Page 9

Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной То обстоятельство, что K зависит от x , показывает, что кривизна синусоиды меняется от точки к точке. 

ПОНЯТИЕ ОБ ЭВОЛЮТЕ И ЭВОЛЬВЕНТЕ

Малую дугу кривой линии L можно приближенно заменить отрезком прямой, касающейся L в какой-нибудь из точек рассматриваемой дуги. В тех вопросах, где нас интересует длина или ее направление, такая замена допустима. Однако она, очевидно, недопустима при изучении кривизны дуги, так как кривизна любой прямой равна нулю. Если мы хотим приближенно заменить дугу, кривой L дугой более простой линии, то в вопросах, связанных с кривизной линии L , приходится вместо заменяющей прямой брать что-либо более сложное. Весьма естественно привлечь для этой цели окружность. Уточняя эти соображения, приходим к следующему определению.

Окружность кривизны Окружностью кривизны кривой L в данной ее точке M называется окружность, которая (см. рис. 11) 1) проходит через точку M ; 2) имеет в M общую касательную с L ; 3) имеет ту же кривизну K , что и кривая L в точке M ; 4) центр C которой расположен с той стороны кривой L , куда последняя обращена своей вогнутостью (в точке M ).

Рис. 11 Остановимся немного подробнее на этом определении. Говоря о кривизне кривой L , мы упомянули, что речь идет о кривизне в точке M , так как у произвольной кривой кривизна меняется от точки к точке. Поскольку кривизна окружности во всех ее точках одна и та же, то по отношению к окружности кривизны мы не говорили о том, что имеем в виду кривизну в точке M . Далее, поскольку окружность касается кривой L в точке M , то ее центр C лежат на нормали к кривой L , в точке M . Легко сообразить, каков должен быть радиус R окружности кривизны. Именно, с одной стороны, кривизна этой окружности должна равняться кривизне K линии L в точке M , а с другой 1 1 стороны, как и у всякой окружности, эта кривизна равна . Следовательно, K  и R R

R

1 K

Радиус кривизны

(7)

Эта величина называется радиусом кривизны кривой L в точке M (упоминание о точке обязательно потому, что в разных своих точках кривая имеет разные радиусы кривизны). Центр C окружности кривизны называется центром кривизны кривой L в точке M . Пример 6. Построить центр кривизны параболы

9

18 некоторые вопросы дифференциальной геометрии  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you