Issuu on Google+

Розділ 2

Тригонометричні функції У розділі ви дізнаєтесь: • як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс будьякого кута; • що таке тригонометричні функції числового аргументу, які вони мають властивості та які реальні процеси описують; • який вигляд мають графіки тригоно­ метричних функцій, як їх будують; • які існують залежності між тригоно­ метричними функціями одного й того самого аргументу; • які рівняння належать до тригонометрич­ них і як їх розв’язують


ТригонометрИчні функції

9

§ 

71

Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів від 0° до 180°  (повторення)

З курсу геометрії вам відомо, що в прямокутному ABC (∠C = 90°) катет a є прилеглим до кута B і протилежним куту A (мал. 46). Відповідно катет b прилеглий до кута А і протилежний куту B. Відомо, що відношення проти­ лежного куту катета до гіпотенузи називається синусом цього кута, а відно­ шення прилеглого до кута катета до гіпотенузи  — косинусом кута. Тобто a b a b  = sin A,   = sin B  і   = cos B,   = cos A. c c c c

Відношення протилежного і прилеглого до кута катетів називається тангенсом кута, а обернене відношення  — B котангенсом кута. Отже, a b b a  = tg A,   = tg B,   = ctg A і   = ctg B. b a a b c a Характерно, що всі зазначені від­ношення залежать лише від міри відповідного кута і не залежать від довжин сторін трикутника. Це A C твердження було доведено у 8  класі. b З цього випливає, що будьякому гострому Мал. 46 куту відповідає єдине значення його синуса (косинуса, тангенса, котангенса). Отже, си­ B нус, косинус, тангенс і котангенс є функціями гострого кута. З огляду на це, щоб знайти, наприклад, зна­ чення синуса даного гострого кута α, достатньо побудувати прямокутний трикутник із цим α кутом (мал. 47), виміряти довжини сторін BC А С і AB та обчислити відношення цих довжин. Аналогічно, користуючись означенням, мож­ Мал. 47 на за цим самим малюнком знайти синус, ко­ y синус, тангенс і котангенс кута α. У подальшому поняття синуса, косинуса, A(x; y) y тангенса, котангенса було поширено і на кути α, R міри яких лежать у межах від 0° до 180°. Це α зроблено на основі таких означень (мал. 48): x x y x y x O , cos α  =  , tg α  =  , ctg α  =  , sin α  = y R R x де R  — радіус кола з центром у початку коорди­ нат; x і y  — відповідно абсциса і ордината точ­ ки перетину сторони OA кута α з цим колом. Мал. 48


72

Розділ 2

Неважко помітити, що у ви­падку 0° < α < 90° такі означення за змістом збігаються з означен­нями синуса, косинуса, тангенса гострого кута прямо­ кутного три­кутника, бо тоді абсциса й ордина­та точки A дорівнюють довжи­ нам відповідних катетів прямокут­ного AOB, а радіус кола  — його гіпоте­ нузі (мал. 49). y Можна показати, що і для кутів 0° < α < 180° A(x; y) значення синуса, косинуса, тангенса не зале­ y жать від довжини радіуса кола, а залежать лише від міри кута. α B З прийнятих означень випливає, що синус, x x O косинус, тангенс і котангенс гострого кута до­ датні. Якщо кут тупий, то його синус додатний, а косинус, тангенс і котангенс — від’ємні. Обґрун­ туйте ці твердження самостійно. Мал. 49

1. Дайте означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута прямо­ кутного трикутника. 2. Що розуміють під синусом, косинусом, тангенсом тупого кута? 3. Поясніть твердження: синус (косинус, тангенс, котангенс) є функцією гострого кута. 4. Якщо кут належить трикутнику, то значення яких його тригонометричних функ­ цій можуть бути від’ємними і за якої умови?

105'. Накресліть довільний прямокутний трикутник. Користуючись лише вимірю­ вальною лінійкою, обчисліть синус, косинус, тангенс, котангенс кожного з його гострих кутів з точністю до десятих. 106'. Побудуйте за допомогою транспортира кути 30°; 50°; 45°; 80°. Користуючись відповідним означенням і вимірювальною лінійкою, знайдіть синус, косинус, тангенс кожного з цих кутів з точністю до десятих. 107°. Виконайте завдання, аналогічне до попереднього, для кутів 110°; 135°; 150°; 180°. 108°. На основі означення тригонометричних функцій кутів від 0° до 180° знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс кутів:  1) 0°;  2) 90°;  3) 180°. 109°. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 см і 4 см. Знайдіть значення синуса і косинуса кожного з його гострих кутів. 110.  Знайдіть суму синусів і суму косинусів гострих кутів прямокутного ABC (∠C  = 90°), якщо:  1) a  = 12, b  = 5;  2) a  = 15, c  = 25. 111*. Доведіть, що в будьякому прямокутному трикутнику: 1) сума синусів його гострих кутів більша від одиниці; 2) сума косинусів його гострих кутів більша від одиниці. 112*. Знайдіть суму квадратів синусів гострих кутів будьякого прямокутного три­ кутника. Зробіть висновок.


73

ТригонометрИчні функції

113*. Знайдіть суму квадратів косинусів гострих кутів будьякого прямокутного три­ кутника. Зробіть висновок. 114'. У прямокутному ABC (∠C = 90°) знайдіть: 1) AC  і BC, якщо AB  = c, ∠B  = β; 2) AB  і AC, якщо BC  = a, ∠А  = α; 3) AB  і BC, якщо BC  = a, ∠B  = β. 115'. Діагональ d прямокутника утворює з його більшою стороною кут β. Знайдіть сторони прямокутника. 116°. Сторони паралелограма дорівнюють a  і b, його гострий кут — α. Знайдіть ви­ соти паралелограма. 117°. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює b, а кут при основі трикут­ ника — α. Знайдіть висоту й основу трикутника. 118°. Висота рівнобедреного трикутника дорівнює h, кут при основі — α. Знайдіть сторони трикутника. 119°. Сторона ромба дорівнює a, його гострий кут — α. Знайдіть діагоналі ромба. 120. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, кут при вер­шині — β. Знайдіть висоту і бічну сторону трикутника. 121. Менша діагональ ромба дорівнює m, а гострий кут  — α. Знайдіть сторону і більшу діагональ ромба. 122*. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють a і b (a  > b), а гострий кут  — β. Знайдіть висоту і бічну сторону трапеції.

10

§

Кути довільної   градусної міри

Вам відомо, що кутом називають фігуру, утворену двома променями, які мають спільний початок. У той самий час будь-який кут, наприклад AOB, може бути утворений поворотом променя OA навколо точки O в напрямку, вка­ заному стрілкою на малюнку 50. Очевидно, що внаслідок повороту променя може утворитися кут, більший від 180° (мал. 51). Якщо продовжити повертати промінь після положення OB, то, зробивши повний оберт (360°), він повернеть­ ся в те саме положення. Таке саме положення він займе, зробивши будьяку кількість k повних обертів (360° k). Кожному положенню променя OB відпові­ датиме певний кут. Градусну міру таких кутів можна обчислити за формулою: α + 360° k, де α — градусна міра початкового кута  AOB; k  — кількість обертів (мал. 52). B B А О α О О

B

А Мал. 50

А

Мал. 51

Мал. 52


74

Розділ 2

y

y

y

B

B

α

α Ax

O

α O

Ax

O

Ax

B Мал. 53 Мал. 54 Мал. 55 При зазначеному трактуванні кута промінь OA називатимемо початковим променем, промінь OB  — кінцевим, або рухомим, променем, бо він займає різні положення залежно від кута повороту. Позначимо на осі Ox справа від початку координат точку A і проведемо через неї коло з центром у точці O (мал. 53). Радіус OA називатимемо початковим радіусом. Повернемо початко­вий радіус OA навколо точки O проти руху годинникової стрілки на кут α. Радіус OA перейде в радіус OB, який називатимемо рухомим радіусом. Залежно від того, в якій координатній чверті розміщений радіус OB, кут α називають кутом цієї чверті. На малюн­ ках 53 — 56 зображено кути І, II, III і IV чвертей відповідно. Домовимося кут α вважати додатним, якщо він утворюєть­ся поворотом початкового радіуса проти руху годинникової стріл­ки, і від’ємним, якщо він утворюється поворотом початкового радіуса за рухом годинникової стрілки. На малюнках 53 — 56 кут α додатний, а на малюнку 57 — від’ємний. Якщо рухомий радіус займає положення OB або OB′, то позначені на ма­ люнку 58 кути дорівнюють відповідно 90° і 270°. Тим самим положенням рухомого радіуса відповідають від’ємні кути – 270° і – 90° (мал. 59). На малюнку 60 зображено кути 180° і – 180°, а на малюнку 61  — кути 360° і – 360°. Положенню рухомого радіуса, коли він збігається з початковим, відпо­ відає й кут 0°. Кути 0°, ± 90°, ± 180°, ± 270°, ± 360° не належать жодній чверті. Варто пам’ятати, що множину всіх кутів, які відповідають, наприклад, положенню рухомого радіуса OB на малюнку 58, можна задати формулою: α = 90° + 360° k, де k — ціле число (k = 0; ± 1; ± 2; ...). Якщо k  — невід’ємне чис­ y y y B α Ax

O

O

A x

α

O

B B

B Мал. 56

Мал. 57

Мал. 58

A x


75

ТригонометрИчні функції

y

y

B

O

A

x

y

O

B

A x

A Bx

O

B Мал. 59

Мал. 60

Мал. 61

ло, то маємо множину додатних кутів, зокрема, k = 0, α = 90° + 360° · 0 = 90°; k = 1, α = 90° + 360° · 1 = 450°; k = 2, α = 90° + 360° · 2 = 810° і т. д. Якщо ж k  — від’ємне число, то дістанемо множину від’ємних кутів, що відповідають зазначеному положенню рухомого радіуса OB, зокрема, k = – 1, α = 90° + 360° · (– 1) = – 270°; k = – 2, α = 90° + 360° · (– 2) = 90° – 720° = – 630° і т. д.

1. Як можна утворити кут? 2. Поясніть, що називають початковим радіусом і рухомим радіусом. 3. У якому випадку кут вважається додатним? 4. У якому випадку кут вважається від’ємним? 5. Скільки існує кутів, що відповідають певному поло­ женню рухомого радіуса на координатній площині? 6. Рухомий радіус утворює з початковим радіусом кут α. Якою формулою можна задати множину всіх кутів β, що відповідають цьому положенню рухомого радіуса?

y

O

x

45

Мал. 62

123'. Користуючись малюнком ко­ла з центром у початку координат, зобразіть кути: 1) 270°;   2) - 270°;   3) 135°;   4) 300°;   5) - 300°;   6) 240°;   7) 450°. 124°. Запишіть градусні міри кутів, зображених на малюнках 62 — 65. y

y

30

35

O

Мал. 63

x

y

O

Мал. 64

x

O

Мал. 65

x


76

Розділ 2

y 125°. Радіус OA, обертаючись у до­датному напрямку, в по­ B ложенні OB  утворює з віссю Ox кут α (мал. 66). Вира­ зіть через α градусні міри ку­тів, якщо радіус ОА, про­ α довжуючи обертатися, зробить після цього: а)  один A повний оберт; б) два повних оберти. Скільки існує кутів, O x кінцева сторона яких збігається з OB  ? Запишіть загаль­ ну формулу, що задає множину всіх таких кутів. 126'. Укажіть, якій чверті належить кут: 1) 280°; 2) - 310°; 3) 160°; Мал. 66 4) - 40°; 5) 110°; 6) - 310°. 127°. Які з кутів лежать в одній чверті: 1) 60°;  2) 175°;  3) - 80°;  4) 300°;  5) - 190°;  6) 180°;  7) - 309°;  8) - 95°;  9) 220°? 128°. За даною загальною формулою кута x  знайдіть градусні міри додатних кутів, які менші від 360°: 1) x = 15° + 120°k ; 2) x = - 30° + 180°k ; 3) x = - 45° + 60°k ; 4) x = ± 120° + 360°k, де k  — ціле число (k ∈ Z ). 129. Зобразіть положення рухомого радіуса, що утворює з додатною піввіссю Ox  кут: 1) α = 125° + 360°k ; 2) β = - 110° + 360°k ; 3) γ = - 300° + 360°k ; 4) δ = - 40° + 360°k, де k  — ціле число. 130.  Рухомий радіус OB  утворює з додатною піввіссю Ox кут 120°. Побудуйте точку B ′, симетричну точці B  відносно осі абсцис. Знайдіть: 1) додатний кут, менший від 360°, який утворює радіус OB ′ з додатною піввіссю Ox ; 2) один з від’ємних кутів, які утворює радіус OB ′ з додатною піввіссю Ox. 131*. Кут α є кутом II чверті. У якій чверті лежить кут - α? Доведіть, що кінці рухомих радіусів, які утворюють з початковим радіусом кути α і - α, симетричні відносно осі абсцис.

11

§

Тригонометричні функції довільного кута B(x ; y)

y y

R

Досі ви мали справу з тригонометричними функціями кутів від 0° до 180°. Ос­кільки іс­ нують кути будьякої градусної міри, а також додатні та від’ємні, природно ввести означення тригонометричних функцій довільного кута. При цьому слід враховувати, що вони не по­ винні суперечити тим, які прийнято для кутів від 0° до 180°. Нехай радіус кола з центром у початку коор­ динат дорівнює R, а координати точки B — кін­ ця рухомого радіуса, що утворює кут α з додат­ ною піввіссю Ox, дорівнюють x (абсциса) та y (ордината) (мал. 67).

α x

O

Мал. 67

A x


ТригонометрИчні функції

77

 Синусом кута α називається відношення ординати кінця рухомо­ го радіуса, що утворює цей кут з додатною піввіссю Ox, до довжини y цього радіуса: sin α = . R  Косинусом кута α називається відношення абсциси кінця рухомо­ го радіуса, що утворює цей кут з додатною піввіссю Ox, до довжини x цього радіуса: cos α =  . R  Тангенсом кута α називається відношення ординати кінця рухо­ мого радіуса, що утворює цей кут з додатною піввіссю Ox, до його y абсциси: tg α =  . x  Котангенсом кута α називається відношення абсциси кінця рухо­ мого радіуса, що утворює цей кут з додатною піввіссю Ox, до його x ординати: ctg α =  . y Наведене вище означення тангенса кута можна замінити рівносильним йому:   тангенсом кута α називається відношення синуса цього кута до його косинуса. x . Поділивши чисельник і знаменник цього дро­бу на до­ y y sin α sin α ; tg α =  . датне число R, дістанемо: tg α =  Rx  =  cos α cos α R cos α Аналогічно: ctg α =  . sin α x y і мають зміст для будьякого значення α. Отже, й cos α, і sin α Дроби R R

Справді, tg α = 

мають зміст для будьякого α. y Для тангенса виключаються кути, для яких дріб не має змісту, тобто x x = 0. Це кути, що дорівнюють ± 90°, ± 270°, ± 450°, ... . Для котангенса ви­ x ключаються кути, за яких не має змісту дріб (y = 0), тобто кути, що до­ y рівнюють 0°, ± 180°, ± 360°, ... . Виходячи з прийнятих означень, з’ясуємо, які знаки мають синус, коси­ нус, тангенс і котангенс у кожній чверті. Довжина радіуса R є додатним числом, тому  знак синуса збігається зі знаком ординати кінця рухомого радіуса, а знак косинуса  — зі знаком його абсциси.


78

Розділ 2

Знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенса у чвертях подано в таблиці 5. Таблиця 5 Чверть

sin α

cos α

tg α, ctg α

I

+

+

+

II

+

-

-

III

-

-

+

IV

-

+

-

Розглянемо залежність між си­нусами, косинусами, тангенсами і котан­ генсами протилежних кутів. На малюнку 68 зображено про­тилежні кути AOB  і AOC. Градусні міри їх однакові, а знаки — різні. Легко встановити, що точки B і C мають однакову абсцису х та протилежні ординати у  і – у. sin α Тому cos (– α) = cos α і sin (– α) = –sin α. Взявши до уваги, що tg α = і cos α cos α sin(−α) − sin α ctg α =  , дістанемо: tg (−α) = = = −tg α ; ctg (– α) = – ctg α. sin α cos(−α) cos α Якщо побудувати кут, протилежний куту y AOB, який належить I чверті, то можна аналогіч­ но переконатися у правильності встановлених B y співвідношень. Кожному куту α відповідають певні значен­ α A ня sin α і cos α. За винятком кутів ± 90°, ± 270°, D x x O –α ± 450°, ... кожному куту α відповідає цілком пев­ не значення tg α; за винятком кутів 0°, ± 180°, ± 360°, ... кожному куту α відповідає певне зна­ –y C чення ctg α. У кожному випадку таке значення лише одне. Справді, той самий кут не може мати два чи більше різних значень, наприклад, сину­ Мал. 68 са чи тангенса, що випливає з відповідних озна­ чень, і того, що значення синуса, косинуса, тангенса одного і того самого кута не залежать від довжини радіуса кола. Отже, синус, косинус, тангенс і котангенс є функціями кута. Ці функції називаються тригонометричними функція­ми кута. Відомо, що положенню рухомого радіуса, який утворює кут α з додатною піввіссю Ox, відповідає множина кутів виду α + 360° k, k  ∈ Z, що їх цей ра­ діус утворює з даною піввіссю. З цього випливає, що sin (α + 360° k) = sin α, cos (α + 360° k) = cos α, tg (α + 360° k) = tg α, ctg (α + 360° k) = ctg α, де k  — ціле число.

  1. Дайте означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса довільного кута.   2. Поясніть твердження: синус (косинус, тангенс, котангенс) є функцією кута.


ТригонометрИчні функції

79

  3.  Для яких кутів значення тангенса (котангенса) вказати не можна?   4.  Чи можуть sin α і cos α одночасно дорівнювати нулю?   5.  Як установити знаки тригонометричних функцій даного кута?   6.  У яких координатних чвертях синус і тангенс мають однакові знаки?   7.  У яких координатних чвертях косинус і котангенс мають протилежні знаки?   8.  Чи може одне з чисел tg α і ctg α бути додатним, а інше — від’ємним?   9.  Запишіть рівності, що виражають відношення між три­гонометричними функці­ ями протилежних кутів. 10.  Чи існує координатна чверть, у якій значення всіх тригонометричних функцій від’ємні? 11.  Які пари тригонометричних функцій мають однакові знаки в усіх чвертях?

132'. Накресліть коло довільного радіуса з центром у початку координат. Побудуйте кути: 1) 200°;  2) 300°;  3) 410°;  4) 500°;  5) -120°;  6) - 250°;  7) 270°;  8) - 540°. Користуючись вимірювальною лінійкою, знайдіть синус, косинус, тангенс, ко­ тангенс кожного з них з точністю до десятих. 133'. Укажіть, якій чверті належить кут і визначте знаки його синуса, косинуса, тан­ генса:  1) 290°;  2) - 240°;  3) 130°;  4) 260°;  5) - 100°. 134°. Визначте знак добутку: 1) sin 100° ⋅ sin 132°; 2) cos 210° ⋅ sin 115°;   3) ctg 300° ⋅ sin 220°; 4) cos135° ⋅ tg 135°; 5) sin (- 36°) ⋅ cos 36°;   6) cos (- 120°) ⋅ sin (- 120°); 7) tg (- 320°) ⋅ cos 150°; 8) sin 430° ⋅ tg (- 210°);   9) tg 100° ⋅ ctg (- 100°) . 135°. Замініть вираз тотожно рівним йому, змінивши знак кута на протилежний: 1) cos (- 18°);    2) sin (- 100°);   3) tg (- 30°);   4) ctg (- 230°); 5) sin (α - 30°);    6) cos (180° - α);  7) tg (α - 140°); 8) cos (α - β). 136°. У яких чвертях координатної площини мають однакові знаки: 1) синус і косинус кута; 2) синус і тангенс кута;   3) косинус і тангенс кута? 137. Кутом якої чверті є кут α, якщо: 1) sin α > 0, а cos α < 0; 2) sin α < 0, а cos α > 0; 3) tg α < 0, а cos α > 0; 4) sin α < 0, а tg α < 0? 138. Запишіть градусні міри хоча б двох від’ємних кутів, для яких: 1) синус додатний; 2) косинус від’ємний; 3) тангенс додатний; 4) синус від’ємний. 139. Визначте знак виразу: 1) sin 120° + cos 40°; 2) cos 205° + tg 170°; 3) ctg 315° + tg 145°; 4) cos 306° + sin 103°; 5) sin 40° - sin 200°; 6) cos 114° - tg 250°; 7) ctg 140° - sin 110°; 8) sin 220° + tg 320°.


80

Розділ 2

12

§

Побудова кута за даним значенням  його тригонометричної функції

Як уже вам відомо, значення тригонометричних функцій кута не зале­ жать від довжини радіуса R. У такому разі його дов­жину можна задавати довільно. Найзручніше взяти R = 1, бо це дає змогу значно спростити об­ числення. Коло радіуса, що дорівнює 1, з центром у початку коор­динат називаєть­ ся одиничним колом. Координатні осі ділять одиничне коло на чотири рівні частини, які називаються чвертями одиничного кола. Якщо R = 1, то розглянуті вище від­ y ношення, що визначають синус і коси­ нус кута α, спрощуються і набувають B (cos α; sin α) D вигляду: y = sin α sin α = y, cos α = x. α A C Отже, синус кута α дорівнює орди­ O 1 x x = cos α наті, а косинус  — абсцисі кінця ру­ хомого радіуса одиничного кола, що утворює цей кут з додатною піввіссю Ox (мал. 69). З цього випливає важли­ вий висновок. Оскільки абсциса (орди­ Мал. 69 ната) будьякої точки одиничного кола не може бути більшою від 1 (довжини його радіуса) і меншою від – 1, тобто – 1 ≤ x ≤ 1  і  – 1 ≤ y ≤ 1, то відповідно – 1 ≤ cos α ≤ 1  і  – 1 ≤ sin α ≤ 1 для будьякого кута α. Тобто значення синуса, як і значення косинуса будьякого кута, належать числовому відрізку [– 1; 1].

Тому, наприклад, рівності виду cos α = 1,5 або sin α = – 2,4 не мають змісту. Розглянуті трактування синуса і косинуса кута для одиничного кола дають можливість будувати кут за даним значенням його синуса або ко­ синуса. Проілюструємо таку побудову на прикладі.

Приклад 1. Побудуйте кут α, якщо sin α =  2 . 3 П о б у д о в а. Креслимо коло довільного радіуса з центром у початку коорди­ нат і приймаємо довжину цього радіуса за 1 (мал. 70). Знаходимо на колі точку, ордината якої дорівнює 2 . Для цього ділимо радіус на 3 рівні частини і відкладає­ 3 мо дві з них на додатній півосі Oy від точки O. Через знайдену точку проводимо перпендикуляр до цієї півосі, який перетинає одиничне коло в точках B  і B1. Ор­ 2 динати всіх точок перпендикуляра, в тому числі й точок B  і B1, дорівнюють . 3 Сполучаємо точки B  і B1 з точкою O.


