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UNISEMINAR


Mathematik I

Z端rich, September 2012


Mathematik I

Herzlich Willkommen bei Uniseminar! Wir freuen uns, dass Du Dich fßr ein Karteikartenset von Uniseminar entschieden hast. Diese Karten decken in Kombination mit unserem Ordner den gesamten prßfungsrelevanten Sto ab und helfen Dir Themen, Begrie und Zusammenhänge in Mathematik I prßfungsorientiert zu festigen. Lerne gleichzeitig mit dem Ordner und den Karteikarten von Uniseminar um optimal auf die Prßfungen vorbereitet zu sein! Wir wßnschen Dir eine eziente Prßfungsvorbereitung und viel Erfolg bei Deiner Prßfung.

Dein Uniseminar-Team


Mathematik I

1. Einleitung 2. Grundlagen 3. Folgen und Reihen 4. Funktionen 5. Ableitungen 6. Funktionen in mehreren Variablen 7. Notizen

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Mathematik I

Wer ist Uniseminar?

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Über Uniseminar

• Uniseminar bietet seit nunmehr 5 Jahren Seminare und Lernunterlagen zur effizienten Prüfungsvorbereitung an diversen europäischen Universitäten an. Unser Ziel ist es Deine Prüfungsvorbereitung einfacher, effizienter und verständlicher zu gestalten. • Unser Team besteht aus zahlreichen Doktoranden der besten Universitäten Europas, die allesamt grosse didaktische und fachspezifische Erfahrung mit sich bringen. • Wir alle haben grosse Freude am Unterrichten und wollen Dir auf angenehme Weise die Unterrichtsinhalte näher bringen, sodass Lernen auf einmal Spass macht!

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Mathematik I

Wie kannst Du eine gute Note bei Deiner Pr端fung erzielen?

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Prüfungsvorbereitung Gehe wie folgt vor: 1. Ordner & Karteikarten: Besorge Dir die einfach strukturierten und umfangreichen Unterlagen von Uniseminar. Arbeite parallel mit dem Ordner und den perfekt darauf abgestimmten Karteikarten. 2. Lernen: Lese alle Theoriekapitel des Uniseminar Ordners aufmerksam durch, wage Dich anschliessend an die Karteikarten und löse danach alle Aufgaben und Prüfungen. 3. Seminar: Besuche am Ende des Semester das 8-stündige Seminar von Uniseminar und runde Dein prüfungsspezifisches Wissen ideal ab. Diese Seminare werden von didaktisch kompetenten Doktoranden mit langjähriger Unterrichtserfahrung geleitet, die Dir gezielt bei Deinen Problembereichen helfen.

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Mathematik I

Kapitel 2 Grundlagen

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Mathematik I S. 2 Grundlagen

• Rechenregeln: 15 - 16 • Gleichungen: 17 - 18 • Ungleichungen: 19 - 21

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Mathematik I Kapitel 2.3: Ungleichungen

Welche Fälle muss man bei der Ungleichung |x − 1| > 1 unterscheiden ? 4x − 8 - Beispiel -

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Ungleichungen S. 6 Beispiel Ungleichungen

Die Ungleichung 1. 2. 3. 4.

x≥1 x≥1 x<1 x<1

und und und und

|x−1| 4x−8

> 1 führt auf folgende 4 Fälle:

4x − 8 > 0 4x − 8 < 0 4x − 8 > 0 4x − 8 < 0

Ausserdem muss x 6= 2 gelten, da sonst durch 0 dividiert wird!

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Mathematik I Kapitel 4.5: Monotonie

Wann ist eine Funktion f (x) (streng) monoton steigend / fallend? - Definition -

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Monotonie S. 27 Definition Monotonie

• (Streng) monoton wachsend in D, falls f (x1 ) ≤ f (x2 ) (respektive f (x1 ) < f (x2 )) für alle x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2 . Dies ist gleichbedeutend mit f (x2 ) − f (x1 ) ≥ 0 (respektive f (x2 ) − f (x1 ) > 0). • (Streng) monoton fallend in D, falls f (x1 ) ≥ f (x2 ) (respektive f (x1 ) > f (x2 )) für alle x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2 . Dies ist gleichbedeutend mit f (x2 ) − f (x1 ) ≤ 0 (respektive f (x2 ) − f (x1 ) < 0).

