Page 1

Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной 7. Непрерывность функции   

ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Попробуем представить себе непрерывную функцию. Первое, что приходит на ум – это какая-то линия на плоскости. Следовательно, если вас попросят начертить график такой функции, вы приложите ручку к бумаге и, не отрываясь от нее, проведете непрерывную линию. Вы будете абсолютно правы. Это будет график непрерывной функции. Теперь разорвите бумагу, на которой начерчен график. Очевидно, вместе с бумагой вы разорвете и график, и это будет уже график разрывной функции. Теперь попробуем разобраться в естественной постановке вопроса. Наблюдая происходящие вокруг изменения, прежде всего можно отметить, что они происходят, в основном, постепенно, непрерывно. Например, вы поставили кипятить воду, и со временем температура воды начнет повышаться, но как? Очевидно, что постепенно, без скачков, непрерывно, т.е. за малый промежуток времени температура будет изменяться мало. В этом примере с точки зрения математика, температура воды есть функция времени, и функция эта такова, что при малом изменении аргумента (времени) мало изменяется функция (температура). Но что значит мало? Вот 1 мм – это много или мало? Очевидно, что если ошибка в 1 мм сделана при изготовлении стола, то это мало. Но если эта же ошибка сделана при изготовлении шарикоподшипника диаметром в 1 см, то это много. Таким образом, является ли взятая величина малой, зависит от обстоятельств. Все эти соображения должны быть учтены при определении непрерывности функции, и, кроме того, это определение должно давать возможность производить вычисления (поскольку мы занимаемся математикой). Сначала дадим словесное, описательное определение непрерывной функции. Очевидно,

Непрерывная функция – 1 Функция называется непрерывной, если бесконечно малому изменению аргумента соответствует бесконечно малое изменение функции.

Эта формулировка хороша своей краткостью, но в ней не указано, при каком значении аргумента непрерывна функция. Переведем это определение на язык  . Пусть функция y  f (x) определена при некотором значении x 0 и в некоторой окрестности с центром в x 0 .

Непрерывная функция – 2 Функция y  f (x) называется непрерывной в точке х 0 , если для каждого положительного сколь угодно малого числа  можно подобрать такое малое положительное число    ( ) , зависящее от  , что как только х  х0   , будет

f ( x)  f ( x0 )   .

(1)

Теперь дадим определение непрерывной функции с помощью предела, важное как в теоретическом, так и прикладном плане. Предположим опять, что функция y  f (x) определена в точке x 0 , а также в некоторой ее окрестности. 1


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Непрерывная функция – 3 Функция y  f (x) называется непрерывной в точке х 0 , если

lim f ( x)  f ( x0 )

(2)

x  x0

Замечание. Напомним, что в определении «предела функции f (x) в точке x 0 » мы не требовали, чтобы f (x) была определена в самой точке x 0 . Напротив, в определении «непрерывности функции f (x) в точке x 0 » требуется чтобы f (x) была определена в точке x 0 . Таким образом, согласно этому определению, функция f (x) непрерывна в точке x 0 если: 1. f (x) была определена в точке x 0 2. lim f ( x) существует и xx0

3. lim f ( x)  f ( x0 ) . x  x0

И, наконец, дадим совершенно очевидное определение точки, в которой функция терпит разрыв.

Точка разрыва функции Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой функции

На рисунках 1 и 2 показаны графики непрерывной и разрывной функции.

Рис.1

Рис.2

Таким образом, функция теряет непрерывность только в двух случаях: 1) f (x) не имеет предела при x  x0 , или 2) f (x) имеет предел при x  x0 , но lim f ( x)  f ( x0 ) . x  x0

В случае 2 говорят, что функция f (x) имеет в точке x 0 устранимый разрыв; разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке x 0 . Если предел равен L полагают f ( x0 )  L .

Рис.3

Рис.4

2


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Функция на рисунке 3 имеет предел в точке c . Она разрывна в c потому, что ее предел в c не есть ее значение в c . Разрыв устраним – его можно устранить, опустив точку на место (т.е. положив f (c)  L ). Функция на рисунке 4 разрывна в точке c потому, что она не имеет предела в точке c . Заметим, что lim f ( x) и lim f ( x) оба существуют, но они не равны друг другу. Разрывы такого рода xc 

xc 

называются скачками. Скачки не являются устранимыми разрывами. Еще несколько примеров функций терпящих разрыв приведено на рисунке 5. В каждом из этих примеров, по крайней мере, один из односторонних пределов

lim f ( x) , xc 

lim f ( x) xc 

не существует ; f (x)   либо f (x)   при x стремящемся к c и справа и слева. Разрывы такого рода называются бесконечными разрывами. Бесконечные разрывы также не являются устранимыми.

