Issuu on Google+

TYYPPIARVO Tuoppiarvo -98

Moodin virallinen 채채nenkannattaja

1

1/01


2

Tyyppiarvo 1/01

Pääkirjoitus Kaksi ikuisuusasiaa toistuu tässäkin Tyyppiarvossa varsin usein. Nämä ovat uudet opiskelijat ja perusopetus. Uusien opiskelijoiden saamisesta laitoksellemme ollaan oltu huolissaan varmaan koko laitoksen olemassaolon ajan. Laitoksen esimiehen aloitteesta nyt sitten tehtiinkin esite, jota eilen oli saatavana UNIexpossa yliopiston päärakennuksessa. Kävin paikalla ja kysyin tiedekunnan ständillä sillä hetkellä olleilta ihmisiltä, mikä oli ollut esitteemme menekki. Ainakaan he eivät olleet havainneet kenenkään niitä mukaansa poimineen. Näiden esitteiden jakelu täytyneekin ainakin tänä vuonna hoitaa jollain muulla tavalla, koska meidän potentiaaliset hakijamme eivät osaa etsiä niitä Valtsikan yhteydestä. Esitteitä kannattanee lähettää lukioihin matematiikan opettajille, kuten suunnitelmissa mainittiinkin. Puheenjohtajan ehdottamat yllätyshyökkäykset matemaattispainotteisiin lukioihin voisivat myös tuottaa tulosta. Luulisi nykyäänkin löytyvän aineestamme kiinnostuneita ihmisiä, jos kerran kuusikymmenluvun 2 lopulla saatiin cum laude -kurssille 3 monena vuotena peräkkäin usesita satoja oppilaita. On tietysti totta, 4 että silloin oli patoutunut tarve 9 aineopintotasoiselle kurssille ja nykyään tilasto-opetusta on 10 käsittääkseni tarjolla huomat- 16 tavasti useammassa yliopistossa kuin tuolloin.

19 Tästä päästäänkin sitten 19 toiseen ikuisuuskysymykseen, joka on se 20 vastaako

opetus sille asetettuihin tavoitteisiin. Matematiikan opetuksemme on tällä hetkellä muutostilassa Patovaaran lähdön jättämän aukon vuoksi. Tänä lukuvuonna Patovaara onneksi hoitaa vielä osan kursseista, mutta tämän järjestelyn varaan ei voi kovin pitkään enää laskea. Matematiikan opetukseen kaivattaisiin yhtenäistä ja pysyvää ratkaisua, jotta sen varaan voitaisiin rakentaa tulevien opiskelijoidemme tilasto-osaaminen.

Liikkuessani tiedekunnan opiskelijoiden parissa kuulen jatkuvasti valitusta tilastotieteen perusopetuksesta. Valitus koskee joko sitä, että johdantokurssi on liian vaikea tai sitten sitä, että sieltä saadusta opista ei ole hyötyä omissa opinnoissa. Luulen, että laitoksellamme ei ole, yrityksistä huolimatta, vieläkään riittävän hyvin tajuttu kuinka suuria ongelmia johdantokurssi tuottaa tietylle osalle tiedekuntamme opiskelijoista. Tilanne on käsittääkseni se, että suuri osa opiskelijoista kyllä kykenee suorittamaan kurssin, mutta kurssin jälkeen heillä ei ole kyllä minkäänlaisia edellytyksiä ymmärPäälöpinä tää mitään tilastotieteestä. Tietyllä Puhistelu lailla tämä tuottaa tyydytystä molemille osapuolille, kun laitos Mustonen saa suoritteita ja opiskelijat Tyyppiarvo 12 v merkinnän tästä pakollisesta kurssista. Samalla tästä on Uusi hallitus meille suuresti haittaa, kun Seksiä, väkivaltaa nämä kurssin suorittajat sitten vihaavat tilastotiedettä ja ja matematiikkaa levittävät sanaa sen Moodi toimii vaikeudesta. Valitettavaa on, että minullakaan ei Laitoksella tapatuu ole esittää tähän mitään Moodi vuonna 2000 suuren mittakaavan ratkaisua. Hessu

TYYPPIARVO 1/01 - http//www.helsinki.fi/jarj/moodi/tyyppi.html Moodin virallinen äänenkannattaja - 17. vuosikerta - 48. numero Päätoimittaja: Heikki Hyhkö Toimittajat: Jussi Jokelainen Perttu Muurimäki Mikko Muurinen Aki Niemi Tiina Sévon + joukko satunnaisia avustajia Taittaja: Heikki Hyhkö - Painopaikka: Limes - Painos: 150 kpl TYYPPIARVO - Heuristista tiedonvälitystä ainejärjestötyyppisessä viitekehyksessä


Tuoppiarvo -98

3

Puheenjohtajamme Moodin hallitus vuodelle 2001 valittiin vuosikokouksen yhteydessä 25.1. Tänä vuonna hallituksen kokoaminen kävikin kivuttomasti, ketään ei edes tarvinnut kiristää, pakottaa eikä lahjoa hallituksen jäseneksi. Viime vuoden hallituksen jäsenistä jatkaa tämän vuotisessa puolet, fuksejakin saimme mukaan jopa kolme kappaletta. Tutoreiksikin löytyi tarvittava määrä vapaaehtoisia fuksiemme joukosta. Kokonaisuudessaan hallituksemme esittäytyy teille tässä lehdessä. Moodin kulttuuri- urheilu- ja kerhotoiminta jatkuu perinteiseen tapaan. Uusiakin tapahtumia on suunnitteilla. Ainakin MoViE, Moodin Video Ehtoo, tullee toteuttamaan itsensä kaikkien tilastotieteen opiskelijoiden iloksi. Martat ja Martit aikovat järjestää grillijuhlat hullun lehmän kunniaksi. Pieneksi ainejärjestöksi meillä onkin jo varsin runsaasti toimintaa, mutta uusia ideoita otetaan toki aina vastaan! Jotta meillä olisi edes muutama ropo käytettävissämme tämänkin vuoden toimintaamme, järjestämme toukokuussa tedarit, tällä kertaa yhteistyössä Median kanssa. Viime vuosina ei tilastotiedettä lukemaan pyrkineitä ole ollut tarpeeksi, jotta kaikki aloituspaikat olisi saatu täytettyä. Hakijoita on tosin ollut enemmän kuin paikkoja on tarjolla, mutta pisterajat ovat jääneet liian monelta hakijalta ylittämättä. Suurin ongelma lienee laitoksemme tunnettavuus, tai pikemminkin se ettei sitä kovin laajalti tunneta. Kovin moni

lukiolainen tuskin edes tietää, että Helsingin yliopiston valtiotieteellisessä tiedekunnassa voi opiskella tilastotiedettä. Ehdottaisinkin, että voisimme mainostaa sekä Moodia että laitostamme lukioissa, jos ei nyt ihan kaikissa niin esimerkiksi ainakin matemaattis-painotteisissa, joissa voisimme olla todellinen vaihtoehto Otaniemelle ja matlulle. Astetta pidemmälle voisimme mennä tekemällä yllätyshyökkäykset Polin ja matlun abitilaisuuksiin, esimerkiksi jakamalla niissä fliereita tai jotain muuta materiaalia. Jos teillä on hyviä ideoita niin kertokaa niistä ihmeessä! Näin se homma etenee, toivottavasti... Tiina Sevón


4

Tyyppiarvo 1/01

Seppo Mustonen ja tilastotieteen laitos Seppo Mustonen syntyi Helsingissä vuonna 1937. Ylioppilaaksi hän valmistui vuonna 1956 Suomalaisesta yhteiskoulusta, jonka jälkeen hän lähti suorittamaan asepalvelustaan Santahaminaan. Joutuessaan marssin aiheuttaman varvasvaivan takia Tilkkaan ja parin viikon toipumislomalle, alokas Mustonen toivoi välttävänsä jo alkaneen upseerikurssin. Tämä oli muuten viimeinen ITupseerikurssi Santahaminassa. Suomen armeijan oli kuitenkin päättänyt toisin, ja näin armeijasta kävelikin vasta 11 kuukauden kuluttua ulos vänrikki Mustonen. Tähän aikaan armeijassa oli vielä varsin paljon simputuksen oloista touhua. Omaksi yllätyksekseen Seppo joutui kuitenkin santsariksi aliupseerikouluun, vaikka oli ihan rauhanomainen kaveri. Santsaritoverinsa kanssa he päättivät olla jatkamatta simputustraditiota, mikä sitten valitettavasti johti hankaluuksiin. No, kyllä siitäkin hommasta jotenkin sitten selvittiin. Syksyllä 1957 armeijasta kotiutunut ylioppilas hakeutui Helsingin yliopistoon lukemaan matematiikkaa. Sivuainevalikoiman hän päätti valita siten, että hänestä ei missään tapauksessa tulisi koulumatematiikan opettajaa. Tämä sulki siis pois fysiikan ja kemian, lukuunottamatta pakollista fysiikan approbaturia. Luonnollisin valinta sivuaineeksi oli täten tilastotiede. Tämä mielessään fuksimme suuntasikin kulkunsa kohti tilastotieteen laitosta, joka tuolloin sijaitsi Porthanian kolmannessa kerroksessa. Laitokseen oveen kohdistetun varovaisen koputuksen seurauksena laitoksen oven tuli avaamaan Matti Liedes. Seppo kertoi Liedekselle olevansa matematiikan opiskelija, jota kiinnostaisi valita sivuaineekseen tilastotiedettä. Huoneessaan istuva Törnqvist kuuli tämän keskustelun ja vinkkasi opiskelijan luokseen. Seuranneen kolmetuntisen keskustelun jälkeen sivuainevalinta oli selvä. Tähän aikaan opiskelu oli varsin itsenäistä puuhaa. Peruskursseja pidettiin, mutta kaikki myöhemmät opinnot luettiin sitten omaan tahtiin kirjoista. Toisaalta tämä mahdollisti myös nopean valmistumisen, jos oli halua ja kykyä. Mustonen valmistuikin filosofian kandidaatiksi kolmessa vuodessa. Syksyllä 1960 Frithiof Nevanlinna, Rolf Nevanlinnan veli, joka oli myös matematiikan professori, kysyi Sepolta olisiko

