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UNISEMINAR


Extras

Prüfungen

Übungen

Aufgaben

Theorie

Seminar


Einleitung Mathematik I Assessment

St.Gallen, September 2012


Einleitung

uniseminar.ch

Herzlich Willkommen bei Uniseminar Vorwort Ziel von Uniseminar ist es, Dich optimal auf Deine Prüfungen vorzubereiten und Deine Prüfungsvorbereitung an der HSG so effizient wie möglich zu gestalten. Um dieses Ziel zu erreichen, haben wir ein dreiteiliges Konzept entwickelt, das sich nun mehrere Jahre als grosse Hilfe für die Studenten bewährt hat. Dieses besteht zum einen aus sehr umfangreichen Lernunterlagen in Form eines Ordners, perfekt darauf abgestimmten Karteikarten und dazu passenden Prüfungsvorbereitungsseminaren am Ende des Semesters. Damit werden sämtliche Inhalte aus den Vorlesungen und Übungen in einfacher und anschaulicher Form kompakt zusammengefasst. Gleich zu Beginn des Semesters bieten wir Dir deshalb unsere umfangreichen Lernunterlagen in Form eines Ordners und perfekt darauf abgestimmten Karteikarten an. Diese beiden Lehrmittel solltest Du im Selbststudium bereits während des Semesters begleitend zur Vorlesung verwenden. Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir zur gezielten Prüfungsvorbereitung unsere Seminare zu besuchen, wo wir Dir in acht Stunden nochmals die essentiellsten Aufgaben und Konzepte näherbringen und Dich so optimal auf Deine Prüfungen vorbereiten. Dieser dreiteilige Ansatz ermöglicht Dir mit einer ausgewogenen Mischung verschiedener auf einander abgestimmter Medien Deinen Lernerfolg nachhaltig zu verbessern.

-1-


Einleitung

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Über uns Uniseminar ist vor 5 Jahren von zwei HSG Studenten und zwei Doktoranden der ETH gegründet worden, um die Prüfungsvorbereitung einfacher, effizienter und verständlicher zu gestalten. Seit 2005 sind wir nun an der Universität St. Gallen aktiv und wissen aus eigener Erfahrung wie anspruchsvoll das Assessmentjahr sein kann. Das Team von Uniseminar ist über die Jahre stark gewachsen und besteht mittlerweile unter anderem aus zahlreichen Mathematikern der ETH, Statistikern der University of Cambridge, Betriebsökonomen der HSG, Volkswirtschaftern der Universität Zürich als auch der London School of Economics (LSE), die allesamt grosse didaktische und fachspezifische Erfahrung mit sich bringen. Alle Dozenten von Uniseminar haben an diversen europäischen, als auch amerikanischen Universitäten langjährige Unterrichtserfahrung in ihrem Fach gesammelt und können Dich deshalb in den Seminaren optimal bei Deiner Prüfungsvorbereitung unterstützen. Die Macher von Uniseminar haben alle vor kurzem selbst noch studiert und wissen deshalb über das Studentenleben und die Prüfungsvorbereitung bestens Bescheid. Zudem haben wir alle grosse Freude am unterrichten und wollen Dir auf angenehme Weise die teilweise etwas komplizierte und trockene Materie so näher bringen, dass Lernen auf einmal Spass macht!

Unterlagen Sämtliche Unterlagen von Uniseminar werden ausschliesslich von qualifizierten Doktoranden erstellt, die selbst im jeweiligen Fachgebiet doktorieren und damit über grosse Erfahrung und Expertise verfügen. Dadurch kann eine hohe didaktische Qualität der Skripte garantiert werden. Alle unsere Unterlagen werden zudem jedes Semester in enger Zusammenarbeit mit Studierenden überarbeitet, die zur Zeit die Vorlesung an der HSG vor Ort besuchen. Damit können wir Dir garantieren, dass Dir stets der aktuellste Stoff in unseren Unterlagen und Seminaren vorgelegt wird! Es wird dabei genau auf diejenigen Schwerpunkte eingegangen, welche den Prioritäten der Professoren entsprechen. Das vorliegende Mathematik Skript ist deshalb optimal auf die Vorlesungen und Übungen abgestimmt und enthält alle prüfungsrelevanten Materialien für Deine Prüfung an der HSG. Ebenfalls ist es seit jeher unser hartnäckig verfolgtes Ziel alle unsere Unterlagen laufend zu verbessern und perfekt an den relevanten Prüfungsstoff anzupassen. Damit ist Dir eine optimale Klausurvorbereitung garantiert! Die Aktualität der Unterlagen ist uns ein grosses Anliegen: Wir wollen, dass Du genau das lernst, und wirklich nur das, was an den Prüfungen schliesslich auch dran kommt. Weder zu viel noch zu wenig!

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Einleitung

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Karteikarten Die Karteikarten von Uniseminar decken in Kombination mit unserem Ordner den gesamten prüfungsrelevanten Stoff ab und helfen Dir Dein theoretisches wie auch praktisches Wissen der wichtigsten Themen, Begriffe und Zusammenhänge in Mathematik prüfungsorientiert zu unterstützen. Um dies zu gewährleisten, haben wir eine Vielfalt von Fragentypen entwickelt, die Dein inhaltliches Verständnis umfassend abrunden und verbessern. Die Karteikarten enthalten zum einen die wichtigsten Definitionen, Vorgehensweisen und Formeln. Zum anderen haben wir Dir aber auch relevante Verständnisfragen und kurze Rechenaufgaben erstellt um Dein erlerntes Wissen selbstständig und umfassend abzufragen. Denn an der Prüfung musst Du nicht nur wichtige Formeln auswendig können, sondern die Thematik umfassend verstehen. Formeln, die an der Prüfung ausgeteilt werden, sind deshalb in den Karteikarten konsequenterweise nicht enthalten. Ziel ist es folglich, den kompletten „prüfungsrelevanten“ Lehrstoff in Mathematik auf möglichst kompakte Art und Weise auf Karteikarten zusammenzufassen, sodass Du Dich in kurzer Zeit effizient auf die Prüfungen vorbereiten kannst. Lerne also gleichzeitig mit dem Ordner und den Karteikarten von Uniseminar um optimal auf die Prüfungen vorbereitet zu sein.

