Systematische Natuurkunde 5 vwo - hoofdstuk 8

SYSTEMATISCHE NATUURKUNDE

5 VWO

Systematische Natuurkunde

Beste leerling,

Je gaat aan de slag met Systematische Natuurkunde. In de leerboeken van Systematische Natuurkunde vind je alles wat je nodig hebt voor je eindexamen en leer je het belang van natuurkunde voor de maatschappij begrijpen.

We wensen je veel succes en plezier met het vak natuurkunde!

Team Systematische Natuurkunde

COLOFON

Redactie

Lineke Pijnappels

Technische illustraties

Edwin Verbaal

Vormgeving

Studio Michelangela

Opmaak

Crius Group

Over ThiemeMeulenhoff

ThiemeMeulenhoff is een educatieve uitgeverij die zich inzet voor het voortgezet onderwijs en beroepsonderwijs. De mensen van ThiemeMeulenhoff zijn er voor onderwijsprofessionals – met ervaring, expertise en doeltreffende leermiddelen. Ontwikkeld in doorlopende samenwerking met de mensen in het onderwijs om samen het onderwijs nog beter te maken.

We ontwikkelen lesmethodes die goed te combineren zijn met andere leermiddelen, naar eigen inzicht aan te passen en bewezen effectief zijn. En natuurlijk worden al onze lesmethodes zo duurzaam mogelijk geproduceerd.

Zo bouwen we samen met de mensen in het onderwijs aan een mooie toekomst voor de volgende generatie.

Samen leren vernieuwen.

www.thiememeulenhoff.nl

ISBN 978 90 06 99465 0

Editie 11, druk 1, oplage 1, 2026 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2026

Alle rechten voorbehouden. Tekst- en datamining, AI-training en vergelijkbare technologieën niet toegestaan. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd. ClimatePartner

Systematische Natuurkunde

Auteurs

Matthijs Alderliesten

Iulia Boamfa-Ivan

Maxime Jonker

Arjan Keurentjes

René de Jong

Hein Vink

Eindredactie

Harrie Ottink

Eindredactie digitaal

Evert-Jan Nijhof

7.1

7.4

WERKEN MET SYSTEMATISCHE NATUURKUNDE

Je gaat aan de slag met Systematische Natuurkunde. Bij deze methode werk je met je boek en in de online omgeving, daarnaast gebruik je je informatieboek.

Combineer boek en online

Je boek is de basis van Systematische Natuurkunde. Je vindt hier alles wat je nodig hebt om in leerjaar 5 goed voorbereid je examen te kunnen maken. De theorie staat ook in de online leeromgeving, net als de extra opgaven en een zelftoets.

3 Krachten

heT hOOFdSTuk STarTeN

■ Je start met een introductie op het hoofdstuk. Wat ga je leren en waarom is dat relevant?

■ Met de online startvragen fris je op wat je al weet en maak je verder kennis met het hoofdstukonderwerp.

LeerdOeLeN eN TheOrie VerWerkeN

■ Elke paragraaf begint met leerdoelen, zodat je weet wat je gaat leren.

■ Belangrijke begrippen uit de theorie herken je aan de blauwe kleur.

■ De formules die je moet kennen en kunnen gebruiken herken je aan de blauwe achtergrond.

■ Uitgewerkte voorbeelden laten zien hoe je vragen op een systematische manier kunt aanpakken.

■ In de paragrafen kom je interactieve extra’s tegen, de applets. Scan de QR-code en oefen op een andere manier met de lesstof.

in je boek vind je

■ Theorie

■ Opgaven

■ Checklist begrippen en leerdoelen

■ Samenvatting

■ Eindopgaven

Online vind je

■ Startvragen

■ Theorie

■ Verder werken (extra opgaven)

■ Zelftoets

Ga

CHECKLIST

3.5 AFSLUITING

Je bent aan het einde gekomen van dit hoofdstuk. Neem de samenvatting goed door en controleer jezelf met de online zelftoets. Maak de eindopgaven als voorbereiding op een toets of examen. Samenvatting In dit hoofdstuk heb je kennisgemaakt met verschillende krachten. Een kracht heeft een grootte, een richting, een aangrijpingspunt en een werklijn. Verschuif je een kracht bij een rechtlijnige beweging langs de werklijn, dan verandert het gevolg van de kracht niet. Als twee of meer krachten werken op hetzelfde voorwerp, kun je alle krachten samenstellen tot één resulterende kracht. De resulterende kracht heeft hetzelfde gevolg als de afzonderlijke krachten samen. Maken de werklijnen van twee krachten een hoek met elkaar, dan gebruik je de parallellogrammethode om de resulterende kracht te construeren. In een tekening op schaal bepaal je de grootte van een kracht met behulp van metingen en de krachtenschaal. Een kracht ontbind je in twee krachten met de omgekeerde parallellogrammethode. Je moet dan de werklijnen van die twee krachten weten. Als een voorwerp op het punt staat te gaan bewegen of als het beweegt staan die werklijnen loodrecht op elkaar: één in een mogelijke bewegingsrichting en de andere loodrecht erop. Bij ontbinden van de zwaartekracht op een helling is een van de werklijnen evenwijdig aan de

groot zijn en in tegengestelde richting werken. In een situatie van drie krachten kan de resulterende kracht ook 0 N zijn. Dan is de resulterende kracht van twee krachten

OPGaVeN MakeN

■ De opgaven staan in je boek.

■ Met de checklist begrippen en leerdoelen breng je voor jezelf in kaart in hoeverre je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en welke opgaven je nog eens gaat bestuderen.

■ In de Checklist zie je ook aan welk beheersingsniveau van TiMSS de opgaven gekoppeld zijn: weten, toepassen of redeneren. Meer uitleg hierover vind je op de volgende pagina.

■ Onder de Checklist zie je of je online kunt verder werken. Je kunt kiezen tussen Oefenen met extra opgaven die aansluiten bij de stof en uitdaging met theorie en opgaven die net iets verder gaan.

150

heT hOOFdSTuk aFSLuiTeN

■ De Afsluiting van het hoofdstuk begint met een samenvatting van de theorie. Je vindt hier ook een overzicht van alle formules. Je kunt zo alles nog eens op een rijtje zetten voor de toets.

■ Met de online zelftoets controleer je of je de leerstof beheerst.

■ De eindopgaven gaan over meerdere hoofdstukken en zijn op examenniveau. Maak ze als voorbereiding op een toets of examen.

TaXONOMie VaN TiMSS

TIMSS* is een internationale taxonomie, speciaal gericht op bètaonderwijs. De drie beheersingsniveaus (weten, toepassen, redeneren) geven aan welke denkvaardigheden je nodig hebt bij de verschillende opgaven.

■ Weten: Je kent de belangrijkste natuurkundige begrippen en formules. Je kunt uitleggen wat ze betekenen, voorbeelden geven en herkennen welke kennis je nodig hebt in een bekende situatie.

■ Toepassen: Je kunt de juiste natuurkundige begrippen en formules toepassen om praktische problemen in een bekende situatie op te lossen.

■ Redeneren: Je kunt natuurkundige kennis toepassen in een onbekende en/of complexe situatie. Je kunt analyseren, voorspellen en beredeneren waarom iets gebeurt.

*Trends in Mathematics and Science Study

VerWiJZiNGeN iN heT BOek

In het boek tref je naast QR-codes ook verwijzingen naar online onderdelen.

■ Verwijst naar de applets of online extra’s.

■ Er is op de docentensite een practicum beschikbaar. Je docent bepaalt wanneer en op welke manier je een practicum aangeboden krijgt.

■ Verwijzing naar onderdelen die in de online leeromgeving staan.

8 Arbeid en energie

In de Baron 1898 word je eerst langzaam omhoog getakeld. Bovenaan hangt het treintje even stil en dan maak je plotseling een valbeweging. De wind suist om je oren en je voelt de versnelling in je lichaam. Maar waar komt die snelheid vandaan? En hoe kom je weer tot stilstand? Deze vragen kun je na dit hoofdstuk beantwoorden met behulp van de natuurkundige begrippen arbeid en energie.

STARTVRAGEN

Wat weet je al over arbeid en energie? Met de startvragen maak je kennis met dit onderwerp en kijk je wat je al weet.

8.1 ARBEID

Een speerwerpster brengt haar arm ver naar achteren. Daarna brengt zij haar arm naar voren en laat de speer los. Voor die techniek is inspanning nodig. Haar spieren moeten hard werken, arbeid verrichten. Waarvan hangt de hoeveelheid arbeid af?

L eerd O e L e N

■ Ik kan uitleggen wanneer een kracht arbeid verricht, en of de verrichte arbeid positief of negatief is.

■ Ik kan uitleggen dat de arbeid verricht door de zwaartekracht afhangt van het hoogteverschil tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging.

■ Ik kan uitleggen dat de arbeid verricht door de wrijvingskracht afhangt van de afgelegde weg tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging.

■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formule voor arbeid.

■ Ik kan de verrichte arbeid bepalen uit een (F,s)-diagram.

Krachten verrichten arbeid

Op een auto die op een horizontale weg stilstaat werken alleen twee krachten in de verticale richting: de zwaartekracht en de normaalkracht. Deze twee krachten zijn even groot en tegengesteld gericht.

Als je de auto horizontaal wilt verplaatsen, kun je bijvoorbeeld een horizontale spierkracht op de auto uitoefenen. Zie figuur 1. Op de auto werken dan ook krachten in de tegengestelde richting, zoals de rolweerstandskracht.

Figuur 1

Als een voorwerp wordt verplaatst doordat een kracht op het voorwerp werkt, dan zeg je dat er arbeid wordt verricht. In het Nederlands betekent het woord arbeid ‘werk’, en zeg je dat machines, mensen of dieren arbeid verrichten. In de natuurkunde wordt arbeid alleen door krachten verricht. Het symbool voor arbeid is W, afkomstig van ‘work’, het Engelse woord voor arbeid.

Zonder verplaatsing verricht een kracht geen arbeid. Als het lukt om de auto horizontaal te verplaatsen door ertegenaan te duwen, dan werken er vier krachten op de auto: de spierkracht, de rolweerstandskracht, de zwaartekracht en de normaalkracht. De luchtweerstandskracht mag je bij lage snelheden verwaarlozen. De arbeid die een kracht verricht hangt af van de richting van de kracht ten opzichte van de bewegingsrichting van het voorwerp. Er zijn drie speciale situaties:

■ De auto beweegt in de richting van de spierkracht. Een kracht met dezelfde richting als de bewegingsrichting van het voorwerp verricht positieve arbeid. Dus de spierkracht verricht positieve arbeid: W > 0 J

■ De richting van de rolweerstandskracht is tegengesteld aan de richting van de spierkracht en tegengesteld aan de bewegingsrichting van het voorwerp. Een kracht met een richting tegengesteld aan de bewegingsrichting verricht negatieve arbeid. Dus de rolweerstandskracht verricht negatieve arbeid: W < 0 J

■ De zwaartekracht en de normaalkracht hebben geen invloed op de verplaatsing van de auto in de horizontale richting. Een kracht die loodrecht op de bewegingsrichting van het voorwerp werkt verricht geen arbeid. Dus de zwaartekracht en de normaalkracht verrichten in deze situatie geen arbeid: W = 0 J

Formule voor de arbeid verricht door een kracht

In figuur 2 wordt een sleetje met een meisje erop door haar vader voortgetrokken over een horizontale sneeuwvlakte. De trekkracht F die de vader op de slee uitoefent maakt een hoek α met de bewegingsrichting van de slee. Deze situatie is niet een van de drie speciale situaties die hiervoor zijn beschreven: de trekkracht werkt niet in dezelfde richting als de bewegingsrichting van de slee of in de tegengestelde richting, en hij werkt ook niet loodrecht erop.

In figuur 2 is de trekkracht F ontbonden in een component Fhor in de bewegingsrichting van de slee en een component Fvert loodrecht daarop. De kracht die ervoor zorgt dat de slee horizontaal naar rechts beweegt is de component van de trekkracht in de bewegingsrichting van de slee.

Figuur 2

Voor de component van de kracht in de bewegingsrichting van de slee geldt: cos(α) = Fhor F . Hieruit volgt Fhor = F cos(α)

De component Fhor heeft dezelfde richting als de bewegingsrichting van de slee en verricht dus positieve arbeid.

De component Fvert werkt loodrecht op de bewegingsrichting van de slee en verricht dus geen arbeid.

Voor de arbeid verricht door de trekkracht geldt dus:

W = Fhor · s = F · cos(α) · s = F · s · cos(α).

Voor de arbeid die een kracht verricht is dus niet alleen de grootte van de kracht van belang, maar ook de richting van de kracht ten opzichte van de bewegingsrichting van het voorwerp. Daarnaast is de verrichte arbeid groter als de verplaatsing groter is.

Voor de arbeid verricht door een kracht geldt:

W = F · s · cos(α)

■ W is de verrichte arbeid in N m of J

■ F is de kracht in N

■ s is de verplaatsing in m.

■ α is de hoek tussen de richting van de kracht en de bewegingsrichting van het voorwerp in °.

De eenheid van arbeid volgt uit de eenheden van kracht (N) en verplaatsing (m), want de cosinus van een hoek heeft geen eenheid. De eenheid N m (newtonmeter) is volgens Binas tabel 4 gelijk aan de eenheid J (joule).

In de drie speciale situaties kun je de formule voor de arbeid verricht door een kracht vereenvoudigen:

■ Als de richting van de kracht op een voorwerp gelijk is aan de bewegingsrichting van het voorwerp, is de hoek tussen de kracht en de bewegingsrichting gelijk aan 0° en dus cos(α) = cos(0°) = 1.

De formule wordt dan W = F · s

■ Als de richting van de kracht op een voorwerp tegengesteld is aan de bewegingsrichting van het voorwerp, is de hoek tussen de kracht en de bewegingsrichting gelijk aan 180° en dus cos(α) = cos(180°) = 1.

De formule wordt dan W = F · s.

■ Als de richting van de kracht op een voorwerp loodrecht staat op de bewegingsrichting van het voorwerp, is de hoek tussen de kracht en de bewegingsrichting gelijk aan 90° en dus cos(α) = cos(90°) = 0.

De formule wordt dan W = 0 J.

Als je de arbeid verricht door een kracht moet berekenen, dan kijk je daarbij niet alleen naar de grootte van de kracht en de grootte van de verplaatsing, maar ook naar de hoek tussen de kracht en de bewegingsrichting van het voorwerp.

Is in een opgave een hoek gegeven, dan is dit niet altijd hoek α in de formule

W = F · s · cos(α). Dat geldt bijvoorbeeld voor de hellingshoek bij een beweging van een voorwerp op een helling.

Voorbeeld 1 ARBEID VERRICHT DOOR EEN KRACHT

Marijn zit op een slee die door haar vader met een constante snelheid wordt voortgetrokken over een horizontale sneeuwvlakte. Zie figuur 3 voor een schets van de situatie. De massa van de slee en Marijn samen is 42 kg Het touw maakt een hoek α = 25° met de horizontaal. De vader trekt de slee over een afstand van 60 m met een spierkracht van 50 N.

bewegingsrichting

spier = 50 N

Figuur 3

a Bereken de arbeid die de spierkracht van de vader heeft verricht.

Op de slee werken nog drie krachten: de zwaartekracht, de normaalkracht en de schuifwrijvingskracht.

b Leg uit dat de zwaartekracht en de normaalkracht geen arbeid hebben verricht.

c Leg uit dat de grootte van de schuifwrijvingskracht 45 N is.

d Bereken de arbeid die de schuifwrijvingskracht heeft verricht.

Marijn wil met haar slee van een heuvel afglijden. De heuvel heeft een hellingshoek van 31° en een lengte van 60 m.

e Voer de volgende opdrachten uit:

– Schets een helling met een dikke punt voor de slee met Marijn en een pijl voor de zwaartekracht. Geef ook de bewegingsrichting van de slee aan.

– Bereken de arbeid verricht door de zwaartekracht.

uitwerking

a De arbeid Wspier verricht door de spierkracht van de vader bereken je met de formule voor de arbeid.

Wspier = Fspier s cos(α)

Fspier = 50 N

s = 60 m

Invullen levert: Wspier = 50 × 60 × cos(25°) = 2, 719 ·10 3 J

Afgerond: Wspier = 2, 7 ·10 3 J

b De richting van de zwaartekracht en de richting van de normaalkracht staan loodrecht op de bewegingsrichting van de slee. De zwaartekracht en de normaalkracht verrichten dus geen arbeid.

c Dat de schuifwrijvingskracht F w,s gelijk is aan de 45 N leg je uit met de eerste wet van Newton en de krachten in de bewegingsrichting.

Omdat de slee met constante snelheid beweegt, geldt F res = 0 N.

In de bewegingsrichting werken de schuifwrijvingskracht F w,s en​de​component​ van​de​spierkracht​Fspier,hor. Deze twee krachten zijn dus tegengesteld gericht en even groot. Zie de uitwerking in figuur 4.

Dus F w,s = Fspier,hor

w,s

Figuur 4

spier,hor

Fspier = 50 N

De horizontale component van de spierkracht Fspier,hor bereken je met een goniometrische verhouding:

cos(α) = Fspier,hor Fspier

Fspier = 50 N

α = 25°

Invullen levert: cos(25°) = Fspier,hor 50

Fspier,hor = 50 × cos(25°) = 45,32 N

Dus afgerond: F w,s = Fspier,hor = 45 N.

d De arbeid W w s verricht door de schuifwrijvingskracht bereken je met een van de speciale formules voor de arbeid.

W w,s = F w,s s (negatief: richting F w,s is tegengesteld aan de bewegingsrichting)

F w s = 45 N

s = 60 m

Invullen levert: W w,s =  45 × 60 =  2, 700 ·10 3 J

Afgerond: W w,s =  2, 7 ·10 3 J.

e – In figuur 5 zie je een schets van de situatie.

bewegingsrichting

Figuur 5

– De arbeid verricht door de zwaartekracht bereken je met de formule voor de arbeid.