hän kiinnostunut matematiikan laitoksen assistentin paikasta. Samoihin aikoihin Kaapelitehtaan matemaatikkona ja matematiikan laitoksen apulaisprofessorina toimiva Olli Lehto pyysi Sepon töihin perusteilla olevaan Kaapelitehtaan laskentakeskukseen. Mustosesta tulikin kahdestoista työntekijä osastolle, josta sittemmin kehittyi erään merkittävän suomalaisen yhtiön ja ehkäpä koko maamme tämän hetkisen vaurauden vahvin tukijalka. Mustosen väitöskirjatyötä ohjasi Törnqvist, joten oli luonnollista, että hänen samaa aihetta käsittelevä lisensiaattityönsä hyväksyttiin valtiotieteellisessä tiedekunnassa. Törnqvistin lähdettyä Indonesiaan YK-asiantuntijaksi alkoi Seposta vähitellen kuitenkin tuntua, että hänen väistökirjansa ei ole niinkään valtiotiedettä, vaan ennemminkin matematiikka, joten lopullinen väitöskirja (On distance distributions in networks) jätettiin sitten kuitenkin matematiikan laitokselle. Vastaväittäjänä toimi Mustosen toinen merkittävä opettaja professori Gustaf Elfving matematiikan laitokselta. Tästä tiedekuntien välisestä hyppimisestä seurasi sellainen huvittava yksityiskohta, että Mustosella on nyt sitten lisensiaattityö sekä valtiotieteellisestä että matemaattis-luonnontieteellisestä tiedekunnasta. Väitöskirjan valmistumisen aikaan matematiikan laitoksen assistentuuri oli jo aikaa sitten vaihtunut samaan virkaan tilastotieteen laitoksella. Vaikka Mustonen pääsikin varsin vapaasti toimimaan tutkijana Kaapelitehtaalla, oli yliopiston vetovoima siinä määrin suuri, että hän päätti vuonna 1965 siirtyä Yhteiskunnalliseen korkeakouluun sovelletun matematiikan ja yhteiskuntatieteellisen metodologian professoriksi. Tämä professuuri oli tutkimuslaitoksessa, eikä siihen liittynyt lainkaan opetusvelvollisuutta. Yhteiskunnallinen korkeakoulu oli tässä vaiheessa jo muuttanut Helsingistä Tampereelle. Mustosen aloitteesta Suomeen perustettiin ensimmäinen täysi professuuri tietojenkäsittelyoppiin vuonna 1967, johon virkaan Mustonen pääsi kutsumaan hyvän kaverinsa Reino Kurki-Suonion, joka oli silloin ASLA-stipendiaattina Yhdysvalloissa. Samaisena vuonna Mustonen itse siirtyi vastaperustettuun toiseen professorin virkaan Helsingin yliopiston tilastotieteen laitokselle ja keskittyi joiden vuosien ajaksi hän lähinnä opetuksen kehittämiseen.


Tyyppiarvo 1/01

5

Professori Mustonen työhuoneessaan

Tilastotieteen laitos ja Leo Törnqvist Törnqvist, jota kutsutaan myös Suomen tilastotieteen isoisäksi, toimi tilastotieteen laitoksella vt. professorina jo vuodesta 1945, eli valtiotieteellisen tiedekunnan perustamisesta lähtien. Tilastotieteen dosenttina hän opetti yliopistolla, jo ennen tiedekunnan perustamista. Varsinaiseksi professoriksi hänet nimitettiin syksyllä 1950. Laitoksen esimiehenä hän toimi eläkkeelle siirtymiseensä asti, eli vuoteen 1974. Törnqvist oli kiinnostunut kaikista vähänkin matemaattisesti lahjakkaista ihmisistä ja hän pyrki saamaan heitä tilastotieteen laitokselle opiskelemaan. Tämän sai kokea Seppo Mustonenkin yllä mainitulla tavalla. Törnqvistillä oli jonkinlainen pärstäkerroinmentaliteetti. Tämän kertoimen muotoutumisessa painoi aina paljon se, oliko kiinnostunut matematiikasta ja oliko etevä siinä. Tästä seurasi sitten ikävänä puolena se, että jos joutui hänen epäsuosioonsa, niin sieltä oli sitten tavattoman hankala päästä pois. Tilastotieteen laitoksen assistenttina ollessaan Mustosesta tuli jonkinmoinen nikotinisti, vaikkei hän koskaan ainuttakaan tupakka polttanut. Tämä johtui siitä, että Törnqvist oli ketjupolttaja ja laitokselle saapuessaan hän tavallaan edellytti, että joku tulee

ikään kuin seurustelemaan hänen kanssaan. Yleensä se oli sitten assistentti. Näissä keskusteluissa käytiin sitten läpi ajankohtaisia asioita ja keskusteltiin milloin mistäkin. Keskustelut olivat erittäin mielenkiintoisia, mutta joskus tämä oli piinaavaa, jos itsellä sattui olemaan jotain muuta tekemistä. Törnqvistin huone oli täynnä sinistä savua ja kun sitten joku saapui laitokselta katsomaan oliko professori vapaa, niin ei sitä keskustelukumppania välttämättä sieltä savun seasta tunnistanut. Kateederiopetus ei todellakaan ollut hänen vahvin lajinsa. Tätä kuvaa hyvin tapa, jolla hän ”valmistautui” luentoihin. Aihevalinta luennoille oli varsin vapaa, kun kurssin nimenä oli tavallisesti ”Tilastotieteen keskeisistä ongelmista”, jonka varjolla saattoi puhua lähes mistä tahansa. Tyypillistä oli, että kun hänelle tuli aika lähteä luennoimaan assistentin piti usein huomauttaa tästä hänelle. Törnqvistiltä kun tahtoi ajankulu unohtua keskustelujen tiimellyksessä. Kun hänelle sitten kainosti huomautti, että viidentoista minuutin kuluttua pitäisi olla Porthanian luentosalissa, niin hän tuli vähän levottomaksi ja alkoi kulkea ympäri laitosta. Hän yritti haalia kirjahyllystä jotain teosta, jota voisi sitten käyttää apunaan luennolla. Löydettyään sopivan teoksen, hän sitten lähti löntystelemään kohti luentosalia. Palattuaan luennolta


6 kahden tunnin kuluttua, hän sitten huojentuneena paiskasi teoksen laitoksen pöydälle ja sanoi ”Ei taaskaan tarvinnut käyttää”. Itse luentotilaisuudet olivat täysin suunnittelemattomia ja niistä kyllä löytyi kultahippuja sieltä vähemmän tärkeiden asioiden joukosta. Kyllä monet varmasti saivat hänen luennoistaankin jotain irti, mutta ei hän nyt siis todellakaan ollut mikään opettaja tässä sanan tavallisessa merkityksessä. Hänellä oli sellainen käsitys, että tilastotieteilijäksi ikään kuin synnytään, eikä sitä voi oikein opettaa. Tilastotieteen opiskelu oli tähän aikaan varsin itsenäistä puuhaa. Peruskursseja järjestettiin ja myös joitain kursseja väestötieteestä. Matematiikan opetusta ei ollut. Kurssit suoritettiin lopputentein eikä mitään välikokeita ollut. Silloin oli suullisia kuulusteluja ja jopa approbaturiin kuului suullinen kuulustelu. Törnqvistin suulliset kuulustelut olivat mieleenpainuvia tilaisuuksia. Ne saattoivat pisimmillään kestää neljäkin tuntia. Kuulusteluissa Törnqvist esitti jollekin kuulusteltavista, joita saattoi olla toistakymmentä, kysymyksen, johon tämän sitten piti vastata. Vastauksen kuultuaan Törnqvist kysyi muilta arvosanaa vastauksesta. Jos joku antoi arvosanaksi vaikka kolme, niin Törnqvist pyysi häntä sitten täydentämään vastauksen kuuden pisteen vastaukseksi, joka oli maksimipistemäärä. Opinnäytetöiden ohjaajana Törnqvist oli mitä parhain. Hän keskittyi ehkä joskus jopa vähän turhankin innokkaasti näihin harjoitustöihin. Jos esimerkiksi oli viimeistelemässä jotain opinnäytetyötä laitoksen hienolla kirjoituskoneella, jossa oli kreikkalaiset symbolit kaavojen kirjoittamista varten, hän saattoi ottaa paperin ja alkaa tuhrimaan siihen korjaus- ja parannusehdotuksia kuulakärkikynällä, jolloin monen tunnin työ, jonka oli tehnyt kaavojen kauniiksi saattamiseksi, saattoi mennä hukkaan. Paras aika alkaa työskennellä kirjoitustöiden parissa olikin viiden jälkeen, jolloin Törnqvist oli tavallisina päivinä jo poistunut laitokselta. Törnqvistillä oli valtavan suuri mielikuvitus ja lennokkuus ja henkilökohtaiset tapaamiset olivat todella arvokkaita. Jos ei ollut tarkkana ja ohjaillut keskustelua sopivilla välikysymyksillä, niin keskustelu saattoi rönsyillä ihan mihin tahansa. Jos sopivilla välikysymyksillä Mustosen tavoin oppi pitämään keskustelun oikeilla raiteilla, niin niistä sai irti todella paljon. Yhteisistä ideoista alkaneista keskusteluista ja tietyistä Törnqvistin tekemistä ratkaisevista

