Page 1


Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki obowiązującej od roku 2010. Zawiera wzory przydatne do rozwiązania zadań z wszystkich działów matematyki, dlatego może służyć zdającym nie tylko podczas egzaminu, ale i w czasie przygotowań do matury. Zestaw ten został opracowany w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy z pracownikami wyższych uczelni oraz w konsultacji z ekspertami z okręgowych komisji egzaminacyjnych. Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.

Publikacja współfinansowana przez UE w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.

SPIS TREŚCI 1. Wartość bezwzględna liczby............................................................................ 1 2. Potęgi i pierwiastki........................................................................................... 1 3. Logarytmy ........................................................................................................ 2 4. Silnia. Współczynnik dwumianowy ................................................................ 2 5. Wzór dwumianowy Newtona........................................................................... 2 6. Wzory skróconego mnożenia ........................................................................... 3 7. Ciągi ................................................................................................................. 3 8. Funkcja kwadratowa ........................................................................................ 4 9. Geometria analityczna...................................................................................... 4 10. Planimetria ....................................................................................................... 6 11. Stereometria ................................................................................................... 12 12. Trygonometria ................................................................................................ 14 13. Kombinatoryka............................................................................................... 15 14. Rachunek prawdopodobieństwa .................................................................... 15 15. Parametry danych statystycznych .................................................................. 16 16. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych ............................................... 17


1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem: ⎧ x dla x ≥ 0 x =⎨ ⎩− x dla x < 0 Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności: x ≥0

−x = x

Dla dowolnych liczb x, y mamy: x+ y ≤ x + y

x− y ≤ x + y

x⋅ y = x ⋅ y

x x = y y Dla dowolnych liczb a oraz r ≥ 0 mamy warunki równoważne: x−a ≤ r ⇔ a−r ≤ x ≤ a+r

Ponadto, jeśli y ≠ 0 , to

x−a ≥ r

x ≤ a − r lub

x≥ a+r

2. POTĘGI I PIERWIASTKI Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n–tą potęgę: a n = a⋅ ...

⋅a n razy

Pierwiastkiem arytmetycznym że b n = a .

n

a stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę b ≥ 0 taką,

W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość:

a2 = a .

Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczbę b < 0 taką, że b n = a . Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. _____

*

_____

Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: 1 − dla a ≠ 0 : a−n = n oraz a 0 = 1 a m n

dla a ≥ 0 :

a = n am m − 1 − dla a > 0 : a n = n m a Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0 i b > 0 , to zachodzą równości: s ar ar ⋅ as = ar +s = ar −s ( a r ) = a r ⋅s as −

r

r

⎛a⎞ a (a ⋅b) = a ⋅ b ⎜ ⎟ = r ⎝b⎠ b Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 i b ≠ 0 . r

r

r

1


3. LOGARYTMY

Niech a > 0 i a ≠ 1 . Logarytmem log a c liczby c > 0 przy podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę c: log a c = b ⇔ a b = c Równoważnie: a loga c = c Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory: x log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y log a x r = r ⋅ log a x log a = log a x − log a y y Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , b ≠ 1 oraz c > 0 , to log a c log b c = log a b log x oraz lg x oznacza log10 x . 4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY

Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do n włącznie: n ! = 1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1 . Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek: ( n + 1)! = n ! ⋅ ( n + 1) _____

*

_____

Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki 0 ≤ k ≤ n definiujemy współczynnik ⎛n⎞ dwumianowy ⎜ ⎟ (symbol Newtona): ⎝k ⎠ ⎛n⎞ n! ⎜ ⎟= ⎝ k ⎠ k !( n − k ) ! Zachodzą równości: ⎛ n ⎞ n ( n − 1)( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) ⎜ ⎟= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ k ⎝k ⎠ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛n⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =1 ⎝k ⎠ ⎝n−k ⎠ ⎝0⎠