81

ТригонометрИчні функції

y B1

y

B α2

O α1

B A 1x

β1

β2 O

A 1 x

B1

Мал. 70

Мал. 71

Дістаємо два додатних кути: ∠AOB  = α1 і ∠AOB1 = α2, синус яких дорівнює Зрозуміло, що існує безліч кутів, синус яких дорівнює

2 . 3

2 , котрі можна 3

знайти, додаючи до α1 і α2  вираз 360° k, де k = ± 1; ± 2; ± 3; ... . Щоб уникнути певної невизначеності, в таких випадках на шукані кути накладають обме­ ження. Наприклад, побудувати додатні кути, менші від 360° (або кажуть: «у межах першого оберту»), синус яких дорівнює даному числу.

Приклад 2. Побудуйте і вкажіть у межах першого оберту додатні кути, косинус 1 яких дорівнює - . 4 П о б у д о в а. Поясніть її самостійно за малюнком 71.

Використання одиничного кола допомагає встановити, яких значень можуть набувати тангенс і котангенс кутів. Для унаочнення значення тангенса кута і його зміни прове­демо дотичну t через кінець A(1; 0) горизонтального діаметра одиничного кола (мал.  72). Легко довести, що вона паралельна осі ординат. Нехай кут α належить I чверті. Щоб знайти його тангенс, побудуємо точку перетину прямих OB і t  — точку B1. Ордината y1 точки B1 дорівнює t tg α. Покажемо це. y B1(1; y1) BC y B (x ; y) tg α =   =  . Але з подібності трикутни­ OC x AB 1 BC ків OBC і OB1A маємо:  =  . Оскільки OA OC α BC A(1; 0)  = AB1. У даному випадку дов­ OA = 1, то OC x C O жина AB1 дорівнює ординаті y1 точки B1. Отже, tg α = y1. Пряма t називається лінією тангенсів. За її допомогою можна знайти тангенс будьякого кута. Мал. 72


82

Розділ 2

Якщо α — кут II чверті (мал. 73), то від­ повідну точку B1 на лінії тангенсів будують BC y аналогічно: tg α  =    =  – . З подібності OC x трикутників BOC і AOB1 одержимо: AB 1 BC  =   = AB1. Отже, tg α = – AB1, що до­ OA OC рівнює ординаті y1 точки B1. Таким чином, тангенс кута чисельно дорівнює ординаті точки перетину лінії тангенсів і прямої, що містить рухомий радіус, який утворює цей кут з додатною піввіссю Ox. Зазначимо ще раз, що лінія тангенсів є відповідною до­тичною саме до одиничного кола і ні до жодного іншого. Котангенс кута можна знайти аналогіч­ но, використовуючи лінію котангенсів  — дотичну до одиничного кола, що про­ходить через кінець C (0; 1) його вертикального діа­ метра (мал. 74). Котангенс кута дорівнює абсцисі відповідної точки лінії котангенсів. Доведіть це самостійно. За допомогою лінії тангенсів (котанген­ сів) можна показати, що на відміну від си­ нуса чи косинуса

t

y B (x ; y)

α C

A(1; 0)

O

x

B1(1; y1 )

Мал. 73 y

C(0; 1)

B1(x1; 1)

α O

x x1 = ctg α

Мал. 74

 значення тангенса (котангенса) кута може бути будьяким дійсним числом. Обґрунтуємо це. Яким не було б дійсне число a, завжди на лінії тангенсів можна побудувати точку з ординатою a. Сполучивши цю точку з початком координат, дістанемо відрізок, який утво­ y рює з віссю Ox деякий кут α. За доведеним вище, tg α = a. Анало­гічні міркування мож­ B на провести для котангенса. Використовуючи лінію тангенсів (котан­ α2 A генсів) достатньо просто побудувати кут за α O 1 1 x даним значенням його тангенса (котангенса).

Приклад 3. Побудуйте кут, тангенс якого дорівнює -1,5 : tg α = -1,5. Побудов а . Креслимо коло з центром у по­ чатку координат довільного радіуса, довжину якого приймаємо за 1 (мал. 75). Знаходимо на лінії тангенсів точку з ординатою -1,5. Для

B1 C

Мал. 75


83

ТригонометрИчні функції

цього від точки A відкладаємо вниз на цій лінії відрізок OC, довжина якого до­ рівнює 1,5 довжини радіуса одиничного кола. Проводимо через точки O  і C пряму, яка перетинає одиничне коло в точках B і B1. Дістаємо в межах першого оберту два додатних кути: ∠AOB = α1 і ∠AOB1 = α2, тангенс яких дорівнює -1,5.

Приклад 4. Побудуйте і позначте в ме­ жах першого оберту від’ємні кути, котан­ генс яких дорівнює 2. П о б у д о в а. Поясніть її самостійно за малюнком 76.

y

β2

C

B

A 1x

O β1

B1

Мал. 76

  1. Як, використовуючи одиничне коло, знайти синус і косинус даного кута?   2. У яких межах змінюються значення синуса і косинуса кута?   3. Що називають лінією тангенсів? Для чого її використовують?   4. Що називають лінією котангенсів? Для чого її використовують?

140°. Накресліть одиничне коло і кут α, як зображено на малюнку 77. Користуючись малюнком, знайдіть: sin α; cos α; tg α; ctg α. 141°. Накресліть одиничне коло і кут α, як зображено на малюнку 78. Користуючись малюнком, знайдіть cos α. Зобразіть і позначте на малюнку ще один додатний кут β у межах першого обер­ ту такий, що cos β = cos α. Вира­зіть кут β через кут α. Позначте два від’ємних кути, що мають такі самі значення косинуса. y

y

α O

Мал. 77

1

α x

O

Мал. 78

1

x


84

Розділ 2

142°. Накресліть одиничне коло, обравши його радіусом від­різок, що становить 4 клі­ тинки зошита. Побудуйте і позначте довільний додатний гострий кут α. Знайдіть наближене значення синуса цього кута. Накресліть і позначте на малюнку ще один додатний кут β іншої чверті, який має такий самий синус. Виразіть через α і β фор­ мулами усі кути, синус яких такий самий. 143'. На одиничному колі знайдіть точку, ордината якої до­рівнює 2 . Скільки таких 3 точок можна знайти? Зобразіть на малюнку і позначте додатні кути в межах пер­ шого оберту, кінцева сторона яких проходить через побудовані точки. Зна­чення якої тригонометричної функції цих кутів дано в умові? Запишіть це у вигляді від­ повідних рівностей. 144'. Накресліть одиничне коло, обравши його радіусом відрізок, що становить 2 3  клитинки зошита. Позначте на цьому колі точ­ку, абсциса якої дорівнює - . 3 Скільки таких точок можна знайти? Зобразіть на малюнку і позначте додатні та від’ємні кути в межах першого оберту, кінцеві сторони яких проходять через зна­ йдені точки. Значення якої тригонометричної функ­ції цих кутів дано в умові? За­ пишіть це у вигляді відповідних рів­ностей. 145'. Чи можливі рівності: 1 13 1) sin α = ;  2) sin x = - ;    3) cos x = - 0,7; 12 4 1 25 1 = ;    6)  = - 0,7; 4) cos x = 2,1; 5) sinx 18 cosx 7) sin x = 0;  8) cos x = -1;    9) sin x cos x = 1,8? Відповіді обґрунтуйте. 146. Користуючись одиничним колом, обґрунтуйте, що |sin α| + |cos α| ≥ 1. 147. Накресліть одиничне коло, обравши його радіусом від­різок, що становить 5 клітинок зошита. Побудуйте і позначте гострий кут α, синус якого дорівнює  4 . 5 Зобразіть на малюнку ще один додатний кут β < 360°, що задовольняє цю умову. Виразіть β через α. 148'. Накресліть одиничне коло. Побудуйте і позначте в ме­жах першого оберту до­ 1 2 датні кути, синус яких дорівнює: 1) 0;   2) - 0,6;  3) ;  4) - ;  5) 1,5. 4 3 149. Використовуючи одиничне коло, побудуйте в межах першого оберту два до­ 2 датних кути, косинус яких дорівнює - . Виразіть один із цих кутів через інший. 3 150'. Накресліть одиничне коло. Побудуйте і позначте в межах першого оберту до­ 1 4 датні кути, косинус яких дорівнює: 1) 0,5;  2) - ;  3) ;   4) -1;  5) 2. 3 5


ТригонометрИчні функції

85

151. Користуючись лінією тангенсів, побудуйте кут, тангенс якого дорівнює 2,5. Скільки додатних кутів, що задоволь­няють цю умову, можна побудувати в межах першого оберту? Зобразіть їх на малюнку. Виразіть більший з них через менший. 152. Накресліть одиничне коло і проведіть лінію тангенсів. Побудуйте і позначте до­ датні кути в межах першого оберту, тангенс яких дорівнює: 1) -1,5;   2) 1;   3) - 0,5;   4) 0. 153. Користуючись лінією котангенсів, побудуйте кут, котангенс якого дорівнює -1. Скільки ще додатних кутів, що не перевищують 360° і задовольняють цю умову, можна по­будувати? Зобразіть їх на малюнку. Виразіть один з них через інший. 154°. Накресліть одиничне коло і лінію котангенсів. Побу­дуйте і позначте два 1 від’ємних кути, котангенс яких дорівнює:  1) 3;   2) - 2;   3) ;   4) 0. 2 155. Побудуйте і позначте в межах першого оберту додатний кут α, що задовольняє умову: 2 1) sin α = -0,4, ctg α > 0; 2) cos α = - , tg α < 0; 3 3) tg α = -1,5, sin α < 0; 4) ctg α = 2, cos α < 0.

13

§

Радіанне   вимірювання кутів

Відомою вам одиницею вимірювання кутів є градус  — кут, що дорівнює 1 розгорнутого кута. Отже, градусна міра прямого кута дорівнює 90°, 180

повного — 360°. Крім градусів існують інші одиниці вимірювання кутів. У математиці та інших науках широко використовується така одиниця вимірювання кутів, як радіан. Перед уведенням цього поняття пригадаємо, що градусна міра дуги кола дорівнює градусній мірі відповідного їй центрального кута. Тобто якщо ∠COD = А°, то і градусна міра дуги CD також дорівнює A° (мал. 79). Якщо центральний кут є повним, то йому відповідає дуга всього кола з гра­ дусною мірою 360°. Отже, центральному куту мірою C 1 кола. І, навпа­ 1° відповідає дуга, що дорівнює 360 1 довжини кола, ки, дузі, довжина якої дорівнює A 360 O відповідає центральний кут мірою 1°. Тому градус як одиницю вимірювання кутів можна було б озна­ чити і як центральний кут, що відповідає дузі кола, D 1 довжини кола. довжина якої дорівнює Мал. 79 360


86

Розділ 2

Аналогічно введено одиницю вимірювання кутів — радіан.

A R

  Радіан — це центральний кут, що відпо­ відає дузі кола, довжина якої дорівнює довжині радіуса цього кола (мал. 80).

O

l= R

1 радіан

B Радіанна і градусна міри кута пов’язані між со­ бою певною залежністю. Встановимо її. За означенням радіана міра дуги кола довжи­ Мал. 80 ною R до­рівнює 1 радіану. Отже, все коло містить 2πR = 2π радіанів (скорочено — рад). R Оскільки все коло містить 360°, то 360° = 2π рад. Звідси випливає: 2π π 360° 180° = = 1° = . Отже, (рад). 1 рад = 360 180 2π π

 A° =

Aππ рад,      180

α рад =

α ⋅ 180° . π

Встановлені співвідношення дають змогу переходити від градусної міри кута до радіанної і навпаки. Передусім зазначимо, що 180° 180° = ≈ 57°18′. 1 рад = 3,141592... π У багатьох випадках у запису радіанної міри обмежуються буквеним по­ значенням π, не доводячи результат до числового значення. π 3,141592... рад замість α = рад ≈ 0,39 рад. Наприклад, пишуть α = 8 8 Розглянемо приклади.

Приклад 1. Визначте радіанну міру кута 27°. Aπ 27π 3 = π (рад). рад маємо: 27° = Р о з в ’ я з а н н я . За формулою A° = 180 180 20

Приклад 2. Визначте градусну міру кута

5π рад. 18

Р о з в ’ я з а н н я . Використаємо формулу α рад = 5π рад = 18

5 18

α ⋅180° . Маємо: π

π ⋅ 180° = 50°. π

Приклад 3. Визначте градусну міру кута 2,5 рад. Р о з в ’ я з а н н я . Оскільки 1 рад ≈ 57° 18′, то 2,5 рад ≈ 57° 18′ · 2,5 = = 57° · 2,5 + 18′ · 2,5 = 132,5° + 45′ = 132° 30′ + 45′ = 132° 75′ = 133° 15′.


87

ТригонометрИчні функції

Використовуючи формулу A° =

Aπ рад, складемо таблицю 6 радіанних 180

мір деяких найуживаніших кутів. Таблиця 6 Градус

30

45

60

90

120

135

150

180

270

360

Радіан

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

3π 2

Існують інші одиниці вимірювання кутів, а не лише градус і радіан. У морській справі, наприклад, для вимірювання кутів користуються румбом. 1 частину повного кута. Румб — це кут, що становить 32 У техніці поширеною одиницею вимірювання кутів є повний оберт (кут 360°). 1 частину повного оберту, В артилерії за одиницю вимірювання кутів прийнято 60 360° тобто кут = 6°. Ця одиниця має назву великої поділки кутоміра. Сота частина 60 великої поділки кутоміра називається малою поділкою кутоміра. Вона становить 6° : 100 = 3′ 36′′. У геометрії іноді за одиницю вимірювання кутів беруть прямий кут, позначаючи цю одиницю буквою d. Наприклад, сума кутів трикутника дорівнює 2d, а сума кутів чотирикутника — 4d.

1. Назвіть і охарактеризуйте відомі вам одиниці вимірювання кутів. 2. Дайте означення радіана. 3. Укажіть радіанну міру: повного кута; розгорнутого кута; прямого кута. 4. Використовуючи співвідношення 180° = π рад, пояс­ніть, як за градусною мірою кута визначити його радіанну міру і, навпаки, як за радіанною мірою визначити градусну міру кута.

156'. Визначте радіанну міру кута: 1) 40°;  2) 140°;  3) 36°;  4) 18°;  5) 240°;  6) 300°;  7) - 225°. Результат подайте за допомогою числа π. 157'. Визначте градусну міру кута, наведену в радіанах: π π π 5π 1) 0,5π; 2) ;  3) ;  4) ;    5) ; 12 20 15 6 7π 3 9π ; 9) 2;    10) 1,5. 6) - ; 7) - 2 π ; 8) 12 4 5


88 158°. Знайдіть радіанну і градусну міри кута, який доповнює кут

Розділ 2

5 π до розгорнутого. 9

159°. Знайдіть градусну і радіанну міри кута, який доповнює кут 135° до повного. 160°. Два кути трикутника дорівнюють 59° і 69°. Знайдіть радіанну міру третього кута цього трикутника. 3π 2π рад і рад. Знайдіть градусну міру тре­ 161°. Два кути трикутника дорівнюють 10 15 тього кута цього трикутника. 162. Знайдіть градусну і радіанну міри кутів трикутника, якщо вони пропорційні чис­ лам 2, 3 і 4. 163. Знайдіть градусну і радіанну міри кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, якщо вони відносяться, як 2 : 7. 164°. Порівняйте кути α і β, якщо: 5 π 1) α = 49°, β = π рад; 2) α = рад, β = 14°35′; 18 12 3π 8π рад, β = 135°; 4) α = рад, β = 170°. 3) α = 4 9 165'. Радіус кола дорівнює 20 см. Знайдіть довжину дуги цього кола, якщо її радіан­ 1 на міра дорівнює:  1) 3;  2) ;  3) 2,4;  4) 0,8. 2 166. Знайдіть довжину дуги кола радіуса 22,5 см, якщо дуга містить 40°. 167'. Знайдіть радіанну міру дуги кола радіуса 12 см, якщо довжина дуги дорівнює: 1) 4 см;  2) 1,2 см;  3) 6 см;  4) 24 см. 168°. Радіанна міра дуги кола дорівнює 1,4, а її довжина  — 7 см. Знайдіть радіус кола. 169.  Дуга кола містить 200°. Знайдіть радіус кола, якщо довжина дуги дорівнює 50 см. 170°. Запишіть за допомогою подвійної нерівності межі гра­дусної та радіанної мір додатних кутів, менших від 360°, що лежать у: 1) I чверті;  2) II чверті;  3) III чверті;  4) IV чверті. 171°. Укажіть, до яких чвертей належать кути, якщо їх радіанна міра дорівнює: 3π 2π 7π 7 13π 3π π ;  2) ;  3) ;  4) π;  5) 1,7π;  6) ;  7) ;  8) - . 1) 4 5 4 9 12 4 8 172°. Визначте знаки синуса, косинуса, тангенса кутів, наведених у попередній задачі. 173. Обґрунтуйте правильність рівностей: 1) sin (α + 2πk) = sin α; 2) cos (α + 2πk) = cos α; 3) tg (α + 2πk) = tg α; 4) ctg (α + 2πk) = ctg α, де α — радіанна міра даного кута, k  — ціле число (k ∈ Z ).

174. Знайдіть градусну і радіанну міри кута, утвореного годинною й хвилинною стрілками годинника, якщо він показує:  1) 3 год;  2) 6 год;  3) 8 год. 175*. Колесо, рівномірно обертаючись, робить 20 обертів за хвилину. Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.


ТригонометрИчні функції

14

§

89

Тригонометричні функції   числового аргументу

Вимірюючи кути в радіанах, найменування одиниці вимірювання біля числа, що характеризує міру кута, зазвичай не пишуть. Кажуть: «кут до­ π π рівнює » замість «кут дорівнює радіана»; «кут дорівнює 100» замість 4 4 π «кут дорівнює 100 радіанів» і т. д. Виходячи з цього, запис sin слід розу­ 2 π рад, tg 4,2 — як тангенс кута, що дорів­ міти як синус кута, що дорівнює 2 нює 4,2 рад. Уведення радіанної міри кута дає змогу зображати будьяке число точ­ кою одиничного кола. Розглянемо, як це можна зробити. Домовилися, що точка A — кінець початкового радіуса — зображає чис­ ло 0 (мал. 81). Для зображення будьякого іншого дійсного числа a будують рухомий радіус OB, який утворює з початковим радіусом OA кут a рад. Точ­ ка B — кінець рухомого радіуса — зображає на одиничному колі число a. Зокрема, на малюнку 81 точка В зображає число 2,5 (∠AOB = 2,5 рад). Оче­ видно, що цією точкою зображається не лише число 2,5, а й усі числа ви­ ду 2,5 + 2πk, де k  — ціле число. Точка C зобра­ y π π π 1,57 жає число ≈ 1,57, бо ∠AOC = рад ≈ 1,57 рад. 2 2 2 C 2, B Цією самою точкою зображаються всі числа 5 ра π π д 2,5 2 ра виду + 2πk, де k  — ціле число. д 2 A O 0 x Водночас, маючи точку на одиничному колі, можна знайти множину чисел, які вона зобра­ жає. Одне з таких чисел, очевидно, дорівнює радіанній мірі одного з кутів (наприклад, най­ меншого додатного), що їх утворює рухомий Мал. 81 радіус, проведений до цієї точки, з початковим радіусом. Додавши до знайденого в такий спо­ сіб числа 2πk, де k ∈ Z, одержимо вираз, що задає множину шуканих чисел. Надаючи k певного значення, діставатимемо відповідне число. Очевидно, що будьяка точка одиничного кола зображає безліч дійсних чисел, що їх можна знайти описаним способом. Досі ми розглядали тригонометричні функції, аргументом яких був кут. Але в багатьох процесах, які можна описати тригонометричними функція­ ми, змінною є не лише кут, а й час, температура, довжина тощо. У зв’язку з цим домовились абстрагуватися від природи аргументу і розглядати три­ гонометричні функції просто як числа, розуміючи, наприклад, під синусом числа 3,7 синус кута, що дорівнює 3,7 рад; під тангенсом числа – 0,8 тангенс кута, що дорівнює – 0,8 рад, тощо.


90

Розділ 2

З такого розуміння тригонометричних функцій числового аргументу ви­ пливає, що синус і косинус певного числа дорівнюють відповідно ординаті й абсцисі точки, що зображає це число на одиничному колі, а його тангенс і котангенс  — ординаті й абсцисі відповідних точок лінії тангенсів і лінії котангенсів. З означення випливає, що синус і косинус числового аргументу існують за будьякого дійсного x. sin x Беручи до уваги, що tg x =  , доходимо висновку, що функція тангенс cos x не існує, якщо cos x = 0. Це справедливо для всіх чисел, які зображаються на π 3π одиничному колі кінцями вер­тикального діаметра, тобто чисел ± ; ± ; 2 2 5π π ± ; ... . Кожне з них можна утворити множенням на додатне чи від’ємне 2 2 π π 3π π 5π π непарне число. Справді, ± = · (± 1);  ± = · (±3);  ± =  · (± 5) і т. д. Ві­ 2 2 2 2 2 2 домо, що непарні числа записують у вигляді 2k + 1, де k — ціле число. Отже, множину чисел, для яких тангенс не має змісту, можна записати у вигляді π (2k +1), де k — ціле число. Часто трапляється і такий запис цієї множини: 2 π + πk, де k — ціле число. Щоб пересвідчитися, що обидва вирази по­значають 2 одну й ту саму числову множину, достатньо, наприклад, розкрити дужки у π виразі (2k +1). 2 Оскільки йшлося про множину чисел, косинус яких дорівнює 0, то можна π сказати, що розв’язком рівняння cos x = 0 є числа виду x = (2k +1), k ∈ Z. 2 cos x , доходимо висновку: числова функція котан­ Зважаючи, що ctg x =  sin x генс не існує для тих x, за яких sin x = 0. Ці числа зображаються кінцями горизон­тального діаметра одиничного кола і дорівнюють 0; ± π; ± 2π; ± 3π і т. д., тобто це числа виду πk, де k  — ціле число. Аналогічно розв’язок рівняння sin x = 0 такий: x = πk, k ∈ Z. Для будьякого значення x, при якому існує відповідна тригонометрична функція, справджуються рівності:   sin (–x) = – sin x,   tg (–x) = – tg x,

cos (–x) = cos x, ctg (–x) = –ctg x,

а також   sin (x + 2πk) = sin x,   tg (x + 2πk) = tg x,

cos (x + 2πk) = cos x, ctg (x + 2πk) = ctg x,  де k ∈ Z.


ТригонометрИчні функції

91

1. Як зобразити на одиничному колі дане число? Проілю­струйте на прикладі. 2. Як знайти найменше додатне число, що зображає дана на одиничному колі точка? 3. Як розуміти запис: sin 2; cos (-1,5); sin 0; tg (-1); ctg 8? 4. Чи є такі кути (числа), синус яких знайти не можна? 5. Які точки одиничного кола зображають числа, тангенс яких не існує?