Tyyppiarvo 1/01 havainnoista syntyi hyvä pohja myös Mustosen oman väitöskirjan aiheeksi. Oli joitain asioita, jotka Törnqvist intuitiivisesti näki, mutta muut saivat sitten nähdä vaivan niiden matemaattisen todistamisen kanssa. Tämä ei koskenut vain tilastotiedettä, vaan myös useat kansantaloustieteilijät saivat häneltä ohjausta. Törnqvistillä oli valtavasti ideoita, mutta hän ei aina kyennyt niitä itse toteuttamaan. Käsityöpuoli, eli julkaisujen tekeminen ja muu sellainen, jäi sitten muiden tehtäväksi. Törnqvistin vastapainona toimi sitten toinen Mustosen merkittävä opettaja matematiikan professori Gustaf Elfving. Nämä miehet olivat molemmat hyvin lahjakkaita, mutta täysin erilaisia matemaatikkoja. He molemmat arvostivat toisiaan, mutta he eivät todellakaan olleet yhtä mieltä kaikista asioista. Törnqvist saattoi ilmaista asian osuvimmin sanoessaan, että “Elfving ei osaa lentää”. Elfvingin oli herrasmies viimeisintä piirtoa myöden ja piti tietynlaista etäisyyttä opiskelijoita kohtaan. Kerran hän kyllä kutsui opiskelijoita kotiinsa ja se oli erittäin miellyttävä tilaisuus. Hän oli kaikilla tavoin vaatimaton ja vasta myöhemmin oikeastaan tajuttiin, mitä hän oli saanut aikaan tutkimuksen puolella. Elfvingin ominta alaa oli todennäköisyyslaskenta, josta hän piti kursseja matematiikan laitoksella. Matematiikan laitoksella opetettiin tällöin myös matemaattista tilastotiedettä, mutta muuta tilastotieteen opetusta siellä ei juuri annettu, ennen kuin Timo Mäkeläinen ja Hannu Väliaho astuivat virkoihinsa. He väittelivät molemmat tilastotieteen laitoksella, vaikka sitten siirtyivätkin matematiikan laitokselle. Mustonen muuten toimi heidän molempien vastaväittäjänä. Kun tilastotieteen laitokselle vuonna 1967 perustettiin toinen professuuri, niin Törnqvist oli hieman huolissaan asemastaan. Hänen käsityksensä mukaan voi olla vain yksi imperiumin valtias, kuten hän asian Mustoselle myöhemmin ilmaisi. Minkäänlaista valtataistelua ei kuitenkaan syntynyt, kun Mustonen enemmän kuin mielellään jätti hallinnon Törnqvistin käsiin ja keskittyi nyt opetuksen kehittämiseen. Tämä virka perustettiin kiinteänä ylimääräisen professuurina, kun yliopiston silloinen rehtori Edwin Linkomies oli huolissaan siitä, että konsistorin istuntosali alkaa uhkaavasti täyttyä. Erona varsinaisen professorin virkaan oli yhden palkkaluokan lisäksi se, etteivät nämä ylimääräiset


Tyyppiarvo 1/01

7 Mustonen huomasi, että kaikilla muilla laitoksilla oli opiskelijayhdistyksiä hän ajatteli, että miksei myös tilastotieteessä. Keskusteltuaan aiheesta tiedekunnan opintosihteerin kanssa Mustonen sanoi, että hän voisi jättää luennon loppupuolella osan ajasta käyttämättä, jotta opintosihteeri voisi alustaa aiheesta. Tämä tapahtui juuri tällä ensimmäisellä cum laude -kurssilla. Mustonen poistui paikalta ja näin tilastotieteen opiskelijajärjestö Moodi sai alkunsa.

Professori Törnqvist professorit kuuluneet konsistoriin. Tiedekuntahallinnossa nämä ylimääräiset professorit olivat kuitenkin täysivaltaisina mukana. Myöhemmin on kerrottu, että tilastotieteen toinen professuuri oli tarkoitus perustaa varsinaisena heti alusta alkaen, mutta että Törnqvistin huolestuneisuuden vuoksi näin ei tehty. Tästä seurasi Mustoselle kymmenen vuotta myöhemmin huvittava uudelleen virkaanastuminen, kun kaikki kiinteät ylimääräiset professuurit muutettiin varsinaisiksi professuureiksi. Mustonen keskittyi siis opetuksen ja siis nimenomaan kurssimuotoisen opetuksen kehittämiseen. Syksyllä 1967 alkoikin tämä “legendaarinen” koko lukuvuoden kestänyt cum laude -kurssi. Ensimmäisellä kurssilla oli yli kolmesataa ihmistä, joista sitten noin puolet suoritti kurssin välikokeilla. Vielä kahtena seuraavanakin vuonna, kun Mustonen kurssia piti olivat lukumäärät suunnilleen samaa luokaa, mutta sen jälkeen oli patoutuma purettu ja osallistujamäärät rupesivat vähitellen pienenemään. Tämä oli innostavaa ja mielenkiintoista aikaa, kun opiskelijat olivat aktiivisia ja tulivat väliajalla juttelemaan. Mustonen piti kovasti tästä ajasta. Kun

Jotenkin asiat sitten samentuivat, kun tultiin seitsemänkymmentäluvun alkuun ja tuli tämä kulttuurivallankumous. Tilastotieteen laitoksella tämä ei ollut mikään erityisen suuri hankaloittava tekijä, mutta yrittihän Moodikin olla siinä mukana. Mustosen pitäessä kolmatta cum laude -kurssiaan joukko opiskelijoita eräs naapurilaitoksen nykyinen professori etunenässä tuli vaatimaan heiluttaen Antti Eskolan Sosiologian metodit kirjaa, että opetusta pitää uudistaa. Vanhalla ylioppilastalolla järjestettiin yksi semmoinen tilaisuus, mihin Moodi kutsui henkilökunnan keskustelemaan opetuksen uudistamisesta. Tilaisuus ei sujunut ihan niin kuin oli tarkoitus, sillä paikalla oli enemmän henkilökuntaa kuin opiskelijoita. Keskustelu oli ihan sävyisää. Meillä kun ei tätä neuvostovastaista kirjallisuutta oikein löytynyt etsimälläkään. Jostain esimerkkitehtävästä jossain kirjassa taisi joku päästä jotain huomauttamaan. Hyvää opetusta sen sijaan kaivattiin ja siinä suhteessahan aina löytyy kehittämisen varaa. Laitoshallinnossahan Törnqvist ei voinut sietää ajatustakaan siitä, että olisi jotain laitosneuvostoja. Tästä seurasi sitten se, että laitoksen muu henkilökunta piti Mustosen johdolla yhteisiä kokouksia, joissa keskusteltiin siitä missä ja minne laitos oli menossa. Törnqvistillä oli suuri tavoite kirjoittaa englannin kielinen päätäntätieteen (decision theory) oppikirja. Tämä tavoite ei koskaan toteutunut, mutta Åbo akademin professorin Leif Norbergin kanssa hän kyllä kirjoitti pienen kirjasen nimeltä Päätäntätieteen keskeisiä ongelmia. Se on kyllä mielenkiintoinen kirja ohuudestaan huolimatta, mutta se on myös erittäin vaikealukuinen, kun siinä käytetään täysin uniikkia notaatiota. Törnqvist oli tehnyt kirjasta kustannussopimuksen WSOY:n kanssa ja ne edellyttivät tiettyä painosmäärää ja myyntiä. Törnqvist halusi, että tätä kirjaa käytetään opetuksessa. Valitettavasti hän oli saanut päähänsä,


8 että se pannaan approbaturiin pakolliseksi ja Mustonen joutui ilmoittamaan, että se ei ollut oikea päätös. Tämä johti siihen, että edellä mainittu epävirallinen laitoskokous alkoi laatia omia tutkintovaatimuksiaan, jotka erosivat nimenomaan tämän teoksen osalta Törnqvistin suunnittelemasta. Törnqvist valitettavasti äityi tästä siinä määrin, että hän pani tämän kirjan omissa vaatimuksissaan kaikkiin arvosanoihin, joka oli tietysti jo teknisestikin mahdoton juttu. Tiedekunnan kokousessa, jossa asiasta päätettiin, olivat sekä Mustonen että Törnqvist paikalla. Kun Törnqvist oli tehnyt oman ehdotuksena, Mustonen vuorostaan kertoi muun henkilökunnan vastaehdotuksen. Ensimmäisen ja ainoan kerran sen kollegion historiassa kävi niin, että esimiehen ehdotus hävisi äänestyksen. Valitettavasti Törnqvist katsoi silloin, että hänen oli erottava. Todellisuudessa eläkeikä oli kyllä jo hyvin lähellä, eikä tästä tullut Törnqvistille minkäänlaista taloudellista tappiota. Taisi olla jopa niin, että hänen eläkkeensä oli korkeampi kuin palkka. Tällainen konflikti oli silti hirveän ikävä. Mustosen ja Törnqvistin välit menivät joksikin aikaa poikki, mutta ne palasivat kyllä sitten ajan myötä ennalleen. Törnqvistin jälkeen laitoksen esimieheksi

