Page 1

∫ Вычисление интеграла sin6 𝑥 𝑑𝑥. Заметим, что на семинарском занятии было предложено решение, в котором были задействованы почти все основные приемы вычисления неопределенных интегралов. Однако, оно не является оптимальным, ниже предложен более короткий способ вычисления. Напомним тригонометрические соотношения (формулы понижения степени) 1 − cos 2𝑥 1 + cos 2𝑥 , cos2 𝑥 = . sin2 𝑥 = 2 2 Тогда ∫

=

sin6 𝑥 𝑑𝑥 = 1 8

∫ 𝑑𝑥 −

3 8

∫ (

1 − cos 2𝑥 2

∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 +

)3 𝑑𝑥 = 3 8

1 8

(1 − cos 2𝑥)3 𝑑𝑥 =

cos2 2𝑥 𝑑𝑥 −

1 8

cos3 2𝑥 𝑑𝑥.

(1)

Мы видим, что первые два интеграла в последней сумме легко вычисляются. Сосредоточим наше внимание на последних двух. Для вычисления ∫ интеграла cos2 2𝑥 𝑑𝑥 воспользуемся формулой понижения степени: ) ∫ ∫ ( 1 + cos 4𝑥 𝑥 1 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = + sin 4𝑥 + const. 2 2 8 Теперь заметим, что подынтегральное выражение (форма) cos3 2𝑥 𝑑𝑥 = cos2 2𝑥 𝑑 sin 2𝑥, т.к. дифференциал 𝑑 sin 2𝑥 = 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥. Учитывая это, нетрудно вычислить ∫ ∫ ∫ 1 1 cos3 2𝑥 𝑑𝑥 = cos2 2𝑥 𝑑 sin 2𝑥 = (1 − sin2 2𝑥) 𝑑 sin 2𝑥 = 2 2 ∫ ∫ 1 1 sin 2𝑥 sin3 2𝑥 = 𝑑 sin 2𝑥 − sin2 2𝑥 𝑑 sin 2𝑥 = − + const. 2 2 2 6 1 2

Подставим все полученные результаты в (1) и приведем подобные: ) ( ∫ 𝑥 3 sin 2𝑥 3 𝑥 1 6 + + sin 4𝑥 − sin 𝑥 𝑑𝑥 = − 8 16 8 2 8 1 − 8

(

sin 2𝑥 sin3 2𝑥 − 2 6

) + const =

5𝑥 sin 2𝑥 3 sin 4𝑥 sin3 2𝑥 − + + + const. 16 4 64 48

int_00  

Techniques of Integration

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you