W z = F z · s · cos(α)

F z = m · g = 42 × 9,81 = 412 N

s = 60 m

De hoek α bepaal je met de hoek tussen de bewegingsrichting van de slee en de richting van de zwaartekracht.

De zwaartekracht is verticaal naar beneden gericht. De bewegingsrichting is evenwijdig aan de helling. Dus hoek α = 90 31 = 59°.

Invullen van Fz, s en α in de formule W z = F z · s · cos(α):

W z = 412 × 60 × cos(59°) = 1,273 ·104 J

Afgerond: W z = 1,3 ·104 J.

Arbeid verricht door de zwaartekracht

Bij vraag 1e van het voorbeeld heb je de arbeid verricht door de zwaartekracht berekend met de formule voor de arbeid: W z = F z s cos(α). Hierin is s de lengte van de helling en α de hoek tussen de richting van de zwaartekracht en de bewegingsrichting. Hoek α is dus niet gelijk aan de hellingshoek β. Zie figuur 6. In figuur 6 is de hoogte h het verschil in hoogte tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging op de helling. Voor de hoogte h geldt: h = s · cos(α), omdat cos(α) = h s . In figuur 6 geldt dus voor de arbeid verricht door de zwaartekracht: W z = F z · h

bewegingsrichting

Figuur 6

De zwaartekracht verricht arbeid in alle situaties waarin het voorwerp geen horizontale beweging maakt. Dus voor de arbeid verricht door de zwaartekracht kijk je alleen maar naar het hoogteverschil tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging. Om te bepalen of de arbeid verricht door de zwaartekracht positief of negatief is, vergelijk je hbegin met heind. Ongeacht de vorm van de baan van het voorwerp geldt voor de arbeid verricht door de zwaartekracht:

W z = F z h   of   ​W z = F z h

■ W z is de arbeid verricht door de zwaartekracht in N m of J.

■ F z is de zwaartekracht in N.

■ h is het hoogteverschil tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging in m.

■ W z = F z h gebruik je als de zwaartekracht positieve arbeid verricht, dus als het beginpunt hoger is dan het eindpunt (hbegin > heind).

■ W z = F z h gebruik je als de zwaartekracht negatieve arbeid verricht, dus als het beginpunt lager is dan het eindpunt (hbegin < heind).

Wrijvingsarbeid

Een kracht verricht arbeid als de richting van (een component van de) de kracht gelijk of tegengesteld is aan de bewegingsrichting van het voorwerp. Soms verandert de bewegingsrichting van een voorwerp tijdens een beweging, zoals bij een verticale worp. Bij een verticale worp wordt een voorwerp verticaal omhoog gegooid met een beginsnelheid. Eerst beweegt het voorwerp vertraagd omhoog en neemt de snelheid van het voorwerp af tot 0 m s 1 op het hoogste punt. Daarna beweegt het voorwerp versneld verticaal omlaag.

Figuur 7 is een schets van de beweging van een bal bij een verticale worp. De banen van de bal tijdens de bewegingen omhoog en omlaag zijn los van elkaar getekend, maar in werkelijkheid overlappen ze elkaar.

De richting van de luchtweerstandskracht is tijdens de gehele beweging tegengesteld aan de bewegingsrichting. Daardoor gebruik je in de formule voor de arbeid verricht door de luchtweerstandskracht de afgelegde weg tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging, en niet de verplaatsing van het voorwerp. In figuur 7 is de afgelegde weg van A via B naar C gelijk aan 1, 5 + 3, 3 = 4, 8 m

Voor een kracht F waarvan de richting steeds tegengesteld is aan de bewegingsrichting geldt:

■ De formule voor de arbeid is W = F · s

Figuur 7

■ De grootte van s is de afgelegde weg tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging.

De luchtweerstandskracht verricht altijd negatieve arbeid. Dit geldt ook voor de rolweerstandskracht en de schuifwrijvingskracht. In opgaven worden deze drie tegenwerkende krachten vaak korter aangegeven als ‘de weerstandskracht(en)’ of ‘de wrijvingskracht(en)’.

De arbeid verricht door (een van) deze drie krachten wordt wrijvingsarbeid genoemd. De wrijvingsarbeid is altijd negatief.

Voor de wrijvingsarbeid geldt:

W w = F w s

■ W w is de wrijvingsarbeid in N m of J.

■ F w is de wrijvingskracht in N.

■ s is de afgelegde weg tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging in m.

Voorbeeld 2 ARBEID BIJ EEN KROMME BAAN

Je schiet een voetbal met een massa van 0, 40 kg schuin omhoog vanaf het dak van een garage. Het dak van de garage bevindt zich op een hoogte van 2, 5 m boven de grond. De bal doorloopt een baan zoals in figuur 8. De gemiddelde luchtweerstandskracht op de voetbal is gelijk aan 3, 5 ·10 1 N

De baan van de bal heeft een lengte van 17 m. a Bereken de arbeid die de zwaartekracht heeft verricht.

b Bereken de arbeid die de luchtweerstandskracht heeft verricht.

Figuur 8

uitwerking

a De arbeid W z verricht door de zwaartekracht bereken je met de formule voor de arbeid verricht door de zwaartekracht.

W z = F z · h (positief: het beginpunt A is hoger dan het eindpunt B)

F z = m g = 0, 40 × 9, 81 = 3, 92 N

h = 2, 5 m (het hoogteverschil tussen punt A en punt B is de afstand AC)

Invullen levert: W z = 3, 92 × 2, 5 = 9, 800 J

Afgerond: W z = 9, 8 J

b De arbeid W w,l verricht door de luchtweerstandskracht bereken je met de formule voor de wrijvingsarbeid.

W w l = F w l · s

F w,l = 3, 5 ·10 1 N

s = 17 m (de afgelegde weg tussen het beginpunt A en het eindpunt B)

Invullen levert: W w l =  3, 5 ·10 1 × 17 =  5, 950 J

Afgerond: W w,l =  6, 0 J.

Arbeid bepalen met behulp van een (F, s)-diagram

Als de grootte van de kracht constant is, vul je in de formule voor de arbeid verricht door een kracht de waarde van de kracht in. Maar ben je bijvoorbeeld aan het fietsen, dan is de grootte van de spierkracht meestal niet constant, omdat je soms harder en soms minder hard trapt. Als je weet hoe de grootte van de spierkracht verandert tijdens de beweging, kun je een diagram maken van de kracht F uitgezet tegen de verplaatsing s

In figuur 9a staat een (F,s)-diagram voor een constante kracht die dezelfde richting heeft als de bewegingsrichting van het voorwerp. De oppervlakte onder de grafiek is gelijk aan hoogte × breedte, dus aan F s. Omdat W = F s, betekent dit dat de grootte van de arbeid W die de kracht F heeft verricht gelijk is aan de oppervlakte onder de grafiek van het (F,s)-diagram. Dit geldt ook als de kracht niet constant is, zoals in figuur 9b. Het gaat hierbij steeds om situaties waarbij de kracht dezelfde richting heeft als de bewegingsrichting.

Figuur 9

In figuur 9a kun je de grootte van de verrichte arbeid meteen berekenen. In figuur 9b teken je eerst een horizontale lijn, waarbij je F gem zodanig schat dat de oppervlakten 1 en 2 even groot zijn. Zie figuur 10.

Voor de arbeid verricht door een kracht die niet constant is geldt dan: W = F gem · s.

1 2

Figuur 10

OPGAVEN

1 Hierna staan zes situaties. Het voorwerp dat van belang is in deze opgave is vet gedrukt. Ga voor elke situatie na of er door een of door meerdere krachten arbeid wordt verricht op het voorwerp.

Noem de kracht(en) die op het voorwerp werkt (werken) en geef aan of de verrichte arbeid positief, negatief of nul is.

1 Je tilt een tas met boodschappen op.

2 Je tas met boodschappen staat op tafel.

3 Een kastanje valt uit een boom.

4 Je rijdt op een fiets met constante snelheid op een horizontale weg.

5 Een auto die op een horizontale weg rijdt versnelt van 70 km h 1 naar 90 km h 1

6 Een kind gaat van een glijbaan af.

7 Een satelliet voert een eenparige cirkelbeweging uit om de aarde.

2 Een speerwerpster brengt voor de worp haar arm zo ver mogelijk naar achteren. Daarna brengt ze haar arm zo ver mogelijk naar voren, totdat zij de speer loslaat.

Leg uit waarom dit een goede speerwerptechniek is. Gebruik daarbij de begrippen verplaatsing en arbeid.

3 Een tegelzetter moet zes dozen met tegels naar de eerste verdieping brengen. Hij kan dit in twee of drie keer doen. Neem aan dat hij dat telkens met dezelfde constante snelheid doet.

a Waarom moet de spierkracht van de tegelzetter in beide gevallen evenveel arbeid verrichten, als je alleen let op de arbeid die nodig is om de tegels te verplaatsen?

b Waarom verricht de spierkracht van de tegelzetter toch meer arbeid als hij drie keer in plaats van twee keer naar de eerste verdieping moet?

4 In een achtbaan wordt een kar met acht inzittenden in beweging gebracht met behulp van een elektromotor. De kar heeft een massa van 250 kg en de massa van een inzittende is gemiddeld 70 kg. De kar wordt over een afstand van 84 m met constante snelheid langs de helling naar boven getrokken. De hellingshoek is 60°. De totale wrijvingskracht op de kar is gelijk aan 0, 40 kN.

a Bereken de verrichte wrijvingsarbeid.

b Bereken de arbeid die de zwaartekracht op de kar met inzittenden heeft verricht.

c Voer de volgende opdrachten uit:

– Bereken de kracht die de kabel tijdens het omhoogtrekken uitoefent op de kar met inzittenden.

– Bereken de arbeid die de trekkracht van de kabel heeft verricht.

5 Een fietser rijdt een helling af zonder te trappen. Zie de schets in figuur 11. De massa van de fietser en zijn fiets samen is 80 kg. De lengte van de helling is 60 m.

Figuur 11

De arbeid die de zwaartekracht heeft verricht tijdens de beweging op de helling omlaag is gelijk aan 1,2 104 J.

a Bereken de hellingshoek.

De fietser rijdt vervolgens met constante snelheid dezelfde helling omhoog. Hiervoor moet zijn spierkracht arbeid verrichten.

b Leg uit hoe groot de arbeid verricht door de zwaartekracht is bij het omhoog rijden van de helling.

c Beredeneer of de arbeid verricht door de spierkracht in deze situatie groter dan, kleiner dan of gelijk is aan 1,2 ·104 J.

6 Een bal wordt in vier verschillende situaties weggeworpen. Zie figuur 12. Neem aan dat de luchtweerstandskracht in elke situatie even groot is.

m 2,0 m

2,0 m 2,0 m 1,5 m

a b c d

Figuur 12

a Leg uit in welke situatie de zwaartekracht de minste arbeid heeft verricht.

b Leg uit in welke situatie de luchtweerstandskracht de minste arbeid heeft verricht.

7 Marijn zit op een slee die door haar vader met een constante snelheid wordt voortgetrokken over een horizontale zanderige ijsvlakte. De massa van de slee en Marijn samen is 42 kg. De vader trekt de slee over een afstand van 60 m. Op de slee werken de zwaartekracht, de normaalkracht, de schuifwrijvingskracht en de trekkracht. Het touw maakt een hoek van 35° met de bewegingsrichting van de slee. De schuifwrijvingskracht is 80 N. Zie figuur 13 voor een schets van de situatie.

In de schets van figuur 13 is de slee met Marijn als een dikke stip getekend en zijn de zwaartekracht en de wrijvingskracht weergegeven. De werklijn van de trekkracht van de vader van Marijn is in figuur 13 weergegeven met een streeplijn.

a Leg uit of in deze situatie de normaalkracht kleiner dan, groter dan of gelijk is aan de zwaartekracht.

b Toon aan dat de grootte van de trekkracht van de vader van Marijn gelijk is aan 98 N Bij de beweging van een voorwerp met constante snelheid is de som van de arbeid verricht door alle krachten gelijk aan 0 J

c Toon met behulp van berekeningen aan dat dit ook geldt voor de slee met Marijn.

13

2,0

Figuur

8 Een blokje met een massa van 42,8 g hangt aan een veer met een veerconstante van 14 N m 1 Zie figuur 14a. Als het blokje in rust hangt, is de veer 3,0 cm uitgerekt.

Figuur 14

a Toon aan dat de veer 3,0 cm is uitgerekt als het blokje in rust aan de veer hangt. Het (F,u)-diagram van de veer is gegeven in figuur 14b. Je trekt vervolgens het blokje 6,0 cm verder naar beneden.

b Bepaal de arbeid die je trekkracht heeft verricht voor deze extra uitrekking van de veer. In figuur 15 is de trekkracht die op een elastiek wordt uitgeoefend uitgezet tegen de uitrekking van het elastiek.

6 8 4 2 0 0 1 2 3 4 u (cm) → F (N)

Figuur 15

c Bepaal de arbeid die de trekkracht verricht als het elastiek 4,0 cm wordt uitgerekt.

CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN

Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.

BeGriPPeN arbeid arbeid verricht door de zwaartekracht positieve arbeid verticale worp negatieve arbeid wrijvingsarbeid

LeerdOeLeN WeTeN TOePaSSeN redeNereN

Ik kan uitleggen wanneer een kracht arbeid verricht, en of de verrichte arbeid positief of negatief is. 1, 4a 4b, 7c 5c

Ik kan uitleggen dat de arbeid verricht door de zwaartekracht afhangt van het hoogteverschil tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging.

4b, 5ab, 7c 3ab, 6a

Ik kan uitleggen dat de arbeid verricht door de wrijvingskracht afhangt van de afgelegde weg tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging. 4a 7c 6b

Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formule voor arbeid. 5a, 7c 2, 3ab, 4c

Ik kan de verrichte arbeid bepalen uit een (F,s)-diagram. 8bc

8.2 ARBEID EN KINETISCHE ENERGIE

Een vliegtuig versnelt totdat de snelheid groot genoeg is om op te stijgen. De motorkracht verricht arbeid en de kinetische energie van het vliegtuig neemt toe. Wat is het verband tussen de verrichte arbeid en de kinetische energie?

L eerd O e L e N

■ Ik kan uitleggen of en hoe de kinetische energie van een voorwerp verandert door de totale verrichte arbeid.

■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formule voor kinetische energie.

■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formule voor de wet van arbeid en kinetische energie.

Kinetische energie

Je stapt op je fiets en begint te fietsen. Je snelheid neemt toe tot 18 km h 1. Om deze snelheid te bereiken, moet je een kracht op de pedalen uitoefenen. Je legt daarbij een bepaalde afstand af. Je spierkracht moet dus positieve arbeid verrichten om je snelheid te verhogen van 0 naar 18 km h 1. Hierdoor hebben jij en je fiets een hoeveelheid energie gekregen. Deze energievorm heet kinetische energie. Een ander woord voor kinetische energie is bewegingsenergie.

De hoeveelheid kinetische energie die een bewegend voorwerp bezit, hangt af van de massa en de snelheid van het voorwerp. Als een auto met een snelheid van 100 km h 1 ergens tegenaan botst, wordt er meer schade veroorzaakt dan bij een botsing met een snelheid van 50 km h 1. Er is ook meer schade als de massa van de auto groter is.

Voor de kinetische energie die een bewegend voorwerp bezit geldt:

Ek = 1 2 m v  2

■ Ek is de kinetische energie van het voorwerp in J

■ m is de massa van het voorwerp in kg.

■ v is de snelheid van het voorwerp in m s 1

8.2 Arbeid en kinetische energie

Arbeid en verandering van snelheid

Volgens de eerste wet van Newton is F res = 0 N als een voorwerp met constante snelheid rechtlijnig beweegt. Daaruit volgt voor de arbeid W res verricht door de resulterende kracht: W res = F res · s = 0 J

Volgens de tweede wet van Newton verandert de snelheid van een voorwerp als een resulterende kracht op het voorwerp werkt. Bij een rechtlijnige versnelde of vertraagde beweging wordt de resulterende kracht gevormd door een of meerdere krachten in de bewegingsrichting. De arbeid verricht door deze krachten is gelijk aan de arbeid verricht door de resulterende kracht. De krachten loodrecht op de bewegingsrichting verrichten geen arbeid.

Dus de arbeid W res is gelijk aan de totale verrichte arbeid ∑W. De totale verrichte arbeid bereken je door de arbeid van alle krachten bij elkaar op te tellen.

Voor de totale verrichte arbeid geldt dan: ∑W  = W res = W1 + W2 + W3 +

Voorbeeld 3 TOTALE VERRICHTE ARBEID

Malik rijdt in een auto met een constante snelheid van 100 km h 1 op een horizontale weg. Behalve de motorkracht werken op de auto de zwaartekracht, de normaalkracht en de wrijvingskrachten.

a Voer de volgende opdrachten uit:

– Toon aan dat ∑W  = 0 J

– Laat met behulp van de totale verrichte arbeid zien dat W w = Wmotor. Malik versnelt eenparig tot 120 km h 1 in 10 s. De massa van de auto is 740 kg

b Toon aan dat de resulterende kracht op de auto tijdens het versnellen gelijk is aan 4, 1 ·10 2 N.

In figuur 16 zie je een schets van het (v, t)-diagram tijdens het versnellen van de auto. c Bereken de totale verrichte arbeid ∑W  tijdens het versnellen van de auto.

120

100 0 10 v (km h 1 ) → t (s) →

Figuur 16

uitwerking

–

Dus W w = Wmotor. a

∑W = W res en W res = F res s

F res = 0 N (de snelheid is constant)

Dus ∑W = 0 J.

– De totale verrichte arbeid ∑W  bereken je met de som van de arbeid verricht door de afzonderlijke krachten.

∑W = Wmotor + W z + W n + W w

∑W = 0 J

W n = 0 J (richting F n staat loodrecht op de bewegingsrichting)

W z = 0 J (richting F z staat loodrecht op de bewegingsrichting)

Invullen levert: 0 = Wmotor + 0 + 0 + W w

b De resulterende kracht F res bereken je met de tweede wet van Newton.

