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Matemáticas

Secundaria 2

Matemáticas

Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez, Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

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DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA

Matematicas 2 santillana integra1 1

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Escuela

Grupo

Querido alumno (a) de secundaria:

Geografía 2

Nombre del alumno (a)

Este libro se entrega gratuitamente para tu formación, y es parte del esfuerzo que estamos haciendo el Gobierno Federal y los Gobiernos de los Estados para convertir la educación en la llave de las oportunidades y el éxito para ti y tu familia. Este libro es tuyo. Aprovéchalo y cuídalo.

DISTRIBUCIÓN GRATUITA, PROHIBIDA SU VENTA

FCyE I 2do Santillana Ateneo cov2 2

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Matemáticas Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, María del Pilar Martínez, Óscar Alfredo Palmas, Francisco Struck, Julieta del Carmen Verdugo

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Matemáticas 2

El libro es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López.

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El libro

Matemáticas 2. Santillana Integral fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Edición: Guillermo Trujano Coordinación editorial: Roxana Martín-Lunas Rodríguez Revisión técnica: Víctor Hugo Ibarra Mercado Corrección de estilo: Eduardo Mendoza Tello Diseño de portada: José Francisco Ibarra Meza Ilustraciones de personajes de portada: Teresa Martínez Diseño de interiores: Carlos Vela Turcott Coordinación de Diseño: José Francisco Ibarra Meza Ilustraciones: Héctor Ovando Jarquín, Carlos Vela Turcott Fotografía: Corel Stock Photo y Archivo Santillana Diagramación: Héctor Ovando Jarquín

Luis Briseño Aguirre Guadalupe Carrasco Licea María del Pilar Martínez Téllez Óscar Alfredo Palmas Velasco Francisco Struck Chávez Julieta del Carmen Verdugo Díaz

Editora en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas Rodríguez Gerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez Martínez Gerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia Escobar Gerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin Fuentes Coordinación de Diseño: José Francisco Ibarra Meza Digitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Benito Sayago Luna y Manuel Zea Atenco

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2. Santillana Integral son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

© 2006 Luis Briseño, Guadalupe Carrasco,María del Pilar Martínez, Óscar Alfredo Palmas, Francisco Struck, Julieta del Carmen Verdugo D. R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V. Av. Universidad 767 03100, México, D. F. ISBN: 978-970-29-2220-9 Primera edición actualizada: junio, 2008 Primera reimpresión: febrero, 2009 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México

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>PRESENTACIÓN PRESENTACIÓN Ó

Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió: “... la mejor forma de aprender es hacer”. En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro. Matemáticas 2 propone a los estudiantes de segundo grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento de los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos. No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfrenten con situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar conjeturas, proponer soluciones, confrontar sus propuestas con las de sus compañeros y compañeras, argumentar ideas, distinguir los razonamientos correctos de los erróneos y convencerse, por sí mismos, de los resultados. Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de problemas y va dando sugerencias, en forma de preguntas, para llegar a la solución. Sólo hasta el final de la actividad se presenta una formalización de los conceptos que los estudiantes deben haber descubierto. Por otro lado, así como un árbol tiene varias ramas, pero varias ramas no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglomerado de conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tradicional en Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad, etcétera, sino que la hemos tratado como una unidad. En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemática, lejos de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la formación del ser humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a razonar en forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver problemas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta la creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos, como entes pensantes, creadores y transformadores.

Presentación

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> ESTRUCTURA S UC U DE TU U LIBRO O Los contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques, distribución que responde a las cinco evaluaciones bimestrales de tu año escolar, por lo que la información al interior de cada bloque está dosificada. Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro: Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de: 6. Susana quiere ir a Zihuatanejo. El pasaje del autobús en viaje redondo cuesta $600. Por ocho días de estancia, el hotel cobra $4 480. ¿Cuánto gastará en total si decide quedarse sólo cinco días y la tarifa del hotel es proporcional a los días de estadía?

Enlace

7. En el plano cartesiano se encuentran los puntos A, B y C, observa su ubicación y llena la siguiente tabla con los datos que se piden. Ubica otros tres puntos D, E y F sobre la recta que contiene a los puntos A, B y C y da sus coordenadas.

A ntes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para

C B

que confirmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que serán muy útiles para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria.

A

x

Punto

y

A B C D E F

5 Cfhl\Xgi\e[\i}j\e\jk\Ycfhl\ 

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Bloques

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Temas del bloque: La navegación a grandes distancias desarrollada en los siglos XIVV y XVV no hubiera sido posible sin instrumentos que permitieran orientarse en mar abierto. El reloj, la brújula y el astrolabio fueron fundamentales para el retorno de los barcos que navegaron en aquella época.

• •

Aunque los astrolabios fueron evolucionando hasta convertirse en instrumentos un tanto complicados, básicamente sirven para determinar el ángulo de elevación de las estrellas con respecto del horizonte.

• •

Resolveremos problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones o divisiones de números con signo. Identificaremos la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. Resolveremos problemas de conteo mediante cálculos numéricos. Resolveremos problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. Interpretaremos y construiremos polígonos de frecuencia.

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Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque, expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarrollarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales para organizar el pensamiento matemático) que son: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. En cada bloque se busca relacionar transversalmente los temas del programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una unidad y no como una materia fragmentada. 5G8I8:FD<EQ8I ... necesitas recordar:

Para comenzar

1. 2. 3.

En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que incluirá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento representa tres de cinco partes. geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono Cada lección puede tener de tres a siete partes. Cada parte consta de una a tres páginas; se indica el número de lección por bloque y el texto con el que empezarás a estudiar inicia con este símbolo .

Operaciones de suma, resta y multiplicación de números con signo. Qué son las expresiones algebraicas. Algunos usos de las expresiones algebraicas.

5 <e\jkXc\ZZ`e#XYfi[Xi}jcfjk\dXj[\1 • Solución de problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. r • Reconocimiento y obtención de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

Lecciones En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas, con preguntas e ilustraciones. Cada lección cuenta con espacios para escribir respuestas o comentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuando se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas claves. Cuando un término dentro del texto aparece en cursivas, su significado se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 326. Aplicación En algunas lecciones encontrarás una aplicación que se ha resaltado por su utilidad o importancia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el desarrollo de las lecciones.

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Las siguientes fotografías muestran varias posiciones de una rueda de la fortuna. Ordena los ángulos señalados en la figura, de menor a mayor.

El grado es una unidad de medida de los ángulos. Si al formar un ángulo con dos semirrectas pensamos que una de ellas está fija y la otra se mueve, el ángulo correspondiente a una vuelta completa de la semirrecta móvil mide 360 grados, lo que se escribe con un pequeño círculo: 360°.

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360°

Por otro lado, la mitad de una vuelta corresponde a un ángulo de 180°, llamado ángulo llano. La cuarta parte de una vuelta corresponde a un ángulo de 90°, llamado ángulo recto.

Ángulo recto

Ángulo llano

El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador.

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Matemáticas 1

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Para terminar 5G8I8K<ID@E8I 6 ¿Por qué son iguales los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo? 7. Si se sabe que la recta BD es bisectriz del ángulo ABC del siguiente cuadrilátero, descubre cuánto mide el ángulo ACB usando la información proporcionada en la figura.

Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes poner a prueba tus habilidades y competencias matemáticas.

A D 130° 70°

C

B

8. ¿Qué construcciones auxiliares necesitamos para saber el ángulo de interr sección de las siguientes rectas si no podemos extender el dibujo para tener el punto de intersección?

Torito La sección Para Terminar, finaliza con un problema que representa un reto y requiere ingenio para resolverlo, El Torito.

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CXj[fj]`^liXjk`\e\ecXd`jdXYXj\pcXd`jdXXckliX#g\ifgXi\Z\iˆXhl\cXgi`d\iXk`\e\ dXpfi}i\X%¶Gfihl„6GXiXjXY\ihl„fZlii\#_Xqle[`Ylaf^iXe[\pi\m`jXj`cXgi`d\iX]`^liX i\Xcd\ek\\jleki`}e^lcf%

Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:

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MatemáTICas

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En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. También queremos demostrar que las computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta tan valiosa debemos tener los conceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones precisas para que realice el trabajo mecánico.

5 8^i\^Xj\`jZfcldeXj#\jZi`Y`\e[f\e\cgi`d\ii\e$ ^ce[\ZX[XleX p4*o# p4+o# p4,o#p4Æo# p4Æ)o p p 4 Æ*o% GXiX fYk\e\i cfj [Xkfj Zfii\jgfe[`\ek\j# X^i\^X\ecXZ\c[X:)cX`ejkilZZ`e4*!8)pXiiXjkiX\c ZlX[ifg\hl\Œf[\\jXZ\c[X%?XqcfZfii\jgfe[`\e$ k\\ecXjfkiXjZfcldeXj%>iX]`ZXkf[XjcXji\ZkXj\e \cgcXefZfdf_`Z`jk\ZfecXjgi`d\iXji\ZkXj[\\jkX XZk`m`[X[%

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5GLEKF;<<E:L<EKIF El volumen de una pirámi pirámide escalonada es la suma de los volúmenes de los escalones, así que basta calcular el volumen de un solo escalón, suponiendo ndo q que su base inferior es un cuadrado de lado B, su base superior (o tapa) es otro cuadrado de lado b y la altura del escalón n mid mide h.

5 LY`ZXZl}c[\cXji\ZkXjZfii\jgfe[\XZX[XZfcldeX [\cXkXYcXpZfd\ekXZfekljZfdgXŒ\ifj\c\]\Zkf hl\k`\e\cXmXi`XZ`e[\djfYi\cX^i}]`ZX[\cXi\ZkX%

Punto de encuentro

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Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los temas del bloque o de bloques anteriores. 5LE8EL<M88:K@KL; LA BASURA ESPACIAL El lanzamiento de satélites artificiales y naves tripuladas al espacio, a pesar de sus ventajas, también ha generado nuevos problemas por resolver. Uno de ellos es la creciente cantidad de basura espacial; por ejemplo, satélites en desuso, cohetes ya utilizados y materiales de desecho de los operativos espaciales.

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Diseña una estrategia para calcular el volumen de este escaló alón. Puedes descomponer la figura en piezas cuyo volumen sepas calcular. ¿Cuál es el volumen del escalón completo? to? Otra estrategia que puedes seguir es la de pensar el escalón e como una “pirámide truncada”, es decir, una pirámide completa a la que se le quita una parte de arriba. ¿Cómo podrías calcular el volumen del escal scalón utilizando esta idea?

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Imagen de internet planeta tierra

Una nueva actitud

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En esta sección mostramos que las Matemáticas se aplican a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utilizan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad. Es necesario contar con un buen registro de la cantidad y tipo de basura espacial, así como de sus trayectorias, pues la basura podría chocar con satélites en operación o incluso con naves tripuladas. Por ejemplo, la explosión de un cohete en 1996 duplicó el riesgo de que una partícula de basura espacial de tamaño regular alcance al Telescopio Hubble, ya suficientemente golpeado en más de 700 ocasiones por pequeños fragmentos metálicos. Aunque en algunos casos se ha enviado al espacio equipo con mayor protección contra estos choques, esto eleva muchísimo los costos de las operaciones.

Al final de tu libro se encuentran cuatro anexos:

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Glosario. Cuando un término del contenido aparece en cursivas, se incluye su significado. Bibliografía, con una sección dirigida al docente y otra al estudiante. La sección para el docente contiene las referencias utilizadas para la elaboración de este libro. Búsqueda de información en Internet. Son una serie de páginas electrónicas en las que encontrarás materiales relevantes para tu curso. Programa de la asignatura. Contiene, organizados en tablas, los conocimientos y habilidades del programa de estudio y el número de lección y páginas en que se encuentra el tema dentro de la obra. Esta sección facilita la ubicación de los contenidos con respecto al programa.

Estructura del libro

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> CONTENIDOS EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico

BLOQUE 1

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LECCIÓN 1 LOS ÁNGULOS

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• Significado y uso de las operaciones Problemas multiplicativos Problemas aditivos Operaciones combinadas

Forma, espacio y medida LECCIÓN 2 • Medida Estimar, medir y calcular • Formas geométricas Rectas y ángulos

Manejo de la información • Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad • Representación de la información Diagramas y tablas Gráficas

LECCIÓN 3

LECCIÓN 4

LECCIÓN 5

LECCIÓN 6

LECCIÓN 7

Resolución de problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida. Determinación mediante construcciones de las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaboración de definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecimiento de relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocimiento de ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. EL TESORO PERDIDO 27 Establecimiento de las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones existentes entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO 37 Problemas que impliquen la multiplicación y división de números enteros. Problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y números decimales con signo. CADA QUIEN CON SU CADA CUAL 49 Solución de problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. Reconocimiento y obtención de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. PROPORCIONALIDAD AL DERECHO Y AL REVÉS 65 Determinación del factor inverso dada una relación de proporcionalidad y del factor de proporcionalidad fraccionario. Elaboración y utilización de procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple. ¿CUÁNTOS CUENTAS? 79 Anticipación de resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificación de los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos. USO DE POLÍGONOS DE FRECUENCIAS 89 Interpretación y comunicación de la información mediante polígonos de frecuencias.

MatemáTICas Punto de encuentro Una nueva actitud

6

98 100 102

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EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico • Significado y uso de las operaciones Operaciones combinadas Problemas multiplicativos

BLOQUE 2

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LECCIÓN 1 ENTRE PARÉNTESIS

107

Utilización de la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en problemas y cálculos. Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas. LECCIÓN 2 PRISMAS Y PIRÁMIDES 117

Forma, espacio y medida • Formas geométricas Cuerpos geométricos • Medida Justificación de fórmulas Estimar, medir y calcular

Manejo de la información • Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad • Representación de la información Medidas de tendencia central y de dispersión

Descripción de las características de cubos, prismas y pirámides. Construcción de desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos y diferentes vistas de un cuerpo geométrico. Justificación de fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Cálculo de datos desconocidos dados otros, relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Conversiones de medidas de volumen y capacidad y la relación entre ellas. LECCIÓN 3 ENTRE MEDIAS, MEDIANAS Y MODAS 129 Interpretación de las medidas de tendencia central. Cálculo de la media aritmética, la moda y la mediana de un conjunto de datos agrupados. Propiedades de la media aritmética. LECCIÓN 4 HAY RAZONES Y RAZONES 141 Significado de una razón. Comparación entre dos razones.

EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico • Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas Ecuaciones Relación funcional

MatemáTICas Punto de encuentro Una nueva actitud

148 152 154

BLOQUE 3

158

LECCIÓN 1 ASÍ, SUCESIVAMENTE 161 Construcción de sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtención de la regla que genera una sucesión de números con signo.

Contenido

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Forma, espacio y medida • Formas geométricas Justificación de fórmulas Figuras planas

Manejo de la información • Representación de la información Gráficas

LECCIÓN 2 DE UN LADO Y DE OTRO

167

Problemas que impliquen el planteamiento y la solución de ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f, y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios positivos o negativos LECCIÓN 3 TODOS EN LÍNEA 175 Reconocimiento en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, de la presencia de cantidades que varían una en función de la otra. Representación de esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma y = ax + b. Construcción, interpretación y uso de gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos. Anticipación del comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante. Anticipación del comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de m mientras el valor de b permanece constante. LECCIÓN 4 JUGUEMOS A LOS ROMPECABEZAS 185 Establecimiento y justificación de la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier polígono. Argumentación de las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para recubrir un plano. MatemáTICas Punto de encuentro Una nueva actitud

BLOQUE 4

EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico • Significado y uso de las operaciones Potenciación y radicación

Forma, espacio y medida • Formas geométricas Figuras planas Rectas y ángulos

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194 196 198 200

LECCIÓN 1 ¿QUÉ TAN PROBABLE ES? 203 Cálculo de probabilidades de eventos en distintos contextos. Identificación de eventos independientes. Cálculo de la probabilidad de que ocurran 2 o más eventos independientes. LECCIÓN 2 TRIÁNGULOS CONGRUENTES 217 Determinación de los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada. LECCIÓN 3 NUMERITOS Y NUMEROTES 229 Elaboración, utilización y justificación de procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de potencias.

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Manejo de la información • Análisis de la información Noción de probabilidad • Representación de la información Gráficas

EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico • Significado y uso de las literales Ecuaciones

Forma, espacio y medida • Transformaciones Movimientos en el plano

Manejo de la información • Representación de la información Gráficas • Análisis de la información Noción de probabilidad

Interpretación del resultado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilización de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. LECCIÓN 4 RECTAS DEL TRIÁNGULO 243 Las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. LECCIÓN 5 MÁS O MENOS RÁPIDO 255 Interpretación y elaboración de gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etc. LECCIÓN 6 ¿QUÉ ES MEJOR? 263 Interpretación de dos gráficas de líneas que representan características distintas de un fenómeno o situación. Utilización de la información brindada por dos gráficas para tomar decisiones. MatemáTICas Punto de encuentro Una nueva actitud

270 272 276

BLOQUE 5

278

LECCIÓN 1 DOS Y DOS

281

Representación con literales de los valores desconocidos de un problema y su uso para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretación de la intersección de sus gráficas como la solución del sistema. LECCIÓN 2 DE AQUÍ PARA ALLÁ 297 Determinación de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construcción y reconocimiento de diseños que combinen la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. LECCIÓN 3 UNO O EL OTRO, PERO NO LOS DOS 311 Identificación de eventos mutuamente excluyentes. Cálculo de probabilidades de eventos en distintos contextos. Cálculo de la probabilidad de ocurrencia. MatemáTICas Punto de encuentro Una nueva actitud Glosario Bibliografía Búsqueda de información en Internet Programa de la asignatura

320 322 324 326 328 330 331

Contenido

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> ENLACE > ¿Qué aprendiste de Matemáticas en el primer grado?

Para iniciar el estudio de las matemáticas de segundo grado de secundaria es conveniente que recuerdes los conocimientos que recibiste anteriormente. Esta sección es un enlace entre las habilidades y conocimientos que adquiriste en cursos anteriores con las que aprenderás en este segundo grado 1. ¿Qué número sumado a sí mismo da como resultado −10? 2. ¿Qué número hay que sumar a −2.5 para obtener −6.2? ¿Qué número hay que restar a −2.5 para obtener −6.2?

