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MANUAL AUTOFORMATIVO

ANALISIS MATEMÁTICO I

Saul Orlando Matias Caro


Cada autor es responsable del contenido de su propio texto. De esta edición: © Universidad Continental S.A.C 2012 Jr. Junin 355, Miraflores, Lima-18 Teléfono: 213 2760 Derechos reservados ISBN 978-9972-848-38-4 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°2010-05252 Registro de Proyecto Editorial N° 3150401000361 Primera Edición: octubre 2012 Tiraje: 1000 ejemplares Autor: Saul Orlando Matias Caro Impreso en el Perú - Printed in Perú Fondo Editorial de la Universidad Continental Impreso en los Talleres Gráficos: Xprinted Solución Gráfica S.R.L. Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, en todo ni en parte, ni registrada en o trasmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro sin el permiso previo por escrito de la Universidad.


ÍNDICE INDICE INTRODUCCIÓN PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA

9

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA 9 UNIDADES DIDÁCTICAS 9 TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO 9 UNIDAD I: LIMITES Y CONTINUIDAD

11

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I

11

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

11

TEMA Nº 1: LÍmites

12

1 Límite de una función

12

2 Propiedades de los límites

12

3

13

Cálculo de límites

TEMA Nº 2: LÍmites Laterales

19

1

Limites laterales

19

2

Límites infinitos y asíntotas verticales

20

3

Límites al infinito y asíntotas horizontales

21

LECTURA SELECCIONADA Nº 1

22

Aportaciones de Jan Bernoulli al Cálculo. Tomado de: Rodríguez Sánchez, Oscar. “Apuntes de Historia de las Matemáticas”, Nº. 1, Vol. 2, ENER0 2003. Universidad Sonora, México. Págs. 14 y 15

ACTIVIDAD Nº 1

22

TEMA Nº 3: LÍmites Trigonométricos

22

1

Limites trigonométricos

22

Calculo con límites trigonométricos

22

2

TEMA Nº 4: Continuidad de una función

22

1

Continuidad de una función

22

Propiedades de la continuidad de una función

22

2

LECTURA SELECCIONADA Nº 2

22

“No existe el movimiento". La paradoja de la Dicotomía de Zenón. Tomado de: Rodríguez Sánchez, Oscar. “Apuntes de Historia de las Matemáticas”, No. 1, Vol. 2, ENER0 2003. Universidad Sonora, México. Pág. 10.

ACTIVIDAD N° 2

26

CONTROL DE LECTURA Nº 1

26

bibliografía de la unidad i

26

AUTOEVALUACIÓN de la unidad i

27


UNIDAD II: LA DERIVADA

29

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD ii

29

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

29

Tema N° 1: La derivada y su interpretación

30

1 La derivada y su interpretación geométrica

30

2 La derivada y su interpretación física

30

3

31

Definición de Derivada

Tema N° 2: Reglas de derivación – I parte

36

 1 Reglas básicas de derivación

36

2 Derivadas de productos y cocientes

LECTURA SELECCIONADA Nº 1

37

22

Origen del cálculo diferencial. Tomado de: Rodríguez Sánchez, Oscar. “Apuntes de Historia de las Matemáticas”, No. 1, Vol. 2, Enero 2003. Universidad Sonora, México. Págs. 22 - 25.

ACTIVIDAD N° 1

42

Tema N° 2: Reglas de derivación – II parte

42

 1 Derivada de las funciones trigonométricas

44

2

Derivadas de orden superior

45

3

La regla de la cadena

45

Tema N° 4: DERIVADAS IMPLÍCITAS

44

1

44

Derivadas implícitas

LECTURA SELECCIONADA Nº 2

22

El concepto de velocidad instantánea. Tomado del: Instituto Politécnico Nacional.“Calculo Diferencial – Libro para el estudiante”, Marzo 2005. Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional, México. Págs. 155 - 158.

ACTIVIDAD N° 2

45

TAREA ACADÉMICA N° 1

45

bibliografía de la unidad ii

45

AUTOEVALUACIÓN de la unidad ii

46

UNIDAD III: DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA, EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

47

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD iii

47

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES

47

Tema N° 1: derivada de la función inversa

48

1 Derivada de la función inversa

48

2 Derivada de la función trigonométrica inversa

48


Tema N° 2: Derivada de la función exponencial y logarítmica

52

 1 Derivada de la función exponencial

52

2 Derivada de la función logaritmo natural

LECTURA SELECCIONADA Nº 1

53

22

Georg cantor: ¡Se han formado las parejas!. Tomado del: Instituto Politécnico Nacional. “Calculo diferencial – Libro para el estudiante”, Marzo 2005. Academia Institucional de Matemáticas del nivel medio superior del Instituto Politécnico Nacional, México. Págs. 142 - 144.

ACTIVIDAD N° 1

58

Tema N° 3: Derivada de la función hiperbólica

58

 1 Definición de una función hiperbólica

58

2 Derivada de la función hiperbólica

58

Tema N° 4: Aplicaciones de la Derivada

58

 1 Movimiento rectilíneo

58

2 Extremos de una función y teorema del valor medio

LECTURA SELECCIONADA Nº 2

58

22

Determinación de Máximos y Mínimos (Método usado por Fermat). Tomado de: Bromberg,Shirley y Rivaud Juan José. “Fermat y el Cálculo Diferencial e Integral”, Miscelánea Matemática 34, 2001. Universidad Autónoma Metropolitana, México. Págs. 63 - 65.

ACTIVIDAD N° 2

60

control de lectura N° 2

60

bibliografía de la unidad iii

61

AUTOEVALUACIÓN de la unidad iii

61

UNIDAD IV: APLICACIONES DE LA DERIVADA

63

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD iv

63

organización de los aprendizajes

63

Tema N° 1: Análisis de Gráficas

64

1 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada 2

Concavidad, puntos de inflexión y el criterio de la segunda derivada

64 64

Tema N° 2: Razones de Cambio

68

 1 La derivada como razón de cambio

68

LECTURA SELECCIONADA Nº 1

El concepto de razón de cambio instantánea, tomado del: Instituto Politécnico Nacional.“Cálculo diferencial – Libro para el estudiante”, Marzo 2005. Academia institucional de matemáticas del nivel medio superior del Instituto Politécnico Nacional, México. Págs. 153 - 155.

22


Tema N° 3: Optimización

68

 1 Problemas de optimización

68

Tema N° 4: Formas indeterminadas

68

 1 Regla de L´Hospital

68

LECTURA SELECCIONADA Nº 2

22

Otro eureka de arquímedes. Tomado del: Instituto Politécnico Nacional.“Cálculo diferencial – Libro para el estudiante”, Marzo 2005. académia institucional de matemáticas del nivel medio superior del Instituto Politécnico Nacional, México. Pág. 141.

ACTIVIDAD N° 2

70

tarea académica N° 2

70

bibliografía de la unidad iv

73

AUTOEVALUACIÓN de la unidad iv

73

ANEXOs

74


INTRODUCCIÓN

L

a asignatura de Análisis Matemático I se de-

• Realizar el estudio de los contenidos. Es nece-

sarrollacon una modalidad de educación

sariola lecturaanalítica, la comprensión de los

virtual,para eso este manual autoformativo

ejemplosy el repaso de los temas.

es sumaterial didáctico mas importante dentro de su formación profesional. La matemática como ciencia es una de las más importantesy poderosas herramientas creada por elser humano. Es así como la asignatura de Análisis

• Desarrollar las actividades, con referencia en losejemplos resueltos por cada tema. • Desarrollar la autoevaluación, que es una preparaciónpara la prueba final de la asignatura

Matemático I, trata de temas básicos que permite

• Desarrollar las actividades programadas para ca-

a los estudiantesdesarrollar sus habilidades y des-

dasemana en el aula virtual, con la asesoría del

trezas y lomás importantes incursionar en el inicio

Tutor.

del estudiode las matemáticas superiores en toda su universalidad.

Por tanto Ud. requiere un conocimiento directo y practicode la matemática que le permita aplicar en

De esta manera se ha planteado 4 unidades, las

temasde su carrera profesional, tomando casos de

cualesestán debidamente organizadas y sistematiza-

su entorno,logrando de esta manera la adquisición

dasteniendo en cuenta los principios pedagógicos,

de conocimientosde la matemática a través de la

motivopor el cual en primer lugar se presenta la

aplicación directade la teoría sin dejar de lado la

teoría,luego ejercicios resueltos, actividades de au-

motivación y la aplicaciónde nuevas metodologías

toaprendizajey finalmente la autoevaluación.

para desarrollar un buenaprendizaje.

Para el estudio del manual se sugiere la siguientese-

cuencia en cada unidad:


Desarrollo de contenidos

PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA Diagrama

Objetivos

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Inicio

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Desarrollo Actividades Autoevaluación Analiza las herramientas del Calculo Diferencial, para resolver problemas en los cuade contenidos

les el estudio de las funciones, junto con el concepto de derivadas son fundamentales, desarrollando habilidades para aplicar en la solución de problemas de razón de cambio y optimización de funciones.

Lecturas seleccionadas

Glosario

Bibliografía

UNIDADES DIDÁCTICAS UNIDAD I

UNIDAD II

Recordatorio Anotaciones Limites y continuiLa

derivada

dad

UNIDAD II

Derivada de la función inversa, exponencial y logarítmica

UNIDAD IV

Aplicaciones de la derivada

TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO: UNIDAD I

UNIDAD II

UNIDAD II

UNIDAD IV

1a y 2a Semana

3a y 4a Semana

5a y 6a Semanaa

7a y 8a Semana

16 horas

16 horas

16 horas

16 horas

ANALISIS MATEMÁTICO I Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Bibliografía

9


Desarrollo de contenidos

Diagrama

Desarrollo de contenidos

Diagrama Lecturas seleccionadas

Objetivos

Inicio

Actividades

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Autoevaluación

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I Objetivos Glosario

Inicio Bibliografía

Actividades

EJEMPLOS

Autoevaluación

Anotaciones

autoevaluación

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Diagrama

Lecturas seleccionadas

UNIDAD I: LÍMITES Y CONTINUIDAD

CONTENIDOS

Desarrollo de contenidos Recordatorio

ACTIVIDADES

BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Objetivos

Inicio

CONOCIMIENTOS

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

Tema N° Actividades 1: Limites Autoevaluación 1 Límite de una función. 2 Propiedades de los límites. 3 Cálculo de límites Lecturas N° 2: Glosario Tema LimitesBibliografía Laterales seleccionadas 1 Limites laterales 2 Límites infinitos y asíntotas verticales. 3 LímitesAnotaciones al infinito y asínRecordatorio totas horizontales Lectura seleccionada 1: Aportaciones de Jan Bernoulli al Cálculo. Tomado de: Rodríguez Sánchez, Oscar. “Apuntes de Historia de las Matemáticas”,No. 1, Vol. 2, ENER0 2003. Universidad Sonora, México. Págs. 14 y 15. Tema N° 3: Limites Trigonométricos 1 Limites trigonométricos 2 Calculo con limites trigonométricos Tema N° 4: Continuidad de una función 1 Continuidad de una función. 2 Propiedades de la continuidad de una función. Lectura seleccionada 2: “No existe el movimiento". La paradoja de la Dicotomía de Zenón. Tomado de: Rodríguez Sánchez, Oscar. “Apuntes de Historia de las Matemáticas”,No. 1, Vol. 2, ENER0 2003. Universidad Sonora, México. Pág. 10. Autoevaluación Nº 1

1. Utiliza el concepto de límite de una función para definir sus propiedades. Resuelve ejercicios para afianzar los conceptos aprendidos 2. Define los límites laterales. 3. Define los límites infinitos. 4. Utiliza los límites infinitos para hallar asíntotas verticales. Resuelve ejercicios para afianzar los conceptos aprendidos. 5. Define los límites al infinito. Utiliza los límites al infinito para hallar asíntotas horizontales. Resuelve ejercicios para afianzar los conceptos aprendidos. Actividad N° 1 Practicas Dirigidas de ejercicios propuestos de los temas tratados en esta unidad. 6. Define los límites trigonométricos. Resuelve ejercicios para afianzar los conceptos aprendidos. 7. Utiliza el concepto de continuidad de una función para definir sus propiedades. Resuelve ejercicios para afianzar los conceptos aprendidos Actividad N° 2 Practicas Dirigidas de ejercicios propuestos de los temas tratados en esta unidad. Control de Lectura Nº 1 Resuelve un cuestionario para determinar el grado de entendimiento de los temas de esta Primera unidad

1. Toma conciencia del rol de ser estudiante universitario.

Desarrollo de contenidos

ANALISIS MATEMÁTICO I Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

2. Demuestra interés por el curso. 3. Demuestra interés en los nuevos conocimientos y respeta la opinión de sus compañeros. 4. Juzga la importancia del cálculo en su quehacer cotidiano y profesional

Bibliografía

11


12

Actividades

AutoevaluaciĂłn

Glosario

BibliografĂ­a

Modalidad Virtual

UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD

UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD

TEMA N°1: L�MITES

TEMA N° 1: LIMITES

I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD UNIDADUNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD

Anotaciones

El Cålculo, su fundamento de estudio Êsta enLIMITES los límites, por tanto estetema es trascenN° 1: El Cålculo, su fundamento de TEMA estudio Êsta en los límites, por tanto estetema es TEMA N° 1: LIMITES dental. De hecho, la derivada y la integraldefi nida sonson conceptos basados trascendental. De hecho, la derivada y la integraldefinida conceptos basadosen enlímites. Conceptualizar límite determinandoel comportamiento de unadefunción e interpretarlo límites. Conceptualizar límite determinandoel comportamiento una función e Cålculo, su fundamento deÊsta Êsta eninicio lospor límites, por tanto su gråfica, ayudaråbastante en el del de losestetema límites. Aes El Cålculo, su fundamento de estudio los límites, tanto estetema es eninterpretarlo su Elgråfi ca,en ayudaråbastante en estudio el en inicio del anålisis deanålisis los límites. A continuación trascendental. De la yderivada y la integraldefinida son conceptos basados en continuación veamos los siguientes ejemplos: trascendental. De la hecho, derivada la integraldefinida son conceptos basados en veamos los hecho, siguientes ejemplos: límites. Conceptualizar límite determinandoel comportamiento de una función e

lĂ­mites. Conceptualizar lĂ­mite determinandoel comportamiento de una funciĂłn e grĂĄfica, ayudarĂĄbastante endel el anĂĄlisis iniciopor delde anĂĄlisis de los : A A interpretarlo veces noen se su puede calcular directamente... Usemos ejemplo esta funciĂłn interpretarlo en algo su grĂĄfica, ayudarĂĄbastante en el inicio los lĂ­mites. A lĂ­mites. continuaciĂłn veamos los siguientes continuaciĂłn veamos los siguientes ejemplos: ejemplos:

A veces algo no se puede calcular directamente... Usemos por ejemplo esta funciĂłn: đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 − 1

A veces no calcular se puede calcular directamente... Usemos poresta ejemplo esta đ?‘Śđ?‘Ś = Usemos por : funciĂłn: A veces algo no sealgo puede directamente... ejemplo funciĂłn đ?‘Ľđ?‘Ľ − 1

2 đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 − 1đ?‘Śđ?‘Ś = đ?‘Ľđ?‘Ľ − 1 đ?‘Ľđ?‘Ľ − 1 đ?‘Ľđ?‘Ľ − 1 12 − 1 1 − 1 0 Y calculemos su valor đ?‘Śđ?‘Ś 1: = = = Y calculemos su valor para đ?‘Ľđ?‘Ľ = 1:para đ?‘Ľđ?‘Ľ = 1−1 0 1−1 2 0 0 12 − 1đ?‘Śđ?‘Ś = 11−−1 1 =0 1 − 1 = 0 ÂĄPero es un problema! đ?‘Śđ?‘ŚEn realidad no podemos saber el valor de , asĂ­ que tenemos = = = 1 0 0 1−1 1 −−11 0 1 − 1 0

Y calculemos su valor para đ?‘Ľđ?‘Ľ = 1:

đ?‘Śđ?‘Ś =

que encontrar otra manera de hacerlo. 0 0 0 ÂĄPero es un problema! Enno realidad no saber podemos saberdeel0,valor de tenemos , asĂ­ que tenemos ÂĄPero esEn un problema! En realidad podemos el valor asĂ­ que 0 0 lugar de calcular con đ?‘Ľđ?‘Ľ = 1 vamos a acercarnos poco a poco: 0 0 que encontrar otra que encontrar otra manera demanera hacerlo.de hacerlo. 2

x −poco 1 a poco: Encalcular lugar de calcular con đ?‘Ľđ?‘Ľ =a1acercarnos acercarnos En lugar con đ?‘Ľđ?‘Ľ = 1con vamos poco a poco: Xvamosaaacercarnos Endelugar de calcular x=1 vamos poco a poco: x −1

0.5 X 0.9

X 0.5 0.9 0.99 0.999

0.99 0.5 0.999 0.9 0.9999 0.99

0.99999 0.999

2

2

1.50000 x −1

x −1 1.90000 x −1 x −1

1.99000 1.50000 1.50000 1.99900 1.90000 1.90000 1.99990 1.99000 1.99000 1.99999 1.99900 1.99900

0.9999 ... ... 0.9999 1.99990 1.99990 0.99999 0.99999 1.99999 1.99999 ... x 2 − 1 ... ... Vemos que cuando x se...acerca a 1, se acerca a 2

x −1 2 x interesante: −interesante: 1a 1, x − 1 se acerca a 2 Vemos que cuando xa se1,acerca Ahora tenemos una situaciĂłn tenemos una situaciĂłn VemosAhora que cuando x se acerca se acerca x −1 a 2 x −1 2

• Cuando �� = 1no sabemos la respuesta (es indeterminada) Ahorauna tenemos una interesante: situación interesante: Ahora • tenemos Cuandosituación x=1no sabemos la respuesta (es indeterminada) • Pero vemos que va a ser 2 • �� vemos Cuando �� = 1no (es indeterminada) Pero que va alasabemos ser 2 la respuesta • • Cuando = 1no sabemos respuesta (es indeterminada) Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemåticos usan la • "límite" Pero que2va aexactamente ser 2 palabra para referirse a estas situaciones. • Pero vemos quevemos va a ser

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, asĂ­ que los matemĂĄticos usan la pala-

Queremos dar la respuesta "2"podemos, pero no podemos, asĂ­matemĂĄticos que los matemĂĄticos 2 pero no Queremos dar la respuesta asĂ­ que los usan la usan la x"2" − 1 exactamente brapalabra "lĂ­mite" para referirse a estas situaciones. paraexactamente referirse exactamente a estas situaciones. cuando (o se aproxima) a 1 es 2 El"lĂ­mite" lĂ­mite de palabra "lĂ­mite" para referirse a xtiende estas situaciones.

x −1 x2 −1 − 1 decuando cuando(oxtiende (o se aproxima) El x lĂ­mite ElEllĂ­mite xtiende se aproxima) a 1 es 2 a 1 es 2 cuando lĂ­mitede de x − 1 xtiende (o se aproxima) a 1 es 2 x −1 2

8 8

8 Es importante seĂąalar que al estudiar el lĂ­mite de una funciĂłn, no se menciona el valorque toma la funciĂłn exactamente en el punto. AsĂ­, en el ejemplo, no importa cuĂĄl es elvalor de f(1), sino el valor de f(x)cuando x tiende a 1. Esto se debe a que elconceptode lĂ­mite de una funciĂłn en un punto del valor que toma la funciĂłn Es importante importante seĂąalar que que estudiares lĂ­mite de de una una funciĂłn, funciĂłn, no se menciona menciona Es seĂąalar alal estudiar elelindependiente lĂ­mite no se elel valorquetoma tomalalafunciĂłn funciĂłnexactamente exactamenteen enelelpunto. punto.AsĂ­, AsĂ­,en enelelejemplo, ejemplo,no noimporta importacuĂĄl cuĂĄl valorque eneste.

đ?‘“đ?‘“(1), , sino sino elel valor valor de de đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ) đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ)cuando cuandođ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘Ľ tiende tiende aa 1. 1. Esto Esto se se debe debe aa que que es elvalor elvalor de deđ?‘“đ?‘“(1) es elconceptodelĂ­mite lĂ­mitede deuna unafunciĂłn funciĂłnen enun unpunto puntoes esindependiente independientedel delvalor valorque quetoma tomalala elconceptode funciĂłn eneste. funciĂłn eneste. Ahora veamos otro caso, puede suceder que en dicho punto la funciĂłn no estĂŠ definida

y aĂşn exista elveamos limite. otro El siguiente ejemplo presenta esta situaciĂłn: Ahora veamos otro caso, puede puede suceder que en en dicho punto lala funciĂłn funciĂłn no no estĂŠ estĂŠ Ahora caso, suceder que dicho punto definidayyaĂşn aĂşnexista existaelellimite. limite.ElElsiguiente siguienteejemplo ejemplopresenta presentaesta estasituaciĂłn: situaciĂłn: definida

2 x2 2 − 3x − 2 paratoda todađ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘Ľâˆˆâˆˆâ„?,â„?, đ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘Ľâ‰ ≠22 đ?‘“đ?‘“lalafunciĂłn funciĂłn definida por ecuaciĂłn: f f( x( x) )==2 x − 3 x − 2 para SeaSea fSea la đ?‘“đ?‘“funciĂłn defi nida por lalala ecuaciĂłn: para toda definida por ecuaciĂłn: xx−−22

LarepresentaciĂłn representaciĂłngrafica graficade def fes: es: La


Es importante seĂąalar que al estudiar el lĂ­mite de una funciĂłn, no se menciona el valorque toma la funciĂłn exactamente en el punto. AsĂ­, en el ejemplo, no importa cuĂĄl es elvalor deđ?‘“đ?‘“(1), sino el valor de đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ)cuandođ?‘Ľđ?‘Ľ tiende a 1. Esto se debe a que Desarrollo UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD elconceptode lĂ­mite de una funciĂłn en un punto es independiente del valor que toma la de contenidos funciĂłn eneste.

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOfORMATIVO

Ahora veamos otro caso, puede suceder que en dicho punto la funciĂłn no estĂŠ definida y aĂşn exista el limite. El siguiente ejemplo presenta esta situaciĂłn: 2 Lađ?‘“đ?‘“ representaciĂłn grĂĄfi f es: f ( x) = 2 x − 3x − 2 para toda đ?‘Ľđ?‘Ľ ∈ â„?, đ?‘Ľđ?‘Ľ ≠2 Sea la funciĂłn definida porca la de ecuaciĂłn: x−2

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

La representaciĂłn grafica de f es:

Figura 1.- Grafica de una1.f no definida Figura Grafica de una f no definida De la grĂĄfica puede observarse que aunque la funciĂłnfno estĂĄ definida parađ?‘Ľđ?‘Ľ = De la grĂĄfi ca puede observarse que aunque funciĂłnfno estĂĄ defianida para x=2,cuando 2,cuando đ?‘Ľđ?‘Ľ toma valores muy cercanos a 2 la lafunciĂłn se aproxima 5, lo que escribimoscomo: x toma valores muy cercanos a 2 la funciĂłn se aproxima a 5, lo que escribimoscomo:

1.1

lim đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ) = 5

��→2

LIMITE DE UNA FUNCION

lo expuesto en los dos ejemplos 1De LĂ?MITE DE UNA FUNCIĂ“N todavĂ­a,podemos emitir la siguiente definiciĂłn:

anteriores,

sin

ser

tan

riguroso

De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso todavĂ­a,podemos emitirUna la siguiente defilimite niciĂłn: funciĂłnftiene L en un punto đ?‘Ľđ?‘Ľ , si f se aproxima a 0

tomar el valor L cada vez que su variable independiente x se aproxima a tomar el valor đ?‘Ľđ?‘Ľ0 . Lo que se denota como:

lim đ?‘“đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘Ľ) = đ??żđ??ż

��→��0

La definiciĂłn anterior es clara desde un punto de vista intuitivo. No obstante es La imprecisa por lo que es es necesario dar una definiciĂłn formalizando definiciĂłn anterior clara desde un punto de rigurosa vista intuitivo. No obstante especialmente la expresiĂłn “cada vez mĂĄs prĂłximosâ€?.

es imprecisa por lo que es necesario dar una definiciĂłn rigurosa formalizando especialmente la expresiĂłn “cada vez mĂĄs prĂłximosâ€?. 9

1.1

1.1.1 DEFINICIÓN FORMAL DE L�MITES 1.1.1formal DEFINICIÓN FORMAL DE L�MITES Definición de límites Suponga que se plantea el problema de demostrar que: lim 3 x + 2 = 8 o quÊ lim 3x + 2 = 8 ooquÊ Suponga queplantea se plantea el problemade de demostrar demostrar quÊ Suponga que se el problema que: x que: →2 x→2

lim x→2

1.1.1 DEFINICIĂ“N FORMAL DE LĂ?MITES

x 2 − 3x −2 10 x − 3=x −−310 Para esto, formalmente elacercamiento Para esto, debemos debemosgarantizar garantizar formalmente elacercamiento lim = −3 Para esto, debemos garantizar formalmente elacercamiento x +2 2 3x + 2 = 8 o quĂŠ x →Suponga x + 2que se plantea el problema de demostrar que: lim x→2

que tiene tiene la la funciĂłn funciĂłn aa su su correspondiente valor suvariable indeque valorcada cadavez vez que que que tiene la funciĂłn correspondiente a su correspondiente valor cada vez suvariable que suvariable 2 independientex se al valor especificado. La demostraciĂłn consistirĂĄen − 3aproxime x − 10 independiente se aproxime al valor especificado. La demostraciĂłn consistirĂĄen

Para esto, debemos garantizar formalmente limse aproxime = −en escribir matemĂĄticamente, lenguaje formal, la metodologĂ­a del proceso, elacercamiento locual pendiente al3 valor LalademostraciĂłn esx→2 x+2 escribir matemĂĄticamente, en especifi lenguajecado. formal, metodologĂ­a delconsistirĂĄen proceso, locual nos lleva a la necesidad de tener una definiciĂłn formal de lĂ­mite y no sĂłlopara que tiene funciĂłn a su correspondiente valor cada vezproceso, suvariable nos lleva a lalanecesidad de tener una definiciĂłn formal de lĂ­mite yque no sĂłlopara cribir matemĂĄticamente, en lenguaje formal, la metodologĂ­a del locual estos dos ejemplos, sino para cualquier funciĂłn. independiente se sino aproxime al valor especificado. La de demostraciĂłn estos dos ejemplos, para cualquier nos lleva a la necesidad de tener una defifunciĂłn. niciĂłn formal lĂ­mite y noconsistirĂĄen sĂłlopara escribir matemĂĄticamente, en lenguaje formal, la metodologĂ­a del proceso, locual estos dosnos ejemplos, sino para cualquier funciĂłn. lleva a la necesidad de tener una definiciĂłn formal de lĂ­mite y no sĂłlopara estos dos ejemplos, sino para cualquier funciĂłn. Una funciĂłnf de variable real y sean Îľ y ∂cantidades positivas muy Una funciĂłnf de variable real y sean Îľ y ∂cantidades positivas muy pequeĂąas. pequeĂąas.

Suponga que fse aproxima a Lcuando xseaproxima a đ?‘Ľđ?‘Ľ0 denotado por por Suponga que fse de aproxima a Lcuando xseaproxima a đ?‘Ľđ?‘Ľ0 denotado Una funciĂłnf variable real y sean Îľ y ∂cantidades positivas muy lim f ( x) pequeĂąas. = L , significa que para toda proximidad Îľ que sedesee estar con lim f ( x) = L , significa que para toda proximidad Îľ que sedesee estar con x → x0 x → x0

fen torno a L, deberĂĄpoderse definir un intervalo en torno a đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 en elcual fenSuponga torno a que L, deberĂĄpoderse un intervalo en torno a đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 en elcual por fse aproxima adefinir Lcuando xseaproxima a đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 denotado tomar x, sin que necesariamenteđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 , quenos garantice tomar que necesariamente đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =toda đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 , proximidad quenos garantice que para Îľ que sedesee estar con lim x, f (sin x) =decir: L , significa elacercamiento.Es x â&#x2020;&#x2019; x0 elacercamiento.Es decir: fen torno a L, deberĂĄpoderse definir un intervalo en torno a đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 en elcual tomar x, sin que necesariamente quenos ďż˝ lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??żďż˝ â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC; > 0, â&#x2C6;&#x192;đ?&#x203A;żđ?&#x203A;ż > 0 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 = < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 | < đ?&#x203A;żđ?&#x203A;żgarantice â&#x2021;&#x2019; |đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ??żđ??ż <| 0 ,â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ďż˝ lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??żďż˝ â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC; > 0, â&#x2C6;&#x192;đ?&#x203A;żđ?&#x203A;ż > 0 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E; 0 < |đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 | < đ?&#x203A;żđ?&#x203A;ż â&#x2021;&#x2019; |đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ??żđ??ż <| elacercamiento.Es decir: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

ďż˝ lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??żďż˝ â&#x2030;Ą â&#x2C6;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x153;&#x20AC; > 0, â&#x2C6;&#x192;đ?&#x203A;żđ?&#x203A;ż > 0 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E; 0 < |đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 | < đ?&#x203A;żđ?&#x203A;ż â&#x2021;&#x2019; |đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ??żđ??ż <| đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

La definición indica que para asegurar que una función tiene límitedeberíamos La definición indica que para asegurar que una función tiene límitedeberíamos establecer una relación entre δ y ξ. establecer una relación entre δ y ξ. manera deindica interpretar lo mencionado es:funcióntiene LaUna defi nición quegråficamente para asegurar que unauna función límite deberíaLa manera definición que gråficamente para asegurar Una de indica interpretar loque mencionado es: tiene límitedeberíamos mos establecer unauna relación establecer relaciónentre entre δ y ξ. Una manera de interpretar gråficamente lo mencionado es:

BibliografĂ­a

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Actividades

AutoevaluaciĂłn

Glosario

BibliografĂ­a

Modalidad Virtual

UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD

Una manera de interpretar grĂĄficamente lo mencionado es:

Anotaciones

Figura 2.- RepresentaciĂłn de la relaciĂłn entre δ y Îľ 1.2 PROPIEDADES PROPIEDADES LOS LIMTES 1.2 DEDE LOS LIMTES PROPIEDADES DE LOS LIMTES 1.2 1.2PROPIEDADES DE LOS LIMTES 1.2 PROPIEDADES DE LĂ?MITES LOS LIMTES 2 PROPIEDADES DE LOS decir,suponga supongaque que Seanfy fyg gfunciones funcionescon conlĂ­mite lĂ­miteenenđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ;es đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ;esdecir, Sean limlim f ( xf )( x=) L= Ly y decir, suponga Sean fy g funciones con lĂ­mite đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ;es = yL y â&#x2020;&#x2019; suponga que que Sean fy g funciones con lĂ­mite en en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ;es lim xlim f (xxx0â&#x2020;&#x2019; xque )xf0=( xL)lim Sean f Sean y g funciones con lĂ­mite en0 decir, xen ; es decir, suponga decir, suponga fy g funciones con lĂ­mite đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ;es f ( x) = x â&#x2020;&#x2019; x0 x â&#x2020;&#x2019;que 0 0 x â&#x2020;&#x2019; x0 . Entonces: =M . Entonces: limlim g ( xg)( x=) M Entonces: . Entonces: ) =. M Entonces: lim xxlim gâ&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;(xxx0xâ&#x2020;&#x2019;)gx0=( xM lim g ( x) = M . Entonces: x â&#x2020;&#x2019; x0 0

L yy

x â&#x2020;&#x2019; x0

a) a)limlim k =k k=, k , â&#x2C6;&#x20AC;kâ&#x2C6;&#x20AC;â&#x2C6;&#x2C6;kRâ&#x2C6;&#x2C6; R â&#x2C6;&#x20AC;Rk â&#x2C6;&#x2C6; R x0â&#x2020;&#x2019;kx0, = k ,â&#x2C6;&#x20AC;k â&#x2C6;&#x2C6; a) a) kâ&#x2020;&#x2019; x= lim xlim â&#x2C6;&#x20AC;k â&#x2C6;&#x2C6; R x â&#x2020;&#x2019; x0 x â&#x2020;&#x2019; x0 a) lim k = k , x â&#x2020;&#x2019; x0

b) b)limlim x =x x=0 x 0 xx0â&#x2020;&#x2019;xx0 = x 0 b) b) lim xlim xâ&#x2020;&#x2019; = 0 x â&#x2020;&#x2019; x0 x â&#x2020;&#x2019; x0 b) lim x = x â&#x2020;&#x2019; x0

x0

k lim c) c)limlim k . fk(. xf )( x=)k=lim f ( xf )( x=)k=.Lk .L â&#x2C6;&#x20AC;kâ&#x2C6;&#x20AC;â&#x2C6;&#x2C6;kRâ&#x2C6;&#x2C6; R = k xlim = k .Lâ&#x2C6;&#x20AC;k â&#x2C6;&#x2C6;â&#x2C6;&#x20AC;Rk â&#x2C6;&#x2C6; R xk) lim â&#x2020;&#x2019; xx â&#x2020;&#x2019; xf ( x ).L c) c) kâ&#x2020;&#x2019;.xxf0â&#x2020;&#x2019;(kxx0.)f =(lim lim xlim k x.0fxf(â&#x2020;&#x2019;x(x0)x0 )=0=k klim f ( x) = k .L â&#x2C6;&#x20AC;k â&#x2C6;&#x2C6; R x â&#x2020;&#x2019; x0 x â&#x2020;&#x2019; x0 c) xâ&#x2020;&#x2019;

[ [ [[

x â&#x2020;&#x2019; x0

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] ] ]] [ ] xâ&#x2020;&#x2019; x M xâ&#x2020;&#x2019; x xâ&#x2020;&#x2019; x = lim â&#x2C6;&#x2019; lim â&#x2C6;&#x2019;M e) e)limlim [ f ([ xf )()(xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;x) )ggâ&#x2C6;&#x2019;]((=xgx)()lim ]x=)]lim f ( xf )( xâ&#x2C6;&#x2019;) lim g ( xg)( x=) L= â&#x2C6;&#x2019;L M e) = Lâ&#x2C6;&#x2019;M â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; xx â&#x2020;&#x2019; xf ( x ) â&#x2C6;&#x2019; xlim lim x[lim f xx(â&#x2020;&#x2019;x[)xf â&#x2C6;&#x2019;( xglim gâ&#x2020;&#x2019;f(xxx(xâ&#x2020;&#x2019;x)gx)=(â&#x2C6;&#x2019;xL)lim â&#x2C6;&#x2019;M [ f ( xxâ&#x2020;&#x2019;]) =â&#x2C6;&#x2019;x xxlim gfâ&#x2020;&#x2019;((xxx))]â&#x2C6;&#x2019;= xlim lim g ( x) = L â&#x2C6;&#x2019; M x â&#x2020;&#x2019; x x â&#x2020;&#x2019; x e) â&#x2020;&#x2019; x xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; x xâ&#x2020;&#x2019; x xâ&#x2020;&#x2019; x L.M ). lim = lim f) f) limlim [ xff (g[(xfx().(x).x)gg]).((=xgx)()lim ]]x==)]xlim f ( xf ).( xlim g ( xg)( x=) L=.M f) x).xlim lim = L.M â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; xx â&#x2020;&#x2019; xf (lim f xx(â&#x2020;&#x2019;x[). gâ&#x2020;&#x2019;(xxxâ&#x2020;&#x2019;)gx =( xL).M lim x[lim lim [ fx(â&#x2020;&#x2019;xx).xgfâ&#x2020;&#x2019;((xxx)).] x= x â&#x2020;&#x2019; x x â&#x2020;&#x2019; x f) x x â&#x2020;&#x2019; xf ( x ). lim g ( x ) = L.M â&#x2020;&#x2019; lim xâ&#x2020;&#x2019; x xâ&#x2020;&#x2019; x xâ&#x2020;&#x2019; x

= lim + lim +M d) d)limlim f ( xf )( x+) g+( xg)( x=) lim f ( xf )( x+) lim g ( xg)( x=) L= +L M ) + xlim = xlim = â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; d) d) lim xlim f xx(0â&#x2020;&#x2019;x)xf0+( xg) (+x)g (=x)lim fâ&#x2020;&#x2019;((xxx0xâ&#x2020;&#x2019; x))xf0+(=xlim gâ&#x2020;&#x2019;f(xxx(0xâ&#x2020;&#x2019;x)gx)0=(+xL)lim +L Mg+( xM )+ )=L+ x â&#x2020;&#x2019; x0 x â&#x2020;&#x2019; x0 d) lim f ( x xâ&#x2020;&#x2019; x0 xg xlim â&#x2020;&#x2019; x0 x â&#x2020;&#x2019; 0 0 0

e) f)

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lim f ( xf )( x)  f ( xf )(xlim )  lim L L lim â&#x2020;&#x2019; f (xx0â&#x2020;&#x2019; x)xf0 ( x)lim x)f( x)xâ&#x2020;&#x2019;=x0 x= x â&#x2020;&#x2019; x0 =Lf ( x) siempre siempre que g) g)lim limlim g ( xg)( xâ&#x2030; )0â&#x2030;  0  flim (   flim  (=xg)(xLâ&#x2020;&#x2019;x==)x0M ( x ) L queque = siempre que â&#x2020;&#x2019; xx0â&#x2020;&#x2019;xg â&#x2020;&#x2019; g) g) lim xxlim = limxlim g (x 0xâ&#x2020;&#x2019;)gx 0â&#x2030; ( x0) â&#x2030;  0 0 (x g ( x ) lim Msiempre ) g   lim  xlim x g) siempre x â&#x2020;&#x2019; x 0 x â&#x2020;&#x2019; x 0 que lim g ( x ) â&#x2030;  0 x â&#x2020;&#x2019; x0 â&#x2020;&#x2019; )lim gx0= ( xM ) M = â&#x2020;&#x2019;) â&#x2020;&#x2019;(xx0x  g (0 x )g( xx â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;x 0 x0  gxg â&#x2020;&#x2019;xx)0  lim g ( x) M x â&#x2020;&#x2019;x0 ( xâ&#x2020;&#x2019; x 0

n

n

n  lim h) h)limlim [ xff ([n(xfx)()]]x)]== =xlim f(nxf )(x)n= L=nnLnn lim ) L= L  x= (xx0â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; n )xf0 (  h) h) lim x[xlim )0] =limlim fâ&#x2020;&#x2019;xx(x0â&#x2020;&#x2019;x[h) f x n  [ fx0(xxâ&#x2020;&#x2019;)x]0 =  xlim x â&#x2020;&#x2019; x0 0  f ( x) = L  x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; x0  â&#x2020;&#x2019; x0  n fn ( x f ( x) n=lim i) i) limlim f ( xf )( x=) nn=Ln L n lim n f ( x)) = nâ&#x2020;&#x2019; xxfâ&#x2020;&#x2019; =n n xlim â&#x2020;&#x2019; i) i) lim xxlim fâ&#x2020;&#x2019;x(xxx0)â&#x2020;&#x2019; x)=xf0=( xn)lim L= f L( x) = n L 0 ) = n lim 0 ( xx x x â&#x2020;&#x2019; i) lim ( f n x â&#x2020;&#x2019; x0 x â&#x2020;&#x2019; x0 0 0 n n n

x â&#x2020;&#x2019; x0

3

x â&#x2020;&#x2019; x0

CĂ LCULO DE LĂ?MITES

1.3 CALCULO CALCULO LIMITES 1.3 DEDE LIMITES CALCULO DE LIMITES 1.3 1.3CALCULO DE LIMITES CALCULO Las1.3 propiedades de DE los LIMITES lĂ­mites permiten establecer lĂ­mites de ciertas funciones. propiedades lĂ­mitespermiten establecer lĂ­mites ciertas funciones. LasLas propiedades dede loslos lĂ­mitespermiten establecer lĂ­mites dede ciertas funciones. propiedades de lĂ­mitespermiten los lĂ­mitespermiten establecer lĂ­mites de ciertas funciones. Las Las propiedades de los establecer lĂ­mites de ciertas funciones. Las propiedades de los lĂ­mitespermiten establecer lĂ­mites de ciertas funciones. Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Calcular: Calcular: lim Calcular: x 33x+3 5+x5â&#x2C6;&#x2019;x 4â&#x2C6;&#x2019; 4 lim Calcular: xlim Calcular: xxâ&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;32x2â&#x2020;&#x2019; +x25 x+lim â&#x2C6;&#x2019;54x xâ&#x2C6;&#x2019;34+ 5 x â&#x2C6;&#x2019; 4 lim Calcular: xâ&#x2020;&#x2019;2

( (( (

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) ) () )

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SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: Aplicando las propiedades de los lĂ­mites, tenemos: Aplicando las propiedades lĂ­mites, tenemos: Aplicando las propiedades dede loslos lĂ­mites, tenemos: Aplicando las propiedades de lĂ­mites, los lĂ­mites, tenemos: Aplicando las propiedades de los tenemos: Aplicando las propiedades de los lĂ­mites, tenemos:

3 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 4) = lim3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + lim 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; lim 4 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + lim 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; lim 4 (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) 3 +2 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 4) = lim 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľlim +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 limđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 limđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 4 (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 lim (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4)â&#x2C6;&#x2019; lim 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľlim 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 3 =4) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 lim + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;+ 4)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 = lim + lim 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; lim 4 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 3 3 3+ 5 3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝ +lim 5 lim (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;) = ďż˝lim = ďż˝lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4â&#x2C6;&#x2019; 4 (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;,đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;) 3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝5 lim + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;) = ďż˝lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľlim â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;) = ďż˝lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝â&#x2C6;&#x2019; 4+ 5 lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019;4 (đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 = ďż˝lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 3 23 + 5(2) â&#x2C6;&#x2019; 4 = = 2 + 5(2) â&#x2C6;&#x2019; 4 3 3 2 + 5(2) â&#x2C6;&#x2019; 4 + 5(2) â&#x2C6;&#x2019; 43 = 2=

= 2 + 5(2) â&#x2C6;&#x2019; 4 = 14Respuesta

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)

1111 11 11

Lo Ăşltimo del ejemplo anterior permite concluir que con una sustituciĂłn basta y podemos usar el siguiente teorema:

Teorema De SustituciĂłn: Seafuna funciĂłn polinomial o una funciĂłn racional, entonces

11


lim k . f ( x) = k lim f ( x) = k .L

c)

x â&#x2020;&#x2019; x0

â&#x2C6;&#x20AC;k â&#x2C6;&#x2C6; R

x â&#x2020;&#x2019; x0

Desarrollo UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD de contenidos

lim [ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x) = L + M

d)

x â&#x2020;&#x2019; x0

x â&#x2020;&#x2019; x0

x â&#x2020;&#x2019; x0

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

lim [ f ( x) â&#x2C6;&#x2019; g ( x)] = lim f ( x) â&#x2C6;&#x2019; lim g ( x) = L â&#x2C6;&#x2019; M

e)

x â&#x2020;&#x2019; x0

x â&#x2020;&#x2019; x0

x â&#x2020;&#x2019; x0

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Lo Ăşltimo del concluir que con una sustituciĂłn basta y f) lim [ =f (ejemplo x).Respuesta g ( x)] =anterior L.M lim f ( x).permite lim g ( x) = 14 xâ&#x2020;&#x2019; x xâ&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;x podemosxusar el siguiente teorema: 0

0

= 14Respuesta

0

lim f ( x) concluir que con una sustituciĂłn basta y Lo Ăşltimo del ejemplo  f (anterior x)  x â&#x2020;&#x2019; xpermite L 0 g) el lim = = siempre que lim g ( x) â&#x2030; 0 podemos usar siguiente teorema:   â&#x2020;&#x2019; x0 ejemplo x â&#x2020;&#x2019; x 0una sustituciĂłn basta y Lo Ăşltimo xdel anterior permite concluir que con g ( x ) lim g ( x ) M   xâ&#x2020;&#x2019; x 0teorema: podemos usar el siguiente Teorema De SustituciĂłn:

n

 lim Teorema De SustituciĂłn: h) lim f ( x) = f ( x)o una = LfunciĂłn racional, entonces Seafuna funciĂłn polinomial  xâ&#x2020;&#x2019; x  xâ&#x2020;&#x2019; x

[

]n



n

 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =ođ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Seafuna funciĂłn đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ polinomial una0 )funciĂłn racional, entonces 0 n đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) lim n 0 lim f ( x) = n lim f ( x) = L 0

0

i) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0y que el denominador no sea x â&#x2020;&#x2019; x0que đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ), este x â&#x2020;&#x2019; x0 definida siempre cero para el caso de una funciĂłn racional. siempre que đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ), este definida y que el denominador no sea para el caso de una Entonces, cero de principio o de finalfunciĂłn en el racional. cĂĄlculo de lĂ­mite, se empleara

el teorema

Entonces, de principio o de final en el cĂĄlculo de lĂ­mite, se empleara el teorema de de sustituciĂłn: 1.3 CALCULO DE LIMITES sustituciĂłn: Entonces, de principio o de final en el cĂĄlculo de lĂ­mite, se empleara el teorema de sustituciĂłn: Las propiedades de los lĂ­mitespermiten establecer lĂ­mites de ciertas funciones. Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo Ejemplo 3 Calcular: lim x + 5 x â&#x2C6;&#x2019; 4 xâ&#x2020;&#x2019;2

(

)

( (x+ 5+x 5â&#x2C6;&#x2019;x4â&#x2C6;&#x2019;) 4) 3

x limlim Calcular: Calcular: Calcular: x â&#x2020;&#x2019; 2x â&#x2020;&#x2019; 2 SoluciĂłn:

3

SoluciĂłn: SoluciĂłn: Aplicando el teorema de sustituciĂłn, tenemos: SoluciĂłn: Aplicando el teorema de sustituciĂłn, tenemos:

ellas teorema tenemos: propiedades tenemos: 3 (2) lim (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3Aplicando + Aplicando 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 4) = + 5(2) de â&#x2C6;&#x2019; 4sustituciĂłn, =de14los lĂ­mites,

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2

2 2 3 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+35đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ limlim â&#x2C6;&#x2019; 4) + 5(2) 4= + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;= 4)(2) = lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + â&#x2C6;&#x2019; lim 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ14 â&#x2C6;&#x2019; lim 4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2

EJERCICIOS

3

Ejercicios:

= ďż˝lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝ + 5 lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 EJERCICIOS Calcule el lĂ­mite de las siguientes đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 funciones: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2

(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;)

(đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;)

Calcule el lĂ­mite de las siguientes funciones: Calcule el lĂ­mite de las siguientes funciones: â&#x2C6;&#x2019;4 = 23 + 5(2) 2 a)

(

lim 2 x + 3x â&#x2C6;&#x2019; 5 xâ&#x2020;&#x2019;2

(

)

lim 2 x 2 + 3x â&#x2C6;&#x2019; 5 a) x â&#x2020;&#x2019; 2 x+2 lim b) x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019; x x + 2 lim b) x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019; x xâ&#x2C6;&#x2019;3 lim c) x â&#x2020;&#x2019;3 2 x â&#x2C6;&#x2019; 1 x â&#x2C6;&#x2019; 3 lim c) x2â&#x2020;&#x2019;3 2 x â&#x2C6;&#x2019; 1 x + 2x lim x â&#x2020;&#x2019;1 2 x 2 + 1x 2 + 2 x d) lim x â&#x2020;&#x2019;1 2x 2 + 1 d)

)

11

SoluciĂłn

SoluciĂłn ParaSoluciĂłn: calcular los lĂ­mites de las funciones, se harĂĄ en forma directa usando la sustituciĂłn de sus los variables (teorema de sustituciĂłn) Para calcular lĂ­mites funciones, la sustituPara calcular los lĂ­mitesde delas las funciones,se seharĂĄ harĂĄen enforma forma directa directa usando usando la sustituciĂłn de sus variables (teorema de sustituciĂłn) ciĂłn de sus variables (teorema de sustituciĂłn)

a)

(

( )

)

lim 2 x 2 +lim 3x 2â&#x2C6;&#x2019;x52 + = 32x(2â&#x2C6;&#x2019;)5 +=3(22()2â&#x2C6;&#x2019; )2 5+=39(2) â&#x2C6;&#x2019; 5 = 9 xâ&#x2020;&#x2019;2 a)

xâ&#x2020;&#x2019;2

2

12 12

x + 2 â&#x2C6;&#x2019;x1++22 â&#x2C6;&#x2019;11 + 2 1 = == = lim x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019; xx â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 11 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;x1) 1 2â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 b) b) lim

c)

d)

lim x â&#x2020;&#x2019;3

lim x â&#x2020;&#x2019;1

xâ&#x2C6;&#x2019;3 03 â&#x2C6;&#x2019; 3 0 x3 â&#x2C6;&#x2019; 3 = lim == = 0 = = 0 2c) x â&#x2C6;&#x2019; 1x â&#x2020;&#x2019;3 22(x3)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;11 27(3) â&#x2C6;&#x2019; 1 7 x 2 + 2 x x 2 1+ +2 x2 13+ 2 3 = = =1 = =1 2lim xâ&#x2020;&#x2019; 11 2 x 22 + + 3 1 + 2 x 2 1 3 + 1 d)

EnEn otros alalcalcular vez el teorema teoremadesustituciĂłn, de sustituciĂłn, En otros casos, alcasos, calcular lĂ­mites, una vez una aplicado el teorema desustituciĂłn, se otroscasos, calcularlĂ­mites, lĂ­mites, una vez aplicado aplicado el se se requerirĂĄ requerirĂĄ un trabajo trabajo adicional resultados dede la laforma forma requerirĂĄ un trabajo adicionaladicional si se presentan resultados de laforma un sisi se se presentan presentan resultados 0 0

indeterminada: indeterminada: indeterminada:

0 0

EjemploEjemplo

x 2 + 3x â&#x2C6;&#x2019;x42 + 3x â&#x2C6;&#x2019; 4 lim 2 x â&#x2020;&#x2019;1 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 xâ&#x2020;&#x2019; x 1+x2 â&#x2C6;&#x2019; 3 x + 2 Calcular:Calcular: lim

SoluciĂłn SoluciĂłn

x 2 + 3 x â&#x2C6;&#x2019; 42

12 + 3(1) â&#x2C6;&#x2019; 24

0

BibliografĂ­a

15


2 x −21 2(=3) − 1 7= x →1 c) lim 2 +1 3 =1 2 +1 d) x →1 222xx x 1 x2+ +211+12+323 3 3 x + 22+xx+12 2+x 2 d) lim lim = = = ==1 =1 lim x + 22 x 2