F res = m a m = 740 kg

De versnelling a bereken je met de formule voor de versnelling.

a = ∆v ∆t

∆v = 120 100 = 20 km h 1 = 20 3, 6 = 5, 56 m s 1

∆t = 10 s

Invullen levert: a = 5, 56 10 = 0, 556 m s 2

Invullen van m en a in de formule F res = m · a:

F res = 740 × 0, 556 = 4, 1144 10 2 N

Afgerond: F res = 4, 1 ·10 2 N

c De arbeid ∑W  bereken je met de formule voor de arbeid verricht door de resulterende kracht.

∑W = W res = F res · s (positief: richting F res is gelijk aan de bewegingsrichting)

F res = 4, 1 ·10 2 N (zie vraag b)

De verplaatsing s bepaal je met de oppervlakte onder de grafiek in het (v, t)-diagram in figuur 16.

s = v gem · t

v gem = 110 km h 1 = 110 3, 6 = 30, 56 m s 1

t = 10 s

Invullen levert: s = 30, 56 × 10 = 305, 6 m

Invullen van F res en s in de formule ∑W = F res s:

∑W = 4, 1 ·10 2 × 305, 6 = 1, 253 ·10 5 J

Afgerond: ∑W = 1, 3 10 5 J

Wet van arbeid en kinetische energie

De kinetische energie die een bewegend voorwerp bezit, blijft gelijk als een voorwerp met constante snelheid rechtlijnig beweegt. Als de snelheid van een voorwerp verandert, verandert ook de hoeveelheid kinetische energie die het voorwerp bezit. Er zijn drie situaties mogelijk:

■ Als de snelheid constant blijft, dan geldt:

– Ek,eind = Ek,begin

– F res = 0 N

∑W = W res = 0 J. In deze situatie verricht F res geen arbeid.

■ Als de snelheid toeneemt, dan geldt:

– Ek,eind > Ek,begin

– F res > 0 N en de richting van F res is gelijk aan de bewegingsrichting.

– ∑W = W res = F res · s. In deze situatie verricht F res positieve arbeid.

■ Als de snelheid afneemt, dan geldt:

– Ek,eind < Ek,begin

– F res < 0 N en de richting van F res is tegengesteld aan de bewegingsrichting.

∑W = W res = F res · s. In deze situatie verricht F res negatieve arbeid.

8.2 Arbeid en kinetische energie

De totale verrichte arbeid is gelijk aan de verandering in de kinetische energie. Dit wordt de wet van arbeid en kinetische energie genoemd. In Binas tabel 35A4 heet deze wet de ‘wet van arbeid en energie’.

Voor de wet van arbeid en kinetische energie geldt:

∑W = ∆Ek

■ ∑W is de totale verrichte arbeid in J.

■ ∆Ek is de verandering in de kinetische energie van het voorwerp in J

∆Ek = Ek eind Ek begin = 1 2 m · v eind 2 1 2 m · v begin 2

Om een vraag op te lossen met de wet van arbeid en kinetische energie doorloop je een aantal stappen:

■ Maak een schets van de situatie. Je kunt het voorwerp weergeven met een dikke punt.

■ Geef de bewegingsrichting van het voorwerp aan.

■ Teken de richting van alle krachten op het voorwerp.

■ Noteer de wet van arbeid en kinetische energie: ∑W = ∆Ek.

■ Bepaal de krachten die arbeid verrichten: W1 + W2 + = ∆Ek. De krachten loodrecht op de bewegingsrichting verrichten geen arbeid. De arbeid van deze krachten hoef je niet te vermelden.

■ Pas vervolgens de formule voor de arbeid en de formule voor de verandering van de kinetische energie toe.

Voorbeeld 4 BEREKENEN VAN DE SNELHEID

Jilly staat met haar fiets op een 15 m hoge brug. De helling van de brug is 80 m lang. De massa van Jilly en haar fiets samen is 75 kg. Jilly hoeft niet te trappen om langs de helling omlaag te bewegen, dus haar spierkracht speelt in deze opgave geen rol. Jilly en haar fiets ondervinden een gemiddelde wrijvingskracht van 95 N tijdens de beweging langs de helling omlaag.

Bereken de snelheid van Jilly en haar fiets aan het einde van de helling. Gebruik hierbij de wet van arbeid en kinetische energie.

uitwerking

De snelheid veind van Jilly en haar fiets aan het einde van de helling bereken je met de formule voor de wet van arbeid en kinetische energie. In figuur 17 zie je een schets van alle krachten op Jilly en de fiets.

∑W = ∆Ek

W z + W w = ∆Ek (W n = 0 J)

W z bereken je met de formule voor de arbeid verricht door de zwaartekracht.

W z = F z · h (positief: het beginpunt ligt hoger dan het eindpunt)

F z = m · g = 75 × 9, 81 = 736 N h = 15 m

Invullen levert:

W z = 736 × 15 = 1, 10 ·10 4 J bewegingsrichting s h F z F n F w Figuur 17

W w bereken je met de formule voor de wrijvingsarbeid.

W w = F w s

F w = 95 N

s = 80 m

Invullen levert: W w =  95 × 80 =  7, 60 10 3 J

∆Ek bereken je met de formule voor de kinetische energie.

∆Ek = 1 2 m v eind 2 1 2 m v begin 2 m = 75 kg

vbegin = 0 m s 1 (Jilly staat stil boven op de brug.)

Invullen levert: ∆Ek = 1 2 × 75 · v eind 2 1 2 × 75 × 0 2 = 37, 5 · v eind 2

Invullen van Wz, W w en ∆Ek in de formule W z + W w = ∆Ek: 1, 10 ·10 4 7, 60 ·10 3 = 37, 5 · v eind 2 veind = √ 1, 10 ·10 4 7, 60 ·10 3 37, 5 = 9, 522 m s 1

Afgerond: veind = 9, 5 m s 1 .

In het (W, t)-diagram van figuur 18 is voor de beweging van Jilly en haar fiets de arbeid verricht door de zwaartekracht en door de wrijvingskracht weergegeven als functie van de tijd. Ook de verandering in de kinetische energie ∆Ek in kJ van Jilly samen met haar fiets staat in dit diagram. Je ziet dat de arbeid die door de zwaartekracht en de wrijvingskracht samen is verricht, steeds gelijk is aan de verandering van de kinetische energie. De beweging van Jilly en haar fiets begint vanuit stilstand, waardoor Ek,begin = 0 J. Daardoor is in figuur 18 de kinetische energie op elk tijdstip van de beweging gelijk aan de verandering in de kinetische energie.

Figuur 18

8.2 Arbeid en kinetische energie

Voorbeeld 5 BEREKENEN VAN DE AFSTAND

Malik rijdt met een constante snelheid van 100 km h 1 op een horizontale snelweg. De massa van de auto is 835 kg. Op de auto werken in de bewegingsrichting de motorkracht Fmotor en de som van de tegenwerkende krachten F w

a Leg uit dat Wmotor + W w = 0 J. Gebruik hiervoor de wet van arbeid en kinetische energie.

Malik rijdt de uitvoegstrook op, laat het gaspedaal los en trapt op de rem waardoor de auto afremt tot 80 km h 1. De gemiddelde tegenwerkende kracht F w is dan gelijk aan 2, 0 kN

b Bereken de afstand die Malik aflegt tijdens het afremmen. Gebruik hiervoor de wet van arbeid en kinetische energie.

uitwerking

a Dat Wmotor + W w = 0 J leg je uit met de wet van arbeid en kinetische energie.

In figuur 19a zie je een schets van alle krachten op de auto.

∑W = ∆Ek

Wmotor + W w = ∆Ek (W n = 0 J en W z = 0 J)

∆Ek bereken je met de formule voor de kinetische energie.

∆Ek = 1 2 m v eind 2 1 2 m v begin 2

m = 835 kg

veind = vbegin

Invullen levert: ∆Ek = 0 J

Invullen van ∆Ek in de formule Wmotor + W w = ∆Ek: Wmotor + W w = 0 J

bewegingsrichting

bewegingsrichting

Figuur 19

b De afstand s die Malik aflegt tijdens het afremmen bereken je met de wet van arbeid en kinetische energie.

In figuur 19b zie je een schets van alle krachten op de auto.

∑W = ∆Ek

W w = ∆Ek (W n = 0 J en W z = 0 J)

W w bereken je met de formule voor de wrijvingsarbeid.

W w = F w · s

F w = 2, 0 kN = 2, 0 ·10 3 N

Invullen levert: W w =  2, 0 10 3 s

∆Ek bereken je met de formule voor de kinetische energie:

∆Ek = 1 2 m v eind 2 1 2 m v begin 2 m = 835 kg

vbegin = 100 3, 6 = 27, 78 m s 1

veind = 80 3, 6 = 22, 2 m s 1

Invullen levert: ∆Ek = 1 2 × 835 × (22, 2) 2 1 2 × 835 × (27, 78) 2 =  1, 164 ·10 5 J

Invullen van W w en ∆Ek in de formule W w = ∆Ek:  2, 0 ·10 3 · s =  1, 164 ·10 5 s =  1, 164 ·10 5  2, 0 ·10 3 = 58, 20 m

Afgerond: s = 58 m

OPGAVEN

9 Je duwt een houten kist met constante snelheid voort over een vloer. Zie figuur 20. De spierkracht verricht dan positieve arbeid op de kist. Toch verandert de kinetische energie van de kist niet, want de snelheid is constant.

Leg uit waardoor de kinetische energie niet verandert, terwijl de spierkracht positieve arbeid verricht.

bewegingsrichting

Fspier

20

10 De eenheid van energie is joule (J). In plaats van joule mag je ook de eenheid newtonmeter (N m) gebruiken.

a Toon aan dat newtonmeter uitgedrukt in de grondeenheden van het SI gelijk is aan kg m 2 s 2

Voor de kinetische energie geldt de formule: Ek = 1 2 m · v 2

b Toon aan dat de eenheid van 1 2 m · v 2 gelijk is aan newtonmeter.

Tijdens een honkbalwedstrijd vangt de catcher een honkbal. De bal heeft een massa van 150 g. De bal bereikt de handschoen van de catcher met een snelheid van 50 m s 1. Tijdens het vangen beweegt de handschoen 10 cm naar achter. De bal is dan afgeremd tot stilstand. Zie figuur 21.

c Bereken met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie de gemiddelde remkracht die tijdens het vangen op de bal wordt uitgeoefend. Verwaarloos de luchtweerstandskracht.

10 cm Figuur 21

11 De Boeing 737 is een veelgebruikt passagiersvliegtuig. Om veilig te kunnen opstijgen moet het vliegtuig op de startbaan vanuit stilstand binnen een afstand van 3, 0 km een snelheid hebben bereikt van 250 km h 1. De massa van de Boeing 737 samen met de lading is 45 ton Neem aan dat het vliegtuig gelijkmatig versnelt en dat op het vliegtuig een gemiddelde wrijvingskracht van 12 kN werkt.

Bereken met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie de kracht die de motoren moeten leveren om de Boeing 737 veilig te laten opstijgen. Noteer je antwoord in kN

Figuur

8.2 Arbeid en kinetische energie

12 Mark rijdt met een snelheid van 80 km h 1 op een horizontale weg. Bij een bocht in de weg verliest hij de macht over het stuur. De auto rijdt door en komt tegen een boom tot stilstand.

Voor voorwerpen die afremmen tot stilstand geldt:

F rem = Ek,begin s rem

– F rem is de remkracht in N.

– Ek,begin is de kinetische energie voor het afremmen in J.

– s rem is de remafstand in m.

a Leid deze formule af met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie.

Als Mark geen veiligheidsgordel zou dragen, komt hij tegen de voorruit tot stilstand. Mark heeft een massa van 70 kg. De voorruit geeft 4, 0 cm mee als hij ertegenaan komt.

b Bereken de kracht F rem die onder deze omstandigheden op Mark werkt.

Met een veiligheidsgordel is de remafstand voor Mark tien keer zo groot.

c Leg uit wat er dan gebeurt met de kracht F rem op Mark.

d Leg uit dat een autogordel niet te los, maar ook niet te strak afgesteld mag zijn.

13 Frits rijdt in een auto met ​120 km h 1 een helling af. De hellingshoek bedraagt 10°. De massa van de auto en Frits samen is 980 kg. Op een afstand van 100 m ziet hij een bord met maximumsnelheid ‘80’. Hij remt af zodat zijn snelheid ​80 km h 1 is op het moment dat hij het bord ‘80’ passeert.

Bereken met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie de gemiddelde tegenwerkende kracht die daarvoor op de auto is uitgeoefend.

14 Mike wordt door een sleepkabel met constante snelheid omhoog getrokken over een skihelling van 150 m. Zie figuur 22a. De helling maakt een hoek α = 25° met de horizontaal.

De sleepkabel maakt een hoek β = 40° met de helling en de spankracht in de kabel is 450 N. Zie de schets in figuur 22b. Figuur 22b is niet op schaal getekend.

De snelheid van Mike is klein, dus de luchtweerstandskracht wordt verwaarloosd. Mike en zijn ski’s hebben samen een massa van 65 kg.

Figuur 22

Bereken met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie de schuifwrijvingskracht van de helling op de ski’s van Mike.

15 Een gondel van een kabelbaan brengt skiërs naar de top van een berg.

De gondel en de inzittende hebben samen een massa van 1, 2 ton. De kabels van de kabelbaan maken een hoek van α = 30° met de horizontaal.

Zie figuur 23. De gondel start vanuit stilstand en versnelt eenparig totdat een constante snelheid is bereikt.

Tijdens het versnellen van de gondel geldt:

– De spankracht in de kabels is 7, 5 kN

– De gemiddelde wrijvingskracht op de gondel is 1, 13 kN

– De gondel legt een afstand van 25 m af langs de kabelbaan.

bewegingsrichting

Bereken met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie de snelheid die de gondel bereikt nadat de eerste 25 m langs de kabelbaan zijn afgelegd.

16 In Shanghai verbindt een magneetzweeftrein het vliegveld met de stad.

Zie figuur 24. De massa van de trein met passagiers is 3, 69 ·10 5 kg.

Op t = 0 s vertrekt de trein op een horizontaal traject. De zweeftrein heeft een constante versnelling van 0, 89 m s 2 gedurende de eerste 60 s

a Toon aan dat na 60 s de bewegingsenergie van de trein gelijk is aan 5, 3 ·10 8 J

b Toon aan dat ∑W = 3, 3 ·10 5 · s. Hierin is s de afstand die de trein aflegt in 60 s.

c Bereken de afstand s in km die de trein aflegt in de eerste 60 s

Bij deze eenparig versnelde beweging verandert de arbeid verricht door de motorkracht.

d Leg uit dat de arbeid verricht door de motorkracht gedurende de zestigste seconde groter is dan gedurende de eerste seconde.

30°

Figuur 23

Figuur 24

8.2 Arbeid en kinetische energie

CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN

Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.

BeGriPPeN kinetische energie

totale verrichte arbeid

wet van arbeid en kinetische energie

LeerdOeLeN WeTeN TOePaSSeN redeNereN

Ik kan uitleggen of en hoe de kinetische energie van een voorwerp verandert door de totale verrichte arbeid.

Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formule voor kinetische energie.

Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formule voor de wet van arbeid en kinetische energie.

9, 12a 12c, 16bd

10b

10c, 13, 15 11, 12b, 16a

10c, 12a, 13, 15 11, 12bc, 14, 16bd

8.3 WET VAN BEHOUD VAN ENERGIE

De fosburyflop is tegenwoordig de meest populaire springtechniek bij het hoogspringen. Door hun lichaam te krommen, houden hoogspringers hun zwaartepunt zo laag mogelijk. Wat is de rol van de wet van behoud van energie tijdens de sprong?

L eerd O e L e N

■ Ik kan uitleggen dat de zwaarte-energie verandert als er arbeid wordt verricht door de zwaartekracht en de formule voor de zwaarte-energie toepassen

■ Ik kan uitleggen dat warmte ontstaat als er arbeid wordt verricht door een wrijvingskracht en de formule voor de warmte toepassen

■ Ik kan uitleggen dat de veerenergie verandert als er arbeid wordt verricht door de veerkracht en de formule voor de veerenergie toepassen.

■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formule voor de wet van behoud van energie.

Arbeid en omzetting van energie

Als je een voorwerp loslaat boven een tafel, versnelt het naar beneden onder invloed van de zwaartekracht. Aan het begin van de val is de snelheid van het voorwerp gelijk aan 0 m s 1 .

Tijdens de beweging van het voorwerp omlaag krijgt het voorwerp steeds meer snelheid en dus steeds meer kinetische energie. De kinetische energie ontstaat echter niet ‘uit het niets’: het voorwerp bezit energie dankzij de hoogte van het voorwerp ten opzichte van de tafel. Omdat hierbij de zwaartekracht een rol speelt, heet deze energievorm zwaarte­energie Tijdens een vrije val verricht de zwaartekracht positieve arbeid en dan wordt de zwaarteenergie volledig omgezet in kinetische energie.

Bij een valbeweging met luchtweerstand is de eindsnelheid van de bal kleiner dan bij een vrije val. Bij een beweging met luchtweerstand verricht de luchtweerstandskracht negatieve arbeid en ontstaat er warmte. Dat er warmte ontstaat als een wrijvingskracht arbeid verricht, merk je bijvoorbeeld als je je handen tegen elkaar wrijft. Tijdens een val met luchtweerstand wordt de zwaarte-energie omgezet in twee energievormen: kinetische energie en warmte.

Bij een parachutesprong neemt de snelheid van de parachutist toe, totdat de luchtweerstandskracht even groot is als de zwaartekracht. Vanaf dat moment beweegt de parachutist tijdens de verdere val met constante snelheid en verandert de kinetische energie niet meer. Dat betekent dat tijdens de val met constante snelheid de resterende zwaarte-energie volledig wordt omgezet in warmte.

8.3 Wet van behoud van energie

Een voorwerp bezit energie als er een kracht op het voorwerp werkt die arbeid kan verrichten. Op het moment dat die kracht arbeid verricht, vindt er een energieomzetting plaats.

■ De hoeveelheid verrichte arbeid is gelijk aan de verandering van de bijbehorende energie.

