Issuu on Google+

6 6.1

Rekenvaardigheden

213 Rekenvoorbeeld 1

6.2

Het gemiddelde brandstofverbruik van een auto bedraagt 6,8 liter

Onderzoeksvaardigheden

226

per 100 km. Vraag: Hoeveel liter brandstof is nodig voor een afstand van 12 000 km?

6.3

Antwoord: Gebruik een verhoudingstabel. De horizontale ver-

Dynamische modellen 241

menigvuldigingsfactor is 120, de verticale factor is 0,068 (liter per kilometer).

6.4

× ×××

Technisch ontwerpen 251

De uitkomst: er is 6,8 × 120 = 816 L nodig.

Vaardigheden Rekenen, onderzoeken, ontwerpen en modelleren

9006312768_boek.indb 212

21-06-13 16:13


213

A

Vaardigheden

6.1

rekenvaardigheden

intRoductiE Bij het vak natuurkunde moet je veel rekenen. Daarbij gebruik je vaak formules, maar je moet ook kunnen rekenen met verhoudingen en procenten. Bij veel berekeningen gebruik je het begrip evenredigheid, maar wat is dat eigenlijk? In deze paragraaf bespreken we de verschillende rekenvaardigheden die je bij natuurkunde nodig hebt.

pA R Ag R A A F v R A Ag Hoe maak je bij het rekenen gebruik van formules, verhoudingen en procenten?

vERHoudingEn, pRocEntEn En EvEnREdigHEid Rekenen in verhoudingen Met rekenen in verhoudingen bedoelen we dat twee grootheden met dezelfde factor veranderen. De verhouding tussen die twee grootheden is dan constant. Een constante verhouding betekent dus dat wanneer de ene grootheid bijvoorbeeld drie keer zo groot wordt, de andere grootheid ook drie keer zo groot wordt. Een voorbeeld van rekenen met constante verhoudingen is het brandstofverbruik in het verkeer. Als de afstand toeneemt, wordt ook meer brandstof verbruikt. De verhouding tussen de hoeveelheid brandstof en de afgelegde afstand is (ongeveer) constant. Bij het rekenen met verhoudingen kun je een verhoudingstabel gebruiken. Zo’n tabel is een overzichtelijke manier om de gegevens op te schrijven. Noteer in de verhoudingstabel altijd de eenheden. Daardoor zie je beter wat je berekent. Bij het berekenen van het antwoord gebruik je vermenigvuldigingsfactoren. In rekenvoorbeeld 1 is de vermenigvuldigingfactor voor de afstand 120, de afstand wordt immers 120 keer zo groot. De hoeveelheid brandstof is dan eveneens 120 keer zo groot. Bij een verhoudingstabel is ook sprake van een verticale vermenigvuldigingsfactor. In dit voorbeeld is die factor 0,068, dat is het brandstofverbruik per kilometer. De eenheid van deze factor is in dit voorbeeld L/km. De verticale vermenigvuldigingsfactor geeft in feite de verhouding tussen de twee grootheden als een getal weer. Een constante verhouding kun je daarmee als een formule schrijven: brandstof afstand

E

R E k E n vo o R b E E l d 1 Het gemiddelde brandstofverbruik van een auto bedraagt 6,80 liter per 100 km. Vraag: Hoeveel liter brandstof is nodig voor een afstand van 12 000 km? Antwoord: Gebruik een verhoudingstabel. De horizontale vermenigvuldigingsfactor is 120, de verticale factor is 0,068 (liter per kilometer). × 120 100 km

12 000 km

× 0,068

6,80 L × 120 Er is 6,80 × 120 = 816 L nodig.

= 0,068 L/km

Een verhoudingstabel kun je gebruiken bij een constante verhouding tussen twee grootheden. De grootheden zijn dan evenredig met elkaar.

9006312768_boek.indb 213

21-06-13 16:13


6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

Het rendement van een magnetron is 78 %. Om een bepaalde hoeveelheid water aan de kook te brengen, is 340 kJ warmte nodig. Vraag: Hoeveel elektrische energie gebruikt de magnetron daarvoor? Antwoord: Gebruik een verhoudingstabel. Van de elektrische energie wordt 78% omgezet in warmte van het water, dat is hier 4,4 ∙102 kJ. × 0,78 78 % 340 kJ

214

Rekenen met procenten

R e k e n vo o r b ee l d 2

100 %

A

× 4,36

Ook bij het rekenen met procenten is een verhoudingstabel handig. Meestal kun je een van de grootheden gelijkstellen aan 100%. Je hebt dan de eerste stap naar de oplossing gezet. In een van de vakjes van de verhoudingstabel staat dus meestal de waarde 100%. Procenten zijn in feite niets anders dan vermenigvuldigingsfactoren. Zo betekent 78% letterlijk ’78 per 100’, dat komt overeen met een factor 0,78. Een toename met 50% is gelijk aan een vermenigvuldiging met een factor 1,5. Een afname van 15% betekent vermenigvuldigen met de factor 0,85. In rekenvoorbeeld 2 is de vermenigvuldigingsfactor 0,78. Omdat in dit voorbeeld teruggerekend wordt naar 100%, moet je nu delen door 0,78. Bij rekenen met procenten mag je uiteraard ook eerst terugrekenen naar 1%. In rekenvoorbeeld 2 deel je dan eerst door 78 en vermenigvuldig je daarna met 100. Je rekent dan in twee stappen.

