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Einleitung Mathematik I Wintersemester 2012/13

M端nchen, Oktober 2012


Einleitung

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Herzlich Willkommen bei Uniseminar Vorwort/Einleitung Ziel von Uniseminar ist es, Dich optimal auf Deine Prüfungen vorzubereiten und Deine Prüfungsvorbereitung an der LMU so effizient wie möglich zu gestalten. Um dieses Ziel zu erreichen, haben wir ein zweistufiges Konzept entwickelt, das sich nun schon mehrere Jahre als große Hilfe für die Studenten bewährt hat. Um die in der Vorlesung und den Übungen behandelten Inhalte leichter verständlich zu machen, haben wir Dir eine anschauliche und ausführliche Zusammenfassung des gesamten relevanten Prüfungsstoffes erstellt. Gleich zu Beginn des Semesters bieten wir Dir unsere umfassenden und sehr hilfreichen Unterlagen an. Diese kannst Du eigenständig bearbeiten und auch in die Vorlesungen und Übungen mitnehmen! Es ist unser Ziel Dich während des gesamten Lernprozesses von der Vorlesung bis zur eigentlichen Prüfung zu begleiten und Deine Prüfungsvorbereitung effizienter und angenehmer zu gestalten. Durch unsere Hilfe werden Dir viele Steine aus dem Weg gelegt und eine große Menge an Recherche Arbeit erspart! Am Ende des Semesters bieten wir Dir prüfungsspezifische Seminare an. Diese runden Dein angeeignetes Wissen perfekt ab und erleichtern Dir mit ergänzenden Informationen, Tipps und Tricks Deinen persönlichen Lern-Endspurt! Die Seminare werden von kompetenten Doktoranden geleitet, die fachlich und didaktisch zu den Besten Ihres Fachgebietes gehören, da sie selbst Übungen leiten und Prüfungen an ihren Lehrstühlen erstellen. Dadurch wissen sie genau, wo bei den Studierenden der Schuh drückt und wie sie Dir bei Deinen persönlichen Problemfeldern und Verständnisproblemen weiterhelfen können. Lasse also Dein in den Vorlesungen und Übungen der LMU erlerntes Wissen mit unseren Unterlagen und Seminaren aufbessern und genieße eine professionelle Vorbereitungshilfe! Sie wird Deine Lernzeit maßgeblich verkürzen und Dich ideal auf Deine Prüfungen vorbereiten. Weiter ist es uns ein großes Anliegen, Dir Tipps und Tricks fürs Lernen, sowie fürs Lösen der realen Prüfung in unseren Seminaren mitzugeben.

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Über uns Uniseminar ist von zwei Studenten der Universität St. Gallen und zwei Doktoranden der ETH Zürich gegründet worden, um die Prüfungsvorbereitung einfacher, effizienter und verständlicher zu gestalten. Seit 2010 sind wir nun an der LMU München aktiv und wissen aus eigener Erfahrung wie anspruchsvoll das erste Studienjahr sein kann. Das Team von Uniseminar ist über die Jahre stark gewachsen und besteht mittlerweile unter anderem aus zahlreichen Mathematikern der ETH Zürich, der TU Berlin und der TU München, Statistikern der University of Cambridge und des Max-Plank-Institutes, sowie Volkswirtschaftler der LMU München, der Universität Bonn und der London School of Economics (LSE), die allesamt große didaktische und fachspezifische Erfahrung mit sich bringen. Alle Dozenten von Uniseminar haben langjährige Unterrichtserfahrung in ihrem Fach gesammelt und können Dich deshalb in den Seminaren optimal bei Deiner Prüfungsvorbereitung unterstützen. Die Macher von Uniseminar haben alle vor kurzem selbst noch studiert und wissen deshalb über das Studentenleben und die Prüfungsvorbereitung bestens Bescheid. Zudem haben wir alle große Freude am unterrichten und wollen Dir auf angenehme Weise die teilweise etwas komplizierte und trockene Materie so näher bringen, dass Lernen auf einmal Spass macht!

Unterlagen Sämtliche Unterlagen von Uniseminar werden ausschließlich von qualifizierten Doktoranden erstellt, die selbst im jeweiligen Fachgebiet doktorieren und damit über große Erfahrung und Expertise verfügen. Dadurch kann eine hohe didaktische Qualität der Skripte garantiert werden. Alle unsere Unterlagen werden zudem jedes Semester in enger Zusammenarbeit mit Studierenden überarbeitet, die zur Zeit die Vorlesung an der LMU vor Ort besuchen. Damit können wir Dir garantieren, dass Dir stets der aktuellste Stoff in unseren Unterlagen und Seminaren vorgelegt wird! Es wird dabei genau auf diejenigen Schwerpunkte eingegangen, welche den Prioritäten der Professoren entsprechen. Das vorliegende Skript zur Veranstaltung Mathematik I ist deshalb optimal auf die Vorlesungen und Übungen abgestimmt und enthält alle prüfungsrelevanten Materialien für Deine Prüfung an der LMU. Ebenfalls ist es seit jeher unser hartnäckig verfolgtes Ziel alle unsere Unterlagen laufend zu verbessern und perfekt an den relevanten Prüfungsstoff anzupassen. Damit ist Dir eine optimale Klausurvorbereitung garantiert! Die Aktualität der Unterlagen ist uns ein großes Anliegen: Wir wollen, dass Du genau das lernst, und wirklich nur das, was an den Prüfungen schließlich auch dran kommt. Weder zu viel noch zu wenig!