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Mathematik I Kapitel 4.5: Monotonie

Wie weise ich Monotonie nach? - Rechengesetz -

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Monotonie S. 27 Nachweis Monotonie

Falls für alle x im Definitionsbereich gilt: 0

• f (x) ≥ 0 bzw. (f 0 (x) > 0): (streng) monoton steigend. • f 0 (x) ≤ 0 bzw. (f 0 (x) < 0): (streng) monoton fallend. Um zu zeigen, dass eine Funktion nicht monoton ist, genügt es ein Gegenbeispiel zu finden, also zwei x-Werte für welche die Funktion strikt wächst und zwei x-Werte für die die Funktion strikt fällt.

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Mathematik I Kapitel 4.8: Wichtige Funktionen

Wie sind die trigonometrischen Funktionen sin und cos definiert (Bild)? - Definition -

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Wichtige Funktionen S. 31 Definition Sinus/Cosinus

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Mathematik I Kapitel 5.2: Ableitungsregeln

Kettenregel f端r Ableitungen: (f (g(x)))0 = ? - Rechengesetz -

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Ableitungsregeln S. 51 Rechengesetz Ableitungen

(f (g(x)))0 = f 0(g(x)) · g 0(x) Dies bedeutet: "Äussere Ableitung mal innere Ableitung"

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Mathematik I Kapitel 6.6: Konvexität und Konkavität

Sind die Funktionen f1 (x, y) = ex+y , f2 (x, y) = ex−y und f3 (x, y) = −ex+y konvex oder konkav? - Beispiel -

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Konvexität und Konkavität S. 81 Beispiel konvex/konkav

« ex+y ex+y . ex+y ≥ 0, ex+y ex+y ex+y ex+y − ex+y ex+y = 0. Also konvex. „ x−y « e −ex−y f2 : Hesse ∇2 f2 = . ex+y ≥ 0, x−y x−y −e e ex+y ex+y − ex+y ex+y = 0. Also konvex. f1 : Hesse ∇2 f1 =

f3 : konkav, da −f3 = f1 konvex.

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Mathematik I Kapitel 6.7: Implizite Funktionen

Wie bestimmt man eine implizite Funktion aus einer Gleichung mit zwei Variablen x, y â&#x2C6;&#x2C6; R? - Rechengesetz -

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Implizite Funktionen S. 84 Rechengesetz implizite Differentiation

Sei eine Gleichung mit zwei Variablen x, y â&#x2C6;&#x2C6; R gegeben. 1. Bestimme g(x, y) durch Umformen der Gleichung, sodass g(x, y) = 0. 2. Stelle sicher, dass y = h(x) eingesetzt in g(x, y) 0 ergibt, in einer Umgebung um (x, y). 3. Versichere, dass sich die Gleichung g(x, y) = 0 lokal um den Punkt (x, y) eindeutig nach y auflĂśsen lässt.

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Mathematik I Kapitel 6.7: Implizite Funktionen

Wie berechnet man die Steigung m der impliziten Funktion f (x, y) = z0 im Punkt (x0 , y0 ) ? - Rechengesetz -

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Implizite Funktionen S. 84 Rechengesetz implizite Differentiation

fx m = â&#x2C6;&#x2019; |(x0,y0) fy

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Mathematik I Kapitel 6.8: Relative Extrema ohne Nebenbedingungen

Wie bestimme ich relative Extrema einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion in 2 Variablen? - Rechengesetz -

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Relative Extrema ohne Nebenbedingungen S. 86 Bestimmung relativer Extrema

1. Berechne (x0 , y0 ) mit fx (x0 , y0 ) = 0 und fy (x0 , y0 ) = 0. 2. Berechne ∇2 f : (a) Falls det(∇2 f (x0 , y0 )) > 0 ⇒ rel. Extremum. i. Falls fxx (x0 , y0 ) > 0: relatives Minimum. ii. Falls fxx (x0 , y0 ) < 0: relatives Maximum. (b) Falls det(∇2 f (x0 , y0 )) < 0: Sattelpunkt. (c) Falls det(∇2 f (x0 , y0 )) = 0: keine Aussage möglich.