÷ 0,78 Bij een verhoudingstabel kun je het antwoord ook berekenen met het kruisproduct. In figuur 1 zie je daarvan een voorbeeld. Het getal in het lege vakje bereken je door de getallen in de diagonaal te vermenigvuldigen en daarna het product te delen door 100 × 340 het derde getal: 4,4∙10 = 436 kJ.2 kJ. 78

2 4,4∙10 De magnetron gebruikt 340 = 436 kJ kJ. 0,78

100 %

78 % 340 kJ

Dit rekentrucje komt eigenlijk op hetzelfde neer als de berekeningen in de rekenvoorbeelden 1 en 2. De volgorde van vermenigvuldigen en delen maakt immers niet uit. In 340 = 4,4 ⋅10 2 rekenvoorbeeld 2 heb je gedaan 78/100 en dat is hetzelfde als 100 × 340 .= 436 kJ.

Figuur 1 Het kruisproduct

78

R e k e n vo o r b ee l d 3

EE Bij

Vraag: Is de voedingswaarde van een brood evenredig met de massa van het brood? Welke formule hoort daarbij?

×4

massa (gram) 50 100 200 500

voedingswaarde (kcal) 118 237 473 1183

×4

× 2,37 Antwoord: In de tabel zie je dat als de massa 4 keer zo groot wordt, ook de voedingswaarde 4 keer zo groot wordt. Die twee grootheden zijn dus evenredig. Hun verhouding is constant. Bij elke meting geldt voor deze verhouding: voedingswaarde massa

= 2,37 kcal/g

Dat is dezelfde formule als:

het rekenen met procenten kun een verhoudingstabel gebruiken. het kruisproduct kun je het antwoord berekenen of controleren.

EE Met

Evenredig Twee grootheden zijn evenredig met elkaar als ze met dezelfde factor toenemen of afnemen. Als de ene grootheid n keer zo groot wordt, geldt dat ook voor de andere grootheid. Evenredig wil dus zeggen dat de verhouding tussen twee grootheden constant is. Bij evenredigheid kun je een verhoudingstabel gebruiken. Bij een serie metingen kun je de evenredigheid controleren door te kijken of beide grootheden telkens met dezelfde factor toe- of afnemen. Een andere manier om te controleren of er een evenredig verband bestaat tussen de twee grootheden, is door te kijken naar de verhouding tussen die twee grootheden. Bereken bij elke meting de waarde van dat getal. Als er sprake is van een evenredig verband, moet dat getal ongeveer constant zijn. De gemiddelde waarde van dat getal gebruik je om een formule op te stellen. In rekenvoorbeeld 3 is de verhouding tussen massa en voedingswaarde vrijwel constant. Voor de gemiddelde waarde van de verhouding geldt: voedingswaarde massa

= 2,37 kcal/g .

voedingswaarde = 2,37 × massa.

Dat is dezelfde formule als: voedingswaarde = 2,37 × massa.

In deze formules is de voedingswaarde in kcal en de massa in gram. De eenheid van de constante is dus kcal/gram.

Bij een evenredig verband tussen de grootheden x en y is hun verhouding constant. De formule voor dit verband kun je op twee manieren schrijven:

y/x = constant of y = c ⋅ x .

9006312768_boek.indb 214

21-06-13 16:13


215

A

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden 

Hierbij is in een diagram y de grootheid langs de verticale as en x de grootheid langs de horizontale as. De constante c is gelijk aan de waarde van de verhouding van de twee grootheden, met bijbehorende eenheid. Bij het vak natuurkunde worden dezelfde formules vaak ook op verschillende manieren geschreven, zoals s = v ⋅ t en v = ts . Meestal kiezen we de manier waarbij de on­ bekende grootheid links van het gelijkteken staat. betekent: wordt de ene grootheid n keer zo groot, dan wordt de andere grootheid ook n keer zo groot. EE Als twee grootheden evenredig met elkaar zijn, is de verhouding tussen die twee grootheden constant. EE Evenredig

Nauwkeurigheid en significante cijfers De getallen die je bij natuurkunde gebruikt zijn meestal niet exact. Heel vaak zijn ze verkregen uit metingen. Als in een opgave gegeven wordt dat een afstand van 15 km wordt afgelegd in 42 minuten, dan zijn dat afgeronde getallen. Dat betekent dat 15 km in werkelijkheid ook 14,7 of 15,2 km kan zijn geweest. En de tijd zou bijvoorbeeld ook 42 minuten en 28 seconden kunnen zijn geweest. De nauwkeurigheid van een getal kun je aflezen aan het aantal cijfers waarmee het getal geschreven is. Zo is 14,88 veel nauwkeuriger dan 15 want het eerste getal heeft vier cijfers en het tweede getal heeft maar twee cijfers. Het aantal cijfers van een getal noemen we het aantal significante cijfers. Daar is wel een uitzondering op: de nullen die aan de linkerkant staan tellen niet mee, ze zijn niet significant (niet betekenisvol). Een afstand van 0,015 km is immers niet nauwkeuriger dan 15 m, het is alleen anders geschreven. De nullen aan de linkerkant zijn het gevolg van de eenheid die is gekozen. Nullen aan de rechterkant van een gegeven getal zijn wel significant. Het getal 15 is veel minder nauwkeurig dan het getal 15,000. Als in een opgave staat dat een afstand 15,000 m is, wil dat zeggen dat die afstand tot op de millimeter nauwkeurig gemeten is. Bij wiskunde betekenen die twee getallen wel hetzelfde, bij natuurkunde niet. Het resultaat van een berekening moet je bij natuurkunde altijd afronden op het juiste aantal cijfers. Daarvoor kijk je naar de getallen die je gebruikt hebt bij de berekening, waarbij de volgende afrondingsregels gelden: EE Het aantal significante cijfers is het aantal cijfers waarmee een getal geschreven is, met uitzondering van de nullen aan de voorzijde. EE Bij vermenigvuldigen en delen kijk je naar het aantal significante cijfers van de gegevens. De uitkomst rond je af op het kleinste aantal significante cijfers van de gebruikte getallen. EE Bij optellen en aftrekken kijk je naar het aantal decimalen. De uitkomst rond je af op het kleinste aantal decimalen van de gebruikte getallen. EE Exacte getallen zoals π en aantallen (bijvoorbeeld voorwerpen) tellen niet mee in deze afrondingsregels. EE Het EE Bij

aantal significante cijfers geeft de nauwkeurigheid van een getal aan. berekeningen in de natuurkunde gelden afrondingsregels.

