Page 1

´ vodu do algebry, pı´semka na cvicˇenı´, varianta A Zkousˇka z U ´ loha 1 U (3+3 b)

a) Najdeˇte ba´zi a dimenzi linea´rnı´ho obalu h (2, 1, 1, 4), (0, 1, 0, 7), (1, 2, 2, 3), (4, 1, 2, 1) i. b) Zdu˚vodneˇte, procˇ Gaussova eliminacˇnı´ metoda nemeˇnı´ linea´rnı´ obal ˇra´dku˚ matice.

´ loha 2 U (3+3 b)

a) Vypocˇ´ıtejte matici inverznı´ k matici 

 2 1 −2 A= 1 2 2  2 −2 1 b) Podrobneˇ popisˇte postup vy´pocˇtu inverzı´ matice, ktery´ jste pouzˇili pro ˇresˇenı´ cˇa´sti a) te´to u´lohy, a zdu˚vodneˇte, procˇ tento postup skutecˇneˇ vede k inverznı´ matici.

´ loha 3 U (4+4 b)

a) Oveˇˇrte, zˇe zobrazenı´ A z linea´rnı´ho prostoru vsˇech polynomu˚ nejvy´sˇe druhe´ho stupneˇ do stejne´ho linea´rnı´ho prostoru, ktere´ je definova´no prˇedpisem A(ax 2 + bx + c) = cx 2 + a + b, je linea´rnı´. b) Zformulujte princip superpozice zobrazenı´ a dokazˇte z definice linearity zobrazenı´, zˇe zobrazenı´ je linea´rnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ splnˇuje princip superpozice.


´ vodu do algebry, pı´semka na cvicˇenı´, varianta B Zkousˇka z U ´ loha 1 U (3+3 b)

a) Proved’te rozklad polynomu p(x) = x 5 − 23x 3 + 30x 2 + 76x − 120 na korˇenove´ cˇinitele. Vyuzˇijte prˇitom na´poveˇdu, zˇe polynom ma´ celocˇ´ıselne´ korˇeny. b) Dokazˇte, zˇe pokud je α ∈ R korˇen polynomu p, pak je p deˇlitelny´ polynomem (x − α) beze zbytku.

´ loha 2 U (3+3 b)

a) Necht’ M je mnozˇina matic typu (n, n), ktere´ jsou symetricke´, tj. platı´ pro neˇ A = A T . Dokazˇte, zˇe M tvorˇ´ı linea´rnı´ podprostor linea´rnı´ho prostoru vsˇech matic typu (n, n). b) Najdeˇte ba´zi a dimenzi mnozˇiny symetricky´ch matic typu (2, 2).

´ loha 3 U (4+4 b)

a) Pro ktera´ α ∈ R ma´ soustava s rozsˇ´ıˇrenou maticı´ 

2 1 α  1 2 1 1 1 2 jedine´ ˇresˇenı´ a pro ktera´ α ∈ R nema´ soustava zˇa´dne´ ˇresˇenı´? b) Zformulujte Frobeniovu veˇtu a dokazˇte ji.

 1 α  1


´ vodu do algebry, pı´semka na cvicˇenı´, varianta C Zkousˇka z U ´ loha 1 U (3+3 b)

a) Proved’te rozklad polynomu p(x) = x 4 − 5x 3 + 40x − 96 na korˇenove´ cˇinitele. Vyuzˇijte prˇitom na´poveˇdu, zˇe cˇ´ıslo 2 + 2i je korˇenem tohoto polynmu. b) Mu˚zˇe by´t cˇ´ıslo 37 + 18i sedmina´sobny´m korˇenem polynomu dvana´cte´ho stupneˇ s rea´lny´mi koeficienty? Sve´ rozhodnutı´ podrobneˇ zdu˚vodneˇte.

´ loha 2 U (4+4 b)

a) Spocˇ´ıtejte det A a det A−1 . 

a  1 A=  1 1

1 b 1 1

1 1 c 1

 1 1  1 1

b) Definujte determinant a z definice zdu˚vodneˇte, procˇ determinant hornı´ troju´helnı´kove´ matice je roven soucˇinu vsˇech prvku˚ na hlavnı´ diagona´le. ´ loha 3 U (3+3 b)

a) Zobrazenı´ A z linea´rnı´ho prostoru polynomu˚ nejvy´sˇe druhe´ho stupneˇ do stejne´ho linea´rnı´ho prostoru je definova´no prˇedpisem: A(ax 2 + bx + c) = cx 2 + a + b. Najdeˇte ba´zi ja´dra tohoto zobrazenı´. b) Necht’ A : L1 → L2 je linea´rnı´ zobrazenı´. Zdu˚vodneˇte, procˇ Ker A tvorˇ´ı linea´rnı´ podprostor linea´rnı´ho prostoru L1 .