■ Verricht een kracht positieve arbeid, dan neemt de bijbehorende energie af.

■ Verricht een kracht negatieve arbeid, dan neemt de bijbehorende energie toe.

Zwaarte-energie

Als je een bal loslaat boven een tafel, dan verplaatst de bal zich over een hoogteverschil h. In figuur 25 zijn de zwaartekracht F z op de bal en het hoogteverschil h tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging aangegeven.

Bij een vrije val werkt op de bal alleen de zwaartekracht.

Dan geldt volgens de wet van arbeid en kinetische energie:

Wtot = ∆Ek

W z = Ek,eind Ek,begin (Ek,begin = 0 J want v = 0 m s 1)

F z · h = Ek eind (W z is positief: het beginpunt ligt hoger dan het eindpunt)

m · g · h = Ek,eind

Bij het berekenen van de arbeid verricht door de zwaartekracht kijk je alleen naar het hoogteverschil tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging. De vorm van de baan is niet van belang. Ook de verandering van de zwaarte-energie hangt alleen af van het hoogteverschil tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging.

De hoeveelheid zwaarte-energie die wordt omgezet, hangt af van de massa m van het voorwerp, van de gravitatieversnelling g en van het hoogteverschil h tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging. Je stelt voor het gemak in het laagste punt van de beweging de zwaarte-energie gelijk aan 0 J en de hoogte gelijk aan 0 m.

Voor de zwaarte-energie die een voorwerp bezit, geldt dan:

E z = m g h

■ E z is de zwaarte-energie in J.

■ m is de massa in kg.

■ g is de valversnelling in m s 2 .

■ h is de hoogte ten opzichte van het punt met h = 0 m, in m.

In figuur 26 stel je voor bal A de zwaarte-energie op de grond gelijk aan 0 J. De zwaarte-energie die bal A bezit ten opzichte van de grond wordt dan E z = m · g · hA.

Bij bal B is het gemakkelijker om de zwaarteenergie op het tafelblad gelijk te stellen aan 0 J

De zwaarte-energie die bal B bezit ten opzichte van de tafel wordt dan E z = m g hB

Figuur 25 A B

Figuur 26

Voorbeeld 6 REKENEN MET DE ZWAARTE-ENERGIE

In figuur 27 zie je een slinger met lengte ℓ = 1, 00 m, met daaraan een kogel met een massa van 50 g. De slinger is over een hoek α = 50° opzij getrokken. De kogel hangt dan op een afstand d recht onder het opgangpunt en op hoogte h boven het laagste punt van de beweging. Laat je de slinger los, dan beweegt hij heen en weer.

d h α ℓ

Figuur 27

a Toon met een goniometrische verhouding aan dat de kogel begint te bewegen vanaf een hoogte h = 0, 36 m ten opzichte van het laagste punt van de beweging. De zwaarte-energie in het laagste punt van de beweging is 0 J. b Bereken de zwaarte-energie die de kogel bezit in het hoogste punt van de beweging.

uitwerking

a De hoogte h bereken je met de lengte ℓ van de slinger en de afstand d. h = ℓ d

ℓ = 1, 00 m

De afstand d bereken je met een goniometrische verhouding. cos(α) = d ℓ

α = 50°

ℓ = 1, 00 m

Invullen levert: cos(50°) = d 1, 00

d = 1, 00 × cos(50°) = 0, 643 m

Invullen van ℓ en d in de formule h = ℓ d:

h = 1, 00 0, 643 = 0, 3570 m

Afgerond: h = 0, 36 m

b De zwaarte-energie E z in het hoogste punt van de beweging bereken je met de formule voor de zwaarte-energie.

E z = m · g · h

m = 50 g = 0, 050 kg

g = 9, 81 m s 2

h = 0, 36 m

Invullen levert: E z = 0, 050 × 9, 81 × 0, 36 = 0, 1766 J

Afgerond: E z = 0, 18 J

Warmte

Bij een valbeweging met luchtweerstand werken op de bal de zwaartekracht en de luchtweerstandskracht. Dan geldt volgens de wet van arbeid en kinetische energie het volgende:

∑W = ∆Ek

W z + W w = Ek eind Ek begin

F z · h F w · s = Ek,eind 0 (Ek,begin = 0 J want v = 0 m s 1)

m g h F w s = Ek,eind

m · g · h = Ek eind + F w · s

PRACTICUM

Wet van behoud van energie

8.3 Wet van behoud van energie

Tijdens de valbeweging met luchtweerstand wordt de zwaarte-energie omgezet in kinetische energie en warmte Q. De luchtweerstandskracht verricht negatieve arbeid. Warmte is de energievorm die hoort bij wrijvingsarbeid. De hoeveelheid warmte is gelijk aan het product van de wrijvingskracht en de afgelegde weg en heeft dus een positieve waarde. Voor de warmte die ontstaat als gevolg van wrijvingsarbeid geldt:

Q = F w s

■ Q is de warmte in J

■ F w is de wrijvingskracht in N.

■ s is de afgelegde weg tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging in m

Wet van behoud van energie

Jilly rijdt op een fiets een helling af, zonder te trappen. In figuur 28 zie je de helling met gegevens. De massa van Jilly en haar fiets samen is 75 kg. Bij het naar beneden rijden is de gemiddelde wrijvingskracht 95 N. Omdat Jilly niet trapt, speelt haar spierkracht in deze situatie geen rol.

bewegingsrichting

s = 80 m

h = 15 m

Figuur 28

In het (E,t)-diagram van figuur 29 zijn de zwaarte-energie en de kinetische energie van Jilly en haar fiets weergegeven als functie van de tijd. Ook de warmte Q die ontstaat tijdens de rit is weergegeven als functie van de tijd.

Tijdens de beweging langs de helling omlaag wordt op elk tijdstip de zwaarte-energie van Jilly en haar fiets omgezet in twee andere energievormen: kinetische energie en warmte.

Figuur 29

Je ziet in figuur 29 dat voor elk tijdstip de som van de zwaarte-energie Ez, de kinetische energie Ek en de warmte Q gelijk blijft. Tijdens de beweging verandert de totale hoeveelheid energie Etot dus niet. Wiskundig geef je Etot weer met ∑E . Daardoor is de zwaarte-energie E z in het begin van de beweging gelijk aan de som van de kinetische energie Ek en de warmte Q op het einde van de beweging. Energie gaat nooit verloren, maar wordt omgezet in andere energievormen. Dit noem je de wet van behoud van energie. Voor de wet van behoud van energie geldt:

Ein = ∑ Euit

■ ∑ Ein is de som van de energievormen in de beginsituatie in J

■ ∑ Euit is de som van de energievormen in de eindsituatie in J.

Om een vraag op te lossen met de wet van behoud van energie doorloop je een aantal stappen:

■ Maak een schets van de situatie. Je kunt het voorwerp weergeven met een dikke punt. Zet streepjes om de hoogtes aan te geven en geef aan waar je de hoogte op 0 m stelt.

■ Noem het beginpunt van de beweging A en het eindpunt B.

■ Noteer bij elk van deze twee punten de energievormen die van belang zijn.

■ Noteer E z = 0 J bij een punt op de hoogte h = 0 m

■ Noteer eventueel Ek = 0 J bij het punt waarop de snelheid v = 0 m s 1

■ Noteer Q = 0 J bij punt B als er geen wrijvingskrachten op het voorwerp werken of als de wrijvingskrachten verwaarloosbaar zijn.

■ Noteer de wet van behoud van energie: ∑ Ein,A = ∑ Euit,B.

■ Stel de energievergelijking op met daarin de energievormen die van belang zijn. De energievormen met E = 0 J laat je weg.

■ Pas vervolgens de formules van de energievormen toe op de energievergelijking.

In figuur 30 zijn de stappen toegepast op het voorbeeld van Jilly die op een fiets een helling afrijdt zonder te trappen.

Ez,A Ek,A = 0 J

bewegingsrichting

hA = 15 m hB = 0 m

Figuur 30

∑ Ein,A = ∑ Euit,B

z,B = 0 J Ek,B Q A B

E z,A = Ek,B + Q m g hA = 1 2m v B 2 + FW s

De wet van behoud van energie en de wet van arbeid en kinetische energie zijn twee wetten die op hetzelfde neerkomen. In beide wetten kijk je of de kinetische energie verandert. In de wet van arbeid en kinetische energie verloopt de verandering van kinetische energie via de arbeid die de krachten verrichten. In de wet van behoud van energie verloopt de verandering van de kinetische energie via de verandering van de andere energievormen.

De wet van behoud van energie is meestal gemakkelijker te gebruiken, omdat je werkt met positieve waarden voor de energievormen als je de zwaarte-energie in het laagste punt op 0 J stelt.

∑

Voorbeeld

7

WET

VAN BEHOUD VAN ENERGIE

Je laat een steentje met een massa van 20 g van een 5, 0 m hoge brug in het water vallen. Zie figuur 31.

a Bereken met behulp van de wet van behoud van energie de snelheid waarmee het steentje het wateroppervlak raakt als de luchtweerstandskracht op het steentje te verwaarlozen is.

b Bereken met behulp van de wet van behoud van energie de snelheid waarmee het steentje het wateroppervlak raakt als de gemiddelde luchtweerstandskracht op het steentje 0,040 N is.

uitwerking

Figuur 31

a De snelheid vB waarmee het steentje het wateroppervlak raakt bereken je met de wet van behoud van energie. In figuur 32a staat een schets van de situatie.

∑ Ein,A = ∑ Euit,B

E z,A = Ek,B

m · g · hA = 1 2 m · v B 2

m = 20 g = 0, 020 kg

g = 9, 81 m s 2

hA = 5, 0 m

Invullen levert: 0, 020 × 9, 81 × 5, 0 = 1 2 × 0, 020 v B 2

0, 981 = 1 2 × 0, 020 · v B 2

vB = √ 2 × 0, 981 0, 020 = 9, 905 m s 1

Afgerond: vB = 9, 9 m s 1 .

Opmerking:

In m · g · h = 1 2 m · v 2 staat in elke term de massa m. Je deelt links en rechts door m.

De vergelijking wordt dan: g hA = 1 2 v B 2

Hieruit volgt vB = √ 2 · g · hA en vB = √ 2 × 9, 81 × 5, 0 = 9, 9 m s 1 .

De massa van het steentje is in vraag a dus niet van belang.

hA = 5,0 m Ez,A Ek,A = 0 J Ez,B = 0 J Ek,B Q = 0 J A hB = 0 m B

bewegingsrichting

hA = 5,0 m Ez,A Ek,A = 0 J Ez,B = 0 J Ek,B Q A hB = 0 m B a b

Figuur 32

bewegingsrichting

b De snelheid vB waarmee het steentje het wateroppervlak raakt, bereken je met de wet van behoud van energie.

In figuur 32b staat een schets van de situatie.

Als je de invloed van de luchtweerstandskracht niet mag verwaarlozen, ontstaat warmte tijdens de val. Dat betekent dat Q niet gelijk is aan 0 J

Dan geldt volgens de wet van behoud van energie:

E z,A = Ek,B + Q

m · g · hA = 1 2 m · v B 2 + F w · s

m = 20 g = 0, 020 kg

g = 9, 81 m s 2

hA = 5, 0 m

F w = 0, 040 N

s = hA = 5, 0 m

Invullen levert:

0, 981 = 1 2 × 0, 020 v B 2 + 0, 200

vB = √ 2 × (0, 981 0, 200) 0, 020 = 8, 837 m s 1

Afgerond: vB = 8, 8 m s 1

Opmerking:

Omdat in m · g · hA = 1 2 m · v B 2 + F w · hA de massa m niet in elke term staat, kun je de massa m niet wegdelen.

De massa van het steentje is in vraag b dus wel van belang.

Ook hA kun je niet wegdelen, omdat de hoogte hA niet voorkomt in de formule voor de kinetische energie.

Veerenergie

Je trekt aan een knop waardoor een veer wordt ingedrukt. Tegen de ingedrukte veer ligt een rubberen bal. Zie figuur 33a. Zodra de knop wordt losgelaten, werkt op de bal een horizontale veerkracht waardoor de bal gaat bewegen. Zie figuur 33b. De richting van de veerkracht is gelijk aan de richting van de verplaatsing. Dus de veerkracht verricht positieve arbeid waardoor de bijbehorende energie van de veer afneemt. De energie die is opgeslagen in een ingedrukte veer noem je veerenergie. Zodra de veer zich kan ontspannen, wordt de veerenergie omgezet in andere vormen van energie, waaronder de kinetische energie van de bal. a b u F v bewegingsrichting

Figuur 33

Ook een uitgerekte veer bezit veerenergie. Tijdens het uitrekken van de veer is de richting van de veerkracht tegengesteld aan de bewegingsrichting. De arbeid die de veerkracht verricht is dus negatief en dus neemt de veerenergie toe. De veerkracht is recht evenredig met de uitrekking: F v = C u. De grafiek in een (F v ,u)-diagram is dus een rechte lijn door de oorsprong. Zie figuur 34a.

Figuur 34

De grootte van de arbeid W v verricht door de veerkracht volgt uit de oppervlakte onder de grafiek in het (F v ,u)-diagram. In figuur 34b is die oppervlakte gearceerd. Er geldt:

W v = 1 2 F v u met F v = C u

W v = 1 2 C u u = 1 2 C u2

Als de uitrekking 0 m is, is de veerenergie 0 J. Omdat W v gelijk is aan de verandering van de veerenergie, geldt voor de veerenergie van een vervormde veer:

E v = 1 2 C u2

■ E v is de veerenergie in J.

■ C is de veerconstante in N m 1 .

■ u is de uitrekking of de indrukking van de veer in m.

Voorbeeld 8 FLIPPEREN

In een flipperkast bevindt zich een helling met een hellingshoek α = 10°, waarover je een rubberen bal wegschiet met behulp van een ingedrukte veer. De veer druk je in door aan de voorkant van de flipperkast aan een knop te trekken. Zie figuur 35. De massa van de bal is 65 g

Figuur 35

René trekt aan de knop met een kracht van 2,6 N, waardoor de veer 10,0 cm wordt ingedrukt. Nadat René de knop heeft losgelaten, schiet de bal los van de veer en

gaat met een maximale snelheid van 1,8 m s 1 langs de helling omhoog. Tijdens het lanceren van de bal wordt de veerenergie omgezet in de kinetische energie van de bal en in andere energievormen, zoals warmte en zwaarte-energie van de knop en de veer.

a Toon aan dat de bal losschiet van de veer met een maximale snelheid van 1,8 m s 1 als tijdens het lanceren 82% van de veerenergie wordt omgezet in kinetische energie van de bal.

De bal beweegt vervolgens vertraagd langs de helling omhoog en komt na 42,7 cm tot stilstand.

b Bereken de gemiddelde wrijvingskracht die de bal op de helling omhoog ondervindt. Noteer je antwoord in twee significante cijfers.

uitwerking

a De maximale snelheid v max van de bal bereken je met de formule voor de kinetische energie:

Ek,max = 1 2 m v max 2

Ek,max = 0,82 · E v (82% van E v wordt omgezet in Ek van de bal)

m = 65 g = 0,065 kg

E v bereken je met de formule voor de veerenergie.

E v = 1 2 C u2

u = 10,0 cm = 0,100 m

De veerconstante C bereken je met de formule voor de veerkracht.

F v = C · u

F v = Ftrek = 2,6 N (F res = 0 N, want de bal ligt stil)

u = 10,0 cm = 0,100 m

Invullen levert: 2,6 = C · 0,100

C = 2,6 0,100 = 26,0 N m 1

Invullen van C en u in de formule E v = 1 2 C · u2:

E v = 1 2 × 26,0 × 0,1002 = 0,1300 J

Dus Ek,max = 0,82 × 0,1300 = 0,107 J

Invullen van m en E max in de formule Ek,max = 1 2 m v max 2 :

0,107 = 1 2 × 0,065 · v max 2

v max 2 = √ 2 × 0,107 0,065 = 1,814 m s 1

Afgerond: v max = 1,8 m s 1

b De gemiddelde wrijvingskracht bereken je met de formule voor warmte.

Q = F w · s

De hoeveelheid warmte Q die is ontstaan tijdens de beweging van de bal langs de helling omhoog bereken je met de wet van behoud van energie.

In figuur 36 staat een schets van de situatie.

bewegingsrichting s = 42,7 m

Ez,bal,A

Ez,bal,A = 0 J

Figuur 36

∑ Ein,A = ∑ Euit,B

Ek,A = E z,B + Q

1 2 · m · vA 2 = m · g · hB + Q

m = 65 g = 0,065 kg

vA = v max = 1,8 m s 1

g = 9,81 m s 2

De hoogte hB bereken je met een goniometrische verhouding.

sin(α) = hB s

α = 10°

s = 42,7 cm = 0,427 m

Invullen levert: sin(10°) = hB 0,427

hB = 0,427 × sin(10°) = 7,41 10 2 m

Invullen van m, vA, g en hB in de formule 1 2 · m · vA 2 = m · g · hB + Q: 1 2 × 0,065 × 1,82 = 0,065 × 9,81 × 7,41 ·10 2 + Q Q = 1 2 × 0,065 × 1,82 0,065 × 9,81 × 7,41 ·10 2 = 5,81 ·10 2 J

Invullen van Q en s in de formule Q = F w s:

5,81 ·10 2 = F w · 0,427

F w = 0,13607 N

Afgerond: F w = 0,14 N.

OPGAVEN

17 Sandra zit in een reuzenrad. Zie figuur 37. Neem aan dat het zwaartepunt van Sandra een cirkelbaan beschrijft. De straal van de cirkel is 6, 5 m. Sandra heeft een massa van 58 kg. Het rad draait met de wijzers van de klok mee.

Je bekijkt de volgende verplaatsingen:

I van H naar O

II van L naar R

III van R naar H

Figuur 37

IV van H geheel rond naar H a Voer de volgende opdrachten uit: – Bepaal bij elke verplaatsing de arbeid die de zwaartekracht verricht. – Bepaal bij elke verplaatsing de toename of de afname in zwaarte-energie van Sandra. Stel dat het rad in tegengestelde richting draait. b Leg uit dat in deze situatie de antwoorden op vraag a hetzelfde blijven.

