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2008 年 4月 第 27卷

第 2期

重庆文理学院学报 ( 自然科学版 )

A pr ,

Jou rnal of Chongq ing U n iversity of A rts and S cien ces ( N atu ral Science Ed ition)

2008

V ol 27 N o 2

傅立叶变换的时 - 频对偶性 朱家富 ( 重庆文理学院

[摘

物理与信息工程系, 重庆

永川

402160)

要 ]傅立叶变换作为重要的信号分析与处理工具, 被广泛应用于工程实际中. 傅立叶变

换的基本形式包含连续时间傅立叶变换、 连续时间傅立叶级数、 离散时间傅立叶变换和离散时 间傅立叶级数 4种, 它们建立了信号或序列在时域与频域之间完善的映射关系, 并在连续与非 周期、离散与周期、 时间与频率、 乘积与卷积、抽样与延拓等方面形成了完美的时 - 频对偶性. [ 关键词 ]傅立叶变换; 基本形式; 时 - 频对偶性 [ 中图分类号 ] TN911. 6; G642

[文献标识码 ] A

傅立叶变换的原英文名称为 Fourier T rans fo rm ( FT ) , 常见的中文译名还有 傅里叶变换 、 付立叶变换 、 富里叶变换 、 富里哀变换 等

[文章编号 ] 1673- 8012( 2008) 02- 0036- 04 形式所建立的映射关系也不一样, 不管是哪一种 具体形式的傅立叶变换形式, 其映射形成的时 频信号之间均存在着完美的对偶性.

等. 傅立叶变换在物理学、 数论、 组合数学、信号

1 傅立叶变换的基本形式

处理、概率论、 统计学、 密码学、 声学、光学、海洋 学、 结构动力学等领域都有着广泛的应用. 如在

1. 1 连续时间傅立叶变换

信号处理中, 傅立叶变换的典型用途是将信号分 解成幅值分量和相位分量, 从频域的角度更能对

T ransfo rm, CTFT ) 的对象是时域非周期连续时间 函数. 一般来讲, 当连续时间信号 f ( t) 满足绝对

信号深入理解.

可积条件时, 即

最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析 [ 1] 的工具被提出的 , 其最初的意思是指傅立叶变 换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函 数 ( 正弦或余弦函数 ) 或者它们的积分的线性组 合. 一般说来, 常说的傅立叶变换是指连续时间 信号 (函数 ) 的傅立叶变换. 经过多年的发展, 在 不同的研究领域, 由于学科的发展和工程应用的 需要, 傅立叶变换发展出了不同的变体形式, 形 成了一大类变 换, 构 成了傅立 叶变换的 一大家

连续时间傅立叶变换 ( Cont inue T im e Fourier

! f ( t) -∀

dt < ∀ ,

( 1)

则函数可以用定义式进行傅立叶变换. 连续时间 傅立叶变换常按以下积分定义式来定义 ∀

!f ( t) e dt, 1 F( ) e d 2 !

F (j ) =

-j t

j t

-∀

: ( 2)

-∀ ∀

f ( t) =

[ 2]

.

( 3)

通常 ( 2) 式称为傅立叶正变换公式, ( 3) 式称

族, 他们均是在最初的傅立叶变换 (连续时间傅 立叶变换 )的基础上发展、 推广或演变而形成的,

为傅立叶反变换公式. 式中

都与连续时间傅立叶变换有着千丝万缕的联系.

以将 ( 2) 式和 ( 3)式中的

若 傅立叶变 换 一词 的前面未加任何 限定语, 则指的是 连续时间傅立叶变换 .

从 ( 2)式和 ( 3) 式的形式可以看出, 对于连续时间

傅立叶变换的本质是建立了时域信号与频 域信号之间的映射关系, 傅立叶变换不同的具体

征, 而变换所得的对应频域函数 F ( j ) 也具有连

*

为模拟角频率, 它与

实际中常用的线频率 f 有关系

= 2 f , 因此也可

用 f 替换而进行改写.

傅立叶变换, 时域函数 f ( t ) 具有连续非周期的特 续非周期的特征.