⎛n⎞ ⎜ ⎟ =1 ⎝n⎠

5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy: ⎛n⎞ ⎛ n⎞ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n⎞ n ( a + b ) = ⎜ ⎟ a n + ⎜ ⎟ a n−1b + ... + ⎜ ⎟ a n−k b k + ... + ⎜ ⎟ ab n−1 + ⎜ ⎟ b n ⎝0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝k⎠ ⎝ n − 1⎠ ⎝ n⎠

2


6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

Dla dowolnych liczb a, b: 2 ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2

( a − b)

2

= a 2 − 2ab + b 2

( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 3 ( a − b ) = a3 − 3a 2b + 3ab2 − b3 3

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór: a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2b + ... + a n − k b k −1 + ... + ab n − 2 + b n −1 ) W szczególności: a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b )

a 2 − 1 = ( a − 1)( a + 1)

a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )

a 3 − 1 = ( a − 1) ( a 2 + a + 1)

a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )

a 3 + 1 = ( a + 1) ( a 2 − a + 1)

a n − 1 = ( a − 1) (1 + a + ... + a n −1 )

7. CIĄGI

Ciąg arytmetyczny

Wzór na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego ( an ) o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r: an = a1 + ( n − 1) r

Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego: Sn =

2a + ( n − 1) r a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: a +a an = n −1 n +1 dla n ≥ 2 2 •

Ciąg geometryczny

Wzór na n–ty wyraz ciągu geometrycznego ( an ) o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:

an = a1 ⋅ q n −1 dla n ≥ 2 Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego: ⎧ 1 − qn dla q ≠ 1 ⎪a ⋅ Sn = ⎨ 1 1 − q ⎪n ⋅ a dla q = 1 ⎩ 1 Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: an2 = an −1 ⋅ an +1 dla n ≥ 2

Procent składany

Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p % w skali rocznej, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem: p ⎞ ⎛ K n = K ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠

n

3


8. FUNKCJA KWADRATOWA

Postać ogólna funkcji kwadratowej: f ( x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 , x ∈ R . Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: b Δ 2 f ( x ) = a ( x − p ) + q , gdzie p = − , q = − , Δ = b 2 − 4ac 2a 4a Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych ( p, q ) . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 , do dołu, gdy a < 0 . Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f ( x ) = ax 2 + bx + c (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania ax 2 + bx + c = 0 ), zależy od wyróżnika Δ = b 2 − 4ac : − jeżeli Δ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), − jeżeli Δ = 0 , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie b jedno rozwiązanie rzeczywiste): x1 = x2 = − 2a − jeżeli Δ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): −b − Δ −b + Δ x1 = x2 = 2a 2a Jeśli Δ ≥ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 ) Wzory Viéte’a Jeżeli Δ ≥ 0 to x1 + x2 =

−b a

x1 ⋅ x2 =

c a

9. GEOMETRIA ANALITYCZNA

Odcinek

Długość odcinka o końcach w punktach A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) dana jest

y

wzorem: AB =

( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2

B = ( xB , yB )

2

A = ( xA , yA )

Współrzędne środka odcinka AB: O

⎛ x A + xB y A + y B ⎞ , ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

4

x


Wektory

Prosta

JJJG Współrzędne wektora AB : JJJG AB = [ xB − x A , yB − y A ] G G Jeżeli u = [u1 , u2 ] , v = [ v1 , v2 ] są wektorami, zaś a jest liczbą, to G G G u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 ] a ⋅ u = [ a ⋅ u1 , a ⋅ u2 ] Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0 , gdzie A2 + B 2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0). Jeżeli A = 0 , to prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0 , to prosta jest równoległa do osi Oy; jeżeli C = 0 , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. y

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe: y = ax + b Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej: a = tgα Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina.

y = ax + b

b

α O

x

Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt P = ( x0 , y0 ) : y = a ( x − x0 ) + y0

Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) :

( y − y A )( xB − xA ) − ( yB − y A )( x − xA ) = 0 •

Prosta i punkt

Odległość punktu P = ( x0 , y0 ) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 jest dana wzorem: Ax0 + By0 + C A2 + B 2 •