Seminare Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Alle Dozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen Universitäten und wissen deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten können. Oberstes Ziel unserer Seminare ist es den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich und verständlich in zwei vierstündigen Seminarblöcken zu vermitteln. Zuerst werden die wichtigsten mathematischen Grundlagen und Themen der Vorlesung besprochen, um danach auf die häufigst auftretenden Aufgabentypen einzugehen und geeignete Vorgehensweisen an der Prüfung zu erklären. Während den Seminaren werden zu 30% theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und Grundkenntnisse erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu bearbeiten und effiziente Prüfungsstrategien zu besprechen. Es wird somit in den Seminaren zuerst ein theoretisches Fundament gelegt, da grundlegende theoretische Kenntnisse beim Lösen von Prüfungsaufgaben von grosser Bedeutung sind. Es ist also unser Ziel nicht nur den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich zu erklären, sondern auch theoretische Kenntnisse zu vermitteln, die nötig sind, um fachliche Zusammenhänge auch wirklich zu verstehen. Theoretische Zusammenhänge erscheinen auf den ersten Blick komplex, -3-


Einleitung

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dennoch sind sie bis zu einem gewissen Grade nötig um Prüfungsaufgaben selbstständig zu lösen. Wir sehen es als unsere Aufgabe Dir den nötigen Grad an theoretischem Wissen auf möglichst einfache und kompakte Weise aufzuzeigen und Dir anzueignen. Mit dem richtigen Mass an Theorie wird Dir das Lösen der Prüfungsaufgaben viel leichter fallen! In unseren Seminaren erlernst du somit einfache theoretische Grundkenntnisse, um spezifische Aufgabentypen zu lösen, die an der Prüfung mit grosser Wahrscheinlichkeit erscheinen werden.

-4-


Einleitung

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Aufbau Dieser Ordner soll Dir als Lernhilfe zur effizienten Prüfungsvorbereitung der Mathematikprüfungen dienen und umfasst 5 Teile. Wir möchten Dir im Folgenden einen Überblick über den Aufbau des Ordners geben. 1. Theorie: Das Theorieskript fasst in einfacher und übersichtlicher Form den gesamten Stoff des 1. Semesters 2010/2011 zusammen und erklärt diesen anhand anschaulicher Beispiele. Am Ende findest Du ein Stichwortverzeichnis, welches Dir bei allfälligen Fragen schnellstmöglichst Zugriff auf das erforderliche Wissen verschafft. Das Theorieskript umfasst 5 Kapitel, die im Seminar der Reihe nach bearbeitet werden. 2. Aufgaben: Zu allen Kapiteln in unserem Theorieskript haben wir abgestimmte Übungsaufgaben erstellt. Wir empfehlen Dir diese Aufgaben gleich nach den erfolgten Seminarblöcken zu lösen, um anschliessend Fragen an unsere Dozenten stellen zu können. Diese sind gerne während den Pausen und auch nach den offiziellen Seminarstunden für Dich da, um Dir bei Deinen persönlichen Problembereichen weiterzuhelfen. 3. Übungen: In den vergangenen Jahren hat es sich gezeigt, dass die Übungsserien der Universität St. Gallen (HSG) zunehmend wichtiger für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung geworden sind. Die Mathematik Professoren haben die aktuellsten Prüfungsaufgaben vermehrt unter Berücksichtigung der Serien konzipiert. Der Grund dafür liegt darin, dass die Anwesenheit der Studenten während der Übungen sich lohnen und auszahlen soll. Aus diesem Grund haben wir Dir sämtliche Aufgaben, alle Zusatzaufgaben und alle Ergänzungsaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt. 4. Prüfungen: Beginne früh damit bisherige Prüfungen zu lösen, denn nur so gewinnst Du das nötige Verständnis für deren Aufbau. Du wirst erkennen, was für die Prüfung relevant ist und kannst Dich gezielt darauf vorbereiten. Dazu haben wir Dir alle verfügbaren Assessment-Prüfungen mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt. 5. Extras: Hier findest du die aktuellste Formelsammlung. Schau Dir die Formelsammlung gut an und merke Dir die wichtigsten Formeln! Gewisse Formeln werden an der Prüfung nämlich „als bekannt vorausgesetzt“ und andere werden Dir an der Prüfung „ausgeteilt“. Keine Angst, Du musst nicht viel auswendig lernen.

-5-


Einleitung

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Vorgehensweise Wir empfehlen Dir mit dem Ordner und den Karteikarten wie folgt schrittweise vorzugehen um einen perfekten Lernerfolg zu erzielen: 1. Theorie: Lies als erstes ein Theoriekapitel aufmerksam durch und versuche die theoretischen Inhalte zu verstehen. 2. Prüfungen: Mit Deinem aktuellen theoretischen Wissensstand kannst Du nun ideal ausgewählte Prüfungsaufgaben lösen. So siehst Du gleich was Dich an der Prüfung erwartet und kannst Dich bereits jetzt perfekt darauf einstellen. Dazu haben wir Dir am Ende von jedem Theoriekapitel einige ausgewählte Prüfungsaufgaben zusammengestellt, die sich auf das soeben behandelte Thema beziehen. 3. Karteikarten: Schaue Dir anschliessend die passenden Karteikarten an, welche wir Dir am Ende des Theoriekapitels empfehlen und versuche die wichtigsten Punkte zu memorieren. Die Karteikarten runden Dein bereits erlerntes Wissen perfekt ab und zeigen Dir auf, wo du allenfalls noch Schwächen hast. 4. Aufgaben: Löse nun einige oder am besten alle unsere eigens erstellten Aufgaben passend zum soeben gelesenen Theoriekapitel komplett durch. Diese umfassen exakt den in diesem Theoriekapitel erlernten Stoff. So siehst Du gleich, an welchen Stellen Du allenfalls ein Theoriekapitel nochmals gründlicher durchlesen solltest. 5. Mache eine Pause und beginne danach wieder mit einem weiteren Theoriekapitel.