–8 –7 –6 –5 –4 –3 3. Representa en una recta numérica las siguientes operaciones: (−3.5) + (4.5)

7 2 (− 3 ) − (− 3 )

–2

–1

0

1

2

(−5.5) + (−1.5)

4. David armó esta figura con tres piezas cuadradas y dos rectangulares.

Las tres piezas cuadradas forman una rectangular.

=

La pieza rectangular tiene 48 cm de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la figura que armó David? 5. El domingo Esteban tenía 24 canicas, el lunes compró 10 más, el martes también compró canicas y el miércoles compró el doble de canicas que el martes, el jueves no compró y hoy viernes Esteban tiene 73 canicas, ¿cuántas canicas compró el martes?

10

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6. Susana quiere ir a Zihuatanejo. El pasaje del autobús en viaje redondo cuesta $600. Por ocho días de estancia, el hotel cobra $4 480. ¿Cuánto gastará en total si decide quedarse sólo cinco días y la tarifa del hotel es proporcional a los días de estadía? 7. En el plano cartesiano se encuentran los puntos A, B y C, observa su ubicación y llena la siguiente tabla con los datos que se piden. Ubica otros tres puntos D, E y F sobre la recta que contiene a los puntos A, B y C y da sus coordenadas. Punto C

x

y

A B

B

C D

A

E F

8. Traza un rombo a partir de una de sus diagonales. B A

B

¿Cómo deben ser los lados de un cuadrilátero para que sea un rombo? ¿Se pueden construir varios rombos con la misma diagonal? En la figura te mostramos tres rombos con el segmento AB como diagonal; construye uno distinto. A

Enlace

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11 5/16/08 11:55:56 AM


> ENLACE

B

9. Traza un segmento cualquiera AC y cualquier rombo que tenga a AC como una de sus diagonales. Llama B y D a los otros vértices. Traza el segmento BD y llama O al punto donde se cruzan las diagonales.

C O

Recorta el rombo y dóblalo por la diagonal BD. ¿Son iguales los triángulos ABD y CBD? ¿Miden lo mismo los segmentos AO y OC? ¿Son iguales los ángulos ABD y CBD? ¿Es simétrico el rombo respecto a su diagonal BD?

A

D

Desdobla el rombo y dóblalo por la otra diagonal. ¿Son iguales los triángulos ABC y ADC? ¿Miden lo mismo los segmentos BO y OD? ¿Son iguales los ángulos BAO y DAO? ¿Es simétrico el rombo respecto a su diagonal AC? Dobla ahora el rombo en cuatro por sus diagonales. ¿Son iguales los cuatro triángulos en los que queda dividido el rombo por sus diagonales? ¿Cuánto mide el ángulo AOB? 10. Traza un rombo a partir de uno de sus ángulos.

A

Clava tu compás en el vértice A y con cualquier radio traza un arco de circunferencia que corte a las dos líneas que forman el ángulo. Llama B y D a los puntos de intersección. Sin cambiar la apertura del compás traza dos circunferencias con centros en B y D. Las circunferencias se cortan en A y en otro punto; llama C a este punto. Une a C con B y D. Traza las diagonales del rombo. A partir de las actividades anteriores explica: a) Cómo trazar la mediatriz de un segmento. b) Cómo trazar la bisectriz de un ángulo.

12

Matemáticas 1

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11. Determina cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuales son deterministas. Explica tu respuesta. a) Se deja caer una piedra desde una altura de 2 metros dentro del salón y se observa la trayectoria que sigue. b) Se selecciona cualquier nombre de la lista de estudiantes de tu grupo y se le pregunta cuál es su deporte favorito. c) Se coloca una bola roja en la caja 1, una bola azul en la caja 2 y una bola blanca en la caja 3. Se le pide a una persona que no sabe cómo se acomodaron las bolas que seleccione la bola de la caja 1 y anote su color. d) Se colocan las mismas bolas en las mismas cajas del ejercicio anterior y se le pide a una persona que no sabe cómo se acomodaron las bolas que elija cualquier caja, saque la bola y anote su color. 12. Se lanzan dos dados regulares. Escribe el espacio muestral de este experimento. ¿Todos los resultados que escribiste tienen la misma facilidad de ocurrir? ¿Por qué? Calcula la probabilidad de los siguientes eventos: A: La suma de los números obtenidos es 6. B: El producto de los números obtenidos es 12. C: El resultado del primer dado es 5 (el segundo resultado puede ser cualquiera). D: El resultado del primer dado es 4 y el del segundo es par. E: La diferencia entre los dos números obtenidos es 3. 13. Se lanza 1 000 veces un dado cargado. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Cara

1

2

3

4

5

6

Frecuencia

85

159

167

161

163

265

Usa la definición frecuencial para aproximar la probabilidad de cada uno de los resultados posibles al lanzar este dado.

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13 5/16/08 11:56:15 AM


>BLOQUE 1

14 Mat2 Int B1-2 new EA.indd 14

5/16/08 11:56:27 AM


> Lo que aprenderás en este bloque

EJE 1

EJE 2

EJE 3

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos. Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.

¿Cómo fueron posibles los viajes de descubrimiento?

Temas del bloque:

La navegación a grandes distancias desarrollada en los siglos XIV y XV no hubiera sido posible sin instrumentos que permitieran orientarse en mar abierto. El reloj, la brújula y el astrolabio fueron fundamentales para el retorno de los barcos que navegaron en aquella época.

• •

Aunque los astrolabios fueron evolucionando hasta convertirse en instrumentos un tanto complicados, básicamente sirven para determinar el ángulo de elevación de las estrellas con respecto del horizonte.

• •

Resolveremos problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones o divisiones de números con signo. Identificaremos la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. Resolveremos problemas de conteo mediante cálculos numéricos. Resolveremos problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. Interpretaremos y construiremos polígonos de frecuencia.

15 Mat2 Int B1-2 new EA.indd 15

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>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: 1. 2. 3. 4.

Qué es un ángulo. Cómo se usa el transportador para medir los ángulos. Cómo se construyen rectas perpendiculares con regla y compás. Cómo se construyen rectas paralelas con regla y compás.

Constelación de Piscis

Probablemente en la antigua Babilonia, fueron creadas 4 constelaciones para marcar los grupos de estrellas. Los babilonios creían ver en los conjuntos estelares diferentes figuras. El concepto científico actual de constelación difiere del que se tenía anteriormente y del que aún persiste a nivel popular. Hoy en día son consideradas por los astrónomos como áreas fijas en el cielo limitadas por líneas que son paralelas al ecuador y a los meridianos celestes; a diferencia de los arreglos o configuraciones de estrellas formando las figuras de animales u objetos como las veían los babilonios.

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> En esta lección, abordarás los temas de: • Resolución de problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida. • Determinación mediante construcciones de las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaboración de definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. • Establecimiento de relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocimiento de ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

Bloque 1

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5/16/08 11:56:42 AM


>1º >1º 1> Los ángulos En la siguiente fotografía aparecen estrellas, une algunas con segmentos de recta y crea tus propias constelaciones.

Mide los ángulos formados por los segmentos que construiste. ¿Cuál de estos dos ángulos es mayor? ¿Por qué?

Actividad individual

Compara tus argumentos con los de tus demás compañeros.

Lección 1

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> Los ángulos

17 5/16/08 12:37:21 PM


Actividad individual

Los siguientes dibujos muestran varias posiciones de una rueda de la fortuna. Ordena los ángulos señalados en la figura, de menor a mayor. Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.

A

B

C

D

Actividad individual

Ordena los siguientes ángulos de menor a mayor.

C

B A D

F

E

¿Cuáles de estos ángulos son menores que un ángulo recto? ¿Cuáles son mayores? El grado es una unidad de medida de los ángulos. Si al formar un ángulo con dos semirrectas pensamos que una de ellas está fija y la otra se mueve, el ángulo correspondiente a una vuelta completa de la semirrecta móvil mide 360 grados (360º).

360°

18

Bloque 1

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5/16/08 12:37:31 PM


Por otro lado, la mitad de una vuelta corresponde a un ángulo de 180°, llamado ángulo llano. La cuarta parte de una vuelta corresponde a un ángulo de 90°, llamado ángulo recto.

Ángulo recto

Ángulo llano

El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador. ¿Cuánto mide el ángulo que se esta midiendo con el transportador? Comenta con tus compañeros.

Dobla una hoja de papel y forma una figura, por ejemplo, un “avión”.

Actividad individual

Actividad individual

Ahora desdobla la hoja y mide con el transportador los ángulos que observes. ¿Qué tipo de ángulos obtuviste? ¿Obtuviste ángulos mayores que un ángulo recto? ¿Menores? ¿Puedes doblar la hoja de manera que obtengas sólo ángulos rectos? Avión de papel.

Las medidas de los ángulos de la figura son: 5º, 27º. 65º, 90º, 118º y 170º. Asocia cada medida con el ángulo correspondiente, sin medir los ángulos directamente.

Actividad individual

A B C

D E F

Lección 1

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> Los ángulos

19 5/16/08 12:37:34 PM


>2º Actividad individual

Traza en tu cuaderno dos rectas que se corten, una de color rojo y otra de color negro. Llama A, B, C y D a los cuatro ángulos que se forman.

B C

A

D

¿Hay en tu figura ángulos iguales? ¿Cuáles son? En tu figura ¿cuánto suman las medidas de los ángulos A y B? ¿Por qué? ¿Cuánto suman los ángulos B y C? ¿Qué puedes decir de A y C? Utiliza un razonamiento análogo para comparar los ángulos B y D. Discute tus argumentos con el resto del grupo. A una pareja de ángulos como A y C de la siguiente figura, se les conoce como ángulos opuestos por el vértice.

A C

Si dos ángulos A y B comparten el vértice y un lado se dice que son adyacentes.

A B

B A

Si dos ángulos A y B suman 180º se dice que son suplementarios. Si dos ángulos adyacentes forman un ángulo llano, son suplementarios.

A

20

B

Bloque 1

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5/16/08 12:37:37 PM


En el siguiente mapa aparece una parte de la ciudad de Guadalajara.

Actividad individual

os lo g d ió s Ra o n uja os Cir trad gis Ma

Presa La Escondid a

o uill seq Val osa sa aR Pre ant

P

S sa Pre

lís

So

cón Fal o sa del Pre Mo sa oli Pre Tív jillo e sa erm Pre s B sa Pila sa Pre Pre

a res

lo rnil e i f In del a s Pre

¿Cuánto miden los ángulos en el cruce de las calles Presa La Escondida y Presa Santa Rosa? ¿Cuánto miden los ángulos en la intersección de Presa Falcón y Presa Solís? Indica varias parejas de calles perpendiculares. Indica varias parejas de calles paralelas. Indica dos parejas de calles que no sean paralelas ni perpendiculares. Si dos rectas en el plano se cortan formando ángulo recto se dice que son perpendiculares. Dos rectas que se cortan pero no son perpendiculares son oblicuas. Dos rectas que tienen una perpendicular común son paralelas.

Rectas perpendiculares

Rectas paralelas

Rectas oblicuas

Lección 1

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> Los ángulos

21 5/16/08 12:37:37 PM


>3º Actividad individual

Traza en tu cuaderno dos rectas, una roja y una negra, que se corten. Con el compás, marca en cada una de las rectas segmentos de igual longitud. Etiqueta los puntos como en la figura.

C

B

A

0

A’

B’

C’

Traza una recta de color verde que pase por los puntos A y A’. Traza ahora otra recta de color verde que pase por los puntos B y B’.

C

B

A

0

A’

B’

C’

¿Hay alguna relación entre las medidas de los ángulos OAA’ y OBB’? Analiza y compara tus observaciones con las de tus compañeros. Traza una tercera recta de color verde por los puntos C y C’ y analiza la relación del ángulo OCC’ con los ángulos anteriores. Compara los ángulos AA’O y BB’O. ¿Qué puedes decir del ángulo CC’O? Discute tus conclusiones con tus compañeros del grupo.

Actividad colectiva

22

En tu cuaderno, traza una recta roja y otra recta negra que se corten. Marca en cada recta segmentos con la misma longitud y etiqueta los puntos con números, como sigue.

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 22

5/16/08 12:37:39 PM


>3º

6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6

Traza una recta L de color verde que pase por los puntos 1 y 2 . Traza una recta paralela a L, que pase por el punto 2. Traza una paralela más, que pase por el punto 3. Compara los ángulos marcados en la siguiente figura. ¿Qué observas? Discute tus observaciones con tus compañeros.

6 5 4 3 2

L 1

1

2

3

4

5

6

Lección 1

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> Los ángulos

23 5/16/08 12:37:40 PM


>4º 1. En la siguiente figura aparecen varias rectas que se cortan entre sí.

Marca con un mismo color los ángulos que midan lo mismo. ¿Por qué miden lo mismo? 2. Consigue un mapa de tu localidad, si no tienes dibuja uno, reprodúcelo en tu cuaderno usando rectas para representar las calles y contesta en él las siguientes preguntas: ¿Hay parejas de calles perpendiculares? Escribe algunas. ¿Hay parejas de calles paralelas? Escribe algunas. ¿Hay parejas de calles que no sean perpendiculares ni paralelas? Escribe algunas. 3. a) Traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O. ¿Cuánto mide el ángulo entre estas rectas? Ahora elige un punto P que no esté sobre las rectas y traza las perpendiculares a las rectas originales que pasan por P. Tendrás una figura parecida a la siguiente.

P O

¿Cuánto mide el ángulo que forman en P las perpendiculares que trazaste? ¿Hay alguna relación entre el ángulo de las rectas originales y el ángulo que forman las dos perpendiculares al cortarse, dado que ya conoces el ángulo O?

24

Bloque 1

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5/16/08 12:37:40 PM


>PARA TERMINAR b) De nuevo traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O. Ahora elige un punto Q sobre una de las rectas (distinto de O) y traza las perpendiculares a las rectas originales que pasan por Q. Contesta las preguntas del inciso anterior.

Q

O

c) Finalmente, traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O y las perpendiculares a éstas que pasan por O. Contesta las mismas preguntas de los incisos anteriores.

O

4. Dibuja en tu cuaderno un rombo cuyo lado mida 5 cm y una de sus diagonales mida 6 cm. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de tu rombo? Compara tu rombo con el de tus compañeros. ¿Cuáles son las diferencias entre los rombos que dibujaron? 5. Construye un rectángulo con uno de sus lados de 9 cm y una de sus diagonales de 12 cm. ¿A todos tus compañeros les salió el mismo rectángulo? ¿Cuánto mide el ángulo entre la diagonal y un lado? Compara tu resultado con el de tus compañeros. 6. Traza un triángulo ABC con el lado AB de 7.5 cm y el ángulo ABC de 35°. ¿Obtuviste el mismo triángulo que tus compañeros? ¿Cuánto mide el lado BC en tu triángulo? ¿Cuánto mide el ángulo BCA en tu triángulo? 7. Construye un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 cm, respectivamente. ¿Cuánto miden los ángulos de este triángulo? ¿Obtuviste las mismas respuestas que tus compañeros? 8. Dibuja en tu cuaderno un paralelogramo cuyos lados midan 6 y 5 cm, respectivamente. Mide los ángulos de este paralelogramo. ¿Obtuviste las mismas medidas que tus compañeros?

Torito El reloj de manecillas En un reloj de manecillas (horario y minutero), ¿cuántos grados recorre cada manecilla por minuto? ¿A qué horas coinciden las manecillas del reloj? ¿A qué horas apuntan las manecillas en sentidos opuestos? Si a cierta hora las manecillas forman un ángulo recto, ¿cuánto tiempo pasa hasta que vuelvan a formar un ángulo recto?

Lección 1

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> Los ángulos

25 5/16/08 12:37:41 PM


>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: 1. 2. 3. 4.

Qué son las rectas paralelas. Cómo medir ángulos. Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo. Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero.

SOL

5 7. 78 km

Alejandría

Siena

A

A pesar de su sencillez, las propiedades de los ángulos cortados por una transversal en una pareja de rectas paralelas tienen aplicaciones sorprendentes. Una de ellas es el cálculo de la circunferencia de la Tierra realizado por Eratóstenes (284 -192 a.n.e.).

> En esta lección, abordarás los temas de: • Establecimiento de las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. • Justificación de las relaciones existentes entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

26

Bloque 1

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5/16/08 12:37:43 PM


>1º 2> El tesoro perdido Dos jóvenes hallaron las instrucciones para encontrar un tesoro en una isla: “En la costa sur de la isla hay una palmera, un árbol seco y una roca. Se mide la distancia entre el árbol seco y la roca y se localiza el punto medio. Una persona parada en ese punto medio, mirando hacia el sur, gira 60 grados hacia la derecha y traza una línea imaginaria en esa dirección. Se mide también la distancia entre el árbol seco y la palmera y se localiza el punto medio. Otra persona parada en ese punto medio, mirando hacia el sur, gira 90 grados hacia la izquierda y traza una línea imaginaria en esa dirección. En el punto donde se cruzan las líneas imaginarias se encuentra el tesoro.” Copia el siguiente croquis en tu cuaderno y sigue las indicaciones para determinar el punto donde se encuentra el tesoro. Compara tu resultado con los de tus compañeros.

Árbol seco

Roca Palmera

Lección 2

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> El tesoro perdido

27 5/16/08 12:37:43 PM


Actividad colectiva

Cada integrante del equipo trace dos segmentos de recta que se corten. Llamen A, B, C y D a cada uno de los cuatro ángulos que se forman, como en la siguiente figura.

C

B

B

C

A

D

D

A

Mide cada uno de los ángulos de tu figura, ¿cuáles son iguales? ¿Todos encontraron las mismas parejas de ángulos iguales? ¿Cuánto miden A + B y B + C? ¿Por qué? Si A + B = B + C, ¿qué puedes decir acerca de A y C? ¿Cuánto miden B + C y C + D? ¿Por qué? Si B + C = C + D, ¿qué puedes decir acerca de B y D? ¿Dependen estas relaciones de cómo dibujaste los segmentos? Discute las conclusiones de tu equipo con el resto del grupo.