9006312768_boek.indb 215

R e k e n vo o r b ee l d 4 Vraag: Noteer van de volgende getallen het aantal significante cijfers en het aantal decimalen:

12,4 0,23 5000 0,0034 0,440 Antwoord: Het aantal decimalen is het aantal cijfers achter de komma: 12,4 (1) 0,23 (2) 5000 (0) 0,0034 (4) 0,440 (3) Het aantal significante cijfers is het aantal cijfers, met uitzondering van de nullen aan de voorkant van het getal: 12,4 (3) 0,23 (2) 5000 (4) 0,0034 (2) 0,440 (3)

R e k e n vo o r b ee l d 5 Vraag: Rond de uitkomst van de volgende berekeningen op de juiste wijze af.

1,8 × 2,34 0,0180 × 234,00 23,40 − 22,8 Antwoord:

1,8 + 2,34 0,0180 + 234,00 23,40 22,8

1,8 × 2,34 = 4,2 (2 significante cijfers) 1,8 + 2,34 = 4,1 (1 decimaal) 0,0180 × 234,00 = 4,21 (3 significante cijfers) 0,0180 + 234,00 = 234,02 (2 decimalen) 23,40 − 22,8 = 0,6 (1 decimaal) 23,40 = 1,03 (3 significante cijfers) 22,8

21-06-13 16:13


6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

snelheid in m/s snelheid in km/h Figuur 2

9006312768_boek.indb 216

1,0 m/s 120 km/h

A

216

1

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a 50% van 250 is 1250. b Als je van 80% naar 100% gaat, komt er 20% bij en moet je vermenigvuldigen met 1,2. c Een afname van 80% betekent delen door 1,8. d Een broek is 50% afgeprijsd en kost nu € 80. De oude prijs was dus € 120. e Een evenredig verband betekent dat de ene grootheid tien keer zo groot wordt als de andere grootheid met tien toeneemt. f Bij een evenredig verband is de verhouding tussen de grootheden constant. g Bij een evenredig verband kun je geen verhoudingstabel gebruiken.

2

Noteer bij de volgende vragen ook de berekening. a Een hoeveelheid van 22 neemt met 27% toe. Wat wordt de nieuwe hoeveelheid? b Een artikel in de winkel is 35% afgeprijsd en kost nu € 3,73. Wat was de originele prijs? c Hoe groot is de vermenigvuldigingsfactor bij een toename van 100%? d Ongeveer 71% van het aardoppervlak bestaat uit water, bij elkaar een oppervlakte van 362 miljoen km². Bereken de totale oppervlakte van het land.

3

Bij het afronden van berekeningen moet je letten op het aantal decimalen of het aantal significante cijfers van de gegevens. a Bij welke soort berekeningen moet je letten op het aantal decimalen? b Bij welke soort berekeningen moet je letten op het aantal significante cijfers? c Noteer van de volgende getallen zowel het aantal decimalen als het aantal significante cijfers. 1 315,2 2 20,0 3 0,027 4 0,810 d Rond de volgende berekeningen op de juiste manier af. Noteer erbij of je hebt gelet op het aantal significante cijfers of het aantal decimalen. 1 141,5 × 3,48 = 5 141,5 + 3,48 = 2 0,0270 × 180,00 = 6 0,0270 + 180,00 = 6,7 3 6,7 − 4,12 = 7 41,2 = 0,18 4 125 × 4,30 8 125 × (0,82 + 8,27) =

4

Bij een bepaalde auto is het gemiddeld brandstofverbruik 7,2 liter per 100 km. Per jaar rijdt de auto 24 000 km. De prijs van de brandstof is € 1,72 per liter. Gebruik bij de berekeningen een verhoudingstabel. a Hoeveel liter brandstof is nodig voor een afstand van 750 km? b Hoeveel brandstof kun je kopen met € 15? c Hoe hoog zijn de brandstofkosten per kilometer? Bereken het antwoord in centen en rond af op één decimaal. d Hoeveel kost het benzineverbruik per jaar? Rond af op honderden euro’s.

5

Bij het omrekenen van snelheden van m/s naar km/h of omgekeerd kun je een verhoudingstabel gebruiken. Een wandelaar loopt met een snelheid van 1,0 m/s. Leg uit dat hij in een uur 3,6 km loopt.

21-06-13 16:13


217

A

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden 

Evelien wil een verhoudingstabel gebruiken om een snelheid van 120 km/h om te rekenen naar m/s. In figuur 2 staat de tabel die zij heeft gemaakt. a Hoe moet Evelien de tabel verder invullen? b Leg uit dat Evelien voor haar berekening moet delen door 3,6.

6

Bij een traditionele televisie is de verhouding breedte : hoogte = 4 : 3. a Het scherm van een monitor heeft een breedte van 48 cm. Bereken de hoogte van het scherm met een verhoudingstabel. b Het beeldscherm bestaat uit 1280 bij 960 pixels. Is dat dezelfde verhouding als 4 : 3? Bij een breedbeeldscherm is de verhouding 16 : 9. Een bepaald scherm heeft in de hoogte 1080 pixels. c Hoeveel pixels heeft het scherm in de breedte?

