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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

1. Si se sacan 3 cartas al azar de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de que las 3 cartas sean de vastos. Resp.:

P ( A) =

 52   3 

= 22100 maneras de sacar de un total de 52 cartas las 3

cartas elegidas sean vastos.

2. Sea T= {x, y , w, z} , sea T una función de probabilidad de T

a) hallar P (x ) si) P ( y ) =

1 1 1 , P (w) = , P (z ) = 5 6 2

Resp: P (x ) = p luego la sumatoria de las probabilidades debe ser igual a 1

p+

1 5 1 + + =1 5 6 2

Luego p = 1-

1 1 1 4 = 5 6 2 30

Por lo tanto P (x ) =

4 . 30

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3. Una moneda tiene un grosor que no es normal, de modo que la posibilidad que salga sello

(s) es el triple a que salga

cara(c). Hallar P (S ) y P (C ) Resp: P (S ) = x

P (C ) = 3x

Por axioma de probabilidad la suma de probabilidades es igual a uno. X + 3x = 1 4x = 1 x =

1 4

Por lo tanto P (S ) = x =

1 3 , P (C ) = 3x= 4 4

4. En una parroquia se realizan 3 matrimonios de manera simultánea, las 3 parejas luego se reúnen y organizan una misma fiesta. Si se escogen 2 personas al azar de esta fiesta. Hallar probabilidad p de que: a) sean esposos b) uno sea hombre y la otra mujer. Resp:

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 6    2

Hay

= 15 maneras de escoger 2 personas de las 12.

a) Hay 3 parejas, por lo tanto p=

3 1 = 15 5

b) si tienen 3 maneras de escoger un hombre y 3 maneras de escoger una mujer

Por lo tanto p=

9 3 = de posibilidad de que uno sea hombre y 15 5

el otro mujer.

5. Un jugador lanza un dado. Si sale un número primo gana dicho número de euros, pero si no sale un número primo pierde esa cantidad de euros. ¿El juego es favorable para el jugador? Calcular la esperanza. Los

resultados

posibles

del

juego

con

sus

respectivas

probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

2

5

7

-4

-8

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Resp:

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E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 1 1 1 1 −4 ⋅ −8 ⋅ + 5 ⋅ +7 6 6 6 6 6

= 2 ⋅

2

5

7

4

8

12

= 6 +6 +6 −6 −6 = 6 =2 euros Por lo tanto el juego es favorable para el jugador.

6. Verificar si la siguiente función dada por:

f (x ) =

2 x +3 15

para x= 1,2,3,4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria. Resp: Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene.

f (1) =

1 3

, f ( 2) =

7 , 15

f (3) =

3 5

,

f ( 4) =

11 15

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x) ≥0

∑f (x) =1

x∈ Χ

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Luego f (1) + f ( 2) + f (3) + f ( 4) =

1 7 3 11 32 + + + = 3 15 5 15 15

La función no cumple con una de las condiciones para una función de probabilidad ya que su suma no es igual a 1.

7. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución. Para x < 2

0 1  4 1  f (x) =  3 5  3  1

Para 2 ≤x <6 Para

6 ≤x <8

Para

8 ≤ x < 10

Para

x ≥ 10

Determinar

5 1 17 a) p (3 <x ≤ 8) = p ( x ≤ 8) − p ( x < 3) = − = 3

b) p ( x = 9) =

4

12

5 3

8. ¿cual es la probabilidad de lograr 3 caras al tirar 3 monedas simultáneamente?

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Resp: A: Primera moneda B: segunda moneda C: Tercera moneda D: 3 caras al tirar 3 monedas

P ( A) =

1 2

P (B ) =

1 2

P (C ) =

P ( D ) =P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P (C )

1

1 2

1

1

1

= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =8

9. En un equipo de fútbol se encuentra en la cancha 3 atacantes, 4 mediocampistas, 3 defensas y 1 arquero y luego se lastima uno de estos jugadores. ¿Cuál es la probabilidad que seleccione un delantero o un mediocampista? Resp:

P( D) =

3 11

P(M ) =

P ( AUB ) =P ( A) + P ( B )

4 11

Eventos Mutuamente Excluyentes P ( DUM ) = P ( D ) + P ( M )

=

3 4 7 + = 11 11 11

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10. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 kx 0 < x ≤ 6  f (x) =  0 eoc   Calcular k

6

6

∫ kx dx = k ∫ x dx = k 0

0

x2 2

] = 36 =18k = 1 2

k =

1 18

11. La probabilidad de recorrer la carretera desde una ciudad A hasta una B sin pinchar gomas es 0,78 ; al hacer 20 viajes de A a B ¿Cuál es el numero mas probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático? Resp: E ( xi ) = 0,78 ⋅20 =15,6 ≈16 Viajes.

