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Trazados Reguladores en la Arquitectura FELIPE SOLER SANZ


Trazados Reguladores en la Arquitectura Felipe Soler Sanz


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También disponible la edición en formato iBooks® para dispositivos Apple™.

Textos y dibujos: Felipe Soler Sanz Prólogo: José Mª Gentil Baldrich Edita: Felipe Soler Monreal Edición y maquetación: Felipe Soler Monreal Con la colaboración de: Elena Salvador García y Mª Remedios Zornoza Zornoza Imagen de portada: Fotomontaje de la cúpula de la antigua capilla del convento de San Pío V en Valencia. Dibujo de Felipe Soler Sanz. Fotografía y montaje de Felipe Soler Monreal Otras imágenes: las imágenes incluidas en la presente edición se encuentran sujetas a licencias Creative Commons, GNU o bien pertenecen al Dominio Público. Versión PDF: 1.0 Fecha de publicación: Abril de 2014

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Indice El Autor Agradecimientos Prólogo

Sobre la Proporción y los Trazados Geométricos de la Arquitectura

vii ix xi xi

Prefacio Introducción Capítulo 1: Trazados Reguladores

lvii lxi 65

Capítulo 2: Formas Octogonales

117

Capítulo 3: Edificaciones

155

Objetivos y ejemplos Comentario de Edificios Tramas Geométricas

67 79 101

Octógonos Regulares Desarrollo De Formas Octogonales

119 145

Edificaciones Clásicas Salas de la Alhambra, Granada Proyecto de Iglesia de Leonardo Da Vinci Cúpula de la Roca (Jerusalén) Iglesia de San Vital (Rávena) Baptisterio de la catedral deFlorencia Capilla de San Aquilino, Milán Baptisterio de San Juan de Letrán, Roma Tumba de la Santísima Virgen, Jerusalén Iglesia del Santo Sepulcro,Torres del Río (Navarra) Iglesia de Santa María de Eunate (Navarra) Iglesia de la Vera Cruz en Segovia Torres Almohades Torres de Kharragan (Irán) Las Propuestas de Serlio Santa María de los Ángeles,Florencia La Capilla palatina de Carlomagno, Aquisgran Basílica de Santa María del Fiore, Florencia Castel del Monte, Andria (Italia) Qubbat Al-sulaibiya, Samarra (Irak) Pagoda China v

157 158 160 163 166 170 175 179 183 187 190 192 196 199 207 223 230 237 242 245


Santa María de la Salud, Venecia Basílica de San Pedro del Vaticano, Roma Edificios Contemporáneos Biblioteca Louis Jefferson, Aurora, New York (S.O.M.) Escuela de Arquitectura y Arte de Chicago (S.O.M.) Jewish Community Center, Trenton, New Jersey (Louis Khan) Indiana Tower, Indianapolis Las Torres Gemelas, Kuala Lumpur Monumentos Valencianos Girola de la Catedral de Valencia “El Miguelete” Torre de la Catedral de Valencia Torre Campanario “El Fadrí”, Castellón de la Plana Antigua capilla del convento de San Pío V, Valencia

247 253 263 264 269 271 273 274 277 277 283 288 291

Capítulo 4

297

Capítulo 5

337

Capítulo 6

373

Bibliografía Índice Toponímico Índice Fotográfico

383 387 391

Elementos Decorativos Mosaico Toledano Tres mosaicos de la Alhambra de Granada Azulejo en la Mezquita de Córdoba La Alhambra: Relieve La Alhambra: Techo de Madera Otras Aplicaciones Tumba de Isa Han (Delhi, India) Madrasa en Amasya (Anatolia) Taj Mahal y Mausoleo de Humayun Ermita de San Miguel (El Fort) Nules Templo de Minerva Médica (Roma) El Cimborrio de la catedral de Tarazona Algunas Unidades Métricas Locales

297 300 305 320 325 329

337 340 346 351 358 364 370 373

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El Autor Felipe Soler Sanz es doctor arquitecto por la ETS de Arquitectura de Madrid. Entre 1958 y 1977 se dedicó al ejercicio libre de la profesión. Posteriormente su labor profesional estuvo centrada en la docencia como profesor titular de Geometría Descriptiva en el Departamento de Expresión Gráfica Arquitectónica de la Universidad Politécnica de Valencia. Es autor de diversas monografías académicas, entre las que destacan: Apuntes de geometría descriptiva, Perspectivas curvilíneas, Soleamiento y Perspectiva cónica. Ha impartido cursos de postgrado en la Universidad Luterana de Brasil en el Campus de Canoas, y ha sido conferenciante en numerosos congresos de expresión gráfica arquitectónica, tanto en España como en Italia. También es autor de estudios sobre tratados de arquitectura clásica, en la revista Disegnare de la Università di Roma “Sapienza” y su contribución en el libro Tratados de Arquitectura de los siglos XVI-XVII editado con motivo de la exposición celebrada en el Museo de Bellas Artes de Valencia en 2001. Retirado de la actividad profesional, en la actualidad continúa investigando y dirigiendo tesis doctorales.

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Agradecimientos

A mi familia, por su contribuci贸n y apoyo. A Jorge Garc铆a Valldecabres. que me anim贸 a publicarlo.

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Prólogo Sobre la Proporción y los Trazados Geométricos de la Arquitectura JOSÉ Mª GENTIL BALDRICH

La sencillez de la arquitectura Cualquiera que conozca la puesta en práctica del proyecto arquitectónico —es decir, el honrado ejercicio de una profesión para poder subsistir— debería admitir que, en general y para ser eficaz, tiene que basarse en planteamientos muy sencillos. No queremos decir con esto que los, a veces complicadísimos procedimientos de llevarlo a cabo, sean el paradigma de la facilidad, ni que las particulares condiciones —incluida las neuras personales— ayuden a su fluida realización. Pero es evidente que si el cúmulo de procesos meramente administrativos, empresariales o técnicos, ya son de por sí liosos, la tendencia profesional tiene que ser obligatoriamente resolutiva en el sentido de conseguir la simplificación de su desarrollo. Al menos en lo que es patrimonio personal del proyectista en la creación de su obra que, si quiere prosperar, se debe atener al sentido común, con independencia de que posteriormente elabore un discurso justificativo ad hoc, como sucede muchas veces.  xi


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 La necesidad de no perderse en vericuetos mentales ha sido históricamente una constante: el equilibrio y el sentido de la medida –que simbolizada en el compás acompañó siempre a la iconografía del arquitecto– no solo representa un concepto métrico sino que, en su rica acepción, también es el de tener un sentido adecuado de la realidad. Y esto es así, sobre todo, si comparamos a la Arquitectura con otras disciplinas tan antiguas como ella pero más especulativas —como la Filosofía o la Teología— más difíciles en su incierto resultado —como la Medicina— o sujetas a una casuística a las que, ni de lejos, se podría comparar como es el caso del Derecho. Aunque al compartir esas profesiones su actuación en una misma sociedad y a lo largo del tiempo se contaminaran entre sí en más de un concepto —sobre todo en su forma expositiva y en la crítica teórica— nunca se desprendió la Arquitectura de la necesidad de crear entes concretos, cuya materialidad aún compartiendo una especulación asociada, siempre se pudo declarar independiente. Las reglas prácticas, las tablas sinópticas, los ábacos y cuadros resumen de los elementos y detalles arquitectónicos han estado siempre presentes en la exposición de la práctica de la disciplina. Esto abarca desde los catálogos de elementos constructivos hasta los libros de órdenes arquitectónicos; desde las reglas de composición estética a las tablas de cálculo. No quiere esto decir que, en ocasiones, esos afanes taxonómicos nos tengan que ser hoy obligatoriamente fáciles de entender, pero sí que en su época tuvieron que resultar de una evidencia y seguridad generalizada en el gremio. Las formas del cálculo estructural en los edificios históricos, por ejemplo, aún siendo producto muchas veces de procedimientos empíricos de prueba y error, dieron como resultado criterios prácticos de una gran sencillez. Otra cosa es que los edificios no se derrumbaran algunas veces, pero la mera presencia actual en nuestro xii


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patrimonio de numerosos ejemplos históricos de entonces es prueba de que acertaron, la mayoría de las veces, en sus reglas.

! Catálogo normalizado de elementos constructivos

 Pero esa sencillez permanente y común de las aplicaciones prácticas no tiene por qué tener una relación directa con una sencillez de las ideas. Algo tan simple para nosotros como es la relación entre una planta y un alzado —lo que a finales del XVIII se constituyó en nuestro sistema diédrico— tardó siglos en ser asumido como la base de la representación de la Arquitectura. Inicialmente utilizado por los constructores góticos hasta el punto de constituir, a mi juicio, el auténtico secreto de gremios medievales, de tanto juego en la literatura seudo histórica actual, no era conocido, por ejemplo, por Alberti, quien en su conocido libro planteó planta y alzado en dibujos independientes. Solo a partir de la llamada Carta a León X se comenzó a difundir en Italia, es decir, ya iniciado el segundo decenio del siglo XVI, cuando los denostados góticos de la literatura renacentistas hacía más de un siglo que lo utilizaban como base de la definición de la obra arquitectónica[1]. xiii


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A su vez, algunos de nuestros juicios firmemente aceptados sobre la práctica de la arquitectura histórica se pueden demostrar como sumamente débiles. En el prólogo de un libro anterior de Felipe Soler tuve la ocasión de exponer mis ideas sobre la perspectiva cónica[2]. Pretendí hacer ver que su uso fue sumamente escaso en nuestra disciplina por los verdaderos profesionales que, a todas luces, huían de la complejidad geométrica del sistema, siendo los preocupados por su estudio y exposición personajes ajenos a la práctica arquitectónica. El hecho que sobre el tema escribieran arquitectos como Serlio o Vignola[3] no invalida el juicio. De Serlio no se conoce ninguna obra construida, procediendo su fama —tan merecida como controvertida— exclusivamente de sus escritos. A su vez, el texto de Vignola sobre el tema no es tal, siendo su auténtico redactor el dominico Egnazio Danti, aunque promovido por el hijo del arquitecto, Giacinto, que menos dotado que su progenitor para la profesión pretendió vivir de la fama paterna editando el libro cuando, muchos años después de su muerte, ya habían prescritos los derechos de autor del conocido texto sobre los órdenes. Resultaba sorprendente la abrumadora cantidad de clérigos dedicados a ese menester —especialmente jesuitas— sin duda por no tener otra cosa que hacer, como se decía, en muchas de las horas del día. Por el contrario y como indica Zorzi sobre un arquitecto auténticamente constructor como Palladio, si un dibujo estaba hecho en perspectiva y existen dudas sobre su autoría, se debe interpretar que no es de Palladio[4]. Igual podríamos decir de Juan de Herrera, trasunto nacional del arquitecto véneto. La Arquitectura siempre tuvo un indudable componente práctico ajeno a su formulación teórica. Esto es apreciable en el texto histórico de la disciplina de Vitrubio que, aun siendo una auténtica enciclopedia de construcción, se encuentra carente de una auténtica teoría de la proporción y de especulación neoplatónica. Vitrubio lo que da son reglas xiv


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prácticas para facilitar el trabajo[5]. Asimismo, si observamos cómo era vista socialmente la arquitectura en el Renacimiento, nos basta con analizar las opiniones de Vasari[6]: los méritos expuestos de sus admirados héroes del arte renaciente se apoyaban en conceptos tales como que sus obras eran más económicas que las de sus contrarios, que se habían hecho en menos tiempo o que habían superado alturas o luces nunca conocidas. Es decir, las mismas ideas que hacen las delicias hoy de los promotores inmobiliarios, sean estos políticos o empresariales.

! Regles des cinq ordres d'Architecture de Vignola, Paris, Nicolas Bonart, 1665. Ordenes arquitectonicos xv


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 El síndrome del papel en blanco Una segunda idea que conviene tener en cuenta se relaciona con la fase inicial del proceso de realización del proyecto de arquitectura: la obligatoria  aproximación preliminar al problema que se quiere resolver. Tan fundamental como previa,  posee la característica de poderse ver afectada unas carencias conceptuales que podríamos denominar síndrome del papel en blanco. Como acto de creación, el proyectar partiendo originariamente de la nada representa en sí mismo tal esfuerzo intelectual —en ocasiones próximo al trauma— que debemos situarlo como uno de los orígenes de los muchos y muy diversos caminos perfilados como reglas para su supuesta superación práctica. Entre estos se podrían citar desde las hipotéticas metodologías proyectuales y universales para su ejecución racional —en ocasiones con abstrusas teorías generalmente productos de las tendencias históricas del momento— hasta, amparados en el recuerdo y la memoria, la mera transcripción rutinaria de un modelo, por no llamarlo remedo, en su extremo menos decoroso.  Aunque esta circunstancia se puede generalizar a cualquier acto de creación artística y no sea exclusiva de la Arquitectura, su presencia en esta posee una particular y específica incidencia en el arte. Sea por el esfuerzo económico que precisa la actividad, la dimensión física que alcanza en su ejecución, la atención de las ineludibles necesidades humanas de tener cobijo o por constituirse en  el símbolo de los anhelos y el poder de una sociedad, la Arquitectura se encuentra especialmente afectada en general por una libertad coartada y, en su práctica, por la necesidad de tener unos ineludibles puntos iniciales de referencia. De esa manera nos podemos encontrar que, participando de esa necesidad que podríamos llamar atávica de encontrar un punto de partida, han xvi


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surgido en su desarrollo histórico desde las más diversas ordenanzas y normativas edificatorias hasta los más variados cánones estéticos, siendo irrelevante a este respecto que generalmente aparecieran estas bajo la coartada de atender a una uniformidad, bondad, racionalidad o belleza.

Stonehenge, h. 2000-2500 a. de C. Hipótesis de la planta.

 Instintivamente la pauta y el orden previo han debido existir siempre, incluso antes de los inicios de la propia arquitectura histórica documentada y de la existencia física de ese papel cuya traumática blancura nos acongoja. Nadie puede negar, por ejemplo, la existencia de un guión previo incluso en los monumentos megalíticos, entre los que puede servirnos de muestra destacada el conocido de Stonehenge en Wiltshire, cerca de Amesbury, Gran Bretaña. En las etapas posteriores, en las que la documentación de las teorías arquitectónicas paulatinamente se nos fue haciendo cada vez más explícita, la presencia de la norma nos fue resultando permanente. Sin afán exhaustivo, y solo por citar algunos casos destacados sin descender a la más remota antigüedad, esxvii


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tán presentes en el gótico con solo ver los impresos de Mathaus Roriczer para la correcta —expresamente dicho así en el título de su librito— ejecución de los pináculos[7]; en la reinterpretación clasicista de la Antigüedad de los órdenes clásicos capitalizada por Vignola en el más difundido best seller arquitectónico de la historia, en las teorías del Modulor de Le Corbusier o en el texto de Ernts Neufert cuyo libro, no lo olvidemos, se llama en castellano Arte de proyectar en Arquitectura[8].

! Matthäus Roriczer. “Von der Fialen Gerechtigkeich”, Ratisbona, 1486. Planta de un pináculo

Como podremos ver existieron, entre otras y añadidas a todas esas tramas ideológicas más o menos superpuestas, otras tramas —valga la redundancia y nunca mejor dicho— que adoptaron estructuras y formas geométricas, en ocasiones como soporte necesario a las teorías proyectuales que se exponían y, en otros casos, como supuestos garantes de la corrección de los resultados finales. Así, es fácil de encontrar intercaladas en muchas propuestas arquitectónicas unos trazados geométricos, dependientes cada uno de su particular geometría y defensores de su particular verdad. No nos debe resultar difícil reconocer que, en la maxviii


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yoría de los casos, esa específica dependencia de una norma académica que ha precisado el arquitecto para su particular equilibrio mental — cuando eso es posible— son el origen de la formación y propagación de la mayoría de las estructuras geométricas que, asociadas al diseño arquitectónico, en el mundo han sido desde la antigüedad hasta el presente.

Las proporciones humanas de Ernts Neufert

Pero una cosa es, como luego volveremos a señalar, las ordenaciones empleadas por los artífices del momento y otra las supuestas estructuras previas que, como presentes en ellos, imaginariamente descubrimos en la actualidad. Esta cuestión es un tema clásico de los análisis de la arquitectura, sobre la que se ha discutido en innumerables ocasiones y se han escrito, con mayor o menor fortuna,  numerosos libros. Debemos tener en cuenta sobre todo, y a nuestros efectos es lo más importante, que este asunto se ha abordado generalmente con un rigor muy desigual y, en pocas ocasiones, desde el punto de vista de la arquitectura. xix


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El soporte gráfico de la geometría El significado etimológico de Geometría deriva de su original griego, donde quiere decir medida de la tierra. Suele acompañarse esta definición en su análisis histórico con el comentario debido de Heródoto, y que después siguieron Proclo de Licia en sus comentarios a Euclides y otros autores, de ser una práctica originaria de Egipto realizada por los agrimensores para restituir las propiedades tras la retirada de las aguas en las crecidas del Nilo[9]. Por más mítica que sea esta historia, no deja de ser significativo este relato si nos fijamos en que lo que describe no es más que un replanteo, es decir, la misma labor previa que se realiza en el terreno para ejecutar una obra de arquitectura. Aunque el carácter público de deslindar unas parcelas y cobrar los impuestos asignados a las mismas le diera una comprensible y mayor trascendencia social, nadie pude discutir que si, en vez de haber explicado Heródoto su origen como una labor agraria, lo hubiera hecho como la particular actividad de los arquitectos egipcios de la época hubiera dejado de tener la misma verosimilitud. Y así debió de ser en la historia habitualmente, con solo tener en cuenta un ejemplo tan alejado en el tiempo y el espacio como el ya citado de Stonehenge, que es difícil de imaginar sin una regla previa de trazado antes de su ejecución. La planta de un edificio —por así llamarla — fue siempre un estado previo que precisó de su materialización con anterioridad al inicio de la obra, y suponer a la geometría como el soporte racional para su ejecución es tan lógico como que no se pueda discernir qué apareció antes en la actividad humana, si la especulación geométrica de unos sacerdotes aburridos como indicaba Aristóteles, o la necesidad de la aplicación de unos métodos para poder iniciar una obra en vez de replantear unos terrenos. O las dos cosas a la vez. xx


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Establecido este soporte geométrico previo y necesario para la ejecución de cualquier obra surge la reflexión sobre las formas geométricas que fueron aplicadas. Aun existiendo culturas anteriores hasta tiempos históricamente muy recientes tan solo existió la geometría griega, como un cuerpo teórico con el suficiente desarrollo para que pudiera ser empleado, al que el medioevo tan solo aportó algunas construcciones geométricas prácticas. Debemos tener en cuenta, además, que la geometría griega era una ciencia carente de álgebra para su aplicación, con una aritmética muy reducida y que abarcaba, a los efectos prácticos, lo que podía resolverse con la regla y el compás[10]. Inicialmente las formas empleadas tuvieron que ser las más sencillas —el círculo, el cuadrado, el triángulo y el rectángulo— a las que se añadieron más adelante otros polígono procedentes de la bisección del ángulo, es decir, hexágonos u octógonos con muy escasas variaciones[11]. Dentro de las múltiples variantes de figuras triangulares y rectangulares, por la dimensión de sus lados, también se establecieron en estas sus particulares divisiones. Además del empleo del triángulo equilátero y de diversos isósceles particulares, es de interés el triángulo pitagórico de proporción 3-4-5 en sus lados, llamado triángulo dorado egipcio, primero de la serie que tiene catetos e hipotenusa con una dimensión de números enteros —denominados diofánticos[12]— de amplio uso en la agrimensura para el trazado de ángulos rectos. Para los rectángulos sucedió igual: su infinita variedad se limitó con unas condiciones de proporción y medida sobre las que luego volveremos. Pocas figuras geométricas más estuvieron a disposición de los tracistas. Aún el pentágono, por más que estuviera imbuido de un cierto esoterismo de orígenes pitagóricos y que tuviera una construcción sencilla con regla y compás ya establecida por Euclides [13], siempre fue considerada una figura relativamente complicada, lo que ya nos da una cierxxi


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ta idea del nivel del personal que estaba dedicado al oficio. Como podemos comprobar su empleo en las tramas arquitectónicas ha sido siempre raro: cuando nos aparece en un rosetón gótico, en la planta del palacio de Caprarola de Vignola o en numerosas fortificaciones militares, lo debemos interpretar tan solo como un ejemplo planteando con una intencionada sofisticación. Los polígonos de siete y nueve lados, al no ser posible su exacto trazado con regla y compás, se tienen que considerar como excepcionales y, cuando aparecen en alguna ocasión, tan solo son el producto de la docta ocurrencia de un particular autor[14].

! Euclides, libro IV, proposición 11 en la edición de Venecia, 1482.

 Así, de la misma manera que anteriormente planteamos la obligada sencillez de la arquitectura, tenemos que considerar asimismo la forzada simplicidad de la geometría aplicada a la misma. E igual sucede con la aritmética utilizada, reducida a las llamadas cuatro reglas que, además, no tuvieron vigencia algebraica con numeración arábiga y un sistema decimal generalmente aceptado hasta muy avanzada la Edad Media. Introducida esta a partir de las fuentes árabes originales, al principio, además, tan solo lo fue en los núcleos especializados y, después, en su empleo para llevar las cuentas sustituyendo al ábaco.

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Las proporciones geométricas en Vitrubio Entendemos por proporción aplicada a la Arquitectura la conveniente correspondencia de las partes con el todo. Los escritos que nos han llegado de la Antigüedad sobre el tema son muy escasos, hasta el punto que difícilmente se puede establecer siquiera un esbozo de las intenciones de los artífices de entonces. Por extraño que nos pueda parecer Vitrubio no cita esa palabra como un concepto independiente y propio de la Arquitectura: para el autor romano el término a aplicar a ese concepto sería el de Simetría. En efecto, cuando define las partes de las que consta la Arquitectura  relaciona estas como Ordenación, Disposición, Euritmia, Simetría, Decoro y Distribución. Es cierto, sin embargo, que el término “proporción” es utilizado gramaticalmente en las exposiciones que realiza, incluso que esta palabra alcanza una categoría casi sinónima con “simetría”, pero nadie puede negar que, por ejemplo, en el extenso índice de los conceptos contenidos en la obra vitrubiana, que acompaña a la edición de Ortiz y Sanz de 1787, la palabra proporción es inexistente[15]. Para la Simetría da como definición la de ser “la conveniente correspondencia entre los miembros de la obra, y la armonía de cada una de sus partes con el todo: pues así como se halla simetría y proporción entre el codo, pie, palmo, dedo y demás partes del cuerpo humano, sucede lo mismo en la construcción de las obras”[16]. Introduce aquí una idea de amplio éxito icónico posterior, su relación con las medidas del cuerpo humano, que desarrolla a continuación en el libro tercero como introducción a la composición y simetría de los templos[17]. Argumenta asimismo que las unidades de medida y sus subdivisiones provienen de esta proporción corporal —como demuestran mayoritariamente los nombres dados a las mismas— y que los romanos adoptaron la base dexxiii


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cimal en contra de los griegos, que tomaron al seis como número perfecto. Como podremos comprobar, aunque el concepto sí exista bajo el nombre de simetría, no existe en Vitrubio ninguna teoría general y organizada de la proporción. Cuando se aplica la cuestión a los edificios y partes de la arquitectura se realiza de una manera conceptualmente muy simple, utilizando números enteros o razones entre ellos. La explicación de los órdenes, aunque pueda resultar de un desarrollo ciertamente prolijo, no es más que una sucesión de medidas y subdivisiones de las mismas, en gran parte basadas en la dimensión del imoscapo, pero ni siquiera siempre. De igual manera no se puede deducir una preferencia particular sobre ningún número o razón entre ellos, que cuando lo hace utiliza a su conveniencia, sin explicación alguna y para los que ni siquiera define denominaciones particulares como se haría después. Es el caso, por ejemplo, de su aplicación a las proporciones de los atrios para los que da, en función de las circunstancias, las relaciones de 5/3, 3/2 y 1/√2. Ni que decir tiene que para Vitrubio el concepto de √2 era totalmente desconocido, al igual que lo eran los números irracionales para los griegos, determinándolo por la diagonal de un cuadrado de fácil trazado con el compás. De igual manera cuando establece la proporción 3/2 —la que ya entonces se conocía como sesquiáltera— no le da su particular nombre, lo mismo que hace cuando la establece como proporción del foro romano, definiéndola por una mera relación dimensional[18]. Esto no quiere decir que Vitrubio no conociera su nombre, que expone cuando se refiere al sistema de numeración de los griegos anteriormente citado, cuando indica que el seis mas su mitad para hacer nueve se llama “… sesquialterum, en griego emiolios”. Sencillamente no le daba la menor trascendencia que, como sabemos, empieza siempre por darle una particular denominación a las cosas. xxiv


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Proporción de los atrios de Vitrubio según la versión de Cesariano, Como, 1521, libro VI, cap. IV.

Las proporciones armónicas Pese a que el  texto de Vitrubio sea el único que, en la práctica, trate de la arquitectura en la Antigüedad y podamos pensar que semejantes ideas descreídas y escépticas no fueran generalizadas, lo cierto es que muy poco más se puede añadir. Además, aunque los estudios modernos sobre el descubrimiento de proporciones y trazados de obras emblemáticas sean innumerables, estos se fundamentan siempre en especulaciones que, por lo demás, suelen ser distintas en función del autor. Así sucede desde los múltiples estudios del Partenón —clásico donde los haya— hasta las supuestas proporciones egipcias, acompañadas cada una de un mayor o menor misticismo[19]. Sin embargo sí es cierto que en la geometría griega existió una línea de pensamiento, la teoría pitagórixxv


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ca del número, que aunque siempre estuvo acompañada de una cierta marginalidad esotérica, tuvo además de sus habituales utilizaciones adivinatorias y de horóscopos una aplicación a la música, de notable influencia posterior. Debemos recordar que, por más que pensemos en una cuestión de estética arquitectónica, cuando decimos “relaciones armónicas” nos estamos refiriendo a una cuestión musical en su sentido estricto.  Aunque con una autoridad difusa en la Antigüedad —Pitágoras no escribió ningún libro— fue Nicómaco de Gerasa, un seguidor suyo en una fecha ya tardía del siglo II, quien dio cuerpo a la formulación aritmética de la numerología pitagórica en su Isagoge, o Introducción a la Aritmética[20], obra a partir de la que posteriormente se propagó. Se produjo esta difusión al ser incluidas en las obras de Boecio, filósofo neoplatónico al parecer ejecutado por Teodorico en Pavía hacia 524 y considerado por algunos como mártir cristiano, quien las vertió del griego al latín y la convirtió en una lectura obligada de los monasterios y universidades medievales a través de sus copias manuscritas[21].  Se incorporó además a las teorías de la música sagrada durante la Edad Media, lo que multiplicó su expansión en los claustros, circunstancia que sería fundamental para su adopción en el Renacimiento[22]. Su primera aplicación a la Arquitectura fue la realizada por León Bautista Alberti en “De Re Ædificatoria”, traducido en España como “Los diez libros de Architectura”, quien en el capítulo V del libro IX explica cómo los intervalos musicales agradables al oído —la octava, la quinta y la cuarta— se corresponden con la división de una cuerda en 2, en 3 o en 4 (1/2, 2/3, 3/4), es decir, el diapasón que es dupla, el diapente que es sesquiáltera y el diatesarón que es sesquitercia. En esa explicación de la teoría de los números armónicos seguía casi literalmente la xxvi


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teoría aritmética y musical medieval derivada de Boecio, escritor que Alberti, en sus lecturas eruditas, debía conocer por su condición de clérigo. La aplica sucintamente en el siguiente capítulo de su obra a las plantas de los edificios, introduciéndola por primera vez en el proyecto arquitectónico como una aportación personal al texto de Vitrubio, autor al que a todas luces pretendía imitar y completar[23]. Pese a ser Alberti el primero que hizo uso de estas teorías musicales aplicadas a la arquitectura, inexistentes con anterioridad y completamente al margen de los presupuestos vitrubianos, no fue su obra la que difundió principalmente la teoría de la proporción en el mundo europeo. Su libro, aparecido póstumamente e impreso en latín, era un texto fundamentalmente te��rico, carente de ilustraciones —al igual que el de Vitrubio— en las primeras ediciones y de difícil lectura, cuya influencia en la práctica cotidiana de los arquitectos fue muy discutible hasta que no aparecieron las traducciones al toscano. No obstante sí es verdad que esa teoría musical se utilizó en alguna ocasión, como la estudiada por Wittkower del informe realizado en 1535 por el monje franciscano Francesco Giorgi para San Francesco Della Vigna en Venecia, personaje que era excepcionalmente conocedor de Alberti y, por su formación eclesiástica, de Boecio[24]  Su verdadera propagación en el grupo profesional más culto se produjo a través de los escritos de Sebastiano Serlio que, precisamente, había conocido el debate teórico de Francesco Giorgi citado anteriormente. Tuvo lugar tras la publicación en París, en 1545, de sus libros primero y segundo sobre la Geometría y la Perspectiva de su obra general sobre la Arquitectura, que venían a completar el tercero y el cuarto aparecidos en 1537 y 1540[25]. Su obra había abierto, desde su inicial aparición en Venecia del libro cuarto sobre los órdenes, una nueva forma de xxvii


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Sebastiano Serlio, libro primero, h. 21 r. Proporciones.

exponer la teoría arquitectónica, con una evidente preponderancia de las ilustraciones sobre el texto y, al contrario que Alberti, con un manifiesto carácter práctico, carente de la referencia neoplatónica o mágica que había influido en el primer Renacimiento. Su carácter de manual distinguido le proporcionó un éxito inmediato en la profesión y, aunque pronto surgieron acusaciones de no ser más que un plagio de escrixxviii


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tos de su maestro Baldassare Peruzzi, nadie pudo impedirle el tener una de las mayores influencias en la arquitectura europea posterior. La Geometría de Serlio, tras exponer los conceptos fundamentales de Euclides, aborda los trazados gráficos imprescindibles para la realización de los proyectos arquitectónicos: los polígonos, los óvalos —lo que, salvo en Durero,  era una novedad— y algunas aplicaciones sencillas. Como complemento representa gráficamente las proporciones de los rectángulos al partir de un cuadrado —que denominaba “perfecto”— recogiendo las mismas que ya habían aparecido anteriormente en el texto de Alberti y añadiendo una nueva: la diagónea —1/√2— sobre la que luego volveremos[26]. Una breve utilización en la disposición de los forjados de madera y el trazado de una portada completa la sucinta, pero clara, referencia a las proporciones incluida en su tratado. Serlio no realiza ninguna ampliación geométrica del tema en su obra —no abordó los poliedros, por ejemplo, de moda entonces desde su publicación por Durero a partir de 1525— y no hizo la menor referencia al carácter armónico de su origen musical. Su planteamiento se hará aún más resumido en la obra posteriormente escrita por Palladio, que —pese a constar de su empleo en los proyectos de sus villas— se limitó a enunciar las proporciones por la relación de las medidas dadas en el texto, sin referencia a sus denominaciones particulares o cualquier otra indicación trascendente[27]. El libro primero de Serlio no se publicó en castellano —tan solo lo fueron el tercero y el cuarto en 1552[28]— pero la transmisión de sus esquemas geométricos se difundieron en España sin dificultad, bien a través de sus múltiples ediciones italianas, bien mediante la apropiación de sus ideas por los escritores locales. Es el caso de Juan de Arfe, quien en su De varia commesuración[29], trata la cuestión en su libro prixxix


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mero con la evidente inspiración, por no decir otra cosa, del italiano. Arfe, al igual que Serlio, no hace ninguna referencia a la armonía musical de donde se había nutrido la hasta entonces exigua teoría arquitectónica de las proporciones, lo que no es óbice para que en el mundo culto de entonces aquella siguiera siendo la preponderante, y su aplicación arquitectónica tan solo una más como podía haberlo sido cualquiera otra. Por su interés particular merece la pena citar, para convencernos, un párrafo de una excelente escritora, sor Juana Inés de la Cruz, que hace una curiosa aplicación de la teoría al margen del mundo arquitectónico: “Pues sin ser muy perito en Música, ¿cómo se entenderán aquellas proporciones musicales y sus primores que hay en tantos lugares, especialmente en aquellas peticiones que hizo a Dios Abraham, por las Ciudades, de que si perdonaría habiendo cincuenta justos, y de este número bajó a cuarenta y cinco, que es sesquinona y es como de mi a re; de aquí a cuarenta, que es sesquioctava y es como de re a mi; de aquí a treinta, que es sesquitercia, que es la del diatesarón; de aquí a veinte, que es la proporción sesquiáltera, que es la del diapente; de aquí a diez, que es la dupla, que es el diapasón; y como no hay más proporciones armónicas no pasó de ahí? Pues ¿cómo se podrá entender esto sin Música?”[30].