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Seminare Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Alle Dozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen Universitäten und wissen deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten können. Oberstes Ziel unserer Seminare ist es den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich und verständlich in zwei vierstündigen Seminarblöcken zu vermitteln. Zuerst werden die wichtigsten mathematischen Grundlagen und Themen der Vorlesung besprochen, um danach auf die häufigst auftretenden Aufgabentypen einzugehen und geeignete Vorgehensweisen an der Prüfung zu erklären. Während den Seminaren werden zu 30% theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und Grundkenntnisse erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu bearbeiten und effiziente Prüfungsstrategien zu besprechen. Es wird somit in den Seminaren zuerst ein theoretisches Fundament gelegt, da grundlegende theoretische Kenntnisse beim Lösen von Prüfungsaufgaben von großer Bedeutung sind. Es ist also unser Ziel nicht nur den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich zu erklären, sondern auch theoretische Kenntnisse zu vermitteln, die nötig sind, um fachliche Zusammenhänge auch wirklich zu verstehen. Theoretische Zusammenhänge erscheinen auf den ersten Blick komplex, dennoch sind sie bis zu einem gewissen Grade nötig um Prüfungsaufgaben selbstständig zu lösen. Wir sehen es als unsere Aufgabe Dir den nötigen Grad an theoretischem Wissen auf möglichst einfache und kompakte Weise aufzuzeigen und Dir anzueignen. Mit dem richtigen Maß an Theorie wird Dir das Lösen der Prüfungsaufgaben viel leichter fallen! In unseren Seminaren erlernst du somit einfache theoretische Grundkenntnisse, um spezifische Aufgabentypen zu lösen, die an der Prüfung mit großer Wahrscheinlichkeit erscheinen werden. Für das Seminar kannst Du Dich jederzeit unter www.lmu.uniseminar.eu anmelden.

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Aufbau Dieser Ordner soll Dir als Lernhilfe zur effizienten Prüfungsvorbereitung der Mathematikprüfungen dienen und umfasst drei Teile. Wir möchten Dir im Folgenden einen Überblick über den Aufbau des Ordners geben. 1. Seminar: Zu allen wichtigen Kapiteln in unserem Theorieskript werden wir im Seminar Aufgaben lösen. Diese kannst Du an dieser Stelle im Ordner einordnen. 2. Theorie: Das Theorieskript fasst in einfacher und übersichtlicher Form den gesamten Stoff des Wintersemester 2012/2013 zusammen und erklärt diesen anhand anschaulicher Beispiele. Am Ende findest Du ein Stichwortverzeichnis, welches Dir bei allfälligen Fragen schnellstmöglichst Zugriff auf das erforderliche Wissen verschafft. Das Theorieskript umfasst 8 Kapitel, die im Seminar der Reihe nach bearbeitet werden. 3. Übungen: Die Übungen umfassen sämtliche Aufgaben, die in der Übung besprochen wurden, ausführlich gelöst. Die Übungsaufgaben sind thematisch an die verschiedenen Kapiteln des Theorieskriptes angelehnt. Dadurch kannst Du Dich nochmal gezielt mit Deinen Problem-Kapiteln beschäftigen. 4. Prüfungen: Beginne früh damit bisherige Prüfungen zu lösen, denn nur so gewinnst Du das nötige Verständnis für deren Aufbau. Du wirst erkennen, was für die Prüfung relevant ist und kannst Dich gezielt darauf vorbereiten. Dazu haben wir Dir alle verfügbaren Klausuren mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt. Zudem haben wir einige Probeklausuren konzipiert und für Dich vorgelöst. Die darin enthaltenen Aufgaben wurden so gestellt, dass sie aus einer realen Prüfungssituation sein könnten. 5. Notizen: Hier findest Du Notizpapier, damit Du Dir Deine eigenen Ergänzungen machen kannst.

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Extras

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Theorie

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Theorie Mathematik I Wintersemester 2012/13

M端nchen, Oktober 2012


Inhaltsverzeichnis Nachhaltiger Lernerfolg in Mathematik

1

1 Grundlagen 1.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4 5

2 Mengen 2.1 Elemente von Mengen . . . 2.2 Teilmengen von Mengen . . 2.3 Potenzmengen von Mengen . 2.4 Mengenoperationen . . . . . 2.5 Rechenregeln f체r Mengen . . 2.6 Intervalle . . . . . . . . . . .

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10 10 10 11 11 12 13

3 Vollst채ndige Induktion

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4 Folgen und Reihen 4.1 Reele Zahlenfolgen . . . 4.1.1 Eigenschaften von 4.1.2 Spezielle Folgen . 4.2 Reihen . . . . . . . . . . 4.3 Differenzengleichungen .

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16 16 17 19 21 21

5 Vektoren und Vektorr채ume 5.1 Reeller Vektorraum . . . . . . . . . . . . 5.2 Lineare Unabh채ngigkeit von Vektoren . . 5.3 Erzeugendensystem und Basis . . . . . . 5.4 Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . 5.6 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . 5.7 Operationen mit Matrizen und Vektoren 5.7.1 Transponieren einer Matrix . . . 5.7.2 Addition von Matrizen . . . . . . 5.7.3 Skalarmultiplikation einer Matrix 5.7.4 Matrixmultiplikation . . . . . . . 5.8 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Skalarprodukt und Norm . . . . . . . . . 5.11 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . .

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23 23 24 26 27 28 29 30 30 31 31 32 34 36 36 38 38

6 Funktionen in einer Variablen 6.1 Definitionsbereich, Wertebereich . . . . 6.2 Wichtige Eigenschaften von Funktionen 6.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . 6.4 Komposition von Funktionen . . . . . .

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40 40 41 42 46

. . . . . Folgen . . . . . . . . . . . . . . . .

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6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

Stetigkeit . . . . . Differenzierbarkeit Monotonie . . . . . Extrema . . . . . . Elastizität . . . . . Taylorreihen . . . .

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46 48 50 51 57 58

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61 62 63 65 67 67 67 69

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71 71 74 76 77

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79 79 80 80 83

10 Lineare Gleichungssysteme und Gauss-Algorithmus 10.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 LĂśsbarkeit linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Gauss-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 84 85 86

11 Lineare Programmierung

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7 Funktionen in mehreren Variablen 7.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . 7.2 Totale Differenzierbarkeit . . . . . 7.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . 7.4 Gradient . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Hessematrix . . . . . . . . . . . . 7.6 Extrema . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Homogene Funktionen . . . . . . 8 Extrema unter Nebenbedingungen 8.1 Implizite Funktionen . . . . . . . 8.2 Tangentialverfahren . . . . . . . . 8.3 Substitutionsmethode . . . . . . . 8.4 Methode von Lagrange . . . . . . 9 Integralrechnung 9.1 Bestimmtes Integral . . . . 9.2 Eigenschaften . . . . . . . 9.3 Uneigentliche Integrale . . 9.4 Hauptsatz der Differential-

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . und Integralrechnung .