Para prostych

Dwie proste o równaniach kierunkowych y = a1 x + b1 y = a2 x + b2 spełniają jeden z następujących warunków: − są równoległe, gdy a1 = a2 − są prostopadłe, gdy a1a2 = −1 − tworzą kąt ostry ϕ i tgϕ =

a1 − a2 1 + a1a2

5


Dwie proste o równaniach ogólnych: A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 − są równoległe, gdy A1 B2 − A2 B1 = 0 − są prostopadłe, gdy A1 A2 + B1 B2 = 0 − tworzą kąt ostry ϕ i tgϕ = •

A1 B2 − A2 B1 A1 A2 + B1 B2

Trójkąt

Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) , C = ( xC , yC ) , jest dane wzorem: 1 ( xB − xA )( yC − y A ) − ( yB − y A )( xC − xA ) 2 Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne: ⎛ xA + xB + xC y A + yB + yC ⎞ , ⎜ ⎟ 3 3 ⎝ ⎠ PΔABC =

Przekształcenia geometryczne

G − przesunięcie o wektor u = [ a, b ] przekształca punkt

A = ( x, y )

na punkt

A′ = ( x + a, y + b )

− symetria względem osi Ox przekształca punkt A = ( x, y ) na punkt A′ = ( x, − y ) − symetria względem osi Oy przekształca punkt A = ( x, y ) na punkt A′ = ( − x, y ) − symetria względem punktu

( a, b )

przekształca punkt

A = ( x, y ) na punkt

A′ = ( 2a − x, 2b − y )

− jednokładność o środku w punkcie

( 0,0 )

i skali s ≠ 0 przekształca punkt

A = ( x, y ) na punkt A′ = ( sx, sy )

Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie S = ( a, b ) i promieniu r > 0 :

( x − a ) + ( y − b) 2

lub

2

= r2

x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0

gdy r 2 = a 2 + b 2 − c > 0

10. PLANIMETRIA

Cechy przystawania trójkątów C

A

F

B

D

6

E


To, że dwa trójkąty ABC i DEF są przystające ( Δ ABC ≡ Δ DEF ), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów: − cecha przystawania „bok – bok – bok”: odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: AB = DE , AC = DF , BC = EF

− cecha przystawania „bok – kąt – bok”: dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. AB = DE , AC = DF , )BAC = )EDF

− cecha przystawania „kąt – bok – kąt”: jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np. AB = DE , )BAC = )EDF , )ABC = )DEF •

Cechy podobieństwa trójkątów C F

A

B

D

E

To, że dwa trójkąty ABC i DEF są podobne ( Δ ABC ~ Δ DEF ), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów: − cecha podobieństwa „bok – bok – bok”: długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości AB AC BC boków drugiego trójkąta, np. = = DE DF EF − cecha podobieństwa „bok – kąt – bok”: długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków AB AC są przystające, np. = , )BAC = )EDF DE DF − cecha podobieństwa „kąt – kąt – kąt”: dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające): )BAC = )EDF , )ABC = )DEF , )ACB = )DFE

7


Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie ABC: a, b, c – długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A, B, C

C γ

2 p = a + b + c – obwód trójkąta

b

A

α , β , γ – miary kątów przy wierzchołkach A, B, C

a

α

β c

ha , hb , hc – wysokości opuszczone z wierzchołków A, B, C

B

R, r – promienie okręgów opisanego i wpisanego •

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a 2 + b 2 = c 2 . •

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas: hc2 = AD ⋅ DB

C

γ b

a

hc

.

