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UNISEMINAR


Mathematik II

St.Gallen, Februar 2013


Mathematik II Herzlich Willkommen bei Uniseminar! Wir freuen uns, dass Du Dich fßr ein Karteikartenset von Uniseminar entschieden hast. Diese Karteikarten decken in Kombination mit unserem Ordner den gesamten prßfungsrelevanten Sto ab und helfen Dir Dein Wissen und Verständnis der essenziellsten Themen, Begrie und Zusammenhänge in Mathematik II prßfungsorientiert zu unterstßtzen. Lerne also gleichzeitig mit dem Ordner und den Karteikarten von Uniseminar um optimal auf die Prßfungen vorbereitet zu sein, damit Dir auf dem Weg zu einer erfolgreichen Prßfung nichts mehr im Weg steht! Wir wßnschen Dir eine eziente Prßfungsvorbereitung und viel Erfolg bei Deiner Prßfung. Dein Uniseminar-Team


Mathematik II

Inhaltsverzeichnis

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1. Dierentialrechnung 2. Dierenzengleichungen 3. Integralrechnung 4. Matrizen-Algebra 5. Lineare Gleichungssysteme

1 - 19 20 - 33 34 - 68 69 - 140 141 - 162

Notizkarten

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Mathematik II

Wie kannst Du eine gute Note bei Deiner Pr端fung erzielen?

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Prüfungsvorbereitung Gehe wie folgt vor: 1.

Ordner & Karteikarten: Besorge Dir die einfach strukturierten und

umfangreichen Unterlagen von Uniseminar. Arbeite parallel mit dem Ordner und den perfekt darauf abgestimmten Karteikarten. 2.

Lernen: Lies alle Theoriekapitel des Uniseminar Ordners aufmerksam durch, wage Dich anschliessend an die Karteikarten und löse danach alle Aufgaben und Prüfungen. Weil umfangreichere Rechnungen wie das Lösen linearer Gleichungssysteme oder die Invertierung von Matrizen viel Übung und Zeit brauchen, ist es in Mathematik II besonders wichtig, dass Du auf weitere Lernhilfen zurückgreifst.

3.

Seminar:

Besuche am Ende des Semester das 8-stündige Seminar von Uniseminar und runde Dein prüfungsspezisches Wissen ideal ab. Diese Seminare werden von didaktisch kompetenten Doktoranden mit langjähriger Unterrichtserfahrung geleitet, die Dir gezielt bei Deinen Problembereichen helfen.

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Mathematik II

Mathematik II Einleitung

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Mathematik II Einleitung

•

Die Karteikarten decken den prĂźfungsrelevanten Sto der Vorlesung Mathematik II ab. Jedoch erfordern insbesondere das LĂśsen linearer Gleichungssysteme und die Invertierung grĂśsserer Matrizen einen hohen Rechenaufwand, so dass diese anhand der oziellen Ăœbungen und aller PrĂźfungen geĂźbt werden sollten!

•

Die Karten sind so konzipiert, dass man die Antwort jeweils im Kopf bestimmen kann. Darum wurde auf aufwendige Rechnungen und Graken bewusst verzichtet.

•

Die Karteikarten dienen der Verfestigung der Theorie und helfen Dir, Dich an die neuen mathematischen Begrie zu gewĂśhnen. Sie enthalten alle Formeln und Denitionen, die Du fĂźr die PrĂźfung kennen musst.

•

Um einen mĂśglichst grossen Lernerfolg zu erzielen, raten wir Dir die Karteikarten auch in nicht chronologischer Reihenfolge durchzugehen.