7

Een mp3-bestand is een gecomprimeerd muziekbestand dat veel kleiner is dan het originele bestand. De compressie gaat steeds met dezelfde factor. Een muzieknummer dat op cd een grootte heeft van 44 Mb (megabyte) heeft als mp3-bestand een grootte van 4,0 Mb. a Een bepaald mp3-bestand is 4,8 Mb. Bereken hoe groot het originele bestand was. b Een bepaalde muziek-cd bevat 550 Mb aan geluidsbestanden. Hoeveel Mb ruimte zullen de gecomprimeerde mp3-bestanden innemen? Soms kun je bij het omzetten van normale muziekbestanden naar mp3bestanden ook zelf een compressieverhouding instellen. Een bepaalde mp3-speler heeft nog 725 Mb vrije ruimte. Je wilt 20 cd’s op deze speler zetten, die elk 650 Mb muziek bevatten. Om de kwaliteit zo goed mogelijk te krijgen wil je alle ruimte op de mp3-speler benutten. c Welke compressieverhouding moet je dan instellen?

8

9

De tabellen van figuur 3 horen bij een evenredig verband. a Vul de open plaatsen in. Maak daarbij gebruik van rekenen in verhoudingen. b Laat zien dat de verhouding y/x constant is. c Schrijf het verband tussen w en z als een formule. Bij bungeejumpen worden bundels van koorden gebruikt die zeer elastisch zijn en tot maximaal drie keer hun lengte kunnen uitrekken. Aan één zo’n koord met een lengte van 12 m worden verschillende gewichten gehangen en de uitrekking wordt gemeten (zie tabel in figuur 4). a Laat met een berekening zien dat de uitrekking van het koord evenredig is met de massa die je eraan hangt. b Neem de tabel over en vul de tabel verder in. uitrekking c Laat zien dat de verhouding steeds even groot is. massa d Welke eenheid heeft deze constante?

9006312768_boek.indb 217

A

x y

12 3,2

18

B

w z

20 2,5

30

54 12,8

27 75

22,5

125

Figuur 3

massa (in kg) 2

uitrekking (in m) 1,2

8 15

9,0 12

25 Figuur 4

21-06-13 16:13


6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

Je fietst een bepaalde afstand. Vraag: Is de tijd omgekeerd evenredig met de snelheid? Welke formule hoort daarbij?

×2

tijd (h) 0,75 0,50 0,38 0,30

÷2

Antwoord: Wordt de snelheid 2 × zo groot, dan wordt de tijd 2 × zo klein. Dat betekent een omgekeerd evenredig verband. Bij een omgekeerd evenredig verband is het product van de twee grootheden constant. Hier geldt: snelheid × tijd = 7,5 km. Dat is dezelfde formule als: tijd = 7,5/snelheid. In deze formules is de snelheid in km/h en de tijd in h (uur). De eenheid van de constante is km.

R e k e n vo o r b ee l d 7 Vraag: Is bij een apparaat in huis de stroomsterkte evenredig of omgekeerd evenredig met de weerstand van het apparaat? Antwoord: In huis is de spanning constant: U = 230 V. Aan de formule U = I ⋅ R zie je dat een grotere weerstand een kleinere stroomsterkte geeft. De stroomsterkte is dus om­ gekeerd evenredig met de weerstand. Vraag: Is in een serieschakeling van verschillende lampjes de spanning over een lampje evenredig of omgekeerd evenredig met de weerstand van het lampje? Antwoord: In een serieschakeling is de stroomsterkte I constant. Aan de formule U = I ⋅ R zie je dat een grotere weerstand een grotere spanning geeft. De spanning is dus evenredig met de weerstand.

9006312768_boek.indb 218

218

omgekeerd evenredig

R e k e n vo o r b ee l d 6

snelheid (km/h) 10 15 20 25

A

Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig met elkaar als de ene grootheid met dezelfde factor afneemt als waarmee de andere grootheid toeneemt. Als de ene grootheid n keer zo groot wordt, wordt de andere grootheid n keer zo klein. Bij omgekeerde evenredigheid geldt niet dat de verhouding tussen twee grootheden constant is. Bij omgekeerde evenredigheid kun je dus geen verhoudingstabel gebruiken. In rekenvoorbeeld 6 zie je dat de tijd over een bepaalde afstand afneemt, als de snelheid toeneemt. Als de snelheid twee keer zo groot wordt, wordt de tijd twee keer zo klein. Om aan te tonen dat hier sprake is van een omgekeerd evenredig verband zou je dit bij elke meting moeten controleren, maar dat is veel werk. Bovendien zijn metingen nooit exact, dus de factoren kunnen altijd een beetje verschillend zijn. Een goede manier om te controleren of er een omgekeerd evenredig verband tussen de twee grootheden bestaat, is door te kijken naar het product van de twee grootheden. Want bij een omgekeerd evenredig verband is het product constant en niet de verhouding. Bereken bij elke meting de waarde van het product. Als er sprake is van een omgekeerd evenredig verband, is dat product ongeveer constant. De gemiddelde waarde van dat product gebruik je om een formule op te stellen. In rekenvoorbeeld 6 geldt voor de gemiddelde waarde van het product: snelheid × tijd = 7,5 km. Dat is dezelfde formule als: tijd = 7,5/snelheid. In dit voorbeeld is het vanzelfsprekend dat het product constant is: snelheid × tijd is immers hetzelfde als afstand. Bij een omgekeerd evenredig verband is het product van de twee grootheden dus constant. De formule voor het verband kan op twee manieren geschreven worden: y ⋅ x = constant

of y =

c x

.