α

A

c

ab c a = c ⋅ sin α = c ⋅ cos β 1 a = b ⋅ tgα = b ⋅ tgβ a+b−c 1 R= c r= = p−c 2 2 hc =

β D

B

Twierdzenie sinusów

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

a b c = = = 2R sin α sin β sin γ •

Twierdzenie cosinusów

• Trójkąt równoboczny

Wzory na pole trójkąta 1 1 1 PΔABC = ⋅ a ⋅ ha = ⋅ b ⋅ hb = ⋅ c ⋅ hc 2 2 2

a – długość boku h – wysokość trójkąta

PΔABC

1 = a ⋅ b ⋅ sin γ 2

PΔABC

1 sin β ⋅ sin γ = a2 = 2 R 2 ⋅ sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ 2 sin α

h=

PΔABC

abc = = rp = 4R

PΔ =

p ( p − a )( p − b )( p − c )

8

a 3 2

a2 3 4


Twierdzenie Talesa

Jeżeli proste równoległe AA′ i BB′ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie O, to OA OB . = OA′ OB′ B B

A′

A O

A′

O

B′

A

B′

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeżeli proste AA′ i BB′ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie O oraz OA OB = , to proste AA′ i BB′ są równoległe. OA′ OB′ •

Czworokąty b

D

Trapez Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole trapezu: a+b P= ⋅h 2

C

h E

A

B

a D

C

h

ϕ

α

A

b B

a D

C

Romb Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych jednakowej długości. Wzory na pole rombu: 1 P = ah = a 2 ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD 2

h A

α

a D

A

B

C B

Równoległobok Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole równoległoboku: 1 P = ah = a ⋅ b ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD ⋅ sin ϕ 2

Deltoid Czworokąt, który ma oś symetrii, zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole deltoidu: 1 P = ⋅ AC ⋅ BD 2

9


Koło Wzór na pole koła o promieniu r: P = π r2 Obwód koła o promieniu r: Ob = 2π r

r O

Wycinek koła

r O

Wzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach:

A

P = π r2 ⋅

α

α

360D Długość łuku wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym

B

w stopniach: l = 2π r ⋅ •

α

360D

Kąty w okręgu α

Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.

α α

O

Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.

B A •

Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą

B

B O

O

A

C

C

A

Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Wtedy )AOB = 2 ⋅ )CAB , przy czym wybieramy ten z kątów środkowych AOB, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB. 10


Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej

Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie C. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P, to 2 PA ⋅ PB = PC A

B

.

P

C •

Okrąg opisany na czworokącie C

γ β

B

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°:

D δ

α + γ = β + δ = 180D α

A •

Okrąg wpisany w czworokąt c

C

D r

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe:

b

d

a+c =b+d

A

a

B

11


11. STEREOMETRIA

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych k

l P

m

Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na tę płaszczyznę. Prosta m leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt P. Wówczas prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l. •

Oznaczenia P – pole powierzchni całkowitej Pp – pole powierzchni podstawy

Pb – pole powierzchni bocznej V – objętość

Prostopadłościan H

G

E

F

P = 2 ( ab + bc + ac ) V = abc gdzie a, b, c są długościami krawędzi prostopadłościanu

c C

D b A •

B

a

Graniastosłup prosty I J

H

F

G h E

A

Pb = 2 p ⋅ h V = Pp ⋅ h

D

gdzie 2 p jest obwodem podstawy graniastosłupa

C B

12


Ostrosłup S

1 V = Pp ⋅ h 3 gdzie h jest wysokością ostrosłupa

h D

E

C B

A •

Walec

Pb = 2π rh

h

r

O •

P = 2π r ( r + h )

V = π r 2h gdzie r jest promieniem podstawy, h wysokością walca

Stożek S

Pb = π rl

P = π r (r + l )

h l

O •

r

1 V = π r 2h 3 gdzie r jest promieniem podstawy, h wysokością, l długością tworzącej stożka

Kula

O

r

P = 4π r 2 4 V = π r3 3 gdzie r jest promieniem kuli

13


12. TRYGONOMETRIA

Definicje funkcji trygonometrycznych y

y r x cos α = r y tgα = , gdy x ≠ 0 x

sin α =

M=(x, y)

r α O •

M’

gdzie r = x 2 + y 2 > 0 jest promieniem wodzącym punktu M

x

Wykresy funkcji trygonometrycznych

y = sin x

y = tg x

y = cos x •

Związki między funkcjami tego samego kąta sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α tgα = cos α