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12 Finanzmathematik 100 12.1 Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 12.2 Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 13 Wirtschaftswissenschaftliche Funktionen 13.1 Angebots- und Nachfragefunktion . . . . 13.2 Produktionsfunktion . . . . . . . . . . . 13.3 Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Umsatzfunktion . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Gewinnfunktion . . . . . . . . . . . . . . Stichwortverzeichnis

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109 109 110 111 112 112 113


Theorie: Grundlagen

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Grundlagen

Damit wir so richtig loslegen können, müssen zuerst mal die absoluten Basics sitzen. Hier eine kurze Zusammenfassung über das, was du nie vergessen sollst.

1.1

Rechenregeln

Zeichen

Bedeutung

{−3, 5}

Menge der Zahlen -3 und 5

(−3, 5)

offenes Intervall von -3 bis 5, ohne -3 und 5

[−3, 5]

geschlossenes Intervall von -3 bis 5, inkl. -3 und 5

(−3, 5]

halboffenes Intervall von -3 bis 5, ohne -3 und inkl. 5

N, R

Menge der natürlichen Zahlen, Menge der reellen Zahlen

R+ , R+ 0

Menge der positiven reellen Zahlen ohne 0 bzw. inkl. 0

{x ∈ R | x gerade}

Menge der x, Element von (∈) R, so dass (|) x gerade

A∪B

Menge A vereinigt mit Menge B

A∩B

Menge A geschnitten mit Menge B

A\B

Menge A ohne Menge B

A∧B

Aussage A und Aussage B, wahr genau dann wenn A und B wahr sind

A∨B

Aussage A oder Aussage B, wahr genau dann wenn A oder B wahr sind

¬A

nicht A, wahr genau dann wenn A falsch ist

A⇒B

aus A folgt B

A⇔B

A ist äquivalent zu B

. =

soll gleich sein

f ◦g

Verknüpfung f (g(x)), im Vergleich zu f · g = f (x) · g(x)

n P k=1 n Q

ak

a1 + a2 + a3 + . . . + an

ak

a1 · a2 · a3 · . . . · an

Summe von a1 bis an

Produkt von a1 bis an

k=1

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Theorie: Grundlagen

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Beispiel. [−3, 5] ∪ [5, 8] = [−3, 8],

{x ∈ R | 0 < x < 6} = (0, 6)

Bruchrechnen

Erweitern:

a a·c = b b·c

Addieren:

a·d c·b a·d+c·b a c + = + = b d b·d d·b b·d

Multiplizieren:

a·c a c · = b d b·d

Doppelbrüche:

a b c d

Nicht vergessen zu kürzen!

=

a·d a d · = b c b·c

Potenzieren, Wurzelziehen Potenzieren • Definition: an = a . . · a} | · .{z n−mal

• Spezialfälle: a0 = 1, a1 = a; 0k = 0 für k > 0, 1k = 1 • Multiplikation: ak · al = ak+l • Division:

ak al

• Kehrwert:

= ak−l

1 ak

=

a0 ak

= a−k

• Potenzieren von Potenzen: (ak )l = ak·l • Ausklammern: ak · bk = (a · b)k Wurzelziehen √ 1 1 a = a n , insbesondere a = a 2 √ √ √ • Zusammenfassen von Wurzeln: n a · n b = n a · b √ m • Potenzen und Wurzeln: n am = a n

• Wurzelziehen:

√ n

• Rechnen mit Wurzeln: Wurzeln als Potenzen ausdrücken, dann Potenzregeln anwenden -2-


Theorie: Grundlagen

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Beispiel. q

√ 3 22 · 27 · 9 =

q

√ 3

p 2 3 22 · 33 · 32 = 2 3 · 3 3 · 32 p 2 p 2 2 3 2 3 · 31 · 32 = 2 3 · 33 = 2 3·2 · 3 2 = √ √ 1 3 3 = 23 · 32 = 2 · 3 · 3

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Theorie: Mengen

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Mengen

Um Mathematik betreiben zu können, ist es unumgänglich, den Begriff der Menge zu verwenden. Grob gesprochen ist eine Menge eine (eventuell hypothetische) Ansammlung von (eventuell hypothetischen) Dingen, die man voneinander unterscheiden kann. Beispielsweise bilden die Teilnehmer dieses Kurses eine sehr konkrete Menge, die Menge aller Funktionen ist hingegen recht hypothetisch, da diese schwer vorstellbar und nicht greifbar ist. Die Dinge, die man in einer Menge zusammengefasst hat, heissen Elemente der Menge. Die Aufzählung der Elemente einer Menge wird in geschweiften Klammern {. . .} vorgenommen. Beispielsweise ist die Menge W aller Wochentage gleich W = {Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag}. Für später führen wir an dieser Stelle noch die beiden Mengen W1 und W2 ein: W1 = {Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag} W2 = {Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag}. Andererseits können die Elemente einer Menge auch durch ihre Eigenschaft(en) beschrieben werden, wobei die Beschreibung der Elemente e einer Menge nach einem senkrechten Strich | oder einem Doppelpunkt : erfolgt. Wir entscheiden uns für die erste Variante. In unserem Beispiel der Wochentage könnten wir einfach schreiben W = {w | w ist ein Wochentag}. Mengen werden wir üblicherweise mit lateinischen Grossbuchstaben (A, B, C, . . .) bezeichnen.

2.1

Elemente von Mengen

Um von den Elementen in einer Menge sprechen zu können, benötigen wir das Symbol ∈. Beispielsweise bedeutet die Symbolkette Montag ∈ W, dass der Montag ein Wochentag ist bzw. dass der Montag zur Menge der Wochentage gehört. Man sagt dann auch, dass der Montag ein Element der Wochentage ist. Wir können abkürzend beispielsweise n ∈ N oder x ∈ N schreiben, wenn wir ausdrücken wollen, dass n oder x eine natürliche Zahl ist. Wollen wir hingegen schreiben, dass x keine natürliche Zahl sein soll, so verwenden wir das Symbol ∈. / Beispielsweise ist 0.5 ∈ / N.

2.2

Teilmengen von Mengen

Ein weiteres wichtiges Symbol ist ⊂ oder ⊆, was ausgesprochen ”ist Teilmenge von” heisst. Beispielsweise ist N ⊂ N0 oder W1 ⊂ W . Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, falls alle Elemnte aus A auch in B enthalten sind. Bemerkung. Die leere Menge ∅, d.h. die Menge, welche kein Element besitzt, ist Teilmenge jeder Menge. Für alle Mengen M ist somit ∅ ⊂ M immer richtig!

