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Estadígrafos de Posición

 

  EJEMPLO  GUIADO  NÚMERO  1.   Determina   el   P25,   el   vigésimo   quinto   percentil,   en   una   distribución   de     frecuencias   acumuladas   cuando   la   clase   de   marca  del  intervalo  es  uno  (DATOS  NO  AGRUPADOS).   “En   una   escuela   primaria,   el   maestro   aplicó   una   prueba   de   20   ítems   a   150   estudiantes;   la   puntuación   obtenida   corresponde  al  número  de  respuestas  correctas.  Se  registraron  los  siguientes  datos:   La   construcción   de   una   distribución   de   frecuencias   acumuladas   nos   facilita   el   trabajo   al   realizar   el   cálculo   de   cualquier  percentil,  aunque  el  intervalo  de  clase  sea  igual  a  1,  como  es  este  caso,  por  lo  que  la  tabla  quedaría:   PUNTUACIÓN  DEL  EXAMEN   20   19   18   17   16   15   14   13   12   11   10   9   8   7   6   5   4   3   2   1  

FRECUENCIA    (F)   1   2   5   3   12   10   19   20   33   12   6   10   5   4   2   2   3   1   0   0   n=     150  

FRECUENCIA  ACUMULADA  (Fa)  

150   149   147   142   139   127   117   98   78   45   33   27   17   12   8   6   4   1   0   0    

  Paso  1:  hallar  (0.25)n  dividiendo  n  entre  cuatro:          

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  = 37.5  

Paso   2:   determinar   cuál   es   el   límite   inferior   real   L   de   la   clase   de   puntuaciones,   que   incluya   a   la   persona   cuya   puntuación  es  de  37.5,  iniciando  desde  el  más  bajo.      

                           

 


Estadígrafos de Posición

 

  Como  puedes  observar  en  la  tabla:       PUNTUACIÓN  DEL  EXAMEN   11   10  

FRECUENCIA    (F)   12   6  

FRECUENCIA  ACUMULADA  (Fa)  

45   33  

  Como   33   personas   tuvieron   una   puntuación   inferior   a   10   y   45   inferior   a   11,   se   observa   que   la   frecuencia   37.5   se   encuentra  en  la  clase:      10.5  –  11.5.    De  donde  Li  es  10.5   Paso  3:  Para  calcular  la  parte  del  intervalo  que  corresponde  a  la  porción  dividida  por  37.5,    utilizaremos  el  siguiente   procedimiento:   Resta   0.25n   de   la   frecuencia   acumulada   (Fa)   hasta   llegar   a   Li,   que   es   igual   a   33,   punto   donde   se   observa   se   acumularon  frecuencias,  por  lo  tanto  tendremos  que:   0.25n  –  (fa)  =  37.5  –  33  =    4.5   Paso  4:  divide  el  resultado  anterior  por  la  frecuencia  f  del  intervalo  que  contiene  la  puntuación  37.5,  es  decir:   4.5 = 0.375   12 Con   esto   se   ha   calculado   qué   fracción   del   intervalo   de   clase   se   encuentra   por   debajo   de   la   frecuencia   0.25n.   En   el   intervalo   10.5   -­‐11.5   existen   12   frecuencias   y   como    

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= 0.375,       se   observa   que   las   primeras   4   ½     frecuencias  

ocupan  este  intervalo.     Paso  5:  ahora  suma  el  resultado  anterior  a  Li        0.375  +  10.5  =  10.875.   Aquí   se   aprecia   que   el   25%   de   las   puntuaciones   se   encuentran   por   debajo   de   10.875,   así   como   el   75%   de   las   puntuaciones  se  encuentran  por  encima  de  10.875.   Todo  esto  lo  puedes  simplificar  con  la  fórmula  expresada  con  anterioridad  en  esta  lección:   Fórmula  para  calcular  cualquier  percentil  de  una  distribución  de  frecuencias,  cuyo  intervalo  de  clase  es  1:  

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Pp  =  Li  +    

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P25  =  10.5  +    

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 =  10.5  +0.375  =  10.875  

 