Actividad individual

Traza en tu cuaderno dos rectas no paralelas con color rojo, y tres rectas transversales (negra, azul y verde) que corten a las dos rojas. Etiqueta los ángulos A, B, C, D, E y F como en la siguiente figura.

C

E

A B

D

F

Prolonga las líneas rojas hasta que se corten, llama O al punto donde se cortan. Observa que las líneas rojas forman triángulos con las tres transversales y que los tres triángulos tienen un ángulo común en O. Ahora argumenta por qué A + B = C + D y C + D = E + F Discute tus argumentos con tus demás compañeros.

28

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 28

5/16/08 12:37:45 PM


A los ángulos que se forman entre dos rectas y una transversal se les acostumbra denominar en términos de las relaciones que guardan entre sí. Por ejemplo los ángulos A y E (o D y H, B y F, C y G) se llaman correspondientes. Los ángulos D y F (o C y E) se llaman alternos internos. Los ángulos A y G (o B y H) se llaman alternos externos. Los ángulos D y E (o C y F) se llaman colaterales internos y los ángulos A y H (o B y G) se llaman colaterales externos.

A

B

D

C

F G

E H

Cada integrante del equipo construye dos rectas paralelas, una transversal oblicua y una transversal perpendicular, parecidas a las de la siguiente figura.

Actividad colectiva

A

B

¿Cuánto suman los ángulos A y B? ¿A todos los integrantes del equipo les dio el mismo resultado? ¿Por qué? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero? Discute tus respuestas con los demás equipos.

Lección 2

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> El tesoro perdido

29 5/16/08 12:37:46 PM


>2º Actividad individual

Analiza la siguiente figura en la que D y E son ángulos suplementarios.

A

B

D

C

E

F

H G

¿Son paralelas las rectas rojas? ¿Por qué? ¿Cuáles de los ángulos de la figura son opuestos por el vértice? ¿Cuáles otros son suplementarios? Argumenta por qué A = C = E = G y B = D = F = H. Discute tus argumentos con el resto del grupo. Actividad individual

En un cuaderno, traza dos rectas que se corten en un punto O y sobre una de ellas localiza un punto P. Gira una regla alrededor del punto P, como en la siguiente figura.

Regla

B

A

F E

C P D

G O H

Observa los ángulos correspondientes A y E conforme gira la regla. ¿Hay alguna posición de la regla en que el ángulo A mida menos que el ángulo E? ¿Hay alguna posición en que mida más? ¿Hay alguna posición de la regla en que midan lo mismo? ¿Cuál es esa posición? Compara ahora una pareja de ángulos alternos internos y contesta las preguntas anteriores. Haz lo mismo para una pareja de ángulos alternos externos. Discute tus respuestas con tus compañeros.

30

Bloque 1

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5/16/08 12:37:46 PM


Discute con tus compañeros cuáles son las razones por las que sabemos que las rectas rojas de la siguiente figura no son paralelas aunque en el dibujo parezcan serlo.

Actividad individual

45°

136°

En una figura formada por un par de rectas paralelas y una transversal: Los ángulos correspondientes miden lo mismo. Los ángulos alternos internos miden lo mismo. Los ángulos alternos externos miden lo mismo. Los ángulos colaterales internos y los colaterales externos son suplementarios. En una figura formada por un par de rectas y una transversal, si ocurre que: Los ángulos correspondientes miden lo mismo, o Los ángulos alternos internos miden lo mismo, o Los ángulos alternos externos miden lo mismo, entonces las dos primeras rectas son paralelas entre sí. Traza en tu cuaderno un triángulo cualquiera. Procura que en tu equipo haya triángulos diferentes. En uno de los vértices, traza una paralela al lado opuesto y prolonga las rectas que pasan por los lados del triángulo, como se muestra en seguida:

Actividad colectiva

C

A B

Encuentra en esa figura parejas de ángulos que midan lo mismo, marcándolos con colores. Compara tus resultados con los de tus compañeros de equipo. ¿En todos los casos obtuvieron lo mismo? Usa la figura para mostrar que la suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo es 180°.

Lección 2

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> El tesoro perdido

31 5/16/08 12:37:47 PM


Copia en tu cuaderno la siguiente figura formada por 9 cuadriláteros iguales. El cuadrilátero que está en el centro tiene marcados sus cuatro ángulos A, B, C y D con colores. Ilumina los ángulos correspondientes de los cuadriláteros restantes, respetando los colores de cada uno de los ángulos.

Actividad individual

En cada uno de los vértices del cuadrilátero central concurren 4 ángulos. Describe qué colores tienen los ángulos que concurren (ángulos concurrentes) y cuánto suman los cuatro ángulos A, B, C y D. Comenta con tus compañeros las observaciones.

A B

D C

Si el cuadrilátero con ángulos A, B, C y D es un paralelogramo no rectángulo, construye una configuración como la anterior y describe cómo son los 4 ángulos que concurren en los vértices del paralelogramo central.

Aplicación Eratóstenes y el cálculo del radio de la Tierra

SOL ␣* 5 7. 78 km

Alejandría

Siena

A

A pesar de su sencillez, las propiedades de los ángulos cortados por una transversal en una pareja de rectas paralelas tienen aplicaciones sorprendentes. Una de ellas es el cálculo del radio de la Tierra realizado por Eratóstenes (284 – 192 a. n. e.). Él sabía que el día del solsticio de verano, los rayos del Sol caían verticalmente sobre la ciudad de Siena. El mismo día, los rayos del Sol formaban un ángulo ␣* con una línea vertical en la ciudad de Alejandría (que está aproximadamente en el mismo meridiano que Siena). Midió entonces el ángulo A. En lenguaje moderno, Eratóstenes estableció a continuación la proporción Distancia de Siena a Alejandría Medida del ángulo A

=

Circunferencia de la Tierra 360°

El método utilizado por Eratóstenes era correcto y aunque los datos que utilizó no eran muy precisos (debido a los instrumentos de medición de la época), calculó que el radio de la tierra era de 6,217.38 km. En la actualidad se ha calculado que el radio medio de la tierra mide 6,367 km. * Desde la época de los griegos −creadores de la Geometría−, se acostum-

bra denotar a los ángulos mediante letras griegas. ␣ (alfa) es la primera letra del alfabeto griego.

32

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 32

5/16/08 12:37:48 PM


>3º 1. En la siguiente figura, dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Encuentra las medidas de los ángulos marcados en el dibujo con base en la información proporcionada. ?

Actividad individual

?

120°

Si las rectas no fueran paralelas, ¿podrías determinar la medida de los ángulos? Analiza y discute la pregunta con tus compañeros. 2. Encuentra las medidas de los ángulos marcados en el siguiente dibujo con base en la información proporcionada.

? 108°

?

140°

3. El tangram es un juego de varias piezas que permiten construir figuras. El tangram clásico se construye, como en la siguiente figura, a partir de un cuadrado y tiene siete piezas, cinco triángulos y dos paralelogramos.

Encuentra en esta figura parejas de rectas paralelas. Usa esta información para encontrar parejas de ángulos que midan lo mismo. ¿Cuáles son las cuatro medidas posibles de ángulos en las piezas del tangram?

Lección 2

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> El tesoro perdido

33 5/16/08 12:48:37 PM


4. En el siguiente rectángulo, toma en cuenta la información para contestar, ¿cuál es la medida del ángulo FEC y por qué?

D

A 60° E

F

C

B

5. Dibuja en tu cuaderno una configuración similar a la siguiente: dos rectas paralelas y dos trasversales.

?

35° 75°

¿Puedes descubrir la medida de todos los ángulos de esta figura con los datos que se dan? ¿Cuánto mide el ángulo opuesto por el vértice de cada uno de los dos marcados en la figura? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? ¿Cuánto mide el ángulo señalado con interrogación en el dibujo? Copia el dibujo en tu cuaderno y escribe cuánto mide cada uno de los 20 ángulos que se forman en esta figura. Discute con tus compañeros los argumentos mediante los que fuiste descubriendo las medidas de los ángulos y compara tus resultados con los de ellos.

34

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 34

5/16/08 12:48:41 PM


>PARA TERMINAR 6 ¿Por qué son iguales los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo? 7. Si se sabe que la recta BD es bisectriz del ángulo ABC del siguiente cuadrilátero, descubre cuánto mide el ángulo ADB usando la información proporcionada en la figura. A D 130° 70°

B

C

8. ¿Qué construcciones auxiliares necesitamos para determinar el ángulo de intersección de las siguientes rectas si no podemos extender el dibujo para tener el punto de intersección?

Torito Copia la primera de estas figuras en una cuadrícula, con los colores que se indican. Luego recorta las piezas y forma la segunda figura.

Las dos figuras tienen la misma base y la misma altura, pero parecería que la primera tiene mayor área. ¿Por qué? Para saber qué ocurre, haz un dibujo grande y revisa si la primera figura realmente es un triángulo.

Lección 2

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 35

> El tesoro perdido

35 5/16/08 12:48:41 PM


>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: 1. 2. 3.

Qué son los números con signo y cómo se localizan en la recta numérica. Cómo se suman y restan los números con signo. Qué es el valor absoluto de un número.

> En esta lección, abordarás los temas de: • Problemas que impliquen la multiplicación y división de números enteros. • Problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y números decimales con signo.

36

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 36

5/16/08 12:48:43 PM


>1º 3> Multiplicación de números con signo En la recta numérica, ¿cuántas unidades debes recorrer para llegar desde el número 7 hasta el número –5? ¿En qué dirección debes moverte? ¿Cuál es el número entero que sumado a 8 da como resultado 0? 3 ¿Cuál es el número que sumado a 7 da como resultado el número - 2 ? Puedes contestar estas preguntas recordando lo que viste sobre los números con signo en tu primer año de secundaria y ayudándote de la recta numérica. Números negativos –8

–7

–6

–5

–4

Números positivos –3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

Al multiplicar un número entero por 2 y restar 4 al resultado de la multiplicación, se obtiene el número –10. ¿Cuál es el número original? Señala el número de la adivinanza en la siguiente recta numérica. –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

Actividad individual 2

3

4 5

6

7

8

9 10 11 12

Compara tu resultado con el de tus compañeros y comprueba tu resultado. Discute con tus compañeros cómo encontró cada uno el número. Observa que para adivinar el número, puedes contestar primero la pregunta, ¿cuál es el número entero que al restarle 4 da como resultado –10? Plantea una ecuación que represente esta última pregunta. Resuelve la ecuación y comenta con tus compañeros ¿cómo puede ayudarte el número que encontraste a resolver la adivinanza? Discute con tus compañeros cómo plantear la adivinanza mediante una ecuación de la forma ax – b = c. Resuelve la ecuación y responde la adivinanza. ¿Cuál es el número entero que al multiplicarlo por –3 y luego restarle 4, da como resultado el número – 10? Escribe una ecuación que represente esta nueva adivinanza.

Actividad individual

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 4 y luego sumarle 5 da como resultado 1? ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por (–5) y luego sumarle 3 da como resultado –7? Discute el procedimiento que seguiste con tus compañeros y compara tus resultados con los que se obtuvieron en el grupo. Plantea nuevas adivinanzas con números negativos.

Lección 3

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> Multiplicación de números con signo

37 5/16/08 12:48:46 PM


>2º Actividad individual

En la siguiente colección de números: 30, 27, 24, 21,..., ¿qué número sigue? Continúa la lista hasta que tenga 15 elementos. Escribe el décimo elemento de la lista como 30 + y. ¿Cuánto vale y para el décimo elemento? Escribe el decimoquinto elemento de la lista como 30 + y. ¿Cuánto vale y para el decimoquinto elemento? Discute tus respuestas con tus demás compañeros.

Actividad individual

¿Qué número sigue en esta colección? 4, 8, 12, 16,... ¿Cuál es el décimo número de esta lista? Escribe una expresión algebraica para el número que está en el lugar n de la lista. Ahora analiza la lista de números enteros: 3, 6, 9, 12, 15,... ¿Qué número sigue? ¿Cuál es el número que está en el décimo lugar? ¿Qué número ocuparía el lugar 100? Escribe una expresión algebraica para el número que ocupa el lugar n de la lista. ¿Reconociste en la lista anterior a los elementos de “la tabla de multiplicar del 3”? Ahora observa la lista: 2, 4, 6, 8, 10,... ¿Qué número sigue? ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 12? Has reconocido que ésta es la lista de números pares o los múltiplos de 2. ¿Cuál es el centésimo número par? Compara tus resultados con los del resto del grupo.

Actividad colectiva

En la colección de números: 20, 16, 12,... ¿cuál es el número que sigue? ¿Cuál es el número que está en el quinto lugar de esta colección? ¿Cuál es el número que está en el décimo lugar de esta lista? Representa, junto con tus compañeros de equipo, cada uno de los elementos de la lista en una recta numérica. ¿Tiene un último elemento esta lista? Discute con tus compañeros ¿por qué el número cero está en esta colección? Continúa esta lista. ¿Cuál número estaría en el lugar 11? ¿Y en el 12? Ahora observa la siguiente colección de números enteros: 15, 12, 9, 6,... Al continuar la lista, ¿qué número está en el quinto lugar? ¿Y en el sexto? ¿Está el número cero en la colección? Observa que los primeros elementos de esta lista son números que están en la tabla del 3 o que todos son múltiplos de 3. En la colección 10, 8, 6,... ¿cuál es el número que ocupa el lugar 6? ¿Cuál número estaría en el lugar 7? ¿Y en el 8? Compara tus resultados con los del resto del grupo.

38

Bloque 1

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5/16/08 12:48:47 PM


>3º Siguiendo el patrón de las listas de números que construiste en la actividad anterior, completa la siguiente tabla. 25

20

20

15

10

5

12

8

4

15

12

3

10

8

2

5

4

3

2

1

Actividad individual

0

0

¿Qué números colocarías en la parte vacía del último renglón? Expresa los números de la sección no coloreada de la tabla como producto de los dos números de la fila y la columna amarillas correspondientes, como en el siguiente ejemplo: 5 34 24

5

4

43

3

42

2

4

3

2

1

04

0

Expresa los números de la sección verde de la tabla como producto de los dos números de la fila y la columna amarillas correspondientes. Ahora llena los datos que faltan en la siguiente tabla: 5 12

5

8

4

12

3

8

2

4

3

2

1

0

0

-1

-2

-3

-4

-5

0 -1 -2 -3 -4 ¿Puedes expresar a todos los números de la tabla como producto de los números de la columna y el renglón amarillos correspondientes? Compara y discute con tus compañeros los resultados obtenidos. Escribe en tu cuaderno la “tabla extendida de la multiplicación” completa desde el 9 al –9.

Lección 3

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> Multiplicación de números con signo

39 5/16/08 12:48:48 PM


>4º Actividad individual

En una hoja de papel cuadriculado traza una recta numérica horizontal de color negro y una recta numérica de color rojo, perpendicular a la primera, como se muestra en la figura que está adelante. Traza la recta L que pasa por los puntos 1 negro y 2 rojo.

5 4 3 2 1 1

–5 –4 –3 –2 –1 –1

2

3

4

5

L

Traza tres rectas paralelas a L que pasen por los puntos 2, 3 y 4 del eje negro, respectivamente. ¿En dónde corta cada una de estas rectas a la recta roja? Completa la siguiente tabla suponiendo que trazaras paralelas a la recta L. Si la recta paralela a L pasa por el punto negro...

1

...corta a la recta roja en el punto...

2

2

3

4

5

6

7

Observa que esta tabla se puede leer como la tabla de multiplicar del 2. Ahora traza la recta que pasa por el –1 negro y que es paralela a L. ¿En qué punto corta a la recta roja? Completa la tabla. Si la recta pasa por el punto negro...

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

...corta a la recta roja en el punto...

Si trazas una recta paralela a L que pase por un número negro positivo, el número donde la paralela corta a la recta roja ¿es positivo o negativo? Si trazas una recta paralela a L que pase por un número negro negativo, el número donde la paralela corta a la recta roja ¿es positivo o negativo?

40

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 40

5/16/08 12:48:49 PM


Si trazaras una recta paralela a la recta L que pase por el punto negro –234, ¿en cuál punto cortaría esta recta a la roja? Responde sin trazar la recta. Completa la siguiente tabla. Si la recta pasa por el punto negro...

–234 –34 –1

...la recta corta a la roja en el punto...

0

1

0

2

21

65

¿Cuál es la regla de correspondencia que siguen las parejas de puntos de la tabla? Con base en esta regla, escribe una expresión algebraica que describa la correspondencia para cualquier número x negro. Discute tus respuestas con el resto del grupo. En un plano cartesiano, traza una recta L que pase por los puntos 1 negro y –3 rojo. 5 L

Actividad individual

4 3 2 1

L

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

–2 –3

Traza en el mismo dibujo rectas paralelas a ésta que pasen por los puntos -4, -3, -2, -1, 2, 3, 4, de la recta negra. Llena la siguiente tabla con los números donde corta cada una de estas rectas a la recta roja. Si la paralela a L pasa por el punto negro...

–4 –3 –2 –1

...corta a la recta roja en el punto...

0

1

0

–3

2

3

4

¿Qué regla de correspondencia sigue la colección de parejas obtenida? Escribe una expresión algebraica que exprese la correspondencia de la tabla para cada número x de la recta negra. Discute tus respuestas con el resto del grupo. Observa la tabla que has obtenido y discute con tus compañeros si se puede interpretar esta tabla como la tabla de multiplicar del –3. Si en la tabla ponemos el número –123, ¿qué número rojo le corresponde?

Lección 3

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> Multiplicación de números con signo

41 5/16/08 12:48:49 PM


Traza una recta paralela a L que corte a la recta negra en un número positivo, ¿qué signo tiene el número donde corta a la recta roja? Traza una recta paralela a L que corte a la recta negra en un número negativo, ¿qué signo tiene el número donde corta a la recta roja? Discute tus respuestas con tus demás compañeros. Actividad colectiva L

3 2

Traza en tu cuaderno un par de rectas, una roja y una negra, como en el dibujo de la izquierda. Traza la recta L que pasa por los puntos 1 negro, –1 rojo y las rectas paralelas a ésta que pasen por cada uno de los números negros indicados en la tabla. Completa esta tabla, con los puntos donde las rectas paralelas a L cortan a la recta roja.

1 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

–2

5

Si la paralela a L pasa por el punto negro...