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Las proporciones irracionales Hasta ahora, como hemos visto, tan solo se han utilizado en las medidas y proporciones números enteros o fracciones de estos, es decir, números racionales o que pueden ser expresados mediante una razón aritmética de números naturales. Pero existían otros números especialmente evidentes por la formulación del teorema de Pitágoras que, aplicado al cuadrado perfecto de lado la unidad, obtenía √2 —de una imposible expresión racional— como dimensión de la hipotenusa o diagonal del cuadrado. Esta cuestión fue un episodio irresuelto tanto por la geometría griega como por  la derivada de ella, que nunca expresaron —salvo esta 1:√2 indicada del lado/diagonal del cuadrado— un sistema de proporciones basado en las raíces de números enteros y pese a la sencillez de la obtención geométrica del mismo. En efecto, la proporción 1:√3 es la existente entre el lado y la diagonal de rectángulo diagóneo de Serlio; la 1: √4 —en realidad la dupla, 1:2— es la existente entre el lado y la diagonal de la anterior 1:√3; la 1:√5 es la que se encuentra entre el lado y la diagonal del rectángulo de proporción dupla,...[31] La incomprensión en la época de las potencias y las raíces es deducible de los propios parangones geométricos utilizados para su asimilación. Así para la segunda potencia decimos cuadrado de un número por analogía con la superficie obtenida en un cuadrado que tuviera por dimensión del lado la del número en cuestión; tercera potencia o cubo, el volumen del cubo que tuviera por arista el número que deseamos elevar,... Pero todo se complicaba cuando quisiéramos realizar las mismas semejanzas geométricas por encima de la tercera dimensión, porque la cuarta dimensión —salvo en el desarrollo matemático posterior y en las novelas de ciencia ficción— ya no existía perceptivamente. E igual sucedía con las raíces, que semánticamente eran la causa o el origen xxxi


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del número —el lado o la arista del símil geométrico anterior— que tuviéramos que calcular. Lo mismo ocurría con el término irracional utilizado, con un significado ciertamente matemático como hemos visto, pero que también como sinónimo admitido de algo carente de sentido y fuera de toda lógica humana, circunstancia que en la época debía ser lo que pensase más de uno sobre el tema que nos ocupa. Se ha visto anteriormente como en el libro de geometría de Serlio se incluyó la proporción diagónea, 1:√2, dentro de las canónicas del nuevo método renacentista para el dimensionamiento de los rectángulos. Algún autor ha hecho la mención de ser esta inclusión derivada de su práctica en el medioevo donde, en efecto, fue una de las bases de los trazados con 45 y 90 grados de las tramas geométricas de su arquitectura. Pero parece más lógico pensar que su procedencia era la vitrubiana que ya se ha visto y que siempre fue tratada por los comentaristas del autor romano, estando presente en numerosas ilustraciones como, por ejemplo, en la de Cesariano que se aporta como ilustración a este trabajo. Pero pese a tener tan autorizado origen no dejaba de resultar incómoda para los autores: el propio Serlio le realiza una apostilla muy significativa en su descripción, donde indica que no se encuentra en ninguna proporción con el cuadrado perfecto para justificar la existencia de esta relación entre los lados del rectángulo. La califica de irrazonable —que no irracional— y su publicación bilingüe italiano-francés de la  edición original nos permite además la interpretación francesa realizada del término: inexplicable[32]. Con esta fama no es de extrañar que, como se ha indicado en nota, no fuera recogida esta proporción por Juan de Arfe cuando copia al italiano en su libro, a pesar de ser imprescindible en los trazados de algunos elementos como el pedestal dórico por ejemplo. Y si esto se hacía xxxii


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con la modesta, pero calificada y práctica[33], proporción diagónea, puede imaginarse el lector la suerte que corrieron en la teoría y la práctica arquitectónica todas las demás proporciones irracionales. Así, la derivada de √3 presente en cualquier composición triangular equilátera, no se citó nunca, al igual que sucedió con todas las demás: la proporción cordobesa —1:√2-√2— de Rafael de la Hoz;  la θ, 1:1+√2; incluida la celebérrima divina proporción —función de √5— de la que damos alguna indicación a continuación.

A vueltas con la divina proporción El conocido número de oro o proporción áurea es asimismo una proporción irracional —(1+√5)/2— que en su forma geométrica era conocida como de media y extrema razón desde la Antigüedad. Fue definida por Euclides en sus Elementos para la división de la recta y, siendo entre otras cosas la proporción entre el lado y la diagonal de un pentágono, tenía que ser conocida por los pitagóricos que hicieron de este polígono, y del pentalfa derivado de él, un signo de su identidad[34]. Pero en Euclides no existe, como sucede en todo su texto, ninguna indicación fuera de las meramente geométricas, ni referencias estéticas, ni siquiera su expresión aritmética que, en su época y como se ha dicho, era desconocida. La denominación de divina proporción apareció en el texto de igual nombre que Luca Pacioli publicó en 1509 —por semejanza a Dios mismo, como dice— donde la justificó con argumentos de la teología cristiana y referencias a la Santísima Trinidad, que en un batiburrillo mezcló, como buen neoplatónico, con la cita al Timeo de Platón[35]. Pese a sus elogios retóricos Pacioli limitó su aplicación, sin embargo, a cuestiones meramente geométricas como la obtención de pentágonos, dodexxxiii


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caedros e icosaedros —donde es de una efectiva utilidad— sin una mayor extensión de la misma. Hasta tal punto esto es así que, cuando aborda las proporciones humanas no hace la menor referencia a ella, viniendo a describir el ya entonces más o menos conocido hombre vitrubiano, ni la emplea tampoco en su breve y posterior digresión arquitectónica. Cuando se asegura por algunos autores que la proporción del rostro que aporta corresponde a una aplicación de la sección áurea es porque no se sabe lo que se está diciendo: el rostro está inscrito expresamente en un triángulo equilátero[36]. Pero aunque Pacioli no aplicó esta proporción a ninguna de las cuestiones estéticas que luego le dieron fama, sí la dotó de la algebrización necesaria para que se pudiera operar aritméticamente con ella, como una ampliación de otra obra suya, la Summa de Aritmética, que había publicado en 1494, donde resumía los avances de la aritmética medieval que completaban la antigua geometría griega y a la que se refiere en repetidas ocasiones en el texto[37]. Así, encontramos referencias a la proporción áurea —sin citar a Pacioli— en Kepler, dentro su Mysterium Cosmographicum, dándole el tono esotérico tan habitual en el astrónomo y dentro de su búsqueda de una armonía geométrica universal que, por lo demás, realiza tras una prolija aplicación de las teorías musicales al cosmos [38]. Salvo esto, y pese a lo que se suele repetir, no se conocen influencias artísticas posteriores. El auge posterior de la divina proporción procede de los estudios realizados a partir del siglo XIX. Hasta entonces —salvo el apelativo dado por fra Luca— ni siquiera poseía un nombre propio: Kepler, tan aficionado a las divinidades, siempre la llamó con la designación euclídea, incluso su símil dorado indicado en nota se lo aplicó al teorema de Pitágoras y no a nuestra proporción.  La primera denominación de goldener xxxiv


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Schnitt —sección áurea— le fue dada por el matemático alemán Martin Ohm en 1835[39], al que siguió Adolf Zeising[40] en 1854 para su aplicación a las proporciones humanas retomando el clásico hombre vitrubiano y, en 1865, Gustav Fechner[41] en sus estudios de estética. Tras estos iniciales estudios alemanes se recogió como golden section en el artículo Aesthetics que sobre la materia escribió James Sulley, en la novena edición de la Encyclopedia Britannica de 1875, y fue aplicado a sus estudios sobre las espirales por Theodore Cook, primero en 1903 y después, en un texto más amplio y de más influencia, en 1914[42]. Fue precisamente en este texto donde se designó al número obtenido de la sección áurea, por primera vez, con la letra griega φ, inicial de Fidias —φειδίας— escultor al que algunos estudios anteriores consideraban supuestamente usuario de la proporción en sus estatuas[43]. La proliferación de trabajos que pretendieron aplicar esta proporción a los más diversos campos, desde la biología a la pintura, excede lo propuesto en este escrito y se pueden encontrar en obras más especializadas[44]. Sí merece la pena citar a dos autores que influyeron notablemente en el siglo XX sobre la difusión del tema: Matila Ghyka y Le Corbusier. El primero publicó en 1927 un libro recopilatorio de los trazados proporcionales bastante documentado que, por propia confesión, había sido motivado por el descubrimiento en una librería anticuaria del texto de Pacioli. Recogió en él los trabajos anteriores de los ya ciados  Theodore Cook y Jay Hambidge, junto a otros autores y las opiniones de Le Corbusier de Vers une Architecture, publicado tan solo cuatro años antes y con quien se uniría posteriormente en mutuas búsquedas [45]. Aunque el texto abordaba todo tipo de estudios y proporciones, fue el propio origen de su interés y la fascinación por la sección áurea xxxv


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lo que le hicieron destacarla, cuestión que abordaría en un libro posterior con más amplitud y controvertida opinión. En 1931, visto el éxito del libro anterior, publicó Le nombre d’or, cuyo propio subtítulo es de por sí indicativo del afán de dotar al número de oro de una validez y trascendencia universal: Rites et rythmes pythagoriciens dans le dèveloppement de la civilisation occidentale. A diferencia del primero, este se encuentra mucho más imbuido de las ideas esotéricas y teosóficas difundidas en el periodo de entreguerra, con conexiones a veces vidriosas con simbologías nazis, abarcando desde la mística francmasónica hasta el nudismo, y cuya relación con un cierto ocultismo le fue reprochada en alguna ocasión[46].

! Miss Helen Wills en Le Nombre D’or (I, lam. XVIII)

El propio carácter de aplicación universal del número φ como sublime garantía estética le lleva en ocasiones a ser de una ingenuidad contraproducente, hasta el punto de arriesgarse a hacer perder la fe en la pretendida bondad de la proporción a sus seguidores más recalcitrantes. Así, con nuestros cánones actuales, cuando pretende demostrar la belleza de Miss Helen Wills basándose en el análisis de las proporcioxxxvi


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nes áureas de una fotografía de su rostro, el resultado obtenido tan solo nos puede hacer pensar que algo más tendría que haber, entre el autor y la referida señorita, que la mera búsqueda abstracta de la proporción para pretenderlo. Otros ejemplos que aporta, con curiosas imágenes, poseen similar grado de debilidad y promueven a la misma poca convicción de los lectores en el método[47].

! Le Corbusier. Modulor. Dibujo “A bordo del carguero Vernon S. Hood el 6 de enero de 1946”

 Aunque a partir de entonces las aplicaciones —y el abuso— de las teorías de Ghyka a las más diversas expresiones artísticas fueron innumerables, conviene destacar la realizada expresamente para la arquitectura por Le Corbusier. La relación entre ambos autores se puede ver en el comentario inédito del arquitecto, del 23 de febrero de 1934, sobre la reedición de la Esthetique des proportions de Ghyka, que le interesó vivamente. Ya antes había escrito un pequeño artículo, Tracés regulateurs, en xxxvii


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1925[48] y, entre 1942 y 1946, desarrolló una teoría proporcional basada en el número φ, que expuso por primera vez en una conferencia impartida en Nueva York en el mes de abril de 1947, dentro del congreso anual de la American Designers Institute, y que incluyó posteriormente en la edición de su obra. El éxito del tema hizo que el propio Ghyka publicara un artículo sobre el mismo en la Architectural Review en febrero de 1948 y, aquel mismo año, se publicó otro en el RIBA Journal sobre la sección áurea[49]. Su sistema proporcional Modulor se publicó en 1950 y recogió en él, de forma un tanto desordenada, tanto la crónica de sus pesquisas como el conjunto de sus aplicaciones a la arquitectura, la racionalización y normalización industrial, la pintura,…[50] Pese a que su éxito en la teoría arquitectónica fuera inmediato y a que Le Corbusier lo empleara en muchas de sus obras, el tema —menos sencillo de aplicar de lo que inicialmente se pueda suponer— fue perdiendo paulatinamente el interés en la arquitectura. Aunque los arquitectos de los años sesenta y setenta del siglo XX lo estudiaban en las escuelas, para los alumnos actuales resulta una cuestión de auténtico erudito.

Los trazados geométricos como generadores de proporciones No es necesario aclarar que, asociado a una forma arquitectónica, no es lo mismo una proporción que un trazado geométrico. La proporción, aunque pueda definirse geométricamente, puede hacerse también de manera más general como una serie numérica, como una relación aritmética o una fórmula algebraica. Los trazados, sin embargo, tienen que ser obligatoriamente geométricos y expresados con un soporte gráfico. Además, ambos conceptos pueden ser independientes o, por el xxxviii


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contrario, estar relacionados mutuamente y sugerirse proporciones en trazados o, indistintamente, tramas geométricas derivadas de series numéricas proporcionales. Parece evidente que, al igual que las teorías proporcionales antes citadas, tanto los trazados como las redes geométricas tienen que ser sumamente simples para ser efectivos, de manera que ayuden al proyectista o a la realización de la obra de arquitectura y no al contrario. Tan solo existen dos tramas geométricas sencillas de polígonos regulares capaces de llenar el plano: la red de cuadrados de 90º y la red de triángulos equiláteros de 60º. La primera, la cuadrícula, es de un uso ancestral encontrándose ejemplos desde las pinturas egipcias hasta los proyectos del Movimiento Moderno. Utilizada como guión gráfico o falsilla para el dibujo, con el trazado previo sobre el papel de una retícula reguladora auxiliar, existe, por ejemplo, en dibujos de Antonio de Sangallo el Joven para San Pedro de Roma[51], en las láminas de Juan Caramuel para su Architectura Civil[52] o en las obras y ejercicio de los alumnos de la École Polytechnique de Jean-Nicolas Durand[53]. En ninguno de estos casos citados se percibe ninguna pretensión en su empleo distinta de la de ser un guión que ayude a ordenar y racionalizar un proyecto arquitectónico La trama de triángulos equiláteros ha sido empleada en muchas menos ocasiones pero, sin embargo, tenemos un ejemplo histórico donde explícitamente se debate sobre este trazado, las obras de la catedral de Milán, con los valores añadidos de conservarse el trazado gráfico original, pervivir históricamente su recuerdo y ser aplicada a la sección geométrica de la edificación. Se trata de la intervención de Gabriele Scovaloca — habitual y erróneamente llamado Stornaloco— en los debates de la construcción de la catedral lombarda en el año 1391. Aún en este xxxix


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caso el motivo es exclusivamente técnico, motivado por la necesidad de decidir la altura y composición del templo a partir de una planta ya en marcha y que se quería conservar.

   

Trascripción de Giuseppe Valentini del pergamino atribuido a Gabriele Scovaloca en la Biblioteca Trivulzina de Milán.  Trazados de la catedral de Milan:

 

Ad triangulun

Ad Cuadratum

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 Se debatió sobre dos esquemas distintos: una red de triángulos equiláteros —ad triangulum— presentada por Scovaloca, y otra de cuadrados —ad cuadratum— que propuso Heinrich Parler, ambas representativas de dos posturas distintas ante la solución geométrica del problema. [54]. La triangular finalmente elegida gozó de gran fama, pero no se conoce nuevas intervenciones de Scovaloca en la arquitectura, ni que su diseño tuviera una especial influencia posterior en otras obras. Pese a ello su recuerdo perduró y fue recogida en dos grabados de la edición de Vitrubio de Cesare Cesariano —ilustraciones que no tienen nada que ver, incluso son contradictorias, con el texto original—  en uno de los cuales, recogiendo el trazado, incluye también la trama cuadrangular de la planta de los pilares, lo que nos hace ver la coexistencia de distintas tramas geométricas en función de las necesidades técnicas para la realización de las obras. Cualquiera de estas dos redes se puede considerar, de hecho, connatural con la práctica del dibujo, como surgidas de la escuadra y el cartabón, instrumentos junto al compás de imprescindible presencia en el gabinete hasta hace muy poco. A su vez, son generadoras de  muy diversas proporciones irracionales —buscadas o no—  derivadas de sus relaciones geométricas. Por ejemplo, respecto al lado, la diagonal del cuadrado como sabemos es √2=1,4142…, pero si ampliamos el campo, la diagonal menor del hexágono es √3=1,73205…; el radio del octógono es la proporción cordobesa —1:√2-√2=1,306562…— de Rafael de la Hoz[55];  el rectángulo inscrito en el octógono tiene la proporción θ, 1:1+√2=2,4142…; la altura del triángulo equilátero es √3/ 2=0,86602…; la diagonal del doble cuadrado, formado en la trama cuadrangular  —la que forma el triángulo hemipitagórico de Rafael Leoz[56]— es √5=2,23606... Es fácil de ver que, con independencia xli


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que el tracista las buscara o no, las combinaciones posibles pueden ser muchas. En general, los trazados a 90º y 45º dan obligatoriamente proporciones en función de √2, y los realizados a 30º y 60º lo hacen en función de √3. Es lo que sucede, por ejemplo, con los óvalos de Serlio que, al dibujarse con cuadrados o triángulos equiláteros como red de posicionamiento de los centros de los arcos, invariablemente y a pesar de los deseos del autor, dan proporciones irracionales para sus ejes[57].

! Trazado de la catedral de Milán en la versión del Vitrubio de Cesariano, Como, 1521, libro VI, 98 recto.

Cuando se plantea una trama geométrica para realizar una obra de arquitectura esta adquiere una libertad de generación de proporciones y trazados al margen de la voluntad del tracista y, en el fondo, son el origen de la mayoría de las especulaciones que en la actualidad se realixlii


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zan interesadamente sobre estos temas. Esto lo recoge Felipe Soler acertadamente cuando indica, cuando hay una pauta de composición, como se ha dicho muchas veces, es posible encontrar relaciones geométricas consecuencias de ella y en las que no había pensado el autor. Lo hace cuando cita, precisamente, ejemplos derivados de las composiciones pentagonales que fueron la especialidad del ya citado Frederick Macody Lund[58], con referencia a la catedral de Colonia. No resulta muy difícil observar que semejante trazado pentagonal difícilmente se le podía haber ocurrido al arquitecto medieval, que tuvo que seguir las sencillas tramas cuadradas o triangulares presentes en la planta del edificio.

Interpretación de Lund para la catedral de Colonia

En otras ocasiones la afición por una figura particular lleva a encontrar hexágonos por doquier en las composiciones arquitectónicas, como es el caso de Louis Meunié[59], que lo aplica a las más diversas arquitecturas. Lo hace además de manera reiterada a los alzados, cuesxliii


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tión que merece una indicación particular: mientras las plantas tienen vocación de ser trazadas geométricamente y su forma es la primera que se plantea, los alzados son productos de una construcción lenta — a veces de siglos— que solo se ven al final  y, por tanto, de mucho más difícil control hasta hace muy poco tiempo. Como juego geométrico no cabe duda se producen muchas veces curiosas coincidencias que dan motivo a ingeniosas interpretaciones, pero pretender hacer de esto la significación profunda de una obra de arquitectura es, sencillamente, no conocer a los arquitectos.

Consideraciones finales Nos queda finalizar este ya extenso prólogo con un comentario de la obra que se presenta. El libro Los trazados reguladores en la arquitectura clásica de Felipe Soler se añade a la extensa lista de obras, algunas citadas y criticadas anteriormente, que tratan la cuestión. De esas propias opiniones vertidas anteriormente en este prólogo se pueden obtener conclusiones interesantes, siendo la principal el rigor y el cariño con el que Felipe Soler ha abordado la cuestión. En primer lugar su estudio, fundamentalmente aplicado a las plantas octogonales, entra dentro de las condiciones expuestas de una sencillez geométrica, y que se han mantenido como consustancial con los trazados arquitectónicos clásicos, abordándolos desde el rigor geométrico y constructivo sin consideraciones esotéricas como las que lastran la mayoría de las especulaciones sobre el tema. Lo realiza además sobre las plantas —o piezas de cerámica, asimismo planas— que, como se ha indicado, sí poseen la forzosa construcción geométrica previa para realizar la obra. Lo hace además, bien con estudios propios sobre el terreno en la extensa e interesante arquitectura valenciana, bien basándose en xliv


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autores de la mayor solvencia científica, desde su posición de buen conocedor tanto de la geometría como de la actividad constructiva del arquitecto. Otro aspecto a destacar en este libro es el hecho de tener muy presente las unidades de medida utilizadas en las obras estudiadas que, estando generalmente obviadas en la mayoría de los estudios, son de una importancia trascendental. El sistema métrico vigente es producto de una convención ilustrada que carece de relación con las tradicionales medidas históricas, siempre en relación —al menos formal— con las del cuerpo humano. Los palmos, pies o dedos, más que responder a la medida de alguna parte del cuerpo, por lo demás variables según el lugar, tenían como principal atractivo su pequeña dimensión respecto al metro, con una dimensión perfectamente abarcable por un operario. Así, y como se indica en el libro, las medidas principales de una obra siempre eran números enteros, siendo raras las dimensiones con decimales y, generalmente, productos involuntarios del propio trazado geométrico[60]. Queda finalmente por destacar la correcta interpretación gráfica y geométrica de los trazados y la contención en las interpretaciones que, generalmente y como se ha dicho, desbordan no solo las intenciones del tracista sino también el entusiasmo del estudioso. Cuando Felipe Soler indica, como uno de sus objetivos, que los resultados obtenidos deberían considerarse únicamente como hipótesis aproximadas peca de modestia, porque muchas de sus conclusiones, además de exponerse por primera vez, son difícilmente rebatibles. El presente libro trata la cuestión de los trazados geométricos de la arquitectura con una seriedad y rigor difícilmente disponible en la literatura escrita sobre el tema. Sevilla, enero de 2008 xlv


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Notas 1. GENTIL BALDRICH, José Mª, Traza y modelo en el Renacimiento, Sevilla, Instituto Universitario de Ciencias de la Construcción, 1998. Capítulo II. 2. SOLER SANZ, Felipe, Perspectiva cónica, 1996. Prólogo. "Una revisión del concepto histórico de la  perspectiva", pp. 5-32. 3. SERLIO, Sebastiano (1475-1554), Il primo libro d'architettura di [...] mis en langue françoyse par Iehan Martin. Paris, Iehan Barbé, 1545. VIGNOLA, Giacomo Barozzi da (1507-1573), Le due regole della Prospettiva Prattica, Roma, Francesco Zannetti, 1583. 4. ZORZI, Gian Giorgio (1908-1969), "Alcuni disegni di Falconetto", en Palladio, 1955, p. 31. 5. Como indica SCHOFIELD, P. H, Teoría de la proporción en la arquitectura, Barcelona, Labor, 1971, p.31: "Entonces comprendemos que muchas de las frecuentes referencias de Vitrubio a la proporción nada tenían que ver con su aspecto estético... ". 6. VASARI, Giorgio (1511-1574), Le vite de piu eccellenti architetti, pittori, et scultori italiani... , Florencia, S/E [Lorenzo Torrentino], 1550./GENTIL BALDRICH, José Mª, Traza y modelo ... , cap. primero: "Traza y Modelo en la Vidas de Giorgio Vasari". 7. RORICZER, Matthäus (h. 1430-1495) Das büchlein von der fialen gerechtigkeit (Librito sobre la corrección de los pináculos), Ratisbona, 1486. 8. CORBUSIER, Le [Charles-Edouard Jeanneret] (l887 -1965). Modulor. Essai sur une mesure harmonique a l'échelle humaine ... , Paris, L'Architecture d'Aujourd'hui, 1950. NEUFERT, Ernst (1900-1986), Bau-Entwurfslehre. Grundlagen, Normen Und Vorschrifsten...,  Berlin, Bauwelt-Verlag, 1936. 9. HERÓDOTO de Halicarnaso (h. 485 a. C-424 a. C), Los Nueve Libros de la Historia, Libro II, Euterpe, 109: “…cuando el río invadía una parte de alguno [terreno], éste tenía que ir al rey y manifestar lo sucedido. El rey enviaba, entonces, supervisores quienes debían medir en cuanto se había reducido el terrexlvi


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no, para que el propietario pagara sobre lo que le quedaba en proporción al impuesto total que se había fijado. Ésta es mi opinión sobre el origen de la geometría que después pasó a la Hélade". Heródoto lo sitúa en tiempos de Sesostris (1956-1911 a. C). PROCLO de Licia (412-485), Comentarios..., prólogo, parte II: “... la Geometría, que nació de la medida de los campos, la inventaron los egipcios porque necesitaban medirlos, ya que los desbordamientos del Nilo borraban las propiedades". Por su parte ARISTOTELES (384 a. C-322 a. C), en Metafísica, 1, 1, aún admitiendo el origen egipcio de la Matemática, se lo achacaba curiosamente a la existencia de una clase sacerdotal que, ociosa, propició su dedicación al desarrollo de la ciencia: “... la Matemática, nacida cerca de Egipto, porque en aquel país las castas sacerdotales estaban libres de todo trabajo”. 10. La geometría griega es, lógicamente, mucho más que una mera aplicación con la regla y el compás pero, a nuestros efectos, es dudoso que los arquitectos tuvieran mucho interés, por citar solo unos ejemplos geométricos, en las especulaciones de Apolonio sobre las cónicas, o en las teorías de Arquímedes sobre los elipsoides y paraboloides de revolución, que denominaba esferoides y conoides. 11. Su uso es muy habitual: en la serie de torres conservadas de la muralla almohade de Sevilla, que se inicia en la orilla del río con la conocida Torre del Oro -que se trata en este libro- y concluye en el Alcázar, se establece una interesante sucesión de polígonos en sus plantas: doce, ocho, seis y cuatro lados. 12. DIOFANTO de Alejandría (h. 210-h.298), Aritmética, libro VI. En la práctica solo se usó el primer triángulo de la serie, al que Vitrubio (Libro IX, cap. II) adjudicaba su invención a Pitágoras, y la aplicaba, con un sentido práctico carente de misticismo, a la construcción de escaleras. 13. EUCLIDES (h. 325 a. C-265 a. C), Elementos, libro IV, proposiciones XI-XlV.  14. El eneágono es el primer caso que aparece en los polígonos de tenerse que aplicar para su obtención uno de los tres imposibles problemas clásicos de los griegos: la trisección de ángulo. De este se puede obtener una construcción aproxixlvii


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mada con la cuadratriz de Hipias, al igual que del heptágono regular expuso Durero una construcción inexacta procedente de la tradición gótica recogida con anterioridad en la Geometría Deutch. Como se puede comprender, en ambos casos su uso por un arquitecto solo pudo ser producto de una particular erudición.  15. VITRUBIO POLION, Marco (s. I a. C), Los diez libros de Architectura de [...], traducidos del latín y completados por don Joseph Ortiz y Sanz, Madrid, Imprenta Real, 1787. Libro 1, cap. II, p.8: "De qué cosas conste la Architectura"; pp. 267-277 "Índice de las cosas más notables". La traducción del texto de Vitrubio del valenciano José Francisco Ortiz y Sanz -nacido en Ayelo de Malferit en 1739 y fallecido en Valencia el 21 de diciembre de 1822- es, a mi juicio, la más correcta de las versiones clásicas españolas. 16. Los diez libros…, Libro I, cap. II, p. 11. 17. Los diez libros…, Libro III, cap. I, pp. 58-60. 18. Los diez libros…, Libro VI, cap. IV, pp. 146-147. 19. Por ejemplo: FOURNIER DES CORATS, André, La proporción egipcia y las relaciones de divina armonía, Cádiz, Arquitectos de Cádiz, 1999, inicialmente publicado en París, Vega, 1957. 20. NICÓMANO DE GERASA, (s. II), Introducción a la Aritmética, lib. I, XVII. Es curioso -pero significativa de la oposición de un amplio sector de la ciencia sobre estas cuestiones- el comentario despectivo de Francisco Vera (18881967) a las exposiciones de Nicómaco sobre los números que serían la base de las proporciones renacentistas: "Contienen estos apartados [las proposiciones XVII-XXIII del libro primero] las definiciones de los números superparticulares, superpartientes, heterómecos y otros tan inútiles como estos, pero que gozaron de gran predicamento en la Edad Media ", en Los Científicos Griegos, Madrid, Aguilar, 1970,II, p. 915, nota 9. 21. BOECIO, Anicio Manlio Torcuato Severino (480-h. 524). Institutio Aritmética, libro I, cap. XIV: "El número superparticular es el que, comparado con Audio -.-otro, lo contiene en sí un número de veces y alguna parte de él. Si este xlviii


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tiene una mitad se dice que la proporción es sesquialtera, una vez y media; si lo que contiene es una tercera parte se dice que la proporción es sesquitercia, una vez y un tercio; si es una cuarta parte se dice que es sesquicuarta, una vez y un cuarto... ". Existe edición reciente: Fundamentos de aritmética. Edición y traducción de Mª Asunción Sánchez Manzano. León, Universidad de León, 2002. 22. Por ejemplo, el Lucidarium Musicae Plana, tractatus quartus, de MARCHETUS DE PADUA, (act. 1318): "Proportiones in musica in quibus consonantie consistunt sunt sex, scilicet sesquitercia, sesquialtera, dupla, dupla superbipartiens, tripla, et quadrupla". 23. ALBERTI, León Bautista (1404-1472), De re aedificatoria, Florencia, Niccolò di Lorenzo Alemanno, 1485, lib. IX, cap. VI, p. 460: "Di questi numeri, su cui ci siamo soffermati, fanno uso gli architetti; non però combinandoli alla rinfusa, sibbene in reciproche proporzioni armoniche... ". En la traducción castellana de Francisco Lozano, Los diez libros de Architectura, Alcalá de Henares, Alonso Gómez, 1582, lib. IX, cap. VI, p. 288: "Destos números quales los hemos contado usan los architectos, no confusa y mezcladamente, sino correspondiendo por toda parte en armonía... ". 24. WITTKOWER, Rudolf (1901-1971), "El problema de la proporción armónica en arquitectura", en La arquitectura en la edad del Humanismo, Buenos Aires, Nueva Visión, pp. 102-153. 25. SERLIO, Sebastiano (1475-h.1554), Il primo libro d'architettura di [...] mis en langue françoyse par Iehan Martin, Paris, Iehan Barbé, 1545. 26. SERLIO, Sebastiano, Il primo libro..., hh. 20 v.- 21 r, de la edición de París, 1545. 27. PALLADIO, Andrea (1508-1580), I quattro libri della Architettura, Venecia, Dominico de Franceschi, 1570, p. 52: "Delle loggie, dell'entrate, delle sale... & delle forma loro". 28. SERLIO, Sebastiano, Tercero y cuarto libro de arquitectura, Toledo, En casa de Ivan de Ayala, 1552. xlix


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29. ARFE Y VILLAFAÑE, Juan de (1535-1603), De varia commensuracion para la esculptura, y architectura, Sevilla, Andrea Pescioni y Juan de León, 1585, hh. 16 v.-17 v. En justa correspondencia a Arfe se debe indicar que su exposición de las proporciones es más detallada que la de Serlio. No incluye, sin embargo, la proporción diagónea del italiano sobre la que luego volveremos y que, sin embargo, si utilizó Palladio. 30. SOR JUANA INÉS DE LA CRUZ (1651-1695), De la poetisa a la muy ilustre Sor Filotea de la Cruz. En: Las literaturas hispánicas, Evelyn Picon Garfield & Ivan A. Schulman, Detroit, Wayne State University Press, 1991, volumen 3, p. 41. La "sor Filotea" del escrito era el obispo Manuel Fernández de Santa Cruz (1637-1699), fundador del convento de Santa Mónica en Puebla (México) y corresponsal de sor Juana en sus discusiones teológicas. 31. A esta serie de proporciones irracionales 1:√n, la llamó Jay HAMBIDGE (1867-1924), en Dynamic Simmetry. The Greek vases, Yale University Press, 1920, "dinámica", en contraposición de la "estática" y racional conocida, considerándola la base de la composición artística griega. 32. SERLlO, Sebastiano, Il primo libro..., h.21 r.: “... la quale e inrationabile, ne si trova proportione alcuna dal quadro perfetto a questo cressimento [...] laquelle est inexplicable: cal il ne se treuve aucune proportion dans le carré perfaict, qui soit cause de cest acroyssement" La proporción es recogida también por PALLADIO,  I quattro libri..., p. 52: “... la lunghezza loro sará per la linea diagonale del quadratto della larghezza". 33. La diagónea, por ejemplo, es la proporción que poseen los formatos DIN de dibujo, por tener la cualidad de seguirse manteniendo la misma relación con la división por la mitad del lado mayor de cada formato. 34. EUCLlDES, Elementos, libro VI, definición III: "Se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la línea total es a la parte mayor como la parte mayor a la menor". En la proposición 30 del mismo libro establece su forma de obtención y en otros lugares de su obra hace referencia a ella, por ejemplo, el corolario de la proposición 17 del libro XIII, donde indica la

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proporción áurea entre la arista del dodecaedro y la del cubo en el que está inscrito. 35. PACIOLl, Luca (1445-h.1517), Divina proportione, opera a tutti glingegni [sic] perspicaci e curiosi necesaria, Venecia, Paganino de Paganini, 1509. Parte I, capítulo V, p. 69 de la edición de Losada, Buenos Aires, 1959. 36. PACIOLl, Luca, Divina proportione... , Parte II, capítulo I y siguientes: "De la medida y proporciones del cuerpo humano, simulacro de la arquitectura", p. 152 y ss. de la edición citada. Está referenciada la posesión de la obra por el escultor y arquitecto Juan Bautista de Monegro, (1546-1621) y por el cosmógrafo Jerónimo de Chaves (1523-h.1573), cuyo ejemplar con la firma autógrafa conserva actualmente la Universidad de Sevilla. 37. PACIOLl, Luca, Summa de aritmética, geometría proportione e proportionalitá, Venecia, Paganino de Paganini, 1494. Un ejemplar de esta obra se localizaba en la biblioteca de El Escorial, y en la de los arquitectos Juan Bautista de Toledo (¿-1567), la de Juan de Herrera (1530-1597) –“aricmetica y gemetria de frater lucas en ytaliano"- y la de Juan Bautista de Monegro (1546-1621). 38. KEPLER, Johannes (1571-1630), Mysterium Cosmographicum, Frankfurt, Erasmus Kempfer, 1621, capítulo XII: “... hay dos tesoros en la Geometría, uno es la razón de la hipotenusa al lado en el rectángulo, el otro es la sección de la recta en razón extrema y media ... ", En la nota 17 del autor, y no seguido como se suele hacer, les da la conocida calificación de masa -debía haber traducido "lingote"- de oro y joya respectivamente. Se cita aquí según la traducción de la segunda edición de 1621, El secreto del universo, Madrid, Alianza Editorial, 1992, pp. 133-134 Y 142. 39. OHM, Martin (1792-1872), Die reine Elementar-Mathematik, zum Gebranchi an höhern technischen Lehr-Anstalten, Berlin, Jonas Verlags, 1835, segunda edición. 40. ZEISING, Adolf (1801-1876), Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, Leipzig, R. Weigel, 1854; Aesthetische Forschungen, Frankfurt, Meidinger, 1855. Zeising fue el primero que aplicó la sección áurea al estudio li


