Issuu on Google+

1

1

FAM FAM Financiële rekenvaardigheden

BV in Balans biedt ondersteunend lesmateriaal gebaseerd op de competentiegerichte kwalificatiedossiers die door het Kenniscentrum beroepsonderwijs bedrijfsleven ECABO voor de Financiële beroepen zijn ontwikkeld. Het lesmateriaal dekt de kerntaken, werkprocessen en activiteiten voor de kwalificatiedossiers: • •

niveau 3 (Financieel Administratief Medewerker) en niveau 4 (Bedrijfsadministrateur, Assistent-accountant en Salarisadministrateur).

Financiële rekenvaardigheden Editie

BV in Balans bestaat uit leereenheden waarin de leerling zijn eigen leerweg vindt en waarmee de docent het gewenste curriculum vult.

2013

E.P. van Balen, K. Broersen, G.W.M van Heeswijk, J.P. Mijnster, S.J. Stienstra, T.F.G. Suppers, T. van de Veerdonk e.a.

Mede dankzij de kritische gebruikers die hun wensen kenbaar hebben gemaakt, maakt dit lesmateriaal het mogelijk om ‘Balans in het onderwijs’ te brengen.

De auteurs

FAM

Leerwerkboek

9781111270070

1

1


1

1

COLOFON ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Onderwijs Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: www.thiememeulenhoff.nl of via onze klantenservice (088) 800 20 16 ISBN 9781111270070 Eerste druk, eerste oplage, 2013 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2013. Exemplaar voor verhuur. De eigendom blijft altijd bij de uitgever. Het is niet toegestaan deze uitgave te gebruiken zonder huurovereenkomst met de uitgever. Het is niet toegestaan deze uitgave onder te verhuren, te verkopen of anderszins ter beschikking van derden te stellen. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswet jo het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

1

1


2

2

2

2


3

3

Inhoudsopgave ................................................ 1

2

3

4

5

Rekenvaardigheid 1 - Basisberekeningen 1.1 Inleiding 1.2 Hoe leer ik uit mijn hoofd te rekenen? 1.3 Eenvoudige berekeningen, hoe doe ik dat? 1.4 Hoe rond ik op de juiste manier af? 1.5 Hoe gebruik ik mijn rekenmachine? 1.6 Wanneer is het handig om verhoudingstabellen te gebruiken? 1.7 Hoe reken ik met breuken en percentages? Begrippenlijst Aan het werk Evaluatie

4 5 10 11 12 15 22 25 26 36

Rekenvaardigheid 2 - Rekenen met procenten 2.1 Inleiding 2.2 Waar gebruik ik percentages voor? 2.3 Hoe bereken ik interest? 2.4 Hoe reken ik met winstpercentages? 2.5 Hoe bereken ik kortingen voor contante betaling? 2.6 Hoe reken ik met uitval en afval? Begrippenlijst Aan het werk Evaluatie

42 43 46 50 52 54 58 59 66

De basisonderdelen en functies in Excel 2010 3.1 Inleiding 3.2 Basisonderdelen in Excel 2010 3.3 Rekenen in Excel 3.4 Gegevens in tabellen en grafieken 3.5 Exporteren en archiveren Begrippenlijst Aan het werk Evaluatie

72 73 82 92 117 128 129 164

Gegevens verwerken in Excel 2010 4.1 Inleiding 4.2 Gegevens verzamelen en weergeven in een tabel 4.3 Gegevens sorteren en filteren in Excel 4.4 Subtotalen in Excel 4.5 Draaitabellen en grafieken in Excel Aan het werk Evaluatie

168 169 175 181 187 203 238

Statistiek 1 - Het statistisch onderzoek 5.1 Inleiding 5.2 Wat is een statistisch onderzoek? 5.3 Hoe verzamel ik statistische gegevens? 5.4 Hoe maak ik een tabel?

242 243 246 249

Š ThiemeMeulenho

3

1

3


4

4

6

7

8

9

5.5 Hoe maak ik een grafiek? Begrippenlijst Aan het werk Evaluatie

251 263 265 273

Statistiek 2 - Klassen en centrummaten 6.1 Inleiding 6.2 Hoe maak ik een kolommendiagram? 6.3 Hoe maak ik een frequentiepolygoon? 6.4 Hoe bepaal ik het gemiddelde, de modus en de mediaan? 6.5 Hoe bepaal ik het gemiddelde, de modus en de mediaan als er klassen zijn? Begrippenlijst Aan het werk Evaluatie

278 279 283 286 288 291 292 301

Statistiek 3 - Lastige tabellen en grafieken 7.1 Inleiding 7.2 Hoe maak ik een cumulatieve frequentiepolygoon? 7.3 Hoe maak ik een tabel en grafiek met ongelijke klassenbreedten? 7.4 Hoe werk ik met een meervoudige tabel? Begrippenlijst Evaluatie

304 305 310 313 315 316

Statistiek 4 - Indexcijfers 8.1 Inleiding 8.2 Wat zijn indexcijfers? 8.3 Hoe bereken ik enkelvoudige indexcijfers? 8.4 Wat moet ik nog meer weten over indexcijfers? Begrippenlijst Evaluatie

320 321 322 327 330 331

Statistiek 5 - Grafieken in Excel 9.1 Inleiding 9.2 Hoe maak ik grafieken in Excel? 9.3 Wanneer gebruik ik welke grafiek? 9.4 Hoe zien de verschillende grafieken er uit? Aan het werk Bijlagen Evaluatie

336 336 340 341 347 351 352

Trefwoordenregister

2

4

Š ThiemeMeulenho

4


5

5

1

5

Rekenvaardigheid 1 Basisberekeningen

5


6

6

Theorie ................................................ 1.1

INLEIDING In het dagelijks leven ontkom je niet aan het maken van berekeningen. Om foutloos te kunnen rekenen, is het belangrijk dat je de basisvaardigheden van het rekenen beheerst. Het gaat om optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dit noemen we de basisvaardigheden van rekenen. In het schema lees je dat het dan in eerste instantie gaat om rekenen met je hoofd: hoofdrekenen. Met je hoofd optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen is niet voor iedereen even eenvoudig. Toch zul je zien dat er handige manieren bestaan om eenvoudige berekeningen zonder je rekenmachine uit te voeren. De rekenmachine heeft rekenen eenvoudiger gemaakt. Maar rekenen met een rekenmachine is ook gevaarlijk. Als je een fout maakt en je weet niet precies waarom je de berekening hebt gemaakt en hoe, laat je de fout snel staan. Dan is het antwoord dus ook fout. Het is dus belangrijk om uitgebreid stil te staan bij schattend rekenen. Als je de antwoorden van je berekening schat, maak je minder snel fouten. En als je ze tóch maakt, zie je dat je een fout hebt gemaakt en kun je hem verbeteren. Rekenfouten mag je gewoon nooit maken! Als je in je werk of tijdens je stage rekenfouten maakt, kunnen die het bedrijf veel geld kosten. Tot slot vind je in dit hoofdstuk een handigheidje voor het werken met verhoudingen. Met verhoudingstabellen kun je de winst en de BTW makkelijk uitrekenen. Ook wordt er kort aandacht besteed aan breuken en percentages.

4

6

© ThiemeMeulenhoff

6


7

7

1.2

HOE LEER IK UIT MIJN HOOFD TE REKENEN? Hoofdrekenen is ontzettend belangrijk. Het is jammer dat de meeste mensen er zo weinig aandacht aan besteden. Er zijn tips om je hoofdrekenen te verbeteren. Wanneer je moet uitrekenen hoeveel 60 × 70 is, doe je dat niet op papier (schriftelijk) en zeker niet met je rekenmachine. Je kunt dat doen met handig rekenen. Hoofdrekenen is een manier om handig te rekenen. Kunnen hoofdrekenen is vooral belangrijk, omdat je het antwoord van je berekening ook altijd moet schatten. Zeker als je een rekenmachine gebruikt, is het schatten van de uitkomst erg belangrijk. In de bron over de rekenmachine lees je daar meer over. Nu eerst wat tips om op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen uit je hoofd. HOE KAN IK UIT MIJN HOOFD OPTELLEN EN AFTREKKEN? 1 Optellen Bereken 568 + 412. Dit kun je op meer manieren doen. Eerste manier: 1. Tel de honderdtallen op: 500 + 400 = 900. 2. Tel de tientallen op: 60 + 10 = 70.