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Aufgaben

Theorie

Seminar

S


Seminar Mathematik I Assessment

St.Gallen, September 2012


Seminar

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Ziel und Inhalt Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir unsere gezielten Prüfungsvorbereitungsseminare zu besuchen. In zwei vierstündigen Seminarblöcken zeigen wir Dir dabei welche Themen für das erfolgreiche Bestehen Deiner Prüfung essentiell sind und erarbeiten mit Dir gemeinsam effiziente Strategien um die spezifischen Aufgabentypen gezielt anzugehen. Dabei wird Dir nur das Allerwichtigste an Theorie kurz und prägnant erklärt und repetiert. Der Fokus des Seminars liegt im Lösen alter Prüfungsaufgaben wobei wir Dir mit strukturierten Vorgehensweisen einen zielgerichteten Ansatz aufzeigen, wie Du die Prüfung optimal lösen kannst. Während dem Seminar werden deshalb zu 30% Grundkenntnisse und theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu bearbeiten und effiziente Prüfungsstrategien zu besprechen. Unsere erfahrenen Dozenten zeigen Dir auch wichtige Tipps und Tricks um Deine Prüfungschancen zu optimieren. In den Pausen und nach Seminarende hast Du zudem die Möglichkeit, den Dozenten individuelle Fragen zu stellen, um letzte Unklarheiten zu klären.

Unterlagen Die Seminarunterlagen werden entweder auf unserer Homepage www.uniseminar.ch unter „Mein Account“ online bereitgestellt oder im Seminar vor Ort ausgeteilt. Sobald Du Dich für das Seminar angemeldet hast, wirst Du rechtzeitig informiert, wenn die Unterlagen für Dich zur Verfügung stehen.

Seminarleitung Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Alle Dozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen schweizerischen und europäischen Universitäten und wissen deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten können. Weitere Infos zu Deinem persönlichen Seminarleiter und zu unseren Dozenten im Allgemeinen findest Du auf unserer Webseite www.uniseminar.ch in der Rubrik „Über uns“.

Anmeldung Unter www.uniseminar.ch kannst Du Dich jederzeit für die Seminare anmelden.

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Notizen

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Extras

Prüfungen

Übungen

Aufgaben

Theorie

T


Theorie Mathematik I Assessment

St.Gallen, September 2012


Inhaltsverzeichnis 1

2

3

Grundlagen 1.1

Rechenregeln

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Funktionen

12

2.1

Denitionsbereich, Wertebereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Wichtige Funktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4

Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.5

Grenzwerte (Limes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.6

Stetigkeit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.7

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Ableitungen

5

27

3.1

Denition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

Ableitungen wichtiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3

Ableitungsregeln

28

3.4

4

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Erkenntnisse anhand der Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.4.1

Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.4.2

Krßmmung und Konvexität

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.4.3

Extremalstellen (Minimum, Maximum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.5

Anwendung in der Ă–konomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.6

Approximation mit Hilfe des Taylorpolynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.7

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Folgen und Reihen

42

4.1

Folgen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.2

Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.3

Anwendungen in der Finanzmathematik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.4

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Funktionen mit mehreren Variablen

50

5.1

Denition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

5.2

Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

5.3

Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.4

Das totale Dierential

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.5

Homogene Funktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.6

Niveaulinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.7

Kegelschnitte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.8

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Stichwortverzeichnis

62


{ 3, 5} ( 3, 5) [ 3, 5] N = {0, 1, 2, 3, . . .} R R+ R+ 0 2 {x 2 R | x

}

(2) R

x

A[B

A

A\B

A

A\B

A

(|) x

B B B

) . = f

g

n P

k=1 n Q k=1

f · g = f (x) · g(x)

f (g(x))

ak

a1 + a2 + a3 + . . . + an

ak

a1 · a2 · a3 · . . . · an

[ 3, 5] [ [5, 8] = [ 3, 8]

a1 a1

{x 2 R | 0 < x < 6} = (0, 6)

an an


!

1

|...|

2 •

ln 0

• •

1

2010 2008 2004 2007 2

3

14 29

1


• •

sin(x) D = R W = [ 1, 1] cos(x) D = R W = [ 1, 1]

f (x)

f (x)

x

f (x) = 0 f (x) = ln(x

2)

ln(x x

2) = 0 2 = e0 = 1 x = 3

| e···


f (x)

x0

f (x)

m

x

mâ&#x2021;Ą

f (x0 +

x) x

f (x0 )

.

x!0 m = lim

f (x0 +

x!0

x) x

f (x0 )

.

x0

f 0 (x) = lim

x!0

f (x +

x) x

f (x)

.


x 1 < x2

f

f (x1 ) < f (x2 )

f (x1 ) > f (x2 )

f (x) = ex

f (x) =

f (x1 )  f (x2 )

x

f (x) = bxc

x3

f (x1 )

f (x) =

(

x2 1

2x + 2

f (x2 )

x1


K0

p q = 1+p

n

Kn

Kn = K0 · (1 + p)n

K1 = K0 + p · K0 = K0 (1 + p) K2 = K1 + p · K1 = K1 (1 + p) = K0 (1 + p)(1 + p) = K0 (1 + p)2 K3 = K2 + p · K2 = . . . = K0 (1 + p)3 n

Kn = Kn

1

+ p · Kn

p = 3%

1

= . . . = K0 (1 + p)n

p = 0.03

p=3 •

S0 Sn

S0 =

Sn (1 + p)n

Ak Ek

k p B0

B0 =

n X k=0

B0 (p) > 0

B0 > 0 p

Ek (1 + p)k

n X k=0

Ak (1 + p)k

p


p

B0,I = 200 +

0

100 (1+p)2

B0,II = 100 +

221 (1+p)2

100 +

221 100 > 200 + 2 (1 + p) (1 + p)2 121 > 100 (1 + p)2 121 > (1 + p)2 100 r 121 1+p < 100 1+p <

11 10

p <

11 10

1=

1 10

p < 10%

B0

p

A0 = 500 000, E10 = 900 000

B0 (p) =

=

900 000 (1 + p)10

500 000


f (x, y)

x, y y f (x, y, f (x, y)) x

z

f (x, y) = z z xy

x

y

f (x, y) = x3 + xy 2 •

x

y

f

x

@f = fx = 3x2 + y 2 @x f

y

@f = fy = 2xy @y

fxx = 6x

fyy = 2x

fxy = fyx = 2y

(x, y)


f (x, y) f (x, y) = z0 z0

xy

xy

f

x

dx

y

dy

0 = df = fx dx + fy dy f (x, y) = z0 fx dx = dy = dx

fy dy fx fy y

f (x, y) dy = dx

fx fy


Extras

Prüfungen

Übungen

Aufgaben

A


Aufgaben Mathematik I Assessment

St.Gallen, September 2012


Inhaltsverzeichnis

Grundlagen

1

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lรถsungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Funktionen

