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Ángulos con lados paralelos o perpendiculares 1. Dos ángulos de lados paralelos dirigidos en el mismo sentido son iguales.

AO // A’O’ y OB // O’B’ <AOB = <A’O’B’ 2. Dos ángulos de lados paralelos dirigidos en sentido contrario son iguales.

AO // D’O’ y OB // O’C’ <AOB = <C’O’D’ B

B’

O’

D’

A’

C’

O

A Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net


3. Dos ángulos de lados paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido y los otros dos en sentido contrario son suplementarios. B

B’

O’

C’

A’

O

A

Si se prolonga la recta A’O’ hasta O’C’ Tenemos que <AOB = <C’O’B’ (ángulos con lados paralelos dirigidos en el mismo sentido)

<A’O’B’ + <C’O’B’ = 180° (ángulos adyacentes)

Reemplazando <A’O’B’ + <AOB = 180°

Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net


4. Dos ángulos agudos de lados respectivamente perpendiculares, son iguales. B A’

B’ O’ O

A

AO A’O’ y OB O’B’ <AOB = <A’O’B’ 5.

Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios. B

B’ O’

A’ O

A

AO A’O’ y OB O’B’ <AOB + <A’O’B’ = 180° Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net


4. Dos ángulos obtusos de lados respectivamente perpendiculares, son iguales. B

B’ O’ A’ O

A

AO A’O’ y OB O’B’ <AOB = <A’O’B’

Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net


Ejercicios de ejemplo B B’ 120°

C’

1) O’A’

OA, O’B’

OB

O’ A’

<A’O’B’=120° Hallar <AOB

O A Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios. Por lo tanto <B’O’C’=60°

Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net


2) A’O’ // AO; B’O’ // BO, CD B’

AO, ED BO <CDE=48° B

C E O’

48°

D

O

Hallar <A’O’B’

A’

A

<A’O’B’ = <AOBO (Dos ángulos de lados paralelos dirigidos en el mismo sentido son iguales). <CDE = <AOB = <A’O’B’ (Dos ángulos agudos de lados respectivamente perpendiculares, son iguales). Por lo tanto <A’O’B’=48°

Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net


3) AC // DE; EF //CD; <EBC= 2 <BED. Hallar < B, < C, < D Y < E. D

E

< BED = < ABE (alt. Int. Entre //) < EBC + < ABE = 180° (áng. ady. suplementarios) A C

B F

Reemplazando 2 < ABE + <ABE = 180° Despejando < ABE = 60°

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Triángulo: Porción del plano limitada por tres rectas que se cortan. C

b

Los puntos de intersección A, B y C se llaman vértices.

a

Los segmentos de rectas determinados por la intersecciones se llaman lados del triángulo y se designan por una letra minúscula correspondiente al vértice opuesto.

Los ángulos se designan por las letras de los vértices.

A

c

B

En resumen un triángulo tiene: 3 vértices, 3 lados y 3 ángulos. Perímetro: Es la suma de las dimensiones de los tres lados del triángulo, es decir, a+b+c Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net


C

Son aquellos que tienen dos lados iguales, los รกngulos opuestos a estos lados son iguales. b

a

El lado distinto se llama base AC = BC ; < A = < B A

c

B

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C

a

b

Tiene todos sus lados iguales, por lo tanto, sus ĂĄngulos tambiĂŠn son iguales.

AB = BC = CA A

c

B

<A= < B = < C

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C

b

A

a

c

B

Tiene sus tres lados diferentes y por lo tanto sus ángulos también son distintos. AB ≠ BC ≠ CA; < A ≠ < B ≠ < C

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C

b

A

a

c

Sus ĂĄngulos son agudos

< A, < B y < C menores de 90°

Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net

B


C a

b A

c

Tiene un ángulo obtuso < A mayor que 90°

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B


C

b

a

A

c

B

Tiene un ángulo recto que mide 90°

En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. AB y AC Catetos BC Hipotenusa Patricio Figueroa Carrasco - eduteca@vtr.net


Ángulos con lados paralelos o perpendiculares