Tyyppiarvo 1/01 tuli Matti Hakama ja sitten Timo Teräsvirta, kun Mustonen ei edelleenkään halunnut sitä tehtävää. Kuten jo aiemmin mainittiin joutui hän sen kyllä sitten loppujen lopuksi kuitenkin viideksi-kuudeksi vuodeksi ottamaan, ennen kuin Hannu Niemi saapui tehtävää hoitamaan. Kuten jo aiemmin mainitsin Törnqvistillä oli näkemys, jonka mukaan tilastotieteilijöiksi synnytään ja lisäksi hänen käsityksensä mukaan tilastotieteilijöiden pitäisi asettua suuriksi johtajiksi. Ehkäpä nyt, niin käykin, kun laitoksemme entinen assistentti on päässyt jo ministeriksi asti. Samainen herra mainitsi muuten Ylioppilaslehdessä olleessa haastattelussa parhaaksi opettajakseen professori Mustosen (tait. huom.) Haastattelun toisessa osassa , joka on seuraavassa Tyyppiarvossa keskitymme aiheisiin Nokia, Tampereen yliopisto, tietotekniikka ja Survo. Molemmat artikkelit perustuvat pääasiassa Seppo Mustosen antamaan puolitoistatuntiseen haastatteluun. Hessu Kirjalliset lähteet: Kuka kukin on kirjat vuosilta 1966 - 1999 Juha Alho (toim.): Statistics, Registries and Science (experiences from Finland) Seppo Mustonen: Survo ja minä Paavo Seppänen: Varsinaisia Professoreita

Pientä esimakua uudesta hallituksestamme, kun hallitusesittelyssä jutut on niin sekavia: Takarivissä -> Sami Moisio, kulttuuri Mikko Muurinen, kerhot Pekka Horttanainen, opinnot Tiina Sevón, puheenjohto Leena Kalliovirta, talous Antti Kotamies. tuutorointi eturivissä poikittaina Heikki Hyhkö, tiedotus Samu Hakala, virkistys


Tyyppiarvo 1/01

9

Tyyppiarvo vajaat 12 vuotta sitten

Tyyppiarvon 3/89 kansi on varsin pelkistetty. Nimen ja numero lisäksi siinä on vain kummallinen teksti, josta minä en tajua yhtään mitään Jos joku kykenee valaisemaan tuon Walaisimen arvoituksen, niin kertokoon minullekin. Lehdessä on 12 sivua, mutta ei yhtään valokuvaa. Grafiikkaa sen sijaan esiintyy siellä sun täällä. Päätoimittaja Virtasella on apunaan kolmimiehinen toimittajatroikka. En oikein tarkkaan päässyt selville, onko tässä lehdessä pääkirjoitusta lainakaan? Hessu S i s ä l ly s :

Opetus

on,

tuota

...

Kannunvalajien kevätlukukaudella järjestämä opetuksenarviointitutkimus tarjosi opiskelijoille mahdollisuuden arvostella luentokursseja ja niiden pitäjiä hieman ykstyiskohtaisemmin. Moodin osuus lopullisesta raportista tilastotieteen kurssien arvostelu - on 30sivuinen paperipino, ... Lopputulos oli odotetusti - valtaosaltaan myönteinen. ... Pyry-Matti Vasaman pitämillä luennoilla ei monisteita ole, mutta kirjoitustahti on sitäkin ripeämpi. ... useimmat vastaajat olivat tyytyväisiä luentosarjaan. ... Tämänkin tutkimuksen Patis selvitti kevyesti, kommentit olivat lähinnä ylistäviä. ... Sekä Melliniä että Rahialaa pidettiin yleensä innostuneina ja usein myös innostavina luennoitsijoina. ... (Jouni Kuha)

Opetus on, tuota ... Data-analyysi Harjoittelu Uusia opiskelijoita Valta, voima ja kunnia Moodin rahat Yhdestoista Tyyppiarvo Moodin hallitus Batlöpinä Uusia

o p i s ke l i j o t a

Koulutusohjelmamme krooninen opiskelijapula on varmasti kaikille tuttu asia. Mitä asialle voisi tehdä? Laitoksemme on lähtenyt tavallaan toisistaan riippumatta kahdelle hiukan erilaiselle tielle. Ensinnäkin on alettu Juha Heikkilän johdolla tehdä esitettä, jota sitten MAOL:in kautta pyritään jakamaan kouluihin.... Esitteeltä vaaidtaan paljon, ja ennen kaikkea jotain sellaista, mikä EROTTUU.... Ensi kesänä tilastotiedettä ensisijaisesti lukemaan pyrkivillä on oma koe. ... (Mikko Virtanen)


10

Tyyppiarvo 1/01

- Leena Kalliovirta - taloudenhoitaja - osaa edelleenkin ajaa polkupyörällä, mutta ei enää tarvitse apupyöriä. - jos haluatte tietää lisää kirjanpidosta tai elämästä(ni) yleensä - niin kysykää. Moromoikka! Mä oon Samu. Mä oon ihan mukava. Niin..Aloitin tilastotieteen opinnot vastikään ja loikkasin heti mukaan Moodin hallitukseenvirkistysja urheiluvastaavaksi. Oma-aloitteisuudesta minuatuskintullaan syyttämään,mutta voin toki jotain yrittää, jos kannatuspohjaa jollekinvastuualueeni projektilleilmenee. Vapaa-ajallani harrastan lepikointia yms. ja toisinaan myös rockstarailua (olen todellinen wannabe rock star), yleensä enemmän tai vähemmän savuisissa anniskelutiloissa.Eimuuta. Tiina Sevón, puheenjohtaja Tahtoo isona universumin ylipäälliköksi. Yrittää treenata Moodin hommissa määräilyä, mutta kun kukaan ei tottele...

Moodin hallitus

2001

Pekka Horttanainen, 27-vuotias fuksi. Opintoja takana myös Teknillisessä korkeakoulussa ja Helsingin kauppakorkeakoulussa. Harrastuksia tennis, sulkapallo, aikido, golf, kuorolaulu, vieraat kielet sekä opiskelu. Urheiluharrastukset ovat kipeän olkapään takia olleet takaalalla,mikäkorreloivahvastikasvaneenvatsanympäryksen kanssa. Olen elämäntapahumanisti, jolla ei ole vielä mitään tietoa siitä, mitä haluan tehdä isona. Voisin mennä vaikka kauppaan kassaksi, jos työajat olisivat joustavat, sillä pidän palveluammateista. Mietelauseitani ovat "Carpe diem" sekä nykyisten latinanopintojeni kautta opittu "Non scholae, sed vitae discimus". Viimeksimainittua olen kyllä noudattanut aika hyvin lauseen olemassaolosta tietämättänikin. Moodin hallituksessa toimin opinto-, kv-, ja HYY-vastaavana. Ikäänkuin CV-merkintöjä ei olisi tarpeeksi. Alun perin olin hyvin epäaktiivinen, esim. TKY:llä en ole toiminutmissään muualla kuin kerhoissa. Eivät kai tajunneet kysyä siellä mihinkään, sillä en ole koskaan osannut sanoa ei. KY:llä ylioppilaskuntatoiminta vei sitten mennessään, olin mm. lukuvuoden 1999-2000 kulttuuri- ja liikuntasihteerinä. Siitä saijopapalkkaa.Nytolensielläkorkeakouluvaliokunnassa, mistätoivonsaavanisynergiaetuaMoodinopinto-vastaavan hommiin. Lähitulevaisuuteni tavoitteena on valmistua jostakin, todennäköisesti TKK:sta, sillä opintoni ovat siellä diplomityötä vaille valmiit. Saisin sitten 15 kuukautta opintotukea lisää, eikä minun taas tarvitsisi rahoittaa elämäntapaopiskeluaniosa-aikatyöllä,niinkuinnyt.Ohjeeni itsellenijamuilleihmisilleon:"Äläuuvutaitseäsityönteolla!"


Tyyppiarvo 1/01

11

Jep-jep! Olen ensimmäisen vuoden tilasto-opiskelija, siis fuksi, ja hallituksen tuutorivastaava. Ensimmäinen vuoteni yliopistolla on mennytsuhteellisenkivuttomasti,olen jopa viihtynyt laitoksella. Rento, ihmiskasvoinen ilmapiiri poistaa opiskelusta sen laitosmaisuuden, jota lukiossa ja peruskoulussa oli aivan riittävästi. On suorastaan hillittömän hauskaa herätä vasta puolenpäivän aikoihin ja raahautua yliopistolle, jos jaksaa, kuuntelemaan herra X luennoitsijaa ja sen jälkeen painua kahville hyvien kavereiden kanssa. Nautin (ainakin vielä) yliopiston arjesta. Olen myös muutakin kuin tilastotieteilijä; partiolainen, jääkäri ja espoolainen. No, siinä olikin kaikki itsestäni ja mielipiteeni yliopistosta. Laitoksella nähdään, moi!