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del Partenón y su proporción humana de 1854 es la recogida por Ernts Neufert en su obra. 41. FECHNER, Gustav Theodor (1801-1887), "Über die Frage des golden Schnitts" (Sobre el asunto de la sección áurea), en Archiv für die zeichnenden Künste, nº 11, 1865, pp. 100-112. 42. COOK, sir Theodore Andrea (1867-1928) Spirals in nature and art; a study of spiral formations, Londres, J. Murray, 1903; The curves of life: being an account of spiral formations and their application to growth in nature, to science, and to art, Londres, Constable, 1914. 43. The curves of life, p. 420. Como se indica en el texto, el nombre le fue dado por Mark Barr, a sugerencia de William Schooling (1860-1936), posteriormente nombrado sir y destacado especialista en finanzas. 44 Los libros sobre el tema son innumerables y del más diverso tipo. A título de ejemplo se puede consultar uno reciente y suficientemente documentado, que da noticia de numerosas publicaciones: BONELL, Carmen, La divina proporción, Barcelona, Edicions UPC, 1999, segunda edición. 45. GHYKA, Matila Cotiescu (1881-1965), Esthetique des proportions dans la nature et dans les arts, París, Gallimard, 1927; Buenos Aires, Poseidón, 1953. A parte de los autores citados también recogió las teorías del zoológo D'Arcy Wentworth THOMPSOM (1860-1948) sobre la geometrización de la naturaleza, On growth and form (Cambridge, 1917) y de Frederick Macody LUND (1863-1943), sobre unos discutibles trazados clásicos y medievales, Ad Quadratum, (Londres, 1921; París, 1922). 46. GHYKA, Matila, Le nombre d'or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale, París, Gallimard, 1931, dos volúmenes; Buenos Aires, Poseidón, 1968. 47. Por ejemplo, cuando lo hace con la proporción del cuerpo humano -donde sigue a Zeising - nos ofrece la fotografía de un desnudo masculino -en un caso similar al de Cesariano en su Vitrubio- con un pene desproporcionado (I, lam. XXllI). Hay que destacar que, en un resumen de sus teorías para el mercado lii


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norteamericano, The Geometry of Art and Life, Nueva York, Sleed & Ward, 1946, la pudibunda sociedad americana al que iba dirigido hizo cambiar las láminas nudistas por unos modosos dibujos -a todas luces de un artista local por la grafía- convirtiéndolas en las XXXIX y XLI. Miss Helen Wills, sin embargo, aparece igual que en el original (lam. XXXVI) y con el mismo éxito icónico. 48. LE CORBUSIER [Charles-Edouard Jeanneret] (1887-1965), "Les tracés regulateurs" en L'Esprit Nouveau, nº 5,1925, pp. 563-572. 49. GHYKA, Matila, "Le Corbusier's modulor and the concept of de golden section" en, Architectural Review, febrero, 1948, pp. 39-42. ROBERTSON, Manning (1888-1945) "The golden section" en RIBA Journal, octubre, 1948, artículo póstumo y, en cierta medida, reivindicativo. 50. LE CORBUSIER, Modulor. Essai sur une mesure harmonique a l´échelle humaine applicable universellement a l'architecture et a la mécanique, Paris, L'Architecture d'Aujourd´hui, 1950. La IXª  Trienal de Milán de 1951 convocó un coloquio sobre "La Divina Proportione”, que se repitió en marzo de 1952 en el MOMA de  Nueva York y, en septiembre del mismo año, en Siena, lo que da idea de la rápida aceptación de estas teorías. En 1955 publicó una continuación, donde daba cuenta de sus éxitos y resultados: Modulor 2. La parole est aux usagers..., Boulogne, L'Architecture d'Aujourd'hui, 1955. 51. Antonio de SANGALLO el Joven (1484-1546), Iconografía su carta quadettrata d'un progetto per a basílica vaticana, Gabinete dei Disegni e Stampe degli Ufizzi, 34 A. 52. CARAMUEL DE LOBKOWITZ, Juan (1606-1682), Architectura Civil recta y oblicua, considerada y dibuxada en el templo de Jerusalén, Vigevano, Camillo Corrado, 1678, lam. 26. 53. DURAND, Jean-Nicolas (1760-1834), Précis de leçons d'Architecture, données a l'Ecole Royale Polytechnique, Paris, Firmin Didot, 1819. Tuvo varias ediciones francesas posteriores, diversos seguidores y una edición española, Madrid, Pronaos, 1981, con prólogo de Rafael Moneo. liii


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54. Gabriele Scovaloca, denominado mathematicus expertus artis geometricae, de familia de Piacenza sin más datos, presentó el dibujo de la catedral el 24 de septiembre de 1391. El 13 de octubre de aquel año la Fabbrica del Duomo le abonó como honorarios 16 liras imperiales y, el 1 de mayo de 1392, en competencia con Heinrich Parler, de una dinastía de famosos arquitectos de origen bohemio, se aprobó su diseño con pequeñas variaciones que no modificaron el esquema general. VALENTINI, Giuseppe, Il duomo de Milano, Milán, NED, 1990. 55. HOZ ARDERIUS, Rafael de la (1924-2000), La proporción cordobesa, Córdoba, Diputación Provincial, 1973. Se reeditó en Cointra Press, nº 27, pp. 1221, Madrid, 1977; Colegio Oficial de Arquitectos de Córdoba, 2002. 56. LEOZ DE LA FUENTE, Rafael (1921-1976), Redes y ritmos espaciales, Barcelona, Blume, 1968. Fue autor de diversas investigaciones geométricas, entre ellas las redes que denominó de la escuadra, del cartabón y hemipitagórica, de uso en los proyectos de arquitectura. Su aplicación era más compleja que un simple trazado, con derivación espacial en el llamado módulo HELE, pero en esencia son las utilizadas en el debate milanés que se ha indicado. 57. Se puede ver, por ejemplo, en GENTIL BALDRICH, José Mª, "La traza oval y la Sala Capitular de la catedral de Sevilla. Una aproximación geométrica" en Qvatro edificios sevillanos, Sevilla, Demarcación en Sevilla del COAOc, 1996, pp. 73-147. La sala oval, que Serlio pretende sesquitercia en el libro V, es imposible: las proporciones racionales que expuso en el libro I no se pueden conseguir con sus trazados ovales, y por eso Hernán Ruiz tuvo que trazar una elipse para conseguir una proporción sesquiáltera en la sala. 58. LUND, Frederick Macody (1863-1943), Ad quadratum. A study of the geometrical base of classic and medieval religious architectute, Londres, Batsford, 1921; Ad quadratum. Etudes des bases géométriques de l'architecture retigieuse dans l´antiquité et au moyen age, Paris, Albert Morance, 1922. 59. MEUNIÉ, Louis, L´architecture et la geometrie. Symetries et rythmes harmoniques, Paris, Vicent Freal, 1968.

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60. La Sala Capitular de la catedral de Sevilla, antes citada y que tantos problemas m茅tricos ha dado a sus medidores, es de una sencillez meridiana: 34 x 51 pies castellanos, con un m贸dulo de 17 pies que da la proporci贸n sesqui谩ltera buscada.

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Prefacio El tiempo transcurrido desde la publicación del libro Trazados Reguladores Octogonales en la Arquitectura Clásica nos ha obligado a detallar y concretar ciertos pasajes difíciles de interpretar en una primera lectura. Se puede llegar a definir más detalle, ya sea geométricamente, o mediante la comparación de segmentos, según los parámetros obtenidos θ, λ o simplemente

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Allí se mostraron procedimientos geométricos utilizados para componer edificios a partir de unas formas y tamaños que podían considerarse como “modelos o prototipos”. En ellos se aprecia la existencia de criterios generales y matices derivados de la geometría elemental. Por ello, se intenta relacionar o identificar esos coeficientes deducidos θ = 1 + 2 y λ2 = 1 + 1/ 2 con los segmentos que aparecen en los octógonos y en los cuadrados inscritos en  circunferencias. Igualmente se pretende aclarar al lector que el hecho de inscribir o circunscribir unas figuras en otras, produce entre ellas una relación de semejanza que depende del coseno de un ángulo: 22,5° en octógonos, 30° en hexágonos, 45° en cuadrados, etc. Es obligado mencionar la Madrassa de Amasya (Anatolia, Turquía) que al igual que otras edificaciones singulares se han incluido en un nuevo capítulo.

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No se trata de hacer un catálogo, sino de analizar la forma de actuar de los constructores siguiendo unas normas comunes. Estos procedimientos, no solo fueron aplicados a formas octogonales o hexagonales, ya que la Torre del Oro (Sevilla) o la Iglesia de La Veracruz (Segovia), dodecagonales, se basan en los mismos principios. La Ermita de San Miguel (Nules, Castellón) es heptagonal y se origina igualmente mediante inscripciones o circunscripciones a partir de un núcleo, cuyo perímetro es precisamente 26,87 metros. Haber elegido esta dimensión no parece ser casualidad. El decágono regular o estrellado también ha sido utilizado de forma análoga. En el Templo de Minerva Médica (Roma), el núcleo decagonal, se relaciona con la geometría del octógono para definir ciertos elementos de la periferia. Estos procedimientos de diseño, tan sencillos, han sido utilizados de forma más compleja al combinar en una misma construcción varias fórmulas elementales. La tumba de Isa Han o el Taj Mahal, pueden ser muestra de ello. Podríamos seguir mostrando nuevas edificaciones de distinta época y de trazado similar, mas como se ha dicho, no se trata de catalogar todos los edificios más o menos poligonales. Aunque se aparte del fin de este tratado, debe mencionarse el análisis que Ecochard realiza de varias iglesias armenias, muy interesantes, limitadas por polígonos de diecinueve, veinte lados e incluso circulares. La Iglesia de San Marcos en Salamanca también es circular. Tiene cierta analogía con las armenias por su perímetro circular y  la disposición de los ábsides. En el interior, se adaptan a formas derivadas del cuadrado o del octógono. Si digna de admiración es la obra gráfica de M. Ecochard, que demostró la existencia de “modelos” utilizados por los pueblos próximos al Mediterráneo, no deben olvidarse otros estudios que corroboran lviii


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aquellas conclusiones. Como es el caso de los resultados a los que llega Theodore Hauschild, partiendo de unas ruinas mínimas, en las Vegas de Puebla Nueva (Toledo) podría incluirse como uno más de los ejemplos de Ecochard. Este mausoleo fue construido en el siglo IV en la época del emperador Teodosio. Según los planos contenidos en las páginas 114 y 530 del libro “Iglesias tardoantiguas y altomedievales en la Península Ibérica. Análisis Arqueológico y sistemas de Abovedamiento” (Utrera Agudo, Mª de los Ángeles C.S.I.C. 2006) y teniendo en cuenta las dimensiones que figuran en el texto y la escala gráfica, la circunferencia en que se inscribe el octógono exterior podría medir 24 metros de diámetro, cifra muy próxima a la constante dimensional tantas veces mencionada ya que 53,74 = 24,09 metros λ³

Finalmente, hay que insistir en que los resultados obtenidos deben considerarse como hipótesis aproximadas, como ya se indico en la página 36 de la primera edición. En San Pio V (Valencia), el edificio más próximo y del que se disponía plano a escala 1:50, una falsa apreciación visual condujo a un error no detectado al quedar enmascarado bajo una geometría aparentemente lógica, que se encuentra en otros trazados. Por ello se introduce la rectificación que responde a la realidad, mostrando a su vez cuán fácil es cometer errores en la interpretación de los datos disponibles. Valencia, mayo de 2013

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Introducción El desarrollo del proyecto arquitectónico obliga a tener en cuenta los tamaños normalizados de los componentes, además de intentar la belleza final del conjunto. Los trazados gráficos aplicados desde la antigüedad tratan de conjugar ambas necesidades: sacar el mejor partido a los materiales y lograr un edificio armonioso. Se han podido analizar infinidad de esquemas geométricos que justifican la composición de los edificios, bien en planta o en alzado. Cada autor matizaba variadas reglas usuales que se repetían no sólo en un mismo periodo o estilo, sino que esos trazados geométricos habían sido utilizados en edificios muy distantes en el tiempo y en su situación geográfica. Ello hace suponer que los constructores se apoyaban en ciertos modelos o prototipos que adaptaban a su problema espacial y funcional. Ligadas al octógono se encuentran la mayoría de las cúpulas de las grandes catedrales, mezquitas, torres de todo tipo, así como construcciones de menor importancia y elementos decorativos. Por ello decidimos profundizar en el análisis de edificios o figuras basadas en el octógono. Los estudios de Ecochard, comparando edificios octogonales dentro de unas constantes, nos llevaron a seguir en esa línea. Se han sistematilxi


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zado las propiedades y aplicaciones de otros modelos octogonales, e incluso se han buscado nuevos detalles en edificios ya descritos por Ecochard. No solo el contorno es octogonal: los muros, capillas, etc., están basados en la geometría del octógono. Por lo tanto, se supone que partían de un modelo que trasformaban inscribiendo o circunscribiendo octógonos y otras figuras en una circunferencia predimensionada. Para sistematizar el proceso se han puesto en evidencia ciertos coeficientes que justifican el trazado y permiten el cálculo numérico de todas sus partes. Así, la circunferencia de 15,74 metros para pequeñas iglesias equivale a 26,87/λ² siendo λ la relación del radio al lado del octógono regular inscrito. Se han podido encontrar construcciones que parten de circunferencias aún menores y otras que no siendo octogonales también se apoyan en circunferencias derivadas de las de Ecochard. No siempre la documentación encontrada aporta los datos necesarios para definir correctamente un edificio. Es necesario comparar varias fuentes, a veces contradictorias, para llegar a conclusiones aceptables. Las constantes de Ecochard ayudan a llegar a conclusiones válidas y a confirmar hipótesis. En ciertos casos no hay certeza de la unidad métrica utilizada, a pesar de existir una ley que define el conjunto y sus detalles. También pueden encontrarse edificios regidos según una ley geométrica rigurosa, a partir de un modelo, con detalles ajustados a medidas locales. Las formas octogonales han servido para componer todo tipo de elementos decorativos. La geometría utilizada aquí puede ser más compleja, al ser muchos de ellos elementos que se repiten para llenar un espacio, pero la esencia es la misma.

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Para aplicar las formas octogonales en la arquitectura conviene dominar el concepto de módulo y su aplicación en obras sobradamente conocidas, así como otras fórmulas de composición. Como ejemplo, se adjunta una relación incompleta con unidades de medida de varios países aportada por algunos colaboradores y concretamente las de España provienen de los congresos sobre medievalismo de Ávila en 1992 y 1993. Los clásicos se encuentran en el trabajo de Tine Kurent. Se han especificado relaciones de cada unidad respecto al dedo o la pulgada, pero no deja de ser incompleta, puesto que ciertas unidades citadas por muchos autores no aparecen. Como en Grecia, Italia o España, en otros países existirían varios sistemas. Junto a edificios destacados de todas las épocas se han analizado ejemplos españoles y valencianos equiparables con aquellos, en la idea fundamental, que aportan otras particularidades. No se trata de hacer historia, solamente se persigue averiguar cómo fueron compuestos esos edificios, aunque sea necesario apoyarse en datos históricos. Por ello, se agrupan según la fórmula utilizada para su generación o trazado geométrico aplicado. El análisis de todas las edificaciones y detalles ornamentales que se estudian es esencialmente gráfico. El texto se limita a descubrir o justificar relaciones geométricas en cada figura, donde evidentemente habrá otras no descritas.

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CAPĂ?TULO 1

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Sección 1

Objetivos y Ejemplos El estudio de un edificio, clásico o moderno, comienza por fijarse en el aspecto general para luego relacionar los elementos que componen el todo. Se analizan las formas y también se estudia la cronología relativa a su construcción y autores. Podemos llegar a conocer cómo un edificio se adecua a un determinado uso y a los sistemas constructivos de la época. Hay que partir de que la intuición genial es insuficiente a la hora de proyectar en arquitectura. Establecido un programa de necesidades destinado a poder cumplir una actividad, se procede a estructurar los espacios asignados. Los bocetos iniciales requieren un estudio minucioso de ajuste, debiendo concretarse los detalles de cada una de las partes y el acabado o decoración. Es cuando hay que amoldar la idea original a una composición reglada según diversos procedimientos o normas constructivas. Para completar debidamente el estudio de un edificio, tendría que conocerse la fórmula que utilizó el arquitecto para componer los espacios y sus detalles. Estos datos, en general, son difíciles de obtener. Vamos a tratar de intuir la idea rectora de su concepción analizando la geometría del conjunto. Conocida la idea compositiva sería posible discernir qué modificaciones posteriores alteraron la forma fundamental, o bien establecer criterios para una posible rehabilitación.

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Aunque se conserven pocos documentos gráficos relativos a la idea o proyecto utilizado en su construcción, se pueden encontrar casos sencillos en los que es posible apreciar un criterio de composición apoyándose en los levantamientos posteriores. Para encontrar la fórmula, si la hubo, que permitió llegar al resultado final son necesarios datos que hay que obtener, bien de las plantas o alzados disponibles o bien de las descripciones. A veces la fórmula, como hemos dicho, es sencilla y se percibe con facilidad, pero en ocasiones es más difícil de encontrar. Los resultados obtenidos deberían considerarse únicamente como hipótesis aproximadas. Existe un documento gráfico conservado, muy expresivo, de una portada egipcia que se conserva en Turín. Las líneas están en negro y la cuadrícula en rojo. Esta trama había sido la reguladora de la composición. Aquí haría falta conocer cual es el tamaño, o módulo, de esa rejilla. La geometría sólo no basta, es necesario conocer las dimensiones. Según A. Badawy, el arquitecto empleaba simultáneamente un sistema modular y un sistema geométrico. El módulo procedería de una dimensión en el edificio en cuestión, por ejemplo, la nave interior de un templo, que podría ser de 10 codos. Los múltiplos y las fracciones de módulo determinarían, entonces, todas las demás dimensiones del edificio, así como la colocación de las columnas y pilares. Las dimensiones se calculaban también, a veces, con las llamadas series de Fibonacci, en las cuales todo número es la suma de los dos precedentes 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. El sistema geométrico dependía de unas cuantas figuras simples, principalmente el cuadrado y una serie específica de triángulos, entre ellos el llamado triángulo sagrado o de Osiris, con los lados en la relación 3, 4, 5.

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Palacio Farnesio, Roma. A menudo se usaban relaciones numéricas sencillas, como la aplicada en la fachada del palacio Farnesio de Roma sobre la lámina del libro de Paul Letarouilly. Está compuesto según la proporción 1 a 2 tanto en las dimensiones, longitud-altura de la fachada como en los huecos y ventanales.

FIGURA 1.1 Palacio Farnesio

En general, encontramos en muchos estudiosos del tema un cierto empeño en buscar relaciones áureas. A veces, da la impresión de haber sido utilizadas, aunque también la voluntad de descubrirla y el mal estado de conservación del edificio, pueden llevar a encontrarlas.

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Arco de Séptimo Severo, Roma En el arco de Séptimo Severo he dibujado unas cuantas diagonales áureas sobre el alzado que figura en el “Tratado práctico de Arquitectura” según Vignola, Palladio, Scamozzi, de Coll y March. Algunas responden a puntos clave de la composición y otras son gratuitas; pero el error de dibujo también puede dar como buena la relación que, aunque sea por poco, no cumple. Visto el estado real de conservación, es imposible afirmar o negar nada. FIGURA 1.2 Arco de Séptimo Severo

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Partenón, Atenas En el Partenón, que también ha sido objeto de muchos estudios buscando las proporciones de sus dimensiones, parece que la altura de las columnas más el estilóbato es la sección áurea de la altura total.

FIGURA 1.3 Partenón

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Dentro de los muchos criterios aplicables para el trazado de edificios, o proporcionar los distintos elementos, vamos a centrarnos en las posibilidades que para ello ha tenido y sigue teniendo el octógono. Se han estudiado las plantas octogonales normalmente dentro del conjunto de plantas centralizadas. El objetivo ahora es analizar las propiedades métricas del octógono como trama generadora de espacios y como sistema modular. La mayoría de los edificios que vamos a analizar responden a una forma claramente octogonal. No es la forma lo que interesa, sino cómo ese octógono es capaz de definir la composición general del conjunto, e incluso ser el origen de ciertos detalles. Por ello se incluyen también ejemplos donde el octógono no es la forma aparente, pero subyace organizando las líneas generales. Una primera aproximación se realiza sobre planos y documentos relacionados con el edificio a estudiar. El material gráfico disponible suele ser bastante impreciso, o tiene irregularidades de dibujo, o escalas sólo aproximadas por la reducción, lo que obliga a tener que deducir la posible realidad mediante el análisis comparado de distintas versiones de un mismo plano. Por otra parte hay que considerar que se pueden encontrar en el edificio diferencias de medida en elementos que teóricamente debían ser iguales. En el palacio Farnesio citado, aparentemente simétrico, hay una diferencia de 20 cm. en la zona de ventanas mas otros 22 cm. en las pequeñas fajas de piedra de las esquinas. Por ello se impone realizar una reconstrucción del edificio partiendo de las conclusiones provisionales deducidas sobre los planos originales. Podría llegarse a resultados erróneos, basados en una abstracción teórica, al tratar de idealizar el modelo imperfectamente concretado con la

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documentación encontrada. De todas formas, siempre quedarán dudas que deberán ser confirmadas a posteriori con un estudio directo. Los tratados “clásicos” que se utilicen no hay que tomarlos como dogma de fe, ya que pueden tener errores de apreciación, o variaciones según la edición. Habría que hacer una distinción clara entre lo que es la traza rectora general de un edificio y las cotas finales apreciables. Las discrepancias entre distintas mediciones de un mismo edificio a veces son abismales, basta como ejemplo medir al zócalo o al paramento del muro. No todos los trazados analizados que exponemos llegan a un mismo nivel de aproximación a la realidad. Algunos resultados finales o parciales han tenido que ser reajustados al encontrar nuevas fuentes, pero también es cierto que ciertas relaciones insospechadas en principio se han puesto en evidencia sobre el dibujo de los datos disponibles. Y como venimos diciendo, es posible, que por defecto de las fuentes o mala interpretación personal, hayamos llegado a conclusiones erróneas. Cuando el autor establece una norma de composición, es posible encontrar otras relaciones, consecuencia de aquélla, que posiblemente no tuvo en cuenta cuando proyectaba. Encontraremos planteamientos esencialmente formales o que responden a una idea preconcebida, pero también da la impresión, en algunos casos, que la geometría inicial acaba dominando el desarrollo posterior. No siempre se ha utilizado un trazado geométrico como norma de composición. Tine Kurent dice: “La coordinación modular es un método de componer dimensiones arquitectónicas con ayuda de módulos, entendiendo como módulo el denominador común de los tamaños”. Igualmente afirma: “La gradual desaparición de las medidas estánda73


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res romanas y la aparición de abundantes sistemas locales destruyeron la fiabilidad de las medidas. La arquitectura todavía modular del Románico tuvo que dar paso al estilo geométrico del Gótico. O la introducción del sistema métrico decimal es responsable de la desaparición de la coordinación modular en las medidas y del caos resultante en las dimensiones de los componentes constructivos en la primera era industrial.” Al igual que los cánones establecidos en el Renacimiento al analizar el cuerpo humano, todos los sistemas clásicos de medida estaban relacionados con las dimensiones humanas: dedo, pulgada, palma, palmo, pie, codo, braza, paso, etc. De los textos expuestos podía deducirse que después del imperio romano vino el caos. Es posible que durante la dominación se impusieran una serie de normas unificadoras que luego fueron degenerando en cada una de las zonas en que se descompuso. Dentro de la variedad de medidas, todos los sistemas tienen unos criterios similares para relacionar unas unidades con otras. Partiendo del dedo o de la pulgada se obtienen todas las demás. Aunque el criterio pueda ser el mismo para generar unidades mayores, varía cual de ellas se utiliza en cada región. Normalmente se utilizaba el pie, pero en otros sitios la unidad empleada habitualmente es el palmo, el codo, la braza, así como unidades mayores múltiplos de éstas. En los cuadros adjuntos se recogen algunos sistemas de medidas locales, indicándose también las equivalencias. Donde se ha encontrado la traducción se ha indicado el nombre en castellano. Se han colocado en la misma línea unidades análogas en dimensión o en concepto. Puede haber confusión en algunos casos, pues la traducción literal no se ajusta a la idea que tenemos. Lo que en algunos sitios figura como palmo o 74


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mano, equivalente a cuatro dedos, optamos por llamarlo palma para distinguirlo de lo que conocemos por palmo, igual a tres palmas, o bien doce dedos. Encontraremos también el codo común y el codo real, que corresponden a la longitud limitada por el codo y el extremo del dedo pulgar, o a la comprendida entre el codo y el extremo del dedo corazón. En Egipto se modifica el sistema primitivo tomando como base el codo real. Este codo real era igual al codo común más una palma. La diversidad de unidades existió siempre. Kurent expone ya cuatro sistemas métricos en la Grecia clásica. Al parecer el templo de Apolo en Bassae usa pies áticos de 0,2942 metros, mientras que el templo de Apolo de Didyma está modulado con pies jónicos de 0,3487 metros. A pesar de la uniformidad del sistema utilizado en el imperio romano, se encuentran construcciones donde predomina el pie de 0,2957 metros, no sólo en la Roma clásica, sino también en muchas otras zonas donde dominó, pero también parece que se utilizaron otras longitudes. Al analizar el panteón de Roma, Serlio especifica que está medido en palmos antiguos, luego existirían otros posteriores. El mismo Serlio, al comentar el teatro Marcelo, dice que fue medido con pies modernos y el segmento que corresponde a medio pie mide, prácticamente, 16,5 cm., pues el grosor de líneas y el deterioro del papel no permiten afinar más. Con todos estos datos se pueden presentar cuatro sistemas de unidades en Grecia, dos en Egipto, más otros cuantos que hemos podido recoger en diversas publicaciones, tanto de civilizaciones antiguas como

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a otras casi actuales. Se han indicado en los cuadros factores comunes en la composición de unidades mayores. Teniendo en cuenta que cada unidad es múltiplo de otra menor, o bien suma de varias, todas múltiplos de otra, los materiales de construcción como ladrillos, tejas, losas se ajustaban a ellas. El módulo o la “normalización” era lógica y sencilla. Tal vez el problema surgió, como hemos dicho, por la falta de adaptación de estos elementos constructivos coordinados dimensionalmente a los sistemas métricos de los pueblos invasores. El sistema métrico decimal acabó totalmente con estas series de tamaños fundamentales usuales. Las series modulares como el “Modulor” de Le Corbusier han intentado llegar a un sistema racional para dimensionar en función del metro. Desde hace años todos los países están implantando normas que tratan de unificar criterios dimensionales para simplificar el número de piezas distintas y poderlas coordinar. Pese a todos los intentos, en el mundo siguen coexistiendo el sistema métrico decimal y el llamado sistema inglés. Después de muchas convenciones se ha llegado a aceptar un módulo básico de 10 cm. casi igual a 4 pulgadas, pudiendo tomarse como módulos operativos, múltiplos o divisores de 10 cm. No obstante, algunos países se han reservado el derecho a utilizar otros módulos muy arraigados. Alemania seguirá utilizando 25 cm., dimensión que también domina en España en la industria del ladrillo cerámico y que obliga a modular otros elementos para integrarse con la albañilería.

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España e Italia son ejemplo de la variedad de unidades utilizadas, ya sean palmos, pies, brazas, codos, etc. En Roma palmos, en Florencia brazas, en Castilla pies. En Valencia la unidad de longitud más usada es el palmo de 23 cm. El salón de la lonja tiene 155 x 93 palmos, 31 entre ejes de columnas, y los muros 7,5 palmos. Puede comprobarse en los proyectos de edificación del siglo XIX escalas gráficas, primero en palmos valencianos, luego con doble escala en palmos y en metros y, ya en la postrimerías del siglo solamente en metros. En nuestros días en las poblaciones de la huerta perdura la costumbre de hablar de palmos al medir campos y solares. Como norma general, una vara equivale a 3 pies o a 4 palmos, aunque muchas veces estas relaciones no sean exactas. Aquí en Valencia, siendo la vara de 91 cm., al palmo corresponderían 22,75 cm. y sin embargo se toman 23 cm., según las tablas de equivalencia promulgadas en el reinado de Isabel II entre 1849 y 1852. Aunque el objetivo final sea el análisis de edificios o elementos concebidos apoyándose en formas octogonales, vamos a mostrar algunos ejemplos de obras conocidas para introducir al lector en la modulación, trazados geométricos y unidades métricas.

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Sección 2

Edificios Comentados Panteón, Roma El diámetro del Panteón de Roma medido en metros es una cifra inexpresiva y no todos los autores coinciden ni en la cifra ni en la interpretación. Hay quien afirma que el diámetro equivale a 150 pies capitolinos de 29,57 cm. o sea 44,35 metros, pero otros tratados consideran una longitud menor. Nos quedaría la duda de si serán ciertos los 150 o la unidad de longitud considerada. La cantidad de estudios que diversos autores han realizado sobre esta magnífica obra que es el Panteón de Roma permite que nos detengamos para ver cómo interpretan tanto la planta como sus dimensiones. Tine Kurent fundamenta que los 43,50 metros de diámetro equivalen a 98 cúbitos romanos de 0,4439 metros (147 pies de 29,57), pues habitualmente los romanos tomaban diámetros múltiplos de 7. El hecho de considerar π igual 22/7 conduce a que la longitud de la circunferencia sea un número entero si el diámetro es múltiplo de 7, que aquí serían 308 cúbitos ó 462 pies. Opinamos que Kurent se aproxima a la realidad, puesto que como veremos más adelante hay muchos esquemas que se apoyan en circunferencias donde los diámetros son múltiplos de 7. Serlio, en la descripción que hace del Panteón de Roma en el “Tercer libro de Arquitectura”, especifica que el diámetro es de 194 palmos antiguos, distinguiéndolos de los empleados en su época, que medían 22,41 cm., lo que daría un total de 43,475 metros equivalentes a 147 pies romanos de 29,57 79


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FIGURA 1.4 Serlio, “Tercer libro de Arquitectura”, Planta del Panteón de Roma 80


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cm. ó a 98 cúbitos de 44,36 cm. Este dato confirma el criterio de Kurent, pues la diferencia total es menor de 3 cm. Por otra parte hay que hacer constar que el propio Kurent en un mismo trabajo marca como valor del cúbito 44,39 y en otra 44,36 cm. Al pie de página, Serlio indica el tamaño del palmo antiguo (véase Figura 1.5) que contiene 12 dígitos y 48 minutos. Se puede apreciar, por lo tanto, una coincidencia en la apreciación del diámetro interior según el criterio de Serlio y Kurent. Sin embargo, los datos dimensionales que expone Serlio en la descripción difieren considerablemente. También pueden apreciarse serias diferencias de la planta de Serlio con las que presentan otros autores. Wiener afirma haber encontrado relaciones áureas en la composición de la planta. Palladio en su tratado “los cuatro libros de Arquitectura” nos muestra una planta similar a la de Serlio acotada en pies, pero falta saber qué longitud tenía el pie utilizado por Palladio. Si el diámetro acotado coincidiese con el de Serlio resultaría un pie de 35,9 cm. Para Zorzi, el pie utilizado por Palladio es de 35,7 cm., longitud marcada en una piedra en la logia de S. Vincenzo en Vicenza para información de todos. Los 121 pies por 35,7 cm. totalizarían 43,197 metros, error admisible. Por otra parte, Palladio, lo mismo que Serlio, muestra en dos lugares de su tratado líneas de idéntico tamaño acompañadas de un texto que las describe, y dice: “Esta línea es la mitad del pie vicentino con el que se han medido los siguientes edificios. Todo el pie se divide en doce pulgadas y cada pulgada en cuatro minutos”. Según este dato, el pie de Palladio tendría 35,2 cm. aproximadamente, longitud que no encaja aquí. 81


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FIGURA 1.5 Serlio, “Tercer libro de Arquitectura”, Descripción del Panteón de Roma

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Cada autor o estudioso del edificio emplea distintas unidades, pero las longitudes reales deben ser únicas. Es indistinto que se mida en codos, pies o palmos. No debemos pasar sin advertir que Serlio divide el palmo en 12 dígitos y estos en cuatro minutos. Palladio, como está establecido, divide el pie en 12 uncías o pulgadas, y éstas también en 4 minutos (el pie contiene 12 pulgadas o 16 dígitos), luego hay discrepancia en lo que sería un minuto. Por todo ello es conveniente al estudiar una obra arquitectónica conocer la unidad de longitud utilizada o el módulo, pues lo que expresado en metros puede parecer una longitud arbitraria, corresponde a un número de unidades clásicas locales. Téngase en cuenta que, en muchos casos, la unidad utilizada no es la autóctona sino la de procedencia de los constructores, e incluso en una misma construcción cambian de unidad. No debe confundirse el módulo con la unidad métrica. Evidentemente ha de apoyarse en una unidad, pero de ahí pueden obtenerse, mediante subdivisiones o mediante un trazado geométrico, otras unidades distintas de las “oficiales”.

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FIGURA 1.6 Palladio, “Los cuatro Libros de la Arquitectura”, Libro Cuarto, Capitulo XI, p. 40, Templo de Galluce 84


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Templo de Galluce Palladio acota en pies el Templo de Galluce, que otros autores interpretan dedicado a Minerva Medica. Aquí no se acompaña segmento que indique la longitud del pie empleado, pero puede suponerse que midió con el pie de 0, 357 metros claramente señalado en la logia de Vincenzo. La acotación no es del todo correcta puesto que el lado del decágono inscrito en una circunferencia de 70 pies de diámetro no puede ser 20,68 pies. Considerando cierta la longitud del lado, al diámetro corresponden 66,92 pies ó 23,894 metros, prácticamente igual a la medición realizada por Domenico Fornaro.

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Molo de Adriano Labacco en su “Tratado de Arquitectura”, (Roma 1559, pag. 5-6) al estudiar el Molo de Adriano, establece una escala gráfica en palmos y un segmento que denomina palmo natural cuya longitud es 21,8 cm., que la tomamos con la aproximación que el grabado puede dar, pero no parece ser una nueva unidad clásica, sino más bien que midió con las unidades florentinas de su tiempo. Con arreglo a la relación numérica general entre las distintas unidades de medida, al palmo en Florencia le correspondería 21,87cm. Hay que considerar en la descripción la descomposición del palmo en doce (12) dita (dedos) y la dita en cinco partes o minutos. El palmo según Labacco tiene 60 minutos, acorde con la medición del tiempo, y no 48 como indica Serlio, o con el criterio de Palladio que dividía el pie en 48 minutos.