18 In figuur 38 zie je Loes op twee manieren hoogspringen. In beide gevallen komt Loes met dezelfde snelheid aanlopen. Ook de kracht van de afzet is in beide gevallen gelijk en bij beide sprongen heeft Loes dezelfde snelheid als zij de lat passeert. Toch kan Loes met de sprong in figuur 38b hoger springen dan met de sprong in figuur 38a. Neem aan dat de warmteontwikkeling door wrijvingsarbeid in beide gevallen gelijk is. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Figuur 38

a Leg met behulp van de wet van behoud van energie uit dat het zwaartepunt van Loes bij beide sprongen even hoog is.

b Leg uit waarom Loes met de sprong in figuur 38b hoger kan springen dan met de sprong in figuur 38a.

19 Mira gooit een steentje vanaf een hoogte van 1, 5 m boven de grond verticaal omhoog met een beginsnelheid van 10 m s 1. De beweging van het steentje is een verticale worp. De luchtweerstandskracht op het steentje wordt verwaarloosd.

a Bereken in deze situatie de maximale hoogte die het steentje bereikt ten opzichte van de grond.

Mira weet zeker dat de snelheid van het steentje opnieuw 10 m s 1 is als het steentje weer terug is op 1, 5 m hoogte ten opzichte van de grond, als je de luchtweerstandskracht op het steentje verwaarloost.

b Leg uit dat Mira gelijk heeft.

Het steentje bereikt in werkelijkheid een kleinere maximale hoogte dan berekend bij vraag a. De luchtweerstandskracht mag je dus niet verwaarlozen.

c Leg met behulp van de wet van behoud van energie uit dat de maximale hoogte kleiner is als je de luchtweerstandskracht niet mag verwaarlozen.

Gooit Mira het steentje schuin omhoog, dan is de maximale hoogte van het steentje kleiner dan bij de verticale worp.

d Leg uit waarom in deze situatie het steentje een kleinere maximale hoogte bereikt dan bij de verticale worp. Neem aan dat tijdens beide bewegingen evenveel energie wordt omgezet in warmte.

20 Kim hangt aan een statief een veer met een veerconstante van 25,0 N m 1 Daarna hangt ze een blokje van 100 g aan de veer, en laat het langzaam zakken totdat het blokje niet meer beweegt. Deze positie noem je de evenwichtsstand van het blokje.

a Toon aan dat de veer in de evenwichtsstand 3,92 cm uitgerekt is.

b Laat zien dat tijdens het zakken de som van de zwaarte-energie van het blokje en de veerenergie van de veer met 0,019 J afneemt.

Door aan het blokje te trekken verdubbelt Kim de uitrekking.

c Laat zien dat tijdens het verdubbelen van de uitrekking de som van de zwaarte-energie en de veerenergie met 0,019 J toeneemt.

De evenwichtsstand is een bijzondere situatie. Een kenmerk daarvan hangt samen met de krachtwerking: de som van de krachten is 0 N. Je kunt de evenwichtsstand ook kenmerken met behulp van de energie.

d Geef dat kenmerk.

21 Een auto rijdt op een horizontale weg met een snelheid van 80 km h 1. De massa van de auto inclusief bestuurder is 1250 kg. De auto remt af tot een snelheid van 20 km h 1. Tijdens het afremmen legt de auto een afstand van 65 m af. Neem aan dat tijdens het afremmen de som van de tegenwerkende krachten constant is.

a Bereken met behulp van de wet van behoud van energie de som van de tegenwerkende krachten, F w .

b Laat met behulp van formules zien dat met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie dezelfde berekening voor F w ontstaat.

22 Je laat een stalen kogel met een massa van 35 g los op een loopingbaan. Zie figuur 39. De kogel passeert punt A, komt in punt B en maakt een looping waarbij punt C wordt gepasseerd. Punt A en punt C liggen op dezelfde hoogte h = 20 cm. Om zonder naar beneden te vallen door de looping te gaan, moet de snelheid van de kogel in punt B minstens 2,3 m s 1 zijn.

Figuur 39

a Bereken de snelheid waarmee de kogel punt C passeert als alle wrijvingskrachten op het traject BC worden verwaarloosd.

Op het traject AB ontstaat echter 46 mJ aan warmte.

b Bereken de minimale snelheid waarmee de kogel punt A moet passeren om door de looping te gaan zonder naar beneden te vallen.

23 Een metalen bol met een massa van 2,60 kg wordt losgelaten op een hoogte van 52,5 cm boven een stugge veer. Zie figuur 40a. De bol maakt een vrije val en komt terecht op de veer. Zie figuur 40b. De veer wordt daardoor maximaal 15,5 cm ingedrukt. Zie figuur 40c. In deze opgave worden de massa van de veer en de wrijvingskrachten verwaarloosd.

h = 52,5 cm

a b c

Figuur 40

u = 15,5 cm

a Toon aan dat de bol in figuur 40b op de veer terechtkomt met een snelheid van 3,2 m s 1

b Bereken de veerconstante van de veer.

24 Je schiet een waterraket weg vanaf de grond onder een bepaalde hoek met de horizon. De beginsnelheid is 18, 2 m s 1. In het hoogste punt is de horizontale snelheid van de raket 6, 1 m s 1. De luchtweerstandskracht wordt verwaarloosd. Bereken met behulp van de wet van behoud van energie de maximale hoogte die de raket bereikt.

25 Een pogo-stick is een verende stok waarop je sprongen kunt maken. Zie figuur 41. Bij het neerkomen wordt in de stok veerenergie opgeslagen, die je bij het omhooggaan weer kunt gebruiken.

Een fabrikant heeft een pogo-stick ontworpen waarmee je extreem hoog kunt springen. Hierin zit een gasveer waarvan je de veerconstante verandert door er lucht in te pompen of uit te laten. De instelling van de veerconstante hangt af van de massa van de springer. Een vader en zijn kind gebruiken dezelfde instelling van een pogostick. De massa van de vader is twee keer zo groot als de massa van het kind. a Leg uit dat de opgeslagen veerenergie bij de vader vier keer zo groot is als de opgeslagen veerenergie bij het kind.

Nick heeft een massa van 75 kg en een pogo-stick van 6,8 kg. Met deze stick wil hij over een muur van 3,5 m kijken. Nick stelt de veerconstante in op 20 kN m 1 . Tijdens het neerkomen drukt hij de verende gascilinder 50,0 cm in. In deze opgave mag je de wrijvingskrachten verwaarlozen.

b Voer de volgende opdrachten uit:

– Schat de afstand van de ogen van Nick tot de grond als de pogo-stick is ingedrukt. – Laat met behulp van de wet van behoud van energie zien of Nick met behulp van de pogo-stick over de muur kan kijken.

Bij het omhooggaan werkt zowel veerkracht als zwaartekracht op Nick. Hij bereikt zijn maximale snelheid op het moment dat zwaartekracht en veerkracht gelijk zijn aan elkaar.

c Leg uit dat de zwaartekracht en de veerkracht aan elkaar gelijk zijn als Nick de maximale snelheid bereikt.

d Bereken de maximale snelheid die Nick bereikt.

Figuur 41

CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN

Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.

BeGriPPeN zwaarte-energie warmte

wet van behoud van energie veerenergie

eerdOeLeN

Ik kan uitleggen dat de zwaarte-energie verandert als er arbeid wordt verricht door de zwaartekracht en de formule voor de zwaarte-energie toepassen

Ik kan uitleggen dat warmte ontstaat als er arbeid wordt verricht door een wrijvingskracht en de formule voor de warmte toepassen

Ik kan uitleggen dat de veerenergie verandert als er arbeid wordt verricht door de veerkracht en de formule voor de veerenergie toepassen.

Ik kan berekeningen maken en redeneren met de wet van behoud van energie.

17ab, 18a, 19ab, 20bc, 23a, 24a 19cd, 22, 23b, 25bd

19c, 21a, 23b

20bc, 25a 24b, 25bd

19ab, 18a, 23a, 24a 19cd, 21a, 22, 23b, 24b, 25bd

VERDER WERKEN 1 Je kunt online nog meer opgaven maken bij paragraaf 1, 2 en 3. Je kunt kiezen tussen Oefenen en Uitdaging.

8.4 RENDEMENT EN VERMOGEN

Bij het opladen van een elektrische auto met behulp van zonnepanelen wordt zonne-energie omgezet in elektrische energie. Tijdens het rijden wordt een deel van die energie nuttig gebruikt. Hoe bepaal je de verhouding tussen de nuttige en de toegevoerde energie?

L eerd O e L e N

■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de wet van arbeid en kinetische energie en met de wet van behoud van energie in situaties met verschillende energievormen, onder andere chemische energie, elektrische energie en/of stralingsenergie.

■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formules voor rendement en vermogen.

Arbeid, energie en rendement

PRACTICUM

Muizenvalwagen

Bij verbranding van voedingsstoffen en brandstoffen komt chemische energie Ech vrij. De hoeveelheid chemische energie die vrijkomt bij verbranding van een brandstof wordt berekend met behulp van de stookwaarde. In Binas tabel 35A4 staan de formules die je daarbij kunt gebruiken en in Binas tabel 28B vind je de stookwaarden van verschillende brandstoffen.

Er geldt: Ech = rV · V    en    Ech = r m · m

■ Ech is de chemische energie in J.

■ rV is de stookwaarde van een brandstof in J m 3

■ V is het volume van de gebruikte brandstof in m3

■ r m is de stookwaarde van een brandstof in J kg 1 .

■ m is de massa van de gebruikte brandstof in kg

Als je op een fiets stapt en begint te trappen, verricht je spierkracht positieve arbeid. De bijbehorende energievorm is de chemische energie die is opgeslagen in stoffen in je spieren. Tijdens het verrichten van arbeid door je spierkracht krijg je het warm, doordat een deel van de chemische energie wordt omgezet in warmte.

De rest van de geïnvesteerde chemische energie Ein wordt gebruikt om arbeid te verrichten.

Dit deel noem je de nuttige energie Enuttig. Zie figuur 42. Volgens de wet van behoud van energie geldt dus Ein = Enuttig + Q.

Figuur 42

In apparaten wordt energie gebruikt om arbeid te verrichten. De formule Ein = Enuttig + Q geldt niet alleen voor de energieomzettingen in het lichaam, maar ook voor alle energieomzettingen in apparaten. Het maakt daarbij niet uit of het gaat om een elektromotor in een boormachine of een verbrandingsmotor in een auto die rijdt op benzine.

Voor elk apparaat waarin energie wordt gebruikt om arbeid te verrichten, geldt voor de nuttige energie:

Enuttig = W = F · s

■ Enuttig is de nuttige energie in J.

■ W is de nuttig verrichte arbeid in J

■ F is de kracht die de nuttige arbeid verricht in N.

■ s is de verplaatsing in m.

Een apparaat zet de geïnvesteerde energie om in nuttige energie en warmte. Bij het gebruik van de wet van behoud van energie neem je deze nuttige energievormen samen met de warmte op in de energievergelijking.

Het rendement van een apparaat bereken je met de formule η = Enuttig Ein . Dezelfde formule gebruik je voor het rendement van een energieomzetting in de spieren of van de verbranding van benzine in een motor. De nuttige energie bereken je dan met Enuttig = F s. Hierin is de kracht F bijvoorbeeld de spierkracht of de motorkracht. Het rendement van de energieomzetting in spieren bijvoorbeeld is ongeveer 25%.

Voorbeeld 9 RENDEMENT VAN EEN AUTOMOTOR

Een auto rijdt op een helling met een constante snelheid van 80 km h 1. De lengte van de helling is 10 km en de hellingshoek is 5, 0°. De auto ondervindt een totale wrijvingskracht van 380 N. De massa van de auto is 950 kg.

a Toon aan dat de nuttige energie die de motor van de auto levert gelijk is aan 1, 2 10 6 J

De auto verbruikt tijdens deze rit 2, 0 L benzine.

b Bereken het rendement van de motor in de auto.

uitwerking

a De nuttige energie Enuttig,A die de motor van de auto levert bereken je met de wet van behoud van energie. In figuur 43 staat een schets van de situatie.

bewegingsrichting

∑ Ein,A = ∑ Euit,B

Ek,A + Enuttig,A = E z,B + Ek,B + Q (met Ek,A = Ek,B omdat v constant is)

Enuttig,A = E z,B + Q

Enuttig A = m · g · hB + F w · s

m = 950 kg

g = 9, 81 m s 2

F w = 380 N

s = 10 km = 10 10 3 m

De hoogte hB bereken je met een goniometrische verhouding.

sin(5, 0°) = hB 10 ·10 3

hB = 10 ·10 3 × sin(5, 0°) = 872 m

Invullen van m, g, hB, F w en s in de formule Enuttig A = m · g · hB + F w · s:

Enuttig,A = 950 × 9, 81 × 872 + 380 × 10 ·10 3 = 1, 193 ·10 7 J

Afgerond: Enuttig,A = 1, 2 10 7 J

b Het rendement η bereken je met de formule voor rendement.

η = Enuttig,A Ein,A

Enuttig,A = 1, 2 10 7 J

De geïnvesteerde energie Ein,A bereken je met de formule voor de chemische energie.

Ein A = Ech = rV · V (zie Binas tabel 35A4)

rV = 33 ·10 9 J m 3 (zie Binas tabel 28B)

V = 2, 0 L = 2, 0 dm 3 = 2, 0 10 3 m 3

Invullen levert: Ein A = 33 ·10 9 × 2, 0 ·10 3 = 66 ·10 6 J

Invullen van Enuttig,A en Ein,A in de formule η = Enuttig A Ein,A :

η = 1, 2 ·10 7 66 10 6 = 0, 1818

Afgerond: η = 0, 18.

Dus het rendement van de motor in de auto is 18%.

Arbeid, energie en vermogen

Het elektrische vermogen P van een apparaat bepaalt hoeveel elektrische energie per seconde geïnvesteerd moet worden om het apparaat goed te laten werken: Pin = Ein t

Bij spieren en motoren is de hoeveelheid nuttige energie gelijk aan de arbeid die de bijbehorende kracht heeft verricht.

De formule voor het nuttige vermogen geleverd door een kracht wordt dan:

Pnuttig = W t = Enuttig t

■ Pnuttig is het nuttige vermogen in W

■ W is de nuttig verrichte arbeid in J

■ Enuttig is de nuttige energie in J.

■ t is de tijd in s

Bij een auto geldt: hoe groter het nuttige vermogen, hoe groter de arbeid is die de motorkracht kan verrichten in een bepaalde tijd. Het nuttige vermogen dat een auto moet leveren wanneer hij met constante snelheid rijdt, hangt af van de motorkracht en de snelheid. Dit leid je af met de formules voor het nuttige vermogen geleverd door een kracht Pnuttig = W t , de formule voor de arbeid verricht door een kracht W = F · s en de formule voor de verplaatsing bij een eenparige beweging s = v · t.

Invullen van W = F · s in Pnuttig = W t levert Pnuttig = F s t .

Uit s = v t volgt s t = v

Invullen s t = v in Pnuttig = F · s t levert Pnuttig = F · v.

Voor het nuttige vermogen geleverd door een kracht bij constante snelheid geldt dus:

Pnuttig = F · v

■ Pnuttig is het nuttige vermogen in W.

■ F is de kracht in N

■ v is de snelheid in m s 1

In Binas tabel 35A4 kun je de formules voor het nuttige vermogen terugvinden als P = W t = E t en P = F · v. De index ‘nuttig’ ontbreekt dus.

Voorbeeld 10 REKENEN MET VERMOGEN

De auto in figuur 44 is de Tesla model

S Long Range, een supersnelle elektrische auto met een maximaal vermogen van 450 kW en een topsnelheid van 250 km h 1

Bereken de som van de wrijvingskrachten die op de auto werken wanneer de Tesla model S op topsnelheid rijdt.

uitwerking

De som van de wrijvingskrachten F w bij een constante topsnelheid bereken je met de eerste wet van Newton en de krachten in de bewegingsrichting. In de bewegingsrichting werken de motorkracht Fmotor en de wrijvingskrachten Fw, tegengesteld gericht.

F w = Fmotor (v is constant, dus F res = 0 N)

Fmotor bereken je met de formule voor het nuttige vermogen geleverd door een kracht bij constante snelheid.

Pmotor = Fmotor · v

Pmotor = 450 kW = 450 10 3 W

v = 250 km h 1 = 250 3, 6 = 69, 44 m s 1

Invullen levert: 450 ·10 3 = Fmotor · 69, 44

Fmotor = 450 ·10 3 69, 44 = 6, 480 ·10 3 N

Dus F w = Fmotor = 6, 480 ·10 3 N.

Afgerond: F w = 6, 48 10 3 N

Figuur 44

Elektrische energie

Wanneer je een boormachine gebruikt, wordt een deel van de elektrische energie omgezet in kinetische energie van de boor, het andere deel wordt omgezet in warmte. In de specificaties van een boormachine kun je het vermogen van de boormachine vinden. Dit vermogen is de hoeveelheid elektrische energie die per seconde nodig is om de boormachine goed te laten werken. Dit is dus het geïnvesteerde vermogen Pin

Voor het rendement van een apparaat geldt: η = Enuttig Ein = Pnuttig Pin . Als het geïnvesteerde elektrische vermogen Pin van een apparaat niet bekend is, kun je het elektrische vermogen bepalen door de spanning over en de stroomsterkte door het apparaat te meten. Je gebruikt dan de formule voor het elektrische vermogen van een apparaat: P = U · I.

Stralingsenergie

In een zonnecel wordt een deel van de stralingsenergie van de zon omgezet in elektrische energie. Het rendement van een zonnepaneel is ongeveer 20%. De hoeveelheid stralingsenergie die een zonnepaneel per seconde ontvangt hangt af van de oppervlakte van het zonnepaneel en van het vermogen van de zonnestraling. Wanneer het onbewolkt is, valt op een vierkante meter zonnepaneel per seconde veel meer stralingsenergie dan wanneer het bewolkt is.

