

einer Matrix

A

exisitiert, genau dann wenn

-9-

det(A) 6= 0.


Formeln

uniseminar.ch

2.3.6 Reguläre Matrizen An×n

An×n

regulär

⇔ rg(A) = n

⇔ A−1

singulär

⇔ rg(A) < n

existiert

⇔ A−1

⇔ det(A) 6= 0

existiert nicht

⇔ det(A) = 0

2.4 Lineare Gleichungssysteme A·x=b

2.4.1 Lösbarkeitskriterium 1. rg(A|b) 6= rg(A)

Keine Lösung

2. rg(A|b) = rg(A) und

 rg(A) = n 1 Lösung rg(A) < n ∞ viele Lösungen

mit

(n − rg(A))

Parametern

2.4.2 Gauss'scher Algorithmus 1. Aufschreiben der Matrix 2. Umformen der Matrix 3. Auösen der Matrix

(A|b)

(A|b)

(A|b)

Erlaubte Umformungen: - Eine Zeile mit einer beliebigen Zahl

6= 0

multiplizieren

- Beliebiges Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren oder subtrahieren

-10-


Formeln

uniseminar.ch

- Zeilen vertauschen - Spalten tauschen, aber nur, wenn auch die Variablen entsprechend vertauscht werden.

2.4.3 Cramer'sche Regel Kann angewendet werden, falls

j te

Spalte der Matrix

?

xj =

 a11 · · ·    a21 · · · 

b1 · · · b2 · · ·

···

bn · · ·

det .  .  .   an1

A

quadratisch (dim(A)

A

durch

b

= n × n)

und

det(A) 6= 0:

ersetzen

a1n    a2n  

. . .

. . .

ann

    

det(A)

2.4.4 Allgemeine Form der Lösung Im Fall unendlich vieler Lösungen hat das System die explizite Form

1 0 ···   0 1 ···   .. ..  . .   0 ··· ···  0 ··· ···

0 0 0 0 . . .

. . .

a1,r+1 a2,r+1

··· ···

a1,n a2,n

. . .

. . .

1 0 ar−1,r+1 · · · 0 1 ar,r+1 · · ·

ar−1,n ar,n

 x1     x2      b  .  1   ..        b2   x      r−1   ..  · =        xr   .     b   x   r−1   r+1   .  br  ..    xn

Die Lösung lautet:

     b1 −a1,r+1 −a1,n x1          b2   −a2,r+1   −a2,n   x2        .    .     ..  .  ..   ..     .  .  .          br−1  −ar−1,r+1  −ar−1,n  x         r−1          =  br  + t1  −ar,r+1  + ... + tn−r  −ar,n  .  xr           0     0  1 x         r+1        0  .   0     0   ..   .     .  .    .     ..  . .      .  xn 0 0 1 

-11-


Notizen Mathematik II Assessmentstufe, 2. Semester 2012

Z체rich, M채rz 2012


Notizen

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