ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ
Спростіть вираз (578, 579). 578. а) (1 – cos 2 α + sin2 α)ctg2 α; б) 1 – sіnβсоsβtgβ + sin2 α. 579.
580. Чи є число 143 членом арифметичної прогресії 3, 8, 13, ...? Якщо так, то знайдіть номер цього члена прогресії.
§ 16. Формули додавання Теорема. Які б не були кути або числа і , завжди соs( + ) = соs соs + sіn sin . Д о в е д е н н я. Нехай α і β – довільні кути. На одиничному колі їм відповідають точки А (соs α; sіn α) і В (соs β; sinβ) (мал. 90). Виразимо квадрат відстані між точками А і В двома способами. Якщо ∠ АОВ = α – β, де 0 < α – β < π, то за теоремою косинусів АВ2 = ОА2 + ОВ2 – 2 ⋅ ОА × × ОВ соs(α – β) = 2 – 2соs(α – β). Згідно з теоремою про квадрат відстані між двома точками Мал. 90 АВ2 = (соsα – соsβ)2 + (sіnα – sinβ)2 = = соs2 α – 2 соs α соs β + соs2 β + sіn2 α – 2 sіn α sin β + sin2 β = 2 – – 2(соsα соsβ + sіnα sinβ). Отже, 2 – 2 соs (α – β) = 2 – 2(соs α соs β + sіn α sin β), звідси соs (α – β) = соsα соsβ + sіnα sinβ. Ми розглянули випадок, коли ∠ АОВ = α – β, де 0 < α – β < π. В інших випадках кут АОВ може дорівнювати α – β + 2πn або β – α + 2πn, де n ∈ N (мал. 91). Косинус кожного з таких кутів дорівнює соs (α – β). Тому теорема, що доводиться, правильна для будь?яких кутів α і β, а отже, і для довільних дійсних чисел α і β. На основі доведеної теореми і формул зведення можна вивести подібні формули для перетворення виразів соs(α + β) і sіn(α ± β). соs (α + β) = соs (α – (–β)) = соs α соs (–β) + sin α sіn (–β) = = соs α соsβ – sіnα sіnβ. 125
§ 16