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Theorie: Mengen

2.3

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Potenzmengen von Mengen

Sei A eine beliebige Menge, dann heißt die Menge aller Teilmengen von A Potenzmenge von A. Sie wird mit ℘(A) bezeichnet. Beachte, dass die Potenzmenge eine Menge von Mengen ist. D.h. Elemente der Potenzmenge sind wieder Mengen. Falls A aus n ∈ N (endlich vielen) Elementen besteht, so gilt, dass ℘(A) aus 2n Elementen besteht.

2.4

Mengenoperationen

Es ist oftmals sehr nützlich, mit Mengen gewisse Operationen anzustellen, um umgangssprachliche Sachverhalte mathematisch korrekt und kurz ausdrücken zu können. In den folgenden Bildern (Venn-Diagrammen) sei die linke Menge jeweils A, die Rechte sei B. Als begleitendes Beispiel verwenden wir die auf der Seite 10 eingeführten Mengen W , W1 und W2 der Wochentage. Die wichtigen Operationen für zwei Mengen A und B sind: • Schnittmenge: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}, d.h. die Menge aller x, die sowohl in A als auch in B liegen. Hierbei bedeutet ∧ die mathematische Abkürzung für das logische UND.

A

B

A

B

Scheiden wir die Mengen W1 mit W2 , so erhalten wir die Menge W1 ∩ W2 = {Donnerstag, Freitag}.

• Vereinigungsmenge: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}, d.h. die Menge aller x, die in A oder B (oder in beiden gemeinsam) liegen. Hierbei bedeutet ∨ die mathematische Abkürzung für das logische ODER. Bilden wir die Vereinigung von W1 und W2 , so ergibt sich die Menge W1 ∪W2 = {Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag}.

• Differenzmenge: A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ / B} = A ∩ B, d.h. die Menge aller x, die zu A aber nicht zu B gehören. Die Differenzmengen von W1 und W2 lauten W1 \ W2 = {Dienstag, Mittwoch} W2 \ W1 = {Samstag, Sonntag}.

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A

B


Theorie: Mengen

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G

• Komplementmenge: A = {x ∈ G | x ∈ / A},

A

B

d.h. die Menge aller x, die nicht zu A gehören. Hierbei muss noch eine Grundmenge G gegeben sein, zu der A gehört. In unserem Beispiel der Wochentage sei W die Grundmenge. W1 und W2 sind dann die Mengen W1 = W \ W1 = {Montag, Samstag, Sonntag} W2 = W \ W2 = {Montag, Dienstag, Mittwoch}. • kartesisches Produkt: A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}, d.h. die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a zu A und b zu B gehört.

Beispiel. Wir betrachten die Mengen A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {2, 4}, und nehmen als Grundmenge die natürlichen Zahlen N an. Dann ist A∩B A∪B A B A\B B\A A×B ℘(B)

2.5

= = = = = = = =

{2, 4} {1, 2, 3, 4, 5} {6, 7, 8, 9, . . .} {1, 3, 5, 6, 7, . . .} {1, 3, 5} ∅ {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4), (5, 2), (5, 4)} {∅, {2}, {4}, {2, 4}}.

Rechenregeln für Mengen

Seien A, B, C beliebige Teilmengen von X, dann gilt: 1. A = A -12-


Theorie: Funktionen in mehreren Variablen

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Funktionen in mehreren Variablen

Wir betrachten nun Funktionen f : Rn → R, die von n ∈ N Variablen x1 , x2 , . . . , xn abhängig sind und die in die reellen Zahlen abbilden. Beschränken wir uns zunächst auf den Fall n = 2, so können wir die Funktionen im 3dimensionalen Raum darstellen. Neben den x1 und x2 –Richtungen in der Ebene existiert eine z-Richtung, gegeben durch f (x1 , x2 ) = z. Also ordnet die Funktion f jedem Paar (x1 , x2 ) in der Ebene einen Wert in der Höhe z zu. Durch die Punkte (x1 , x2 , f (x1 , x2 )) entsteht ein ”Gebirge” über der x1 x2 -Ebene. Oftmals schreiben wir x, y anstatt x1 , x2 .

Ein Beispiel für ein solches ”Gebirge”

Wir erläutern zunächst allgemein den Begriff der reellwertigen Funktion in mehreren Variablen.

Was ist eine reellwertige Funktion in mehreren Variablen? Sei D eine Teilmenge des Rn , für n ≥ 2 dann heisst f : D → R,

(x1 , ..., x2 ) 7→ f (x1 , ..., x2 )

reellwertige Funktion in mehreren (n) Variablen. Die Funktion heißt reellwertig, da der Wertebereich R ist (und nicht Rm , m > 1). Andernfalls spricht man von einer vektorwertigen Funktion in mehreren Variablen.

-61-


Theorie: Funktionen in mehreren Variablen

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Wie wir in dem einführenden Beispiel sehen, ist es sehr schwierig Funktionen in mehreren Variablen zu zeichnen oder sich vorzustellen. Als Hilfsmittel führen wir die Isoquanten oder auch Niveaulinien bzw. Höhenlinien ein. Punkte, die in dem “Gebirge” die gleiche Höhe aufweisen, werden mit einer sogenanten Isoquante (Höhenlinie) verbunden. Hierdurch ist es möglich ein 3-dimensionales Gebirge im bekannten x, y-Achsensystem darzustellen. Die Niveaulinien von f (x, y) sind die Kurven in der xy-Ebene, die durch f (x, y) = z0 fest gegeben sind. Man schneidet also das Gebirge auf der Höhe z0 mit der xy-Ebene.

Die Niveaulinien eines ”Gebirges” auf die xy-Ebene projiziert.

Die Isoquanten, Isobaren und Indifferenzkurven der Ökonomie sind nichts anderes als Niveaulinien. Man hat eine Funktion in zwei Variablen und nimmt diese als konstant an (Iso...).

7.1

Partielle Ableitungen

Hängt eine Funktion von mehreren Variablen x und y ab, dann können partielle Ableitungen gebildet werden. Dabei werden die Variablen, nach welchen gerade nicht abgeleitet wird, wie Konstanten behandelt.

