Issuu on Google+

Тофик М. Расулов Линейная алгебра 4. Метод Гаусса-Жордана последовательного исключения неизвестных [Карл-Фридрих Гаусс (нем.мат.), 1777-1885; Камиль Жордан (фр.мат.), 1838-1922]   

ПРИВЕДЕННЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ГАУССА-ЖОРДАНА ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИВЕДЕННЫЕ МАТРИЦЫ

Графический метод, метод подстановки и метод Крамера прекрасно работают при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными. Методом Крамера можно решать и системы третьего порядка, но, ни один из этих методов не подходит для решения больших систем. Сейчас мы рассмотрим так называемый метод последовательного исключения неизвестных, уже знакомый нам по части 2, где мы применяли его для решения систем второго порядка. Этот метод является наиболее важным методом решения систем линейных уравнений, так как прекрасно обобщается на случай больших систем и является базисом для компьютерных методов решения. Вдобавок ко всему, мы можем не требовать, чтобы система имела столько же уравнений, сколько в ней неизвестных. Как мы убедимся позже, результаты теоремы 1.1 будут верны для линейных систем любого порядка. Рассмотрим систему уравнений

 a11 x1  a12 x 2  a13 x3  b1  a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3  b2 a x  a x  a x  b 32 2 33 3 3  31 1

(1)

Как известно, над любым уравнением можно проводить определенные операции, которые не меняют множества его решения, то есть решение нового уравнения, останется тем же, и такие уравнения называются эквивалентными. Известно, например, что если обе части уравнения умножить на какое- либо отличное от нуля число, полученное новое уравнение будет эквивалентно исходному. Метод, предложенный Гауссом и Жорданом заключается в том, чтобы с помощью определенных дозволенных операций из данной системы уравнений сделать новую, более простую с тем же блоком решений. Две системы уравнений, имеющие одно и то же множество решений, мы также будем называть эквивалентными. Сформулируем теперь еще раз правила преобразования систем уравнений в эквивалентные. 1.Если в системе поменять местами уравнения, то полученная система будет эквивалентна исходной. 2.Если в системе заменить какое-либо уравнение на эквивалентное (например, умноженное на какое-либо число), а остальные оставить без изменения, то вновь полученная система будет эквивалентна исходной. 3.Если какое-либо уравнение системы заменить суммой уравнений системы, и полученное уравнение записать одним из уравнений системы, а остальные оставить без изменения, то вновь полученная система также будет эквивалентна исходной. Указанные преобразования называют элементарными преобразованиями, и совершенно очевидно, что их можно проводить как с системами уравнений, так и с матрицами. Очевидно, также, что с помощью этих преобразований, расширенную матрицу системы можно привести к виду:

a11 a12 a 21 a 22 a31 a32

a13 b1 c11 c12 a 23 b2  0 c22 a33 b3 0 0

c13 d1 c23 d 2 c33 d 3

(2)

1


Тофик М. Расулов Линейная алгебра Как видно, это расширенная матрица системы

c11 x1  c12 x2  c13 x3  d1   0  c22 x2  c23 x3  d 2  0 0 c33 x3  d 3  Такая система и такая матрица называются приведенными или треугольными. 

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИCТЕМ МЕТОДОМ ГАУССА-ЖОРДАНА

Очевидно, также, что если мы приведем систему или, что то же самое, расширенную матрицу системы, к приведенному виду, то в принципе, систему можно считать решенной, и вот почему. Из последнего уравнения мы можем найти x 3 . Подставив x 3 во второе уравнение, мы можем найти x 2 . Наконец подставив x 2 и x 3 в первое уравнение, мы можем определить x1 . В принципе, этот метод можно усовершенствовать таким образом, чтобы коэффициенты при неизвестных x1 , x2 , x3 стали равными 1, а остальные равными 0, и тогда система будет решена окончательно. Речь идет о том, что матрицу можно привести к виду

1 0 0 d '1 0 1 0 d '2 0 0 1 d

'

(3)

3

Тогда  d '1

x1 x2

 d '2 x3  d ' 3

Рассмотрим теперь метод Гаусса-Жордана последовательного исключения неизвестных на конкретных примерах. Пример 1. Решить методом Гаусса-Жордана систему уравнений

 8 х2  х2  4 х2

3х1  2 х1 2 х  1

 х3  5 х3  2 х3

  18  8  4

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к усеченному виду:

3 8  1  18 2 1 5 8 2 4 2 4 3 0 2

8 13  3

4

 1  18 17 20 3 2 4

2 3

R1  R2  R2

2 3

R1  R3  R3

2


Тофик М. Расулов Линейная алгебра 3 0 0 3 0 0

8 13  3 4  3

8 13  3

0

 1  18 17 20 3 8 3

8

 1  18 17 20 3 12 13

4 13

R 2  R3  R3

 3R 2  R 2 13 R3  R3 12

24 13

3 8  1  18 0 13  17  60 0 0 1 2 Выпишем соответствующую этой матрице систему уравнений, которая будет эквивалентна исходной системе:

3х1    

 8х2 13 х 2

 х3  17 х3 х3

  

 18  60 2

Теперь подставим x3  2 во второе уравнение системы: 13x2  17 (2)  60 13 x2  26 x2  2

И, наконец, подставим x 2  2 и x3  2 в первое уравнение системы: 3х1  8 (2)  1(2)  18 3х1  0 х1  0 х1  0 , x2  2 , x3  2 .

Таким образом, алгоритм таков. Выписываем расширенную матрицу системы и проводим с ней указанные справа от нее действия: a11

a12

a13

... a1n

b1

a 21

a 22

a 23 ... a nn

b2

a31

a32

a33 ... a nn

b3

an2

an3

... a n1

... a nn bnn

a 21 R1  R2  R2 a11 a  31 R1  R3  R3 a11 ... a n1  R1  Rn  Rn a11 

В результате получаем эквивалентную матрицу вида:

3


Тофик М. Расулов Линейная алгебра a11

a12

a13 ... a1n

b1

0

с 22

с 23 ... с nn

d2

0

c32

c33 ... c nn

d3

cn 2

c n 3 ... c nn d nn

... 0

a 32 R 2  R3  R3 a 22 a  42 R2  R4  R4 a 22 ... an2  R2  Rn  Rn a 22 

На втором этапе, проведя указанные операции, получаем эквивалентную матрицу вида a11

a12

a13 ... a1n

b1

0

с 22

с 23 ... с nn

d2

0

0

е33 ... еnn

g3

0

en3

g nn

... 0

... enn

Продолжив этот процесс, получим эквивалентную исходной, приведенную матрицу вида a11 a12

a13 ... a1n

b1

0

с 22

с 23 ... с nn

d2

0

0

e33 ... enn

g3

... 0

0

0

... k nn

l nn

4


4 метод гаусса