© ThiemeMeulenhoff

7

5

7


8

8

3. Tel de eenheden op: 8 + 2 = 10. 4. Tel de uitkomsten op: 900 + 70 + 10 = 980. Tweede manier: Ga uit van het eerste getal (568). 1. Tel de honderdtallen bij het eerste getal op: 568 + 400 = 968. 2. Tel de tientallen bij de uitkomst van stap 1 op: 968 + 10 = 978. 3. Tel de eenheden bij de uitkomst van stap 2 op: 978 + 2 = 980. 2 Optellen Bereken 498 + 561. 1. Rond 498 af op 500 en onthoud dat je 2 te veel neemt. 2. Tel 500 en 561 op. De uitkomst is 1.061. 3. Trek wat je te veel genomen had, van de uitkomst af: 1.061 – 2 = 1.059. 3 Aftrekken Bereken 817 – 320. 1. Rond 817 af op 800; je uitkomst wordt dus 17 te laag. 2. Trek af: 800 – 300 = 500 (honderdtallen aftrekken). 3. Trek af: 500 – 20 = 480 (tientallen aftrekken). 4. Tel bij de uitkomst de 17 die je te laag zat, op. Je krijgt dan: 480 + 17 = 497. 4 Aftrekken Bereken 645 – 412. In dit geval zijn alle "losse" cijfers uit het eerste getal groter dan die uit het tweede. Dat maakt het aftrekken erg eenvoudig: 1. 6 – 4 = 2. 2. 4 – 1 = 3. 3. 5 – 2 = 3. Het antwoord is 233. Maar let erop: dit werkt alleen goed als alle honderdtallen, tientallen en eenheden van het getal waar je van moet aftrekken groter zijn. Anders moet je gaan "onthouden" en dan werkt het niet! 1

KORTOM

Controlevragen Maak de volgende berekeningen via hoofdrekenen en geef de tussenstappen aan die je hebt gezet: – 734 + 218; – 691 – 308; – 512 + 512; – 345.945 – 4.532. Hoofdrekenen: optellen en aftrekken – Je kunt op twee manieren optellen: • van links naar rechts optellen (dus: eerst duizendtallen, dan honderdtallen, dan tientallen, enzovoort); • één getal nemen en dan daarbij stuk voor stuk de honderdtallen, tientallen, enzovoort van het andere getal optellen.

6

8

© ThiemeMeulenhoff

8


9

9

– Bij aftrekken is het handig eerst het getal waarvan je moet aftrekken, af te ronden. Vervolgens: • onthoud je welke “fout” je hebt gemaakt (hoeveel je te veel of te weinig hebt genomen met je afronding); • trek je honderdtallen, tientallen, enzovoort af van het afgeronde getal; • en ten slotte corrigeer je je antwoord met de “fout” die je had gemaakt bij de afronding. HOE KAN IK UIT MIJN HOOFD VERMENIGVULDIGEN EN DELEN? Ook bij vermenigvuldigen en delen kun je soms handige oplossingsmethoden gebruiken. 5 Vermenigvuldigen Bereken 8 × 74. Je kunt natuurlijk van achteren naar voren uit je hoofd gaan rekenen: 1. 8 × 4 = 32. 2. 8 × 70 = 560. 3. Tel 560 en 32 op: de uitkomst is 592. Veel handiger is het als je van voren naar achteren rekent: 1. Vermenigvuldig de eerste factor met het tiental uit de tweede: 8 × 70 = 560. 2. Vermenigvuldig de eerste factor met de eenheden uit de tweede: 8 × 4 = 32. 3. Tel de uitkomsten op: 560 + 32 = 592. Een ander voordeel van deze manier van rekenen is dat je snel ziet hoe groot de uitkomst ongeveer gaat worden. Dat is van belang wanneer je de uitkomst wilt schatten (en dat moet je dus altijd doen!) 6 Vermenigvuldigen Bereken 9 × 68. Hier kun je handig gebruikmaken van het feit dat 68 bijna 70 (een tiental) is. 1. Rond de tweede factor af op een tiental: 70. 2. Vermenigvuldig de eerste factor met het tiental: 9 × 70 = 630. 3. Vermenigvuldig de eerste factor met de "fout" die je hebt gemaakt bij het afronden: 9 × 2 = 18. 4. Trek de uitkomsten van elkaar af: 630 – 18 = 612. Soms kun je het op een andere manier doen. 7 Vermenigvuldigen Bereken 16 × 25. 1. Vermenigvuldig 25 met 2 en deel, om dat te corrigeren, 16 door 2: 16 × 25 = 8 × 50. 2. Herhaal dit: 8 × 50 = 4 × 100 = 400. Uit je hoofd delen is veel lastiger. Je kunt er bij het delen door getallen boven de 10 beter niet aan beginnen. Bij getallen beneden de 10 gaat het meestal nog wel. Vaak komt er uit een deling geen heel getal. Dan wordt uit je hoofd delen helemaal moeilijk. Toch een voorbeeld: 8 Delen Bereken 678 : 4.

© ThiemeMeulenhoff

9

7

9


10

10

Je kunt dit eigenlijk nauwelijks anders doen dan met een "staartdeling uit je hoofd". Dus: 1. 6 : 4 = 1, er blijft 2 over voor de volgende stap, die onthoud je. 2. 7 wordt samen met de onthouden 2 gelijk aan 27 en 27 : 4 = 6; je houdt 3 over. 3. 3 lees je samen met 8 als 38; als je dat door 4 deelt, krijg je 9 en houd je 2 over. 4. 2 : 4 is een half (0,5). 5. Antwoord: 169,5.

2

KORTOM

Controlevragen Maak de volgende berekeningen via hoofdrekenen en geef de tussenstappen aan die je hebt gezet: – 5 × 345; – 7 × 56; – 944 : 4; – 856 : 2. Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen – Bij vermenigvuldigen en delen is hoofdrekenen erg moeilijk; zeker als je wilt delen door getallen die groter zijn dan 10. – Bij vermenigvuldigen kun je vaak eerst de honderdtallen vermenigvuldigen, dan de tientallen, dan de enkelingen en ze dan optellen. – Maar ook dat gaat bijna alleen als je met een getal onder de 10 vermenigvuldigt. HOE KAN IK SCHATTEND REKENEN? Je staat bij de kassa van van de Media Markt met de volgende aankopen: – een cd: € 17,99; – een dvd: € 24,49; – een spel voor de Playstation: € 64,98. Je rekent af en de caissière vertelt je dat je € 172,44 moet betalen. Als je het totaalbedrag dat je moet betalen schat, weet je meteen dat er een fout is gemaakt. Je moet ongeveer 18 + 25 + 65, dus iets meer dan € 100 betalen, niet bijna € 175. Samen bekijken jullie de bon. Het blijkt dat ze het spel tweemaal heeft gescand. Als je het totaalbedrag niet had geschat, had je het spel misschien wel tweemaal betaald. Wanneer je het totaal van een berekening wilt schatten, doe je dat door de getallen af te ronden en dan de berekening globaal te maken. 9 Schattend rekenen Schat de uitkomst van (38 × 7) + 489. 1. Rond de getallen 38 en 489 af naar respectievelijk 40 en 500. 2. 7 × 40 = 280; 500 erbij wordt 780. 3. Bedenk dat je naar boven hebt afgerond. De uitkomst is te hoog; trek er dus iets van af. 4. Het geschatte antwoord ligt tussen de 750 en 760. Als je de uitkomsten van getallen die je met elkaar moet vermenigvuldigen wilt schatten, moet je niet steeds dezelfde kant uit afronden.

8

10

© ThiemeMeulenhoff

10


11

11

10 Schattend rekenen Schat het antwoord van 25 × 25. 1. Als je hier volgens de afrondingsregels te werk zou gaan, zou je twee keer naar boven afronden. Je zit bij beide afrondingen net op de grens van naar boven of naar beneden afronden, dus het is goed de ene keer naar boven en de andere keer naar beneden af te ronden. De afgeronde getallen worden dus 20 en 30. 2. Voer de berekening uit: 20 × 30 = 600. 3. Het geschatte antwoord is 600. Als je een deling moet schatten, is het verstandig wel dezelfde kant uit af te ronden. Je deelt dan een groter getal door een groter getal of een kleiner getal door een kleiner getal, wat een betere uitkomst geeft. 11 Schattend rekenen Schat het antwoord van 14.735 : 48. 1. Rond 14.735 af op 15.000 en 48 op 50. Dan heb je getallen die je gemakkelijk kunt delen. 2. Voer de berekening uit: 15.000 : 50 = 300. 3. Het geschatte antwoord is 300. 12 Schattend rekenen Schat het antwoord van 144 × € 456,18. 1. Rond 144 af op 140 en € 456,18 op € 500. 2. Laat de nullen weg (drie stuks); je weet dan dat je straks drie nullen moet toevoegen. 3. Bereken 14 × 5 = 70. 4. Zet de nullen er weer achter: € 70.000. 5. Denk eraan dat de afronding van 456,18 op 500 wel erg groot is. Je zit met je geschatte antwoord dus aan de hoge kant. 6. Het geschatte antwoord wordt zo’n € 65.000 tot € 66.000. Waar moet je op letten bij schattend rekenen? Je schat uitkomsten om te kijken of je geen opvallende fouten hebt gemaakt bij het nauwkeurig rekenen. Het maakt dus niet uit of je er bij het schattend rekenen een stukje naast zit. Het gaat er alleen om dat je in één oogopslag ziet dat je uit de deling 356 : 30 nooit 1,19 of 118,7 kunt krijgen! Zorg ervoor dat je veel oefent met hoofdrekenen. Je zult er veel gemak van hebben bij het schatten van de antwoorden van de berekeningen die je moet maken. Bovendien ga je er minder rekenfouten door maken, immers: oefening baart kunst! 3

Controlevragen Schat de antwoorden van de volgende berekeningen: – 382 + 828; – 7 × 39; – 32 × 48; – 1.491 : 3; – 44.778 + 173; – 543 – 178; – 72 × 5.004; – 96.336 : 8; – 102.518 × 5; – 500 × 200.