Voorbeeld 11 ZONNEPANEEL

Boanita en Daan gebruiken gemiddeld per jaar 3, 5 ·10 3 kWh aan elektrische energie. Zij overwegen om zonnepanelen aan te schaffen. De zonnepanelen hebben een piekvermogen van 380 Wp. Het piekvermogen is het maximale vermogen dat een zonnepaneel levert bij ‘volle zon’ en bij loodrechte inval van de zonnestralen. Bij volle zon valt in Nederland 1, 0 kW stralingsvermogen op 1, 0 m 2 Het rendement van de zonnepanelen is 21%.

a Bereken de oppervlakte van één zonnepaneel.

De Consumentenbond geeft aan dat je de energieopbrengst van een zonnepaneel in kWh per jaar berekent door het piekvermogen te vermenigvuldigen met 0,90.

b Toon aan dat de energieopbrengst Epaneel,jaar van één zonnepaneel per jaar gelijk is aan 1, 2 10 9 J

Op een zonnige dag meten Boanita en Daan bij een zonnepaneel een afgegeven vermogen van 250 W bij een spanning van 39 V

c Bereken de stroomsterkte die dit zonnepaneel levert.

uitwerking

a De oppervlakte A van een zonnepaneel bereken je met het piekvermogen en het nuttige vermogen van 1, 0 m 2 van een zonnepaneel.

A = piekvermogen nuttige vermogen van 1, 0 m 2 van een zonnepaneel piekvermogen = 380 Wp

Het nuttige vermogen van 1, 0 m 2 van een zonnepaneel bereken je met de formule voor rendement.

η = nuttige vermogen van 1, 0 m 2 van een zonnepaneel stralingsvermogen van de zon

η = 21% = 0, 21

Het stralingsvermogen van de zon = 1, 0 kW = 1, 0 ·10 3 W.

Invullen levert: 0, 21 = nuttige vermogen van 1, 0 m 2 van een zonnepaneel 1, 0 ·10 3

Het nuttige vermogen van 1, 0 m 2 van een zonnepaneel = 0, 21 × 1, 0 10 3 = 210 W

Invullen van het piekvermogen en het nuttige vermogen van 1, 0 m 2 van een zonnepaneel in de formule A = piekvermogen nuttige vermogen van 1, 0 m 2 van een zonnepanneel :

A = 380 210 = 1, 8095 m 2

Afgerond: A = 1, 8 m 2

b De energieopbrengst Epaneel,jaar per jaar bereken je met de formule van de Consumentenbond en met de omrekeningsfactor van kWh naar J

Epaneel jaar = 0, 90 × 380 = 342 kWh

1 kWh = 3, 6 ·10 6 J (zie Binas tabel 5)

Omrekenen levert: Epaneel,jaar = 342 × 3, 6 10 6 = 1, 231 10 9 J

Afgerond: Epaneel jaar = 1, 2 ·10 9 J

c De stroomsterkte I bereken je met de formule voor het elektrische vermogen van een apparaat:

P = U · I

P = 250 W

U = 39 V

Invullen levert: 250 = 39 · I

I = 250 39 = 6, 410 A

Afgerond: I = 6, 4 A

OPGAVEN

26 Een auto legt 100 km af en verbruikt daarbij 5, 0 L benzine. De auto rijdt met een constante snelheid.

a Toon aan dat de hoeveelheid chemische energie die vrijkomt bij het verbranden van de benzine gelijk is aan 1, 7 ·10 8 J.

Slechts 25% van deze energie wordt gebruikt om de motorkracht arbeid te laten verrichten.

b Leg uit wat er met de rest van de energie gebeurt.

c Bereken met de wet van arbeid en kinetische energie de som van de weerstandskrachten die op de auto werken.

27 Een gemaal bevat pompen die water uit een polder of een meer kunnen verplaatsen om het waterniveau op peil te houden. Het gemaal pompt met constante snelheid per minuut

130 m 3 water 6, 0 m omhoog. De temperatuur van het water is 20 °C.

a Toon aan dat de zwaarte-energie van het water toeneemt met 7, 6 MJ per minuut.

b Bereken het nuttige vermogen dat de pompen van het gemaal dan minimaal moeten leveren.

28 Een Ferrari 612 Scaglietti levert een vermogen van 397 kW bij een topsnelheid van 315 km h 1 .

De totale wrijvingskracht op de auto wordt gegeven door:

F w = F w rol + F w l met F w rol = 8, 0 10 2 N

a Bereken de luchtweerstandskracht op de Ferrari bij de topsnelheid.

Een Peugeot 307 XR 1.4 heeft een vermogen van slechts 65 kW. Dat is zes keer zo weinig als het vermogen van de Ferrari. De topsnelheid van de Peugeot is 172 km h 1

b Leg uit hoe het komt dat de topsnelheid van de Peugeot niet zes keer zo laag is.

29 In attractiepark Walibi Holland bevindt zich de Goliath, een achtbaan. Zie figuur 45. Een trein met passagiers beweegt met een constante snelheid van 5, 0 km h 1 langs een rechte helling omhoog. De top van de helling ligt 46 m hoger dan het startpunt. Een elektromotor zorgt voor het omhoogtrekken van de trein. De massa van de trein met passagiers bedraagt 14 ton. a Bereken hoeveel elektrische energie minstens nodig is om de trein met een snelheid van 5, 0 km h 1 langs de helling naar de top omhoog te trekken. Verwaarloos hierbij alle wrijvingskrachten.

De trein heeft op de top van de eerste helling een snelheid van 0 m s 1. De trein begint vervolgens aan een zeer steile afdaling. Bij die afdaling bedraagt het hoogteverschil ook 46 m. De lengte van de afdaling is 49 m. Onderaan is de snelheid opgelopen tot 106 km h 1 . b Bereken de gemiddelde wrijvingskracht op de trein tijdens het omlaag bewegen.

30 Fietsen met een hoge snelheid kost meer energie dan fietsen met een lage snelheid. In het (P,v)-diagram van figuur 46 is weergegeven hoe het vermogen dat een fietser op een gewone fiets moet leveren, afhangt van de snelheid waarmee hij fietst.

gewone fietser

Figuur 46

Er is een bepaalde hoeveelheid energie nodig om met een gewone fiets een afstand van 7, 5 km af te leggen met een constante snelheid van 18 km h 1

a Bepaal deze hoeveelheid energie met behulp van figuur 46.

b Bepaal voor de gewone fietser de grootte van de weerstandskracht als de fietser rijdt met een constante snelheid van 7, 2 m s 1. Geef de uitkomst in twee significante cijfers. Figuur 35 laat ook zien dat een ligfietser bij dezelfde snelheid minder vermogen hoeft te leveren dan een gewone fietser.

c Noem daarvan een oorzaak.

Figuur 45

31 Youella zit op een fiets en staat bovenaan een helling van 100 m lang. De hellingshoek is 5,0°. De massa van Youella is 55 kg en de massa van haar fiets is 10 kg. Als ze vanuit stilstand naar beneden gaat, is de gemiddelde weerstandskracht op Youella en haar fiets gelijk aan 40 N.

a Bereken de snelheid van Youella en haar fiets onderaan de helling.

Youella rijdt vervolgens terug, langs de helling omhoog. Zij doet dit met een constante snelheid. De gemiddelde weerstandskracht die ze nu ondervindt is 25 N.

Om met een constante snelheid naar boven te gaan, is een kracht nodig die langs de helling omhoog is gericht.

b Bereken hoeveel chemische energie Youella minstens moet gebruiken om weer bovenaan de helling te komen.

c Leg uit waarom Youella in werkelijkheid meer chemische energie moet gebruiken dan je bij vraag b hebt berekend.

32 Agnes woont in een vrijstaand goed geïsoleerd huis. De totale warmteverliezen in een stookseizoen zijn 45 GJ. De hr-ketel van de centrale verwarming wordt gestookt met aardgas. Het rendement van de ketel is 95%.

a Bereken hoeveel m 3 aardgas (Gronings) er per stookseizoen nodig is voor verwarming. Agnes besluit zonnepanelen te laten installeren en een warmtepomp aan te schaffen.

De leverancier van de zonnepanelen zegt dat de energieopbrengst van een zonnepaneel gemiddeld 360 kWh per jaar is. Het rendement van de warmtepomp is 3,7. De warmtepomp moet per jaar dezelfde hoeveelheid energie leveren als de verwarming op aardgas. De elektrische energie die daarvoor per jaar nodig is, komt van de zonnepanelen.

b Bereken hoeveel zonnepanelen Agnes minstens nodig heeft.

33 De Tesla model S Long Range is een supersnelle elektrische auto. Elk van de vier wielen van de auto wordt aangedreven door een elektromotor. In de accu’s kan in totaal 100 kWh elektrische energie worden opgeslagen. Het gemiddelde energieverbruik van deze auto is 0, 20 kWh km 1. De actieradius van een elektrische auto is de afstand die hij met volle accu’s kan afleggen bij gemiddeld energieverbruik.

a Bereken de actieradius van deze Tesla.

De topsnelheid van deze Tesla is 250 km h 1. Bij deze snelheid ondervindt de auto een totale wrijvingskracht van 6, 5 kN

b Toon aan dat het nuttige vermogen waarmee de vier wielen door de elektromotoren worden aangedreven bij topsnelheid gelijk is aan 4, 5 10 5 W

Op topsnelheid verbruikt deze Tesla (veel) meer energie dan gemiddeld. Het rendement van de elektromotoren is bij de topsnelheid 90%.

c Bereken het energieverbruik per km (in kWh) van deze Tesla bij de topsnelheid.

34 De hoogste en snelste achtbaan ter wereld was tot 2025 de Kingda Ka in New York. Bij de start werd de trein van de Kingda Ka op een horizontale baan versneld. In figuur 47 staat het (v, t)-diagram van de beweging op die horizontale baan. Bij dit soort attracties wordt de versnelling op de passagiers vaak uitgedrukt in de valversnelling g

Figuur 47

a Bepaal met behulp van figuur 47 de maximale versnelling die de passagiers ondervinden, uitgedrukt in de valversnelling g

Op de horizontale baan van de achtbaan zorgt een elektromotor voor de aandrijving van de trein met passagiers. De massa van de trein met passagiers bedraagt 3, 1 ton

b Bepaal het gemiddelde vermogen dat de elektromotor gedurende de eerste 3, 5 s minimaal moet leveren.

Aan het einde van de horizontale baan werkt er geen aandrijvende kracht meer. Het (zwaartepunt van het) treintje gaat daarna langs een helling 139 m omhoog. Natuurlijk moet de trein wel de top halen. Een bepaald percentage van de bewegingsenergie wordt tijdens de rit naar boven omgezet in warmte ten gevolge van de wrijvingskrachten.

c Bereken hoe groot dit percentage maximaal mag zijn.

35 Door experimenten uit te voeren in een capsule die een vrije val maakt, elimineren wetenschappers het effect van de zwaartekracht. In Bremen staat een valtoren waarin een capsule over een afstand van 110 m kan vallen. Figuur 48 is het (v,t)-diagram van een vallende capsule. Op t = 5,1 s heeft de capsule 110 m afgelegd. Aan de grafiek zie je dat de capsule tijdens deze val luchtweerstand ondervindt.

a Bepaal hoeveel procent van de oorspronkelijke zwaarte-energie na 110 m in warmte is omgezet ten gevolge van de luchtweerstand.

b Teken in figuur 48 hoe de grafiek zou lopen als er helemaal geen luchtweerstand zou zijn. Laat de grafiek eindigen op het tijdstip waarop 110 m is afgelegd.

CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN

Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.

BeGriPPeN nuttige energie nuttig vermogen

Ik kan berekeningen maken en redeneren met de wet van arbeid en kinetische energie en met de wet van behoud van energie in situaties met verschillende energievormen, onder andere chemische energie, elektrische energie en/of stralingsenergie.

Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formules voor rendement en vermogen.

26ab 26c, 27b, 29ab, 31ab 34bc, 35ab

31c 27b, 30ab, 32ab, 33bc 28b, 34bc, 35a

LeerdOeLeN

WeTeN TOePaSSeN redeNereN

8.5 GRAVITATIE-ENERGIE EN ONTSNAPPINGSSNELHEID

Een raket heeft een minimale snelheid nodig om aan de aantrekkingskracht van de aarde te kunnen ontsnappen. Hoe groot is de ontsnappingssnelheid op aarde?

L eerd O e L e N

■ Ik kan uitleggen dat de gravitatie-energie verandert als er arbeid wordt verricht door de gravitatiekracht en de formule voor de gravitatie-energie toepassen.

■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de wet van arbeid en kinetische energie en met de wet van behoud van energie in situaties waarin de gravitatie-energie wordt gebruikt.

■ Ik kan beschrijven en uitleggen dat de ontsnappingssnelheid afhangt van de massa en de straal van het hemellichaam.

Van zwaarte-energie naar gravitatie-energie

Een voorwerp met massa m ondervindt een aantrekkingskracht van de aarde. Op het aardoppervlak of erbij in de buurt gebruik je de formule voor de zwaartekracht: F z = m · g. Hierin is g de valversnelling of de gravitatieversnelling. In Nederland geldt g = 9,81 m s 2. Dit is echter een gemiddelde waarde. Zie Binas tabel 7A en 30B.

De waarde van g wordt kleiner als de hoogte boven het aardoppervlak groter wordt. Op een hoogte van 10 km is de waarde van g met ongeveer 0,3% afgenomen ten opzichte van de waarde op het aardoppervlak. Dat kun je berekenen met de formule g = G Maarde r2  met r = raarde + h, zoals besproken in het hoofdstuk Cirkelbewegingen. Als een voorwerp verder weg van de aarde beweegt, zoals een satelliet, dan moet je dus rekening houden met de hoogte h boven het aardoppervlak.

Voor een voorwerp met massa m ver van het aardoppervlak bereken je de aantrekkingskracht van de aarde met de formule voor de gravitatiekracht: F g = G m Maarde r2 . Hierin is r de afstand tussen het zwaartepunt van het voorwerp en het zwaartepunt (middelpunt) van de aarde. Hoe groter de afstand r, hoe kleiner de gravitatiekracht F g wordt, hoe minder een voorwerp dus wordt aangetrokken door de aarde.

In het (Fg,r)-diagram van figuur 49 is de gravitatiekracht F g die de aarde uitoefent op een satelliet met een massa van 300 kg weergegeven als functie van de afstand r. Een vergelijkbare grafiek geldt voor voorwerpen in de buurt van andere hemellichamen. Op het oppervlak van een hemellichaam is de gravitatiekracht maximaal en op een oneindig grote afstand van het zwaartepunt van het hemellichaam nadert de gravitatiekracht tot 0 N.

Figuur 49

Gegevens over hemellichamen vind je in Binas tabel 31. In deze tabel staan ook de gegevens over de aarde. In de tabel zelf staat de gemiddelde straal van de aarde: 6,371 ·106 m. Onder tabel 31 staat bij voetnoot 3 de straal van de aarde bij de evenaar en bij de polen. Als in de opgave geen informatie staat, neem je voor raarde de gemiddelde waarde. Als een voorwerp zich verder van de aarde af beweegt, verandert dus de grootte van de gravitatiekracht tijdens zijn beweging. De hoeveelheid arbeid die de gravitatiekracht in deze situatie verricht kun je bepalen met behulp van de oppervlakte onder de grafiek in het (Fg,r)-diagram. Omdat de richting van de gravitatiekracht tegengesteld is aan de bewegingsrichting van het voorwerp, verricht de gravitatiekracht in deze situatie negatieve arbeid.

Voorbeeld 12 BEPALEN VAN DE ARBEID DOOR DE GRAVITATIEKRACHT

Een satelliet beweegt in een baan om de aarde op een hoogte h = 500 km boven het aardoppervlak. De massa van de satelliet is 300 kg. Op de hoogte van 500 km ondervindt de satelliet een kleine wrijvingskracht, zodat zijn hoogte langzaam afneemt.

In drie jaar zakt de satelliet naar de hoogte h = 450 km. Om verdere daling van de satelliet te voorkomen, wordt de satelliet teruggebracht in zijn oorspronkelijke baan van 500 km boven het aardoppervlak.

In het (Fg,h)-diagram van figuur 50 is de gravitatiekracht als functie van de hoogte boven het aardoppervlak weergegeven.

a Toon met een berekening aan dat de gravitatiekracht op de satelliet op h = 450 km gelijk is aan 2,57 ·103 N en dat deze op h = 500 km gelijk is aan 2,53 103 N.

b Bepaal met behulp van het (Fg,h)-diagram van figuur 50 de arbeid die de gravitatiekracht op de satelliet verricht tijdens het transport van de hoogte van 450 km boven het aardoppervlak naar zijn oorspronkelijke baan op 500 km hoogte.

h (km) → F g (kN) → Figuur 50

uitwerking

a De gravitatiekracht op 450 km en 500 km boven het aardeoppervlak bereken je met de formule voor de gravitatiekracht.

Fg,h = G ⋅ m Maarde (raarde + h)2

G = 6,674 ·10 11 ​N m2 kg 2 (zie Binas tabel 7A)

m = 300 kg

Maarde = 5,972·1024 kg (zie Binas tabel 31)

raarde = 6,371·106 m (zie Binas tabel 31)

h1 = 450 km = 450 103 m

h2 = 500 km = 500 ·103 m

Invullen levert:

Fg,450 km = 6,674 ·10 11 × 300 × 5,972 ·1024 (6,371 ·106 + 450 ·103 )2 = 2,5700 ·103 N

Fg,500 km = 6,674 10 11 × 300 × 5,972 ·1024 (6,371 106 + 500 103 )2 = 2,5327 103 N

Afgerond: Fg,450 km = 2,57 ·103 N en Fg,500 km = 2,53 ·103 N.

b De arbeid die de gravitatiekracht op de satelliet verricht bepaal je met de oppervlakte onder de grafiek in het (Fg,h)-diagram tussen 450 km en 500 km.