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

...corta a la recta roja en el punto...

Ahora llena la siguiente tabla con los valores que se obtienen al construir las rectas paralelas que pasan por los puntos negros correspondientes. Si la paralela a L pasa por el punto negro...

–15 –11 –9

13

18

27

...corta a la recta roja en el punto...

¿Cuál es la regla de correspondencia de la tabla para cada número x de la recta negra? ¿Qué número le corresponde en la recta roja? Discute con tus compañeros las reglas de correspondencia obtenidas. Usando de nuevo la recta L que pasa por los números 1 de la recta negra y –1 de la recta roja, traza una recta paralela a ésta, que pase por un número positivo. ¿En dónde corta a la recta horizontal, en la parte positiva o en la parte negativa? Cuando trazas una recta paralela a ésta que pase por un número negativo, ¿dónde corta esa recta paralela a la recta horizontal? Discute con tus compañeros cómo pueden ayudar la recta L y sus paralelas a completar la tabla de multiplicar del –1. Actividad colectiva

42

Discute con tus compañeros de equipo ¿cuál es el signo del producto de dos números positivos?, ¿cuál es el signo del producto de dos números negativos? ¿Cómo se obtiene el producto de dos números con distinto signo? ¿Qué signo tiene este producto? Compara tus respuestas con las de los demás equipos.

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 42

5/16/08 12:48:50 PM


>5º Al dividir un número entero entre 4 y restar 7 al resultado de la división, se obtiene el número –12. ¿Cuál es el número original? Señala el número en la siguiente recta numérica.

–22 –20 –18 –16 –14 –12 –10 –8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

Actividad individual

10

12

14

16

18

20

22

Comprueba tu resultado y compáralo con el de tus compañeros. Discute con ellos cómo encontraron el número. Ahora formula la adivinanza mediante una ecuación de la forma:

a ax k - b = c Compara la ecuación que obtuviste con la de tus demás compañeros y comprueba que la solución que obtuviste antes es solución de la ecuación. Encuentra un número entero que dividido entre 11 dé como resultado –5. ¿Es un número positivo o negativo? Discute tu respuesta con tus compañeros del grupo.

Actividad individual

¿Cuál es el número entero que multiplicado por –4 da como resultado 48? Plantea una ecuación que represente esta pregunta y resuélvela. Comenta con tus compañeros cómo resolviste la pregunta. Discute con tus compañeros de equipo ¿cuál es el signo del cociente de dos números positivos?, ¿cuál es el signo del cociente de dos números negativos?

Actividad colectiva

¿Cómo se obtiene el cociente de dos números con distinto signo? ¿Qué signo tiene este cociente? Compara tus respuestas con las de los demás equipos.

Lección 3

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> Multiplicación de números con signo

43 5/16/08 12:48:51 PM


>6º 1. Para cada una de las siguientes colecciones (de la I a la V), escribe: a)

¿Cuál es el número que sigue?

b)

¿Cuál es el número que corresponde al décimo lugar de la lista?

c)

¿Cuál es el número que corresponde al lugar 18 de la lista?

I. –4, –8, –12,... II. –5.5, –11, –16.5,... III. 0, –15, –30,... 6 9 3 IV. - 5 , - 5 , - 5 ,... V. 1.2, –2.4, 3.6, –4.8,... 2.

¿A partir de qué valor de n ocurre que los valores de la expresión algebraica 25 – 4n son negativos?

3.

Encuentra los números que deben estar al final de las ramas del siguiente árbol, sabiendo que para avanzar de rama en rama tienes que multiplicar los números indicados.

×

2.5

=

8.5

=

–13

=

–2

=

4 ×

×

–11 ×

× –6

×

4.

Encuentra el producto de cada renglón, cada columna y cada diagonal para los números del siguiente arreglo. =

44

–3

–5

10

=

7

–8

15

=

–12

–13

–7

=

=

=

=

=

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 44

5/16/08 12:48:52 PM


5. ¿Cuál es el resultado de las siguientes multiplicaciones? a)

1  (–2)=

b)

1  (–2)  3 =

c)

1  (–2)  3  (–4) =

d) 1  (–2)  3  (–4)  5 = e) 6.

Si continúas con este patrón, ¿cuánto vale la multiplicación hasta el número (–10)?

¿Cuál es el resultado de las siguientes multiplicaciones? a)

1 1 1 (- 2 )  (- 2 )  ( 2 ) =

b)

1 1 1 (- 2 )  ( 2 )  (- 2 ) =

c)

1 1 1 (- 2 )  (- 2 )  ( 2 ) =

1 1 1 d) (- 2 )  (- 2 )  (- 2 ) = 7.

En los siguientes dibujos, a cada flecha horizontal se le da el valor -1 y a cada flecha vertical el valor 1, ¿cuál es el valor de cada uno de los siguientes caminos para llegar de A a B si multiplicas los valores de las flechas que usas? A

A

B

B

8.

Si ahora asignas el valor 1 a las flechas horizontales y el valor –1 a las verticales, ¿cuánto vale cada uno de los caminos del problema anterior?

9.

En un plano cartesiano: a)

Localiza los 9 puntos de coordenadas: (2,1), (4,1), (4,2), (5,3), (4,6), (4,7), (3,8), (2,7) y (2,1).

b)

Haz un dibujo uniendo en el orden indicado los 9 puntos que localizaste y cierra la figura.

c)

Multiplica por –1 cada una de las coordenadas de los 9 puntos y obtendrás otros 9 puntos.

d) Localiza los nuevos 9 puntos en el mismo plano cartesiano. e)

¿Qué figura obtendrás al unir en el orden indicado los nuevos puntos?

Lección 3

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 45

> Multiplicación de números con signo

45 5/16/08 12:48:52 PM


10. Localiza en un plano cartesiano los siguientes 6 puntos: (3,0), (4,1), (5,0), (5,4), (4,6) y (3,4). Une en el orden indicado los 6 puntos que localizaste y cierra la figura. ¿Qué figura obtendrás si multiplicas por –2 cada una de las coordenadas de los 6 puntos y luego unes los puntos obtenidos? 11. Traza en tu cuaderno una recta numérica horizontal de color negro y perpendicular a ella otra recta numérica de color rojo. Traza una recta L que pase por los puntos –7 rojo y 1 negro. Auxiliándote de la recta L encuentra en la recta roja los siguientes productos: a)

(–7)(3.5)=

b) (–2.5)(–7)=

c) (–7)(–1.8)=

2 d) ( 21 )(–7)=

1 e) (–7)(- 3 )=

3 f) (- 28 )(–7)=

12. Observa los siguientes planos cartesianos y las rectas trazadas en ellos. x 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

1

2

3

4

5

6

2x

–2

x

–3

6 5 4 3 2

x 2

1 –3 –2 –1 –1

1

2

3

–2

46

a)

Si trazaras la recta paralela a la recta azul que pase por el punto 3 negro, ¿en qué punto cortaría a la recta roja y por qué?

b)

Si trazaras la recta paralela a la verde que pase por el punto 4 negro, ¿en qué punto cortaría a la recta roja y por qué?

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 46

5/16/08 12:48:53 PM


>PARA TERMINAR 13. Resuelve las ecuaciones siguientes y compara tus resultados con los de tus compañeros. a) (–5)x = 15

b) (–2)(4) = x

c) –18 ÷ x = –6

d) x ÷ 60 = –35

e) (–1)x = –8

f) (–8)x = 8

14. Encuentra dos parejas de números enteros que satisfagan el enunciado “El producto de dos números enteros es – 24”. 15. ¿Qué número entero es –(–12)?

Torito ¿Es posible escribir un signo + o un signo – en cada uno de los espacios indicados de manera que se cumplan las siguientes igualdades? 1

2

3

4

5

6

7

8

9 = –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9=0

1

2

3

4

5

6

7

8

9=1

Lección 3

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> Multiplicación de números con signo

47 5/16/08 12:48:54 PM


>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: 1. 2.

Operaciones de suma, resta y multiplicación de números con signo. Qué son las expresiones algebraicas.

Central de autobuses del sur. Ciudad de México.

> En esta lección, abordarás los temas de: • Solución de problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. • Reconocimiento y obtención de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

48

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 48

5/16/08 12:48:56 PM


>1º 4> Cada quién con su cada cuál

Un autobús sale de su base con P pasajeros. En la siguiente parada sube un número de pasajeros igual al triple de los que había originalmente y en la siguiente parada baja la mitad de los pasajeros originales y suben 2 más. Escribe una expresión algebraica que represente la cantidad de pasajeros con los que llegó el autobús a la terminal. Recuerda que una expresión algebraica es una combinación de números y literales relacionados mediante operaciones aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos más o menos se llaman términos de la expresión.

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala con los datos del problema anterior.

Cantidad de pasajeros al inicio

Cantidad de pasajeros después de la primera parada

Cantidad de pasajeros después de la segunda parada

12

32

37

Un autobús sale de su base con h hombres y m mujeres. En la primera parada sube el doble de las mujeres que había originalmente y otros h hombres. En la segunda parada se baja la mitad de las mujeres que salieron de la base y suben 5 hombres.

Actividad colectiva

Escribe una expresión algebraica para representar las siguientes cantidades: •

La cantidad de mujeres que quedan en el autobús

La cantidad de hombres que quedan en el autobús

El total de pasajeros que quedan en el autobús

Lección 4

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> Cada quién con su cada cuál

49 5/16/08 12:49:51 PM


Si el número original de mujeres era 12, ¿cuál es la expresión algebraica que representa el total de pasajeros que queda en el autobús? Analiza con tus compañeros de equipo qué sucedió en cada parada si las expresiones algebraicas del recorrido son las siguientes:

Cantidad de pasajeros al inicio

Cantidad de pasajeros después de la primera parada

Cantidad de pasajeros después de la segunda parada

1 1 h– m 2 3

1 1 h + m + 2h – h – m 3 2 –2h + 3m

h+m

h + m + 2h –

h+m

h + m + 5m – 2 m – h

h + m + 5m – 2 m – h + 2h – 2m

Si h = 10 y m = 12 ¿cuántos pasajeros quedan al final del recorrido? ¿Cuántos de ellos son mujeres y cuántos son hombres? Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros. Actividad individual

Escribe una expresión algebraica que represente el área de cada una de las figuras siguientes, si el lado del primer cuadrado mide a. a

50

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 50

5/16/08 12:49:56 PM


¿Qué expresión algebraica representa el área de las tres figuras? Escribe una expresión algebraica que represente el área de cada una de las siguientes figuras. a b

¿Qué expresión algebraica representa el área de las tres figuras? Dos términos de una expresión algebraica son semejantes si tienen la misma parte literal. Por ejemplo, en la expresión algebraica 3h – 2m + 1 h + 4m + 5m2, los tér2 minos 3h y 1 h son semejantes y también lo son los términos –2m y 4m; 2 pero no son semejantes los términos –2m y 5m2. En la expresión 3a2 + 2ab – a2 – 7ab + 5a2b2 , los términos 3a2 y – a2 son semejantes y también lo son 2ab y – 7ab ; pero no son semejantes 3a2 y 2ab, ni tampoco – 7ab y 5a2b2. Si la base de un rectángulo mide 6 cm y la altura mide el doble de la base ¿cuánto mide el perímetro de este rectángulo?

Actividad individual

Si la base de un rectángulo mide a cm y la altura mide el doble de la base, escribe una expresión algebraica que represente el perímetro de este rectángulo. ¿Cuántos términos tiene tu expresión? ¿Son todos semejantes? ¿Puedes representar el perímetro con una expresión de un solo término? Recuerda que a + a = 2a y que 2a + a = 3a, etcétera. Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.

Lección 4

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> Cada quién con su cada cuál

51 5/16/08 12:49:57 PM


>2º Actividad individual

Un profesor quiere repartir entre un grupo de alumnos una bolsa de galletas. El profesor les dice: “Si les diera 7 galletas a cada uno, sobrarían 9, pero si les diera 10 a cada uno, me faltarían 6”. Si x es el número de estudiantes y se repartieran 7 galletas a cada uno, ¿cuántas galletas se habrían repartido? Si después de este reparto sobraran 9 galletas, ¿cuál expresión algebraica representa el número total de galletas? Si x es de nuevo el número de estudiantes y se repartieran 10 galletas a cada uno, ¿cuántas galletas se habrían repartido? Escribe una expresión algebraica para el número total de galletas, si faltaran 6 galletas para realizar este reparto. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala con los valores numéricos de las expresiones algebraicas que obtuviste. Si el número de estudiantes es…

2

3

4

5

6

Al repartir 7 galletas a cada uno, sobrarían 9 galletas. ¿Cuántas galletas había en un principio?

Al repartir 10 galletas a cada uno, faltarían 6 galletas. ¿Cuántas galletas había en un principio?

Continúa agregando las columnas necesarias en la tabla hasta encontrar el número de estudiantes participantes en el reparto y el número total de galletas. Actividad colectiva

52

En la papelería de la escuela, Guadalupe compró 4 cuadernos y 3 lápices, Laura compró 3 cuadernos y 5 mapas, Luis compró 2 mapas y 3 plumas y Alejandro compró 2 plumas, un cuaderno, una goma y 2 mapas.

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 52

5/16/08 12:49:57 PM


El precio de un cuaderno es C pesos, el de un lápiz es L pesos, el de un mapa M pesos, el de una goma es de G pesos y el de una pluma es P pesos. Escribe una expresión algebraica que represente la cantidad de pesos que gastaron entre todos. ¿Cuántos términos tiene tu expresión? ¿Cuáles de ellos son semejantes? Escribe la expresión usando el menor número posible de términos. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Una aplanadora apisona una carretera a razón de x kilómetros por hora y trabaja 8 horas diarias. ¿Cuántos kilómetros apisona en una hora? Si el siguiente segmento representa los kilómetros que apisona en 8 horas, ¿qué representa cada una de las partes en que queda dividido el segmento?

Actividad colectiva

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala. Tiempo en horas

Kilómetros que apisona

1 2 3 4 5 6 7 8

Lección 4

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> Cada quién con su cada cuál

53 5/16/08 12:49:58 PM


Compara tus resultados con los de tus compañeros y contesta lo siguiente. Escribe una expresión algebraica para la cantidad de kilómetros que apisonará la aplanadora en dos jornadas de 8 horas de trabajo. ¿Cuántos kilómetros apisona en media hora? Si la aplanadora trabaja una hora y media más, extiende el segmento y dibuja sobre éste los kilómetros apisonados en este tiempo. ¿Cuántos kilómetros apisonó la aplanadora? Encuentra una expresión para el número de kilómetros que apisona la aplanadora en 4 jornadas de 8 horas. De lunes a viernes se trabaja la jornada completa de 8 horas y el sábado sólo se trabajan 4 horas. Escribe una expresión algebraica para representar la cantidad de kilómetros apisonados en la semana. ¿Cuántos términos tiene tu expresión? ¿Puedes escribirla con un solo término? Actividad individual

La compañía constructora tiene 4 aplanadoras que apisonan la tierra a razón de x kilómetros por hora y otras 2 que apisonan a razón de y kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros apisonan las 6 aplanadoras en una jornada de trabajo de 8 horas? Ya conoces cuántos kilómetros apisona en una jornada de 8 horas una aplanadora del primer tipo. ¿Cuántos kilómetros apisonan las 4 máquinas del mismo tipo? Observa que la expresión algebraica que obtuviste sólo utiliza la letra x. Si una aplanadora del segundo tipo trabaja a razón de y kilómetros por hora, ¿cuántos kilómetros apisona en 8 horas? ¿Cuántos kilómetros apisonan entre las dos aplanadoras de este tipo en 8 horas? Escribe una expresión algebraica que represente el número de kilómetros apisonados por las seis aplanadoras en una jornada de trabajo de 8 horas. Compara y comenta tus resultados con tus compañeros. Si una máquina del segundo tipo apisona más kilómetros que una máquina del primer tipo en una hora, la expresión y – x indica cuánto más aplanó una máquina del segundo tipo. Observa que la expresión algebraica obtenida utiliza x y y.

54

Bloque 1

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5/16/08 12:49:59 PM


En el dibujo siguiente se presenta una situación particular en una jornada, donde y es 10% mayor que x. Como 0.1x es una expresión para el 10% de x, una igualdad que refleja esta relación es y = x + 0.1x.

Actividad individual

x y ¿Cuántos kilómetros más apisona una máquina del segundo tipo en toda la jornada? En el siguiente dibujo se comparan los kilómetros apisonados por las aplanadoras a lo largo de la jornada de 8 horas. x y En la siguiente tabla se tiene los kilómetros apisonados por cada máquina a lo largo de la jornada. Complétala y discute los resultados obtenidos con tus compañeros. Número de horas

Kilómetros apisonados por una máquina del primer tipo

Kilómetros apisonados por una máquina del segundo tipo

Kilómetros adicionales que apisonó una máquina del segundo tipo

1 2 3

3x

4 5

5.5 x

6 7

0.7 x

8 La suma (o resta) de términos semejantes es un término cuya parte literal es igual a la de los términos originales y cuya parte numérica es la suma (o resta) de las partes numéricas de los términos originales. Una expresión algebraica se simplifica agrupando los términos semejantes y realizando la suma (o resta) de estos términos.

Lección 4

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> Cada quién con su cada cuál

55 5/16/08 12:49:59 PM


Por ejemplo: a) 5.3u – 2.1u es igual a 3.2u y se escribe 5.3u – 2.1u = 3.2u. b) Para sumar la expresión 3x + 2y con la expresión 5x + 4y, es decir, para realizar la operación (3x + 2y) + (5x + 4y), primero agrupamos los términos semejantes y después efectuamos las operaciones. Sumamos las x con las x y las y con las y. (3x + 2y) + (5x + 4y) = 3x + 5x + 2y + 4y = 8x + 6y semejantes semejantes

c) Para restar 7y – 2x de 4x + 5y, esto es, para realizar la operación (4x + 5y) – (7y – 2x) primero se agrupan los términos semejantes que se van a restar, 4x – (–2x) y 5y – 7y y se hacen las operaciones indicadas. Recuerda que 4 – (–2) = 6 y 5 – 7 = –2; por lo tanto, 4x – (–2x) = 6x y 5y – 7y = –2y de modo que el resultado es (4x + 5y) – (7y – 2x) = 4x – (–2x) + 5y – 7y = 6x – 2y semejantes

Actividad individual

semejantes

Simplifica las siguientes expresiones agrupando los términos semejantes. 4a + 2a = 7b – b = 4c – 3c + 2c = 4e – 2 – 3e + 5 = (x – 3y) – (2x – y) = (3x + 2y) + (4x + 3y) = (4x + 8y) – (3x – 2y) = 3a + 4b + 2a + 3b + a = 4x + 5y + 2 – 3x + 2y – 6 + 2y =

56

Bloque 1

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5/16/08 12:50:00 PM


>3º La siguiente figura es un rectángulo formado de 20 cuadraditos de área T cada uno.