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FIGURA 1.7 Antonio Labacco, “Tratado de Arquitectura”, Molo de Adriano, p. 5 87


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FIGURA 1.8 Capilla de la AbadĂ­a de Saint-Riquier 88


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Abadía de Saint-Riquier Al analizar la planta de la Abadía de Saint-Riquier, antigua Centula (Picardía, Francia), se aprecia que la posición de muros y pilares se acopla a subdivisiones de un módulo mayor. No disponemos de dimensiones fiables, pero es evidente que el módulo fundamental se ha dividido en unidades, tercios, cuartos, etc. Vemos que en algunos casos las caras del muro coinciden con las divisiones, mientras en otros es el eje del muro el que está sobre la línea. En general, la elección de módulo suele hacerse tomando una cantidad que admita varios divisores. El 12 es uno de los números más utilizados, para la composición, así como en los sistemas de medida clásicos, aunque haya excepciones.

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San Lorenzo, Milán

FIGURA 1.9 Hipótesis de trazado de San Lorenzo de Milán según Freckman

Analizando la hipótesis de trazado del templo de San Lorenzo de Milán realizada por Freckman se encuentran una serie de relaciones geométricas entre las diversas partes y con el módulo empleado. En cuanto al trazado realizado por Freckman que presenta J. A. Ruiz de la Rosa en “Traza y simetría de la Arquitectura en la Antigüedad y el Me90


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dievo” no hay nada que objetar, pues en él nos vamos a apoyar, pero evidentemente admite otras interpretaciones. El lado del cuadrado exterior mide, según el trazado de Freckman, 73,92 metros, equivalentes a 250 pies de 0,2957, o dicho de otra forma a 100 grados de 73,94 cm. Las cotas en metros de los radios no guardan ninguna relación con esas unidades. Contemplando el trazado se percibe que el lado de ese gran cuadrado se divide por 3 y por 4, luego la longitud total debería ser múltiplo tanto de 3 como de 4, condición que no cumplen ni 250 ni 100. Tratando de encontrar el módulo básico se dividió 73,92 por 252, múltiplo de 12, obteniendo una unidad de 0,2933 metros que se aproxima al pie, pero que no se le puede llamar así. Esta unidad o módulo estaría presente en las divisiones para formar los cuadrados interiores, pero la sorpresa fue encontrar que los radios que figuran en el trazado corresponden a números enteros de esas unidades de 29,33 cm. con un insignificante error. 36,96 metros=126,0001 módulos 26,13 metros=89,0795 módulos 18,48 metros

=63,0071 módulos

16,15 metros=55,0630 módulos 11,42 metros=38,9362 módulos 9,98 metros=34,0265 módulos 252, además de ser múltiplo de 12, también lo es de 7, con lo que la circunferencia inscrita en el cuadrado responde a lo ya comentado al hablar del panteón. En este caso puede considerarse que el módulo no

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es un múltiplo del pie o de otra unidad, sino un divisor del lado del recinto cuadrado. Planteada la hipótesis relativa al módulo base de la edificación, vamos a comentar la composición del conjunto.

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Figuras 1.10-1.11 Existe una construcción clásica en que, partiendo del cuadrado exterior y trazando rectas que unen los puntos medios de cada lado con los vértices, es factible dividir los lados del cuadrado en tres, cuatro, cinco... partes iguales. Es posible que aquí fuese utilizado el procedimiento, obteniendo dos cuadrados concéntricos con el original de 84 y 126 módulos de lado.

FIGURA 1.10 93


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FIGURA 1.11

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Figuras 1.12-1.13 En la circunferencia circunscrita al cuadrado menor, de 84 módulos de lado, se encuentran los vértices de los triángulos equiláteros, centro de los arcos de los ábsides. Como indica Freckman el lado de esos triángulos es el doble de 9,98 m., o sea 68 módulos. Si el radio de la circunferencia o altura de los triángulos es igual a 42 2 y el lado 68 se puede comprobar que 42 2 34

59,4 = = tan60° 34

El círculo inscrito en el octógono de la pequeña capilla tiene 34 módulos de diámetro, justo la mitad del lado de los triángulos; longitud, por otra parte, igual al doble de la diferencia entre el radio y la apotema del hexágono de 126 módulos inscrito en el cuadrado inicial. Los lados de esta capilla miden 14 módulos

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FIGURA 1.12

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FIGURA 1.13

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Figura 1.14 Al conjunto de datos mencionado habría que añadirle una circunferencia de 26,87 m. de radio, citada por Ecochard, que podría corresponder aproximadamente a 91,6 módulos y que pasaría por las esquinas que forman los muros cuyos ejes están sobre el cuadrado de 126 mod. La diferencia entre 26,87 y los 26,13 m. que da Freckman (89 módulos) corresponde al grosor del muro. Esta circunferencia enlaza con las tres capillas periféricas, una de ellas S. Aquilino, la comentaremos más adelante como ejemplo de planta octogonal. Las siete circunferencias contenidas en el esquema de Freckman están relacionadas mediante φ ó √2 o las dos, como puede comprobarse.

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FIGURA 1.14 99


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Sección 3

Tramas Geométricas Los polígonos regulares de menor número de lados como triángulo, cuadrado y hexágono son capaces de agruparse llenando totalmente el plano, o bien formando pavimento. El pentágono no puede llenar por completo el espacio para completar un pavimento, pero en cambio junto al triángulo y el cuadrado puede generar poliedros regulares. El pentágono es conocido sobradamente por las relaciones métricas existentes entre sus lados y las secciones de sus diagonales. La sección áurea, √5 y el número φ, que parecen ligadas al pentágono y decágono regulares, son utilizados tradicionalmente como norma de composición. Las series modulares de Le Corbusier (Modulor) o Rafael Leoz (Modulo L) se apoyan en la sucesión de Fibonacci, cuyos términos son números relacionados con la sección áurea y φ.

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Figura 1.15 Podemos encontrar, en casi todos los tratados relativos al análisis de proporciones, pentágonos determinados sucesivamente por las diagonales de otro mayor o yuxtapuestos indicándose las dimensiones 1,  φ,  φ2,  φ3,  φ4… En valores absolutos, puede comprobarse cómo esos segmentos toman valores aproximados como 3, 5, 8, 13..., cuya razón es precisamente φ. El pentágono también aparece como núcleo generador de secciones y plantas de iglesias góticas. Los trabajos de Lund citados por Matila Ghyka en “Estética de las proporciones en la naturaleza y en las Artes” son un claro ejemplo. En la catedral de Colonia unos pentágonos inscritos en el ábside y otro mayor según razón φ2 parece concretar la longitud y anchura del templo. No obstante se observa que no tiene relación con la trama cuadrada que marcan los ejes de columnas. Tampoco se encuentra relación entre estos pentágonos y las siete capillas del ábside, donde encontramos ángulos de 30º y triángulos equiláteros que admiten además diversas interpretaciones.

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FIGURA 1.15 103


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Figura 1.16 Un esquema similar al de Lund hemos podido comprobar que se adapta a la planta de la Catedral de Murcia, pero aquí el número de capillas sí corresponde al pentágono. No obstante, es difícil conjugar un trazado geométrico del ábside con una trama reticular para las naves. Igualmente conocidos son los trazados reguladores de las catedrales de Burgos y León basadas en el pentágono prolongado, realizados por Merino de Cáceres. En estas catedrales lo que varía es la medida utilizada, en Burgos pies castellanos de 27,8533 cm. y en León pies “carolingios” de 32,16 cm. No se suele encontrar decimales en una trama modular habitual, pero es posible que sea consecuencia del trazado pentagonal. En algunos templos de ábside octogonal hemos encontrado que las dimensiones o módulo fundamental radican en el ábside y el resto de las dimensiones en planta no son números enteros: son función de la norma geométrica establecida. Cuando hay una pauta de composición, como se ha dicho muchas veces, es posible encontrar relaciones geométricas consecuencia de ella y en las que no había pensado el autor. Por ello, los trazados reguladores, siendo todos válidos, pueden apoyarse en conceptos diferentes.

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FIGURA 1.16 Catedral de Murcia 105


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IMAGEN 1.1 Observatorio Astronómico de Madrid.

Figura 1.17 En el Observatorio Astronómico de Madrid, obra de Juan de Villanueva, un simple análisis de la planta de este edificio, caracterizada por su forma de cruz, permite apreciar la personalidad que le da la rotonda central. No se aprecia aparentemente ninguna forma poligonal o centrada que la caracterice. Antonio Fernández Alba parte del octógono estrellado (dos cuadrados) circunscrito al círculo para obtener el trazado regulador que no vamos a comentar, pero del que sí hay que dejar constancia como una de las muchas posibilidades de interpretar el trazado. 106


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FIGURA 1.17 Observatorio astron贸mico de Madrid

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En nuestro estudio partimos también del círculo de la rotonda de 34 pies de diámetro. El cuadrado circunscrito (rojo) y el inscrito (azul) son tales que sus diagonales de 48 y 34 pies son aparentemente un tercio de la longitud del eje E-O y del eje N-S, respectivamente. Contiene la figura las circunferencias concéntricas circunscritas al octógono regular y estrellado definidos por la prolongación de los lados de los dos cuadrados circunscritos a la rotonda. Los diámetros serán, prácticamente, 89 pies, y 116 pies. También se incluyen dos circunferencias de 55 pies de diámetro que, como puede comprobarse, representa las diferencias existentes entre la longitud total de 144 pies y los 34 pies centrales 144 − 34 ! = 55 2

El centro de estas circunferencias y los cuadrados correspondientes están, precisamente, en la circunferencia ya mencionada de 89 pies de diámetro. Con esos tres cuadrados de 34 pies de diagonal y los otros dos de 55 se pueden concretar las dimensiones generales del edificio, puesto que la anchura de las alas son, exactamente 55 y 27,5 pies. Al hacer el cálculo del diámetro de una de las circunferencias aplicando la relación entre el radio y el lado del octógono inscrito, se ha indicado el posible redondeo dejándolo en 89 pies. También acabamos de deducir el valor clave de 55 pies como determinante de la anchura de naves. El cálculo analítico riguroso pone en evidencia que varios vértices donde vemos concurrir rectas lo son sólo en apariencia. El conjunto no encaja más que por la imprecisión del dibujo. Estas cifras, bien sean deducidas o datos: 108


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34!!!!!55!!!!!89!!!!!144

son t茅rminos de la sucesi贸n de Fibonacci, luego el procedimiento para dimensionar el conjunto puede ser totalmente distinto.

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Figura 1.18 Estas relaciones áureas mencionadas podrían interpretarse según las propiedades del pentágono regular. Si construimos un pentágono cuyas diagonales midan 144 pies, de inmediato se obtienen las circunferencias de 55 pies y la de 34. Este pentágono tendrá 89 pies de lado. En esta figura, por lógica, se hacen coincidir los límites del a la N-S con el vértice del pentágono y la intersección de dos diagonales. Gráficamente no parece haber diferencia con lo establecido en los trazados anteriores pero analíticamente sí que es apreciable, 144!tan!36º!=!104,62!pies!

frente a los 102 que veníamos considerando. ¿Cuál es la longitud real? Habrá que medirlo, pero precisando si se tienen en cuenta ciertos relieves o molduras. Las circunferencias de centro en los extremos y radio igual a 89, como puede apreciarse, son tangentes a la circunferencia central de 34 pies de diámetro.

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FIGURA 1.18 Observatorio astron贸mico de Madrid

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Figura 1.19 Simplificando, en la figura siguiente se puede considerar el edificio como apoyado en los vértices de un rombo con ángulos de 72º y 108º. La construcción no requiere una nueva explicación, pero debe observarse cómo un solo pentágono establece las relaciones métricas entre las diversas partes del edificio. La medición de la longitud del ala Norte realizada personalmente 10,70 m. resultó ser 38,40 pies, con lo que el total del ala N-S serían 104,30 pies, más próximo a los 104,6 que a los 102 pies del trazado octogonal. Como vemos, pequeñas diferencias métricas debidas a defectos de ejecución o de las fuentes, ya sean gráficas o métricas, pueden conducir a falsas interpretaciones. También los prejuicios o el deseo de encontrar una solución puede conducir a malinterpretar esos datos ambiguos y, consecuentemente, la solución final. Las tramas rectangulares y módulos cuadrados, evidentemente, son los más utilizados a la hora de componer. Ya hemos hablado de la portada egipcia o de la capilla de St. Riquier y los ejemplos, desde la antigüedad hasta nuestros días, son numerosos. En la reciente obra de Richard Meier, donde se incluye el Museo de Arte Contemporáneo de Barcelona, una cuadrícula básica fundamental de 7,20 m. se subdivide en una retícula de 0,90 m. de lado y compone una malla compleja con rectángulos y cuadrados de 3 y 5 módulos de 0,90. Nótese que 3, 5 y 8 son términos de la sucesión de Fibonacci.

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Del triángulo equilátero también se pueden encontrar ejemplos en que se haya utilizado como base de composición. El caso más divulgado es la sección de la catedral de Milán.

FIGURA 1.19 Observatorio astronómico de Madrid 113


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Figura 1.20 Aunque a primera vista pueda parecer imposible, la planta de la Catedral de Chartres se apoya en una trama de triángulos equiláteros. De los hexágonos contenidos en los círculos que traza Jean Villette se puede deducir que existe una malla triangular dentro de los hexágonos.

FIGURA 1.20 Trama de la planta de la catedral de Chartres 114


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Figura 1.21 También aclara Villette, que en el rectángulo del crucero la menor distancia entre ejes corresponde a la altura del triángulo equilátero de lado igual a la mayor y que la diferencia entre las dos dimensiones es igual al grosor de la columna.

FIGURA 1.21 Crucero de la catedral de Chartres

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Figura 1.22 Insistiendo en lo expuesto anteriormente esta trama ha sido utilizada solamente para la composici贸n de las naves. El 谩bside no tiene relaci贸n alguna con ella.

FIGURA 1.22 Catedral de Chartres 116


CAPĂ?TULO 2

Formas Octogonales


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Sección 1

Octógonos Regulares Antes de analizar edificios o composiciones octogonales abordaremos las relaciones métricas en el octógono. Estas relaciones las podemos deducir o expresar de diversas formas, mediante complejas raíces o líneas trigonométricas, que requieren para su aplicación calculadoras adecuadas. Existiendo unos valores numéricos constantes en los octógonos, como φ en los pentágonos, las relaciones numéricas se referirán siempre a esas constantes, puesto que la calculadora más sencilla puede resolver el problema. Queda ahora definir esas constantes y sacar consecuencias. Se ha mencionado en varias ocasiones el número φ y la sucesión de Fibonacci, cuestiones íntimamente ligadas entre sí y con el pentágono. Al establecer la fórmula para dividir un segmento en media y extrema razón se obtiene la ecuación 2

!x − x − 1 = 0      x =

1± 2

5

En el octógono vamos a definir esos valores que satisfacen relaciones geométricas características. El octógono regular ni sirve para formar pavimento, ni para generar poliedros regulares, pero al igual que el pentágono, posee unas propiedades métricas propias.

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Figura 2.1 Dividida la circunferencia en ocho partes iguales, se puede obtener: un octógono regular inscrito de lado L8 uniendo puntos contiguos, un octógono estrellado (dos cuadrados girados 45º) de lado L4 que abarca dos divisores y finalmente el polígono regular estrellado de lado Le obtenido al trazar rectas que comprendan tres divisiones. A las tres figura llamaremos octógonos indistintamente, pues todos entran en las mismas relaciones. El primero es el regular, el tercero claramente conocido como estrellado y el segundo también estrellado, aunque algún autor como Matila C. Ghyka le llama FIGURA 2.1 pseudo-octógono estrellado. Considerando el radio igual a la unidad, se puede deducir el valor de cada uno de los segmentos en función de él: L8 = L4 = Le =

2−

L8 = 2sen22,5°

2  !

1 L4 = cos45°

2! 2+

2    !

  Le = 2cos22,5°

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Cualquier fórmula es válida, pero relacionando estos valores ordenadamente se pueden obtener esas constantes que simplifican la descripción. Así: Le = L8

2+

2

2−

2

1 2cos22,5° 2 = θ = 2,414213 = = tan22,5° 2sen22,5°

=1+

Aparece en esta relación 1+√2 a la que se designa como θ, valor que se utilizará continuamente en el análisis de figuras octogonales. Inmediatamente procederemos al estudio de las propiedades de θ, equivalentes a las de φ. También se puede obtener como raíz de la ecuación !x 2 − 2x − 1 = 0 !x =

8

2

=1+

2=θ

Si a φ = 1,618 se le llama número de oro a θ se le denomina, por analogía, número de plata. R = L8

1 2−

2

=

θ

1 = λ = 1,30656 = 2sen22,5° 2

Le R De ahí se deduce que y siendo el radio igual a la unidad, = L8 L4 el valor obtenido θ 2

= 1,30656

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Corresponde a la relación entre el radio y el lado del octógono regular. Para abreviar, a este valor lo llamaremos λ = 1,30656 en recuerdo a la aplicación arquitectónica que hizo de él Rafael de la Hoz Arderius, considerándolo como “Proporción cordobesa”, tanto en la revista “Cointra Pres”, como en su discurso de ingreso en la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando y en otros trabajos. Sustituyendo en las fórmulas: L8 =

1 ;          L4 = λ

2;          Le = λ 2!

En función del diámetro puede expresarse el lado del octógono regular inscrito y el circunscrito: !L8ins =

D D ;                 L8cir = 2λ θ

Estas formulas y coeficientes abstractos servirán para justificar los trazados y poder deducir las dimensiones de todas las partes conociendo solo una. En los siguientes apartados se expone la intima relación de esta parte teórica con la representación gráfica.

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Figura 2.2 Para comprender mejor la generalidad de esas relaciones se indican las dimensiones considerando circunferencias de radio 胃, 1 贸 位

FIGURA 2.2.A Circunferencias de radio 胃 123


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FIGURA 2.2.B Circunferencia de radio 1 124


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FIGURA 2.2.C Circunferencia de radio 位 125


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Figura 2.3 En una circunferencia de radio igual a 70 tendríamos segmentos como 29, 41 y 99. Con un mínimo error, también, para radio igual a 12 se obtendrían segmentos de longitud 7, 5 y 17. Estas relaciones geométricas ya fueron aplicadas para construir octógonos en la antigüedad. Estas series de números enteros ligados a figuras octogonales se analizarán a continuación (véase la Figura 2.10).

FIGURA 2.3 126


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Figuras 2.4-2.5 Gráficamente se puede resumir la relación entre todos los segmentos que aparecen en los dos cuadrados girados y las circunferencias, así como el significado de los coeficientes θ y λ. !θ = 1 + 2

!λ = 1 +

FIGURA 2.4 127

2 1 2


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Las circunferencias con centro en los vértices del cuadrado y radio igual a λ², sitúan la posición de los lados de un octógono. En esta relación se apoyó Serlio para establecer la fórmula para dibujar un octógono regular a partir de un cuadrado.

FIGURA 2.5

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Figuras 2.6-2.7 Siguiendo el análisis de las figuras anteriores, se puede observar que a un cuadrado que tenga por lado λ2 le corresponde una diagonal: ! 1+ (

2)

1

2 =1+

FIGURA 2.6 129

2=θ


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Para obtener el octógono limitado por un cuadrado basta trazar una diagonal y los arcos con centro en sus extremos y radio igual al lado. Las proyecciones de los puntos de la diagonal sobre los lados sitúan los ocho vértices del octógono. Dentro de las construcciones geométricas tradicionales encontramos los procedimientos para dibujar polígonos y concretamente el octógono, dado el lado, en el “Compendio de Architectura y de los templos” de Simón García.

FIGURA 2.7 130


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Figura 2.8 Dada una circunferencia y los dos cuadrados inscritos, si completamos la figura dibujando circunferencias del mismo radio y con centro en los ocho vértices de los dos cuadrados, se obtiene otro octógono estrellado. La distancia entre dos vértices contiguos es igual al lado del cuadrado inscrito en la circunferencia inicial, y pudiendo descomponerse éste en segmentos proporcionales de 1,√2 y 1 puede deducirse que: !1 +

2+1=θ+1=θ 2

La relación entre los octógonos regulares exterior e interior sería igual a θ. Igualmente podría expresarse esta relación en función de λ, ya que θ = λ2√2

FIGURA 2.8 131


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Figura 2.9 En la figura se indican los valores relativos que van tomando estos segmentos en función de θ y de su posición respecto al núcleo interior de la construcción. Aparece un conjunto de octógonos relacionados según el número θ al igual que φ compara pentágonos.

FIGURA 2.9 132


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Figura 2.10 La analogía entre las figuras del octógono y del pentágono no es solamente formal, responde a las características esenciales de φ y θ. El valor θ = 1+√2 admite, prácticamente, todas las propiedades de φ. Las sucesivas potencias de θ se componen de un número entero más un múltiplo de θ. !θn = a + bθ

Tanto los números a como los b constituyen sucesiónes análogas a la de Fibonacci, conocidas como series de Pell. El cuadrado de cada término es igual al producto del anterior por el siguiente, con una diferencia alternativa de 1, y el cociente de dos términos consecutivos de la serie tiende a θ. En el cuadro, se comparan los valores de las potencias de φ y de θ y las sucesiones derivadas de ellos, pero teniendo en cuenta que en los octógonos hay muchos segmentos relacionados según √2 se añade la serie correspondiente a θn√2 , cuyos valores están gráficamente ligados a aquélla. Estas sucesiones numéricas, deducidas aquí a partir de θ, ya se habían descrito con anterioridad. Puede comprobarse que las cifras mencionadas en la Figura 2.3 son términos de estas sucesiones.

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FIGURA 2.10

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Figura 2.11 Es curioso como en el siglo II Teón de Esmirna, en su tratado “Matemáticas útiles para entender a Platón”, obtiene estas dos sucesiones. R. Lawlor describe en su libro “Geometría Sagrada” la demostración de Teón partiendo del cuadrado de lado unidad al que también asigna una diagonal unidad. El crecimiento del lado se realiza añadiendo el valor de la diagonal, mientras la diagonal aumenta en el doble del lado. Las diagonales obtienen los valores 1, 3, 7, 17, 41, 99...mientras las longitudes del lado de los cuadrados resultantes constituyen la sucesión 1, 2, 5, 12, 29, 70,...

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FIGURA 2.11

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Figura 2.12 Si partiendo de un cuadrado de lado 1 lo vamos aumentando sucesivamente sumándole el valor real de la diagonal, se obtienen valores de diagonales, !1,

2,  θ 2,  θ2 2,  θ3 2… .

mientras los lados de los cuadrados van adquiriendo valores !1,  θ,  θ2,  θ3,  θ4…

Pasando a casos concretos ya pudimos comprobar que al inscribir dos cuadrados en una circunferencia de radio 70 aparecen segmentos de 99, 41 ó 29 y si el radio fuese 12, tendríamos 17, 7 y 5. Los octógonos originan segmentos que corresponden a las sucesiones de Pell.

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FIGURA 2.12

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Figura 2.13 Las dos sucesiones obtenidas, ligadas por √2, pueden agruparse adosando triángulos rectángulos isósceles, siendo los catetos los términos de la serie roja, mientras las hipotenusas lo son de la serie verde. Existe una línea recta que pasa por los vértices superiores de todos ellos y que forma ángulos de 22,5º y 67,5º con la horizontal y las verticales, respectivamente. La relación entre los segmentos verticales y la suma de segmentos horizontales, desde el origen hasta el pie, es prácticamente igual a θ. Puede observarse que cada término de la sucesión verde es igual a la suma de los correlativos rojos.

FIGURA 2.13

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Figura 2.14 Otra forma de relacionar gráficamente los valores obtenidos para las dos sucesiones se presenta en la figura siguiente. El hecho de ser el cuadrado de un miembro aproximadamente igual al producto del anterior por el siguiente, permite situar una serie de triángulos que tienen como cateto menor los miembros de ambas sucesiones y por hipotenusa el siguiente. Colocando las hipotenusas sobre una recta, a partir de un mismo punto y trazando las semicircunferencias para inscribir los ángulos rectos se obtiene el conjunto de circunferencias verdes y rojas, con una tangente común, en que los radios correspondientes a los puntos de tan-

FIGURA 2.14 140


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gencia son los términos de ambas sucesiones. En la base, al quedar superpuestos los diámetros de las circunferencias, puede comprobarse cómo se agrupan distintos elementos por adición o diferencia. Las dos sucesiones están íntimamente ligadas. Pueden sumarse miembros de una y otra para obtener otro de una de ellas, además de estar relacionados por medias proporcionales dentro de una misma sucesión y por √2 entre ellas. Puede establecerse claramente un cierto paralelismo entre estas gráficas y la llamada V de Marsella de Le Corbusier. El crecimiento demasiado rápido hace que estas series numéricas no sean adecuadas para ser utilizadas como base de sistemas modulares como el “Modulor”. No obstante, ya en el “Modulor” se hizo necesario partir de dos longitudes básicas para rellenar zonas vacías. Tal vez con las dos sucesiones y partiendo de varias unidades sabiamente elegidas se podría componer un conjunto o sistema de medidas útiles para la estructuración del espacio. Recordemos que el “Modulor” fue ideado para sistematizar mediante un número limitado de unidades la composición arquitectónica. Pretende crear un conjunto de unidades modulares, basadas en la proporción áurea, que se pueden sumar, que puedan cumplir la función que en la antigüedad tuvieron los sistemas métricos griegos o romanos. Podemos afirmar que existen unas relaciones métricas ligadas a los octógonos, comparables a otras deducidas del pentágono, que han sido más divulgadas. El octógono ha sido utilizado como elemento básico de diseño y decoración, azulejos, tapices, libros, estucos, etc., y como generador de formas y elementos arquitectónicos. Por una parte son innumerables las cúpulas que se inician a partir del octógono o con nervios 141


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formando octógonos estrellados, y por otra el octógono ha sido reiteradamente utilizado como modelo de planta centralizada. Además de las relaciones establecidas hasta ahora en el octógono, se pueden encontrar otras muchas que iremos describiendo al estudiar ciertas figuras geométricas o edificios concretos.

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Figura 2.15 La fuente árabe encontrada en la plaza de la Figuereta de Valencia y que se conserva en el museo de cerámica “González Martí” de la misma ciudad, es un octógono estrellado subdividido en piezas menores cuyos lados están relacionados por θ. Tomando como unidad de medida el segmento menor, se ha podido deducir el resto por adición, y su equivalencia en función de θ, aunque también se podrían obtener partiendo de cualquier otro segmento contenido. FIGURA 2.15 Fuente árabe de la plaza de la Figuereta (Valencia)

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Secciรณn 2

Desarrollo de Formas Octogonales En esta secciรณn vamos a describir algunas posibilidades de desarrollo de formas octogonales, compuestas sรณlo de octรณgonos o de octรณgonos y cuadrados para llenar el plano.

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Figuras 2.16-2.21 En la Figura 2.16, un octógono está limitado por las diagonales de otro mayor y, como ya hemos visto, su relación es θ. Se han dibujado cinco circunferencias, inscritas o circunscritas, bien a los octógonos regulares o a los cuadrados ligados a ellos, siendo fácilmente deducibles los radios en función de θ o de λ. Si el círculo menor es 1 los otros medirán √2, θ, 2λ, 2λ2, de lo que se deduce que la circunferencia mayor circunscrita a los dos cuadrados y la circunscrita o inscrita al octógono regular se relacionan según λ ó √2 respectivamente. Igualmente entre FIGURA 2.16 Octógono limitado por diagonales de otro mayor estas dos últimas el cociente θ ! = 2λ

2λ 2

=

λ 2

= cos22,5°

relaciones que aparecen al analizar edificios de planta centralizada octogonal. Si a un octógono se le adosan 8 cuadrados se genera la forma representada en la Figura 2.17 como ampliación del octógono inicial, forma poco útil en sí, aunque geométricaFIGURA 2.17 Octógono con 8 cuadramente esté bien construida. dos adosados 146


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Menos rincones producen el conjunto compuesto por un octógono básico y ocho octógonos estrellados, dos cuadrados girados, representado en la Figura 2.18. La prolongación de los lados origina una figura central con dos octógonos ligados a los periféricos. Este esquema es realmente la base del tan conocido templo que encontramos en los dibujos de Leonardo da Vinci. Siguiendo con la yuxtaposición de formas, se puede obtener, Figura 2.19, un conjunto de cuadrados y octógonos que llena por completo el plano, forman un pavimento clásico. Los centros de las circunferencias generadoras de octógonos están en los vértices de una trama cuadrada de módulo igual a los diámetros. Un ejemplo característico de utilización de esta composición es el Jewish Community Center en Trenton de L. Kahn. A cada octógono se adosan alternativamente cuatro cuadrados y cuatro octógonos iguales a él.

FIGURA 2.18 Octógono básico y ocho octógonos estrellados

FIGURA 2.19 Conjunto de cuadrados y octógonos

Más libertad de desarrollo se puede conseguir con la disposición adoptada en la Figura 2.20. Los pequeños octógonos estrellados están 147


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perfectamente trabados entre sí y con otros octógonos iguales al núcleo original. Esta organización celular es utilizada por el equipo S.O.M. (Skidmore, Owens y Merryl) en el edificio de la facultad de Ciencias del Comportamiento de Chicago. Esta fórmula permite ampliaciones en cualquier sentido con FIGURA 2.20 Organización celular pocas limitaciones. Al analizar detenidamente cómo se relacionan entre sí esos pequeños octógonos se descubre otra forma de desarrollar los octógonos estrellados, Figura 2.21. Puede resumirse en dos familias de cuadrados con sus lados girados 45º que dejan entre sí pequeños huecos octogonales. También podíamos expresar su generación como octógonos inscritos en circunferencias de radio 1 cuyos centros están en una retícula cuadrangular de módulo igual a λ/ √2. Ejemplo característico de esta disposición es la biblioteca Jefferson obra también de S.O.M. que co- FIGURA 2.21 Octógonos inscritos en circunferencias de radio 1 mentaremos en su momento.

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Figura 2.22-2.26 Igualmente se pueden obtener elementos complejos partiendo del octógono estrellado. El contorno final lo forman dos cuadrados girados. Los radios de las circunferencias representadas son 1,√2, 2, θ y apoyándose en los puntos marcados es fácil imaginar otros varios octógonos. El trazado de Santa María del Ángel (Roma) de Durero responde a este esquema, según J. Seguí.

FIGURA 2.22 Elementos complejos partiendo del octógono estrellado 149


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Inscribiendo o circunscribiendo figuras se obtienen otras cuyas dimensiones son función de la operación geométrica aplicada. Las circunferencias dentro de un cuadrado, hexágono u octógono son iguales a la exterior afectadas de coeficientes cos 45º, cos 30º y cos 22,5º respectivamente. Si se aplicase n inscripciones sucesivas los coeficientes serían cosⁿα. cos 45º, cos 22,5º, cos 30º, cos2 22,5º

FIGURA 2.23 cos 45º 150


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FIGURA 2.24 cos 22,5ยบ 151


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FIGURA 2.25 cos 30ยบ 152


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FIGURA 2.26 cos2 22,5ยบ 153


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CAPĂ?TULO 3

Edificaciones


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Sección 1

Edificaciones Clásicas En los primeros ejemplos de esta sección trataremos de analizar cómo se han utilizado las relaciones geométricas en el trazado. Reiteramos de nuevo que algunos de estos trazados parecen justificados, mientras otros sólo serán aproximaciones.

IMAGEN 3.1 La Alhambra de Granada. 157


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Salas de la Alhambra, Granada Una primera aplicación la encontramos en la Alhambra de Granada. Dos salas de planta cuadrada, contiguas al patio de los Leones, son cubiertas por bóvedas octogonales. La sala llamada de Dos Hermanas se transforma en un octógono regular mediante “pechinas” compuestas con mocárabes. En la sala de los Abencerajes, actuando sobre las esquinas y los lados se consigue un octógono estrellado que se acusa claramente al exterior y en el tejado. La descomposición de una cúpula en mocárabes se realiza mediante un pequeño número de piezas donde aparecen ángulos de 45º, 90º y 135º; por lo tanto está implícita la √2. Octogonales son también las cúpulas y cimborrios de muchas catedrales góticas. En la Catedral de Tarazona (Zaragoza) la forma de cada sección es el resultado de inscribir octógonos en la figura de la planta inferior que como en la Alhambra se inicia con un cuadrado. Los ejemplos son innumerables. Se han encontrado dibujos y bocetos que contienen plantas y alzados de templos relacionados con la planta octogonal. Las versiones o transcripciones de los dibujos hallados pueden variar, pero en lo esencial coinciden.

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FIGURA 3.1.A Sala de Dos Hermanas.

FIGURA 3.1.B Oct贸gono regular

FIGURA 3.1.C Sala de los Abencerajes.

FIGURA 3.1.B Oct贸gono estrellado

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Proyecto de Iglesia de Leonardo Da Vinci El proyecto de Leonardo da Vinci tal vez sea el más conocido. Se puede comparar el esquema de líneas con el proyecto. Debe considerarse como una aplicación del modelo de desarrollo por yuxtaposición. Los triángulos rectángulos isósceles se sustituyen por hornacinas al fijar los espesores de muro, pero adaptándose exactamente al octógono rodeado por octógonos estrellados. El ejemplo es puramente teórico, puesto que no se disponen de cotas o escalas. Según Frankl este tipo de planta octogonal está inspirada en la inconclusa Santa María de los Ángeles de Florencia proyectada por Brunelleschi. La disposición del atrio se apoya en ejes y puntos que siguen el conjunto de octógonos.

IMAGEN 3.2 Proyecto de Iglesia de Leonardo Da Vinci 160


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FIGURA 3.2 Iglesia de Leonardo Da Vinci 161


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A continuación pasamos a estudiar la forma de componer edificios cuya planta sea, esencialmente, un octógono. La inscripción de octógonos en circunferencias y de octógonos entre sí es uniforme, pero con resultados muy variados. En otras plantas complejas se aplican para su análisis las mismas relaciones geométricas. Ecochard en “Filiation de Monuments Grecs, Byzantins et Islamiques” estudia un conjunto de edificios que, de forma análoga, se inscriben en circunferencias de 53,74 metros de diámetro o mitad. Es una constante en todos ellos, así como tener el contorno octogonal, pero también se pueden encontrar otras relaciones.