Hierbij is in een diagram y de grootheid langs de verticale as en x de grootheid langs de horizontale as. De constante c is gelijk aan het product van de twee grootheden, met bijbehorende eenheid. Natuurkundeformules hebben vaak drie of meer grootheden. Je kunt aan de formule dan goed aflezen of er sprake is van een evenredig of een omgekeerd evenredig verband tussen twee van die grootheden als de andere grootheden in de formule constant zijn (zie rekenvoorbeeld 7). evenredig betekent: wordt de ene grootheid n keer zo groot, dan wordt de andere grootheid n keer zo klein. EE Als twee grootheden omgekeerd evenredig met elkaar zijn, is het product van die twee grootheden constant. EE Bij een formule met drie of meer grootheden kun je het verband tussen twee grootheden herkennen als je weet dat de andere grootheden constant zijn. EE Omgekeerd

21-06-13 16:13


A

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden

grafieken bij evenredigheden De eigenschappen evenredig en omgekeerd evenredig kun je ook herkennen aan de vorm van de grafiek, de lijn in het diagram. Dat is vooral handig als je een onderzoek doet naar het verband tussen twee grootheden. Bij experimenten zijn de metingen nooit helemaal exact, dus de punten in de grafiek zullen niet precies op één lijn liggen, maar wel ongeveer. Je ziet welke metingen goed bij de lijn passen en welke er duidelijk buiten liggen. Als een meting duidelijk niet bij de lijn past, kan er bij de proef of de meting iets fout gegaan zijn.

voedingswaarde (kcal)

219

1000 800 pindakaas 6,25 kcal/g

600 400

volkorenbrood 2,34 kcal/g

200

De grafiek van een omgekeerd evenredig verband is een dalende kromme lijn die steeds dichter naar de assen loopt maar nergens een as snijdt. Bovendien is de grafiek symmetrisch in de stippellijn door de oorsprong (zie figuur 6). Om te controleren of een dalende kromme grafiek een omgekeerde evenredigheid voorstelt, kun je rechthoeken tekenen tussen de oorsprong en een punt op de lijn. Die rechthoeken moeten steeds dezelfde oppervlakte hebben (zie figuur 6). Een evenredig en een omgekeerd evenredig verband kun je dus herkennen aan de vorm van de grafiek. Als het verband tussen twee grootheden niet evenredig is of omgekeerd evenredig, is het herkennen van het verband lastiger. Meestal wordt dan de computer ingezet om het juiste verband bij een serie metingen te zoeken. Maar het kan ook met de rekenmachine en grafiekpapier (zie paragraaf 6.2). E

E

Bij een evenredig verband is de grafiek een rechte lijn door de oorsprong. Het hellingsgetal van de lijn is gelijk aan de verhouding van de twee grootheden. Bij een omgekeerd evenredig verband is de grafiek een kromme dalende lijn. Het product van de twee grootheden is de constante oppervlakte van de rechthoek tussen de assen en een punt van de grafiek.

0

0

40

80

120

160 200 massa (g)

Figuur 5 Twee evenredige verbanden

tijd t (s)

Bij een evenredig verband hoort een rechte lijn door de oorsprong. Als de ene grootheid nul wordt, moet de andere immers ook nul zijn geworden. Het hellingsgetal van de rechte lijn is gelijk aan de evenredigheidsconstante, de constante verhouding tussen de twee grootheden (zie figuur 5). Als je uit een diagram het hellingsgetal bepaalt, kies je altijd een zo groot mogelijk gebied om het hellingsgetal nauwkeurig te kunnen bepalen. Het hellingsgetal heeft bij natuurkunde vrijwel altijd een eenheid. Aan de eenheid kun je vaak herkennen wat de betekenis van het hellingsgetal is.

4000

v × t = 6000 m

3500 3000 2500 2000

opp = 6000 m

1500 1000 500 0

v × t = 1500 m 0

2

4

6

8 10 snelheid v (m/s)

Figuur 6 Twee omgekeerd evenredige verbanden

10 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f

De grafiek van een omgekeerd evenredig verband snijdt alleen de verticale as en niet de horizontale as. Bij een omgekeerd evenredig verband is de verhouding tussen de twee grootheden constant. De formule y/x = 3 is hetzelfde als y = 3x. De grafiek van de formule y ∙ x = 3 gaat door de oorsprong. Bij een omgekeerd evenredig verband is het product van de twee grootheden even groot als het hellingsgetal van de lijn. Bij de grafiek van de formule p ∙V = 1200 is het hellingsgetal van de lijn 1200. De formule y=27/x is hetzelfde als x ∙ y = 27.

9006312768_boek.indb 219

21-06-13 16:13


6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

g

A

B

x y

12 315

18 210

126

w z

20 52,5

30 35

21

A

220

De grafiek van de formule A = 3627 T snijdt de assen in twee punten: bij T = 36 en bij A = 27.

11 De tabellen in figuur 7 horen bij een omgekeerd evenredig verband.

45

a

12

b c

75 3,5

Neem de tabel over en vul de open plaatsen in. Laat zien dat het product x ∙ y constant is. Schrijf het verband tussen w en z als een formule.

12 Geef bij elk van de volgende situaties aan of er sprake is van:

Figuur 7

E E E

a

b

c

d

een evenredig verband; een omgekeerd evenredig verband; geen van beide. Piet deelt pepernoten uit. Hij verdeelt een grote zak eerlijk over al zijn vrienden. Is het aantal pepernoten dat elke vriend krijgt evenredig of omgekeerd evenredig met het aantal personen dat pepernoten krijgt? Je sluit verschillende elektrische apparaten aan op de netspanning. Is de stroomsterkte door het apparaat evenredig of omgekeerd evenredig met de weerstand van het apparaat? Je sluit verschillende elektrische apparaten aan op de netspanning. Is het vermogen van het apparaat evenredig of omgekeerd evenredig met de stroomsterkte door het apparaat? De remweg van een scooter hangt af van de grootte van de remkracht. Is de remweg evenredig of omgekeerd evenredig met de grootte van de remkracht?

13 In figuur 8 zie je vier grafieken met een dalende kromme. Twee van de vier 300 250

250

A

200 150

150 100

50

50 0

1

2

3

4

5

B

200

100

0

grafieken horen bij een omgekeerd evenredig verband. a Waaraan kun je zien dat grafiek A en grafiek D bij een omgekeerd evenredig verband horen en grafiek B en C niet? b Controleer bij grafiek A en bij grafiek D bij twee punten van de lijn dat het product constant is.