Actividad individual

Escribe una expresión algebraica para el área del rectángulo usando el área T de los cuadraditos.

El rectángulo siguiente está coloreado con gris y con azul; escribe una expresión algebraica para el área del rectángulo usando la suma de las áreas de la región gris más el área de la región azul.

=

+

Ahora el rectángulo está dividido en tres piezas. Escribe una expresión algebraica para el área del rectángulo como la suma de las áreas de cada una de las piezas del rompecabezas.

=

+

+

Haz 3 rompecabezas diferentes a los anteriores y escribe una expresión algebraica para el área del rectángulo como la suma de las áreas de cada una de las piezas del rompecabezas.

Dos expresiones algebraicas son equivalentes si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor que demos a las literales. Por ejemplo, 20T, (16T + 4T), (24T – 4T), (10T + 10T) y (18T + 7T – 5T) son expresiones algebraicas equivalentes.

Lección 4

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> Cada quién con su cada cuál

57 5/16/08 12:50:01 PM


Actividad individual

La siguiente figura es un triángulo equilátero de área A y está dividida en 9 partes iguales como se muestra.

Escribe una expresión algebraica para el área de cada uno de los triangulitos, usando el área A del triángulo grande. Escribe una expresión algebraica para el área del triángulo como la suma de las áreas de los triangulitos. Ahora el triángulo está dividido en dos piezas, la violeta y la azul, escribe una expresión algebraica para el área de cada una de estas piezas.

Escribe una expresión algebraica para el área del triángulo grande como la suma de las áreas de las piezas. Por último, el triángulo está coloreado con rojo, verde y morado. Escribe una expresión algebraica para el área de cada una de estas piezas.

Escribe una expresión algebraica para el área del triángulo como la suma de las áreas de las tres piezas. Haz 3 rompecabezas diferentes a los anteriores y escribe una expresión algebraica para el área del triángulo como la suma de las áreas de cada una de las piezas de tus rompecabezas.

58

Bloque 1

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5/16/08 12:50:01 PM


Compara con tus compañeros los rompecabezas que diseñaron y las expresiones algebraicas que obtuvieron. En el siguiente dibujo se tiene un rectángulo cuya base es x + 1 y su altura es 2. ¿Cuál es el área de este rectángulo? x 1

Actividad colectiva

1

1

1

1

1

= 1 x

1

x

1

El rectángulo está conformado por cuatro piezas, dos rectángulos y dos cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones de cada una de estas figuras? ¿Cuáles son sus áreas? Escribe con estas cuatro áreas una expresión equivalente al área del rectángulo original.

En la siguiente figura se tiene un rectángulo de base x + 1 y altura x. ¿Cuál es el área del rectángulo? Este rectángulo se puede separar en dos piezas: la primera es un cuadrado y la segunda un rectángulo. Escribe las expresiones algebraicas del área de cada una de estas figuras.

x

=

x x

x

1

x

1

Lección 4

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> Cada quién con su cada cuál

59 5/16/08 12:50:02 PM


>4º 1. Un paquete tiene 9 piezas de chocolate. ¿Cuántas piezas de chocolate hay en: a) 3 paquetes? b) 15 paquetes? c) Escribe una expresión algebraica para el número de piezas de chocolate que hay en a paquetes. 2.

Si la edad de Leticia es t años, escribe una expresión algebraica para el número de años: a) Que tendrá dentro de 4 años, b) Que tuvo hace 2 años, c) Que tendrá dentro de x años.

3.

Escribe una expresión algebraica para la suma de tres veces x y dos veces y.

4.

Pedro tiene x discos y Laura tiene y discos más que Pedro. Escribe una expresión algebraica para la cantidad de discos que tiene Laura.

5.

Si las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos, a) ¿cuál es una expresión algebraica para el perímetro del triángulo? b) ¿hay alguna terna de números consecutivos con la cual no se pueda construir un triángulo? ¿Cuál? ¿Por qué?

6.

Una tienda vende bolsas con n dulces cada una. a) Si compras 7 de esas bolsas, ¿cuántos dulces tienes en total? b) Supón que abriste una de estas bolsas y te comiste 5 dulces. Escribe una expresión algebraica para la cantidad de dulces que te quedó. c) Después regalaste 3 de tus bolsas. Escribe una expresión para la cantidad de dulces que te sobró.

7.

Un libro de cocina trae las siguientes instrucciones para cocinar un pollo: a) Se calienta el horno durante 20 minutos, se mete el pollo al horno y se hornea durante 45 minutos por cada kilogramo de pollo. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el tiempo que debe estar prendido el horno para x kilogramos de pollo? b) Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala: Kilogramo de pollo

Tiempo en el horno en minutos

2.3 3.8 110

60

Bloque 1

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5/16/08 12:50:03 PM


8.

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala obteniendo los valores numéricos de las expresiones algebraicas, si x vale lo que se indica en la primera columna.

x

3x

3x + 4

7x – 2

–4x – 1

–2 –1.2 2.3 3 5 a 9.

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala, escribiendo en cada cuadro la suma del término que está en la parte superior de la columna y el término que está en la parte extrema izquierda del renglón donde está el cuadro. Observa el ejemplo, donde 10x = 9x + x.

+

x

5x

8x

–x

3x 9x

10x

–2x –4x 2.5x 10. Completa la siguiente tabla, escribiendo en cada cuadro la resta del término que está en la parte superior de la columna menos el término que está en la parte extrema izquierda del renglón donde está el cuadro. Observa el ejemplo, donde –3x – (2x) = –5x.

8x

2x

6x

5x

9x

–3x

–5x

0.5x –2.3x 4x 3x

Lección 4

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> Cada quién con su cada cuál

61 5/16/08 12:50:03 PM


11. Simplifica las siguientes expresiones agrupando términos semejantes. 4a + 7a =

7P + 2Q + 5Q – 3P =

5b – 4b =

9x – 7x + 2y – x –5y + 1 =

4b – 5b =

7x + 11x – 3x + 9y – 25 =

a + 3b + a =

11a + 13b + 23a – 17b =

12a + 4b – 1 + 3a – b – 5 =

3u + 8v – 5u + 34v – 11 =

12. Los puntos A, B, C y D representan 4 ciudades que están alineadas. La distancia entre B y C es el doble de la distancia entre A y B. La distancia entre C y D es la misma que hay entre B y C. A

B

C

D

a)

Si la distancia entre A y B es de u km, ¿cuál es la distancia entre B y C? y ¿cuál es la distancia entre A y D?

b)

Si la distancia entre B y C es de v km, escribe una expresión algebraica para la distancia entre A y B.

c)

Si la distancia entre A y D es de 340 km, ¿cuál es la distancia entre B y C?

13. Escribe en cada uno de los paréntesis la letra de las expresiones de la izquierda que sea equivalente a la expresión de la derecha:

62

a)

5x

5a – 7a + 10a

(

)

b)

4a + 2b – 2

5x2 – 2 + 2x2 + 3

(

)

c)

a+b–5

1 2 1 1 2 2 3x + 3 + 6 x + 3

(

)

d)

8a

2x + 3x

(

)

e)

x(x + 1)

6 8 8 a - 5 + 20 b - 2

(

)

f)

7x2 + 1

a + 3b + 6 + 3a – b – 8

(

)

g)

0.5x2 + 1

1 + x + 3x + 5y – 1 + 2y

(

)

h)

3 2 4a + 5b - 7

4b – 6a – 3 – 3b + 7a – 2

(

)

i)

4x + 7y

x2 + x

(

)

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 62

5/16/08 12:50:04 PM


>PARA TERMINAR 14. Escribe una expresión algebraica para el área del rectángulo mediante la suma de las expresiones de las áreas de cada una de las piezas que lo conforman. a)

x

=

x

1

x

1

x

x

1

x

1

1

b)

x

=

x

1

1

1

x

x

x

1

15. Dibuja un rectángulo y haz un rompecabezas para encontrar expresiones equivalentes a cada una de las siguientes expresiones: a) 2(x + 3) b) 2x(x + 4) c) 4(3x + 1) d) x(2x + 3) e) 4x(x + 1)

Torito Mi hermana me lleva 8 años. ¿Dentro de cuántos años su edad será el doble de la mía, si hace 3 años era el triple?

Lección 4

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 63

> Cada quién con su cada cuál

63 5/16/08 12:50:05 PM


>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: 1. 2. 3.

Qué es una relación de proporcionalidad directa. Qué es el factor de proporcionalidad. Cómo es la gráfica de una relación de proporcionalidad directa.

Los mapas son representaciones a escala de lugares como ciudades, países y continentes.

> En esta lección, abordarás los temas de: • Determinación del factor inverso dada una relación de proporcionalidad y del factor de proporcionalidad fraccionario. • Elaboración y utilización de procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

64

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 64

5/16/08 12:50:06 PM


>1º 5> Proporcionalidad al derecho y al revés Los planos y mapas son representaciones a escala de casas, edificios, ciudades, países y continentes, entre otros. Para dibujar un plano de tu salón, mide su largo y ancho. Elige con tu equipo una escala adecuada, de modo que todo el plano quepa en una hoja de cuaderno. ¿Cuánto mide el largo de tu salón? ¿Cuánto mide el ancho de tu salón? ¿Qué escala elegiste con tu equipo? ¿Qué significa esa escala? ¿Cuánto debe medir el largo de tu plano? ¿Y el ancho? Completa la siguiente tabla: Si una distancia en el salón (medida en cm) es de …

50

100

150

200

250

300

… la distancia en el plano (medida en cm) será de …

Haz con tu equipo un plano del salón con la escala elegida. Si x es la distancia entre dos puntos del salón medida en centímetros y y es la distancia entre los puntos correspondientes en el plano, medida también en centímetros, escribe y en términos de x. Verifica con tu equipo que el plano tenga las medidas correctas, contestando preguntas como las siguientes: ¿Cuánto mide en el plano la longitud que representa el largo del pizarrón? De acuerdo con la escala utilizada, ¿cuánto debe medir el largo del pizarrón? Compara los resultados de tu equipo con los demás equipos. Ubica en el plano dos bancas del salón. ¿Cuánto mide en el plano la longitud que representa la distancia entre estas bancas? ¿Cuánto mide esta distancia en el salón?

Actividad colectiva

Completa la siguiente tabla: Si una distancia en el plano (medida en cm) es de …

1

2

3

4

5

… la distancia en el salón (medida en cm) será de …

Si x es la distancia entre dos puntos del salón medida en centímetros y y es la distancia entre los puntos correspondientes en el plano, medida también en centímetros, escribe x en términos de y.

Lección 5

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> Proporcionalidad al derecho y al revés

65 5/16/08 12:50:39 PM


Recuerda que la expresión algebraica de una relación de proporcionalidad directa entre dos cantidades se puede escribir como y = kx, donde x y y son las cantidades que varían y k se llama factor o constante de proporcionalidad. En el ejemplo del plano del salón, ¿es cierto que las distancias en el plano varían en forma directamente proporcional a las distancias en el salón? En ese caso, ¿cuál es el factor de proporcionalidad? Además, ¿es cierto que las distancias en el salón varían en forma directamente proporcional a las distancias en el plano? En ese caso, ¿cuál es el factor de proporcionalidad? Compara los resultados de tu equipo con los de los demás equipos. Actividad individual

Escala 1:25 000 000

0

250 500 km

En la figura aparece un mapa de Europa. ¿Qué significa la escala utilizada en el mapa? Ubica las ciudades de Berlín y París y mide la distancia entre ellas en el mapa. ¿Cuál es la distancia aproximada entre estas ciudades? ¿Cuál es la distancia aproximada entre las ciudades de Madrid y Barcelona? Compara tus resultados con los de tu compañeros.

66

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 66

5/16/08 12:50:42 PM


Claudia compra bolsas grandes de dulces y prepara bolsas pequeñas para ven3 der al menudeo. Cada bolsa grande contiene 4 kg de dulces y en cada bol1 sa pequeña pone 4 kg de dulces. ¿Cuántas bolsas pequeñas puede llenar con

Actividad individual

una bolsa grande? ¿Y con dos? Completa la tabla siguiente.

Número de bolsas grandes

1

2

3

4

5

6

7

8

Número de bolsas pequeñas

Expresa con palabras la relación que observas entre el número de bolsas grandes y el número de bolsas pequeñas. Si x es el número de bolsas grandes y y es el número de bolsas pequeñas, expresa la cantidad y en términos de x. ¿Es cierto que el número de bolsas pequeñas varía en forma directamente proporcional al número de bolsas grandes? En ese caso, ¿cuál es el factor de proporcionalidad? Compara tus resultados con los de tus demás compañeros. Utiliza la tabla anterior para localizar los puntos correspondientes en un plano cartesiano como el siguiente.

8 7 6 5 Número de bolsas pequeñas 4 3 2 1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

Número de bolsas grandes

¿Están alineados los puntos que obtuviste?

Lección 5

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> Proporcionalidad al derecho y al revés

67 5/16/08 12:50:45 PM


Actividad individual

Si Claudia recibe un pedido de 15 bolsitas, ¿cuántas bolsas grandes debe comprar? Completa la siguiente tabla. Número de bolsas pequeñas solicitadas

3

6

9

12

15

18

21

24

Número de bolsas grandes necesarias

¿Cuántas bolsas grandes necesitará para un pedido de 30 bolsitas? Si x es el número de bolsas grandes y y es el número de bolsas pequeñas, expresa la cantidad x en términos de y. ¿Es cierto que el número de bolsas grandes varía en forma directamente proporcional al número de bolsas pequeñas? En ese caso, ¿cuál es el factor de proporcionalidad? Compara tus resultados con los de tu compañeros. Utiliza la tabla anterior para localizar los puntos correspondientes en un plano cartesiano como el siguiente.

5 Número de bolsas grandes

4 3 2 1 0 1

2

3

4

5 6 7 8 9 Número de bolsas pequeñas

10

11

12

¿Están alineados los puntos que obtuviste? Una relación de proporcionalidad directa entre dos cantidades x y y se puede escribir como y = kx o bien como x = 1 y k lo cual dice que si una cantidad es directamente proporcional a otra con factor k, entonces la segunda cantidad es directamente proporcional a la primera con factor 1 . Decimos que 1 es el factor de proporcionalidad k k inverso de k. La gráfica de una relación de proporcionalidad directa entre dos cantidades es una colección de puntos alineados con el origen del plano cartesiano.

68

Bloque 1

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5/16/08 12:50:46 PM


>2º Traza en tu cuaderno un plano cartesiano, con una recta roja y otra recta negra, perpendiculares entre sí. Actividad individual 3 2 1 0

1

2

3

3 Ubica el punto 4 en la recta roja y traza una recta de color verde que pase por 3 el punto 1 (negro) y el punto 4 (rojo). 3 2 L

1 3 4 1

2

3

Llama L a la recta que trazaste. Dibuja una recta paralela a L, que pase por el punto 2 (negro). ¿Dónde corta esta paralela a la recta roja? Traza otra recta paralela a L, que pase por el punto 3 (negro). ¿Dónde corta esta paralela a la recta roja? Si continuamos esta secuencia, trazando una recta paralela a L que pase por el punto 7 (negro), ¿en qué punto cortará esa recta a la roja? Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala. Si la recta paralela a L pasa por…

1

…entonces esa recta corta a la línea roja en…

3 4

2

3

4

5

6

7

8

Compara tus resultados con los de tu demás compañeros. ¿La relación entre los renglones de la tabla anterior es una relación de proporcionalidad directa? En ese caso, di cuál es el factor de proporcionalidad. Escribe una expresión algebraica que represente la relación. Analiza y discute con tus compañeros la respuesta.

Lección 5

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> Proporcionalidad al derecho y al revés

69 5/16/08 12:50:47 PM


Actividad colectiva

Traza un plano cartesiano como el de la actividad anterior, con una recta roja 3 y otra negra. Traza la recta L que va del punto 1 negro al 4 rojo. Ahora traza una recta paralela a L que pase por el punto 1 rojo. ¿Dónde corta esta recta a la recta negra? 3

2

L 1 3 4 1

2

3

Para determinar con precisión dónde corta la recta verde paralela a L a la recta negra, copien en su cuaderno la siguiente tabla y llenen los datos que faltan.

Si la recta paralela a L pasa por el punto rojo

1

2

3

4

5

6

7

8

…entonces esa recta corta a la línea negra en…

Analiza qué tiene que ver esta tabla con la anterior. ¿La relación expresada en esta tabla es una relación de proporcionalidad directa? En ese caso, ¿cuál es el factor de proporcionalidad? Observa que si dos cantidades tienen una relación de proporcionalidad directa, como por ejemplo 3 y = 4 x, y o bien, como entonces x se puede expresar en términos de y como x = 3 4 habrás observado en la tabla, x = 3 y. 4 3 Es decir, si y se obtiene al multiplicar a x por 4 , entonces x se obtiene al divi3 3 dir y entre 4 , o bien multiplicar y por el inverso de 4 . Recuerda que el resultado de la división de un número entre una fracción a b es igual al resultado de la multiplicación del número por el inverso b a de la fracción.

70

Bloque 1

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5/16/08 12:50:48 PM


>3º En un almacén se guardan cajas de diferentes tamaños.

Actividad individual

Las cajas se acomodan en hileras. En esta figura aparece una hilera de 5 cajas de 5 por 4 por 3 dm.

3 dm Largo = 5 dm 4 dm

¿Cuál es el largo total de la hilera de 5 cajas? ¿Cuál es el volumen total de las 5 cajas?