2 x →1 x →1 2

16

Actividades

Autoevaluación

Glosario

Bibliografía

Modalidad Virtual

1 += 2

3=

=1

2 xx →12+x12 x+ 1+21+ 12 +21+31 3 3 d) d)lim = límites, = = 1 aplicado el teorema desustitución, se d) al calcular 2 En otros casos, x →1 2 + 1 una 3 vez +1 En otros alx calcular límites, una vez aplicado el teorema desustitución, se UNIDAD I: LÍMITES Y 2CONTINUIDAD d) casos, requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de laforma requerirá un trabajo adicional si se presentan resultados de laforma 0 En En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema desustitución, En otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema desustitución, se se se otros casos, al calcular límites, una vez aplicado el teorema desustitución, 0 indeterminada: adicional sivez resultados requerirá un un trabajo adicional si presentan de de laforma indeterminada: requerirá untrabajo trabajo adicional sise sepresentan presentan resultados delaforma laforma Enrequerirá otros casos, calcular límites, unase aplicado el resultados teorema desustitución, se 0al 0 0 requerirá un 0 trabajo 0 adicional si se presentan resultados de laforma indeterminada: indeterminada: indeterminada: Ejemplo 00 0 0 Ejemplo indeterminada:

0

Anotaciones

2 Ejemplo Ejemplo 3x − 4 Ejemploxx 2 + Ejemplo lim 2 + 3x − 4 Ejemplo lim x →1 x − 3 x + 2 Calcular: x →1 x2 2 −23 x2 + 2 x +x3xx+−34+x 3−x4− 4 Calcular:

lim lim 2 2 2 1lim x →1 x →

x x+ 3−x23−x4+ 2 Solución Calcular: Calcular: Calcular: limx 2−x →31 xx+ 2− 3 x + 2 Calcular: Solución x →1 x − 3 x + 2 Calcular: Solución Solución x 22 + 3 x − 4 122 + 3 1 − 4 0 Solución lim x2 + 3 x − 4 = 12 + 3 1 − 4 = 0 Solución: lim Solución x →1 x − 3 x + 2 = 1 − 3 1 + 2 = 0 2 Empleando el teorema de sustitución tenemos: x →1x x2 2+x−323 xx+x−23+4+x23−x14−21 +41−32311+12−3++1432−1 04−0 4 0 0 Empleando el teorema de sustitución tenemos: = lim = = = = una indeterminación, parade destruirla vamos a lim simplificar la expresión, es decir 2 lim Empleando el teorema sustitución tenemos: 2 2x1 + 3 x una indeterminación, para destruirla vamos a xsimplificar →1 xx → 23 −xexpresión, 4+ 2212 1+=2 3−123es−1 4decir + 02 0 0 x −la factorizando: Empleando el el teorema de de sustitución tenemos: Empleando el teorema de sustitución tenemos: lim 2−x →31 xx+ 2− 3 x=1+ 2−2 3 11 +−23 1=+ 2 0 Empleando teorema sustitución tenemos: factorizando: x →1 x − 3 x + 2 0 decir − + 1 3 1 2 una indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir una indeterminación, para vamos a asimplificar la la expresión, es es decir una indeterminación, para destruirla vamos simplificar expresión, decir facuna indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es Empleando el teorema de destruirla sustitución tenemos: 2 factorizando: factorizando: 3 4 4 1 x 4 1 4 + − + − + − + x x x x x x 2 factorizando: una indeterminación, para destruirla vamos a simplificar la expresión, es decir torizando: lim x2 + 3x − 4 = lim x + 4 x − 1 = lim x + 4 x − 1 = lim x + 4 lim factorizando: →1 x − 2 x − 1 = xlim →1 x − 2 x − 1 = xlim →1 x − 2 x →1 x − 3 x + 2 = xlim 2

(( )) (( )) ( ) ( )( ) ( () )( ) ( ) ()

(( )()( )) (( )()( )) (( )) ( )( ) ( )( ) x →1 x )(xxx4−+)(−14x)1)()−x1)−x →11)(x((x+−(4x2)+)()x4+) 4) x 2 +x−323xx+x−23+4+x23−x4−x →41( x( x+−(4x2)(+()(xxx4−+)(−14x)1)()−x1)−x →11)(x( x+−(4x2)(+ ( lim lim = = lim lim lim lim = = lim= lim = 2 2 = 1lim = 1lim 2x1lim 1 (xx→ 1 (xx→ x →1 xx → (x−1lim (→2x1)(4−(x)(x2x−−)(−12x)1)(−)x=1x)−→lim (+2x1)(4−(x)(x2x−−)((1−2xx)1)(−+)x=14x)−→)lim (→42x1)4−()x25−) 2) x+ 3−x23−x4+ x2→12(xx=→ x+ x+ 1) (x−x → 1) 11(+x− lim 2−x →31 xx+ 2− 3x= +lim ( + 4 )x → + 4= 5 = - 5 x = x →1 ( x − 2 )( x − 1) x →1 ( x − 2lim 1 x →1 x − 3 x + 2 )(→x1 − 1) 2) = 1(x- 2− 2=)- 1 = - 5 xlim Y finalmente por el teorema de sustitución: x →1 ((xx − (x +−(4x2)+) 41)+14-4)12=+145+-=1=4 5- 5=5 - 5 Y finalmente por el teorema de sustitución: Y finalmente por el teorema de sustitución: lim limlim (=x + = x →1 (xx→ (x−1 (+2x)4−) 21)1- +21=4- 2- 15 -=1 = - 5 Y finalmente porteorema el teorema de de sustitución: Y finalmente por el de sustitución: lim x →1 ( x=− 2 ) =1 - 2 = --51 Y finalmente por el teorema sustitución: x 1 → EJERCICIOS (x − 2) 1 - 2 - 1 Y finalmente por el teorema de sustitución: EJERCICIOS EJERCICIOS

EJERCICIOS EJERCICIOS x 44 − 16 EJERCICIOS x − 16 a)EJERCICIOS Calcular: lim xlim →2 x − 2 a) Calcular: x → 2 4 x −42 a) Calcular: x −x16x−416 − 16

lim limlim 4 x→2 x→ −x2− 2 xx2−x →−2x2 16 x − 2 a) Calcular: Solución

a) Calcular: a) Calcular: a) Calcular: lim Solución Solución: x→2

4

4

x − 16 2 − 16 0 AplicandoSolución el Teorema de Sustitución, tenemos: lim x 4 − 16 = 2 4 − 16 = 0 = = lim Solución Solución

Solución el Teorema de Sustitución, tenemos: x → 2 x − 2 0 2 − 42 Aplicando 42 2−2−162−416 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: x → 2x 4 x−− x16 2 416 0016 0 0 − 2= − x−=416 una indeterminación, simplificamos esta expresión: = = lim lim 4 4 = lim una indeterminación, simplificamos esta expresión: x→2 x→ −2x16 −2216 − 2 22 − −22−0 02 0= 0 xx2− Aplicando el Teorema de de Sustitución, tenemos: el Teorema de Sustitución, tenemos: unaAplicando indeterminación, simplificamos esta expresión: Aplicando el Teorema Sustitución, tenemos: = lim x → 2 x =− 2 x→2 x − 2 una indeterminación, esta expresión: una indeterminación, simplificamos estatenemos: expresión: 2−2 0 Aplicando el Teorema desimplificamos Sustitución, una indeterminación, simplificamos esta expresión:

13 una indeterminación, simplificamos esta expresión: 13 ( x 22 − 4 2 x 22 + 42 x - 2 )( x + 2 ) x 22 + 42 x 44 − 164 2 ( )( ) − 4 + 4 x 2 + 2 + 4 x − 16 x −= 2x 2x 2x ( ) = lim x 4 −x 416 lim lim = lim + 2 + 4 x x 2 ( )( ) 4 4 − + x 2 2 4 + + x x x x 2 2 2 2 )(−x22+) x2) +x 4+2 =4lim −x24 +x 4+=4lim 16lim lim−x x4− lim x → 2= x x → 2 xlim x → 2=(x x → 2= -(2x)(- x2x+ (xlim lim + x − 16 2 = 2 (2x22(x+)) xx+22)2++x) 2x44+2 +4 413 13 13 lim = lim = lim = lim → 2 x2 − x+ 4x → 2 xx4 − lim =−lim x→2 x→ → 2 x →x22→ → 2 x →x2→ 2 (x x → 2 (x x x4 x4 2x16 2−2)(x)2xxx−+2−22 + 22)4x2 =+lim 24− − x42−−16 x42−xx−222x−4+4+−24x4x22 =++lim 2− 4 →2 xxlim --22)( xxlim xx-x-++ 2 x 2 2 ) x + 4 13 x → 2 xx x x →2 = x4→ 2(= x4→ 2 = ( )( ) − 2 4 + x 16 ( )( ) x 2 + 2 + x x 16 x ( lim lim + x 2 − 2 − 2 − x lim = lim = lim = lim = lim(=(xxlim + 2()x)x+ x→2 x = → 22 x →2 x →2 x+ x 22++) 4x42 + 4 lim 2 22= lim −xlim x − 2 =xlim xlim →2 → →2 →2 −−2 22x −por xx−−22xx−−22 =xlim Finalmente x → 2 xxx→ x →sustitución, x →2 x →2 x →2 x →2 x → 2 xx−−22xresulta: 2 − 2 Finalmente por sustitución, resulta:

((( ( ( )()()( (( (( )()(

) )( )( )) ) ) )()( )) ))

((( ( ( ))) ) ) (( (( )) ))

((( ( ( ))) ) ) (( (( )) ))

Finalmente por sustitución, resulta: Finalmente por sustitución, resulta: Finalmente por sustitución, resulta: Finalmente por sustitución, resulta:

((( ( ( ))) ) ) (( (( )) ))

2 Finalmente por resulta: Finalmente (xFinalmente lim + 2 ) x por + 4sustitución, = (2 sustitución, + 2 )(4 resulta: + 4 ) =resulta: 32 2por )(44) =+32 2+) 2x4sustitución, 4 ) = 32 → 2 ( xlim xFinalmente lim + 2( x) x+2por =+(24sustitución, +=2(2)(4+ +2resulta:

(2x2+) x22) +x 4+2=4(2=+(22+)(42+)(44+) =432 ) = 32 lim → x+ lim x → 2 (x x 2 x → 2 →lim ( ( xx+22 + 2 )4x2= +(24+ =2 )( 24++24)()4= +324 ) = 32 ( ) lim x + 2 → 22 x+ (x) +x 2+) x4 =+(42 += 2(2)(+4 +2)(44) =+ 32 4 ) = 32 → 2 ( xlim xlim x →2 x →2 x + 5 x − 14 5 14x − 14 lim x + x5 x+ x+5 − x → 4 xlim + 5 x 2−x14− 14 lim Calcular: lim x → 4 xx − b) b) Calcular: lim x→4 x + 5x −x 2− 14 + 5 x − x − 2 x → 4 b) Calcular: x → 4 x lim −14 b) b) Calcular: + 5x +− x x52−14 x2 − 14 Calcular: lim b) Calcular: x→4 xlim → 4 lim x −2 Solución b) Calcular: x → 4 x → 4 xx −−22 b) Calcular: x − 2 Solución b) Solución Calcular: b) Calcular: Solución Solución: Solución

Solución Solución Solución Solución

4 − 5 4 − 14 0 4−5 4 = − 14

4 − 45 − 45 −414− 140 =0 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 4 − 54 4− − 2 14 = 0=

0

Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: −4 = 2−014 00 =0 000 44−−554444−4−−4−52−5414 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 42=− 14 2 −14 unaAplicando indeterminación, simplificamos esta expresión: el Teorema de Sustitución, tenemos: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: =20 = 0 una indeterminación, simplificamos esta expresión: 4 − unauna indeterminación, simplificamos esta expresión: 44 −−224 − 2 0 0 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: indeterminación, simplificamos esta expresión: Aplicando el de Sustitución, tenemos: una indeterminación, indeterminación, simplificamos esta expresión: Aplicando el Teorema Teorema desimplificamos Sustitución, tenemos: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: una esta expresión: una indeterminación, simplificamos esta expresión: una indeterminación, simplificamos xindeterminación, x − 14 x simplificamos + 5indeterminación, + 7 x −esta 2 expresión: una simplificamos esta expresión: una esta expresión: x + 5 x =− 14 x + 7 x =−lim 2 x +7 lim lim

((( ( ( )()()( )( )( ))) ) ) (( ( )) ) (( (( )()( )()( )) ))(( ( ( )) ) ) ( ( ) ) ((() ) ( ( ))) ) ) (( )) (( )) ))

x + x5 + x5 −x14− 14x → 4= lim x +x7 + 7x −x2 − 2x → 4= lim x + 7 x → 4 xlim + 5 x 2− 14 = lim lim lim 7 = lim→x4+ 7xx−+2xx7−−22x= = limx→ 4+ lim x → 4 xx − = +x7 + 7 lim lim x→4 x → 4 x →xx → 4 x →xx x14 x2 x + − 5 x − 2 x + − ++77xx −+xx2x7−−−222x =−−lim 5 14 x − 2 x → 4 4 4 x → 4 x lim x → 4de x2→ 4 = x − 2 x x + − 5 14 x + − 5 14 = lim lim − − x x 2 2 Aplicando el teorema Sustitución, resulta: xxx→++ = lim = lim lim 7 x +7 lim lim x→4 x → 4de Sustitución, 4 7x + 7 lim xAplicando → 4 Aplicando →4 = →resulta: xlim 4 = lim x el− =2teorema 2 =xresulta: el2teorema delim Sustitución, xx −−22xx −−2resulta: x → 4Aplicando x →4 x →4 de x → 4 xx − 4 Sustitución, Aplicando el resulta: − 2teorema xel−teorema 2 x → 4dex →Sustitución, Aplicando teorema de Sustitución, resulta: Aplicando de resulta: x + 7elel=teorema lim 4el+teorema 7 = 9 Sustitución, Aplicando de Sustitución, resulta: Aplicando el de Sustitución, resulta: Aplicando Sustitución, resulta: +7teorema =+474+=+ 7teorema 7de x → 2 lim +x7x+=el lim =4 == limx→2+ 79 99 = + = lim 7 4 7 9 x → 2 x →xx 2 x → 2 lim xxx→++ lim 7 x=++7744==++7744==++9977 ==99 2 7x = → 2 lim xlim x →2 x →2 x −1 1 lim x −x1 x− − x →1 lim xxx→−1−11 1 c) Calcular: lim lim lim x →1 x → 1 − x 1 − x 1 − x c) Calcular: 1 1 − c) c) Calcular: x →1 x x−−x11−x 1− 1 Calcular: lim lim c) c) Calcular: Calcular: x →1 x − 1 lim →1 x xlim Solución c) Calcular: 1 − x →1 x 1 1x − 1 x →− c) Solución c) Calcular: Calcular: c) Calcular: Solución

( ) (( ( (( )) (( ( ))

Solución Solución Solución Solución Solución Solución Solución:

1 −1 0 1 − 11 1−= − 101 =0 0

0 (indeterminación) Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: 11−−111= 1=−−1= 1 0 00 (indeterminación) 11−−−1 Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Aplicando elelTeorema dede Sustitución, tenemos: 111−= Aplicando Teorema tenemos: (indeterminación) Racionalizando el numerador y simplificando: 01 (indeterminación) 11−00 Aplicando el Teorema de Sustitución, Sustitución, tenemos: = 0(indeterminación) 1 − 1 (indeterminación) Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Racionalizando el numerador y simplificando: = = 0 (indeterminación) Racionalizando el numerador y simplificando: − 1 1 Aplicando el Teorema deySustitución, tenemos: 11−−11 1 −010 (indeterminación) Racionalizando el numerador y simplificando: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Racionalizando el numerador simplificando: 0 (indeterminación) (indeterminación) Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Aplicando el Teorema de Sustitución, tenemos: Racionalizando el 1numerador simplificando: Racionalizando el numerador  yy simplificando: x −1 xnumerador x +y1simplificando: x −1 1 Racionalizando el− Racionalizando simplificando:  numerador  x= −lim x. − 1 y xsimplificando: x − 1 = lim 1 el 1 1 =y+lim lim Racionalizando  elnumerador x − 1 x →1= lim x −x1 − 1x +. x1+ 1x →1= lim x − x1 − 1 1 1 x →1 lim x →1= lim − lim lim xxx→−1−1x1 −= 1lim 11 . x. + 1 = lim (xx →−11x()x−−1x1x)+−11x==+lim  xx→x− =1 lim = limx→11+ 1 x1+ 1 lim lim = 1  x.x−− =++lim lim lim =−− x →1 x → → →1 x →xx x1→ 1 x1 x1 x 1 x x x 1 1 1  x x 1 1 − −  ( ) x x x − + +1 1 1 1 +   → → 1 x 1 x 1 1 x x − − + − 1 1 1 1 1 x →1 x x →1 = lim x−−x11−= x 1lim −x 1→1= lim lim xx−−x11− 1x →1 =( xlim x1+x1 +1 1 −( x1x)−−11x)x+−x11+ ==1lim lim .x 1−x1 +. x1x+==+1lim x →1 x=− x →1 x. − 1 .  x →1 ( x − 1) x →1 lim lim 1 xlim →1 xlim → → → xlim 1= xlim 1= xlim 1 = lim    x x + 1 1 + x − − 1 1  ( ) x x x x − + + + 1 1 1 x →1 x x →− 1 1 xel x −Sustitución, 1x →1 xx→1−1de 1x + 1x + 1x → 1resulta: − teorema (xx →−1 1()x −x1)+ 1x +x1→1 xx→1+11xx ++11 Aplicando Aplicando el teorema de Sustitución, resulta:

( ) (( ( (( )) ) )) (( ( )) ) Aplicando el teorema de Sustitución, resulta: Aplicando el teorema de Sustitución, resulta: Aplicando el teorema de Sustitución, resulta:

Aplicando de Sustitución, resulta: 1 1 el teorema 1 el teorema resulta: Aplicando deSustitución, Sustitución, resulta: de Sustitución, resulta: 1 de =1 Aplicando =1teorema lim 1Aplicando 1= 1el 1 el=1 teorema 1 lim x → 1 1 1 1 limlim 2 +1 = x→1+ 1 = =1+ 1=11 + =11+21= 21 lim x →1 xx x+ 1+ 11 +x 21 x →1 x →lim 11 1+ 1 1 1 11= 1112 = + x 1 1 = = lim → x 1 lim lim = = = = 2


SoluciĂłn

1 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 â&#x2C6;&#x2019;=1 0 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 0= (indeterminaciĂłn) Aplicando el Teorema de SustituciĂłn, tenemos: 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 I: 0LĂ?MITES Desarrollo (indeterminaciĂłn) Aplicando el Teorema de SustituciĂłn, tenemos:UNIDAD Y CONTINUIDAD

Racionalizando el numerador y simplificando: Racionalizando el numerador y simplificando:

 x â&#x2C6;&#x2019;1 x x â&#x2C6;&#x2019;1 x â&#x2C6;&#x2019;=1lim   x â&#x2C6;&#x2019;. 1 lim x â&#x2020;&#x2019;1lim â&#x2020;&#x2019;1limx â&#x2C6;&#x2019; 1 x â&#x2C6;&#x2019; 1 x= x. x â&#x2020;&#x2019;1 x â&#x2C6;&#x2019; 1 xâ&#x2020;&#x2019;1  x â&#x2C6;&#x2019;1

de contenidos

x â&#x2C6;&#x2019;1 1 + 1  x+ x â&#x2C6;&#x2019; 1 = lim 1 lim 1 = â&#x2020;&#x2019;1lim â&#x2020;&#x2019;1limx + 1 ( x1 â&#x2C6;&#x2019; 1) x + 1 x= + 1 x= â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; x x 1 (x â&#x2C6;&#x2019; 1) x + 1 x + 1 x +1

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ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Aplicando el teorema de SustituciĂłn, resulta: Aplicando el teorema de SustituciĂłn, resulta:

Aplicando el teorema de SustituciĂłn, resulta:

1 1 1 1= 1= 1 lim =1 + 1 2= x â&#x2020;&#x2019;1limx + 1 x â&#x2020;&#x2019;1 x +1 1 +1 2

x +1 â&#x2C6;&#x2019;1 x +1 â&#x2C6;&#x2019;1 lim x +2â&#x2C6;&#x2019; 2 SoluciĂłn d) Calcular: x +2â&#x2C6;&#x2019; 2 d)SoluciĂłn Calcular: SoluciĂłn

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SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn:

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indeterminaciĂłn, racionalizando tanto el numerador y denominador, y indeterminaciĂłn, luego luego racionalizando tanto el numerador y denominador, unay Aplicando el Teorema de SustituciĂłn, tenemos: simplificando: indeterminaciĂłn, luego racionalizando el numerador y denominador, y indeterminaciĂłn, luego racionalizando racionalizando tanto el eltanto numerador denominador, simplificando: simplificando: indeterminaciĂłn, luego numerador yy denominador, yy naciĂłn, luego racionalizando tanto tanto el numerador y denominador, y simplificando: simplificando: simplificando: simplificando:

 x +1 â&#x2C6;&#x2019;1 x +1 â&#x2C6;&#x2019;1 x +1 +1 x + 2 + 2  lim x + 1 â&#x2C6;&#x2019;x1x++1=1â&#x2C6;&#x2019;lim x1 + 2 +x + 22+=  x +1 â&#x2C6;&#x2019;x1x++.11â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;x11+ .1 +x1x+. +11+ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;11 xlim xlim 0 = lim â&#x2020;&#x2019;0 . = x x x 1 1 1 1 + â&#x2C6;&#x2019; + 1 .+11 . xx ++ + 21.2.++ x22+2 =+ + â&#x2C6;&#x2019; xlim x 2 2 2 2 + â&#x2C6;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2C6;&#x2019; 1 0 =xxâ&#x2020;&#x2019; lim lim xx â&#x2020;&#x2019; 1+ 22=â&#x2C6;&#x2019;lim +0 21 â&#x2C6;&#x2019; 0+ 1 x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019;2 = lim . â&#x2C6;&#x2019;xx+2+11+ . 1+ x x x 2 1 + + x x x 2 2 1 + â&#x2C6;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019; +  x 0 x 0 â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;  lim lim . . =  x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019; 02 x+2â&#x2C6;&#x2019; x + 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 x + 1 ++12 +xx++222=++ x â&#x2020;&#x2019;0 xx ++ 22 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 22 x â&#x2020;&#x2019;0  xx ++ 22â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 22 xx ++11++11 xx ++ 22 ++ 22

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( ) ( ) (( ( ( ( (( )))) ) )((() ( ( (( )))) ) ) ) ( ))) ) ((( ( ))) ) (( ( Aplicando el teorema de SustituciĂłn, resulta:

x x+2+ 2 x+2+ 2 = lim x x +x 2 +x + 22 + = lim 2 x + 2 +xx++222++ 22 x1++x12+ 2=+xlim â&#x2020;&#x2019; 0 x=xlim â&#x2020;&#x2019; 02 = x lim = xlim + 2 x + x x+02+21+++ 122 lim = lim + + x xxâ&#x2020;&#x2019; 0 2x+ x2+ 1=+lim x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; 0x = x â&#x2020;&#x2019; 0 = lim 1 x x â&#x2020;&#x2019;x0 + 1x + 1x +=1lim xxâ&#x2020;&#x2019;+ 0 1 +x1 = lim x â&#x2020;&#x2019;0 x+â&#x2020;&#x2019;10 x++11++11 + 1 + 1 x x x x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019; 0 x x +1 +1 x ++11++11

Aplicando el teorema de SustituciĂłn, resulta: Aplicando el teorema de SustituciĂłn, resulta: Aplicando el teorema de SustituciĂłn, Aplicando el teorema teorema de SustituciĂłn, SustituciĂłn, resulta:resulta: Aplicando el de resulta:

( ) (( ( ( ( (( )))) ) ) ) ( ( ))) ) ((

0+2 + 2 2+ 2 2 2 = 22 + 22 =+ 2 22 =2 22 lim 0 + 2 +0 + 22 + + + 0 2 â&#x2020;&#x2019;0 xlim lim = + + 0 2 2 2 12+=1 2 2=+2 222== 2 2 2= 2 0 02+ 1+ + 12 lim â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; 0 0x+ lim ++1==1++1211++=12 1==1+2+1122 === 2222 = 2 x0â&#x2020;&#x2019;+ 0 1 +01 lim x â&#x2020;&#x2019;0 0 1 x â&#x2020;&#x2019;0 1 ++11 22 00++11++11 x â&#x2C6;&#x2019;1

lim 3 x â&#x2C6;&#x2019; 1 x â&#x2C6;&#x2019; 1 x â&#x2020;&#x2019;1 e) Calcular: lim â&#x2C6;&#x2019;1113 x â&#x2C6;&#x2019; 1 Calcular: lim 3 xxxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; lim

e) x â&#x2020;&#x2019;1 lim x xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;11 3xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;11 lim e) Calcular: e) Calcular: x â&#x2020;&#x2019;1 3 â&#x2C6;&#x2019;11 e) Calcular: x â&#x2020;&#x2019;1 3 xx â&#x2C6;&#x2019; e) Calcular: e) Calcular: SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn: SoluciĂłn SoluciĂłn

1 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 =1 0â&#x2C6;&#x2019; 1 0 3 Aplicando el Teorema de SustituciĂłn, 3 1 â&#x2C6;&#x2019; 1=sugiere Aplicando el Teorema de SustituciĂłn, tenemos: 0 una indeterminaciĂłn; luego paraeste tipo detenemos: lĂ­mites â&#x20AC;&#x153;cambio 1 001 â&#x2C6;&#x2019; 1 utilizar 3 1 â&#x2C6;&#x2019;se Aplicando el Teorema de SustituciĂłn, tenemos: Aplicando el Teorema de SustituciĂłn, tenemos: 1 â&#x2C6;&#x2019;lĂ­mites 1se unael indeterminaciĂłn; luego paraeste tipo de se sugiere â&#x20AC;&#x153;cambio una indeterminaciĂłn; luego paraeste tipo de lĂ­mites sugiere utilizarutilizar â&#x20AC;&#x153;cambio Aplicando Teorema de SustituciĂłn, tenemos:

1 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 01 â&#x2C6;&#x2019; 1== 0 una indeterminaciĂłn; Aplicando Teorema de SustituciĂłn, tenemos: Aplicando el el Teorema de SustituciĂłn, tenemos: 31 â&#x2C6;&#x2019; 1 3= 0 1 0â&#x2C6;&#x2019; 1 0 3

de variableâ&#x20AC;? porque hay radicales grados: una indeterminaciĂłn; luegodediferentes paraeste tipo de se lĂ­mites se sugiere utilizar una indeterminaciĂłn; luego paraeste tipo de lĂ­mites lĂ­mites sugiere utilizar â&#x20AC;&#x153;cambioâ&#x20AC;&#x153;cambio luego para este tipo deradicales lĂ­mites se sugiere utilizar â&#x20AC;&#x153;cambio de variableâ&#x20AC;? porque de variableâ&#x20AC;? porque hay radicales dediferentes de variableâ&#x20AC;? porque hay dediferentes grados: una indeterminaciĂłn; luego paraeste tipo de segrados: sugiere utilizar â&#x20AC;&#x153;cambio de variableâ&#x20AC;? porque hay radicales dediferentes grados: de variableâ&#x20AC;? porque hay radicales dediferentes grados: 3 3 de variableâ&#x20AC;? porque hay radicales dediferentes grados: 6de 3 2 radicales diferentes grados: 6 6 đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 6 â&#x;š 6â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 36 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = 3đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 26. Luego: â&#x2C6;&#x161; 3 3 3 .6=Luego: = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x161;6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x;š= â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘2 . Luego: â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ6== â&#x2C6;&#x161;3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ6== đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘3 6==đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś3 3â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś= 3â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 2 â&#x;š = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘2 . Luego: â&#x2C6;&#x161; ==đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 3â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 3â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘66 â&#x;š â&#x;š= đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x161;66đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= ==đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ Luego: 3 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2020; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘6 = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘2 .. Luego:

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u + u +1 1+1+1 3 lim u22 + uu+2 12+ =u 1+ +1 1 +11+=13+ 1 3 1=+1 11=+321 + 1= 3 ulim â&#x2020;&#x2019;1 u2 ( lim +1u+u1++)u11 +=1u1+++ uâ&#x2020;&#x2019; 1 1+ u u(+ u â&#x2020;&#x2019;1 lim +1 1)(u(u=+=+1)1)11++1=1 =1=1+3+ ulim 211 =22 uâ&#x2020;&#x2019; lim u â&#x2020;&#x2019;1 u â&#x2020;&#x2019;1 ((uu ++11)) 11++11 22

))

15 15 15 15

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hay

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UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD

TEMA N° 2: LIMITES LATERALES Anotaciones

1

L�MITES LATERALES Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportamiento y por TEMA N° Esto 2: LIMITES LATERALES la izquierda del punto tienen otro comportamiento. ocurre frecuentemente TEMA N°que 2: tienen LIMITES LATERALES en funciones regla de correspondencia definida en intervalos y que su gråfica presenta un salto en un punto, como se observa en la grafica siguiente:.

1.1

1.1

LIMITES LATERALES

LIMITES LATERALES

Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportam Existen funciones que por la derecha de la unizquierda punto tienen un comportamientoy por del punto tienen otro comportamiento. Esto ocurrefrecuente la izquierda del punto tienen otro comportamiento. Estotienen ocurrefrecuentemente en funciones que regla de correspondencia definida enintervalos funciones que tienen regla de correspondencia definidaunenintervalos y que como su se observa en la grafica sigu grĂĄfica presenta salto en un punto, grĂĄfica presenta un salto en un punto, como se observa en la grafica siguiente:.

Figura 3.- Grafica que representa un salto en un punto.

Figura 3.- Grafica que representa un salto en un punto Figura 3.- Grafica que representa un salto en expresar formalmente este comportamiento se hace necesario definir lĂ­mites un puntoPara expresarformalmente este comportamiento se hace necesario defi

Para en un punto por una sola direcciĂłn. Para expresarformalmente este comportamiento se hace necesario definir lĂ­mites en un puntopor una sola direcciĂłn. en un puntopor una sola direcciĂłn.

Figura 4.- El limite cuando: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0+ â&#x2030; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0â&#x2C6;&#x2019; Por lo

DEFINICIĂ&#x201C;N

tanto, el lĂ­mite cuando đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 no Figura 4.- 4.El limite cuando: Porlolo tanto, el lĂ­mite cuando noexiste. Figura El limite cuando: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0+ â&#x2030; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0â&#x2C6;&#x2019; Por tanto, el lĂ­mite cuando đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 no existe. existe. DEFINICIĂ&#x201C;N

El lĂ­mite lateral por la derecha de f (x)cuando â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? tiende alvalor â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? por la d El lĂ­mite lateral DEFINICIĂ&#x201C;N por la derecha de f (x)cuando tiende alvalor â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? por la derecha es igualâ&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? a â&#x20AC;&#x153;Lâ&#x20AC;? y escribimos igual a â&#x20AC;&#x153;Lâ&#x20AC;? y escribimos El lĂ­mite lateral por la derecha de f (x) cuando â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? tiende al valor â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? por la derecha

es igual a â&#x20AC;&#x153;Lâ&#x20AC;? y escribimos.

lim+ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??ż

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??ż

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;+

Observemos que en la definiciĂłn dada se supone que la funciĂłn f (x), es Observemos que en la definiciĂłn dada seensupone que la funciĂłn f (x), estĂĄdefinida el intervalo (a,c) , para valores de c > a . en el intervalo (a,c) , para valores de c > a . DEFINICIĂ&#x201C;N Observemos que en la defi niciĂłn dada se supone que la funciĂłn f (x), estĂĄ definida DEFINICIĂ&#x201C;N en el intervalo (a,c) , para valores de c > a . El lĂ­mite lateral por la izquierda de f(x)cuando â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? tiendeal valor â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? por la El lĂ­mite lateral por la izquierda de f(x)cuando â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? atiendeal valor â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? por la izquierda es igual â&#x20AC;&#x153;Lâ&#x20AC;? y escribimos es igual a â&#x20AC;&#x153;Lâ&#x20AC;? y escribimos

DEFINICIĂ&#x201C;N

El lĂ­mite lateral por la izquierda de f(x) cuando â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? tiende al valor â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? por la izquierda es igual a â&#x20AC;&#x153;Lâ&#x20AC;? y escribimos. 16

En esta definiciĂłn se supone que la funciĂłn f(x), estĂĄ definida en el intervalo(d,a), para valores de d < a .


limâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??ż = đ??żđ??ż lim limâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ??żđ??żâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim=lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??ż= đ??żđ??ż

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

Desarrollo UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD de contenidos

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;

lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??ż ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019; MANUAL AUTOfORMATIVO

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En esta definiciĂłn se supone que la funciĂłn f(x), estĂĄ definida en el int En esta esta definiciĂłn definiciĂłn se se supone supone que que la la funciĂłn funciĂłn f(x), f(x), estĂĄ estĂĄ definida definida en en el el intervalo(d,a), intervalo(d,a), En para valores de d < a . En estasedefiniciĂłn se supone quef(x), la funciĂłn f(x), estĂĄ definida en el intervalo(d,a), En esta definiciĂłn supone que la funciĂłn estĂĄ definida en el intervalo(d,a), para valores dedefiniciĂłn < aase para de dd < .. supone En esta se supone la funciĂłn definida el intervalo(d,a), En valores esta definiciĂłn que que la funciĂłn f(x), f(x), estĂĄ estĂĄ definida en elenintervalo(d,a), Lecturas Glosario BibliografĂ­a para valorespara de dvalores < a . de d < a . seleccionadas valores d .< a . parapara valores de dde <a Ahora para ver la relaciĂłn que existe entre los lĂ­mites laterales lim++ ff ((lim xx)) Ahora para para ver ver la la relaciĂłn relaciĂłn que que existe existe entre entre los los lĂ­mites lĂ­mites laterales laterales lim Ahora limlaterales (axa ) y lim+yy ff (( xx)) y ver la relaciĂłn entre los lĂ­mites Ahora para Ahora ver lapara relaciĂłn que existe que entreexiste los lĂ­mites laterales â&#x2020;&#x2019; xfxâ&#x2020;&#x2019; + y f ( x ) con el lim f ( x ) , se da el teorema siguiente: Ahora para ver la relaciĂłn que existe entre los lĂ­mites lim+ x â&#x2020;&#x2019; f (a +x) yy lim Ahora relaciĂłn que existe entre los lĂ­mites laterales Ahora parapara verver la larelaciĂłn que existe entre lĂ­mites laterales x â&#x2020;&#x2019; alaterales xâ&#x2020;&#x2019;a â&#x2C6;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; a xâ&#x2020;&#x2019;a xâ&#x2020;&#x2019;a limâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; ff ((lim lim ff ((lim lim xx)) el xx)) ,da con el el lim , se se da da el el teorema teorema siguiente: siguiente: con f ( x ) f ( x ) con , se el teorema siguiente: limâ&#x2C6;&#x2019; fxxâ&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; ( xaa ) con lim f ( x ) con el , se da el teorema siguiente: el , se da el teorema siguiente: xâ&#x2020;&#x2019; a xâ&#x2020;&#x2019; a â&#x2C6;&#x2019; )f ( x ) con lim lim lim f ( x ) el , se da el teorema siguiente: lim f ( x f ( x ) x â&#x2020;&#x2019; a xâ&#x2020;&#x2019; a con , se da el teorema siguiente: xâ&#x2020;&#x2019;a xâ&#x2020;&#x2019; a el â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Recordatorio Anotaciones xâ&#x2020;&#x2019;a xâ&#x2020;&#x2019;a

xâ&#x2020;&#x2019; a xâ&#x2020;&#x2019; a

Teorema De Existencia de Limite:

Teorema De De Existencia Existencia de de Limite: Limite: Teorema Teorema De Existencia Teorema De Existencia de Limite: de Limite: Teorema De Existencia de Limite: Teorema De Existencia de Limite:

Si fes una funciĂłn con lĂ­mite en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 entonces se cumple q tanto por izquierda como por derecha f tiende a tomar mismo valor. Es decir:

Si fes fes una una funciĂłn funciĂłn con con lĂ­mite lĂ­mite en en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00entonces entonces se se cumple cumple que que Si Si fes una conđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0lĂ­mite en se đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ entonces se cumple que Si fes una funciĂłn con funciĂłn lĂ­mite en entonces cumple que tanto por izquierda como por lĂ­mite derecha tiendeseaa cumple tomar el tanto por izquierda como por derecha ff đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00 entonces tiende tomar el Si una fes una funciĂłn con en se cumple Si fes funciĂłn con lĂ­mite en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ entonces que que 0 tanto porcomo izquierda como por tiende tanto por izquierda por derecha f derecha tiende a f tomar el a tomar el mismo valor. Es decir: decir: mismo valor. Es tanto izquierda como por derecha f tiende a tomar tantomismo por por izquierda como por derecha f tiende a tomar el el valor. Es decir: mismo valor. Es decir: mismo valor. Es decir: mismo valor. Es decir:

ďż˝ lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??żďż˝ â&#x2030;Ą lim+ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??ż â&#x2C6;§ limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??ż đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = đ??żđ??żďż˝ đ??żđ??żďż˝ â&#x2030;Ą â&#x2030;Ą lim lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = đ??żđ??żđ??żđ??ż â&#x2C6;§â&#x2C6;§ lim limâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = đ??żđ??żđ??żđ??ż �� lim ďż˝ đ??żđ??żďż˝ limâ&#x2030;Ąđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ??żđ??żďż˝ 0+0+â&#x2030;Ą= lim = đ??żđ??ż00 â&#x2C6;§ = đ??żđ??ż đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝ lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim= đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ??żđ??ż â&#x2C6;§+ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim đ??żđ??ż â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2030;Ąđ??żđ??żďż˝lim lim0 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2030;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;§ lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ??żđ??żďż˝0= đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 0đ??żđ??ż = â&#x2C6;§ đ??żđ??żlim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??ż = đ??żđ??ż đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ďż˝ limďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 0 â&#x2C6;&#x2019; 0 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

lim++ ff ((lim lim ff ((lim lim ff ((lim Si que que noexiste xx)) â&#x2030; â&#x2030;  lim xx)),,, se xx)) no sedice dice que que lim no Si se se da da que que lim se Si se da f (que xdice ) , se )) no existe ff ((existe xxexiste. xxx00) â&#x2030;  lim f ( xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; )) ,â&#x2030;  (que lim fxâ&#x2020;&#x2019; (que xxx00) nolim xâ&#x2020;&#x2019; dice se +dafxxâ&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; existe Si se da queSi lim â&#x2C6;&#x2019; x )f ( x ) , se dice que â&#x2030; selim no existe f x(0dice lim+ xfâ&#x2020;&#x2019;x(0â&#x2C6;&#x2019;xx0++ )f â&#x2030; (xx0x0lim lim xâ&#x2020;&#x2019; ( f xx xâ&#x2020;&#x2019; xque , se dice Si seSida xse â&#x2020;&#x2019;que x0da que 0 ) no existe 0 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; x0 xâ&#x2020;&#x2019; x0 xâ&#x2020;&#x2019; x0 x â&#x2020;&#x2019; x0 x â&#x2020;&#x2019; x0 x0 Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Obtenga los los lĂ­mites lĂ­mites indicados indicados en en cada cada caso caso yy trace trace la la grĂĄfica: grĂĄfica: Obtenga Obtenga los caso y trace la grĂĄfica: Obtenga losObtenga lĂ­mites indicados enindicados cada casoeny cada trace la grĂĄfica: loslĂ­mites lĂ­mites indicados en cada caso trace la grĂĄfica: Obtenga los lĂ­mites indicados en cada caso y trace la grĂĄfica: Obtenga los lĂ­mites indicados en cada caso y trace lay grĂĄfica: â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22 44 2â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 22 4= â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝ 4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2ďż˝242â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = ďż˝ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 + 2 + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = ďż˝2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2+= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2ďż˝ 2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22+ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2

Obtenga: Obtenga: Obtenga: Obtenga: Obtenga: lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ), lim lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ), lim Obtenga:

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ),

SoluciĂłn:

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;

lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim+(4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 ) = 4 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 3

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1+

(2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = lim limâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;(2 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22)) = = 22 + + 11 = = 33 lim 2 )+ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim lim (2 += đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 223) = 2 + 1 = 3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;= lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= = 2â&#x2C6;&#x2019;(2 +21 limâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (2 lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2) + = 12 = + 31 = 3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 )= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim limâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 + (2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

Por lo lo tanto: tanto: Por Por lo tanto:Por lo tanto: limPor đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =3 3 tanto: lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = Por lo lo limtanto: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1= 3 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =3 =3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = ďż˝

Hallamos los lĂ­mites tal como nos indican:

(4 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = lim lim++(4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22)) = = 44 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 11 = = 33 lim 2 )â&#x2C6;&#x2019; lim++(4 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim â&#x2C6;&#x2019;= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 223) = 4 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1++= lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= = 4+(4 â&#x2C6;&#x2019;21 lim+ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (4 lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4) â&#x2C6;&#x2019; = 14 = â&#x2C6;&#x2019; 31 = 3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 )= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1+ lim+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim â&#x2C6;&#x2019;+(4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

xâ&#x2020;&#x2019; x0

x0

Obtenga los lĂ­mites indicados en cada caso y trace la grĂĄfica:

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1+

SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: Hallamos los lĂ­mites lĂ­mites tal tal como como nos nos indican: indican: Hallamos los loscomo lĂ­mites como nos indican: Hallamos losHallamos lĂ­mites tal nostal indican: Hallamos los taltal como nosnos indican: Hallamos los lĂ­mites tal como nos indican: Hallamos loslĂ­mites lĂ­mites como indican:

f ( x) , se dice que lim f ( x) no e lim f ( x) â&#x2030; lim â&#x2C6;&#x2019;

x â&#x2020;&#x2019; x0+

Ejemplo:

Obtenga:

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś lim lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ), đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś limâ&#x2C6;&#x2019;lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ), lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1++ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 +â&#x2C6;&#x2019; lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ), limâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ślim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 lim+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ), limâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1+ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

Si se da que

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = limâ&#x2C6;&#x2019;(2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 ) = 2 + 1 = 3

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;

Por lo tanto:

lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 3

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

De acuerdo al teorema de la existencia de LĂ­mites, podemos concluir qu đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 De acuerdo acuerdo al al teorema teorema de de la la existencia existencia de de LĂ­mites, LĂ­mites, podemos podemos concluir concluir que que tanto tanto por porizquierda como por derecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir exi De De acuerdo al teorema de lade existencia de LĂ­mites, podemos concluir que tanto por De acuerdo al teorema de la existencia LĂ­mites, podemos concluir que tanto por izquierda como por derecha tiende tomar elLĂ­mites, mismo valor. Es decir decir existe elque lĂ­mite. izquierda derecha tiende aa tomar el mismo valor. Es existe lĂ­mite. De como acuerdo al teorema deexistencia la existencia de LĂ­mites, podemos concluir tanto por Su grĂĄfica serĂ­a: De acuerdo alpor teorema deff la de podemos concluir queel tanto izquierda como por derecha f de tiende a tomar el de mismo valor. Es decir existe elpor lĂ­mite. izquierda como poracuerdo derecha faltiende a tomar el existencia mismo valor. EsLĂ­mites, decir existe el lĂ­mite. De teorema la podemos concluir que tanto Suizquierda grĂĄfica serĂ­a: Su grĂĄfica serĂ­a: izquierda como por derecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir existe el lĂ­mite. como por derecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir existe el lĂ­mite. Su por grĂĄfica serĂ­a: como por derecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir existe el Su grĂĄfica serĂ­a: izquierda Su grĂĄfica serĂ­a: Su grĂĄfica serĂ­a:

lĂ­mite. Su grĂĄfica serĂ­a:

17

17 17 17 17 17

Figura 5.- El limite cuando: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0+ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0â&#x2C6;&#x2019; Por lo

5.- limite El limite cuando: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0+ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0â&#x2C6;&#x2019; Por el lĂ­mite cuando đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 existe. porlo lo tanto,tanto, el lĂ­mite cuando FiguraFigura 5.- El cuando: + â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 â&#x2020;&#x2019; existe. tanto,5.el lĂ­mite cuando Figura El limite cuando: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0+ 0 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00 Por lo existe.

EJERCICIOS EJERCICIOS

EJERCICIOS tanto, el lĂ­mite cuando đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00 existe.