300

6

7

8

300

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

14 De twee grafieken van figuur 9 horen bij een evenredig verband.

300

250

250

C

200

200

150

150

100

100

50

50

0

0

0

1

2

3

4

5

D

6

7

8

120

350

100

300 250

80

200

60 0

1

2

3

4

5

6

7

8

y

y

150

40

Figuur 8 Welke grafiek hoort bij een omgekeerd

100

20

50

evenredig verband? -5

0 -20

0

5

10 x

15

20

25

0

-5

0

-50

5

10

15

20

25

x

Figuur 9 Twee grafieken van een evenredig verband a b c

9006312768_boek.indb 220

Leg uit bij welke grafiek de formule y = 12x hoort. Welke formule hoort bij de andere grafiek? Bepaal bij beide grafieken de verhouding y . x

21-06-13 16:13


A

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden

15 De maximale spierkracht die je met je benen kunt leveren, noemen we de trapkracht. Bij krachtsporters hangt de trapkracht sterk af van het lichaamsgewicht. In de grafiek van figuur 10 zie je voor een aantal getrainde krachtsporters de trapkracht uitgezet tegen het lichaamsgewicht. De grafieklijn in figuur 10 is door de computer berekend als best mogelijke rechte lijn door de meetpunten. a Hoe kun je aan de grafiek zien dat er (globaal) sprake is van een evenredig verband? b Controleer bij minstens twee punten op de lijn dat de verhouding tussen trapkracht en lichaamsgewicht constant is. c Bepaal het hellingsgetal van de lijn. d Welke eenheid hoort bij het hellingsgetal?

trapkracht Ftrap(N)

221

3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0

0

20

40

60

80 100 120 140 lichaamsgewicht m (kg)

Figuur 10 De trapkracht van krachtsporters hangt af

keer hun lengte kunnen uitrekken. De grafiek in figuur 11 hoort bij een koord met een lengte van 12 m. a Hoe kun je aan de grafiek zien dat hier sprake is van een evenredig verband? b Bepaal uit de grafiek het hellingsgetal. c Welke eenheid hoort bij het hellingsgetal? d Laat met één rekenvoorbeeld zien dat de verhouding (uitrekking gedeeld door massa) gelijk is aan het hellingsgetal. e De maximale uitrekking is 24 m. Welke massa hoort daarbij? f Voor een persoon van 80 kg wordt een bundel van vijf koorden gebruikt. Hoe groot is de uitrekking als deze persoon aan het samengestelde koord hangt? g Eén koord wordt doormidden geknipt, zodat twee koorden van 6 m lengte ontstaan. Beschrijf hoe de grafiek verandert als het koord 6 m lang is.

van het lichaamsgewicht.

uitrekking u (m)

16 Bij bungeejumpen worden koorden gebruikt die zeer elastisch zijn en tot wel drie

16  14  12  10  8  6  4  2  0 

0

5

10

15

20

25 30 massa m (kg)

17 Elske heeft een nieuwe racefiets. Ze oefent op een vast trainingsrondje. Met een stopwatch meet ze de tijd die ze over het rondje doet. Daarmee berekent ze haar gemiddelde snelheid. Ze heeft een tabel gemaakt waarmee ze snel kan zien wat haar gemiddelde snelheid was (zie figuur 12).

a b c

tijd (minuten)

30,0

snelheid (km/h)

24,0

27,5

25,0

22,5

20,0

28,8

32,0

36,0

Figuur 11 De uitrekking van een bungeekoord

Figuur 12

Leg in je eigen woorden uit dat de snelheid omgekeerd evenredig moet zijn met de tijd. Reken met twee getallenvoorbeelden na dat het inderdaad om een omgekeerd evenredig verband gaat. Bereken de gemiddelde snelheid bij een tijd van 27,5 minuten.

18 Een zwembad met 92 000 L water wordt leeggepompt. De pomp heeft een capaciteit van 240 L water per uur. a Hoeveel uur duurt het voordat het zwembad leeg is? b Hoe groot zou de capaciteit moeten zijn om het zwembad in 48 uur leeg te pompen? c Stel een formule op die het verband weergeeft tussen de capaciteit C van de pomp en de tijd t die nodig is om het zwembad leeg te pompen.

9006312768_boek.indb 221

21-06-13 16:13


6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

A

222

19 Uit biologisch onderzoek blijkt dat vogels, vleermuizen en insecten op een vergelijkbare manier met hun vleugels bewegen als vissen met hun staartvin. Onderzoekers hebben ontdekt dat de vliegsnelheid en de zwemsnelheid evenredig zijn met de slagfrequentie (het aantal slagen per seconde van de vleugels of de staartvin). Voor vogels en vissen geldt dus het verband: v = c ∙ f. In deze formule is f de slagfrequentie (het aantal slagen per seconde van de vleugels of de staartvin), v de vliegsnelheid of de zwemsnelheid (in meter per seconde) en c een constante die per diersoort verschilt. Voor een kolibrie (zie figuur 13) geldt: v = 0,27 × f. a Een kolibrie heeft een vliegsnelheid van 13,5 m/s. Bereken de slagfrequentie ×× 522 ÷2 5 van deze kolibrie. b Bereken de snelheid van de kolibrie als het vogeltje 40 slagen per seconde maakt. De constante in de formule geeft aan hoeveel meter het dier bij één slag aflegt. De eenheid is dus meter (per slag). Een tuimelaar (een dolfijnensoort) legt per slag een grotere afstand af dan een kolibrie, daarbij hoort een grotere constante in de formule. c Stel dat de kolibrie en de tuimelaar evenveel slagen per seconde zouden maken, wie heeft dan de grootste snelheid? Leg dat uit met behulp van de formule. Een tuimelaar heeft bij een snelheid van 15 m/s een slagfrequentie van 0,8 slagen per seconde. d Leg uit wat bij een tuimelaar de formule voor de snelheid v en de slag­ frequentie f is. ÷√6 ×6 ×2,65 ÷√2,65

Figuur 13 Kolibrie

Figuur 14 Tuimelaar

andere Soorten evenredigheid R e k e n vo o r b ee l d 8

Evenredig met het kwadraat of met de wortel

Vraag: Wat is het verband tussen de remweg en de beginsnelheid? Hoe bereken je de remweg bij 60 km/h?