W g = F g,gem · h (negatief: richting F g is tegengesteld aan de bewegingsrichting)

h = 500 450 = 50 km = 50 103 m

F g,gem bepaal je met een schatting in het (Fg,h)-diagram. In figuur 50 is de grafiek tussen h = 450 km en h = 500 km (vrijwel) een rechte schuine lijn. Dus in deze situatie mag je F g,gem schatten met het gemiddelde van de twee bijbehorende gravitatiekrachten. De oppervlakte onder de rechthoek met F gem is dan gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek.

F g,gem = Fg,450 km + Fg,500 km 2 = 2,57  103 + 2,53  103 2 = 2,550 ·103 N

Invullen van F g,gem en h in de formule W g = F g,gem h:

W g = 2,550 ·103 × 50 ·103 = 1,275 ·108 J

Afgerond: W g = 1,3 ·108 J.

Op deze manier kun je de arbeid die de gravitatiekracht verricht bepalen bij een kleine verandering van de hoogte. Voorwaarde is dat je de grafiek in het (Fg,h)-diagram tijdens een hoogteverandering als een rechte schuine lijn mag beschouwen.

Als een kracht negatieve arbeid verricht, dan neemt de bijhorende energie toe. De energievorm die hoort bij de gravitatiekracht heet gravitatie­energie. Als een voorwerp verder bij de aarde vandaan beweegt, neemt zijn gravitatie-energie dus toe. Dit geldt voor elk voorwerp in de buurt van een hemellichaam.

De zwaarte-energie stel je op 0 J in het laagste punt van de beweging, en de gravitatieenergie stel je op 0 J op een oneindig grote afstand van een hemellichaam. Dus de gravitatie-energie in het oneindige heeft de maximale waarde van 0 J. Dit betekent dat de gravitatie-energie negatief of gelijk aan 0 J is.

Voor de gravitatie-energie geldt:

E g = G ⋅ m M r

■ E g is de gravitatie-energie in J.

■ G is de gravitatieconstante in N m2 kg 2

■ m is de massa van het voorwerp in kg.

■ M is de massa van het hemellichaam in kg.

■ r is de afstand tussen de zwaartepunten van het voorwerp en het hemellichaam in m.

Omdat de gravitatieconstante G, de massa’s en de afstand r positief zijn, heeft de gravitatieenergie dus een negatieve waarde. Wordt de afstand r tussen de zwaartepunten van een voorwerp en een hemellichaam groter, dan neemt de gravitatie-energie E g van het voorwerp toe: de waarde van de gravitatieenergie wordt dan minder negatief.

In het (Eg,r)-diagram van figuur 51 is de gravitatie-energie E g van de satelliet met een massa van 300 kg weergegeven als functie van de afstand tussen de zwaartepunten van de satelliet en de aarde. Een vergelijkbare grafiek geldt voor voorwerpen in de buurt van andere hemellichamen.

Figuur 51

Op het oppervlak van een hemellichaam is de gravitatie-energie minimaal en op een oneindig grote afstand van het zwaartepunt van het hemellichaam nadert de gravitatieenergie tot 0 J. De formule voor de zwaarte-energie E z = m g h gebruik je alleen voor een voorwerp dat zich bevindt op een hoogte h in de buurt van het aardoppervlak, bijvoorbeeld bij een verticale worp van een bal.

De formule voor de gravitatie-energie E g = G m M r gebruik je in situaties waarbij een voorwerp zich op grote afstand van een hemellichaam bevindt, zoals bij de lancering van een satelliet naar een baan om de aarde of bij de terugkeer van een capsule vanuit een ruimtemissie. Met behulp van de verandering in de gravitatie-energie kun je de arbeid berekenen die de gravitatiekracht verricht bij een grote verandering van de hoogte.

Voorbeeld 13 GRAVITATIE-ENERGIE

De aardobservatiesatelliet Sentinel-3A met een massa van 1,15 ton is in februari 2016 vanaf de aarde naar een baan op een hoogte van 815 km boven het aardoppervlak gebracht. De arbeid die de gravitatiekracht heeft verricht tijdens het transport van de satelliet naar deze baan is gelijk aan 8,16 109 J.

a Toon met behulp van de formule voor de gravitatie-energie aan dat W g = 8,16 ·109 J. In zijn baan beweegt de satelliet met een snelheid van 2,65 104 km h 1 b Bereken met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie de minimale kinetische energie van de satelliet bij de lancering.

uitwerking

a De arbeid verricht door de gravitatiekracht bereken je met de verandering van de gravitatie-energie.

Tijdens het transport van de satelliet vanaf de aarde naar de baan om de aarde neemt de gravitatie-energie toe (Eg,baan > Eg,aarde). De gravitatiekracht verricht negatieve arbeid, want de richting van F g is tegengesteld aan de bewegingsrichting van de satelliet.

W g < 0 J en Eg,baan > Eg,aarde, dus W g = Eg,aarde Eg,baan

De gravitatie-energie E g bereken je met de formule voor de gravitatie-energie.

G = 6,674 ·10 11 N m2 kg 2

m = 1,15 ton = 1,15 ·103 kg

Maarde = 5,972 1024 kg

raarde = 6,371 ·106 m

h = 815 km = 815 ·103 m

Invullen levert:

(zie Binas tabel 7A)

(zie Binas tabel 31)

(zie Binas tabel 31)

Eg,aarde = 6,674 ·10 11 × 1,15 103 × 5,972 1024 6,371 ·106 = 7,194 ·1010 J

Eg,baan = 6,674 ·10 11 × 1,15 ·103 × 5,972 ·1024 (6,371 ·106 + 815 ·103) = 6,378 ·1010 J

Invullen van Eg,aarde en Eg,baan in de formule W g = Eg,aarde Eg,baan:

W g = 7,194 ·1010 ( 6,378 ·1010) = 8,1600 ·109 J

Afgerond: W g = 8,16 109 J.

b De minimale kinetische energie van de satelliet Ek,begin bij de lancering bereken je met de wet van arbeid en kinetische energie.

∑W = ΔEk

Zie figuur 52 voor een schets van de situatie.

W g + W w = ΔEk = Ek,eind Ek,begin

W g = 8,16 ·109 J

W w = 0 J (minimale Ek, dan hou je geen rekening met W w)

Ek,eind bereken je met de formule voor de kinetische energie.

Ek,eind = 1 2 m v eind 2

m = 1,15 ton = 1,15 ·103 kg

veind = 2,65 ·104 km h 1 = 2,65 ·104 3,6 = 7,361 ·103 m s 1

Invullen levert: Ek,eind = 1 2 × 1,15 103 × (7,361 103)2 = 3,116 1010 J

Invullen van Wg, W w en Ek,eind in de formule W g + W w = Ek,eind Ek,begin: 8,16 109 = 3,116 1010 Ek,begin

Ek,begin = 3,9320 ·1010 J

Afgerond: Ek,begin = 3,93 ·1010 J.

Ontsnappingssnelheid

bewegingsrichting

52

Als een voetballer een bal schuin omhoog richting het doel schiet naar een hoogte h, neemt tijdens de beweging van de bal de zwaarte-energie van de bal toe, terwijl de kinetische energie afneemt. Tijdens de beweging ontstaat warmte door de luchtweerstandskracht.

Figuur

8.5 Gravitatie-energie en ontsnappingssnelheid

In het laagste punt van de beweging stel je de zwaarte-energie op 0 J en dat is dus bij het aardoppervlak. Daar bezit de bal dus alleen kinetische energie. Bij de beweging van de bal omhoog neemt de kinetische energie van de bal af (Ek,B < Ek,A) en de zwaarte-energie neemt toe (Ez,B > Ez,A). Zie figuur 53a. Volgens de wet van behoud van energie geldt dan:

∑ Ein,A = ∑ Euit,B

Ek,A = Ez,B + Ek,B + Q

1 2 m v A 2 = m g hB + 1 2 m v B 2 + Q

Deze vergelijking geldt voor elke beweging tot ongeveer de hoogte van 10 km boven het aardoppervlak.

bewegingsrichting

A = 0 m A

a Beweging bal schuin omhoog

Figuur 53

bewegingsrichting

b Beweging satelliet naar baan om de aarde

bewegingsrichting

c Ontsnappingssnelheid vanaf de aarde

Bij de lancering van een satelliet naar een baan om de aarde gebruik je de gravitatie-energie in plaats van de zwaarte-energie in de wet van behoud van energie. Zie figuur 53b. Bij de lancering neemt de gravitatie-energie van de satelliet toe: Eg,B > Eg,A. De gravitatie-energie is 0 J als de satelliet op een oneindig grote afstand van de aarde is. In figuur 53b kun je dus nergens E g = 0 J stellen.

Een satelliet beweegt in een stabiele baan rond de aarde. Zonder voldoende baansnelheid valt de satelliet terug naar aarde. Dat betekent dat bij het toepassen van de wet van behoud van energie, de kinetische energie Ek,B van de satelliet in de baan niet gelijk aan 0 J is.

Bij een lancering van een satelliet met massa m naar een baan om de aarde ligt punt A op het aardoppervlak. Dus rA = raarde en M = Maarde.

Er geldt dus:

∑ Ein,A = ∑ Euit,B

Eg,A + Ek,A = Eg,B + Ek,B + Q

G m · Maarde raarde + 1 2 m v A 2 = G m · Maarde raarde + h + 1 2 m v B 2 + Q

De ontsnappingssnelheid is de minimale snelheid die een voorwerp nodig heeft om aan de aantrekkingskracht van de aarde te ontsnappen, waarbij de wrijving met de atmosfeer wordt verwaarloosd. Het voorwerp kan niet meer terugvallen op de aarde. Het voorwerp bevindt zich dan op een oneindig grote afstand van de aarde, waardoor de aantrekkingskracht F g van de aarde op het voorwerp gelijk is aan 0 N. In punt B is de gravitatie-energie dus gelijk aan 0 J (Eg,B = 0 J). Zie figuur 53c.

De ontsnappingssnelheid vont is de minimale snelheid bij de lancering, dus in figuur 53c is vA = vont en omdat er ‘minimaal’ staat, is de snelheid van het voorwerp in punt B ook minimaal, dus 0 m s 1. In punt B is de kinetische-energie dus ook gelijk aan 0 J (Ek,B = 0 J). En omdat de wrijving met de atmosfeer wordt verwaarloosd, geldt in figuur 53c ook Q = 0 J.

Bij de lancering van een satelliet met de ontsnappingssnelheid geldt dus:

∑ Ein,A = ∑ Euit,B

Eg,A + Ek,A = 0

G · m · Maarde raarde + 1 2 m · v ont 2 = 0 (herschrijven en wegdelen van m)

1 2 v ont 2 = G · Maarde raarde

vont = √ 2G · Maarde raarde

Voor de snelheid die een voorwerp minimaal nodig heeft om vanaf het oppervlak van een hemellichaam te ontsnappen aan de aantrekkingskracht van het hemellichaam geldt dus:

vont = √2G· M r

■ vont is de ontsnappingssnelheid in m s 1 .

■ G is de gravitatieconstante in N m2 kg 2

■ M is de massa van het hemellichaam in kg.

■ r is de straal van het hemellichaam in m.

De formule voor de ontsnappingssnelheid staat niet in Binas. Bij een toets of examen moet je deze formule eerst afleiden.

De ontsnappingssnelheid is onafhankelijk van de massa van het voorwerp en hangt dus alleen maar af van de verhouding tussen de massa M en de straal r van het hemellichaam. In Binas tabel 31 vind je de ontsnappingssnelheden van een aantal hemellichamen in ons zonnestelsel. In tabel 32C vind je de ontsnappingssnelheid vanaf de zon.

Als een voorwerp ontsnapt vanuit een baan om de aarde op een hoogte h boven het aardoppervlak, dan gebruik je in de formule voor de ontsnappingssnelheid r = raarde + h. Bij de berekening van de ontsnappingssnelheid is bij de lancering de som van de kinetische energie Ek,ont en de gravitatie-energie E g gelijk aan 0 J, omdat de wrijving met de atmosfeer wordt verwaarloosd. In werkelijkheid moet de snelheid van een voorwerp bij de lancering groter zijn dan de ontsnappingssnelheid om buiten de aantrekkingskracht van een hemellichaam met atmosfeer te komen. Bij de lancering is dus in werkelijkheid de som van de kinetische energie Ek,ont en de gravitatie-energie E g groter dan 0 J.

Voorbeeld 14 REKENEN MET ONTSNAPPINGSSNELHEID

De ontsnappingssnelheid vanaf een planeet hangt alleen af van de massa en de straal van de planeet. Er geldt: vont = √ 2G · M r . In Binas tabel 31 staan de ontsnappingssnelheden vanaf de planeten in ons zonnestelsel.

a Voer de volgende opdrachten:

– Toon met behulp van formules in Binas aan dat voor de ontsnappingssnelheid geldt: vont = √ 2G · M r

– Toon met een berekening aan dat de waarde van de ontsnappingssnelheid van een voorwerp op de evenaar van de aarde overeenkomt met die in Binas tabel 31. Een raket beweegt met een constante baansnelheid vbaan in een cirkelvormige baan rond de aarde. De raket ontsnapt aan de aantrekkingskracht van de aarde met de ontsnappingssnelheid vont.

b Toon met behulp van twee formules aan dat de verhouding vont vbaan = 1,4.

Gravitatie-energie en ontsnappingssnelheid

uitwerking

a – De formule voor de ontsnappingssnelheid leid je af met de formule voor de kinetische energie en de formule voor de gravitatie-energie.

Als een voorwerp vertrekt met de ontsnappingssnelheid, dan is de som van de gravitatie-energie en de kinetische energie gelijk aan 0 J.

E g + Ek = 0

G m M r + 1 2 m v ont 2 = 0 (wegdelen van m en herschrijven)

1 2 v ont 2 = G · M r

vont = √ 2G · M r

– De ontsnappingssnelheid vanaf de evenaar van de aarde bereken je met de formule voor de ontsnappingssnelheid.

vont = √ 2G · M r

G = 6,6743 10 11 N m2 kg 2

M = Maarde = 5,972 ·1024 kg

(zie Binas tabel 7A)

(zie Binas tabel 31)

r = raarde = 6378,1 km = 6,3781 ·106 m (zie Binas tabel 31, voetnoot 3)

Invullen levert: vont = √ 2 × 6,6743 10 11 × 5,972 1024 6,3781 ·106 = 1,11798 ·104 m s 1

Dit komt afgerond overeen met de waarde in Binas tabel 31: 11,2 103 m s 1 b Dat de verhouding vont vbaan = 1,4 toon je aan met de formule voor de ontsnappingssnelheid en de formule voor de baansnelheid. verhouding = vont vbaan

vont = √ 2G · M r

De formule voor de baansnelheid van een voorwerp dat met constante snelheid beweegt in een cirkelvormige baan om de aarde leid je af met de formules voor de gravitatiekracht en de middelpuntzoekende kracht:

F mpz = F g

m v2 r = G · m M r2 (wegdelen van m en herschrijven)

v 2 = G · M r

v = √ G M r

Dus vbaan = √ G M r

Invullen van vont en vbaan in de formule verhouding = vont vbaan  : vont vbaan = √ 2G · M r √ G · M r = √ 2 = 1,4

Bij de berekening van de ontsnappingssnelheid ga je uit van een voorwerp dat tot de lancering stilstaat. Door de draaiing van de aarde om zijn as bewegen alle voorwerpen echter met de baansnelheid van de aarde. De omlooptijd van de aarde is overal hetzelfde, maar de straal niet. Er geldt v = 2πr T De baansnelheid is dus het grootst in de buurt van de evenaar, omdat de straal van de aarde bij de evenaar het grootst is. Daarom worden raketten bij voorkeur gelanceerd in de buurt van de evenaar, in oostelijke richting, met de draaiing van de aarde mee. Bij een lancering in de buurt van de evenaar is dus minder brandstof nodig om de ontsnappingssnelheid te bereiken dan bij lancering vanaf een andere plaats op de aarde.

54

Om te kunnen ontsnappen aan de aantrekkingskracht van de aarde moet de som van de kinetische energie Ek,ont en de gravitatie-energie E g gelijk aan 0 J zijn, als er geen rekening wordt gehouden met de wrijvingskrachten. Dat geldt ook als een voorwerp vanuit een baan om de aarde wordt gelanceerd. Daardoor zie je in figuur 54 dat de grafieken van Ek,ont en E g in het (E,r)-diagram zijn gespiegeld. De ontsnappingssnelheid vanuit een baan om de aarde is kleiner dan die vanaf het aardoppervlak.

In het (E,r)-diagram van figuur 54 zie je ook de grafiek van Ek,baan. Dit is de kinetische energie van een voorwerp dat in een baan om de aarde beweegt. Het verschil tussen Ek,ont en Ek,baan is gearceerd. Het gearceerde gebied geeft voor elke baan om de aarde de hoeveelheid nuttige chemische energie Ech,nuttig die de raketmotoren minimaal moeten leveren om vanuit die baan aan de aantrekkingskracht van de aarde te ontsnappen.

OPGAVEN

36 In de 16e eeuw ontdekte Johannes Kepler dat de beweging van een planeet om de zon ellipsvormig is en niet een eenparige cirkelbeweging.

In het perihelium is de afstand van de planeet tot de zon minimaal en in het aphelium maximaal. Zie figuur 55.

planeet

perihelium

Figuur 55

aphelium

Maak in de volgende zinnen de juiste keuze en licht elke keuze toe.

1 De gravitatiekracht van de zon op de planeet is in het perihelium groter dan | kleiner dan | gelijk aan de gravitatiekracht in het aphelium.

2 De gravitatie-energie van de planeet is in het perihelium groter dan | kleiner dan | gelijk aan de gravitatie-energie in het aphelium.

3 De baansnelheid van de planeet is in het perihelium groter dan | kleiner dan | gelijk aan de baansnelheid in het aphelium.

37 De ontsnappingssnelheid vont vanaf een hemellichaam hangt alleen af van de massa en de straal van het hemellichaam, vont = √ 2G · M r .

a Leid de formule voor de ontsnappingssnelheid af.

Er zijn plannen om de maan te gebruiken als lanceerbasis voor een reis naar Mars. De benodigde snelheid om een raket te lanceren vanaf de maan richting Mars is veel kleiner dan de benodigde snelheid vanaf de aarde.

b Bereken met de gegeven formule de orde van grootte van de ontspanningssnelheid vanaf de maan.