[ 收稿日期 ] 2008- 02 - 11 [ 作者简介 ] 朱家富 ( 1969 - ), 男, 重庆万州人, 副教授, 在读博士研究生, 主要从事电子电路和信号处理方面的研究. E- m ai:l szz j@ f 163. com

36


1. 2 连续时间傅立叶级数

个周期表示为 Fp ( k ), 它们由离散时间傅立叶级

对于时域连续、 周期为 T 的周期信号 fp ( t ), 由于其不满足绝对可积条件, 因此不存在如 ( 2) 式所示的傅立叶变换形式, 但它可由周期函数的 T 2

T 2

- jk 0 t

p

dt ,

( 4)

F (k

k= - ∀

0

jk 0 t

)e

.

( 5)

< k < ∀ 为整数, 而

0

= 2 /T

称为基波频率, k 称为谐波频率. 上述的变换对 称为连续时间傅立叶级数 ( Continue T im e Fourier Series, CTFS) . 由 ( 4)式和 ( 5) 式可以看出, 对于 时 域 连 续 的 周 期 函 数 fp ( t), 其 频 域 变 换 式 F (k

0

) 具有离散非周期的特征.

1. 3 离散时间傅立叶变换 离散时间傅立叶变换 ( D iscrete T im e Fourier T ransform, DTFT )针对的对象是时域离散非周期 时间序列 f ( n), 它建立了时域序列 f ( n ) 与频域 j

函数 F p ( e ) 之间的映射关系

[ 3]

,即

f (n) =

1 2

#

n= - ∀

- jn

f( n ) e

! -

( 8)

1 - nk fp ( n ) = Fp ( k )WN . N # n= 0 2 N

其中 WN = e

, jn

Fp ( j ) e d .

( 9)

被称为旋转因子, 它具有周

期性, 即 nN

2 N

- j nN

WN = e

- j2 n

= e

= 1.

( 10)

任意给定一个周期序列 fp ( n ) 都可以由 ( 8) 式求出它的傅立叶级数的系数序列 F p ( k) . 也就 是说, 时域中的一个周期序列必定与频域中的一 个周 期 序 列一 一 对 应

[ 4]

. 可 以 看 出 周 期 序列

fp ( n ) 的傅立叶级数系数 F p ( k ) 也是以 N 为周期 的周期序, 而 F p ( k ) 的周期性存在于: N- 1

#f

Fp ( k + N ) =

n( k+ N )

p

( n )WN

=

n= 0 N- 1

#f

N- 1 p

nk N

nN N

( n)W W

n= 0

Fp ( j ) =

nk

( n )W N ,

p

-j

#

其中 - ∀

#f n= 0

fp ( t) =

N- 1

N- 1

!f ( t) e -

映射关系, 即 Fp ( k ) =

傅立叶级数展开得到频域变换式, 即 1 F( k 0) = T

数 ( D iscrete T im e F ourier Serie s, DTFS) 构成变换

=

#f

nk

p

( n )WN = F p ( k ) .

n= 0

( 6)

( 11)

( 7)

由以上的分析可知, 离散时间傅立叶级数建 立了时域离散周期序列 fp ( n ) 和频域周期离散

j

从变换结果来看, 频域函数 F p ( e ) 具有周 期连续的特征, 其周期为 2 . 离散时间傅立叶变 换建立了时域离散非周期序列和频域周期连续 函数之间的映射关系. 1. 4 离散时间傅立叶级数 对于一个周期为 N 的离散序列 f ( n ), 其中 的一个周期 表示 为 fp ( n), 其 对应 的频 域 信号

序列 Fp ( k ) 之间的映射关系. 2 傅立叶变换的时 - 频对偶性 CTFT、CT FS、DTFT 和 DTF S 为傅立 叶变换 的基本形式, 它们建立了时域信号与频域信号之 间完美的映射关系, 其时 - 频表达式之间也具有 完整的对偶关系. 表 1为基本傅立叶变换 4种形 式的基本特征.