2x â&#x2C6;&#x2019; 3 EJERCICIOS 1. Sea f ( x) = . Hallar: lim f ( x) 2x â&#x2C6;&#x2019; 3 xâ&#x2020;&#x2019; 2 2x â&#x2C6;&#x2019; 3 lim f ( x) 1. Sea f ( x) = . Hallar: 2 x â&#x2C6;&#x2019; 3 xâ&#x2020;&#x2019; 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 3 1. . Hallar: Hallar: lim f ( x) 1. Sea Sea f ( x) = xâ&#x2020;&#x2019; 2SoluciĂłn 2x â&#x2C6;&#x2019; 3 SoluciĂłn

SoluciĂłn Expresando la regla de correspondencia sin valor â&#x2C6;&#x2019;3 Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ resulta: ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ > 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 de correspondencia sin |2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; valor SoluciĂłn: 3| 1 Expresando la 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ regla absoluto, resulta: 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ > 2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = ďż˝ =ďż˝ |2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3| 1 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ > 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019;(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 Expresando la regla correspondencia sin valor absoluto, resulta: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = ďż˝ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľde = ďż˝ ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 > 2 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 2 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 2 |2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019; 3| 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 1 ; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ3 > 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = =ďż˝ =ďż˝ â&#x2C6;&#x2019;(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) â&#x2C6;&#x2019;1 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 33 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;Esto 3 quiere decir que su grĂĄfica es: Esto quiere decir que su grĂĄfica es: Esto quiere decir que su grĂĄfica es:

absoluto, ; ;

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ > 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 2

resulta:


EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS

20

Actividades

Glosario

Anotaciones

2 x 2â&#x2C6;&#x2019;x3â&#x2C6;&#x2019; 3

AutoevaluaciĂłn

â&#x2C6;&#x2019; Sea 2 xSea 3 f ( xf)(=x) = limlim f ( xf)( x) . Hallar: x â&#x2C6;&#x2019; 3 lim f .( xHallar: Modalidad 1. Sea f ( x) =1. 1. . 2 Hallar: UNIDAD x23Yâ&#x2C6;&#x2019; CONTINUIDAD 2.xxâ&#x2020;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x2019; 3 ) lim f ( xâ&#x2020;&#x2019; ( x3) = I: LĂ?MITES x) 2xâ&#x2020;&#x2019; 2 Hallar: Virtual 1. Sea 2 xf â&#x2C6;&#x2019; 2x â&#x2C6;&#x2019; 3

BibliografĂ­a

xâ&#x2020;&#x2019; 2

SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn sinsinvalor absoluto, Expresando laregla reglade decorrespondencia correspondencia valor absoluto,resulta: resulta: Expresando laExpresando regla de lacorrespondencia sin valor absoluto, resulta: 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ3â&#x2C6;&#x2019; 3 Expresando la regla sin valor absoluto, resulta: 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 de correspondencia ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ > 2 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ > 2 |2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ|2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3| â&#x2C6;&#x2019; 3| 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;; 3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; >2 1 1 ; ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ >đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2> 2 |2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3| đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ > 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 = ďż˝=2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 2ďż˝= ďż˝ ďż˝ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ3â&#x2C6;&#x2019;; 3 = = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ > 12 â&#x2C6;&#x2019;=â&#x2C6;&#x2019; 3|2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =|2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) â&#x2C6;&#x2019;(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) ďż˝â&#x2C6;&#x2019;1 1 ; â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ >; 2 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ <đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2< 2 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019;(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;3= =ďż˝ =;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2ďż˝< đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 < 2 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < ; â&#x2C6;&#x2019;(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ;â&#x2C6;&#x2019; 3) â&#x2C6;&#x2019;1 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; < 32â&#x2C6;&#x2019; 3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 ; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 Esto quiere decir que su su grĂĄfica es:es: Esto quiere decir grĂĄfica Esto quiere decir que su grĂĄfica es:que Esto quiere decir que su grĂĄfica Esto quiere decir que es: su grĂĄfica es:

De la grafica grafica observamos entonces se se concluye lim f +( xf )(f= f â&#x2C6;&#x2019;( xf )( = lim x()1x=) 1=y â&#x2C6;&#x2019;yy1 lim lim xse )â&#x2C6;&#x2019;=1â&#x2C6;&#x2019;entonces 1 entonces se DeDe la la grafica observamos observamos lim f ( x) que = 1que â&#x2C6;&#x2019; y + lim entonces De la grafica observamos que f x(â&#x2020;&#x2019;x2)x â&#x2020;&#x2019;=x21 limâ&#x2C6;&#x2019; f x(â&#x2020;&#x2019;x2)x â&#x2020;&#x2019;=2 â&#x2C6;&#x2019;1 entonces se De la grafica â&#x2020;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019; y que observamos no existe.x â&#x2020;&#x2019; 2 +que xlim + xâ&#x2020;&#x2019;2 â&#x2020;&#x2019;existe. 2 limlim f ( xf)(no existe. concluye x) no concluye que f ( x) noque existe. concluye que lim xâ&#x2020;&#x2019; 2xâ&#x2020;&#x2019; 2 concluye xâ&#x2020;&#x2019; 2 que lim f ( x ) no existe. xâ&#x2020;&#x2019; 2

2. laDada la siguiente funciĂłn: 2. 2. Dada siguiente funciĂłn: Dada la siguiente funciĂłn: 2. Dada la siguiente funciĂłn: 2. Dada la siguiente funciĂłn:

+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ< 4+â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ <đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;4 4 < â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < â&#x2C6;&#x2019;4 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 ďż˝ ďż˝ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = ďż˝ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = ďż˝ 16 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019; 4 < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ<<đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4< 4 16 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019; 4 2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = ��16 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019; 4 < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 4 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = ��16 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019; 4 < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 4â&#x2030;Ľ 4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 4

18 18

18 f ( x), lim f ( x), Obtenga: limâ&#x2C6;&#x2019; f ( x), lim+ f ( x), lim f ( x), limâ&#x2C6;&#x2019; f ( x), lim 18 + f (x ),â&#x2C6;&#x2019;4lim f),( x), Obtenga:xlim lim f ( xf),( xx),lim f ( xf),( xxlim f ( xf),( xx), f ( xf),( x),xlim f ( xf),( x), Obtenga: â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4lim â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4lim â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 4 lim â&#x2020;&#x2019; 4 lim xlim â&#x2020;&#x2019; 4lim â&#x2C6;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4 + x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x4â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x4â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x4â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4 x â&#x2020;&#x2019; 4xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; 4 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; 4x+â&#x2020;&#x2019; 4 + x â&#x2020;&#x2019; 4x â&#x2020;&#x2019; 4 Obtenga: limâ&#x2C6;&#x2019; f ( x), lim+ f ( x), lim f ( x), limâ&#x2C6;&#x2019; f ( x), lim+ f ( x), lim f ( x), Obtenga: x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4

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SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: Hallamos los lĂ­mites tal como nos indican: Hallamos los tal nos indican: Hallamos los lĂ­mites tal como indican: Hallamos loslĂ­mites lĂ­mites talcomo como nosnos indican: Hallamos los lĂ­mites lim tal como noslim indican: (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4) = â&#x2C6;&#x2019;4 + 4 = 0 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =limlim + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + limlim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4

4) = â&#x2C6;&#x2019;4 = â&#x2C6;&#x2019;4 + 4+=4 0= 0 lim â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4) = â&#x2C6;&#x2019;4 + 4 = 0

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 22 =2 â&#x2C6;&#x161;16 â&#x2C6;&#x2019; 16 = 0 lim + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim + ďż˝ ďż˝16 ďż˝16 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =limlim = â&#x2C6;&#x161;16 â&#x2C6;&#x2019; 16 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; 16 = 0= 0 16 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= â&#x2C6;&#x161;16 limlim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 + + + + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 lim + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim + ďż˝16 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x161;16 â&#x2C6;&#x2019; 16 = 0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4

De (existe lĂ­mite) lĂ­mite) Deacuerdo acuerdoal alcĂĄlculo cĂĄlculo obtenemos: obtenemos: lim f ( x) = 0 (existe x)0=(existe 0 (existe lĂ­mite) acuerdo al cĂĄlculo obtenemos: lĂ­mite) DeDe acuerdo al cĂĄlculo obtenemos: xlim â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;lim 4 f ( xf)(= x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x4â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4 De acuerdo al cĂĄlculo obtenemos: lim f ( x) = 0 (existe lĂ­mite) x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4

limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = limâ&#x2C6;&#x2019; ďż˝ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 22 =2 â&#x2C6;&#x161;16 â&#x2C6;&#x2019; 16 = 0 ďż˝16 ďż˝â&#x2C6;&#x2019;16 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = â&#x2C6;&#x161;16 â&#x2C6;&#x2019; 16 limâ&#x2C6;&#x2019;lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 limâ&#x2C6;&#x2019;lim â&#x2C6;&#x2019; 16 = 0= 16 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= â&#x2C6;&#x161;16 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = limâ&#x2C6;&#x2019; ďż˝16 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 = â&#x2C6;&#x161;16 â&#x2C6;&#x2019; 16 = 0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4) = 4 â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0 4) = 4=â&#x2C6;&#x2019;44â&#x2C6;&#x2019;=4 0= 0 lim+ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim+(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4) = 4 â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0

(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 lim++lim lim++lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4

0

De acuerdo al cĂĄlculo obtenemos: lim f ( x ) = 0 (existe lĂ­mite) De alalcĂĄlculo obtenemos: (existe lĂ­mite) 0 (existe lĂ­mite) De acuerdo al cĂĄlculo obtenemos: lim f ( xf)(=x)0=(existe lĂ­mite) Deacuerdo acuerdo cĂĄlculo obtenemos: x â&#x2020;&#x2019; 4lim x â&#x2020;&#x2019; 4x â&#x2020;&#x2019; 4 Siendo su grĂĄfica: f x = lim ( ) 0 (existe lĂ­mite) De acuerdo al cĂĄlculo obtenemos: Siendo su ca: Siendo su grĂĄfica: Siendo sugrĂĄfi grĂĄfica: xâ&#x2020;&#x2019;4 Siendo su grĂĄfica:

Dada la siguiente funciĂłn:

3. Dada la siguiente funciĂłn: Dada la siguiente funciĂłn: 3. 3. Dada la siguiente funciĂłn: 3. Dada la siguiente funciĂłn:


Desarrollo UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD de contenidos

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOfORMATIVO

3. Dada la siguiente funciĂłn:

Obtenga: Obtenga: limâ&#x2C6;&#x2019; f ( x ), lim+ f ( x ), lim f ( x ), limâ&#x2C6;&#x2019; f ( x ), lim+ f ( x ), x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2

xâ&#x2020;&#x2019;2

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

lim f ( x),

xâ&#x2020;&#x2019;2

xâ&#x2020;&#x2019;2

SoluciĂłn: Previamente podemos graficar:

19

SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: Previamente podemos graficar: Previamente podemos graficar: Previamente podemos graficar: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: Previamente podemos graficar: Previamente podemos graficar: Previamente Previamentepodemos podemosgraficar: graficar:

Observamos que segĂşn lagrĂĄfica grĂĄfi ca los lĂ­mites laterales son diferentes, esto indica Observamos que segĂşn la grĂĄfica los lĂ­mites laterales son diferentes, estoindica Observamos que segĂşn laque los la lĂ­mites laterales son laterales diferentes, Observamos segĂşn grĂĄfica los lĂ­mites sonestoindica diferentes, estoindica ) yff (lim fno xlim )existen. no fexisten. Estos resultados que losque lĂ­mites limlosf x(lim x)â&#x2C6;&#x2019;2 fyy( xlim xx))2no resultados quelos los lĂ­mites (xâ&#x2020;&#x2019; ( x)Estos y(existen. noEstos existen. Estossecomprueban resultados secomprueban lĂ­mites resultados sesecomprueban comprueban en que lĂ­mites â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2

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xâ&#x2020;&#x2019; 2

en seguida. en seguida. en seguida. seguida. Observamos que segĂşn la grĂĄfica los lĂ­mites laterales son diferentes, estoindica Observamos que segĂşn la grĂĄfica los lĂ­mites laterales son diferentes, estoindica 2) Observamos Observamos que que segĂşn la lĂ­mites laterales son son diferentes, diferentes, estoindica estoindica f la ( xgrĂĄfica )grĂĄfica flim (â&#x2C6;&#x2019;lĂ­mites xexisten. )â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= y f lim no existen. 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Estosresultados resultadossecomprueban secomprueban que quelos loslĂ­mites lĂ­mitesxlim xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;2 xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; 22 en seguida. en seguida. 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 lim +=đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim +41)+ 4++5 en enseguida. seguida. (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= ++= 1) = 12 = lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim 1)1==45+ 1 = 5 lim= (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2+ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 2 )â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (4 lim lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(4 = 42 )â&#x2C6;&#x2019;=44=â&#x2C6;&#x2019;04 = 0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019; 22 (4â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ))==44â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;44==00 lim limâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)== lim limâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;(4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 1) = 4 + 1 = 5 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim lim (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim + 1) no = 4existe + 1no = 5existe lim Entonces: + +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 Entonces: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 Entonces: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2x â&#x2020;&#x2019; 2+ existe â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 22no đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)= ++x1) 1)â&#x2C6;&#x2019;= lim lim++đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) x= â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;lim 2 lim (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; 2=44++11==55 ++ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 2 2 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim +41) 4++5 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim +â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1) + 42 = lim = =lim 1)4==45+ 4 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;no existe đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2existe Entonces: no Entonces:

x) f ( x) lim f lim ( x) f ( lim

Entonces: Entonces:

lim flim ( x) f ( x) lim lim f f((xx))2no noexiste existe

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2

lim â&#x2C6;&#x2019;44) 4â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;0 lim+=đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) xâ&#x2020;&#x2019; x= â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 22 â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= lim â&#x2C6;&#x2019; 42 = lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = =lim 4)4==40â&#x2C6;&#x2019; 4 lim + 4) + + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;22 2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2+ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 1) limâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim=â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľlim + 1) = 4 +=44=+54 = 5 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22++1) lim lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)==đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 lim lim 1)==44++44==55 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4=0 lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim=+(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľlim â&#x2C6;&#x2019; 4)2 = 4 existe â&#x2C6;&#x2019;=44no =â&#x2C6;&#x2019;0existe limEntonces: no4) Entonces: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2+ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2+ Entonces: 2+ existe xâ&#x2020;&#x2019; 22no (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)= =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 lim â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4) 4)=2=44â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;44==00 lim lim xâ&#x2020;&#x2019; 2lim xâ&#x2020;&#x2019; + + + + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 Y ASINTOTAS đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2 INFINITOS VERTICALES

5

=0

) f ( x) lim f lim ( x) f ( xlim

LIMITES 1.2. 1.2. LIMITES Y ASINTOTAS VERTICALES 1.2. INFINITOS LIMITES INFINITOS Y ASINTOTAS VERTICALES

( xexiste ) no limcaracterizan flim (se x) fno existe Entonces: Estos son lĂ­mites laterales y se porque cuando la variabletiende a Entonces: Estos son lĂ­mites laterales yY se caracterizan porque cuando la variabletiende a Estos son lĂ­mites laterales caracterizan porque cuando la variabletiende a LIMITES INFINITOS ASINTOTAS VERTICALES xâ&#x2020;&#x2019; 2 y xâ&#x2020;&#x2019; lim lim f f(tienden (xa2x))no no existe existe Entonces: algunos valores, lasEntonces: funciones tienden infinito o a menos infinito,como se ilustra algunos valores, las funciones tienden a infinito o a menos infinito,como se ilustra algunos valores, las funciones a infinito o a menos infinito,como se ilustra xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; 22 LIMITES INFINITOS Y ASINTOTAS VERTICALES 1.2. 1.2. LIMITES INFINITOS Y ASINTOTAS VERTICALES en los ejemplos dan acaracterizan continuaciĂłn. enEstos losLIMITES ejemplos que seque danseaY continuaciĂłn. en INFINITOS los ejemplos que se dan a continuaciĂłn. son lĂ­mites laterales yASINTOTAS se porque cuando la variable tiende a algu1.2. 1.2. LIMITES INFINITOS Y ASINTOTAS VERTICALES VERTICALES

2

Estos son laterales seacaracterizan cuando la variabletiende aen nos valores, laslĂ­mites funciones tienden infinitoporque o aporque menos infilanito,como se ilustra Estos son lĂ­mites laterales y se ycaracterizan cuando variabletiende a Ejemplo. Ejemplo. Ejemplo. Estos Estos son son lĂ­mites lĂ­mites laterales laterales yy se se caracterizan caracterizan porque porque lala variabletiende variabletiende aa algunos valores, las funciones tienden a infinito o cuando acuando menos infinito,como se ilustra algunos valores, funciones tienden a infinito o a menos infinito,como se ilustra los ejemplos quelas se dan a continuaciĂłn. algunos algunos valores, valores, las lasse funciones funciones tienden tienden aainfinito infinitoooaamenos menosinfinito,como infinito,comose seilustra ilustra enejemplos los ejemplos que se adan a continuaciĂłn. en los que dan continuaciĂłn. 2) = 2que 2dan en enlos losejemplos ejemplos que se se danaael continuaciĂłn. continuaciĂłn. lim f ( x ) lim f ( x ) . Obtenga y Si f ( x lim f ( x ) lim f ( x ) . Obtenga el y Si f ( x )= . Obtengaâ&#x2C6;&#x2019; el lim+â&#x2C6;&#x2019; f x(â&#x2020;&#x2019;x3)+ y lim+ f ( x) Si f ( x) = Ejemplo. Ejemplo. xxâ&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;3 â&#x2020;&#x2019;33 x â&#x2C6;&#x2019; 3 x â&#x2C6;&#x2019; 3 x â&#x2C6;&#x2019; 3 x â&#x2020;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;3 Ejemplo: Ejemplo. Ejemplo.

2

2

Si . Obtenga ely flim y flim )22= . Obtenga ( x)â&#x2C6;&#x2019; fy( x)lim ( x)+ f ( x) Obtenga elel lim Si fSoluciĂłn (Si x) =f ( xSoluciĂłn SoluciĂłn â&#x2020;&#x2019;3 + x â&#x2020;&#x2019;3 â&#x2020;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;Obtenga 3 lim f f( (xx) )yy xlim lim f f( (xx) ) elel xlim SiSi f f( x ( x) )==x â&#x2C6;&#x2019; 3 x. .Obtenga xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; 3 +3 + xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019; x x â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 3 3 Calculando los lĂ­mites se obtiene: Calculando los lĂ­mites selos obtiene: Calculando lĂ­mites se obtiene:

2 2 2 2 2 y lim f ( x) = lim 2 SoluciĂłn SoluciĂłn â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ( xlim ) = lim y= lim lim f (lim x) =f lim f (=x)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; y lim f ( +x= f ( x=) =â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; lim ) =+â&#x2C6;&#x17E; lim= +â&#x2C6;&#x17E; = +â&#x2C6;&#x17E; + = lim SoluciĂłn: x â&#x2C6;&#x2019; 3 x â&#x2C6;&#x2019; x3â&#x2020;&#x2019;3- x â&#x2020;&#x2019; x 3â&#x2C6;&#x2019;+ 3 x â&#x2020;&#x2019;3 x â&#x2020;&#x2019;x3â&#x2020;&#x2019;+ 3x+ xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;33 x â&#x2C6;&#x2019;x3â&#x2020;&#x2019;3+ x â&#x2C6;&#x2019; 3

x â&#x2020;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;SoluciĂłn 3SoluciĂłn x â&#x2020;&#x2019;x3â&#x2020;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2019;

Calculando los lĂ­mites se obtiene: Calculando los lĂ­mites se obtiene:

Calculando loslĂ­mites lĂ­mites obtiene: Calculando Calculandolos los lĂ­mites sese obtiene: obtiene: 2se

2 2 2 =y â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; = +â&#x2C6;&#x17E; x) = lim x) = lim lim flim ( x)â&#x2C6;&#x2019; =f (lim limyflim ( x)+ =f (lim 2â&#x2C6;&#x2019;233- x=â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2â&#x2C6;&#x2019;233+ x=â&#x2C6;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; x â&#x2020;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;3 x â&#x2020;&#x2019;3- xx â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;3+ x â&#x2020;&#x2019;3 x â&#x2020;&#x2019;3 + xx â&#x2020;&#x2019; 3 3 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;yyylim lim f f( x( x) )==lim ==â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; lim lim ==+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E; lim lim f f( x( x) )==lim xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; 3-3-xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33 xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; 3 +3 + xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; 3 +3 +xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33

20

20

20 20 20 20

20

BibliografĂ­a

21


22

Actividades

AutoevaluaciĂłn

Glosario

BibliografĂ­a

Modalidad Virtual

UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD

La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ: LagrĂĄfica grĂĄfica dela lafunciĂłn funciĂłn serĂĄ: serĂĄ: La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ: LaLa grĂĄfica dede la funciĂłn serĂĄ: La grĂĄfica funciĂłn serĂĄ: La grĂĄfica de funciĂłn serĂĄ: La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ: La grĂĄfi ca de lala funciĂłn serĂĄ: La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ:

Anotaciones

2

tiene una asĂ­ntota vertical 3tanto yy tanto Observamos que la grĂĄfi grafica f)(=2x) 2=22 2tiene Observamos que la ca tiene una asĂ­ntota vertical x=3 tanto tiene una asĂ­ntota vertical = una asĂ­ntota vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ33tanto y= Observamos que lagrafica grafica de Observamos que la fxde 2tiene 22x â&#x2C6;&#x2019; una asĂ­ntota vertical yy3tanto tanto Observamos que la grafica de f()ff(xf=(x()fx(x)f= una asĂ­ntota vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 3= y Observamos que la grafica dede 3tiene fde (de tiene una asĂ­ntota vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= y tanto Observamos que la grafica tiene una asĂ­ntota vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= = 3y ytanto tanto Observamos que la grafica de tiene una asĂ­ntota vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= 3 Observamos que la grafica ()xâ&#x2C6;&#x2019; x=x)=)x3= xx()= xâ&#x2C6;&#x2019;=â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3tiene 3 una asĂ­ntota vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 y tanto Observamos que la grafica de 3 por izquierda como por derecha lalagrafica sin 33crece x3â&#x2C6;&#x2019;crece â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 3ca xxâ&#x2C6;&#x2019;xcrece por izquierda como por derecha grafi crece sinlĂ­mite. lĂ­mite. por izquierda como por derecha lagrafica grafica sin lĂ­mite. por izquierda como por derecha sin lĂ­mite. por izquierda como por derecha la grafica crece sin lĂ­mite. por izquierda como por derecha la la grafica crece sin lĂ­mite. por izquierda como por derecha la grafica crece sin lĂ­mite. por izquierda como por derecha la grafica crece sin lĂ­mite. por izquierda como por derecha la grafica crece sin lĂ­mite. por izquierda como por derecha la grafica crece sin lĂ­mite. EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS

2x

2 x2 x lim ,obtenga obtenga loslĂ­mites indicados: 1. Para lafunciĂłn funciĂłn f ( 2 lim f fâ&#x2C6;&#x2019;(f1(xâ&#x2C6;&#x2019;(x)x)f,),(,x) , lim loslĂ­mites indicados: obtenga loslĂ­mites indicados: 1. Para la Para funciĂłn (x)x)=)==x)x =22x12,2x2â&#x2C6;&#x2019; fxf()f(x= x2,x,xx,, 2obtenga x(â&#x2020;&#x2019; lim obtenga indicados: 1. Para la funciĂłn fâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;lim lim loslĂ­mites indicados: 1.1. Para la la funciĂłn f ( losloslĂ­mites lĂ­mites indicados: 1. Para la funciĂłn â&#x2020;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;x )f,f,(f(x x â&#x2020;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1lim obtenga loslĂ­mites indicados: 1. Para la funciĂłn f ( x ) = fx()(x),x),),, obtenga loslĂ­mites indicados: 1. Para la funciĂłn obtenga loslĂ­mites indicados: 1. Para la funciĂłn f ( x ) =2â&#x2C6;&#x2019;xxx222obtenga f ( x ) = lim ,, ,,obtenga loslĂ­mites indicados: 1. Para la funciĂłn f ( x1)â&#x2C6;&#x2019;1 =1x1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;lim x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x1â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2 22 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2020;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;11â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019; 11(fâ&#x2C6;&#x2019;1xâ&#x2C6;&#x2019; fx(x.x En lim f (,xlim ) , lim ) .base f ( x) ylimlim En base a ella trace su grafica. x xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2020;&#x2019; +()x,) lim +()x.) En â&#x2C6;&#x2019;()x )y y lim lim f f f lim f ( x ( f x base a ella trace su grafica. a ella trace su grafica. x(â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; f)f1(f.x(f(En lim fâ&#x2C6;&#x2019;1( x(x)fx(),(xx),â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; lim f)f1(fx(yf(x)fx()(x)ylim base aa ella trace su grafica. flim lim f+â&#x2C6;&#x2019;lim f,lim abase ella trace su grafica. +x + (x â&#x2C6;&#x2019;x â&#x2C6;&#x2019; (x â&#x2020;&#x2019; 1+x )f,f(flim x â&#x2020;&#x2019;x+ â&#x2C6;&#x2019; 1lim xylim 1lim 1â&#x2020;&#x2019; 1â&#x2020;&#x2019; ),x)lim ).base .En trace su grafica. xlim lim )En x)y)y,1xy+â&#x2020;&#x2019; ,â&#x2C6;&#x2019;1lim ..En En base aella ella trace su grafica. base trace su grafica. x)fx().(x).xEn lim base aa ella trace su grafica. En base aella ella trace su grafica. â&#x2C6;&#x2019;1+lim â&#x2020;&#x2019; xy 1+ lim x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x1â&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; + + + x â&#x2020;&#x2019;1 x â&#x2020;&#x2019;1 + ++ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; + xâ&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2020;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;11 x xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;

x1xâ&#x2020;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;11 x xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;

x1xâ&#x2020;&#x2019; 1+â&#x2020;&#x2019;11 x xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;

SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn: Calculando los lĂ­mites se obtiene: Calculando loslĂ­mites lĂ­mites seobtiene: obtiene: Calculando Calculando los lĂ­mites se obtiene: Calculando loslos lĂ­mites sese obtiene: Calculando los lĂ­mites se obtiene: Calculando los lĂ­mites se obtiene: Calculando los lĂ­mites se obtiene: Calculando los lĂ­mites se obtiene: Calculando los lĂ­mites se obtiene:

2x xxx2 x = +â&#x2C6;&#x17E; = f )=( x=)lim lim f )=( x=)lim lim = lim = yâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2 x22+2 y lim 2 x22â&#x2C6;&#x2019;x22x2xx2x2x=x=â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; f x lim ( lim lim f ( ) 2 +â&#x2C6;&#x17E; xx==+â&#x2C6;&#x17E; 2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; +x f x f x lim lim lim ( â&#x2C6;&#x2019;() y 222x2â&#x2C6;&#x2019;x22x= y x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 = lim f ( x ) lim = lim f ( x ) lim x(f(xf)x()(lim lim = = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; fâ&#x2C6;&#x2019;lim lim (â&#x2C6;&#x2019;xf )f(f= 2= 2â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; + â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; yx â&#x2020;&#x2019; y =+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E; x)xx)â&#x2C6;&#x2019;=)xâ&#x2020;&#x2019;1lim lim â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; xy 1+lim 1+lim â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;+lim â&#x2C6;&#x2019;lim 1â&#x2C6;&#x2019;+lim =+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E; 1lim x= â&#x2020;&#x2019; 1lim x â&#x2020;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019; =â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; lim 2 x=== 2x1xâ&#x2C6;&#x2019; +â&#x2020;&#x2019; ==+â&#x2C6;&#x17E; lim ff(f(fxx()(x)x=x)=)â&#x2020;&#x2019;x=+=â&#x2020;&#x2019; lim â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;= ylim lim lim â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x2 2+â&#x2C6;&#x17E; 1+1+1â&#x2C6;&#x2019;+â&#x2C6;&#x2019;11â&#x2C6;&#x2019;x1+â&#x2C6;&#x2019;+â&#x2C6;&#x2019;2x1x= 1â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x1â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;y â&#x2C6;&#x2019;xy 1â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x1â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x1â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x1â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;= â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 2 22 â&#x2C6;&#x2019; x 22 22 +â&#x2C6;&#x2019;+â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 1lim 11++ x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;x1â&#x2020;&#x2019; x1xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; xâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2020;&#x2019; 1 â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;11â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2020;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019;x x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 x â&#x2020;&#x2019; 1 xxâ&#x2020;&#x2019; xxâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 x x â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 x x â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 x x â&#x2C6;&#x2019; 1 1â&#x2C6;&#x2019; x 1â&#x2C6;&#x2019; x 2x 2x f )=( x=lim ) lim = 2lim = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; f )=( x=lim lim ) lim = 2lim = y+â&#x2C6;&#x17E; x22+x22x2xx2x2x=x=â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; y lim x22â&#x2C6;&#x2019;x22x2xx2x2x=x=+â&#x2C6;&#x17E; f x f x lim lim ( â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2 +â&#x2C6;&#x17E; +() f x f x lim lim ( â&#x2C6;&#x2019;() y x â&#x2020;&#x2019; 1 x â&#x2020;&#x2019; 1 x â&#x2020;&#x2019; 1 x â&#x2020;&#x2019; 1 f x lim ( ) lim = =2â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; f x lim ( ) lim = = f x lim ( ) lim = = +â&#x2C6;&#x17E; 2â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2 flim lim 2= 2+â&#x2C6;&#x17E; + + + + â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;x ) = lim â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; yx â&#x2020;&#x2019; y lim = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x)x=x)1=)xâ&#x2020;&#x2019; =lim +â&#x2C6;&#x17E; 1+lim 1+1 1â&#x2020;&#x2019; lim lim = =â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; lim )x=x)1=)xâ&#x2020;&#x2019; lim 1lim 1lim x â&#x2020;&#x2019;xlim 1â&#x2020;&#x2019; 1â&#x2020;&#x2019; 2 x2=== lim = =+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E; lim 2x1xâ&#x2C6;&#x2019; y1â&#x2020;&#x2019; 2 x=== 2x1xâ&#x2C6;&#x2019; +xlim +x f+f+(f(fxx(x)(xâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; lim â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;x y ff(f(xfx(x)(â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; 1 1lim yyxy â&#x2020;&#x2019; 1 â&#x2020;&#x2019; 1 1xâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 1xâ&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; 1 ++ x â&#x2020;&#x2019;1xâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 2 2 + + â&#x2C6;&#x2019; x 22 22 â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2 + + x â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 1 x 1 x1xâ&#x2020;&#x2019; x1xâ&#x2020;&#x2019; 11â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 1â&#x2020;&#x2019;11 â&#x2020;&#x2019; 1â&#x2020;&#x2019;11 â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 1â&#x2020;&#x2019;1111â&#x2C6;&#x2019; xxâ&#x2020;&#x2019; xxâ&#x2020;&#x2019; xxâ&#x2020;&#x2019; 1x1â&#x2020;&#x2019;1 xxâ&#x2020;&#x2019; 1xâ&#x2020;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019;xxx 1â&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019;xxx

La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ: LagrĂĄfica grĂĄfica dela lafunciĂłn funciĂłn serĂĄ: serĂĄ: La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ: LaLa grĂĄfica dede la funciĂłn serĂĄ: La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ: La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ: La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ: La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ:

La grĂĄfica de la funciĂłn serĂĄ:

2x

Observamos que la grafica de f ( x ) = tiene dos asĂ­ntotas verticales 22xxx2 Observamos que que la la grafica grafica de de ff ((xx)) = tiene dos dos asĂ­ntotas asĂ­ntotas verticales verticales =12â&#x2C6;&#x2019; x Observamos tiene 2 2por đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽObservamos = â&#x2C6;&#x2019;1 y đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľque =que 1 la , latanto por la grafica crece sin Observamos grafica de tienederecha dosasĂ­ntotas asĂ­ntotas verticales f ( x) = como grafica deizquierda dos verticales x = -1 y 11 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 xxtiene 1 â&#x2C6;&#x2019;como x = â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 y y đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = = 11 ,, tanto tanto por por izquierda izquierda como por derecha derecha la la grafica grafica crece crece sin sin lĂ­mite. 2121 21 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = por 21 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =xlĂ­mite. â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =por 1 , izquierda tanto porcomo izquierda como por derecha la grafica crece sin 21 21 21 21 21 = 1, ytanto por derecha la grafi ca crece sin lĂ­mite. lĂ­mite. lĂ­mite.

x+3

2. Calcular: lim+ x + 3 xâ&#x2020;&#x2019; 2 xxâ&#x2C6;&#x2019;+23 lim 2. Calcular: Calcular: lim x+3 2. Calcular: x â&#x2020;&#x2019; 2++ x â&#x2C6;&#x2019; 2 lim 2. Calcular: x+â&#x2020;&#x2019; 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 x â&#x2020;&#x2019; 2 x â&#x2C6;&#x2019;2 SoluciĂłn SoluciĂłn: SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn Empleando sustituciĂłn, tenemos: Empleando sustituciĂłn, tenemos: Empleando sustituciĂłn, sustituciĂłn, tenemos: tenemos: Empleando + + Empleando sustituciĂłn, tenemos:

x+3 2 +3 5 lim x + 3= 2+ ++ + 3= 5+ ++ = +â&#x2C6;&#x17E; x+3 2 +3 5 x +â&#x2C6;&#x17E; lim x +â&#x2C6;&#x2019;3 2 2==2+ +++â&#x2C6;&#x2019;3 2 5==+0 ++ == +â&#x2C6;&#x17E; lim â&#x2020;&#x2019; 2++ x â&#x2C6;&#x2019;= 2 + 22 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;=22 + 00= +â&#x2C6;&#x17E; limxx+â&#x2020;&#x2019; 2 xâ&#x2C6;&#x2019;2 xâ&#x2020;&#x2019;2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 x0+ 3 xâ&#x2020;&#x2019;2+

La grafica de f ( x) = x + 3tiene una asĂ­ntota vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 2 y por su derecha la tiene una asĂ­ntota vertical == 222 y yy por por su su derecha la la La grafi grafica de ff ((xx))x= =x+xâ&#x2C6;&#x2019;3+23 tiene La ca de tieneuna unaasĂ­ntota asĂ­ntotavertical verticalđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľx= por su derecha la derecha La grafica una asĂ­ntota vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 2 y por su derecha la Lagrafica graficacrece de fsin ( x)limite = xx â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; tiene 22 x â&#x2C6;&#x2019; 2 grafica crece crece sin limite limite figrafica ca crece sin sin limite grafica crece sin limite 2.3 LIMITES AL INFINITO Y ASINTOTAS HORIZONTALES 2.3 LIMITES AL AL INFINITO INFINITO Y Y ASINTOTAS ASINTOTAS HORIZONTALES HORIZONTALES 2.3 LIMITES 2.3 EnLIMITES INFINITO Y ASINTOTAS HORIZONTALES ciertas AL ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de unafunciĂłn la x puede toma valores muy grandes, diremos cuando x tiende En ciertas ciertascuando ocasiones puede ser necesario necesario estudiar el comportamiento comportamiento de En ocasiones ser estudiar el de Enalinfinito. ciertas ocasiones servalores necesario comportamiento de unafunciĂłn cuando lapuede x toma muy estudiar grandes, el diremos cuando x tiende

gra-


x+3 2 +3 5 lim x + 3= +2 + + 3= +5 += +â&#x2C6;&#x17E; x lim+ xâ&#x2C6;&#x2019;x+2+33 =2 22++â&#x2C6;&#x2019;+ +2+33 =0 55+++ = +â&#x2C6;&#x17E; 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 == 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 == 0 xlim â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; lim ==+â&#x2C6;&#x17E; + x xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;22+ xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;22 22++ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;22x + 300++

xâ&#x2020;&#x2019;2+

Desarrollo UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD La grafica de f ( x) = x +2 3tiene una asĂ­ntota vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 2 y por su derechadelacontenidos x â&#x2C6;&#x2019; La grafica de f ( x) = xx++33 tiene una asĂ­ntota vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 2 y por su derecha la tiene una una asĂ­ntota asĂ­ntota vertical vertical đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ==22 yy por por su su derecha derecha la la La grafica grafica de grafica crecede sin flimite La f((xx))== x â&#x2C6;&#x2019; 2 tiene xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;22 grafica crece sin limite graficacrece crecesin sinlimite limite grafica

LIMITES INFINITO Y ASINTOTAS ASINTOTAS HORIZONTALES 32.3 LIMITES ALALINFINITO HORIZONTALES

Lecturas seleccionadas

2.3 LIMITES AL INFINITO Y ASINTOTAS HORIZONTALES 2.3 LIMITES ALINFINITO INFINITO ASINTOTAS HORIZONTALES 2.3 LIMITES AL YYASINTOTAS HORIZONTALES En ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una funEn ciertas ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de unafunciĂłn la valores x puede tomamuy valores muydiremos grandes, diremos cuando x tiendede En cuando ciertascuando ser necesario estudiar el x tiende comportamiento ciĂłn laocasiones x toma grandes, cuando al infinito. En ciertas ciertas cuando ocasiones puede ser necesario necesario estudiardiremos comportamiento de En ocasiones estudiar elel comportamiento de Recordatorio alinfinito. unafunciĂłn la xpuede toma ser valores muy grandes, cuando x tiende Suponga que cuando fcuando se aproxima a tomar un valor cuando la variable x tomaxxvalores unafunciĂłn la xx toma toma valores muyLgrandes, grandes, diremos cuando tiende unafunciĂłn la valores muy diremos cuando tiende alinfinito. alinfinito. muy grandes, escribiremos de lalasiguiente alinfinito. Suponga que este f se comportamiento aproxima a tomarloun valor L cuando variable manera: x tomavalores muy grandes, lo escribiremos de la siguientemanera: Suponga queeste f secomportamiento aproxima a tomar un valor L cuando la variable x tomavalores Suponga que feste f se se aproxima aproxima aa tomar tomar un valor valor LL cuando cuando la variable variable xx tomavalores tomavalores Suponga que la muy grandes, comportamiento lo un escribiremos de la siguientemanera: muy grandes, estecomportamiento comportamientolo loescribiremos escribiremosde dela lasiguientemanera: siguientemanera: muy grandes, lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??ż este đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??żđ??ż đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; limđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)==đ??żđ??żđ??żđ??ż lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Ejemplo 01.

Ejemplo Ejemplo 01 01.

Ejemplo01. 01. Ejemplo

2x + 5

Calcular lim 2 x + 5. x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; x â&#x2C6;&#x2019; 8 2xx++55. Calcular lim32 â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 3 x â&#x2C6;&#x2019; 8 . lim Calcular: Calcular xlim . Calcular â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E;33xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;88 xxâ&#x2020;&#x2019; SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn: â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­ se presenta la indeterminaciĂłn: â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­sese presentalalaindeterminaciĂłn: indeterminaciĂłn:â&#x2C6;&#x17E;â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­ presenta â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­se sepresenta presentala laindeterminaciĂłn: indeterminaciĂłn: â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­

2x + 5 2x + 5 2x + 5 22xx++55 lim = lim x 2 + 5 Dividiendo numerador y denominador para x: x â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E; 3 x â&#x2C6;&#x2019;x8 lim32x2xâ&#x2C6;&#x2019;x+8+55 =xâ&#x2020;&#x2019;lim x Dividiendonumerador numerador yy denominador denominador para x: â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 3 x â&#x2C6;&#x2019; 8 == xlim â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 3 xxâ&#x2C6;&#x2019; 8 xlim lim lim Dividiendo para x: Dividiendonumerador numeradoryydenominador denominadorpara parax: x: xxâ&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; Dividiendo xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;88 +â&#x2C6;&#x17E;33xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;88 â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E; 33 xxâ&#x2020;&#x2019; x xx â&#x2C6;&#x17E;â&#x2C6;&#x17E;

2 x +252x x++5 5 2 x 252x x 5 5 5 +2 x ++5 2 + 2 2++555 + x 2 5 + x x 2 5 2 5 52 + 0 2 x 2 x x+=x5lim x 2xxxx ++ x22 ++ =5xxlim lim lim =5xxx==222=+++000==222 x==lim + + 2 = lim = lim lim x x + x x 2 5 2 5 5 2 +003 = 22 x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; lim x x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; x 8 x 3 8 3 8 lim lim xlim â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;+â&#x2C6;&#x17E;3 x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;+â&#x2C6;&#x17E;3 â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;+â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; 3xxxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;8 8== xxlim 2 + x88x38=â&#x2C6;&#x2019;==023 + xxx3+x x8x8== xxlim 3â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;0 0= 3 3 3lim x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 3 x â&#x2C6;&#x2019; 8 = lim â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;â&#x2C6;&#x2019;3 x â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;8 = lim â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 3 3 lim 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; x x x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 8 33+â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;000== 233 3 â&#x2C6;&#x2019; 8 xâ&#x2020;&#x2019;x+â&#x2C6;&#x17E; 3x3xxx â&#x2C6;&#x2019;x88= lim x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;x 3 xx â&#x2C6;&#x2019; 8 = lim x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; x3 â&#x2C6;&#x2019;x8 = 3 lim â&#x2C6;&#x2019;0 3 â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019; x x x x x x x x x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 3 x â&#x2C6;&#x2019;x8 x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 3 xx â&#x2C6;&#x2019;8 x x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 3 â&#x2C6;&#x2019;8 x 3 â&#x2C6;&#x2019; 0 3 3 â&#x2C6;&#x2019; x2xx + 5 xx xx â&#x2C6;&#x2019; xx x de f ( x) =x 2 x2 tiene x+ +5 5 El resultadoxindica que lax grĂĄfica 2 x + 5 una

22 22 22 22

asĂ­ntota horizontal ElElresultado )â&#x2C6;&#x2019;=82 x + 5 tiene tieneuna unaasĂ­ntota asĂ­ntotahorizontal horizontal resultadoindica indicaque quelalagrĂĄfica grĂĄficadede f (fx3()xx= = 23xx3+xâ&#x2C6;&#x2019; 5â&#x2C6;&#x2019;8 8 tiene El resultado resultado indica indica que que la la grĂĄfica grĂĄfica de de ff ((xx)) = tiene una una asĂ­ntota asĂ­ntota horizontal horizontal El 3 x â&#x2C6;&#x2019; 8 tiene una asĂ­ntota horizontal El 2 resultado indica que la grĂĄfica de f ( x) =2 3 x+5 2 infinito en2el positivo y =El tieneuna unaasĂ­ntota asĂ­ntotahorizontal horizontal Elyresultado resultado indica que la grĂĄfica de f ( x) = 3 xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;88 tiene indica que la infinito positivo enelel infinito positivo 3y y===22 en 3 x â&#x2C6;&#x2019;8 en el infinito positivo 23 3en en el el infinito infinito positivo y = positivo el infinito positivo y =2 33 y = 3 en el infinito positivo

3

Ejemplo 02. Ejemplo Ejemplo02. 02. Ejemplo 02 Ejemplo 02. 02. Ejemplo Ejemplo 02. x 2 â&#x2C6;&#x2019;x72x2x2â&#x2C6;&#x2019;+â&#x2C6;&#x2019;737x x++3 3 Ejemplo 02. Calcular lim lim x2 â&#x2C6;&#x2019;377xx.++ 33 . . Calcular x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; lim Calcular 4+â&#x2C6;&#x17E; xxx2324+â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; lim â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; xlim xâ&#x2020;&#x2019; Calcular Calcular: xx877x33x3x+++++88383 .. Calcular x â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 44 . Calcular lim x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;x â&#x2C6;&#x2019; 4 x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 4 xx33 ++88 . Calcular lim SoluciĂłn x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; SoluciĂłn SoluciĂłn 4 8 + x SoluciĂłn SoluciĂłn: SoluciĂłn SoluciĂłn â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­ se presenta la indeterminaciĂłn: SoluciĂłn â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­ sese presenta indeterminaciĂłn: AquĂ­ presenta indeterminaciĂłn: AquĂ­ se presenta lalala indeterminaciĂłn: â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­ se presenta la indeterminaciĂłn: â&#x2C6;&#x17E;â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­ se presenta la indeterminaciĂłn: â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­ se presenta la indeterminaciĂłn: â&#x2C6;&#x17E;â&#x2C6;&#x17E; AquĂ­ se numerador presenta la yindeterminaciĂłn: Dividiendo denominador paraâ&#x2C6;&#x17E;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 : 3 33 Dividiendo Dividiendonumerador numeradory ydenominador denominador parađ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x17E;para Dividiendo denominador para x: :: Dividiendo numerador numerador yyy denominador denominador para Dividiendo numerador para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ33 :: Dividiendo numerador2 y denominador para 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ : x đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3x:72xx2 7 x73 x Dividiendo numeradorx y â&#x2C6;&#x2019;denominador x72x2x2â&#x2C6;&#x2019;+â&#x2C6;&#x2019;73x7 x+ +3 3para â&#x2C6;&#x2019; 2 +

3 3 1 171 737 3 3 x232 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 773xx3 ++ 33 x 3 xxx23233â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;77x3xx33+ +333 3 x â&#x2C6;&#x2019; x112 â&#x2C6;&#x2019;+â&#x2C6;&#x2019;77x2 32+ +333 3 x 2 â&#x2C6;&#x2019; x72xx2â&#x2C6;&#x2019;+â&#x2C6;&#x2019;73x7 x+ +3 3 x x + 3lim 1x xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; x7 x2 ++ x3 x3 xx x3 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;7xxx3 ++=x3lim x â&#x2C6;&#x2019; x7 x3 = lim lim3x22 â&#x2C6;&#x2019; 7 x=+ lim x3 = =lim = =lim = =lim lim lim lim x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; lim x2+â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;8737x3x +3x33â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 1+â&#x2C6;&#x17E;xxâ&#x2C6;&#x2019;87xx22 +8 83xx33 x x32x33 â&#x2C6;&#x2019;783 xx333 + 3xx3x3â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 4 x+â&#x2C6;&#x17E;32 +4â&#x2C6;&#x2019;x487x3xx333+++838x â&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; 4+â&#x2C6;&#x17E; = = = lim lim lim lim â&#x2020;&#x2019;x4 +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; xlim x x x â&#x2020;&#x2019;x +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; x x x x + x 4 8 4 8 x + 4 8 4 8 x x 4 + 2+ ++8 x3 x = xlim â&#x2C6;&#x2019;4 x333 + 8x3 == lim â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; x + â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2C6;&#x2019; 3x4 x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 2 4 x33 + 8 = xlim xlim lim 4xxx33333++3 88 == lim x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;x â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; 3 4 x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;x33 4 x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;x x4 +8x3 3 73 x++83 xlim 83 4 x x 3 3+ x x 3x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; x x x + 4 x3 x +x3 8 = lim 4xx3x3 + x8 x3 = lim lim 4 x3 + 8 = lim 4x4+++ x8x3x3x3 4 3 3 3 â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; x â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; x x x + x x x 8 4x + 8 4 x x+3 8 4 xx3 8x3 4 + xx33 x + x3 x x x3 x x3

0â&#x2C6;&#x2019;0+0 0 0â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0=0+0+0 0 4==+=000â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 00 ++ 00 ===000 0 â&#x2C6;&#x2019;4 04+ +0 0 ==0 â&#x2C6;&#x2019;440+++ 000 ==00 = 4+0 =0 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 72x 2+ 3 3 4 + 0 indica + 3 una f ( x) f=( x) =3 xx2x2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;77x7x x++tiene El El resultado que lala grĂĄfica asĂ­ntota horiresultado indica que grĂĄfica de tiene una asĂ­ntota ElEl resultado resultado indica indica que que lala grĂĄfica grĂĄfica dede f (4xx) =x+ tiene una una asĂ­ntota asĂ­ntota â&#x2C6;&#x2019;3x773xx++333 tiene = x 24 x8â&#x2C6;&#x2019; El resultado resultado indica quepositivo la grĂĄfica grĂĄfica de de ff ((xx)) = tiene una una asĂ­ntota asĂ­ntota zontal y = 0 en indica el infinito + x 8 x + x 4 8 El que la tiene 3 ++883xx tiene una asĂ­ntota El resultado que positivo la grĂĄfica de f ( x ) =x 2 44â&#x2C6;&#x2019;xx373 x+ y = 0 horizontal enindica el infinito positivo =0 0enenelque horizontal elinfinito infinito positivo Elhorizontal resultadoyy y== indica la grĂĄfica 0 en horizontal en el el infinito infinito positivode f ( x ) = 4 x3 + 8 x tiene una asĂ­ntota y = 0 horizontal positivo 4 x + 8x horizontal y = 0 en el infinito positivo horizontal y = 0 en el infinito positivo =

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

Anotaciones

BibliografĂ­a

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Actividades

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AutoevaluaciĂłn

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LECTURA SELECCIONADA 1 LECTURA SELECCIONADA 1

UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD

APORTACIONES DE JEAN BERNOULLI AL CĂ LCULO APORTACIONES DE JEAN BERNOULLI AL CĂ LCULO Tomado de: RODRĂ?GUEZ SĂ NCHEZ, Oscar. â&#x20AC;&#x153;Apuntes de Historia de las MatemĂĄticasâ&#x20AC;?,No. 1, Vol. 2, ENER0 2003. Universidad 15. Tomado de: RODRĂ?GUEZ SĂ NCHEZ, Oscar.Sonora, â&#x20AC;&#x153;ApuntesMĂŠxico.PĂĄgs. de Historia de14 lasyMatemĂĄticasâ&#x20AC;?,No. 1, Vol. 2, ENER0 2003. Universidad Sonora, MĂŠxico.PĂĄgs. 14 y 15.

LECTURA SELECCIONADAS N° 1

Anotaciones

[â&#x20AC;Ś ]En 1696, Jean Bernoulli, como desafĂ­o para los matemĂĄticos de Europa, propuso elproblema de determinar quĂŠ curva proporcionarĂ­a el tiempo de mĂĄsEuropa, breve [â&#x20AC;Ś ]En 1696, Jean Bernoulli, como desafĂ­o para los matemĂĄticos posible descenso. de determinar APORTACIONES DE JEAN BERNOULLI AL CĂ LCULO propusode elproblema quĂŠ curva proporcionarĂ­a el tiempo mĂĄs breve posible de descenso. Esta curva se conoce como braquistĂłcrona(de laSĂ NCHEZ, palabra griega Tomado â&#x20AC;&#x153;Apuntes de Historia Esta de: RODRĂ?GUEZ curva se conoceOscar. como brachistos, el mĂĄs corto, ycronos, tiempo). El braquistĂłcrona(de palabra griega de las MatemĂĄticasâ&#x20AC;?,No. 1,laVol. 2, ENER0 2003. Universidad Sonoproblema resuelto porycronos, Newtontiempo). y Leibniz, brachistos,fue el14 mĂĄs corto, El ra, MĂŠxico.PĂĄgs. y 15. asĂ­ como fue por resuelto loshermanos Jacques y Jean problema por Newton y Leibniz, [â&#x20AC;Ś]En 1696, nietos Jean Bernoulli, como para los matemĂĄtiBernoulli, del refugiado dedesafĂ­o Amberes. asĂ­ como por loshermanos Jacques y Jean de Jeanfue la mĂĄs elegante; cosLa de soluciĂłn Europa, propuso elproblema determinar quĂŠ curva Bernoulli, nietos del refugiado dede Amberes. algunos autores se mĂĄs refieren a esa La soluciĂłn detiempo Jeanfue labreve mĂĄs posible elegante; proporcionarĂ­a el de descenso. maravillosa soluciĂłn como una obrade algunos autores se refieren a arte, esa Estade curva se conoce como braquistĂłcrona(de orden muy elevado, este difĂ­cil maravillosa soluciĂłn como para una obrade arte,la palabra grieproblema. AdemĂĄs de para su tiempo). interĂŠs, ga brachistos, mĂĄs corto, ycronos, El problema fue de orden el muy elevado, este difĂ­cil elproblema deAdemĂĄs la braquistĂłcrona gran problema. de su tiene interĂŠs, resuelto por Newton y Leibniz, asĂ­ como por los hermanos importancia, ya la que fue la fuente histĂłrica elproblema de braquistĂłcrona tiene grande Amberes. La Jacques y Jean Bernoulli, nietos del refugiado delcĂĄlculo de variaciones, una rama poderosa importancia, ya que fue la fuente histĂłrica soluciĂłn de Jeanfue la mĂĄs elegante; algunos autores se redel anĂĄlisisdepara el estudio delrama mundo fĂ­sico. delcĂĄlculo variaciones, una poderosa fieren a esa maravillosa soluciĂłn como una obra de arte, de del anĂĄlisis para el estudio del mundo fĂ­sico. orden elevado, este difĂ­cil problema. Unamuy exposiciĂłn depara la soluciĂłn de Jean, para AdemĂĄs de su interĂŠs, el problema de este problema,tiene puede encontrarse el la braquistĂłcrona importancia, que fue la fuente histĂłrica del cĂĄlculo de Una exposiciĂłn de lagran soluciĂłn de Jean,enya para libroEcuaciones Diferenciales este problema, puede encontrarse encon el el estudio del mundo fĂ­sico. variaciones, una rama poderosa del anĂĄlisis para aplicaciones y notas histĂłricas de Georgecon F. libroEcuaciones Diferenciales UnaSimmons, exposiciĂłnen lalaque soluciĂłn Jean, parala se deaprecian aplicaciones yde notas histĂłricas de George F.este problema, puede encontrarse en el libro Ecuacionesen Diferenciales con aplicaciones histĂłricas de comoson: George F. Ă&#x201C;ptica, Simmons, interconexiĂłn de varios y conceptos del conocimiento, Simmons, laque campos se aprecian lay notas la Ley se deaprecian RefracciĂłn Snell, el Principio del Menor Esfuerzo de Fermat,MecĂĄnica, en laque la de interconexiĂłn de varios campos y conceptos del conocimiento, interconexiĂłn de varios campos y conceptos del conocimiento, comoson: Ă&#x201C;ptica, el de ConservaciĂłn deellaPrincipio EnergĂ­a el Menor CĂĄlculo. la Principio Ley RefracciĂłn de de Snell, Esfuerzo del de Fermat,MecĂĄnica, como son:deĂ&#x201C;ptica, la Ley RefracciĂłn de ydel Snell, el Principio Menor Esfuerzo de el Principio de ConservaciĂłn de ConservaciĂłn la EnergĂ­a y elde CĂĄlculo. Fermat,MecĂĄnica, el Principio de la EnergĂ­a y el CĂĄlculo. Estando en ParĂ­s en 1692, instruyĂł a G. F. A. de L´Hospital (1661-1704) en el cĂĄlculo uninstruyĂł pacto el cual, reciprocidad por un Estando endeLeibniz ParĂ­s en y1692, instruyĂł a G.bajo (1661-1704) en salario elen cĂĄlculo Estando en ParĂ­s enfirmĂł 1692, aF.G.A. F.de A.L´Hospital deen L´Hospital (1661-1704) el regular, enviarĂ­a descubrimientos resultado es cĂĄlculo ydeLeibniz y firmĂł unsus bajo el cual,en enmatemĂĄticas. reciprocidad por un salario deLeibniz firmĂł unaL´Hospital pacto bajo elpacto cual, en reciprocidad por un salarioEl regular, enviarĂ­a que una enviarĂ­a de principalescontribuciones de Bernoulli, de 1694, se El conoce regular, aL´Hospital sus matemĂĄticas. resultado aL´Hospital suslas descubrimientos endescubrimientos matemĂĄticas. Elen resultado es que una dedesde las es prinentonces como regla de L´Hospitalsobre formas indeterminadas. Bernoulli que una de las principalescontribuciones de Bernoulli, de 1694, se conoce desde cipales contribuciones de Bernoulli, de 1694, se conoce desde entonces como regla encontrĂł si f(x) y g(x)desonL´Hospitalsobre funcionesdiferenciables x = atales que f(a) = 0 y entonces que como regla formas en indeterminadas. Bernoulli de g(a) L´Hospital sobre formas Bernoulli encontrĂł que que si f(x) = 0 y que encontrĂł si f(x) y g(x)indeterminadas. son funcionesdiferenciables en x = atales f(a)y =g(x) 0 yson funciones en x = a tales que f(a) = 0 y g(a) = 0 y g(a) = 0diferenciables y

existe , entonces existe, entonces

existe , entonces

lim lim

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đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

limL´Hospital limenđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Esta regla fue incorporada por el primer libro de texto sobre el đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cĂĄlculodiferencial: Analyse des infinimentpetits, lim = limpublicado por ĂŠl en ParĂ­s en 1696.

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) sobre muchos aspectos avanzados anĂĄlisis: isĂłcrona, sĂłlidos de EstaEscribiĂł regla fue incorporada por L´Hospital en elde primer librolade texto sobre el cĂĄlculo 24 mĂ­nimaresistencia, catenaria, lapublicado tractriz, por trayectorias, diferencial: Analyse des la infinimentpetits, ĂŠl en ParĂ­s curvas en 1696.cĂĄusticas, 24

problemasisoperimĂŠtricos.

EscribiĂł sobre muchos aspectos avanzados de anĂĄlisis: la isĂłcrona, sĂłlidos de mĂ­nimaresistencia, la catenaria, la tractriz, trayectorias, curvas de cĂĄusticas, problemas ContribuyĂł a la geometrĂ­a diferencial a travĂŠs su trabajo sobre isoperimĂŠlĂ­neas geodĂŠsicas en unasuperficie. tricos. ContribuyĂł a la geometrĂ­a travĂŠs de suporque, trabajo sobre lĂ­neas Se le atribuye tambiĂŠn diferencial el cĂĄlculo aexponencial, ademĂĄs de geodĂŠsicas las curvas en x unaexponencialessimples superficie. y = a , estudiĂł exponenciales generales como y = x x . Para

Se le porque, ademĂĄs de las curvasenexponenel atribuye ĂĄrea bajotambiĂŠn la curva el x = 0 a x = 1, encontrĂł la representaciĂłn serie y =cĂĄlculo x x , deexponencial, x , estudiĂł exponenciales generales como y = xx . Para el ĂĄrea bajo la ciales simples y = a infinita x curva y = x , de x = 0 a x = 1, encontrĂł la representaciĂłn en serie infinita 1 1 1 1 â&#x2C6;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019; +â&#x2039;Ż 11 22 33 44

Para llegar a este resultado escribiĂł xx = exlnx, lođ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽdesarrollĂł en la serie exponencial e intePara llegar a este resultado escribiĂł đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ , lo desarrollĂł en la serie grĂłexponencial tĂŠrmino a tĂŠrmino, utilizando integraciĂłn por partes.[â&#x20AC;Ś] e integrĂłtĂŠrmino a tĂŠrmino, utilizando integraciĂłn por partes.[â&#x20AC;Ś ] Conteste:

1. QuĂŠ comentarios tiene de la lectura

Conteste:

2. Investigue la vida de otros matemĂĄticos e identifique su contribuciĂłn a las mate-

1. QuĂŠ comentarios tiene de la lectura mĂĄticas. 2. Investigue la vida de otros matemĂĄticos e identifique su contribuciĂłn a las matemĂĄticas.