-62-


Theorie: Funktionen in mehreren Variablen

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Wie schreibe ich partielle Ableitungen? Sei f : R2 → R (x, y) 7→ f (x, y). Dann ist die erste Ableitung nach x bzw. y: ∂f (x, y) = fx (x, y), ∂x

∂f (x, y) = fy (x, y) ∂y

Für die zweiten Ableitungen können wir die erste Ableitung nochmals nach x bzw. y differenzieren, wodurch wir insgesamt vier zweite Ableitungen erhalten, nämlich ∂ 2f (x, y) = fxx (x, y), ∂x2 ∂ 2f (x, y) = fxy (x, y), ∂x∂y

∂ 2f (x, y) = fyy (x, y) ∂y 2 ∂ 2f (x, y) = fyx (x, y) ∂y∂x

Der Satz von Schwarz stellt sicher, dass die gemischten Ableitungen fxy und fyx identisch sind, falls die zweite Ableitung stetig ist. Im Allgemeinen werden wir fast immer mit diesem Fall zu tun zu haben.

Beispiel. Sei f (x, y) = x3 + xy 2 . • Die partielle Ableitung nach x ist die Steigung von f in x-Richtung: ∂f (x, y) = fx (x, y) = 3x2 + y 2 ∂x • Die partielle Ableitung nach y ist die Steigung von f in y-Richtung: ∂f (x, y) = fy (x, y) = 2xy ∂y Die Ableitungen zweiter Ordnung sind: fxx (x, y) = 6x

7.2

fyy (x, y) = 2x

fxy (x, y) = fyx (x, y) = 2y

Totale Differenzierbarkeit

Da nicht alle partiell differenzierbaren Funktionen mit mehreren Variablen stetig sind, keine Knicke haben und lokal durch Tangentialebenen approximiert werden können, benötigen wir einen stärkeren Begriff, der dies gewährleistet.

-63-


Stichwortverzeichnis

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Stichwortverzeichnis Abbildung, linear, 28 Abbildungen, lineare, 28 abgeschlossenes Intervall, 13 Abhängigkeit, lineare, 24 Ableitungsregeln, 49 Addition Matrizen, 31 Adjunkte, 36 Anfangswert, 100 Angebotsfunktion, 109 Annuität, 104 arithmetische Folge, 19 Aufzinsungsfaktor, 101 Basis, 26 Basisvariablen, 91 beschränkt, 18 Bestimmtes Integral, 79 bijektiv, 41 Bild, 40 Bildbereich, 40 Bruchrechnen, 2 Definitionsbereich, 40 Determinante, 34 Diagonalmatrix, 29 Differenzengleichungen, 21 Differenzenquotient, 48 Differenzmenge, 11 Dimension, 26 divergente Folge, 18 Dreiecksmatrix, 29 Durchschnittsertragsfunktion, 110 Durchschnittskostenfunktion, 111 Ebenen, 28 effektiver Zinssatz, 102 einheitselastischer, 58 Einheitsmatrix, 29 elastischer, 58 Elastizität, 57 Elemente, 10 endlichen Folge, 16 Endwert, 100 erweiterte Koeffizientenmatrix, 85 Erzeugendensystem, 26 euklidische Abstand, 37

euklidische Norm, 37 explizite Folge, 17 expliziten Darstellung, 17 Extrema, 51 Fixe Kosten, 111 Folgeglieder, 16 Funktion in mehreren (n) Variablen, 61 Funktion in zwei Variablen, 61 Gauss Algorithmus, Operationen, 88 Gauss-Algorithmus, 86 geometrische Folge, 20 Gerade, 28 Gewinnfunktion, 112 Gleichungen, 4 globale Extrema, 52 Gradient, 67 Grenzertragsfunktion, 110 Grenzkostenfunktion, 112 Grenzzinssatz, 104 Häufungspunkt, 18 Höhenlinien, 62 halboffenes Intervall, 13 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, 83 Hessematrix, 67 Homogene Funktion, 69 homogene Funktion, 69 homogenen Differenzengleichungen, 22 homogenes lineares Gleichungssystem, 85 Homogenitätsgrad, 69 Hyperebene, 28 implizite Funktionen, 71 Induktionsanfang, 14 Induktionsschritt, 14 Induktionsvoraussetzung, 14 inhomogenen Differenzengleichungen, 22 inhomogenes lineares Gleichungssystem, 85 injektiv, 41 Integral, 79 Integral, bestimmtes, 79 Integral, Eigenschaften, 80 Integral, Existenz, 82 Integral, uneigentlich, 80 -113-


Stichwortverzeichnis

Integration, Hauptsatz, 83 Integrationsgrenzen, 79 Integrationskonstante, 83 integrierbare Funktion, 82 Intervalle, 13 Inverse Matrix, 36 Isoquanten, 62 jährlicher Versinzung, 100 kartesisches Produkt, 12 Kettenregel, 49 Koeffizientenmatrix, 85 Komplementmenge, 12 Komposition, 46 konstante Skalenerträge, 70 konvergente Folge, 18 kritischer Punkt, 53 Lagrange-Multiplikator, 77 Lagrangefunktion, 77 Laufzeit, 100 linear abhängig, 25 linear unabhängig, 25 lineare Abbildung, 28 Lineare Abbildungen, 28 Lineare Abhängigkeit, 24 lineare Hülle, 26 lineare Nebenbedingungen, 90 lineare Optimierungsprobleme, 90 Lineare Unabhängigkeit, 24 Lineares Gleichungssystem, 84 lineares Gleichungssystem, homogen, 85 lineares Gleichungssystem, inhomogen, 85 Linearkombination, 26 lokale Extrema, 52 marginale Funktion, 57 Matrix, 23 Matrix mal Matrix, 32 Matrix, quadratisch, 23 Matrix, Skalarmultiplikation, 31 Matrix-Form, 85 Matrixmultiplikation, 32 Matrizen, 23 Maximum, 51 Menge, 10 Mengen, Verknüpfungen, 11 Mengenoperationen, 11 Methode von Lagrange, 77