Рис.5 Таким образом,

Функция f (x) непрерывна в точке x 0 только если f ( x0 ) , lim f ( x) и lim f ( x) все вместе x x0 

x x0

существуют и равны между собой.

Обобщим все сказанное. Очевидно, что базовая идея проверки функции на непрерывность такова: Если нужно проверить непрерывность функции f (x) в некоторой точке c , мы вычисляем (если это возможно) значения lim f ( x) , lim f ( x) и f (c) , а затем сравниваем результаты. Функция xc 

xc 

f (x) непрерывна в точке c если эти результаты равны. Замечание. Если при разрыве функции происходит скачок, то такие разрывы также называют разрывами первого рода. Все прочие точки разрыва x1 функции f (x) называются ее точками разрыва второго рода. Функция, допускающая на данном промежутке лишь точки разрыва первого рода в конечном числе, называется кусочно-непрерывной на этом промежутке. Заметим, что в точках разрыва кусочно-непрерывная функция может быть не определена.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Вспомним вычисление предела функции. Допустим, вам нужно вычислить

lim х 2 . x3

3


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Очевидно, вы сразу начнете подставлять вместо х его предельное значение х  3 , т.е. осуществлять, так называемый предельный переход. Но сделать это вы сможете именно благодаря непрерывности функции у  х 2 , ведь именно непрерывность этой функции означает, что она определена и значит, существует во всех точках, близких к 3. Таким образом, очень важна следующая Теорема 1 Непрерывность элементарных функций Каждая из элементарных функций непрерывна во всякой точке, в которой она определена.

Доказывать эту теорему мы не будем, а только вспомним графики основных элементарных функций (см.1.2), и проиллюстрируем ее на ряде примеров. Так, функции х , х 1

3х 3  5х 2  8х  11 ,

2

ех ,

sin x ,

cos x

непрерывны при всех действительных x . Функция у

1 х

непрерывна всюду, кроме точки х  0 , но в этой точке она не определена.  Точно так же функция y  tgx непрерывна всюду, кроме точек x   n ( n  0,  1,  2, ... ) в 2 которых она и не определена. Функция y  ln x непрерывна при любом x  0 .

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Докажем следующую важную теорему. Теорема 1 Непрерывность суммы функций Если функции f1 ( x) и f 2 ( x) непрерывны в точке x 0 , то сумма  ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x) также есть непрерывная функция в точке x 0 .

Доказательство. Так как f1 ( x) и f 2 ( x) непрерывны, то на основании равенства (2) можем написать

lim f1 ( x)  f1 ( x0 ) x  x0

и

lim f 2 ( x)  f 2 ( x0 ) . x  x0

Далее, на основании теоремы 4 о пределах (см.1.3) можем написать

lim  ( x)  lim  f1 ( x)  f 2 ( x)   lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)  x  x0

x  x0

x x0

x  x0

 f 1 ( x0 )  f 2 ( x0 )   ( x0 ) .

4


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Итак, сумма  ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x) есть непрерывная функция. Теорема доказана. Опираясь на свойства пределов, точно так же можно доказать следующие теоремы. 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная. 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой области не обращается в нуль. 4. Если u   (x) непрерывна при x  x0 и f (u) непрерывна в точке u 0   ( x0 ) , то сложная функция f  (x) непрерывна в точке x 0 . 5. Непрерывная на отрезке [a, b] функция достигает на этом отрезке по меньшей мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения m. Смысл этой теоремы наглядно иллюстрируется на рисунке 3.

Рис.3

Рис.4

6. Пусть функция y  f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда между точками а и b найдется, по крайней мере, одна точка х  с , в которой функция обращается в нуль: f (с)  0 ,

acb.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: график непрерывной функции, соединяющей точки M 1 a, f (a) и M 2 b, f (b) , где f (a)  0 и f (b)  0 (или f (a)  0 и f (b)  0 ), пересекает ось Ох по крайней мере в одной точке (см.рис.4).