© ThiemeMeulenhoff

11

9

11


12

12

KORTOM

1.3

Schattend rekenen – Met schattend rekenen voorkom je fouten in nauwkeurig rekenen. – Rond bij schattend rekenen de getallen die je moet optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen eerst af. – Bij vermenigvuldigen: niet altijd dezelfde kant uit afronden. – Bij delen: wel altijd dezelfde kant uit afronden.

EENVOUDIGE BEREKENINGEN, HOE DOE IK DAT? Op de basisschool heb je geleerd dat er een vaste volgorde is waarin je moet optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dit zijn de zogenaamde prioriteitsregels. Hierna een paar sommen om je geheugen even op te frissen. Bereken 1,52 + 0,60 + 5,52 – 1,25 × 2.

TIP Let op! Hier komt eerst de foute berekening!

Als je dit volgens de gegeven volgorde zou uitrekenen, zou je kunnen krijgen: 1,52 + 0,60 = 2,12 + 5,52 = 7,64 – 1,25 = 6,39 × 2 = 12, Deze berekening is fout, omdat je eerst 2 × 1,25 had moeten nemen en daarna pas de optellingen en aftrekkingen. Nu de juiste berekening. Zo’n fout als hierboven zul je in de praktijk niet gauw maken. Bij elk rekensommetje hoort wel een verhaal. Als je dat verhaal kent, voorkom je dit soort fouten bijna automatisch. Bij de gevraagde berekening hoort het volgende verhaal: Je staat bij de kassa van de supermarkt en je moet een fles frisdrank afrekenen (kost € 1,52 met statiegeld), een zak chips (€ 0,60) en een kilo kaas (€ 5,52). Verder wil je twee statiegeldbonnen inleveren van elk € 1,25. Je moet betalen: € 1,52 + € 0,60 + € 5,52 – € 1,25 × 2. Dus: € 1,52 + € 0,60 + € 5,52 – € 2,50 = € 5,14. Het zal duidelijk zijn dat je de fout, zoals die is gemaakt in de foute uitwerking, in de praktijk niet zo snel zult maken. Wanneer je twijfelt over de volgorde waarin je de bewerkingen moet uitvoeren, geven haakjes aan welke berekeningen je eerst moet uitvoeren. 4

Controlevragen Bereken de volgende opgaven zonder rekenmachine: – 32 + (75 : 3) – 25; – (111 + 411 + 411) : 3; – 27 + 13 + (34 : 34); – 28 – (3 × 6) + 10; – 28 – (6 × 3) – 10; – (453 : 3) × 3 + 110; – (14 – 2) × 5 + 34; – (21 + 3) : 6 + 4;

10

12

© ThiemeMeulenhoff

12


13

13

– 47 × 3 – (32 + 5 – 18); – (67 – 66) × (45 – 44).

KORTOM

1.4

Eenvoudige berekeningen – Normaal reken je volgens de vaste volgorde van het rekenen (eerst vermenigvuldigen en delen en daarna optellen en aftrekken). – Die volgorde noem je de prioriteitsregels. – Als er twijfel kan bestaan over de volgorde, staan er haakjes om de bewerking die je eerst moet doen.

HOE ROND IK OP DE JUISTE MANIER AF? Je hebt met 51 leerlingen van je school de uitslag van de wedstrijd PSV - Ajax voorspeld. Iedereen heeft een euro in de pot gestopt. 13 leerlingen hebben de uitslag goed. Zij moeten de pot delen. Dat betekent dat je € 51 moet verdelen over 13 mensen. Dat lukt niet, want ieder zou € 3,923076923 moeten krijgen. Dus moet je afronden. Dat doe je als volgt: 1. Streep alle cijfers weg na de derde decimaal (= derde cijfer achter de komma). Dan krijg je € 3,923. 2. Is de derde decimaal 5 of meer, dan maak je de tweede decimaal één groter, is de derde decimaal 4 of minder, dan laat je de tweede decimaal zo. 3. Ieder krijgt dus € 3,92. Nu heb je een probleem; er zijn bijna geen centen meer. Je moet dus afronden op 5 cent. Dat doe je als volgt: – Is het tweede cijfer achter de komma een 0, een 1 of een 2, dan rond je het naar beneden af op 0. – Is het tweede cijfer achter de komma een 8 of een 9, dan rond je het naar boven af op 0. – Is het tweede cijfer achter de komma een 3, 4, 5, 6 of 7, dan wordt het een 5.

TIP Let op: Je mag nooit twee keer dezelfde kant op afronden. Dus nooit € 5,4445 afronden naar € 5,445, dan naar € 5,45, dan (eventueel) naar € 5,50 en dan naar € 6! Je kijkt naar het derde cijfer achter de komma, dat is een 4. Dus rond je af naar beneden op € 5,44. (En moet het op hele euro’s, dan wordt het € 5). Bij een examen kun je zakken op een tiende punt. Dat komt omdat ook hier nooit tweemaal achter elkaar mag worden afgerond. Er geldt immers dat een 5,7 en een 5,2 gemiddeld een 5,45 is. Je moet afronden op een heel getal, dus kijk je naar de 4. Die is te laag, dus helaas, je bent gezakt.

5

Controlevragen Rond de volgende bedragen op de juiste manier af: – € 456,12 (op 5 cent); – € 5,44 (op 5 cent); – € 5,44 (op euro’s); – € 5,444 (op centen); – € 5,445 (op centen); – € 5,445 (op 10 centen); – € 4.567,49999 (op euro’s).

© ThiemeMeulenhoff

13

11

13


14

14

KORTOM

1.5

Afronden – Bij het afronden let je altijd op het getal nà het getal waarop je moet afronden. – Is dit 4 of lager, dan rond je naar beneden af, is het 5 of meer dan rond je naar boven af. – Je mag nooit tweemaal (dezelfde kant op) afronden. – Bij afronden op 5 cent: • gaan 1 en 2 naar beneden; • worden 3, 4, 6 en 7 afgerond op 5; • worden 8 en 9 naar boven afgerond.

HOE GEBRUIK IK MIJN REKENMACHINE? Vrijwel iedereen heeft een calculator of rekenmachine. Vaak zijn dat heel ingewikkelde apparaten met allerlei functies waarvan bijna niemand weet wat hij ermee kan doen, laat staan dat hij ermee kan werken. WELKE SOORTEN REKENMACHINES BESTAAN ER? Je ziet op het toetsenbord twee soorten toetsen: cijfertoetsen en functietoetsen. De indeling van de cijfertoetsen is op elke rekenmachine hetzelfde, die van de functietoetsen verschilt. Er bestaan algebraïsche en chronologische rekenmachines. Een algebraïsche rekenmachine werkt volgens de prioriteitsregels van het rekenen; de chronologische in de volgorde waarin je de bewerkingen intoetst. De rekenmachine die je bijvoorbeeld in Windows vindt bij Bureau-accessoires is een chronologische rekenmachine. Hij heeft de gewone functies: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Daarnaast heeft hij een geheugen, een worteltoets (sqrt), een 1/x toets en een procenttoets. Naast deze heel eenvoudige rekenmachines zijn er erg ingewikkelde, halve computers, op de markt. Een voorbeeld is de veelgebruikte grafische TI-84 of de modellen van Casio. In BV in Balans heb je bijna altijd genoeg aan een eenvoudige rekenmachine met een geheugen. Je kunt beter geen procenttoetsen gebruiken! Deze toetsen werken op elke rekenmachine anders en bovendien is het veel gemakkelijker om zonder procenttoets te werken. Hoe je kunt werken met procenten zonder de procenttoets, komt later aan de orde. Zorg er altijd voor dat je bij berekeningen het antwoord schat. Maak je dan een fout bij het intikken van getallen, dan zie je dat het antwoord op het schermpje van je calculator nooit goed kan zijn. Verder kun je langere berekeningen het beste twee keer uitvoeren. Kom je dan beide keren tot hetzelfde antwoord, dan kun je er vrijwel zeker van zijn dat je geen fouten hebt gemaakt bij het intikken van de getallen. Als je niet weet of je een algebraïsche of een chronologische rekenmachine hebt, voer je de volgende berekening uit met je rekenmachine: 2 + 6 × 12 : 4. Als je uitkomst 20 is, heb je een algebraïsche rekenmachine. Als je uitkomst 24 is, heb je een chronologische machine. Dat betekent dat je op die rekenmachine voor ingewikkelde berekeningen het geheugen moet gebruiken, want dit antwoord is fout! Het belang van schatten zie je in het volgende voorbeeld: De personeelsvereniging maakt een uitje met 50 personen. Ze geven het volgende uit: 2 × € 1,50 voor een drankje, 2 × € 2,- voor een gebakje, € 14