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Minimum, 51 monoton wachsend, 17 monoton fallend, 17, 50 monoton steigend, 50 monoton wachsend, 50 Nachfragefunktion, 109 Nebenbedingung, 71 negativ definit, 38 negativ semi-definit, 38 Nichtbasisvariablen , 91 Nichtnegativitätsbedingungen, 90 Niveaulinien, 62 nominelle Jahreszins, 102 Nullfolge, 18 Nullmatrix, 29 Obere Dreiecksmatrix, 29 offenes Intervall, 13 orthogonal, 37 Orthogonale Matrix, 30 Partialsumme, 21 Partielle Ableitung, 62 partielle Ableitungen, 62 Pivotspalte, 91 Pivotzeile, 91 Polynom 2. Grades, 4 positiv definit, 38 positiv semi-definit, 38 Potenzen, 2 Potenzmenge, 11 Produkteregel, 49, 66 Produktionsfunktion, 110 quadrieren, 4 Quotientenregel, 49, 66 Rückzahlung mit variabler Annuität, 107 Rang, 38 Rechenregeln, 1 Reduktionsmethode, 76 reelle Zahlenfolge, 16 Reeller Vektorraum, 23 Reihe, 21 rekursive Folge, 17 rekursiven Darstellung, 17 relative Extrema, 52 Restglied, 59 Restriktion, 71 -114-


Stichwortverzeichnis

Schlupfvariablen, 91 Schnittmenge, 11 senkrecht, 37 Simplexalgorithmus, 91 Simplextableau, 91 Skalarprodukt, 36 Skalenerträge, 70 Spaltenvektor, 23 spezielle Matrizen, 29 Stammfunktion, 83 stationärer Punkt, 53 stetig, 46 stetige Verzinsung, 104 streng monoton wachsend, 50 streng monoton fallend, 17, 50 streng monoton wachsend, 17 Substitutionsmethode, 76 surjektiv, 41

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vollständige Induktion, 14 Wertebereich, 40 Wurzel, 2 Zeilenvektor, 23 Zielfunktion, 71, 90 Zielfunktionszeile, 91 Zinssatz, 100 Zinszahlung, 104

Tangentialverfahren, 74 Taylorreihe, 58 Taylorreihe , 59 Teilfolge, 17 Teilmenge, 10 Tilgung, 104 total differenzierbar, 64 Transponierte, 30 Typen von Matrizen, 29 Umkehrfunktion, 42 Umkehrfunktion, Ableitung, 49 Umsatzfunktion, 112 Unabhängigkeit, lineare, 24 Uneigentliches Integral, 80 uneigentliches Intervall, 13 unelastischer Bereich, 58 unendlich ∞, 13 Ungleichungen, 5 Untere Dreiecksmatrix, 29 unterjährigen Verzinsung, 101 Unterraum, 27 Urbild, 40 Variable Kosten, 111 Vektor, 23 Vektorraum, 23 Vektorraum, reell, 23 Vereinigungsmenge, 11 Verkettung, 46 -115-


Extras

Prüfungen

Übungen

Ü


Ă&#x153;bungen Mathematik I Wintersemester 2012/13

MĂźnchen, Oktober 2012


Inhaltsverzeichnis Blatt 1

1

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Blatt 2

13

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Blatt 3

24

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Blatt 3a

36

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Blatt 4

40

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Blatt 5

50

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Blatt 5a

67

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Blatt 6

72

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Blatt 7

90

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

Finanzmathematik

114

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


Blatt 1 - Lösungen

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Lösungen Aufgabe 1 a)

i) Induktionsanfang: n = 0

0  i X 1 i=0

2

2−

 0 1 = =1 2

1 1 =2− =2−1=1 0 2 1

Für n = 0 stimmen also beide Gleichungen überein. ii) Induktionsannahme: Wir nehmen nun an, dass die Gleichung bereits für ein beliebiges n ∈ N gilt: n  i X 1 i=0

2

=2−

1 2n

iii) Induktionsschritt: n → n + 1 Mit Hilfe der Induktionsannahme, dass die Gleichung schon für n gilt, wollen wir nun zeigen, dass sie auch für n + 1 gilt: n+1  i X 1 i=0

2

= =

n  i X 1 i=0 n  X i=0

!

2 1 2

 n+1 1 + 2

i ! +

1 2n+1

1 1 + n+1 n 2 2   2 1 =2− − 2n+1 2n+1   2−1 =2− 2n+1 1 = 2 − n+1 2

=2−

In der ersten Gleichung ziehen wir nur den letzten Summanden aus der Summe. Der entscheidende Schritt passiert aber eigentlich in der dritten Gleichung, da wir dort die Induktionsannahme von oben für die große Summenklammer einsetzen, da wir für n ja bereits angenommen haben, dass die Gleichung gilt. Der Rest ist dann einfach nur noch Bruchrechnung, um auf die Endgleichung zu kommen.

-3-


Blatt 1 - Lösungen

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iv) Die unendliche Reihe konvergiert gegen 2. Dies sieht man wie folgt: ∞  i X 1 i=0

b)

2

= lim

n  i X 1

!

2   i=0 1 = lim 2 − n n→∞ 2 1 = 2 − lim n n→∞ 2 =2−0=2 n→∞

i) Induktionsanfang: n = 1

1 X i=1

1 1 1 = = i(i + 1) 1 ∗ (1 + 1) 2 1 1 = 1+1 2

Für n = 1 stimmen also beide Gleichungen überein. ii) Induktionsannahme: Wir nehmen nun an, dass die Gleichung bereits für ein beliebiges n ∈ N gilt: n X i=1

n 1 = i(i + 1) n+1

iii) Induktionsschritt: n → n + 1 Mit Hilfe der Induktionsannahme, dass die Gleichung schon für n gilt, wollen wir

-4-


Blatt 1 - Lösungen

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nun zeigen, dass sie auch für n + 1 gilt: n+1 X i=1

1 = i(i + 1) = = = = = = =

n X i=1

1 i(i + 1)

! +

1 (n + 1)(n + 2)

n 1 + n + 1 (n + 1)(n + 2) 1 n(n + 2) + (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n(n + 2) + 1 (n + 1)(n + 2) n2 + 2n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)2 (n + 1)(n + 2) n+1 n+2 n+1 (n + 1) + 1