176'. Накресліть одиничне коло і позначте на ньому числа: 2π π 5π 4π 7π 11π 1) ; 2) - ; 3) ;   4) ;    5) ;   6) ; 3 3 3 3 6 6 3π π 7) ; 8) -  ; 9) 2; 10) - 1;   11) - 3,6;  12) 10. 4 4 177'. Накресліть одиничне коло. Позначте верхній кінець його вертикального діа­ метра буквою А, а нижній — буквою В. Скільки чисел зображає точка А ? Запишіть одне з них. Скільки чисел зображає точка В ? Запишіть одне з них. 178°. Запишіть вираз, що задає множину чисел, які на одиничному колі зображає: 1) правий кінець його горизонтального діаметра; 2) лівий кінець його горизонтального діаметра. 179°. Запишіть вираз, що задає множину чисел, які на одиничному колі зображає: 1) верхній кінець його вертикального діаметра; 2) нижній кінець його вертикального діаметра. 180. Накресліть одиничне коло. Виберіть на ньому в довільному місці точку A. Скільки чисел позначає ця точка? Знайдіть наближене значення одного з них. Запишіть вираз, який задає множину таких чисел у загальному вигляді. 181. Виконайте завдання, аналогічне до попереднього, ще для кількох точок оди­ ничного кола. 182. Запишіть вирази, що задають множину чисел, які зображаються точками пере­ тину одиничного кола з бісектрисою: 1) першого і третього координатних кутів; 2) другого і четвертого координатних кутів. 183. Який знак має вираз: 1) sin 1;   2) sin 2;   3) sin (-3); 4) sin 4;    5) cos 2;   6) cos (- 5); 5π 10π ;   11) tg (- 4); 12) tg (- 2)? 7) cos  ;   8) cos 4,3π;   9) tg 3;      10) tg 3 3 184*. Визначте знак виразу: 1) sin 1,5 ⋅ cos 2,5 ⋅ tg 3; 2) sin (- 2) ⋅ cos 5 ⋅ tg (- 4); 3π 3) sin (- 4,2) ⋅ cos (- 5,6) ⋅ cos (); 4) cos (- 0,5) ⋅ tg (- 2,4) ⋅ sin (-π). 4


92

Розділ 2

185. Використовуючи одиничне коло, знайдіть наближене значення: 3π 3π π 5π 7π 1)  sin   ;   2)  cos  ;   3)  sin (- );   4)  tg  ;   5)  ctg  ; 4 4 3 3 6 6)  sin 2,5;   7)  cos (- 1,5);   8)  tg 3;   9)  sin 10; 10)  ctg 10. 186. Накресліть одиничне коло і позначте на ньому точки, що зображають числа, синус яких дорівнює -1. Запишіть кілька таких чисел. Укажіть загальну формулу, що задає множину всіх таких чисел. 187. Накресліть одиничне коло і позначте на ньому точки, що зображають числа, косинус яких дорівнює 0. Запишіть кілька таких чисел. Задайте множину таких чисел двома формулами або однією. 188. Чи може тангенс від’ємного числа бути додатним? Якщо так, то зобразіть кіль­ ка таких чисел на одиничному колі й знайдіть їх наближені значення. 189*. Чи можлива рівність sin a  = sin (-a)? Якщо так, то запишіть вираз, який у за­ гальному вигляді задає множину відповідних значень a.

15

§

Формули зведення

Формулами зведення називають формули, що виражають тригономет­ 3π π ричні функції кутів (чисел) ± α, π ± α,  ± α, 2π ± α через тригонометрич­ 2 2 ні функції кута (числа) α, де α — довільний кут (число). Формули зведення мають велике практичне застосування. За їх допомо­ гою можна подати значення триго­нометричних функцій будьякого кута (числа) через значення відповідних тригонометричних функцій гострого π кута або числа з проміжку 0; . Це дає змогу обмежитися скла­данням та­ 2 блиць значень тригонометричних функцій тільки для гострих кутів. У курсі геометрії було встановлено формули зведення для кутів виду 90° - α і 180° - α. Наприклад, sin (90° - α) = cos α, cos (90° – α) = sin α, sin (180° - α) = sin α, cos (180° - α) = - cos α. Звідси та на основі означення тан­ генса і котангенса кута дістаємо такі формули зведення: sin (90° − α) cos α tg (90° − α) = = = ctg α , cos (90° − α) sin α

(

tg (180° − α) =

)

sin (180° − α) sin α = = − tg α . cos (180° − α) − cos α

Аналогічно ctg (90° - α) = tg α, ctg (180° - α) = - ctg α. Використовуючи радіанну міру кута, зазначені формули можна записа­ ти у вигляді: π sin  - α = cos α;  sin (π - α) = sin α; 2

(

)


93

ТригонометрИчні функції

( 2π – α) = sin α; π tg ( – α)  = ctg α; 2 π ctg ( – α) = tg α; 2 cos 

cos (π – α) = – cos α; tg (π – α) = – tg α; ctg (π – α) = – ctg α.

Маючи ці формули, можна дістати всі інші формули зведення. Розгляне­ мо це на прикладі кута виду 90° + α. Перетворимо вираз 90° + α на такий, для якого формулу зведення вже встановлено. Це перетворення можна здійснити принаймні двома способа­ ми. Розглянемо кожен з них. І спосіб. Запишемо суму 90° + α у вигляді різниці: 90° + α = 90° – (– α). Увівши по­ значення –α = β, дістанемо: 90° + α = 90° – β. Застосуємо до кута виду 90° – β відомі формули зведення. Маємо: sin (90° + α) = sin (90° – β) = cos β, cos (90° + α) = cos (90° – β) = sin β, tg (90° + α) = tg (90° – β) = ctg β, ctg (90° + α) = ctg (90° – β) = tg β. Оскільки β = –α, то cos β = cos (–α) = cos α, sin β = sin (–α) = – sin α, tg β = tg (– α) = – tg α,  ctg β = ctg (– α) = – ctg α. Остаточно маємо: sin (90° + α) = cos α; cos (90° + α) = – sin α; tg (90° + α) = – ctg α; ctg (90° + α) = – tg α; ІІ спосіб. Оскільки 90° = 180° – 90°, то 90° + α = 180° – 90° + α = 180° – (90° – α). Позначивши 90° – α = β, застосуємо до кута виду 180° – β відомі формули зведення, а потім знову перейдемо до кута α. Маємо: sin (90° + α) = sin (180° – β) = sin β = sin (90° – α) = cos α; cos (90° + α) = cos (180° – β) = – cos β = –cos (90° – α) = –sin α; cos α sin (90° + α) = = – ctg α; tg (90° + α) = cos (90° + α) − sin α ctg (90° + α) = – tg α. Усі формули зведення подано в таблиці 7. Таблиця 7 x

90° - α π -α 2

90° + α π +α 2

180° - α 180° + α 270° - α 270° + α 360° - α 360° + α 3π 3π π-α π+α -α + α 2π - α 2π + α 2 2

sin x

cos α

cos α

sin α

- sin α

- cos α

- cos α

- sin α

sin α

cos x

sin α

- sin α

- cos α

- cos α

- sin α

sin α

cos α

cos α

tg x

ctg α

- ctg α

- tg α

tg α

ctg α

- ctg α

- tg α

tg α

ctg x

tg α

- tg α

- ctg α

ctg α

tg α

- tg α

- ctg α

ctg α


94

Розділ 2

Треба пам’ятати, що розглянуті формули справедливі для будьякого кута (числа) α. З таблиці видно, що для кутів (чисел) π ± α, 2π ± α назва функції, яку зво­ дять, зберігається. Тобто в результаті заміни, наприклад, виразу sin (π + α) або tg (2π – α) на простіший дістанемо відповідно синус або тангенс α. Для 3π π кутів (чисел) ± α,  ± α назва функції, яку зводять, замінюється на схо­ 2 2 жу (кажуть, на кофункцію), тобто синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки. π 3π Отже, замінюючи, наприклад, вираз cos    + α або ctg    – α на про­ 2 2 стіший, слід записати відповідно синус або тангенс α. Знак результату в усіх випадках визначається за знаком функції, яку π зводять, у відповідній чверті, зважаючи, що α  — гострий кут 0  <  α  < 2 . 3π Наприклад, кут – α розташований у III чверті. Синус у цій чверті 2 3π  –  α = – cos α. Косинус тут також від’ємний, отже, від’ємний. Тому sin  2 3π 3π  – α = – sin α, а тангенс і ко­тангенс — додатні, тому tg    – α = ctg α, cos  2 2 3π ctg   – α = tg α. 2

(

)

(

)

(

( (

) )

(

)

(

)

)

Приклад 1. Зведіть до тригонометричної функції кута, меншого від 45°: 1) sin 143°;  2) cos 167°;  3) tg 115°;  4) ctg 251°. Р о з в ’я з а н н я . 1) Використовуючи кути, що входять до формул зведення, кут 143° можна подати двома способами: 143° = 90° + 53°, або 143° = 180° - 37°. Оскільки, за умовою, тре­ ба звести до функ­ції кута, меншого від 45°, то, очевидно, слід скористатися другим записом, тобто 143° = 180° - 37°. Отже, sin 143° = sin (180° - 37°). Далі міркуємо так: оскільки міру кута по­дано через 180°, то в результаті зведення назва функції збе­режеться, тобто залишиться синус. Кут 180° - 37° є кутом II чверті, тому значен­ ня його синуса від’ємне. Остаточно sin 143° = sin (180° - 37°) = - sin 37°. 2) cos 167° = cos (180° - 13°) = - cos 13°; 3) tg 115° = tg (90° + 25°) = - ctg 25°; 4) ctg 251° = ctg (270° - 19°) = tg 19°.

Приклад 2. Функцію даного кута зведіть до тієї самої функції гострого кута: 1) sin 230°;  2) cos 340°;  3) tg 198°;  4) ctg 251°. Р о з в ’ я з а н н я . Щоб зберегти назву функції, слід скористатися формулами зведення для кутів 180° ± α або 360° ± α. Зробимо це. 1) sin 230° = sin (180° + 50°) = - sin 50°; 2) cos 340° = cos (360° - 20°) = cos 20°; 3) tg 198° = tg (180° + 18°) = tg 18°; 4) ctg 251° = ctg (180° + 71°) = ctg 71°.


95

ТригонометрИчні функції

З геометрії вам відомі значення синуса, косинуса, тангенса кутів 30°, 45°, 60°: 1 2 3 sin 30° = ; sin 45° = ;   sin 60° = ; 2 2 2 cos 30° =

3 ; 2

tg 30° =

1 ; 3

Оскільки ctg α =

cos 45° =

2 1 ;   cos 60° = ; 2 2

tg 45° = 1;   tg 60° =

3.

1 , то, знаючи тангенс зазначених кутів, можна знай­ tg α

ти значення їх котангенса.

1 . 3 ;  ctg 45° = 1; ctg 60° = 3 Використовуючи ці значення, а також формули зведення, можна обчис­ лити тригонометричні функції часто вживаних кутів у межах першого оберту. Це кути, градусні міри яких обчислюють з даних додаванням до 2π 3π них 90°, 180° і 270°. Наприклад, 30° + 90° = 120° ; 45° + 90° = 135° ; 3 4 5π 7π 60° + 90° = 150° ; 30° + 180° = 210° і т. д. 6 6 Щоб знайти, наприклад, sin 120°, зведемо виконання цього завдання до знаходження значення тригонометричної функції гострого кута. Маємо: 3 . sin 120°= sin (180° – 60°) = sin 60° = 2 3π 3π π π Аналогічно обчислюємо tg ,   tg = tg  π – = – tg = –1. 4 4 4 4 Обчислені в такий спосіб значення тригонометричних функцій усіх за­ значених кутів наведено в таблиці 8. У правильності наведених значень від­ повідних тригонометричних функцій пропонуємо вам переконатися само­ стійно, зокрема і під час розв’язування прикладів і задач.

ctg 30° =

( )

( )

( )

(

x

( )

)

Таблиця 8 5 π π π π π 2π 3π 7π 5π 4 π 3π 5π 7π 11π π 2 π 6 6 4 3 2 3 4 6 4 3 2 3 4 6 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

sin x

1 2

2 2

cos x

3 2

2 2

3 2 1 2

tg x

1 3

1

3

ctg x

3

1

1 3

1 0

1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2

Не існує - 3 0

-

1 3

1

- 1 - 3

0

-

- 1 0

Не - 1 - 3 існує

1 2

-

2 3 2 2

2 -1 3 2 2 2 1 3

1

3

3

1

1 3

- 1 0

2 -1 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2

Не існує - 3 0

-

1 3

1

- 1 - 3

0 1 0

Не - 1 - 3 існує


96

Розділ 2

1. Що таке формули зведення? Укажіть види кутів (чисел), для яких ці формули встановлено. 2. Для яких кутів (чисел) назва функції, яку зводять, не зміню­ється, а для яких — змінюється? 3. Як визначити знак перед функцією, д�� якої зводять дану функцію? 4. Чому для складання таблиць значень тригономет­ричних функцій достатньо без­ посередньо обчислити значен­ня цих функцій лише для додатних кутів до 45°?

190'. Вважаючи α гострим кутом, укажіть чверть, до якої належить кут: 1) 90° - α; 2) 90° + α; 3) π - α;   4) 180° + α; 3π 5) 270° - α; 6) + α; 7) 2π - α;   8) 360° + α. 2 191'. Установіть знак виразу, якщо α — гострий кут:   1) sin (90° + α);   2) sin (π - α);   3) sin (180° + α); 3π   4) sin (270° - α);   5) sin  + α ;   6) sin (360° - α); 2 π   7) sin (2π + α);   8) cos  + α ;   9) cos (180° - α); 2 3π 10) cos (π + α); 11) cos  - α ; 12) cos (270° + α); 2 13) cos (2π - α); 14) cos (360° + α); 15) tg (90° + α); 3π 16) tg (π - α); 17) tg (π + α); 18) tg -α ; 2 3π 19) tg  + α ; 20) tg (2π - α); 21) tg (2π + α). 2 192°. Спростіть вираз, скориставшись формулами зведення: π 1) sin  α -  ; 2) cos (α - π); 3) sin (α - π); 2 3π 3π π π 4) tg  α -  ;  5) cos  α  · cos α - ;  6) sin (α - 2π) · cos  α +  . 2 2 2 2 193. Замініть тригонометричну функцію функцією доповняльного кута: 2π 1) cos 0,4π;   2) sin 0,36π;   3) tg 78°;    4) ctg ;  5 3π π 5) ctg 55°;   6) sin ;   7) cos (45° + α);    8) sin   + α ; 4 7 π α π π 9) sin   - α ; 10) sin  60° -  ; 11) cos   + 2α ;   12) tg  α -  . 4 2 2 4

( ( (

(

( (

(

) ) )

(

)

) )

)

(

(

)

 (

)

)

)

(

(

)

( (

)

) )


97

ТригонометрИчні функції

194. Зведіть дану функцію до функції додатного гострого кута: 10π ; 7 16π 7π 9π 6) tg ;   7) cos ;    8) ctg (- 283°);   9) sin (- 96°);   10) tg  . 9 4 5

1) tg 317°;   2) cos 111°;   3) sin 191°;   4) ctg 137°;    5) sin

(

)

( 4π ):

195. Зведіть тригонометричну функцію до функції додатного кута, меншого від 45° 

1) sin 78°;   2) cos 123°;   3) tg 174°; 5π 2π 4) sin 1,2 π;  5) cos ;    6) ctg  . 6 3 196. Зведіть тригонометричну функцію до функції додатного гострого кута, зберіг­ ши назву функції, що зводиться: 13π ; 1) sin 290°;   2) cos 200°; 3) tg 320°;    4) cos  8 7π 6π 5) ctg  ;   6) sin (-213°); 7) cos (-100°);  8) tg  -  . 10 7 197. Якщо α, β, γ — кути трикутника, то: 1) sin (α + β) = sin γ; 2) cos (α + β) = cos γ; γ α β α+β γ = cos ; 4*) tg  +  = ctg . 3*) sin 2 2 2   2 2 Доведіть це. 198*. Обчисліть суму: 1) cos 20° + cos 40° + cos 60° + ... + cos 160° + cos 180°; 2) tg 20° + tg 40° + tg 60° + ... + tg 160° + tg 180°; 3) sin 0° + sin 1° + sin 2° + ... + sin 358° + sin 359°; 4) ctg 15° + ctg 30° + ctg 45° + ... + ctg 150° + ctg 165°. 199*. Доведіть тотожність: π π π π 1) cos   + α  = sin   - α ; 2) cos  α -   = sin   + α ; 4 4 4 4 π π π π 3) ctg   - α  = tg   + α ; 4) ctg   + α  = tg   - α . 4 4 4 4 3π π π  - x  + sin  = sin  x +  . 200. Знайдіть cos х, якщо sin  2 2 2 π π π 201'. Використовуючи табличні значення тригонометричних функцій кутів , , 6 4 3 і формули зведення, обчисліть: 7π 7π 5π 2π ; 2) sin ;  3) cos ; 4) cos ; 1) sin 4 6 6 3

(

)

(

( (

) ( ) (

)

)

(

(

)

(

)

)

(

(

(

)

)

)

)

7) tg 4 ;  8) ctg 315°. 202°. Знайдіть числове значення виразу: π 3π π π 1) sin π + 2 sin + cos ; 2) 6 sin - 5 cos 0 + sin2 ; 2 6 4 2 3π π π 5 π + 2 cos2π + sin2 4 . 3) tg2 + 5 sin π - 4 ctg ; 4) ctg 3 4 4 5) sin 225°;

6) cos 240°;


98

Розділ 2

203°. Знайдіть числове значення виразу: π 1) 5 sin (π - α) - 2 cos (π + α), якщо α = . 4 π π 2) cos  α +   tg α -  , якщо α = π. 3 4 3π 7π π 2π 7π 5π cos  . 204. Обчисліть:  1) 8 sin cos  tg ;  2) 10 tg 4 sin 4 4 6 3 4 205. Доведіть твердження: 1) синус суми гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 1; 2) косинус суми гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 0. 1 206. Косинус одного із суміжних кутів дорівнює - . Знайдіть синус і тангенс іншого 2 кута. 1 207°. Синуси двох кутів трикутника дорівнюють 1 і . Знайдіть значення тригономет­ 2 ричних функцій третього кута.

(

) (

)

208*. Синуси двох кутів трикутника дорівнюють

1 3 і . Знайдіть значення тригоно­ 2 2

метричних функцій третього кута. Скільки розв’язків має задача? 209. Тангенс кута при основі рівнобедренного трикутника дорівнює

3 . Знайдіть 3

значення тригонометричних функцій кута при вершині. 1 210. Синус тупого кута ромба дорівнює . Знайдіть значення тригонометричних 2 функцій гострого кута цього ромба.

16

§

Основні співвідношення між   тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

Тригонометричні функції пов’язані між собою численними співвідно­ шеннями, що виражаються відповідними тотожно­стями. Перша серія то­ тожностей описує зв’язок між тригоно­метричними функціями одного й того самого аргументу. З курсу геометрії вам відомо, що для будьякого гострого кута α

sin2 α + cos2 α = 1.

(1)

Цю рівність було встановлено за теоремою Піфагора. Ви­користовуючи дану теорему, можна довести, що рівність (1) виконується для будьякого кута, а отже, і числового аргументу.


99

ТригонометрИчні функції

За означенням тангенса і котангенса: sin α tg α = . cos α

ctg α =

cos α . sin α

(2) (3)

Помноживши почленно рівності (2) і (3), дістанемо: tg α ctg α = 1.

(4)

Поділивши почленно рівність (1) на cos2 α, одержимо:

tg2 α + 1 =

1 1 ,  або  1 + tg2 α = . cos2α cos2α

(5)

і поділивши почленно (1) на sin2 α, маємо:

1 + ctg2 α =

1 . cos2α

(6)

Рівності (1) — (6) є тотожностями, оскільки вони правильні для всіх тих значень аргументу, за яких ліва і права частини мають зміст. Рівність (1) правильна для будьяких значень α. Рівність (2) правильна для всіх значень α, за яких cos α ≠ 0. Рівність (3) правильна для всіх зна­ чень α, за яких sin α ≠ 0. Рівність (4) правильна для всіх значень α, за яких обидва вирази tg α і ctg α мають зміст. Рівність (5) правильна, якщо cos α ≠ 0, а рівність (6), — якщо sin α ≠ 0. Розглянуті рівності називають основними тригонометричними тотожностями. Розглянемо застосування цих тотожностей. π Приклад 1. Знайдіть cos α, tg α і ctg α, якщо sin α = 0,8 і < α < π. 2 Р о з в ’ я з а н н я . Знайдемо cos α. З формули sin2 α + cos2 α = 1 дістанемо: cos2 α = 1 - sin2 α. Відомо, що існують два протилежних числа, квадрат яких до­ рівнює даному додатному числу. Яке з них узяти в нашому випадку? Оскільки α є кутом ІІ чверті, то його косинус від’ємний. Маємо: cos α = - 1 − sin2 α = - 1 - 0, 64 = - 0, 36 = - 0,6. Знаючи синус і косинус, знаходимо тангенс і котангенс: 4 1 sin α 0,8 tg α = = = - = -1 . 3 3 cos α - 0,6 Для знаходження котангенса застосуємо формулу tg α  ctg α = 1, звідси 1 1 3 ctg α = . Отже, ctg α = 4 = - . tg α 4 3 1 3 Отже, cos α = - 0,6, tg α = -1 , ctg α = - . 3 4


100

Розділ 2

Приклад 2. Знайдіть значення sin α, cos α і ctg α, якщо tg α = 

3 3 і π < α <  π. 4 2

Р о з в ’ я з а н н я . Кут α належить до ІІІ чверті, тому синус і косинус цього кута від’ємні, а котангенс — додатний. 1 знаходимо cos α. Маємо: За формулою 1 + tg2α = cos2 α 2

1 =1+ cos2 α

 3  = 25 ;  cos2 α = 1 : 25 = 16 ,   16 16 25 4

а cos α = -

4 16 , тобто cos α = - . 5 25

За формулою sin2 α = 1 - cos2 α, враховуючи, що кут α на­лежить до ІІІ чверті, де синус від’ємний, знаходимо: 2 3 4 9 sin α = - 1 −   = , тобто sin α = - . 5 5 25  

Нарешті, ctg α =

1 3 4 , отже, ctg α = 1 : ; ctg α = . tg α 4 3

Приклад 3. Спростіть вираз

tg α − ctg α . sin4 α − cos4 α

Р о з в ’ я з а н н я . Замінимо в чисельнику тангенс і котангенс відповідними від­ ношеннями і виконаємо віднімання утворених дробів, а вираз у знаменнику роз­ кладемо на множники як різницю квадратів sin2 α і cos2 α. Маємо: sin α cos α sin2 α − cos2 α cos α − sin α tg α − ctg α cos α sin α = = = sin4 α − cos4 α (sin2 α + cos2 α)(sin2 α − cos2 α) 1 ⋅ (sin2 α − cos2 α) 1 sin2 α − cos2 α = = . cos α sin α(sin2 α − cos2 α) sin α cos α