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Mathematik II

Kapitel 1 Dierentialrechnung

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Mathematik II Kapitel 1  Integralrechnung

Partielle Ableitungen

Extrema von Funktionen mehrerer Variablen

Extrema von Funktionen unter Nebenbedingungen

Gradienten

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Mathematik II Kapitel 1 - Dierentialrechnung

Was sind die notwendigen Bedingungen fĂźr das Vorliegen eines Extremums einer Funktion f (x, y) in einem Punkt (x0 , y0 )? - Rechengesetz -

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Dierentialrechnung

S. 1

Rechengesetz notwendige Bedingungen

Die partiellen Ableitungen von f mĂźssen im Punkt (x0 , y0 ) gleich Null sein, also !

!

fx (x0 , y0 ) = 0 und fy (x0 , y0 ) = 0.

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Mathematik II Kapitel 1 - Dierentialrechnung

An welchen Punkten der Funktion f (x, y) = xy + y 2 sind die notwendigen Bedingungen fĂźr ein Extremum erfĂźllt? - Beispiel -

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Dierentialrechnung

S. 1

Beispiel notwendige Bedingungen

Die notwendigen Bedingungen sind erfĂźllt, wenn die partiellen Ableitungen Null sind: !

!

fx = y = 0 fy = x + 2y = 0 ⇒ x = y = 0.

Nur an der Stelle (0, 0) kann ein Extrempunkt vorliegen.

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Mathematik II Kapitel 1 - Dierentialrechnung

Was ist der Gradient einer Funktion f (x, y, z)? - Denition -

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Dierentialrechnung

S. 9

Denition Gradient

Der Gradient ist der Vektor der ersten Ableitungen, also    ∂f  fx (x, y, z) ∂x . gradf (x, y, z) = fy (x, y, z) =  ∂f ∂y ∂f fz (x, y, z) ∂z

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Mathematik II Kapitel 1 - Dierentialrechnung

Sei f (x, y) = 2x + 3y + 2. Bestimme den Gradienten von f . - Beispiel -

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Dierentialrechnung Beispiel Gradient

S. 9

    2 fx (x, y) = grad(f (x, y)) = 3 fy (x, y)

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Mathematik II Kapitel 2 - Dierenzengleichungen

Welches LĂśsungsverhalten kann die Folge der LĂśsungen einer linearen Dierenzengleichung aufweisen (ohne BerĂźcksichtigung der Spzialfälle A = 0, A = 1 und A = −1)? - Rechengesetz -

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Dierenzengleichungen

S. 18

Rechengesetz LĂśsungsverhalten

â&#x20AC;˘ monoton und explosiv, falls A > 1. â&#x20AC;˘ monoton und konvergent, falls 0 < A < 1. â&#x20AC;˘ oszillatorisch und konvergent, falls â&#x2C6;&#x2019;1 < A < 0. â&#x20AC;˘ oszillatorisch und explosiv, falls A < â&#x2C6;&#x2019;1.

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Mathematik II Kapitel 2 - Dierenzengleichungen

Betrachte die lineare Dierenzengleichung

yk+1 = Ayk + B . FĂźr welche Werte von A und B ist die

Folge der LĂśsungen monoton? - Beispiel -

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Dierenzengleichungen Beispiel LĂśsungsverhalten

S. 18

Fßr A > 0 ist die Folge der LÜsungen monoton. B kann beliebig gewählt werden.

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Mathematik II Kapitel 3 - Integralrechnung

Berechne

Z

1 dx. x

- Beispiel -

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Integralrechnung Beispiel unbestimmtes Integral

Z

S. 25

1 dx = ln(x) + C , C â&#x2C6;&#x2C6; R. x

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Mathematik II Kapitel 3 - Integralrechnung

Berechne

Z

1 dx. 2x

- Beispiel -

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Integralrechnung Beispiel unbestimmtes Integral

Z

1 1 dx = 2x 2

Z

S. 26

1 1 dx = ¡ ln(x) + C , C â&#x2C6;&#x2C6; R. x 2

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Mathematik II Kapitel 3 - Integralrechnung

Berechne

Z

2

2x3 + 1 dx.