F ( k ) 也是一个周期为 N 的周期序列, 其中的一 表 1

4种基本傅立叶变换形式及其基本特征

变换形式

简写形式

时域特征

频域特征

连续时间傅立叶变换

CT FT

连续、非周期

非周期、 连续

连续时间傅立叶级数

CTFS

连续、 周期

非周期、 离散

离散时间傅立叶变换

DTFT

离散、非周期

周期、连续

离散时间傅立叶级数

DTFS

离散、 周期

周期、离散

以上分析实际上包含了所有可能的信号形 式. 上述映射关系有这样的对称关系: 如果信号

是离散的, 则信号在频域中的表达式一定是周期 的, 反之如果信号在频域中是离散的, 则信号在

在时域中是连续的, 则它的频域表达式一定是非

时域中的表达式是周期的.

周期的, 反之若信号在频域中是连续的, 则它的

傅立叶变换形式除了在周期否与离散否之

时域表达式一定是非周期的; 如果信号在时域中

间具有对偶关系以外, 在其建立的映射关系中还 37


隐含有其它多种对偶关系.

来看, 时域函数的时间变量与频域函数的频率变

2. 1 连续与非周期

量之间也遵循对偶原则.

如图 1 所示, 在傅立叶变换的基本形式中, CTFT 和 CTFS建立了时域连续与频域非周期之间

表 2 傅立叶变换表达形式中的时域与频域变量对比 变换形式

时域变量

CT FT

t

CTFS

t

DTFT

n

续和离散信号的傅立叶变换, 时域信号是非周期

DTFS

n

的, 其变换的结果是频域表达式, 一定是连续函 数.

2. 4 有限与无限

的对偶关系. 它们针对的都是连续时间信号的分 析, 其共同的特点是: 频域变换结果均为非周期信 号或序列. 而 CTFT 和 DTFT 建立了时域非周期与 频域连续之间的对偶关系, 他们分别针对的是连

频域变量

k

0

k

对于信号或序列的傅立叶变换而言, 无论是 哪一种具体形式, 其时域与频域在映射区域的有 限性与无限性之间也存在对偶关系, 即只有在时 域内有限才可能在频域内无限, 同样也只有在时 域内无限才可能在频域内有限, 人们不可能有或 者构造一个在时间和频带都任意小的信号, 这种 [ 5]

图 1 连续性与非周期性的时–频映射关系

在图 2 中显示的是离散性与周期性之间的 对偶关系. 从图中可以看出, 与连续性和非周期

有限与无限的度遵循不确定原理 : 1 2 1 1 + 4C ovtw . TB ∃ , 或 !t !w ∃ 2 2 其中, T 表示平均时间, B 表示平均带宽, ! t 表

性之间的对偶关系相似, CTFS和 DTFS建立了时

示持续时间, ! 表示持续带宽, 而 Cov表示协方

域周期和频域离散之间的对偶关系, 而 DTFT 和

差. 测不准原理告诉我们, 信号能量的分布在时

DTFS建立了时域离散和频域周期之间的对偶关 系.

间的局部性和频率的局部性上是相斥的 . 也表 明, 有限和无限在时域与频域之间存在对偶性.

2. 2 离散与周期

[ 6]

2. 5 乘积与卷积 乘积与卷积本为两个基本的数学运算, 但在 信号分析中的傅立叶变换形式之间, 乘积运算和 卷积运算也形成了完备的对偶关系, 如图 3所示. 总体上, 无论是傅立叶变换的哪种具体形式, 时域 图 2 离散性与周期性的时–频映射关系

2. 3 时间与频率 时间和频率是描述信号最基本的两个物理 量. 基本傅立叶变换形式分别所采用的时间和频

卷积对应于频域乘积, 而时域乘积对应于频域卷 积, 但其对偶关系中相差一个与变换形式有关的 系数. 傅立叶变换的时域与频域之间的这种对偶 关系, 是化简卷积运算为乘积运算的重要途径.