16

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Lรถsungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Ableitungen

29

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Lรถsungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Folgen und Reihen

50

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Lรถsungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Funktionen mit mehreren Variablen

63

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Lรถsungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66


Funktionen: Aufgaben

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2. Kapitel: Funktionen 1. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche und Wertebereiche folgender Funktionen: (a) f (x) = sin(x) (b) g(x) =

3,

3 , 4 x

(c) h(x) = ln(5 (d) i(x) = x2

ex ), 8x + 19

2. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen: (a) f (x) = 34 x

3,

(b) g(x) = x2

11x + 30,

(c) h(x) = ln (x2 )

4

3. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke. ✓ ◆ 3 ln , 2

ln (2x + 1) ,

ln e

3

,

ln

x2 · e y 4x 3

4. Berechnen Sie die Umkehrfunktionen. (a)

p

e(x2 ) + 4 für x > 2,

(b) ln(x3 (c)

4) für x3 > 4,

für x 6= 0, ⇣ ⌘ 2 (d) ln ex + 2 für x > 0 x 4 2x

5. Berechnen Sie für die folgenden Funktionen die Grenzwerte für x ! ±1 und gegebenfalls für die Definitionslücken. (a) f (x) =

1 , 3x

(b) g(x) =

x2 4 , x 2

(c) h(x) =

x2 3x+4 , x5 x3 +5x

(d) i(x) =

x2 7x+12 3x2 27

6. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte. -3-


Folgen und Reihen: Aufgaben

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4. Kapitel: Folgen und Reihen 1. Schreiben Sie die ersten 5 Folgeglieder auf. Welche Folge ist geometrisch? an = an

1

bn

1

2bn

cn + c3n

1

+ 4,

a0 =

= 7,

b0 = 0

= 1,

5

c0 = 1

dn = 5 · dn 1 ,

d0 = 3

2. Gegeben sei eine geometrische Folge mit a1 = 2 und a4 = Sie das kleinstmögliche n 2 N an, für welches an 

2 . 27

Berechnen Sie a7 und geben

1 1000 000

gilt.

3. Bestimmen Sie den Grenzwert für n ! 1 der Folge 1 +

3 n . n

4. Bestimmen Sie den Grenzwert für n ! 1 der Folge 1 +

0.05 20n . n

5. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge an =

( 3)n + 4n+1 . 2n+2 + 4n

6. Bestimme, ob die Folge beschränkt, monoton wachsend, monoton fallend und/oder konvergent ist. an = 2n2 ,

bn = ( n)3 ,

cn =

1 n2

7. Bestimmen Sie die Werte folgender geometrischen Reihen 12 ✓ ◆r X 1 r=0

2

,

15 X

m=0

1 X 3 , n 5 n=0

2 · 3n ,

1 X i=0

2 · 4n ,

1 X 1 2n k=1

8. Herr Fischer möchte sich in 4 Jahren ein neues Auto kaufen, welches dann CHF 30’000.kosten wird. Er will bereits heute damit beginnen, sein Geld dafür anzulegen. Welchen Betrag muss er auf seinem Sparkonto deponieren, wenn er mit einer Verzinsung von 6% rechnen kann? 9. Berechnen Sie die Barwerte der folgenden Zahlungen in Abhängigkeit vom Zinssatz p. Variante I:

CHF 100.- heute sowie CHF 300.- in 10 Jahren

Variante II: CHF 300.- in einem Jahr Welche Variante wählen Sie, falls p = 5% ist? 10. Berechnen Sie die Barwerte der folgenden Auszahlungen -8-


Grundlagen: Lösungen

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Berechnen Sie y:

4. (a) Lösung:

2y + 3x

3y 3y

p 4(x + 3y xy) + z 2 x p 2 4x 12y + 4xy + z x p 9y 4x + 4xy + z 2 x 14y + 4xy ( 14 + 4x) · y y

Falls x = z2 =

4 = 5x2 + sin(x) 7y 9y = 5x2 + sin(x) 3x + 4 2 3x+4 y = 5x +sin(x) 9

49 2

+

14 4

q

7 2

=

7 2

= = = = = =

5y + 3x 5y + 3x 5y + 3x p 7x z 2 + x p 7x z 2 + x 7x

p z2 + x

| + 7y |÷9

3x + 4

| + 4x

z2 +

p

x

5y

| ÷ ( 14 + 4x) ausser für x =

14 4

4x 14

gilt, so lautet die zweitletzte Zeile 0 · y = 7 ·

7 2

z2 +

und y kann beliebig gewählt werden.

q

7 . 2

Daraus folgt

(b) Berechnen Sie x: Lösung: 4x2 + 3x

5=2

4x2 + 3x

7=0

|

2

p 9 4 · 4 · ( 7) x1,2 = p 2·4 3 ± 121 = 8 3 ± 11 = 8 14 7 x1 = 1 x2 = = 8 4 3±

Einsetzen der beiden Resultate in die erste Gleichung bestätigt, dass keine der Lösungen gestrichen werden muss.

-19-


Grundlagen: Lösungen

uniseminar.ch

5. Berechnen Sie x. Lösung: (x + 2)(3x

2x + 5 = 4 (2x + 5) = 4

) )

9) = 0 ) x 2 { 2, 3}.

) ) 1 9 Insgesamt erhalten wir die Lösung x 2 { , }. 2 2 ( x2 26 = 10 ) x2 = 36 ) 26| = 10 ) (x2 26) = 10 ) x2 = 16 )

|2x + 5| = 4 )

|x2

(

9) = 0 ) (x + 2) = 0 oder (3x

2x = 1 2x 5 = 4

x= x=

x = ±6 x = ±4

Insgesamt erhalten wir die Lösung x 2 {±6, ±4}.

|x2 + x

1| = 1 )

(

x2 + x 1 = 1 (x2 + x 1) = 1

) )

x2 + x x2

2=0 x=0

) )

x 2 { 2, 1} x 2 {0, 1}

)

x=

Insgesamt erhalten wir die Lösung x 2 { 2, 1, 0, 1}. |x + y

5| = 7 )

(

x+y 5=7 (x + y 5) = 7

) )

x = y + 12 x y+5=7

Insgesamt erhalten wir die Lösung x 2 {12

-21-

y, 2

1 2 9 2

y}.

y

2


Funktionen: Lösungen

uniseminar.ch

2. Kapitel: Funktionen 1. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche und Wertebereiche folgender Funktionen: (a) f (x) = sin(x)

3

Lösung: f (x) hat den Definitionsbereich D = R, da dasselbe für sin(x) gilt. 1 < x < +1

,

1  sin(x)  +1

,

4  sin(x)

3

2

Somit ist der Wertebereich W = [ 4, 2].

