§ 2. Nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian
259
trong đó: (0) ˆ ˆ |ψ (0) ⟩ = ⟨ψ (0) |H ˆ 0 |ψ (0) ⟩ + ⟨ψ (0) |W ˆ |ψ (0) ⟩. Hmn = ⟨ψm | H0 + W n m n m n
(9.7)
(0)
Trong vế phải của (9.7), số hạng thứ nhất là En δmn , số hạng thứ hai chính là phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn Wmn . Như vậy, phương trình (9.6) trở thành:
∑
(En(0) δmn + Wmn )cn = Ecm .
(9.8)
n
Trong phương trình này, ta tách số hạng n = m trong dấu tổng và viết lại phương trình dưới dạng: (0) (Em + Wmn − E)cm +
∑
Wmn cn = 0.
(9.9)
n̸=m
Ta thấy phương trình (9.9) chính là phương trình (9.4) trong E-biểu diễn. ˆ = λVˆ , trong đó λ là một thông số bé không Để giải phương trình này, ta đặt W có thứ nguyên, được gọi là thông số nhiễu loạn. Phương trình (9.9) bây giờ trở thành: (0) (Em + λVmm − E)cm + λ
∑
Vmn cn = 0,
(9.10)
n̸=m (0) (0) trong đó phần tử ma trận V có dạng: Vmn = ⟨ψm |Vˆ |ψn ⟩
Để giải phương trình (9.10), ta xét mức năng lượng thứ k và khai triển các hệ số cm và năng lượng Ek thành chuỗi theo thông số nhiễu loạn λ: (0)
(1)
(2)
Ek = Ek + λEk + λ2 Ek + . . . ;
(1) 2 (2) cm = c(0) m + λcm + λ cm + . . . ,
(9.11)
thay vào (9.10), ta được (0)
(1)
(2)
(0) (1) 2 (2) (Em − Ek − λEk − λ2 Ek + . . . λVmm )(c(0) m + λcm + λ cm + . . . ∑ (1) 2 (2) +λ Vmn (c(0) n + λcn + λ cn + . . .) = 0, n̸=m
(9.12)