Приклад 4. Доведіть тотожність

1 + cos α sin α = . sin α 1 − cos α

Р о з в ’ я з а н н я . Для доведення тотожної рівності двох виразів один із них або обидва тотожно перетворюють, нама­гаючись звести їх до однакового вигляду. Часто використовують ще й такий спосіб: утворюють різницю лівої та правої ча­ стин даної рівності й спрощують її. Якщо в результаті дістали нуль, то це свідчить про тотожну рівність даних виразів. Скористаємось останнім способом. Маємо: sin α 1 + cos α sin2 α − (1 − cos α)(1 + cos α) sin2 α − (1 − cos2 α) = = = 1 − cos α sin α (1 − cos α) sin α (1 − cos α) sin α =

sin2 α − sin2 α = 0. (1 − cos α) sin α

Отже,

sin α 1 + cos α = , тотожність доведено. 1 − cos α sin α


ТригонометрИчні функції

211'. Знайдіть косинус гострого кута α, якщо: 3 1 2 1) sin α =  ;  2) sin α =  ;  3) sin α =  . 4 6 5 212'. Знайдіть синус гострого кута β, якщо: 4 1 2 1) cos b =  ; 2) cos b =  ; 3) cos b =  . 5 6 3 213'. Знайдіть tg α і сtg α, якщо: 12 5 3 4 1) sin α =  , cos α =  ;  2) sin α =  , cos a =  ; 13 13 5 5

101

63 1 3) sin α =  , cos α =  . 8 8 7 1 214'. Знайдіть сtg α, якщо:  1) tg α = 4;   2) tg α = - 8;  3) tg α = ;  4) tg α = 3 . 18 2 17 215'. Знайдіть tg α, якщо:  1) сtg α = 7;  2) сtg α = -12; 3) сtg α = ;  4) сtg α = 4,1. 24 216'. Чи може тангенс кута дорівнювати 6, а його котангенс дорівнювати 7? 217'. Спростіть вираз:   1) 1 - sin2 x ;   2) 1 - cos2 x ;  3) sin2 x  - 1;  4) cos2 x  - 1;  5) sin2 α + cos2 α + 1; 1 − sin2 α cos2 α   6) cos α tg α;   7) cos α tg α + sin α;  8) 1 − cos2 α ;  9) 1 − sin2 α ; 1 − cos2 α ; 11) (1 + tg2 α) cos2 α;  12) ctg2 α + tg α сtg α. 10) sin2 α 218'. Доведіть тотожність: 1) (sin α + cos α)2 = 1 + 2 sin α cos α;  2) (sin α - cos α)2 = 1 - 2 sin α cos α. 15 π 219°. Дано: sin α =  , < α < p. Знайдіть cos α і tg α. 17 2 3 3π 220°. Дано: cos α = - , p < α < . Знайдіть sin α і сtg α. 5 2 π 221°. Дано: tg α = 3, 0 < α < . Знайдіть cos α і сtg α. 2 π 222°. Дано: сtg α = -10, < α < p. Знайдіть tg α і sin α. 2 223°. Спростіть вираз: sin2α sin α cos2 α − 1 ;   2) ; 3) sin2α + cos2α + tg2α;   1) cos 2α cos α sin2 α − 1 1 − sin2 α   4) sin2α + cos2α + сtg2α;  5) + tgα сtg α; 1 − cos2 α tg x   6) + tg х сtg х ;  7) (sin α + cos α)2 + (sin α - cos α)2; ctg x

  8) (tg β + ctg β)2 - (tg β - ctg β)2; 9) (1 + tg α)2 + (1 - tg α)2; sin2 α 1 − sin α 10) ;   11) ;       12) (1 - sin α)(1 + sin α). 1 + cos α cos2 α


102

Розділ 2

224°. Чи існує таке значення х, для якого: 5 2 4 12 1) sin x =  , а cos x =  ; 2) cos x = - , а sin x =  ; 13 5 5 13 3) sin x = 

7 3 7 8 , а cos x = - ; 4) sin x =  , а cos x =  ? 4 4 8 7

225. Обчисліть значення решти тригонометричних функцій аргументу α за даним значенням однієї з них: 2 3π 1 π 1) sin α = - , < α <  2p; 2) sin α =  , < α < p; 3 2 6 2 7 5 3π 3π 3) cos α = - , p < α <  ; 4) cos α =  , < α < 2p; 25 13 2 2 1 π π 5) tg α = - , < α < p; 6) tg α = 0,1 ,  0 < α < ; 7 2 2 1 3π 3π 7) ctg α = - , < α < 2p; 8) ctg α = 2,  p < α <  . 2 2 2 226. Спростіть вираз: sin α sin α 1 1 + ; - tg2 α - sin2 α;  2) cos2 α + ctg2 α ;    3) 1) 2 1 + cos α 1 − cos α cos2 α sin α 4)

cos2 α − ctg2α ;  sin2 α − tg2α

5) tg x +

cos x sin x ;      6) ctg x + ; 1 + sin x 1 + cos x

7) sin4 α + cos2 α + sin2 α cos2 α;   8) sin2 α + cos2 α sin2 α + cos4 α; 9) (1 - sin α) (1 + sin α) (tg α + ctg α);  10) sin4 α + sin2 α cos2 α + 1 - sin2 α. 227. Покажіть, що значення виразу (a sin β + b cos β)2 + (a sin β - b cos β)2 не зале­ жить від значення β. 228. Доведіть тотожність: 1) sin2 α - cos2 α = sin4 α - cos4 α;   2) sin2 α - sin2 β = cos2 β - cos2 α; sin α 1 + cos α 2 sin x 1 + cos x = + = ;   4) ; 3) 1 − cos x sin x 1 + cos α sin α sin α 5)

tg α + tg β tg α ctg2 α − 1 = tg α tg β ;   6) ⋅ = 1; ctg α + ctg β 1 − tg2 α ctg α

7)

sin2 α − tg2 α sin α + cos α tg α + 1 = tg6 α ;   8) = ; 2 2 sin α − cos α tg α − 1 cos α − ctg α

9)

1 + 2 sin α cos α tg α + 1 = ;   sin2 α − cos2 α tg α − 1

10)

1 + tg4 α = tg2 α . 2 tg α + ctg α 2

229. Якщо α і β — гострі кути прямокутного трикутника, то tg α ctg β = 1.   Доведіть це. 230*. Спростіть вираз: π π π π    1) tg   - α  tg   + α ;    2) ctg   + α  ctg   - α . 4 4 4 4

(

) (

)

(

) (

)


ТригонометрИчні функції

103

231*. Обчисліть значення виразу, спочатку спростивши його: tg α 1) , якщо cos α = - 0,4; tg α + ctg α 5 π tg α − tg α sin2 α , якщо sin α =  , < α < p. 2 3 sin α 1 232*. Знаючи, що sin α = - 2 і cos α > 0, знайдіть значення cos α, tg α, сtg α. m

2)

233*. Знаючи, що сtg α = 

a2 і sin α < 0, знайдіть значення sin α, cos α, tg α. b2

234*. Дано: sin α + cos α = р. Знайдіть sin α ⋅ cos α. 235*. Дано: tg ϕ + ctg ϕ = m. Знайдіть tg2ϕ + ctg2ϕ. 236*. Обчисліть: tg 1° ⋅ tg 2° ⋅ tg 3° ⋅ ... ⋅ tg 87° ⋅ tg 88° ⋅ tg 89°.

17

§

Формули додавання   для косинуса

Формулами додавання називають формули, за допомогою яких можна, маючи значення тригонометричних функцій аргументів α і β, обчислити зна­ чення тригонометричних функцій суми α + β і різниці α – β цих аргументів. Для косинуса формули додавання мають такий вигляд:  

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β;

(1)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β.

(2)

Розглянемо принцип доведення формули (2). Побудуємо одиничне коло і кути α і β (мал. 82). З малюнка видно, що ∠AOB = α – β. Обчислимо скалярний добуток векторів OA і OB. Вектор OA має координати x1 = cos α і y1 = sin α. Коорди­ y натами вектора OB  є числа x2 = cos β, y2 = sin β. З одного боку, за означенням скалярного B (x2; y2) A (x1; y1) добут­ку: OA · OB = x1x2 + y1y2 = cos α cos β + sin α sin β. α З іншого боку, скалярний добуток векто­ β рів дорівнює добутку їх довжин на косинус O x кута між ними, тобто OA · OB = | OA | · | OB | · cos (α – β). Оскільки | OA | · | OB | = 1 як добуток дов­жин радіусів одиничного кола, маємо: Мал. 82 OA · OB = cos (α – β).


104

Розділ 2

Порівнюючи перший і другий результати для обчислення скалярного добутку OA і OB, маємо: cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β. Аналогічно можна обґрунтувати розглянуту формулу для всіх інших ви­ падків розміщення кутів α і β у чвертях одиничного кола. Для доведення формули для косинуса суми двох аргументів запишемо суму α + β як різницю α – (– β) і скористаємося формулою (2). Маємо: cos (α + β) = cos (α – (– β)) = cos α cos (– β) + sin α sin (– β). Враховуючи, що cos (– β) = cos β, а sin (–β) = – sin β, дістанемо: cos α cos (– β) + sin α sin (– β) = cos α cos β – sin α sin β, що і треба було довести. Проілюструємо застосування встановлених формул на прикладах. Приклад 1. Обчисліть без таблиць і калькулятора cos 15°.

Р о з в ’ я з а н н я . Запишемо 15° як різницю 45° - 30° і за формулою косинуса різниці (2) маємо: 6+ 2 2 3 2 1 cos15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° - sin 45° sin 30° = · + · = . 4 2 2 2 2 Приклад 2. Обчисліть cos 40° cos 20° - sin 20° sin 40°. Р о з в ’ я з а н н я . Аналіз виразу свідчить, що він є правою частиною формули косинуса суми кутів 40° і 20°. Отже, 1 cos 40° cos 20° - sin 20° sin 40° = cos (40° + 20°) = cos 60° = . 2

1. Що лежить в основі виведення формули косинуса різниці двох аргументів? 2. Як, маючи формулу косинуса різниці двох аргументів, вивести формулу коси­ нуса їх суми?

237'. Перевірте формули косинуса суми і різниці cos (α ± β), якщо: 1) α = 60°, β = 30°; 2) α = 150°, β = 120°. 238'. Установіть формули зведення, скориставшись формулами додавання для ко­ синуса: π   3π  1) cos  + α  ; 2) cos  − α  ;   3) cos (π - α); 2   2  4) сos (π + α);

 3π  5) cos  + α  ;   6) cos (2π - α). 2  

239'. Доведіть тотожність:   1) cos (α - β) + cos (α + β) = 2cos α cos β;   2) cos (α - β) - cos (α + β) = 2sin α sin β. 240°. Доведіть тотожність:   1) cos (120°+ α) + cos (120°- α) = - cos α;   2) cos (120°+ α) - cos (120°- α) = - 3 sin α.


105

ТригонометрИчні функції

241°. Спростіть вираз: π 1) cos  + x  + cos  π − x  ; 3  3  π  π  3) cos  + β  - cos  − β  ; 6  6 

π π  2) cos  − α  - cos  + α  ; 4  4  3π π  4) cos  + α  + cos  − α  . 4   4 

1 π π  242°. Знайдіть значення виразу cos   + α  + cos  − α  , якщо cos α =  . 4  3 4 

243°. Спростіть вираз: 1) cos 5x cos 2x + sin 5x sin 2x; 2) cos 3α cos α - sin 3α sin α; 3) cos (x + 2) cos x  + sin (x + 2) sin x ; 4) cos 2 cos 5 + sin 2 sin 5. 244°. Обчисліть: 1) cos 40° cos 20° - sin 20° sin 40°; 2) cos 70° cos 40° + sin 70° sin 40°; 3) cos 55° cos 95° - sin 55° sin 95°; 4) cos 37° cos 83° - sin 37° sin 83°. 245. Обчисліть: π π  5 1) cos  − α  , якщо cos α = ,0<α< ; 3 2   13 3 π π  2) cos  + α  , якщо sin α = , < α < π; 4  5 2 π 3π  ; 3) cos  α −  , якщо sin α = -0,8, π < α < 6 2 

π < α < π, 4) cos (α - β) - cos (α + β), якщо cos α = -0,5, 2 3π  < α < 2π.   cos β = 0,8 ,  2 246. Спростіть вираз: 1) cos 10° + cos 11° cos 21° + cos 69° cos 79°; 2) sin 20° + sin 13° sin 57° - sin 33° sin 77°. 247. Доведіть тотожність: 1) cos 2 cos 3 - sin 2 sin 3 = sin 2 sin 7 + cos 7 cos 2; π π 2) cos  2x +   cosx + sin  2x +   sinx = cosx ;   4 4 1 3) cos (60° + α) cos α + sin (60° + α) sin α = ; 2 4) cos α + cos (120° + α) + cos (120° - α) = 0. 3π 3π 7 248*. Дано: < α < 2π; π < β < , tg α = -2,4, tg β = 1 . Обчисліть cos (α - β). 2 2 8 * 249 . Синуси двох гострих кутів трикутника дорівнюють 0,28 і 0,8. Знайдіть косинус третього кута цього трикутника.

250. Обчисліть, не користуючись таблицями і калькулятором:  1) cos 75°;   2) cos 105°.


106

Розділ 2

18

§

Формули додавання   для синуса

Щоб дістати формулу для синуса суми двох аргументів, використаємо одну з уже встановлених формул для косинуса. Це неважко зробити, виразивши π синус через косинус за допомогою формули зведення sin x = cos  − x  . 2  π  π  Позначивши x  = α + β, маємо:  sin (α + β) = cos  − (α + β)  = cos   − α  − β  . 2    2 

Останній вираз перетворимо за формулою (2), вважаючи гументом, а β — другим.

π – α одним ар­ 2

Маємо: π π  π  cos    − α  − β  = cos  − α   cos β + sin  − α   sin β = sinα cos β + cos α sin β. 2  2    2  Отже,  

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

(3)

Для виведення формули синуса різниці аргументів α і β запишемо цю різ­ ницю у вигляді суми: α – β = α + (–β) і скористаємося формулою (3). Маємо: sin (α – β) = sin (α + (–β)) = sin α cos (–β) + cos α sin (–β) = sin­ α cos β – cos α sin β. Останній вираз дістали з попереднього, оскільки cos (–β) = cos β,  sin (–β) = – sin β. Отже,  

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β.

(4)

Послідовно застосовуючи формули додавання для двох аргументів, можна ді­ стати формули додавання тригонометричних функцій для трьох і більше аргументів. Наприклад, sin (α + β + γ) = sin ((α + β) + γ) = sin (α + β) cos γ + cos (α + β) sin γ = = (sin α cos β + cos α sin β) cos γ + (cos α cos β - sin α sin β) sin γ = = sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ + cos α cos β sin γ - sin α sin β sin γ. Аналогічно можна довести, що cos (α + β + γ) = cos α cos β cos γ - sin α sin β cos γ - sin α cos β sin γ - cos α sin β sin γ.


107

ТригонометрИчні функції

1. Для встановлення формули синуса суми двох аргументів використовують відо­ му вже формулу косинуса різниці двох аргументів. На основі якого співвідно­ шення це можна зробити? 2. Яку властивість функції синус використовують для виведення формули синуса різниці двох аргументів?

251'. Використовуючи формули додавання для синуса, доведіть формулу зведення: π 1) sin   + α  = cos α;   2) sin (π - α) = sin α; 2    3π  3) sin   + α  = - cos α;  2 

4) sin (2π - α) = - sin α.

252'. Обчисліть значення виразу: π π π π 1) sin   −  ; 2) sin   +  . 6 4 3 4 253°. Спростіть вираз: π  π 1) sin   + α  + sin   − α  ; 2) sin (60° + α) - sin (60° - α); 6   6   π π π π 3) sin   + α  - cos   + α  ; 4) sin   + α  + sin   − α  . 4  3  6  4  254. Доведіть тотожність: 1) sin (α + β) sin (α - β) = sin2 α - sin2 β; 2) sin (α + β) cos (α - β) = sin­ α cos α + sin­ β cos β. 255. Спростіть вираз: sin(α + β) + sin(α − β) sin(α + β) + sin(α − β) 1)° ; 2)° ; cos(α + β) + cos(α − β) sin(α + β) − sin(α − β) 3) sin (α + 120°) - sin (60° - α);

4)

sin ( 4π + α ) − cos ( 4π + α )

sin ( 4π + α ) + cos ( 4π + α )

256. Обчисліть: 3 π π 1) sin  α −  ,  якщо sin α = ,  < α < π; 6 5 2  3π π 2) sin  + α  ,  якщо cos α = - 0,8,  π < α <  . 2 3  257*. Знайдіть: 7 3π π ,  π < α <  ; 1) sin  − α  ,  якщо ctg α = 24 2 4  2) sin (70° + α),  якщо sin (40° + α) = a,  0° < α < 45°.

.


108

Розділ 2

258. Доведіть тотожність: 1) sin 2α + cos 2α ctg α = ctg α;  1 3) ctg α − ctg 2α = ; sin 2α 259°. Спростіть вираз: 1) sin 5­α cos α - sin α cos 5α; 3) sin 4 cos 6 + sin 6 cos 4; 260. Обчисліть: 1) sin 20° cos 40° + sin 40° cos 20°; 3*)

3 1 cos15° - sin15°; 2 2

2) sin 2α − cos 2α tg α = tg α; 1 4) 1 + tg α ctg 2α = . cos 2α 2) sin 3x cos 2x + sin 2x cos 3x; 4) cos 7 sin 2 - sin 7 cos 2. 2) sin 4*)

π π π π cos + sin cos ; 6 12 12 6

3 1 cos 75° + sin 75°. 2 2

261*. Косинуси двох кутів трикутника дорівнюють 0,6 і 0,8. Знайдіть синус третього кута. 262. Доведіть тотожність: 1 1) sin (30° + x ) cos x  − cos (30° + x) sin x = ; 2 1 2) sin (45° - x ) cos x + cos (45° - x) sin x = . 2

263. Обчисліть, не користуючись таблицями і калькулятором: 1) sin 75°;   2) sin 15°;   3) sin 105°;   4) sin 255°.

19

§

Формули додавання   для тангенса і котангенса

Виведемо формули для tg (α + β) і tg (α – β), скориставшись відповідними sin x , cos x ≠ 0. формулами для синуса і косинуса і співвідношенням tg x = cos x sin (α + β) sin α cos β + cos α sin β = . tg (α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos (α + β) Поділимо почленно чисельник і знаменник на cos α cos β ≠ 0. Дістанемо: sin α cos β cos α sin β tg α + tg β cos α cos β + cos α cos β tg (α + β) = cos α cos β sin α sin β = . 1 − tg α tg β − cos α cos β

cos α cos β

Отже,  

tg (α + β) =

tg α + tg β . 1 − tg α tg β

(5)

Зрозуміло, що ця формула справедлива, якщо одночасно існують tg (α + β), tg α і tg β, тобто cos (α + β) ≠ 0, cos α ≠ 0, cos β ≠ 0.


109

ТригонометрИчні функції

Відповідно, tg (α – β) =

tg α − tgβ . 1 + tg α tgβ

(6)

Формули додавання для котангенса встановіть самостійно, скористав­ 1 . шись співвідношенням ctg x = tg x

Для виведення формули тангенса суми трьох аргументів використовують той са­ мий прийом, що й у випадку тангенса двох аргументів: почленне ділення чисельника і знаменника на cos α cos β cos γ  ≠  0. sin(α + β + γ) tg (α + β + γ) = = cos(α + β + γ) sin α cos β cos γ + cos α sin β cos γ + cos α cos β sin γ − sin α sin β sin γ  = =  cos α cos β cos γ − sin α sin β cos γ − sin α cos β sin γ − cos α sin β sin γ tg α + tg β + tg γ − tg α tg β tg γ =  . 1 − tg α tg β − tg α tg γ − tg β tg γ

264'. Дано: tg α =

2 1 , tg β = . 5 2

Обчисліть:  1) tg (α + β);  2) tg (α − β). 265'. Знайдіть значення виразу: π π 1) tg   − α  , якщо tg α = 2;  2) tg   α +  , якщо tg α = - 3 3 ; 4 3     π 2   3) tg   + α  , якщо ctg α = . 3  4 266'. Обчисліть: tg 63° − tg 33° tg 101° − tg 56° tg 25° + tg 20° tg 47° + tg 13° ;   2)  ; 3)  ; 4)  . 1)  1 − tg 25° tg 20° 1 − tg 47° tg 13° 1 + tg 63° tg 33° 1 + tg 101° tg 56° 267°. Обчисліть: π π π π π π π π 1) tg  −  ;    2) tg  +  ;   3) tg  +  ;   4) ctg  −  . 4 3 3 6 4 3 6 3 268°. Обчисліть без таблиць і калькулятора:  1) tg 105°;  2) tg 15°;  3) ctg 105°. 1 + tg α π tg α − 1 π 269°. Доведіть тотожність:  1) = tg  α +  ;  2) = tg  α −  . 1 − tg α 4 tg α + 1 4     270°. Обчисліть:  1)

π 4π + tg 15 15 14π 4π ;  1 + tg tg 15 15

tg

2)

3π π tg 16 16 3π . π tg + tg 16 16

1 − tg


110

Розділ 2

271. Обчисліть: 2 4 π π  π  1) tg   − α  , якщо сtg α = ;   2) tg  + α  , якщо cos α = - ,  < α < π; 6 3 5 2   3   15 3) tg (α + β) i tg (α − β), якщо sin α = 0,6, cos β =  , α i β  — гострі додатні кути. 17 272. Знайдіть: π 1) tg α, якщо tg (45° - α) = 2; 2) ctg α,  якщо tg  + α  = 3. 4 273. Спростіть вираз: π π π 1 + tg α 1) tg  + x  tg  - x ;  2) tg  +α ; 4 4 4 1 − tg α tg2 35° − tg210° 1 − tg70° tg 65° 3*) ; 4) . 2 2 1 − tg 35° tg 10° tg70° + tg 65°

(

(

) (

)

(

)

)

274*. Тангенси двох кутів трикутника дорівнюють 2 і 3. Знайдіть тангенс третього кута цього трикутника. 2 3 275*. Дано: tg α = , tg β = ; α і β  — гострі кути. Доведіть, що α + β = 45°. 5 7 4 1 276*. Тангенси двох гострих кутів дорівнюють і . Доведіть, що різниця цих кутів 3 7 дорівнює 45°. 4 3π 277*. Якщо α і β  — такі гострі кути, що tg α = , а tg β = 7, то α + β = . 3 4 Доведіть це. 1 1 1 278*. Тангенси трьох гострих кутів відповідно дорівнюють , і . Доведіть, що 3 4 8 перший кут дорівнює сумі двох інших кутів.

20

§

Тригонометричні функції подвійного аргументу

Якщо у формулах додавання вважати α = β, то дістанемо формули, що ви­ ражають тригонометричні функції подвійного аргументу 2α через функції аргументу α:  sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2sin α cos α. Отже,  

sin 2α = 2 sin α cos α.

(1)

cos 2α = cos2 α – sin2 α;

(2)

Аналогічно,    

tg 2α =

2 tg α . 1 - tg 2 α

(3)


111

ТригонометрИчні функції

Замінимо у формулі (2) cos2 α на 1 – sin2 α або sin2 α на 1 – cos2 α і дістанемо ще дві формули косинуса подвійного аргументу: cos 2α = 1 – 2 sin2 α або cos 2α = 2 cos2 α – 1. Залежно від конкретних умов використовується одна з цих формул. Роз­ глянемо приклади застосування встановлених формул.