Desarrollo UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD de contenidos

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOfORMATIVO

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ACTIVIDAD N° 1: Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

TEMA N°3: L�MITES TRIGONOMÊTRICOS TEMA N° 3:TEMA LIMITES N° 3: TRIGONOMETRICOS LIMITES TRIGONOMETRICOS 3.1

3.1 TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS LIMITES 1LIMITES LĂ?MITES TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS TEMATRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS N° 3: LIMITES TRIGONOMETRICOS

resolver lĂ­mites quelĂ­mites involucran TrigonomĂŠtricas, resulta convenienPara Para resolver ParalĂ­mites resolver que involucran quefunciones funciones involucran TrigonomĂŠtricas, funciones TrigonomĂŠtricas, resulta resulta 3.1 LIMITES TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS te conocer los lĂ­mites de las siguientes funciones: conveniente conocer conveniente los lĂ­mites conocer delos lassiguientes lĂ­mites de lassiguientes funciones: funciones: TEMA N° 3: LIMITES TRIGONOMETRICOS

Para resolver lĂ­mites que involucran funciones TrigonomĂŠtricas, lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  0lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  ; = 0 ; lim đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ; = 1 lim đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 1 conveniente conocer los=lĂ­mites đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2039;â&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2039;â&#x2020;&#x2019;0 de lassiguientes đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 funciones: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 LIMITES TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS

3.1

lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  =0 ; lim đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 1 Ahora considĂŠrese AhoraelconsidĂŠrese siguiente lĂ­mite: el siguiente lĂ­mite: Para resolver đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2039;â&#x2020;&#x2019;0 que involucran funciones đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 TrigonomĂŠtricas, đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; lĂ­mites lossiguiente lĂ­mites delĂ­mite: lassiguientes funciones: Ahora considĂŠrese lim conveniente lim conocer el đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ TEMA N° 3: LIMITES Ahora considĂŠrese el siguiente lĂ­mite: TRIGONOMETRICOS đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = 0

limLIMITES TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2039;â&#x2020;&#x2019;0 3.1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

;

lim đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 1

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

Ahora el siguiente lĂ­mite: ParaconsidĂŠrese đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  resolver lĂ­mites que involucran funciones TrigonomĂŠtricas, limconveniente conocer los lĂ­mites de lassiguientes funciones:

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = 0

đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2039;â&#x2020;&#x2019;0

Ahora considĂŠrese el siguiente lĂ­mite:

lim

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

;

resulta

resulta

resulta

lim đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 1

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

Figura 6.- Grafica Figura circulo 6.- Grafica unitariocirculo donde unitario se indica: donde se indica:

đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą

Figura 6.- Grafica circulo unitario donde se indica: đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 

đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 

Figura 6.- Grafi ca cĂ­rculo unitario donde đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  < indica: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľse đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? < < đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? < â&#x;š <1 < â&#x;š < 1< < đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? Figurađ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  6.- Grafica circulo unitario donde se indica: đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x;šđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1< < < < đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ < 1 > > đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 1 > > đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 >=lim >= (1) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? lim(1) < =11đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? lim 1 = lim < <đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 1đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x;š đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  Figura 6.- Grafica circulo unitario donde se indica: đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? lim(1) =< 1= lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1lim < đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 lim =â&#x2C6;´> =1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 1> đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ es: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 â&#x2C6;´ lim =1 Con los tres lĂ­mites, Con losesto tres đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  es: lĂ­mites, esto đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? lim(1) 1 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľlim < đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 < =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 < â&#x;š đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? 1< đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  Con loslim tresđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  lĂ­mites, estođ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = =1 = 0lim ;es: lim = 0đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = ;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  1 lim đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ; lim =1 ; 1lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0â&#x2C6;´ lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 1đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 > đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ > đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = 0 ; lim đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 1 ; lim =1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 esto es: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Con los tres lĂ­mites, es posible resolver es posible muchos resolver lĂ­mites muchos de lĂ­mites de trigonomĂŠtricas. funciones (1) limfunciones =1= lim đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? trigonomĂŠtricas. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  Con3.2 los CON tres lĂ­mites, esto es: 3.2 CALCULO CALCULO LIMITES CON TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS LIMITES TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; muchos =0 ; limde đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 1 trigonomĂŠtricas. ; lim =1 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  es posible resolver lĂ­mites funciones đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;´ lim =1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Ejercicio 1 Ejercicio 1 3.2

CALCULO CON LIMITES TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS

los tres lĂ­mites, esto es: esCon posible de funciones trigonomĂŠtricas. 1 resolver â&#x2C6;&#x2019;1cos 1 â&#x2C6;&#x2019; coslĂ­mites x muchos x Ejercicio Calcular: limCalcular: lim x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019; 0 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  x 3.2 CALCULO xCON LIMITES lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = 0 TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS ; lim đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = 1 ; lim

=1 1 â&#x2C6;&#x2019; cos x đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ muchos lĂ­mites de funciones trigonomĂŠtricas.

Calcular: limđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 es posible SoluciĂłn SoluciĂłn x â&#x2020;&#x2019;0 Ejercicio 1 resolver x

es posible resolver 1 â&#x2C6;&#x2019; cos x muchos lĂ­mites de funciones trigonomĂŠtricas. SoluciĂłn 2 Calcular: lim CON LĂ?MITES TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS CĂ LCULO x â&#x2020;&#x2019;0 x LIMITES TRIGONOMĂ&#x2030;TRICOS 3.2 CALCULO CON SoluciĂłn EJERCICIO Ejercicio 1 01

Calcular: Calcular: lim x â&#x2020;&#x2019;0

1 â&#x2C6;&#x2019; cos x x

27

27 27 27

SoluciĂłn

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BibliografĂ­a

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26

Actividades

AutoevaluaciĂłn

Glosario

BibliografĂ­a

Modalidad Virtual

UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD

SoluciĂłn: â&#x2C6;&#x2019; cos 1 â&#x2C6;&#x2019;1cos 0 00 0

Anotaciones

(indeterminaciĂłn) Aplicando Teorema sustituciĂłn: Aplicando Teorema de sustituciĂłn: (indeterminaciĂłn) Aplicando elelel Teorema dede sustituciĂłn: = = (indeterminaciĂłn) 0 0 0 0 010â&#x2C6;&#x2019;0cos 1 â&#x2C6;&#x2019;0cos 10 â&#x2C6;&#x2019;0cos 1 â&#x2C6;&#x2019; cos Aplicando elde Teorema de0 sustituciĂłn: = 0 =(indeterminaciĂłn) Aplicando el Teorema de sustituciĂłn: (indeterminaciĂłn) Aplicando el Teorema sustituciĂłn: (indeterminaciĂłn) = Aplicando Multiplicando el Multiplicando Teorema depor sustituciĂłn: (indeterminaciĂłn) = 1 â&#x2C6;&#x2019; cos 0 0 por el conjugado y aplicando propiedades: 0 el conjugado y aplicando propiedades: Multiplicando por el conjugado Aplicando el Teorema de sustituciĂłn: = 0 (indeterminaciĂłn) 0 0 0 0 y aplicando 0 0 propiedades: Multiplicando por el aplicando propiedades: 0y propiedades: 0 Multiplicando porconjugado conjugado y aplicando propiedades: Multiplicando por el conjugado yel aplicando Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades: 2 2 x 2 2x Multiplicando yâ&#x2C6;&#x2019;aplicando propiedades: â&#x2C6;&#x2019; cos +elcos x cos 1 â&#x2C6;&#x2019;1cos x 1xpor +1cos xconjugado 1 â&#x2C6;&#x2019;1cos x sensen x

= lim = lim2 2 2 2 limlim . . cos x= lim = lim 2 x 2x +cos x. x1â&#x2020;&#x2019;2+x0xxâ&#x2020;&#x2019;cos 1cos (1cos cos cos xcos 10x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;x0(cos sen xx) x) sen sen xcosxx x 11+1+1â&#x2C6;&#x2019;cos x10(11+xâ&#x2C6;&#x2019;+x(cos cos ) x1)â&#x2C6;&#x2019;2x â&#x2020;&#x2019; 1xx+ 1 â&#x2C6;&#x2019; cos xxâ&#x2020;&#x2019;0x1â&#x2020;&#x2019;1+0 â&#x2C6;&#x2019;cos 11cos â&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019;xcos sen xcos =+ lim =+2xlim 2 xx lim . = lim = lim lim . = lim = lim 1 + cos x 1 â&#x2C6;&#x2019; cos x sen x . 1 â&#x2C6;&#x2019; cos xlim = lim = lim x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019; 0 x (1 + cos x ) x â&#x2020;&#x2019; 0 x (1 + cos x ) x 1 + cos x x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; 0 0 0 x â&#x2020;&#x2019;1 x â&#x2020;&#x2019;x xâ&#x2020;&#x2019; 0 + cos 0 )1 x â&#x2020;&#x2019;0 lim lim xcos xx(01)x+(1cos x) x) x(1 + cos x) x x . 1x â&#x2020;&#x2019;+0 cos x(+1xcos +â&#x2020;&#x2019;0cos + cos x lim x(1 x+ = xx(1x+) =cos x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019; 0 x (1 + cos x ) x 1 + senx cossenx x x â&#x2020;&#x2019;0senx x(senx 1 + cos x) sen 0  0 0 sen 0  = lim limlim = (1=)(1) = lim  = = = 00= 0  0 0 x â&#x2020;&#x2019;0 1 + cos + =cos senx senx 00(1)0  20sen senx senx 2 sen0=  = 00 1 +senx cos x xx â&#x2020;&#x2019;0lim xlimx0 senx senx x â&#x2020;&#x2019;0x â&#x2020;&#x2019;senx sen cos 1 +01sen lim lim = =0 lim senx =lim = ( 1 ) =0 =lim 0 sen =x â&#x2020;&#x2019;=(01)senx = = = lim  ==1(10+)cos     x â&#x2020;&#x2019; 0 1 + cos x x  02 2 x â&#x2020;&#x2019; 0 x â&#x2020;&#x2019; 0 x0â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;0 x lim xx= (01) 1 2+ cos 0x = 2=10+0cos 10+ cos 1 + cos x =x â&#x2020;&#x2019;lim xxxâ&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;00 1 +cos x â&#x2020;&#x2019;0 1 + cos x x  1 + cos 0  2 Ejercicio Ejercicio 2 202 Ejercicio

lim

Ejercicio 2 Ejercicio 2Ejercicio 2 Ejercicio 2 senmx Ejercicio 2 senmx Calcular:limlim Calcular: Calcular: senmx 0 sennx x â&#x2020;&#x2019;0x â&#x2020;&#x2019; sennx senmx senmxCalcular: lim lim senmx limCalcular: Calcular: Calcular: lim senmx x â&#x2020;&#x2019;0 sennx x â&#x2020;&#x2019;0 sennx x â&#x2020;&#x2019;0 sennx x â&#x2020;&#x2019;0 sennx lim Calcular: SoluciĂłn:x â&#x2020;&#x2019;0 sennx SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn:SoluciĂłn: SoluciĂłn:Aplicando propiedades obtenemos: Aplicando propiedades obtenemos: Aplicando propiedades obtenemos: SoluciĂłn: Aplicando propiedades obtenemos: Aplicando propiedades obtenemos: Aplicando propiedades obtenemos: Aplicando propiedades obtenemos: senmx senmx senmx Aplicando propiedades obtenemos: senmx senmx senmx

m. m. senmx senmx senmx m senmx senmx mm senmx senmx senmx senmx senmx senmx mxmxsenmx x xsenmx senmx = limsenmx = =. lim .mxmx = m = lim = = =m lim . senmx limlim lim lim . m . m senmx . m senmx m m m 0 0 0 0 x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; sennx sennx sennx x x â&#x2020;&#x2019; 0 sennx x â&#x2020;&#x2019;0 m x â&#x2020;&#x2019; 0 mx nmx mx n sennx senmx sennx sennx m m senmx n n m m senmx x â&#x2020;&#x2019;0 sennx . mx x mx mx x = mx = lim lim= =lim . m lim mxlim m x lim . = n= lim . n.mx nlim . = lim senmx = = = lim lim 0= lim 0lim 0 =lim x=â&#x2020;&#x2019;lim x= â&#x2020;&#x2019;= x.â&#x2020;&#x2019;= x â&#x2020;&#x2019; 0 n m sennx mx x sennx sennx sennx 00 x â&#x2020;&#x2019; xsennx x â&#x2020;&#x2019;x0â&#x2020;&#x2019;sennx x â&#x2020;&#x2019;x0xâ&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;x0â&#x2020;&#x2019; 0 x â&#x2020;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; sennx 0 sennx 0nx x â&#x2020;&#x2019; 0 sennx lim â&#x2020;&#x2019;sennx = lim = lim = xnlim .n sennx sennx sennx nx nx =x â&#x2020;&#x2019;n0 n sennx n nnx sennx . 0 0 nn. sennx x â&#x2020;&#x2019; 0 sennx x â&#x2020;&#x2019; 0 sennx x â&#x2020;&#x2019; 0 n. sennx n. n sennx n nx xn. xnx nxx â&#x2020;&#x2019;0 nx nx nxnx x nx x nx nx x

Ejercicio Ejercicio 0303 Ejercicio 03 03 03Ejercicio Ejercicio 03 Ejercicio Ejercicio 03 Ejercicio 03 1 +1tgx + tgx + senx â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 +1senx Calcular:limlim Calcular: 3 + tgx â&#x2C6;&#x2019; 1 + senx 1 3 x1 x â&#x2020;&#x2019; 0 1 + tgx â&#x2C6;&#x2019; 1 + senx x â&#x2020;&#x2019; 0 1 + tgx â&#x2C6;&#x2019; + 1 + tgxCalcular: â&#x2C6;&#x2019; 1 + senx x lim senx 1 + tgxlim â&#x2C6;&#x2019;0 3 1 + senxx 3 3 lim3Calcular: lim Calcular: Calcular: xâ&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; 0 x â&#x2020;&#x2019; 0 x â&#x2020;&#x2019;0 limx Calcular: x x SoluciĂłnx â&#x2020;&#x2019;0 x3 SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn: aplicar Teorema sustituciĂłn: Al Al aplicar el el Teorema dede sustituciĂłn: Al aplicar el Teorema de sustituciĂłn: Al aplicar el Teorema de sustituciĂłn: Al aplicar el Teorema de sustituciĂłn: AlTeorema aplicar elde Teorema de sustituciĂłn: Al aplicar el sustituciĂłn: Al aplicar el Teorema de sustituciĂłn: + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 0 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 0 ďż˝1ďż˝1

0 0 = =+0đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 0 0 3+ đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 â&#x2C6;&#x2019; ďż˝1 â&#x2C6;&#x161;1 3 0 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 â&#x2C6;&#x2019;00â&#x2C6;&#x161;1 + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 0 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 0 ďż˝1 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 0 0â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;1ďż˝1 0+ + ďż˝1 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;1++đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 = =0 + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x161;1 ďż˝1 =0 = + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 0 0 0 03 = 3 3 0 0 0 0 0 genera indeterminaciĂłn, luego calculamos multiplicando conjugado genera indeterminaciĂłn, luego calculamos el el conjugado y y 0 porpor 03 multiplicando

aplicando propiedades: genera indeterminaciĂłn, luego calculamos multiplicando por el y y aplicando propiedades: genera indeterminaciĂłn, luego calculamos multiplicando porconjugado genera indeterminaciĂłn, luego calculamos multiplicando por el conjugado yel conjugado genera indeterminaciĂłn, luego calculamos multiplicando por el conjugado yel conjugado genera indeterminaciĂłn, luegocalculamos calculamos multiplicando por y apliaplicando propiedades: genera indeterminaciĂłn, luego multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades: aplicando propiedades: aplicando propiedades: cando aplicando +propiedades: + senx 1 +1tgx + tgx + senx tgx 1tgx â&#x2C6;&#x2019; senx â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 +1senx + +1 +1senx 1 +propiedades: tgxtgx â&#x2C6;&#x2019; senx 1 1

. limlim . . senx 1 + tgx += lim . tgx senx 1=++0lim â&#x2C6;&#x2019; senx 1 1 3 x3 xâ&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; xâ&#x2020;&#x2019; 0x â&#x2020;&#x2019; 01 ++senx + â&#x2C6;&#x2019;tgx senx 1 +â&#x2C6;&#x2019; 1 tgx 1senx 10 + xâ&#x2C6;&#x2019; + tgx +. +11++1senx tgx xâ&#x2C6;&#x2019;3 x 1 senx tgx 1++ senx 13 + + +senx + tgx + senx â&#x2C6;&#x2019;+senx +tgx1111â&#x2C6;&#x2019;++++1tgx tgx senx 1 + tgx tgx senx 1+1 +1senx tgx senx tgx 1 +1tgx =senx lim=1.lim lim . . 3 3 â&#x2C6;&#x2019; + + + + senx tgx senx 1 1 1 = lim3 1 + tgxlim . lim tgx â&#x2C6;&#x2019; = . lim . 1. 1 + x â&#x2020;&#x2019;0 3 x â&#x2020;&#x2019;0 3 3 3 x x 3 + + + tgx senx tgx + 1 1 x x â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 0 0 x â&#x2020;&#x2019;0 x+ â&#x2020;&#x2019; 0 1 + senx x â&#x2020;&#x2019;0 = lim lim 1 + xtgx 1 + tgx1++ senx 1 + senx x 1 + tgx +. 11x++ senx tgx + 1x â&#x2020;&#x2019;+0 senx tgxx + 1 + senx x 1 +x3tgx +. 11++ senx x â&#x2020;&#x2019;0 x3 x 1 + tgx + 1 + senx x â&#x2020;&#x2019;0 1 + tgx + 1 + senx 2 2x senx 1 1 sensen 1 1 1 1 senx 1 1 =11 1 1 . . 1= . x2. . 1 2 . .2 limlim . 2 . .senx 2 1 1+ sen x1x 1 +x1tgx 1+ tgx 1=11. 1111. 11. 121 21=2 14114 11 11 1 11 1 2 x â&#x2020;&#x2019; 0 x cos cos cos x + + senx sen 1 1 x 1x x1sen 1 1 + xsen x 1 cos x senx senx x â&#x2020;&#x2019;10 senx xlim 1 1 1 + + senx 1 .2 x. . . . 1 2. . . . . x1.â&#x2020;&#x2019;0 lim . sen 1=.+1 .senx lim . lim senx . 1.= 1. . .tgx. +. = 1 1 . 1 .=1 1=. 1=1.11.. 2. . 2. =. 4 = x0x 2xxcos x â&#x2020;&#x2019; 0x x 2. cos x â&#x2020;&#x2019;0 =21+ lim . 11xcos . 14. 1.+2senx . 2= 4 1 1 2 2 4 + xcos xx x+. x1211+++cos 1tgx ++ cos x cos 1 senx 1 +2tgx 1 x+.x â&#x2020;&#x2019; cos + 11x + + x tgx senx 2 x â&#x2020;&#x2019;0 x cos x x 1 + cos x 1 + tgx + 1 + senx 1 1 2 2 4 2828 1 + tgx â&#x2C6;&#x2019; 1 + senx 1 28 28 Entonces el lim 1 + tgx â&#x2C6;&#x2019; 3 1 + senx = 1 28 28 x â&#x2020;&#x2019;0 = 4 Entonces Entonces el el lim x3 28 x â&#x2020;&#x2019;0 4 x lim

Ejercicio 04 Ejercicio 04 Ejercicio 04

1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos x + cos22 x Calcule: Calcule: lim1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos x + cos x x â&#x2020;&#x2019; 0 x2 Calcule: lim x â&#x2020;&#x2019;0 x2 SoluciĂłn:

SoluciĂłn Agrupando SoluciĂłn convenientemente y aplicando propiedades: Agrupando convenientemente y aplicando propiedades: Agrupando convenientemente y aplicando propiedades:

( (

) )

(1 â&#x2C6;&#x2019; cos x )2 â&#x2C6;&#x2019; 2 x22 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos x + cos22 x â&#x2C6;&#x2019; 2 x22 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos x + cos 2 x lim1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos2 x + cos 2 x = lim 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos x + cos = lim ( x x â&#x2C6;&#x2019; 2 1 â&#x2C6;&#x2019; cos x )2 â&#x2C6;&#x2019; 2 x x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019;0 lim = lim = lim x x2 x x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019;0 x2 x2 x2 2


Calcule: Calcule: Calcule:

1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x22 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos x + cos22 x x + cos 2 x lim11 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 22xx 2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 22cos cos lim x â&#x2020;&#x2019;0 x22 x + cos x xlim â&#x2020;&#x2019;0 x2 x â&#x2020;&#x2019;0 x

Desarrollo UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD de contenidos

SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn Agrupando convenientemente y aplicando propiedades: Agrupando convenientemente y aplicando propiedades: Agrupando convenientemente y aplicando propiedades:

(((

)))

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOfORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

(1 â&#x2C6;&#x2019; cos x ) â&#x2C6;&#x2019; 2 x22 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos x + cos22 x â&#x2C6;&#x2019; 2 x22 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x22 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos x + cos22 x x + cos 2 x = lim 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos x + cos lim11 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 22xx 2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 22cos 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 x 2 = lim (1 â&#x2C6;&#x2019; cos x ) â&#x2C6;&#x2019; 2 x 2 2 x + cos x = lim 2 (1 â&#x2C6;&#x2019; cos xx22) â&#x2C6;&#x2019; 2 x x x x 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos + cos â&#x2C6;&#x2019; 2 cos lim = lim 0 x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; 0 x x = xlim = xlim xlim â&#x2020;&#x2019;0 â&#x2020;&#x2019;0 â&#x2020;&#x2019;0 x 22 x 22 x2 x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019;0 x x x 2 2 2

 (1 â&#x2C6;&#x2019; cos xx)) â&#x2C6;&#x2019; 22xx = lim11â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; cos cos x  x  â&#x2C6;&#x2019; 2 = lim ((11 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; cos  2 x ) â&#x2C6;&#x2019; 2 x = lim cos x  2 x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019; 0 1 â&#x2C6;&#x2019; cos = lim â&#x2C6;&#x2019;   x x x = xlim â&#x2C6;&#x2019; x 22 = xlim â&#x2020;&#x2019;0 â&#x2020;&#x2019;0   â&#x2C6;&#x2019; 2  x x 22 x â&#x2020;&#x2019;0 x â&#x2020;&#x2019; 0   x  x x   2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

Aplicando el Aplicando el teorema teoremade desustituciĂłn, sustituciĂłn,obtenemos: obtenemos: Aplicando el teorema de sustituciĂłn, obtenemos: Aplicando el teorema de sustituciĂłn, obtenemos:

 1 â&#x2C6;&#x2019; cos x 22  x  2 â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0 â&#x2C6;&#x2019; 2 = â&#x2C6;&#x2019;2 lim11 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; cos cos x  lim 2 = 0 â&#x2C6;&#x2019; 2 = â&#x2C6;&#x2019;2 x â&#x2020;&#x2019; 0 â&#x2C6;&#x2019;   x  xlim â&#x2020;&#x2019;0   x  â&#x2C6;&#x2019; 2 = 0 â&#x2C6;&#x2019; 2 = â&#x2C6;&#x2019;2 x â&#x2020;&#x2019; 0  x    

1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x22 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos x + cos22 x x + cos 2 x = â&#x2C6;&#x2019;2 Entonces el el lim1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 cos Entonces x â&#x2020;&#x2019; 0 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 cos Entonces el lim x22 x + cos x == â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;22 Entonces el xlim â&#x2020;&#x2019;0 x2 x â&#x2020;&#x2019;0 x

TEMA N° 4: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N

TEMA N°4: CONTINUIDAD DE UNA fUNCIĂ&#x201C;N

l tĂŠrmino continuo tiene el mismo sentido en matemĂĄticas que en el lenguaje El tĂŠrmino continuo tiene el mismo sentido en matemĂĄticas que en el lenguaje ordinardinario. rio. AsĂ­ AsĂ­ sesedice una funciĂłn es continua si ade loun largo de un intervalo, dice que que una funciĂłn es continua si a lo largo intervalo, incluido en su incluido n su dominio, lalagrĂĄfica presenta interrupciones saltos. Esnodecir, cuando no es dominio, grĂĄfica nono presenta interrupciones o saltos. Esodecir, cuando es necesario ecesario levantar el lĂĄpiz del papel para dibujarla. levantar el lĂĄpiz del papel para dibujarla.

.1

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N. 1 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIĂ&#x201C;N Se dice que una funciĂłn f(x) es continua para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? si el lĂ­mite de la funciĂłn, Se dice que una funciĂłn f(x) es continua para x = c si el lĂ­mite de la funciĂłn, cuando cuando x xtiende a c, es igual al valor de la funciĂłn para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?. En sĂ­mbolos, si: tiende a c, es igual al valor de la funciĂłn para x = c En sĂ­mbolos, si:

lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ??šđ??š(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)

29 29 29

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

Entonces f(x) es continua para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?.

Entonces f(x) es continua para x = c.

La defi niciĂłn anterior requiere, implĂ­citamente tres tres cosas: La definiciĂłn anterior requiere, implĂ­citamente cosas:

a) Que f(c) estĂŠ definida; esto es, que c estĂŠ en el dominio de f. b) Que exista el limite limđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ), de modo que f debe estar definida en un intervalo abierto que contenga a â&#x20AC;&#x153;câ&#x20AC;? c) Que:

dice que la funciĂłn es discontinua para x=c si no se satisface esta condiciĂłn. limSeđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? ÂżCĂłmo se ven grĂĄficamente una funciĂłn continua y una funciĂłn discontinua?

Tres funciones continuas

Se dice que la funciĂłn es discontinua para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? si no se satisface esta condiciĂłn. ÂżCĂłmo se ven discontinua?

grĂĄficamente

una

funciĂłn

continua

Tres funciones continuas

Figura 7.- Grafica de tres funciones continĂşas

Tres funciones discontinuas

y

una

funciĂłn

BibliografĂ­a

27


28

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UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD

Tres funciones discontinuas Tres funciones discontinuas Tres funciones discontinuas Tres funciones discontinuas Anotaciones

Figura 8.- Grafica de tres funciones discontinuas 8.- Grafica tres funciones discontinuas Figura Figura 8.- Grafica de tresde funciones discontinuas Figura 8.- Grafica de tres funciones discontinuas

Figura 8.- Grafica dees tres funcionesen discontinuas Una funciĂłn que no continua un nĂşmero, se dice que es discontinua en dicho Una funciĂłn que no es continua en un nĂşmero, se que diceesque es discontinua en Una funciĂłn que no es continua en un nĂşmero, se que dice discontinua en Una que no esescontinua enenun nĂşmero, sesedice es nĂşmero. En la grĂĄfi ca denĂşmero, una funciĂłn que es discontinua enenel nĂşmero a se puede UnafunciĂłn funciĂłn que no continua un que esdiscontinua discontinua dicho nĂşmero. En la grĂĄfica una funciĂłn que es discontinua en el en nĂşmero dicho nĂşmero. En la grĂĄfica defunciĂłn unadefunciĂłn esdice discontinua el nĂşmero a se a se dicho nĂşmero. EnEnla grĂĄfica dede una que esque discontinua enen elelen nĂşmero a La sese observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. discontinuidad puedicho nĂşmero. la grĂĄfica una funciĂłn que es discontinua nĂşmero a puede observar un "salto" o"hueco" un "hueco" precisamente donde x =La a. La puede observar un "salto" o un precisamente donde x = a. puede observar unun "salto" o o unun "hueco" precisamente donde x x= =a.a. LaLa puede observar "salto" "hueco" precisamente donde de ser eliminable o esencial. discontinuidad puede ser eliminable o esencial. discontinuidad puede ser eliminable o esencial.

discontinuidad ser oo esencial. discontinuidadpuede puede sereliminable eliminable esencial.

si existe, o discontinuidad eliminable cuando existe pero La La discontinuidad es es eliminable cuando nonoexiste pero limđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)si La discontinuidad es eliminable cuando f(c)existe nof(c)f(c) existe pero lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)si đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)si LaLadiscontinuidad eseseliminable cuando f(c) no pero limđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? discontinuidad eliminable f(c) no estos existe perocasos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). En dos lađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)si discontinuidad existe, o cuando â&#x2030; cuando limđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). En estos dos casos lalim discontinuidad existe, o cuando cuando đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) â&#x2030;  đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? . En estos dos casos la discontinuidad desaparece cuanđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). En estos dos casos la discontinuidad existe, o cuando đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) â&#x2030;  lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). En de estos dos laque discontinuidad existe, o desaparece cuando đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?)cuando â&#x2030; se lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?se redefine f(c) tal casos manera = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). limđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). desaparece redefine f(c) tal de manera que=đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? docuando seseredefi ne f(c) de tal manera que đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). desaparece f(c) dede taltal manera lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). desaparececuando cuando seredefine redefine f(c) manera queđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) = lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? la discontinuidad esencial posible deshacerse de dicha laEndiscontinuidad esencial esno posible deshacerse de dicha EnEn laEn esencial nono esno posible deshacerse dede dicha En la discontinuidad esencial no eses posible deshacerse de dicha discontinuidad la discontinuidad discontinuidad esencial es cuando posible deshacerse dicha no existe discontinuidad y sucede bĂĄsicamente cuando limđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) nođ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) existe discontinuidad y sucede bĂĄsicamente lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) no existe discontinuidad y sucede bĂĄsicamente cuando lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? no existe existe discontinuidady ysucede sucedebĂĄsicamente bĂĄsicamentecuando cuando lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) no

Las discontinuidades eliminables se denominan tambiĂŠn discontinuidad de Las discontinuidades eliminables se denominan tambiĂŠn discontinuidad Las eliminables sese denominan tambiĂŠn discontinuidad dede de Las discontinuidades discontinuidades eliminables denominan tambiĂŠn LasgrĂĄfica se denominan tambiĂŠn discontinuidad "hueco": endiscontinuidades la grĂĄfica laseliminables funciones donde sucede este caso se puede "hueco": en la de lasde funciones donde sucede este discontinuidad caso se puede ver unver un de "hue"hueco": en la grĂĄfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco": en la grĂĄfica funciones sucede este caso puede un lalas grĂĄfi ca plano de lasdonde funciones donde este caso se puede ver un "hueco" "hueco" en en elde punto del cuyas coordenadas son (c,se f(c)). Las ver discontinuidades "hueco" en elco": punto del plano cuyas coordenadas (c,sucede f(c)). Las discontinuidades "hueco" enenelelpunto del plano coordenadas son (c,son f(c)). discontinuidades "hueco" punto del planocuyas cuyas coordenadas son f(c)).Las Las discontinuidades esenciales tambiĂŠn reciben los nombres de (c, discontinuidad deLas "salto": se presenta esenciaesenciales tambiĂŠn reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta en el punto del plano cuyas coordenadas son (c, f(c)). discontinuidades esenciales tambiĂŠn reciben los nombres dedediscontinuidad dede"salto": sesepresenta esenciales tambiĂŠn reciben los nombres discontinuidad "salto": presenta cuando lĂ­mites laterales pero son diferentes; y, la discontinuidad cuando los lĂ­mites laterales existen pero son lade discontinuidad leslos tambiĂŠn reciben losexisten nombres dediferentes; discontinuidad "salto": se presenta cuando cuando los lĂ­mites laterales existen pero son diferentes; y, lalay, discontinuidad cuando los lĂ­mites laterales existen diferentes; infinita sucede cuando el lĂ­mite de son f cuando x tiende ainfinito. a esdiscontinuidad infinito. infinita sucede cuando el lĂ­mite de fpero cuando x tiende ainfinito. a esy, infinita sucede cuando el lĂ­mite de f cuando x tiende a a es los lĂ­mites laterales existenx pero son infinita sucede cuando el lĂ­mite de f cuando tiende a adiferentes; es infinito.y, la discontinuidad infinita sucede

cuandoDE el LA lĂ­mite deCONTINUIDAD f cuando xDE tiende a es infi nito. PROPIEDADES DE LA DEaFUNCIĂ&#x201C;N. UNA FUNCIĂ&#x201C;N. 4.2 4.2 PROPIEDADES CONTINUIDAD UNA 4.2 DE CONTINUIDAD DE FUNCIĂ&#x201C;N. 4.2 PROPIEDADES PROPIEDADES DELA LA CONTINUIDAD DEUNA UNA FUNCIĂ&#x201C;N.

PROPIEDADES LA DE UNA Una2 funciĂłn es continua = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? siCONTINUIDAD ysi,sĂłlo si, se cumplen las tres FUNCIĂ&#x201C;N. propiedades Una funciĂłn f(x) es f(x) continua đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = sĂłlo đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?DE siđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ y sĂłlo se cumplen laspropiedades tres propiedades Una f(x) eses continua đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? si sese cumplen las tres UnafunciĂłn funciĂłn f(x) continuađ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? siy y sĂłlosi,si, cumplen las tres propiedades siguientes: siguientes: Una funciĂłn f(x) es continua x = c si y sĂłlo si, se cumplen las tres propiedades siguientes: siguientes:

si-

guientes:

a)existe f(c) existe a) f(c) a)a)f(c) f(c)existe existe

lim existe f(x) existe lim b)f(x) b)f(x) b)b)lim xâ&#x2020;&#x2019; c lim f(x) xâ&#x2020;&#x2019; c existe existe xâ&#x2020;&#x2019; c xâ&#x2020;&#x2019; c

f (f x(c) )= x()c= c)f (lim c) lim c)c)lim limf (fxxâ&#x2020;&#x2019;()xc =) =fx â&#x2020;&#x2019; f c()c) x â&#x2020;&#x2019;c

f (c )

x â&#x2020;&#x2019;c

En elde caso de al menos de propiedades estas propiedades no se cumpla, dice En el de caso que alque menos una deuna estas no se cumpla, se dicese laque la EnEnelelcaso que al menos una estas propiedades no sese cumpla, sesedice laque caso funciĂłn de que ales menos de estas no cumpla, dice que la En el caso dede que alo menos una de estas noque se cumpla, se dice f(x) no es una continua es propiedades discontinua en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =propiedades đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?. funciĂłn f(x) no continua o es discontinua en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?. funciĂłn nonoesescontinua discontinua đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?.đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?. funciĂłnf(x) f(x) continuao oeses discontinuaenenđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =

funciĂłn f(x) no es continua o es discontinua en x=c.

que la

A continuaciĂłn dan ejemplos en losseque se ilustra el concepto de continuidad A continuaciĂłn seejemplos danseejemplos en losse que ilustra el concepto de continuidad A AcontinuaciĂłn sesedan que dedecontinuidad continuaciĂłn ejemplosenenlos seilustra ilustraelelconcepto continuidad puntual. puntual. A dan continuaciĂłn se los danque ejemplos en los concepto que se ilustra el concepto de continuidad puntual. puntual.

puntual.

EJEMPLOS EJEMPLOS EJEMPLOS EJEMPLOS

EJEMPLOS

1. Verifique si la funciĂłn que se continua da es continua o no en el punto indicado. 1. Verifique si la funciĂłn se da es o no en el punto indicado. 1.1. Verifique si silalafunciĂłn seque dada eses continua nono en indicado. Verifique funciĂłnque que se continuao o enelelpunto punto indicado.

1. Verifique si la funciĂłn que se da es continua o no en el punto indicado. 22 + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 210enđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 10enđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; 11 = 1==11 en =+3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2019;5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ10enđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;= 10enđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =23đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 10enđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

3131 31

SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn

31

SoluciĂłn:

Verifiquemos cadacada una deuna las propiedades: Verifiquemos cada una de las Verifiquemos una depropiedades: las propiedades: Verifiquemos cada de propiedades: Verifiquemos cada una delas las propiedades:

Verifiquemos cada una de las propiedades:

2 2 2â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x2019; + 5(1) 10 =10 â&#x2C6;&#x2019;2 Por lo tanto, sitanto, existe a) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) ==3(1) 3(1) Por lo tanto, existe a. + 5(1) 10 = â&#x2C6;&#x2019;2 Por lo tanto, si existe a) = = + 5(1) â&#x2C6;&#x2019; =10â&#x2C6;&#x2019;2 Por losilo tanto, si existe ++ 5(1) â&#x2C6;&#x2019; ==â&#x2C6;&#x2019;2 Por tanto, sisiexiste a) a) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) =23(1) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) = 5(1) â&#x2C6;&#x2019;10 â&#x2C6;&#x2019;2 Por lo existe a) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) =3(1) 3(1)

( ( ((

) ) ))

2 2 210 = â&#x2C6;&#x2019;2 b) lim lim Por lo tanto, sitanto, existe b) fflim ((xxlim ))lim xx=2lim +3+x5532xx3x+â&#x2C6;&#x2019; lo tanto, si existe b) b) f==(lim xflim 510 = â&#x2C6;&#x2019;Por Por losilo tanto, si existe ( (x= +x+5â&#x2C6;&#x2019;5= x10 =2=â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2Por Por tanto, sisiexiste b) f)â&#x2020;&#x2019; x)33lim )= lim xâ&#x2C6;&#x2019; xâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;210 10 2 tanto, Por lo existe lo existe b. â&#x2020;&#x2019;11 xxâ&#x2020;&#x2019; xxâ&#x2020;&#x2019; 11 x â&#x2020;&#x2019;1x â&#x2020;&#x2019; 11 xâ&#x2020;&#x2019;

c) c)

x â&#x2020;&#x2019;1x â&#x2020;&#x2019; 11 xâ&#x2020;&#x2019;

lim 1)x)))f==(1f)f(1(1) ) c.lim fflim ((xxlim ))lim f==( xfff)((1(x= c) c) c) x â&#x2020;&#x2019;1 x â&#x2020;&#x2019;1

x â&#x2020;&#x2019;1x â&#x2020;&#x2019; 11 xâ&#x2020;&#x2019;

Como se cumplen las tres propiedades, concluimos que la funciĂłn si es continua en cumplen xcumplen =se 1. GeomĂŠtricamente signifi caconcluimos queconcluimos laconcluimos grafi ca deque esta funciĂłn puede Como se las tres tres propiedades, concluimos que laque funciĂłn sisees es Como se las propiedades, que la funciĂłn si Como se cumplen las tres propiedades, la funciĂłn si sies Como cumplen las tres propiedades, lala funciĂłn Como se cumplen las tres propiedades, concluimos que funciĂłn si es es continua ensin =levantar 1. GeomĂŠtricamente significa la que grafica de esta funciĂłn se se se dibujar elGeomĂŠtricamente lĂĄpiz en el significa punto xsignifica =que 1. que La grĂĄfi cagrafica es la siguiente: continua en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľen = 1. GeomĂŠtricamente que la grafica de esta funciĂłn se continua đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = GeomĂŠtricamente significa la la grafica de esta funciĂłn continua en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1. ==1. significa de esta funciĂłn continua en 1. GeomĂŠtricamente que la grafica de esta funciĂłn se puede dibujar sin levantar levantar el lĂĄpiz lĂĄpiz en elen punto = 1. 1. La grĂĄfica es la laes siguiente: puede dibujar sin el en el punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľpunto = La es siguiente: puede dibujar sinsin levantar el el lĂĄpiz el punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = La grĂĄfica la siguiente: puede dibujar levantar lĂĄpiz en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1. =grĂĄfica 1. es puede dibujar sin levantar el lĂĄpiz enel elpunto = 1.La LagrĂĄfica grĂĄfica esla lasiguiente: siguiente:


Verifiquemos cada una de las propiedades: 2 10 = = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 Por lo lo tanto, tanto, si si existe existe a) = 3(1) b) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) lim f=(đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) x) = lim 3x 2 ++5(1) 52x â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;10 2 Por b) Por lo tanto, si existe x â&#x2020;&#x2019;1 lim f ( xx) â&#x2020;&#x2019;= 1 lim 3 x + 5 x â&#x2C6;&#x2019; 10 = â&#x2C6;&#x2019;2 x â&#x2020;&#x2019;1 x â&#x2020;&#x2019;1 2 10 = = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 Por lo lo tanto, tanto, si si existe existe a) = 3(1) b) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?) lim f=(đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) x) = lim 3x 2 ++5(1) 5 x â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;10 2 Por Desarrollo UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD x â&#x2020;&#x2019;1 x â&#x2020;&#x2019;1 de contenidos c) lim f ( x) = f (1) c) x â&#x2020;&#x2019;1 lim f ( x ) = f (21) b) lim fx â&#x2020;&#x2019; ( x1 ) = lim 3x + 5 x â&#x2C6;&#x2019; 10 = â&#x2C6;&#x2019;2 Por lo tanto, si existe x â&#x2020;&#x2019;1 f ( x ) = xfâ&#x2020;&#x2019; (11 ) c) lim

( ( ( (

) ) ) )

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOfORMATIVO

x â&#x2020;&#x2019;1

Como se tres propiedades, concluimos que la funciĂłn si es lim cumplen f ( x)cumplen = f (1las ) las c) Como se tres propiedades, concluimos que la funciĂłn si es Lecturas 1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1. GeomĂŠtricamente significa que la grafica de esta funciĂłn se seleccionadas continuax â&#x2020;&#x2019;en continua en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1. GeomĂŠtricamente significa que la que grafica de esta funciĂłn se Como se cumplen las tres propiedades, concluimos la funciĂłn si es puede dibujar sin levantar el lĂĄpiz en el punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1. La grĂĄfica es la siguiente: puedeendibujar levantar el lĂĄpizsignifica en el punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =grafica 1. La grĂĄfica la siguiente: continua đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1. sin GeomĂŠtricamente que la de estaesfunciĂłn se puede dibujar sin levantar el lĂĄpiz en el puntoconcluimos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1. La grĂĄfica la siguiente: Como se cumplen las tres propiedades, que laesfunciĂłn si es continua en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1. GeomĂŠtricamente significa que la grafica de esta funciĂłn se puede dibujar sin levantar el lĂĄpiz en el punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1. La grĂĄfica es la siguiente: Recordatorio

2. Verifique si la funciĂłn que se da es continua o no en el punto indicado. 2. Verifi Verifique indicado. 2. que si si la funciĂłn funciĂłnque queseseda daes escontinua continuaoono noenenelelpunto punto indicado. 2. Verifique si la funciĂłn que se da es continua o no en el punto indicado.

3

3 = 3 que se da es continua o no en el punto indicado. f ( x) = si laenđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2. Verifique enđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 3 f ( xx) â&#x2C6;&#x2019;= 2 funciĂłn 3 xâ&#x2C6;&#x2019;2 enđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 3 xâ&#x2C6;&#x2019;2 3 SoluciĂłn enđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 3 f ( x)SoluciĂłn = SoluciĂłn: xâ&#x2C6;&#x2019;2 f ( x) =

SoluciĂłn Verifiquemos cada una de las propiedades: Verifi quemos cada cada una unade delas laspropiedades: propiedades: Verifiquemos Verifiquemos cada una de las propiedades: SoluciĂłn

3

Por lo si tanto, si existe a) f (a ) =cada f (3) = de las =3 3 propiedades: Verifiquemos existe a. a) lo tanto, si existe f (a ) = funa (33)â&#x2C6;&#x2019;=2 =Por 3 lo tanto,Por

3 3â&#x2C6;&#x2019;2

a) f ( a ) = f (3) = 3 = 3 b) lim f ( x) = lim 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 =3 3 b) )= lim =3 x â&#x2020;&#x2019;3 lim f ( xx â&#x2020;&#x2019; 3 x 3â&#x2C6;&#x2019; 2 3 a) f ( a )x â&#x2020;&#x2019; f (3) = x â&#x2020;&#x2019;33 x==â&#x2C6;&#x2019;332 Por b) b. lim f = f (33) â&#x2C6;&#x2019; 2 ( x) = lim c) 3 xf â&#x2C6;&#x2019; )= (32) c) x â&#x2020;&#x2019;3 lim f ( xx â&#x2020;&#x2019;

lo

Por lo tanto, si existe Por lo tanto, si existe Por lo tanto, si existe Por lo tanto, si existe Por lo si tanto, si existe tanto, existe

3

x â&#x2020;&#x2019;3

f (3) c) lim f ( x) = lim b) Por lo tanto, si existe =3 3 x â&#x2020;&#x2019;3 x â&#x2C6;&#x2019; 2 se cumplen las tres propiedades, luego la funciĂłn si En este x â&#x2020;&#x2019; ejemplo tambiĂŠn En este ejemplo tambiĂŠn se cumplen las tres propiedades, luego la funciĂłn si es continua E la grĂĄfica que se da a continuaciĂłn, se ilustra tal f (en x) =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľen f=(33. c) c. es lim continua đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 3. E la grĂĄfica que se da a continuaciĂłn, se ilustra tal 3 En este x â&#x2020;&#x2019; ejemplo tambiĂŠn se cumplen las tres propiedades, luego la funciĂłn si afirmaciĂłn. afirmaciĂłn. es continua en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 3. E la grĂĄfica que se da a continuaciĂłn, se ilustra tal 32 afirmaciĂłn. En este ejemplo tambiĂŠn se cumplen las las trestres propiedades, luego la funciĂłn si si En este ejemplo tambiĂŠn se cumplen propiedades, luego la funciĂłn 32es es continua en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 3. E la grĂĄfica que se da a continuaciĂłn, se ilustra tal continua en x = 3. E la grĂĄfica que se da a continuaciĂłn, se ilustra tal afirmaciĂłn. 32 afirmaciĂłn. 32

3. Verifique si la funciĂłn que se da es continua o no en el punto indicado.

3. Verifique la funciĂłn quedaseesdacontinua es continua noelen el punto indicado. 3. Verifique si la si funciĂłn que se o no oen punto indicado. 3. Verifique si la funciĂłn que se da es continua o no en el punto indicado.

3 ( x)3= en=enđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 =2 f ( x) f= 3 x â&#x2C6;&#x2019; 2xenđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 enđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 2 f ( x) = xâ&#x2C6;&#x2019;2

SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: Verifiquemos unalas depropiedades: las propiedades: Verifiquemos cadacada una de Verifiquemos cada cada una de Verifiquemos unalasdepropiedades: las propiedades:

33 3 Por lo tanto, no existe (2)3= = Por lo tanto, no existe fa) (a ) f=(af )(2=) f= 3 2 â&#x2C6;&#x2019; 232=â&#x2C6;&#x2019;02 0 Por lo tanto, existe a. f (a ) = f (2) = Por lo no tanto, no existe a) = 2â&#x2C6;&#x2019;2 0 a)

la primera condiciĂłn no cumpliĂł, se cumpliĂł, se dice la funciĂłn DadoDado que que la primera condiciĂłn no se se dice que que la funciĂłn es es discontinua = 2. tratarse Por tratarse de la funciĂłn del ejemplo 2,funciĂłn en dicha discontinua enprimera đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ en = 2.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽcondiciĂłn Por funciĂłn delse ejemplo 2,laen dicha grĂĄfica Dado que la primera no de se la cumpliĂł, se dice que eses grĂĄfica Dado que la condiciĂłn no se cumpliĂł, dice que lafunciĂłn disse observa efectivamente, para dibujar la grĂĄfica en el punto = 2 es se observa efectivamente, para dibujar laejemplo grĂĄfica en2, punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽgrĂĄfi = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľca es discontinua enen đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľque = Por tratarse lalafunciĂłn deldel 2, enel dicha grĂĄfica continua x =2.que 2. Por tratarsedede funciĂłn ejemplo en dicha se necesario levantar el lĂĄpiz. necesario levantar el lĂĄpiz. se observa efectivamente, para dibujar la grĂĄfica en el punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 2 es observa que que efectivamente, para dibujar la grĂĄfica en el punto x = 2 es necesario necesario levantar el lĂĄpiz.

levantar el lĂĄpiz.

4. Obtenga el valor de forma tal que la funciĂłn (x) continua sea continua 4. Obtenga el valor de WdedeWforma tal que la funciĂłn f (x)f sea en elen el punto indicado. punto indicado. 4. Obtenga el valor de W de forma tal que la funciĂłn f (x) sea continua en el punto indicado. 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 9 â&#x17D;§đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x17D;§9 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2030;  â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x17D;Ş đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2030;  2â&#x17D;Ş đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9 â&#x17D;§= đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ=+ 3 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2030;  â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x17D;Ş

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;3

Glosario

Anotaciones

BibliografĂ­a

29


a) a) ff((aa))== ff((22))==

30

Actividades

Glosario

AutoevaluaciĂłn

BibliografĂ­a

Modalidad Virtual

== 22â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;22 00

Por Por lo lo tanto, tanto, no no existe existe

Dado Dado que que la la primera primera condiciĂłn condiciĂłn no no se se cumpliĂł, cumpliĂł, se se dice dice que que la la funciĂłn funciĂłn es es

discontinua en discontinua en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ==2. 2. Por Por tratarse tratarse de de la la funciĂłn funciĂłn del del ejemplo ejemplo 2, 2, en en dicha dicha grĂĄfica grĂĄfica UNIDAD I: LĂ?MITES Y CONTINUIDAD se se observa observa que que efectivamente, efectivamente, para para dibujar dibujar la la grĂĄfica grĂĄfica en en el el punto punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ==22 es es necesario necesario levantar levantar el el lĂĄpiz. lĂĄpiz.