1 Пример 1. Определить характер точки разрыва x 0  0 функции f ( x)  arctg . x Решение. Здесь мы имеем

1 lim arctg   x

x 0

и

1 lim arctg  0 x

x 0

Следовательно, x 0  0 есть точка разрыва первого рода. Пример 2. Определить непрерывность функции

x0 2 x  1  f ( x)   1 0  x 1 2 x  1 x 1 

Рис.8 5


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной Решение. Очевидно, f (x) непрерывна в каждой точке открытых интервалов (   , 0), (0,1) и (1,  ), так как на этих интервалах она многочлен. Таким образом, нам нужно проверить поведение f при x  0 и x  1 . Из рисунка 8 видно, что f непрерывна в 0 и разрывна в 1. В самом деле, при x  0 , f (0)  1

lim f ( x)  lim (2x  1)  1 ,

x 0

x 0

lim f ( x)  lim ( x 2  1)  1

x 0 

x 0 

и таким образом, f непрерывна в 0. При x  1 ,

lim f ( x)  lim 1  1 , x 1

lim f ( x)  lim ( x 2  1)  2 x 1

x 1

x 1

и таким образом, f в 1 разрывна. Собственно говоря f в 1 терпит разрыв первого рода.

x 2  4 x  2 Пример 3. Определить непрерывность функции f ( x)   3 в точке x  2 : x2  x Решение. Вычислив левый и правый предел функции, получим:

lim ( x 2  4)  2 2  4  8 ,

x 20

lim x 3  23  8

x 2 0

Но в самой точке x  2 функция не определена и, следовательно, в этой точке она терпит разрыв. Доопределив функцию и положив g (2)  8 этот разрыв можно устранить.

x 2  4  Пример 4. Определить непрерывность функции g ( x)   5  x3 

x2 x  2 в точке x  2 : x2

Решение. Вычислив левый и правый предел функции, получим:

lim ( x 2  4)  2 2  4  8 ,

x 20

lim x 3  23  8

x 2 0

Но в самой точке x  2 функция равна 5 и таким образом в этой точке она терпит разрыв. Положив g (2)  5 этот разрыв также можно устранить. Пример 5. Исследовать непрерывность функции

 x3  2 x  2  f ( x)   6  x  6 7x 5 x  2

x  1 1  x  1 1 x  4 4 x7 x7

Решение. Так как «части» f состоят из полиномов и рациональных функций, данная функция непрерывна в каждой точке открытых интервалов (   , – 1), (1,1) , (1,4), (4,7) и (1,  ). Все, что нам

6


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной нужно сделать – это проверить ее поведение при x  1 , 1, 4 и 7 . В точке x  1 функция f (x) непрерывна, т.к.:

f (1) = (1) 3 =  1 ,

lim f ( x)  lim ( x 3 )  1,

x 1

x 1

lim f ( x)  lim ( x 2  2)  1 .

x 1

x 1

Дальнейшее изучение этой функции обобщено в таблице: с -1 1 4 7

f(c)

lim f ( x)

x c 

-1 -1 5 -1 Не определена 2 37 Не существует

lim f ( x)

Заключение

-1 5 2 37

Непрерывна Разрывна Разрывна Разрывна

x c 

Заметим, что разрыв в точке x  4 устранимый; если положить f (4)  2 , то f в 4 будет непрерывна. Разрыв в точке x  1 является скачком, а разрыв в точке x  7 бесконечный: когда x  7  , f (x)   .

Примеры Исследовать функции на непрерывность в указанной точке 1. f ( x)  x3  5 x  1 ;

x2

Ответ: Непрерывна

2. g ( x)  ( x  1)2  5 ;

x 1

Ответ:

3. f ( x)  x 2  9 ;

x 3

Ответ: Непрерывна

4. f ( x)  4  x ;

x2

2

x2  4 x  2 5. f ( x)   3 x2  x 2 x  5 x  2 6. h( x)   3 x2  x x2  4 x  2  x2 7. g ( x)   5  x3 x2  x2  5  8. g ( x)   10 1  x 3 

x2 x2

 x 1  f ( x )  9.  x 1  0

x 1

x2

Ответ: Непрерывна

x2

Ответ:

x2

Ответ: Устранимый разрыв

x2

Ответ:

x 1

Ответ: Непрерывна

x2

x 1

7


Тофик М. Расулов Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1 x  10. f ( x)   1 x2  1 

x 1 x 1

x 1

Ответ:

x  1

Ответ: Непрерывна

x  1

Ответ:

x2

Ответ:

x0

Ответ: Бесконечный разрыв

x 1

 x 2  1 x  1  11. h( x)   x  1 x  1   2 1  x  1  12. g ( x)   x  1 x  1   0

 x  2 x  2 13. f ( x)   x 2  4 x2  4  2 x0  x 14. f ( x)   0 x0  1 x0  x 2

8

07 непрерывность функции  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you