Приклад 1. Обчисліть 2 sin 15° cos 15°. Р о з в ’ я з а н н я . За формулою (1), прочитаною справа наліво, маємо: 1 2sin 15° cos 15° = sin (2 ⋅ 15°) = sin 30° = . 2 Приклад 2. Обчисліть sin 75° cos 75°. Р о з в ’ я з а н н я . Для застосування формули (1) помножимо і поділимо даний вираз на 2. Маємо: 2 sin 75° cos 75° sin150° sin (180° − 30°) sin 30° 1 = = = = . sin 75° cos 75° = 2 2 2 4 2 4 4 Приклад 3. Спростіть вираз cos  2α - sin  2α. Р о з в ’ я з а н н я . Розкладемо даний вираз на множники як різницю квадратів ви­ разів cos2 2α і sin2 2α. Маємо: cos4 2α - sin4 2α = (cos2 2α)2 - (sin2 2α)2 = (cos2 2α - sin2 2α) (cos2 2α + sin2 2α). Різниця в перших дужках за формулою (2) дорівнює cos (2 ⋅ 2α) = cos 4α, а вираз у других дужках на основі відомої тотожності дорівнює 1. Отже, cos4 2α - sin4 2α = cos 4α.

Крім розглянутих співвідношень між тригонометричними функціями одного і двох аргументів існують й інші співвідношення, що виражаються відповідними фор­ мулами. Наведемо дві групи таких формул. 1. Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функ­ цій на добуток: α+β α −β α −β α+β sin α + sin β = 2sin cos ; sin α - sin β = 2sin cos ; 2 2 2 2 α+β α −β α+β α −β cos α + cos β = 2cos cos ; cos α - cos β = -2sin sin ; 2 2 2 2 sin (α ± β) tg α ± tg β = . cos α cos β 2. Формули, що виражають тригонометричні функції через тангенс половинного аргументу: x x x x 1 - tg2 2 tg 2 tg 1 − tg2 2 2 2 2 sin x = ; cos x = ;  tg x = ; ctg x = x . x x x 2 tg 1 - tg2 1 + tg2 1 + tg2 2

2

2

2


112

Розділ 2

279'. Дано: sin α = 0,6, cos α = -0,8. Знайдіть значення виразу: 1) sin 2α;   2) cos 2α;   3) tg 2α. 280°. Знайдіть значення виразу: 3 π 5 1) sin 2α, якщо sin α = , 0 < α < ; 2) cos 2α, якщо cos α = - ; 5 2 13 3) cos 2α, якщо sin α =  -

5 ; 4

4) tg 2α, якщо сtg α = 3.

281. Знайдіть значення виразу: 1) sin 2α і cos 2α, якщо tg α = - 2,4, 2) sin α, cos α, tg α, сtg α, якщо tg  3) tg 2α, tg 4α, якщо tg α = -2.

π 3π < α < ; 2 4

α = 0,5; 2

282*. Знайдіть значення виразу: 1 1 1) sin 2х, якщо sin x - cos x =  ;   2) sin 2α, якщо sin α + cos α =  . 5 3 283'. Обчисліть: π π π π 1) 1 - 2 sin215°;  2) 2sin   cos  ;  3) cos2   - sin2  ;  4) 2 sin 22°30′ cos 22°30′. 12 12 8 8 284°. Обчисліть: 5π 5π 5π 1 − 2 sin2 22°30′ 1) 2 sin 75° cos 75°;  2) 2cos2­  - 1;  3) cos2   - sin2  ;  4) . 6 12 12 2 cos2 15° − 1

285. Обчисліть: π 5π 11π 1) 2 sin cos ;   2) sin 15° cos 15°;  3) 1 - 2 cos2  ;  4) ctg 15° + tg 15°. 12 12 12 π 286*. Що більше: sin 2α чи 2 sin α, якщо 0 < α < ? 2 287'. Спростіть вираз: α α 1) 2 cos2 1,5 x - 1;   2) 2 sin2 α - 1; 3) 2 sin ⋅ cos ; 4 4 2 2 2 sin α cos α sin 2α cos α − sin α 4) ;    5) ; 6) . cos 2α 2 sin α sin 2α 288°. Спростіть вираз: α 1 − 2 sin2 sin 2α sin2 α − cos2 α 2 1) ;   2) ; 3) ; α 2 sin α cos α 1 − sin2 α 2 cos2 − 1 2

2 cos2 α tg α (sin α + cos α)2 4) ;   5) . 1 + sin 2α sin 2α


113

ТригонометрИчні функції

289. Спростіть вираз: 1) 4 sin x cos x cos 2x ;  

2)

α cos 2α α ;   3) sin  cos  cos α; 2 sin α + cos α 2

4)* sin3 α cos α - cos3 α sin α;  5) 4 cos2 α sin2 α;     6) cos2 α - 4 cos2­ 7)

α α sin2  ; 2 2

x x 1 − tg2 α 2 tg α ;   8)  ;  9) cos4   - sin4   ; 10) 2 sin2 x  - 1. 2 2 2 2 1 + tg α 1 + tg α

290*. Спростіть вираз:

α

α

cos sin α α 1 1 1 1 4 4 ;  3) − ;  4) − . 1) tg  + ctg  ;  2) α 2 2 1 − tg α 1 + tg α 1 + ctg α 1 − ctg α 2 sin2 − 1 4

291'. Доведіть тотожність: 1) 2 sin2 α + cos 2α = 1;

2) (sin α + cos α)2 = 1 + sin 2α.

292°. Доведіть тотожність: 1) cos4 α - sin4 α = cos 2α;

2) 1 - tg2 α =

cos 2α . cos2 α

293. Доведіть тотожність: 1) sin 2α - tg α = cos 2α tg α; 3) ctg

π π + tg = 4 ; 12 12

2)

2 tg α = sin 2α ; 1 + tg2α

4) tg 55° - tg 35° = 2 tg 20°.

294*. Доведіть тотожність: 1) sin 10° cos 20° cos 40° =

1 π 2π 1 π ; 2) sin cos = tg ; 8 5 5 4 5

3) sin 20° sin 40° sin 80° =

3 π 4π 5π 1 ; 4) cos cos cos = . 7 7 7 8 8

295°. Доведіть тотожність:

α 3) 1 + cos α = 2 cos2 ; 2 ( 1 − cos 2 α ) cos α 1 + cos α α α 4) 1 - cos α = 2 sin2 ;   5) = sin2α ; 6) = ctg . sin α sin α 2 2

1) 1 + cos 2α = 2 cos2α;   2) 1 - cos 2α = 2 sin2α; 

296. Доведіть тотожність: π α 1) 1 + sin α = 2 cos2  4 − 2  ;   3)

2 sin α − sin 2α α = tg2 ; 2 sin α + sin 2α 2

π α 2) 1 - sin α = 2 sin2  −  ; 4 2  4)

1 + sin 2α π 4 

2 cos2 

− α  

=1 .


114

Розділ 2

297*. Доведіть тотожність: cos α π α cos 2α π 1) = tg  −  ; = ctg  − α  ;   2) 1 + sin α 4 2 1 − sin 2α  4  3)

1 − cos 2α + sin 2α 1 − cos α + cos 2α = tg α ;   4) = ctg α . 1 + cos 2α + sin 2α sin 2α − sin α

298*. Дано: cos α =

3 π α α α , 0 < α < . Знайдіть:  1) sin  ;  2) cos  ;  3) tg  . 4 2 2 2 2

299*. У рівнобедреному трикутнику синус кута при основі дорівнює синус і косинус кута при вершині.

21

§

5 . Знайдіть 13

Основні властивості   тригонометричних функцій

Систематизуємо основні властивості тригонометричних функцій, що їх установлено в попередніх параграфах, а також з’ясуємо деякі нові їх вла­ стивості. Найкраще властивості функції ілюструє її графік. За графіком функції можна знайти, за яких значень аргументу значення функції додат­ ні, від’ємні, дорівнюють нулю; на яких проміжках вона зростає чи спадає тощо. Однак для з’ясування властивостей функції не завжди можна скорис­ татися графіком, бо часом його не так просто побудувати. Більше того, для побудови графіка незайвими бувають деякі відомості про функцію, що їх встановлюють різними способами. Розглянемо ті властивості тригономет­ ричних функцій, які полегшать побудову їх графіків, а потім за графіками встановимо деякі інші властивості цих функцій. Область визначення і область значень. Раніше ми встановили, що синус і косинус існують за будьяких значень числового аргументу. Отже, обла­ стю визначення і синуса, і косинуса є множина всіх дійсних чисел: D (sin) = R, D (cos) = R. Для функції y = tg x D(tg) — множина дійсних чисел, крім чисел π + πk, k  ∈ Z. Областю визначення котангенса є множина дійсних чи­ виду 2 сел, крім чисел виду πk, k  ∈ Z. Як уже зазначалося, виходячи з означень синуса і косинуса числа, усі їх зна­ чення належать числовому відрізку [–1; 1]. Причому для будьякого числа a з цього відрізку можна знайти безліч чисел, синус або косинус яких дорівнює числу a. Отже, множиною (областю) значень функцій синус і косинус є чис­ ловий відрізок [– 1; 1]: E(sin)  =  [– 1;  1], E(cos) = [– 1; 1]. З цього випливає, що графіки функцій y = sin x та y = cos x розміщуються в смузі, обмеженій прямими y = 1 та y = – 1. На відміну від синуса і косинуса значення функцій тангенса і котанген­ са можуть бути будьякими дійсними числами. Отже, областю значень цих функцій є множина всіх дійсних чисел: E(tg) = R, E(ctg) = R.


ТригонометрИчні функції

115

Приклад 1. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу 1 + sin x cos x. Р о з в ’ я з а н н я . Перетворимо вираз sin x cos x, одночасно помноживши і по­ діливши його на 2. Маємо: 2 sin x cos x sin2x 1 sin x cos x = = =  sin 2x. 2 2 2 Оскільки множиною значень синуса є відрізок [-1; 1], тобто -1 ≤ sin 2x  ≤ 1, то 1 1 1 1  sin 2x лежить у межах -  ≤   sin 2x  ≤  . Додавши 1 до всіх частин цієї по­ 2 2 2 2 двійної нерівності, дістанемо верхню і нижню межі знач��нь шуканого виразу: 1 1 1 1 1 3 1 -   ≤ 1 +  sin 2x  ≤  + 1  або   ≤ 1 +  sin 2x  ≤ . 2 2 2 2 2 2 1 3 Отже, найбільше значення виразу 1 + sin x cos x = 1 +  sin 2x  дорівнює , а най­ 2 2 1 менше значення становить . 2 Парність і непарність. На основі співвідношень між значеннями відповідних тригонометричних функцій протилежних чисел, а саме: sin (– x) = –sin x, cos (– x)  =  cos x, tg (– x) = –tg x, ctg (– x) = – ctg x та врахову­ ючи, що області визначення усіх цих функцій симетричні відносно точки О, доходимо висновоку:

функція косинус — парна, функції синус, тангенс і котангенс — непарні. З цього випливає, що графік функції y = cos x, як і будь-якої парної функ­ ції, симетричний відносно осі ординат, а графіки функцій синус, тангенс і котангенс симетричні відносно початку координат.

Приклад 2. Доведіть, що функція y = 1 - 2 sin2 x є парною. Д о в е д е н н я. І спосіб. Оскільки 1 - 2 sin2 x = cos 2x, то маємо функцію y  = cos 2x, а функція косинус — парна. ІІ спосіб. Уведемо позначення f (x ) = 1 - 2 sin2 x. Оскільки областю визначення цієї функції є множина всіх дійсних чисел, то для доведення, що дана функція є парною, треба показати: f (-x ) = f (x ) для всіх x з області визначення. Знайдемо f (-x ). Маємо: f (-x ) = 1 - 2 sin2 (-x ) = 1 - 2(sin (-x ))2. Оскільки sin (-x ) = - sin x, бо синус  — непарна функція, то після перетворення одержаний вираз набуде вигляду: 1 - 2(sin (-x ))2 = 1 - 2(-sin x )2 = 1 - 2 sin2 x. Тобто f (-x ) = f (x ), отже, функція y = 1 - 2 sin2 x  — парна.

До такого способу доведення вдаються в тому разі, якщо вираз, що задає функцію, не можна звести до такого вигляду, коли парність чи непарність функції є очевидною.


116

Розділ 2

Періодичність. Багато процесів і явищ, природних і зумов­лених діяль­ ністю людини, мають повторювальний характер. Наприклад, одна й та сама фаза Місяця настає через кожні 27,3 доби, маятник годинника повертається в одне й те саме положення через рівні проміжки часу. Такі явища і процеси називають періодичними, а функції, що їх опису­ють, — періодичними функ­ ціями. Взагалі, функція f називається періодичною, якщо існує таке додатне число Т, що для будьякого х із області визначення функції числа х – Т і х + Т також належать цій області визначення, і виконується рівність f(х) = f(х + Т) = f(х – Т). Число Т у даному випадку називають періодом функції. З означення випливає: якщо T  — період функції, то її періодами є числа 2T, 3T, ... , nT, ... , а також –T, –2T, –3T, ... , –nT, ... , де n ∈ N. Отже, періо­ дична функція має безліч періодів. Серед них виділяють найменший додат­ ний період, який іноді називають основним. Усі тригонометричні функції є періодичними. Один із пе­ріодів кожної з них до­рівнює 2π, що випливає з означення цих функцій. Можна довести, що   2π  — найменший додатний період функцій синус і косинус. А функції тангенс і котангенс мають менший від 2π додатний період, він дорівнює π. Тобто tg (x + π) = tg π, ctg (x + π) = ctg π. У цьому легко переконатися за допомогою осі тангенсів (котангенсів). Справді, всі числа, що відрізняються між собою на π, зображаються на оди­ ничному колі діаметрально проти­лежними точками. Тому кожній парі та­ ких чисел відповідає на осі тангенсів (котангенсів) одна точка. З цього ви­ пливає, що значення їх тангенсів (котангенсів) рівні між собою.    π  — найменший додатний період тангенса і котангенса. Це твердження ми приймемо без доведення. Якщо 2π  — період синуса і косинуса, то числа виду 2πk, де k  — ціле, відмінне від 0, також є періодами цих функцій. Ана­логічно для функцій y = tg x та y = ctg x періодами є числа виду πk, k ∈ Z, k ≠ 0. Властивість періодичності тригонометричних функцій використовують, крім іншого, для обчислення значень тригонометричних функцій чисел, які набагато перевищують значення періоду. Для цього від даного числа віднімають максимально можливу кількість періодів і шукають значення відповідної функції отриманої різниці.

Приклад 3. Обчисліть sin 1470°. Р о з в ’ я з а н н я . Період синуса дорівнює 360°. Щоб знайти, скільки періодів треба відняти від 1470°, поділимо 1470 на 360. Маємо:  1470 = 360 · 4 + 30. 1 Отже,  sin 1 470° = sin (360° · 4 + 30°) = sin 30° =  . 2


117

ТригонометрИчні функції

Приклад 4. Обчисліть tg Р о з в ’я з а н н я .

13π . 4

13π 1 π = 3 π = 3π + . Оскільки найменший додатний період 4 4 4

(

тангенса дорівнює π, то tg  3π +

)

π π = tg = 1. 4 4

Корисно пам’ятати і таку властивість періодичних функцій:  якщо функція y = f(x) періодична і має період T, то періодичними є також функції y = f(x + b) з тим самим періодом T, а також y = f(kx) T (b і k  — довільні числа, k ≠ 0). з періодом | k| Це твердження ми приймаємо без доведення. З нього випливає, що найменший додатний період, наприклад, функції 2π x π , а функції y = tg відповідно 1  = 2π. Найменші до­ y = cos 3x дорівнює 3 2 2 π датні періоди функцій y = sin  x – і y = ctg (x + 1,5) відповідно дорівнюють 3 2π і π. Виходячи із сутності періодичної функції, встановити усі її властивості і здійснити побудову графіка достатньо на проміжку, довжина якого дорів­ нює найменшому додатному періоду цієї функції. На всіх інших числових проміжках, які дістають з даного додаванням або відніманням відповідної кількості періодів, ці властивості й побудована частина графіка повторюва­ тимуться.

(

)

До періодичних належать не лише тригонометричні функції. Ще одним прикла­ дом періодичної функції є функція у = {x }. Вираз {x } означає дробову частину чис­ ла х  — різницю між х і найбільшим цілим числом, яке не перевищує х. Наприклад, y {2,5} = 2,5 − 2 = 0,5;  {6,95} = 6,95 − 6 = 0,95; y = {x } {− 3,8} = − 3,8 − (− 4) = 0,2; {8} = 8 − 8 = 0. 1 Найменший додатний період цієї функції дорів­ нює 1. Її графік зображено на малюнку 83. −3 −1 O 1 2 3 4 x Періодичною є лінійна функція f (x) = kx + b, Мал. 83 якщо k = 0. Тоді формула, що її задає, набуває ви­ гляду f (x) = 0 x + b, тобто f (x) = b. Очевидно, що періодом цієї функції є будьяке відмінне від нуля дійсне число. Найменшого додатного її періоду вказати не можна.


118

Розділ 2

1. 2. 3. 4.

Яких значень можуть набувати функції синус і косинус? Яких значень можуть набувати функції тангенс і котангенс? Чи завжди можна знайти синус і косинус числа? Чи завжди можна знайти тангенс (котангенс) числа? Назвіть по три числа, для яких цього зробити не можна, окремо для тангенса і для котангенса. Як записа­ ти в загальному вигляді числа, для яких не існує: тангенс; котангенс? Які з тригонометричних функцій є: парними; непарними? Запишіть відповідні рівності, що виражають ці властивості тригонометричних функцій. Яку властивість має графік функції: парної; непар­ної? Опишіть поняття «періодична функція». Скільки періодів має кожна періодична функція? Наз­віть найменший додатний період кожної тригонометричної функції. Як відображається властивість періодичності функції на її графіку?

5. 6. 7. 8. 9.

300. Враховуючи, що областю значень синуса і косинуса є чис­ловий відрізок [-1;  1], тобто -1 ≤ sin x  ≤ 1  і -1 ≤ cos x  ≤ 1, знайдіть найбільше і найменше значення ви­ разу, записавши відповіді у вигляді подвійної нерівності: 1') 2 sin x ; 2') sin x + 1; 3') cos x - 2; 4°) 5 sin x + 1; 1 5') cos x ; 6') cos2 x ; 7°) cos2 x + 3; 8°) 2 sin2 x  - 5. 3 301°. Які з рівностей не можуть бути правильними ні за жодного значення х: 1) 3 sin x - 2 = 5;   2) sin2 x + 1,5 = 2;  3) sin2 x + 2 = 1,5; 4) 2 cos x + 3 = 4;   5) cos2 x + 4 = 5,5;  6) sin x + cos x = 2; 7) cos x tg x = -1;   8) sin x ctg x = -1,2; 9) sin x + cos x = 0? Відповідь поясніть. 302. Доведіть, що функція у = sin x cos x є непарною. 303. Установіть, парною чи непарною є функція: 1) y = cos x tg x;   2) y = sin2 x ;   3) y = sin x tg x; 4) y = sin x + tg x ;   5) f (x ) = sin 2x tg x; 6) f (x ) = x sin x. 304°. Запишіть вираз, що тотожно дорівнює даному, змінивши знак аргументу на протилежний: π π ;   2) ctg (-2);  3) sin (-1,2);  4) sin2 (-1,2);   5) tg  ; 1) cos  10 10 π π 6) sin  - α ;   7) cos (x -1); 8) tg (2 - x);  9) ctg2 (2 - β); 10) sin2  -  - α . 8 7 305°. Спростіть вираз: 1) sin (x - a ) - sin (a - x); 2) cos (x  - 3) + cos (3 - x); π π 3) tg (α - 5) + tg (5 - α); 4) ctg2   - x + ctg2  x -  . 10 10

( ) ( )

( ) ( )

(

)

(

)


ТригонометрИчні функції

119

306. Спростіть вираз: 1)

cos (α + 2π) tg (α − π) + ctg (α + π) sin (2π − α) cos (α − 2π) tg (α + π) sin (α − 4 π) ;  2) . 3sin (6π + α) tg (α − 3π) cos (α + 4 π) cos (α − 2π) + sin (2π + α) sin (α − 4 π)

307°. Знайдіть значення виразу: 33π 19π 29π 13π 1) sin  ;   2) cos ; 3) tg ; 4) ctg . 4 4 3 6 308. Обчисліть значення виразу: 19π 25π 15π 13π 13π 1) cos + sin  ;  2) tg - cos 7π;   3) 2 sin  - 4cos ; 3 6 4 4 3 9π 17π 17π 9π 11π 11π 25π + tg2 ;  5) cos2 + sin  −  ; 6) sin  cos tg . 4) sin2 6 6 4 6 6 4  2  309. Знайдіть найменший додатний період функції: 1) y = sin 2x ;   2) y = cos 4x ; 3) y = tg 5x ; x x -2 π . 4) y = tg  x +  ;   5) y = cos ; 6) y = ctg 4 2  4 310. Знайдіть найбільше і найменше значення функції та її період: 1) y = sin x cos 2x - cos x sin 2x;  2) y = sin 2x cos 5x + cos 2x sin 5x ; 3) f (x) = 3 + cos x cos 3x + sin x sin 3x ; 4) f (x ) = 5 - cos 2x cos 7x + sin 2x sin 7x ; x x 5) y = cos2 - sin2 ; 6) y = sin 2x cos 2x ; 2 2 7) y = 4 cos2x - 2;  8) y = 2 tg 3x cos 3x. 311*. Установіть, яка з функцій є: а) парною; б) непарною; в) ні парною, ні непарною: 1 − cos x 1) y = tg x + ctg x ; 2) y = tg x + cos x; 3) y = ; 1 + sin2 x x sin x . 4) y = 1 + sin x ;  5) y = x2 + cos x; 6) y = 1 + cos x 312*. Перевірте правильність рівності sin π = sin (π + πn), n ∈ Z. Чи можна з цього зробити висновок, що π є періодом функції синус? Відповідь обґрунтуйте. 313*. Визначте найменший додатний період функції: 1) y = sin4x − cos4x;  2) y = sin x  cos x; 3) y = 1 − 8 sin2x  cos2x;  4) y = cos2x.

22

§

Графіки функцій  y = sin x  та  y = cos x

Графік функції y = sin x. Для побудови даного графіка знайдемо кілька «опорних» точок, через які він проходить, а потім проведемо через них плавну лінію. Побудувати такі точки можна принаймні двома способами: 1) традиційним, склавши таблицю значень аргументу x і відповідних значень функції, знайдених за допомогою спеціальних таблиць або каль­ кулятора, та за встановленими координатами (x; y) побудувати точки; 2) геометричним, знайшовши значення функції і точки графіка за до­ помогою малюнка. Скористаємося другим способом.