In der ersten Gleichung ziehen wir nur den letzten Summanden aus Der entscheidende Schritt passiert in der zweiten Gleichung, da wir duktionsannahme von oben für die große Summenklammer einsetzen. dann einfach nur noch Bruchrechnung und einmal die Anwendung der Formel, um auf die Endgleichung zu kommen. iv) Die unendliche Reihe konvergiert gegen 1. Dies sieht man wie folgt: ∞ X i=1

c)

n

X 1 1 = lim i(i + 1) n→∞ i=1 i(i + 1) n =1 = lim n→∞ n + 1

i) Induktionsanfang: n = 1

n X (2i − 1) = 2 ∗ 1 − 1 = 1 i=1

12 = 1

Für n = 1 stimmen also beide Gleichungen überein. ii) Induktionsannahme:

-5-

der Summe. dort die InDer Rest ist binomischen


Blatt 1 - Lösungen

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Wir nehmen nun an, dass die Gleichung bereits für ein beliebiges n ∈ N gilt: n X

(2i − 1) = n2

i=1

iii) Induktionsschritt: n → n + 1 Mit Hilfe der Induktionsannahme, dass die Gleichung schon für n gilt, wollen wir nun zeigen, dass sie auch für n + 1 gilt: n+1 X (2i − 1) =

n X

i=1

i=1

! (2i − 1)

+ (2(n + 1) − 1)

= n2 + (2n + 1) = (n + 1)2 In der ersten Gleichung ziehen wir wieder nur den letzten Summanden aus der Summe. In der zweiten Gleichung wenden wir die Induktionsannahme von oben für die große Summenklammer an, da wir für n ja bereits angenommen haben, dass die Gleichung gilt. Um auf die Endgleichung zu kommen, wird wieder eine binomische Formel angewendet. iv) Die unendliche Reihe konvergiert nicht, da n2 gegen unendlich geht. ∞ X

n X (2i − 1) = lim (2i − 1) n→∞

i=1

i=1

= lim n2 = ∞ n→∞

Aufgabe 2 a)

i) Induktionsanfang: n = 1 21 = 2 > 1 ii) Induktionsannahme: 2n > n für n ∈ N iii) Induktionsschritt: n → n + 1

2n+1 = 2n + 2n > n + n ≥ n + 1

-6-


Blatt 1 - Lösungen

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Insgesamt also: 2n+1 > n + 1 In der ersten Ungleichung haben wir die Induktionsannahme für beide Summanden verwendet und in der zweiten Unglichung haben wir verwendet, dass n ∈ N ist und damit n ≥ 1 b)

i) Induktionsanfang: n = 5 25 = 32 > 25 = 52 ii) Induktionsannahme: 2n > n2 für n ≥ 5 iii) Induktionsschritt: n → n + 1

2n+1 = 2n > 2 ∗ n2 ≥ (n + 1)2 Insgesamt also: 2n+1 > (n + 1)2 Die erste Ungleichung folgt mit der Induktionsannahme, die zweite Ungleichung 2 ∗ n2 ≥ (n + 1)2 müsste man eigentlich noch einmal gesondert mit vollständiger Induktion beweisen. c)

i) Induktionsanfang: n = 10 210 = 1024 > 1000 = 103 ii) Induktionsannahme: 2n > n3 für n ≥ 10 iii) Induktionsschritt: n → n + 1

2n+1 = 2 ∗ 2n > 2 ∗ n3 ≥ (n + 1)3

-7-


Extras

Pr端fungen

P


Pr端fungen Mathematik I Wintersemester 2012/13

M端nchen, Oktober 2012


Inhaltsverzeichnis Prüfung SS 2000 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4

Prüfung SS 2001 16 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Prüfung SS 2006 26 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Zusätzliche Multiple-Choice-Fragen 38 Multiple-Choice-Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Probeklausur 1 56 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Probeklausur 2 72 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Probeklausur 3 83 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


Prüfung Sommersemester 2000 - Lösungen

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Lösungen Aufgabe 1 a) In dieser Aufgabe wird das Aktienvermögen K0 = 10 000(DM ) mit einem Zinssatz von p = 20% verzinst, wobei jährlich konstante Depotkosten von 150(DM ) vom Vermögen abgezogen werden müssen. Die erste Differenzengleichung (d.h. das Aktienvermögen K1 nach einem Jahr) lautet also: p K0 − 150 100 Für die folgenden Jahre lässt sich also die erste Differenzengleichung verallgemeinern: K1 = K0 +

Ki+1 = Ki +

p Ki − 150 100

b) Wie man aus Aufgabe a) sieht, handelt es sich hier um eine inhomogene lineare Differenzengleichung erster Ordnung, d.h. sie hat die Form yt = ayt−1 + b, a 6= 1 Wenn man nun alle Gleichungen für jedes Jahr ineinander einsetzt, erhält man eine einzige Gleichung, die das Anlagevermögen Kn nach n Jahren direkt aus dem Startvermögen K0 p = 1.2 und b = −150 : berechnet. Hierbei entspricht das a = 1 + 100 Kn = 1.2n · K0 − 150 ·

1.2n − 1 1.2 − 1

Mit dieser Formel und unseren Werten zu K0 , p und n = 4 können wir das Aktienvermögen errechnen: 1, 24 − 1 1, 2 − 1 2, 0736 − 1 = 2, 0736 · 10 000 − 150 · 0, 2

K4 = 1, 24 · 10 000 − 150 ·

= 19.930, 8 c) Wir verwenden wieder die Gleichung von oben, nur mit dem Unterschied, dass wir diesmal das Anglagevermögen K0 nicht kennen und ausrechnen müssen. Aber dafür wissen wir wieviel wir nach 4 Jahren mindestens eingenommen haben müssen. Also muss unser Anlagevermögen nach 4 Jahren mindestens das Anfangsvermögen sein, also K4 ≥ K0 .

