0∀≤k p=i 1,≤21∀ = 1K∑ . Ν p = 1. 1,0 ,!k, K = 1και , 2,Εµπορικό !∑ , Kpi και k i K f,kK ∀ k = 11, 2,! 1k =p f 1. F =1 και 1i = F ∑ S=1, s= S1, = s1 , ... , s1p,k... 11.{}sk1=1, ... , s1 , ... , s1 } ∀ k = 1, 2,! K{και
0,1
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 4 01 1 51 15 99 21 7 2 11 31 7 37 21 4 63 4 52 58 31 64 83 69 7 69 773 K
∑
Ki
k =1F 1 , ! ,fK 1και f p k = F1. ∑ S11k= ...S{,1 ss=11 ,{,1... ... s1,,,s... s , ...i K, s } k,} p ∀ = . ={Ss11, ,2= K και ∑ 1 1 f =1 , s F}1 iS = { i s , ...s, is ,k... , ... , si 1 } k =1 1 1 1 Η ισορροπία Nash σε μικτές είναι και η λύση του 1 S 2, s=2K{}.s12 , ... , s 2k , ... , s 2K }. s 2k , ... S1 = {s11 , ... ,Ss21f =, ...{s, 2s1,F...},και παιγνίου. Η αμοιβαία άριστη αντίδραση υποδεικνύει 1 f F 1, ... , s1 k , ...1, s1K} k K 1 = {s1στρατηγική ... , s1F } Αν ηSSμικτή του 2 είναι η: μια μέθοδο λύσης η οποία βασίζεται στις αντιστοιχίες S , s= ,{... s ,,s... ,}.s 2παίκτη , ... ,KKs 2 }. 2 = {s 2 , ... pi S= {2=p{2i1s,1...,2... , ,p2sikk,,... ,,psi }}. ... άριστης αντίδρασης τα σημεία τομής των οποίων 2 2 2 2 k K 1 k K 1 S 2 = {s12 , ... p, s22k =, ...{,ps22K, ... }., p2 ,p...2 ,=p{2 p}2 , ... , p2 , ... , p2 } δίνουν όλες (τόσο σε αμιγείς όσο και σε μικτές S 2 = {s112 1,χρησιμοποιώντας ... , s k , ... , s K }.K k την αμιγή , ... , s 2K }. ο παίκτης p2 = { p2 ,p...2k, =2p2{k ,1p...12 ,2... p2, kp}2 , ... , pK 2K } στρατηγική στρατηγικές) τις ισορροπίες Nash. f ≤p2pμικτή ≤p12 του s1 ενάντια0στη προσδο= , ... , 2p2έχει , ... ,υπoσυνθήκη p2 } i { K K k 1 K p = { p , ... , p , ... , p } k f k k f k κώμενη απόδοση: Παράδειγμα: 2 2 (2p 2 )ku1 (2s1 ,Ks 2∑ ). ( p 2 )u1 ( s1 , s 2 ). ∑ 1 K k K p = { p , ... , p , ... , p } = k 1 K K Ο παίκτης Α της ομάδας Χ ετοιμάζεται να εκτε= k 1 2 2 2 2 k 2 , ... , p 2 } k∀ k = 1 f , 2k,k! , K f καιk p = 1 . K ∑ i ( s1( ,kps22)).u1 (fs1 ,ks 2 ). λέσει ένα πέναλτι σε βάρος της ομάδας Υ με ∑ ( p2 )u1∑ k =1 K k =1 k =(1 p 2 )u1 ( s1 , s 2 ). ∑ τερματοφύλακα τον Β. Είναι γνωστό ότι αν ο Α ( Kp 2k )u1 ( sk1f=1, s 2k ). 1 f F ∑ f F 1 Όμως ο 1 στην πραγματικότητα χρησιμοποιεί τη p = { p , ... , p , ... , p } p = { p , ... , p , ... , p } σκοπεύσει στην αριστερή γωνία του τέρματος και ο Β 1 f F 1 2 1 {sf , ... 1 , s1 } 2 1 k =1 ( p 2kS)1u1= ( s1 1, s12k ,).s1 , ... 