4. 4. Obtenga Obtenga el el valor valor de de W W de de forma forma tal tal que que la la funciĂłn funciĂłn ff (x) (x) sea sea continua continua en en el el

punto punto indicado. 4. Obtenga elindicado. valor de W de forma tal que la funciĂłn f (x) sea continua en el punto indicado. Anotaciones

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)==

SoluciĂłn: SoluciĂłn SoluciĂłn

2

2 â&#x17D;§â&#x17D;§đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;99 â&#x17D;Şâ&#x17D;Ş đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3

â&#x17D;¨â&#x17D;¨ â&#x17D;Şâ&#x17D;Ş â&#x17D;Šâ&#x17D;Š đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160; đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160;

đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2030; â&#x2030; â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;3

đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ==â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;3

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ==â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;3

Para la soluciĂłn del ejercicio nos damos cuenta que para que la funciĂłn sea conPara soluciĂłn damos Para la soluciĂłn del del ejercicio ejercicio nos damos cuenta cuenta que que para para que que la la funciĂłn funciĂłn sea sea tinuacontinua en xla = -3, es necesario que Wnos se iguale con el lĂ­mite de la funciĂłn cuando continua en en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ==â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;3, es es necesario necesario que que W W se se iguale iguale con con el el lĂ­mite lĂ­mite de de la la funciĂłn funciĂłn la variable tiende a menos tres, es decir: cuando cuando la la variable variable tiende tiende aa menos menos tres, tres, es es decir: decir: ((xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33)()(xx++33)) xx22 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;99 == lim ((xxâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33))==â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33==â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;66 == lim W ff((xx))== lim lim lim W ==xlim lim lim â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33 xxâ&#x2020;&#x2019; xxâ&#x2020;&#x2019; xxâ&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33 â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33 xx+ â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33 xâ&#x2020;&#x2019; 3 xx++33 +3 Por Por lo lo tanto tanto la la funciĂłn funciĂłn es es continua continua en en đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ==â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;3 si si đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160; đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160; ==â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2C6;&#x2019;6

Por lo tanto la funciĂłn es continua en x = -3 si W = -6

LECTURA SELECCIONADAS N° 2 â&#x20AC;&#x153;NO EXISTE EL MOVIMIENTO" La paradoja de la DicotomĂ­a de ZenĂłn En el siglo V a.C., en la Grecia Antigua viviĂł un famoso filosofo(discĂ­pulo de otro filosofo: ParmĂŠnides) llamado ZenĂłn de Elea.Una de las cosas que se propuso fue demostrar que el movimientono era posible. Para ello formulĂł una â&#x20AC;&#x153;paradoja" que ha despertado el interĂŠs delos matemĂĄticos y cientĂ­ficos de todos los tiempos. Esta paradojala podemos reformular de la siguiente manera: Un corredor debe alcanzar una tortuga que se encuentra parada a 1 km de distancia. ZenĂłn dirĂ­a: Para alcanzar a la tortuga el corredor deberĂĄ recorreruna primera distancia: d1= la mitad de la distancia = 500 m. TambiĂŠn deberĂĄ recorrer la distancia: d2= la mitad de la mitad = 250 m. Y sucesivamente una tercera distancia: d3 = la mitad de la mitad de la mitad = 125 m. Una cuarta: d4 = 62,5 m.

Una quinta: d5 = 31,25 m. Una sexta: d5 = 15,625 m.

PodrĂ­amos resumir la situaciĂłn anterior en una tabla

y podrĂ­amos calcular

Como el proceso se puede repetir indefinidamente, el corredor deberĂĄ recorrer un nĂşmero infinito de distancias en un tiempo finito. ZenĂłn dirĂ­a: eso no es posible; entonces no hay movimiento.

33 33


Desarrollo UNIDAD I: LÍMITES Y CONTINUIDAD de contenidos

ANALISIS MATEMÁTICO I Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

ACTIVIDAD N° 2 Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I Larson R., Hostetler R. y Edwards B. (2009). Cálculo Diferencial – Matematica I (8va. ed.). México: Edit. Mc Graw Hill, biblioteca UC: 515.1-L25. Espinoza E. (2008). Análisis Matemático I (4ta. ed.). Perú: Servicios Gráficos J.J. Stewart J. (2008). Cálculo: Trascendentes Tempranas (6ta. ed.). Mexico: Cengage Learning. Larson R., Hostetler R. y Edwards B. (2010). Cálculo Esencial (8va. ed.). México: Cengage Learning. Larson R., Hostetler R. y Edwards B. (2010). Cálculo 1: De una Variable (9na. ed.). México: Edit. Mc Graw Hill. Leithold L. (1998). El Cálculo. México: Oxford. Hoffmann, Bradley, Rosen. (2006). Cálculo Aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales (8va. ed.). México: Edit. Mc Graw Hill. Howard A. (2009). Cálculo de una Variable (2da. ed.). México: Limusa Wiley. Purcell, Varberg y Rigdon, (2001). Cálculo. (8va. ed.). México: Prentice Hall.

Bibliografía

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Desarrollo de contenidos

Diagrama

Desarrollo de contenidos

Diagrama Lecturas seleccionadas

Objetivos

Inicio

Actividades

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DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II Objetivos Glosario

Inicio Bibliografía

Actividades

EJEMPLOS

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Anotaciones

autoevaluación

Lecturas seleccionadas

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Diagrama

Lecturas seleccionadas

UNIDAD II: LA DERIVADA

CONTENIDOS

Desarrollo de contenidos Recordatorio

ANALISIS MATEMÁTICO I Actividades Autoevaluación MANUAL AUTOFORMATIVO

ACTIVIDADES

BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía

ORGANIZACIÓN DE LOS APRENDIZAJES Objetivos

Inicio

CONOCIMIENTOS

PROCEDIMIENTOS

ACTITUDES

Unidad II: “La Derivada” Tema 1: La derivada y su Desarrollo N° Actividades Autoevaluación de contenidos interpretación. 1.1 La derivada y su interpretación geométrica 1.2 La derivada y su interLecturas Glosario Bibliografía pretación física. seleccionadas 1.3 Definición de Derivada Tema N° 2: Reglas de derivación – I parte 2.1 ReglasAnotaciones básicas de derivaRecordatorio ción 2.2 Derivadas de productos y cocientes Lectura seleccionada N° 1 ORIGEN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL. Tomado de: RODRÍGUEZ SÁNCHEZ, Oscar. “Apuntes de Historia de las Matemáticas”,No. 1, Vol. 2, ENER0 2003. Universidad Sonora, México. Págs. 22 - 25. Tema N° 3: Reglas de derivación – II parte. 3.1 Derivada de las funciones trigonométricas. 3.2 Derivadas de orden superior. 3.3 La regla de la cadena Tema N° 4: Derivadas Implícitas 4.1 Derivadas implícitas Lectura seleccionada N° 2: EL CONCEPTO DE VELOCIDAD INSTANTÁNEA. Tomado del: Instituto Politécnico Nacional.“Calculo Diferencial – Libro para el estudiante”, Marzo 2005. Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional, México. Págs. 155 - 158. Autoevaluación Nº 2

1. Define e interpreta la derivada de una función.

1. Toma conciencia del rol de ser estudiante universitario.

2. Utiliza en forma adecuada las reglas básicas de derivación. Resuelve ejercicios para afianzar los conceptos aprendidos 3. Define y aplica las derivadas de los productos y cocientes de funciones. Resuelve ejercicios para afianzar los conceptos aprendidos Actividad N° 1 Practicas Dirigidas de ejercicios propuestos de los temas tratados en esta unidad. 4. Deriva funciones trigonométricas. 5. Define y aplica las derivadas de orden superior. 6. Aplica la regla de la cadena en funciones compuestas. Resuelve ejercicios para afianzar los conceptos aprendidos 7. Aplica la derivación implícita en funciones implícitas. Resuelve ejercicios para afianzar los conceptos aprendidos Actividad N° 2 Practicas Dirigidas de ejercicios propuestos de los temas tratados en esta unidad. Tarea Académica Nº 1 Resuelve ejercicios para determinar el grado de entendimiento de los temas de la I y II unidad.

2. Demuestra interés por el curso. 3. Demuestra interés en los nuevos conocimientos y respeta la opinión de sus compañeros. 4. Juzga la importancia del cálculo en su quehacer cotidiano y profesional

Bibliografía

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Actividades

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Glosario

Bibliografía

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UNIDAD II: la DERIVADA

TEMA N°1: LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN Anotaciones

Los orígenes del cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de importancia en óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada. Simplificando, podemos destacar dos problemas principales: •

Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes)

Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas).

Son los conceptos de derivada e integral, respectivamente, los que permiten resolver satisfactoriamente dichos problemas. Mientras el concepto de integral tiene sus raíces en la antigüedad clásica. La otra idea fundamental del cálculo, la derivada, no se formuló hasta el siglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642 – 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) de la relación entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia, lo que inicio el magnífico desarrollo del Cálculo. Si bien los trabajos de Newton y Leibniz son decisivos por sus aportaciones e influencia, no hay que olvidar que ellos son el punto culminante de un largo proceso en el que han participado científicos de la talla de Johannes Kepler (1571-1630), René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677) entre otros. Para entender los resultados del Cálculo Diferencial es necesario, antes que nada, comprender la idea básica del mismo: el concepto de derivada. La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como pendiente de una curva, y físicamente como una razón “instantánea“ de cambio, que a continuación detallamos: 1 LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Para la curva en el plano cartesiano que define la gráfica de una función, la derivada es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto correspondiente, obteniéndose así su interpretación geométrica para la derivada que sienta las bases para el estudio analítico de curvas y superficies. Veamos DEFINICIÓN 1 Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva. En la siguiente figura se ha representado gráficamente una recta L secante a una curva:

Figura 9.- Recta secante a una curva Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada,se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta. Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación y = f(x), donde f es una función continua.


Figura 9.- Recta secante a una curva

Como al conocer la9.pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda Figura Recta secante a una curva Como al conocer pendiente de una recta y un punto de ella, recta queda Figurala9.Recta secante a una curva completamente determinada,se tiene que el problema de trazar una la recta tangente Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada,se que el de trazar una recta tangente a una curva dada, por un puntotiene de ĂŠsta, seproblema reduce aencontrar la pendiente de Desarrollo la UNIDAD II: LA DERIVADA contenidos completamente determinada,se que elseproblema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un puntotiene de ĂŠsta, reduce aencontrar la pendiente dedela recta. arecta. una curva dada, por un punto de ĂŠsta, se reduce aencontrar la pendiente de la recta. Consideremos la representaciĂłn grĂĄfica de una curva con ecuaciĂłny = f(x), Consideremos la representaciĂłn grĂĄfica de una curva con ecuaciĂłny = f(x), donde f es una funciĂłn continua. Consideremos la representaciĂłn grĂĄfica de una curva con ecuaciĂłny = f(x), donde f es una funciĂłn continua. Lecturas seleccionadas donde f es una funciĂłn continua.

Recordatorio

Figura 10.- GrĂĄfica de la f (x) GrĂĄfica de la f (x) GrĂĄfica de la f (x)

Figura 10.Figura 10.- GrĂĄfica de la f (x) Figura 10.-

Se desea trazar la recta tangente en un punto đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 )dado de la curva. Se desea trazar la recta tangente en un punto đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 )dado de la curva. đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 )dado decurva. la curva. Se desea trazar la recta tangente en punto un punto ,y0 )0 ,dado la Se desea trazar recta tangente enpasa un P(xđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 0puntos Sea PQ la la recta secante que por los đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľde 0 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 ) y đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)de la Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 ) y đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)de la ,y ) y đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Q(x,y) de la curva. La penSea PQ laPQ recta que pasa por los puntos đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;P(x estĂĄ por: curva.La pendiente de esta secante, denotada 0 0 dada Sea la secante rectade secante que pasa por los 0 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 ) y đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)de la đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; puntos estĂĄ dada por: curva.La pendiente esta secante, denotada diente dependiente esta secante, denotada ms estĂĄ dada đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; por: estĂĄ dada por: curva.La de esta secante, denotada đ?&#x2018; đ?&#x2018; 

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00 = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00 0 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ĂĄngulo que forma la Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ĂĄngulo que forma la recta conlalapendiente parte positiva deleje x, y como đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;el ĂĄngulodel para la recta secante, Como de una recta es a lađ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; tangente ĂĄngulo que forma la recta la con la parte de positiva deleje x, igual ya como el ĂĄngulo para la secante, Como pendiente una recta es igual la tangente del ĂĄngulo querecta forma la recta entonces: recta con la parte positiva deleje x , y como đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; el ĂĄngulo para la recta secante, entonces: con la parte positiva del eje x, y como θ el ĂĄngulo para la recta secante, entonces: entonces:

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = tan đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = tan đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00 0 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = tan đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 Supongamos que existe una recta tangente a la curva en).đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 )dicha . Sea PT Supongamos que que existe una recta tangente a la curva P(x0,y Sea0 ,PT recta. 0 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 ) . Sea PT Supongamos existe una recta tangente a la en curva en dicha recta. Supongamos que existe una recta tangente a la curva en đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 ) . Sea PT dicha recta. dicha recta.

Mantenemos ahora el punto y hacemos el punto Q aproxime se aproxime , Mantenemos ahora el punto P fiPjofijo y hacemos queque el punto Q se a P,a aPlo Mantenemos ahora el punto P fijo y hacemos que el punto Q se aproxime a P, đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;recta deQlase recta secante se a loMantenemos largo de la ahora curva. Cuando esto sucede, la inclinaciĂłn θ de la secante se aproxilargo de la curva. Cuando esto sucede, la inclinaciĂłn el punto P fijo y hacemos que el punto aproxime a P , a lo largo de la curva. Cuando esto sucede, la inclinaciĂłn đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; de la recta secante se â&#x2C6;?de la recta tangente, lo puede quepuede escribirse como: aproxima a la inclinaciĂłn de la ma la inclinaciĂłn de â&#x2C6;?Cuando de recta tangente, que escribirse đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;de laescribirse rectacomo: secante aaproxima loa largo curva. sucede, laloinclinaciĂłn la recta tangente, lo quepuede como:se adelala inclinaciĂłn de â&#x2C6;?deesto aproxima a la inclinaciĂłn de â&#x2C6;?de la recta tangente, lo quepuede escribirse como: lim đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; = â&#x2C6;? đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; lim đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; = â&#x2C6;? đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; = â&#x2C6;? lim đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; En igual forma, la pendiente de de la secante tiende a laa pendiente dede la la tangente, es En igual forma, la pendiente la secante tiende la pendiente tangente, En igual forma, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, es decir: decir: En igual forma, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, es decir: es decir:

limđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;==đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;?â&#x2C6;? lim 43 lim đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;? 43 đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; 43 AdemĂĄs, cuando tiende hacia P,, lala abscisa abscisa tiende đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ por lo que, la AdemĂĄs, cuando QQ tiende hacia xxtiende đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ por lo que, la AdemĂĄs, cuando Q tiende hacia P, la Pabscisa x tiende hacia hacia xhacia por lo que, la anterior 0 0 0 anterior relaciĂłn puede escribirse: anterior relaciĂłn puede relaciĂłn puede escribirse: AdemĂĄs, cuando Qescribirse: tiende hacia P, la abscisa xtiende hacia đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 por lo que, la đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018;&#x201E;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;

anterior relaciĂłn puede escribirse:

uego: LLuego: Luego: Luego:

limđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;==đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;?â&#x2C6;? lim lim đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;?

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00)) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) limđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192;== lim lim đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;?â&#x2C6;? ==đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 00 0 ) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;? lim đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x153;&#x192;đ?&#x153;&#x192; = lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00)) lala pendiente Si denotamos denotamos por por đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ pendiente de de la la recta recta tangente tangente aa la la curva curva en en Si (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0pendiente ) la pendiente đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ entonces: đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą de la tangente recta tangente a la en curva en), 0, ,đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0denotamos 0)),,entonces: 0Si Si denotamos por por mtg (x ) la de la recta a la curva P(x ,y 0 0 0 đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 ), entonces: entonces: đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;)) đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;== đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; = đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

DEFINICIĂ&#x201C;N22 DEFINICIĂ&#x201C;N DEFINICIĂ&#x201C;N 2 DEFINICIĂ&#x201C;N 2 se Suponga que que se tenga tenga elel problema problema de de encontrar encontrar la la ecuaciĂłn ecuaciĂłn de de la la Suponga en un puntođ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ00::la ecuaciĂłn de la rectatangente lase grĂĄfica deuna una funciĂłnff,,en punto rectatangente aala grĂĄfica de funciĂłn Suponga que tenga el problema deun encontrar rectatangente a la grĂĄfica de una funciĂłn f, en un punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 :

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOfORMATIVO

Glosario

Anotaciones

BibliografĂ­a

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đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

Si denotamos por

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Actividades

Glosario

AutoevaluaciĂłn

Modalidad Virtual

đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0 ), entonces:

UNIDAD II: LA DERIVADA

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) la pendiente de la recta tangente a la curva en đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; = đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

BibliografĂ­a

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuaciĂłn de la rectatangente a la grĂĄfica de una funciĂłn f, en un punto x0: DEFINICIĂ&#x201C;N 2 Anotaciones

Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuaciĂłn de la rectatangente a la grĂĄfica de una funciĂłn f, en un punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 :

Figura 11.- Recta tangente al punto x0. Figura 11.- Recta tangente al punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 .

La ecuaciĂłn derecta la recta tangente estarĂ­a dada La ecuaciĂłn de la tangente estarĂ­a dada por:por:

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 )

Ahora, habrĂ­a que calcular la pendiente de la recta tangente.Observe la Figura:

Ahora, habrĂ­a que calcular la pendiente de la recta tangente. Observe la Figura:

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Figura12.12.- Grafica Graficaque querepresenta representalalainterpretaciĂłn interpretaciĂłngeomĂŠtrica geomĂŠtrica Figura

delaladerivada derivada de Figura 12.- Grafi queGrafica representa la interpretaciĂłn geomĂŠtrica de la derivada Figuraca 12.que representa la interpretaciĂłn geomĂŠtrica de la derivada

ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ,0đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 )ďż˝ ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 0++â&#x201E;&#x17D;,â&#x201E;&#x17D;,đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 0++â&#x201E;&#x17D;)ďż˝ â&#x201E;&#x17D;)ďż˝ pendiente de recta secante entre los puntos ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ yyy ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ pendiente de recta secante entre los puntos LaLaLa pendiente de lalala recta secante entre los puntos 0 )ďż˝ La pendiente de â&#x2C6;&#x2019;f f( x( x0 0) ) entre los puntosďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 )ďż˝yďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 + â&#x201E;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 + â&#x201E;&#x17D;)ďż˝ f f(la x( x0 recta ) )â&#x2C6;&#x2019;secante 0++hh serĂ­a:mm = serĂ­a: secsec=f ( x + h) â&#x2C6;&#x2019; f ( x ) 0 hh 0 serĂ­a: msec = serĂ­a: h

Lapendiente pendientede delalarecta rectatangente tangentese seobtendrĂ­a obtendrĂ­ahaciendo haciendoque quehhse sehaga hagacadavez cadavez La

mĂĄs pequeĂąa, porque entangente estecaso caso rectasecante secante toma posiciĂłn devez larecta La pendiente la recta selala obtendrĂ­a haciendo que hposiciĂłn se haga cadavez mĂĄs pequeĂąa, porque en este recta toma lala de larecta La pendiente dede la recta tangente se obtendrĂ­a haciendo que h se haga cada mĂĄs tangente, resolverĂ­amos nuestro problema; esdecir: decir: mĂĄs pequeĂąa, porque en caso este la recta secante la posiciĂłn de tangente, larecta tangente, yyresolverĂ­amos nuestro problema; es pequeĂąa, porque en este lacaso recta secante toma la toma posiciĂłn de la recta tangente, y resolverĂ­amos nuestro problema; es decir: y resolverĂ­amos nuestro problema; es decir:

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;++đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;) đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; )đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;==đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;) đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; = đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;

TambiĂŠndeducimos deducimosde deacuerdo acuerdoaalalagrafica graficaque: que:â&#x201E;&#x17D;â&#x201E;&#x17D;==â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ, ,entonces entonceslalaformula formula TambiĂŠn TambiĂŠn de acuerdo a la grafica que: â&#x201E;&#x17D; = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ , entonces la formula anterior sededucimos puedeescribir escribir delalasiguiente siguiente manera: anterior se puede de manera: anterior se puede escribir de la siguiente manera:

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;++â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; )đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;==đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;)â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; = đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

QueserĂ­a serĂ­alalamisma mismarepresentaciĂłn representaciĂłnaalalainterpretaciĂłn interpretaciĂłngeomĂŠtrica geomĂŠtricade delaladerivada derivada Que Que serĂ­a la misma representaciĂłn a la interpretaciĂłn geomĂŠtrica de la derivada EJEMPLOS EJEMPLOS EJEMPLOS đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)== a) Determinar DeterminarlalaecuaciĂłn ecuaciĂłnde delalarecta rectatangente tangenteaalalacurva curvacon conecuaciĂłn ecuaciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) a) a) Determinar laelel ecuaciĂłn de 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ, ,en en puntođ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= =11la punto . . recta tangente a la curva con ecuaciĂłnđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 2â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ , en el punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 .


Desarrollo UNIDAD II: la DERIVADA de contenidos

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

TambiĂŠn deducimos de acuerdo a la grĂĄfica que: h = â&#x2C6;&#x2020;x, entonces la fĂłrmula anterior se puede escribir de la siguiente manera:

Que serĂ­a la misma representaciĂłn a la interpretaciĂłn geomĂŠtrica de la derivada. EJEMPLOS a. Determinar la ecuaciĂłn de la recta tangente a la curva con ecuaciĂłn f (x) = x2 - 3x, en el punto x = 1 . SoluciĂłn SoluciĂłn: SoluciĂłn SoluciĂłn Utilizando la definiciĂłn anterior vamos a averiguar la pendiente y la yecuaciĂłn de la Utilizando la definiciĂłn anterior vamos a averiguar lapendiente la ecuaciĂłn SoluciĂłn Utilizando la anterior vamos a averiguar lapendiente y la ecuaciĂłn recta tangente a la curva en el curva punto = 1. AsĂ­, dedefiniciĂłn la recta tangente a la enx el punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1. AsĂ­, SoluciĂłn SoluciĂłn Utilizando la definiciĂłn anterior SoluciĂłn de la recta tangente a la curva en vamos el puntoa averiguar đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1. AsĂ­,lapendiente y la ecuaciĂłn Utilizando definiciĂłn vamos a averiguar lapendiente y la ecuaciĂłn de la recta la tangente a laanterior curva en el punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1. AsĂ­, Utilizando la definiciĂłn anterior vamos a+ lapendiente ecuaciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Utilizando la definiciĂłn anterior vamos a= averiguar lapendiente yylalaecuaciĂłn 0 0) 1averiguar . lapendiente AsĂ­, de la recta la curvađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ en el+punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Utilizando la tangente definiciĂłnaanterior vamos a averiguar y la ecuaciĂłn â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; ) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = lim 0 0 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą AsĂ­, delalarecta rectatangente tangenteaalalacurva curvaâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 enelelpunto punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ==1.1.AsĂ­, de en â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim en đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . AsĂ­, de la recta tangenteđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;ađ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąla= curva el punto đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019; 1đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 0 + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 0) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 +

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąadecuadamente, = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 limđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 0) 0 0++â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 0) Reemplazando hallamos â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 )la pendiente: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; ==lim 0lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Reemplazando adecuadamente, hallamos la â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ pendiente: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą Reemplazando adecuadamente, hallamos laâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ pendiente: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Reemplazando adecuadamente, la pendiente: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 hallamos 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +laâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 3(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 Reemplazando adecuadamente, hallamos pendiente: 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;pendiente: lim â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą+=â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Reemplazandoadecuadamente, adecuadamente, hallamos Reemplazando hallamos lalapendiente: Reemplazando adecuadamente, pendiente: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľhallamos (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 â&#x2C6;&#x2019;la3(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 â&#x2C6;&#x2019; 3(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 2â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 2â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 2 ++â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 22 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 lim â&#x2C6;&#x2019;2 3(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą==lim (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą+=2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; lim + (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 +â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)22 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 2â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 2 2 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ limđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Operandođ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; nos queda: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = + (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 lim đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; Operando nos queda: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą==lim đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;queda: = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą Operando nos Operando nos queda: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) Operando nos queda: (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = + limâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; Operandonos nosqueda: queda: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = +lim Operando 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = lim = lim Operando nos queda: 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3)â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 2â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2++(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3)3) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 lim2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ limâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0=lim lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą==lim (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ=+lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019; 3) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2019; 3) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 lim (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą =sustituciĂłn: lim (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) Evaluando el limite por â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3)3) ==lim đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; Evaluando el limite por sustituciĂłn: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 Evaluando el limite por sustituciĂłn: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 (0) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2019;3 Evaluando el limite por sustituciĂłn: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (0) â&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; Evaluandoelellimite limitepor por sustituciĂłn: Evaluando đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;ĄsustituciĂłn: Evaluando el lĂ­mite por sustituciĂłn: Evaluando el limite por sustituciĂłn: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (0) â&#x2C6;&#x2019; 3 Entonces para hallarđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; la pendiente en â&#x2C6;&#x2019; cualquier punto de esa curva serĂĄ: = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (0) 3 Entonces para hallar la pendienteđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą en đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; cualquier de (0)â&#x2C6;&#x2019; =2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľpunto â&#x2C6;&#x2019;3esa 3 curva serĂĄ: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; ++(0) đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą= 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľcualquier + (0) â&#x2C6;&#x2019; 3punto de esa curva serĂĄ: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = en Entonces para hallar la pendiente đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą =punto 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; de 3 esa curva serĂĄ: Entonces para hallar la pendiente en cualquier đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;en 3cualquier đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą Entonces para hallar la pendiente cualquier puntode deesa esa curva serĂĄ: Entonces para hallar la pendiente en punto de esa curva serĂĄ: Entonces para hallar la pendiente en cualquier punto curva serĂĄ: Entonces para hallar la pendiente đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; enđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ącualquier = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3punto de esa curva serĂĄ: Y en el punto: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 lađ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; pendiente serĂĄ: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = 2(1) â&#x2C6;&#x2019; 3 = â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 Y en el punto: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 la pendiente serĂĄ: =2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2(1) =2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;33â&#x2C6;&#x2019; 3 = â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą= đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = 2(1) â&#x2C6;&#x2019; 3 = â&#x2C6;&#x2019;1 Y en el punto: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 la pendiente serĂĄ: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; Luego đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľhallamos la ecuaciĂłn de lađ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;recta tangente que Y en el punto: = 1 la pendiente serĂĄ: 2(1) â&#x2C6;&#x2019;3= â&#x2C6;&#x2019;1pasa por ese punto, đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą =que Luego hallamos la ecuaciĂłn de la recta tangente pasa por ese enelelpunto: punto: lapendiente pendiente serĂĄ: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; =2(1) 2(1) 3= =punto, â&#x2C6;&#x2019;1 YYen đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ==11calculamos: la serĂĄ: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) = 1 â&#x2C6;&#x2019; 3(1) = â&#x2C6;&#x2019;2; luego pero antes đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą= đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą YLuego en el antes punto: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ calculamos: =xla1=1 lalapendiente đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; 3 ==â&#x2C6;&#x2019;1 Y en el punto: pendiente serĂĄ: hallamos ecuaciĂłn deđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) laserĂĄ: recta pasa por; eseluego punto, đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą ==2(1) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =tangente đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) 12que â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 3(1) â&#x2C6;&#x2019;2 pero

reemplazamos en la de formula siguiente: 2 Luego hallamos la ecuaciĂłn la recta tangente que por punto, đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =lala đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śrecta = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) =1 â&#x2C6;&#x2019; pasa 3(1) â&#x2C6;&#x2019;2ese ; por luego pero anteshallamos reemplazamos en lacalculamos: formula siguiente: Luego hallamos ecuaciĂłn de tangente que= pasa esepunto, punto, Luego lalaecuaciĂłn de tangente que pasa ese đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś recta = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) = 12 pasa â&#x2C6;&#x2019; 3(1) = â&#x2C6;&#x2019;2 ; por luego pero antes calculamos: Luego hallamos en la ecuaciĂłn de la recta=tangente que ese punto, reemplazamos la formula siguiente: 2por 2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) = 1 â&#x2C6;&#x2019; 3(1) = â&#x2C6;&#x2019;2 ; luego pero antes calculamos: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) = 1 â&#x2C6;&#x2019; 3(1) = â&#x2C6;&#x2019;2 ; luego pero antes calculamos: ) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Luego hallamos la ecuaciĂłn de la recta tangente que pasa por ese punto, pero 2 0 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 0 reemplazamos en la formula siguiente: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) luego pero antes calculamos: (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) = 1 â&#x2C6;&#x2019; 3(1) = â&#x2C6;&#x2019;2; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąsiguiente: 0) reemplazamos en formula siguiente: en lala formula 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 antesreemplazamos calculamos: f(x) = y = f(1) = 1 3(1) = -2; luego reemplazamos en la fĂłrmula reemplazamos en la formula siguiente: ) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;= đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; 0 )== 02 (â&#x2C6;&#x2019;2) 0) đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 0) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ )= đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 0 ) â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2) = â&#x2C6;&#x2019;1(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0â&#x2C6;&#x2019; 1)đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś +â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2)la=ecuaciĂłn â&#x2C6;&#x2019;1(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;de 1) la â&#x;šrecta đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + tangente 2 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 Finalmente đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2)de=laâ&#x2C6;&#x2019;1(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;tangente 1) â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 2 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +es: 1 Finalmente la ecuaciĂłn recta (â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x2C6;&#x2019;1(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;1)1)es: â&#x;šđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś++22==â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++11 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;2) ==â&#x2C6;&#x2019;1(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x;š (â&#x2C6;&#x2019;2) = de â&#x2C6;&#x2019;1(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) tangente â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 2 es: = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 Finalmente đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś laâ&#x2C6;&#x2019;ecuaciĂłn la recta đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śes: +1=0 Finalmente la ecuaciĂłn de la recta tangente đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľde + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śla+ 1 = tangente 0tangentees: FinalmentelalaecuaciĂłn ecuaciĂłn dela recta es: Finalmente recta Finalmente la ecuaciĂłn de la recta đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +tangente đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 1 = es: 0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 1 = 0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś++11==00 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 1 = 0 siguiente:

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ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

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BibliografĂ­a

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Entonces para hallar la pendiente en cualquier punto de esa curva serĂĄ:

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Actividades

Glosario

AutoevaluaciĂłn

Modalidad Virtual

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3

en el punto: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 la pendiente serĂĄ: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = 2(1) â&#x2C6;&#x2019; 3 = â&#x2C6;&#x2019;1 UNIDADYII:enLAYelDERIVADA punto: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 la pendiente serĂĄ: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = 2(1) â&#x2C6;&#x2019; 3 = â&#x2C6;&#x2019;1

Luego hallamos la ecuaciĂłn de la recta tangente que pasa por ese punto, Luego hallamos la ecuaciĂłn de la recta tangente que pasa por ese punto, đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) = 12 â&#x2C6;&#x2019; 3(1) = â&#x2C6;&#x2019;2; luego pero antes calculamos: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(1) = 12 â&#x2C6;&#x2019; 3(1) = â&#x2C6;&#x2019;2; luego pero antes calculamos: reemplazamos en la formula siguiente: reemplazamos en la formula siguiente:

BibliografĂ­a

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ )â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) = 0đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2) = â&#x2C6;&#x2019;1(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 2 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2) = â&#x2C6;&#x2019;1(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 2 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1

Anotaciones

Finalmente la ecuaciĂłn de la recta tangente es:

Finalmente la ecuaciĂłn la recta tangente Finalmente la ecuaciĂłn de de la recta tangente es:es: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 1 = 0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 1 = 0

La representaciĂłn grĂĄfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente: La representaciĂłn grĂĄfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente: La representaciĂłn grĂĄfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente: La representaciĂłn grĂĄfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente:

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La representaciĂłn grĂĄfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente:

2 Figura 13.- Recta tangente a 13.f(x) =Recta x2 - 3x, en punto Figura tangente a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(1,= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2) â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ,

(1, â&#x2C6;&#x2019;2) enFigura punto 13.Recta tangente a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ, (1, â&#x2C6;&#x2019;2) en punto Figura 13.- Recta tangente a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ,

b. Determinar la ecuaciĂłn de la recta tangente a la parĂĄbola con ecuaciĂłn y = x2, y â&#x2C6;&#x2019;2) b) Determinar ecuaciĂłn de ecuaciĂłn la recta tangente a la(1,parĂĄbola con ecuaciĂłnđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = que es paralela la a la recta con y =en 4xpunto es paralela a lala recta con ecuaciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 , y que b) Determinar ecuaciĂłn de la recta tangente a la parĂĄbola con ecuaciĂłnđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = Figura 13.- Recta tangente a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ, a de la recta contangente ecuaciĂłna đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś la = parĂĄbola 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 , y que eslaparalela b) Determinar ecuaciĂłn la recta con ecuaciĂłnđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (1, â&#x2C6;&#x2019;2) SoluciĂłnen punto SoluciĂłn: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 , y que es paralela a la recta con ecuaciĂłnđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Recuerde que si dosSoluciĂłn rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales. Recuerde que si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son b) Determinar la ecuaciĂłn de la recta tangente a la parĂĄbola con ecuaciĂłnđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = SoluciĂłn iguales. 2 Recuerde que si 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ , y que es paralela a la recta con ecuaciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = iguales. Note que en este caso no nos indican el punto deson tangencia en entonces la en curva. quenos si indican dos rectas paralelas sus pendientes son Note que en Recuerde este caso no el punto de tangencia la curva. SoluciĂłn

iguales. Note que en este caso no nos indican el punto de tangencia en la curva. Como la recta tangente es paralela a la recta de ecuaciĂłnđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ , entonces Como recta tangente es paralela acaso la recta de pendientes ecuaciĂłn =son 4x, entonces su en penRecuerde que si la dos rectas son entonces Noteparalelas que en este nosus nos indican elypunto de tangencia la curva. 4. tangente es paralela a la recta de ecuaciĂłnđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ , entonces su pendiente Como la = recta iguales. diente serĂĄ: m = 4. serĂĄ: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; =es 4. paralela a la recta de ecuaciĂłnđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ , entonces su pendiente Como la recta serĂĄ: tangente Calculemos: Calculemos: Note que en este caso no nos indican el punto de tangencia đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = 4. en la curva. su pendiente serĂĄ: Calculemos: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 0) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ , entonces Como la recta tangente es paralela a đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; la recta de ecuaciĂłn Calculemos: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 0 + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) su pendiente serĂĄ: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = 4.

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim

+ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Reemplazando adecuadamente, la Reemplazandohallamos adecuadamente, hallamos la pendiente: 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2hallamos đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) 0 0 Reemplazando adecuadamente, la pendiente: = lim đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim 2 2 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; =â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľlim (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) 2 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2hallamos + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +la(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Reemplazando adecuadamente, pendiente: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim 2 2 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 = 2lim (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;+đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 ) 2 2 (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = limnos Operando queda: lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą =â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Operando nos queda: 2 2 = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ nos queda: (â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽOperando + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąnos Operando queda: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ por tanto x = 2 Como mtg = 2 x se tiene que 4 = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;2đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąx =y 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Operando nos queda: Como mtg = 2 x se tiene que 4 = 2 x y por tanto x = 2 2 x4se = 2 x y porestanto x=2 tiene que Como ym . El punto de4tangencia P (2,4). Si x = 2 entonces =tg2=2 = Como đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ se tiene que 4 = 2x y por tanto x=2 La ecuaciĂłn de tangentey es: = 2 entonces Si lax recta = 2 2 = 4 . El punto de tangencia esP (2,4). La2 xecuaciĂłn de la yrecta es: de tangencia esP (2,4). entonces 2 2 tangente = 4 . Elespunto = 2=tangencia que y4==Si y 2.por tanto x de Como m = 47 Si2xx=se2 tiene entonces 22 x= =4 El punto P (2,4). Calculemos:

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0

Reemplazando adecuadamente, hallamos la pendiente: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 pendiente:

tg

La ecuaciĂłn dees: la recta tangente es: La ecuaciĂłn de la recta tangente 2 Si x = 2 entonces y = 2 = 4 . El punto de tangencia esP (2,4).

La ecuaciĂłn de la recta tangente es:

47

47 47


Desarrollo UNIDAD II: LA DERIVADA de contenidos

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 ) = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 )

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; (4) = 4(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2) â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 4 = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 8

Finalmente la ecuaciĂłn de la recta tangente es:

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

Finalmente la ecuaciĂłn de la recta tangente es: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4 y = 4x - 4 La representaciĂłn grĂĄfica de )la=curva y de đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľla0 )recta tangente es el siguiente: 0 La representaciĂłn grĂĄfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; (4) = 4(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2) â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 4 = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 8 Finalmente la ecuaciĂłn de la recta tangente es:

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 4

La representaciĂłn grĂĄfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente:

1.2

Figura 14.- Recta tangente a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 , paralela a đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIĂ&#x201C;N FĂ?SICA.

En el caso de la funciĂłn de posiciĂłn de un cuerpo fĂ­sico con respecto al

Figura 14.- Recta tangente a f(x) = x2, paralela a y = 4x tiempo,laderivada corresponde a la nociĂłn de velocidad instantĂĄnea, que asĂ­ 1

resulta definida como el lĂ­mite de las velocidades promedio tomadas en intervalos 2 de tiempo cuyaduraciĂłn tiende a cero. Las caracterĂ­sticas de la derivada hacen de leyes dinĂĄmicas en las ciencias naturales.

14.- Recta tangente a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ , LAestĂĄ DERIVADA Y SU Figura INTERPRETACIĂ&#x201C;N FĂ?SICA. el conceptoadecuado paraparalela la formulaciĂłn de las a đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

En el caso de la funciĂłn de posiciĂłn de un cuerpo fĂ­sico con respecto al tiempo,la

1.2derivada LA DERIVADA SU FĂ?SICA. corresponde a laINTERPRETACIĂ&#x201C;N nociĂłn de partĂ­cula velocidaden instantĂĄnea, asĂ­ resulta đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą . definida Determinemos la Y velocidad de una un instanteque de tiempo 0

como el lĂ­mite de las velocidades promedio tomadas en intervalos de tiempo cuya En el caso de la funciĂłn de posiciĂłn de un cuerpo fĂ­sico con respecto al Suponga que se tengan ecuaciĂłn del espacio erecorrido por de un estĂĄ mĂłvil, yque sea duraciĂłn tiende a cero. LaslacaracterĂ­sticas de ladederivada hacen el concepto tiempo,laderivada corresponde a la nociĂłn velocidad instantĂĄnea, que asĂ­ =las đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;). Suponga ahora queciencias se quieredeterminar funciĂłn del es adecuado paratiempo; lacomo formulaciĂłn de leyes dinĂĄmicas en las naturales. resulta definida el decir lĂ­miteđ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2020; de las velocidades promedio tomadas en intervalosla [đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; , đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;],deestaestarĂ­a intervalo de Las tiempo dada por:de velocidad media đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D; en un de tiempo cuyaduraciĂłn tiende a cero. caracterĂ­sticas la derivada hacen estĂĄ el conceptoadecuado para la formulaciĂłn de las leyes dinĂĄmicas en las

Determinemos la velocidad de unaâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;partĂ­cula đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 +enâ&#x201E;&#x17D;)un â&#x2C6;&#x2019; instante đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 ) de tiempo t0. ciencias naturales. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 + â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 Determinemos la velocidad de una partĂ­cula en un instante de tiempo đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 . Suponga que se tengan la ecuaciĂłn del espacio e recorrido por un mĂłvil, y que sea La velocidad instantĂĄnea vserĂ­a la velocidad media calculada en intervalos funciĂłn tiempo; es decir e = f(t).del Suponga que se determinar Supongadel que se tengan la ecuaciĂłn espacio ahora e recorrido porquiere un mĂłvil, yque seala detiempoâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; cada vez mĂĄs pequeĂąo; es decir: intervalo de tiempo[t t0+h], que esta se estarĂ­a dada por: velocidad media vm en đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2020; = đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;). Suponga0,ahora quieredeterminar la funciĂłn del tiempo; esun decir velocidad media đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D; en un intervalo de tiempo[đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; , đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;], estaestarĂ­a dada por: đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; =

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 + â&#x201E;&#x17D;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 ) = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0 + â&#x201E;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą0

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOfORMATIVO

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La velocidad instantĂĄnea vserĂ­a la velocidad media calculada en intervalos detiempoâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; cada vez mĂĄs pequeĂąo; es decir:

La velocidad instantĂĄnea v serĂ­a la velocidad media calculada en intervalos de tiempo â&#x2C6;&#x2020;t cada vez mĂĄs pequeĂąo; es decir: 48

BibliografĂ­a

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Actividades

AutoevaluaciĂłn

Glosario

BibliografĂ­a

Anotaciones

Modalidad Virtual

UNIDAD II: LA DERIVADA

Note que esta definiciĂłn para la velocidad instantĂĄnea tiene la misma forma que la â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;por + đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) de la pendiente la recta=tangente, tanto el problema serĂ­a el mismo. đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2014; = đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2014; = de đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D;

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030; De aquĂ­ se darĂĄ laâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; defiâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; niciĂłnđ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; de la derivada.

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2020; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; + đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ) = đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022; đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2030;đ?&#x2019;&#x2030;

đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2014; = đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2014;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x17D; = đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2022;đ?&#x2019;&#x2022;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

EJEMPLOS Note que esta definiciĂłn para la velocidad instantĂĄnea tiene la misma formaque la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema serĂ­a el mismo.

1.DeLa altura sdefiniciĂłn sobre el suelo, de la una pelota que se deja caer parte superior Note que esta para la instantĂĄnea tiene ladesde mismalaformaque la aquĂ­ se darĂĄ la definiciĂłn develocidad derivada. 2 , en el donde s se mide en St. Louisde Gateway estĂĄ dada por: sel=problema -4.9t2 + 19serĂ­a de lade pendiente la rectaArch tangente, por tanto mismo. metros y t en segundos. Encontrar la velocidad instantĂĄnea de la pelota cuando De aquĂ­ darĂĄ la definiciĂłn de la derivada. EJEMPLOS t1=3 se segundos. 1. La altura ssobre el suelo, de una pelota que se deja caer desde la parte EJEMPLOS superior de St. Louis Gateway Arch estĂĄ dada por:đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = â&#x2C6;&#x2019;4.9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2 + 192, en donde sse mide en metros y ten segundos. Encontrar la velocidadinstantĂĄnea de la 1. La altura ssobre el suelo, de una pelota que se deja caer desde la parte pelota cuando đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 = 3 segundos. superior de St. Louis Gateway Arch estĂĄ dada por:đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = â&#x2C6;&#x2019;4.9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2 + 192, en donde sse mide en metros y ten segundos. Encontrar la velocidadinstantĂĄnea de la pelota cuando đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 = 3 segundos.

SoluciĂłn:

SoluciĂłn

Al utilizar la definiciĂłn, se sabe que la velocidad instantĂĄnea es: Al utilizar la definiciĂłn, se sabe que la velocidad instantĂĄnea es: SoluciĂłn

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 )

lim 1) = Al utilizar la definiciĂłn, se đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą sabe que la velocidad â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą instantĂĄnea es: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąproblema: 1 + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) Ahora al considerar la informaciĂłn del đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = lim

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą Ahora al considerar la informaciĂłnâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 del problema: 2

â&#x2C6;&#x2019;4.9(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) + 192 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;4.9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 + 192)

đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 )la=informaciĂłn lim Ahora al considerar del problema: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2

1

â&#x2C6;&#x2019;4.9(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) + 192 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;4.9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 + 192) đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 + 192 + 4.9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2 â&#x2C6;&#x2019; 192 â&#x2C6;&#x2019;4.9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 â&#x2C6;&#x2019; 9.8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2019; 4.9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1 1 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2019;4.9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 â&#x2C6;&#x2019; 9.8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2019; 4.9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 + 192 + 4.9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 â&#x2C6;&#x2019; 192 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2019;9.8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2019; 4.9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 (â&#x2C6;&#x2019;9.8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2019; 4.9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = lim = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1

đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = lim

2 â&#x2C6;&#x2019;9.8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąlim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 (â&#x2C6;&#x2019;9.8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2019; 4.9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) 1 â&#x2C6;&#x2019; 4.9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;9.8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą11 â&#x2C6;&#x2019;=4.9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = lim đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 lim 1 = â&#x2C6;&#x2019;9.8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1

đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = lim â&#x2C6;&#x2019;9.8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2019; 4.9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 = â&#x2C6;&#x2019;9.8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0

Por lo tanto la velocidad instantĂĄnea a los 3 segundos es:

49 49

v(3) = -9.8(3) = -29.4 m/s ObsĂŠrvese que el signo negativo del resultado, indica que la pelota se mueve hacia abajo, que es la direcciĂłn contraria a la positiva. 2. Un globo aerostĂĄtico sube verticalmente. A las t horas su distancia s de la tierra, medida en kilĂłmetros estĂĄ dada por la fĂłrmulas (t) = 9t - 3t2 . a) ÂżCuĂĄl serĂĄ la velocidad instantĂĄnea del globo en la primera hora? b) ÂżCuĂĄl serĂĄ la velocidad instantĂĄnea del globo en la segunda hora?


muevehacia abajo, que es la direcciĂłn contraria a la positiva. ObsĂŠrvese ObsĂŠrveseque queel el elsigno signonegativo negativodeldel delresultado, resultado,indica indicaque quela la lapelota pelotase se se ObsĂŠrvese que signo negativo resultado, indica que pelota muevehacia abajo, que es es la la direcciĂłn contraria a la positiva. muevehacia abajo, que direcciĂłn contraria a la la positiva. muevehacia abajo, que es la direcciĂłn contraria a positiva. su distancia s dela Desarrollo 2. Un globo aerostĂĄtico sube verticalmente. A las t horas UNIDAD II: la DERIVADA de contenidos 2 tierra, medida en kilĂłmetros estĂĄ dada por la fĂłrmula đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą . t horas susu distancia s dela 2. 2.UnUn globo aerostĂĄtico sube verticalmente. A A laslas horas distancia s dela globo aerostĂĄtico sube verticalmente. su distancia s dela 2. Una)globo sube verticalmente. las ttenhoras ÂżCuĂĄlaerostĂĄtico serĂĄ la velocidad instantĂĄnea delA globo la primera hora? 2 tierra, medida enen kilĂłmetros estĂĄ dada por la la fĂłrmula đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą tierra, medida kilĂłmetros estĂĄ dada por fĂłrmula đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą.22 .. b) ÂżCuĂĄl serĂĄen lakilĂłmetros velocidad instantĂĄnea della globo en đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) la segundahora? tierra, medida estĂĄ dada por fĂłrmula = â&#x2C6;&#x2019; a) a) ÂżCuĂĄl serĂĄ la la velocidad instantĂĄnea deldel globo enen la la primera hora? ÂżCuĂĄl serĂĄ velocidad instantĂĄnea globo primera hora? ÂżCuĂĄl serĂĄ velocidad instantĂĄnea globo primera hora? b) a) ÂżCuĂĄl serĂĄ la la velocidad instantĂĄnea deldel globo enen la la segundahora? Lecturas b) ÂżCuĂĄl serĂĄ la velocidad instantĂĄnea del globo en la segundahora? SoluciĂłn b) ÂżCuĂĄl serĂĄ la velocidad instantĂĄnea del globo en la segundahora? seleccionadas

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

SoluciĂłn:

SoluciĂłn SoluciĂłn

Sabemos la velocidad instantĂĄnea estĂĄ representada por: SoluciĂłn Sabemos queque la velocidad instantĂĄnea estĂĄ representada por:

Sabemos que la la velocidad instantĂĄnea estĂĄ representada por: Sabemos que velocidad instantĂĄnea estĂĄ representada por: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;ĄestĂĄ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) Sabemos que la velocidad instantĂĄnea representada por: 1 + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)

đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1 + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 1) ) + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1+ 1) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą limlim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1 1 1) = ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 = 1 ) đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą

Luego: Luego

Luego: Luego: Luego:

Recordatorio

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16đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 13đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)11 22 )) â&#x2C6;&#x2019; (9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1+ 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1â&#x2C6;&#x2019; )â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą limlim (9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1 1 1 1) = ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 = 1 ) đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 + 9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 + 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = lim 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2 â&#x2C6;&#x2019;22 9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 + 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 2 22 9đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą19đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą+ 9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 13đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą11â&#x2C6;&#x2019;22 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 16đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 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16đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą11 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą limlim 9â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 1) = ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 = lim lim = 1) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 = đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 ) = lim (9 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 9 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0

(9 (9 =9 đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą limlim â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1) = ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) =â&#x2C6;&#x2019;9 9 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 16đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą11 = â&#x2C6;&#x2019; 16đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;11 3â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 1) â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x2030;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą = lim (9 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2020;&#x2019;0

Por lo tanto la velocidad instantĂĄnea en la primera hora es:

Por instantĂĄnea en en la la primera primerahora horaes: es: Por lo lo tanto tanto la la velocidad velocidad instantĂĄnea

Por lo lo tanto tanto la la velocidad velocidad instantĂĄnea instantĂĄnea en la = primera hora es: es: đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(1) = 9 â&#x2C6;&#x2019; en 6(1) 3 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;/â&#x201E;&#x17D;hora Por la primera

đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(1) = 9 â&#x2C6;&#x2019; 6(1) = 3 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;/â&#x201E;&#x17D;

đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(1) = 9â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 6(1) 6(1) =3 3es: đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;/â&#x201E;&#x17D; y la velocidad instantĂĄnea en la = segunda hora đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(1) 9 = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;/â&#x201E;&#x17D;

y la velocidad instantĂĄnea enen la la segunda hora es:es: y la la velocidad instantĂĄnea segunda hora y velocidad instantĂĄnea en la segunda hora es:

y la velocidad instantĂĄnea enđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(2) la segunda hora es:đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;/â&#x201E;&#x17D; = 9 â&#x2C6;&#x2019; 6(2) = â&#x2C6;&#x2019;3

đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(2) =9 = â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;/â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(2) =â&#x2C6;&#x2019;9 9 6(2) â&#x2C6;&#x2019; 6(2) 6(2) = â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;/â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(2) = â&#x2C6;&#x2019; = đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x2DC;/â&#x201E;&#x17D;

Observemos que el resultado fue negativo y esto indica que el globo Observemos elde resultado negativo y esto indica que el globo al cumplir alcumplir2 que horas vuelo yafue va hacia abajo. Observemos que el elresultado fuefuenegativo Observemos que resultado negativoy y yesto estoindica indicaque queel el elglobo globo Observemos que el resultado fue negativo esto indica que globo horas de vuelo ya va hacia abajo. alcumplir2 horas de vuelo ya va hacia abajo. alcumplir2 horas horas de de vuelo vuelo ya ya va va hacia hacia abajo. abajo. alcumplir2

2

2 DEFINICIĂ&#x201C;N DE DERIVADA 1.3

DEFINICION DE DERIVADA

LaLaderivada funciĂłn sese denota por f´(x) o opor đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) denota por đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) por derivadadedelala funciĂłnf(x) en el dominio de la funciĂłn se define por: x en el dominio de la funciĂłn se define por:

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;´(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) = đ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľđ??Ľ

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2020;&#x2019;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

50 5050 50

paracualquier cualquiernĂşmero nĂşmero para x

đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

lĂ­miteexiste. existe. SiSielellĂ­mite Observemos que la velocidad instantĂĄnea y la pendiente de la recta tangente auna

curva en unque punto, es lo mismo que la yderivada de la de funciĂłn evaluada endicho Observemos la velocidad instantĂĄnea la pendiente la recta tangente a una punto. curva en un punto, es lo mismo que la derivada de la funciĂłn evaluada en dicho punto. DerivaciĂłn de funciones utilizando la definiciĂłn

DerivaciĂłn de funciones utilizando la definiciĂłn

a) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1

a) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivada f(x) = 2x + 1 SoluciĂłn

Al utilizar la definiciĂłn sabemos que la derivada de la funciĂłn es: SoluciĂłn:

Al utilizar la definiciĂłn sabemos que la derivada de la es: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

2(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 1 â&#x2C6;&#x2019; (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

â&#x2C6;´

2â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = lim 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2

Anotaciones

BibliografĂ­a

41


42

Actividades

Glosario

AutoevaluaciĂłn

BibliografĂ­a

Modalidad Virtual

curva en un punto, es lo mismo que la derivada de la funciĂłn evaluada endicho punto. DerivaciĂłn de funciones utilizando la definiciĂłn DerivaciĂłn de funciones utilizando la definiciĂłn

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 a)II:Empleando la definiciĂłn, hallar la UNIDAD la DERIVADA DerivaciĂłn de funciones utilizando la derivada definiciĂłn a) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1

SoluciĂłn a) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 SoluciĂłn

Al utilizar la definiciĂłn sabemos que la derivada de la funciĂłn es: SoluciĂłn Al utilizar la definiciĂłn sabemos que la derivada de la funciĂłn es:

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + de â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)laâ&#x2C6;&#x2019;funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) es: Al utilizar la definiciĂłn sabemos que la derivada

Anotaciones

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim 2(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 1 â&#x2C6;&#x2019; (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 2(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 1 â&#x2C6;&#x2019; (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = lim 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 2(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 1 â&#x2C6;&#x2019; (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim = lim 2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 2â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim = lim 2 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2 â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2 â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2 Empleando definiciĂłn,hallar hallarlaladerivada derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 b) b) Empleando la la definiciĂłn,

b) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7

SoluciĂłn: b) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 SoluciĂłn:

SoluciĂłn:

Como en el ejercicio anterior utilizamos la definiciĂłn de la derivada y realizando SoluciĂłn:

Como enen el ejercicio anterior laladefiniciĂłn Como el ejercicio anteriorutilizamos utilizamos definiciĂłn de de la la derivada derivada yyrealizando realizando las las operaciones respectivas, tenemos: las operaciones respectivas, tenemos: operaciones tenemos: Como en elrespectivas, ejercicio anterior utilizamos la definiciĂłn de la derivada y realizando las operaciones respectivas, ďż˝8(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + tenemos: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 ďż˝8(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim = lim â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 ďż˝8(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Racionalizando tenemos: Racionalizando tenemos:

Racionalizando Racionalizandotenemos: tenemos:

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 + â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 . â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 + â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 + â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7ďż˝ 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 7

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

+ 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 + â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7ďż˝

+ 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 + â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7ďż˝ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;´

2

2

ďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7ďż˝ â&#x2C6;&#x2019; ďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7ďż˝

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim

51 51

8

= lim

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 ďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

8

+ 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 + â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7ďż˝

ďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 + â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7ďż˝ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =

4

â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7

= đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ;x;para =0 c) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivada f(x) = sen parađ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ x=0

c) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) SoluciĂłn

Utilizando la definiciĂłn de la derivada y realizando las operaciones respectivas, tenemos:

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim

â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

Agrupando convenientemente:

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim ďż˝ +ďż˝ ďż˝ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; . lim ďż˝ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝ + lim ďż˝ ďż˝ . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; . (0) + (1). đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;´

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?