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Mathematik I Kapitel 6.8: Relative Extrema ohne Nebenbedingungen

Wie bestimme ich Extrema bei konvexen und konkaven Funktionen in 2 Variablen? - Rechengesetz -

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Relative Extrema ohne Nebenbedingungen S. 86 Extrema konvexe Funktionen in 2 Variablen

Sei f : R2 → R eine konvexe stetig differenzierbare Funktion und g = −f eine konkave stetig differenzierbare Funktion. Dann: 1. f besitzt in (x0 , y0 ) ein globales Minimum ⇔ ∇f (x0 , y0 ) = 0, 2. g besitzt in (x0 , y0 ) ein globales Maximum ⇔ ∇f (x0 , y0 ) = 0. Konvexe Funktionen → stationäre Punkte genügen zur Entscheidung Mininum / Maximum.

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Mathematik I Kapitel 6.8: Relative Extrema ohne Nebenbedingungen

Wie sieht die Problemstellung bei Extrema mit Nebenbedingungen aus? Nenne ein Beispiel. - Definition -

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Relative Extrema ohne Nebenbedingungen S. 86 Extrema mit Nebenbedingung

min / max f (x, y)

unter der Nebenbedingung

g(x, y) = 0

Z.B.: f (x, y) = xy 2 mit Nebenbedingung g(x, y) = x + y = 0.

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Mathematik I Kapitel 6.9: Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

Wie wendet man die Reduktionsmethode an? - Rechengesetz -

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Lokale Extrema unter Nebenbedingungen S. 88 Reduktionsmethode

Problem: (P )

min f (x, y)

u. d. NB

g(x, y) = 0.

1. Löse g(x, y) = 0 nach y auf: y = h(x). 2. Setze y = h(x) in f (x, y) ein und erhalte φ(x) = f (x, h(x)). 3. Bestimme min / max φ(x). Liefert x0 . (x0 , h(x0 )) ist lokale Minimal-/Maximalstelle von (P). Schritt 1. ist nicht immer möglich (Lagrange, Karte 171).

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Mathematik I Kapitel 6.9: Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

(P )

Bestimme das Maximum von max xy u. d. NB x + 2y = 4. - Beispiel -

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Lokale Extrema unter Nebenbedingungen S. 88 Beispiel Reduktionsmethode

1. NB auflösen: y = y = h(x) = 2 − 21 x. 2. Einsetzen: φ(x) = f (x, h(x)) = 2x − 12 x2 3. max(2x − 21 x2 ) ist x0 = 2 (φ0 (x0 ) = 0, φ00 (x0 ) = −1 < 0). (x0 , h(x0 )) = (2, 1) ist das gesuchte Maximum.

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Mathematik I Kapitel 6.9: Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

Wie verwenden wir die Methode von Lagrange? - Rechengesetz -

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Lokale Extrema unter Nebenbedingungen S. 88 Lagrange Problem: (P )

min f (x, y)

u. d. NB

g(x, y) = 0.

1. Forme ggf. NB h(x, y) = c um, so dass g(x, y) = h(x, y) − c = 0. 2. Lagrangefunktion: L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) 3. Stationäre Punkte von L: (a) Lx (x, y, λ) = fx (x, y) − λgx (x, y) = 0 (b) Ly (x, y, λ) = fy (x, y) − λgy (x, y) = 0 (c) Lλ (x, y, λ) = −gx (x, y) = 0 Dies gibt mögliche Kandidaten für Extremalstellen. Ob Maximum, Minimum oder Sattelpunkt kann mit Lagrange nicht entschieden werden.

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