(b) g(x) =

3 4 x

Lösung: Damit g(x) definiert ist, muss der Nenner 4 x 6= 0, das heisst x 6= 4 sein. Also ist D = R\{4}. Für den Wertebereich bemerke zuerst, dass x1 den Wertebereich R/{0} hat. Da 4 x jede Zahl annehmen kann, muss auch 4 1 x den Wertebereich R/{0} haben. Multiplizieren mit 3 ergibt 3 . Dies verändert den Wertebereich nicht. Somit gilt W = R/{0}. 4 x

(c) h(x) = ln(5

ex )

Lösung: Diese Funktion ist für diejenigen x definiert, welche 5 ex > 0, also 5 > ex oder ln(5) > x erfüllen. Der Definitionsbereich ist somit D = {x 2 R | x < ln(5)}. 1 < x < ln(5) , 0 < ex < eln(5) = 5 , ,

1 < ln(5

ex ) < ln(5)

5<

ex < 0 , 0 < 5

ex < 5

Also ist W = ( 1, ln(5)) = D. (d) i(x) = x2

8x + 19

Lösung: Der Definitionsbereich ist gegeben durch W = R. Für den Wertebereich bemerke zuerst, dass lim i(x) = 1. Die untere Grenze beim Wertebex!±1

reich ist durch das Minimum der Funktion gegeben. Wir erhalten für die Ableitung i0 (x) = 2x 8 und somit haben wir ein Minimum bei x = 4. Da i(4) = 42 32+19 = 3 erhalten wir: W = [4, 1)

-26-


Funktionen: Lösungen

uniseminar.ch

x2 lim 5 x!+1 x

1 3x + 4 x3 = lim x3 + 5x x!+1 1

lim 13 3 x14 + 4 x15 x!+1 x = 1 + 5 x14 lim 1 x2

x2 1 x5

1 3x + 4 x3 = lim x3 + 5x x! 1 1

3 x14 + 4 x15 = 1 + 5 x14 x2

lim

x!

lim 3 x14 + lim 4 x15

x!+1

x!+1 1 lim 2 + lim 5 x14 x!+1 x x!+1 1 lim 3 4 + lim 4 x15 x! 1 x x! 1

x!+1 lim 13 x! 1 x

lim 12 x! 1 x

lim 1

x! 1

lim (x2 3x + 4) x2 3x + 4 4 x!0+ lim+ = = =1 4 2 4 2 x!0 x(x x + 5) lim+ x lim+ (x x + 5) 0·5 x!0

lim

x!0

x!0 2

lim (x 3x + 4) x2 3x + 4 x!0 = = x(x4 x2 + 5) lim x lim (x4 x2 + 5) x!0

(d) i(x) =

x2 7x+12 3x2 +27

4 = 0·5

x!0

+

lim 5 14 x! 1 x

1

hat keine Definitionslücken. 1 x7 + x122 x2 7x + 12 = lim x!±1 x!±1 3x2 + 27 3 + x272 lim

lim 1

=

x!±1

lim 7 x!±1 x

lim 3 +

x!±1

= =

1

0+0 3+0

1 3

-32-

12 2 x!±1 x lim 272 x!±1 x

+ lim

=

0 =0 1

=

0 =0 1


Funktionen mit mehreren Variablen: Lösungen

uniseminar.ch

b) Einsetzen der Werte für a, b und c und Umformen liefert für die erste Kurve 4x2

12x + y 2 =

4(x2

=

4

=

4

=

4

3x) + y 2 ✓ ◆ 3 2 9 4 (x ) + y2 2 4 3 2 9 4(x ) 4 · + y2 2 4 3 2 4(x ) + y2 2 4(x 32 )2 y 2 + 5 5 3 2 (x 2 ) y2 + 5 5 4 3 2 ) 2 p 5 2 (2)

(x

4

=5

|:5

=1 =1

y2 + p = 1, ( 5)2

also ist die erste Kurve eine Ellipse mit Zentrum p b = 5. Für die zweite Kurve folgt

( 32 , 0)

und Halbachsen a =

y2 x2 1 = 0 2 x2 y2 p = 1, ( 2)2 12 also ist die zweite Kurve eine Hyperbel mit Parametern a = 1 und b =

-87-

p

2.

p

5 und 2


Extras

Prüfungen

Übungen

Ü


Ă&#x153;bungen Mathematik I Assessment

St.Gallen, September 2012


Inhaltsverzeichnis Serie 1

1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Lösungen der Zusatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Lösungen der Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Serie 2

20

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Lösungen der Zusatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Lösungen der Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Serie 3

47

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Lösungen der Zusatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Lösungen der Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Serie 4

69

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Lösungen der Zusatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Lösungen der Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Serie 5

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

96

Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Lösungen der Zusatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Lösungen der Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Serie 6

127

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Lösungen der Zusatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Lösungen der Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146


Einleitung

uniseminar.ch

Einleitung In diesem Kapitel findest Du die aktuellen Aufgaben, Zusatzaufgaben und Ergänzungsaufgaben aller Übungsserien 2011/2012 der Universität St. Gallen (HSG) sehr ausführlich und anschaulich vorgelöst. Jeder Schritt wird klar aufgezeigt, so dass bei Schwierigkeiten die Lösung durch einen detaillierten Lösungsweg nachvollziehbar wird und Fragen selbsterklärend beantwortet werden. Zudem haben wir Dir die meisten Übungen mit anschaulichen Grafiken versehen, so dass Du Dir die Aufgaben auch bildlich vorstellen kannst und besser verstehst. Es hat sich gezeigt, dass diese Übungen für eine erfolgreiche Klausur von grosser Wichtigkeit sind, denn die Professoren möchten, dass sich der Besuch der Übungen an der Universität für die Studenten auch auszahlt. Am Besten nimmst Du den Ordner gleich in die Übungen an der Uni mit, damit Du persönliche Ergänzungen und Kommentare der Übungsleiter notieren kannst.

