Issuu on Google+

Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций многих переменных 4. Частные производные высших порядков По аналогии с производными высших порядков функции одной переменной определяются производные различных порядков функций многих переменных. Пусть, например нам дана функция двух переменных z  f ( x, y) .

Ее частные производные z z и x y

вообще говоря, являются функциями переменных x и y . Поэтому от этих частных производных можно снова находить частные производные: 2 z 2 z    f ( x , y )  f xy ( x, y ) , xx  x2  x y

Частные производные

2 z 2 z  f yx ( x, y ) ,  f yy ( x, y )  y x  y2

второго порядка

Как видно таких производных будет четыре. Эти производные называются частными производными второго порядка (или просто вторыми частными производными), причем производные 2 z  f xy ( x, y )  x y

и

2 z  f yx ( x, y )  y x

Смешанные производные

называются смешанными производными. Выражение вторых производных читаются «де два зет по де икс квадрат» или «де два зет по де игрек квадрат». Смешанные производные читаются как «де два зет по де икс де игрек» и «де два зет по де игрек де икс». Производные второго порядка можно снова дифференцировать и по x и по y . Таким образом, мы найдем частные производные третьего порядка (третьи частные производные) и т.д. Вообще, Частная производная n -го порядка Частная производная n -го порядка есть первая производная от производной (n  1) -го порядка.

Аналогично определяются и записываются частные производные высших порядков от функции трех и большего числа переменных. Пример 1. Пусть z  8 x 3 y 2  16 xy 2  9 x . Тогда z  16 x 3 y  32 xy y

Мы видим, что производная

z сама оказалась функцией от x и y ( x и y есть координаты точки y

1


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций многих переменных дифференцирования). Поэтому ее можно снова дифференцировать по каждой из переменных. Таким образом, 2 z  48 x 2 y  32 y ,  y x

2 z  16 x 3  32 x .  y2

Само собой понятно, что должен означать знак 2z . x 2 y x y

Именно, это есть результат пятикратного последовательного дифференцирования z , причем первое дифференцирование проводится по x , результат его дифференцируется опять по x , новый результат – по y , то, что получится, – по x и, наконец, последнее дифференцирование производится по y . Возникает вопрос, равны ли производные 2 f 2 f и . x y y x

Оказывается, что если сама функция и ее частные производные первого и второго порядков непрерывны в некоторой точке M ( x, y) , то в этой точке 2 f 2 f  x y y x

Равенство смешанных производных

т.е. результат частного дифференцирования.

дифференцирования

Пример 2. Вычислить частные производные

не

зависит

от

последовательности

3z 3z и если z  y 2 e x  x 2 y 3  1 . 2 2 x y y x

Решение. Последовательно находим 2z 2 z z 2 x 3  2 ye x  6 y 2 , ,  y e  2y  y 2 e x  2xy 3 , 2 2 x y x x 2z 2z z  2 ye x  6 xy 2 ,  2 ye x  6 y 2 .  2 ye x  3x 2 y 2 , 2 y x y x y

Как видно, для данной функции z соблюдается равенство 2 f 2 f  ,  x y y x

что и следовало ожидать. Пример 3. Вычислить частные производные второго порядка если f ( x, y)  ln( x 2  y 2 ) . Решение. Последовательно находим: f 2x  x x 2  y 2

и

f 2y2  2 . y x  y 2

2


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций многих переменных Далее:  2 f ( x 2  y 3 ) 2  2 x(2 x) 2( y 3  x 2 )   2  x2 (x 2  y 3 )2 (x  y 3 )2 2 f  2 x(3 y ) 6 xy  2  2 3 2 y x ( x  y ) (x  y 3 )2 2 f  3 y 2 (2 x) 6 xy  2  2 3 2 x y ( x  y ) (x  y 3 )2  2 f ( x 2  y 3 ) 6 y  3 y 2 (3 y 2 ) 2 y (2 x 2  y 3 )    y2 (x 2  y 3 )2 (x 2  y 3 )2

Как видно, и здесь имеет место равенство смешанных производных.

3


4 частные производные высших порядков