12

14

© ThiemeMeulenhoff

14


15

15

voor de lunch en € 17,50 voor de toegang tot het pretpark. De bus kost € 750 voor de 50 deelnemers samen. Als je dit op een chronologische rekenmachine intypt, zijn de kosten per persoon € 15,83. Een algebraïsche rekenmachine laat zien dat de juiste kosten € 53,50 per persoon zijn. HOE CORRIGEER IK EEN AANSLAGFOUT OP MIJN REKENMACHINE? Als je aanslagfouten maakt, hoef je niet altijd helemaal opnieuw te beginnen. Grafische rekenmachines en de duurdere machines hebben een pijltje naar links waarmee je terug kunt gaan en opnieuw kunt typen. Eenvoudigere rekenmachines hebben vaak een (= Clear Error)-toets. Als je die gebruikt, kun je de laatste gegevens gewoon opnieuw intypen en verdergaan. Het scherm wordt dan gewist. Andere rekenmachines hebben geen -toets. Vaak kun je dan de - of de AC-toets als -toets gebruiken. Probeer dat maar eens uit. Lukt dat niet, dan heb je pech gehad en moet je dus toch opnieuw beginnen. HOE KAN IK MET MIJN REKENMACHINE OPTELLEN EN AFTREKKEN? Denk eraan dat je de punt in € 1.000,34 niet typt en de komma vervangt door een punt! (De Engelsen en Amerikanen hebben de gewoonte € 1.000,34 te schrijven als € 1,000.34). De punt die je bij de notatie van grote getallen gebruikt, scheidt veelvouden van duizend. Hij dient dus om getallen gemakkelijker te kunnen lezen. Zo’n punt scheidt duizenden, miljoenen, miljarden, enzovoort. 1.392 (één duizend driehonderdtweeënnegentig) 2.345.045 (twee miljoen driehonderdvijfenveertigduizend vijfenveertig) 3.719.519.594 (drie miljard zevenhonderdnegentien miljoen vijfhonderdnegentienduizend vijfhonderdvierennegentig) Bereken 24,8 + 35,9 maar eens op je rekenmachine. Je typt:

en je krijgt als uitkomst 60.7

Je schrijft de uitkomst op als 60,7. De punt op de rekenmachine heeft de functie van onze komma. HOE KAN IK MET MIJN REKENMACHINE VERMENIGVULDIGEN EN DELEN? Delen gaat met

en vermenigvuldigen met

.

Denk weer aan de punten en komma’s!

TIP Wanneer je een combinatie hebt van vermenigvuldigen en delen, kun je het beste eerst vermenigvuldigen en daarna pas delen (tenzij je rekenmachine automatisch afrondt). Bij het delen maakt de rekenmachine namelijk een fout die door het vermenigvuldigen enkele malen groter wordt gemaakt.

© ThiemeMeulenhoff

15

13

15


16

16

Bijvoorbeeld 100 : 3 × 3. Als je eerst deelt door 3 en dan vermenigvuldigt met 3, krijg je als antwoord 99,9999999. Als je eerst met (de laatste) 3 vermenigvuldigt, krijg je 300. Als je dat door de (eerste) 3 deelt, krijg je het juiste antwoord. Het juiste antwoord is 100! HOE WERK IK MET HET GEHEUGEN VAN DE REKENMACHINE? De meeste rekenmachines hebben een geheugen, vaak met een toetsen zijn ook handig om tussendoor berekeningen te maken.

-

-,

- en een

-toets. Deze

In plaats van deze toetsen kom je soms ook de - en -toetsen tegen (bijvoorbeeld op de TI-rekenmachines). In dat geval heb je meer dan één geheugen. Je kunt het eerste geheugen "vullen" door in te vullen. Je roept het weer op met . Wil je iets in het tweede geheugen zetten, dan typ je , enzovoort. Voer de volgende berekening maar eens uit en gebruik daarbij het geheugen. 445 × (25 – 14) : (643 – 534) Je weet dat je eerst de berekeningen tussen haakjes moet uitvoeren. Je zit alleen met het probleem dat je het antwoord van de berekening kwijt bent als je de volgende berekening wilt maken. Het antwoord van de eerste berekening zul je dus moeten onthouden. Dat kan natuurlijk in je hoofd of op een kladblaadje, maar het kan ook in het geheugen van je rekenmachine. Dit gaat als volgt: 1. Typ: (antwoord: 109) 2. Typ (of ). De machine zal het antwoord van de berekening tussen haakjes onthouden tot je het nodig hebt. Je roept het antwoord terug uit het geheugen met de -toets. Maak je scherm leeg met de -toets. Bij de meeste rekenmachines staat er nu een M in beeld (of M1, M2, enzovoort als je meer dan één geheugen hebt), zodat je weet dat er iets in het geheugen staat. 3. Bereken 25 - 14. (Dat daar 11 uit komt, zie je natuurlijk ook zonder rekenmachine.) 4. Typ in: (antwoord: 4895) 5. Typ in: . Je geeft de rekenmachine de opdracht het antwoord 4895 te delen door het getal in het geheugen (109). Je antwoord wordt 44.908256 (Dat wil zeggen 44,9 afgerond). Maak het geheugen van de rekenmachine leeg. Sommige machines hebben daarvoor een (= Memory Clear)-toets. Deze maakt dus het geheugen van de machine leeg. Als die van jou hem niet heeft, kun je het geheugen leegmaken door eerst in te drukken en dan . Sommige rekenmachines maken het geheugen leeg als je de -toets gebruikt. Kijk op het schermpje of de "M" nog in beeld staat. Is dat niet het geval, dan is het geheugen leeg. Nog een opmerking over de bovenstaande berekening. Als je een rekenmachine met haakjestoetsen hebt, is het helemaal gemakkelijk. Je kunt dan gewoon alles (inclusief de haakjes) invoeren en het zo berekenen. Denk er dan wel aan dat je geen haakjes vergeet! Bereken met de rekenmachine 45 × 567 + 7 × 4.723 – 4.567 : 71 – 67 × 56.

14

16

© ThiemeMeulenhoff

16


17

17

Het is handig alle berekeningen uit te voeren en ze dan in het geheugen van het apparaat op te tellen (met ) of af te trekken (met ) Dus: (antwoord: 25515) (antwoord 33061)

(opslaan)

(om het scherm leeg te maken)

(optellen in het geheugen)

(om het scherm leeg te

maken) (antwoord: 64.32394366)

(Het moet eraf in het geheugen!)

(om het

scherm leeg te maken) (antwoord 3752)

(Het moet eraf in het geheugen!)

(om het scherm leeg te

maken)

Het antwoord luidt: 54759.67606. Dus, mooi neergezet: 54.759,68 (afgerond). Denk eraan dat je het geheugen leegmaakt als je klaar bent met rekenen. Deze berekening is alleen nodig op chronologische rekenmachines. Dat zijn de meest simpele machines die je kunt gebruiken. Heb je een algebraïsche rekenmachine, dan kun je gewoon alles achter elkaar doortypen. Doe je dat echter op een simpele rekenmachine, dan krijg je een foutmelding. Hij vindt dit soort berekeningen te moeilijk! 6

Controlevragen Gebruik indien mogelijk het geheugen van je rekenmachine bij de volgende opgaven: – 37,12 : 34 + 1.217 : 12; – 52 × 52 + 64 × 64; – 211 – (52 : 12) + (17 × 13); – 5.372 × 4,12; – 14,12 × 117; – 118 × 1,17 – 12 × 1,17; – € 3.433,88 : 129; – € 1.499,67 × 19 : 119; – € 450 × 1,19; – 4.372 : 18 – 34 : 1,11.

KORTOM

Rekenmachine gebruiken – Er bestaan verschillende soorten rekenmachines: algebraïsche en chronologische. – Schat altijd het antwoord, want chronologische rekenmachines kunnen soms verkeerde antwoorden opleveren! – Denk eraan dat de punt op de rekenmachine iets anders is dan de punt in de "normale" Europese getallen. – De Amerikanen schrijven $ 2,367.12 waar wij $ 2.367,12 schrijven. – Het kan handig zijn het geheugen van je rekenmachine te gebruiken. Je kunt dan tussendoor berekeningen opslaan en die later weer gebruiken.

1.6

WANNEER IS HET HANDIG OM VERHOUDINGSTABELLEN TE GEBRUIKEN? Op de meeste basisscholen leer je rekenen met verhoudingstabellen. Deze bron is bedoeld om je kennis van verhoudingstabellen op te frissen. Als je op de basisschool niet hebt geleerd om te rekenen met verhoudingstabellen, moet je deze bron zeker goed doorlezen.

© ThiemeMeulenhoff

17

15

17


18

18

WAT KAN IK MET VERHOUDINGSTABELLEN? Het rekenen met procenten en breuken levert wel eens problemen op. Een deel van die problemen kun je voorkomen door met verhoudingstabellen te werken. Verhoudingstabellen zijn bovendien erg handig als je euro’s naar dollars moet omrekenen, de BTW uit een prijs moet halen, de winst moet berekenen, enzovoort. Een reden dus om erg goed te kijken hoe verhoudingstabellen werken! Verhoudingstabel 1 Een producent van bonbons verpakt deze altijd in dozen van 24 stuks. Je gaat met een verhoudingstabel bepalen hoeveel bonbons er zitten in: 1. tien dozen; 2. veertien dozen; 3. vijf dozen; 4. zeventien dozen. Je maakt nu een tabel waarin je bovenaan het aantal dozen zet en onderaan het aantal bonbons per doos. (Je zou ook het aantal bonbons boven mogen zetten en onder het aantal bonbons per doos, dat maakt niets uit!) Je mag nu in de tabel allerlei bewerkingen uitvoeren, als je het maar boven èn beneden doet!

