Page 1

Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной 15.Конечный и абсолютный экстремум     

КОНЕЧНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ АБСОЛЮТНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ГРАФИКИ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ОСТРЫЙ ЭКСТРЕМУМ ПРИЛОЖЕНИЕ

КОНЕЧНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Для функций, определенных на открытом интервале или на объединении открытых интервалов, критическими точками являются точки, в которых производная этих функций равна нулю или не существует. Теперь рассмотрим функции, определенные на замкнутом или полузамкнутом интервале,

[a, b], [a, b), (a, b], [a, ), (, b] или объединении таких интервалов. На концах этих интервалов функция может принимать значения, которые называются конечным максимумом и конечным минимумом. Рассмотрим, например рисунки 1, 2, 3 и 4.

Область

Конечный

максимум определения

Конечный

[a, b] минимум

Рис. 1

Конечный

Область

минимум

определения

[ a, b)

Рис.2

Конечный минимум

Область определения [a, ]

Область Конечный определения (  , b] максимум

Рис. 3

Рис.4

Конечные экстремальные значения Если точка x 0 есть крайняя точка области определения функции f (x) , то говорят, что f (x) имеет конечный максимум в x 0 , если f ( x 0 )  f ( x)

для всех x из области определения f (x) достаточно близких к x 0 . Говорят, что f (x) имеет конечный минимум в x 0 , если 1


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной f ( x 0 )  f ( x)

для всех x из области определения f (x) достаточно близких к x 0 .

Для исследования конечных точек проверяется знак производной в близлежащих точках. Например, предположим, что a левая конечная точка некоторого интервала и f (x) непрерывна справа в этой точке. Если f ( x)  0 для всех x достаточно близких к a , то f (x) убывает на интервале вида [a, a   ] и, следовательно, f (a) будет конечным максимумом (см. рис. 1). С другой стороны, если f ( x)  0 для всех x достаточно близких к a , то f (x) будет возрастать на интервале вида [a, a   ] и, следовательно, f (a) будет конечным минимумом (см. рис. 2). Аналогичные рассуждения можно провести при исследовании правых конечных точек. Имеет ли функция f (x) локальное или конечное экстремальное значение в некоторой точке зависит исключительно от поведения f (x) для значений x , близких к рассматриваемой точке. Теперь мы рассмотрим экстремальные значения, которые зависят от поведения функции во всей области ее определения. 

АБСОЛЮТНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Пусть x 0 есть некоторая точка области определения функции f (x) , причем она может быть как внутренней, так и конечной точкой. Абсолютные экстремальные значения Говорят, что f (x) имеет абсолютный максимум в точке x 0 , если f ( x 0 )  f ( x)

для всех x из области определения f (x) . Говорят, что f (x) имеет абсолютный минимум в x 0 , если f ( x 0 )  f ( x)

для всех x из области определения f (x) .

Отметим, что функция может быть непрерывной на интервале (или даже дифференцируема на нем) не принимая абсолютного максимального или минимального значения. (Например, функция, изображенная на рисунках 2 и 3 не имеет абсолютного максимума. Функция, изображенная на рисунке 4 не имеет абсолютного минимума.) Но, если f (x) принимает абсолютное экстремальное значение, то оно достигается, либо в критической точке, либо в конечной точке. Чтобы найти абсолютные экстремальные значения непрерывной функции f (x) на ограниченном замкнутом интервале [a, b] , нужно: Шаг1. Найти критические точки c1 , c 2 , ... функции f (x) на открытом интервале (a, b) . Шаг2. Вычислить f (a), f (c1 ), f (c 2 ), ... , f (b) . Шаг3. Наибольшее из чисел, найденных в шаге 2, есть абсолютный максимум f (x) , а наименьшее из них есть абсолютный минимум. Пример 1. Найти критические точки и классифицировать все экстремальные значения функции 2


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной f ( x)  1  4 x 2 

1 4 x , 2

x [1, 3] .

Решение. Так как f (x) непрерывна на ограниченном замкнутом интервале [1, 3] , она имеет абсолютный максимум и абсолютный минимум. Чтобы найти критические точки f (x) в (1, 3) вычислим производную f ( x)  8 x  2 x 3  2 x(4  x 2 )  2 x(2  x)(2  x) .

Как видно, f (x) определена для всех x  (1, 3) и f ( x)  0 при x  0 и x  2 . Таким образом 0 и 2 критические точки. Знак производной и поведение функции f (x) изображены на рисунке 5.