Estadígrafos de Posición

 

  Como  puedes  observar,  resulta  aplicable  para  cualquier  percentil  que  se  pida.  Se  describieron  los  pasos  uno  a  uno   para  que    puedas  aplicar  la  fórmula.  Conforme  adquieras  la  destreza,  puedes    eliminar  los  pasos  indicados  y  aplicar   únicamente  la  fórmula  como  se  mostró  con  anterioridad.     INTERPRETACIÓN  DEL  RESULTADO:     El  lugar  número  25  del  cien  por  ciento  de  la  población  de  ítems  de  esta  escuela  se  encuentra  en  el  ítem  10.87.   EJEMPLO  GUIADO  NÚMERO  2.   Retomando el ejemplo guiado número 3 de los contenidos de caracterización estadística, tomemos los datos procesados de la tabla y sustituye en el siguiente patrón: En una prueba de aptitud matemática aplicada a un grupo de 50 estudiantes en una escuela preparatoria, se obtuvieron las siguientes calificaciones: 88   33   38   44   77   90   99   56   78   72  

n =50 74   86   65   39   79   64   68   62   85   86  

77   78   65   63   84   89   74   78   81   66  

69   66   49   78   75   82   73   91   81   90  

79   69   75   70   97   71   54   63   82   76  

La   construcción   de   una   distribución   de   frecuencias   acumuladas   nos   facilita   el   trabajo   al   realizar   el   cálculo   de   cualquier  percentil,  aunque  el  intervalo  de  clase  (A)  no  sea  igual  a  1,  como  es  este  caso,  por  lo  que  la  tabla  quedaría:  

                           

 


Estadígrafos de Posición

 

Límites  de  clase   i   1   2   3   4   5   6   7  

Ls-­‐Li  

fi  

98  -­‐  89   88  –  79   78-­‐    69   68-­‐    59   58  –  49   48  –  39   38  –  29  

6   11   16   10   3   2   2   ∑  =  50  

 

 

Marca  de   Frecuencia   clase   absoluta   acumulada   Xi   Fi   93.5   6   83.5   17   73.5   33   63.5   43   53.5   46   43.5   48   33.5   50     ∑  =  50  

NOTA: esta tabla ya la habíamos realizado en la lección 1.

Paso  1:  hallar  (0.25)n  dividiendo  n  entre  cuatro:          

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  = 12.5.  

Paso   2:   determinar   cuál   es   el   límite   inferior   real   L   de   la   clase   de   puntuaciones,   que   incluya   a   la   persona   cuya   puntuación  es  de  12.5,  iniciando  desde  el  más  bajo.   Límites  de  clase   i   3   4  

Ls-­‐Li  

fi  

78-­‐    69   68-­‐    59  

16   10  

  L  =  68.5  –  78.5    De  donde  Li  es  68.5   Paso  3:  para  calcular  la  parte  del  intervalo  que  corresponde  a  la  porción  dividida  por  12.5,    utilizaremos  el  siguiente   procedimiento:   0.25n  –  (fa)  =  12.5    –  43  =    -­‐  30.5   Paso  4:  divide  el  resultado  anterior  por  la  frecuencia  f  del  intervalo  que  contiene  la  puntuación  12.5,  es  decir:   −  30.5 = −1.90   16 Paso  5:  ahora  suma  el  resultado  anterior  a  Li      -­‐1.90  +  68.5  =  66.59.   Todo  esto  lo  puedes  simplificar  con  la  fórmula  expresada  con  anterioridad  en  esta  lección:  

                           

 


EstadĂ­grafos de PosiciĂłn

 

 

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Pp  =  Li  +    

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 (đ??´)  

 