In deze tabel mag je boven èn onder: Vermenigvuldigen

Optellen

16

18

© ThiemeMeulenhoff

18


19

19

Delen

Aftrekken

In verhoudingstabellen is er altijd een vaste verhouding tussen wat er boven staat en wat er beneden staat. In deze tabellen is de onderste regel altijd 24 keer zo groot als de bovenste. De verhouding boven : onder is dus hier altijd 1 : 24 (spreek uit: één staat tot vierentwintig). Je kunt dat ook schrijven als 1/24. Nog twee situaties waarin de verhoudingstabel goed van pas komt: 1. Een snoepwinkel verkoopt katjesdrop in verpakkingen van 50, 100, 250 en 500 gram en 1 kg. De prijs per 50 gram is € 0,50. Maak een verhoudingstabel waaruit je de prijzen van de andere verpakkingen kunt aflezen. 2. Een bedrijf koopt een product in voor € 345,19. Geef in een verhoudingstabel weer welke verkoopprijs het bedrijf berekent bij een winst van 0, 10, 15, 23 en 46% (van de inkoop). Antwoord op 1:

Antwoord op 2:

© ThiemeMeulenhoff

19

17

19


20

20

HOE MOET IK REKENEN MET KRUISTABELLEN? Waarschijnlijk zul je in verhoudingstabellen niet vaak werken met optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Meestal gebruik je namelijk maar één eigenschap van de verhoudingtabel, namelijk dat je er een kruistabel van kunt maken. Kruistabel 1 In een verhoudingstabel geldt altijd dat je bij kruislings vermenigvuldigen hetzelfde getal krijgt.

Hier krijg je het kruisproduct: 1 × 96 = 4 × 24. En dat geldt altijd! Je kunt kruisproducten gebruiken om er allerlei berekeningen mee te maken. Kruistabel 2 Kijk nog maar eens naar de dozen met bonbons. Hoeveel bonbons zitten er in drieënveertig dozen? Je maakt de kruistabel.

Je vindt dan: 24 × 43 = 1 × … 1.032 = 1 × … Het antwoord is dus 1.032. Het is ook handig om met kruistabellen te rekenen bij sommen over vreemde valuta’s. Kruistabel 3 Hoeveel dollar moet je betalen voor € 243,80? De koers van € 1 is $ 1,32. Je maakt een kruistabel met de euro boven en de dollar onder.

TIP Andersom mag ook, dat maakt niets uit!

18

20

© ThiemeMeulenhoff

20


21

21

Op de euroregel zet je 1, op de dollarregel 1,32 (€ 1 kost tenslotte $ 1,32). Je moet naar € 243,80, dus op de euroregel zet je 243,80 Je kunt nu met het kruisproduct de euroregel uitrekenen.

Je krijgt dan: 1,32 × 243,80 = 1 × … 321,816 = 1 × … Je betaalt dus voor € 243,80 een bedrag van $ 321,82. Kruistabellen zijn ook erg handig bij BTW-berekeningen. Bij een BTW-percentage van 19% kun je de volgende tabel maken.

Ale je het bedrag van een regel weet, kun je de bedragen van de andere regel(s) met een kruistabel uitrekenen. Als je weet dat iets inclusief BTW € 34,72 kost, kun je de BTW zo uitrekenen.

Je berekent: 19 × 34,72 = 119 × …

© ThiemeMeulenhoff

21

19

21


22

22

659,68 = 119 × … … = 659.68 : 119 = 5,543529412 Er zit dus € 5,54 BTW in het bedrag van € 34,72. Weet je dat het bedrag aan BTW € 7,56 is, dan wordt het inclusief BTW:

119 × 7,56 = 19 × … 899,64 = 19 × … … = 899,64 : 19 = 47,34947368 Dus € 47,35. En als het inclusief BTW € 417,12 is, dan is het exclusief BTW:

100 × 417,12 = 119 × … 41.712 = 119 × … … = 41.712 : 119 = 350,5210084. Dus € 350,52. Kruistabellen zijn ook handig bij het berekenen van de winst als percentage van de inkoopprijs. In dit voorbeeld is dat 24%.

20

22

© ThiemeMeulenhoff

22


23

23

Of bij het berekenen van de winst als percentage van de verkoopprijs (ook 24%).

Wanneer je, zoals hier, werkt met lastige getallen, gebruik je natuurlijk altijd je rekenmachine. Het voordeel van het werken met kruistabellen is dat je altijd precies kunt zien wat je moet doen. Bij eventuele fouten kun je bovendien altijd controleren waar je de fout hebt gemaakt. 7

KORTOM

Controlevragen Bereken de volgende opgaven met een kruistabel: – Hoeveel kosten 345 dollars als de koers van een dollar € 0,758 is? – Als de koers van de dollar € 0,758 is, wat kost dan een euro in dollars? – Iets kost inclusief 19% BTW € 76,34. Hoeveel kost het zonder BTW? – In een artikel zit 19% BTW. Het bedrag aan BTW is € 4,67. Wat kost het in de winkel? Verhoudings- en kruistabellen – Verhoudingstabellen kunnen soms handig zijn bij berekeningen. – In een verhoudingstabel is er een vaste verhouding tussen wat boven en wat beneden staat. – Je mag in een verhoudingstabel de getallen boven en onder: • optellen; • aftrekken; • vermenigvuldigen; • delen. – Maar denk eraan: Iedere bewerking die je op de bovenste regel van de tabel doet, moet je ook beneden doen! – Kruistabellen maak je door vier vakjes (twee boven en twee onder) van een verhoudingstabel te nemen. – Daarbij geldt dan altijd dat de kruislingse vakjes, met elkaar vermenigvuldigd, hetzelfde getal opleveren. – Als je nu één van de vier getallen niet weet, kun je dat altijd uitrekenen. – Deze rekenmethode is vooral handig bij winst- en BTW-berekeningen en bij het rekenen met vreemd geld.

© ThiemeMeulenhoff

23

21

23


24

24

1.7

HOE REKEN IK MET BREUKEN EN PERCENTAGES? Als er sprake is van een breuk, is het goed om in de gaten te houden dat je het hebt over een deel van het geheel (het heet niet voor niets een breuk!). De verhoudingstabel is een handig hulpmiddel bij het werken met breuken. Een simpel voorbeeld over verdelen zal het een en ander duidelijk maken. Je moet met zes personen vier koeken verdelen. Hoeveel krijgt ieder? Je hebt twee koeken per drie personen, dat betekent dat ieder 2/3 deel krijgt. Een breuk als deze noem je een gewone breuk. Hij heeft een teller (die staat boven) en een noemer (die staat onder).

De noemer (de naam) geeft aan in hoeveel delen je het geheel moeten verdelen (dat er dus sprake is van drie delen, oftewel derden). De teller telt hoeveel derden er zijn (in dit geval 2). In de praktijk zul je zelden "gewone" breuken tegenkomen. Meestal gaat het om een decimale breuk (een getal met een komma erin). Bovendien kun je "gewone" breuken eenvoudig omzetten in decimale breuken. Wanneer je een gewone breuk hebt en je wilt hem omzetten in een decimale breuk, kun je dat eenvoudig met je rekenmachine doen. Je deelt simpelweg de teller door de noemer en je hebt de decimale breuk in beeld. Alle kommagetallen zijn dus een breuk. Meestal is daarbij niet meer duidelijk wat precies de teller was en wat de noemer. Datzelfde geldt voor een percentage. Ook dat zijn breuken. Als de BTW 19% is, wil dat zeggen dat er 19/100 deel aan BTW betaald moet worden. Een percentage is namelijk niets anders dan een decimale breuk, vermenigvuldigd met 100! In sommen zie je vaak bij de berekening van percentages x 100% erachter staan. Dat is niets anders dan de opdracht: maak van dat lastige kommagetal een mooi getal zonder nul komma zoveel … Het procentteken betekent dan gewoon: vermenigvuldig het antwoord met 100, of: verplaats de komma twee plaatsen naar rechts. Als je weet dat een percentage een deel is, wordt het rekenen met percentages ineens ook veel gemakkelijker. Moet je 19% BTW bij de verkoopprijs van (bijvoorbeeld) € 246,05 optellen, dan kun je twee dingen doen: Je kunt eerst de BTW uitrekenen door 19/100 van € 246,05 uit te rekenen (antwoord: € 46,75) en dat op te tellen bij € 246,05. Je vindt dan een bedrag van € 292,80.

22

24

© ThiemeMeulenhoff

24


25

25

Maar je kunt ook bedenken dat 19% betekent dat het gaat om 0,19e deel. Dat moet je erbij tellen. Totaal wordt het 1 + 0,19 = 1,19. Dus je berekent 1,19 × € 246,05 = € 292,80. Als je op deze manier leert denken, zijn percentages eigenlijk vrij eenvoudig: Kijk maar: 86% van € 34,12 = 0,86 × € 34,12 = € 29,34. 12% optellen bij € 34,12 = 1,12 × € 34,12 = € 38,21. 12% aftrekken van € 34,12 = (1 – 0,12) × € 34,12 = 0,88 × € 34,12 = € 30,03. Uitrekenen hoeveel procent de winst (€ 6,14) is van de verkoopprijs (€ 34,12) doe je als volgt: deel 6,14 door 34,12. Dat levert 0,18 op. Dat is (komma verplaatsen!) 18%. Er is één geval waarbij het niet zo eenvoudig is. Dat is wanneer je niet mag uitgaan van de gehele waarde (100%). Dat is bijvoorbeeld het geval wanneer je de BTW moet berekenen en het bedrag inclusief BTW is gegeven. Of wanneer je de winst moet berekenen als je weet dat hij 15% van de inkoopprijs is, terwijl de verkoopprijs is gegeven. In dat geval moet je werken met een verhoudingstabel, zoals je in het hoofdstuk over kruistabellen hebt gezien. Vaak wordt voor het uitrekenen van de procentuele stijging de formule nieuw min oud gedeeld door oud maal honderd gebruikt.