Número de cajas

1

2

3

4

5

Volumen total (dm3)

Si llamamos V al volumen de una sola caja y n al número de cajas en la hilera, ¿cuál es una expresión algebraica para el volumen total de la hilera? Se continúa acomodando las cajas, juntando varias hileras:

3 dm Largo = 5 dm Ancho = 4 dm

Lección 5

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> Proporcionalidad al derecho y al revés

71 5/16/08 12:50:49 PM


¿Cuál es el volumen total de este arreglo de cajas (que llamaremos “piso”)?

Número de hileras

1

2

3

4

Volumen total (dm3)

Si a es el número de hileras, obtén una expresión algebraica para el volumen de un arreglo con a hileras de n cajas cada hilera. Finalmente, se apilan varios arreglos de cajas arriba del anterior.

¿Cuál es el volumen total de este arreglo de cajas?

Número de pisos apilados

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Volumen total (dm3)

72

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 72

5/16/08 12:50:49 PM


Si p es el número de pisos, usa la expresión algebraica que obtuviste anteriormente (con V, n y a) para dar una expresión algebraica que represente el volumen de una pila de p pisos, de a hileras, de n cajas, donde V es el volumen de una sola caja. Hay muchas situaciones en que una cantidad depende de dos o más cantidades. Si la primera cantidad varía en forma directamente proporcional a cada una de estas cantidades, tenemos una situación de proporcionalidad múltiple. El ejemplo de las cajas es un caso de proporcionalidad múltiple. El volumen total de la pila de cajas varía en forma directamente proporcional al número de cajas en cada hilera, al número de hileras y al número de pisos. Supongamos que la pila de cajas tiene una altura de 3 pisos, un ancho de 4 hileras y que el largo es de 5 cajas, cada una con volumen V. Escribe una expresión algebraica para el volumen total de la pila.

Actividad individual

Si se duplica la altura (con 6 cajas), ¿cómo cambia el volumen total de la pila? Debido a la capacidad del almacén, se decidió duplicar el ancho de los pisos y la altura de las pilas. Escribe una expresión para el volumen total del arreglo de cajas. ¿Qué pasa si se duplica la altura de las pilas y se triplica el ancho de los pisos? ¿Cómo cambia el volumen? Escribe una expresión algebraica para esta situación. Compara tus resultados con los de tus compañeros.

Aplicación Una receta para un pastel de chocolate utiliza los siguientes ingredientes y cantidades. Pastel de chocolate (6 personas) 2 barras de margarina de 150 gramos cada una 1 3 de tazas de azúcar 4 1 cucharadita de vainilla 4 huevos 2 1 de tazas de harina 2 1 pizca de sal 1 cucharada de polvo para hornear 2 1 taza de leche 2 1 taza de chocolate amargo 2 Claudia quiere hacer un pastel para 10 personas. ¿Cuáles son las cantidades que necesita de cada ingrediente?

Lección 5

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 73

> Proporcionalidad al derecho y al revés

73 5/16/08 12:50:50 PM


>4º 1. Claudia recibe un pedido de 100 bolsitas de dulces, de las cuales 50 son de un cuarto de kilogramo y 50 son bolsas más pequeñas, de 100 gramos 3 cada una. ¿Cuántas bolsas grandes (de 4 de kilogramo) debe comprar como mínimo? 2.

Reproduce en una cuadrícula las siguientes figuras, de modo que cada una de las longitudes de tus figuras sea el doble de la longitud original.

a)

3.

1 Si cada uno de los cuadros de la cuadrícula mide 2 cm por lado, calcula el área de cada una de estas figuras.

b)

Calcula el área de cada una de las figuras que dibujaste en tu cuaderno. ¿Cuál es la relación entre el área de las figuras de este libro y las que dibujaste? ¿Es una relación de proporcionalidad directa?

c)

Escribe una expresión algebraica que relacione el área de una figura y el área de la figura correspondiente en tu cuaderno. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad directa? ¿Cuál es el inverso del factor de proporcionalidad de esa relación?

Los anuncios en cierto periódico tienen el siguiente costo: En una columna normal cuyo ancho es de 3.5 cm, el precio sólo depende de la altura del anuncio; cada centímetro de altura cuesta $80.00. a) Completa la siguiente tabla. Altura del anuncio (cm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Precio del anuncio

b)

Escribe una expresión algebraica para el precio del anuncio en términos de su altura.

c)

Si la altura máxima del periódico es de 50 cm, ¿cuál es el precio máximo que se puede pagar por un anuncio de una columna?

d) Completa la siguiente tabla.

74

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 74

5/16/08 12:50:55 PM


Precio (centenas de pesos)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Altura del anuncio (cm)

e)

Escribe una expresión algebraica para la altura del anuncio en términos de su precio.

f)

Juan tiene un presupuesto de $350.00 para colocar un anuncio de una columna en el periódico. ¿Cuál es la altura del mayor anuncio que puede pagar?

g)

Una página del periódico tiene ocho columnas de texto. ¿Qué precio debe pagarse por un anuncio de toda una página?

h) Un negocio paga $1 600.00 por un anuncio a dos columnas. Su competidor decide hacer un anuncio a cuatro columnas y el doble de altura. ¿Cuál es la altura de cada uno de estos anuncios? ¿Cuánto pagó el competidor por el anuncio?

4.

La distancia recorrida por un automóvil está dada por el producto de la rapidez promedio, por el tiempo transcurrido. a)

Si un automóvil realiza un recorrido durante 4 horas y media, ¿qué distancia habrá recorrido con una rapidez promedio de 60 km/h? ¿Y con una rapidez promedio de 80 km/h? Escribe una expresión algebraica para la relación entre la distancia recorrida y la rapidez promedio.

b)

Si un automóvil mantiene una rapidez constante de 80 km/h, ¿cuántos kilómetros recorre en una hora? ¿Cuántos recorre en 3 horas y media? Haz una gráfica en un plano cartesiano como el siguiente.

Distancia recorrida en cientos de kilómetros

3

2

1

1

2 3 Tiempo transcurrido (horas)

Lección 5

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 75

> Proporcionalidad al derecho y al revés

75 5/16/08 12:50:55 PM


c)

Un automóvil mantiene una rapidez de 65 km/h durante hora y media. ¿Qué distancia recorrió? Si otro automóvil viaja al doble de rapidez durante la misma hora y media, ¿qué distancia habrá recorrido? ¿Cuál es la relación entre las distancias recorridas por cada automóvil?

d) Un automóvil mantiene una rapidez de 65 km/h durante hora y media. Otro auto mantiene la misma rapidez durante 3 horas y media. ¿Qué distancia recorrió este segundo automóvil? ¿Cuál es la relación entre las distancias recorridas por cada automóvil?

5.

e)

Un automóvil mantiene una rapidez de 65 km/h durante hora y media. Otro automóvil viaja al doble de rapidez y triplica el tiempo de viaje. ¿Qué distancia recorrió este automóvil? ¿Cuál es la relación entre las distancias recorridas por cada uno de los automóviles?

f)

Si la letra d representa la distancia, v la rapidez promedio y t el tiempo, escribe la relación entre estas cantidades en forma algebraica.

Un litro de pintura alcanza para cubrir aproximadamente 6 metros cuadrados (m2) de pared.

a)

¿Para cuántos metros cuadrados de pared alcanzan dos litros de pintura? ¿Y tres litros y medio? ¿Y un galón (3.785 litros)? Explica cómo calculaste la respuesta a cada pregunta.

b)

Escribe una expresión algebraica que dé el número de metros cuadrados de pared en términos de la cantidad de litros de pintura disponible.

c)

Si se desea pintar una pequeña pared con un área de 10 metros cuadrados, ¿cuántos litros de pintura se necesitan? ¿Y si la pared tiene un área de 20 metros cuadrados? ¿Y si mide 50 metros cuadrados? Explica cómo calculaste la respuesta a cada pregunta.

d) Escribe una expresión para la cantidad de pintura necesaria en términos del número de metros cuadrados que se quiere pintar. e)

76

Una pared mide 20 metros de largo por 12 de alto. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintarla? Otra pared mide 30 metros de largo, pero la misma altura. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintarla? ¿Cuál es la relación entre las longitudes de las paredes? ¿Cuál es la relación entre las cantidades de pintura necesarias para cada pared?

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 76

5/16/08 12:50:56 PM


>PARA TERMINAR f)

Una pared mide 35 metros de largo por 2 de alto, ¿cuántos litros de pintura se necesitan para pintarla? Otra pared tiene el mismo largo, pero su altura es 1.5 veces la altura de la primera, ¿cuántos litros de pintura se necesitan para pintarla? ¿Cuál es la relación entre las cantidades de pintura necesarias para cada pared?

g)

Una pared mide a metros de largo por b metros de altura. Escribe una expresión para la cantidad de pintura necesaria para pintar esa pared.

h) Una pared mide a metros de largo por b metros de altura. Otra pared tiene el triple de largo y el doble de alto que la primera. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar la segunda pared? ¿Cuál es la relación entre la cantidad de litros necesarios para pintar cada pared?

6.

Una fábrica de envases para líquidos tiene dos tipos de envases con forma de prisma, el envase A y el envase B.

A

B

El envase B tiene el mismo ancho, pero el doble de espesor y 1.5 veces la altura de el envase A. ¿Cuál es la relación entre los volúmenes de ambos envases?

Torito Dos gatos y medio comen dos porciones y media de alimento en dos minutos y medio. ¿Cuántos gatos se comen 100 porciones de comida en 50 minutos?

Lección 5

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 77

> Proporcionalidad al derecho y al revés

77 5/16/08 12:50:57 PM


>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: 1. 2.

Qué es un arreglo rectangular. Qué es un diagrama de árbol.

Juego de voleibol.

> En esta lección, abordarás los temas de: • Anticipación de resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. • Verificación de los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

78

Bloque 1

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5/16/08 12:50:58 PM


>1º 6>¿Cuántos cuentas? En la final de un torneo de voleibol se enfrentan los equipos A y B, gana la final aquel equipo que logre ganar dos sets consecutivos o complete un total de 3 sets ganados. Completa en tu cuaderno el diagrama de árbol y di de cuántas maneras se puede ganar este juego. Set 1 Set 2 Set 3 Set 4 Gana Gana A

Gana A

A

Gana A

Gana B

Set 5 Gana A

Gana B

Gana

Gana

B

B

?

Gana B

?

Se tiene una urna con 4 canicas, una blanca, una roja, una azul y una negra, y se extraen de la urna, de una en una, hasta terminar. Completa el diagrama de árbol que represente todas las formas posibles de extracción, si la primera extracción fue la canica blanca.

Actividad individual

N R A

?

B

?

Haz una tabla como la siguiente en tu cuaderno y complétala. Primera extracción

Segunda extracción

Tercera extracción

Cuarta extracción

B

A

R

N

¿Cuántas cuartetas formaste en esta tabla?

Lección 6

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 79

> ¿Cuántos cuentas?

79 5/16/08 12:51:01 PM


Haz un diagrama de árbol para el caso que se inicia extrayendo una canica azul y una tabla con las cuartetas que pueden obtenerse en este caso. ¿Cuántas cuartetas diferentes se pueden construir con todas las formas posibles de extracción de las canicas? Actividad colectiva

Ahora se tiene la urna con 4 canicas, dos blancas, una roja, una azul, y se extraen de la urna, de una en una, hasta terminar. ¿Cuántas cuartetas diferentes se pueden construir con todas las formas posibles de extracción de las canicas? Construye con tu equipo diagramas de árbol que te ayuden a contar todas las cuartetas posibles. Discute con tus compañeros las diferencias que encontraron con respecto a la urna que tiene las 4 canicas con colores diferentes.

Actividad individual

Observa la siguiente lista de figuras.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4 ...

¿Cuántos cuadritos tiene cada una de las 4 figuras? ¿Cuántos cuadritos tendrá la quinta figura? ¿Cuántos cuadritos tienes que agregar a la quinta figura para construir la sexta figura? ¿Hay alguna figura que, siguiendo el mismo patrón, tenga 21 cuadritos? ¿Hay alguna figura con 140 cuadritos siguiendo el mismo patrón? ¿Por qué? Si una figura de la colección tiene x cuadritos, ¿cuántos cuadritos tendrá la siguiente figura? ¿Cuántos tiene la figura anterior? Si n representa el número de lugar que ocupa una figura en la lista, encuentra una expresión algebraica para el número de cuadritos en esa figura. Compara la expresión que obtuviste con la de tus compañeros para ver cuáles son correctas y cuáles no.

80

Bloque 1

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5/16/08 12:51:02 PM


Las siguientes figuras se construyen con palillos.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Actividad individual

Figura 4

...

¿Con cuántos palillos se construyó cada una de las 4 figuras? ¿Hay alguna figura de la colección que siguiendo el mismo patrón, tenga 33 palillos? ¿Hay alguna figura con 84 palillos siguiendo el mismo patrón? ¿Hay alguna figura con un número par de palillos? Si una figura tiene m palillos, ¿cuántos palillos tiene la figura anterior a ella? ¿Cuántos palillos tiene la figura que está tres lugares después de ella? Si n representa el número de lugar que ocupa una figura en la lista, encuentra una expresión algebraica para el número de palillos en esa figura. Encuentra también una expresión para el número de palillos en la figura posterior, es decir la que ocupa el lugar n + 1. Compara la expresión que obtuviste con la de tus compañeros. Describe con tus palabras cómo se construye cada figura de esta lista.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Actividad individual

...

¿Qué figura(s) tiene(n) un número impar de cuadritos? Si una figura tiene un número impar de cuadritos, ¿la siguiente figura tiene un número impar de cuadritos? ¿Cuántos cuadritos de más tiene? Si se continúa esta lista, ¿habrá una figura que tenga 70 cuadritos siguiendo el patrón? ¿Hay alguna figura de la lista que tenga 140 cuadritos? ¿Por qué? Si una figura de la lista tiene x cuadritos ¿cuántos cuadritos tendrá la siguiente figura? ¿Cuántos cuadritos tiene la figura anterior? Si n representa el número de lugar que ocupa una figura en la lista, encuentra una expresión algebraica para el número de cuadritos en esa figura. Compara la expresión que obtuviste con la de tus compañeros para ver cuáles son equivalentes y cuáles no.

Lección 6

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> ¿Cuántos cuentas?

81 5/16/08 12:51:44 PM


>2º Actividad individual

Un tren parte de la ciudad A hacia la ciudad F, pasando por las ciudades B, C, D y E. El tren puede parar en una o más de las ciudades intermedias. ¿De cuántas maneras distintas puede realizarse el viaje?

Ciudad B

Ciudad F Ciudad E Ciudad C

Ciudad A

Ciudad D

Para responder esta pregunta, contesta lo siguiente: Al partir de A, ¿dónde puede parar el tren? Después de cada una de estas paradas, ¿dónde puede parar de nuevo? Representa esta situación mediante un diagrama de árbol. Complétalo hasta que puedas tener la respuesta a la pregunta planteada. Recuerda que un diagrama de árbol permite representar de manera visual todos los casos posibles de un problema. Actividad colectiva

La siguiente figura representa el “tablero” de un juego para una persona. Al comenzar el juego hay una ficha en el punto A. A partir de ese momento se comienza a lanzar un dado, de modo que la ficha se mueva hacia cualquiera de las letras inmediatas con la misma probabilidad:

C

A

B

D P

82

G

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 82

5/16/08 12:51:47 PM


Si la ficha está en A y • el dado cae en 1 o en 2, entonces la ficha pasa a C; • el dado cae en 3 o en 4, entonces la ficha pasa a D; • el dado cae en 5 o en 6, entonces la ficha pasa a P. Si la ficha está en B y • el dado cae en 1 o en 2, entonces la ficha pasa a C; • el dado cae en 3 o en 4, entonces la ficha pasa a D; • el dado cae en 5 o en 6, entonces la ficha pasa a G. Si la ficha está en C y • el dado cae en 1, 2 o 3, la ficha pasa a A; • el dado cae en 4, 5 o 6, la ficha pasa a B. Si la ficha está en D y • el dado cae en 1, 2 o 3, la ficha pasa a A; • el dado cae en 4, 5 o 6, la ficha pasa a B. El juego termina cuando: • La ficha llega al punto P y el jugador pierde; o bien, • La ficha llega a G y el jugador gana.

Un posible camino en el juego es ACBDAP. Para recorrer este camino se necesitan 5 pasos. Escribe algunos posibles caminos en el juego. Usaremos un diagrama de árbol para representar este juego. A continuación te mostramos el diagrama de árbol para uno o dos movimientos. A

C

P

A

D

B

A

B

Lección 6

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 83

> ¿Cuántos cuentas?

83 5/16/08 12:51:48 PM


¿Qué resultados pueden haber ocurrido al realizar uno o dos lanzamientos del dado? En estos casos, ¿se gana, se pierde o es necesario seguir jugando para ver qué ocurre? Extiende el árbol para ver qué puede ocurrir después de realizar hasta cuatro lanzamientos del dado. ¿En cuáles casos gana el jugador? ¿En cuáles pierde? ¿En cuáles debe continuar el juego? Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Actividad individual

Utiliza la siguiente figura para responder las preguntas:

A

B

C

D

E

F

G

¿Cuántos segmentos se pueden formar con un extremo en un punto del primer renglón y el otro extremo en algún punto del segundo renglón? En este ejemplo, puedes utilizar un diagrama de árbol. Construye uno y compáralo con los de tus compañeros. También puedes hacer un arreglo rectangular, como éste: A E

B

C

D

(A, E)

F G

En este arreglo, la pareja (A, E) representa el segmento que va del punto A del primer renglón al punto E del segundo. Completa el arreglo rectángular y di cuántos segmentos se pueden formar. Utiliza de nuevo los puntos A, B, C, D, E, F y G. ¿Cuántos triángulos se pueden formar con un vértice en el primer renglón y dos en el segundo renglón? ¿De cuántas formas puedes elegir el vértice en el primer renglón? ¿De cuántas formas puedes elegir los dos vértices en el segundo renglón? Contesta ahora cuántos triángulos puedes formar.