×3 ×2

snelheid (in km/h) 10 20 30 60

remweg (in m) 0,5 2,0 4,5

× 32= × 22=

Antwoord: De toename is meer dan evenredig. Bij 30 km/h is de remweg 9 × zo groot als bij 10 km/h, terwijl de snelheid 3 × zo groot is. De remweg is dus evenredig met het kwadraat van de snelheid. Bij 60 km/h wordt de remweg dus 36 × zo groot als bij 10 km/h (of 4 × zo groot als bij 30 km/h).

9006312768_boek.indb 222

Soms is een verband tussen twee grootheden niet evenredig of omgekeerd evenredig. Als bijvoorbeeld een auto twee keer zo hard rijdt, is de remweg niet twee keer zo groot maar vier keer. De remweg is dan meer dan evenredig met de snelheid. We zeggen: de remweg is evenredig met het kwadraat van de snelheid. Wordt de snelheid een factor n groter, dan wordt de remweg n² keer zo groot. In rekenvoorbeeld 8 zie je dat de remweg negen keer zo groot wordt als de snelheid drie keer zo groot wordt. De remweg is dus evenredig met het kwadraat van de snelheid. Met dat verband kun je ook de remweg bij een andere snelheid uitrekenen. Bereken eerst met welke factor de snelheid vergroot wordt. De remweg neemt dan toe met het kwadraat van die factor. De toename kan ook minder dan evenredig zijn, zoals bij de slingertijd van een schommel. In rekenvoorbeeld 9 zie je dat als de slinger twee keer zo lang wordt, de slingertijd toeneemt met een factor 2 . Als de lengte met een factor n toeneemt, wordt de slingertijd n keer zo groot. De slingertijd is dus evenredig met de wortel van de lengte. Met dat verband kun je ook de slingertijd bij een andere lengte uitrekenen. Bereken eerst met welke factor de lengte toeneemt. De slingertijd neemt dan toe met de wortel van die factor.

21-06-13 16:13


223

A

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden 

met het kwadraat betekent: als de ene grootheid met een factor n toeneemt, wordt de andere grootheid n² keer zo groot. EE Evenredig met de wortel betekent: als de ene grootheid met een factor n toeneemt, wordt de andere grootheid n keer zo groot. EE Evenredig

R e k e n vo o r b ee l d 9 Vraag: Wat is het verband tussen de slingertijd en de lengte van de slinger? Hoe bereken je de slingertijd bij een slinger van 5,0 m?

Omgekeerd evenredig met het kwadraat of met de wortel Bij een omgekeerd evenredig verband geldt: wordt de ene grootheid n keer zo groot, dan wordt de andere grootheid n keer zo klein. Bij andere dalende verbanden is die factor niet n maar bijvoorbeeld n of n². In rekenvoorbeeld 10 zie je dat de lichtintensiteit 25 keer zo klein wordt als de afstand tot de lamp vijf keer zo groot wordt. Je kunt dus zeggen dat de lichtintensiteit omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand. Met dat verband kun je ook de lichtintensiteit bij een andere afstand uitrekenen. Bereken eerst met welke factor de afstand toeneemt. De lichtintensiteit neemt dan af met het kwadraat van die factor. De afname kan ook minder dan evenredig zijn, zoals bij de valtijd van een voorwerp vanaf een bepaalde hoogte. In rekenvoorbeeld 11 zie je dat als de valversnelling op een andere planeet zes keer zo groot is, de valtijd daar een factor 6 kleiner is. Als de valversnelling met een factor n toeneemt, wordt de valtijd n keer zo klein. De valtijd is dus omgekeerd evenredig met de wortel van de valversnelling. Met dat verband kun je ook de valtijd bij een andere valversnelling uitrekenen. Bereken eerst met welke factor de valversnelling toeneemt. De valtijd neemt dan af met de wortel van die factor. evenredig met het kwadraat betekent: wordt de ene grootheid een factor n groter, dan wordt de andere grootheid n² keer zo klein. EE Omgekeerd evenredig met de wortel betekent: wordt de ene grootheid een factor n groter, dan wordt de andere grootheid n keer zo klein.

×2 × 1,25

×6 × 2,65

valversnelling (in m/s²) 1,63 (maan) 9,81 (aarde) 26,0

valtijd (in s) 1,57 0,64

÷

6

÷

2,65

×

2=

×

1,25 =

R e k e n vo o r b ee l d 10 Vraag: Wat is het verband tussen de lichtintensiteit van een lamp en de afstand? Hoe bereken je de lichtintensiteit op een afstand van 10 m? afstand (in m) ×5 ×2

Vraag: Wat is het verband tussen de valversnelling op een planeet en de valtijd vanaf 2,0 m hoogte? Hoe bereken je de valtijd bij een val­versnelling van 26 m/s²?

slingertijd (in s) 2,8 3,4 4,0

Antwoord: De toename is minder dan evenredig. Bij 4,0 m is de slingertijd 2 maal zo groot als bij 2,0 m. De slingertijd is dus evenredig met de wortel van de lengte. Bij 5,0 m wordt de slingertijd dan 1,25 × zo groot als bij 4,0 m.