Seminar Diese Aufgaben werden teilweise im Seminar behandelt, da immer wieder ähnliche Aufgaben an der Prüfung erscheinen. Dabei werden aber eher die schwierigen Aufgabentypen im Seminar besprochen, denn die einfacheren kannst Du auch selbst zuhause lösen.

Anweisungen Schaue Dir diese Serien gut an, denn neben den alten Prüfungen ist das Verständnis der Serien eine wichtige Voraussetzung, um die Prüfung erfolgreich zu meistern. Es hat sich nämlich gezeigt, dass in den letzten Jahren vermehrt ähnliche Aufgaben in den aktuellen Prüfungen erschienen sind. Löse diese Übungen entweder gleich während des Semesters oder vor den Prüfungen mindestens einmal gründlich durch. Gerne kannst Du zu diesen Übungen auch Fragen im Seminar an unsere Dozenten stellen, um letzte Unklarheiten vor der Prüfung aus dem Weg zu räumen.

Fragen Sobald bei Dir während dem Lernen eine Frage auftritt, kannst Du diese Frage auf unserer Homepage www.uniseminar.ch unter „Mein Account“ in der Rubrik „Meine Fragen“ erfassen. Deine Fragen werden dann gesammelt und dem Dozenten weitergeleitet. Durch Deine Fragen können wir uns ein gutes Bild davon machen, wo Deine grössten Schwierigkeiten liegen und somit während dem Seminar diese Punkte vertiefter behandeln. Je öfter Du Deine Fragen auf unserer Homepage erfasst, desto genauer können wir das Seminar an Deinen Problembereichen ausrichten.


Lösungen zur Serie 1: Aufgaben

uniseminar.ch

Lösungen zur Serie 1 Aufgaben A1) Welche der nachfolgenden Zahlenfolgen sind monoton? beschränkt? konvergent (Grenzwert)? a) an = 2 + ( 43 )n Lösung: an ist streng monoton wachsend, nicht beschränkt und divergent. Begründung: an ist streng monoton wachsend (an < an+1 ), denn an+1

an = =

h

2+

⇣ 4 ⌘n+1 i

3 ⇣ 4 ⌘n+1

3 ⇣ 4 ⌘n h 4 = · 3 3 ⇣ 4 ⌘n 1 = · 3 3

⇣ 4 ⌘n 3

1

h

2+

⇣ 4 ⌘n i 3

i

> 0

Da lim 2 + n!1

4 n 3

= 2 + lim

n!1

4 n 3

= 1, divergiert die Folge und ist nicht beschränkt.

-28-


Lösungen zur Serie 5: Aufgaben

uniseminar.ch

A7) Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen den Definitionsbereich und stellen Sie diesen graphisch dar: a) f (x, y) =

p (x + 4)(y + 5)

(x + 4)(y + 5) 1. (x + 4)

0

2. (x + 4)  0

0 0

)

D1 = {x

4; y

5}

(y + 5)  0

)

D2 = {x 

4; y 

5}

(y + 5)

)

-113-

D = D1 [ D2


Lรถsungen zur Serie 5: Aufgaben b) g(x, y) = ln(9 9

x2

x2

uniseminar.ch

y2)

y2 > 0

| + x2 + y 2

9 > x2 + y 2 ) D = {(x, y) 2 R2 |x2 + y 2 < 9} Dies ist das Innere eines Kreises mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius 3.

-114-


Lรถsungen zur Serie 5: Aufgaben c) h(x, y) =

uniseminar.ch

x y

y 6= 0 ) D = {(x, y) 2 R2 |y 6= 0} Somit entspricht der Definitionsbereich der Ebene R2 ohne die x-Achse.

-115-


Lösungen zur Serie 5: Aufgaben

uniseminar.ch

A8) Bestimmen Sie die Niveaulinien f (x, y) = c, c = 0, 1, 2, 3, ... für die folgenden Funktionen: a) f1 (x, y) = y 2

x f1 (x, y) = y 2

)

x=c

x = y2

c

Die Lösung dieser Gleichung ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt ( c, 0), die nach rechts geöffnet ist.

b) f2 (x, y) = |y| f2 (x, y) = |y| = c

)

y = c, und y =

Die Lösung dieser Gleichung ist ein Paar von horizontalen Geraden.

-116-

c


Lösungen zur Serie 5: Zusatzaufgaben

uniseminar.ch

d) Beschreiben Sie die Fläche im Raum Das ist eine ”Glockenfläche”.

B5) Gegeben ist die Funktion z = exy . Gesucht sind die Niveaulinien z = 1, z = e, z = e2 . z = exy = c: c=1:

exy = 1 = e0

)

x·y = 0

c=e:

exy = e = e1

)

x·y = 1

c = e2 :

exy = e2

)

x·y = 2

-125-

) ) ) ) ) )

x = 0 und/oder y = 0 x- und y-Achse y = x1 Hyperbel y = x2 Hyperbel


Lösungen zur Serie 5: Ergänzungsaufgaben

uniseminar.ch

E2) Skizzieren Sie die Bereiche der (x, y)-Ebene, für welche gilt:

a) (x

2)(y + 1) > 0

1. (x

2) > 0

)

x>2

2. (x

2) < 0

)

x<2

und (y + 1) > 0 und

y>

1

und (y + 1) < 0 und

y<

1

b) x2 + y 2 < 4 x2 +y 2 < 4 beschreibt einen Kreis um (0, 0) mit Radius 2, wobei die Kreislinie nicht dazugehört.

c) x · y 6= 0 Diese Funktion beschreibt die ganze xy-Ebene ohne die Achsen.