84

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 84

5/16/08 12:51:49 PM


Usa de nuevo los puntos. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar con dos vértices en la parte superior y dos vértices en la parte inferior? Observa que NO se cuentan los cuadriláteros “cruzados” como éste:

¿De cuántas formas puedes elegir los dos vértices del primer renglón? Ya sabes de cuántas formas puedes elegir los dos vértices del segundo renglón. Contesta la pregunta sobre los cuadriláteros. Utiliza un arreglo rectangular para enumerarlos. Antonio, Carlos, Daniel, Ernesto, Gabriela, Leticia y Verónica están en una fiesta. ¿Cuántas parejas con un hombre y una mujer pueden formar?

Actividad individual

Construye un arreglo rectangular para ver las parejas que pueden formarse. ¿Qué ocurre si llega Juan a la fiesta? ¿Cuántas parejas más se pueden formar? ¿Cuántas parejas se podrán formar en total? Representa esta situación agregando elementos al arreglo rectangular que habías construido. Si en vez de Juan llegan Susana y Teresa, ¿cuántas parejas más se pueden formar? ¿Cuántas parejas se podrán formar en total? Representa esta situación agregando elementos al arreglo rectangular original. Si en una fiesta hay 8 hombres y 7 mujeres, ¿cuántas parejas con un hombre y una mujer se pueden formar?

Si un objeto puede elegirse de n maneras distintas y un segundo objeto puede elegirse de m maneras distintas, entonces una pareja formada por un objeto del primer tipo y un objeto del segundo tipo se puede elegir de n ⫻ m maneras distintas.

Lección 6

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> ¿Cuántos cuentas?

85 5/16/08 12:51:50 PM


>3º Resuelve los siguientes problemas de conteo y comenta con tus compañeros cuál fue la estrategia que usaste. 1. Observa esta lista de figuras:

Figura 1

Figura 2

Figura 3

...

¿Cuántos triángulos pequeños hay en cada figura? ¿Cómo sería la figura 4? ¿Cuántos triángulos pequeños tendría esta figura 4? Si esta lista continúa, ¿cuál sería el número de triángulos pequeños en la figura número n de esta lista? 2.

Observa esta lista de figuras:

Figura 1

Figura 2

Figura 3

...

Determina el número de triángulos pequeños en cada figura. Observa cómo se forma cada figura y explica cómo determinarías el número de triángulos pequeños en la figura n de esta lista.

86

3.

32 equipos de fútbol realizaron un torneo. En la primera ronda, había 4 grupos de 8 equipos cada uno. En cada grupo, cada equipo jugó sólo una vez contra cada uno de los demás. Los dos mejores equipos de cada grupo pasaron a la ronda siguiente. En la segunda ronda, cada equipo jugó sólo una vez contra cada uno de los demás. Los dos mejores equipos jugaron la final. ¿Cuántos partidos se jugaron en todo el torneo?

4.

María debe elegir el horario de las clases que quiere tomar de lunes a viernes. Sólo puede tomar una clase al día, pero desea asistir a 2 clases de inglés, 1 de dibujo y 1 de música. Además, sabe que no puede tomar las clases de inglés en días consecutivos. ¿De cuántas formas distintas puede armar su horario?

5.

Gabriel tiene 3 primas y 4 primos. Quiere invitar a 2 primas y a 3 primos a un concierto. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerlo?

Bloque 1

Mat2 Int B1-2 new EA.indd 86

5/16/08 12:51:51 PM


>PARA TERMINAR 6.

7.

¿Cuántos triángulos se pueden formar con sus vértices en los puntos de la figura de la derecha?

A

B

¿Cuántos rectángulos de cualquier tamaño hay en la siguiente figura?

C

8.

Alejandro, Carlos, Ernesto, María y Olga van al cine. Si María y Olga se sientan juntas, ¿de cuántas maneras distintas pueden sentarse los cinco?

9.

Ramón y Felipe van de vacaciones a un albergue que tiene 8 camas. Cuando llegan al albergue se encuentran que son los primeros en llegar, entonces pueden elegir cualquier cama. Si las camas están numeradas del 1 al 8, ¿de cuántas maneras pueden elegir cada uno de ellos la cama? Al día siguiente llegan 2 estudiantes más al albergue y Ramón y Felipe ya eligieron su cama, ¿de cuántas formas pueden elegir su cama los nuevos? Al tercer día llega otro estudiante y deciden entre los cinco rifarse las camas. ¿De cuántas formas pueden elegir su cama cada uno de ellos? Propón una estrategia de conteo para saber el total de formas que tienen para la elección de su cama. El cuarto día llegan otros tres estudiantes. Si ya estaban ocupadas 5 camas, ¿de cuántas formas pueden acomodarse?

D

F

E

G

Las Olimpiadas de Matemáticas son concursos que se realizan en todo el mundo para los estudiantes de varios niveles educativos. Varios de los organismos encargados de estos concursos tienen páginas en Internet donde, además de invitar a los estudiantes a participar, tienen grandes colecciones de problemas interesantes. Hemos utilizado algunos de ellos en esta sección, tomados de la página argentina http://www.oma.org.ar/ enunciados/index.htm Otro examen importante es el Canguro Matemático. El propósito del examen es dar a conocer el tipo de matemáticas que fomentan la imaginación y el ingenio de los alumnos. La página de la sección mexicana de este concurso, en la que incluso puedes inscribirte como “amigo”, es http://ichi.fismat.umich.mx/omm/eventos/canguro.html

Torito Cierta familia está formada exactamente por 1 abuelo, 1 abuela, 2 padres, 2 madres, 3 nietos, 1 hermano, 2 hermanas, 2 hijos, 2 hijas, 1 suegro, 1 suegra y 1 nuera. ¿Cuál es el menor número posible de miembros de la familia?

Lección 6

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> ¿Cuántos cuentas?

87 5/16/08 12:51:51 PM


>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: Qué es y cómo se calcula la mediana de una serie de datos.

> En esta lección, abordarás el tema de: • Interpretación y comunicación de la información mediante polígonos de frecuencias.

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Bloque 1

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5/16/08 12:51:53 PM


>1º 7> Uso de los polígonos de frecuencias Las siguientes gráficas ilustran diversas características de la población de estudiantes de una secundaria. Población estudiantil clasificada por sexo Hombres Mujeres Gráfica 1 Población estudiantil clasificada por grado 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Primero

Segundo Gráfica 2

Tercero

Estudiantes

Población estudiantil clasificada por edad 60 50 40 30 20 10 0 11

12

13 14 Edad Gráfica 3

15

16

¿Qué conclusiones puedes obtener de estas gráficas acerca de los estudiantes de la secundaria? Escribe todas tus conclusiones. Analiza de nuevo las gráficas anteriores. ¿Con base en la gráfica 1 puedes saber más o menos cuántos estudiantes hay en la secundaria? Explica por qué. ¿Qué información te brinda la altura de cada barra de la gráfica 2? ¿Los estudiantes de segundo y tercero suman más que los estudiantes de primero? ¿Cómo obtuviste esta respuesta? ¿Qué información te brinda cada punto sobre la gráfica 3? Encuentra dos edades consecutivas entre las cuales el número de estudiantes crezca. Luego, encuentra dos edades consecutivas entre las que el número de estudiantes decrezca. ¿Hay más estudiantes mayores de 13 años que estudiantes que tienen 13 años o menos? ¿En qué basas tu respuesta?

Lección 7

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Actividad individual

> Uso de los polígonos en frecuencias

89 5/16/08 12:51:57 PM


Actividad colectiva

En un artículo del periódico se incluyó la siguiente tabla con la edad mediana de la población de cada estado de la República Mexicana en 2000 y 2005. Entidad federativa

Año 2000

Año 2005

Aguascalientes

21

23

Baja California

23

25

Baja California Sur

23

25

Campeche

22

24

Coahuila

23

25

Colima

23

25

Chiapas

19

20

Chihuahua

23

25

Distrito Federal

27

29

Durango

21

23

Guanajuato

21

23

Guerrero

19

21

Hidalgo

22

24

Jalisco

22

24

México

23

24

Michoacán

21

23

Morelos

23

25

Nayarit

22

24

Nuevo León

24

26

Oaxaca

20

22

Puebla

21

23

Querétaro

21

23

Quintana Roo

22

23

San Luis Potosí

21

23

Sinaloa

22

25

Sonora

23

25

Tabasco

21

23

Tamaulipas

24

25

Tlaxcala

21

23

Veracruz

23

25

Yucatán

23

25

Zacatecas

21

23

Analiza la tabla con tu equipo.

90

Bloque 1

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5/16/08 12:51:58 PM


En Zacatecas, la edad mediana en el año 2000 era 21 años. ¿Qué parte de la población de ese estado tenía 21 años o menos en el año 2000? ¿Qué parte tenía 21 años o más? En ese mismo estado, en el año 2005 la edad mediana era 23. Discute con tu equipo cómo se interpreta este dato. ¿Qué significado tiene el hecho de que la edad mediana haya aumentado de 2000 a 2005? Después, discutan con los demás compañeros del grupo la interpretación que dedujo cada equipo acerca de esta variación. Analiza con tus compañeros de equipo la edad mediana de tu entidad federativa en los dos años indicados y escribe todas las conclusiones que pueden deducirse de esos datos. ¿En cuál entidad federativa la edad mediana era la mayor de todas en el año 2000? ¿En cuáles era la menor? ¿Cuántas entidades federativas tenían una edad mediana mayor o igual que 23? ¿Cuántas tuvieron una edad mediana de 24 años? Discute con tus compañeros de equipo por qué es importante conocer información acerca de la edad de la población. ¿Cómo puede utilizarse ese tipo de información en aspectos como educación, trabajo y seguridad social? Escriban sus conclusiones y discútanlas con todos sus compañeros. Recuerda que en una lista de datos, la frecuencia de uno de ellos es el número de veces que aparece en la lista. Para construir un polígono de frecuencias se trazan dos ejes; el eje horizontal se refiere a los datos cuya frecuencia queremos graficar, el otro eje se refiere a la frecuencia. Para ubicar los puntos de la gráfica, sobre cada uno de los datos en el eje horizontal colocamos un punto a la altura indicada por la frecuencia. Finalmente, los puntos obtenidos se unen mediante segmentos de rectas.

Lección 7

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> Uso de los polígonos en frecuencias

91 5/16/08 12:51:59 PM


>2º Actividad individual

Organiza la información de la tabla de edades medianas en una nueva tabla como la siguiente. Edad mediana

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Número de estados con esa edad mediana en 2000 Número de estados con esa edad mediana en 2005

En un plano cartesiano, construye los dos polígonos de frecuencias que corresponden a los datos de la tabla que acabas de llenar. Verifica que tus gráficas estén bien construidas comparándolas con las de tus compañeros. Actividad colectiva

Cada integrante del equipo escriba en un papel cuántas personas viven en su casa. Reúnan todos estos datos y discutan cómo organizar la información recabada. Construye con tu equipo una tabla de frecuencias y dibuja una gráfica que represente adecuadamente la información de la tabla. ¿Cuál es el número de habitantes por hogar que aparece con mayor frecuencia en tu grupo? ¿Y el que aparece con menor frecuencia?

Actividad individual

Para esta actividad necesitas un dado. Lanza tu dado 20 veces y anota en cada caso qué número te salió. Con esa información llena en tu cuaderno una tabla como la siguiente: Cara del dado

1

2

3

4

5

6

Frecuencia

Después, dibuja un polígono de frecuencias con la información de tu tabla. Compara la gráfica que obtuviste con la de tus compañeros. ¿Todos obtuvieron las mismas frecuencias? Explica por qué. Actividad colectiva

Las siguientes gráficas representan las longitudes de salto obtenidas por dos grupos de estudiantes en la clase de educación física. Salto de longitud

Grupo B

Frecuencia

Grupo A

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

180

190

200

210

220

230

240

250

Distancia en centímetros

92

Bloque 1

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Analiza con tu equipo las gráficas. ¿Cuál es la longitud que más estudiantes lograron en el grupo A? ¿Y en el grupo B? ¿Los dos grupos tienen el mismo número de estudiantes? ¿Cómo dedujeron la respuesta anterior? ¿Cuántos estudiantes del grupo A lograron saltos entre 205 y 235 centímetros? ¿Cuántos estudiantes del grupo B lograron saltos en ese mismo rango de longitudes? Discute con tus compañeros de equipo con qué criterio convendría evaluar cuál de los dos grupos tiene mejores resultados en la prueba de salto de longitud. En un estudio sobre cómo ha cambiado la composición de la población en México respecto a la edad, se presentan las siguientes gráficas:

Actividad colectiva

Millones de personas

Población mexicana por grupos de edad 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Año 1995 Año 2005

os os os os os os os os os os os os os os os ás os os añ 9 añ 4 añ 9 añ 4 añ 9 añ 4 añ 9 añ 4 añ 9 añ 4 añ 9 añ 4 añ 9 añ 4 añ y m 4 añ s añ 4 á s 8 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 0 a 5 a 0 a 5 a 0 a 5 a 0 a 5 a 0 a 5 a 0 a 5 a 0 a 5 a 0 a año 0 a y m 8 85 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 75

Analiza la información con tus compañeros de equipo y discutan las observaciones que cada uno de los integrantes considere importantes. Entre las personas mayores de 25 años, ¿qué cambios observan en los dos años considerados? Expliquen el cambio que se observa entre las personas menores de 10 años. Comparen sus respuestas con el resto del grupo y discutan qué consecuencias puede tener en nuestro país el envejecimiento de la población. En el libro de Historia, seleccionen dos fragmentos de texto que sean más o menos del mismo tamaño. Identifíquenlos con los nombres Texto 1 y Texto 2. Cuenten el número de palabras formadas por una letra, el número de palabras formadas por 2 letras, por 3 letras y así sucesivamente, en cada uno de los textos. Con esa información, dibujen en un plano cartesiano, los dos polígonos de frecuencias correspondientes al número de letras que tiene cada palabra. Intercambien sus gráficas con otro equipo, sin incluir la información que sirvió para construir los polígonos de frecuencias. Analicen las gráficas que les dieron los estudiantes de otro equipo, discutan las observaciones que consideren importantes y escriban todas las conclusiones que puedan deducir de esa información.

Lección 7

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Actividad colectiva

> Uso de los polígonos en frecuencias

93 5/16/08 12:52:01 PM


>3º 1. La siguiente tabla contiene la distribución por edades de la población femenina mexicana mayor de 12 años en el año 2000. Traza el polígono de frecuencias correspondiente.

Rango de edad

Población (en millones de personas)

12 – 14

3.2

15 – 19

5.1

20 – 24

4.7

25 – 29

4.3

30 – 34

3.8

35 – 39

3.3

40 – 44

2.7

45 – 49

2.1

50 – 54

1.7

55 – 59

1.3

60 – 64

1.2

65 – 69

0.9

70 – 74

0.7

75 y más

1.0

FUENTE: INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda, 2000.

94

Bloque 1

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5/16/08 12:52:02 PM


>PARA TERMINAR 2. Las edades de dos grupos de segundo de secundaria son las siguientes: Grupo A: 15

13

14

14

13

13

13

12

14

15

12

13

12

14

13

13

14

15

13

13

13

13

14

15

13

13

14

14

14

14

14

14

14

12

15

12

15

13

13

14

13

14

13

13

13

14

14

14

15

12

14

15

12

13

14

14

16

13

14

12

Grupo B:

a) b) c)

3.

En un plano cartesiano, dibuja los polígonos de frecuencias correspondientes. ¿Cuál es la edad más frecuente en el grupo A? ¿Y en el grupo B? ¿Cuál es la edad menos frecuente en el grupo A? ¿Y en el B?

Las siguientes gráficas muestran el número de horas que ven televisión a la semana dos grupos de estudiantes:

Tiempo invertido en ver televisión por semana (horas)

21 18

Frecuencia

15 12 9 6 3 0 0-4

5-9

10 - 14

15 - 19

20 - 24

25 - 29

30 - 34

Rango de horas Grupo 1

Grupo 2

Lección 7

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> Uso de los polígonos en frecuencias

95 5/16/08 12:52:03 PM


a)

b) c)

4.

¿Cuántos estudiantes del grupo 1 ven televisión menos de 10 horas a la semana? ¿Cuántos del grupo 2 ven televisión menos de 10 horas semanales? ¿Cuántos estudiantes del grupo 1 ven televisión 20 horas o más a la semana? ¿Cuántos del grupo 2? ¿Cuál es el rango de horas más frecuente en el grupo 1? ¿Y en el grupo 2?

En el día internacional del libro, se le preguntó a las personas mayores de 12 años de dos comunidades distintas cuántos libros leen al año. La información obtenida se representó en los siguientes polígonos de frecuencias: Libros leídos en un año

70 60

Frecuencia

50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

Número de libros Comunidad X

a) b) c)

5.

96

Comunidad Y

¿En qué comunidad hay más personas que leen cuando menos un libro al año? ¿En qué comunidad hay más personas que leen 2 libros o menos anualmente? Escribe todas las observaciones que te parezcan importantes acerca de los datos que brindan las gráficas. En dos párrafos de textos diferentes se contó el número de palabras con determinado número de letras. El resultado se muestra en las siguientes gráficas:

Bloque 1

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5/16/08 12:52:04 PM


>PARA TERMINAR

Frecuencia

Clasificación de palabras por el número de letras

35 30 25 20 15 10 5 0

Primer texto Segundo texto

1

2

3

4

5 6 7 8 9 10 Número de letras en las palabras

11

12

a)

Escribe una palabra cuyo significado conozcas, para cada número de letras que aparece en estas gráficas. b) ¿En qué número de letras hubo mayor diferencia entre la cantidad de palabras encontradas en cada texto? c) ¿Cuál es el número de letras más frecuente en cada uno de los textos? ¿Y el número de letras menos frecuente? d) Escribe todas las observaciones que te parezcan importantes acerca de los datos de estas gráficas.

Torito En las siguientes gráficas está representada la información correspondiente a las calificaciones obtenidas en un examen de matemáticas por los estudiantes de los grupos segundo A y segundo B. Estos grupos no tienen el mismo número de estudiantes. Calificaciones en un examen de matemáticas

14 Número de estudiantes

12 10 8 6 4 2 0

5

6

7 8 Calificación

9

10

La fracción de estudiantes aprobados es mayor en el grupo B que en el grupo A, pero la fracción de estudiantes que obtuvieron calificaciones entre 7 y 9 es mayor en el grupo A que en el grupo B. Determina cuál es la gráfica de cada grupo.