´ vodu do algebry, pı´semka na cvicˇenı´, varianta D Zkousˇka z U ´ loha 1 U (3+3 b)

a) Pro ktera´ α ∈ R je polynom p(x) = x 2 − αx + 1 prvkem linea´rnı´ho obalu hx 2 + 2x + 2, 2x 2 + x + 1i. b) Definujte linea´rnı´ obal vektoru˚ a zdu˚vodneˇte, procˇ linea´rnı´ obal vzˇdy tvorˇ´ı linea´rnı´ podprostor.

´ loha 2 U (4+4 b)

a) Spocˇ´ıtejte det A a det A−1 . 

a  1 A=  a 1

b 1 c 1

1 c 1 b

 1 d   1  d

b) Zformulujte veˇtu o rozvoji determinantu podle r-te´ho ˇra´dku. Pouzˇijte tuto veˇtu k du˚kazu na´sledujı´cı´ho tvrzenı´: Necht’A, B jsou matice, ktere´ se shodujı´ ve vsˇech ˇra´dcı´ch s vy´jimkou r-te´ho, r-ty´ ˇra´dek matice A je α na´sobkem r-te´ho ˇra´dku matice B. Pak det A = α det B. ´ loha 3 U (3+3 b)

 a) Vektor z R2 ma´ vzhledem k upor  ˇa´dane´ ba´zi (1, 2), (3, 4) sourˇadnice (5, 6). Najdeˇte jeho sourˇadnice vzhledem k usporˇa´dane´ ba´zi (2, 1), (2, 0) . b) Definujte pojem sourˇadnice vzhledem k usporˇa´dane´ ba´zi a zdu˚vodneˇte, procˇ sourˇadnice vektoru vzhledem k pevneˇ zvolene´ ba´zi jsou urcˇeny jednoznacˇneˇ.


´ vodu do algebry, pı´semka na cvicˇenı´, varianta E Zkousˇka z U ´ loha 1 U (3+3 b)

a) Proved’te rozklad polynomu p(x) = x 4 − 5x 3 + 3x 2 + 19x − 30 na korˇenove´ cˇinitele. Vyuzˇijte prˇitom na´poveˇdu, zˇe cˇ´ıslo 2 + i je korˇenem tohoto polynmu. b) Necht’ p je polynom, ktery´ ma´ rea´lne´ korˇeny a da´le dvojice korˇenu˚ stejne´ na´sobnosti vza´jemneˇ komplexneˇ sdruzˇene´. Necht’jesˇteˇ koeficient u nejvysˇsˇ´ı mocniny an = 1. Ukazˇte, zˇe pak p je polynom s rea´lny´mi koeficienty.

´ loha 2 U (3+3 b)

a) Pro ktery´ parametr a je matice A regula´rnı´ 

0  0 A=  0 a

a 1 1 1

0 a 0 0

 1 1   a  1

b) Definujte pojem regula´rnı´ matice. Uved’te vlastnosti teˇchto matic a jednu vlastnost dokazˇte. ´ loha 3 U (4+4 b)

a) Mnozˇina M je ˇresˇenı´m jiste´ soustavy linea´rnı´ch rovnic: M = (1, 2, 3, 4) + h(1, 2, 1, 2), (2, 1, 3, 2)i. Pro ktera´ α, β ∈ R je vektor (α, β, −4, 2) ˇresˇenı´m stejne´ soustavy? b) jakou dimensi ma´ prostor ˇresˇenı´ prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy, zna´me-li pocˇet rovnic, hodnost matice soustavy a pocˇet nezna´my´ch. Zdu˚vodneˇte.


´ vodu do algebry, pı´semka na cvicˇenı´, varianta F Zkousˇka z U ´ loha 1 U (3+3 b)

a) Proved’te rozklad polynomu p(x) = x 5 + x 4 − 19x 3 − 13x 2 + 78x + 72 na korˇenove´ cˇinitele. Vyuzˇijte prˇitom na´poveˇdu, zˇe polynom ma´ celocˇ´ıselne´ korˇeny. b) Dokazˇte, zˇe pokud α je korˇen polynomu p s celocˇ´ıselny´mi koeficienty, pak α deˇlı´ absolutnı´ cˇlen a 0 .