Figuur

Deze formule mag je ook gebruiken als je met v de lichtsnelheid bedoelt. Als licht niet meer kan ontsnappen, gedraagt het hemellichaam zich als een zwart gat.

Volgens de theorie stort een uitgebrande ster onder zijn eigen gravitatiekracht ineen tot een zwart gat als de massa minstens drie keer de massa van de zon is.

c Bereken de straal van de ster als deze zich als een zwart gat gaat gedragen.

38 Een vallende ster is een lichtspoor dat ontstaat als een rotsblok vanuit de ruimte in de dampkring van de aarde terechtkomt.

a Leg uit waardoor er een lichtspoor ontstaat als een rotsblok in de dampkring terechtkomt.

Een vallende ster beweegt op een hoogte van 200 km boven het aardoppervlak met een snelheid van 45 km s 1 richting de aarde. Op dat moment is de massa van het rotsblok 10 ton. Bij aankomst op de aarde is de massa van het rotsblok sterk afgenomen: deze is nog maar 25% van zijn massa op 200 km hoogte. De totale energie van de vallende ster is ook sterk afgenomen, tot 0,25% van de oorspronkelijke totale energie.

b Voer de volgende opdrachten uit:

– Toon aan dat de totale energie van het rotsblok op 200 km hoogte gelijk is aan

EA = 9,5 1012 J.

– Bereken de snelheid vB van het rotsblok bij het contact met het aardoppervlak.

39 Het ruimtestation ISS beweegt in een cirkelvormige baan op 342 km boven het aardoppervlak. De massa van het ISS is 2,46 ·105 kg.

a Toon aan dat de gravitatie-energie van het ISS ten opzichte van de aarde gelijk is aan 1,46 ·1013 J.

Op het ISS werkt de luchtweerstandskracht. Wordt er niet gecorrigeerd, dan wordt de baanstraal van het ISS elke dag tientallen meters kleiner. Daarbij neemt de gravitatieenergie af.

b Voer de volgende opdrachten uit: –

Leg met behulp van de formule voor gravitatie-energie uit dat de gravitatie-energie afneemt als de baanstraal kleiner wordt.

– Leg met behulp van de arbeid die de gravitatiekracht verricht uit dat de gravitatieenergie afneemt als de baanstraal kleiner wordt.

Het ISS draait in 92 min rondom de aarde. Er worden regelmatig ruimtecapsules met astronauten en voorraden richting het ISS gelanceerd. Zo’n capsule moet niet alleen de hoogte van 342 km bereiken, maar ook met het ISS meevliegen om aan het ISS gekoppeld te kunnen worden.

c Bereken hoe groot de kinetische energie van een ruimtecapsule bij de lancering minstens moet zijn om in de baan op 342 km hoogte aan het ISS gekoppeld te worden.

40 Stel, een ruimtevaartuig voert vanaf grote afstand een vrije val uit op een hemellichaam.

a Leg uit dat het vaartuig op het hemellichaam te pletter slaat met een snelheid die gelijk is aan de ontsnappingssnelheid.

Een ruimtecapsule keert van een ruimtemissie terug naar de aarde. De aarde heeft een atmosfeer waardoor de capsule wordt afgeremd, maar voor het laatste deel van de landing worden ook remparachutes gebruikt, zodat de capsule met een veilige snelheid in de Stille Oceaan plonst. Milou vindt op internet dat die veilige snelheid ongeveer 7 m s 1 is. Nadieh is het daar niet mee eens. Volgens haar moet die snelheid ongeveer gelijk zijn aan de baansnelheid van de aarde.

b Ben je het eens met Nadieh of met Milou? Licht je antwoord toe.

Heeft een hemellichaam geen atmosfeer, dan moet je remraketten gebruiken waarvoor brandstof nodig is. Raketbrandstof heeft een stookwaarde van 34 GJ m 3

c Voer de volgende opdrachten uit:

– Leg uit dat de hoeveelheid chemische energie die minstens nodig is voor een zachte landing op de maan gelijk is aan de warmte Q

– Toon aan dat de hoeveelheid warmte Q die ontstaat bij een zachte landing op de maan gelijk is aan 4,2 1011 J.

– Bereken hoeveel m3 raketbrandstof minstens nodig is om een ruimtevaartuig met een massa van 15 ton een zachte landing op de maan te laten maken.

41 De European Space Agency (ESA) lanceert raketten die satellieten naar een geostationaire baan brengen. Dat doet zij vlak bij de evenaar in Frans-Guyana. Een communicatieatelliet wordt met behulp van een raket in een geostationaire baan rond de aarde gebracht. De satelliet bevindt zich dan in een baan op 35,8·103 km boven het aardoppervlak. De massa van de satelliet is 3,90 103 kg. Tijdens het vervoer van de satelliet van het aardoppervlak naar de geostationaire baan verricht de gravitatiekracht arbeid.

a Toon aan dat de arbeid die de gravitatiekracht heeft verricht tijdens het vervoer gelijk is aan 2,07 1011 J.

Om satellieten in de ruimte te brengen, maak je gebruik van de draaiing van de aarde. Ten opzichte van de ruimte heeft een satelliet dan al een bepaalde snelheid.

b Toon aan dat de kinetische energie van de satelliet in de geostationaire baan met 1,79 ·1010 J is toegenomen als de lancering in Frans-Guyana heeft plaatsgevonden.

c Bereken de arbeid die de motorkracht van de raket minstens heeft verricht als de satelliet in zijn geostationaire baan is gebracht.

42 Kort nadat de zon in het oosten is opgekomen, wordt vanaf de evenaar een satelliet in een 500 km hoge cirkelvormige baan rond de aarde gebracht. Op deze hoogte is de gravitatieenergie van de satelliet 17,403 GJ. De massa van de satelliet is 300,0 kg.

a Bereken de toename van de gravitatie-energie vanaf de lancering.

Op 500 km hoogte boven het aardoppervlak heerst geen volledig vacuüm. Hierdoor ondervindt de satelliet een kleine wrijvingskracht, zodat zijn hoogte langzaam afneemt. In figuur 56 staan de kinetische energie Ek en de gravitatie-energie E g van de satelliet als functie van de hoogte h getekend.

Doordat de wrijvingskracht zeer klein is, ‘zakt’ de satelliet per omloop maar heel weinig. Daarom kan elke afzonderlijke omloop als een cirkelbaan worden beschouwd.

b Leg aan de hand van figuur 56 uit of de omlooptijd van de satelliet op den duur toeneemt of afneemt.

Gedurende drie jaar zakt de satelliet van de hoogte van 500 km naar 450 km. Hierbij cirkelt hij vele duizenden malen rond de aarde en legt daarbij een afstand af van 7,2 ·1011 m.

c Bepaal met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie de gemiddelde wrijvingskracht die over deze afstand op de satelliet werkt.

De baan van de satelliet loopt over de beide polen van de aarde. Doordat de aarde om zijn as draait, beweegt de satelliet tijdens elke volgende omloop boven een ander stuk van de aarde. Op een bepaald moment vliegt de satelliet over Nederland in de richting van de Noordpool. Voor een waarnemer op de grond lijkt het alsof de satelliet niet pal zuid-noord vliegt, maar schuin in noordelijke richting.

d Leg uit of de waarnemer in Nederland de satelliet dan met een ‘afwijking’ in oostelijke of juist in westelijke richting verder ziet vliegen.

CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN

Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet?

Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.

BeGriPPeN gravitatie-energie ontsnappingssnelheid

Ik kan uitleggen dat de gravitatie-energie verandert als er arbeid wordt verricht door de gravitatiekracht en de formule voor de gravitatie-energie toepassen.

Ik kan berekeningen maken en redeneren met de wet van arbeid en kinetische energie en met de wet van behoud van energie in situaties waarin de gravitatie-energie wordt gebruikt.

Ik kan beschrijven en uitleggen dat de ontsnappingssnelheid afhangt van de massa en de straal van het hemellichaam.

36, 37a, 39a, 41abc, 42a 38b, 39b, 40c

36, 37a, 41bc, 42c 38b, 39bc, 40c, 41d

37abc 40a

VERDER WERKEN 2 Je kunt online nog meer opgaven maken bij paragraaf 4 en 5. Je kunt kiezen tussen Oefenen en Uitdaging.

8.6 AFSLUITING

Je bent aan het einde gekomen van dit hoofdstuk. Neem de samenvatting goed door en controleer jezelf met de online zelftoets. Maak de eindopgaven als voorbereiding op een toets of examen.

Samenvatting

In de natuurkunde wordt arbeid verricht door krachten. De verrichte arbeid hangt af van de grootte van de kracht, de verplaatsing en de richting van de kracht ten opzichte van de bewegingsrichting van het voorwerp. Een kracht met dezelfde richting als de bewegingsrichting van het voorwerp verricht positieve arbeid en een kracht met een richting tegengesteld aan de bewegingsrichting verricht negatieve arbeid.

Bij arbeid door de zwaartekracht let je alleen op de grootte van de zwaartekracht en het hoogteverschil tussen beginpunt en eindpunt van de beweging van het voorwerp. De arbeid verricht door de zwaartekracht is positief als het beginpunt hoger is dan het eindpunt van de beweging en negatief als het beginpunt lager is dan het eindpunt van de beweging.

De arbeid verricht door een wrijvingskracht is altijd negatief, omdat de richting van de wrijvingskracht tijdens de gehele beweging tegengesteld is aan de bewegingsrichting. Daardoor draagt de afgelegde weg tussen het beginpunt en het eindpunt van de beweging bij aan de wrijvingsarbeid (en niet de verplaatsing van het voorwerp).

Een voorwerp bezit kinetische energie wanneer het beweegt. Verrichten krachten arbeid op het voorwerp, dan kan de kinetische energie van een voorwerp veranderen. De verandering van de kinetische energie van het voorwerp is gelijk aan de totale arbeid die door alle krachten samen op het voorwerp wordt verricht. Dit heet de wet van arbeid en kinetische energie.

Ook als een voorwerp niet beweegt, kan het een vorm van energie bezitten. Een kracht die op het voorwerp werkt kan met die energie arbeid verrichten. Als een kracht arbeid verricht, vindt er een energieomzetting plaats. Verricht een kracht positieve arbeid, dan neemt de bijbehorende energievorm af. Verricht een kracht negatieve arbeid, dan neemt de bijbehorende energievorm toe.

Als er wrijvingsarbeid wordt verricht, ontstaat warmte.

De energievormen die in dit hoofdstuk zijn besproken zijn kinetische energie, zwaarteenergie, warmte, veerenergie, chemische energie, elektrische energie, stralingsenergie en gravitatie-energie.

De wet van behoud van energie geeft aan dat de totale hoeveelheid energie niet verandert. De minimale snelheid die nodig is om een voorwerp aan de aantrekkingskracht van een hemellichaam te laten ontsnappen wordt de ontsnappingssnelheid genoemd. Bij de ontsnappingssnelheid is de som van de kinetische energie en de gravitatie-energie gelijk aan 0 J.

Bij de omzetting van energie wordt slechts een deel van de geïnvesteerde energie gebruikt voor het verrichten van de gewenste, nuttige arbeid. Dit deel noem je de nuttige energie. De rest wordt omgezet in andere energievormen, zoals warmte.

Het nuttige vermogen van een energieomzetting is de hoeveelheid nuttige arbeid die een kracht per seconde kan verrichten.

Het rendement van een energieomzetting is dus de verhouding tussen de nuttige energie (= de geleverde nuttige arbeid) en de geïnvesteerde energie, of de verhouding tussen het nuttige vermogen en het geïnvesteerde vermogen.

Formules en tabellen

arbeid

arbeid door de zwaartekracht

wrijvingsarbeid

kinetische energie

W = F · s · cos(α)

W z = F z · h of W z = F z · h

W w = F w s

Ek = 1 2 m · v 2

wet van arbeid en kinetische energie ∑W = ∆Ek

zwaarte-energie

warmte

wet van behoud van energie

veerenergie

rendement

vermogen

elektrische energie

elektrisch vermogen

verbrandingsenergie vaste stoffen

verbrandingsenergie vloeistoffen

gravitatie-energie

ontsnappingssnelheid

E z = m · g · h

Q = F w · s

∑ Ein = ∑ Euit

E v = 1 2 C u2

η = W Ein = Enuttig Ein = Pnuttig Pin

Pnuttig = W t = Enuttig t = F v

E = P t

P = U I

Ech = r m · m

Ech = rV V

E g = G m · M   r

v = √ 2G · M r

■ De meeste formules vind je in Binas tabel 35A4 en 35D1.

■ Stookwaarden staan in Binas tabel 28B.

ZELFTOETS Met de zelftoets test je of je de belangrijkste leerdoelen van dit hoofdstuk beheerst.

EINDOPGAVEN

43 Vrije val

Bij een bepaalde attractie in een pretpark kun je een vrije val ervaren. Je zit in een cabine die tot een bepaalde hoogte wordt opgetakeld. Zie figuur 57. Deze figuur is niet op schaal. De cabine wordt in punt A losgelaten. Op het traject AB is de beweging op te vatten als een vrije val. De snelheid van de cabine in punt B is 15, 2 m s 1 Na punt B is de baan cirkelvormig tot punt D. Vanaf punt D is de baan horizontaal. Op het traject DE komt de cabine tot stilstand.

a Bereken met behulp van de wet van behoud van energie de afstand AB waarover de inzittende gewichtloos valt. Het zwaartepunt van de inzittende doorloopt op het traject BCD een kwart cirkel met een straal van 5,0 m, met middelpunt M. Op het traject BCD zijn de wrijvingskrachten niet meer te verwaarlozen. De snelheidstoename tussen B en C is 1, 8 m s 1 . De inzittende heeft een massa van 65 kg.

b Bereken de grootte van de middelpuntzoekende kracht op de inzittende als de cabine punt C passeert.

Figuur 58 is een tekening op schaal van het gedeelte van de baan in de buurt van de punten B en C.

Figuur 57

Het zwaartepunt van de cabine met inzittende volgt deze baan. In punt C is de snelheid maximaal. In dit punt is de zwaartekracht getekend die op de cabine met inzittende werkt. De cabine met inzittende heeft een massa van 250 kg.

c Bepaal met behulp van een constructie in figuur 58 de grootte van de wrijvingskracht op de cabine met inzittende in punt C.

Vanaf punt D is de baan horizontaal. Op het horizontale traject zijn de wrijvingskrachten weer te verwaarlozen. De cabine met inzittende botst tegen een koppelstuk dat over een rail kan bewegen. Na de botsing blijft de cabine aan het koppelstuk vastzitten. Aan het koppelstuk is een kabel bevestigd die om de as van een dynamo is gewikkeld. Zodra de kabel strak is getrokken, gaat de dynamo draaien. De opgewekte elektrische energie wordt in het pretpark gebruikt. De massa van het koppelstuk is 30 kg. De snelheid van cabine en koppelstuk onmiddellijk na de botsing is 15 m s 1 .

Figuur 58

Het door de dynamo uitgeoefende remvermogen is dan 12 kW.

d Bereken de vertraging van de cabine met het koppelstuk op het eerste moment van het afremmen door de dynamo.

De constructie van deze attractie is zo gemaakt dat de kinetische energie van de cabine tijdens het afremmen door de dynamo lineair met de tijd afneemt.

In figuur 59 zijn drie mogelijke (v,t)-diagrammen getekend voor de afremmende cabine.

Figuur 59

e Leg uit welke van de drie diagrammen A, B of C van figuur 59 de juiste is.

Met behulp van dit systeem wordt de cabine afgeremd. Als deze manier van afremmen mislukt, zijn als beveiliging aan het einde van de baan twee bufferveren naast elkaar aangebracht die de cabine tot stilstand kunnen brengen. Neem aan dat het koppelstuk met cabine en inzittende met een snelheid van 15, 0 m s 1 tegen deze veren botst. De veren worden dan maximaal 1,2 m ingedrukt.

f Bereken met behulp van de wet van behoud van energie de veerconstante van de bufferveren.

44 LeO gaat zakken

Low Earth Orbit (LEO) satellieten worden gebruikt voor onderzoek aan het broeikaseffect. Deze satellieten draaien betrekkelijk laag boven het aardoppervlak.

De snelheid van een satelliet kan worden berekend met de formule:

v = √ G m  r (1)

– v is de snelheid in m s 1

– G is de gravitatieconstante in N m2 kg 2 .

– M is de massa van de aarde in kg.

– r is de baanstraal van de satelliet in m.

De totale energie Etot van een satelliet is de som van de kinetische energie en de gravitatieenergie. De totale energie van een satelliet kan berekend worden met de formule:

Etot = 1 2 G m M  r (2)

– Etot is de totale energie van de satelliet in J.

– G is de gravitatieconstante in N m2 kg 2 .

– m is de massa van de satelliet in kg.

– M is de massa van de aarde in kg.

– r is de baanstraal van de satelliet in m.

a Leid de formules (1) en (2) af met behulp van formules uit Binas.

Een bepaalde LEO-satelliet bevindt zich op een hoogte van 425 km.

b Toon aan dat deze satelliet een snelheid heeft van 7, 658 km s 1 .

Op deze hoogte is de atmosferische wrijving niet helemaal verwaarloosbaar. De dichtheid van de atmosfeer hangt sterk af van de hoogte h boven het aardoppervlak. Het verloop van de dichtheid tussen h = 400 km en h = 450 km is weergegeven in figuur 60.

Figuur 60

De satelliet heeft een C w-waarde van 2,2 en een frontaal oppervlak van 0,385 m2

c Bepaal de energie die deze satelliet elke seconde verliest ten gevolge van atmosferische wrijving.

De totale energie uit formule (2) is een functie van r en kun je dus ook noteren als Etot(r) = 1 2 G · m · M · r 1 d Voer de volgende opdrachten uit: – Geef de afgeleide dEtot dr door Etot(r) te differentiëren. – Leg aan de hand van het teken van dEtot dr uit dat door de wrijving de hoogte van de LEO-satelliet steeds kleiner wordt.