Oletko nähnyt tätä miestä? Mikko Juhani Muurinen karkasi Kakolan vankimielisairaalasta 30.8.1997. Hänet oli tuomittu kerhovarojen väärinkäytön yhteydessä tehdystä veriteosta elinkautiseen.. Karatessaan hänellä oli yllään koko-oranssit vaatteet ja hänen hiuksensa olivat lyhyet. Muurinen on 24-vuotias, 185 cm pitkä ja painaa n.95 kg. Hän saattaa käyttää silmälasejanaamioitumiseen.Vankilan pakollisilla luennoilla hän on käyttäytynyt väkivaltaisesti sekä luennoitsijoita että kanssavankeja kohtaan. Muurinen on todennäköisesti aseistettu ja erittäin vaarallinen. Vihjepuheluita otetaan vastaan numerossa 050-5981074. Pienim-mätkin vihjeet saattavat olla ratkaisevia. Kiitos! Sisäasiainministeriönpoliisiosasto.

Mä oon Hessu ja mä alotan ny kuudetta vuotta Moodin palveluksessa. Alokasajan jälkeen mä toimin lähinnä urheilu- ja tiedotusjoukoissa, kunnes mä varsin nopeesti ylenin Moodin kakkosmieheksi. PalattuaniKannu-komennuksellamäylenin Moodin pomoks, mutt viime vuosi meni sillai vähän huonommin ja tuli pari sellaista ikävää välikohtausta ja alokkaiden simputusyytteitä ja muuta pientä. Niin mut sitte alennettii. Vähän on sellainen fiilis, että kohta taitaa koittaa paluu ihan rivimieheks. Reserviin pääsy on ollu tavotteena, jo pidemmän aikaa, mutt en oo vielä lähteny aamukampaa ostamaan. Nähään missä vaan, kuhan ei Kassulla:-) ○

hallituksessa. Työskentelen myös opiskelujen ohessa pienessä kuormaautoalalla toimivassa tietokone-firmassa. Motituksen sähly- ja salibandy-peleissä käyn kohottamassa kuntoa vastapainoksi Opiskelenneljättävuottatilastotiedettä muille harrastuksille: elokuvat, musiikki ja nyt toista vuotta sihteerinä Moodin Brittijalkapallo ja muu penkki-urheilu.

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Kulttuurivastaavana ennustan Moodille jatkossakin käyntejä elokuva-arkistoon. "Huuliharppukostajalle" Moodi ei oikein lämmennyt,muttamolemmatpaikalle tulleet Moodilaiset olivat kyllä tyytyväisiä näkemäänsä. Hienoa olisi viedä Moodi katsomaan Reino Helismaan vastaisku Helsingin kylttyyri-kriitikoille "Heirillumarei!"tai Marx-veljesten elokuvia. Olen kyllä avoin muidenkin ehdotuk-sille mihin kulttuuritapahtumaan kiinnostusta löytyy. Moodi Heurekassa. ?


Keskiarvoepäyhtälöistä Positiivisille kokonaisluvuille

xi

määritellään yleensä kolme erilaista keskiarvoa: aritmeettinen

keskiarvo

x1 + x2 + x3 + · · · + xn , n

A= geometrinen keskiarvo

1

G = (x1 · x2 · x3 · · · xn ) n = ja harmoninen keskiarvo

H

A, G

ja

H

x1 · x2 · x3 · · · xn

siten, että

1 1 = H n Lukujen

√ n



1 1 1 1 + + +···+ x1 x2 x3 xn

välillä pätee mielenkiintoinen yhteys;

voimassa vain, jos kaikki luvut

xi

 .

A ≥ G ≥ H,

missä yhtäsuuruus on

ovat samoja.

Keskitytään jatkossa käytännössä käyttökelpoisimpaan epäyhtälöön:

A≥G

eli lauseeseen

1 x1 + x2 + x3 + · · · + xn ≥ (x1 · x2 · x3 · · · xn ) n , n

(1)

ja näytetään lauseen käyttökelpoisuus muutaman esimerkin valossa. Todistetaan lause kuitenkin ensin. Ensinnäkin, erikoistapaus niin

n=2

on helppo todistaa; koska

(x1 + x2 )2 − (x1 − x2 )2 = 4x1 x2 ,

(x1 + x2 )2 ≥ 4x1 x2 . Eli kaikilla positiivisilla luvuilla x1 ja x2 pätee, että   2  √ 1 x1 + x2 x1 + x2 ≥ x1 x2 =⇒ ≥ x1 x2 = (x1 x2 ) 2 . 2 2

Nyt ensimmäisenä mieleen tulee todistaa lause (1) induktiolla luvun kuitenkin hankalaksi. Myös tapaus

n

suhteen. Tämä osoittautuu

n = 3 aiheuttaa jo aikamoisia pulmia. A. L. Cauchy (17891857),

modernin funktioteorian isä, on kuitenkin todistanut lauseen seuraavalla, aika ovelalla, kaksiosaisella induktiolla. Lause (1) on siis tosi, kun 2 2 ( x1 +x ) ja koska 2

x1 x2 ≤

n = 2.

x3 x4 ≤

Todistetaan ensin, että lause pätee myös, kun

4 2 ( x3 +x ) , niin 2

x1 + x2 2 x3 + x4 2 ) ·( ) = x1 · x2 · x3 · x4 ≤ ( 2 2



x1 + x2 x3 + x4 · 2 2

n = 4.

Koska

2 .

n = 2 tähän. Tällöin saadaan, että   4  1 x1 + x2 + x3 + x4 x1 + x2 + x3 + x4 x1 · x2 · x3 · x4 ≤ =⇒ ≥ (x1 · x2 · x3 · x4 ) 4 . 4 4

Sovelletaan nyt aiemmin todistettua tapausta

Yhtäsuuruus saadaan helposti. Aivan vastaavasti voidaan nyt todistaa kaikki tapaukset 32, 64,

...,

eli tapaukset

n = 2m ,

missä

n = 8,

16,

m ∈ N.

Nyt käytetään ovelaa taaksepäin menevää induktiota eli näytetään, että jos lause on tosi jollakin

n > 2,

niin silloin se on tosi myös luvulle

n − 1.

Tällöin se siis pätee kaikilla

n ∈ N.


Oletetaan, että meillä on

A

(n−1) kappaletta positiivisia lukuja x1 , x2 , x3 , . . . , xn−1 ja olkoon luku

niiden aritmeettinen keskiarvo. Nyt meidän on siis todistettava, että tulo

x1 · x2 · x3 · · · xn−1 ≤

An−1 . Keskiarvolausetta voidaan nyt soveltaa (induktio-oletus) lukuihin x1 , x2 , x3 , . . . , xn−1 , A, joita on

n

kappaletta. Tällöin saadaan, että



x1 · x2 · x3 · · · xn−1 · A ≤ Mutta koska

(n − 1)A,

A oli lukujen x1 , x2 , x3 , . . . , xn−1

x1 + x2 + x3 + · · · + xn−1 + A n aritmeettinen keskiarvo, eli

n .

(2)

x1 +x2 +x3 +· · ·+xn−1 =

niin sijoittamalla tämä lausekkeen (2) oikealle puolelle saadaan, että



x1 · x2 · x3 · · · xn−1 · A ≤

(n − 1)A + A n



n =

nA n

josta jakamalla epäyhtälö puolittain positiiviluvulla

n

A

= An

x1 · x2 · x3 · · · xn−1 · A ≤ An ,

eli

saadaan, että

x1 · x2 · x3 · · · xn−1 ≤ An−1 , mikä oli väite. Eli nyt lause on todistettu kaikille positiiviluvuille

n.

Lauseelle on olemassa muitakin hyvin näppäriä todistuksia; eräs niistä löytyy Math Magazinesta

49 (1976), s. 8788 ja sen on esittänyt Kong-Ming Chong. Se on hyvin elegantti: Väite on siis, että A= missä luvut

√ x1 + x2 + x3 + · · · + xn ≥ n x1 · x2 · x3 · · · xn = G, n

x1 , x2 , x3 , . . . , xn

ja

A

ja

G

ovat positiivilukuja. Järjestetään nyt luvut

x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ · · · ≥ xn .

masta pienempään, eli olkoon nyt

on yhtäsuuruus voimassa vain, jos

Tällöin selvästi

x1 = x2 = x3 = · · · = xn .

xi

nyt suurem-

x1 ≥ G ≥ xn

ja nytkin

Nyt voimme kirjoittaa puhtaasti

algebrallisen identiteetin:

 x1 xn  1 x1 + xn − G + = (x1 − G)(G − xn ) ≥ 0. G G Lisäksi edellä on todistettu, että väite pätee, kun arvolla

n−1

n = 2.

Oletetaan nyt, että väite pätee myös

(induktio-oletus).