51


â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 + â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7ďż˝ ďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 + â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7ďż˝ 8 8 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)== đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;787++ â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;7ďż˝7ďż˝ ďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = Desarrollo UNIDAD II: la DERIVADA de contenidos ďż˝â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 + â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4 â&#x2C6;&#x2019; 7ďż˝ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)== 4 â&#x2C6;´â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;77 â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x161;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7 Lecturas seleccionadas

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

c) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ; para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 c) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ; para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0

SoluciĂłn:

c) Empleando SoluciĂłnla definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ; para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 SoluciĂłn la definiciĂłn de la derivada y realizando las operaciones Utilizando

respectivas, teSoluciĂłn nemos: Utilizando la definiciĂłn de la derivada y realizando las operaciones respectivas, Recordatorio Utilizando la definiciĂłn de la derivada y realizando las operaciones respectivas, tenemos: tenemos:la definiciĂłn de la derivada y realizando las operaciones respectivas, Utilizando tenemos:

đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)==lim limđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ==lim limđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0convenientemente: â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Agrupando Agrupando convenientemente:

Agrupando convenientemente: Agrupando convenientemente:â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)==lim limďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (1 ďż˝ ďż˝ ďż˝ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + ďż˝ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim ďż˝ +ďż˝ ďż˝ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ďż˝ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝ ďż˝ . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)==â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; . â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; .lim lim ďż˝1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝ďż˝++lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0ďż˝ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0ďż˝ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝ . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; . lim ďż˝ ďż˝ + lim ďż˝ ďż˝ . đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (0)++(1). (1).đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)==â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; . â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; .(0) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

(0) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; . + (1). đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;´â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? Finalmente: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) = cos(0) =1 Finalmente: Finalmente: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) = cos(0) = 1 Finalmente:

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) = cos(0) = 1

d) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivada f(x) = log x ; para x=1 d) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ; para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 d) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ; para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 d) Empleando la definiciĂłn, hallar la derivadađ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ; para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 1 SoluciĂłn:

52 52 52 teUtilizando la definiciĂłn de la derivada y realizando las operaciones respectivas, SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłnla definiciĂłn de la derivada y realizando las operaciones respectivas, nemos: Utilizando SoluciĂłn

tenemos: SoluciĂłn Utilizando la definiciĂłn la derivada y realizando las operaciones respectivas, Utilizando la definiciĂłn de la de derivada y realizando las operaciones respectivas, SoluciĂłn SoluciĂłn Utilizando la definiciĂłn de la derivada y realizando las operaciones respectivas, tenemos: tenemos: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ tenemos: Utilizando la definiciĂłn de la derivada y realizando las operaciones respectivas, log Utilizando la definiciĂłn de ladederivada y (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ realizando respectivas, đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;las đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;operaciones đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ operaciones Utilizando la definiciĂłn la derivada y+realizando las â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľrespectivas, tenemos: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim = lim tenemos: tenemos: log log đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ log â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = lim đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 lim =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 log â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; +đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľlog log (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; + â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =1 lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1 = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim 1= â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ďż˝đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; ďż˝1 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = ďż˝đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; lim ďż˝1 ďż˝đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; ďż˝1 1+ ďż˝ ďż˝ = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim + ďż˝ ďż˝ = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) 1đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim ďż˝đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; ďż˝1 + ďż˝ ďż˝ = đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 1 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 ďż˝đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = lim ďż˝đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; + ďż˝1 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim ďż˝đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; ďż˝1 ďż˝ +ďż˝=ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim ďż˝đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122; ďż˝log=ďż˝đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) â&#x2C6;´ +ďż˝1đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 1đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; log đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = log â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ log đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Finalmente: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(1) = log(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) = 0.4343 1 1= 1 log â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = log đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = log đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Finalmente: = log(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) = 0.4343 Finalmente: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(1)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(1) = log(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) = 0.4343 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Finalmente: Finalmente: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(1) = log(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) = 0.4343

f ( x) Finalmente: == log(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) = 0.4343 Finalmente: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(1) =đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(1) log(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) 0.4343 Finalmente: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(1) = log(đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2019;) = 0.4343 e) Es sabido quela funciĂłn f(0)=0 y que existe el lĂ­mite de la expresiĂłn para xf ( x)

f ( x) ( x) para e)sabido Essabido sabido quela funciĂłn f(0)=0 que existe existe el lĂ­mite lĂ­mite de la expresiĂłn expresiĂłn fpara e) Es quela funciĂłn f(0)=0 y =que existe el lĂ­mite de lade expresiĂłn para e) que la funciĂłn f(0) 0 yyyes que el la e)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽEs Es sabido quela funciĂłn f(0)=0 que existe el lĂ­mite de la expresiĂłn â&#x2020;&#x2019;0 . Demostrar que este lĂ­mite igual a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) . x f ( x)xx para f ( x ) f ( x ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; 0 . Demostrar que este lĂ­mite es igual a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) . e) Es0sabido quela funciĂłn f(0)=0 y que existe elade de la expresiĂłn parapara para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; .â&#x2020;&#x2019; Demostrar que este es igual a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) .lĂ­mite e) Es f(0)=0 ylĂ­mite que existe el lĂ­mite ladeexpresiĂłn e) sabido Es sabido quela funciĂłn f(0)=0 y lĂ­mite que existe el lĂ­mite Demostrar que este lĂ­mite es igual f´(0). đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľquela 0 ..funciĂłn Demostrar que este es igual a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) . la expresiĂłn x DemostraciĂłn x x 0. Demostrar que este lĂ­mite esa igual a DemostraciĂłn đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽDemostraciĂłn 0â&#x2020;&#x2019; . đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽDemostrar que que este lĂ­mite es igual đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) . đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) 0â&#x2020;&#x2019; . Demostrar este lĂ­mite es igual a đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) . . DemostraciĂłn â&#x2C6;&#x2020;y f ( x + â&#x2C6;&#x2020;x) â&#x2C6;&#x2019; f ( x) DemostraciĂłn: En efecto, si đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2020;&#x2019; = DemostraciĂłn y f ( x + â&#x2C6;&#x2020;x) â&#x2C6;&#x2019; f ( x) DemostraciĂłn â&#x2C6;&#x2020;xâ&#x2C6;&#x2020; â&#x2C6;&#x2020; y DemostraciĂłn â&#x2C6;&#x2020;fy( x= +f â&#x2C6;&#x2020;( x)+â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2020;â&#x2C6;&#x2020;xfx()xâ&#x2C6;&#x2019;) f ( x) En efecto, siđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; En efecto, si đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = = En efecto, si đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) x â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;xx =f ( x â&#x2C6;&#x2020; x x)â&#x2C6;&#x2020; â&#x2C6;&#x2020;y â&#x2C6;&#x2020;â&#x2020;&#x2019;yf (â&#x2C6;&#x2020;xyâ&#x2C6;&#x2020;+ )xâ&#x2C6;&#x2020; ( x+xf)+â&#x2C6;&#x2020;(â&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2020; f=(â&#x2C6;&#x2020;xx+)f â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020; f )â&#x2C6;&#x2019;(xâ&#x2C6;&#x2019; xf) (f x()x) En efecto, si đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) En efecto, si y = f(x) En efecto, si đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2020;&#x2019; = SegĂşn la definiciĂłn: En efecto, si đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2020;&#x2019;f ´(x)â&#x2C6;&#x2020; ==x lim 0xx+fâ&#x2C6;&#x2020; ( x â&#x2C6;&#x2020;+xâ&#x2C6;&#x2020;x) â&#x2C6;&#x2019; f ( x) â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2C6;&#x2020;xfâ&#x2020;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2020; fâ&#x2C6;&#x2020;(xx)+â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2020;â&#x2C6;&#x2020;xfx()xâ&#x2C6;&#x2019;) f ( x) SegĂşn la definiciĂłn:f ´(x) f=´(lim x) = lim SegĂşn la definiciĂłn: SegĂşn la definiciĂłn: x â&#x2020;&#x2019;0 f ´(â&#x2C6;&#x2020;xx â&#x2020;&#x2019;) 0= â&#x2C6;&#x2020;lim â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2C6;&#x2020;â&#x2C6;&#x2019;xx f ( x) â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2020;&#x2019; 0 + f=( xlim f (â&#x2C6;&#x2020;xfx+)( xâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;+xf)â&#x2C6;&#x2020;(â&#x2C6;&#x2019;xx))â&#x2C6;&#x2020; f ( x) SegĂşn la definiciĂłn: f x ´( ) SegĂşn la definiciĂłn: SegĂşn la definiciĂłn: = f x ´( ) lim SegĂşn la definiciĂłn: f ´(xâ&#x2C6;&#x2020;)x â&#x2020;&#x2019;=0 limâ&#x2C6;&#x2020;x â&#x2020;&#x2019;0 Para â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2020;&#x2019; 0 â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2C6;&#x2020;x đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Para Para â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) = lim = lim Para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 +â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Para = lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Para đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) = lim = lim ParaPara đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) = lim = lim â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľlim + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) = = lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) = lim = lim đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) = lim = lim ya que đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0)=0. Como đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) enâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 el lĂ­mite podemos intercambiar â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ por x, en â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ consecuencia: ya đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) que đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) =0. Como đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = en đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) en el lĂ­mite podemos intercambiar â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľx,por en ya que =0. Como đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) el lĂ­mite podemos intercambiar â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ por enx, ya que đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0)=0. Como đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) en el lĂ­mite podemos intercambiar â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ por x, en consecuencia: consecuencia: consecuencia: ya que đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) =0. = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) enlĂ­mite elpodemos lĂ­mite podemos intercambiar â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľen por x, en ya que đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) =0. Como đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚComo = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) en elenlĂ­mite intercambiar â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľpor x, ya que đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) =0. Como đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) el podemos intercambiar â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľpor x, en đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) consecuencia: consecuencia: consecuencia: lim = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;. đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;. đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;.đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;.đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; lim lim =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) lim = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;. đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;. đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

Anotaciones

BibliografĂ­a

43


) â&#x2C6;&#x2019;f (f x()x) f (f x( x+ +â&#x2C6;&#x2020;â&#x2C6;&#x2020; x)xâ&#x2C6;&#x2019; f ´( ) =lim lim f ´( x)x= 0 0 â&#x2C6;&#x2020;xâ&#x2C6;&#x2020; â&#x2020;&#x2019;x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020; x â&#x2C6;&#x2020;x

SegĂşnlaladefiniciĂłn: definiciĂłn: SegĂşn

44

Actividades

AutoevaluaciĂłn

Modalidad Virtual

UNIDAD II: la DERIVADA Para Para

Glosario

Anotaciones

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ==0 0

BibliografĂ­a

â&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0)==lim lim ==lim đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

queđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) =0. Como =đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ellĂ­mite lĂ­mite podemosintercambiar intercambiarâ&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2020;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ por ya que f´(0) = 0.=0. Como y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś= đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś=f(x) enenen elellĂ­mite podemos intercambiar por x,enen yayaque Como podemos por x,x,en consecuencia: consecuencia: consecuencia:

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) lim lim ==đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(0) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;. đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2122;.đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;.đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;.đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;.đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x17E;.đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

TEMA N° 2: REGLAS DE DERIVACIĂ&#x201C;N â&#x20AC;&#x201C; I PARTE Como habrĂĄs notado, para calcular la derivada de una funciĂłn y = f(x) mediante la definiciĂłn, generalmente es necesario llevar a cabo un laborioso procedimiento algebraico. 5353 Para evitar tal complejidad, se opta por el uso o la aplicaciĂłn de resultados o reglas bĂĄsicas generales que nos permiten el cĂĄlculo de la derivada de diversas funciones de uso frecuente. 1 REGLAS BĂ SICAS DE DERIVACIĂ&#x201C;N Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las fĂłrmulas siguientes:

A.

k

d k dx

0 ; â&#x2C6;&#x20AC;k â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;&#x153;

EJEMPLOS a) Si f(x) = 7, entonces f´(x) = 0 b) Si f(x) = -523, entonces f´(x) = 0 c) Si f(x), 2Ď&#x20AC; entonces f´(x) = 0

B.

C.

EJEMPLOS a) Si f(x) = 7x5, entonces f´(x) = (5)7x5-1 = 35x4 b) Si f(x) = -2x125, entonces f´(x) = (125) - 2x125-1 = -250x124 c) Si f(x) = x-8, entonces f´(x) = (-8) x-8-1 = -8x-9 -

D.

8 x-9


Desarrollo UNIDAD II: la DERIVADA de contenidos

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

EJEMPLOS a) Si f(x) = 17x5 + 2x2, entonces f´(x) = (5)17x5-1 + (2)2x2-1 = 85x4 + 4x b) Si f(x) = 4x-3 + 2x2 + 5x + 6, entonces:

E.

E. E. E. E. E.

f´(x) = (-3)4x-3-1 + (2)2x2-1 + 5x1-1 + 0 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (â&#x2C6;&#x2019;3)4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;1 + (2)2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x2019;1 + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 + 0

2â&#x2C6;&#x2019;1 -4 (â&#x2C6;&#x2019;3)4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)= = + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 + 0 + 4xâ&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;1 + 5+ (2)2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Respuesta f´(x) -12x

â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +(2)2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 Respuesta 2â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;1 (â&#x2C6;&#x2019;3)4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)= =â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 + 0 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ + 5 Respuesta â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;1 2â&#x2C6;&#x2019;1 + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 (â&#x2C6;&#x2019;3)4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + (2)2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = (â&#x2C6;&#x2019;3)4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;1 + (2)2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 + + 00 â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;4 + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 5 d â&#x2C6;&#x2019;4 + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + + 55

Respuesta Respuesta Respuesta

f ´[g ( x) â&#x2C6;&#x2019; h( x)] = d [g ( x) â&#x2C6;&#x2019; h( x)] = g´(x) â&#x2C6;&#x2019; h´(x) (resta) f ´[g ( x) â&#x2C6;&#x2019; h( x)] = dx [g ( x) â&#x2C6;&#x2019; h( x)] = g´(x) â&#x2C6;&#x2019; h´(x) (resta) dxd â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;1 2â&#x2C6;&#x2019;1 1â&#x2C6;&#x2019;1 (2)2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +g +0 f ´[g ( x) â&#x2C6;&#x2019; h( x)]đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = dd =[g(â&#x2C6;&#x2019;3)4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ( x ) â&#x2C6;&#x2019; h( x )] = ´(x) â&#x2C6;&#x2019; h´(+x5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) (resta) EJEMPLOS [ ] [ ] f ´ g ( x ) â&#x2C6;&#x2019; h ( x ) = g ( x ) â&#x2C6;&#x2019; h ( x ) = g ´( x ) â&#x2C6;&#x2019; h ´( x ) f ´ g ( x ) â&#x2C6;&#x2019; h ( x ) = g ( x ) â&#x2C6;&#x2019; h ( x ) = g ´( x ) â&#x2C6;&#x2019; h ´( x ) dx (resta) (resta) Ejemplos: dx dx= â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4 + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 5 Respuesta Ejemplos: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) a) Si a) Si đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 , entonces: Ejemplos: a) Si đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 , entonces: Ejemplos: Ejemplos: 4â&#x2C6;&#x2019;1 d 2â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (4)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (2)6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ entonces: a) Si f ´ g==( x(4)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) â&#x2C6;&#x2019; 44h4 (â&#x2C6;&#x2019;x4â&#x2C6;&#x2019;1 )6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ=222â&#x2C6;&#x2019;, (2)6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ g ( 2â&#x2C6;&#x2019;1 x ) â&#x2C6;&#x2019; h( x ) E. đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) entonces: a) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ,,dx entonces: a) Si đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Si

[

[

]

] = g´(x) â&#x2C6;&#x2019; h´(x) (resta)

3 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; (2)6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Respuesta 2â&#x2C6;&#x2019;1 3 â&#x2C6;&#x2019; 4â&#x2C6;&#x2019;1 (4)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)= =48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Respuesta đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Respuesta 4â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; (2)6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (4)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (4)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4â&#x2C6;&#x2019;1 (2)6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =

â&#x2C6;&#x2019;

6 2 Ejemplos: b) Si đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ==100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ55 + 25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1008, entonces: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)= 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ336 â&#x2C6;&#x2019; Respuesta b) Si đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1008, entonces: 3 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Respuesta đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 Respuesta đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)6= 6â&#x2C6;&#x2019;1 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;5â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 , 2entonces: a) Si 5â&#x2C6;&#x2019;1 2â&#x2C6;&#x2019;1 (6)100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (5)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = + (2)25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 0 b) Si đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = (6)100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;6â&#x2C6;&#x2019;1 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; (5)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ25â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 10082â&#x2C6;&#x2019;1 , entonces: b) Si + (2)25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 0 b) 25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1008 , entonces: b) Si Si đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = 100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ66 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ55 + +4â&#x2C6;&#x2019;1 25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1008 , entonces: 2â&#x2C6;&#x2019;1

2.2 2.2

(4)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)5 = 4 60đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; 50đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;(2)6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 6 Respuesta đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 600đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5â&#x2C6;&#x2019;1 5 â&#x2C6;&#x2019; 6â&#x2C6;&#x2019;1 4 + (6)100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (5)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (2)25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 0 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)= =600đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 60đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 50đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;5â&#x2C6;&#x2019;1 6 + Respuesta đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 6â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; + 5â&#x2C6;&#x2019;1 2â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 (5)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + (6)100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ6â&#x2C6;&#x2019;1 (5)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (2)25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = (6)100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; + (2)25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 00 3 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)5= 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Respuesta đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 600đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ5 â&#x2C6;&#x2019; 60đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4 + 50đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6 Respuesta DERIVADAS DE = PRODUCTOS COCIENTES 50đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Respuesta đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 600đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 60đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 60đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 46Y+ +COCIENTES 50đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 66 Respuesta Respuesta đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 600đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 â&#x2C6;&#x2019; DERIVADAS DESi PRODUCTOS b) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽY â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 + 25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1008, entonces:

Para la derivaciĂłn de productos de funciones, usamos la siguiente fĂłrmula: la derivaciĂłnDE de PRODUCTOS productos de funciones, usamos la siguiente fĂłrmula: 2.2 ParaDERIVADAS Y COCIENTES 6â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (6)100đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (5)12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5â&#x2C6;&#x2019;1 + (2)25đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 0 2.2 DERIVADAS Y 2.2 DERIVADAS DE DE PRODUCTOS PRODUCTOS Y COCIENTES COCIENTES Para2la derivaciĂłn de productos de funciones,Yusamos la siguiente fĂłrmula: DERIVADAS DE PRODUCTOS COCIENTES đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;de 5funciones, 4 Para de usamos siguiente fĂłrmula: Para la la derivaciĂłn derivaciĂłn de productos productos funciones, usamos laRespuesta siguiente fĂłrmula: â&#x2C6;&#x2019; 60đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 50đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6 la đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;de [đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´[đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = 600đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´[đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; [đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Para la derivaciĂłn de productos de funciones, usamos la siguiente fĂłrmula: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; [đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´[đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2.2 DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´[đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). [đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´[đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; [đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Ejemplos đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Ejemplos đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Para la derivaciĂłn de productos de funciones, usamos la siguiente fĂłrmula: Para la derivaciĂłn de cociente de funciones, usamos la siguiente fĂłrmula: Para la derivaciĂłn de cociente de funciones, usamos la siguiente fĂłrmula: Ejemplos Ejemplos Ejemplos đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Para la derivaciĂłn deđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cocienteđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;deđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) funciones, usamos â&#x2C6;&#x2019; lađ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) siguiente fĂłrmula: â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) [đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´[đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Para cociente funciones, la siguiente fĂłrmula: Para la la derivaciĂłn derivaciĂłn de cociente deďż˝đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) funciones, usamos lađ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) siguiente fĂłrmula: â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´de ďż˝đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ďż˝ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;de ďż˝ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = usamos

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ ďż˝ â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; ďż˝ â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ = (â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ))2 (â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ))2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) EJEMPLOS â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ďż˝ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; ďż˝đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ďż˝ = â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Ejemplosđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ ďż˝đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ))2 â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ ďż˝ ďż˝ = ďż˝ ďż˝ = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ ďż˝ ďż˝ = ďż˝ ďż˝ = Para la derivaciĂłn de cociente de funciones, usamos la siguiente fĂłrmula: (â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)) â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ))22 â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

Ejemplos Para la derivaciĂłn de cociente de funciones, usamos la siguiente fĂłrmula: Ejemplos a) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 3) Ejemplos a) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 3) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x201E;&#x17D;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Ejemplos Ejemplos đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ ďż˝ 3 ďż˝ = ďż˝ ďż˝= SoluciĂłn: 2 (â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ))2 + 3) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) a) SoluciĂłn: Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x201E;&#x17D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) a) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22 â&#x2C6;&#x2019; = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ33 + + 3) 3) a) Derivar: Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = Se trata de derivar un producto de de funciones, usando la formula Se trata de derivar un producto de de funciones, usando la formula SoluciĂłn: derivaciĂłn tenemos: SoluciĂłn: SoluciĂłn:tenemos: derivaciĂłn Se Ejemplos trata de derivar un producto de de funciones, usando la formula EJEMPLOS Se trata derivar Se trata de de derivar un un producto producto de de de de funciones, funciones, usando usando la la formula formula derivaciĂłn tenemos: tenemos: derivaciĂłn tenemos: derivaciĂłn a) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 3) a) Derivar: Derivar:

de de de de de

55 55

SoluciĂłn: SoluciĂłn:

55 55 55 Se trata de derivar un producto de de funciones, usando la formula de derivaciĂłn Se trata de derivar un producto de de funciones, usando la formula de derivaciĂłn tenemos:

55

BibliografĂ­a

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Actividades

AutoevaluaciĂłn

Glosario

BibliografĂ­a

Modalidad Virtual

UNIDAD II: la DERIVADA

tenemos: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)´(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 3) + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 3)´

Anotaciones

2

3

2

3

3 3 = 2(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 1)´(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)´(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) + 2(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ=â&#x2C6;&#x2019;(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)(6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 32 )+ 3)´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 1)´(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 3) + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3

2

2

3 2 ) = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) + 2(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1)(6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)(6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 ) 2) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ42 â&#x2C6;&#x2019; = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 43++6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 3)++6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)(6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 3 2 3 4 3) + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019;41)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 + 2 2 + 3)´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´1)´(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ34 + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 4 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽRespuesta 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)´(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)´ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 3) + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 ) 4 4 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Respuesta đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Respuesta đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽRespuesta Respuesta 3 + 3) + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 ) 3 = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 b) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ +đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ=2 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 3 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)4 4 2 b)Derivar: Derivar:đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x161; =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.â&#x2C6;&#x161;(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Derivar: b)b) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´â&#x2C6;&#x2019;2=1) (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ b)=SoluciĂłn Derivar: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.Respuesta + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1) + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś2 = +â&#x2C6;&#x161; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

SoluciĂłn 4

SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽRespuesta Se trata de + derivar un producto de de funciones, usando la formula de SoluciĂłn SoluciĂłn: 2

derivaciĂłn tenemos: (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 +un Se trata un2producto dededefunciones, funciones,usando usando formuladede b) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =de đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.derivar 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;producto 1) â&#x2C6;&#x161;derivar trata la laformula SeSetrata de de derivar un producto de de funciones, usando lausando formula derivaciĂłn Se trata de derivar un producto de de funciones, la de formula de derivaciĂłn tenemos: derivaciĂłn tenemos: 3 2 3 1/2 2 3 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ b) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x161; derivaciĂłn tenemos: tenemos: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ �´(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) + ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)´ SoluciĂłn 3 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 1) + ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 1/2 ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1/2 �´(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1/2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 1)´ �´(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 1) + ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 + SoluciĂłn 1 �´(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľde â&#x2C6;&#x2019; 1) + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)´ ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + â&#x2C6;&#x2019; Se trata de derivar funciones, usando 2 2 ďż˝ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =un ďż˝ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľproducto 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2de â&#x2C6;&#x2019; 1) + ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)la formula de derivaciĂłn tenemos: 1 2 1 1 â&#x2C6;&#x2019;1 2 de funciones,2 usando Se trata de derivar 1 3 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 ďż˝ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 ďż˝producto â&#x2C6;&#x2019; 1) + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) la formula de â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+22 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = ďż˝= ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľun + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2deâ&#x2C6;&#x2019; 1) + ďż˝+ ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 1/2 =2ďż˝ 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;23ďż˝ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 32+ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1) +â&#x2C6;&#x161;ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ derivaciĂłn tenemos: 3 2 + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Operando obtenemos:

2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ �´(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) + ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)´ Operando obtenemos: 1/2 3 Operando obtenemos: 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 1) + ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1 �´(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Operando obtenemos: 1 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 2 2 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ++ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´â&#x2C6;&#x2019;= ďż˝â&#x2C6;&#x161;ďż˝đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 ďż˝ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = ďż˝ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ 3 3+ 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x161; 14đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 Operando obtenemos:2 1đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2 1 + ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 + 24đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2 +2 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +â&#x2C6;&#x2019;ďż˝1) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ďż˝ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) +â&#x2C6;&#x161;ďż˝â&#x2C6;&#x161; = 2â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Operando obtenemos:2 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ23â&#x2C6;&#x161;+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 + 24đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3 2 3 2 2 â&#x2C6;&#x2019;21 3 3 + 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Operando obtenemos: 34đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 24đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x161;+ +322đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1â&#x2C6;&#x2019;2 1â&#x2C6;&#x2019;+1 24đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 24đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 32 + 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = =+4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ ďż˝ â&#x2C6;&#x161; = 3 2 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x161;1đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2+ â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 2â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 328đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3 2 32â&#x2C6;&#x161; 2 + 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 3 28đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 28đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; 3 2 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1+ + đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 24đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ28đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´== đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026; 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 +â&#x2C6;&#x161;2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 x + 10 â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 + 24đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 c) Derivar: y = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 9 42xx +â&#x2C6;&#x2019;10 3 2 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Derivar:y =y 4=x4+x10 + 10 28đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 c) c)Derivar: đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = c) Derivar: y = â&#x2C6;&#x2019;9 2 x22â&#x2C6;&#x2019;xx9â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 SoluciĂłn 28đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 32+ 9 đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = SoluciĂłn 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ SoluciĂłn

Se trata de un cociente de de Respuesta funciones, usando la formula de 4 x derivar + 10 SoluciĂłn c) Derivar: y = tenemos: derivaciĂłn tratadede2 cocientededededefunciones, funciones,usando usandola laformula formuladede â&#x2C6;&#x2019;+910 ununcociente 4xxderivar SeSetrata derivar Se trata y de derivar un cociente de de funciones, usando la formula de c) Derivar: =tenemos: derivaciĂłn derivaciĂłn tenemos: (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10)´ â&#x2C6;&#x2019; + 10)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)´ 2 x â&#x2C6;&#x2019; 9 derivaciĂłn tenemos: SoluciĂłn

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9)+2 10)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10)´ + 10)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)´ (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10)´ â&#x2C6;&#x2019; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)´

SoluciĂłn 10)´de â&#x2C6;&#x2019; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľusando â&#x2C6;&#x2019; 9)´ la formula de đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +de 2 Se trata de derivar funciones, â&#x2C6;&#x2019; 29) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = un cociente (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;9) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9)2+ 10)(2) derivaciĂłn tenemos: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =cociente de de funciones, Se trata de derivar un usando la formula de 2 (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9) â&#x2C6;&#x2019; 9)(4) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10)(2) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4) â&#x2C6;&#x2019; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10)(2) derivaciĂłn tenemos: â&#x2C6;&#x2019; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10)(2) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4) (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;&#x2019; 2 +210)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´â&#x2C6;&#x2019;=9)(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10)´(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9) 29) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;9) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 10)´ â&#x2C6;&#x2019; 9)´ 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 36 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2019; 10)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 20 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9) 2 (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9)(4) â&#x2C6;&#x2019;36 + â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9) 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 20 â&#x2C6;&#x2019; 36 â&#x2C6;&#x2019;(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 10)(2) 20 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ â&#x2C6;&#x2019; 36 â&#x2C6;&#x2019;28đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2â&#x2C6;&#x2019; 20 = = 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9) 2 (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)+ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =â&#x2C6;&#x2019; 9)(4) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9) 10)(2) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 Finalmente operandođ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´obtenemos: (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9) = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)2 Finalmente operando obtenemos: Finalmente operando obtenemos: Finalmente operando obtenemos: 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 36 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 20 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 2 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 36â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;9)8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 20 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)2 Finalmente operando obtenemos: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =

Finalmente operando obtenemos:

56 56 5656 56 56


Operando obtenemos: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =

+ ďż˝â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 3 2 3 2 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ ďż˝+â&#x2C6;&#x161;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 12+ +24đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =

4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 31 + 24đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ23 + 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 28đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

28đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 10đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´4=x + 10 c) c) Derivar: Derivar: y = 2â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2x â&#x2C6;&#x2019; 9

4 x + 10 2x â&#x2C6;&#x2019; 9

Desarrollo UNIDAD II: la DERIVADA de contenidos

đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;

SoluciĂłn SoluciĂłn: c) Derivar: y=

Se trata de derivar un cociente de de funciones, usando la formula de SoluciĂłn derivaciĂłn tenemos: Se trata de derivar un cociente de funciones, usando la fĂłrmula de derivaciĂłn te-

nemos:

Se trata de derivar un cociente de de+ 10)´ funciones, (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +usando 10)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;la9)´formula de đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = derivaciĂłn tenemos: (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)2

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =

(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10)´ + 10)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 10)(2) 9)´ (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9)(4) â&#x2C6;&#x2019; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)2 2 (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =

(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)(4) â&#x2C6;&#x2019; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 10)(2) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9)2â&#x2C6;&#x2019; 36 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 20 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)2

8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 36 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 20 Finalmente operando đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = obtenemos:

Finalmente operando obtenemos:

(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)2

56

Finalmente operando obtenemos: â&#x2C6;&#x2019;56 â&#x2C6;&#x2019;56 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;56 9)2 â&#x2C6;&#x2019; 9)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)2 â&#x2C6;&#x2019;56 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;56 (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 9)â&#x2C6;&#x2019;2 9)2 2 2 x 2â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2C6;&#x2019; 3

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; respuesta đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;

y = x3y =â&#x2C6;&#x2019; 3 d) Derivar: d) Derivar: d) d)Derivar: Derivar: y =x 3â&#x2C6;&#x2019; xx 3 â&#x2C6;&#x2019; x xx 2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;x32 y = y 3= x â&#x2C6;&#x2019; 3 d)SoluciĂłn Derivar: d) Derivar: SoluciĂłn x â&#x2C6;&#x2019;x x3 â&#x2C6;&#x2019; x SoluciĂłn SoluciĂłn:

56

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;

Se trata de derivar un cociente de dede funciones, por tanto debemos la Se derivar trata deun derivar un cociente de por funciones, por tanto debemos usar la Se trata de cociente de funciones, tanto debemos usar lausar formula SoluciĂłn Se trata dederivaciĂłn, derivar un que cociente de funciones, porpuede tanto debemos usar SoluciĂłn formula de en resumida se presentar de lala formula de derivaciĂłn, queforma endeforma resumida se puede presentar de la de derivaciĂłn, que en forma resumida se puede presentar de la siguiente manera: formula de derivaciĂłn, siguiente manera: siguiente manera: que en forma resumida se puede presentar de la Se trata de derivar un cociente de de por por tanto debemos usarusar la la siguiente manera: Se trata de derivar un cociente de funciones, de funciones, tanto debemos formula de de derivaciĂłn, que en en resumida se puede presentar de de la la formula derivaciĂłn, forma presentar đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; que đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;. đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´resumida â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;.đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;.đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;.seđ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´ puede đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;forma siguiente manera: â&#x;š â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;.= đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;. đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; = siguiente manera: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

(đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;) (đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;) 2 (đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;. đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;.â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;. đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´ đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;. đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 2 Operando en la funciĂłn:(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;) 23 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;3)´â&#x;š 2 â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 3 (đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;) 3)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3)´ â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;

đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D; â&#x;š

Operando en la funciĂłn: Operando en la funciĂłn:đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; Operando en la funciĂłn: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x;š

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =

2 3 Operando en la đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´funciĂłn: = funciĂłn: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3=â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ3)´ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ Operando en la 3 â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 32 â&#x2C6;&#x2019; 3)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2

â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 3 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 33 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3)´ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 23)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 23)´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3)(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;1) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 3)(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 2 3 2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3)(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)32â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 23)(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 21)â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2019; 3)(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ234 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 2 22 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 42 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ42 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 4 4 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 33đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +329đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 +2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)24 2 2 2 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 42đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 23đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;4 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ 9đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ObteniĂŠndose: ObteniĂŠndose: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =

ObteniĂŠndose:

â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 +â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ42+ â&#x2C6;&#x2019;8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 2â&#x2C6;&#x2019;3

2 ObteniĂŠndose: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ=43+ 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 ObteniĂŠndose: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)32 â&#x2C6;&#x2019; ObteniĂŠndose: â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2

(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 + 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 23

+ 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 2

x +1 z = xz2 2=+ x1+ +x12 2â&#x2C6;&#x2019; e) Derivar: + 1x(12 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; x1)(1 â&#x2C6;&#x2019; x ) e) Derivar: e) Derivar: z = x 2â&#x2C6;&#x2019; 1x 2 +â&#x2C6;&#x2019; 1x â&#x2C6;&#x2019; 1 (1 â&#x2C6;&#x2019; x ) xx 2 â&#x2C6;&#x2019;+112 x ++1 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 12 (1 â&#x2C6;&#x2019; x ) z = Derivar: e) e)Derivar: z + x â&#x2C6;&#x2019; 1 (1 â&#x2C6;&#x2019; x ) e) Derivar: SoluciĂłn SoluciĂłn x=2 â&#x2C6;&#x2019; 12 x â&#x2C6;&#x2019;1 SoluciĂłn

(

( ) ) ( () ) ( () ) ( ) ( ( ) ) ( )

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;

Respuesta

Se trata de derivar un producto y cociente de dede funciones, por tanto debe debe Se trata de derivar un producto y cociente de funciones, por tanto SoluciĂłn: SoluciĂłn Se trata de derivar un producto y cociente de de funciones, por tanto debe SoluciĂłn usar la formula de derivaciĂłn respectiva: usar la formula de derivaciĂłn respectiva:

usarde la derivar formulaun de producto derivaciĂłny respectiva: Se trata cociente de de funciones, por tanto debe usar la Se(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľtrata de cociente de de por por tanto debe 2 trata 2 producto 2 2derivar 2 â&#x2C6;&#x2019; un 2 2 â&#x2C6;&#x2019;y1)´ Se de derivar un producto de funciones, de funciones, tanto debe â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)´ + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)´ 2â&#x2C6;&#x2019; + 21)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 yâ&#x2C6;&#x2019; cociente 1)´ formula de derivaciĂłn respectiva: 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)´2 2 2 usar la formula de derivaciĂłn respectiva: đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ = + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(1

đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ =â&#x2C6;&#x2019; la + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1)´ â&#x2C6;&#x2019;1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ respectiva: â&#x2C6;&#x2019; 1)´ usar formula de derivaciĂłn 2â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 22 â&#x2C6;&#x2019; 1)2 + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)´ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 21)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 21)´ â&#x2C6;&#x2019; + 21)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 21)´ 1)´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;+ 1)´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 21)(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 21)´ đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ =đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)´ 2â&#x2C6;&#x2019;2 2 2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1) 2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1)â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 2 2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)(â&#x2C6;&#x2019;1) + (1 â&#x2C6;&#x2019;+đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ = đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + â&#x2C6;&#x2019; 1)(â&#x2C6;&#x2019;1) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =â&#x2C6;&#x2019; 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 + 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1)2 + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(â&#x2C6;&#x2019;1) + (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ = 2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) 2 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 21)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 21)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 1)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 21)(â&#x2C6;&#x2019;1) + (1+â&#x2C6;&#x2019;(1đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ =đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1)(â&#x2C6;&#x2019;1) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2â&#x2C6;&#x2019;2 2 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ = đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´2(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; +3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2++12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++ 1) = 1đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026; â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1) 1)2 â&#x2C6;&#x2019; 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ = â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1 đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2026;

đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ =

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

BibliografĂ­a

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(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2

x +1 + (x â&#x2C6;&#x2019; 1)(1 â&#x2C6;&#x2019; x ) ( x xâ&#x2C6;&#x2019; 1+) 1 UNIDAD II: la DERIVADA + (x â&#x2C6;&#x2019; 1)(1 â&#x2C6;&#x2019; x ) e) Derivar: z = (x â&#x2C6;&#x2019; 1) SoluciĂłn

e) Derivar: Actividades

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2

2

SeSoluciĂłn trata de derivar un producto y cociente de de funciones, por tanto debe usar la formula de derivaciĂłn respectiva: Se trata de derivar un producto y cociente de de funciones, por tanto debe 2 2 usar la 1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ formula deâ&#x2C6;&#x2019;derivaciĂłn (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 1)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľrespectiva: (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; + 1)´ â&#x2C6;&#x2019; 1)´

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đ?&#x2018;§đ?&#x2018;§Â´ =

Respuesta

57 57

LECTURA SELECCIONADAS N° 1 ORIGEN DEL CĂ LCULO DIFERENCIAL Tomado de: RODRĂ?GUEZ SĂ NCHEZ, Oscar. â&#x20AC;&#x153;Apuntes de Historia de las MatemĂĄticasâ&#x20AC;?, No. 1, Vol. 2, ENER0 2003. Universidad Sonora, MĂŠxico. PĂĄgs. 22 - 25. [â&#x20AC;Ś]El cĂĄlculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vaciĂł ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse,teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeĂąo. En 1666, el cientĂ­fico inglĂŠs ISAAC NEWTON fue el primero en desarrollar mĂŠtodos matemĂĄticos para resolver problemas de esta Ă­ndole. Casi al mismo tiempo el filĂłsofo y matemĂĄtico alemĂĄn GOTTFRIED LEIBNIZ realizĂł investigaciones similares e ideando sĂ­mbolos matemĂĄticos que se aplican hasta nuestros dĂ­as. De igual forma, otros matemĂĄticos destacan por haber hecho trabajos importantes relacionados con el cĂĄlculo diferencial, entre ellos sobresale PIERRE FERMAT, matemĂĄtico francĂŠs, quien en su obra habla de los mĂŠtodos diseĂąados para determinar los mĂĄximos y mĂ­nimos acercĂĄndose asĂ­ al descubrimiento del CĂĄlculo diferencial. FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella ĂŠpoca era comĂşn entre los matemĂĄticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el mĂŠtodo propio de soluciĂłn, con el fin de reservarse el ĂŠxito para sĂ­ mismo y para su naciĂłn; ya que habĂ­a una gran rivalidad entre los Franceses, Alemanes y los Ingleses. RazĂłn por la que las demostraciones de FERMAT se hayan perdido. NICOLAS ORESME, obispo de la comunidad de Lisieux, Francia, estableciĂł queen la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera mĂĄxima o mĂ­nima, dicha ordenada varĂ­a mĂĄs pausadamente. JOHANNES KEPLER tiempo despuĂŠs, coincide con lo establecido por ORESME,conceptos que permitieron a FERMAT en su estudio de mĂĄximos y mĂ­nimos, lastangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la funciĂłn, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la funciĂłn tiene su mĂĄximo o sumĂ­nimo, es decir, la funciĂłn es paralela al eje â&#x20AC;&#x153;xâ&#x20AC;? donde la pendiente de la tangente es nula. ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio del â&#x20AC;&#x153;triangulo caracterĂ­sticoâ&#x20AC;?, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y la sordenadas de los extremos del arco. NEWTON concibiĂł el mĂŠtodo de las â&#x20AC;&#x153;fluxionesâ&#x20AC;?, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina â&#x20AC;&#x153;momentoâ&#x20AC;? de la cantidad fluente al arco mucho muy corto recorrido en un tiempo excesivamente pequeĂąo, llamando la razĂłn del momento al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad. Por lo tanto, â&#x20AC;&#x153;fluenteâ&#x20AC;? es la cantidad variable que se identifica como â&#x20AC;&#x153;funciĂłnâ&#x20AC;?;â&#x20AC;&#x153;fluxiĂłnâ&#x20AC;?


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es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como la “derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama“momento” que se identifica como la “diferencial”.

El principio establece que: “los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas”. Recordatorio La concepción de LEIBNIZ se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el triángulo característico de BARROW, observando que el triángulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos “dx,dy/dx”, la palabra “derivada” y el nombre de“ecuaciones diferenciales” se deben a LEIBNIZ. AGUSTIN LÓUIS CAUCHY matemático francés, impulsor del cálculo diferencial e integral autor de la teoría de las funciones de las variables complejas, basándose para ello en el método de los límites; las definiciones de“función de función” y la de “función compuesta”, Gottfried Leibniz (1646-1716)también se deben a CAUCHY. JACOBO BERNOULLI introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial y la simbología “f(x)” se debe a LEONARD EULER; ambos matemáticos suizos. JOHN SIMON LHUILIER; el símbolo tiende a " → " lo implantó J.GLEATHEM. Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se deben a NEWTON y a LEIBNIZ; sin embargo, por más de 150 años el cálculo diferencial continúo basándose en el concepto de lo infinitesimal. En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años,consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo; la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc. A NEWTON y a LEIBNIZ se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo diferencial,que se denomina: “Problema de las Tangentes” en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente,acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual. Introducir el cálculo integral, se logró con el estudio de J. Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. Éste es el desarrollo que las matemáticas han obtenido desde que el hombre viola necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales. EJERCICIOS: I.

Conteste las siguientes preguntas: 1. Mencione el significado de la palabra cálculo. 2. ¿Qué bases dieron origen al cálculo diferencial?

Anotaciones

Bibliografía

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UNIDAD II: la DERIVADA

3. Nombre de los fundadores del cálculo diferencial. 4. Describa la aportación de GOTTFRIED LEIBNIZ al cálculo diferencial. Anotaciones

5. Escriba los conceptos que estableció NICOLAS ORESME en el estudio de los máximos y mínimos. 6. Escriba el estudio de ISAAC BARROW sobre el triángulo característico. 7. Explique los razonamientos de ISAAC NEWTON sobre el método de las fluxiones.