-128-


L枚sungen zur Serie 5: Erg盲nzungsaufgaben

uniseminar.ch

d) x 路 y > 2 x路y >2,y >

2 x

-129-


Extras

Pr端fungen

P


Pr端fungen Mathematik I Assessment

St.Gallen, September 2012


Inhaltsverzeichnis Prüfung 2002 Frühjahr

1

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Prüfung 2002 Herbst

18

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Prüfung 2003 Frühjahr

35

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Prüfung 2004 Frühjahr

51

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Prüfung 2005 Frühjahr

70

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Prüfung 2006 Frühjahr

87

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Prüfung 2007 Frühjahr

105

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Prüfung 2008 Winter

124

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Prüfung 2009 Winter

144

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Prüfung 2010 Winter

172

Aufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Lösungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176


Einleitung

uniseminar.ch

Prüfung 2011 Winter 186 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Test-Klausur 214 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Einleitung Im Folgenden findest Du alle bisherigen Prüfungen der Assessmentstufe von 2002-2011 mit ausführlichen Lösungswegen. Wir haben Dir alle verfügbaren Prüfungen sehr anschaulich und verständlich vorgelöst. Das Lösen dieser alten Prüfungen stellt den wichtigsten Teil Deiner Prüfungsvorbereitung dar. Wenn Du also den Prüfungsstil erkannt und verstanden hast und das Lösen dieser Probeprüfungen sitzt, sollte nichts mehr auf dem Weg zu Deiner gewünschten Prüfungsnote im Wege stehen! Durch das Lösen dieser originalen Prüfungen kannst Du Dich in eine «reale» Prüfungssituation versetzen lassen und ein Gefühl für den Stil und den Schwierigkeitsgrad sowie den ungefähren realen Prüfungsumfang entwickeln. Dies ist nicht zuletzt entscheidend für ein gutes Zeitmanagement während der realen Prüfungssituation. Mit Hilfe unserer sehr ausführlichen Musterlösungen kannst Du anschliessend Deine Leistung korrigieren und selbst beurteilen. Ausserdem hat Dir das Team von Uniseminar exklusiv eine Testklausur zusammengestellt. Diese Klausur soll Dir zeigen, wie eine mögliche Prüfung in diesem Semester aussehen könnte und richtet sich nach bestehenden alten Prüfungen.


Prüfung 2006 Frühjahr: Lösungen

uniseminar.ch

Lösungen

Aufgabe 1 a) Für welche Werte x ist 2 ln(x)

ln(x + 3) = ln(8)

ln(2)?

Damit die Logarithmen definiert sind, muss vorausgesetzt werden, dass x > 0 gilt. Die linke und rechte Seite werden zuerst einzeln umgeformt. Die linke Seite der Gleichung ist 2 ln(x)

ln(x + 3) = ln(x2 ) = ln

ln(x + 3)

⇣ x2 ⌘ x+3

Die rechte Seite der Gleichung ist ln(8)

ln(2) = ln

⇣8⌘ 2

= ln(4)

Die rechte und linke Seite werden wieder gleichgesetzt und die Gleichung schrittweise umgeformt: ln

⇣ x2 ⌘ = ln(4) x+3

|e(.)

x2 =4 x+3

x2 (x

4x

| · (x + 3)

x2 = 4x + 12

|

12 = 0

|faktorisieren

(4x + 12)

6)(x + 2) = 0 x 2 {6, 2}

x = 2 widerspricht x > 0, was zu Beginn vorausgesetzt wurde und ist somit keine Lösung. Also ist x = 6 die gesuchte Antwort. -80-


Prüfung 2006 Frühjahr: Lösungen

uniseminar.ch

c) Gegeben ist die Funktion f (t) = te t , t > 0. c1 ) Gesucht ist die Wachstumsrate r(t). Es gibt zwei mögliche Lösungswege.

r(t) =

f 0 (t) f (t)

=

1·e

= =

1

r(t) = (ln(f (t)))0 t

t

+ t · ( 1)e t·e t

= (ln(t) + ln(e t ))0

t

= (ln(t)

t 1 t

=

1 t

t)0

1

1

c2 ) Bestimmen Sie lim r(t). t!1

lim r(t) = lim

t!1

t!1

⇣1 t

⌘ 1 =

1

c3 ) Stellen Sie r(t) graphisch dar. Die Kurve von r(t) entspricht der Kurve y =

1 t

um eine Einheit nach unten verschoben.

-86-


Prüfung 2006 Frühjahr: Lösungen

uniseminar.ch

b) Gegeben ist die Funktion f (x, y) = ln(5

(x2 + y 2 )).

b1 ) Stellen Sie den Definitionsbereich der Funktion graphisch dar. Die Funktion ist definiert, falls

0 < 5

(x2 + y 2 )

)

5 > x2 + y 2

Das ist gleichbedeutend mit dem Inneren eines Kreises mit Mittelpunkt M = (0, 0) und Radius p r = 5.

-88-


Prüfung 2009 Winter: Lösungen

uniseminar.ch

Aufgabe 3 a) Gegeben ist die Funktion f (x, y) = (3

x2 + y 2 ) 3 .

a1 ) Ermitteln Sie die Niveaulinie f (x, y) = 8. a2 ) Um was für einen Typ von Kurve handelt es sich? a3 ) Skizzieren Sie diese Kurve. Lösung: a1 ) Ausrechnen: f (x, y) = 8 () (3

x2 + y 2 = 2

() 3 ()

x 2 + y 2 ) 3 = 23

x2 + y 2 =

() x2

1

y 2 = 1.

a2 ) In der Formelsammlung Punkt 5.3. sieht man, dass die Gleichung x2 y 2 = 1 mit der 2 2 Gleichung der Hyperbel xa2 yb2 = 1 übereinstimmt, wobei a = b = 1 gilt. D.h. wir haben eine Hyperbel mit Halbachsen der Länge 1. a3 ) Skizze: y

1

-147-

1

x


Prüfung 2010 Winter: Lösungen

uniseminar.ch

2

c) Gegeben ist die Funktion f (x, y) = (x0.5 + 2y 0.5 ) .

c1 ) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung. c2 ) Berechnen Sie die partielle Elastizität "f,x . c3 ) In welchem Punkt (x0 , y0 ) auf der Niveaulinie f (x, y) = 16 gilt "f,x = 0.5? Lösung: c1 ) Wir bilden zuerst die partiellen Ableitungen nach x (! behandle y wie eine Konstante) und y (! behandle x wie eine Konstante): fx = 2 · x0.5 + 2y 0.5 · 0.5 · x = x0.5 + 2y 0.5 · x = x0.5 · x