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IMAGEN 3.3 Mezquita de La Roca.

IMAGEN 3.4 Iglesia de San Vital.

Cúpula de La Roca (Jerusalén), Iglesia de San Vital (Rávena) La mezquita de La Roca en Jerusalén y la iglesia de San Vital en Rávena son las edificaciones más conocidas, e incluso en la mayoría de los tratados aparecen juntas. Ambas han sido debidamente analizadas por Ecochard, por lo que solo haremos una descripción de la forma y relaciones numéricas entre las partes. La Roca en Jerusalén (Qubbat As-Sakhrah), que algunos autores confunden erroneamente con la mezquita de Omar (Al-Aqsa), está configurada por un octógono regular inscrito en una circunferencia y otro estrellado formado por dos cuadrados girados 45º. La cúpula descansa en una circunferencia circunscrita al cuadrado que componen cuatro de las diagonales del octógono estrellado, más otros doce pilares que siguen la línea circular. De las relaciones métricas generales se deducen los radios de las circunferencias así como los lados de los cuadrados en función de θ y del diámetro 163


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FIGURA 3.3 La Roca según Ecochard

L1 =

D

FIGURA 3.4 San Vital según Ecochard

D

D D = 38; L2 = = 15,74;  R1 = = 20,56;  R2 = = 11,13 2λ 2θ 2 θ 2

San Vital parte del mismo círculo exterior de 53,74 metros e inscribe dos cuadrados que forman el octógono regular. Las ocho diagonales de este octógono determinan otro octógono menor en el que se apoyan los pilares centrales. Como iremos descubriendo, en países distantes y variadas culturas se encuentran construcciones que directamente o indirectamente se basan en las constantes de Ecochard, pero ¿corresponde a la misma unidad en todos los emplazamientos? Si había un solo sistema métrico en la época del Imperio Romano podría suponerse que 26,87 m ≅ 91 pies, siendo el error numérico mínimo (0,14 %) y 91 es además múltiplo de 7, como ha indicado Tine Kurent. Podría suponerse también que 26,87 equivale a 77 pies jónicos de 0,3487 metros con un error mínimo, puesto que ya se ha comentado 164


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que utilizaban diámetros múltiplos de 7 para que la circunferencia tuviese un número entero de unidades; en este caso 242 pies. Las unidades de Judea son similares a las jónicas, lo que hace suponer que en la zona se originó el modelo que luego se extendió por todo el mundo. La reiterada utilización de estas constantes en territorios que manejaban distintas unidades métricas hace suponer que se apoyaban en un mismo patrón o modelo, independiente del sistema métrico utilizado. En el planteamiento de los dos cuadrados inscritos en la circunferencia que hace Ecochard, podría entenderse que el octógono está inscrito en una circunferencia de diámetro D/λ. Esta relación nos lleva a considerar que es indiferente hablar de circunferencias de 91 pies de diámetro, o radio, donde se inscriben dos cuadrados a modo de Ecochard, o bien octógonos regulares en circunferencias de 70 pies de diámetro, o radio, puesto que 70 x 1,3 = 91. No siempre aparece tan claramente la relación entre la planta octogonal y las circunferencias de Ecochard. La circunferencia que genera el octógono no será 53,74, sino la que tiene por diámetro 53,74 dividido por λ, √2, λ2 etc. como iremos encontrando. Mas adelante encontraremos casos que se apoyan en circunferencias de 13,435 metros de diámetro y aumentadas en λ y √2. El modelo establecido para plantas octogonales o centrales, evidenciado por Ecochard, es aplicado en la composición general, pero en ciertos detalles aparecen unidades locales con toda claridad.

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FIGURA 3.5 Baptisterio de San Juan Bautista dibujado por Bernardo Sansone Sgrilli

Baptisterio de la Catedral de Florencia Vamos a iniciar el análisis de edificios octogonales por este Baptisterio que, aunque no sea de las plantas más sencillas, es de las más conocidas. Se puede considerar que no tiene cuerpos extraños adosados a él, es un octógono simple, pero a pesar de esa simplicidad está sujeto a criterios de composición capaces de relacionar todas sus partes. Se supone construida en los siglos IV y V con mármol blanco de Carrara y verde de Prato. El grabado de Sgrilli, datado en 1733, refleja el estado actual, tras los daños y reparaciones sufridas. La planta del baptisterio de Florencia no es citada por Ecochard, aunque a simple vista puede encontrarse cierta semejanza con la tum166


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ba de la Virgen en Jerusalén, que sí está incluida pero sin analizar el detalle. Por ello, veremos algunos casos estudiados por él que casi no necesitan comentario y otros en donde buscaremos los procedimientos aplicados en su trazado. Teniendo en cuenta la escala gráfica, podemos considerar que es un octógono inscrito en una circunferencia de 60 brazas de diámetro. Si en esta circunferencia se inscriben dos cuadrados girados (en rojo) se obtiene un octógono, cuya circunferencia circunscrita tendría, !

60 ≅ 46 brazas λ

como vimos al analizar las relaciones métricas entre octógonos y circunferencias inscritas o circunscritas. Antes de seguir hay que hacer notar que 46!brazas!x!0,5836!metros!=26,845!metros

cifra que se ajusta perfectamente a los estudios de Ecochard. Este octógono inscrito en la circunferencia de 46 brazas de diámetro, como puede apreciarse en las figuras, es quien marca las normas para determinar el grosor de muros, pilastras, puertas, etc. !

60 2

= 42,4268 brazas

es el lado de estos cuadrados rojos. Dividiendo estos lados en tres partes iguales se obtiene en el centro un octógono estrellado formado por dos cuadrados de 14,142 brazas, es decir 10√2. Los dos cuadrados en azul circunscritos a éstos, pueden también considerarse como formados por las diagonales de un tercer octógono de 20 brazas de lado que corresponde a la cara interior del muro. 167


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De los tres octógonos regulares (negro, azul y rojo) dos definen el muro y el interior con los estrellados centrales completan ciertos detalles. Será casualidad, pero la diagonal del rectángulo de fachada y la inclinación de cubierta parecen ser paralelas y su pendiente igual a !

1 1 =  = tan37, 43° λ 1,3065

Como la encontrada por Rafael de la Hoz en la proporción cordobesa. De todas formas, parece absurdo pensar que el alzado pueda responder a una fórmula derivada de la composición de la planta. En resumen, el círculo de Ecochard no está precisamente en el exterior y equivale a 46 brazas. Análogamente, la circunferencia exterior de 60 brazas equivale a 53,74 ! λ = 35 metros 2

Independientemente de cuál sea la unidad, vamos a analizar, como en Florencia, donde ésta ese círculo y como se construye el conjunto a partir de él.

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FIGURA 3.6 Baptisterio de la catedral de Florencia

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En los tres ejemplos que siguen, San Aquilino, San Juan de Letrán y la capilla de la Santísima Virgen, que fueron expuestos en líneas generales por Ecochard, completamos detalles de la composición derivados del octógono según fórmulas que se encuentran en ellos y en otros edificios que siguen. Capilla de San Aquilino, Milán Con un esquema geométrico similar está concebida la capilla de San Aquilino, en el complejo de San Lorenzo de Milán. Como no hay pilares centrales el trazado sólo se utiliza para definir el espesor del muro y de los huecos y hornacinas en el mismo. Los dos cuadrados inscritos en la circunferencia marcan el octógono del paramento externo. Los puntos medios de los lados de este octógono constituyen otro octógono que coincide con la cara interior. Las hornacinas quedan indicadas por los puntos en que se cortan los lados, y sus prolongaciones, de los dos octógonos. El atrio es un cuadrado adosado al octógono básico más dos zonas curvas limitadas por sendos cuadrados que se apoyan en la semidiagonal anterior. El radio de la circunferencia circunscrita a los cuadrados, según Ecochard, es de 13,43 metros, que podrían corresponder a 91 pies de diámetro o también a 92 unidades o módulos. Ya comprobamos en su momento que en el conjunto de San Lorenzo se utilizó una unidad de 0,2933 metros algo menor que el pie romano resultante de dividir en 252 partes iguales el lado del cuadrado que mide 250 pies o 100 gradus (73,92 metros). Ese módulo aplicado al círculo de Ecochard daría 91,6 unidades ó módulos. 170


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FIGURA 3.7 Capilla de San Aquilino

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Si el diámetro de la circunferencia fuese de 92 unidades, el lado del octógono mayor tendría 27 uds. y el octógono interior 19 uds. por estar sobre cuadrados de 65 y 46 unidades, respectivamente. El espesor del muro sería de 9,5 uds. y el ancho de hornacinas 13,5. Es una hipótesis que salvando las diferencias mínimas de cotas puede servir para nuevas comprobaciones. Teniendo en cuenta las fórmulas establecidas, los lados de los octógonos exterior e interior del muro miden, respectivamente, !

26,87 θ√2

= 7,87m     y    

26,87 = 5,565m. 2θ

Igualmente el diámetro exterior del muro del atrio será 26,87 ! = 4,259 m 2θλ

y el frente de las hornacinas !

26,87 2θ 2

= 3,935 m

El sistema permite deducir cualquier dimensión.

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En el Mausoleo de Diocleciano Ecochard encuentra anomalías al compararlo con San Aquilino. Los vértices del octógono exterior no están relacionados con la circunferencia de 26,87 metros de diámetro, mientras que el círculo interior mide 13,43 metros, longitud igual a la distancia entre caras paralelas en San Aquilino. Tal vez fuera voluntario. Si 26,87 metros equivalen a 120 palmos romanos 26,44 lo son a 118 x 0,2241 = 26,4438. Inscribiendo en ella dos cuadrados girados el octógono tiene por lados !

26,4438 θ 2

= 7,745 m

que corresponde a las mediciones de Ecochard. En la comparación con San Aquilino también se descubre que hay una norma para determinar el tamaño de las caras opuestas de la rotonda pues los ejes de las columnas marcan el tamaño de los nichos. Si el diámetro de 26,87 m (119,9 palmos) se reduce en dos palmos quedarían 117,9 palmos equivalente a 26,4218 metros, circunferencia marcada a trazos por Ecochard. Al inscribir dos cuadrados en esa circunferencia se origina un octógono de !

26,4218 θ 2

= 7,74 metros

También comenta que los lados del octógono interior miden 7,74 metros y que en lugar de apoyarse en una circunferencia de 13,43 metros de radio lo sería en una de 13,22.

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ÂżQuĂŠ motivos llevaron al proyectista a no seguir un criterio similar al aplicado en San Aquilino? Nunca podremos saberlo. Pudo ser por falta de espacio para encajarlo en el conjunto del palacio de Diocleciano.

FIGURA 3.8 Mausoleo de Diocleciano 174


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Baptisterio de San Juan de Letrán, Roma El baptisterio de S. Juan de Letrán parece que fue edificado en el siglo V, aunque se reconstruyó con posterioridad. Ecochard lo incluye en la serie de templos de planta octogonal, pero sin concretar claramente sus dimensiones. Establece una relación muy singular entre el octógono de San Aquilino de Milán y el Baptisterio. De esta relación y de las escalas gráficas de Letarouilly se podría suponer que la distancia entre lados paralelos del octógono es de 20,5 metros, pero sin poder afirmarlo salvo medición expresa. Sin embargo, de la comparación de los dos octógonos se podría pensar que el exterior de San Aquilino es igual al interior del Baptisterio, IMAGEN 3.5 Baptisterio de San Juan de Letrán o lo que es lo mismo, el círculo de Ecochard no marca el contorno exterior, como en los casos anteriores, sino que define los paramentos interiores. También se puede apreciar que tanto el octógono exterior como el interior están circunscrito e inscrito en la misma circunferencia. Aplicando las relaciones geométricas entre los elementos de la figura partiendo del círculo de 26,87 m de diámetro se obtienen: !

26,87 √2

= 19

lado de los cuadrados que componen las caras interiores y 175


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√2 !19 = 20,56 λ

lado de los cuadrados de cara externa. Con lo que se puede asegurar cuál es el tamaño real y su relación concreta con S. Aquilino. Nótese también que 26,87 = ! 20,56

2 cos22,5° = λ

Junto al círculo de Ecochard existe otro, no dibujado, mayor, de 29 metros de diámetro, generado por la relación de inscripción o circunscripción a un octógono. Esta circunferencia no sólo determina el contorno exterior, sino que también contiene los centros de los círculos del atrio. Los centros del atrio, además de estar en la circunferencia mencionada, son vértices de un cuadrado circunscrito a la circunferencia de diámetro igual a un tercio del frente del octógono. Las diagonales del octógono forman en el centro otro octógono regular estrellado que marca la posición de las columnas centrales y las pilastras interiores. Es decir, los vertices interiores del octógono regular estrellado coinciden con los centros de esas columnas y el diámetro de la circunferencia que los contiene 2 1 29 29 ! = = = 9,1937!m λθ θ 2 cos22,5º θ 2 λ 29

prácticamente 31 pies romanos de 0,2957 m o 41 palmos.

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FIGURA 3.9 Baptisterio Letranense

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FIGURA 3.10 Baptisterio de San Juan de Letrรกn

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Tumba de la Santísima Virgen, Jerusalén La tumba de la Virgen de Jerusalén no sólo tiene semejanza aparente con el baptisterio de Florencia por su forma octogonal y la disposición de pilastras en el exterior, sino que también existen coincidencias en su composición. Ha sido estudiado en líneas generales por Ecochard. El cuadrado inscrito en la circunferencia se divide en tres partes iguales, originando en el centro un cuadrado que puede considerase limitado por las diagonales de otro octógono algo menor que el inscrito y que marca el grosor del muro. Partiendo del diámetro D de la circunferencia el lado de los cuadrados inscritos es D/√2 y el de los interiores !

Dθ 3 2

 !y!el!muro!medirá!

2 2( D

1−

θ 3)

Lo mismo que en Florencia la prolongación de los lados de este octógono coincide con las pilastras de las esquinas. La disposición de las columnas centrales no requiere aclaración. El diámetro de la circunferencia que contiene los centros es igual al lado del octógono inscrito en la circunferencia exterior 13,435 ! = 10,28 λ

Es curioso cómo se repiten algunos trazados de los muchos analizados en distintos edificios. Todos estos ejemplos utilizan procedimientos similares, pero apoyándose en puntos distintos. Esta fórmula de dividir en tres partes el lado del cuadrado también se utiliza dividiendo el diámetro de la circunferencia en tres partes, como vimos en el baptisterio de S. Juan de Letrán.Las analogías entre edi179


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ficios son evidentes, en su aspecto general o en los trazados. El mismo Ecochard habla de que la tumba de la Virgen es justo la mitad de la Capilla de la Ascensión de Jerusalén. El octógono exterior sí lo es, pero el grosor de muro y la posición de columnas es totalmente diferente. Por ello, sólo nos limitamos a algunos casos que pueden servir de ejemplo. La razón de semejanza entre las caras del muro es igual a cos2!22,5°=0,8535

y los centros de las columnas están en una circunferencia de 53,74 ! = 22,26 metros θ

FIGURA 3.11 Capilla de la Ascensión, Jerusalén 180


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FIGURA 3.12 Tumba de la Virgen, JerusalĂŠn

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Los templarios han dejado en España algunas muestras de templos octogonales singulares, que en cierto modo recuerdan la tumba de la Virgen pero incorporan formas utilizadas en Córdoba, Toledo o Almazán. En los templos analizados se pueden apreciar relaciones geométricas que se repiten con ciertos matices en otros, e incluso se podría afirmar que en todos ellos aparece una constante métrica, como evidenció Ecochard, aunque no siempre se perciba directamente.

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IMAGEN 3.6 Fachada de la Iglesia del Santo Sepulcro.

Iglesia del Santo Sepulcro, Torres del Río (Navarra) Esta capilla románica del Santo Sepulcro se encuentra en Torres del Río, población situada en el tramo navarro del Camino de Santiago. Se le atribuyen diversas influencias bizantinas y árabes que para nuestro estudio son secundarias, aunque en el fondo hayan podido determinar la forma y su trazado que es nuestro objetivo. En un primer análisis su planta nos recuerda a la tumba de la Virgen en Jerusalén. Tiene además un torreón circular y acusa las aristas verticales con columnas casi exentas. De la planta y sección de Huici, que expone F. Chueca Goitia en “Historia de la Arquitectura Española”, se puede deducir con cierta aproximación el tamaño de la capilla que en principio no tiene por qué ser uno determinado. 183


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Pero al elaborar los datos obtenidos se comprueba que ese octógono es inscribible en una circunferencia de D=13,4349 metros de diámetro, que podíamos llamar constante de Ecochard. Aunque el trazado se parezca al de otras edificaciones estudiadas, nos encontramos ante un caso de mucho menor tamaño. La medición de los lados del octógono exterior oscila realmente entre 3,90 y 3,95 metros, lo que confirma la suposición deducida de la escala. Por lo tanto la capilla es exactamente, en su exterior, igual a la mitad de la tumba de la Virgen, ya que si el diámetro de la circunferencia exterior es 13,435 metros, al lado del octógono de la fachada corresponde !

13,435 θ 2

= 3,935 metros

Parece existir una relación general en el tamaño y composición con otros casos estudiados, pero ¿pudieron utilizar una unidad métrica local o simplemente siguieron pautas importadas? Los pilares mayores aparentan tener 28 cm. de diámetro, que pudiera ser el módulo, puesto que 13,435 3,935 ! ≅ 48   y    = 14 0,28 0,28

es mucha casualidad de no haber una intención clara. La composición en planta puede considerarse normal dentro de las plantas octogonales, pero en esta capilla debe hacerse notar el tratamiento que se da a la cúpula. Chueca dice: “Está cubierta por una cúpula de arcos cruzados, estrictamente califal. Los arcos no surgen de los vértices sino de los puntos medios del octógono, y descansan sobre ménsulas; se cruzan pero dejando en el centro un amplio ojo al gusto de los maestros cordobeses”. 184


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FIGURA 3.13 Capilla Santo Sepulcro

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Estos nervios en las cúpulas son frecuentes tanto en construcciones árabes, como la Mezquita de Córdoba, y luego con más decoración en las catedrales góticas. Partiendo del centro de los lados del octógono lo encontramos en la pequeña cúpula central de la Ermita del Cristo de la Luz en Toledo y en la iglesia de San Miguel en Almazán (Soria). Estos nervios, decimos que arrancan del centro de los lados, pero hay que contar que tienen un grosor y que entre ellos queda una estrecha ventana. Esta cúpula contiene también unos nervios, que se inician en los vértices, que no se encuentran ni en Toledo ni en Almazán, pero necesarios desde la buena práctica constructiva. IMAGEN 3.7 Cúpulas nervadas

A. Capilla del Santo Sepulcro, Torres del Río

B. Capilla Real de la Mezquita de Córdoba

C. Ermita del Cristo de la Luz, Toledo

D. Iglesia de San Miguel, Almazán 186


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IMAGEN 3.8 Santa María de Eunate

Iglesia de Santa María de Eunate, Navarra Siguiendo el modelo de plantas octogonales encontramos la capilla de Eunate (Navarra), también en el camino de Santiago. Fue construida por los Templarios a imitación del Santo Sepulcro de Jerusalén. Se caracteriza por el ábside poligonal que enlaza con el octógono principal produciendo cierta irregularidad en la planta y por cómo trunca o bisela los paramentos exteriores para recibir los pilares en los vértices. Aquí el octógono, representado con una línea discontínua, formado por las caras exteriores del muro está circunscrito a la circunferencia de 187


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D=13,435 metros de diámetro y la circunferencia directriz tiene 19 metros = 13,435√2. El octógono interior, como en la tumba de la Virgen, tiene como lado la tercera parte del diámetro de 13,435, longitud que se aprecia en el octógono estrellado central. Y, el diámetro interior analíticamente sería D !d = θ 3

Los diámetros de columnas son de 48 cm. y 24 cm. a simple vista. El expresar las dimensiones en metros es porque no sabemos con qué unidad antigua fue organizado. Sin embargo aparenta que casi todos sus elementos podrían ajustarse a un módulo M=24 cm. El diámetro sería 56 M, múltiplo de 7, el lado 23 M, el espesor de muro 5,5 M, etc... Tanto aquí como en Torres del Río, hay que considerarlo sólo como una aproximación, pues ni con una medición de alta precisión y dadas las irregularidades de construcción y el deterioro, pueden sacarse conclusiones que lo confirmen o anulen.

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FIGURA 3.14 Capilla de Eunate

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IMAGEN 3.9 Vista de la Iglesia de la Vera Cruz

Iglesia de la Vera Cruz, Segovia No es octogonal aunque, como dice Fernando Chueca, forma grupo con Eunate y Torres del Río. Son atribuidas a los Templarios e inspiradas en la Tumba de la Virgen de Jerusalén. La Vera Cruz fue construida en el siglo XII. En la actualidad se cree que fue erigida por la Orden del Santo Sepulcro de Jerusalén, y no por los templarios. El exterior es dodecagonal mientras el interior es circular. En el centro dispone un núcleo central, también dodecagonal que se acusa en la cubierta. Una torre cuadrada y tres ábsides circulares perfectamente acoplados a la planta poligonal completan el conjunto. 190


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El dodecágono está generado por dos hexágonos, girados 30º inscritos en una circunferencia de 26,87 metros, equivalente a 96 pies segovianos. El espacio circular interior será igual a !

26,87 2

= 19 metros = 68 pies!de!Segovia.

Los ábsides se apoyan en puntos clave de la circunferencia directriz, y al igual que en Eunate alteran los nervios o arcos radiales para realzar el central.

FIGURA 3.15 Iglesia de la Vera Cruz 191


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Torres Almohades Se encuentran esquemas similares con planta octogonal en construcciones militares, como el Torreón del Alcazar de Jerez de la Frontera o la llamada Torre de Espantaperros en la Alcazaba de Badajoz. Al comparar el plano de Manzano con el de Torres Balbás de Jerez y Badajoz, respectivamente, se aprecia la similitud en la forma exterior como en el tamaño. La medición “in situ” de la torre de Badajoz no aportó seguridad, puesto que las aristas están muy deformadas y lo mismo pueden ser 3,80 que 4,00 metros. El análisis de la Torre del Oro de Sevilla realizado también por Torres Balbás dio pie a conclusiones fiables respecto a las tres.

IMAGEN 3.10

FIGURA 3.16 Torre de Badajoz 192


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La Torre del Oro, en planta, es un dodecágono generado por dos hexágonos inscritos en una circunferencia de 17,55 metros, puesto que la distancia entre caras paralelas es 15,20 metros !

15,20 = 17,55 = 13,435λ cos30°

Ello, hace pensar que los almohades, al componer sus plantas poligonales, también se apoyaron en plantas dependientes de las circunferencias de Ecochard. Si la longitud máxima del lado medido en Badajoz era de 4,00 metros debido a una circunferencia de directriz de 13,65 metros es de suponer, que en realidad sean 3,935 metros y 13, 435 metros. El cuadrado inscrito en la circunferencia de 13,435 tiene el lado de 20 codos prácticamente.

FIGURA 3.17 Torreón de Jerez

IMAGEN 3.11 193


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Independientemente de ese contorno, debieron utilizar como unidad el codo de 47,14 cm. puesto que la cota de 1,90 metros del muro que da Torres Balbás para la Torre del Oro equivale a 4 codos. En cuanto al trazado interno poco hay que añadir a lo que indican las láminas, inscripción de otros cuadrados y trazado de diagonales. En la torre del Oro una vez definido el muro exterior, basta montar los cuadrados y triángulos equiláteros y situar el muro interior de 2 codos. La cota de Torres Balbás es de un metro (1,00 m.) pero también figura 3,00 para el espacio cuadrado que debe ser 3,05 metros teóricos. En la Figura 3.19 se aprecia mejor la relación de los tamaños, las dos iglesias templarías entre sí, más las dos torres almohades. Las torres de Jerez y Badajoz coinciden con la capilla del Santo Sepulcro en el octógono menor. No se incluye la iglesia de la Vera Cruz basada en la circunferencia de 26,87 metros de diámetro.

IMAGEN 3.12

FIGURA 3.18 Torre del Oro, Sevilla 194


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FIGURA 3.19 Superposiciones: D√2, Eunate; D, torres de Jerez, Badajoz y Capilla del Santo Sepulcro; DÎť, Torre del Oro de Sevilla

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IMAGEN 3.13 Tumbas de Kharaghan o Kharraqan

Torres de Kharragan (Irán) Las tumbas de forma octogonal, construidas en ladrillo, responden en su trazado a los mismos criterios aplicados en los ejemplos anteriores. Para su estudio hemos utilizado la planta que aparece en la página 204 del libro “Arquitectura Islámica” de John D. Hoag, ed. Aguilar 1976. Parece que la escala gráfica no se ajusta a la realidad, pues las escaleras de caracol de los torreones quedarían inscritas en círculos de 0,95 metros, dimensión claramente insuficiente, pero vamos a suponer, de momento, que el tamaño real sea el doble del que indica esa escala. 196


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Con esta hipótesis resulta que el octógono exterior está inscrito en una circunferencia de 19 metros de diámetro y el octógono interior está formado por dos cuadrados inscritos en ella. Luego el diámetro de la circunferencia interior sería !

19 √2

= 13,435 metros

Si en Eunate era el contorno exterior circunscrito al círculo de Ecochard, aquí es el interior. La circunferencia básica o directriz es igual a !13,435 λ 2 = 24,82

En unidades persas podríamos decir que la circunferencia exterior mide 75 pies de diámetro, ya que el pie es igual a 0,33 metros. Igualmente, 75!pies≅26,87!cos!22,5°

Aunque es un tema para ser comprobado “in situ”, el diámetro de las torres de escalera puede ser la séptima parte del círculo interior.

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FIGURA 3.20 Tumba en Kharragan

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Las Propuestas de Serlio Estos ejemplos sacados de la realidad se pueden completar con otros que podíamos considerar teóricos. Sebastiano Serlio en el “V libro de Arquitectura” propone templos con plantas que responden a formas sencillas, circulares, elípticas, hexagonales y concretamente dos de planta octogonal en su interior. Las dos se ajustan al esquema de octógono central con capillas adosadas, como en los bocetos de Leonardo. Analicemos primero la propuesta cuyo exterior es también octogonal (fig. 3.21). Serlio expone en el texto una serie de dimensiones a las que se ajusta el trazado, aunque las deficiencias del grabado no las reflejen con exactitud. Ha sido necesario hacer una reconstrucción con esos datos para poder apreciar la relación entre todos sus componentes. Si a los 43 pies de diámetro se le añaden los 16 pies de espesor de muros y pilastras exteriores, se puede afirmar que el octógono interior y el exterior están en la relación 1:√2. La prolongación de lados del octógono interior determina dos cuadrados inscritos en una circunferencia, que queda inscrita en el octógono exterior. El octógono central que contiene el altar está condicionado por las pilastras de los ángulos interiores, de forma análoga a como se hizo en el Baptisterio de Florencia. Las diagonales del octógono, prolongadas también, determinan la posición de pilastras exteriores. De la misma forma que en otras plantas analizadas, y a pesar del grabado, se puede considerar que el círculo central tiene un diámetro igual a un tercio de 43 pies. Siendo unas capillas rectangulares y otras semicirculares, los centros de los núcleos de todas ellas están sobre los lados de un octógono circunscrito a una circunferencia de 50 pies de diámetro.

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FIGURA 3.21 Serlio, libro V, p.208 200


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FIGURA 3.22 Anรกlisis de la Figura 3.21

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En esta segunda propuesta de Serlio (fig. 3.23) se acusa más la diferencia entre capillas para llenar las esquinas del cuadrado. En el texto se especifican las dimensiones de casi todas las partes del grabado, que concuerdan perfectamente con la dimensión asignada a la circunferencia inscrita en el octógono de 65 pies. Solamente se aprecia la imposibilidad de que el muro tenga 16 pies, ya que 3,5 de muro más 12 de las capillas pequeñas dejaría tan solo medio pie para el muro exterior.

FIGURA 3.23 Serlio, libro V, p.210 202


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El círculo central de 20 pies junto a las diagonales limita los pilares del altar central y las pilastras de los ángulos interiores. No necesita aclaración la relación de la circunferencia central de radio 20 con las capillas de las esquinas, cuadrados que tienen su centro en la circunferencia de diámetro 65√2, puesto que coinciden con la intersección de dos lados perpendiculares al octógono.

FIGURA 3.24 Análisis de la Figura 3.23 203


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La reconstrucción se ha realizado a partir de los datos numéricos del texto, y en la parte del muro, donde falla el dato, deduciéndolo del grabado por comparación con las otras dimensiones conocidas. Las relaciones entre los distintos elementos pueden deducirse fácilmente como en los octógonos.Puesto que el espesor de muro no son 16 pies y en el estudio han resultado 18, cifra que no se ajusta geométricamente al resto, se ha rehecho el estudio dándole 19 pies. Es solamente una hipótesis, pero no hay más que contemplar la figura para percibir una mayor coordinación entre todas las partes. Aparecen segmentos como 19, 27, 38, 65, 92 y103 relacionados en función de θ y √2.

FIGURA 3.25 Hipótesis teórica de la Figura 3.23 204


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De todas esas relaciones, fácilmente apreciables, cabe destacar las cinco circunferencias de 38 pies de diámetro, unidas por tangentes y la prolongación de los cuadrados inscritos. Cinco circunferencias colocadas con la misma posición relativa constituyen el núcleo generador del Mausoleo de Humayun, que hemos incluido en la 5ª parte de la presente obra. Serlio indica claramente los diámetros de los círculos inscritos en el octógono, sin especificar la dimensión del pie utilizado. Suponiendo que utilizase el pie florentino de 0,292 metros, media braza, los círculos exteriores de las figuras serían 13,435 λ y 26,87 metros. Las circunferencias de las dos propuestas están relacionadas según 2/λ.De la misma forma que hemos visto como se adaptaban las plantas de algunos edificios a tramas triangulares o cuadradas, los edificios octogonales pueden acoplarse a tramas rectangulares con lados iguales a 1, √2, θ, etc. Incluso la trama girada puede ser distinta a la formada por líneas horizontales y verticales. En la Figura 3.26 vemos otra trama formada por dos mallas cuadradas, de lados (en azul) !

θ √2

= λ2 y 

1 θ 2

=

1 2λ2

Las dos propuestas de Serlio aportan nuevos elementos añadidos a la idea fundamental del octógono. En los ejemplos a estudiar a continuación se analizarán otras formas de composición donde el núcleo octogonal sigue estando claro, pero exteriormente, o en el conjunto, no se aprecia. Comenzaremos por ejemplos complejos a los que seguirán otros más elementales dentro de las mismas líneas de trazado. Primero el

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templo de Santa Marテュa de los テ]geles de Florencia y, a continuaciテウn, la capilla de Aquisgrテ。n, cuyo exterior no es octogonal.

FIGURA 3.26 Tramas modulares 206


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IMAGEN 3.14 Rotonda de Brunelleschi o de Santa Maria de los Angeles

Santa María de los Ángeles, Florencia Para indagar acerca del trazado geométrico que generó la forma definitiva de este modélico e inacabado templo nos apoyamos fundamentalmente en la información contenida en el libro “Filippo Brunelleschi” de E. Battisti. Contiene una planta con algunas cotas, en metros, esenciales para un análisis riguroso del trazado. Su aspecto actual dista mucho de lo que debiera esperarse de un templo de esa época y autor. 207


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Ahí se describen las posibles fuentes o plantas centrales octogonales en que pudo apoyarse Brunelleschi y se hacen hipótesis sobre el trazado geométrico que es nuestro tema. En los comentarios sobre las figuras dice que la composición se basa fundamentalmente en el compás. También afirma que la división del diámetro en 64 partes puede conseguir una cierta aproximación a algunos elementos, quedando otros indeterminados. Evidentemente es una de las plantas octogonales más características. Según Paul Frankl esta planta inspiró a Leonardo sus conocidos templos de planta centralizada. También se puede afirmar que las propuestas de Serlio están íntimamente ligadas a esta idea. Teniendo en cuenta la complejidad del trazado, éste se analiza por etapas, dibujando únicamente las líneas imprescindibles. La circunferencia circunscrita al hexadecágono existe como tal, pero no es fundamental, ni determinante. Venimos analizando plantas octogonales apoyándose en dos cuadrados, girados 45º, inscritos en una circunferencia. Análogamente, al inscribir dos octógonos girados 22,5º en una circunferencia se obtiene un polígono regular de 16 lados. Pero, ¿cuál es el diámetro de esa circunferencia exterior? Solo sabemos que el lado del hexadecágono mide 5,80 metros. Llamando L al lado de uno de esos octógonos girados y Dp al diámetro que buscamos !L = 5,80 1 + = 12,07 λ ) ( 2

!Dp = 2λL = 31,55 metros

Esta dimensión en metros equivale a 54 brazas florentinas o también a 144 palmos. Esta circunferencia de 31,55 metros o 54 brazas de diá208


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metro no es arbitraria, está claramente relacionada con las circunferencias de Ecochard, puesto que 53,74 92 31,55 54 cos11,25° 2 2 ! = = 1,707 = λ  o bien  = = = 2 31,55 54 26,87 46 cos33,75° λ

Podemos considerar dos circunferencias la exterior Cp de 54 brazas de diámetro y la circunscrita al hexadecágono C1 siendo 5,80 = 29,72 metros = 50,92 brazas !D1 = sin11,25°

de las que derivan otras utilizadas en la composición. En esta figura se ha dibujado también, en rojo, circunferencias de diámetro 36 brazas (de trazos) y 18 brazas, o sea 2/3 y 1/3 de Cp y otra azul de 19,48 brazas relacionada con C1, ya que 50,92 18 ! = 19,48 y  = cos22,5° 2λ 19,48

Esta última relación indica que esas circunferencias quedan inscritas y circunscritas a un mismo octógono, cuya función veremos a continuación. Los dos cuadrados inscritos en Cp determinan el octógono fundamental de la composición, puesto que representa los ejes de las ocho capillas.