1 ∑ s 2k ). μικτή στρατηγική: f 1 F f προετοιμάσει τον εαυτό του να πέσει στην αριστερή k =1 p1 = { p11 , ... p1, = p1{,1p...1 , ...p,2 p}f 1 , ... , pF 2F } γωνία, ο Α θα σκοράρει με πιθανότητα 0.2, ενώ αν pf1 f= { p1 , ... , p1 , ... , p2 } f 1 F (για την ίδια επιλογή του Α) ο Β προετοιμάσει τον s 1 , p2 } k p1 = { p1 ,S...s,1=p1{s, ... ... , 1s 2K }. 21 αμιγή 2 ,fs...f., s 2 ,F αντί για την εαυτό του να πέσει στη δεξιά γωνία ο Α θα σκοράρει p = { p1 , ...f, p1 ,1... , p2 } , ... , p2F } s11f sf 1 F K F 0.8. K F K F με K πιθανότητα Αν ο Α σκοπεύσει στη δεξιά k Συνεπώς, η ππροσδοκώμενη απόδοση του 1s(είναι: f f k k f f k f fk k f kf s 1 π ( p , p ) = p ) ( p u ( s , s )) = ( p , s 2k ) του να πέσει ( p , p ) = ( p ) ( p u ( , s )) = ( p )( p ) u ( s , s ο2 Β∑∑ τον ∑ 1 1 1 ∑2 2 ∑ 2 γωνία 1 1 1και 2 1 ( s1εαυτό 1 1 2 1 1 1 2 ∑ ∑∑ 1προετοιμάσει 1 21) )( p 2 )u 1 k K s1f F, p } F K f =1 k =1 f =1 Fk =1 K f =1 k =1 k =1 K p2 = { pF2 , ... , fp2f =,1K... στηνk αριστερή k2 f K f kk f k f f kk (δεξιά) f k γωνία, ο Α θα σκοράρει με Ff )(K πs11f ( p1 , p2 π) 1=(∑ p1 ,(pp21 ))=(F∑ p ( p u ) ( ( s , s p )) u = ( s , s )) ( p = p ) u ( p ( s )( , p s ) ) u ( s , s ) ∑ 2f 1 1 ∑ 1 k 22 1 f ∑∑ 1 *k 2 1* ∑∑ 2 1 1 1 2 2 1 1 2 k0.7 f *k * * f * πιθανότητα (0.3). π 1F( p1f ,=1pf 2 ) K= ∑ ( p )( p ) u ( s , s ) π1i (,Kfp=s112,k)) ..... , p∑∑ , p , p ....... , p ) ≥ π ( p , ..... , pi*−1 , pi , pi*+1 ....... , p *N ) ∀ pi ∈ Pi , ∀ i. k f=1=(1p1 )(∑ k =p f k 1 2 u1 (Fs 1 1 =1 = = = i −1 i i +1 N 1 12 1i k f k f k f k 2 μορφή του παιγνίου είναι: π 1 ( p1 , p2 )K= ∑ ( Fp1 )(∑ fpF=K12 uK1 (s1 ,k s=12 )) = F∑∑ p1 )(fp=21Η)ku=1στρατηγική 1 ( s1 , s 2 ) K F (K K F K kf =1 k fk k f k kf f f k k f =1 kf=1 k f f 1 = k f k f ). k = )) π)(2pp(2k(pu)p11u,1(ps()1s2( p),f s2,=2s)u∑∑ )up22( s)u1 1,(ss21 ), s 2 ) ,(sp21 ))((pp12 )( ∑ (2)p(==p1∑ ),up((2sp)1=(,)ps(∑∑ 2) ( s1∑∑ ( p f )( p k uπ 1((spf1,,∑ spπk2))
∑
1
1
K
k i
∑
∑∑ π ( p , p π) =( ∑∑ p , p )( p= ∑∑ )( p )(up( s)( p, s ))u ( s , s ) ενώ η προσδοκώμενη π ( p , p )απόδοση = ∑∑ (του p )2( pείναι: )u ( s , s ) π ( p , p ) = ∑∑ ( p )( p )u (s , s ) ,sp ,, sp, )p)i* , pi*+1....... , pA*N ) p)((,pp,pp,)}..... ....... pp( =p) {=,p..... , ..., ,pp( p, ... π ( p , u ( ∑∑ )( p )u ( s , s )
k =1
2
2
f 1
∑∑ ( p
k 2
1
1
2
1
1
2
2
1f 1
2
1 1 21 2 1 1 2 f =F1 K f =1 f k==11Fk =1 K f =1 k =1 f f kk Ff K k 2 2 1 2 1 2 2f 1 1 k 22 F K f =1 k =1 1 2 1f =1 k2=1f 2 k f k2 f =1 k =12 1 F K 1 2 2 * * * 1 *f * *F* f i −1 kN i −11 f i 1k2 i +1 1 k f1=1 k1=1 2 1 2 2 1 2 2 * *f =1 k*=1 ** * *
2 k =1
2
Β