Koska lukujen

x2 , x3 , x4 , . . . , xn−1 

ja

x1 xn geometrinen keskiarvo on G

x2 · x3 · x4 · · · xn−1 ·

1 x1 xn  n−1 = G, G

niin induktio-oletuksen mukaan

G≤

x2 + x3 + x4 + · · · + xn−1 + n−1

Kertomalla tämä epäyhtälö puolittain positiiviluvulla

n−1

x1 xn G

.

saadaan, että

nG ≤ x2 + x3 + x4 + · · · + xn−1 + (G + Nyt käytetään epäyhtälön (3) tietoa, eli sitä, että

(3)

x1 + xn ≥ G +

nG ≤ x1 + x2 + x3 + · · · + xn ,

x1 xn ). G x1 xn , ja saadaan, että G


josta jakamalla positiiviluvulla

n

saadaan, että

x1 + x2 + x3 + · · · + xn , n

G≤ mikä olikin alkuperäinen väite.

Millaisiin ongelmiin sitten lausetta (1) voitaisiin soveltaa? Usein lauseeseen törmää mitä eriskummallisimmissa tilanteissa. Otetaanpa muutama esimerkki: Jos meidän on esim. osoitettava, että

kun luvut

b1 , b2 , b3 , . . . , bn

an a1 a2 + +···+ ≥ n, b1 b2 bn ovat positiivisia kokonaislukuja, jotka ovat luvut

a1 , a2 , a3 , . . . , an

uudel-

leenjärjestettyinä, niin käyttämällä nyt lausetta (1) eli lausetta:

n 1 xi ≥ n i=1



n 

1/n xi

kaikilla positiiviluvuilla

ai

todistus on naurettavan yksinkertainen. Koska nyt siis luvut välttämättä

a1 · a2 · · · an = b1 · b2 · · · bn

i=1

1  ai ≥ n i=1 bi n



n  ai i=1

bi

1/n

bi ,

niin

= 1.

1  ai ≥1 n i=n bi

n  ai

n

=⇒

bi

ovat samat kuin luvut

eli

n  ai

Nyt siis

xi ,

i=1

=⇒

i=1

bi

≥ n.

Mikä olikin väite. Lukija voi myös yrittää osoittaa väitteen todeksi jollain muulla tavalla. Toisena esimerkkinä voisi olla vaikkapa neliöjuuren likiarvon laskeminen. Jos juuri yhtälölle

2

x = c,

missä

c > 0,

niin silloin olisi

x = c/x.

Jos

toinen on liian iso ja toinen liian pieni. Otetaan nyt lukujen

x

x< ja

c/x

c,

niin

x

on positiivinen

c/x >

x,

joista

aritmeettinen keskiarvo.

x0 , x1 , x2 , . . . lukuja siten, että   1 c , missä n = 0, 1, 2, . . . xn + xn+1 = 2 xn √ suppenee kohti lukua c hämmästyttävällä nopeudella.

Jatkamalla näin, saadaan jono

Jos

x0 > 0,

on lukujen

niin jono

xm

ja

c/xm

geometrinen keskiarvo ja koska

keskiarvo, niin keskiarvolauseesta (1) seuraa, että

xn+1

on lukujen

c < xn+1

kaikilla

xn

ja

Koska nyt luku

c/xn

c

aritmeettinen

n = 0, 1, 2, . . .

On helppo

osoittaa, että jokaisella kierroksella virhe on korkeintaan puolet edellisen kierroksen virheestä. Tämä likiarvomenetelmä on itse asiassa erikoistapaus ns. Newtonin menetelmästä yhtälön ratkaisemiseksi. Lasketaan nyt esimerkiksi luvun Tällöin, kun siis

c = 2,

2

likiarvo tällä tavalla. Valitaan lähtöarvoksi esim.

saadaan:

n

xn

Virhe

1

17/22

0,002453104

2

577/408

0,000002123

3

665057/470832

0,0000000000016

x0 = 3/2.


Tämä menetelmä tunnettiin jo babylonialaisten matematiikassa. Esitetään vielä lopuksi eräs hieno keskiarvolauseen sovellus, joka liittyy vakioon e. Alkeiskurssilla on todistettu, että raja-arvo

 n 1 lim 1 + = e. nâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; n

(4)

Osoitetaan keskiarvolauseen avulla, että kyseinen raja-arvo todella on olemassa. Alkuperäinen jono



on siis

1 1+ 2

2  3  4 1 1 , 1+ , 1+ ,... 3 4

Otetaan nyt tämän jonon rinnalle toinen jono:



1 1+ 2

3  4  5 1 1 , 1+ , 1+ ,... 3 4

Kuinka jonot poikkeavat toisistaan? Nyt molemmat jonot suppenevat tai hajaantuvat yhtä aikaa, koska vastaavien termien suhde

(1+1/n) â&#x2020;&#x2019; 1, kun n â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;; eli jos jälkimmäinen jono suppenee, niin

edellinenkin jono suppenee. Todistetaan nyt, että jälkimmäinen jono suppenee. Jokainen monotoninen rajoitettu jonohan suppenee ja nyt meidän riittää todistaa, että jälkimmäinen jono on vähenevä, koska sen alkiot ovat suurempia kuin nolla. Tarkastellaan jollain kiinteällä luvulla

n > 1 (n + 1):tä

lukua

1 1 (1 â&#x2C6;&#x2019; ), (1 â&#x2C6;&#x2019; ), . . . , (1 â&#x2C6;&#x2019; n n

n kpl

1 ), 1. n

Koska nyt keskiarvolauseesta seuraa, että lukujen tulo on aina pienempi kuin niiden aritmeettisen keskiarvon

(n + 1):s

potenssi ja koska nyt em. luvut eivät kaikki ole samoja, saadaan niiden tuloksi

1 1 1 (1 â&#x2C6;&#x2019; ) ¡ (1 â&#x2C6;&#x2019; ) ¡ ¡ ¡ (1 â&#x2C6;&#x2019; ) ¡ 1 = n n n ja summaksi

(1 â&#x2C6;&#x2019;

 n 1 1â&#x2C6;&#x2019; n

1 1 1 ) + (1 â&#x2C6;&#x2019; ) + ¡ ¡ ¡ + (1 â&#x2C6;&#x2019; ) + 1 = n â&#x2C6;&#x2019; 1 + 1 = n. n n n

Saadaan siis, että

n  n+1  n 1 < , 1â&#x2C6;&#x2019; n n+1

josta siirtymällä käänteislukuihin saadaan, että



1 1+ nâ&#x2C6;&#x2019;1

n

 n+1 1 > 1+ . n

Eli jälkimmäinen jono todella on vähenevä, ja on siis olemassa raja-arvo

n limnâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 1 + n1 .

Lisää näppäriä lauseen (1) todistuksia voi esimerkiksi bongata kirjasta Hardy, Littlewood, Polya:

Inequalities, 1952. Kotitehtäväksi jätetään seuraavan lauseen todistaminen:

n â&#x2030;Ľ 3.

n2n > (2n)!

kaikilla

Vihje: keskiarvolause (1). J. Jokelainen


16

Tyyppiarvo 1/01

Seksiä, valheita ja matematiikkaa Poimintoja matematiikan historiasta …On havaittu, että ympyrän pinta-ala suhtautuu kehän neliöön kuten tasasivuisen suorakaiteen pinta-ala sen sivulle piirrettyyn neliöön. Nykyinen käytäntö pitää halkaisijaa yksikköpituutena ympyrän pinta-alaa laskettaessa on täysin väärä… Mikäli otamme ympyrän kehän neliön yksikköpituudeksi, täytämme sekä ympyrän neliöinnin että kehän suoristamisen vaatimukset. On lisäksi paljastunut, että yhdeksänkymmenen asteen kulman jänteen ja kaaren suhde on seitsemän suhde kahdeksaan, ja neliön halkaisijan ja sivun suhde on kymmenen suhde seitsemään. Tästä seuraa neljäs tärkeä seikka, että halkaisijan ja kehän välinen suhde on viisi neljäsosan suhde neljään. Näistä seikoista sekä siitä että nykyisin käytössä oleva sääntö ei matemaattisesti toimi, se pitäisi hylätä puutteellisena ja käytännön sovelluksissa harhaanjohtavana. “Lakiehdotus uudeksi Matemaattiseksi totuudeksi”, 18.1.1897 Indiana, Yhdysvallat 454 Fahrenheit Ptolemaios I perusti n. 300 eKr. Aleksandrian kaupunkiin kirjaston, jonka kirjavarastoja kartutettiin jopa pakkokeinoin noin 750 000 käärön laajuiseksi. Caesarin vierailun aikana 47 eKr. kaupungin satama ja siellä sijainneet kirjavarastot poltettiin. Korvaukseksi tästä Marcus Antonius varasti Pergamonin 200 000 rullan kirjaston ja lahjoitti sen Kleopatralle. Kirjasto vaurioitui keisarien Aurelianus ja Diocletianus kukistaessa kansannousut vuosina 272 ja 295 jKr. Osa kirjoista tuhoutui vuonna 391 piispa Teofiluksen johtaman kristityn rosvojoukon tuhottua Sarapiksen temppelin. Vuonna 415 piispa Kyrillos johti joukkonsa silpomaan Aleksandrian ”pakanallisen” naismatemaatikko ja astrologi Hypatian. Arabit valtasivat kaupungin 646. Kenraali Amr ibnal-Asin kerrotaan kysyneen kalifiltaan Omarilta mitä kirjaston kirjoille piti tehdä. Vastaus kuului: ”Jos ne ovat samaa mieltä Koraanin kanssa, niitä ei tarvita. Jos ne ovat eri mieltä, ne ovat vahingollisia.” Kirjat poltettiin. Noli turbare circulos meos Assyrialaiset pyyhkäisivät pois Babylonian älyllisen elämän, turkkilaiset sammuttivat muslimien tieteen kulta-ajan. Roomalaiset polttivat Aleksandrian kirjaston, tukahduttivat hiljalleen imperiuminsa siirtokunnissa kukoistaneet tieteet ja tappoivat antiikin suurimman matemaatikon.