ACTIVIDAD N° 1: Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

TEMA N° 3: REGLAS DE DERIVACIÓN – II PARTE 1 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Para ciertas funciones trigonométricas definidas de manera simple se pueden emplear lasfórmulas siguientes:

Y finalmente las fórmulas de derivadas para las funciones trigonométricas compuestas serían:

EJEMPLOS Obtenga la derivada de las funciones siguientes: a) y = sen (3x) Solución: Como u = 3x ⇒

u´ = 3

entonces:


đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) = (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘). đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) = (â&#x2C6;&#x2019;csc đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ cot đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘). đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

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Obtenga la derivada de las funciones siguientes: Obtenga la derivada de las funciones siguientes:

a) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) a)

SoluciĂłn y´ SoluciĂłn= cos (3x).3 Como đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x;š Como đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x;š

y´= 3.cos (3x)

đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = 3 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = 3

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entonces: entonces:

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đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 3

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3. cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3. cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

3 b) =yđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = tan(4x 3 + 2x) b) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) b) đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 +

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đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;

SoluciĂłn

SoluciĂłn SoluciĂłn:

Como đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x;š Como Como đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x;š

c) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) c) y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś= = (tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) c) cscđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (tanx) c) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) c) SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) c) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚSoluciĂłn = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2

sec22 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ33 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = sec

entonces: entonces: entonces: + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2) + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2)

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2). sec 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; respuesta đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2). sec 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2).2 sec 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 32+ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). sec (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2). sec 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;

63 63

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2). sec 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; SoluciĂłn 2 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) SoluciĂłn: SoluciĂłn = (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´2 = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 2sec đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ entonces:đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; Como c) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´â&#x;š SoluciĂłn đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = 2đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľentonces: entonces: Como đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x;š 2 3 Como đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = = (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ 2). entonces: Como đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 2 sec (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  entonces: Como c) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚSoluciĂłn = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (tanđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)= tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;csc(tan . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ entonces: Como đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x;š 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = + 2). đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)sec . 2đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2. cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 . đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ c) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;csc(tan 3 2 2 2 3 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = + 2). sec + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019;csc(tan . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 2(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). sec3 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; SoluciĂłn 2 2). 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ == + sec đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (tan â&#x;š đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) entonces: Comoc) =đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ â&#x2C6;&#x2019;csc(tan . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)+. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . SoluciĂłn 2 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . respuesta đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; == â&#x2C6;&#x2019; c) c) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś (tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x;š 2đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . cot(tan entonces: =(tan đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan . đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; c)Como đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ SoluciĂłn 2 . csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 5=+â&#x2C6;&#x2019;2) d) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9).â&#x;š sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = tan entonces: đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 5 đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´â&#x2C6;&#x2019;= d) Como đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚSoluciĂłn =SoluciĂłn đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ9). sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) 5 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ d) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś SoluciĂłn = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽComo + 9). sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2) đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = tan â&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ entonces: 5 d) SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9).đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 22) 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  . csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; ==5â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2. cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) d) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚSoluciĂłn = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). + 2)=đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  d) đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ =đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ entonces: Como =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľtan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x;šâ&#x;šđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ =2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  entonces: Como SoluciĂłn đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = tan â&#x;š =2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  entonces: Como = â&#x2C6;&#x2019;csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ SoluciĂłn đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľde . csc(tan . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)y. lasđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; =5 â&#x2C6;&#x2019; Al utilizar la đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´derivada un đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) producto fĂłrmulas de las derivadas d) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). +đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2) de SoluciĂłn 2las AltrigonomĂŠtricas, utilizar la sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ derivada un producto y2. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)siguiente: .đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ fĂłrmulas de las derivadas a2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ lo đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´de = â&#x2C6;&#x2019;csc(tan . cot(tan Al utilizar la derivada un producto fĂłrmulas de las derivadas đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´5llegamos == â&#x2C6;&#x2019;csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). cot(tan .yđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; las đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  . csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ â&#x2C6;&#x2019; SoluciĂłn: trigonomĂŠtricas, llegamos adelo siguiente: Al utilizar la derivada un producto y las fĂłrmulas de las derivadas d) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚtrigonomĂŠtricas, =Al đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) de 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . csc(tanyđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) siguiente: SoluciĂłn utilizar la llegamos derivadaa lo un producto las fĂłrmulas de2 las derivadas đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019; 5 5 4 5 [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ trigonomĂŠtricas, llegamos a+lo2).siguiente: (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). 3] đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ] +de + 2)[sec = tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9)5un Al utilizar lađ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´derivada de producto y las fĂłrmulas las derivadas trigonomĂŠtri5 4] 5 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ d) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚtrigonomĂŠtricas, = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +5â&#x2C6;&#x2019; 2)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  llegamos a5 + lo siguiente: 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). 3] 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + .2). 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2)[sec đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9) 2csc(tan . đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 5 4 5 2 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019; SoluciĂłn cas, ala lo siguiente: ] [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). 3] + 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2)[sec đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 5 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . csc(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cot(tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; = â&#x2C6;&#x2019; Al llegamos utilizar derivada de un producto y las fĂłrmulas de las derivadas 5 4 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 5+ 5 5 + 2). 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 ] + sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). 3] d) == + 9).[đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + + 9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9) + 9) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; . tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2).2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) + 3. +52) sec2)[sec đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 + 4 ]sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). 3] trigonomĂŠtricas, llegamos a 5lo [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +siguiente: 2).đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ5 5++2) 2).+5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +sec 2)[sec đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =4 . tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9) SoluciĂłn 5 + 9) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). 3. sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 5+ 2) 5 d) d) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ==đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9). sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ utilizar la+ + derivada un2) producto y sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ las 5fĂłrmulas las đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; derivadas 5 de =4 .đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9). sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9) tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2)5 + 3. + 2)5sec 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľde+ d)Alđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 9). sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) 5 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; . tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) 4+ 3. sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) sec đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =SoluciĂłn 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 5 5 2 trigonomĂŠtricas, llegamos a lo siguiente: 4 5 5 5 2 ]+ [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ de (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽfĂłrmulas + 9).đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 3] ++2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++2). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 9) + 9) . tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2)5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +y 3. sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ 2)2)[sec sec (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ == 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľtan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Al đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´utilizar la + derivada un producto las de las derivadas SoluciĂłn sen(3x) SoluciĂłn SoluciĂłn trigonomĂŠtricas, llegamos a lo siguiente: Al utilizar la derivada de un producto y las fĂłrmulas de las derivadas y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´=sen e) 5 5 4 5 2 ( 3 x ) [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 + 5 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). 3] + sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ3.]sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +sec 2)[sec = tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++9)9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3cos( x4trigonomĂŠtricas, + 9) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; .)tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľa5 lo + 2). 2) + + 2) = (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ysen = e) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 53xx)la llegamos siguiente: derivada de un unproducto y4 ylaslasfĂłrmulas de laslasderivadas e) y =Al Alutilizar sen ( ) 5 5 5 2 utilizar la derivada de producto fĂłrmulas de cos( 5 x ) ] 5+ sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3] derivadas 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). y 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ las + 2)[sec + 9) [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Al cos( utilizar la producto fĂłrmulas de (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ las+ 9). derivadas ()= 3xtan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) +derivada y 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =sen e) 5 de a+un 5 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 54đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´.xtan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ llegamos lo siguiente: +59) respuesta đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) + 3. sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) sec đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´trigonomĂŠtricas, y==trigonomĂŠtricas, llegamos a lo siguiente: e) trigonomĂŠtricas, 5 5 4 2 cos( 5 x ) llegamos a lo siguiente: + 9) [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ] + sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2)[sec (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). 3] SoluciĂłn cos( ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =+tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +2 9) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 +5 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 +5 2) + 3. sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ sen= (35đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľx54).xtan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ SoluciĂłn 4 ] 4 + 2)5 sec 2 + 9). 3] [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +]sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +52). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +52). 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +552)[sec + 9) y = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´= =tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ e) SoluciĂłn [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 5 4 ] 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 5 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9). 3] + + + 2)[sec đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9) 4 52). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 52). 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9).+ 3]derivadas + 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2)[sec + 9) 9) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; . tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) + 3. sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ SoluciĂłn Al utilizar la derivada de un cociente y las fĂłrmulas sec de +(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ las cos( 5 x ) sen ( 3 x ) SoluciĂłn Al utilizar la derivada de un cociente y las fĂłrmulas de las derivadas 4 5 5 5 2 y = utilizar trigonomĂŠtricas, locociente siguiente: e) Al 4derivada 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 9) . tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +llegamos 9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +a52). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +52) 3.+sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +52) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = la de y+ de derivadas 5 un 5 5 2 (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 9)đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; + 9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2)las 3.fĂłrmulas sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +sec 2) sec đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +las 9) +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; + derivada 9)đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +a2). đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) + 3. sec(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ sec đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ trigonomĂŠtricas, llegamos lo+ siguiente: x5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ) . tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ cos( 5utilizar x()4=3. tan(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Al=sen la de un cociente y las+ 2) fĂłrmulas de las derivadas trigonomĂŠtricas, llegamos a lo siguiente: SoluciĂłn y = e) Al utilizar la derivada de un cociente y las fĂłrmulas de las derivadas e) trigonomĂŠtricas, [â&#x2C6;&#x2019;5. llegamos a lo siguiente: sen ( 3 x ) cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] cos(y5 x=đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ ) = llegamos a lo siguiente: [â&#x2C6;&#x2019;5. trigonomĂŠtricas, e) cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] 2 SoluciĂłn â&#x2C6;&#x2019; [cos đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). sensen (3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´la xcos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)][â&#x2C6;&#x2019;5. Al utilizar de un cociente yđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] las fĂłrmulas de las derivadas cos( 5 x). 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ()= 3xderivada ) cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 sen ( 3 x ) [â&#x2C6;&#x2019;5. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] . 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). e) e)y =y =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] trigonomĂŠtricas, llegamos a[cos lo siguiente: ySoluciĂłn = cos(5 xđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´) =cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) e) . 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). [â&#x2C6;&#x2019;5. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] SoluciĂłn: cos( 5derivada x)3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 y las fĂłrmulas de las derivadas Al utilizar la de. cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) un [cos cociente cos(5SoluciĂłn xđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ )= +(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 [cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .acos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) +(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) llegamos lo siguiente: AltrigonomĂŠtricas, utilizar la derivada de un cociente y las fĂłrmulas lasđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; derivadas trigonomĂŠtri2 [â&#x2C6;&#x2019;5. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Al utilizar la derivada de [cos un cociente yđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] las de fĂłrmulas de las derivadas 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = SoluciĂłn 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 2 un cociente y las fĂłrmulas de las derivadas cas,SoluciĂłn llegamos lo siguiente: trigonomĂŠtricas, llegamos a lo siguiente: 2 [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] Al acos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) utilizar la derivada de 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) [cosâ&#x2C6;&#x2019; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; [â&#x2C6;&#x2019;5. . 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] 2 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; [cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] a2cociente lo đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´trigonomĂŠtricas, =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =la derivadallegamos 2 siguiente: Al Alutilizar de un y ylaslasfĂłrmulas de delaslasderivadas [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] utilizar la derivada de un cociente fĂłrmulas derivadas [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] [â&#x2C6;&#x2019;5. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .. 3cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] Al utilizar la derivada de un cociente y las fĂłrmulas de las derivadas 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) trigonomĂŠtricas, llegamos a lo siguiente: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = trigonomĂŠtricas, llegamos a lo siguiente: 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 llegamos a lo siguiente: [â&#x2C6;&#x2019;5. f)trigonomĂŠtricas, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 

(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] 2 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] [cos.[cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =. cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) +(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) f) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 3 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] f) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) [â&#x2C6;&#x2019;5. [cos cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] =3 cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). [â&#x2C6;&#x2019;5. [â&#x2C6;&#x2019;5. . 3 cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;+đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ] f) SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  [cos = (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). 2 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) f) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚSoluciĂłn = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ==đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´3.=cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] [cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 2 [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 2 SoluciĂłn 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) [cos. (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 3 SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = escribir tambiĂŠn de la2 siguiente manera:đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] La funciĂłn se puede f) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3 SoluciĂłn [cos 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] La funciĂłn se puede escribir tambiĂŠn de lađ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) siguiente manera: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). respuesta [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = La funciĂłn se puede escribir tambiĂŠn de la siguiente manera: đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 2 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´se=que đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] La 3funciĂłn puede escribir tambiĂŠn de la manera: f) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚSoluciĂłn = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) [cos Observamos aparece una funciĂłn desiguiente la forma đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ścuya derivada (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 2 3 es: [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] = [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] La funciĂłn se puede escribir tambiĂŠn de ladesiguiente manera: Observamos que aparece una funciĂłn la forma đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; y cuya derivada es: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 3 )´ =(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) que . aparece una đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ funciĂłn de laâ&#x;šforma y đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;cuya đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ . Luego: = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 4 =derivada 4cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ).es: Por lo đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 f)Observamos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ =đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  Observamos que aparece đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘una funciĂłn de đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ la =forma y=cuya derivada es: (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ )´ =đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 SoluciĂłn 3Por lo . 3đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ . escribir Luego: = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x;š cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ . 4 [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś4cos = 4cos Lađ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;Observamos se puede tambiĂŠn de la siguiente manera: que aparece una funciĂłn de la forma đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ y cuya derivada (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ )´funciĂłn . đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ . Luego: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 4 = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Por loes: =f) đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ tanto: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; )´ đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ . đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ . Luego: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 4 = 4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Por lo = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ tanto: SoluciĂłn 3 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ Luego: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ =manera: cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś4==[đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 4cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ).3 Por lo đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 3 . đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ .escribir đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) tanto: f) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;=đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)´đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) f) funciĂłn se puede tambiĂŠn de la de siguiente đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; ==3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) aparece 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). f)LaObservamos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śf) =tanto: đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) que una funciĂłn la forma đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ y cuya derivada es: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) SoluciĂłn 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). tanto: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; )´funciĂłn 2đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). se escribir tambiĂŠn de (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) la siguiente manera: 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘La . đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´puede .aparece Luego: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ =đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 4cos Por lo = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1que (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 12. 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) SoluciĂłn 2= Observamos una funciĂłn de la forma đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; y. 4cuya derivada es: SoluciĂłn (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 3 SoluciĂłn (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 12. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = La funciĂłn se puede escribir tambiĂŠn de la siguiente manera: 2 SoluciĂłn: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; )´ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 12. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; = 4cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Por lo (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘tanto: . Luego: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 4 = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 . đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ que 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Observamos aparece una funciĂłn de la forma đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ y cuya derivada es: 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  =escribir 12. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;=đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] La La funciĂłn se se puede escribir tambiĂŠn de de la siguiente manera: 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). 3 = [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] puede tambiĂŠn la đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; siguiente manera: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =escribir 4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 12.aparece đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; )´ funciĂłn đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 La puede tambiĂŠn delala siguiente manera: La funciĂłn sese puede tambiĂŠn de siguiente manera: tanto: que funciĂłn decos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) la forma y (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). cuya Por derivada (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘funciĂłn . đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ . escribir Luego: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; una â&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = . 4 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś=đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘=4cos lo64 es: = Observamos đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 64 Por lo đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´que == 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2una (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; )´ =que .12. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ .đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  Luego: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘funciĂłn = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; de(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x;šforma đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ =đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 4derivada = derivada 4cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ Observamos aparece funciĂłn la la forma yđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; cuya es: tanto: (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Observamos aparece una de y cuya đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 64 Observamos que đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ aparece una funciĂłn de la forma đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ yđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ cuya derivada es: es: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 2 64 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ )´ = .đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ =đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x;šâ&#x;šđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 4 =4 4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Por 64 lo đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Luego: 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). 4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) )´tanto: .=Luego: = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). 4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´. đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; )´(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘= đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ . . Luego: = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  â&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 4 = .4cos Por Por lo lo đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 12. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 2đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) tanto: tanto: 2 tanto: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). 64 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´==12. 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). = 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). = 12.4cos đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2

2

64

BibliografĂ­a

51


52

Actividades

Glosario

AutoevaluaciĂłn

BibliografĂ­a

[cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)]2 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ++5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3. cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3.=cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + + 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). 5đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 3. .. cos(3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; [cos (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] 2 [cos(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)]

Modalidad Virtual

UNIDAD II: la DERIVADA 33 f)=đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś==đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  3 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) f) f) (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) f) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 3 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn

33 LaLafunciĂłn sesepuede escribir tambiĂŠn de lalasiguiente manera: [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś==[đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] funciĂłn puede escribir tambiĂŠn siguiente manera: 3 [đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś[đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)] La funciĂłn funciĂłn se puede puede escribir tambiĂŠn de la lade siguiente manera: 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = La se escribir tambiĂŠn de siguiente manera: n

Observamos que aparece una funciĂłn de la forma u y cuya derivada es:

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; Observamos aparece funciĂłn lalaforma y ycuya derivada Observamos que aparece una funciĂłn forma cuya derivada es: Observamos queque aparece unauna funciĂłn de de ladeforma đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘yyđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ cuya cuya derivada es:es: Observamos que derivada es: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 aparece una funciĂłn de la forma đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘

==cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 4.4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Por lolo đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ Luego: . Por tanto: (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) )´== . đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´. .Luego: Luego: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘==đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x;š=đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 4==4cos 4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Por đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ . đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ )´(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ â&#x;šâ&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Por lo lo =)´đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;1 . đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ . Luego: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ )´ . đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ . Luego: đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x;š đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘Â´ = cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .. 44 = 4cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Por lo = tanto: tanto: tanto: tanto: 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). ==3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  4cos (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

Anotaciones

2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). ==12. đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 12.đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 12. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). respuesta đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 12. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; cos(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

2 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

64 6464 64 La derivada es una funciĂłn por tanto se podrĂ­a obtener tambiĂŠn la derivada de esta y asĂ­ sucesivamente. Es decir: 3.2 3.2 funciĂłn DERIVADAS DERIVADAS DE DE ORDEN ORDEN SUPERIOR. SUPERIOR. 3.2 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. La La derivada derivada es una una funciĂłn funciĂłn por porf tanto tanto se podrĂ­a podrĂ­a obtener obtener tambiĂŠn tambiĂŠn la derivada derivada deesta Se sabe es que si la funciĂłn (x) es se una funciĂłn derivable, su la derivada la deesta podemos 3.2 3.2 DERIVADAS ORDEN SUPERIOR. funciĂłn funciĂłn yy asĂ­ asĂ­DE sucesivamente. sucesivamente. Es Es decir: decir: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. representar por f '(x) . Ahora si la funciĂłn f '(x) se deriva nuevamente, dicha 3.2 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. La derivada es una funciĂłn por tanto se podrĂ­a obtener tambiĂŠn la derivada deesta 3.2 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. 3.2 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. derivada se representa como: [ f '(x)]' = f ''(x) a esta funciĂłn se le llama Segunda funciĂłn y asĂ­ sucesivamente. Es decir: 3.2 DEuna ORDEN SUPERIOR. La DERIVADAS derivada es sabe una funciĂłn tanto se fpodrĂ­a obtener tambiĂŠn la derivada Se Se sabe que que si sipor la laSUPERIOR. funciĂłn funciĂłn fse (x) (x)podrĂ­a es es una una funciĂłn funciĂłn derivable, derivable, su sudeesta derivada derivada La derivada es funciĂłn por tanto obtener tambiĂŠn la derivada deesta 3.2 DERIVADAS DE ORDEN derivada funciĂłn por tanto obtener tambiĂŠn laderivada deesta Derivada deuna f funciĂłn (x) .representar De por igual forma lafpodrĂ­a fAhora '''(x)es la tercera derivada de se fse (x), LaLa derivada eses una tanto sese podrĂ­a tambiĂŠn La derivada es una funciĂłn tanto se podrĂ­a tambiĂŠn laderivada derivada deesta funciĂłn y asĂ­ sucesivamente. Espor decir: lapodemos lapodemos representar por por f funciĂłn '(x) '(x)obtener ..obtener Ahora si si la lala funciĂłn funciĂłn ffdeesta '(x) '(x) funciĂłn y asĂ­ sucesivamente. Es decir: funciĂłn asĂ­ sucesivamente. decir: Se sabe que si por laEsEs funciĂłn f podrĂ­a (x) es obtener una funciĂłn derivable, su derivada funciĂłn yy asĂ­ sucesivamente. decir: funciĂłn y asĂ­ sucesivamente. Es decir: y asĂ­ sucesivamente. La derivada es una funciĂłn tanto se tambiĂŠn la derivada deesta derivanuevamente, derivanuevamente, dicha dicha derivada derivada se se representa representa como: como:la [[ fderivada f'(x)]' '(x)]' = = fdeesta f''(x) ''(x) aa La derivada es una funciĂłn por tanto se podrĂ­a obtener tambiĂŠn lapodemos representar '(x) . funciĂłn Ahora derivable, si la funciĂłn f '(x) se funciĂłn Se y estafunciĂłn asĂ­ sucesivamente. EsfunciĂłn decir: sabe que que si fpor (x)f fes una derivada estafunciĂłn se selale lefunciĂłn llama llama Segunda Segunda Derivada Derivada de de ff (x) (x) .. De Desu igual igual formala formala Se sabe si la (x) es es una funciĂłn funciĂłn derivable, su= derivada funciĂłnSe ySe asĂ­ sucesivamente. Es decir: sabe que sisi lala funciĂłn f f (x) una derivable, derivada derivanuevamente, dicha derivada se representa como: [ f '(x)]' f ''(x) a sabe que sila latercera funciĂłn f f(x) esde una funciĂłn derivable, susu derivada Se sabe que funciĂłn (x) es una funciĂłn derivable, su derivada lapodemos representar por '(x) . Ahora si la funciĂłn f '(x) se se funciĂłnf funciĂłnf '''(x)es '''(x)es la tercera derivada derivada de f f (x), (x), y y asĂ­ asĂ­ sucesivamente. sucesivamente. lapodemos representar por f '(x) . Ahora si la funciĂłn f '(x) lapodemos representar por f '(x) . Ahora si la funciĂłn f '(x) estafunciĂłn se le llama Segunda Derivada de fsi (x)lafunciĂłn . ffunciĂłn De igual formala lapodemos representar por f '(x) . .Ahora si la f derivada '(x) sese lapodemos representar por fse '(x) Ahora f''(x) '(x)a se Se sabe que si la funciĂłn f (x) es una funciĂłn derivable, su derivanuevamente, dicha derivada representa como: [ '(x)]' = f derivanuevamente, dicha derivada representa como: [f f'(x)]' '(x)]' ''(x)aa Se sabe'''(x)es que la si tercera la dicha funciĂłn f (x) de esse una funciĂłn derivable, su== derivada derivanuevamente, derivada como: f ff''(x) funciĂłnf derivada (x), yde asĂ­f si sucesivamente. derivanuevamente, dicha derivada sese representa como: [ [f igual = ''(x) a a derivanuevamente, dicha derivada se representa como: ['(x)]' f '(x)]' ''(x) lapodemos por f '(x) .f representa Ahora la.(x)De funciĂłn f f= '(x) se estafunciĂłn serepresentar le llama Segunda formala EJEMPLOS EJEMPLOS EJEMPLOS estafunciĂłn se le le llama llama Segunda Derivada de(x) De igual igual formala lapodemos representar por f Derivada '(x) . Ahora sif(x) la. . funciĂłn f formala '(x) se estafunciĂłn se Segunda Derivada de f De estafunciĂłn selase le llama Segunda Derivada de f como: (x) . De igual formala estafunciĂłn le llama Segunda Derivada de f (x) .[ De igual formala derivanuevamente, dicha derivada se representa f '(x)]' = f ''(x) a funciĂłnf '''(x)es tercera derivada de f (x), y asĂ­ sucesivamente. funciĂłnf'''(x)es '''(x)eslalatercera tercera derivada de (x),yyasĂ­ asĂ­sucesivamente. sucesivamente. derivanuevamente, dichaderivada derivada se representa como: [ f '(x)]' = f ''(x) a funciĂłnf f ff(x), EJEMPLOS funciĂłnf lale tercera dede f (x), y asĂ­ sucesivamente. funciĂłnf la llama tercera derivada de (x), y de asĂ­ estafunciĂłn se Segunda Derivada fsucesivamente. (x) . De igual formala a) a) Si: Si: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ==estafunciĂłn đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; '''(x)es đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.'''(x)es Obtenga Obtenga đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´derivada (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) a) Si: se le llama Segunda Derivada de f (x) . De igual formala funciĂłnf '''(x)es la tercera derivada de f (x), y asĂ­ sucesivamente. EJEMPLOS EJEMPLOS '''(x)es la tercera derivada de f (x), y asĂ­ sucesivamente. EJEMPLOS a) Si: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =funciĂłnf đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. Obtenga đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) EJEMPLOS EJEMPLOS SoluciĂłn SoluciĂłn a)EJEMPLOS Si: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.= đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. Obtenga đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) SoluciĂłn: a)Si: Si: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. Obtenga Obtenga đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) EJEMPLOS đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ SoluciĂłn a)a) Si: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś=đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś=đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.Obtenga đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) obtenemos: a) Si: =la đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.derivada đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  Obtenga đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ Usando Usando la derivada de de un un producto, producto, obtenemos: Usando la derivada de un producto, a)SoluciĂłn Si:SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. Obtenga đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) obtenemos: a) Si: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. Obtenga đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) SoluciĂłn Usando la derivada de un producto, obtenemos: SoluciĂłn SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´==đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ ++đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ SoluciĂłn Usando la derivada de un producto, obtenemos: Usando la derivada de un producto, obtenemos: SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ Usando producto, obtenemos: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´= =obtenemos: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + ++đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  Usando laladerivada dede unun producto, Usando laderivada derivada de un producto, obtenemos: yy derivando derivando nuevamente: nuevamente: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ Usando la derivada de un producto, obtenemos: = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ +đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  Usando la derivada de un đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ producto, obtenemos: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´= =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ y derivando nuevamente: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´==đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´

(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´++(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´==đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´++cos cosđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ y derivando nuevamente: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´= =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  y derivando nuevamente: y derivando nuevamente: nuevamente: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(cos nuevamente: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ + yy derivando yderivando derivando nuevamente: = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ ==đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++cos cosđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  derivando nuevamente: (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´y = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´+ (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(cosđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ cosđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ +(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ yđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´derivando nuevamente: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; ) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ ==đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(cos ++cos (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ +==+â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(cos + cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++22cos cosđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´+=(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľcos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; ) =đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; ) +đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++cos (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; )´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)´ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´=đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ =â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ 2 cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ cos = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; ) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? + cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; ) + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + cos 44 33đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ 2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. 2 =đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2 cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ b) b) Si: Si: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)==4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ=++đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  3đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  3.. Obtenga: Obtenga: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ ,đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´´. đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´´. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; ) +cos đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? +đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´=đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +22cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ, , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ 2+cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľrespuesta đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ =â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. 2 cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 4 3 2 b) Si: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  + 3.đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽObtenga: + 2 cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´´. đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2 cos đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; SoluciĂłn SoluciĂłn4 2 4 3 +32đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ b) Si: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ ,đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´´. b)Si: Si:đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 +2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.+Obtenga: 3 Obtenga: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´, ,đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´´. 4 44â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . ..Obtenga: , ,,đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´´. Obtenga: b)b) b) Si: Si: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ==4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ 3+.33 Obtenga: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ ,đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´´. b) Si: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 32đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+3+ + 22đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019; Obtenga: , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´´.. SoluciĂłn Derivando Derivando sucesivamente, obtenemos: 4 b)SoluciĂłn Si: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľsucesivamente, â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ obtenemos: + 3. Obtenga: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´´. b) SoluciĂłn Si: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3. Obtenga: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´ , đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´´. SoluciĂłn SoluciĂłn SoluciĂłn sucesivamente, obtenemos: Derivando 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22++4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;11 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)==16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ33â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ SoluciĂłn: SoluciĂłnsucesivamente,đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Derivando obtenemos: SoluciĂłn Derivando sucesivamente, obtenemos: 3 Derivando sucesivamente, obtenemos: Derivando sucesivamente, obtenemos: Derivando sucesivamente, obtenemos: Derivando sucesivamente, obtenemos: đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;226đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++44 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)==48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 Derivando sucesivamente, obtenemos: 3 2 +24đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;36đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =obtenemos: 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Derivando sucesivamente, â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 = 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 26đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 2 3 2++4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 41â&#x2C6;&#x2019;11 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) == 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3== 96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 12 2 12 2 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ==16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 3â&#x2C6;&#x2019;6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 212đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ 44đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 212đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +â&#x2C6;&#x2019; 41 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ 4+44 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =2 96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 12 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) ==48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4 2 12 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 11 + 4 33 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 12 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) == 96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 12 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =g96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 12 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; c) c) Calcule Calcule las las primeras primeras tres tres derivadas derivadas de: de: g96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ((tâ&#x2C6;&#x2019; t))= =â&#x2C6;&#x2019;12 22 1tt 33 11â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2019;tt đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 12 c) Calcule las primeras tres derivadas de:= g96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (t ) =â&#x2C6;&#x2019; 12 â&#x2C6;&#x2019;

12 t

33 1 â&#x2C6;&#x2019; t

c) Calcule las primeras trestres derivadas de: de: g (t ) g=(t ) =1 1â&#x2C6;&#x2019;11 3 â&#x2C6;&#x2019; 3 333 SoluciĂłn c)SoluciĂłn Calcule lasprimeras primeras derivadas Calcule las tres derivadas de: c)c) Calcule las primeras tres derivadas de: c) Calcule las primeras tres derivadas de: g (gtg)(t(=)t2)==t 2 â&#x2C6;&#x2019;tâ&#x2C6;&#x2019;31â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;33 t1 â&#x2C6;&#x2019; t 311â&#x2C6;&#x2019; SoluciĂłn 2 212t 1t t 1 â&#x2C6;&#x2019; t3â&#x2C6;&#x2019;t t c) Calcule las primeras tres derivadas de: g (t )forma: La La funciĂłn funciĂłn puede puede escribirse escribirse de de la la siguiente siguiente c) Calcule Calcule las las primeras primeras tres tres derivadas derivadas de: de: g (forma: t=) =2 t â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3 13 â&#x2C6;&#x2019; t c) SoluciĂłn 2 t 1â&#x2C6;&#x2019; t SoluciĂłn SoluciĂłn La funciĂłn puede escribirse de la11siguiente forma: SoluciĂłn SoluciĂłn â&#x2C6;&#x2019;1/2 â&#x2C6;&#x2019;1/2

â&#x2C6;&#x2019;1/3 â&#x2C6;&#x2019;1/3

đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) == đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 3(1 3(1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) LaSoluciĂłn funciĂłn puede escribirse de la forma: 22 LafunciĂłn funciĂłn puede escribirse desiguiente la siguiente forma: SoluciĂłn 1 puede escribirse siguiente forma: LaLa funciĂłn puede escribirse dede lalasiguiente La funciĂłn puede escribirse de forma:â&#x2C6;&#x2019;1/3 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) =la siguiente đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;1/2 â&#x2C6;&#x2019;forma: 3(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 21 1 siguiente La funciĂłn puede escribirse de la forma: Derivamos Derivamos sucesivamente: La funciĂłnsucesivamente: puede escribirse de 1la 11siguiente â&#x2C6;&#x2019;1/2 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;1/2 â&#x2C6;&#x2019; 3(1 â&#x2C6;&#x2019;forma: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;1/3â&#x2C6;&#x2019;1/3 â&#x2C6;&#x2019;1/3 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019;1/2 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 3(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)

â&#x2C6;&#x2019;1/3 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) =2== đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;1/2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 3(1 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019;3(1 3(1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;1/3 2đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;1/2 Derivamos sucesivamente: 2122

đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1â&#x2C6;&#x2019;1/2 â&#x2C6;&#x2019; 3(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;1/3

â&#x2C6;&#x2019;1/2 â&#x2C6;&#x2019; 3(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;1/3 Derivamos sucesivamente: 2 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą Derivamos sucesivamente:đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 2 Derivamos sucesivamente: Derivamos sucesivamente: Derivamos sucesivamente: Derivamos sucesivamente: Derivamos sucesivamente:

65 65 65 65 65 6565 65 6565


đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 48đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 4 đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;´´(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 96đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 12

c) Calcule las primeras tres derivadas de: g (t ) =

Desarrollo UNIDAD II: la DERIVADA de contenidos

1 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 t 3 1â&#x2C6;&#x2019; t

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

Lecturas seleccionadas

Glosario

Recordatorio

Anotaciones

SoluciĂłn: SoluciĂłn La funciĂłn puede escribirse de la siguiente forma:

La funciĂłn puede escribirse de la siguiente forma:

1 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;1/2 â&#x2C6;&#x2019; 3(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;1/3 2

Derivamos sucesivamente:

65

Derivamos sucesivamente:

1 1 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;3/2 â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;4/3 â&#x2C6;&#x2019;4/3 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019;= â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;3/2 â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4/3 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;3/2 (1 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 4 4 3 â&#x2C6;&#x2019;5/2 4 4 â&#x2C6;&#x2019;4 (1â&#x2C6;&#x2019;4/3 1 =â&#x2C6;&#x2019;5/2 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;7/3 38 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;5/2 â&#x2C6;&#x2019;3/2 (1â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; (1 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;7/3 (1 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)8 = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;7/3 3 3 4 8 115â&#x2C6;&#x2019;3/2 28 â&#x2C6;&#x2019;4/3 â&#x2C6;&#x2019;10/3 (128 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;5/2 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;7/2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;7/3 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 3= 4â&#x2C6;&#x2019; 15 28â&#x2C6;&#x2019; (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019;15 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019;7/2 â&#x2C6;&#x2019;10/3 416 1 (1 (1 â&#x2C6;&#x2019;7/2 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 9â&#x2C6;&#x2019; (1đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4/3 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;10/3 1 â&#x2C6;&#x2019;3/2 (1 816 3 9â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) =â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;16 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;3/2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019;4/3 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3 â&#x2C6;&#x2019;4(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)4 9 4 â&#x2C6;&#x2019;5/2 â&#x2C6;&#x2019;7/3 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 15 = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;7/2 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019;4/3 28 (1 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;10/3 1 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;3/2 3(1 4(1 â&#x2C6;&#x2019;3/2 â&#x2C6;&#x2019;4/3 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019;= đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą8 34 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;  â&#x2C6;&#x2019;5/2 â&#x2C6;&#x2019;7/3 (1 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 3 4 (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą y =9 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 16=de: 1 d) Hallar Hallar la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada  d)   â&#x2C6;&#x2019;5/2 â&#x2C6;&#x2019;7/3 4 1  (1 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 8 3 y = d) d) Hallar la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada de:   â&#x2C6;&#x2019; x 1 2   y = Hallar la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada de: 15 28   8 3 3 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;5/2 â&#x2C6;&#x2019;7/2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;124â&#x2C6;&#x2019;x 2(1 1â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) =â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;10/3 x â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) =16 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;5/2 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;7/3 315 49(1 28â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;7/3 8 3 (1 â&#x2C6;&#x2019;7/2 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 15 28 (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;10/3 SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019;7/2 = â&#x2C6;&#x2019;8 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1 â&#x2C6;&#x2019; SoluciĂłn:  â&#x2C6;&#x2019;10/3 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) (1 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; SoluciĂłn 16 9 y = d) Hallar la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada de:   SoluciĂłn  116  15 9â&#x2C6;&#x2019;7/2 â&#x2C6;&#x2019;1 28  = (15 1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;211xâ&#x2C6;&#x2019;)â&#x2C6;&#x2019;1 2â&#x2C6;&#x2019;x128 AquĂ­ tenemos: y =1đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)  = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)â&#x2C6;&#x2019;10/3  â&#x2C6;&#x2019; 9 (1 (1 â&#x2C6;&#x2019; AquĂ­ â&#x2C6;&#x2019;10/3 (1=de: y â&#x2C6;&#x2019; = xy)đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą2â&#x2C6;&#x2019;7/2 AquĂ­ tenemos:  16 1 â&#x2C6;&#x2019;12=x= â&#x2C6;&#x2019;(12 ) y 1= â&#x2C6;&#x2019;derivada â&#x2C6;&#x2019; x AquĂ­ la tenemos: đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;´´´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = d) Hallar â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;?   â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 2 x 16 9   SoluciĂłn  1 â&#x2C6;&#x2019; 2x  1 â&#x2C6;&#x2019; 21x 





d) Hallar la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada de:1 y =   Obteniendo derivadas y =generalizarla, d) Hallar la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada  1 de: hasta  â&#x2C6;&#x2019;1  â&#x2C6;&#x2019; 2resulta: x Obteniendo derivadas y =  hasta 1 â&#x2C6;&#x2019;generalizarla, 2 x1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x   1resulta: AquĂ­ tenemos:  =generalizarla, 1 resulta: Obteniendo derivadas hasta  SoluciĂłn x y =  1 â&#x2C6;&#x2019;2 d) Hallar la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;?  1 â&#x2C6;&#x2019; 2derivada â&#x2C6;&#x2019;2de: 1 (â&#x2C6;&#x2019;2)y = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;resulta: derivadas hasta = d)Obteniendo Hallar la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada de: 1â&#x2C6;&#x2019; 22đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) x  . 21!=(11!â&#x2C6;&#x2019;(12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 1â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;2 1 .2 generalizarla, â&#x2C6;&#x2019;1  SoluciĂłn (â&#x2C6;&#x2019;2) (1 â&#x2C6;&#x2019;21 â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (â&#x2C6;&#x2019;2) (1 y = = â&#x2C6;&#x2019; 2 x AquĂ­ tenemos: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2 = 1! (1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). 2 . 21 =â&#x2C6;&#x2019; 2 x. 2â&#x2C6;&#x2019;2= SoluciĂłn    1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Obteniendo derivadas hasta 1 â&#x2C6;&#x2019; 21â&#x2C6;&#x2019; xgeneralizarla,  â&#x2C6;&#x2019;3 (â&#x2C6;&#x2019;2) =â&#x2C6;&#x2019;1resulta: 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ =12(â&#x2C6;&#x2019;2)(1 2! (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;3 . 22 2(1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;3 y = â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =â&#x2C6;&#x2019;3 AquĂ­ tenemos: â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x â&#x2C6;&#x2019;3 2 . 22 = x(â&#x2C6;&#x2019;2) SoluciĂłn (1 â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = 2(â&#x2C6;&#x2019;2)(1 .2 = 2! â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . â&#x2C6;&#x2019;3 22. 22 = 2(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) y = = 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 AquĂ­ tenemos:  (1 (â&#x2C6;&#x2019;2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = 2(â&#x2C6;&#x2019;2)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2 = 2! â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x SoluciĂłn  = (1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;2 . 2 = 1! (1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;2 . 21 1â&#x2C6;&#x2019;(1 â&#x2C6;&#x2019; 2 xâ&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 1â&#x2C6;&#x2019;2 (â&#x2C6;&#x2019;2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;1 Obteniendo hasta generalizarla, resulta: (2x3)(1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´Â´ derivadas = 2(â&#x2C6;&#x2019;3)(1 â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;4 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;4 . 23 = 3! (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;4 . 23 y =â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (â&#x2C6;&#x2019;2)2 1 2â&#x2C6;&#x2019; = 2 x2 = AquĂ­ tenemos: â&#x2C6;&#x2019;1 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 â&#x2C6;&#x2019;4 33! (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´Â´ = 2(â&#x2C6;&#x2019;3)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . â&#x2C6;&#x2019;4 23 . = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . â&#x2C6;&#x2019;4 23 . 23 y =  1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;hasta 1 â&#x2C6;&#x2019; 22x(2x3)(1 AquĂ­ tenemos: (1 2 xâ&#x2C6;&#x2019;3 =(â&#x2C6;&#x2019;2)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´Â´ = derivadas 2(â&#x2C6;&#x2019;3)(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (2x3)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 = 3! â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Obteniendo generalizarla, resulta: â&#x2C6;&#x2019;3 2 â&#x2C6;&#x2019;3 1 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ = 2(â&#x2C6;&#x2019;2)(1 2 ==1!2!(1(1â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 xâ&#x2C6;&#x2019;2 Obteniendo derivadas hasta resulta: (â&#x2C6;&#x2019;2) (â&#x2C6;&#x2019;2)==2(1 (1 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019;5 3 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;5 4 â&#x2C6;&#x2019;2 . 2 â&#x2C6;&#x2019;5 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;(1â&#x2C6;&#x2019;1generalizarla, â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .. 2

(

(

)

( )( ( (

)

)

) )

= (2x3)(â&#x2C6;&#x2019;4)(1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;5 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (â&#x2C6;&#x2019;2)2 = (2x3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4)(1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;5 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 4 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;(2x3)(â&#x2C6;&#x2019;4)(1 3 3(2x3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4)(1 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;5

. 2 = 4! (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;5 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 4 . 24 4 (1 â&#x2C6;&#x2019;5 4

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś= = (2x3)(â&#x2C6;&#x2019;4)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) == = â&#x2C6;&#x2019;. 22đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .(1 2 â&#x2C6;&#x2019; 4! .2 .2 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;2 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (1 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 â&#x2C6;&#x2019; .= 212đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;2 4!.â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Obteniendo derivadas hasta generalizarla, resulta: (â&#x2C6;&#x2019;2) (1(2x3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4)(1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;42đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2C6;&#x2019; 31! â&#x2C6;&#x2019;2 3 â&#x2C6;&#x2019;2 (â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;3 (2x3)(1 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´Â´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´==đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´ 2(â&#x2C6;&#x2019;3)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =2!3!.(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (1 (1 â&#x2C6;&#x2019;(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2â&#x2C6;&#x2019;= 1! 2(1 =â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2) Obteniendo derivadas hasta generalizarla, resulta: = 2(â&#x2C6;&#x2019;2)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .â&#x2C6;&#x2019;2. 222đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2. 22 = 2(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019;6 5 (5!)(1 Directamente la quinta derivada serĂ­a: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2 đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(5!)(1 â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2C6;&#x2019;6 5 5 â&#x2C6;&#x2019;2 (â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x2C6;&#x2019;2(5!)(1 Directamente la quinta =â&#x2C6;&#x2019;= â&#x2C6;&#x2019;. 21! 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2(1 â&#x2C6;&#x2019;3serĂ­a: 2 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Directamente laâ&#x2C6;&#x2019;(1 quinta serĂ­a: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś .â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;derivada 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2â&#x2C6;&#x2019;3= â&#x2C6;&#x2019;. â&#x2C6;&#x2019;3 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 211â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;4 = (1 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;32đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (â&#x2C6;&#x2019;2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ == 2(â&#x2C6;&#x2019;2)(1 â&#x2C6;&#x2019;derivada 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =4 2! . 22 =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś2(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;5 3 â&#x2C6;&#x2019;5â&#x2C6;&#x2019;(1 â&#x2C6;&#x2019;3 22đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;2= â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;4 2= â&#x2C6;&#x2019;4 (2x3)(â&#x2C6;&#x2019;4)(1 (2x3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4)(1 (1 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 (â&#x2C6;&#x2019;2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´== â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .2(1 232đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =3! 4!.(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;5. .2234 2(â&#x2C6;&#x2019;2)(1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 22â&#x2C6;&#x2019;2 =.2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2!=(1 â&#x2C6;&#x2019; 2 2(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (â&#x2C6;&#x2019;2) (1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 1! â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 22đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (2x3)(1 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´Â´ = 2(â&#x2C6;&#x2019;3)(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; . = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; Por tanto la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada serĂ­a: PorPor tanto la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada serĂ­a: â&#x2C6;&#x2019;3 (â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x2C6;&#x2019;4 2= tanto la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada serĂ­a: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´= =2(â&#x2C6;&#x2019;3)(1 2(â&#x2C6;&#x2019;2)(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 222â&#x2C6;&#x2019;4=â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3 . 222â&#x2C6;&#x2019;4 . 23 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3 (2x3)(1 (1 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´Â´ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =2(1 . 22!3 (1 = 3! 2 â&#x2C6;&#x2019;3 32đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 32đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;5 452đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (2x3)(1 (1 (5!)(1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´Â´ = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;4 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 = â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .2 3!= . 2â&#x2C6;&#x2019;3 Directamente derivada serĂ­a: = â&#x2C6;&#x2019;= (â&#x2C6;&#x2019;2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´la=â&#x2C6;&#x2019;quinta 2(â&#x2C6;&#x2019;2)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 22đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 â&#x2C6;&#x2019;5 . 24 2(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; 3 =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś(2x3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4)(1 â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;+1) đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; 2! (1 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;2(â&#x2C6;&#x2019;3)(1 = (2x3)(â&#x2C6;&#x2019;4)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; ..â&#x2C6;&#x2019; 22(1 =â&#x2C6;&#x2019;4! â&#x2C6;&#x2019;. 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;!)(1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;+1) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;5 =đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;!)(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;4 3 â&#x2C6;&#x2019; 4 (1 â&#x2C6;&#x2019; (1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 22(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;!)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;+1) . 2. đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;233â&#x2C6;&#x2019;5=. 23! (2x3)(1 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 2(â&#x2C6;&#x2019;3)(1â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 233â&#x2C6;&#x2019;5 . 24 (2x3)(â&#x2C6;&#x2019;4)(1 (2x3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4)(1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´Â´ == 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 = 4!â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;4 3 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 â&#x2C6;&#x2019;5 42đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 42đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł tanto la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada serĂ­a: (2x3)(â&#x2C6;&#x2019;4)(1 (2x3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4)(1 (1.3! (â&#x2C6;&#x2019;2)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś Directamente =Directamente 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = serĂ­a: . 2 â&#x2C6;&#x2019;= â&#x2C6;&#x2019;5(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2â&#x2C6;&#x2019;4 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´Â´Â´ = 2(â&#x2C6;&#x2019;3)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (2x3)(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 24!â&#x2C6;&#x2019;6 = â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .2 (5!)(1 laquinta quinta derivada serĂ­a: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019;=2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 laâ&#x2C6;&#x2019; derivada đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; Por

3đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł 2 â&#x2C6;&#x2019;5 3 đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (2x3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4)(1 4 â&#x2C6;&#x2019;5 4 5 (1 la â&#x2C6;&#x2019;2=4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;,5â&#x2C6;&#x2019;5 describe posiciĂłn e)Directamente SupĂłngase que la 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) funciĂłn: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; = (2x3)(â&#x2C6;&#x2019;4)(1 â&#x2C6;&#x2019; = 3= đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;+1) â&#x2C6;&#x2019;+2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2â&#x2C6;&#x2019;6 = â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2 4 de (5!)(1 la quinta derivada serĂ­a: 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 24! đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;5(â&#x2C6;&#x2019;2)2 đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2013; la(2x3)(â&#x2C6;&#x2019;4)(1 3= â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;5 de (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;!)(1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś"derivada =mide â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;,â&#x2C6;&#x2019;6 2.7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; +2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) la(1laposiciĂłn e) e) SupĂłngase la la funciĂłn: (5!)(1 Directamente derivada serĂ­a: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁserĂ­a: = . describe (2x3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ4)(1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śtanto = quinta â&#x2C6;&#x2019; = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 24 = en 4! â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2 de Por la que â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąsegundos = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 34đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą ,2sedescribe posiciĂłn SupĂłngase que funciĂłn: unapartĂ­cula donde "t2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) se (â&#x2C6;&#x2019;2)2 en y+ "s" mide metros. unapartĂ­cula donde "t ""tse"derivada mide en serĂ­a: segundos "s" se mide en en metros. đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł y(5!)(1 â&#x2C6;&#x2019;6 5 Por tanto la la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? unapartĂ­cula donde se mide en segundos y "s" se mide metros. Directamente la quinta derivada serĂ­a: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2 Por tanto â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada serĂ­a: đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;+1) đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;6 . 25 Por tanto la i. â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada Directamente la quinta derivada serĂ­a: = (5!)(1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚserĂ­a: = (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;!)(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2â&#x2C6;&#x2019; Obtenga la aceleraciĂłn en 3elâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś instanteâ&#x20AC;?tâ&#x20AC;?. Obtenga la aceleraciĂłna los 5 i. i. Obtenga el đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąinstanteâ&#x20AC;?tâ&#x20AC;?. la aceleraciĂłna 5 5 = â&#x2C6;&#x2019;instanteâ&#x20AC;?tâ&#x20AC;?. 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2 +â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;+1) 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą,Obtenga describe la aceleraciĂłna posiciĂłn los delos e) SupĂłngase que la la aceleraciĂłn đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;enđ?&#x2018; đ?&#x2018;  en đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; Obtenga lafunciĂłn: aceleraciĂłn el Obtenga la segundos. Por tanto la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada serĂ­a: (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;!)(1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . 2 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;+1) đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; segundos. unapartĂ­cula donde "t "đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śse=mide enâ&#x2C6;&#x2019;segundos (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;!)(1 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Por tantosegundos. la â&#x20AC;&#x153;n-enĂŠsimaâ&#x20AC;? derivada serĂ­a: .y2"s" se mide en metros.

3 2 = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąâ&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;+1) 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą. ,2đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; describe la posiciĂłn de e) SupĂłngase que la funciĂłn: ii. Grafique la posiciĂłn de(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;!)(1 lađ?&#x2018; đ?&#x2018;  partĂ­cula, la+velocidad y la aceleraciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;en 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; mide ii. ii.Obtenga Grafique posiciĂłn de la= partĂ­cula, la â&#x2C6;&#x2019;(đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;+1) velocidad y la i. lalaaceleraciĂłn el instanteâ&#x20AC;?tâ&#x20AC;?. lay aceleraciĂłn aceleraciĂłna los 5 (đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;!)(1 unapartĂ­cula donde "t " se mide en segundos y "s" se en metros. Grafique la posiciĂłn de la partĂ­cula, la velocidad la aceleraciĂłn 32đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2Obtenga đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019; . 2 e) SupĂłngase que la funciĂłn: 3 đ?&#x2018; đ?&#x2018;  =2 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą, describe la posiciĂłn de segundos. đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą,, describe describela la posiciĂłn de partĂ­cula e) SupĂłngase que que la la funciĂłn: SupĂłngase funciĂłn: posiciĂłn de una SoluciĂłn unapartĂ­cula donde "t " se mide en segundos y "s" se mide en metros. SoluciĂłn unapartĂ­cula donde "t " la seen mide en segundos ymide seen en metros. SoluciĂłn i. "t Obtenga aceleraciĂłn en instanteâ&#x20AC;?tâ&#x20AC;?. Obtenga la aceleraciĂłna 5 2 mide " se mide segundos y "s" se đ?&#x2018; đ?&#x2018; el= đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3"s" â&#x2C6;&#x2019; velocidad 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + metros. 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą , ydescribe la posiciĂłnlosde e)donde SupĂłngase que la funciĂłn: ii. la posiciĂłn de la partĂ­cula, la aceleraciĂłn 2 2đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3 la đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą , describe la posiciĂłn de e) unapartĂ­cula SupĂłngase que la"taceleraciĂłn funciĂłn: i. i.Grafique Alsegundos. derivar la la funciĂłn: đ?&#x2018; đ?&#x2018;  3= đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3en â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą se obtiene la velocidad, es decir: Obtenga en el instanteâ&#x20AC;?tâ&#x20AC;?. Obtenga la aceleraciĂłna los 5 donde " se mide segundos y "s" se mide en metros. 34đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2 +27đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąse Obtenga funciĂłn: =đ?&#x2018; đ?&#x2018; mide đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąel es decir: i. i. Obtenga la la aceleraciĂłn en lavelocidad, aceleraciĂłna los 5 i.Al derivar Al derivar la funciĂłn: =â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąinstanteâ&#x20AC;?tâ&#x20AC;?. â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąobtiene se obtiene la velocidad, es decir: unapartĂ­cula donde "t " đ?&#x2018; đ?&#x2018; se en segundos y "s" la se mide en metros. segundos. SoluciĂłn 2 ii. Grafique la deđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) laen partĂ­cula, velocidad la la aceleraciĂłn i. segundos. Obtenga la aceleraciĂłn en el instanteâ&#x20AC;?tâ&#x20AC;?. a los los 5 segun= =2la3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;ĄObtenga â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7lay aceleraciĂłn i. Obtenga la posiciĂłn aceleraciĂłn elđ?&#x2018; đ?&#x2018; Â´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) instanteâ&#x20AC;?tâ&#x20AC;?. Obtenga aceleraciĂłna 5 đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) =en đ?&#x2018; đ?&#x2018; Â´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;28đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7+ 7 i.ii. segundos. Obtenga el instanteâ&#x20AC;?tâ&#x20AC;?. Obtenga la aceleraciĂłna los 5 = đ?&#x2018; đ?&#x2018; Â´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą Grafiquelala aceleraciĂłn posiciĂłn de la partĂ­cula, la velocidad y la aceleraciĂłn dos. 3 2 i. Al derivar la funciĂłn: đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą se obtiene la velocidad, es decir: ii. Grafique posiciĂłn de la aceleraciĂłn SoluciĂłn Y segundos. la la aceleraciĂłn eslalapartĂ­cula, derivada la develocidad la funciĂłny velocidad: Y la aceleraciĂłn es la de de la funciĂłn velocidad: ii. SoluciĂłn Grafique la posiciĂłn de la partĂ­cula, velocidad y la aceleraciĂłn aceleraciĂłn es derivada la derivada lala2funciĂłn velocidad: ii. Y la Grafique la posiciĂłn de3 la partĂ­cula, la velocidad y la aceleraciĂłn 2 = 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7 đ?&#x2018; đ?&#x2018; Â´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) SoluciĂłn i. ii.Al derivar la funciĂłn: đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = de đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą =â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą +=7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą se la obtiene la velocidad, es decir: Grafique la posiciĂłn la partĂ­cula, y la aceleraciĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁÂ´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) =velocidad 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 8

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁÂ´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 2 =+đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁÂ´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą8â&#x2C6;&#x2019; 8 la velocidad, es decir: SoluciĂłn i. Al derivar la es funciĂłn: đ?&#x2018; đ?&#x2018;  =2 đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3de â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąse2=velocidad: obtiene 3 SoluciĂłn: Y la aceleraciĂłn lađ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąderivada la obtiene funciĂłn i. Al derivar la funciĂłn: đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą se la velocidad, es decir: SoluciĂłn đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; đ?&#x2018; Â´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; +7 Entonces, a los 5 segundos la aceleraciĂłn8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą es: a los 5 segundos es: 3la aceleraciĂłn 2 2 es: la afunciĂłn: los 5 segundos la aceleraciĂłn se obtiene la velocidad, esdecir: decir: i. i. Entonces, AlAlEntonces, derivar derivar la la funciĂłn: đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą se obtiene velocidad, es = đ?&#x2018; đ?&#x2018; Â´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7 2 2 â&#x2C6;&#x2019;= đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁÂ´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąse +obtiene 7 8velocidad: i. YAlladerivar la funciĂłn: đ?&#x2018; đ?&#x2018; ==đ?&#x2018; đ?&#x2018; Â´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3 â&#x2C6;&#x2019;=4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą la velocidad, es decir: aceleraciĂłn es la derivada de la funciĂłn 2 đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; đ?&#x2018; Â´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąes: â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąvelocidad: +7 Y la aceleraciĂłn es la derivada de la=funciĂłn Entonces, a es losla5derivada segundos lala aceleraciĂłn Y la aceleraciĂłn de funciĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁÂ´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 26đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; đ?&#x2018; Â´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) =velocidad: 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą8+ 7

Y la aceleraciĂłn es la derivada de=lađ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁÂ´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) funciĂłn đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąvelocidad: â&#x2C6;&#x2019;8 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁÂ´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = la 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą funciĂłn â&#x2C6;&#x2019; 8 es:velocidad: Entonces, a los 5es segundos la aceleraciĂłn Y la aceleraciĂłn la derivada de

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁÂ´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąes: â&#x2C6;&#x2019;8 Entonces, a los 5 segundos la aceleraciĂłn Entonces, a los 5 segundos la aceleraciĂłn es: = 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 8 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁÂ´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) Entonces, a los 5 segundos la aceleraciĂłn es: Entonces, a los 5 segundos la aceleraciĂłn es:

66 66 66 66

66

66 66 66 66

BibliografĂ­a

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segundos. ii.