120

Розділ 2

5π 6

π

2π 3

π 2

sin π6

}

y 1

π 3 π 6

π 6

O

π 3

π 2

2π 3

5π 6

x

Мал. 84

Розглянемо I і II чверті одиничного кола. Точками його дуги зобража­ ються всі дійсні числа від 0 до π (мал. 84). Поділимо цю дугу, наприклад, на 6 рівних частин і позначимо числа, які відповідають точкам поділу. Зазна­ чимо, що довжина перпендикуляра, проведеного з точки поділу дуги кола до горизонтального діаметра, дорівнює ординаті цієї точки, тобто синусу відповідного числа. Відкладемо від початку координат на осі абсцис відрізок довжиною π ≈ 3,14, взявши за одиницю довжини радіус одиничного кола. Поділимо його також на 6  рівних частин і запишемо біля кожної точки поділу відповідне число. Якщо x  = 0, то y = sin 0 = 0. Отже, перша точка графіка функції y = sin x на відрізку [0; π] має координати (0; 0) — тобто це початок координат. Для π побудови точки графіка з абсцисою треба на перпендикулярі, проведеному 6 π π до осі абсцис через точку , відкласти значення sin  . Воно дорівнює ордина­ 6 6 ті відповідної точки одиничного кола. Якщо через цю точ­ку провести пряму, паралельну осі абсцис, до перетину із зазначеним перпендикуляром, то ді­ станемо шукану точку. Аналогічно будують інші точки графіка. Сполучивши їх суцільною плавною лінією, дістанемо ескіз графіка функції y = sin x на від­ різку [0; π]. Слово «ескіз» підкреслює від­носну точність графіка, зумовлену кількістю побудованих точок. Чим більше точок побудовано, тим точніше ескіз відоб­ражає справжню форму графіка. Оскільки синус — непарна функція, то її графік симетричний відносно по­ чатку координат, тобто крива, що симетрична побудованій відносно початку координат, буде ескізом графіка функції y = sin x на відрізку [– π; 0] (мал. 85). y 1

−π

O

Мал. 85

π x


121

ТригонометрИчні функції

y

y = sin x

1 – 2π – 3 π 2

– π2

–π

π 2

O –1

3π 2

π

x

Мал. 86

Маючи графік синуса на відрізку [–π; π] довжиною в період цієї функції і беручи до уваги, що найменший додатний період функції синус дорівнює 2π, можемо вказати спосіб побудови інших точок графіка. Для цього тре­ ба здійснити паралельне перенесення побудованої на проміжку [–π; π] його частини на 2π, 4π, 6π і т. д. одиниць управо і вліво вздовж осі абсцис. Утво­ рена крива (мал. 86) називається си­нусоїдою. Графік функції y = cos x. Графік косинуса достатньо просто побудувати, π скориставшись формулою зведення: cos x = sin  x  +  . А графік функції 2 π y = sin  x +  , враховуючи відомі правила перетворення графіків функцій, 2 дістають паралельним перенесенням графіка функції y = sin x вздовж осі Ox π на одиниць вліво (мал. 87). 2 Тому графік функції y = cos x також є си­нусоїдою. За графіками синуса і косинуса можна встановити ще деякі властивості цих функцій. З’ясуємо, наприклад, на яких проміжках синус зростає, а на яких — спа­ дає. Для цього скористаємося таким візуальним орієнтиром: на проміжку зростання графік функції під час руху вздовж нього зліва направо (що від­ повідає зростанню x) піднімається вгору (що відповідає зростанню y), а гра­ фік спадної функції прямує вниз. Аналізуючи за цією ознакою графік функції y = sin x (див. мал. 86), бачи­  π π мо, що одним із проміжків зростання синуса є відрізок  − ;  . З властивості  2 2

(

(

)

y

y = cos x

1

y = sin x – 2π – 3 π 2

)

–π

π

–2

O –1

Мал. 87

π 2

π

3π 2

x


122

Розділ 2

періодичності синуса випливає, що він зростає на всіх проміжках виду  − π + 2πk; π + 2πk   2  , k ∈ Z. Відповідно проміжками спадання синуса є проміж­ 2 3π π  ки виду  + 2πk; + 2πk  , k ∈ Z. 2 2 

Приклад. Що більше: sin 2 чи sin 3?

π 3π π 3π ≈ 4,71. Р о з в ’ я з а н н я . Числа 2 і 3 належать проміжку  ; , бо ≈ 1,57, 2 2 2 2  На цьому проміжку функція синус спадає. Це означає, що більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Оскільки 3 > 2, то sin 3 < sin 2.

Деякі інші властивості синуса і косинуса ви встановите самостійно, кори­ стуючись графіками цих функцій під час виконання відповідних вправ.

1. 2. 3. 4.

Як побудувати графік функції y = sin x? Як побудувати графік функції y = cos x? Як називається крива, що є графіком функції синус (косинус)? Які властивості тригонометричних функцій використовують під час побудови графіків: синуса; косинуса?

314'. Користуючись графіком функції y  = cos x, установіть і запишіть по два проміж­ ки зростання і спадання функції y  = cos x. 315°. Запишіть у загальному вигляді множину проміжків зростання і проміжків спа­ дання функції косинус. 316. Порівняйте числа: 1 1 1 1 1') sin і sin ;   2°) sin 3 і sin 4;   3') cos  і cos ; 2 3 2 3 2π  π  π і cos π;  5°) sin   −  і sin   −  ;  6°) cos 1 і cos 2. 4') cos  3  4  2 317°. За графіком функції y = sin x знайдіть три наближених значення x, за яких 1 sin x = . Скільки існує таких значень x, що задовольняють дане рівняння? 2 318°. Користуючись графіком функції y = sin x, запишіть два числових проміжки, на яких синус набуває додатних значень. * Скільки таких проміжків існує? Запишіть множину цих проміжків у загальному вигляді. 319. Користуючись графіком функції y  = sin x, розв’яжіть нерівність sin x < 0, якщо x ∈ [0; 2π] .


ТригонометрИчні функції * Використовуючи

123

здобутий результат, запишіть множину розв’язків нерівності sin x < 0 у загальному вигляді. 320. За графіком функції y  = cos x знайдіть і запишіть два проміжки, на яких косинус набуває додатних значень. Проаналізуйте, як, маючи один із них, дістати другий. Скільки таких проміжків існує? Запишіть їх множину в загальному вигляді. 321. Скільки існує числових проміжків, на яких косинус від’ємний? Укажіть один із них. Запишіть множину таких проміжків у загальному вигляді. Яку нерівність ви розв’язали? 322'. Користуючись графіками функцій y  = sin x  та y  = cos x, знайдіть нулі цих функцій (значення аргументу, за якого значення функції дорівнює нулю) на про­ міжку [-2π; 2π]. 323. Користуючись графіками функцій y  = sin x та y  = cos x, запишіть у загальному вигляді нулі кожної з цих функцій. 324°. Користуючись графіком функції y  = sin x, знайдіть на проміжку [-2π; 2π] зна­ чення аргументу, за якого: 1) синус набуває найбільшого значення; 2) синус набуває найменшого значення. 325°. Виконайте завдання, аналогічне до попереднього, для косинуса. 326. Використовуючи графік функції y  = sin x, побудуйте в тій самій системі коорди­ 1 нат графік функцій:  1) y  = 2sin x;  2) y  = sin x. 2 327. Використовуючи графік функції y  = cos x, побудуйте в тій самій системі коор­ x динат графік функцій:  1) y  = cos 2x;  2) y  = cos  . 2 328. Використовуючи графік функції y = sin x, побудуйте в тій самій системі коорди­ нат графік функції y  = - sin x. 329. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій y = sin x  та y = cos x. Знайдіть графічно кілька значень x, для яких sin x  = cos x. Скільки таких значень можна вказати? 330. Накресліть і виріжте з цупкого паперу або картону шаблон графіка функції: x а) y  = sin x ;   б) y  = sin 2x ;   в) y  = sin  . Користуючись ним, побудуйте графік 2 функції: x 1) y  = cos 2x;  2) y  = cos  ;  3) y  = sin x - 1;    4) y  = sin (x 2 - 1); π π 5) y  = cos (x + 2);  6) y  = cos   x +  ;  7*) y  = sin  2x −  ;  8) y  = cos 2x ; 3 3   π 9*) y  = cos (2x - 3);  10) y  = 2 sin 2x ;    11*) y  = 3 sin   2x −  ; 3 

12) y  = cos 

x x x ;    13) y  = 1,5 cos  ;   14*) y  = 1,5 cos   + 0, 5  . 2 2 2 


124

23

§

Розділ 2

Графіки функцій   y  = tg x  та  y  = ctg x

(

)

π π Побудову графіка функції y = tg x на інтервалі – ;  показано на ма­ 2 2 люнку 88. Тут цей інтервал поділено на 8 рівних частин і значення тангенса в кожній з точок поділу знайдено за допомогою лінії тангенсів. Зверніть ува­ гу, що тут, як і під час побудови графіків функцій синус і косинус, за одини­ цю довжини обрано радіус одиничного кола. Тому, наприклад, відстань від π π початку координат до точки на осі абсцис дорівнює ≈ 1,57 довжини за­ 2 2 значеного радіуса. y

B

π 3π π π 2 – 8 – 4 –8

O π

π 4

8

3π π 8 2

x

C

Мал. 88

За тотожністю tg (x + π) = tg x графік тангенса на інтервалі

( 2π ;  32π ) можна

дістати паралельним перенесенням побудованої частини графіка y = tg x уздовж осі Ox управо на π одиниць. Аналогічно міркуючи, можна побудува­ ти графік функції y = tg x на всій області визначення (мал. 89). Побудову графіка функції y = ctg x можна здійснити кількома способа­ ми. Один із них полягає у вираженні котангенса через тангенс за допомогою формули зведення: π π tg  x +  = – ctg x  або  ctg x = – tg  x +  . 2 2 π Отже, графік функції y = ctg x збігається з графіком функції y = – tg  x +  . 2 Побудувати останній, маючи графік функції y = tg x, можна в такій послідов­

(

)

(

)

(

)


125

ТригонометрИчні функції

y

5π 2

–2π –

3π 2

–π –

π 2

y = tg x

O π

2

2

3π 2

π 2π 5

x

2

Мал. 89

(

)

(

)

π π → y = –tg  x +  . Тобто спочатку графік функції 2 2 π одиниць вліво, а потім y = tg x слід паралельно перенести вздовж осі Ox на 2

ності: y = tg x → y = tg  x + 

здійснити перетворення симетрії цього графіка відносно осі абсцис. У результаті дістанемо графік функції котангенс, зображений на малюнку 90. y

–2 π

3π 2

–π

π 2

O

y = ctg x

π 2

π

3π 2

5π 2

x

Мал. 90

331'. Побудуйте графік функції y = ctg x на проміжку (0; π), скориставшись даними таблиці 9. Таблиця 9 π π π 3π 3π 5π 7π x 0 π 8 4 2 4 8 8 8 Не Не y  = ctg x 2,4 1 0,4 0 - 0,4 - 1 - 2,4 існує існує


126

Розділ 2

332°. Побудуйте графік функції y = ctg x на проміжку (0; π), знаходячи значення котангенса у відповідних точках цього проміжку за допомогою лінії котангенсів. Побудову виконуйте в такій послідовності: 1) накресліть одиничне коло і проведіть лінію котангенсів. Позначте на цьому колі числа 0 і π; 2) поділіть верхнє півколо одиничного кола на 8 рівних частин і позначте числа, які зображені утвореними точками поділу; 3) накресліть прямокутну систему координат, взявши за одиничний відрізок радіус одиничного кола, і позначте на осі абсцис число π; 4) поділіть відрізок (0; π) на 8 рівних частин і позначте числа, які відповідають утвореним точкам поділу; 5) проведіть через кожну з цих точок перпендикуляри до осі Ox і на кожному з них побудуйте точку, ордината якої дорівнює котангенсу відповідного числа. Для цього виміряйте відповідний відрізок на лінії котангенсів і відкладіть його вгору або вниз (залежно від знака котангенса) на побудованому перпендикулярі; 6) сполучіть побудовані точки плавною лінією і продовжіть її вгору і вниз. Порівняйте побудовану криву з відповідною частиною графіка функції y  = ctg x, зображеного на малюнку 90. 333. Графік функції y  = ctg x можна дістати з графіка функції y  = tg x, використав­ π ши таку формулу зведення: ctg x  = tg   – x . Які перетворення графіка функції 2 π y   =  tg x  слід здійснити, щоб дістати графік функції y   =  tg   –  x ? Запишіть 2 послідов­ність цих перетворень і охарактеризуйте їх. 334°. Користуючись графіком функції y  = tg x, установіть проміжки, на яких вона монотонна, і вкажіть характер монотонності (зростає, спадає). Запишіть кілька таких проміжків. 335°. Якою (зростаючою, спадною) є функція y  = ctg x на інтервалі (0; π)? А на ін­ ших проміжках? Зробіть загальний висновок. 336°. Користуючись встановленими властивостями функцій y  = tg x  та y  = ctg x, по­ рівняйте числа: π π і tg  ; 2) tg (-3) і tg (-2,1);   3) tg 0 і tg 1; 1) tg 10 12 π 3π π 3π 4) ctg  і ctg ; 5) ctg 2 і ctg 2,5;   6) ctg  –  і ctg  –  . 5 10 4 4 337. Користуючись графіком функції y  = tg x, знайдіть кілька значень x, для яких tg x  = 0. Скільки таких значень існує? Задайте множину цих значень формулою. 338. Виконайте завдання, аналогічне до попереднього, для функції y  = ctg x. 339°. У межах інтервалу (-2π; 2π) вкажіть за графіком функції y  = tg x проміжки, на яких ця функція: 1) набуває додатних значень; 2) набуває від’ємних значень. 340. Виконайте завдання, аналогічне до попереднього, для функції котангенс. 341. Розв’яжіть графічно нерівність: 1) tg x > 0;   2) tg x < 0;   3) ctg x > 0;   4) ctg x < 0.

(

)

(

( )

(

)

)


127

ТригонометрИчні функції

24

§

Гармонічні коливання

У природі, техніці, повсякденному житті часто доводиться спостерігати коливальні рухи. Наприклад, рух маятника годинника, коливання струни музичного інструмента, коливання води від кинутого в неї предмета та ін. До найпростіших коливальних рухів належать гармонічні коливання. Такі коливання можна описати за допомогою тригонометричних функцій (інак­ ше кажучи, математичною моделлю таких коливань є тригонометричні функції певного виду). Розглянемо це питання докладніше. Нехай точка M (мал. 91) рухається по колу зі сталою кутовою швидкі­ стю. Тоді її проекція P на вісь Oy рухатиметься по цій осі, коливаючись вго­ ру і вниз відносно центрального положення O між точками C і C1. Причому рух цієї проекції буде нерівномірним. Його швидкість зменшуватиметься в міру наближення проекції до крайніх точок C і C1, набуваючи в них зна­ чення 0, і досягатиме максимального значення в точці O. Встановимо закон, за яким відбувається такий рух, з’ясувавши залежність шляху, пройденого точкою P, що коливається, від часу коливання. y C P3 P2

M4

P1 O M5

P7 M6

y M3

C P P0

M2

P4 M1 P5

M β M 0 α

x

O

B x

M7

P6 C1

C1

Мал. 91             Мал. 92

Припустимо, що в початковий момент часу, тобто коли t  = 0, рухома точка розміщується на колі в положенні M0 (мал. 92), яке визначається ку­том α: ∠ВOM0 = α. Нехай через t с рівномірного руху по колу проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю ω рад/с ця точка займе положення M, яке ви­ значається кутом β: ∠ВOM = β. З малюнка видно, що β = α + ∠M0OM. При швидкості ω рад/с рухома точка за t с описує дугу M0M, радіанна міра якої дорівнює ωt рад. Отже, міра ∠M0OM також дорівнює ωt рад, тобто β = α + ωt. За час t с проекція точки M на вісь Oy з початкового положення P0 змі­ ститься по осі Oy в положення P. Відрізок OP, що характеризує відхилення проекції P від центрального положення O в момент часу t, можна знайти з π {MOP : OP = OM · cos ∠MOC. З малюнка видно, що ∠MOC = – β. 2


128

Розділ 2

π  Отже, OP = OM · cos  − β  = OM · sin β. 2  Оскільки β = ωt + α, то OP = OM · sin (ωt + α). Увівши позначення OP = y, OM = A, остаточно маємо: y = A sin (ωt + α).

Одержали функцію, аргументом якої є час t коливання, а залежною змін­ ною y — відхилення точки, що коливається, від початкового положення. Рух, що описується такою функцією, називається простим гармонічним коливанням. З’ясуємо зміст параметрів, що входять до формули y = A sin (ωt + α). A — радіус кола; характеризує найбільше відхилення точки, що колива­ ється, від центрального положення O. Цей параметр називають амплітудою коливання. Зазначимо, що амплітуда A чисельно дорівнює найбільшому значенню функції y = A sin (ωt + α). Справді, оскільки найбільше значення синуса до­ рівнює 1, то най­більше значення даної функції ymax = A · 1 = A. Змінний кут ωt + α визначає положення точки P на осі ординат у момент часу t. Він називається фазою точки, що коливається. Кут α, що визначає положення точки P на осі ординат у початковий мо­ мент часу, називають початковою фазою коливання. Очевидно, що при кутовій швидкості ω рад/с точка M здійснить повний 2π оберт по колу за час , оскільки дуга кола містить 2π рад. За цей самий час ω точка P здійснить одне повне коливання, пройшовши через усі свої фази і 2π повернувшись у початкове положення. Цей час T =  називають періодом ω гармонічного коливання. Його вимірюють у секундах. 2π Зверніть увагу, що число є також найменшим додатним періодом ω функції y = A sin (ωt + α), яка описує гармонічне коливання. 1 ω Величина, обернена до періоду коливання, = , називається частотою T 2π коливання. Вона показує, скільки коливань (n) здійснює точка за 1 с. Наприклад, якщо точка здійснює одне коливання за 5 с, тобто період ко­ 1 1 ливання T дорівнює 5 с, то за 1 с вона здійснить n = = повного коливан­ T 5 1 1 ня. Якщо ж повне коливання точка здійснює за  с  T =  , то за 1 с вона 8  8 1 здійснить n =  1  = 8 коливань. 8


129

ТригонометрИчні функції

Оскільки будьяке просте гармонічне коливання описує функція виду y = A sin (ωt + α), то графік цієї функції можна розглядати як графік гармо­ нічного коливання. Як відомо, такий графік є синусоїдою. Маючи графік коливання, можна описати його, визначивши амплітуду, період, частоту та інші характеристики. Зробимо це стосовно гармонічного коливання, графік якого зображено на малюнку 93. Як уже зазначалося, амплітуда гармоніч­ y ного коливання дорівнює найбільшому зна­ 2,1 ченню, якого може набувати функція, що його описує. Це значення дорівнює ординаті найви­ щої точки графіка. У даному випадку A = 2,1. −1 Період коливання T дорівнює найменшому t 2,7 4,1 −0,3 1,1 додатному періоду відповідної функції. З графі­ ка видно, що такий період дорівнює 3 (проміжок між числами 1,1 і 4,1). Отже, T = 3 с. Звідси ча­ 1 стота коливання становить n = коливань/с. Мал. 93 3 Оскільки T = 

2π 2π 2π , тобто 3 = , то ω =  рад/с. 3 ω ω

У формулі y = A sin (ωt + α) стосовно даного коливання невизначеним за­ 2π лишається лише α. Формула має такий вигляд: y = 2,1 sin  t + α . 3 Початкову фазу α, користуючись графіком, можна знайти так. Оскільки графік функції y = sin (ωx + α) дістають зміщенням графіка функції y = sin ωx α α α вздовж осі Ox на одиниць вліво, якщо > 0, або вправо, якщо < 0, то, ω ω ω

(

)

помноживши зміщення на ω і врахувавши його напрямок, знаходимо значен­ 2π t зміщено ня α. У даному випадку, як видно з графіка, синусоїду y = 2,1sin 3 2π вліво на 0,3 одиниці. Отже, α — додатне число і дорівнює 0,3 ⋅ = 0,2π рад. 3 2π Тому рівняння даного коливання має вигляд: y = 2,1 sin  t + 0,2π . 3

(

)

1. Яка функція є математичною моделлю простого гармонічного коливання? 2. Поясніть зміст понять: амплітуда, період, частота гармонічного коливання. 3. Яка залежність існує між періодом гармонічного коливання та його частотою?