0

- Beispiel -

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Integralrechnung

S. 26

Beispiel bestimmtes Integral

Z

2

2x3 + 1 dx

Z 2 x3 dx + 1 dx 0 0

2 ! 1 4

+ x|20 x 2· 4 0   1 4 1 4 2· ·2 − 0 +2−0 4 4 2 · (4 − 0) + 2 = 10 Z

=

0

= = =

2

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Mathematik II Kapitel 4 - Matrizen-Algebra

Sei

A=

 a11 a21

a12 a22



und

c â&#x2C6;&#x2C6; R.

Was ist

c ¡ A?

- Rechengesetz -

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Matrizen-Algebra

S. 39

Rechengesetz Zahl mal Matrix

 a c · A = c · 11 a21

a12 a22



 =

c · a11 c · a21

 c · a12 . c · a22

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Mathematik II Kapitel 4 - Matrizen-Algebra

Sei A =



2 â&#x2C6;&#x2019;1

 0 . Berechne 5 ¡ A. 2

- Beispiel -

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Matrizen-Algebra

S. 39

Beispiel Zahl mal Matrix

 5·A=5·

2 −1

  0 5·2 = 2 5 · −1

5·0 5·2



 =

10 −5

 0 . 10

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Mathematik II Kapitel 4 - Matrizen-Algebra

Was sind die drei wichtigsten Rechenregeln f端r inverse Matrizen? - Rechengesetz -

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Matrizen-Algebra Rechengesetze für inverse Matrizen

• A−1

−1

S. 46

= A.

• In−1 = In . • (A · B)−1 = B −1 · A−1 .

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Mathematik II Kapitel 4 - Matrizen-Algebra

 1 Sei A = 2 3

 2 5. Was ist AT ? 6

- Beispiel -

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Matrizen-Algebra

S. 47

Beispiel transponierte Matrix

1 A = 2 3

  2 1 T  5 ⇒ A = 2 6

2 5

 3 . 6

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Mathematik II Kapitel 4 - Matrizen-Algebra

Was sind die drei wichtigsten Rechenregeln zur Berechnung von Determinanten? - Rechengesetz -

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Matrizen-Algebra Rechengesetze für Determinanten

S. 52

• det(A · B) = det(A) · det(B). • det(AT ) = det(A). • det(A−1 ) =

1 det(A)

.

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Mathematik II Kapitel 4 - Matrizen-Algebra

Wann heisst eine quadratische Matrix

A

singul채r?

- Denition -

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Matrizen-Algebra Denition singul채r

S. 52

A heisst singul채r, wenn det(A) = 0 ist. In diesem Fall existiert keine Inverse von A.

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Mathematik II Kapitel 4 - Matrizen-Algebra

Sei

 A=

−2 0

 3 . 1

Ist

A

regulär oder singulär?

- Beispiel -

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Matrizen-Algebra

S. 52

Beispiel reguläre Matrix

−2 det(A) =

0

A ist regulär, weil

3

= (−2) · 1 − 3 · 0 = −2 6= 0. 1

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Mathematik II Kapitel 5 - Lineare Gleichungssysteme

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Inversen A−1 einer   a11 a12 regulären 2 × 2Matrix A = ? a21

a22

- Rechengesetz -

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Lineare Gleichungssysteme Rechengesetz Berechnung der Inversen

 A=

a11 a21

a12 a22



⇒ A−1 =

 1 a22 · −a21 det(A)

S. 72

 −a12 . a11

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Mathematik II Kapitel 5 - Lineare Gleichungssysteme

Wann heisst eine Menge von Vektoren {v1 , v2 , . . . , vn } linear abh채ngig? - Denition -

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Lineare Gleichungssysteme

S. 73

Denition lineare Abhängigkeit

Eine Menge von Vektoren {v1 , v2 , . . . , vn } heisst linear abhängig, wenn es reelle Zahlen a1 , a2 , . . . , an gibt, so dass a1 · v1 + a2 · v2 + . . . + an · vn = 0.

Hierbei darf es nicht sein, dass alle ai = 0 sind!

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