Dat kan. Maar veel gemakkelijker is het als je nieuw gedeeld door oud neemt. Kijk maar: Je moet de procentuele stijging weten van € 93,50 naar € 101,45. 101,45 : 93,50 = 1,085. Dat betekent (komma verplaatsen!) dat het 108,5% is, een stijging met 8,5%. Of bij een daling: De omzet daalt van 105.350 stuks naar 98.560 stuks. Dat is 98.560 : 105.350 = 0,936. Oftewel 93,6%, dat wil zeggen een daling van 100 – 93,6 = 6,4%. Deze laatste manier van rekenen is handig bij de indexcijfers die je zult tegenkomen bij Statistiek.

8

Controlevragen Schrijf op als tiendelige breuk:

© ThiemeMeulenhoff

25

23

25


26

26

– – – – 9

Vermeerder € 820 met 12%.

10

Vermeerder € 82,50 met 16%.

11

Verminder € 36 met 5%.

12

Verminder € 18,29 met 25%.

13

€ 1.520 exclusief 19% BTW wordt inclusief BTW:

14

€ 185,40 exclusief 6% BTW wordt inclusief BTW:

15

Hoeveel procent is 345 van 6.891?

16

Hoeveel procent is 8.162 van 7.931?

17

Met hoeveel procent stijgt € 23,89 naar € 45?

18

Met hoeveel procent stijgt € 123 naar € 456.430?

19

Met hoeveel procent daalt € 34 naar € 33,80?

KORTOM

Breuken en percentages – Gewone breuken kun je eenvoudig omzetten in een decimale breuk (kommagetal) door de deling uit te voeren op je rekenmachine. – Een percentage is niets anders dan een kommagetal dat je vermenigvuldigt met 100. – Dat betekent dat je in de breuk de komma twee plaatsen verschuift.

24

26

1/8; 56/789; 564 2/3; 1/10.000.

© ThiemeMeulenhoff

26


27

27

Begrippenlijst ................................................ prioriteitsregels Rekenregels die aangeven welke bewerking voorrang heeft op andere bwerkingen. breuk Een deel van het geheel. noemer Het getal onder de breukstreep. teller Het getal boven de breukstreep. decimale breuk Een getal met een komma. percentage Een honderste deel of een veelvoud daarvan.

Š ThiemeMeulenho

27

25

27


28

28

Aan het werk ................................................ ’Ik werk graag met cijfers.’ Dat is een van de meest opgegeven redenen voor degenen die een beroepskwalificatie in de Financiële Administratie willen halen. Graag met cijfers werken wil nog niet zeggen dat het zo eenvoudig is om foutloos te kunnen rekenen. Inzicht in getallen en vaardigheid in het rekenen kun je je eigen maken door veel te oefenen. In deze leereenheid, net als in de andere leereenheden voor rekenvaardigheid, krijg je daar ruimschoots de kans voor. Een rekenmachine is makkelijk, maar kunnen rekenen met je hoofd is heel belangrijk. We moedigen je dan ook aan om niet automatisch naar het rekenmachine te grijpen!

VOORAF Zorg, voordat je begint met de oefenenen, dat je de volgende zaken bij de hand hebt: – kladpapier; – pen of potlood; – rekenmachine. Blader deze leereenheid door en maak een inschatting van de tijd die je nodig hebt voor de opdrachten. OEFENING BAART KUNST! Zoals de titel al zegt, is leren rekenen een kwestie van doen!

OPDRACHTEN 1 a

Rekenen met je hoofd Neem pen, klad- en uitwerkpapier bij de hand.

b

Het gebruik van een rekenmachine is niet toegestaan bij opdracht 1!

c

Schat de antwoorden op de volgende opgaven en schrijf de geschatte antwoorden op: 1. 782 + 428 = 2. 4 x 59 = 3. 31 x 51 = 4. 1.509 : 3 = 5. 343 : 7 = 6. 5.676 : 11 = 7. 981 : 9 = 8. 67 x 22 = 9. 4.593 + 1.411 = 10. 15.451 - 4.512 = 11. 734 x 4 = 12. 511 + 689 = 13. 789 : 2 = 14. 2.517 + 1.477 = 15. 564 : 6 =

26

28

© ThiemeMeulenhoff

28


29

29

16. 6.876.891 + 110.542 = 17. 56.341 - 56.211 = 18. 71 x 799 = 19. 552 : 5 = 20. 4.561 + 450 = 21. 3 x 67 = 22. 459 : 3 = d

Bereken de exacte antwoorden zonder rekenmachine: 1. 30 x 29 = 2. 7,45 x 4 = 3. 80 x 75 = 4. 621 : 3 = 5. 487 + 115 = 6. 812 x 4 = 7. 275 + 184 = 8. 5.374 + 4.735 = 9. 812 : 4 = 10. 333 x 3 = 11. 342 : 3 = 12. 5,99 x 11 = 13. 3.284 : 2 = 14. 32 x 32 = 15. 1.007 x 24 = 16. 8,24 : 8 = 17. 732 : 6 = 18. 3 x 45 = 19. 213 :3 = 20. 67 + 452 = 21. 888 : 6 = 22. 2.488 + 7.401 =

TIP Laat je antwoorden controleren of kijk ze zelf na voordat je verdergaat. Zo leer je van de fouten die je nu maakt! e

Archiveer je uitwerkingen op zo’n manier dat je ze ook weer terug kunt vinden.

f

Inkoopprijs plus de winst is verkoopprijs. Maar als er verlies wordt geleden … hoe kom je dan aan de verkoopprijs? Vul het onderstaande schema in.

© ThiemeMeulenhoff

29

27

29


30

30

2 a

Eenvoudige berekeningen bereken je zonder rekenmachine Neem pen en papier voor je.

b

Het gebruik van een rekenmachine is ook in deze opdracht niet toegestaan!

c

Bereken zonder rekenmachine: 1. 4 x (3 - 2) + 5 = 2. 75 : 3 + 4 x 6 = 3. 99 : (14 - 3) = 4. 49 : 7 + 4 x (5 + 2) = 5. 9 + 2 + 3 x 4 = 6. 7 - 2 x 2 = 7. (7 - 2) x 2 = 8. 90 : 3 + 45 : 5 = 9. (4 + 5) : 3 + 18 = 10. 124 + 37 : 37 = 11. 11 -1 + 3 - 5 + 2 - 7 = 12. (64 : 8 + 3) : 11 = 13. 12 x 3 + 24 : (4 - 2) = 14. 7 - 2 x 2 = 15. (7 - 2) x 2 = 16. 48 - 46 + 2 x 3 + (5 x 3) = 17. 660 : 11 + (5 - 2) x 2 = 18. 45 + (4 + 5) x 2 = 19. 678 : 3 + 2 = 20. (23 + 1) x 4 x 2 = 21. 89 - 2 - 29 x 3 = 22. 1.456 - 3 x 31 =

TIP Het is verstandig om ook nu weer eerst even je werk te (laten) controleren voordat je verdergaat! d

Berg je uitwerkingen op in je archief.

a

Afronden zonder rekenmachine! Neem weer pen en papier bij de hand om je uitwerking op te schrijven.

b

Ook bij deze opdracht gebruik je geen rekenmachine.

c

Rond op de juiste manier af:

3

28

30

Š ThiemeMeulenho

30


31

31

1. € 5.267,90 (op hele euro’s) 2. € 0,42 (op 5 cent) 3. € 1.567.467,14 (op duizenden euro’s) 4. € 4.444.449 (op miljoenen euro’s) 5. € 6,99 (op 5 euro) 6. € 0,049 (op centen) 7. € 0,0049 (op centen) 8. € 1.478,14 (op hele euro’s) 9. € 1,67(op hele euro’s) 10. € 383,14 (op 5 cent) 11. € 1,0047 (op 5 cent) 12. € 0,98 (op 5 cent) 13. € 676,00 (op duizenden euro’s) 14. € 1.217,00 (op duizenden euro’s) 15. € 2.498.000,00 (op miljoenen euro’s) 16. € 7,12 (op hele euro’s) 17. € 1,51(op hele euro’s) 18. € 4.567,14 (op 5 cent) 19. € 0,01 (op 5 cent) 20. € 2.786.345,34 (op tientallen euro’s) 21. € 45,76 (op tientallen euro’s) 22. € 76,49 (op honderden euro’s) d

Archiveer je uitwerkingen nadat je ze hebt nagekeken.

a

Rekenen met je rekenmachine Zorg dat je een pen, papier en een rekenmachine bij de hand hebt.