Рис.5 Следовательно,

f (1)  1  4(1) 2  f (0)  1

1 9 есть конечный максимум (1) 4  2 2 есть локальный минимум

1 4 (2)  9 2 1 7 f (3)  1  4(3) 2  (3) 4   2 2

f (2)  1  4(2) 2 

есть локальный максимум есть конечный минимум

Рис.6

7 есть абсолютный минимум, наибольший из 2 экстремумов f (2)  9 есть абсолютный максимум. График функции изображен на рис.6. Наименьший из этих экстремумов,

f (3)  

ПРИЛОЖЕНИЕ

Покажем применение изложенной теории для решения различных прикладных задач конкретного характера. Задача 1. Прямоугольный лист картона имеет размеры 8 дм  5 дм. Требуется вырезать по его углам такие квадратики, чтобы после загибания оставшихся кромок (рис. 7) получилась коробка наибольшей вместимости. Решение. Обозначим через x сторону вырезаемого квадрата. По смыслу задачи ясно, что 0  x  2,5 . Так как стороны остающегося прямоугольника будут 8  2x и 5  2x , то объем коробки оказывается равным

3


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Рис. 7 V  x(8  2 x) (5  2 x)  4 x 3  26 x 2  40 x .

 5 Требуется найти Vнаиб на отрезке 0,  .  2 Так как

V   12 x 2  52 x  40 ,

10 . Второй корень лежит вне интересующего нас 3 5 отрезка и отбрасывается. Так как при x  0 и x  будет V  0 , а при 0  x  2,5 будет V  0 , то Vнаиб 2 достигается при x  1 . то корни уравнения V   0 есть x1  1 и x 2 

Задача 2. Равнобедренный треугольник имеет основание 6 единиц и высоту 12 единиц. Найти максимальную площадь прямоугольника, который можно вписать в этот треугольник, так чтобы одна сторона прямоугольника лежала на основании треугольника. Каковы будут размеры этого прямоугольника? Решение. На рисунке 8 показан равнобедренный треугольник с вписанным в него прямоугольником. На рисунке 9 введена прямоугольная система координат. С указанными на этом рисунке x и y мы должны максимизировать площадь S , которая, очевидно равна

S  2 xy .

Рис.8

Рис.9

Так как точка ( x, y ) лежит на прямой, проходящей через точки (0,12) и (3, 0) , то используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки x  x1 y  y1  x 2  x1 y 2  y1

получим:

x  0 y  12 ,  30 12 откуда

4


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной y  12  4 x . Теперь искомую площадь можно выразить только через x : S ( x)  2 x(12  4 x)  24 x  8 x 2 .

Так как x и y представляют длину, а S площадь, эти переменные не могут быть отрицательны. Следовательно 0  x  3 . Теперь поставленную задачу можно сформулировать следующим образом: абсолютный максимум функции S ( x)  24 x  8 x 2

найти

x [0, 3] .

Производная этой функции S ( x)  24  16 x

определена для всех x [0, 3] . Положив S ( x)  0 , получим

24  16x  0 , откуда x 

3 . 2

Таким образом, единственная критическая точка x 

3 . Вычислив S в двух крайних точках и в 2

критической точке, получим S (0)  24  (0)  8  (0) 2  0 , 2

3 3 3 S    24     8     18 , 2 2 2 S (3)  24  (3)  8  (3) 2  0 .

3 Следовательно, максимальная возможная площадь есть S    18 кв.ед. Размеры прямоугольника 2 максимальной площади есть: основание равно 3 единицам и высота равна 6 единицам.

Этот пример показывает основные шаги для решения задач максимум-минимум: Шаг1. Начертить нужную фигуру и обозначить соответствующие величины, входящие в задачу. Шаг2. Выделить величину, которая должна быть максимизирована или минимизирована и выписать для нее формулу. Шаг3. Выразить величину, которая должна быть максимизирована или минимизирована как функцию одной переменной. Для исключения одной из переменных использовать условия задачи. Шаг4. Определить область определения функции, найденной в шаге 3. Шаг5. С помощью известного метода исследования функций найти экстремальные значения функции. Как видно, шаги 3 и 4 являются ключевыми в этой процедуре. Задача 3. Требуется сделать цилиндрический бак для жидкости, объем которого будет 22 м 3. Найти размеры бака, для изготовления которого потребует наименьшее количество материала. Решение. Пусть r – радиус бака, а h – его высота. Общая площадь (дно, крышка и боковая поверхность) цилиндра радиуса r и высоты h будет равна 5


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной S  2r 2  2rh . Это и есть величина, которую мы должны минимизировать. Так как объем V  r 2 h должен быть равен 22 м3, имеем

r 2 h  22 , откуда

22 . r 2 Таким образом, мы должны минимизировать функцию h

 22  S (r )  2r 2  2r  2  ,  r  44 , r  (0, ) . S (r )  2r 2  r

Главные шаги сделаны. Теперь дифференцируем полученную функцию:

S (r )  4r 

44 4r 3  44 4(r 3  11) .   r2 r2 r2

 11  Производная S (r ) будет равна нулю, если r  11  0 , что будет в точке r0      3

1/ 3

. Так как

отрицательна при r  r0  S (r ) будет  0 при r  r0  положительна при r  r 0 

S убывает на (0, r0 ] и возрастает на [r0 , ) . Следовательно, функцию S можно минимизировать, положив  11  r  r0     

1/ 3

.