P25  =  68.5+    !".!!!"  (10)  =  68.5  -­â€?  19.06  =  49.43   !" Recuerda  que  A  es  el  tamaĂąo  del  intervalo.   InterpretaciĂłn:  el  percentil  25  de  estas  calificaciones  corresponde  a  la  nota  49.43.   Se  puede  decir  que  el  25%  de  las  calificaciones  son  menores  a  49.43,  aunque  en  realidad  no  puede  tomarse  al  pie  de   la  letra  la  afirmaciĂłn,  ya  que  pueden  existir  errores  de  apreciaciĂłn  al  momento  de  determinar  percentiles.   Este  procedimiento  lo  puedes  aplicar  para  calcular  cualquier  percentil  que  se  te  pida  en  datos  agrupados.   En  resumen:   Para  calcular  cuartiles  (Q1,Q2,Q3  ó  Q4)   ÎŁđ?‘“ −  đ??šđ?‘– đ?‘„1 = đ??żđ?‘– +   4 ∗ đ??´   đ?‘“   Q1=  Cuartil  uno.   Li:   lĂ­mite   inferior   de   la   clase   que   contiene   a   la   cuartila   uno   (correspondiente   a   la   clase   donde   estĂĄ   la   primera   !!

frecuencia  acumulada  que  contiene  a  la  cuarta  parte  del  conjunto    ).   !

Fi  =  frecuencia  absoluta  acumulada  anterior  a  la  que  contiene  al  cuartil  1.   f  =  frecuencia  absoluta  de  la  clase  que  contiene  al  cuartil  1.   i  =  intervalo  de  la  clase  que  contiene  a  Q1.   3ÎŁđ?‘“ −  đ??šđ?‘– đ?‘„3 = đ??żđ?‘– +   4 ∗ đ??´   đ?‘“ Q3=  Cuartil  tres.   Li:   lĂ­mite   inferior   de   la   clase   que   contiene   al   cuartil   tres   (correspondiente   a   la   clase   donde   la   primera   frecuencia   acumulada  que  contiene  a  las  tres  cuartas  parte  de  la  distribuciĂłn

                           

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 ).  

 


EstadĂ­grafos de PosiciĂłn

 

  Fi  =  frecuencia  absoluta  acumulada  anterior  a  la  que  contiene  al  cuartil  3.   f  =  frecuencia  absoluta  de  la  clase  que  contiene  al  cuartil  3.   A  =  intervalo  de  la  clase  que  contiene  a  Q3.     Este  razonamiento  se  puede  utilizar  para  el  cålculo  de  otras  cuartilas:   Quintilas:  

51  =  đ??żđ?‘– +  

!! !  !" !

!

∗ đ??´          (quintila    uno)  

 

52  =  đ??żđ?‘– +  

!  !! !  !" !

53  =  đ??żđ?‘– +  

!

∗ đ??´        (quintila  dos)  

!  !! !  !" !

∗ đ??´        (quintila  3)  

!

 

54  =  đ??żđ?‘– +  

!  !! !  !" !

!

∗ đ??´        (quintila  cuatro)  

  Decilas:  

D1  =  đ??żđ?‘– +  

!! !  !" !"

!

∗ đ??´      (decila  uno)  

 

D2  =  đ??żđ?‘– +  

!  !! !  !" !"

!

∗ đ??´      (decila  dos)  

 

                           

D3  =  đ??żđ?‘– +  

!"! !  !" !"

!

∗ đ??´      (decila  tres)  

 


EstadĂ­grafos de PosiciĂłn

 

 

D9  =  đ??żđ?‘– +  

!  !! !  !" !"

!

∗ đ??´      (decila  nueve)  

  Percentiles:  

P1  =  đ??żđ?‘– +  

!! !  !" !""

∗ đ??´      (percentil  uno)  

!

 

P2  =  đ??żđ?‘– +  

!  !! !  !" !""

!

∗ đ??´      (percentil  dos)  

 

P15  =  đ??żđ?‘– +  

!"  !! !  !" !""

!

∗ đ??´      (percentil  quince)  

   Si  tienes  dudas,  te    invitamos  a  ver  los  siguientes    videos  .    

http://www.youtube.com/watch?v=oVf_tNan_Xs&feature=youtu.be     http://www.youtube.com/watch?v=qkFeTckQqLM&feature=youtu.be    

                           

 


Estadígrafos de Posición