4

b

Bereken met je rekenmachine (gebruik zonodig het geheugen): 1. 512 x 78 + 67 x 18 = 2. 267 - (15 x 34) + 178 x 2 = 3. 193 - 12 x (10 + 4) + 754 = 4. 12 x 12 + 13 x 13 = 5. 617 - (3 x 13) : (2 x 9) = (rond af op 3 decimalen) 6. 67 + 4 x 45 - 64 : 8 = 7. 11 - 3 x 2 + (5 - 2) : 3 = 8. 37 :3 + 512 : 50 - 325 : 45 = (rond af op 3 decimalen) 9. 22:4 + 67 :3 + 2 = (rond af op 3 decimalen) 10. (12 - 2) x 3 + (8 + 4) x 5 = 11. 456,24 : 45 + 56 x 34 - 340 + 45 = (rond af op 2 decimalen) 12. 78,2 x (451 - 32) + (619,14 : 61) - (932 x 18) = (rond af op 2 decimalen) 13. ((819:4) + (983 :6) + (671 :4)) x 7 = (rond af op 2 decimalen) 14. 354,04 + ((782,1 : (1.045 - 677)) - 4 = (rond af op 2 decimalen) 15. (491 x 12) + (610 x 12) + (619 x 12) - (600 x 12) = 16. ((712 - 14) x 3 + 855 + (6 - 3) x 67) : 5 = 17. (75 : 3 + 6 x (5 + 56) - 7) : 14 (rond af op 2 decimalen) 18. 45 + 419 - 8 x 4 = 19. (782 + 782) x 2 - 782 = 20. 88 x (4 + 2) - 45 : 7 + 2 = (rond af op 2 decimalen) 21. 44 - 67 : 3 = (rond af op 2 decimalen) 22. (11 - 2) + 45 x (768 : 34) = (rond af op 2 decimalen)

© ThiemeMeulenhoff

31

29

31


32

32

TIP Controleer ook nu je antwoorden, zodat je er tijdig achterkomt of je de rekenregels goed hebt toegepast! c

Berg je antwoorden op in je archief.

a

Rekenen met verhoudingstabellen Bloemen worden verkocht voor € 4,98 exclusief 19% btw. Wat is de verkooopprijs inclusief btw?

5

b

De winst op een partij goederen is 20% van de verkoop, de inkoopprijs is € 1.432. Wat is de verkoopprijs?

c

Een telefoon kost € 235 inclusief 19% btw. Wat is het bedrag aan btw?

d

Een partij goederen kost $ 234. De koers van 1 $ is € 0,76. Wat kost deze partij goederen in Euro’s?

e

Je verkoopt een boek aan een Amerikaan voor € 25. Hoeveel dollar betaalt hij als de koers van 1 euro $ 1,37 is?

30

32

© ThiemeMeulenhoff

32


33

33

f

6

Hoeveel is de verkoopprijs van een partij goederen die inkoop € 650 kostte, bij een winst van 17% van de inkoopprijs en een btw van 19%?

Praktisch rekenen De volgende sommen zijn heel praktische opgaven. Je kan ze op je BPV-plaats of later op kantoor zomaar voor je krijgen. Los ze op.

TIP Gebruik een verhoudingstabel als je dat prettig rekenen vindt. a

Je baas vertelt je dat het beter is een partij goederen in Amerika te kopen dan in Engeland. In Amerika kosten ze $ 2.890 en in Engeland £ 2.000. koers van het pond (£) is € 1,12 en de koers van de $ is € 0,75. De transportkosten zijn € 350 voor het vervoer uit Amerika en € 175 voor het vervoer uit Engeland. Heeft hij gelijk?

b

De afdeling Verkoop, waar je stage loopt, stelt voor een reclamecampagne te beginnen met de titel: ’Wij betalen de btw’. De manager wil alle prijzen met 19% verlagen. Jij denkt dat dat niet klopt. Met hoeveel procent moet hij de prijzen verlagen om de mensen de btw terug te geven?

c

In je net opgerichte bedrijf heb je een meningsverschil met je compagnon. Zij wil 20% van de verkoop als winstmarge rekenen en jij 25% van de inkoopwaarde. Je broer staat erbij en zegt tegen jullie: ’Wat doen jullie nou moeilijk, dat is toch hetzelfde!’ Klopt dat?

d

Op een pakbon staat: btw 19% = € 421,18. Wat was de prijs van de goederen inclusief btw?

e

Een Amerikaanse klant belt je op om te vragen wat een partij bloembollen bij jullie kost. Je zoekt het op en vertelt hem dat dat € 12.000 is. Hij vraagt: ’Yes, but how much is that in dollars?’. Je kijkt in je koerslijst en ziet dat de koers van de dollar € 0,77 is. Welk antwoord geef je hem?

f

Je werkt op de boekhouding bij een transportbedrijf. Je krijgt verkoop- en inkoopbonnen in handen. Op zekere dag is er ingekocht voor € 14.745 en verkocht voor € 35.600. Alles inclusief 19% btw. De btw over de inkopen kun je terugvorderen, de btw over de verkopen moet je aan de belastingdienst betalen. Hoeveel euro moet je die dag per saldo als te betalen boeken?

7 a

Rekenen met breuken en procenten Schrijf als een tiendelige breuk (rond zonodig af op 3 decimalen): 1. 45 / 456 2. 4 / 12 3. 78 / 67 4. 3 / 10.000 5. 567 / 1.356.419 6. 7 / 45 7. 845 / 45

© ThiemeMeulenhoff

33

31

33


34

34

8. 67/3 9. 498 / 1.296 10. 1 / 8 11. 1 / 4 12. 1 / 5 13. 1 / 3 14. 1 / 9 15. 333 / 1.500 16. 7 / 8 17. 4 / 5 18. 6 / 8 19. 34 / 561 20. 34 /11 21. 99 / 990 22. 54 / 451 b

Bereken de volgende percentages: 1. 12% van € 45,12 2. 19% van € 457,18 3. 116% van € 6.562,17 4. 0,7% van € 10.562,11 5. 8% van € 34,00 6. 14% van € 234 7. 134% van € 445,87 8. 0,03% van € 1.658,19 9. 1,78% van € 5,88 10. 45% van € 56,23 11. 1.278% van € 2,50 12. 0,1% van € 1,00 13. 55% van € 623,51 14. 235% van € 34,10 15. 119% van € 4,98 16. 82% van € 5,98 17. 3,76% van € 519,45 18. 66% van € 6,00 19. 1,05% van € 102 20. 8.761% van € 432,18 21. 99% van € 1.529,45 22. 81,45% van € 6,10

c

Bereken de procentuele stijging of daling bij de volgende prijzen (rond steeds af op 2 decimalen): 1. van € 45,79 naar € 48,10 2. van € 634,19 naar € 512,08 3. van € 10.568,20 naar € 230.566,00 4. van € 0,45 naar € 0,23 5. van € 998 naar € 1012,12 6. van € 34.450,14 naar € 48,10 7. van € 45,12 naar € 55,11 8. van € 17,34 naar € 10,45 9. van € 6.934,14 naar € 6.000 10. van € 239 naar € 134,17

32

34

© ThiemeMeulenhoff

34


35

35

11. van € 4,98 naar € 56,18 12. van € 67,13 naar € 5,56 13. van € 123,84 naar € 15.11 14. van € 12.785,33 naar € 17.006 15. van € 4,44 naar € 5,55 16. van € 76,08 naar € 77,34 17. van € 14,00 naar € 17,17 18. van € 10,00 naar € 21,50 19. van € 148,17 naar € 67,18 20. van € 56,11 naar € 44,10 21. van € 1.534.671,15 naar € 1.445,11 22. van € 34,21 naar € 45,17

AFRONDING Veel mensen vinden rekenen moeilijk. Hopelijk heb je bij alle oefeningen gezien dat je steeds beter gaat rekenen als je veel sommen maakt. Dat is ook nodig. Een rekenfout heeft veel gevolgen. Stel je voor dat je je in een paar nullen vergist of een minnetje vergeet, dan wordt negatief ineens positief met alle gevolgen van dien. Maar ook in je privéleven is foutloos rekenen van belang. Als je niet goed rekent en een ander wel, loop je ook nog het risico dat je te veel betaalt. Leer dus goed rekenen, zowel voor je eigen portemonnee als voor die van je baas. Wie weet krijg je sneller opslag als je perfect werk levert! PRAKTIJK Na al dat oefenen is het tijd om te beoordelen of je de kunst van het basisrekenen eigen hebt gemaakt. Je baas legt je een zogenaamd proefexamen voor en hij gaat ervan uit dat je dit foutloos kan. Hij wil immers op jou kunnen REKENEN! 8 a

Proefexamen rekenvaardigheid - basisberekeningen Neem pen, papier en rekenmachine voor je en maak de volgende sommen en opdrachten.