率变量如表 2所示. 在时域中, 连续时间信号用 时间变量 t来描述. 离散时间变量用 n来描述, 其 为一个无量纲的序数, 但其隐含有时间概念, 与 时间 t的关系为 t = nT s , 其中 T s 为抽样周期. 在 频域中, 描述各种变换表达式的频率变量各不相 同: 称为模拟角频率, 具有连续非周期的特征; k

0

为离散角频率, 具 有离散非周期的特 征, 频

率抽样率与 时域信 号的 周期 T 有 关, 为

0

=

2 /T ; 为数字角频率, 具有连续周期的特征, 周期为 2 ; 而 k 为数字频率, 具有离散周期的特 征, 周期与时域序列的周期相同, 均为 N . 从结果 38

图 3 卷积与乘积的时–频映 射关系

2. 6 抽样与延拓 如图 4所示, 傅立叶变换在抽样与延拓之间 也建立了对偶关系. 总体上看, 不管具体形式怎 样, 时域抽样对偶于频域延拓, 而时域延拓对偶 于频域抽样. 这一组对偶关系也可以从连续与非


周期、离散与周期之间的对偶关系来解释: 不管

傅立叶变换建立了时域信号或序列与频域

是时域还是频 域, 抽 样过程就 是将连续 变为离

信号或序列之间完善的映射关系, 其特征在时–

散, 其对偶的延拓自然是将非周期变为周期. 需 要阐明的是, 抽样过程可能出现截断, 对应的延

频之间形成了完美的对偶关系, 主要包含连续与 非周期、 离散与周期两个基本的对偶关系, 以及

拓过程可能会出现重叠, 抽样率与延拓的周期之

由此引申出来的时间与频率、有限与无限、 乘积

间相关联.

与卷积和抽样与延拓等对偶关系. 这些对偶关系 均可以从不同傅立叶变换形式的时域和频域表 达式中得到印证. 对不同形式傅立叶变换特征的时–频对偶 关系的了解, 有助于对各种傅立叶变换的理解, 也有助于理解不同傅立叶变换形式之间的内在 联系. 当然, 傅立叶变换除了具有本文所引用的 4种基本形式以外, 在工程实际中还有多种改进 形式, 其变换的时–频特征之间也存在有相似的 对偶关系. [ 参考文献 ] [ 1] 林家翘, 西格尔. 自然科学中确定性问题的应用数学 [M ]. 赵国英, 等译. 北京: 科学出版社 , 1986. [ 2] A V Oppenhe im, A S W illsky, S H N aw ab. S ignals and System s[M ]. Be ijing: Publish ing H ouse o f E lectron ics

图 4 抽样与延拓的时–频对应关系

Industry, 2006. [ 3] 董绍平, 陈世耕, 王洋. 数字信号处理基础 [M ]. 黑龙

3 结语 与其它研究领域不一样, 在信号分析与处理 领域, 未加任何限制性定语的 傅 立叶变换 是

江: 哈尔滨工业大学出版社, 1996. [ 4] 程佩青. 数字信号处理 [ M ]. 北京: 清华大学出版社, 2001.

指一类变换, 应该包含连续时间傅立叶变换、连 续时间傅立叶级数、 离散时间傅立叶变换和离散

[ 5] (美 ) L. 科恩. 时 - 频分 析: 理 论与 应 用 [ M ]. 白 居

时间傅立叶级数 4种基本形式, 而不是简单的连

[ 6] (法 ) S M a llat. 信号 处理的小波导引 [M ]. 杨力华, 戴

续时间傅立叶变换的简称.

宪, 译. 陕西: 西安交通大学出版社, 2000. 道清, 黄文良, 等译. 北京: 机械工业出版社, 2002.

Duality of Fou rier Transform betw een T im e and Frequency D om ain s ZHU Jia- fu ( D ep t. o f P hys ics & In fo rm a tion E ng inee ring, C hong q ing U n iv e rs ity o f A rts an d S c ie nces , Y ong chua n C ho ngq ing 402160, C h ina )

Abstract: As an im po rtant m ethod in sig na l ana ly sis and processing, Fourier transform has been w id ely ap plied in engineerin g. Fourier T ransform in continuous tim e, F ourier Series in contin uous tim e, F ourier T rans fo rm in d iscrete tim e and Fourier Series in discrete t im e are basic form s of Fourier transform. By th em, the perfectm apping re lationsh ip s o f signals or series betw een t im e- dom a in and frequency- dom ain are form ed. The dua lities betw een tim e and frequency - dom ain are fo rm ed too, inc lud ing cont inuation and perio dic ity, discretion and period icity, tim e and frequency, mu lt ip lication and convo lu tio n, sam p ling and contin uation, and so on. K ey w ord s: Fourier transform; basic form s; tim e- frequency duality

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Fourier Transform