Page 4

Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Возьмем на этой кривой две токи M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ) , где x1  x 2 и проведем в них касательные к нашей кривой. Пусть  1 и  2 есть углы, образованные этими касательными с осью Ox . Из чертежа видно, что  1   2 . Но тогда и tg  1  tg  2 . С другой стороны, мы знаем tg  1  f ( x1 ) а tg  2  f ( x2 ) . Таким образом, получается, что f ( x1 )  f ( x 2 ) .

Поскольку мы вывели это неравенство из предположения, что x1  x 2 , ясно, что производная f (x) есть возрастающая функция. Но тогда ее производная, т.е. вторая производная f (x) должна быть положительна на рассматриваемом промежутке изменения аргумента: f ( x)  0 . Совершенно аналогично, рассматривая кривую y  f (x) , обращенную выпуклостью вверх, и беря на ней точки M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 ) с x1  x 2 (см. рис. 5), последовательно получаем, что:

1   2 tg 1  tg 2 f ( x1 )  f ( x2 ) .

Рис.5 Это приводит нас к заключению, что функция f (x) на рассматриваемом промежутке убывает, и, следовательно, к неравенству f ( x)  0 . Таким образом, нами установлена

Теорема Если кривая обращена выпуклостью вниз, то вторая производная ординаты по абсциссе y   f (x) положительна: f ( x)  0

Вогнутость

Если кривая обращена выпуклостью вверх, то вторая производная ординаты по абсциссе y   f (x) отрицательна: f ( x)  0

Выпуклость

Эта теорема обратима, т. е. знание знака второй производной позволяет ответить на вопрос о том, куда направлена выпуклость кривой. Действительно, если, например, f ( x)  0 , то первая производная f (x) возрастает вместе с x . Это означает, что при увеличении абсциссы x будет увеличиваться и угол, образованный осью Ox и касательной к кривой, проведенной в точке M ( x, y) . Иными словами, при движении по кривой слева направо будет увеличиваться крутизна наклона кривой. 4

18 некоторые вопросы дифференциальной геометрии  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you