EE Omgekeerd

R e k e n vo o r b ee l d 11

lengte (in m) 2,0 3,0 4,0 5,0

1,0 2,0 5,0 10

lichtintensiteit (in lux) 400 100 16

÷ 52 ÷ 22

Antwoord: De afname is meer dan evenredig. Bij een afstand van 2,0 m is de intensiteit 4 × zo klein als bij 1,0 m. De intensiteit is dus omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand. Bij 10 m wordt de intensiteit dus 4 × zo klein als bij 5 m.

Antwoord: De afname is minder dan evenredig. Als de valversnelling 6× zo groot is, neemt de valtijd af met een factor 6 . De valtijd is dus omgekeerd evenredig met de wortel van de valversnelling. Bij 26 m/s² wordt de valtijd dus 2,65 × zo klein als bij 9,81 m/s².

9006312768_boek.indb 223

21-06-13 16:13


6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

vb

srem

(m/s)

(m)

3,0

1,3

5,0

3,6

7,0

7,2

9,0

12

11,0

17

vb2

T

(kg)

(s)

0,025

0,24

0,050

0,34

0,075

0,42

0,100

0,48

0,40

0,84

0,200

0,68

m

Figuur 16

21 Een gewichtje met massa m hangt aan een veer en kan op-en-neer trillen. De trillingstijd T van zo’n massaveersysteem is de tijd die nodig is om één volledige beweging op-en-neer te maken. a Uit de metingen in de tabel van figuur 16 kun je afleiden dat T niet evenredig is met m. Laat dat met een rekenvoorbeeld zien. Volgens de theorie is de trillingstijd T evenredig met m . b Neem de tabel over en vul de middelste kolom in. c Laat met een rekenvoorbeeld zien dat T inderdaad evenredig is met m . d Bereken de trillingstijd bij een massa van 0,250 kg. e Bij welke massa is de trillingstijd 0,96 s? Geef een berekening.

22 Een leerling onderzoekt hoe de weerstand R van een ronde metaaldraad afhangt

d

R

(mm)

(Ω)

0,18

4,5

0,25

2,2

0,31

1,4

0,36

1,1

0,40

0,84

Figuur 17

20 De remweg van een fiets hangt af van de beginsnelheid. In de tabel van figuur 15 zie je een serie metingen waar bij verschillende beginsnelheden vb de remweg srem gemeten is. a Uit de metingen kun je afleiden dat srem niet evenredig is met vb. Laat dat met een rekenvoorbeeld zien. Volgens de theorie is de remweg srem evenredig met het kwadraat van vb. b Neem de tabel over en vul de rechterkolom in. c Laat met een rekenvoorbeeld zien dat srem inderdaad evenredig is met vb². d Bereken de remweg bij een beginsnelheid van 12 m/s. e Bereken bij welke beginsnelheid de remweg 48 m is.

Figuur 15

m

A 224

van de diameter d van de dwarsdoorsnede van de draad. Hij voert het onderzoek uit met meerdere draden van hetzelfde metaal met telkens dezelfde lengte, maar met verschillende diktes. De resultaten zijn weergegeven in de tabel van figuur 17. a Uit de metingen kun je afleiden dat de weerstand afneemt als de diameter toeneemt. R is echter niet omgekeerd evenredig met d. Laat dat met een rekenvoorbeeld zien. Volgens de theorie is de weerstand R omgekeerd evenredig met d². b Laat met een rekenvoorbeeld zien dat R inderdaad omgekeerd evenredig is met d². c Bereken de weerstand als de diameter 0,50 mm is. d Bereken bij welke diameter de weerstand 9,9 Ω is.

Rekenkundige en wiskundige vaardigheden Bij natuurkunde moet je ook een aantal rekenkundige en wiskunde vaardigheden kunnen toepassen. De meeste daarvan ben je al eerder bij wiskunde of natuurkunde tegengekomen. De volgende tabellen geven een overzicht van de vaardigheden die je moet kunnen gebruiken bij het centraal examen.

9006312768_boek.indb 224

21-06-13 16:13


225

A

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden 

Basisrekenvaardigheden

Voorbeeld, formule of verwijzing

rekenen met verhoudingen en procenten

zie deze paragraaf

rekenen met breuken, machten en wortels

los op: 14 x = 38 los op: x = 0,9 5

de omtrek berekenen van een cirkel, een driehoek en een rechthoek

cirkel: O = 2π ∙ r

de oppervlakte berekenen van een cirkel, een driehoek en een rechthoek

cirkel: A = π ∙ r² driehoek: A = 12 ⋅ b ⋅ h rechthoek: A = l ∙ b

het volume berekenen van een balk en een cilinder

balk: V = l ∙ b ∙ h cilinder: V = π ∙ r² ∙ h

Wiskundige vaardigheden

Voorbeeld, formule of verwijzing

formules omschrijven

omschrijven tot x = 25 y = 25 y x

redeneren met evenredigheden

zie deze paragraaf

lineaire en tweedegraads vergelijkingen oplossen

lineair: los op 3,2x + 7,5 = 30,8 kwadratisch: los op 3x² + 4,5x = 17

vergelijkingen met machten van x oplossen

los op: 5x³ = 18,7

sinus, cosinus en tangens berekenen

4,2 bereken: sin(α ) = 5,8

stelling van Pythagoras toepassen

a² + b² = c²

vergelijking van een lijn opstellen

y=a∙x+b met a = helling en b = snijpunt y-as

tekenen van de raaklijn aan een kromme

zie H2 (Bewegingen) en H5 (Straling)

steilheid van een (raak)lijn bepalen

c=

oppervlakte onder een grafiek bepalen

hokjes tellen of afschatten met een driehoek en/of rechthoek

substitueren van formules

A = πr² invullen bij p =

in natuurkundige formules eenheden afleiden en controleren

in verschillende hoofdstukken

9006312768_boek.indb 225

Δy Δx

F A

21-06-13 16:13


Newton 4 havo