k =f1=1 k =1 f k 2 f1 k 2 1 2
(p) (1-p)
Αριστερά (L) Δεξιά (R)
(q) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.7, 0.3
(1-q) Δεξιά (R) 0.8, 0.2 0.3, 0.7
( p1* , ....., (p*pi −11 ,, ..... pi ,, p*pii+−11....... , *pi , *piN+1)....... , *p *N ) ( p1 , .....τα , pi −οποία , p Nισορροπία ) 1 , pi , p i +1 ....... Υπάρχουν παίγνια δεν έχουν Κανένας από τους παίκτες δεν έχει αυστηρά Β ( p1* , .....,sp1fi*−1 , pi* , pi*+1....... , p *N ) Αριστερά (L) Δεξιά (R) ισορNash σε Αποδεικνύεται όμως κυριαρχούμενη στρατηγική και δεν υπάρχει * αμιγείς * στρατηγικές. * * * * * *1 , ....., pi −1 , pi , pi +1 ....... , p N ) ( p Α Αριστερά (L) (p)(q) (p)(1-q) pi , pi +1....... p N κάθε ) ότι ,για πεπερασμένο παίγνιο (δηλαδή παίγνιο ροπία Nash σε αμιγείς στρατηγικές. F K F K Δεξιά (R) (1-p)(q) (1-p)(1-q) f k f k με πεπερασμένο παικτών όπου κάθε παίκτης π 1 ( p1 , pαριθμό ) = ( p ) ( p u ( s , s )) = ( p1f )( p2k )u1 (s1f , s 2k ) ∑ ∑ ∑∑ 2 1 2 1 1 2 f =1 k =1 f =1 k =Έστω 1 έχει πεπερασμένο αριθμό αμιγών στρατηγικών) ότι είναι η μικτή στρατηγική του Α και είναι υπάρχει μία τουλάχιστον ισορροπία Nash πιθανά σε η μικτή στρατηγική του Β. Η από κοινού συνάρτηση π A ( p, q) = (0.20( p)(q) + (0.8)( p)(1 − q) + (0.7)(1 − p)(q) + (0.3)(1 − p)(1 − q) = μικτές στρατηγικές (θεώρημα ύπαρξης ισορροπιών πιθανότητας τότε είναι: F K ( p)(0.5 − q ) + (0.4)(q ) + 0.3 Nash). π 2 ( p1 , p2 ) = ∑∑ ( p1f )( p2k )u 2 (s1f , s 2k )
=1 k =1
f =1 k =1
Η ισορροπία Nash σε μικτές στρατηγικές π B (είναι p, q) = (η0.8)( p)(q) + (0.2)( p)(1 − q) + (0.3)(1 − p)(q) + (0.7)(1 − p)(1 − q) = κατατομή: (q)( p − 0.4) − 0.5( p) + 0.7
( p1* , ....., pi*−1 , pi* , pi*+1....... , p *N )
για την οποία ισχύει:
{( L, R; 0.4), ( L, R; 0.5)}.
π i ( p1* , ....., pi*−1 , pi* , pi*+1 ....... , p *N ) ≥ π i ( p1* , ....., pi*−1 , pi , pi*+1 ....... , p *N ) ∀ pi ∈ Pi , ∀ i.
....... , p *N ) ≥ π i ( p1* , ....., pi*−1 , pi , pi*+1 ....... , p *N ) ∀ pi ∈ Pi , ∀ i.
(p) 1-p)
Β
Όπως και αυτή σε αμιγείς, η ισορροπία Nash σε μικτές Β αποτελεί την αμοιβαία άριστη αντίδραση, με την έννοια ότι κάθε παίκτης άριστη μικτή (q) Aυιοθετεί (1-q) (p)μια Αριστερά (L) στρατηγική, με δεδομένες τις μικτές στρατηγικές των Αριστερά (L) (1-p) Δεξιά (R) Δεξιά (R) υπολοίπων. Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.8, 0.2 Δεξιά (R) 0.7, 0.3 the prime magazine_103
0.3, 0.7
(q) Αριστερά (L) 0.2, 0.8 0.7, 0.3
Β Αριστερά (L)
(1-q) Δεξιά (R) 0.8, 0.2 0.3, 0.7
Δεξιά (R)