Toisen puunilaissodan aikana Claudius Marcelluksen joukot piirittivät Sisilialaista Syrakusan kaupunkia vuodet 214-212 eKr. Syrakusalaiset käyttivät Arkhimedeen vipuihin, väkipyöriin ja mekaanisiin laitteisiin perustuvia puolustuskeinoja. Roomalaiset kuitenkin onnistuivat lopulta murtamaan puolustuksen. Historioitsija Plutharkhoksen mukaan Arkhimedes oli niin uppoutunut matemaattiseen kaavioonsa ettei huomannut kaupungin valloitusta eikä roomalaista sotilasta, joka käski seurata itseään Marcelluksen luo. Matemaatikko ei kuitenkaan suostunut lähtemään ennen kuin oli ratkaissut ja todistanut ongelman. Kivahdettuaan ”Älä sotke ympyröitäni” 75-vuotias Arkhimedes kuoli sotilaan miekaniskuun. Rooman vaikutus antiikin matematiikkaan oli erittäin vähäinen. Suurin osa ”roomalaisista” matemaatikoista oli kotoisin valloitetuilta alueilta. Rooman merkittävin oma matemaatikko Boëthius teloitettiin 525 jKr. uskonnollisista tai poliittisista syistä pitkän vankeuden jälkeen. Uskon liekit Jeesuksen Kristuksen evankeliumi on tehnyt tieteellisen tutkimuksen tarpeettomaksi Tertullianus (160-n.230) Kiinan keisari Tsin Shi Hwang-din määräsi 200 vuotta ennen ajanlaskumme alkua Kiinan kirjallisuuden poltettavaksi. Vain lääketieteelliset, maanviljelyä ja ennustamista käsittelevät teokset tuli säästää 70 virallisen tutkijan tutkittavaksi.


Tyyppiarvo 1/01 Kristityt eivät jääneet toiseksi. Keisari Valens määräsi 373 jKr. kaikki ei-kristityt kirjat poltettaviksi. Keisari Justinianus puolestaan päätti sulkea Ateenan pakanalliset filosofiset koulut vuonna 529. Ristiretkeläiset valloittivat Tripolin 1109 ja polttivat yli 100 000 muslimien tieteellistä teosta. Myös muslimifilosofi alGhazzali (1059-1111) sai muslimifanaatikot polttamaan omia kirjastojaan. ”Tieteelliset tutkimukset koettelevat ihmisen uskoa Jumalaan ja ovat uskonnolle vahingollisia.” Konstantinopolin hävitystä neljännen ristiretken yhteydessä 1204 pidetään pahimpana yksittäisenä tuhona mikä klassista kirjallisuutta on kohdannut. 1400-luvun alussa 2500 ihmisen kuolemasta vastuussa ollut kardinaali Jimenez poltatti 24 000 kirjan ryöstösaaliin Grenadassa. Pääinkvisiittori Torquemada tuomitsi 1486 e s p a n j a l a i s e n m a t e m a a t i k k o Va l m e s i n polttoroviolle, koska tämä väitti löytäneensä neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavan. ”Jumalan tahto on, ettei ihminen sitä ymmärrä.” Mayojen laskutaito oli aikanaan vertaansa vailla. Nollan ja paikkajärjestelmän käyttö oli heille luonnollista. Harmiksemme emme tiedä juurikaan mayojen tieteestä ja taiteesta, sillä Jukatanin piispa Diego de Landa poltti mayojen kirjallisuuden 1560-luvulla, koska se sisälsi ”vain taikauskoa ja paholaisen valheita”. Uskoon kääntyneet mayat polttivat itse sen mitä jäi jäljelle. Giordano Bruno poltettiin 8-vuotisen vankeuden jälkeen vuonna 1600, koska oli väittänyt maan kiertävän aurinkoa. Inkvisiittorit kuulustelivat 70-vuotiasta Galileo Galileita, kunnes tämä tunnusti harhaoppisuutensa 1633 ja suostui allekirjoittamaan tunnustuksen, jossa vannoi ettei enää väittäisi maan kiertävän aurinkoa. Hänet tuomittiin elinkautiseen vankeuteen kotiarestissa. Galilein kuoltua vuoden kuluttua, hänen käsikirjoituksiaan tuhottiin, hautaus siunattuun maahan ja muistomerkin pystytys evättiin. Katolinen kirkko tunnusti vääryyden 31.10.1992 ja rehabilitoi Galilein.

17 Lapsineroja ja vallankumouksen uhreja Ihmelapsi Blaise Pascal (1623-1662) koki 23.11.1654 uskonnollisen herätyksen kun hänen ohjastamansa vaunut olivat pudota sillalta. Hän hylkäsi matematiikan ja tieteen ja siirtyi teologiaan. Unohtaakseen hammassäryn 1658 hän kuitenkin palasi hetkeksi pohtimaan sykloidiin liittyviä ongelmia. Viimeisinä vuosinaan hän käytti piikkivyötä, jota löi aina kun hänen ajatuksensa ei ollut tarpeeksi uskonnollinen. Hän kuoli sairauksien murtamana 39-vuotiaana. Jotkut kuitenkin katsovat uskonnollisuuden pelastaneen hänet nuoruuden villien vuosien jatkumiselta. Pascalin nuorempana kirjoittaman ”Discours sur les passions de l´amour”:n muusana kerrotaan olleen hänen hyvän ystävänsä Roannezin herttuan vaimo. Alankomaiden tasavallan johtaja Jan de Witt (1629-1672), joka esitteli nykyistä matemaattista odotusarvoa vastaavan käsitteen ja kirjoitti ensimmäisen analyyttisen geometrian oppikirjan, revittiin vihaisen väkijoukon toimesta kappaleiksi ranskalaisten valloittaessa Alankomaat. Ranskan vallankumouksen sankari, ”Voiton organisoija” Lazare Carnot (1753-1823) ajettiin pian kumouksen jälkeen maanpakoon ”kuningasmielisenä”. Hänen geometrikon virkansa Institut Nationalissa äänestettiin yksimielisesti kenraali Napoleon Bonapartelle. Hän palasi parin vuoden kuluttua, mutta joutui uudelleen maanpakoon monarkian palauttamisen jälkeen 1815. Lakia säätävän kansalliskokouksen presidentti, mm. integraali- ja todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä kehittänyt markiisi Concordet (1743-1794) puolestaan teki vallankumouksen jälkeen itsemurhan sellissään. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) lähti kahdeksaksi vuodeksi maanpakoon Ludvig Filipin syrjäytettyä Kaarle X:nnen Ranskan kuninkaana 1830. Lapsinero Niels Henrik Abel (1802-1829) kuoli 27-vuotiaana tuberkuloosiin, toinen lapsinero Évariste Galois (1812-1832) puolestaan tyhmyyteensä. Hänet erotettiin koulusta, pidätettiin kahdesti ja joutui huonomaineisen naisen takia kaksintaisteluun, jossa kuoli 20-vuotiaana. Hänen matemaattinen neroutensa huomattiin vasta kuoleman jälkeen.


18

Tyyppiarvo 1/01 Liisa Ihmemaassa

Charles Dodgson (1832-1898), joka tunnetaan paremmin salanimeltään Lewis Carroll, toimi matematiikan professorina tyttökoulussa. Hän oli ensimmäinen totuustaulun käyttäjä matemaattisessa logiikassa, kehitti Scrabblen esiasteen, lukuisia logiikkapulmia, sanapelejä ja uhkapelisääntöjä. Hän valokuvasi harrastuksekseen, mieluiten alastomia pikkutyttöjä (kuitenkin äitien valvonnassa). ”…en ymmärrä, miksi tyttöjen suloiset piirteet pitäisi kätkeä vaatteilla.” Sattumaa tai ei, Liisan Ihmemaassa käänsi venäjäksi Vladimir Nabokov, ”Lolitan” kirjoittaja. ”Liisa Ihmemaassa” syntyi veneretkellä vuonna 1862 10-vuotiaan Alice Liddellin ja tämän kahden sisaren kanssa. Pian veneretken jälkeen Alicen äiti kielsi Dodgsonia tapaamasta tyttäriään. Dodgson olisi halunnut mennä Alicen kanssa naimisiin kunhan tämä tulisi täysi-ikäiseksi. Liddellit torjuivat ehdotuksen. Tämä masensi Dodgsonin loppuiäksi. Charlesin hautajaisiin saapuivat kaikki sukulaiset ja tuttavat Alicea lukuun ottamatta. Dodgsonin tuotannossa heijastuvat surullisuus, yksinäisyys, onnen etsintä ja synti. ”Härmiöjahdin” toisessa kohtauksessa kerrotaan miehistön pitkästä laivamatkasta: ”kokkapuukin peräsimeen usein sekaantui” ja viimeisessä kohtauksessa Leipuri seisoo ensin ”suorana ja uljaana” ja sukeltaa sitten kallioiden välissä olevaan onkaloon.