130

Розділ 2

342'. Укажіть амплітуду, частоту, період і початкову фазу гармонічного коливання: π 1) y = 3 sin   t +  ;    2) y = 1,8 sin (2t  + 1);  3) y = 0,8 sin (πt  - 2);  4 t t 4) y = 1,5 sin t ;    5) y = 2,5 sin  ;  6) y = 5 sin   − 1 . 2 3  343°. Запишіть рівняння двох різних гармонічних коливань, що мають: 1) однакові періоди; 2) однакову амплітуду; 3) однакові частоту і початкову фазу. 344. Скільки коливань за хвилину зробить точка, що коливається за законом: π π 5π 1) y = 4 sin  t ;  2) y = sin 2πt ;  3) y = 2,5 sin  t − 3  ;  4) y = sin  t + 0, 5  ? 3 8   6  345. Побудуйте графік гармонічного коливання: t π π t  1) y = sin 4t ;   2) y = sin  ;   3) y = sin  4t +  ;   4) y = sin  −  ; 2 6 3  2 t π 1 π 5) y = 2 sin  4t +  ; 6) y =  sin  −  . 2 6 2 3  346*. За графіками гармонічних коливань, зображеними на малюнках 94 — 97, зна­ йдіть амплітуду, період, частоту і початкову фазу кожного з них та запишіть їх рівняння. y 2,2 y 1 O

1 π

π 2

π 4

O

x

π 2

π

x

Мал. 94              Мал. 95 y 1,5 1 O

y 4

1

π 2

π t

−2

1

6

−4

Мал. 96              Мал. 97

14 16

t


131

ТригонометрИчні функції

25

§

Рівняння sin x  = a

Рівняння sin x = a належить до тригонометричних рівнянь. Тригонометричними називають рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції. 3 Наприклад, cos x = 2 tg x, 2 cos2 x = 3 sin x + 2, sin x tg x =  — тригономет­ 2 ричні рівняння. Розв’язати тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх значень змінної, що задовольняють його. Ці значення змінної називають розв’язками, або ко­ренями  рівняння. Якщо число x0 є розв’язком тригонометричного рівняння, то з огляду на періодичність тригонометричних функцій роз­в’язком цього рівняння є будьяке інше число, яке визначають, додаючи до даного або віднімаючи від нього певну кількість основних періодів. π 1 π 1 Наприклад, число є розв’язком рівняння sin x =  , бо sin   =  . Оскіль­ 6 2 6 2 ки основний період функції синус дорівнює 2π, то розв’язком даного рівнян­ π ня будуть також усі числа виду + 2πn, де n — ціле число (n ∈ Z). 6 Якщо одним із розв’язків рівняння tg x = a є число m, то всі числа виду m + πn, де n ∈ Z, є також розв’язками цього рівняння, бо основний період функції тангенс дорівнює π. Отже, триго­нометричне рівняння або не має розв’язків, або має їх безліч. Розв’язування будьякого тригонометричного рівняння на­магаються звести до розв’язування рівнянь виду sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, що називаються найпростішими тригонометричними рівняннями. Розгляне­ мо, як розв’язати кожне з них. Почнемо з рівняння sin x = a. Відомо, що область значень синуса — відрі­ зок [–1;  1]. Тому якщо | a | > 1, то рівняння sin x = a не має розв’язків. y 1 −1

y = sin x Oα

π−α

y=a 2π

x

Мал. 98

Нехай | a | < 1. Побудуємо в одній системі координат графіки функ­ цій y = a та y = sin x (мал. 98). З малюнка видно, що пряма y = a перети­ нає синусоїду безліч разів. Це означає, якщо | a | < 1, то рівняння sin x =  a має безліч коренів. Оскільки синус має найменший додатний період 2π, то достатньо спочатку знайти всі розв’язки в межах одного


132

Розділ 2

періоду. За графіком на ма­люнку 98 видно, якщо | a | < 1, то на відрізку [0; 2π] є два числа x1 і x2, синус яких дорівнює a. Якщо одне з них α, то дру­ ге π – α. Усі інші розв’язки рівняння sin x = a (| a | < 1) можна дістати з двох знайдених додаванням періоду. Отже, розв’язки цього рівняння визначаємо за формулами: x = α + 2πk і x = π – α + 2πk = – α + π(2k + 1), k ∈ Z. Ці дві серії розв’язків можна записати однією формулою: x = (–1)k α + πk, k ∈ Z. Справді, якщо k — парне число (k = 2n, n ∈ Z), то маємо: x = (– 1)2n α + 2πn = α  + 2πn, тобто першу підмножину розв’яз­ків; якщо k — непарне число (k = 2n + 1, n ∈ Z), то x = (–1)2n + 1 α + (2n + 1)π = –α + 2πn + π = π – α + 2πn, тобто маємо другу підмножину розв’язків. 2 . Розв’яжемо, наприклад, рівняння sin x = 2 π Один із його розв’язків дорівнює . Отже, загальна формула, що задає 4 всі розв’язки даного рівняння, така: π x = (–1)k + πk, k ∈ Z. 4 Конкретні значення x дістають, підставляючи в цю фор­мулу замість k його значення з множини цілих чисел. Наприклад, π π якщо k = 0, x = (–1)0 ⋅  + π ⋅ 0 = ; 4 4 π π 3π якщо k = 1, x = (–1)1 ⋅  + π = –  + π = ; 4 4 4 π π 9π якщо k = 2, x = (–1)2 ⋅  + 2π =  + 2π = ; 4 4 4 π π 5π якщо k = –1, x = (–1)–1 ⋅  – π = –  – π = – і т. д. 4 4 4 Зазначимо, що встановлена загальна формула виражає множину розв’язків рівняння sin x = a через один із них — число α. Тобто замість α можна взяти будьяке число, що задовольняє рівняння sin x = a. 2 можна записати не Наприклад, множину розв’язків рівняння sin x = 2 π 3π  + πk, лише у вигляді формули x = (–1)k + πk,  k ∈ Z, а й формули x = (–1)k 4 4 3π k ∈ Z, оскільки  — це також корінь даного рівняння. Кожна з наведених 4 формул визначає одну і ту саму множину розв’язків. У цьому легко перекона­ тися, знаходячи конкретні значення x у кожному з випадків.


133

ТригонометрИчні функції

Щоб досягти однозначності в запису розв’язків найпрості­ших тригоно­ метричних рівнянь, домовилися вибирати зна­чення одного з коренів α з того проміжку, на якому відповідна тригонометрична функція набуває всіх своїх значень, до того ж кожного з них лише один раз, тобто з проміжку зростання або спадання функції.  π π Для функції y  = sin x таким проміжком обрано відрізок  − ;  . Тут вона  2 2 зростає і набуває по одному разу всіх своїх значень від –1 до 1.  π π Розв’язок рівняння sin x = a, взятий з проміжку  − ;  , називають  2 2 головним і позначають arcsin a (читається «аркси­нус a»). Інакше кажучи,  π π arcsin a — це число (кут) з проміжку  − ;  , синус якого дорівнює a.  2 2 Наприклад, arcsin 

(

arcsin  –

3 π π 3 π  = , бо  sin = і  ∈ 2 3 3 2 3

( )

2 π π 2 π = – , бо sin  – =– і –  ∈ 2 4 4 2 4

− π ; π   2 2  ;

− π ; π   2 2  .

Взагалі, слід пам’ятати, що  

arcsin (– a) = – arcsin a, a > 0.

Отже, загальна формула розв’язків рівняння sin x = a має вигляд:  

x = (– 1)k arcsin a + πk , k ∈ Z.

Розглянемо приклади розв’язування окремих рівнянь.

1 Приклад 1. Розв’яжіть рівняння sin x  = - . 2

( 21 ) + πk, k  ∈ Z ;

Р о з в ’ я з а н н я . Загальна формула розв’язків x  = (-1)k arcsin  -

( 21 ) = -arcsin 21 = - 6π . Отже, x  = (-1) (- 6π ) + πk, k  ∈ Z.

arcsin 

k

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння sin x = 0. Р о з в ’ я з а н н я . x  = (-1)k arcsin 0 + πk, k  ∈ Z ; arcsin 0 = 0. Отже, x = πk , k  ∈ Z. 3 Приклад 3. Розв’яжіть рівняння sin x  = . 4 3 Р о з в ’ я з а н н я . x  = (-1)k arcsin  + πk, k  ∈ Z. У такому вигляді розв’язки по­ 4 дібних рівнянь, як правило, залишають. Для обчислення конкретних значень x 3 значення arcsin  знаходять за відповідними таблицями або за допомогою каль­ 4 кулятора.


134

Розділ 2

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння sin x = 1. Р о з в ’ я з а н н я . Розв’яжемо це рівняння двома способами. І спосіб. За загальною формулою коренів: x = (-1)k arcsin 1 + πk, k ∈ Z; π π arcsin 1 = , отже, x = (-1)k + πk, k ∈ Z. y 2 2 A (0; 1) ІІ спосіб. З малюнка 99 вид­но, що всі числа (кути), синус яких дорівнює 1, зображаються на одинич­ π ному колі єдиною точкою A. Одне з таких чисел , 2 π O x а їх множину задає формула x  = + 2πn, n  ∈ Z. 2 Отже, розв’язками рівняння sin x  = 1 є числа виду π x  =  + 2πn, n  ∈ Z. 2 Мал. 99 Чи суперечить це результату, який одержа­ ли, розв’язуючи дане рівняння першим способом? Зовсім ні. Покажемо це. Розглянемо першу формулу. Якщо k — парне число (k = 2n), то вона набуває вигляду: π π x = (–1)2n   + 2πn = + 2πn, n ∈ Z. 2 2 Якщо k  — непарне число (k = 2n + 1), то маємо: π π π x = (–1)2n + 1 + (2n + 1)π = – + 2πn + π = + 2πn, n ∈ Z. 2 2 2 Тобто маємо одну і ту саму множину, що збігається з множиною коренів, яку одержали, розв’язуючи рівняння дру­гим способом.

1. Які рівняння належать до тригонометричних? 2. Скільки розв’язків може мати тригонометричне рівняння? 3. За яких умов рівняння sin x  = a  не має розв’язків? Наведіть приклади. 2 4. Скільки є чисел (кутів), синус яких дорівнює ? 3 2 Яке з них позначається так: arcsin ? 3

347'. Розв’яжіть рівняння sin x  = -1 двома способами: використовуючи відповідну загальну формулу розв’язків і за допомогою одиничного кола. Який з одержаних записів простіший? Запам’ятайте його і використовуйте в по­ дальшому. 348'. Який з виразів не має змісту: 7 1) arcsin 0,8;   2) arcsin 2;   3) arcsin  - ;   4) arcsin (-1,2)? 9

( )


135

ТригонометрИчні функції

349°. Чому не можна писати arcsin 

3 2π 2π 3 = , адже sin  =  ? 2 3 3 2

350. Знайдіть і виправте помилку, якщо вона є, в запису: 1 7π 1 1 π 2 3π π = ;  3) arcsin  - = ;  4) arcsin  - = - . 1) arcsin  = ;  2) arcsin  2 6 2 2 6 2 4 6 351°. Позначте на одиничному колі число і відповідний кут: 1 1 3 1 1) arcsin ;  2) arcsin  - ;    3) arcsin ;  4) arcsin  - . 4 2 5 3 352. Спростіть вираз: 3 π 1) sin  arcsin ;  2) sin (arcsin 0,6);   3) sin (arcsin (- 0,35)); 4) sin  arcsin . 4 6 353. Розв’яжіть рівняння: 3 3 1 2 ;  2°) sin x  = ;   3') sin x  = ;  4°) sin x  = . 1') sin x  = 2 2 2 2 Знайдіть по два додатних і від’ємних розв’язки кожного з цих рівнянь. 354. Розв’яжіть рівняння: 1 1) sin x  = ;  2) sin x  = -0,7;    3) 2 sin x  = - 1; 3

( )

( )

( )

(

4)

)

(

)

2 sin x  = 1;  5) 3 sin x  = 2;   6) - 5 sin x  = 3.

26

§

( )

Рівняння cos x  = a

Функція косинус, як і синус, є обмеженою: всі її значення лежать у межах числового відрізка [– 1; 1]. Тому якщо | a | > 1, то рівняння cos x = a розв’язків не має. Розглянемо, як розв’язати це рівняння, якщо | a | < 1. Пряма y = a перети­ нає графік y = cos x  безліч разів (мал. 100). У межах числового проміжку, що  3π π  дорівнює найменшому додатному періоду косинуса 2π, наприклад  − ; ,  2 2 лежать два розв’язки цього рівняння α і – α (косинус  — парна функція). y = cos x − 3π 2

y 1 −α O −1

y=a απ 2

Мал. 100

x


136

Розділ 2

Отже, серії розв’язків мають вигляд: x = α + 2πn  та x = –α + 2πn, n ∈ Z. їх мож­ на подати однією формулою: x = ± α + 2πn, n ∈ Z. Ця формула виражає множину розв’язків рівняння cos x = a через один із них, тобто α. Значенням α можна довільно взяти будьяке число, косинус якого дорівнює a. В результаті одержимо безліч формул, що задають одну й ту саму множину розв’язків даного рівняння. Щоб досягти однозначності, домовилися значення α брати з проміжку [0; π], на якому функція y = cos x, спадаючи від 1 до –1, набуває всіх своїх значень по одному разу. Таке значення позначають arccos a (читають: «аркко­ синус a»). arccos a  — це число (кут) з проміжку [0; π], косинус якого дорівнює a. 1 π π 1 π π , бо cos  = і ∈ [0; π]; arccos 0 = , бо Наприклад, arccos  = 2 3 3 2 3 2 π π cos  = 0 і ∈ [0; π]. 2 2 1 Знайдемо arccos  – . Часто припускаються помилки, міркуючи так: 2 1 π 1 π якщо arccos  = , то arccos  – = – . Але це неправильно, бо, поперше, 2 3 2 3 π π 1 1 π cos  – = cos = , а не – ; подруге, – не належить проміжку [0; π]. 3 3 2 2 3 1 1 Щоб знайти співвідношення між arccos  – та arccos  , вдамося до оди­ 2 2 ничного кола. Зобразимо на ньому в межах [0; π] кут α, косинус якого до­ 1 1 рівнює – , тобто arccos  – (мал. 101), а також кут β, косинус якого дорів­ 2 2 1 1 1 нює , тобто arccos  . Оскільки {AOB = {A1OB1 (за катетом OB = OB1 = і 2 2 2 гіпотенузою AO = A1O = 1), то ∠AOB = ∠A1OB1 = β. Тоді α = π – ∠AOB = π – β. y 1 1 Отже, arccos  – = π – arccos  . Взагалі, A A1 2 2

( )

( ) 

( )

( )

( )

( )

    arccos (–a) = π – arccos a, a > 0.

α B

Загальна формула розв’язків рівняння cos х = а має вигляд:

−1

2

O

β B 1

     x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z. Мал. 101

1 2

x


137

ТригонометрИчні функції

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння cos x =

3 . 2

Р о з в ’ я з а н н я . Загальна формула розв’язків x = ± arccos  arccos 

3 π π  =  . Отже, x  = ± + 2πn, n  ∈ Z. 2 6 6

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння cos x  = -

(

Р о з в ’ я з а н н я . x  = ±arccos  -

(

3 + 2πn, n  ∈ Z. 2

)

3 . 2

3 + 2πn, n  ∈ Z. 2

)

3 3 π 5π = π - arccos  =π- = . 6 2 2 6 5π + 2πn, n  ∈ Z. Отже, x  = ± 6

arccos  -

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння cos x = 0. Р о з в ’ я з а н н я . x  = ± arccos 0 + 2πn, n  ∈ Z. π π arccos 0 = ; x  = ± + 2πn, n  ∈ Z. 2 2 Розв’язок цього рівняння можна записати і в іншому вигляді. Розглянемо одиничне коло (мал. 102). Усі числа, ко­синус яких дорівнює 0, зображають­ ся двома точками A і A1, що є кінцями вертикаль­ y A ного діаметра цього кола. Одне з чисел, позначене π точкою A, дорівнює . Усі інші числа можна 2 π одержати з формули x = + πn, n ∈ Z. 2 O x Можна обґрунтувати, що формули π π x = ± + 2πn, n ∈ Z і x = + πn, n ∈ Z задають 2 2 A1 одну і ту саму множину чисел. Мал. 102

1. Скільки розв’язків може мати рівняння cos x  = a ? 2. У яких випадках рівняння cos x  = a не має розв’язків? 3. Як записати в загальному вигляді множину розв’язків рівняння cos x  = a ? 4. Що означає запис: arccos a ?


138

Розділ 2

355'. Яке рівняння не має розв’язків: 7 9 1) cos x  = - ; 2) cos x  = ; 3) cos x  = 0,98; 4) cos x  = -1,25? 8 8 356'. Число b  — один із розв’язків рівняння cos x = m. Як виразити через b усі інші розв’язки цього рівняння? 3 357'. Як розуміти запис arccos ? 5 358'. Який з виразів не має змісту: 4 2 1) arccos ;  2) arccos (-6,4);  3) arccos  - ; 9 3 π π 4) arccos ;  5) arccos  ;  6) arccos 1? 2 4 359°. Знайдіть і виправте помилку, якщо вона є, в запису: 1 π 2 π = - ; 2) arccos  = ; 1) arccos  2 3 4 2

( )

( )  2 3π 3) arccos () = ; 2 4

(

4) arccos  -

)

3 7π = . 2 6

360°. Позначте на одиничному колі число і відповідний кут: 1 1 1) arccos  - ;  2) arccos ;  3) arccos (-0,8);  4) arccos 1. 2 3 3 361. Скільки розв’язків має рівняння cos x = - ? Зобразіть ці розв’язки точками 4 3 одиничного кола. Вкажіть на малюнку точку, що зображає число arccos  - , і 4 відповідний кут. 362. Обчисліть: 1 1 1 1) arccos 1 + 2 arcsin  ; 2) 3 arccos  - arcsin  ; 2 2 2 3 2 2 3 3) arcsin  + 2 arccos  ; 4) arccos 1 + arccos  - 6 arccos  . 2 2 2 2 363. Знайдіть значення виразу: 4 5 . 1) sin  arccos  ; 2) sin  arccos  5 13 364. Знайдіть по два додатних і від’ємних розв’язки рівнянь, записавши спочатку загальні формули їх розв’язків: 1 1') cos x = 1; 2°) cos x = -1; 3') cos x = ; 2

( )

( )

(

(

)

(

( )

)

(

(

(

)

))

1 2 2 ; 6°) cos x = . 4°) cos x = - ; 5') cos x = 2 2 2 365. Розв’яжіть рівняння: 9 1) cos x = 0,2;  2) cos x = - ;  3) 2 cos x = - 2 ;  4) 2 cos 3x = - 2 . 14

(

)


139

ТригонометрИчні функції

27

§

Рівняння   tg x  = a  та ctg x  = a

Рівняння tg x = a. Область значень тангенса — вся числова пряма. Тому рівняння tg x = a має розв’язки для будьякого дійсного a. У межах наймен­ шого додатного періоду (до­рівнює π) тангенс набуває конкретного значен­ ня a тільки один раз (пряма y = a перетинає криву графіка y = tg x у межах періоду π лише один раз) (мал. 103). Тому якщо відомий один розв’язок α рівняння tg x = a, то всі розв’язки задає формула: x = α + πn, n ∈ Z. y

y = tg x

y=a

π

O α π

−π − 2

2

π

x

Мал. 103

 π π Для однозначності домовилися брати α в цій формулі з проміжку  − ;   2 2 і позначати, відповідно, arctg a (читається: «арктангенс a»). Тобто

(

)

π π arctg a — це число (кут) з проміжку − ; , тангенс якого дорівнює a. 2 2

Наприклад, arctg 3 =

( 3π ) = –

бо tg  –

3 і–

π  ∈ 3

π π , бо tg = 3 3

3 і

π  ∈ 3

 − π; π  π   ; arctg (– 3 ) = – ,  2 2 3

− π ; π   2 2  .

Загалом, як і для синуса, arctg (–a) = –arctg a, a > 0. Отже, загальна формула розв’язків рівняння tg x = a має вигляд:     x = arctg a + πn, n ∈ Z.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння tg x = 1. Р о з в ’ я з а н н я . x  = arctg 1 + πn, n  ∈ Z, arctg 1 =

π π . Отже, x  = + πn, n  ∈ Z. 4 4


140

Розділ 2

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння tg x  = 2,5. Р о з в ’ я з а н н я . x  = arctg 2,5 + πn, n  ∈ Z.

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння tg x  = -1. Р о з в ’ я з а н н я . x  = arctg (-1) + πn, n  ∈ Z, arctg (-1) = -arctg 1 = x  = -

π + πn, n  ∈ Z. 4

π . 4

Рівняння ctg x = a. Міркуючи аналогічно до попереднього, знайдемо фор­ мулу коренів цього рівняння: x = α + πn, n ∈ Z, де α — один із розв’язків рівняння ctg x = a (мал. 104). y y = ctg x

π −2

O

π 2

α

x

π

y=a

Мал. 104 У цьому випадку значення α домовилися брати з проміжку (0; π) і позна­ чати arcctg a (читається: «арккотангенс a»). Отже,

arcctg a — це число (кут) з проміжку (0; π), котангенс якого дорівнює a. Наприклад, arcctg 3 =

π π , бо ctg = 6 6

3 і

π  ∈ (0; π). 6

Як і для косинуса, arcctg (–a) = π – arcctg a, a > 0. π 5π Зокрема, arcctg (– 3 ) = π – arcctg 3 = π – = . 6 6 Отже, загальна формула розв’язків рівняння ctg x = a має вигляд:     x = arcctg a + πn, n ∈ Z.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння ctg x  = 0. Р о з в ’ я з а н н я . x  = arcctg 0 + πn, n  ∈ Z, arcctg 0 =

π π ; x  = + πn, n  ∈ Z. 2 2


141

ТригонометрИчні функції

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ctg x  = -1.

Р о з в ’ я з а н н я . x  = arcctg (-1) + πn, n  ∈ Z; π 3π 3π arcctg (-1) = π - arcctg 1 = π - = ;x= + πn, n  ∈ Z. 4 4 4 Приклад 3. Розв’яжіть рівняння ctg x = -3. Р о з в ’ я з а н н я . x  = arcctg (-3) + πn, n  ∈ Z.

1. Чи завжди мають розв’язки рівняння: tg x = a; ctg x = a ? 2. Як записати в загальному вигляді множину розв’язків рівняння: tg x  = a ; ctg x  = a ? 3. Що означає запис: arctg a? 4. Що означає запис: arcctg a?

366'. Число с — один із розв’язків рівняння tg x = c. Як виразити через c  усі інші розв’язки цього рівняння? 367'. Як ви розумієте запис: arctg (-2)? Накресліть одиничне коло і позначте на ньо­ му точку, що зображає число arctg (-2), і відповідний кут, скориставшись для цього віссю тангенсів. 368'. Поясніть, що таке arсctg 3. Зобразіть arcсtg 3 на одиничному колі. 369'. Зобразіть на одиничному колі точками розв’язки рівняння: 1) tg x = 1,5; 2) ctg x = -2; 3) tg x = -2,5; 4) ctg x = 1. Позначте кут: arсtg 1,5; arсctg (-2); arсtg (-2,5); arсctg 1. 370. Запишіть загальні формули розв’язків рівнянь: 1') tg x = 3 ;  2') tg x = - 3 ; 3') tg x = -1; 4') tg x = 1; 5') ctg x =

1 ;  3

6°) ctg x = -

1 ;  3

7°) ctg x = 1;

8°) ctg x = -1.

°Користуючись цими формулами, знайдіть по два додатних і від’ємних розв’язки кожного з них. 371. Розв’яжіть рівняння: 1) 2 tg x  + 2 = 0; 2) 3 tg x  - 6 = 1; 3) 4 + 5 tg x  = 2; 1 4) 6 ctg x  + 3 = 1; 5) ctg x  + 0,5 = 0; 6) 0,3 ctg x + 1 = 0,6. 2 372*. Обчисліть: 3 4 12 1) tg  arccos  ; 2) tg  arccos  ; 3) ctg  arcsin  ;  4) cos (arctg 2). 5 5 13

(

)

(

( ))

(

(

))


142

28

§

Розділ 2

Розв’язування складніших   тригонометричних рівнянь

Зведемо знайдені результати розв’язування найпростіших тригономет­ ричних рівнянь для зручності використання в за­гальну таблицю 10. Таблиця 10 Рівняння sin x = a

Формула розв’язків

Головний розв’язок

 π π arcsin a ∈  − ;  ,  2 2

x = (–1)n arcsin a + πn, n ∈ Z

arcsin (–a) = –arcsin a cos x = a

x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z

arccos a ∈ [0; π], arccos (–a) = π – arccos a

tg x = a

x = arctg a + πn, n ∈ Z

 π π arctg a ∈  − ;  ,  2 2 arctg (–a) = –arctg a

ctg x = a

x = arcctg a + πn, n ∈ Z

arcctg a ∈ (0; π), arcctg (–a) = π – arcctg a

Розглянемо приклади розв’язування складніших тригоно­метричних рівнянь. Зазначимо, що єдиного, універсального способу розв’я­зування таких рів­ нянь немає. Але загальний підхід полягає в тому, що дане рівняння нама­ гаються перетворити так, щоб його розв’язування звести до розв’язування найпростіших три­гонометричних рівнянь за відомими формулами. Наприклад, щоб розв’язати рівняння 2 sin2 x + sin x = 0, його ліву частину розкладають на множники: sin x (2 sin x + 1) = 0, а потім кожен з них при­ рівнюють до нуля:   sin x = 0; (1) 1   2 sin x + 1 = 0, sin x = – . (2) 2 У результаті отримали два рівняння (1) і (2), розв’язування яких утруд­ нень не викликає. Проілюструємо на прикладах окремі способи реалізації зазначеного під­ ходу до розв’язування тригонометричних рів­нянь.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння sin 4x  =

3 . 2

Р о з в ’ я з а н н я . Застосуємо загальну формулу розв’язків рівняння sin x = a, беручи до уваги, що тут під знаком синуса стоїть 4x. Маємо:


143

ТригонометрИчні функції

4x = (-1)n arcsin  Звідси x = (-1)n

3 π + πn, n ∈ Z, або 4x = (-1)n  + πn, n  ∈ Z. 2 3

π πn + , n ∈ Z. 12 4

(

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 3tg  x + 

)

π = 6

3.