54

Actividades

Glosario

AutoevaluaciĂłn

BibliografĂ­a

Modalidad Virtual

Grafique la posiciĂłn de la partĂ­cula, la velocidad y la aceleraciĂłn

UNIDAD II: LA DERIVADA SoluciĂłn i. Al derivar la funciĂłn: đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 3 â&#x2C6;&#x2019; 4đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2 + 7đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąse obtiene la velocidad, es decir: đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; đ?&#x2018; Â´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 3đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + 7

Y la aceleraciĂłn es la derivada de la funciĂłn velocidad: Y la aceleraciĂłn es la derivada de la funciĂłn velocidad:

Anotaciones

đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;ŁÂ´(đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą) = 6đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 8

Entonces, a los 5 segundos la aceleraciĂłn es:

Entonces, a los 5 segundos la aceleraciĂłn es: 8â&#x2C6;&#x2019;= 66 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5)đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) 6(5) == 6(5) â&#x2C6;&#x2019;6(5) 8= â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 8 30= 30 830 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 88 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) = 6(5) â&#x2C6;&#x2019; 8 = 30 â&#x2C6;&#x2019; 8 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = 6(5) â&#x2C6;&#x2019; 8 = 30 â&#x2C6;&#x2019; 8 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) =đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) 22 2222 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) ==6(5) â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  82=2 30 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 8 đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 2đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = 22 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; 22 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  respuesta Las grĂĄficas funciones đ?&#x2018; đ?&#x2018; , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; ,đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;dan , sea dan ađ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; continuaciĂłn: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5) ii. Las ii. ii. Las grĂĄficas grĂĄficas de las dede funciones laslas funciones đ?&#x2018; đ?&#x2018; , đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018; đ?&#x2018; , đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś=đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;22 ,đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  se continuaciĂłn: a continuaciĂłn: 2se dan ii. Las grĂĄficas de las funciones đ?&#x2018; đ?&#x2018; , đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; , se dan a continuaciĂłn: ii. Las grĂĄficas de las funcionesđ?&#x2018; đ?&#x2018; , đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; , se dan a continuaciĂłn: LasgrĂĄfi grĂĄficas lasfunciones funcioness, đ?&#x2018; đ?&#x2018; , vđ?&#x2018;Łđ?&#x2018;Ł yđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś a, đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; , se sedan dan aa continuaciĂłn: continuaciĂłn: ii.ii. Las cas dedelas

3.3 REGLA DE CADENA 3.3 3.3 LA REGLA LALA REGLA DE LA DE CADENA LALA CADENA 3.3 LA REGLA DE LA CADENA 3 3.3 LA REGLA DE LA CADENA LA REGLA DE LA En varios de los losCADENA ejemplos trabajados con anterioridad, anterioridad, se utilizĂł utilizĂł En En varios varios de de los ejemplos ejemplos trabajados trabajados con con anterioridad, se se utilizĂł de dede 3.3 LA REGLA DEEn LA CADENA varios dela los ejemplos trabajados condarĂĄ anterioridad, se la utilizĂł de maneraimplĂ­cita la regla cadena. esta secciĂłn se formalidad maneraimplĂ­cita maneraimplĂ­cita la regla la regla de la dede cadena. la cadena. En esta EnEnesta secciĂłn secciĂłn se lesedarĂĄ le le darĂĄ formalidad formalidad a la a a la En la varios dey se losverĂĄ ejemplos trabajados con anterioridad, utilizĂł de maneraimplĂ­cita laque regla de laesencial cadena.es En esta secciĂłn se se letrabajada. darĂĄ formalidad a la Reglade Cadena idea misma la Reglade Reglade la Cadena la Cadena y seyverĂĄ se verĂĄ que que la idea la la idea esencial esencial es laesmisma la la misma que que laque yalatrabajada. yaya trabajada. En varios de los ejemplos trabajados con anterioridad, se formalidad utilizĂł maneraimplĂ­cita lalatrabajados regla de y lacon cadena. En la esta sees lela darĂĄ la Reglade Cadena se verĂĄ que ideasecciĂłn esencial misma que ladeyaala trabajada. En varios de los ejemplos anterioridad, se utilizĂł de manera implĂ­cita maneraimplĂ­cita la regla de verĂĄ la cadena. Enformalidad esta secciĂłn seRegla le darĂĄ formalidad la Cadena se la idea esencial es la misma la ya trabajada. regla deReglade la cadena. En estaysecciĂłn seque le darĂĄ a la deque la Cadena y aselaverĂĄ Reglade la Cadena y se verĂĄ que la idea esencial es la misma que la ya trabajada.

que la idea esencial es la misma que la ya trabajada.

Sea đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = y= đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Sies ges diferenciable diferenciable "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 " y đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; Seađ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚSea = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) yđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) =yđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Siges Sig diferenciable en en "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľen 0 " "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľy 0 " đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;y Seađ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś "đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) yđ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘entonces = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Silages funciĂłn diferenciable en "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 " y đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; diferenciable compuesta 0 " entonces diferenciable diferenciable "đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ "đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ " entonces " la la funciĂłn funciĂłn compuesta compuesta Seađ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) y0đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ =0 đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Si ges " diferenciable "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 " y compuesta đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; diferenciable "đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ entonces laen funciĂłn 0 (đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; " y đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;ďż˝đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ es diferenciable en "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153;Sea (đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś yla0 " 0yfunciĂłn đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153;diferenciable đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;ďż˝đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ =yđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;ďż˝đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ diferenciable es diferenciable en "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ en ==đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ =es đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). Siges diferenciable en "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 " compuesta y đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; 0 " "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ "đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ entonces (đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =0 "đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;ďż˝đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ es diferenciable en "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 " y diferenciable entonces la en funciĂłn compuesta 0" (đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = "đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;ďż˝đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ es diferenciable "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ0 " y đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; ďż˝đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;ďż˝đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;)��� (đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;)(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;ďż˝đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ es diferenciable en "đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝[đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;´(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;´�đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; 0 " y)ďż˝[đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;´(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; = đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;´�đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; )ďż˝[đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;´(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; )] )]đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; )] ďż˝đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;ďż˝đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;)��� ďż˝đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;ďż˝đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;)��� == đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;´�đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;

EJEMPLO

đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;=đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; ďż˝đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;ďż˝đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;)��� =đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;´�đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;=đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;=đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; )ďż˝[đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;´(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; )] đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;=đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; )ďż˝[đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;´(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; )] = đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;´�đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; ďż˝đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;ďż˝đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;)��� đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;=đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; O esďż˝đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;ďż˝đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;)��� lo mismo: = đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2021;´�đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; )ďż˝[đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;´(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; )] O loOque lo lo que esque loesmismo: mismo: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;lo đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;=đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122; O lo que es lo mismo: đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x17D; O lo que es lo mismo: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; O lo que es lo mismo:= = .= ďż˝. . đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; ďż˝ ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;=đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;). = ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;=đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;=đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;= đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; . đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;=đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;=đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;) = . ďż˝ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;=đ?&#x2019;&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2C6;(đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x2122;)

Ejemplo Ejemplo Ejemplo

Ejemplo 20 2 20 Ejemplo2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = + 2) entonces haciendo đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2 tenemos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘20 de Si: donde: donde: donde: 2 + 2)20 entonces haciendo đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2 tenemos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘20 de Si: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľdonde: = (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2)20 entonces haciendo đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2 tenemos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘20 de Si: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śdonde: donde: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = 19 20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ donde: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = 20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = 19 20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś19 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 19

(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś2 = entonces haciendo đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = + 2tenemos tenemos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ dede 2 20+ 2) 20 entonces haciendo de Si: (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ= (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2) =Si: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + + 2)entonces entonces haciendo đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ = đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) =đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2=+= đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ22đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ tenemos 2 tenemos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2= đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) = đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) =đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘) đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘20 == de đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘20 Si: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚSi: 2 haciendo 20 Ejemplo = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘19 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; =19 = 20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

Por tanto:

67 6767 67 67

67


Desarrollo UNIDAD II: la DERIVADA de contenidos

Lecturas seleccionadas

Por tanto:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = = (20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘19 )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 19 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;= đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;= (20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Que al reemplazar "đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘" resulta: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = (20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘19 )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Recordatorio Que Por al reemplazar "u" resulta: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; tanto: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; resulta:2 Por al tanto: Que reemplazar "đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘" 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; +đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 40đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (20(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2)19 + 2)19 Por tanto: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Que al reemplazar đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; "đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘"=resulta: )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = = (20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘19)(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = (20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘19 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;2 =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 19 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = (20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘19 )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 40đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2)19 2) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;= (20(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = (20(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2)19 )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = 40đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2)19 Que al reemplazar "đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘" resulta: Por tanto: Que al reemplazar "đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘" đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; resulta: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;con un 19enfoque de cambio de variable Que reemplazar "đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘" fue resulta: El al ejemplo anterior resuelto Por tanto: = = (20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;2Pero đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;la prĂĄctica đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;en paraobservar la regla de esto no19es necesario, la regla 19 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;cadena. 19 )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (20(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (20(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2) =de 40đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2= 19 )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 + 2) 19 variable para observar = (20đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘ El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque cambio = + 2) + de 2)de = 40đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; delaElcadena puede ser aplicada de manera rĂĄpida. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; ejemplo anterior resuelto con un enfoque 2 19 2 19cambio de variable đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; fue (20(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = + 2) + 2) = 40đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ la regla de cadena. Pero en la prĂĄctica esto no es necesario, la regla de la cadena puede QueElal ejemplo reemplazar "đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘" anterior fue resuelto un enfoque de lavariable paraobservar la regla de cadena. Pero encon la prĂĄctica esto nodees cambio necesario, regla đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;resulta: paraobservar la regla de Pero en rĂĄpida. la prĂĄctica esto no es necesario, la regla ser dela aplicada manera rĂĄpida. cadena puede ser aplicada de manera Que alde reemplazar "đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;˘"cadena. resulta: EJEMPLOS đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;aplicada 2de manera dela cadena puede ser rĂĄpida. 2 19 (20(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2)19 )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 2)de = 40đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ El ejemplo anterior=fue resuelto con un enfoque cambio de variable El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de 19cambio de variable đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 19 2 4 paraobservar la regla de cadena. Pero en la prĂĄctica esto no escambio necesario, la regla )(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = (20(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2)encon 2) es 40đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ a) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = + 3) El ejemplo anterior fue resuelto un= enfoque de de la variable EJEMPLOS EJEMPLOS paraobservar la (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ regla deđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;cadena. Pero la prĂĄctica esto+no necesario, regla dela cadena puede ser aplicada de manera rĂĄpida.

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

Por tanto: Por tanto:

EJEMPLOS paraobservar la regla cadena. en la prĂĄctica esto no es necesario, la regla dela cadena puede ser de aplicada de Pero manera rĂĄpida.

4 cadenađ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś puede ser de manera rĂĄpida. SoluciĂłn a)dela Derivar: = (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)aplicada 4 a) Derivar: (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)fue a)El ejemplođ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = anterior resuelto con un enfoque de cambio de variable

EJEMPLOS Utilizando la formula (Regla laprĂĄctica cadena): paraobservar la siguiente regla de cadena. Pero endela esto no de es necesario, regla EJEMPLOS SoluciĂłn El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque cambio dela variable EJEMPLOS SoluciĂłn dela cadena puede ser aplicada de manera rĂĄpida. paraobservar la regla de cadena. Pero en la prĂĄctica esto no es necesario, la regla (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + a) Derivar: la đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = = + 3) 3)44 SoluciĂłn: (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Utilizando siguiente (Regla de la rĂĄpida. cadena): a) Derivar: dela cadenađ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś puede ser formula aplicada de manera 4 đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) a) Utilizando Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śla=siguiente formula (Regla delalacadena): cadena): đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;? Utilizando la siguiente formula (Regla đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? =de đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;) . đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;´ SoluciĂłn EJEMPLOS SoluciĂłn đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; SoluciĂłn đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? EJEMPLOS Utilizando la siguiente formula đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; (Regla de lađ?&#x2019;?đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;? cadena): . đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;´ đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?= đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)4 formula a) Derivar: = siguiente Utilizandođ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś la de la cadena): đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;(Regla đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013; = de đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;) . đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;´ 4 Utilizando la siguiente formula (Regla la cadena): (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)tendrĂ­amos: a) Derivar: Entonces en đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś el=ejercicio đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; SoluciĂłn đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;? SoluciĂłn đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?+ = = đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;) đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;´3) 4â&#x2C6;&#x2019;1 Entonces en el ejercicio tendrĂ­amos: (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.. + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3) đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;) đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;´ đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013; Utilizando la siguiente formula (Regla de la. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; cadena): Entonces en el ejercicio tendrĂ­amos: đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? = đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;)đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;´ Utilizando la siguiente formula đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;(Regla34â&#x2C6;&#x2019;1deđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;la cadena): . đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = = 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + + 3) 3) . (2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ Entonces en el ejercicio tendrĂ­amos: . (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = + 3)4â&#x2C6;&#x2019;1đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Entonces en el ejercicio tendrĂ­amos: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; . đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;´ đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;? Entonces en el ejercicio tendrĂ­amos: 3 đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013; += đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = =đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 8(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3)3đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;) đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; (2) . đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) Entonces en el ejercicio tendrĂ­amos: đ?&#x2019;?đ?&#x2019;? 3 =4â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?đ?&#x;? . đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;´ (2)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; .đ?&#x2019;?đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;&#x2013;+ 3) (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) . đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026;đ?&#x2019;&#x2026; 4â&#x2C6;&#x2019;1 3 . đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) b) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 8(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) 4â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) 3 . đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 8(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Entonces en el ejercicio tendrĂ­amos: (2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)33 . (2) SoluciĂłnđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ b) Derivar: . đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) Entonces en el ejercicio tendrĂ­amos: 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) . (2) b) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľcadena: đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =de 8(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)4â&#x2C6;&#x2019;1 .de đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; + 3) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 3) Utilizando la + Regla đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = = 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 8(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)3 respuesta SoluciĂłn la formula resumida đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; la đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 4â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ == 8(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ 3)3) . đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) 4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ SoluciĂłn b)Utilizando Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ resumida đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;cadena: . (2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =14(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +Regla 3)312â&#x2C6;&#x2019;1 de b) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śla=formula â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (1 la (1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = de â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . la 3 b) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Utilizando la â&#x2C6;&#x161;1 formula resumida la Regla de la cadena: b) Derivar: 2 =de4(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (2) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ + 3) .đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =18(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3)1â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; SoluciĂłn (1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 1â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;(1đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 3. SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 8(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3) 2 =de 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (1 (1cadena: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .de â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 1 la Utilizando la formula resumida la Regla 1 SoluciĂłn: b) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =laâ&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ resumida2de la Regla â&#x2C6;&#x2019;de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Utilizando formula la cadena: 2 (1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . (â&#x2C6;&#x2019;3) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = de la cadena: 2 la Regla b)Utilizando Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śla=formula â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ resumida1 de 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;1 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)12â&#x2C6;&#x2019;1 SoluciĂłn â&#x2C6;&#x2019;. (1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 1 (1 21 . 2 . đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (1 (1 = â&#x2C6;&#x2019; 33đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 1(â&#x2C6;&#x2019;3) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =de â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 1(1 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Utilizando la formula resumida deđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; la cadena: â&#x2C6;&#x2019; SoluciĂłn 22 2la Regla2â&#x2C6;&#x2019;1 2

(1 (1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;(13đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´== 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ). . (â&#x2C6;&#x2019;3)

Utilizando la formula resumida de Regla deđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; la cadena: 2 la 22â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

3 Utilizando la formula resumida de 1 la Regla 1de la cadena:

â&#x20AC;&#x192;

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´1= â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 13 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;1 (1 (â&#x2C6;&#x2019;3) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´(1 =â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ . â&#x2C6;&#x2019;221..(1 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (1 (â&#x2C6;&#x2019;3) = â&#x2C6;&#x2019; 12â&#x2C6;&#x161;1 2â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1 2 2â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;1 (1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 (1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = =(1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) .2 . (â&#x2C6;&#x2019;3) 2 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 33 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = =â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 1 1 2â&#x2C6;&#x161;1 3 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2 . (â&#x2C6;&#x2019;3) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; (12â&#x2C6;&#x161;1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´== â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 12â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)â&#x2C6;&#x2019;2 . (â&#x2C6;&#x2019;3) 2 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x161;1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ respuesta

3 c) Derivar:đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = ďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)2 c) Derivar:

SoluciĂłn

SoluciĂłn:

Utilizando la formula resumida de la Regla de la cadena:

Utilizando la formula resumida de la Regla de la cadena: 2 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)3â&#x2C6;&#x2019;1 . (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7) 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)3 . (8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =

16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;

68 68 68 68 68 68 68

68

Anotaciones

BibliografĂ­a

55


56

Actividades

AutoevaluaciĂłn

Modalidad Virtual

3

3 ďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 22 22 UNIDAD II:Derivar: la DERIVADA c)c)Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś==ďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;7)7) 3

c) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = ďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)2 SoluciĂłn

Glosario

Anotaciones

BibliografĂ­a

SoluciĂłn 3 c) Derivar:đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = ďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)2 SoluciĂłn Utilizando la formula resumidadedelalaRegla Regladedelalacadena: cadena: Utilizando la formula resumida 3 SoluciĂłn 2 2 c) Derivar:đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = ďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;Utilizando 7) la formula resumida de la Regla de la cadena: 2

2 â&#x2C6;&#x2019;1đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 2 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;1 3 3 (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 â&#x2C6;&#x2019; 7) 7) . (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 la. Regla (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;7) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´== â&#x2C6;&#x2019; la 7) cadena: c) Derivar:đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = ďż˝(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)2 Utilizando la formula resumida de 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; de 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; SoluciĂłn 23 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;1 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)3 . (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7) 1 3 22 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 21 SoluciĂłn đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;13 . (8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Utilizando la formula resumida de la Regla de đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ lađ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´= cadena: 2 2 2 â&#x2C6;&#x2019;37) (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 3 . (8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 7) . (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7) (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ==(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7) 323 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1 Utilizando la formula resumida de la Regla de la đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ cadena: = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)3 . (8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)3â&#x2C6;&#x2019;1 . (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ =2 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; â&#x2C6;&#x2019; 7)3 . (8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 2 ďż˝ â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 3 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 2 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 2â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;7 7 respuesta 3 ďż˝4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7)3 . (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 7) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1 2 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 ďż˝4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 7 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 7)3 . (8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 3 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 3 1 3 2 =2(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++1)1) 44 d)Derivar: Derivar: 3 ďż˝4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 7 d) = (1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 7) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)33.(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 3 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ d) d)Derivar: Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (13 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ SoluciĂłn SoluciĂłn 2â&#x2C6;&#x2019;7 ďż˝ 16đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ d) Derivar: 1)4 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś3= (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; SoluciĂłn Utilizando la formula dederivaciĂłn derivaciĂłndedeun unproducto productodedefunciones funcionesy yRegla Regladedelala ďż˝4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019;de 3 7 Utilizando la formula SoluciĂłn:

cadena:

cadena: 4 la formula de derivaciĂłn de un producto de funciones y Regla de la (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽSoluciĂłn d) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3Utilizando + 1) Utilizando la formula de derivaciĂłn de un producto de funciones y Regla de la cadena: 4 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; funciones 3đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; cadena: la formula de3derivaciĂłn producto y Regla de la d) Derivar: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽUtilizando + 1) (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++1)de (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4 4un 4 4 . de 33 1) SoluciĂłn đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´==(1(1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . . đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++1)1) . đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;(1(1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) cadena: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 . (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 + (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 . (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 SoluciĂłn Utilizando la formula de de funciones y Regla de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;la đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; a derivaciĂłn de un producto b đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; a cadena: (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 + (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 . (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = b(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 . funciones Utilizando la formula de derivaciĂłn de un producto de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; y Regla de la đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; a b cadena: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 4 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (1 â&#x2C6;&#x2019;ađ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 . (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 + (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 +b1) . 3 3(1 3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (1 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++1)ďż˝ 3 3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 33 20(1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . + 1) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1)ďż˝==20(1 ďż˝4(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (1 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . + 1) ++1)1) ďż˝4(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (1đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 . (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 +3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 . 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . ďż˝4(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)ďż˝ = 20(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)3 a b đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 43 2đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;(1 43 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 21)3 =â&#x2C6;&#x2019;3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ . ďż˝3(1 . (1 â&#x2C6;&#x2019;(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (1 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D;(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019;1) = 20(1 â&#x2C6;&#x2019;1) . ďż˝4(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +2 .1) +=1)ďż˝ + (1(1 ++1) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?== ++1) . ďż˝3(1 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; a b đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 . ďż˝3(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 . (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ = â&#x2C6;&#x2019;3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3Luego: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; + 1)3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)ďż˝ = 20(1 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)Luego: . ďż˝4(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)3 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 . ďż˝3(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 . (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ = â&#x2C6;&#x2019;3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 3 3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)ďż˝ = 20(13â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ3+ 1)3 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x17D; = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . ďż˝4(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1) Luego: 4 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++1)1) 3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; 3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1) 22 20(1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 (1(1â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´==20(1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 4 2 4 2 (1 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1) .Luego: ďż˝3(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) . (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ = â&#x2C6;&#x2019;3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ 1) 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 4 (1 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1) == 20(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 1) 1) â&#x2C6;&#x2019;+ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)1)] 2 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 [20(1 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 2 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 34[20(1 3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (1(1â&#x2C6;&#x2019;=â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ â&#x2C6;&#x2019; = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)ďż˝ +++1) (1 â&#x2C6;&#x2019;3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? = (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 . ďż˝3(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 . (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) Luego: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 20(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)3 â&#x2C6;&#x2019; 3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)4 (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 Luego: 2 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 (â&#x2C6;&#x2019;35đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)]đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´==(1(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)22(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ 1)33[20(1 17) (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;35đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (1 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 1)1) ++17) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 [20(1 Luego: (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 1) 4 (1 3 2 2 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 20(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 1)3=â&#x2C6;&#x2019;(13(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (â&#x2C6;&#x2019;35đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) + 1) + 17) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 42(1 2 3 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = 20(1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)3 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 31)3 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)1) (1+ 1) (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (â&#x2C6;&#x2019;35đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 17) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + + 1)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1) [20(1

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)3 [20(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x2019; 3(5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)] đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)3 (â&#x2C6;&#x2019;35đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 17) đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ = (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ)2 (5đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 1)3 (â&#x2C6;&#x2019;35đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 17)

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; respuesta

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TEMA N° 4: DERIVADAS IMPL�CITAS TEMA N° 4: DERIVADAS IMPL�CITAS 1 DERIVADAS IMPL�CITAS

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TEMA N° 4: DERIVADAS IMPL�CITAS

4.1 4.1

69 Cuando se da una relaciĂłn entre dos o mĂĄs variables y la funciĂłn dada no estĂĄ resuelta 69 DERIVADAS IMPLĂ?CITAS parase una de lasrelaciĂłn variables, entonces se levariables llama funciĂłn implĂ­cita. Cuando da una entre dos o mĂĄs y la funciĂłn dada no estĂĄ DERIVADAS IMPLĂ?CITAS

resueltapara una de las variables, entonces se le llama funciĂłn implĂ­cita. Cuando se da una relaciĂłn entre dos o mĂĄs variables y la funciĂłn dada no estĂĄ resueltapara una de variables, entonces se llama funciĂłn implĂ­cita. Cuando enlas una expresiĂłn algebraica, se encuentra despejada variable Cuando en una expresiĂłn algebraica, se leencuentra despejada una una variable se dice queestĂĄ estĂĄen formaexplĂ­cita, explĂ­cita, ejemplo: ejemplo: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ-3 en forma Cuando en una expresiĂłn algebraica, se encuentra despejada una variable se đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ-3 dice que estĂĄen forma explĂ­cita, ejemplo: En algunas ocasiones tenemos relaciĂłn de dos o mĂĄs variables en la cual no

se dice que

estĂĄdespejada ninguna variable, en esterelaciĂłn caso se de dice que estĂĄ variables en forma en implĂ­cita, En algunas ocasiones tenemos dos o mĂĄs la cual no estĂĄ desEn algunas relaciĂłn de dos o mĂĄs variables en la cual no 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 +ocasiones đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śninguna = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 tenemos ejemplo: pejada variable, en este caso se dice que estĂĄ en forma implĂ­cita, ejemplo: estĂĄdespejada ninguna variable, en este caso se dice que estĂĄ en forma implĂ­cita, 2 2 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; ejemplo: En los temas anteriores se vio como derivar funciones explicitas, pero no

siempre es fĂĄcildespejar una variable para poderla derivar, ejemplo: En los temas anteriores se vio como derivar funciones explicitas, pero no siempre es fĂĄcildespejar una variable3 para 2poderla derivar, ejemplo:

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0

3

đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0

Para derivar la expresiĂłn anterior, derivamos ambos miembros de la ecuaciĂłn con respecto a â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ", posteriormente se despeja "đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ ". Para derivar la expresiĂłn anterior, derivamos ambos miembros de la ecuaciĂłn con respecto a â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ", posteriormente se despeja "đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ ". Ejemplo:

Ejemplo: Derive la siguiente funciĂłn: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 = 9 Derive la siguiente funciĂłn: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 = 9 SoluciĂłn:


4.1

N° 4: DERIVADAS IMPL�CITAS DERIVADAS TEMA IMPL�CITAS TEMA N° 4: DERIVADAS IMPL�CITAS

Cuando se da una relación entre dos o mås variables y la función dada no estå 4: DERIVADAS 4.1 resueltapara DERIVADAS IMPL�CITAS unaTEMA de las N° variables, entonces seIMPL�CITAS le llama función implícita.

TEMA N° 4: DERIVADAS IMPL�CITAS

4.1

Desarrollo UNIDAD II: la DERIVADA de contenidos

DERIVADAS IMPLĂ?CITAS Cuando unaexpresiĂłn relaciĂłn entre dos o se mĂĄs variables despejada y la funciĂłn dada no estĂĄ Cuando se enda una algebraica, encuentra una variable se unaIMPLĂ?CITAS de las explĂ­cita, variables,ejemplo: entonces đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śse=le funciĂłn implĂ­cita. 4.1 resueltapara DERIVADAS đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2llama + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ-3 dice que estĂĄen forma Cuando se daIMPLĂ?CITAS una relaciĂłn entre dos o mĂĄs variables y la funciĂłn dada no estĂĄ 4.1 DERIVADAS TEMA N° 4: DERIVADAS IMPLĂ?CITAS resueltapara una de expresiĂłn las variables, entonces le llama funciĂłn implĂ­cita. Cuando en algebraica, sesede encuentra despejada una se Cuando se dauna una relaciĂłn entre dos o mĂĄs variables y lavariables funciĂłn dada estĂĄ En algunas ocasiones tenemos relaciĂłn dos o mĂĄs envariable lanocual no Lecturas 2llama funciĂłn resueltapara una de las variables, entonces se le implĂ­cita. Cuando se da una relaciĂłn entre dos o mĂĄs variables y la funciĂłn dada implĂ­cita, no estĂĄ seleccionadas đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľse+dice 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ-3que estĂĄ en forma dice que estĂĄen ninguna forma explĂ­cita, estĂĄdespejada variable,ejemplo: en este caso Cuando en una expresiĂłn algebraica, se encuentra despejada una variable se 2 2 2 de=las 4.1 resueltapara DERIVADAS đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ una + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚIMPLĂ?CITAS đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; variables, entonces se le2llama funciĂłn implĂ­cita. ejemplo: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ dos + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ dice que estĂĄen forma explĂ­cita, ejemplo: se Cuando en una expresiĂłn encuentra despejada una se En algunas ocasiones o -3 mĂĄs variables envariable la cual no es En los temas anteriores se tenemos vio algebraica, comorelaciĂłn derivar de funciones explicitas, pero no siempre 2 Cuando en una expresiĂłn algebraica, se encuentra despejada una variable seno đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ -3 dice que estĂĄen forma explĂ­cita, ejemplo: estĂĄdespejada ninguna variable, en este caso se dice que estĂĄ en forma implĂ­cita, da variable una relaciĂłn entre dos o mĂĄs variables y la funciĂłn dada no estĂĄ En los setemas anteriores se vio como derivar funciones explicitas, pero fĂĄcil despejar una para poder la derivar, ejemplo: En tenemos relaciĂłn o-3 mĂĄs variables en la cual no 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śse =deđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ dice quealgunas estĂĄen forma ejemplo: resueltapara una de variables, entonces le2dos llama funciĂłn implĂ­cita. đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2fĂĄcildespejar + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śocasiones =las đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2explĂ­cita, ejemplo: siempre es una variable para poderla derivar, ejemplo: estĂĄdespejada ninguna variable, enrelaciĂłn este caso se dice que variables estĂĄ en forma En algunas ocasiones tenemos de dos o mĂĄs en laimplĂ­cita, cual no Recordatorio 2 2 +ninguna đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =anteriores đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 variable, ejemplo: 3este 2sede estĂĄdespejada caso se dice que estĂĄ en forma implĂ­cita, En ocasiones tenemos relaciĂłn dos o mĂĄs variables en la cual Cuando una expresiĂłn algebraica, encuentra despejada una variable se En algunas losđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľen temas se en vio como derivar funciones explicitas, pero no no đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0 2 estĂĄdespejada ninguna variable, en este caso dice que estĂĄ en forma implĂ­cita, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2fĂĄcildespejar + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 explĂ­cita, ejemplo: siempre es una variable para derivar, ejemplo: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śpoderla = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľse2 + 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ -3 dice que estĂĄen forma ejemplo: En losđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2temas se vio como derivar funciones explicitas, pero no 2 anteriores + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śla =expresiĂłn đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; 2 ejemplo: Para derivar anterior, derivamos ambos miembros de la ecuaciĂłn siempre estemas fĂĄcildespejar una variable para derivar, ejemplo: 3 como 2 poderla En los anteriores se derivar explicitas, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śderivamos â&#x2C6;&#x2019;se 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľdespeja + de đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = algunas ocasiones tenemos relaciĂłn dos mĂĄs variables la pero cual no respecto a â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ", posteriormente "đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´0 ".ofunciones Paracon derivar la expresiĂłn anterior,vio ambos miembros de laen ecuaciĂłn con ressiempre es temas fĂĄcildespejar una variable para poderla derivar, ejemplo: En los anteriores se en vio como derivar funciones explicitas, pero no estĂĄdespejada ninguna variable, este caso se dice que estĂĄ en forma implĂ­cita, 3 2 pecto a â&#x20AC;&#x153;x", posteriormente se despeja "y´ ". đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0 2 2 2 siempre esđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ fĂĄcildespejar una anterior, variable para poderlaambos derivar,miembros ejemplo: de la ecuaciĂłn Para derivar derivamos + la đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś expresiĂłn = đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x; ejemplo: Ejemplo: 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 3 â&#x2C6;&#x2019;se3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľdespeja + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ="đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ 0 ". con respecto a â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ", posteriormente Para la expresiĂłn anterior, ambos miembros de la pero ecuaciĂłn 3 2 derivamos 2 =0 En derivar los temas anteriores como derivar funciones explicitas, no đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś+vio đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 9 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś Derive la siguiente funciĂłn: se Ejemplo con respecto a â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ", posteriormente se despeja "đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ ". Ejemplo: Para derivar la expresiĂłn ambos miembros siempre es fĂĄcildespejar unaanterior, variable derivamos para poderla derivar, ejemplo: de la ecuaciĂłn con respecto posteriormente despeja "đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ambos ". Para derivar alaâ&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ", expresiĂłn anterior,sederivamos miembros de la ecuaciĂłn SoluciĂłn: Ejemplo: 2 despeja con respecto a â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ",funciĂłn: posteriormente "đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´0". = Derive siguiente funciĂłn: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śse â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ92 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = Derive lalasiguiente Ejemplo: a) Derivando ambos miembros, tendrĂ­amos: Derive la siguiente funciĂłn: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 = 9 Ejemplo: SoluciĂłn: Para derivar la expresiĂłn anterior, derivamos ambos miembros de la ecuaciĂłn đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2se = despeja 9 Derive la siguiente SoluciĂłn: con respecto a â&#x20AC;&#x153;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ",funciĂłn: posteriormente "đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ ". đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 ) = 9 SoluciĂłn: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 =tendrĂ­amos: 9 Derive siguiente ambos funciĂłn: a) laDerivando miembros, đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; a) Derivando ambos miembros, tendrĂ­amos: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; SoluciĂłn: Ejemplo: a) Derivando ambos miembros, tendrĂ­amos: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 22 2đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; SoluciĂłn: (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś= = 09 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; a) la Derivando miembros, đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 tendrĂ­amos: =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Derive siguienteambos funciĂłn: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;9 2 a) Derivando ambos miembros, tendrĂ­amos: (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 ) = 9 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; b) Derivando termino a termino: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; SoluciĂłn: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 9 0 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2 ++đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 ) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2+ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = 9 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + + 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = 00 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ a) Derivando ambos miembros, tendrĂ­amos: = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; b) Derivando termino a termino: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 )đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + b) termino a termino: (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;= 9 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś c) Derivando Despejando đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;0 b) Derivando termino a termino: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; b) Derivando termino a termino: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 0 b) Derivando termino a termino: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ2+đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;= â&#x2C6;&#x2019;2 = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś= 0 c) Despejando đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =0 c) Despejando Note que la expresiĂłn resultante seđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ encuentra en termino de (x,y), b) Derivando termino a termino: =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019; c) Despejando đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś enalgunas ocasionesesto resultađ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;incomodo, pero como generalmente la c) Despejando đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ c) Despejando derivada la utilizamos para encontrar lapendiente en un punto en el que son =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; tendremosdificultad. Note que las la coordenadas expresiĂłn resultante seđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ encuentra en termino de (x,y), conocidas (x,y), no đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;incomodo, đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś enalgunas ocasionesesto resultađ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; pero como generalmente la =â&#x2C6;&#x2019; Note que la expresiĂłn resultante seđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś encuentra enpunto termino de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; lalapendiente derivada utilizamos para encontrar que(x,y), son AsĂ­, si seladesea calcular el valor de derivada enen el un punto (3, en 4),elentonces: c) Despejando enalgunas ocasionesesto resulta pero como generalmente la conocidas coordenadas (x,y), noincomodo, tendremosdificultad. Note que las la expresiĂłn resultante se encuentra en termino de (x,y), derivada la utilizamos para encontrar lapendiente en un punto en el que son enalgunas resulta đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; incomodo, pero como generalmente la Note que ocasionesesto la expresiĂłn resultante se đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ encuentra en termino de (x,y), = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ conocidas las coordenadas (x,y), đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; noincomodo, tendremosdificultad. 3 pero AsĂ­, si seladesea calcular elresulta valor derivada enen elcomo punto (3,en 4),elentonces: derivada utilizamos para encontrar un punto que son enalgunas ocasionesesto generalmente la đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;lalapendiente đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś Note que la expresiĂłn resultante se de encuentra = â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;en termino de (x,y), en algunas ocaconocidaslalas coordenadas no derivada utilizamos para (x,y), encontrar lapendiente en un punto en el que son đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; tendremosdificultad. đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 4 siones resulta incomodo, perono como generalmente la derivada la utilizamos AsĂ­,esto si se desea calcular el (x,y), valor de la derivada en el punto (3, 4), entonces: conocidas tendremosdificultad. Note que las la coordenadas expresiĂłn resultante se encuentra en termino de (x,y), paraAsĂ­, encontrar la pendiente en un punto en el que son conocidas las coordenadas đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 70 si se desea calcular el valor de la derivada en el punto (3, 4), entonces: enalgunas ocasionesesto resulta incomodo, = â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; pero como generalmente la (x,y), nositendremos dificultad. AsĂ­, se la desea calcular el valor de la lapendiente derivada el punto (3, 4), entonces: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 4 en en derivada utilizamos para encontrar un punto en el que son đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019; =â&#x2C6;&#x2019; conocidas las coordenadas (x,y), no=tendremosdificultad. đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 34 70 = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x2019; 3 AsĂ­, AsĂ­, si sesidesea calcular el valor de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; la en punto (3,(3, 4),4), entonces: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 4 el se desea calcular el valor dederivada la derivada en el punto entonces: =â&#x2C6;&#x2019; =â&#x2C6;&#x2019; 70 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 4 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; =â&#x2C6;&#x2019; =â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 4 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

Ejercicios Resueltos: Ejercicios Resueltos:

Ejercicios Resueltos: DerivelalafunciĂłn: funciĂłn: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 3 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0 1. 1)Derive

1) Derive la funciĂłn: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 3 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0 SoluciĂłn:

SoluciĂłn:

SoluciĂłn:

Derivando tĂŠrmino a tĂŠrmino enexpresiĂłn: la expresiĂłn: Derivando tĂŠrmino a tĂŠrmino en la

Derivando tĂŠrmino a tĂŠrmino en la expresiĂłn: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 2 (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 3 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Derivando tĂŠrmino a tĂŠrmino: Derivando tĂŠrmino a tĂŠrmino:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =0 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =0 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

Derivando tĂŠrmino a tĂŠrmino: Despejando Despejando

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

2) Derive la funciĂłn: (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)2 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

70 70 70

ANALISIS MATEMĂ TICO I Actividades AutoevaluaciĂłn MANUAL AUTOFORMATIVO

Glosario

Anotaciones

BibliografĂ­a

57


58

Actividades

AutoevaluaciĂłn

Glosario

BibliografĂ­a

DerivandotĂŠrmino tĂŠrminoa atĂŠrmino tĂŠrminoenenlala expresiĂłn: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;expresiĂłn: Derivando (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 3 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Derivando tĂŠrmino a tĂŠrmino en đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; la expresiĂłn: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 33 2 22 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 0 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;+ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 33 2 UNIDAD II: la DERIVADA đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 0= 0 (đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 33 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 22 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś= = 00 Derivando tĂŠrmino a tĂŠrmino: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; DerivandotĂŠrmino tĂŠrminoa atĂŠrmino: tĂŠrmino: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Derivando â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =0 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Derivando tĂŠrmino a tĂŠrmino: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 2 2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ++ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = = 00 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś Despejando đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =0 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Despejando đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś Despejando Despejando = 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Despejando â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = = 2 22 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 6đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+â&#x2C6;&#x2019;+ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

Modalidad Virtual

Anotaciones

2) Derive DerivelalafunciĂłn: funciĂłn: (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)2 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2.

2 2 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) Derive funciĂłn:(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2)2)Derive lalafunciĂłn: SoluciĂłn: SoluciĂłn: 2) Derive la funciĂłn: (2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)2 = đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś SoluciĂłn: SoluciĂłn: Siguiendo los pasos anteriormente descritos, obtenemos: Siguiendo los pasos anteriormente descritos, obtenemos: SoluciĂłn: Siguiendolos lospasos pasosanteriormente anteriormentedescritos, descritos,obtenemos: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;obtenemos: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Siguiendo 2(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝2 + 3 ďż˝ = 1 + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Siguiendo los pasos anteriormente descritos,đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;obtenemos: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; ďż˝= 1+ 2(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) 2(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝2ďż˝2 ++ 33 ďż˝= 1+ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++ 6đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) 2(2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝2ďż˝2++3 3 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; ďż˝ ďż˝==1 1++ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 6đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) 3 ďż˝= ďż˝= 1+ (4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ 6đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝2ďż˝2 ++ 3đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1+ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(4đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + ďż˝2 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ+ 3 + ďż˝18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + 6đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) + = 1 + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = 1đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + + 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = = 1+ 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ++ 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1 + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; = 1 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; + 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; + 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = 1 + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + + 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; = = 1â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 1â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; = 1 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś Despejando obtendremosđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; la derivada đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; de đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; la funciĂłn implĂ­cita:

Despejandoobtendremos obtendremoslaladerivada derivadadedelalafunciĂłn funciĂłnimplĂ­cita: implĂ­cita: Despejando

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; de 1la â&#x2C6;&#x2019;lafunciĂłn 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽfunciĂłn â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś implĂ­cita: Despejando obtendremos Despejando obtendremoslaladerivada derivada de implĂ­cita:

= đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1 1â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1 â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; 12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś == 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 11 1â&#x2C6;&#x2019; 8đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;12đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 12đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + 18đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1 3) Derivar la siguiente funciĂłn implĂ­cita đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ++đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)==đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śtan tan Derivar siguientefunciĂłn funciĂłnimplĂ­cita implĂ­citađ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3)3)Derivar lalasiguiente SoluciĂłn: 2 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (x+y)=y đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; sen + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2tanx tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 3) implĂ­cita 3) Derivar Derivarlalasiguiente siguientefunciĂłn funciĂłn implĂ­cita SoluciĂłn: SoluciĂłn:

SoluciĂłn:

SoluciĂłn:

Siguiendo los pasos anteriormente descritos, obtenemos:

Siguiendo los pasos anteriormente descritos, obtenemos:

71 7171 71

Siguiendo los pasos anteriormenteđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;descritos, obtenemos:đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝1 + ďż˝ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝1 + ďż˝ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Siguiendo los pasos anteriormente descritos, obtenemos: cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) + cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) + cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝1 + ďż˝ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + tan đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 2 (cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)deđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;laâ&#x2C6;&#x2019; funciĂłn 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. tan đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ implĂ­cita: = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ Despejando obtendremos la+derivada đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

Despejando obtendremos Despejando obtendremoslaladerivada derivadade delalafunciĂłn funciĂłn implĂ­cita: implĂ­cita:

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 2 2 (cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś.đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;= cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; +2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = Despejando obtendremos la derivada de la funciĂłn implĂ­cita: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ

4) Determinar la ecuaciĂłn de la recta normal a la curva cuya ecuaciĂłn es: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)enđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(0,0) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) 4) Determinar la ecuaciĂłn de la recta = normal a la curva cuya ecuaciĂłn es: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.Determinar đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  la (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ecuaciĂłn + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)enđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(0,0) 4) SoluciĂłn: de la recta normal a la curva cuya ecuaciĂłn es:

sen (x+y) en P(0,0)

x.cos y =

SoluciĂłn: la ecuaciĂłn de la recta normal a la curva cuya ecuaciĂłn es: 4) La Determinar recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)enđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(0,0) 1 La recta normal es la perpendicular a la=recta đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; tangente, por tanto: SoluciĂłn:

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 1

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019; tangente, por tanto: La SoluciĂłn: recta normal es la perpendicular a la recta đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą

Derivando la funciĂłn implĂ­citamente: La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto: 1 Derivando la funciĂłn implĂ­citamente: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = =(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Derivando la funciĂłn implĂ­citamente: Obtenemos: Obtenemos:

1. cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

ďż˝ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝1 +

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; =

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

ďż˝

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;

1. cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ďż˝đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;= cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝1 + ďż˝ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; de punto, es decir En la Ăşltima expresiĂłn se puede reemplazar las coordenadas đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;ĽObtenemos: = 0 y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0, y luego despejarđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ : En la Ăşltima expresiĂłn se puede reemplazar las coordenadas de punto, es decir


2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;de đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)implĂ­cita: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  Despejando obtendremos la đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; derivada funciĂłn 2 2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;la = đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) (cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) (cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľcos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ +đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śâ&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 4) Determinar la ecuaciĂłn de lađ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;recta normal a la curva cuya ecuaciĂłn es: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 2 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą 2đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ) 2 = đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ (cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)enđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(0,0) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś Despejando obtendremos derivada funciĂłn implĂ­cita: Desarrollo Despejando obtendremos lala derivada dede lala funciĂłn implĂ­cita: = UNIDAD II: la DERIVADA de contenidos 4) Determinar la ecuaciĂłn de lađ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; recta normal a 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. la curva cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ cuya ecuaciĂłn es: SoluciĂłn:obtendremos Despejando la derivada de la funciĂłn implĂ­cita: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)enđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(0,0) 2 2 đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  2 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; =đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  La recta normal es la perpendicular a đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľlaâ&#x2C6;&#x2019;recta tangente, por tanto: = 4) Determinar lađ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; recta normal a la1curva cuya ecuaciĂłn es: 2cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; SoluciĂłn: la ecuaciĂłn deđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  +đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś.2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś. đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)enđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(0,0) = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019; Lecturas đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś.đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; seleccionadas đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ La recta normal es laimplĂ­citamente: perpendicular a la recta tangente, por tanto: Derivando la funciĂłn Determinar ecuaciĂłn recta normal cuya ecuaciĂłn es: 1curvacuya SoluciĂłn:lala 4)4)Determinar ecuaciĂłn dede lala recta aa lala curva ecuaciĂłn es: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;normal Derivando la funciĂłn implĂ­citamente: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) enđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(0,0) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) enđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(0,0) 4) Determinar la ecuaciĂłn de la recta normal a la curva cuya ecuaciĂłn es: đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą La recta normal esenđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x192;(0,0) la perpendicular a la recta tangente, por tanto: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1 SoluciĂłn: (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = = (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)) SoluciĂłn: Derivando la funciĂłn implĂ­citamente: Recordatorio đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą SoluciĂłn: recta normal perpendicular recta tangente, por tanto: LaLa recta normal eses lala perpendicular aa lala recta tangente, por tanto: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Obtenemos: 1 (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?ađ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)la=recta(đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  1 la funciĂłn implĂ­citamente: LaDerivando recta normal es la perpendicular tangente, por tanto: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; 1. cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś =ďż˝ â&#x2C6;&#x2019; = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ 1đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝1 + ďż˝ Obtenemos: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Obtenemos: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;Ą (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = Derivando funciĂłn implĂ­citamente: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; las coordenadas đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Derivando lala funciĂłn implĂ­citamente: En la Ăşltima expresiĂłn seđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; puede reemplazar 1. cos + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ďż˝ = cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝1 + ďż˝ de punto, es decir đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śla = funciĂłn 0, y luego despejarđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ : Derivando implĂ­citamente: Obtenemos: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)) (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ. (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? reemplazar đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; las (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ coordenadas + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; de punto, es decir En la Ăşltima expresiĂłn se puede đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1. cos + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; 0đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; ďż˝ =cos(0 cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)ďż˝1 ďż˝1 + �� đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 0+ (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ.0 đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;?đ?&#x2018;? (đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++0) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0, y luegocos despejarđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ : =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś)) + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;ďż˝ = đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; EnObtenemos: la Ăşltima expresiĂłn se puede reemplazar las coordenadas de punto, es decir Obtenemos: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; de punto, es decir đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; se puede las đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; coordenadas xObtenemos: =En 0 la y yĂşltima = 0, y expresiĂłn luego despejar y´�â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  : reemplazar đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś++ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ��= ďż˝== cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝1 cos cos(0 0) ďż˝1 = 0 +ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  0 =:1 â&#x;š 1. 1. cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0+ đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ10ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś0+ cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ++ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝1 +++đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; ��� đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0, y luego despejarđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1. cos đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś + đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś ďż˝ = cos(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś) ďż˝1 + ďż˝ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; horizontal đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Ăşltima expresiĂłn puede reemplazar las đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; coordenadas punto, decir Esto quiere decir quecos lase tangente la recta normal EnEn lala Ăşltima expresiĂłn se puede las dede punto, eses decir 0reemplazar = 10+ ďż˝es â&#x;š coordenadas 0y+porďż˝tanto 0recta +10+ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  = cos(0 + 0)=ďż˝1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0, y luego despejarđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ : đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; serĂĄ vertical con pendiente: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0, y luego despejarđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´ : En la Ăşltima expresiĂłn se puede reemplazar las coordenadas de punto, es decir

1 đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 y đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś = 0, y luego despejarđ?&#x2018;Śđ?&#x2018;ŚÂ´đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;: =esâ&#x2C6;&#x2019; horizontal = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; tanto la recta normal Esto quiere decir que la recta tangente yđ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; por đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; 0â&#x;š 10+ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  0 = 1đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; + ďż˝ = cos(0 0+ cos 0 + 0 0)=ďż˝1 cos 0 + 0 ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; ďż˝đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = cos(0 + + 0) �� serĂĄ vertical con pendiente: đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;ďż˝1 + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1 1 cos 0 + 0 ďż˝â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018; đ?&#x2018;  0 ďż˝ = cos(0 + 0) ďż˝1 + ďż˝ Y su ecuaciĂłn serĂĄ: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 0 = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 0) = â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; Esto quiere decir que la recta0tangente 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; = 0y por tanto la recta normal đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; es horizontal 1 + 0 = 1 =0 1 + 0 = 1 + + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; â&#x;šâ&#x;š đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; serĂĄ vertical con pendiente: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =quiere 0 (el decir eje y)que la recta tangente đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; 1 Esto â&#x;š1 = 0y por tanto la recta normal serĂĄ Y su ecuaciĂłn serĂĄ: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 01=+â&#x2C6;&#x2019;0 =(đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ1â&#x2C6;&#x2019;+0) es horizontal 0đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;horizontal =đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; y por tanto la recta normal đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2018; =es đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; vertical con pendiente: Esto quiere decir que la recta tangente 0 Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal serĂĄ con pendiente: đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ =quiere 0vertical (el decir eje y)pendiente: serĂĄ vertical con Esto que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal 1 Y su ecuaciĂłn serĂĄ: đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 0 = â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 0) 11 0đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161; serĂĄ vertical con pendiente: đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A; = â&#x2C6;&#x2019; 1 0 = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 0

đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;Ľ = 0 (el eje y) đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;1đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x203A;đ?