tor sai toistuvasti 35 vuoden ajan hermoromahduksia. Depressiokaudet saivat hänet epäilemään omaa työtään. Cantor kuoli 1918 Hallen mielisairaalassa. Hitlerin ja kansallissosialistisen puolueen noustua valtaan Euroopasta pakeni Yhdysvaltoihin lukuisia tiedemiehiä, esim. Weyl, Artin, Brauer, Noether, Courant, Hadamard, Feller, Neyman, Gödel, Tarski, Neugebauer ja Einstein. Monet jotka jäivät, kuolivat. Khi-toiseen-testin isä Karl Pearson (1857-1936), Lontoon yliopiston rotuhygienian Galton-professori ajatteli vain rotujen välisen sodan saattavan tuottaa fyysisesti ja älyllisesti paremman rodun. Sodan loppuminen ei päättänyt kaikkia vainoja. Alan Turing (1913-1954) pidätettiin 1952 Manchesterissa homoseksisuhteestaan. Välttääkseen vankilan hän suostui ottamaan vuoden verran estrogeeniruiskeita libidon neutralointiin. Poliisi tarkkaili häntä tämän jälkeen valtioturvallissuden nimissä. Turing teki itsemurhan syanidilla 41-vuotiaana. Alussa nähdyn lakiehdotuksen teki lääkäri Edwin J. Goodwin Posey Countystä, Indianasta. Lakiehdotus lähetettiin edustajainhuoneelle, joka lähetti sen edelleen opetusvaliokuntaan, joka puolestaan palautti sen hyväksyttynä takaisin edustajahuoneelle. Edustajainhuone hyväksyi ehdotuksen 5.2.1897 yksimielisesti äänin 67-0.

Johann Bernoulli I (1667-1748) oli katkerissa riidoissa veljensä Jakob I:n (1654-1705) kanssa matemaattisten keksintöjen omistussuhteista. Hän myös ajoi poikansa Danielin (1700-1782) pois kotoa kateellisena tämän voitettua Académie de Sciencesin palkinnon jota Johannkin oli tavoitellut.

Lakiehdotus siirtyi senaattiin, jossa se hyväksyttiin raittiusvaliokunnassa. Laki meni läpi ilman kommentteja senaatin ensimmäisessä käsittelyssä. Sattumalta Purduen yliopiston matematiikan laitoksen professori C. A. Waldo oli vierailemassa senaatissa. Kauhistuttuaan lakiehdotuksesta hän piti senaattoreille oppitunnin, ja toisessa käsittelyssä 12.2.1897 senaatti päätti lykätä lakiehdotuksen käsittelyn epämääräiseksi ajaksi. Ehdotus ei ole sen jälkeen ollut esityslistalla.

Joukko-opin kehittäjä Georg Cantor (1845-1918) sai kovan vastuksen Leopold Kroneckerilta (18101893), joka esti Cantorin nimittämisen Berliinin yliopistoon ja yritti tuhota tämän uuden matematiikanlajin. ”Jumala loi kokonaisluvut, kaikki muu on ihmisen tekemää.” Herkkä Can-

Tähän artikkeliin on luettu lähteitä kuin piru raamattua, suurin osa historian tuntemista matemaatikoista on elänyt aivan normaalia, tylsää elämää. Näistä ja muista mielenkiintoista asioista saa lisää tietoa esimerkiksi noista seuraavalla sivulla mainittavista teoksista teoksista:

Suvaitsemattomuudesta


Tyyppiarvo 1/01

19

Moodi toimii Opettajatapaaminen jälleen Moodi järjestää tänäkin vuonna opettajatapaamisen. Päivämäärää ei ole lyöty lukkoon, mutta se tulee olemaan joskus huhti- toukokuussa. Viime vuotiseen tapaan kunnioitamme tälläkin kertaa emeritusaseman saavuttanutta opettajaamme. Tällä kertaa kysessä on professori Seppo Mustonen. Seksin, vallan ja matematiikan lähteet: Matti Lehtinen Matematiikan historian luentoja sl.1999 Carl Boyer, Uta C. Merzbach Tieteiden kuningatar – matematiikan historia I&II Art House 1994 E.T. Bell Men of Mathematics Simon and Schuster, inc. 1937 Peter Beckman p, erään luvun tarina Terra Cognita 2000

Tedarit Moodi järjestää Toukokuun TDK-bileet Median kanssa. Tarkoituksena lienee tehdä viime vuotiseen tapaan hankintamatka Tallinnaan kanssajärjestäjiemme kanssa. Jupe on myös varannut ässän hihaansa, mitä tulee tedarien ohjelmaan. Salibandy / sähly Motitus pelaa tälläkin kaudella Salibandysarjassa. Hyvin alkanut sählyn haarastelija sarja päättyi jälleen tappioihin. Ensimmäistä kertaa Moodin historiassa sen sijaan osallistumme Kannun sählyturnaukseen kahdella joukkueella, jotka ovat perinteinen Moodin Motitus ja uusi vanha ilmestys nimeltä Sedät jaksaa heilua. Jyväskyläläiset Jysväskyläläiset saapuvat jälleen ekskursiomatkalle Helsinkiin, joten järjestämme heille bileet Kuppalassa 26.4.

Laitoksella tapahtuu

Encyclopædia Britannica www.britannica.com

KTL-Ekskursio

Jaakko Frösen Aleksandrian kirjastot www.tsv.fi/ttapaht/998/frosen.htm Giordano Bruno / Galileo Project es.rice.edu/ES/humsoc/Galileo/People/bruno.htm

Laitos järjestää fuksien opintoihin liittyvän ekskursion Kansanterveyslaitokselle. Myös kaikki vanhemmat opiskelijat ovat tervettuleita. Ekskursio järjestetään perjantaina 30.3. klo 13.00, joten samaan aikaan luennoitava päättelyn syventävä kurssi on tällöin peruutettu. Survo

Blaise Pascal / Catholic Encyclopedia www.newadvent.org/cathen/11511a.htm Markus Lång Charles Dodgson ja taiteen autonomisuus www.helsinki.fi/~mlang/carroll-essee.htm

Survo MM ilmestyy vihdoin virallisestikin. Betatestaus alkaa olla loppusuoralla ja virallinen versio julkistetaan Survokäyttäjäyhdistyksen risteilyn yhteydessä maaliskuun lopulla. Minusta tilasto expertti?

Lewis Carroll’s Major Accomplishments & Later Life www.norfacad.pvt.k12.va.us/project/carroll/Carroll2.htm Alan Turing homepage www.turing.org Mikko Muurinen .

Assistentti Vehkalahti, professori Tarkkonen ja lehtori Puranen laativat laitokselle esitteen, mitä olisi tarkoitus jakaa abiturienteille. Toivottavasti tämä tuottaa tulosta, jotta saisimme syksyllä täyden määrän pisterajat ylittäviä uusia opiskelijoita.


20

Moodin vuosi 2000

Tyyppiarvo 1/01

20.1. ekskursio metsäntutkimuslaitokselle 26.1. Moodin vuosikokous 8.2. Tiedekunnan ABI-info 13.2. Moodin 32-vuotissyntymäpäivä 14.-15.2. Tilastopäivät 17.2. Ekskursio lääketehdas Leiraksen tilastoyksikköön 26.2. Kannunvalajien sählyturnaus 3.3. Tyyppiarvo 1/2000 10.3. Motitus sähläämässä Esport-Nightissa 15.3. Laitoskokous/tiedotustilaisuus aiheesta laitoksen tulevaisuus 16.3. Ekskursio Tilastokeskuksen CATI-yksiköön 30.3. Moodin PöytäPeli-Ilta MoPPI 18.4. Ekskursio Pörssiin 25.4. Kannun pesisturnaus 26.4. Talinnan risteily VOO:n kanssa 27.-28.4. Jyväskylän tilastotieteenopiskelijoiden vierailu 29.4. Tuoppiarvo 2000 1.5. Vappu 9.5. Opettajatapaaminen/Ekholmin ja Patovaaran läksiäiset 10.5. Patovaaran läksiäiskahvit KTTO:n kanssa 11.5. Akateeminen Wartti 12.5. Kannun Grillibileet 20.5. Moodin ja VOO:n TDK-bileet 26.5. Moodin Marttojen ja Marttien Viini-ilta 30.5. Kybällä 8.7. Seitsenottelu 24.7. Piknik Pihlajasaareen 26.8. Fuksien ensitapaaminen 2.9. Kannu-Games 8.9. Moodin perinteinen Fuksitapaaminen 11.9. Avajaiskarnevaalit 15.9. Moodin ja Statuksen yhteiset fuksiaiset 20.9. Kannun Fuksisuunnistus 29.9. Ekskursion McKinsey:lle 8.10. Retkeilyä Nuuksiossa 11.10. Moodin Karaoke Keskiviikkoklubi 16.10. Moodin katselemassa Kananlentoa 19.10. Tyyppiarvo 3/2000 31.10. Opintokysely 5.11. Marttojen ja Marttien Leipomisilta & MoPPI 5.12. Moodin Pikkujoulu 7.12. Moodin katselemassa Valtsikan Speksiä 18.12. Laitoksen Pikkujouluglögit 19.12. Tyyppiarvo 4/2000 19.12. Moodin Nörttien Nintendo-Ilta MoNNI


Tyyppiarvo 1 / 2001