(

Р о з в ’ я з а н н я . Запишемо це рівняння у вигляді tg  x + 

)

π 3 = , поділивши 6 3

обидві його частини на 3. Застосуємо до цього рівняння загальну формулу розв’язків рівняння tg x = a, беручи до уваги, що під знаком тангенса в даному π випадку стоїть вираз x +  . Маємо: 6 π 3 π π + πn, n  ∈ Z, або x +  = + πn, n  ∈ Z. x +   = arctg  3 6 6 3 π π π + πn  = + πn, n  ∈ Z. Звідси  x  = - + 6 3 6

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння  sin2 x + 3 sin x - 2 = 0.

Р о з в ’ я з а н н я . Це рівняння є квадратним відносно sin х. Уведемо позначення sin x = y. Маємо: 2y 2 + 3y - 2 = 0. Розв’я­жемо це рівняння: −3 + 5 1 -3 - 5 D  = 9 + 16 = 25; D = 5; y1 = = ; y2 = = -2. 4 2 4 Повернемося до введеного позначення. Маємо: 1 1 π sin x = ; x = (-1)n arcsin  + πn = (-1)n + πn, n ∈ Z ; 2 2 6 sin x  = - 2. Оскільки | sin x | ≤ 1, то це рівняння розв’язків не має. π Отже, x = (-1)n  + πn, n  ∈ Z. 6 Приклад 4. Розв’яжіть рівняння 2 sin2 x + 5 cos x - 5 = 0. Р о з в ’ я з а н н я . Якщо рівняння містить різні тригонометричні функції, то можна спробувати виразити їх через якусь одну. В дано­му випадку з тотожності sin2 x + cos2 x = 1 виразимо sin2 x  через cos2 x  і підставимо в рівняння. Маємо:  sin2 x = 1 - cos2 x ;  2 (1 - cos2 x ) + 5 cos x - 5 = 0. Виконаємо перетворення його лівої частини. О��ержимо:  2 - 2 cos2 x + 5 cos x - 5 = 0, або 2 cos2 x - 5 cos x + 3 = 0. Маємо квадратне рівняння відносно косинуса. Уведемо по­значення cos x = y. Рівняння набуває вигляду:  2y 2 - 5y + 3 = 0. 5 ±1 3 Розв’яжемо його:  D = 25 - 24 = 1; D = 1; y = ; y1 = ; y2 = 1. 4 2 3 Повернемося до введеного позначення. Маємо: cos x =  . 2


144

Розділ 2

3 Рівняння не має розв’язків, бо   > 1;  cos x = 1, x = 2πn, n  ∈ Z. 2 Отже,  x = 2πn, n  ∈ Z.

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння  sin 2x + cos x = 0. Р о з в ’ я з а н н я . У цьому рівнянні маємо не лише різні тригонометричні функ­ ції, а й різні аргументи: 2x і x. Щоб звести вираз у лівій частині рівняння до аргу­ менту x, застосуємо формулу синуса подвійного аргументу: sin 2x = 2 sin x cos x. Маємо:  2 sin x cos x + cos x  = 0. Розкладемо ліву частину утвореного рівняння на множники, винісши за дужки спіль­ний множник cos x. Маємо:  cos x (2 sin x  + 1) = 0. Прирів­няємо кожен із множників до нуля. Одер­ жимо два рівняння cos x   =  0  і  2 sin x + 1 = 0, які легко розв’язати. Зробіть це самостійно.

373. Розв’яжіть рівняння: x 2 1°) sin 2x = 1;   2°) cos   = ;   3°) tg 3x + 1 = 0;   4') 4 sin x = -2; 2 2 π = 0; 5') 2 cos x - 2 = 0;   6°) 5 ctg x  - 1 = 0;   7) cos  x  -  3 π 1 8) sin  x  +  - 1 = 0;   9) tg (x - 2) = 5; 10*) sin x cos x  = ; 8 4 11) cos2 x - sin2 x = 0,5; 12*) 8 sin x  cos x  cos 2x  cos 4x = 1.

(

)

(

374. Розв’яжіть рівняння, скориставшись формулами додавання: 1) cos x cos 2x + sin x sin 2x = 1;  2) sin 3x cos x + sin x cos 3x = -1; 3) sin x sin 2x + cos 3x = 0;  4) cos 1,5x = cos 0,5x cos x. 375. Розв’яжіть рівняння, розкладаючи ліву частину на множники: 1) sin х - sin х tg х = 0;   2) 2 cos2 х + cos х = 0;   3) 3 tg2 х + tg х = 0; 4) 3 sin х cos х + cos х = 0; 5) 4 cos2 х - 1 = 0;     6) 4 sin2 х - 3 = 0. 376. Розв’яжіть рівняння: x x 1) 1 - cos х  = sin  ;  2) 1 + cos х  = cos  ; 2 2 3) sin 2х  + sin х  = 0;  4) tg х  - ctg х  = 0. 377. Розв’яжіть рівняння, розглядаючи його як квадратне рівняння відносно однієї з тригонометричних функцій: 1) 2 sin2 x - 5 sin x + 2 = 0; 2) 2 sin2 x + 3 sin x - 2 = 0; 3) 3 cos2 x - 8 cos x - 3 = 0;  4) cos2 x + 1 = -2 cos x; 5) 2 sin2 x - sin x - 1 = 0;  6) tg2 x - 2 tg x = 3; 7) tg2 x = 4 tg x - 3;  8) sin2 x = 6 - sin x. 378. Розв’яжіть рівняння, звівши його до квадратного рівняння відносно однієї з тригонометричних функцій: 1 1) 4 cos2 x + sin x = 1;  2) 2 cos x + cos2 x = 2 - sin2 x ;   3) sin2 x - cos x = ; 2


145

ТригонометрИчні функції

4) sin x + cos2 x = 1 ;  5) cos 2x + cos x = 0; 4 2 cos2 x  = 1; 8) tg x + 5 ctg x = 6;  7) 7 cos x - 3

6) sin x - cos 2x = 0; 9) cos 2x = 3 sin x - 1.

379*. Розв’яжіть рівняння: x 1 1) cos   - cos x  = 1; 2) sin4x  - cos4x  = ; 2 2 x 3 2 3) 2 sin   - cos x  + 1 = 0;  4) tg x  + tg x  - 3 tg x  - 3 = 0. 2

29

§

Приклади розв’язування  тригонометричних нерівностей

Розглянемо загальні підходи до розв’язування найпростіших тригонометрич­ них нерівностей, якими є нерівності виду sin x > a, sin x < a, cos x > a, cos x < a, tg x > a, tg x < a. Нерівності  sin x > a  і  sin x < a. Якщо a > 1, то нерівність sin x > a розв’язків не має. Наприклад, sin x > 2,5, sin x > 10. Обґрунтуйте це самостійно. Якщо a < – 1, наприклад a = –3, a = –4,4 , то нерівність sin x > a (sin x > –3, sin x > –4,4) задовольняє будьяке дійсне значення x, бо найменше значення синуса дорівнює –1. Отже, розв’язком нерівності в цьому випадку є множина всіх дійсних чисел x ∈ (–; ). З’ясуємо, як знайти розв’язки нерівності sin x > a, якщо –1 ≤ a ≤ 1. 1 Приклад 1. Розв’яжіть нерівність sin x  > . 2 Р о з в ’ я з а н н я . Оскільки синус є періодичною функцією з основним періодом 2π, то знайдемо спочатку розв’язки нерівності на числовому проміжку довжиною 2π, наприклад на проміжку [0; 2π]. Зробимо це графічним способом. Для цього 1 побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = sin x   та  у =  (мал. 105) 2 і встановимо, в яких точках зазначеного проміжку графік функції у = sin x лежить 1 над прямою у = . З малюнка 105 видно, що це проміжок (х1, х2). 2 y

y = sin x

1 O

y=1

2

x1

x2

–1

Мал. 105

x


146

Розділ 2

Оскільки в точках х1 і х2 значення обох функцій рівні між собою, то х1 і х2 є 1 розв’язками рівняння sin x = на проміжку [0; 2π]. Неважко встановити, що це 2 π 5π 1 числа і . Отже, розв’язок нерівності sin x  > на цьому проміжку можна за­ 6 6 2 π 5π писати так: х ∈ ;  . 6 6 Враховуючи періодичність функції синус, запишемо множину проміжків, на яких 5π 1 π  + 2πn ;  + 2πn , n  ∈ Z . Ця множина і є розв’язком даної нерівності. sin x  > : 6 2 6

(

)

(

Отже, x ∈

)

( 6π  + 2πn;  56π + 2πn), n  ∈ Z .

Розв’язування нерівності виду sin x < a проілюструємо на прикладі. 1 Приклад 2. Розв’яжіть нерівність sin x < . 2 Р о з в ’ я з а н н я . Як і в попередньому прикладі, будуємо в одній системі графі­ 1 ки функцій у = sin x та у = , обираємо числовий проміжок довжиною 2π, напри­ 2 клад [0; 2π], і знаходимо розв’язки даної нерівності на цьому проміжку (мал. 106). 1 Для цього встановлюємо, в яких його точках синусоїда лежить під прямою у  = , 2 1 розв’язавши спочатку рівняння sin x = на проміжку [0; 2π]. 2 π 5π З малюнка видно, що це об’єднання проміжків 0;  і ;  2π . 6 6

(

y

y = sin x

1 O

−π

−1

π 6

) (

)

y = 12

5π 6

x

Мал. 106

Враховуючи періодичність функції синус, знаходимо розв’язок нерівності 1 π 5π sin x  <  як об’єднання проміжків 2πn;   + 2πn і  + 2πn;  2π + 2πn , n  ∈ Z . 2 6 6 5π π  + 2πn;  2π(n + 1) , n  ∈ Z. Отже, x ∈ 2πn;   + 2πn 2 6 6

(

(

) (

)( )

)

У розглянутому випадку розв’язком нерівності є об’єднання двох про­ міжків. Вигляд відповіді можна дещо спростити, якщо взяти до уваги таке. 1 На проміжку [0; 2π] розв’язком нерівності sin x < є об’єднання двох про­ 2 міжків. Проте щоб одержати загальну відповідь, не обов’язково шукати


147

ТригонометрИчні функції

розв’язки даної нерівності саме на проміжку [0; 2π]. Це може бути будьякий інший проміжок, але обов’язково довжиною 2π. Наприклад, проміжки 3π π π 5π – ;  , ;  . Як видно з малюнка 107, у межах цих проміжків 2 2 2 2 1 розв’язки нерівності sin x < є неперервними проміжками: у першому ви­ 2 7π π 5π 13π падку – ;  , у другому  — ;  . 6 6 6 6 Це уможливлює запис розв’язку даної нерівності в простішому вигляді: 7π π 5π 13π x∈ –  + 2πn;   + 2πn , n ∈ Z або x ∈  + 2πn;   + 2πn , n ∈ Z. 6 6 6 6 y y = sin x 1 y= 1

[

][

(

]

)

(

(

)

)

(

)

2

−2π − 3 π − 7 π 2 6

π 6

O −1

π 2

5π 6

13 π 5 π 6 2

x

Мал. 107

Обидва записи задають одну й ту саму множину числових проміжків. У цьому легко переконатися, підставляючи в зазначені вирази цілі значення n. Аналогічно розв’язують нерівності виду cos x > a, cos x < a, якщо –1 < a < 1. Нерівності tg x > a і tg x < a. Оскільки значення тангенса може бути будьяким числом, дані нерівності мають розв’язок за будьякого дійсно­ го a. Загальні підходи до розв’язування цих нерівностей аналогічні до розв’язування попередніх нерівностей.

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність tg x  ≥  3 . Р о з в ’ я з а н н я . Розв’яжемо цю нерівність графічно. Будуємо в одній системі координат графіки функцій y = tg x  та y =  3 (мал. 108) y

−π 3π −2

π −2

O π 3

Мал. 108

π 2

π 3π x 2


148

Розділ 2

і знаходимо корені рівняння tg x  =  3 на одному з проміжків довжиною π

(

)

π π π (π — основний період функції y  = tg x), наприклад на інтервалі - ;  , x  = . 2 2 3 На цьому самому інтервалі знаходимо розв’язки даної нерівності. З малюнка 108 π π видно, що це проміжок ;  . 3 2 Враховуючи періодичність функції y = tg x, записуємо множину всіх розв’язків π π даної нерівності:  + πn ;   + πn , n  ∈ Z. 3 2 Аналогічно розв’язують і нерівності виду ctg x > a і ctg x < а.

[

)

[

)

1. Для яких значень a  нерівність sin x  > a  не має розв’язків? 2. Для яких значень a  нерівність sin x  < a  не має розв’язків? 3. Для яких значень a  розв’язком нерівності cos x   >  a  є множина всіх дійсних чисел? 4. Для яких значень a  розв’язком нерівності cos x   <  a  є множина всіх дійсних чисел? 5. Чи може нерівність tg x  > a  (tg x  < a ) не мати розв’язків?

Розв’яжіть нерівність. 380°. 1) sin x >

3 3 3 3 ;   2) sin x ≤ ;   3) sin x ≥ ;    4) sin x < ; 2 2 2 2 3 3 3 ;   6) cos x ≤ ;    7) cos x ≥ ;   8) tg x < 1; 2 2 2

5) cos x >

9) tg x ≥ 1; 

381. 1) sin 2x <

10) tg x <

3 ;

11) tg x ≥

12) tg x > - 3 .

x 2 2 2 ;    2) cos 3x > ;   3) sin  ≥ ; 3 2 2 2

(

)

x 2 π ≤;   5*) tg  x  -  ≥ 1;  2 2 4 1 7*) sin x cos x ≤ ;   8*) 1 - 2 cos2 x ≥ 1. 4

4) cos 

1 ;  3

(

6*) 2 sin  x  - 

)

π 3

3 ≤ 0;


149

ТригонометрИчні функції

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ Контрольні запитання 1. Поясніть математичний зміст запису: sin 2, cos

7π , tg (-3,2), ctg 1. 5

2. Що таке формули зведення? Як установити кожну з них? 3. Запишіть основні тригонометричні тотожності й обґрунтуйте кожну з них. 4. Які формули належать до формул додавання? Запишіть їх. 5. Доведіть формули додавання для косинуса, синуса, тангенса і котангенса. 6. Які формули легко дістати з формул додавання (інакше — які формули є наслідками з формул додавання)? 7. Охарактеризуйте основні властивості тригонометричних функцій і наве­ діть приклади їх використання. 8. Запишіть рівняння простого гармонічного коливання і поясніть зміст його параметрів. 9. Які рівняння належать до найпростіших тригонометричних рівнянь? Запишіть у загальному вигляді множини розв’язків кожного з них.


150

Розділ 2

ТЕСТОВІ  ЗАВДАННЯ  до  розділу 2 Тригонометричні функції кута (§ 9 – 12) 1°. Менша діагональ ромба дорівнює т, а його гострий кут становить β. Знайдіть сторону і більшу діагональ ромба. m m m m α α α m α А. .  Г. sin і α. α і m ctg .  В. α і m tg α і m sin .  Б. 2 2 2 2 2 cos 2 2 sin 2 tg cos 2

2

2

2°. Побудуйте кут 126°. Користуючись лише лінійкою, знайдіть наближені значення його синуса і тангенса з точністю до десятих. А. 0,9 і 2,0.   Б. 0,4 і 2,0.   В. 0,4 і -2,0.   Г. 0,9 і -2,0. 3°. Який знак має вираз: 1) cos 228° sin 228° tg 228°; 2) sin 134° - cos 118°; 3) cos 320° - ctg 108°; 4) tg 300° + ctg 300°? А. 1) +;  2) +;  3) -;  4) +. Б. 1) -;  2) +;  3) -;  4) +. В. 1) +;  2) -;  3) +;  4) -. Г. 1) +;  2) +;  3) +;  4) -. 4. Рухомий радіус утворює з додатною ��іввіссю Ох кут 234°. Укажіть у межах пер­ шого оберту додатні кути α і β, для яких sin α = sin 234°, tg β = tg 234°. А. α = 306°, β = 54°. Б. α = 54°, β = 306°. В. α = 126°, β = 36°. Г. α = 126°, β = 54°. 5*. Чи можлива рівність sin α cos α = 1? А. Так. Б. Ні. В. Можлива за умови sin α = cos α = 1. 1 Г. Можлива за умови sin α = а, cos α =  . a

Тригонометричні функції числового аргументу (§13 — 15) 1°. Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 40°. Знайдіть радіанні міри ку­ тів цього трикутника. π 5π 5π 4 π π 5π 2 π 5π 4 π π А. , , 1. Б. , , π.   В. , , .   Г. , , . 9 18 9 9 2 18 9 9 9 2 2°. Запишіть вираз, що задає множину чисел, зображених на одиничному колі кін­ цем рухомого радіуса, який утворює з додатною піввіссю Ох кут 160°. 8π π А. + πk, k ∈ Z. Б. + 2πk, k ∈ Z. 9 9 8π В. 160° + 2πk, k ∈ Z. Г. + 2πk, k ∈ Z. 9 5π 3π π 15π 9π π 3°. Визначте знак добутку: 1) sin  cos  tg ;  2) sin   cos  tg . 7 10 10 8 7 5 А. 1) +;  2) +.   Б. 1) -;  2) -.   В. 1) +;  2) -.   Г. 1) -;  2) +.

(

)


151

ТригонометрИчні функції

4. Знайдіть значення виразу А.

2 3 -3 2 3 +3 2 3 -3 −2 3 − 3 .  Б. .   В. .  Г. . 3 3 -2 3 3 −2 -3 3 - 2 3 3 +2

5*. Знайдіть значення виразу А.

2 sin α − 3 cos 2α π , якщо α = - . 3 sin 2α + 2 cos α 3

5    3

Б.

9π 7π − 3 cos 5 10 4π 6π sin + 4 sin 5 5

2 sin

1 .   5

, якщо sin

5 В. - .   3

π  = a. 5

1 Г. - . 3

Основні тригонометричні тотожності й формули (§ 16 – 20) 5 π і  < α < π. 13 2 5 5 Б. - .   В. .   12 12

1°. Знайдіть tg α, якщо sin α =  А. -

12 .   5

Г. -

60 . 169

2°. Спростіть вираз:  1) sin4 α + sin2 α cos2 α - sin2 α + 1;  2) А. 1) sin2 α;  2) tg 10°.     Б. 1) 1;  2) 1. В. 1) sin4 α + sin2 α;  2) сtg 80°. Г.  1) 1;  2) -1.

2 sin 40° cos 40° . cos 10°

3°. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу 3 + sin α cos β + cos α sin β. А. 3 і 2.   Б. 4 і 3.   В. 5 і 1.   Г. 4 і 2. sin2 α + cos2 α + cos 2α cos 4α tg 2α − sin 4α ;  2) . 4. Спростіть вираз:  1) α α cos 4α ctg 2α + sin 4α cos2 − sin2 2

А. 1) -tg2 2α;  2) - sin 2α.  Б. 1) -1;  2) sin 2α. В. 1) -tg2 2α;  2) 2 cos α. Г. 1) -1;  2) 2 cos2 α. α α α 5*. Чи є рівність ctg  - tg  = 2 ctg тотожністю? 2 2 2 А. Так.   Б. Ні.

2

Властивості та графіки тригонометричних функцій (§ 21 – 24)

[

А. - π, 0,

3π .  2

]

3π 3π ;  . 2 2 3π π 3π π π 3π π π 3π Б. , , , 1.   В. - , .  Г. ,- , , . 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1°. Укажіть нулі функції y = cos x на відрізку -

2°. Яка нерівність є правильною: π 3π 3π π π π 1) tg  > tg ;   2) ctg  > ctg ; 3) cos  < cos ; 4 4 5 10 5 5 π π π π π π 4) sin  > sin ;   5) cos -  > cos ; 6) sin -  < sin - ? 3 7 4 3 7 6 А. 5);  6).   Б. 2);  3);  4).   В. 1);  5).   Г. 3);  5);  6).

( )

( )

( )


152

Розділ 2

3°. На яких з даних проміжків функція y = tg x набуває лише невід’ємних значень: 3π π π 1) 0;  ;  2) 0;  ;  3) -π;  - ;  4) [-π; 0]? 2 2 2 А. 1);  2).   Б. 1);  3).   В. 2);  3).   Г. 1);  4). x 1 - cos 2x 4. Який найменший додатний період має функція:  1) y = tg ;  2) y =  ? sin x 2 π π А. 1) 2π;  2) π.  Б. 1) 2π;  2) 2π.  В. 1) ;  2) 2π.  Г. 1) ;  2) π. 2 2 π 5*. Знайдіть найбільше і найменше значення функції y  = sin x sin   - x . 2 1 1 1 1 А. і - .   Б. 1 і -1.   В. і - .   Г. 2 і -2. 2 2 4 4

[

)

[

)

[

)

(

)

Тригонометричні рівняння і нерівності (§25 – 29) 1°. Розв’яжіть рівняння tg x = 0. А. 2πn, n  ∈ Z.  Б. πn, n  ∈ Z.  

В.

πn , n  ∈ Z.  В. π(2n + 1), n  ∈ Z. 2

[

2°. Скільки розв’язків має рівняння cos x = - 0,7 на проміжку - π; 

]

3π ? 2

А. 3.    Б. 4.    В. 2.    Г. 0. 3°. Яке рівняння не має розв’язків: 1) 2 sin x - 3 = 0; 2) sin2x = 1;   3) 4 - cos x = 2; 1 4) 3 cos2 x + 1 = 0; 5) 5 tg x - 20 = 0;   6) ctg x = ? 8 А. 1); 2); 6).   Б. 2); 4); 6).   В. 1); 3); 4).   В. 2); 3); 5). 3π 3π 4. Знайдіть розв’язки рівняння 2 sin x  =  - 1 на проміжку ;  . 2 2 π 3π 5π π 3π 5π .    Б. ; ; . А. -  ; -  ; 4 4 4 4 4 4

[

π 3π 5π В. -  ; -  ; -  .   4 4 4

Г. -

2π π ; -  ; 2 4

]

2π . 2

[

5*. Числа  -а  і а  є розв’язками рівняння cos x = m (m  > 0) на проміжку Запишіть множину розв’язків нерівності cos x < m на цьому проміжку. π π π π А. - ;  - a 2 a ;  . Б. - ;  - a 2 a ;  . 2 2 2 2 π 3π π 3π В. - ;  - a 2 a ;  . Г. - ;  - a 2 a ;  . 2 2 2 2

[

] [

[

] [

]

]

(

) (

(

) (

)

)

]

π 3π ;  . 2 2


/matematika_burda_standart_chastina3