-4-


Prüfung Sommersemester 2000 - Lösungen

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Setzt man dies nun in die Gleichung ein, sieht diese wie folgt aus: K4 = 1, 24 · K0 − 150 ·

1, 24 − 1 ≥ K0 1, 2 − 1

Also muss man zur Lösung dieser Aufgabe nur obige Ungleichung lösen, was im Endeffekt genauso wie bei einer Gleichung funktioniert, nur dass man beim dividieren oder multiplizieren von negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen einfach jedesmal umdreht. Dies ist hier aber nicht nötig, da alle Zahlen, mit denen multipliziert wird, positiv sind. 1.24 · K0 − 150 ·

1.24 − 1 ≥ K0 1.2 − 1 1.24 − 1 1.2 − 1 1.0736 ≥ 150 · 0.2 1.0736 ≥ 150 · 0.2 150 ≥ 0.2 ≥ 750

1.24 · K0 ≥ K0 + 150 · 2.0736 · K0 − K0 1.0736 · K0 K0 K0

Man müsste also mindestens 750DM anlegen, um am Ende die Depotkosten durch die Zinsen wieder hereingeholt zu haben. d) In dieser Aufgabe fallen nun keine Depotkosten mehr an, da es sich um ein festverzinstes Wertpapier handelt. Aber dafür ist auch der Zinsatz mit p = 8% niedriger. Eingesetzt in die Gleichung aus Aufgabe b) ergibt sich nach 4 Jahren: p 4 ) 100 = 10 000 · 1.084

K4 = K0 · (1 +

= 13 604.89 Aufgabe 2 Eine Schuld von K0 = 150 000(DM ) soll binnen vier Jahren getilgt werden. Es wird ein Zinssatz von p = 10% und ein Rückzahlungsmodus mit variablen Annuitäten vereinbart. Da die Tilgung konstant ist und die Schuld K0 nach 3 Jahren getilgt sein soll, ergibt sich T =

K0 150 000 = = 50 000 n 3

-5-


Prüfung Sommersemester 2000 - Lösungen

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Die Formeln für Zinsen, Annuitäten und Restschuld sind: Zt = (K0 − (t − 1)

K0 p ) n 100

= (150 000 − (t − 1)50 000)

10 100

At = T + Zt = 50 000 + (150 000 − (t − 1)50 000)

10 100

Kt = Kt−1 − T = K0 − t · T = 150 000 − t · 50 000

Damit ergibt sich der folgende Tilgungsplan: t 1 2 3

Zt

At

Kt

15 000 65 000 100 000 10 000 60 000 50 000 5 000 55 000 0

Aufgabe 3 a) Der Umsatz ist der Wert, den ein Unternehmen beim Verkauf der Menge X bei einem Preis p erzielt: U (X) = pX Der Gewinn ergibt sich aus dem Umsatz abzüglich der Kosten: G(X) = U (X) − K(X) = pX − (Kvar + Kf ix ) Im Kontext der Aufgabe ergibt sich also: U (X) = p · X = (332 − 8X) · X = −8X 2 + 332X G(X) = U (X) − K(X) = −8X 2 + 332X − (60 + 12X) = −8X 2 + 320X − 60

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Prüfung Sommersemester 2000 - Lösungen

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b) Um den Gewinn zu maximieren müssen wir die Funktion G(X) nach X ableiten: G0 (X) = (−8X 2 + 320X − 60)0 = −8X + 320 Die Nullstellen der Ableitung ergeben die Extrempunkte, die man mit Hilfe der zweiten Ableitung noch auf Maxima, Minima und Terassenpunkte untersuchen kann. In unserem Fall haben wir nur die eine Nullstelle X = 40 und diese ist auch das Maximum (G00 (X) = −8 ≤ 0). Setzt man nun die so erhaltene optimale Produktionsmenge X = 40 in die Gewinnfunktion G(X) ein, so erhalten wir einen maximalen Gewinn von: G(X) = −8402 + 320 · 40 − 60 = −60 c) Die Formel der Durschnittskostenfunktion DK ist: K(X) X 60 + 12X = X

DK =

Die Formel der Grenzkostenfunktion GK ist: GK = K 0 (X) = 12

Aufgabe 4 a) Wie man sieht, muss man die Funktion f einfach nur ableiten.  0 (x − 80)2 x − 80 + 4.56 · + 27 f (x) = 0.07 · 100 10 (x2 − 2 · 80 · X + 6400)0 (x − 80)0 + 4.56 · = 0.07 · 100 10 2 · x − 160 1 = 0.07 · + 4.56 · 100 10 x − 80 = 0.14 · + 0.456 100 0

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PrĂźfung Sommersemester 2000 - LĂśsungen

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b) Die Elastizität (Punktelastizität) im Punkt x der Funktion f ist durch folgende Formel gegeben: f 0 (x)x f,x = f (x) Also in unserem Fall mit x = 100: f,100 = =

f 0 (x)x f (x) (0.14 ¡ 0.07 ¡

100â&#x2C6;&#x2019;80 + 0.456) ¡ 100 100 (100â&#x2C6;&#x2019;80)2 + 4.56 ¡ 100â&#x2C6;&#x2019;80 + 100 10

27

= 1.32967033 ErhĂśht sich das Einkommen von 100 TDM um 1% , so erhĂśht sich die Einkommenssteuer um 1.33% . Man befindet sich also im Elastischen Bereich. Aufgabe 5 a) Um festzustellen, ob eine gegebene Funktion homogen ist, setzt man fĂźr jede Variable xi einfach a â&#x2C6;&#x2014; xi ein und versucht, alle aâ&#x20AC;&#x2122;s noch vorne auszuklammern. Falls dies mĂśglich ist, heiĂ&#x;t die Funktion homogen und der Exponent der ausgeklammerten aâ&#x20AC;&#x2122;s ist der Grad r der Funktion. 1

1

f (a ¡ x1 , a ¡ x2 ) = (a ¡ x1 ) 3 ¡ (a ¡ x2 ) 3 1

1

1

1

1

1

= a 3 x13 ¡ a 3 x23 1

1

= a 3 + 3 ¡ x13 ¡ x23 2

1

1

= a 3 ¡ (x13 ¡ x23 ) 2

= a 3 ¡ f (x1 , x2 ) Also ist f homogen vom Grad r = 23 â&#x2030;¤ 1, hat also fallende Skalenerträge. In diesem konkreten Fall bedeutet dies, dass sich, wenn man die Inpuntmengen der beiden InputgĂźter z.B. verdoppelt, die Outputmenge des Produktionsguts nicht verdoppelt 2 sondern nur um 58% erhĂśht. (2 3 = 1.58...) b) Die Kostenfunktion K(x1 , x2 ) = x1 + x2 soll hier mit Hilfe der Lagrangemethode minimiert werden mit der Nebenbedingung 1

1

f (x1 , x2 ) = x13 ¡ x23 = 4 Dazu muss man die Funktion der Nebenbedingung ein klein wenig verändern, so dass 0 -8-


Extras

E


Notizen Mathematik I Wintersemester 2012/13

M端nchen, Oktober 2012


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