Lección 7

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> Uso de los polígonos en frecuencias

97 5/16/08 12:52:31 PM


MatemáTICas

> Uso de tecnología >

En la lección 2 de este bloque vimos varias propiedades de las rectas paralelas. Estas propiedades se pueden aplicar para diseñar diversos mecanismos. Aquí te mostraremos el diseño básico de una balanza de platillos, usando el programa Cabri.

>

En una hoja de Cabri, traza un segmento vertical AB y un punto P fuera de dicho segmento.

>

Traza una circunferencia con centro en B y radio igual a la longitud de BP. Llama Q al punto de intersección de esta circunferencia con la recta que pasa por B y P. Traza paralelas a AB que pasen por P y Q.

A

A

Q B P B P

> >

Construye un paralelogramo con un vértice en P de modo que los puntos A y B sean los puntos medios de dos lados del paralelogramo. Para esto, traza la recta que pasa por B y P, así como la paralela a esta recta que pasa por A.

Con esta construcción obtienes un paralelogramo, que llamaremos PQRS. Ahora mueve el punto P y observa que los lados QR y PS del paralelogramo siempre son paralelos a AB, ¿por qué?

S A R

A

P B Q

B

P

98

Bloque 1

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MatemáTICas

>

Ahora puedes agregar algunos segmentos para obtener la siguiente figura. Los segmentos que representan los platillos son perpendiculares a los segmentos QR, AB y PS.

Platillo 2 S Platillo 1

>

Mueve el punto P y observa que los brazos de la balanza siempre permanecen verticales, por lo que los platillos siempre están horizontales, sin importar cómo se mueva el punto. Éste es el mecanismo básico de balanzas como la de esta foto. En la última figura, encuentra parejas de ángulos que midan lo mismo.

A

R

P B Q Base

MatemáTiCas

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>PUNTO DE ENCUENTRO > El clima Desde la antigüedad, el hombre ha necesitado entender por qué ocurren los cambios climáticos: por qué hay estaciones del año, por qué hace más calor cerca del mar que en las montañas, por qué una región es más calurosa que otra. ¿A qué se deben estos fenómenos?

> Las estaciones del año En tus clases de Geografía has aprendido que el eje de rotación de la Tierra tiene una cierta inclinación con respecto del plano de su órbita.

Esta inclinación hace que en una época del año el hemisferio Norte reciba más iluminación que el hemisferio Sur y que seis meses después la situación sea al contrario.

N

N

Invierno u

Ec

r ado

Verano Verano Invierno S

r ado

u Ec

S

Sol ¿Cuál es el ángulo de inclinación del eje de rotación de la Tierra? ¿Qué pasaría con las estaciones si el eje de rotación fuese perpendicular al plano de la órbita? ¿Y si el eje de rotación fuera paralelo al plano de la órbita?

> La latitud En el mapa de la página siguiente se señalan las zonas climáticas de la Tierra. Ubica algunas regiones de la Tierra que tengan un clima similar al del norte de México. ¿Tienen una latitud similar? ¿Aproximadamente entre qué latitudes se encuentran las mayores extensiones de selva de nuestro planeta? ¿Qué clima tienen las regiones del norte de Canadá y Rusia?

100

Bloque 1

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5/16/08 12:52:42 PM


>PUNTO DE ENCUENTRO

> La altitud La altura sobre el nivel del mar influye en el mayor o menor calentamiento de las masas de aire, de modo que la región más cercana a la superficie terrestre es más cálida, disminuyendo la temperatura aproximadamente unos 6.4º C por cada kilómetro de altitud. En la mañana de cierto día, la temperatura en una población al nivel del mar era de 15°C. ¿Cuál era la temperatura aproximada en ese momento a 1, 2, 3 y 4 kilómetros de altitud sobre esa población? Km Altura

ESTRUCTURA DE LA ATMÓSFERA

180 160

NOTA: En realidad, la tasa de disminución de la temperatura con la altitud (6.4° C por cada kilómetro de altitud) sólo es cierta en la capa de la atmósfera más cercana a la Tierra. Esta capa es la troposfera y va desde cero hasta 10

140

kilómetros de altitud, aproximadamente. A mayor altitud,

120

la temperatura se comporta como en el siguiente diagra-

TERMOSFERA

100

ma, tomado de http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0151-01/capi-

80

Mesopausa

60

MESOSFERA Estratopausa

40

ESTRATOSFERA

20 0

tulos/cap2.htm

Describe en tus palabras la variación de la temperatura en las capas altas de la atmósfera.

Tropopausa –100

0

100°C

Temperatura del aire

Punto de encuentro

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101 5/16/08 12:52:43 PM


>UNA NUEVA ACTITUD ¿Cómo se mide la inflación? De acuerdo con el Banco de México, la inflación es el crecimiento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios en una economía. Este fenómeno económico se mide utilizando el Índice Nacional de Precios al Consumidor (INPC), que esencialmente es el promedio de costo de vida en nuestro país. Para el cálculo del INPC se consideran algunos artículos representativos en las siguientes categorías: a) Alimentos, bebidas y tabaco; b) Ropa, calzado y accesorios; c) Vivienda; d) Muebles, aparatos y accesorios domésticos; e) Salud y cuidado personal; f) Transporte; g) Educación y esparcimiento; y h) Otros servicios.

También se toma como referencia el costo de los artículos en cierta fecha. Actualmente, la referencia es el mes de junio de 2002, de modo que el costo total de los artículos en esa fecha es de 100 unidades. La siguiente gráfica muestra el INPC de 1990 a 2005.

Índice Nacional de Precios al Consumidor 120 100 80 60 40 20 0

102

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003 2004 2005

Bloque 1

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5/16/08 12:52:47 PM


>UNA NUEVA ACTITUD La inflación es el porcentaje de aumento o disminución del INPC en un cierto periodo de tiempo. Por ejemplo, si el INPC de junio de 2002 fue igual a 100 unidades y después de cierto periodo fue igual a 110 unidades, la inflación en ese periodo fue de 10%. La siguiente tabla muestra los datos del índice de inflación anual en nuestro país de 1994 a 2005.

Año 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

%

7.05 51.96 27.70 15.71 18.61 12.31 8.95 4.40 5.70 3.98 5.19 3.33

Comenta con tus compañeros las observaciones a esta tabla. La siguiente tabla tiene los datos del índice de inflación mensual, desde enero de 2003 hasta diciembre de 2005.

Año ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

03

0.40 0.28 0.63 0.17 -0.32 0.08 0.14 0.30 0.60 0.37 0.83 0.43

04

0.62 0.60 0.34 0.15 -0.25 0.16 0.26 0.62 0.83 0.69 0.85 0.21

05

0.00 0.33 0.45 0.36 -0.25 -0.10 0.39 0.12 0.40 0.25 0.72 0.61

Observa que en enero de 2005 el Banco de México reportó una inflación de 0.00%. ¿Qué indica este dato? ¿Ningún producto subió de precio? En los meses de mayo de 2003 a 2005 aparece una inflación negativa. ¿Qué indica este dato? Comenta con tus compañeros cuáles pueden ser las consecuencias de una inflación alta y averigua qué se puede hacer para controlarla. Información obtenida de http://www.banxico.org.mx/inpc/ y http://dgcnesyp.inegi.gob.mx/cgi-win/bdieintsi.exe/NIVA050085

Una nueva actitud

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103 5/16/08 12:52:48 PM


>BLOQUE 2

Pirรกmide de Keops

104 Mat2 Int B1-2 new EA.indd 104

5/16/08 12:52:49 PM


> Lo que aprenderás en este bloque

EJE 1

EJE 2

EJE 3

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los paréntesis si fuera necesario, en problemas de cálculos. Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico. Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas.

Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.

La pirámide de Keops es la más grande de las tres pirámides de Gizeh, en Egipto. Esta grandiosa construcción edificada entre los años 3000 y 2500 a.n.e., se incluye en las llamadas Siete Maravillas del Mundo Antiguo. Las dimensiones aproximadas de esta pirámide con base cuadrada son: 230 m de longuitud de lado de la base y 183 m de latura. ¿Cuál es el volumen aproximado de esta pirámide?

105 Mat2 Int B1-2 new EA.indd 105

5/16/08 12:52:58 PM


>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: 1. 2.

The Lippo Center, Hong Kong.

Cómo operar números con signo. Cómo calcular áreas de figuras geométricas.

> En esta lección, abordarás los temas de: • Utilización de la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en problemas y cálculos. • Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

106

Bloque 2

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5/16/08 12:53:03 PM


>1º 1>Entre paréntesis Juan y María van a comer a la Fonda “La Lupita”. El menú que les ofrecen es el siguiente:

—Voy a pedir sopa de pasta —le dice Juan a María. —Yo prefiero la otra —le responde María. —¿O sea que tú quieres tortilla sola? —discute Juan. —No, yo quiero sopa de tortilla —dice María. —Pero no hay sopa de tortilla —argumenta Juan—, en el menú dice claramente que hay sopa de pasta o tortilla, o sea que escoges sopa de pasta o escoges tortilla. —Claro que no, puedes escoger sopa de pasta o sopa de tortilla —responde de inmediato María. —Creo que no sabes leer —le dice Juan. —Pues tú sabrás leer, pero no entiendes lo que lees —dice María. Discutan en equipo ¿quién tiene la razón? ¿Cómo interpretarían Juan y María las otras opciones del menú? ¿Cómo las interpretarían ustedes? ¿Sería posible que como plato fuerte les dieran un pedazo de queso? Redacten el menú para evitar confusiones.

Actividad colectiva

Al otro día Juan y María están en clase de matemáticas y el maestro pregunta: ¿Cuánto es tres más cinco por dos? —13 —contesta Juan. —No, son 16 —replica María.

Actividad colectiva

Lección 1

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> Entre paréntesis

107 5/16/08 12:53:09 PM


¿Cómo razonó María? ¿Cómo razonó Juan? ¿Quién tiene la razón? ¿Está bien planteada la pregunta del maestro? ¿Cómo harían la pregunta para que no hubiera confusión y el resultado fuera 13? ¿Cómo harían la pregunta para que no hubiera confusión y el resultado fuera 16? En el lenguaje cotidiano hay expresiones que si se toman al pie de la letra son absurdas, pero que dentro del contexto queda claro a qué se refieren. En matemáticas es necesario ser preciso, pues en una expresión que contiene varias operaciones, el orden en que se efectúan éstas puede alterar el resultado. Actividad individual

Efectúa las siguientes operaciones de las dos formas que se indican: a) 9 × 6 ÷ 3 1. Multiplica 9 × 6 y divide el resultado entre 3. 2. Multiplica 9 por el resultado de la división 6 ÷ 3. b) 9 ÷ 3 × 6 1. Divide 9 ÷ 3 y multiplica el resultado por 6 2. Divide 9 entre el resultado de 3 × 6. Ahora teclea las siguientes expresiones en una calculadora normal y en una calculadora científica: 8+3×5

4+2×5+6

2×3+4×5

¿En qué orden hizo las operaciones la calculadora normal? ¿En qué orden las hizo la calculadora científica? Al escribir una expresión aritmética o algebraica hay que tener mucho cuidado para que no haya lugar a varias interpretaciones. Para evitar malas interpretaciones existe la convención de que primero se calculan las potencias y raíces, después las multiplicaciones o divisiones y por último las sumas y restas. Cuando en una expresión aparecen paréntesis se hacen primero las operaciones que están dentro de ellos. Por ejemplo, en la expresión 2 × 3 + 4 × 5 se hacen primero las multiplicaciones 2 × 3 = 6 y 4 × 5 = 20 y después la suma 6 + 20. Si escribimos 2 × (3 + 4) × 5 se hace primero la suma 3 + 4 = 7 y luego las multiplicaciones 2 × 7 × 5. En la expresión 4 + 2 × 5 + 6, se hace primero la multiplicación 2 × 5 = 10 y posteriormente la suma 4 + 10 + 6. Actividad individual

108

¿Qué resultados obtienes colocando los paréntesis de las siguientes tres formas? (4 + 2) × 5 + 6 4 + 2 × (5 + 6) (4 + 2) × (5 + 6) Compara tus resultados con los de tus compañeros.

Bloque 2

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5/16/08 12:53:11 PM


>2º Actividad individual

2

3

4

1

¿Qué expresión representa el área de este cuadrado? (4 + 1) × (3 + 2) (4 + 1) × 3 + 2 4 + 1 × (3 + 2) Discute tu respuesta con tus demás compañeros.

2 4

3

¿Qué expresión representa el área de color azul en esta figura? 8÷2+6÷4 8 ÷ (2 + 6) ÷ 4 Discute tu respuesta con tus demás compañeros.

Actividad individual

d

c

a

b

¿Qué expresión representa el área de este rectángulo? (a + b) × (c + d) (a + b) × c + d a + b × (c + d) Discute tu respuesta con los demás compañeros del grupo.

5

7

3

¿Qué expresión representa el área de este rectángulo? (7 × 5) + (3 × 5) 7 × (5 + 3) × 5 Discute tu respuesta con tus demás compañeros.

Lección 1

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> Entre paréntesis

109 5/16/08 12:53:11 PM


Actividad individual 2 6

4

¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones representan el área de este rectángulo? 6 × (2 + 4) × 2; (6 + 4) × 2; 6×2+4+2 6 + (4 × 2); (6 × 2) + (4 + 2). Compara tu respuesta con las de tus compañeros. Actividad individual

Calcula el valor de las siguientes expresiones. ¿Cuál de ellas te dan el mismo resultado? a) (7 + 9) × 6 b) 3 × (2 + 5) c) (3 × 2) + (3 × 5) d) (6 × 2) – (3 × 2) e) 3 × (2 + 3) × 5 f) 7 + (9 × 6) g) (7 × 6) + (9 × 6) h) (6 – 3) × 2 Compara tu respuesta con las de tus compañeros. Al multiplicar la suma de dos o más números por otro número, obtienes el mismo resultado si primero sumas y luego haces la multiplicación, que si primero haces la multiplicación por cada uno de los sumandos y luego sumas los resultados. De la misma forma, si multiplicas la resta de dos números por otro número, obtienes el mismo resultado si primero haces la resta y luego la multiplicación, que si primero haces la multiplicación por cada término y luego restas los resultados. Por ejemplo, (7 + 3) × 5 = 10 × 5 es lo mismo que (8 – 4) × 2 = 4 × 2 es lo mismo que O en una suma con varios sumandos, (3 + 6 + 5) × 4 = 14 × 4 es lo mismo que (3 × 4) + (6 × 4) + (5 × 4) = 12 + 24 + 20.

Actividad colectiva

110

(7 × 5) + (3 × 5) = 35 + 15; (8 × 2) – (4 × 2) = 16 – 8.

¿Se obtiene el mismo resultado al calcular (6 + 8) ÷ 2 que al calcular 6 ÷ 2 + 8 ÷ 2? ¿Se obtiene el mismo resultado al calcular (6 + 9) ÷ 3 que al calcular 6 ÷ 3 + 9 ÷ 3?

Bloque 2

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5/16/08 12:53:12 PM


¿Se obtiene el mismo resultado al calcular 12 ÷ (2 + 4) que al calcular 12 ÷ 2 + 12 ÷ 4? ¿Se obtiene el mismo resultado al calcular 18 ÷ (3 + 6) que al calcular 18 ÷ 3 + 18 ÷ 6? Discute tus conclusiones con tus compañeros y formula una regla. Una persona tiene dos terrenos de 450 y 150 m2 de superficie, como se muestra en la figura. Los divide en tres partes iguales para cada uno de sus hijos. ¿Cuántos metros cuadrados de terreno tocan a cada hijo? Resuelve el problema, escribe las operaciones que utilizaste y compara tu estrategia para resolver este problema con las de tus compañeros.

Actividad individual

Al dividir la suma de dos o más números entre otro número, obtienes el mismo resultado si primero sumas y luego haces la división, que si primero haces la división con cada sumando y luego sumas los resultados. De la misma forma, si divides la resta de dos números por otro número, obtienes el mismo resultado si primero haces la resta y luego la división, que si primero haces la división para cada término y luego restas los resultados. Pero al dividir un número entre la suma de dos o más números primero debes hacer la suma y luego dividir entre el resultado: no es correcto separar la expresión como suma de dos fracciones. Es decir: a a a no es lo mismo que + c d (c + d) Por ejemplo, (6 + 8) ÷ 2 = 14 ÷ 2 es lo mismo que (6 ÷ 2) + (8 ÷ 2) = 3 + 4; (9 – 6) ÷ 3 = 3 ÷ 3 es lo mismo que (9 ÷ 3) – (6 ÷ 3) = 3 – 2. O cuando se tienen varios sumandos, (8 + 10 + 6) ÷ 2 = 24 ÷ 2 es lo mismo que (8 ÷ 2) + (10 ÷ 2) + (6 ÷ 2) = 4 + 5 + 3. Efectúa las siguientes operaciones: (48 ÷ 6) ÷ 2 = 48 ÷ (6 ÷ 2) = (15 + 20) ÷ 5 = 24 ÷ (4 + 2) =

Actividad individual

48 6 = 2 48 6 = 2 15 + 20 = 5 24 4+2 =

Para indicar divisiones se puede usar tanto el signo ÷ como líneas de fracciones. Las líneas de fracciones ahorran el uso de paréntesis y se prestan menos a confusiones, por esto en adelante sólo usaremos esta notación.

Lección 1

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> Entre paréntesis

111 5/16/08 12:53:13 PM


>3º Actividad individual

¿Cuánto vale x si los rectángulos morado y azul juntos tienen un área igual a 66?

6

7

x

Compara el procedimiento que seguiste con el de tus compañeros. ¿Cuánto vale x si el rectángulo azul tiene un área igual a 40?

5

x 12

Compara tu procedimiento con el de tus compañeros. ¿Cuánto vale x si los triángulos verde y amarillo juntos tienen un área igual a 12?

3 5

x

¿Cuánto vale x si el triángulo morado tiene un área igual a 10?

5

x 7

112

Bloque 2

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5/16/08 12:53:13 PM


Matemáticas

Secundaria 2

Matemáticas

Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez, Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

2

2

DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA

Matematicas 2 santillana integra1 1

5/16/08 6:47:28 PM


Matemáticas 2