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FIGURA 3.27 Santa Maria de los Angeles 210


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Al trazar paralelas a los dos lados contiguos de un cuadrado inscrito por los vértices del octógono se forma un octógono estrellado cuyos vértices más próximos al centro están en una circunferencia de diámetro 54/θ=22,36 brazas, o 13,04 metros, dibujada en trazos negros.

FIGURA 3.28 Santa Maria de los Angeles 211


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A esta circunferencia de 13,04 metros de di谩metro junto a aquellas que parec铆a introducidas arbitrariamente, les corresponden lados de unos oct贸gonos regulares coincidentes con cotas de la planta general, puesto que la longitud de las capillas es de 8,00 metros, los centros de las circunferencias tangentes distan 4,00 metros, la abertura tiene 4,35 metros y la distancia entre arcos de circunferencia 5,00 metros.

FIGURA 3.29 Santa Maria de los Angeles. Dimensi贸n de circunferencias centrales 212


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Es la representación gráfica de la relación 53,74/λ2 para obtener la circunferencia Cp, punto de partida de la composición y donde se inscriben los dos octógonos que generan el hexadecágono.

FIGURA 3.30 Santa Maria de los Angeles. Relación gráfica del hexadecágono con la circunferencia de 53,74 m

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Se prescinde de líneas auxiliares y se dibuja un octógono determinado por dos cuadrados inscritos en el octógono principal de los ejes de la capilla. Las esquinas de este octógono y las perpendiculares a los ejes de la capilla desde la circunferencia azul de 11,36 metros o 19,48 brazas de diámetro definen claramente el espacio central y las pilastras que lo limitan.

FIGURA 3.31 Santa Maria de los Angeles 214


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La longitud de las capillas es de 8,00 metros como se ha mencionado, longitud que coincide con el lado de los cuadrados inscritos en la circunferencia azul, de 11,36 metros de diámetro. La figura deja ver un octógono estrellado y un par de circunferencias tangentes entre sí y a la prolongación de los lados de uno de estos cuadrados. Los vértices más alejados de este octógono estrellado están en una circunferencia de diámetro 2λ8≅21,00!metros=2/3!Dp!!

que se había mencionado sin especificar para qué servía. Desde las circunferencias centrales se concretan otros puntos clave de la composición. Solo queda marcar el espesor del muro, expresado en la cota inicial, y determinar los pasos entre las capillas. La escala permite apreciar cómo aplicar a un elemento las relaciones descritas. No es necesario volver a relatar todos los pasos y conexiones entre las partes, pero hay otras nuevas. Aunque no intervenga en el trazado, el octógono estrellado (azul) inscrito en la circunferencia C1 es tangente a la circunferencia azul, o bien está originada por dos cuadrados circunscritos a ella. Se comprueba que de los dos octógonos estrellados que se podían intuir al principio, uno no es efectivo, pero el otro, en cambio, resulta ser tangente a las capillas y a las hornacinas exteriores.

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FIGURA 3.32 Santa Maria de los Angeles

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El paso de capillas no está tan claro como el resto del trazado. No hay cotas y al menos en el verano del 2004 no se podía tomar directamente por las obras de restauración. La parte curva parece acoplarse a la circunferencia de diámetro C1/λ=38,93 brazas =22,71 metros, o sea circunscrita al octógono limitado por dos cuadrados dentro de C1. Las partes rectas del paso están contenidas en el octógono circunscrito a esa circunferencia, no dibujada para no complicar más la figura.

FIGURA 3.33 Santa Maria de los Angeles 217


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Siguiendo las pautas marcadas se completa la planta indicando el trazado y los puntos b谩sicos, puesto que realmente es repetici贸n del detalle anterior.

FIGURA 3.34 Santa Maria de los Angeles 218


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No es el descrito el único procedimiento para obtener los puntos fundamentales de la composición de la planta de Santa María de los Ángeles. Son tantas las relaciones entre las partes, que cualquiera de ellas puede servir para reconstruir todo el complejo entramado. Como se ha comentado al comienzo, el trazado podía basarse fundamentalmente en el compás. Vamos a exponer otra fórmula tal vez más directa. Partiendo de la circunferencia de 22,36 brazas ó 13,04 metros de diámetro, si se dibujan otras ocho, del mismo diámetro, con centro en ella se obtiene el octógono de los ejes de capillas. Las prolongaciones de estos lados se cortan en puntos de una circunferencia de diámetro 22,36θ=54 brazas, la inicial en la justificación anterior.

FIGURA 3.35 Composición A 219


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Igualmente, las circunferencias de diámetro igual al lado del octógono de ejes son tangentes a las dos circunferencias concéntricas. Las intersecciones de cada dos contiguas además, concretan los vértices del espacio central. Uniendo puntos convenientemente se llega a la figura final.

FIGURA 3.36 Composición B

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FIGURA 3.37 Composici贸n C

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FIGURA 3.38 Composici贸n D

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IMAGEN 3.15 Cúpula de la Capilla Palatina.

La Capilla Palatina de Carlomagno, Aquisgrán El exterior es también un polígono regular de 16 lados, o hexadecágono, pero el esquema no tiene ninguna semejanza en su composición con Santa María de los Ángeles. La geometría del octógono define la posición y tamaño de sus componentes, incluso determina el contorno exterior. Contamos para el estudio con varias plantas y sus escalas gráficas o numéricas (Benévolo, Ecochard, Stierlin) donde se puede estimar el diámetro en algo más de 33 metros. Por otra parte Naredi-Reiner comen223


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ta que está medida con pies de 33,28 cm y Spiro Kostof (Historia de la Arquitectura, tomo 2) da cuenta de que el palacio de Aquisgrán está construido sobre una trama de 84 pies de módulo. Ecochard plantea, como en todos sus trazados, la planta compuesta por cuadrados inscritos en una circunferencia mayor, pero no dispone de dimensiones. La mayoría de los estudios de Ecochard se basan en la circunferencia de radio 26,87 m. Superponiendo el esquema de Ecochard sobre una cuadrícula de 84 pies tal y como lo describe S. Kostof se obtienen, analítica y gráficamente, 99 pies como lado de los cuadrados, 101 pies el diámetro de la circunferencia circunscrita al polígono y 140 pies al diámetro de la circunferencia dibujada por Ecochard. 99 pies equivalen a 33 metros y 101 a 33,6 cifras aproximadas a la estimación hecha con las escalas.

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FIGURA 3.39 Capilla Palatina de Carlomagno 225


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En este caso la circunferencia dibujada circunscrita a los cuadrados no responde a las constantes de Ecochard, aparentemente puesto que 140!pies≅46,59!metros!y!!46,59/53,74=0,8669=√3/2,

que gráficamente se concreta mediante un hexágono regular circunscrito a la circunferencia de 140 pies e inscrito en la de 53,74 metros de diámetro. El radio de la menor es 0,866 veces el diámetro de la mayor.

FIGURA 3.40 Capilla Palatina de Carlomagno 226


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Trazando alternativamente pares de diagonales que unen lados opuestos se obtiene un octógono estrellado central, cuyos vértices sitúan los ocho pilares centrales. Al dibujar, de trazo discontinuo, las rectas que unen cada dos vértices contiguos del octógono estrellado se originan un octógono regular más rectángulos y triángulos que componen una figura similar a la trama derivada de la segunda idea de Serlio. Se aprecian dos hexadecágonos concéntricos que limitan el espesor del muro.

FIGURA 3.41 Capilla Palatina de Carlomagno 227


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Por construcción, el lado del octógono central es igual al lado del hexadecágono pudiendo interpretarse el conjunto compuesto por el octógono central más 16 triángulos isósceles con el vértice sobre la circunferencia circunscrita al octógono.

FIGURA 3.42 Capilla Palatina 228


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En la planta se observa que el paño de muro visto entre pilastras, tanto en los espacios cuadrados como en los rectangulares, es el mismo, luego el grosor de la pilastra debe ajustarse para que así sea. Las diagonales de los cuadrados y los lados de los triángulos isósceles indican la forma de obtener en la cara interior del muro el punto de arranque y tamaño de la pilastra. Analíticamente se puede comprobar que la dimensión es de 2,5 pies, quedando un paramento entre columnas de 14,7 pies. El espesor de pilastra se traslada a los pilares centrales como se indica en el detalle. Téngase en cuenta que L16=101!sin!11,25°=19,7!pies E=19,7!(λO1)=6!pies.

Aunque pueda parecerlo, la circunferencia circunscrita al octógono central no es la mitad de la exterior.

FIGURA 3.43 Capilla Palatina 229


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Basílica de Santa Maria del Fiore, Florencia De las propuestas de Leonardo da Vinci y Francesco di Giorgio para diseñar una iglesia, distintas, pero ambas con núcleo central poligonal rodeado de siete cuerpos colocados cada 45º más la nave, se puede intuir cierta semejanza con la catedral de Florencia. Como en el Baptisterio, nos hemos basado también en grabado de Bernardo Sansone Sgrilli. Benévolo relata que la catedral de Florencia fue fundada por Arnolfo y realizada entre 1296 y 1426. El campanario fue diseñado IMAGEN 3.16 Fachada de Santa Maria del Fiore. por Giotto y la cúpula construida por Brunelleschi en el primer tercio del siglo XV. Dentro del grandioso conjunto arquitectónico y escultórico que contiene, debe reseñarse el reloj con la esfera pintada por Ucello, caracterizada por la división en 24 partes y por el sentido contrario del giro de la saeta. En la catedral de Florencia se parte de un octógono principal, base de la famosa cúpula de Brunelleschi, al que se adosan tres octógonos más la nave. ¿Qué dimensiones tienen estos octógonos? De las escalas gráficas de varios planos, más las cotas en metros que da Jean Castex se supone que el octógono central tiene una apotema de 21 metros o bien 36 brazas florentinas de 0,5836 m. La prolongación de los lados de ese 230


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octógono produce un octógono estrellado inscrito en una circunferencia de 188 brazas de diámetro. No es casualidad que resulte 188 brazas, puesto que 188!brazas=109,7metros!y!!53,74/54,85=cos11,25°.

Expresado de otra forma: la circunferencia de Ecochard y esta de 188 brazas de diámetro son inscritas y circunscritas a un hexadecágono, respectivamente.

FIGURA 3.44 Santa Maria del Fiore dibujado por Bernardo Sansone Sgrilli 231


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Si en esta circunferencia se inscriben dos cuadrados se pueden definir los límites del perímetro. El octógono estrellado y los cuadrados inscritos en esa circunferencia definen con precisión los centros y dimensiones de los otros octógonos como puede deducirse de las figuras. Análogamente se aprecia el contorno de la nave y la posición de pilares obtenidos a partir de los octógonos centrales. El cálculo numérico de longitudes del esquema propuesto se aproxima bastante a los datos obtenidos. La longitud resulta 257 brazas, que en la Figura 3.44, representan 150 metros. La dimensión transversal que da el dibujo de Sansone (164 brazas) resulta ser 163,8 aunque siempre redondeando cifras. De todas formas el error es mínimo.Es un ejemplo de cómo se pueden combinar, mediante octógonos,ambientes muy diferentes en su forma y dimensión. De esta forma no sólo se articulan perfectamente zonas de la catedral, sino que parecen definirse también la posición de la torre y sus dimensiones, tema a estudiar en otro momento.

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FIGURA 3.45 Santa MarĂ­a del Fiore

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FIGURA 3.46 Santa MarĂ­a del Fiore

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FIGURA 3.47 Santa MarĂ­a del Fiore

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FIGURA 3.48 Santa MarĂ­a del Fiore

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IMAGEN 3.17 Castel del Monte

Castel del Monte, Andria (Italia) El Castel del Monte construido por Federico II de Hohenstaufen hacia 1240 en Andria (Italia) responde a un esquema octogonal, prácticamente idéntico al de la catedral de Florencia. Dos cuadrados y un octógono estrellado inscritos en una circunferencia son suficientes para concretar la planta. Las intersecciones de estas figuras inscritas determinan una serie de puntos que limitan los cuerpos octogonales concéntricos y los torreones de los vértices. Un mismo planteamiento geométrico ha dado lugar a resultados que no tienen ninguna relación. 237


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FIGURA 3.49 Castel del Monte

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De la escala disponible sólo se puede deducir que el diámetro de la circunferencia sea del orden de 59 metros, pero se desconoce la unidad de longitud que fue aplicada. Tenemos datos del uso, en Nápoles, de cannas de ocho palmos con una longitud de 2,108 metros y de diez palmos de 2,645 metros. Según eso, el diámetro de la circunferencia exterior podría tener 224 palmos, cifra muy próxima a la longitud obtenida según la escala. Como en otros trazados comentados, 224 también es múltiplo del número 7.

FIGURA 3.50 Castel del Monte 239


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Con este dato puede obtenerse la dimensión de cualquier segmento del trazado. Puede comprobarse cómo la distancia entre lados paralelos de los dos octógonos centrales o los dos exteriores son iguales a 10,05 palmos, prácticamente 10. Los diámetros de las circunferencias circunscritas a los ocho torreones exteriores y tangentes a la circunferencia exterior coinciden con lados de un hexadecágono regular de 37,43 palmos de lado.

FIGURA 3.51 Castel del Monte 240


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Igualmente las circunferencias interiores concéntricas tendrían 224/λ, 224/θ y 224/θλ, como longitud del diámetro. Puede comprobarse que los diámetros de las dieciséis circunferencias prolongados crean dos octógonos cuyos vértices están contenidos en una circunferencia de 53,74 metros de diámetro.

FIGURA 3.52 Castel del Monte

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Qubbat Al-sulaibiya, Samarra (Irak) Este edificio es, según John D. Hoag, el primer panteón monumental en la historia de la arquitectura islámica. La planta que encontramos en la página 56 de su Tratado, pese a su pequeño tamaño, sirve para plantear una hipótesis posiblemente ajustada a la realidad y otra aproximada, pero irreal.

FIGURA 3.53 Qubbat Al-sulaibiya

FIGURA 3.54 Qubbat Al-sulaibiya

Aplicando la escala indicada y teniendo en cuenta que el pie persa equivale a 0,33 metros, el octógono exterior puede estar definido por dos cuadrados inscritos en una circunferencia de 77 pies de diámetro. Siguiendo la misma idea aplicada en el Castel del Monte, el octógono interior estaría formado por los lados del octógono estrellado inscrito en una circunferencia de diámetro !

77 λ 2

= 41,67 pies

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Como el espesor del muro es de 5 pies aproximadamente, los octógonos concéntricos y el cuadrado se generan por circunferencias de 77; 62,84; 41,67 y 27,52 pies de diámetro. El dibujo a escala reducida no llega a apreciar esos decimales de palmo. Se ha vuelto a dibujar la planta inscribiendo las figuras en circunferencias de 77, 63, 42, y 28 pies de diámetro. Al redondear la cifra se obtiene una serie numérica con todos sus miembros múltiplos de 7. La figura final es casi idéntica, mas no responde a la planta del libro. De ello se deduce que cuando una composición se realiza según las propiedades del octógono, no es posible llevar sus dimensiones a un sistema de coordenadas polares, como se ha intentado en Santa María de los Ángeles o en Santa María de la Salud.

FIGURA 3.55 Qubbat Al-sulaibiya 243


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Ni siquiera en este caso podemos dar por cierto el diámetro de 77 pies para la circunferencia externa. Aplicando el coeficiente cos22,50° 1 !K = = 0,9497794 ó  = 1,06159 cos11,25° K

a la circunferencia de 26,87 x K = 25,31 metros = 76,7 pies, cifra muy próxima a 77. Este coeficiente en relación con la circunferencia de Ecochard, se encuentra en otras construcciones, como Santa María de los Ángeles de Florencia. Optamos finalmente como válida esta composición basada en la circunferencia de 25,31 metros de diámetro inscrita en la de 26,87 metros.

FIGURA 3.56 Qubbat Al-sulaibiya. Otra hipótesis 244


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Pagoda China En esta pagoda encontramos un trazado sencillo que es capaz de originar un edificio complejo. A partir de una circunferencia de la que de momento no conocemos su dimensión, procedemos de la misma forma que lo hicimos al estudiar la capilla de S. Aquilino. Primero se inscriben los dos cuadrados (rojo) en la circunferencia y a continuación otros dos en éstos (azul). Si en la primera inscripción la circunferencia queda dividida en ocho partes, los lados de los cuadrados menores determinan puntos de la división en veinticuatro partes. Cada lado azul abarca ocho partes, o sea, es también el lado de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia inicial. Se ha formado una espesa red que define los puntos clave.

FIGURA 3.57 Pagoda China 245


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El espacio interior es un octógono pero el perímetro exterior se ajusta a un dodecágono, con relieves no tan caprichosos como podría parecer. Las diagonales y los cruces de líneas rojas y azules marcan la posición de vértices.

FIGURA 3.58 Pagoda China

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IMAGEN 3.18 Santa Maria della Salute, fachada y detalle del presbiterio.

Santa María de la Salud, Venecia La iglesia, siendo de planta centralizada, conserva la traza característica de una basílica, con naves laterales que giran en torno al octógono de base. Estructuralmente, los empujes de la cúpula se transmiten al tambor y a las pilastras, como en las basílicas. Se han considerado como antecedentes casi todos los templos de planta octogonal. Como característicos pueden considerarse el templo de Polifilo de Francesco Colonna y el proyecto de templo de Labacco, que no tiene analogía en la planta sí en alzados. Sin embargo, hay quien cree que el proyecto de Longhena podría estar inspirado, o bien 247


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ser, la realización de un proyecto de Palladio. Palladio presentó dos proyectos para el Salvatore, uno de planta centralizada que fue rechazado por las tendencias de la época y el que fue ejecutado que todos conocemos. Presenta dos zonas claramente diferenciadas en su aspecto general, la gran nave octogonal y el presbiterio rectangular con semicírculos laterales. Aunque, aparentemente, respondan a criterios dispares, existe una forma de generación homogénea o común para las dos. El resultado final, motivado por la función, es bien distinto pero hay un criterio único de composición para el conjunto. La inscripción sucesiva de figuras poligonales, o circulares, origina la mayoría de las plantas estudiadas, pudiendo interpretarse que el trazado se inicia a partir del contorno, o bien del centro al que se le agregan nuevas capas. Se ha destacado en rojo el octógono formado por dos cuadrados, inscritos en la circunferencia de contorno, así como los dos cuadrados determinados por las diagonales del anterior. Dato cierto es que estos cuadrados centrales tienen 60 pies de diagonal. Téngase en cuenta que Longhena utiliza como unidad el pie equivalente a 0,35 metros. La serie de octógonos inscritos unos en otros, permiten trazar otros octógonos que limitan las pilastras, deambulatorio y capillas circundantes. En el centro del presbiterio, dos cuadrados girados 45º de 30 pies de diagonal, e íntimamente relacionados con los centrales tanto en tamaño como en posición son capaces de definir los elementos básicos. De él se deducen otros octógonos que limitan muros y determinan la posición de los centros y longitud del radio de los círculos. No es necesario 248


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describir cómo se generan estos trazados auxiliares contenidos en las figuras. Como ya vimos en Santa María de los Ángeles, el octógono central, núcleo generador del conjunto, no es eje ni limita pilastra alguna, pero de sus vértices parten las líneas que marcan los anchos de capillas y arcos. Aquí esos puntos son verdaderos focos de la composición que se acusan en el pavimento mediante círculos con centro en esos vértices. Se ha dicho que el trazado respondía a un módulo de 5 pies 5… 10…15…20…60 y efectivamente algunos tramos cumplen la norma, pero otros que son función de θ, √2 ó λ ya no cumplen. No obstante es muy susceptible el criterio aplicable a la hora de comprobar dimensiones, los zócalos, pilastras y diversos retranqueos pueden alterar el resultado, según lo que se quiera demostrar. La composición geométrica regida por √2 difícilmente puede originar múltiplos de 5. Estas diferencias de apreciación quedan reflejadas en el cuadro comparativo de las dimensiones obtenidas por Diedo y Santamaría de las que discrepa Wittkower en algunos casos. Los cambios respecto a la maqueta no pueden considerarse anomalías, sino modificaciones del proyecto. Viendo las discrepancias entre las medidas que se dan, ya sea metros o pies, queda la duda que el pie utilizado sea efectivamente de 0,35 metros. Sin embargo al comparar la circunferencia circunscrita al contorno con la circunferencia de Ecochard de 53,74 metros vemos: que están relacionadas mediante octógonos girados inscritos en esta última y, además, que pasa por los extremos de la diagonal de uno de los cuadrados del centro del presbiterio. Como esa diagonal, por construcción, mide 30#pies#x#0,35=10,50#metros,10,50/53,74=sin11,25°, se confirma tanto la validez del trazado, como la medida del pie utilizado. 249


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FIGURA 3.59 Santa Maria della Salute 250


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FIGURA 3.60 Santa Maria della Salute 251


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FIGURA 3.61 Santa Maria della Salute 252


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IMAGEN 3.19 Basilica de San Pedro, proyecto de Antonio Sangallo

Basílica de San Pedro del Vaticano, Roma En San Pedro dejaron huella desigual Bramante, Rafael, Sangallo, Miguel Ángel y Maderno. Para el estudio de las relaciones de su trazado en planta partiremos del proyecto inicial de Bramante conectándolo luego con la obra terminada. Se encuentran diversas versiones del proyecto de Bramante. El análisis lo hemos basado en la planta que figura en la edición inglesa del libro “Los Cinco Libros de Arquitectura” de Serlio, pues aunque el grabado es muy irregular, especifica en el texto, entre otros datos, que las dimensiones del círculo central son D=184 palmos romanos antiguos y los cuatro círculos menores d=65 palmos. En otras ediciones de la obra 253


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de Serlio se habla de que el diámetro de la cúpula o cimborio tiene 188 palmos. La hipótesis del trazado la realizamos a partir de 184 y 65 palmos, comparando el resultado con las mediciones realizadas por varios autores.

FIGURA 3.62 Los Cinco Libros de Arquitectura” de Sebastiano Serlio. Libro tercero, pag. 65 2a 254


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¿Qué motivos llevaron a fijar 184 palmos en la edición inglesa? Serlio presenta en el libro editado en Toledo en 1573 la planta del proyecto de Baltasar Perucio, similar al de Bramante y el de Rafael de Urbino, que mantiene los ábsides y cúpula originales. La modificación consiste esencialmente en eliminar un lado y añadir mas naves con las proporciones de la idea de Bramante. Se especifica que hay naves de 92 y 46 palmos entre ejes, cifras ligadas a 184. Tampoco hay que olvidar las discrepancias entre el grabado y la descripción que Serlio hace del Panteón de Roma o en la segunda propuesta de templo octogonal. Aun queda una duda: ¿Son palmos antiguos de 22,41 centímetros ó palmos romanos actuales de 22,34 centímetros? Buscando la relación con las circunferencias de Ecochard se obtiene 53,74 ! = 41,13 metros y 184 palmos x 0,2234 = 41,10 metros λ

Más aproximado imposible. Se puede comprobar que las diagonales de los cuadrados circunscritos a esas circunferencias miden 260 y 92 palmos, respectivamente. Existe una relación en función de √2; D 184 !D 2 = 4d o bien  = d 2 y  = 65 2 2 2

La diagonal del cuadrado circunscrito al círculo central es igual a cuatro veces el diámetro de los círculos menores. Es posible superponer dos tramas giradas 45º, una de 184 palmos de módulo y otra de 65, a las que se adapta la silueta de la planta del edificio. Si estas tramas permiten definir las líneas generales del contorno es posible suponer que el orden establecido también dé lugar a concretar muchos detalles del interior. 255


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FIGURA 3.63 Basilica de San Pedro

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El desarrollo del proyecto, tras la dirección de Bramante, parece que se apoya en los centros de los cuatro círculos de 65 palmos de diámetro del proyecto primitivo, o sea en un cuadrado de 325 palmos de lado. En la figura se muestra cómo se adaptan una nueva circunferencia de 325 palmos de diámetro y varios cuadrados circunscritos “ad cuadratum” a una trama ahora de 32,5 palmos. Este esquema resulta casi idéntico a uno de conocidos estudios geométricos de Cesariano. (99)

FIGURA 3.64 Basilica de San Pedro 257


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Se obtienen básicamente dos cuadrados, uno cuyos lados pasan por los cuatro vértices de partida, y otro con los lados horizontales y verticales que no se ajuste exactamente a la retícula. Estos dos cuadrados y la trama que forman sus diagonales determinan la silueta y organización del conjunto. Redondeando, puede considerarse que estos cuadrados tienen una longitud de 460 palmos y las diagonales del octógono que forman , quedan circunscritas a una circunferencia de 190,5 palmos.

FIGURA 3.65 Basilica de San Pedro. Modelo geométrico base de la evolución

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Aunque las discrepancias notables en las cotas obtenidas por diversos autores no permitan adoptar un criterio razonable, sí se puede afirmar que hay un trazado geométrico regulador en el proyecto de Bramante, utilizado para el conjunto y en muchos detalles. Se supone que también existirá para alzados y secciones, tema que se excluye de este trabajo.

FIGURA 3.66 Superposición de plantas 259


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La superposición del contorno de la planta actual sobre la silueta de Bramante nos da idea del gran tamaño previsto inicialmente para el templo. A pesar de pequeñas irregularidades de la reproducción puede comprobarse cómo se ajusta el trazado teórico expuesto aquí a las plantas de Maderno y Fontana. La dimensión que da Carlo Fontana para el diámetro interior de la cúpula es de 190 y 2/3 palmos, que podíamos decir que coincide con el cálculo analítico, según la hipótesis de trazado.

FIGURA 3.67 Planta de Maderno 260


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FIGURA 3.68 Lorem Ipsum dolor amet, consectetur Planta de Fontana

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Sección 2

Edificios Contemporáneos Los ejemplos analizados hasta ahora podíamos calificarlos como clásicos, aunque se abarque en el tiempo desde la época romana hasta el barroco y se incluyan obras de distintas civilizaciones y estilos. Es obvio que se pueden encontrar otros muchos edificios, cuyos trazados responden a relaciones con √2 y a octógonos, similares a los descritos, pero no tienen que ser necesariamente antiguos. En la segunda mitad del siglo XX se sigue proyectando aplicando trazados geométricos y tramas modulares análogas a las antiguas. Siguiendo el objetivo propuesto sólo analizaremos algunos trazados derivados del octógono o, como veremos, falsamente octogonal, aunque dependan de √2. Walter Netsch, arquitecto asociado al estudio de arquitectos S.O.M. (Skidmore, Owings y Merrill) ha utilizado la agrupación de octógonos en algunas de sus obras, con resultados distintos en cuanto a trama o modulación final.

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IMAGEN 3.20 The Louis Jefferson Long Library (Wells College Library)

Biblioteca Louis Jefferson, Aurora, NY (S.O.M.) Este original edificio, según refiere su autor Walter Netsch, está regido por la “teoría de conjuntos”. El resultado final es magnífico en cuanto a su composición y espacios interiores, quedando la incógnita de cómo se ha aplicado esa teoría para agrupar los nueve módulos formados por dos cuadrados de 42 pies de lado girados 45º. La traza de los octógonos y los desniveles genera gran variedad de espacios enlazados con muy pocas divisiones o tabiques. Los nueve módulos están ligados por yuxtaposición como se indicó en la Figura 2.21, dejando entre ellos octógonos regulares de menor tamaño. Si el lado de estos cuadrados del módulo es de 42 pies, éstos octógonos tienen 12,3 pies de lado inscribibles en circunferencias de 32 pies de diámetro. 264


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FIGURA 3.69 Biblioteca Louis Jefferson 265


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Para integrar todas las partes del conjunto se ha podido proceder, bien por yuxtaposición, o aplicando la teoría de conjuntos, pero esa ley o forma de actuar pone en evidencia sencillas relaciones geométricas. Prescindiendo del módulo N-E, que es una excepción, los centros de los otros ocho están situados en vértices de un octógono estrellado, cuatro en la circunferencia exterior y otros cuatro en la circunferencia interior, donde se cortan los lados. Cada módulo está inscrito en circunferencias de 59,4 pies de diámetro y las circunferencias interior y exterior miden 77,6 y 187,4 pies respectivamente, pues !!42 2 = 59,4;     59,4λ = 77,6;     77,6θ = 187,4

por lo tanto se puede decir que 77,6 187 ! = θ;   = θ2 32 32

Del octógono estrellado son útiles ocho vértices, que pueden agruparse en dos estrellas concéntricas de cuatro puntas. El centro del módulo NE puede obtenerse mediante paralelas a otras rectas de la figura.

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FIGURA 3.70 Biblioteca Louis Jefferson

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También puede establecerse una relación que integre a los nueve módulos partiendo de los cuatro centros situados en la circunferencia interior de 77,6 pies. Las circunferencias con centro en ella y radio 71,69 pies, lado del octógono estrellado inscrito en ella, se cortan en los cuatro centros de módulos exteriores. El centro del módulo N-E está contenido en una de las cuatro circunferencias, relacionándose con otros según figuras similares a las existentes entre otros centros.

FIGURA 3.71 Biblioteca Louis Jefferson 268


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Escuela de Arquitectura y Arte, Chicago (S.O.M.) El conjunto parece apoyarse en una trama de 42 pies de paso, donde se montan cuadrados de 84 y 42 pies. La circunferencia de 133 pies de radio define la posición de nueve módulos. Si en la biblioteca hay un módulo extra, en esta escuela de Arquitectura y Arte se prescinde del módulo Oeste. En la primera fase sólo se utilizan tres de los ocho útiles. Los quiebros que origina el cerramiento al envolver los pilares producen la desigualdad en los cuadrados de cada módulo. No obstante toda la estructura interior se acopla a una trama modular !1 −

2−1−

2 − 1…

Por otra parte podría interpretarse que los centros de módulo se apoyan en una “trama de cartabón” de las muchas ideadas por Rafael Leoz de la Fuente.

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FIGURA 3.72 Escuela de Arquitectura y Arte

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IMAGEN 3.21 Jewish Community Center o Trenton Bath House. Foto: PD

Jewish Community Center, Trenton, NJ (Louis Khan) Está compuesto por octógonos adosados más los cuadrados, encerrados entre ellos, tal y como se mostró en la Figura 2.19. Todos los paneles en planta son iguales. Se puede inscribir el conjunto en una retícula cuadrangular de lados verticales y horizontales o también girada 45º, en que los espacios son alternativamente !1 −

2−1−

2−1

como en la escuela de Arquitectura y Arte de Chicago. 271


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FIGURA 3.73 Jewish Community Center 272


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Entre las obras y proyectos recientes concebidos con el apoyo de formas octogonales que salen fuera de lo que podíamos llamar edificios normales podemos considerar dos proyectos de Cesar Pelli y sus colaboradores.

Indiana Tower, Indianapolis En primer lugar comentaremos la torre conmemorativa, y nunca construida, “Indiana Tower” en Indianápolis que, al no tener que someterse a satisfacer unas necesidades de programa, tiene una concepción simple, casi esquemática. Exteriormente es una pirámide octogonal con rampas perimetrales, cuya sección se reduce linealmente a la mitad desde la base hasta el mirador superior. Esta reducción lineal se produce tanto en el contorno como en la rampa y el paso de la espiral. El esquema en planta que relaciona el octógono exterior y el interior de la rampa se mantiene en todos los niveles. Se puede comprobar que están definidos por un octógono regular y otro estrellado inscritos en una circunferencia que FIGURA 3.74 Indiana Tower en la base tiene 141 pies de diámetro. Este trazado ya lo estableció Ecochard en la Roca de Jerusalén para relacionar el contorno exterior con los pilares poligonales. Igualmente 273


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la capilla del Santo Sepulcro de Torres de Río (Navarra) utiliza la misma construcción para fijar el espesor del muro

Torres Gemelas, Kuala Lumpur En las torres gemelas de la compañía Nacional de Petróleos (Petronas) en Kuala Lumpur, además de cumplir una serie de objetivos impuestos por las necesidades de la empresa, parece que debía responder en su aspecto a la simbología tradicional islámica. Por ello, la forma de las plantas trata de ajustarse al octógono estrellado, tan utilizado, constituido por dos cuadrados girados y al que se le añaden cuerpos circulares para mejorar el espacio útil, muy limitado por el gran tamaño del núcleo central de servicios. Estos espacios circulares podrían ser de cualquier tamaño, pero se puede ver que la solución elegida responde a una nueva subdivi- IMAGEN 3.22 Torres Petronas. Foto: Andy Mitchell sión en función de √2. Si D es el diámetro de la circunferencia circunscrita, el lado de los cuadrados es 274


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!L =

D 2

No necesita aclaración la figura donde se determina el radio de estos cuerpos circulares que se adosan a los ángulos cóncavos del octógono estrellado. Ahí podemos encontrar segmentos cuyas dimensiones son L D D D !a = = ;    b = ;    c = 2 θ 2θ 2θ θ 2

y otros relacionados con ellos. De forma análoga a las tramas superponibles a otros edificios octogonales, aquí también se pueden considerar puntos del lado de los cuadrados que darían una división en segmentos proporcionales a 1−

2−1−

2 − 1!o!también! 2 − 1 − 1 −

FIGURA 3.75 Torres Petronas 275

2−1−1−

2


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276


Sección 3

Monumentos Valencianos Girola de la Catedral de Valencia Según Eduard Mira, director del programa Civitas Europa: “La catedral de Valencia no suele ser presentada, fuera de la propia Valencia, como un edificio particularmente atractivo o siquiera de una especial importancia, todo y que sea la única de toda la Corona de Aragón que conserva la primitiva fábrica. Cuenta, también, dentro de ese mismo espacio histórico, con el más interesante ábside, con el más potente campanario, con el mejor cimborrio y con una excepcional sala capitular, con el soberbio trascoro que, en la actualidad alberga el Santo Cáliz”. Chueca: “Lo más interesante es la girola, de cinco tramos con capillas radiales. El rasgo que la caracteriza es que a cada tramo corresponden dos ca- FIGURA 3.76 Catedral de Valencia pillas radiales”. Dentro de los elementos singulares de la Catedral vamos a analizar el trazado geométrico del ábside y la girola. También son octogonales la torre y el cimborrio, pero solo se estudiará la torre a continuación. 277


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El ábside queda circunscrito a semicircunferencia de 84,10 palmos de radio y las ocho capillas, de forma octogonal, quedan circunscritas a circunferencias de 24 palmos de diámetro. ¿Cómo se relacionan estos datos y con el resto del templo? Los centros de estas capillas están sobre una circunferencia de 72 palmos de radio. Situada una circunferencia en el centro geométrico de la girola se pueden situar otras contiguas de modo que el diámetro contenga 7. También podría considerarse que sus dimensiones están relacionadas con las constantes de Ecochard, pues !