TIP Vergeet niet ook met je hoofd te rekenen. Een tikfout op je rekenmachine is immers zo gemaakt! 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

1.256 : 31 = 98 x 98 = 5.112.532 - 100.673 = 887 x 2 = 5.745 : 5 = 555 :3 = 55 x (2 + 2) = 456 : (433 + 23) = 824 : 2 - 412 = € 412,18 (rond af op 5 cent) € 1.234.561(rond af op miljoenen euro’s) € 4,99 (rond af op tientallen euro’s)

© ThiemeMeulenhoff

35

33

35


36

36

13. (456 + 3) : 5 x 8 = 14. 510 : (45 - 34) + 18 x 56 = (rond af op 2 decimalen) 15. 78 x 34 + (4 + 5) x 56 = 16. Schrijf 28/78 als decimale breuk en rond af op 3 decimalen. 17. Schrijf 6/9 als decimale breuk en rond af op 3 decimalen. 18. Schrijf 2/1.000.000 als decimale breuk en rond af op 3 decimalen. 19. 6% van € 45,99 = 20. 632% van € 6,81 = 21. 6,32% van € 681,00 = 22. Bereken de procentuele stijging van € 11,11 naar € 12,12. 23. Bereken de procentuele stijging van € 56,33 naar € 56,00. 24. Bereken de procentuele stijging van € 6,10 naar € 6,11. b

Je verkoopt een tafel voor € 798 inclusief 19% btw. Je winstmarge is 25% van de verkoopwaarde exclusief btw. Hoeveel is je winstmarge in euro’s?

c

Je ontvangt een inkoopfactuur voor boeken en boekenkasten. Op de boeken zit 6% btw, op de boekenkasten 19%. De kasten kosten € 14.734 inclusief 19% btw en de boeken € 4.546,14 inclusief 6% btw. Hoeveel bedraagt de btw die je over de boeken en de boekenkasten moet betalen (en mag terugvorderen van de fiscus)?

d

Je bent eigenaar van een tassenfabriek. Het brutoloon van je werknemer is € 1.266,14. Je betaalt aan heffingen, zoals pensioen en sociale lasten, 17,35% bovenop het brutoloon. De werknemer produceert in een maand 134 tassen. Wat zijn, over deze maand, de loonkosten van deze werknemer per tas?

e

Het bedrijf waar je werkt heeft goederen gekocht in de Verenigde Staten voor $ 3.560. De goederen worden verkocht met een winstmarge van 20% van de inkoopprijs. De door de klant te betalen btw bedraagt 19%. De koers van de dollar is € 0,76 (voor 1 dollar). Wat betaalt de klant in euro’s voor deze partij goederen?

f

Het proefexamen zit erop. Kijk je uitwerkingen na.

g

Noteer het aantal fouten dat je hebt gemaakt.

h

Bereken het percentage goede vragen. Ga uit van 28 opgaven in dit proefexamen. Een percentage tussen de 71 en 85% is matig. Een percentage tussen de 85 en 92% is voldoende. Een percentage boven de 92% is goed. Een percentage lager dan 71% is onvoldoende en geeft aan dat je nog heel wat moet oefenen!

i

Mijn score is:

j

Berg de gecontroleerde uitwerkingen op in je archief. TERUGKIJKEND

9a b

Beschrijf in een aantal stappen hoe je in deze leereenheid te werk bent gegaan. Wat heb je als lastig ervaren bij het uitvoeren van de opdrachten in deze leereenheid?

34

36

© ThiemeMeulenhoff

36


37

37

c

Bekijk de gemaakte fouten van je proefexamen. Van welk onderdeel van de leereenheid basisberekeningen moet je meer oefenen? OPRUIMEN In deze leereenheid heb je het volgende opgeborgen in het dossier dat je hebt samengesteld: – alle uitwerkbladen van de opdrachten die je op papier hebt gemaakt; – alle prints die je van de uitwerkingen hebt gemaakt.

© ThiemeMeulenhoff

37

35

37


38

38

Evaluatie ................................................ 1 a

Vragen. Bereken de volgende opgaven. Vink aan of het antwoord goed of fout is. 45 : 3 + 15 – 30 + 7 = 7 ○ goed ○ fout

b

6 × 7 + 25 = 448 ○ goed ○ fout

c

4×4:4+3:3×3=7 ○ goed ○ fout

d

(5 + 3) : 2 + 7 = 11 ○ goed ○ fout

e

34 – 2 : 2 = 16 ○ goed ○ fout

f

5 × 4 – 2 = 18 ○ goed ○ fout

g

(583 – 33 ) : 5 = 111 ○ goed ○ fout

2 a

Vragen. Bereken de volgende opgaven. Vink aan of het antwoord goed of fout is. 24 × 4 = 96 ○ goed ○ fout

b

104 × 8 = 824 ○ goed ○ fout

c

75 × 4 = 375 ○ goed ○ fout

d

412 : 3 = 104 ○ goed ○ fout

36

38

© ThiemeMeulenhoff

38


39

39

e

572 + 728 = 1.200 ○ goed ○ fout

f

8.628.490 : 2 = 4.314.245 ○ goed ○ fout

3 a

Vragen. Rond af en vink het goede antwoord aan. € 45,496 (op euro’s) ○ € 45 ○ € 46

b

€ 4,92 (op 5 centen) ○ € 4,90 ○ € 4,95

c

€ 456,56 (op tientallen euro’s naar beneden) ○ € 450 ○ € 456

d

€ 56,4999999 ○ € 56,50 ○ € 56

e

€ 67,17 (op 5 centen) ○ € 67,15 ○ € 67,20

f

€ 4.312.000 (op miljoenen) ○ € 4.000.000 ○ € 4.300.000

g

€ 0,0501 ○ € 0,05 ○ € 0,10 ○ € 0,00

h

€ 0,049 ○ € 0,05 ○ € 0,10 ○ € 0,00

i

4 a

€ 5.567,12 (op duizenden euro’s) ○ € 5.000 ○ € 6.000 Vragen. Bereken de volgende opgaven en vink het goede antwoord aan. 56.896,12 + 484,18 : 17 – 456 = 2.919,31176 ○ goed

© ThiemeMeulenhoff

39

37

39


40

40

○ fout b

567 – 56 : 5 + 92 = 647,8 ○ goed ○ fout

c

692 – (63 – 2) : 5 + 12 = 640,6 ○ goed ○ fout

d

912 – 56 + 45 : 3 = 871 ○ goed ○ fout

e

45 : (3 + 4) – 7 = 12 ○ goed ○ fout

f

(35 + 5) : 7 – 2 = 33,71429 ○ goed ○ fout

g

35 + 5 : 7 – 2 = 33,71429 ○ goed ○ fout

5 a

Vragen. Zet op de plaats van de puntjes de juiste getallen.

○ ○ ○ ○ ○ b

64 (boven) en 540 (onder) 42 (boven) en 526 (onder) 112 (boven) en 42 (onder) 42 (boven) en 128 (onder) 112 (boven) en 128 (onder)

Zet op de plaats van de puntjes het juiste getal.

○ 195,43 ○ 92,80 ○ 107,76

38

40

© ThiemeMeulenhoff

40


41

41

c

Zet op de plaats van de puntjes de juiste getallen.

○ 19,32 (boven) en 22,99 (onder) ○ 29,73 (boven) en 36,40 (onder) ○ 36,70 (boven) en 40,37 (onder) 6 a

Vragen. Reken de volgende breuken om in percentages en vink het juiste antwoord aan. 6/45 ○ 1,33% ○ 13,3% ○ 133%

b

346/45 ○ 769% ○ 130% ○ 13%

c

1/8 ○ 80% ○ 12,5% ○ 1,25%

d

1/1.000 ○ 1% ○ 0,1% ○ 0,01% ○ 0,001%

e

1/125 ○ 8% ○ 0,8% ○ 0,08 ○ 0,008

f

1/100.000 ○ 1% ○ 0,1% ○ 0,01% ○ 0,001% ○ 0,0001%

g

Bereken de volgende opgaven en vink het juiste antwoord aan.

© ThiemeMeulenhoff

41

39

41


42

42

34% van € 45,76 ○ € 15,56 ○ € 15,55 h

19% van € 4,12 ○ € 0,88 ○ € 0,78

i

118% van € 89,10 ○ € 10,51 ○ € 105,14

j

0,05% van 1 miljoen ○ 50 ○ 500 ○ 5.000 ○ 50.000

k

3.000% van € 1,00 ○ € 3,00 ○ € 30,00 ○ € 300,00 ○ € 3.000

l

12,5% van € 4,65 ○ € 0,58 ○ € 5,81

m

3% van € 100.000 ○ € 30 ○ € 300 ○ € 3.000 ○ € 30.000

40

42

© ThiemeMeulenhoff

42


1

1

FAM FAM Financiële rekenvaardigheden

BV in Balans biedt ondersteunend lesmateriaal gebaseerd op de competentiegerichte kwalificatiedossiers die door het Kenniscentrum beroepsonderwijs bedrijfsleven ECABO voor de Financiële beroepen zijn ontwikkeld. Het lesmateriaal dekt de kerntaken, werkprocessen en activiteiten voor de kwalificatiedossiers: • •

niveau 3 (Financieel Administratief Medewerker) en niveau 4 (Bedrijfsadministrateur, Assistent-accountant en Salarisadministrateur).

Financiële rekenvaardigheden Editie

BV in Balans bestaat uit leereenheden waarin de leerling zijn eigen leerweg vindt en waarmee de docent het gewenste curriculum vult.

2013

E.P. van Balen, K. Broersen, G.W.M van Heeswijk, J.P. Mijnster, S.J. Stienstra, T.F.G. Suppers, T. van de Veerdonk e.a.

Mede dankzij de kritische gebruikers die hun wensen kenbaar hebben gemaakt, maakt dit lesmateriaal het mogelijk om ‘Balans in het onderwijs’ te brengen.

De auteurs

FAM

Leerwerkboek

9781111270070

1

1


Financiele rekenvaardigheden