Page 10

Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной y

1 2 x 2

в ее вершине (0, 0) . Решение. Из уравнения параболы следует y x  x , y x  1 . Значит, K 

1

1  x 

2 3/ 2

, а при x  0

оказывается K  1 . Отсюда и из (7) следует, что R  1. Далее, известно, что наша парабола в вершине касается оси Ox так, что центр кривизны C лежит на оси Oy и притом выше оси Ox , поскольку рассматриваемая парабола обращена вогнутостью вверх. Итак, окружность кривизны имеет центр C (0,1) и радиус R  1. На рис. 12 видно, как тесно прилегают друг к другу парабола и ее окружность кривизны.

Рис. 12 Если мы рассмотрим малую дугу кривой L , содержащую точку M , то приближенно сможем считать эту дугу дугой окружности кривизны (линии L в точке M ). Значит, взяв на упомянутой дуге другую точку N отличную от M , но весьма близкую к M (так как дуга предполагается малой), сможем считать, что M и N лежат на одной и той же окружности, которая касается кривой L и в M (точно) и в N (приближенно). Но тогда центр C этой окружности должен лежать сразу на двух нормалях к L , проведенных через M и N , т. е. быть точкой пересечения этих нормалей. Это соображение не только дает сравнительно простой способ приближенного нахождения центра C на чертеже, но и приводит к возможности другого определения центра кривизны. Именно, ведь ошибка, происходящая от замены дуги кривой дугой ее окружности кривизны, тем меньше, чем короче дута. Иными словами, взяв на кривой L точку M и близкую к ней точку N и найдя пересечение нормалей, проведенных к L из M и N , мы будем получать центр кривизны C (в точке M ) с тем большей точностью, чем ближе N к M . Поэтому можно дать следующее определение. Центр кривизны Центром кривизны C кривой L в данной ее точке M называется предельное положение точки пересечения нормали к L , проведенной через M , с нормалью, проведенной через бесконечно близкую точку N .

Это определение позволяет дать новое обоснование всей теории кривизны. Именно, зная, что такое центр кривизны кривой L в точке M , мы можем определить радиус кривизны R линии L в точке M формулой

R  CM , а затем ввести и понятие кривизны К положив

K

1 . R 10

18 некоторые вопросы дифференциальной геометрии