α≠

dla

π 2

+ kπ

k – całkowite

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych

α

0D 0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

30D

45D

60D

90D

6 1 2

4 2 2 2 2

3 3 2 1 2

2

1

3

π

3 2 3 3

π

14

π

π

1 0 nie istnieje


Funkcje sumy i różnicy kątów

Dla dowolnych kątów α , β zachodzą równości: sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β

cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β Ponadto mamy równości: tgα + tgβ tgα − tgβ tg (α + β ) = tg (α − β ) = 1 − tgα ⋅ tgβ 1 + tgα ⋅ tgβ które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem. •

Funkcje podwojonego kąta sin 2α = 2sin α cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α

13. KOMBINATORYKA •

Wariacje z powtórzeniami

Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk. •

Wariacje bez powtórzeń

Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k ( 1 ≤ k ≤ n ) różnych wyrazów, jest równa n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) =

n! ( n − k )!

Permutacje

Liczba sposobów, na które n ≥ 1 różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa n ! . •

Kombinacje

Liczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać k ( 0 ≤ k ≤ n ) ⎛n⎞ elementów, jest równa ⎜ ⎟ . ⎝k ⎠

14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA •

Własności prawdopodobieństwa 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω P (Ω) = 1

Ω – zdarzenie pewne

P (∅) = 0

∅ – zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω )

P ( A) ≤ P ( B )

gdy A ⊂ B ⊂ Ω

P ( A′ ) = 1 − P ( A ) , gdzie A′ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) , dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω

P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) , dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω

15


Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A ⊂ Ω jest równe

P ( A) =

A Ω

gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω .

15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH •

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna n liczb a1 , a2 ,..., an jest równa: a + a + ... + an a= 1 2 n •

Średnia ważona

Średnia ważona n liczb a1 , a2 ,..., an , którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi w1 , w2 ,..., wn jest równa: w1 ⋅ a1 + w2 ⋅ a2 + ... + wn ⋅ an w1 + w2 + ... + wn •

Średnia geometryczna

Średnia geometryczna n nieujemnych liczb a1 , a2 ,..., an jest równa: n

a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an

Mediana

Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n danych liczbowych a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an jest: − dla n nieparzystych: a n +1 (środkowy wyraz ciągu) 2

− dla n parzystych: •

⎞ 1⎛ ⎜ a n + a n +1 ⎟ (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu) 2⎝ 2 2 ⎠

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancją n danych liczbowych a1 , a2 ,..., an o średniej arytmetycznej a jest liczba:

( a − a ) + ( a2 − a ) σ = 1 2

2

+ ... + ( an − a )

2

a12 + a22 + ... + an2 2 − (a ) n n Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. 2

16

=


16. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

α [ ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

sin α cos β

tgα

β [ ]

0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0,0872 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0,2756 0,2924 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0,4226 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,5150 0,5299 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0,6018 0,6157 0,6293 0,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0,6947 0,7071

0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0699 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0,2867 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0,5774 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0,7813 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0,9325 0,9657 1,0000

90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45

α [ ] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

17

sin α cos β

tgα

β [ ]

0,7193 0,7314 0,7431 0,7547 0,7660 0,7771 0,7880 0,7986 0,8090 0,8192 0,8290 0,8387 0,8480 0,8572 0,8660 0,8746 0,8829 0,8910 0,8988 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9397 0,9455 0,9511 0,9563 0,9613 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9848 0,9877 0,9903 0,9925 0,9945 0,9962 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998 1,0000

1,0355 1,0724 1,1106 1,1504 1,1918 1,2349 1,2799 1,3270 1,3764 1,4281 1,4826 1,5399 1,6003 1,6643 1,7321 1,8040 1,8807 1,9626 2,0503 2,1445 2,2460 2,3559 2,4751 2,6051 2,7475 2,9042 3,0777 3,2709 3,4874 3,7321 4,0108 4,3315 4,7046 5,1446 5,6713 6,3138 7,1154 8,1443 9,5144 11,4301 14,3007 19,0811 28,6363 57,2900 –

44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0


Tablice matematyczne