´ loha 2 U (3+3 b)

a) Najdeˇte ba´zi a dimensi linea´rnı´ho prostoru vsˇech matic, ktere´ komutujı´ s maticı´ A=



1 2 3 4



b) Dokazˇte, zˇe mnozˇina vsˇech matic, ktere´ komutujı´ s pevneˇ danou maticı´, tvorˇ´ı linea´rnı´ podprostor linea´rnı´ho prostoru vsˇech cˇtvercovy´ch matic stejne´ho typu. ´ loha 3 U (4+4 b)

a) Najdeˇte vsˇechna ˇresˇenı´ soustavy (α ∈ R je parametr) 3x + αy − z = −1, αx + y − 2z = −1, (4 − α)x + αy + 2z = 0. b) Zformulujte a dokazˇte Frobeniovu veˇtu.


´ vodu do algebry, pı´semka na cvicˇenı´, varianta G Zkousˇka z U ´ loha 1 U (3+3 b)

a) Proved’te rozklad polynomu p(x) = x 4 − 7x 3 + 17x 2 − x − 26 na korˇenove´ cˇinitele. Vyuzˇijte prˇitom na´poveˇdu, zˇe cˇ´ıslo 3 + 2i je korˇenem tohoto polynmu. b) Zdu˚vodneˇte, procˇ ke kazˇde´mu korˇenu α polynomu s rea´lny´mi koeficienty je komplexneˇ sdruzˇene´ cˇ´ıslo α korˇenem stejne´ho polynomu.

´ loha 2 U (3+3 b)

a) Najdeˇte ba´zi a dimensi pru˚niku linea´rnı´ch podprostoru˚ M = {(x, y, z); x = 2z},

N = {(x, y, z); x + 2y = z}

linea´rnı´ho prostoru R3 . b) Definujte pojem linea´rnı´ho podprostoru a zdu˚vodneˇte, procˇ pru˚nik dvou linea´rnı´ch podprostoru˚ musı´ by´t linea´rnı´m podprostorem. ´ loha 3 U (4+4 b)

a) Najdeˇte vsˇechna ˇresˇenı´ soustavy (α ∈ R je parametr) αx + y + z = 1, x + 2z = 0, x + αy + 2z = 0. b) Zdu˚vodneˇte, procˇ mnozˇina ˇresˇenı´ homogennı´ soustavy tvorˇ´ı linea´rnı´ podprostor v R n .


´ vodu do algebry, pı´semka na cvicˇenı´, varianta H Zkousˇka z U ´ loha 1 U (3+3 b)

a) Proved’te rozklad polynomu p(x) = x 5 + 5x 4 − 9x 3 − 49x 2 − 8x + 60 na korˇenove´ cˇinitele. Vyuzˇijte prˇitom na´poveˇdu, zˇe polynom ma´ celocˇ´ıselne´ korˇeny. b) Zdu˚vodneˇte, procˇ trˇetı´ ˇra´dek Hornerova sche´matu pro vyhodnocenı´ polynomu p v bodeˇ c obsahuje koeficienty polynomu r, pro ktery´ platı´ p(x) = (x − c) r(x) + p(c).

´ loha 2 U (3+3 b)

a) Pro ktery´ parametr a je matice A singula´rnı´ 

1  1 A=  1 1

a 1 1 1

1 a 1 1

 1 1   a  1

b) Definujte pojem singula´rnı´ matice. Uved’te vlastnosti teˇchto matic a jednu vlastnost dokazˇte. ´ loha 3 U (4+4 b)

a) Jsou da´ny mnozˇiny M = (3, 2, 0, 1) + h(1, 0, 2, 4), (4, 2, 1, 3)i,

N = (0, 0, 1, 2) + h(2, α, −3, −5), (5, 4, −4, −6)i.

Pro ktera´ α ∈ R platı´ M = N? b) Popisˇte a zdu˚vodneˇte postup, jak zjistit rovnost dvou mnozˇin tvaru M = vE + hE u1 , uE2 , . . . , uEk i, kde vE, vE0 , uEi , uE0i jsou vektory z Rn .

N = vE0 + hE u01 , uE02 , . . . , uE0k i,

Test  

LinAlg pisemka

Advertisement