53,74 metros

38,74 metros = 38,74    y     = 24,06 palmos 7x0,23 2cos11,25°

diámetro de las circunferencias de capillas.

FIGURA 3.77 Girola de la Catedral de Valencia 278


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FIGURA 3.78 Girola de la Catedral de Valencia

FIGURA 3.79 Girola de la Catedral de Valencia 279


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Tal vez se pueda comprobar mejor cómo llegar al contorno interior de la girola comparándola con el trazado de Santa Maria de los Ángeles (63). En ambas se puede partir de las circunferencias de 53,74 ó 26,87 metros de diámetro, inscribiendo cuadrados y circunferencias función de λ en Florencia y√2 en la girola de Valencia. El gráfico también es semejante al de la capilla de Aquisgrán.

FIGURA 3.80 Izquierda, Santa María de los Ángeles. Derecha, Girola de la Catedral de Valencia. Comparación en la fórmula para fijar sus dimensiones a partir de la circunferencia de 53,74 m de diámetro 280


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Dibujados los dos cuadrados circunscritos a cada circunferencia de capilla se producen segmentos de 10, 7, 5, 2 en la figura resultante. Se puede apreciar gráficamente que los lados de cada dos capillas contiguas se encuentran en el eje de separación, lo que prácticamente se confirma analíticamente, pues 60!palmos!x!tan11,25°≅11,93≅12!palmos

Las diagonales del octógono inscrito en la circunferencia de 85,64 palmos de radio limitan las caras del muro de la girola. En este muro que separa el presbiterio de la girola se aprecian añadidos posteriores, pero las columnitas están en el punto que les corresponde geométricamente.

FIGURA 3.81 Girola de la Catedral de Valencia 281


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Analíticamente se han comprobado estas coincidencias, que confirma también el dibujo con ordenador. Hay que indicar que no sólo concuerdan todos estos elementos sino que los paramentos se ajustan perfectamente a los ejes de las columnas del templo. Las pequeñas pilastras y columnas semiempotradas completan el conjunto, pero ya no intervienen en el trazado. Ha sido difícil, hasta el momento, medir el espesor del muro que rodea las capillas, e incluso, solamente se pudo obtener las dimensiones de una capilla que había soportado un incendio, puesto que el resto están recubiertas con exceso de molduras de la época barroca.

IMAGEN 3.23 Girola de la Catedral de Valencia. 282


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IMAGEN 3.24 El miguelete

“El Miguelete”, Torre de de la Catedral de Valencia Es un símbolo de la Valencia antigua adosado a la catedral. Andrés Juliá proyectó una torre aislada junto a la catedral, que tras una ampliación posterior es absorbida. Juliá dijo que tanto la altura como el perímetro iban a medir 225 palmos (51,75 metros). Existe unanimidad en que se inició la construcción en el año 1381 con autorización del rey Pedro IV el Ceremonioso, pero no hay certeza de la altura real, puesto que el nivel de la calle ha variado varias veces. 283


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Analizaremos ahora las dimensiones en planta del contorno y de los espacios interiores. Considerando como perímetro el indicado con línea de puntos, al lado corresponden, según Juliá, 225/8=28,125 palmos y descontando las pilastras de las aristas del lado del octógono base, sería: 28,125O2(2,5!sin22,5°)=26,2116!palmos=6,028!metros

Por otra parte, partiendo de la circunferencia de 26,87 metros de diámetro, dos cuadrados inscritos dan lugar a situar una circunferencia interior de 26,87/λ=20,564 metros y al nuevo octógono interior corresponde un lado de !

20,5654 θ 2

26,87 = 6,02349 metros = 2λ3

La diferencia en el cálculo según hipótesis, ya sea siguiendo la norma de Ecochard o la idea del constructor, es menor de 5 milímetros, es decir coincidente. Prácticamente, coinciden estas cifras con las que figuran en el levantamiento realizado en 1980 por el Servicio de Restauración Arquitectónico del Ministerio de Obras Públicas y Urbanismo. Los trazados geométricos no acaban con el perímetro de la torre. Las tres estancias han sido dimensionadas según la geometría específica del octógono. El recinto superior o del cuarto cuerpo queda limitado por los lados del octógono estrellado que se apoya en los ocho vértices del contorno exterior. El espacio del tercer cuerpo es un octógono regular inscrito en la circunferencia de diámetro igual al lado 6,023 metros, al que corresponde un lado de 2,30 metros o 10 palmos. Finalmente en el segundo cuerpo el octógono está definido por dos cuadrados inscri284


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tos en la circunferencia central. A la norma de trazado se unen lógicamente las relaciones numéricas entre ellas y con el octógono exterior. En el cuerpo inferior no hay más hueco que la escalera de caracol y el acceso hasta ella. Como en toda construcción que responde a un trazado geométrico las dimensiones, en general, no corresponden a un número entero de unidades. Aparecen en casos particulares y en detalles, como en las pilastras con lados de 1,5 y 2,5 palmos. El trazado aplicado a esta torre, aunque parta de una circunferencia de doble diámetro y defina elementos distintos, resulta igual al aplicado en la torre de la muralla de Jerez de la Frontera y similar a la de Badajoz

FIGURA 3.82 Primer cuerpo

FIGURA 3.83 Segundo cuerpo

285


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FIGURA 3.84 Tercer cuerpo

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FIGURA 3.85 Cuarto cuerpo

Las crónicas insinúan que Juliá adoptó libremente las dimensiones de la torre. Así el octógono de 225 palmos de perímetro estaría inscrito en una circunferencia de diámetro: 225/8!2λ=73,49!palmos=16,90!metros

El servicio de Restauración del Ministerio de Obras Públicas y Urbanismo, establece esa longitud de 16,90 m, al diámetro de la circunferencia que engloba al primer tramo del Cimborrio de la Catedral. Luego no fue arbitrario el tamaño elegido, sino que adoptó el establecido un siglo antes en el proyecto de la Catedral. Quedaría por analizar la relación entre estas formas y la trama geométrica del templo.

286


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FIGURA 3.86 Comparaci贸n entre la torre de El Miguelete y el Cimborrio de la Catedral

287


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IMAGEN 3.25 El Fadrí

Torre Campanario “El Fadrí”, Castellón de la Plana Torre octogonal concebida con criterio similar al utilizado en la composición de El Miguelete, en cuanto a espacios intermedios y cuerpo de campanas, pero con distinto remate final. Según el levantamiento realizado por los arquitectos Francisco Grande y J. Ignacio Gil-Mascarell en el año 2001 para su restauración, el lado del octógono es de 4,74 metros, aunque hay diferencias entre unas caras y otras. El perímetro puede considerarse como un octógono regular inscrito en una circunferencia de diámetro 12,40 m≅13,435 cos22,5° o tam288


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bién definido por dos cuadrados inscritos en la circunferencia de diámetro de 13,435θ/2=16,21 metros, siendo λ la relación entre estas dos circunferencias.

FIGURA 3.87 El Fadrí 289


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Se confirma, como en todos los casos anteriores, que la forma final es el resultado de sucesivas inscripciones o circunscripciones partiendo del modelo generalizado.

FIGURA 3.88 El FadrĂ­ 290


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IMAGEN 3.26 Vista del actual Museo de San Pío V en Valencia.

Antigua Capilla del Convento de San Pío V, Valencia El edificio de San Pío V fue proyectado en 1683 por el arquitecto valenciano Juan Bautista Pérez Castiel, quien también realizó en Valencia algunas obras destacadas, como el presbiterio de la Catedral y la fachada de la iglesia de San Andrés. En 1924 se ordenó la demolición del tambor y cúpula de la iglesia. De esta demolición permanecen tres octavos del antiguo espacio octogonal. Tras la restauración reciente, realizada por Álvaro Gómez-Ferrer y Manuel Portaceli, este cuerpo octogonal sirve de acceso al Museo de Bellas Artes. Se han conservado tal y como eran las columnas y pilastras primitivas, diferenciándolas claramente de las que han tenido que ser repuestas. 291


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En este caso hemos dispuesto de un plano acotado en metros, que nos ha facilitado la transcripción a palmos valencianos. Podemos comprobar cómo la mayoría de las cotas corresponde a un número entero de palmos: 8,30,metros,=,36,palmos;,1,39,metros,=,6,palmos El trazado geométrico que liga unos elementos con otros es muy complejo. De él surgen muchas relaciones, unas consecuencias de las otras, quedando la duda de cual depende de otra u otras. La observación de las figuras nos puede proporcionar una visión más clara del entramado existente que la descripción de trazados aisladamente. Pérez Castiel, arquitecto con amplios conocimientos como ha dejado entrever en sus obras, compuso este espacio articulado según la geometría del octógono. Es una composición geométrica barroca que en cierto modo se apoya en las diagonales como los clásicos. En el análisis hemos podido apreciar que la circunferencia inicial y fundamental del trazado es una circunferencia de 26,87 metros de diámetro, pero aquí Pérez Castiel no actúa inscribiendo cua- FIGURA 3.89 292


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drados u otras figuras. Sus conocimientos le llevan a utilizar formulas originales. Teniendo el dato cierto de que cada uno de los ocho lados interiores mide 8,30 metros= 36 palmos valencianos se puede comprobar que: 8,30 = sin18° 26,87

O dicho de otra forma: esa longitud corresponde al lado de un decágono regular inscrito en la circunferencia de 26,87 metros de diámetro. Por tanto el contorno de la planta se compone de ocho lados de 8,30 metros, cuerda correspondiente a 36º de ángulo central y otros ocho de 2,108 metros, cuerda del ángulo de 9º. Es evidente que la composición se basa en la circunferencia tipo, pero en el proyecto se aplican conocimientos distintos a los tradicionales, aunque puedan encontrarse semejanzas en otras construcciones conocidas.  Una vez situados los 16 puntos clave en la circunferencia, trazando ordenadamente rectas horizontales, verticales o inclinadas 45º, queda plasmado un octógono estrellado. Nótese que los vértices quedan al exterior, de forma similar a como evidencia Ecochard que ocurre en el Mausoleo de Diocleciano en Split (Croacia). La circunferencia que los contiene tiene por diámetro 1 !26,87cos4,5° + 2,108 = 31,876 tan22,5 !y la interior!31,876

1 λ 2

293

= 17,25 metros


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define un octógono en cuyos lados se sitúan los pilares centrales. Las diagonales de estos grandes rombos miden 31,876 ! = 15,933 metros!y!15,933 tan22,5° = 6,6 metros 2

Las paralelas trazadas a los lados de cada rombo por los puntos en que se cortan a la circunferencia de 26,87 metros originan otros rombos menores que determinan las posición y tamaño de las pilastras y pilares.

FIGURA 3.90 Planta octognal de San Pio V inscrito en la circunferencia de 26,87 metros de diámetro 294


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Teniendo en cuenta la escala de la Figura 3.92 puede parecer que esos rombos menores son iguales, pero analĂ­ticamente se obtiene que la diagonal menor del rombo que fija los pilares miden 2,384 metros mientras que el apoyo de las pilastras perimetrales es 2,108 metros como se dijo anteriormente. La mediciĂłn in situ de las molduras de pilastras y pilares al ser trasladadas al plano (Figura 3.91) pone al descubierto nuevas relaciones entre ellas y con el resto del edificio. Ha quedado justificado que todos sus elementos han sido obtenidos siguiendo normas geomĂŠtricas elementales a partir de la circunferencia de 26,87 metros.

FIGURA 3.91 San Pio V, planta con pilares y pilastras 295


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FIGURA 3.92 Detalle de pilastra y pilar 296


CAPĂ?TULO 4

Elementos Decorativos


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Se encuentran formas octogonales en muchos elementos decorativos de todas las épocas y culturas. En nuestro entorno podemos hallar ejemplos en construcciones árabes y mudéjares como azulejos, mosaicos, relieves de yeso, techos, portadas de libros, etc. Geométricamente son más complejos que los edificios con plantas centralizadas, pues tratan de enlazar formas elementales para llenar un espacio. Aunque existen muchas publicaciones sobre el tema, un compendio de artículos y trabajos de don Antonio Prieto y Vives “El arte de la lacería” editado por el Colegio de Ingenieros de C. C. y P, en 1977 proporciona amplia información de diversas aplicaciones y relaciones geométricas. Trata de lacerías, mosaicos o construcciones de madera y mocárabes. En la mayoría de estos mosaicos o figuras aparecen octógonos estrellados compuestos por dos cuadrados girados, situados en puntos estratégicos de la composición. Las circunferencias circunscritas o inscritas a estas estrellas están ligadas a otras, que pueden contener figuras distintas, según leyes sencillas pero que dan lugar a composiciones de apariencia compleja. Los esquemas aquí planteados pueden asimilarse a plantas de edificios analizados anteriormente, o bien existen semejanzas con algunos. Un análisis de más casos podría confirmar la existencia de modelos e invariantes repetidos sistemáticamente, según lugares y épocas, con los matices aportados por su autor.

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IMAGEN 4.1 Mosaico Toledano

Mosaico Toledano Este mosaico del siglo XIV estรก compuesto por piezas vidriadas que van formado figuras que se repiten. Se compone bรกsicamente de dos tipos de figuras centradas en torno a octรณgonos estrellados, todos ellos verdes, formados por dos cuadrados girados. Alrededor de ellos se agrupan ocho hexรกgonos alargados, o bien ocho puntas de flecha, figura a cuyo centro llamamos O, mientras designamos C a la anterior. 300


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Los oct贸gonos no solo aparecen como centros de esas figuras con centro en O 贸 en C, sino que todo el conjunto responde a un trazado basado en el oct贸gono. Estos puntos O y C pueden considerarse base de una trama cuadriculada o como centros de circunferencias de di谩metro M, distancia entre puntos del mismo nombre.

FIGURA 4.1 Mosaico Toledano 301


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En un módulo de centro O y vértices C, o en uno de centro C y vértices O , las diagonales y los cuadrados inscritos definen los centros de una serie de circunferencias menores donde se inscriben octógonos estrellados, puntos de lanza o sitúan otros puntos fundamentales de la composición. La disposición de estas circunferencias, tangentes o secantes, con centros sobre diagonales.

FIGURA 4.2 Mosaico Toledano 302


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Dos cuadrados inscritos, dibujados en su totalidad o parcialmente, en las circunferencias originan las estrellas, puntas de lanza u otras figuras intermedias. Un m贸dulo de centro O ha sido regruesado con color para mejor compresi贸n del resultado, aunque en realidad no hay una ley clara para asignar los colores a cada elemento.

FIGURA 4.3 Mosaico Toledano (m贸dulo) 303


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FIGURA 4.4 Mosaico Toledano

304


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Tres Mosaicos de la Alhambra de Granada La Alhambra contiene gran variedad de modelos de mosaicos, azulejos y otros elementos decorativos. Algunos ocupan paramentos de gran extensión agrupando figuras distintas en forma, tamaño y color dentro de una idea general de la composición, como puede verse en la sala de Embajadores del palacio de Comares. Sin embargo vamos a estudiar tres ejemplos que decoran pilastras que podrían ampliarse indefinidamente para cubrir un espacio más amplio.

IMAGEN 4.2 Mosaico de acceso a la sala de Dos Hermanas.

El primer mosaico se encuentra en el umbral del arco de acceso a la sala de Dos Hermanas hay una estrecha faja alicatada que responde a un riguroso trazado geométrico. Teniendo en cuenta esa base geométrica que lo caracteriza, se ha hecho el estudio como si el módulo fuese 305


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parte de un todo homogéneo, puesto que parece haber sido concebido para ser repetido sin limitación. Modulo base o azulejo

FIGURA 4.5 Fotomontaje de la repetición del módulo base

Considerando la figura prolongada indefinidamente se observan unas figuras, a modo de flor, unas de dieciséis hojas con centro O y otras menores, de ocho hojas y centro o, inscribibles en circunferencias, y cuyas dimensiones responden a una fórmula geométrica concreta. Sólo cabe libertad para elegir una dimensión, las demás son función de ella. 306


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El conjunto admite dos tramas ortogonales, una de líneas horizontales y verticales y otra girada 45º. Las líneas de estas tramas son tangentes a las circunferencias o prolongación de los lados de octógonos regulares inscritos en ellas. La trama horizontal contiene cuadrados desplazados y la girada, además de esos, está formada por otros menores y rectángulos. El tamaño de las circunferencias ha sido elegido arbitrariamente y la distancia entre los centros y as tramas consecuencia de ellas.

FIGURA 4.6 Mosaico de acceso a la sala de Dos Hermanas 307


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Ampliando la figura, y eligiendo arbitrariamente un centro O y el radio de la circunferencia, se puede situar el otro centro O y dibujar la parte de tramas (roja y verde) próximas. Los radios de ambas circunferencias, cada 22,5º, cortan a la mediatriz de O O en los puntos c, o, o y c. Cada punto o es el centro de un octógono definido por los lados de la trama roja y tres de la inclinada. Los lados que faltan son paralelos ya sea a O c o bien a O O y marcan el ancho de las bandas de las hojas y el lado de los cuadrados girados con centro en o y c. Teniendo en cuenta que las estrellas resultantes en O se deben a la intersección de las dieciséis bandas, las seis circunferencias de centros O , o y c son una ayuda fundamental para completar la composición.

FIGURA 4.7 Mosaico de acceso a la sala de Dos Hermanas 308


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Prescindiendo de las líneas de trama quedan las circunferencias básicas y las líneas que separan las piezas del mosaico.

FIGURA 4.8 Mosaico de acceso a la sala de Dos Hermanas

309


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Aunque en el original no se aprecian bien los colores, se ha regruesado la parte interior de cada pieza para mejor comprender la realidad. Puede parecer que ciertos elementos de la figura están desproporcionados, pero debe tenerse en cuenta que éste es el trazado geométrico teórico, mientras que en el original las piezas no se ajustan perfectamente.

FIGURA 4.9 Mosaico de acceso a la sala de Dos Hermanas

310


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Se ha comprobado que el conjunto queda perfectamente ajustado partiendo del radio de las circunferencias mayores. Analíticamente se puede calcular cualquier otra para obtener radios, distancias, etc. Para quien tenga curiosidad se muestran los cálculos de elementos que intervienen. Considerando el radio Rı = 1 de las circunferencias mayores y que !θ = 1 +

2;    

θ

!λ =

!cos22,5° =

1 = θ 2

2−1

;

λ

1 ;    tan22,5° = θ 2

se pueden establecer las siguientes fórmulas: Oc = a = 1 + cos22,5° = 1 +

Oo =

1 + cos22,5° 2

 

λ 2

;      b =

1 + cos22,5° 2

=

1

λ +   2 2

1 1 1 1 + cos22,5° 1 λ 1 = + ;  d = tan22,5° = + ; cos22,5° λ 2 θ ( ) 2 2 2

Y de ahí; 1 1 1 1 !R2 = Oo − 1 = + −1= − ; λ λ θ 2 2 !A = R2cos22,5° =

1 1 λ 1 λ − = − ; (λ θ 2 ) 2 2 2θ 311


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!x = d − A =

(

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λ 1 1 λ λ−1 + − − = ; θ 2 2 ) θ ( 2 2θ )

1

El diámetro de las circunferencias menores, o bien el ancho de las bandas es igual a 0,12698 del diámetro de la inicial D = 2R1

FIGURA 4.10 Mosaico de acceso a la sala de Dos Hermanas

312


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Aunque existen paramentos cubiertos con figuras derivadas del decágono o hexágono en grandes salas, vamos a centrarnos en pequeñas piezas generadas mediante trazados octogonales. Es evidente que cada una contiene octógonos íntimamente enlazados, aunque para conseguir el resultado final se haya alterado la norma en ciertos detalles.

IMAGEN 4.3 Segundo mosaico de La Alhambra

313


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En el análisis de este segundo mosaico, se aprecia que en la circunferencia grande (roja), tangente a los ejes de cada recuadro, dos cuadrados definen uno de los octógonos básicos. Además en centro y vértices de cada elemento hay un pequeño octógono estrellado. ¿Qué tamaño tienen las circunferencias circunscritas a esas estrellas y qué ancho deben tener las bandas de los lazos respecto a la figura total? Vamos a comprobar que está todo perfectamente ajustado, y que no queda nada al azar.

FIGURA 4.11 Modulación del segundo mosaico de La Alhambra 314


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Si en una circunferencia se inscriben dos cuadrados y un octógono estrellado, el espacio limitado por los lados paralelos de una y otra figura corresponde a una banda del conjunto. Esta circunferencia puede considerarse como módulo o unidad fundamental de la composición. El radio de la circunferencia mayor (roja) es igual a λ√2, si el diámetro de las menores es 1. Puede observarse que todas estas circunferencias que engloban octógonos, y otras figuras o vértices de lazos están adosadas según el lado de un octógono regular inscrito. La distancia entre los centros de dos contiguas es λ/√2, salvo las situadas en vértices del cuadrado.

FIGURA 4.12 Estrella y ancho de bandas 315


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La posición relativa de los 21 círculos o módulos se repite, no solo en otros mosaicos, sino también en algún edificio.

FIGURA 4.13 Núcleos coordinados

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Los dibujos ampliados de la unión de varios módulos demuestran el perfecto acoplamiento de módulos y bandas. También se puede observar que en los cruces, junto a las figuras pentagonales, se altera el ángulo de 45º en más o en menos 7,5º.

FIGURA 4.14 Liberación de los 45º, alteración 317


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En este mosaico se analiza s贸lo la estrella de ocho puntas y su entorno, pues el resto aparenta seguir la misma pauta y dispone figuras elementales id茅nticas en variadas posturas.

IMAGEN 4.4 Tercer mosaico

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Los círculos de las bandas y centro de figuras están distribuidos como en el mosaico comentado anteriormente. La distancia entre el central y los de los lados es λ√2 y a los de vértice 2λ. Con estos nueve módulos se puede componer todo el conjunto, no haciendo falta situar otros intermedios que también contienen figuras parciales, puesto que los quiebros de las bandas se apoyan en las bisectrices de los ángulos de 45º. También se podría haber utilizado circunferencias mayores y nuevos módulos para seguir completando el modelo.

FIGURA 4.15 Norma de composición 319


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Azulejo en la Mezquita de Córdoba En la mezquita de Córdoba están expuestos varios azulejos y mosaicos protegidos por cristal, lo que dificulta su fotografía. De todos ellos, interesa un conjunto compuesto por cuatro piezas idénticas que forman una figura central de dieciséis hojas rodeada por un conjunto de estrellas y figuras menores ordenadas rigurosamente, aunque de forma más compleja que en las dos anteriores. Podría decirse que se basa en trazados utilizados en los ejemplos de la Alhambra. Por la forma en que terminan los bordes se intuye que esta figura tendría o podría tener continuidad.

FIGURA 4.16 Azulejo en la Mezquita de Córdoba

IMAGEN 4.5 Azulejos expuestos en la Mezquita de Córdoba.

El núcleo central, como composición, es similar a la imagen 4.4, al que se han añadido las bandas de lazos. Por la forma vamos a establecer las relaciones geométricas del conjunto de las cuatro piezas que después se aplicará para detallar una de ellas. 320


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En los lados de los dos cuadrados inscritos en la circunferencia tangente a los bordes se encuentran los centros de la mayor parte de las circunferencias modulares. Las situadas en el centro de los lados definen la repetida estrella y el ancho de bandas. Los vértices del octógono inscrito en la circunferencia cuyo diámetro es el lado del octógono concretan la posición y tamaño de circunferencias modulares, tangentes entre sí, que contienen figuras similares a puntas de lanza. Ese diámetro obtenido por tangencia es único para todas la circunferencias modulares, y como siempre a efectos métricos, se considera la unidad. No acaban aquí las relaciones geométricas, puesto que la cir- FIGURA 4.17 Azulejo en la Mezquita de Córdoba cunferencia central tangente a las otras cuatro tiene un radio igual a λ√2. Volvemos a encontrar la misma relación que en los mosaicos de la Alhambra y de San Pío V. Resumiendo, las circunferencias de la figura tienen diámetros 1, 2λ, 2λ√2 y la exterior 2λθ√2. El conjunto de lazos y figuras resultantes se obtiene procediendo ordenadamente a partir de la norma que marca los módulos y la inclinación correspondiente de 45º ó 22,5º. 321


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Se ha realizado el análisis gráfico del conjunto de las cuatro piezas, puesto que forman una unidad definida, pero de ella se desprende una clara composición de cada pieza independiente. El octógono regular estrellado inscrito en la circunferencia circunscrita a cada cuadrado contiene los centros de las circunferencias modulares, cuyo diámetro es igual al lado del octógono central.

FIGURA 4.18 Azulejo en la Mezquita de Córdoba

322


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Se puede expresar el diámetro de todas las circunferencias en función del lado L de cada baldosa L L L !D = 2L;     D1 = 2 ;     D2 = ;     D3 = 3 λ θ 2λ

En las figuras que presentan el conjunto aparece otra central de radio D2

FIGURA 4.19 Azulejo en la Mezquita de Córdoba

FIGURA 4.20 Superposición 323


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De la superposición en el conjunto de las circunferencias circunscritas y los octógonos estrellados se pueden deducir, por abstracción, distintas figuras. Se ha aislado una trama rítmica formada por cuadrados y rectángulos de distinto tamaños relacionados según, θ,√2,λ. En el Mexuar (Alhambra) existe un mosaico que contiene una serie de centros idénticos a estos de Córdoba. Con estos núcleos no se podría extender la composición indefinidamente. Por ello aparece una figura nueva para enlazar el conjunto.

FIGURA 4.21Trama rítmica 324


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IMAGEN 4.6 La Alhambra, entrada a la sala Mexuar.

La Alhambra: Relieve En la entrada del Mexuar, en los dos paneles laterales, se encuentra esta composición en relieve. Como en los mosaicos, la posición relativa de las “estrellas” comprende una serie de esvásticas entre ellas. El biselado de aristas puede confundir para establecer la geometría subyacente. Recuerdo haber visto en algún tratado un trazado similar a la Figura 4.22. En él las circunferencias de radio 1 y θ concéntricas con cada estrella son tangentes entre sí alternativamente. Esta relación indica que el diámetro de las circunferencias modulares es igual al lado del octógono circunscrito a la circunferencia mayor. En esta representación 325


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se observan asimetrías en las puntas de los elementos que forman las esvásticas.

FIGURA 4.22 Relieve en la entrada a la sala Mexuar

Al tratar de igualar todas las puntas con las de los octógonos estrellados, manteniendo el mismo radio unidad, aparentemente se pierde la relación con el octógono y con la circunferencia inscrita en el cuadrado, pero en realidad la relación persiste de otra forma. El diámetro de las circunferencias modulares es igual al lado del octógono regular inscrito en la circunferencia de diámetro 2λ y la posición relativa de los centros de los módulos es idéntica a la ya descrita en mosaicos de la Alhambra. 326


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FIGURA 4.23 Relieve en la entrada a la sala Mexuar

¿Cuál de las soluciones es correcta? Dados los antecedentes de los mosaicos analizados, se estima que esta segunda propuesta debe ajustarse más a la realidad, además de conseguir figuras homogéneas. Evidentemente, existe diferencia en el planteamiento de ambas soluciones: las circunferencias inscritas en los cuadrados son desiguales si mantenemos iguales las circunferencias circunscritas a las “estrellas”. El diámetro de éstas es igual al lado del octógono circunscrito en la figura de arriba, mientras que en la de abajo lo es al inscrito ya que !L8cir =

d d ;    L8ins = ; θ 2λ 327


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Aunque el primer esquema no corresponde a esta composición de la Alhambra, ha sido utilizado en otras ocasiones. En la fuente del Museo de Cerámica Gonzalez Martí en Valencia (Figura 2.15) la posición relativa de las estrellas es idéntica. Según la unidad elegida allí el diámetro de los círculos menores es 2θ y el de los mayores 2θ2.

FIGURA 4.24 Fuente del Museo de Cerámica Gonzalez Martí, Valencia

328


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IMAGEN 4.7 Vista general del techo de la Torre de las Damas

La Alhambra: Techo de Madera En la galería de la torre de las Damas se puede ver un techo de madera, como puedan ser otros muchos de Granada, que está trazado siguiendo rigurosamente las propiedades del octógono, así como las relaciones de inscripción de figuras. El conjunto se compone de una cúpula en el centro y de una composición plana de lacería. Solamente analizaremos un bello fragmento susceptible de prolongarse infinitamente. Varias figuras compuestas por lazos están limitadas por cuadrados girados. Para establecer la esencia geométrica que determina cada figura y su relación con las restantes se considera en principio solo el eje de cada par de listones.Tal y como se ha hecho con los mosaicos y azulejos, 329


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se ha buscado la geometría de su construcción, siendo secundaria la dimensión. No sabemos ni hemos subido a comprobar dimensiones, pero se ha establecido, a priori, la proporción entre huecos y anchos de listones o bandas de madera. Estimando como unidad el hueco entre dos listones contiguos y asignando a estas 4 unidades más 8 al espacio entre dos bandas paralelas, quedan 17 unidades como distancia de separación entre ejes paralelos. Hasta ahí la hipótesis, pero, como puede apreciarse en las distintas fases de la construcción se generan circunferencias cuyos radios 12, 29, 41, 70, 99 ó 140, son cifras pertenecientes a las sucesiones de Pell. Todo ello hace suponer que la hipótesis de proporción es válida.

FIGURA 4.25 Fragmento del techo de madera de la galería de la Torre de las Damas 330


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Los ejes de las bandas que concurren en el centro de cada figura son tangentes a la circunferencia de 17 unidades de diámetro o bien coinciden con los lados de cuadrados inscritos en la de 24, o sea 12 unidades de radio, ya que 24=17√2.

FIGURA 4.26 Fragmento del techo de madera de la galería de la Torre de las Damas

331


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Cada uno de los módulos, que se repiten, está limitado por un cuadrado de 140 unidades de lado al que inscribe o circunscribe otras circunferencias y a éstas otros cuadrados. La circunferencia circunscrita de diámetro 140√2=198 y la de 41=29√2 indican puntos de cruce.

FIGURA 4.27 Fragmento del techo de madera de la Torre de las Damas 332


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Conocida la dimensión real D de la distancia entre ejes paralelos es directo el cálculo de cualquier elemento, pues multiplicando por 2;    

θ 2

;    θ;    

θ2 2

;    θ2;    θ2 2;    2θ2;    etc .

se obtienen los diámetros de las circunferencias antes mencionadas o los cuadrados relacionados con ellas.

IMAGEN 4.8 Fragmento del techo de madera 333


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Aplicando esas relaciones en la Figura 4.28 se muestran los ejes de lacería y las circunferencias de radio 12, 70 y 128 (140-12) unidades en rojo, más otras en azul de 29 unidades.

FIGURA 4.28 Ejes de lacería y las circunferencias 334


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La Figura 4.29 presenta los cuadrados inscritos que marcan zona con las circunferencias. La circunferencia circunscrita al cuadrado mayor serĂ­a la de 140 unidades.

FIGURA 4.29 Cuadrados inscritos 335


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La superposici贸n de los lazos de madera con las circunferencias (Figura 4.30) justifica la hip贸tesis.

FIGURA 4.30 Superposici贸n

336


CAPĂ?TULO 5

Otras Aplicaciones


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338


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Los trazados aplicados para componer edificios o elementos decorativos descritos anteriormente muestran diversos matices en el procedimiento dentro de la norma geométrica. Podría afirmarse que no existen dos modelos exactamente iguales. Por ello vamos a añadir cinco ejemplos en que se han encontrado detalles dignos de ser analizados. Algunos trazados nos pueden enseñar cómo integrar zonas visualmente apartadas o la aplicación reiterada de inscripciones. Como casos curiosos, se incluye una edificación de planta heptagonal y el análisis parcial del complejo Templo de Minerva Médica decagonal relacionada con formas octogonales.

339


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IMAGEN 5.1 Isa Khan tumba de Niyazi

Tumba de Isa Han, Delhi (India) El conjunto está constituido por tres elementos perfectamente coordinados geométricamente. Está limitado del exterior por una muralla con ocho torres en los ángulos. A continuación un murete, también octogonal, matiza los espacios libres quedando en el centro el edificio (Imagen 5.1) que alberga la tumba. Las dimensiones, deducidas de una escala gráfica y comparadas con el mausoleo de Humayun son sólamente aproximadas, pero contribuyen a apreciar el tamaño real. El diámetro de la circunfeencia exterior 340


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que contiene a los ejes de las ocho torres se estima en 660 vitasti, equivalentes a 140,28 metros. De ah铆 se puede deducir las dimensiones de todos los componentes, aplicando las f贸rmulas y coeficientes establecidos para composiciones de este tipo

FIGURA 5.1 Planta del conjunto de Isa Han 341


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El analisis de la Figura 5.2 indica que la distancia entre torres, lado del octogono inscrito, es igual a 660 = 252,6 vitasti! 2λ

FIGURA 5.2 Análisis de Isa Han

342


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La circunferencia interior tiene por diametro 660 252,6 = = 273, 4!v θ cos22,5

y el lado del octógono 660 273,4 = = 113,24!v 2 θ θ

FIGURA 5.3 Análisis de Isa Han 343


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Es evidente que se pueden utilizar varios caminos para llegar a articular el todo. De la Figura 5.3 se desprende que el octógono de la cara interior del muro perimetral está inscrito en la circunferencia de diametro 660 cos22,5 = 660

λ 2

= 233,5!v.

cuyo lado es igual a 609,76 660 L= = = 233,5!v. 2λ 2 2

El octógono central queda inscrito en la circunferencia de diámetro 609,76 = 304,88!v. 2

Es decir, tendrá 304,88 = 116,7!v. 2λ

de lado, algo mayor que 113,24 v. obtenido anteriormente. No es un error, son los bordes de la acera o plataforma que circunda el murete. En la Figura 5.4, utilizando otra forma de establecer las relaciones geométricas, vuelve a aparecer el octógono de 116,7 vitasti de lado, inscrito en la circunferencia de 304,88 vitasti de diámetro, más un octógono de 48,34 vitasti de lado, límite del espacio ocupado por el edificio principal o Tumba de Isa Han. Puede comprobarse que 233,35 = 2θ 48,34

344


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La composición en que el edificio funerario aparece en el centro de un espacio libre, limitado de forma variada del exterior, la encontramos también en el mausoleo de Humayan, próximo a este, tanto en ele terreno como en el momento de su construcción, y el Taj Mahal construido un siglo después.

