Page 2

Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной 4 x0  5  3 ,

откуда x0  2 . В таком случае уравнение кривой дает y 0  1 . Таким образом, искомая точка есть (2,  1) . Пример 3. Под каким углом пересекаются параболы y  x 2 и y 2  x ? (Напомним, что углом между двумя линиями называется угол между их касательными, проведенными в точке пересечения самих линий.) Решение. Данные параболы пересекаются в точках A(0, 0) и B(1,1) . В точке A(0, 0) касательными к параболам y  x 2 и y 2  x являются соответственно ось Ox и ось Oy . Следовательно, в этой точке параболы пересекаются под прямым углом. Этот результат можно получить и при помощи уравнения (2), если заметить, что для первой из рассматриваемых линий будет y  2x

и потому y 0  0 . Что касается линии y  x 2 , то она распадается на две линии y  x и y   x , 1 1 каждая из которых имеет явное уравнение. Для этих линий будет y   и y  . В точке 2 x 2 x x  0 оба эти выражения обращаются в бесконечность. Это означает, что угол касательной и оси Ox есть прямой, и мы получаем тот же результат, что и выше. Для точки B(1,1) будет x  1 , и потому 1 угловые коэффициенты касательных к нашим параболам будут равны соответственно 2 и 2 (очевидно, через (1,1) проходит именно первая из кривых y  x и y   x ). По известной из аналитической геометрии формуле tg  

m2  m1 1  m1 m2

будет 1 2 3. tg   11 4 2

Нормалью называется нечто вроде перпендикуляра к кривой. Точное определение этого понятия таково:

Нормаль Нормалью к кривой К в данной ее точке М называется перпендикуляр, восставленный в точке М к касательной, проведенной к кривой К в той же точке М (см. рис. 1)

Рис. 1 2

18 некоторые вопросы дифференциальной геометрии  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you