0.5

= x0.5

+ 2y 0.5 x

0.5

= 1 + 2x

0.5

+ 2y 0.5 x

0.5 0.5

y

-176-

0.5

0.5

0.5


Pr端fung 2011 Winter: L旦sungen

uniseminar.ch

zugelassenen Formelblatt). e4+x

2

y2

=1

, 4 + x2

y 2 = ln 1

, 4 + x2

y2 = 0

, y2

x2 = 4

,

y2 4

x2 =1 4

,

y2 22

x2 =1 22

Laut dem f端r die Pr端fung zugelassenen Formelblatt (-> Hyperbel 1.6.3) beschreibt diese Gleichung eine Hyperbel auf der xy-Ebene. Wir bekommen:

-208-


Extras

E


Formeln Mathematik I Assessment

St.Gallen, September 2012


Inhaltsverzeichnis 1 An der Pr端fung zugelassene Formelsammlung

1

1.1

Quadratische Gleichung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Wichtige Grenzwerte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3

Summenformel f端r die geometrische Reihe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.4

Unendliche geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.5

Trigonometrische Funktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.6

Kegelschnitte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.7

Grenzwerte bei Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.8

Ableitung spezieller Funktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.9

Gleichung der Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Zusammenstellung wichtiger Formeln von Uniseminar

4

2.1

Grundlagen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Funktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3

Ableitung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4

Folgen und Reihen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.5

Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.6

Wichtige Funktionen

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Einleitung

uniseminar.ch

Einleitung Anbei findest Du die aktuellste Formelsammlung, die an der Prüfung ausgeteilt wird. Da an der Prüfung auch gewisse Formeln als bekannt vorausgesetzt werden, haben wir Dir zusätzlich noch eine Zusammenstellung derjenigen Formeln gemacht, die an der Prüfung von grosser Wichtigkeit sind, jedoch nicht ausgeteilt werden. Schaue Dir diese Formeln in einer ruhigen Minute genau an! So findest Du heraus, ob Du diese bereits memoriert hast oder noch etwas Lernarbeit in die Formeln investieren solltest. Die Karteikarten decken die für die Prüfung vorausgesetzten Formeln in idealer Weise ab, sodass Du Dich effizient und eigenständig abfragen kannst.

Karteikarten In den Karteikarten findest du die wichtigsten Formeln, Vorgehensweisen und Kochrezepte. Es wurde aber bewusst darauf verzichtet, die „an der Prüfung zugelassenen Formeln“ in die Karteikarten aufzunehmen, da diese sowieso an der Prüfung ausgeteilt werden. Hingegen werden wichtige Formeln, die nicht ausgeteilt und als bekannt vorausgesetzt werden auf den Karteikarten gezielt abgefragt, sodass du an der Prüfung keine Überraschung erleben wirst. Wir möchten Dich zudem darauf hinweisen, dass wir nur das absolut Wesentliche in unser Karteikartenset aufgenommen haben und für die Prüfung unnötige Grafiken und Formeln bewusst weggelassen haben.

Seminar Im Seminar wird bei den meisten Aufgaben mit den wichtigsten Formeln gearbeitet. Dennoch wird im Seminar ausdrücklich nicht auf deren theoretische Beweise eingegangen, da dies für die Prüfung nicht relevant ist. Somit wird beim Lösen der Prüfungen im Seminar jeweils auf die Formelsammlung verwiesen.

Anweisungen Schau Dir diese Formelsammlung genau an und merke Dir die wichtigsten Formeln, die wir Dir auf den Karteikarten zusammengestellt haben. Lerne deshalb anfänglich mit der ausführlichen Formelsammlung und wechsle, sobald Du Dich sicher fühlst, auf die kurze Version, die an der Prüfung ausgeteilt wird. Nur so bekommst Du ein Gefühl dafür, ob Du die Formeln wirklich memoriert hast und nicht auf die Formelsammlung zurückgreifen musst. Es lohnt sich nur sehr beschränkt Formeln auswendig zu lernen. Mit ausreichender Übung prägen sich bei Dir die Formeln beim Lösen verschiedener Aufgaben automatisch ein. Je mehr Aufgaben Du also löst, desto eher wirst Du die Formeln intuitiv und selbstverständlich anwenden.


Formelsammlung

1

uniseminar.ch

An der Prüfung zugelassene Formelsammlung

Die folgenden Formeln werden auf einer eigenen Zusammenstellung der HSG an der Prüfung Mathematik I (HS 2009 sowie Nachholtermin FS 2010) ausgeteilt.

1.1

Quadratische Gleichung 2

ax + bx + c = 0

1.2

n!1

2. lim

n!1

1.3.1

1+

p n n x 1!

+

x2 2!

+ ··· +

xn n!

4ac

= ex .

Summenformel für die geometrische Reihe Endliche geometrische Reihe sn = a + aq + aq + · · · + aq

n 1

=

n 1 X k=0

für q 6= 1.

a · qk = a ·

1 qn qn =a· 1 q q

Unendliche geometrische Reihe sn = a + aq + aq 2 + · · · =

falls |q| < 1.

1.5

b2 2a

= ep

2

1.4

p

Wichtige Grenzwerte

1. lim 1 +

1.3

x1,2 =

1 X k=0

Trigonometrische Funktionen

sin2 x + cos2 x = 1 (nach dem Satz von Pythagoras) sin( x) = sin x cos( x) = cos x sin(x + ⇡2 ) = cos x cos(x + ⇡2 ) = sin x

-1-

a · qk =

a 1

q

,

1 , 1


Formelsammlung

1.6

uniseminar.ch

Kegelschnitte

1.6.1

Kreisgleichung y

y

r

r

v

x

u x2 + y 2 = r 2 1.6.2

r =Radius

Mittelpunkt (u, v): (x

y

b

y2 b2

1.6.3

=1

a, b: Halbachsen

(x u)2 a2

+

(y v)2 b2

=1

y b a

=1

x

a, b: Halbachsen

y2 b2

x2 a2

gleichseitige Hyperbel: y

x

1

x

=1

1 1

y2 = 1

a

y

1

x2

x

Hyperbel

b

y2 b2

a u

y

x2 a2

b

v

a x

0

+

u)2 + (y

Ellipsengleichung y

x2 a2

x

x

y=

1 x

-2-

v)2 = r2


Notizen Mathematik I Assessment

St.Gallen, September 2012


Notizen

uniseminar.ch



HSG_Mathe1_Ordner_Sample