FIGURA 5.4 Análisis de Isa Han

345


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IMAGEN 5.2 Madrasa Büyük Aga

Madrasa Büyük Aga, Amasya (Turquía) Fue construida en el año 1488 durante el mandato del sultán Bayeiz II. Siguiendo la norma de otras madrasas sitúa las celdas de los estudiantes en torno a un patio octogonal, con un solo iwan en el lado sur. Si en otras construcciones octogonales se han evidenciado relaciones métricas en función de λ, θ ó √2, en ésta, donde se continúa inscribiendo unas figuras en otras, se destaca la relación cos, 22,5° aunque subsisten las anteriores. Considerando cos, 22,5°=K y que λ=2K2 se puede establecer el siguiente cuadro de relaciones métricas. 346


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OA=1!

OB=1

OD=K!

OG=K

OE = K 2!

OE=K2

OF = OG =

OB = OC = OH = OI =

2

!

OF=K4

!

K4

K 2 K2 2 K3

OD =

OA =

!

1 2K5

2K3 1 2K 4

K3 2

1 OC = 2K2

!

1

2

!

1 OI = 2K OH =

!

1 2K 4

Las potencias de K indican las inscripciones sucesivas de octógonos en sentido creciente o decreciente y √2 que al menos ha habido una inscripción de un cuadrado. Falta concretar las dimensiones reales de OA, o bien OB. No tenemos certeza de la dimensión exacta, puesto que con la documentación disponible y escala gráfica no se puede precisar. No obstante, parece que la circunferencia exterior podría tener alrededor de 40 metros de diámetro o bien 70 andasse, siendo el andasse o pequeño pik igual a 347


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68,712 cm. En medidas turcas un andasse equivale a 32 dedos, el doble de un pie que en general mide 16 dedos. Esta hipótesis daría una circunferencia interior de un diámetro igual a 26,797 metros, longitud muy próxima a 26,87 metros que aparece en tantos edificios estudiados. Procediendo de forma inversa podíamos suponer que este diámetro de 26,87 metros al que correspondería una circunferencia exterior con 48,18 metros.

FIGURA 5.5 Madrasa Büyük Aga 348


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Puede considerarse con seguridad que la dimensión de la circunferencia exterior e interior son de 70 y 39 andasse, ya √2 70 = 1,7933 = 1,7948!!!y!!! cos³22,5°  39

FIGURA 5.6 Madrasa Büyük Aga 349


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El lector comprenderá fácilmente el trazado en el que se marca en negro las líneas que limitan muros, mientras aquellas que correspondan a octógonos inscritos solo para ayudar al montaje son coloreadas. Similar, tanto en forma como en tamaño, es la madrasa Rüstem Pasa en Cagaloglu (1550), donde se ocupan los espacios que quedan entre el octógono y el cuadrado exterior.

350


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Taj Mahal y Mausoleo de Humayun La idea fundamental de la composición de ambos edificios es similar, aunque varíe en muchos detalles. En un recinto cuadrado situado en un gran parque, modulado según una trama rectangular, mediante sencillas inscripciones se concreta un espacio menor ocupado por el verdadero monumento conmemorativo o funerario. Hasta aquí el trazado puede considerarse idéntico pero se parte de distintas dimensiones. En el Taj Mahal 450 vitasti o 95,65 metros y en Hu- IMAGEN 5.3 Mausoleo de Humayun. mayun 520 vitasti o 112,11 metros. Dentro de los cuadrados centrales se disponen cinco circunferencias cuyo fin es generar octógonos que determinan la trama reguladora. Cronológicamente, el mausoleo es anterior, pero geométricamente el Taj Mahal es más directo, menos artifi- IMAGEN 5.4 Taj Mahal. cioso. 351


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En el Taj Mahal cuatro circunferencias son tangentes a la central en puntos de la diagonal. El diรกmetro de todas ellas es igual a un sexto de la diagonal del cuadrado de 450 vitasti, luego 1 ! 450 2 = 106,066 6

FIGURA 5.7 Taj Mahal: planta del conjunto 352


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Al reconstruir la planta partiendo de esas circunferencias comprobamos que cualquier elemento se apoya en v茅rtices de la trama. El espacio octogonal central es justamente el doble de los cuatro oct贸gonos que lo circundan. El detalle del trazado no necesita explicaci贸n, a pesar de su complejidad aparente, puesto que deriva de otros casos analizados.

FIGURA 5.8 Taj Mahal: trazado geom茅trico del edificio 353


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FIGURA 5.9 Taj Mahal: detalle del trazado

354


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En el mausoleo de Humayun las circunferencias básicas están separadas; la prolongación de los lados del cuadrado inscrito en la central son tangentes a las cuatro de las esquinas y viceversa. Puesto que el lado del cuadrado mayor es igual a 520 vitasti, llamando D al diámetro D 1+1+ (

260 !v.    y   D = 2 1+λ 2)

1

FIGURA 5.10 Mausoleo de Humayun: planta del conjunto 355


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La determinación de pasos y retranqueos siguen los mismos criterios en ambos edificios. Responden a un criterio geométrico, el cálculo de la dimensión de cualquier elemento puede obtenerse a partir de cualquier otro. Así 520 D= = 96,043!vitasti 3+θ

FIGURA 5.11 Lorem Ipsum dolor amet, consectetur 356


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FIGURA 5.12 Mausoleo de Humayun: detalle del trazado

357


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IMAGEN 5.5 Ermita de San Miguel

Ermita de San Miguel “El Fort”, Nules (Castellón) Construida a mediados del siglo XVIII por el arquitecto Antonio Gilabert, autor también de la reforma académica de la catedral de Valencia. Se conserva el cuerpo central circular en el interior y heptagonal en el exterior. Ha sido rehabilitada recientemente por los arquitectos Francisco Grande e Ignacio Gil Martorell. 358


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FIGURA 5.13 Plano de la rehabilitaci贸n 359


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FIGURA 5.14 Ermita de San Miguel

360


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No se ha encontrado relación de los diámetros de circunferencias circunscritos a estos polígonos con otras usuales en construcciones de planta centralizada. Sin embargo, y aunque parezca extraño, la suma de la longitud de los siete lados de ese heptágono interior es precisamente 26,87 metros, como se puede comprobar en uno de los planos para la rehabilitación. Las cotas oscilan entre 3,82 y 3,85 metros, luego se puede considerar como longitud del lado del heptágono !

26,87 = 3,838 metros 7

El diámetro de la circunferencia circunscrita a este heptágono será igual 3,838 = 8,84  ≅ 38,5 palmos sen 25,71°

La medición sobre el plano a escala 1:50 da para el diámetro de la circunferencia interior una longitud igual a la apotema del heptágono de la cara exterior del muro. Ambos miden 6,9 m = 30 palmos. Comprobando diámetros vemos que !

6,9 = 0,7805  ≅ cos38,57 ° 8,84 

y teniendo en cuenta que 38,57° es el complementario de (360°)/7=51,42° la circunferencia interior debe tener por diámetros 8,84 cos38,57°=30,06 palmos que coincide con la medición en el plano.

361


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Esta relación permite afirmar que la mediatriz del segmento OB, es tangente en C a la circunferencia interior y OC 15 OA = =   19,18 palmos = 4,412 metros cos38,57 °  cos38,57° 

O sea, al diámetro circunscrito al heptágono le correspondería 8,824 metros que difiere en menos de dos centímetros de la cifra considerada de 8,84 metros. El heptágono circunscrito a la circunferencia de 60 palmos ó 13,82 metros tiene sus vértices en otra cuyo diámetro es 60 = 66,59 palmos = 15,316 metros cos25,71° 

cifra aproximada a la medición en plano. OM = ON = 7,658 metros y el lado del heptágono MN=15,316 cos25,71°=6,645 m=28,9 palmos. Realizada la construcción se observa que dos lados no contiguos del heptágono interior se cortan en un punto E tal que cos25,71 ° OE = OA = 6,375 metros cos51,42 ° 

y siendo OP = 7,658 cos 25,71° = 6,916 metros, da la impresión que EP es igual al espesor del muro, puesto que 0,534 metros reales se ajusta también a la representación en el plano a escala y, 0,53 metros no llega ni a dos palmos y medio. Resumiendo: Los datos del heptágono interior suman 26,87 metros de longitud; dos circunferencias, en azul, ligadas por el heptágono estrellado; dos circunferencias en rojo, una doble que la otra y una relación entre las dos menores según coseno del ángulo 38,57 °. 362


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FIGURA 5.15 Ermita de San Miguel

363


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IMAGEN 5.6 Templo de Minerva Médica

Templo de Minerva Médica, Roma El templo de Minerva Médica o de Galluce data del siglo IV y se encuentra muy deteriorado, conservándose la rotonda decagonal, pero sin la cúpula esférica ni el atrio y los cuerpos circulares. El estudio del templo realizado por Auguste Choisy en el libro “L’art de bâtir chez les Romains” (Figura 5.16) muestra una planta muy concreta de la zona central y esquemas que indican lo que pudo ser realmente el templo completo. No aporta cotas que ayuden a valorar el tamaño y normas de composición. Doménico Fornaro en el articulo de libre disposición “Geometría delle Volte”, pagina 4, presenta fotografías del estado actual y plano con escala. La zona central, en negro, coincide prácticamente con el

364


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presentado por Choisy. Además un cuadro comparativo de diámetros de varias cúpulas asigna 23,90 m. al templo de Minerva Médica. Spiro Kostof en “El arquitecto, historia de una profesión”, pagina 103, muestra una planta similar a la de Fornaro y a la planta analizada por Palladio (Figura 5.17) y donde aparecen completos los círculos contiguos al atrio.

FIGURA 5.16 Interpretación según Choisy

365


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FIGURA 5.17 Anรกlisis de Palladio 366


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Por estar más definido el grabado y acotados sus elementos principales centraremos el estudio en esta versión. Suponiendo que el pie utilizado por Palladio sea de 0,357 metros, como dejó marcado en la logia de Vicenzo, podría considerarse que la dimensión equivale a la establecida por Fornaro, aunque deban aclarase ciertos matices. En principio, en las cotas de Palladio aparecen algunos errores. A un diámetro de 70 pies no puede responder un decágono de 20,68 pies de lado puesto que 70 sen 18° = 21,63!!!!y!

22,68 = 66,92   sen 18°

Este diámetro de 66,92 pies coincide con el asigando por Fornaro, pues 66,92!x!0,357=23,89

Stendhal, en una descripción estima que el lado del octógono mide 22,5 pies. Si pensaba en el pie de Paris de 0,3248 metros esa longitud sería algo menor que 7,305 metros y menor que 7,385 m. según Fornaro. Ante todos estos datos optamos por considerar como unidad al diámetro de 23,90 m. lo que correspondería a 81 pies romanos antiguos o 67 pies de Palladio. Establecido el tamaño real, o aproximado, del edificio puede analizarse la composición geométrica que relaciona todas sus partes (Figura 5.18). La prolongación de los lados del decágono inscrito en esa circunferencia interior, entre otras formas, origina un decágono estrellado inscrito en otra circunferencia de diámetro φ si aquella era 1. Otra circunferencia intermedia queda inscrita en un pentágono a su vez inscrito en esta última con diámetro:

367


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φ² 1 + φ φ cos 36 ° = = 2  2 

Es decir, la semisuma de las dos anteriores. Nótese que en pentágonos y decágonos aparece la relación φ, de la misma forma que en octógonos se utiliza θ y λ.

FIGURA 5.18 Composición geométrica

La circunferencia exterior φ√2 podría ser igual a 53,74/cos11,5° análoga a la relación encontrada en la catedral de Florencia. Esta hipótesis daría al círculo interior 23,94 m (Figura 5.19) En los cuerpos late368


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rales y en el atrio las dimensiones se originan apoyándose también en una circunferencia circunscrita de lado φ, o sea un diámetro φ√2. La abertura del atrio y los cuerpos laterales se deducen de segmentos iguales a un decágono inscrito en la circunferencia exterior. Hay que señalar que las hornacinas interiores de Palladio se parecen más a las de Fornaro, pero hay serias diferencias con las de Choisy.

FIGURA 5.19 Hipótesis de circulo interior de 23,94 m. 369


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Cimborrio de la catedral de Tarazona (Zaragoza) El modo de proceder geométricamente para componer los edificios descritos, ha sido utilizado además para organizar elementos o partes singulares de aquellos. Así como la capilla de San Aquilino, con trazado propio, se integra en San Lorenzo de Milán, los cimborrios de las catedrales responden a un trazado específico dentro de la idea general. Tomando como base para el análisis el levantamiento que realizó en 1945 el arquitecto don Manuel Lorente Junquera del cimborrio de la catedral de Tarazona (Zaragoza) se ha encontrado un trazado con diversas inscripciones en circunferencias u octógonos, como se mencionó al comienzo de este capítulo. El estudio representa sólo un avance de las relaciones geométricas que puede contener. Al estar esta catedral en obras de restaura5.7 Cimborrio de la catedral de ción no se ha podido acceder al in- IMAGEN Tarazona. terior para comprobar dimensiones. Según los planos de Lorente, entre los ejes de pilares puede haber una longitud de 31 pies aragoneses de 0,259 metros y de ahí que la circunferencia exterior de la figura tendría 49 o 49,5 pies.Este cimborrio fue construido, según F. Chueca, entre 1543 y 1545 por Juan Botero que entre 1505 y 1520 había reconstruido el cimborrio y otras zonas 370


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de la Seo de Zaragoza, cuyo esquema figura en la “Historia de la Arquitectura” de F. Chueca. Al no tener datos exactos, se ha prescindido de detalles como columnas, cornisas etc., atendiendo esencialmente a indicar los ejes y líneas que limitan los distintos elementos, diferenciando cada sección horizontal mediante el color. Estos octógonos son función de la disposición de columnas del templo, luego difícilmente podían estar relacionadas con las constantes de Ecochard. Sin embargo, queda la duda de poder establecer, con más datos, un esquema para definir cada elemento como el empleado para fijar pilares y pilastras en San Pío V en Valencia.

FIGURA 5.20 Cimborrio de la catedral de Tarazona 371


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372


CAPÍTULO 6

Unidades Métricas Locales


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TABLA 6.1 ROMA UNIDAD

GRECIA UNIDAD

Aticas cm.

Desp.Solon cm.

Feidonicas cm.

Jonicas cm.

1,84

1,93

2,04

2,18

Rel.

cm.

Rel.

Rel.

Digitus

1,85

3/4

1

Uncia

2,49

1

---

Sescuncia

3,73

1,5

2

Konaylos

3,68

3,85

4,09

4,36

2

Palmus

7,47

3

4

Palaiste (palma)

7,36

7,71

8,17

8,72

4

Triens

9,96

4

---

Quincuns

12,45

5

Semis

14,94

6

8

Septunx

17,43

7

---

---

---

---

---

---

---

Bes

19,92

8

---

---

---

---

---

---

---

Dodrans

22,41

9

12

Deunx

27,39

11

---

Pes

29,57

12

16

Palmipes

36,94

15

20

Cubitus

44,39

18

24

Pejis (codo)

44,13

46,24

49,03

52,30

24

Gradus

73,94

30

40

Bema aploin (paso)

73,55

77,07

81,72

87,16

40

Passus

147,9

60

80

Bema aiploin (doble paso)

147,10

154,13

163,44

174,33

80

Dactilos (dedo) ---

---

---

---

---

1 ---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Dijas (medio pie)

Spizame (palmo) ---

14,71

22,06 ---

Pois (pie)

29,42 ---

---

374

15,41

23,12 ---

16,34

24,52 ---

30,83 ---

17,43

32,69 ---

26,15 ---

8

12 ---

34,87 ---

16 ---


Trazados Reguladores en la Arquitectura

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TABLA 6.2 ESPAÑA UNIDAD

Visigoda

Árabe

Mozárabe

Alicante

Aragón

Castilla

Segovia

cm.

cm.

cm.

cm.

cm.

cm.

cm.

Valencia cm.

Cataluña Rel.

Línea 2,076

1,96

Pulgada

2,768

2,61

2,77

8,30

7,85

8,31

1,90

1,618

1,74

2,53

2,15

2,32

2,32

6,96

6,98

Palmo

Pie

33,33

31,40

33,26

Codo

48,99

47,14

49,90

Codo Rassati Vara

Rel.

0,3037 1/8

Dedo

Palma

cm.

30,40

19,40

20,89

25,90

27,86

27,93

1,89

¾

2,52

1

2,43

1

19,43

8

77,75

32

155,50

64

3

23,00

9

30,33

12

18

59,93

23 91,20

Cana

375

77,70

83,58

83,97

91,00

36


Trazados Reguladores en la Arquitectura

Felipe Soler Sanz

TABLA 6.3 ITALIA Roma UNIDAD

cm.

Pulgada

2,47

Rel.

Florencia

Bolonia

cm.

cm.

2,43

Rel.

1

5,33

Génova

Rel.

1

cm. 2,76

Milán

Nápoles

Rel.

cm.

Rel.

1

4,958

1

cm. 2,19

Sicilia

Rel.

1

Pie de Arquímedes

cm. 2,87

Turín Rel.

1

22,34

Pie

29,60

1

21,87

9

24,8

9

1

Braccio

26,35 12

25,81

cm. 2,89

Rel.

Trieste

cm.

cm.

1

9

29,20 12

34,70 12

Pie Liprando 58,36 24

64,00 12

58,10 21

43,50

51,30 12

59,50 12

59,90 14

Braccio Mercantil

Pertica

4,27

Rel.

Trento

22,30

Palmo

Canna

cm.

Venecia

36,11

68,30

223,4 10

234,4 97

210,8 96

330,7

67,60

206,8 72

216,70

376


Trazados Reguladores en la Arquitectura

Felipe Soler Sanz

TABLA 6.4 EGIPTO UNIDAD

JUDEA

cm. Rel UNIDAD

TURQUÍA

cm. Rel. UNIDAD

cm. Rel. UNIDAD

Dedo

1,87

1

Dedo

2,18

1

Etaba (dedo)

2,18

1

Palma

7,5

4

Palma

8,75

4

Tefah (palma)

8,75

4

Puño

5 10 1/3 Puño

Zarath (palmo)

26,2 12

52,5 24 Ammah (codo)

52,5 24

Pie Remen Codo común Codo real

Braza

30 16 Pie 37,5 20 Remen

Dedo

cm. Rel. 2,143

1

5 11,72 1/3

35 16 43,6 20

45 24 52,5 28 Codo

1800 960

Ganeh (cana)

377

315

144

Andasse (pequeño Pik)

68,712 32

Halebi (gran Pik)

70,855 33


Trazados Reguladores en la Arquitectura

Felipe Soler Sanz

TABLA 6.5 BABILONIA UNIDAD

cm.

Rel

Dedo

2,2

1

Pulgada

2,6

Palma

8,8

4

Empan (1/2 codo)

MESOPOTAMIA/PERSIA

UNIDAD

cm.

Rel.

Dedo

1,85

1

Mano

9,25

Doble mano

18,5

UNIDAD

cm.

Rel

Dedo

1,65

1

5

Palma (mano)

8,25

5

10

Doble mano

16,5

10

24,75

15

33

20

Codo

49,5

30

Paso

74,25

45

297

180

26,4

12

Pex

30,83

14

Palmo

Pen

35,2

16

Pie

Kus

52,8

24

Paso

79,2

36

Perxa

316,9

144

Codo

55,5

Vara

333

378

30

180

Perxa


Trazados Reguladores en la Arquitectura

Felipe Soler Sanz

TABLA 6.6 ALEMANIA UNIDAD

INGLATERRA cm. Rel UNIDAD

Pulgada

2,615

1

Pulgada

Pie

31,39 12 Pie

FRANCIA cm. Rel. UNIDAD

2,54

1

Pulgada

30,48 12 Pie de Paris Paso militar

Yarda

Braza

182,90 70 Fathon

Percha

376,60 144 Pole o Perch

91,44 36 Paso ordinario

RUSIA cm. Rel. UNIDAD

2,707

1

Pulgada

32,48 12 Pie

cm. Rel.

2,54

1

30,48 12

64,96 24

81,20 30 Arquina

71,12 28

182,88 72 Toise (toesa)

194,90 72 Sagena

213,36 84

502,91 198 PĂŠrtica de Paris

584,81 216

379


Trazados Reguladores en la Arquitectura

Felipe Soler Sanz

TABLA 6.7

TABLA 6.8

JAPON UNIDAD

cm. Rel UNIDAD Fahn

Sun

3,03

0,639

2,66

Tahk

6,39

1

1

UNIDAD

cm.

Rel

Pouto

1,916

1

Pulgada

2,554

Palmo

22,00

11,5

Linha

23,00

12

Vara

110,00

Braรงa

220,00

1

1

30,3 10 Foot

Cugira-chakon

37,9 13 Thuok

Dsu

cm. Rel. Rel.

Inch

Chakon

Ken

BRASIL

JAVA (INDOCHINA)

10

31,9 12

9

50

63,9 24 100 43

181,8 60

378,75 125 Duong

639 240 1000

380

115

86


Trazados Reguladores en la Arquitectura

Felipe Soler Sanz

TABLA 6.9 INDIA UNIDAD

cm.

Rel

Angulam

1,763

1

Vitasti

21,256

12

Padas

24,682

14

Aratmi P-hasta

42,312

24

C-hasta

49,364

28

Kamsa

56,416

32

Kishku

74,046

42

F-hasta

95,202

54

Danda

169,248

96

Dhanus

190,404

108

Rel

Rel

Equivalencias* Dedo

1

Palmo 1

2

Codo 2

2,5

Codo Real Braza

2,5

Paso

Toesa

*Nombre de unidad equivalente en otros sitemas

381


Trazados Reguladores en la Arquitectura

Felipe Soler Sanz

382


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386


Indice Toponímico Agra (India) Taj Mahal

351

Almazán (Soria, España) Iglesia de San Miguel

186

Amasya (Amasya, Turquía) Madrasa Büyük Aga

346

Andria (Apulia, Italia) Castel del Monte

237

Aquisgrán (Renania del Norte-Westfalia, Alemania) Capilla Palatina de Carlomagno

223

Atenas (Grecia) Partenón

71

Aurora (Nueva York, EE.UU.) Biblioteca Louis Jefferson

264

Badajoz (Badajoz, España) Torre de Espantaperros

192

Castellón de la Plana (Castellón, España) El Fadrí

288

387


Trazados Reguladores en la Arquitectura

Felipe Soler Sanz

Chartres (Eure y Loir, Francia). Catedral de Chartres.

114

Chicago (Illinois, EE.UU.) Escuela de Arquitectura y Arte de Chicago

269

China Pagoda

245

Córdoba (Cordoba, España) Azulejo en la Mezquita de Córdoba Capilla Real de la Mezquita de Córdoba

320 186

Delhi (Delhi, India) Mausoleo de Humayun Tumba de Isa Han

351 340

Florencia (Florencia, Italia) Baptisterio de la catedral de Florencia Basílica de Santa Maria del Fiore Santa María de los Ángeles

166 230 207

Granada (Granada, España) Tres Mosaicos de La Alhambra La Alhambra: Relieve La Alhambra: Techo de Madera

305 325 329

Indianápolis (Indiana, EE.UU.) Indiana Tower

273

Jerez de la Frontera (Cádiz, España) Torreón del Alcazar

192

Jerusalén (Israel) Cúpula de La Roca Tumba de la Santísima Virgen

163 179 388


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Kuala Lumpur (Malasia) Torres Petronas

274

Madrid (Madrid, España) Observatorio Astronómico

106

Milán (Lombardía, Italia) Capilla de San Aquilino San Lorenzo

170 90

Muruzábal (Navarra, España) Iglesia de Santa María de Eunate

187

Nules (Castellón, España) Ermita de San Miguel “El Fort”

358

Qazvin (Irán) Torres de Kharragan

196

Rávena (Ravena, Italia) Iglesia de San Vital

163

Roma (Italia) Arco de Séptimo Severo, Baptisterio de San Juan de Letrán Basílica de San Pedro del Vaticano Molo de Adriano Palacio Farnesio Panteón de Roma Templo de Minerva Médica (Templo de Galucce) Templo de Minerva Médica

70 175 253 86 69 79 85 364

Saint-Riquier (Somme, Francia) Abadía de Saint-Riquier

89

389


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Felipe Soler Sanz

Samarra (Saladino, Irak) Qubbat Al-sulaibiya

242

Segovia (Segovia, España) Iglesia de la Vera Cruz

190

Sevilla (Sevilla, España). Torre del Oro

192

Split (Croacia) Mausoleo de Diocleciano

173

Tarazona (Zaragoza, España) Cimborrio de la Catedral de Tarazona

370

Toledo (Toledo, España) Ermita del Cristo de la Luz Mosaico Toledano

186 300

Torres del Río (Navarra, España) Iglesia del Santo Sepulcro

183

Trenton (Nueva Jersey, EE.UU.) Jewish Community

271

Valencia (Valencia, España) Antigua Capilla del Convento de San Pío V Girola de la Catedral de Valencia

291 277

El Miguelete Fuente Arabe

283 143

Venecia (Venecia, Italia) Santa María de la Salud

247

390


Indice Fotográfico Imagen 1.1 Observatorio Astronómico de Madrid. Autor: Fanattiq. Licencia: CC BY 3.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Observatoriomadridfrent e.jpg&oldid=53447331 Imagen 3,1. Sala de Dos Hermanas. Autor: Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia. Figura 3.1.A. Sala de Dos Hermanas. Autor: Jebulon. Licencia: CC 1.0 Universal Public Domain Dedication. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Detail_ceiling_two_sister s_hall_Alhambra_Granada_Spain.jpg&oldid=92490482 Figura 3.1.C. Sala de Dos Hermanas. Autor: Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia. Imagen 3.3. Mezquita de La Roca. Autor: David Baum. Licencia: CC BY-SA 3.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Temple_Mount.JPG Imagen 3.4. Iglesia de San Vital. Autor: LPLT Licencia: Dominio Público. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Basilica_San_Vital_di_Ravenna.JPG

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Imagen 3.5. Baptisterio Letranense. Foto: LPLT. Licencia: GNU Free Documentation License, Version 1.2. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Baptist%C3%A8re_du_ Latran.JPG&oldid=47006377 Imagen 3.6. Autor: PMRMaeyaert Licencia: CC BY-SA 3.0 ES. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Torres_del_Rio,_Iglesia_ del_Santo_Sepulcro-PM_32434.jpg&oldid=107675989 Imagen 3.7.A. Boveda de la Capilla del Santo Sepulcro. Autor: Lourdes Cardenal. Licencia: Licencia de documentación libre GNU, versión 1.2. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torres_del_Rio_b%C3%B3veda_lou.J PG?uselang=es Imagen 3.7.B. Cúpula de la Capilla Real de la Mezquita de Córdoba. Autor: Felipe Soler Monreal. Fuente: elaboración propia. Imagen 3.7.C. Cúpula central de la ermita del Cristo de la luz. Autor: Manuel de Corselas. Licencia: CC BY-SA 3.0 Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Bab_al_Mardum._Cristo _de_la_Luz._MPLC_08.jpg&oldid=100545209&uselang=es Imagen 3.7.D. Cúpula de la Iglesia de San Miguel, Almazán (Soria). Autor: José Luis Filpo Cabana. Licencia: GNU Free Documentation License, Version 1.2. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:San_Miguel._C%C3%B Apula_mud%C3%A9jar.jpg&oldid=101815477

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Imagen 3.8. Foto: Ignasilm. Licencia: CC BY-SA 3.0 ES. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Santa_Mar%C3%ADa_ de_Eunate.jpg&oldid=103699983 Imagen 3.9. Vista de la Iglesia de la Vera Cruz. Autor: Jose Luis Cernadas. Licencia: CC BY 2.0. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://www.flickr.com/photos/jlcernadas/8680579257/in/set-721576333737540 76 Imagen 3.10. Torre de Espantaperros. Autor: Felipe Soler Sanz. Fuente: Elaboración propia. Imagen 3.11. Torres Almohades, Torre del Alcazar de Jerez. Autor: EmDee. Licencia: CC BY-SA 3.0-2.5-2.0-1.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Jerez_de_la_Frontera_-_ Alcazar_almohade.JPG&oldid=94444873 Imagen 3.12. Torres Almohades, Torre del Oro. Autor: Morinpat. Licencia: CC BY-SA 3.0-2.5. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Sevilla_Torre_del_oro.JP G&oldid=108626892 Imagen 3.13. Autor: Zereshk. Licencia: Dominio Público. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kharaghan.jpg Imagen 3.14. Rotonda de Brunelleschi o de Santa Maria de los Angeles. Foto: Saliko. Licencia: CC BY-SA 3.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Rotonda_del_brunellesc hi_12.JPG&oldid=56636955&uselang=es

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Imagen 3.15. Cúpula de la Capilla Palatina. Autor: Benutzer:Kolling (Lokilech) Licencia: CC BY-SA 3.0 Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:AachenerDomDecke.jpg Imagen 3.16. Fachada de Santa Maria del Fiore. Autor: Jebulon. Licencia: Dominio Público, CC0 1.0 Universal. Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Façade_cathédrale_Florence.jpg Imagen 3.17. Castel del Monte. Auror: Marcok Licencia: CC-BY-SA-2.5. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Castel_del_Monte_giu06 _001.jpg&oldid=92870416 Imagen 3.18.A. Santa Maria della Salute, fachada. Autor: Tony Hisgett. Licencia: CC BY 2.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Salute_4_(7257193386).j pg&oldid=111076953&uselang=it Imagen 3.18.B. Santa Maria della Salute, detalle del presbiterio. Autor: Abxbay. Licencia: CC BY-SA 3.0. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:La_salute_venice.JPG&ol did=102766754&uselang=it Imagen 3.20. Biblioteca Louis Jefferson Autor: CP Thornton CC BY-NC-SA 2.0. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://www.flickr.com/photos/cpthornton/9019371666/in/set-72157632828124 613 Imagen 3.21. Jewish Community Center (Trenton Bath House). Autor: Smallbones. Licencia: Dominio Público. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/File:T_bath_house_3.JPG

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Imagen 3.22. Torres Petronas. Autor: Andy Mitchell. Licencia: CC BY-SA 2.0. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Petronas_Towers,_Kuala _Lumpur_(3321472593).jpg&oldid=99813971 Imagen 3.23. Girola de la Catedral de Valencia. Foto: Felipe Soler Monreal Fuente: elaboración propia Imagen 3.24. El Miguelete. Autor: Felipe Soler Monreal. Fuente: elaboración propia. Imagen 3.25. Autor: Foto: Carmen Cerezo. Licencia: CC BY-SA 3.0 ES. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Castell%C3%B3n_6.JPG Imagen 3.26. Vista del actual Museo de San Pío V en Valencia. Autor: Felipe Soler Monreal. Fuente: elaboración propia. Imagen 4.2. Mosaico de acceso a la sala de Dos Hermanas. Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia. Figura 4.5.a. Mosaico de la sala de Dos Hermanas. Módulo base o azulejo. Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia. Figura 4.5.b. Mosaico de la sala de Dos Hermanas. Fotomontaje de la repetición del módulo base. Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia. Imagen 4.6. La Alhambra, entrada a la sala Mexuar. Autor: José Luiz Bernardes. Licencia: CC BY-SA 3.0. Modificaciones: Ajuste de color, corrección de perspectiva. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Doorway_to_Mexuar_H all_-_Alhambra.JPG&oldid=92366677

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Trazados Reguladores en la Arquitectura

Felipe Soler Sanz

Imagen 4.7. Vista general del techo de la Torre de las Damas. Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia. Imagen 4.8. Fragmento del techo de la Torre de las Damas. Felipe Soler Monreal. Fuente: Elaboración propia. Imagen 4.6. Azulejos expuestos en la Mezquita de Córdoba. Autor: Felipe Soler Sanz. Fuente: elaboración propia. Imagen 5.1. Tumba de Isa Han. Foto: Irena Harrison. Licencia: CC-BY-SA-3.0. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:HumayunsTombindia20083.jpg Imagen 5.2. Madrasa Kapı-Ağası. Autor: Michael F. Schönitzer Licencia: CC-BY-SA-3.0,2.5,2.0,1.0. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Amasya-Kapı-AğasıMedrese-02.JPG&oldid=85806602 Imagen 5.3. Mausoleo de Humayun. Autor: Muhammad Mahdi Karim Licencia: GNU Free Documentation License, Version 1.2. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Humayun%27s_Tomb,_Mausoleum.jpg Imagen 5.4. Taj Mahal. Autor: Muhammad Mahdi Karim Licencia: GNU Free Documentation License, Version 1.2. Modificaciones: Ajuste de color y corrección óptica. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Taj_Mahal_2012.jpg&ol did=96249093 Imagen 5.5. Autor: Felipe Soler Sanz. Fuente: elaboración propia. Imagen 5.6. Templo de Minerva Médica. Autor: Concha Soler Monreal. Fuente: elaboración propia. 396


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Felipe Soler Sanz

Imagen 5.7. Cimborrio de la catedral de Tarazona. Autor: Zarateman Licencia: Dominio PĂşblico, CC0 1.0. Modificaciones: Ajuste de color. Fuente: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Tarazona_-_Catedral_de _Nra_Sra._de_la_Huerta_05.jpg&oldid=69178748

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