Измерения бака, который потребует минимальное количество материала будут:

22 22 11   23  3 м. 2 2/3 r   11      Таким образом, высота цилиндрического бака должна быть в два раза больше радиуса. r 3

11

 1,5 м,

h

Задача 4. Над центром круглого стола надо повесить лампу. Найти, при какой высоте подвески на краях стола получится наибольшая освещенность. Решение. Введем обозначения, указанные на рисунке 10.

6


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Рис. 10 Из физики известно, что освещенность I в точке A выражается формулой

I k

sin  , l2

где k – некоторый постоянный коэффициент пропорциональности. Замечая, что

r cos  , l получаем, что

I

k sin  cos2  . r2

Таким образом, нам надо найти наибольшее значение этой   функции на отрезке 0,  .  2 Так как

I 

k cos3   2 sin 2  cos  , 2 r

  то внутри отрезка 0,  есть только один корень I  . Этим корнем является угол  0 , для которого  2

tg  0 

2 . 2

ГРАФИКИ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Чаще всего разрывными оказываются дробные функции, которые имеют разрывы в точках обращения знаменателя в нуль. Исследование такой функции следует начать с нахождения корней ее знаменателя. Найдя эти корни, т.е. точки разрыва исследуемой функции, их надо нанести на ось абсцисс и выяснить, как ведет себя функция при приближении x к этим точкам (справа и слева), причем результаты эти тоже наносятся на график. После этого исследование функции ведется так же, как для непрерывной функции, с тем лишь отличием, что для определения знаков производной на участках числовой оси на эту ось наносятся не только критические точки, но и точки разрыва.

x2 и построить ее график. x2 Решение. Ищем точки разрыва функции, для чего приравниваем знаменатель нулю Пример 6. Исследовать функцию y 

x20. 7


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Отсюда следует, что точка разрыва есть x  2 . Исследуем поведение функции справа и слева от x2. При x  2  0 будет x   . При x  2  0 будет x   . Нанесем эти результаты на рисунок (см. рис. 11). Прямая x  2 оказывается асимптотой данной функции.

Рис. 11 Находим критические точки. Так как y 

x 2  4x , ( x  2) 2

то полагая y   0 , получим x 2  4x 0 ( x  2) 2

x 2  4x  0 , откуда следует, что критическими являются точки x1  0 и x 2  4 . Для исследования этих точек разбиваем числовую ось на участки точками x  0 , x  2 , x  4 (т.е. включаем в число точек деления и точку разрыва x  2 ). Знаки производной на участках оси видны на рисунке 12,

Рис.12 так что результаты исследования можно изобразить следующей таблицей: x

y

0 2 4

0 8

Характеристика локальный максимум точка разрыва локальный минимум

Далее находим пределы

lim y  

x 

и

lim y  

x 

и, наконец, отмечаем, что с осями координат график исследуемой функции пересекается только в начале координат.

8


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной 

ОСТРЫЙ ЭКСТРЕМУМ

Рассмотрим теперь функцию, которая сама является непрерывной, но производная которой разрывна. Если у такой функции экстремум находится в точке разрыва производной, то этот экстремум называется острым. Напротив экстремум, находящийся в точке, где производная непрерывна, называется гладким. На рисунке 13 изображен острый максимум. Учитывая возможность и острых экстремумов, исследование функции надо производить следующим образом:

Рис.13 Шаг 1. Найти y  . Шаг 2. Найти как точки, где y   0 (в них возможен гладкий экстремум), так и точки разрыва y  (в них возможен острый экстремум). Шаг 3. Все найденные точки нанести на числовую ось и определить знак y  на участках оси. Пример 7. Исследовать функцию y  ( x  5)3 x 2 . Решение. Эта функция непрерывна. Ее производная равна y  3 x 2 

2( x  5) 3

5( x  2)

3 x

33 x

.

Полагая y   0 , находим x1  2 , а полагая 3 x  0 , находим x 2  0 . В точке x 2  0 производная y  имеет разрыв. Таким образом, исследованию подлежат точки x  0 и x  2 . Распределение знаков производной на участках (, 0) , (0, 2) и (2,  ) , изображенное на рисунке 14, показывает, что в точке x  2 имеется гладкий минимум, а в точке x  0 острый максимум.

Рис.14 Сведем эти результаты в таблицу: x

y

0 2

 3 4  4,76

0 3

Характеристика острый максимум локальный минимум

Заметим, далее, что y  0 при x  0 и при x  5 . Наконец,

lim y   ,

x 

lim y   .

x 

Таким образом, график данной функции имеет вид, изображенный на рисунке 15.

9


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Рис.15 Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x)  3x  x 2 на отрезке [2, 3] . Решение. Находим производную f ( x)  3  3x 2 .

Приравниваем ее нулю:

3  3x 2  0 . Следовательно x  1 – стационарные точки. Определим значения функции в этих точках:

f (1)  2 , f (1)  2 . Вычислим значения данной функции на границах промежутка:

f (2)  2 , f (3)  18 . Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее. Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2 , а наименьшее равно  18 .

10

15 конечный и абсолютный экстремум