12. Una urna contiene 16 bolas, 9 bolas amarillas, 7 bolas negras ¿ Cual es la Probabilidad de que una bola extraída al azar sea amarilla?

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Resp: 9 P ( A) = 16

13. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

 2 ε x para x > 0 f ( x) =   0 eoc

Resp: ∞

0

0

0

Mx(t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅2e x dx = 2 ∫e tx ⋅e x dx =2 ∫e x ( t +1) dx =2 ⋅

1 2 = t +1 t +1

14. Se desea formar grupos de 5 personas para ir en apoyo a los damnificados del terremoto. a) De cuantas maneras diferentes se podrá conformar si hay un total de 8 personas. Resp:

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 8  8!   = = 56  5 (8− 5)!

Maneras de conformar grupos de 5 personas.

15. Si cinco jugadores que juegan en el mediocampo de Universidad de Chile rotan en forma indiscriminada en sus puestos por el técnico pelusso ¿Cuántas posibilidades existen de conformarlos en la cancha? Resp: 5 ⋅ 4 ⋅3 ⋅ 2 ⋅1 =120 maneras de conformar el medio campo del 5 !=

equipo

16. Para la gran final U de Chile concentrara 18 jugadores, si al campo de juego solo ingresan 11. ¿De cuantas maneras el técnico Pelusso los pudo haber seleccionado? Resp:

18 18!   = = 31824 1  (18− 1)!1

Maneras para seleccionar los jugadores.

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17. ¿Que es una variable aleatoria? a) Es una cofuncion con Dominio IR y Recorrido Q. b) Es una variable que tiene cambios. c) Es una función medible con dominio Ωy recorrido IR. d) Ninguna de las Anteriores.

18. Al lanzar 2 monedas, que probabilidad hay de obtener una cara y un sello. 1 1 1 P ( A) = ⋅ = 2 2 4

Rep.:

(Regla multiplicativa)

19. Para la Fiesta de fin de año del Colegio SSCC de Viña del Mar, cada curso vendió entradas recaudándose la suma de $1.300.000. En el siguiente cuadro se presenta el número de entradas que vendió cada curso.

N

entradas

1 medio 165

2 medio 160

3 medio 125

4 medio 150

vendidas Durante la fiesta se realizara una rifa en la cual participaran las 600 entradas vendidas.

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¿Cual es la probabilidad de que gane el premio de la rifa , una persona que le compro su entrada al 3 medio?

a)

1 60

b)

125 600

c)

125 640

d)

160 600

20. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 10 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

P( X ) =

e −3 ( −3) x x!

x= 0, 1, 2, 3, 4, 5

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x Resp: 1 =0,05025 P (0) = e −3 (3) 0 =e −3 = 19,90

3 =0,15075 P (1) = e −3 (3)1 =3e −3 = 19,90

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9e −3 9 P (2) = e −3 (3) 2 = = = 0,2261 2 39,8

P (3) = e −3 (3) 3 =

27e −3 27 = = 0,2261 6 119,4

81e −3 81 P ( 4) = e −3 (3) 4 = = = 0,1695 24 477,6

−3

P (5) = e −3 (3) 5 = 243e 120

=

243 = 0,1017 2388

21. ¿Cómo sabemos si una variable aleatoria es continua o discreta? a) Mediante su dominio b) Mediante su recorrido c) Al calcular la función de densidad d) Al calcular la función de cuantía

22. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

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k  2 x 0 < x≤ 4  f ( x) =  0 eoc    Calcular k Rep.: 4

4

k k k x2 x dx = x dx = ⋅ ∫0 2 2∫ 2 2 0

] = 16 = 4k = 1 4

k=

1 4

23. La probabilidad de recorrer todo el sur de Chile de una Ciudad A hasta una B sin pinchar gomas es 0,68; al hacer 15 viajes de A a B ¿Cuál es el número más probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático? Rep.: E ( xi ) = 0,68 ⋅15 =10,2 ≈10 Viajes.

24. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

3 x  ε para x > 0 f ( x) =  4  0 eoc

Rep.:

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Mx (t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

3 x 3 e dx = 4 4

∫e 0

tx

3 ⋅e x dx = 4

∫e

x ( t +1)

0

3 1 3 dx = ⋅ = 4 t +1 4(t +1)

25. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:   2 f ( y ) =  ( y + 1) para 3 < y < 6  33  0

Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad. Rep.: 6 6 6  2  y2  36 2 2 2  9  33 2 ∫3 33 ⋅ ( y + 1) dy = 33 ∫3 ( y + 1)dy = 33 ⋅ ∫3 y dy + ∫3 dy  = 33 ⋅  2 + y  = 2 + 6 −  2 + 3 = 2 ⋅ 33 = 1 6

26. Dada la siguiente función f ( x) =

−x

1 25 ⋅e 25

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.:

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−x −x −x ∞ 0 ∞  1 25 1 1 u u 25 45 45 45 ∫0 25 e dx = 25 ∫ e dx = 25 ⋅ − 25∫0 e du = e = − e  = −e + e = 1 

]

27. Sea X una variable aleatoria discreta que sólo toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5 y que tiene la distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla. X 0 1 23 4 5 P (X 0.050.30 ϑ0.200.100.05 ) a) Calcule P ( ϑ ). b) Calcule μ y σ. Rep. a) P ( ϑ ) = 1 - 0.05 - 0.30 - 0.20 - 0.10 - 0.05 = 0.30 b) μ = 0·0.05 + 1·0.30 + 2·0.30 + 3·0.20 + 4·0.10 + 5·0.05 = 2.15 σ² = 0.05· (0 - 2.15)² + 0.30·(1 - 2.15)² + 0.20·(2 - 2.15)² + ... + 0.05·(5 2.15)² = 1.5275; σ = √1,5275 = 1,2359

28. Verificar si la siguiente función es de distribución

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 0 si x < 0 x  F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 5 5  1 si x > 5 Resp.: x 1 1 x 2  1 25 5 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 5 5 ∫0 5 2 5 2 2 5

5

29. Sea Ω ≠ Φy T una familia para Ω . Diremos que T es una σ − A lg ebra

Para Ω si cumple: a) b) c) d) e)

Ω∈T

A∈T ⇒ A C ∈T A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T

Solo a y c Todas las Anteriores

30. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por:

 3(1 − x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  eoc 0 Determinar a) E (x ) b) Var ( x)

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Resp.: a) E ( x) = 1 1   x 2 x3  1 1 1 1 2 ∫0 3x (1 − x)dx = 3∫0 x(1 − x) dx = 3∫0 x dx − ∫0 x dx  = 3 2 − 3  = 3 2 − 3  = 3 ⋅ 6 = 2 b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) 1

1

E(x 2 ) = 1 1 1 2   x3 x 4  1 1 1 1  2 2 3 3 x ( 1 − x ) dx = 3 x ( 1 − x ) dx = 3 x dx − x dx = 3 = ∫   −  = 3 −  = 3 ⋅ ∫0 ∫0 ∫ 4 12 4 3 4  3 0 0  1

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) 1 1 − =0 = 4 4

Var ( x) de una constante es 0 .Por lo tanto la Varianza es una

Constante.

31. Sea E un evento para el cual P ( E ) > 0 Comprobar que la función de probabilidad Condicional P ( A ) satisface

E

axiomas de un espacio de probabilidad, esto es: Para un evento A

0 ≤ P( A ) ≤ 1 E

Resp.: Se tiene que A ∩ E ⊂ E ⇒ P ( A ∩ E ) ≤ P ( E ) Así P ( A ) =

E

P ( A ∩E ) ≤1 P( E )

Esto es 0 ≤ P ( A ) ≤ 1

E

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32. sea σ − A lg ebra T ⊆2 Ω y ( Ω,T ) un espacio medible. Diremos que la medida P es una medida de probabilidad si satisface las siguientes condiciones a) 0 ≤ P( A) ≤ 1 b) P (Ω) =1 ∞

∞ c) P(∪i =1 An) =∑P ( An ) n =0

d) Todas las anteriores

33. sea Ω = {Φ, Ω, juan, luis , marcela, leonor , francisca} alumnos destacados de un determinado colegio. Veamos si

T ={Φ, Ω, {luis}, {marcela, francisca, leonor}, { juan, luis, leonor}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Resp.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición C b) si A ∈ T ⇒ A ∈ T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra .

34. Si Ω = {1,3,5,7} espacio muestral de números primos y T = {{1}, {3,5}, {1,7}, Ω, Φ}

Para que cumpla con las condiciones de ser un σ − A lg ebra Cuál es el elemento que falta en T a) {2, 4,5} b) {4, 6,7} c) {1,5} d) {3, 5,7} e) Ninguna de las anteriores.

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35. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

 5 2x  ε para x > 0 f ( x) =  4  0 eoc Resp.: ∞

Mx(t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

5 2x 5 e dx = 4 4

5 tx 2x ∫0 e ⋅e dx =4

∫e

x ( t +2 )

0

5 1 5 dx = ⋅ = 4 t +2 4(t +2)

36. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de pesos, pero si no sale un número impar pierde esa cantidad de pesos. Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-4

-2

3

5

7

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

Resp.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 1 1 1 1 +5 ⋅ +7 ⋅ -2 ⋅ + 3 5 5 5 5 5

= -4 ⋅ =

−4 2 3 7 9 − + +1 + = =1,8 ≈2 5 5 5 5 5

pesos

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37. sea Ω = {Φ, Ω, juan, luis , marcela, leonor , francisca} alumnos destacados de un determinado colegio Veamos si T ={Φ,{luis}, {marcela, francisca, leonor}, { juan, luis, leonor}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra Resp.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra .

38. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

x> 0 0  F ( X ) =  3x − x 3 0 ≤ x < 1 1 x≥ 1  1 4

2 6

Obtener P( X < ) P( X > ) Resp.: 1 4

1 4

1 4

2 4 a) P ( X < 1 ) = (3 x − x 3 )dx = 3 x dx − x 3 dx = 3 ⋅ x  − x  = 3 − 1 = 95   ∫0 ∫0 ∫0 4 2  4  32 1024 1024

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b) 1 1 1 1 1 2 x2  x4  16  1 4  1 P ( X > ) = ∫ (3 x − x 3 ) = ∫ 3 x dx − ∫ x 3 dx = 3∫ x dx − ∫ x 3 dx = 3 ⋅  −  = 3 ⋅  −  −  − 6 2 4  2 72   4 5184  2 2 2 2 2 6

=3⋅

6

6

6

6

32 609 96 1280 6912 − 1280 5632 − = − = = 72 5184 72 5184 5184 5184

39. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de dólares, pero si no sale un número impar pierde esa cantidad de dólares. ¿El juego es favorable para el jugador? Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

1

3

5

-2

-6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Resp.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 1 1 1 1 −2 ⋅ −6 ⋅ + 3 ⋅ +5 6 6 6 6 6

= 1 ⋅ 1

3

5

2

6

1

= 6 +6 +6 −6 −6 = 6 =0,16 dólares Por lo tanto el juego es favorable para el jugador.

40.Luís dispara a una arco de fútbol en 3 ocasiones. Siendo X el número de aciertos obtenidos. Calcular la función de Distribución de X Resp.:

X Es una variable aleatoria Discreta que toma los valores 0, 1, 2,3, con probabilidad no nula. La función de densidad es: f (0) =

1 3 3 1 , f (1) = , f ( 2) = , f (3) = 8 8 8 8

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La función de distribución será: F(X ) = 0 x < 0

F(X ) = 1

8

F(X ) = 4

8

0≤ x < 1 1≤ x < 2

F(X ) = 7 2 ≤ x < 3 8 F ( X ) =1

41. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 2kx 0 < x ≤ 3  f (x) =  0 eoc   Calcular k 3

3

2 ∫ kx dx = 2k ∫ x dx = 2k 0

0

x2 2

] = 9 →9k = 1 2

k=

1 9

42. La probabilidad de recorrer Chile en un auto y quedar en pana es 0,65 ; al hacer 17 viajes de A a B ¿Cuál es el numero más probable de viajes que se puede realizar sin el riesgo de quedar en pana? Resp.: E ( xi ) = 0,65 ⋅17 =11,05 ≈11 Viajes.

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43. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

 8 4x  ε para x > 0 f ( x) =  5  0 eoc Resp.: ∞

Mx (t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

8 4x 8 8 8 1 8 e dx = ∫e tx ⋅e 4 x dx = ∫e x ( t +4 ) dx = ⋅ = 5 50 50 5 t +4 5(t +4)

44. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad está dada por:

 3 14 x  ε para x > 0 f ( x) =  5  0 eoc  Resp.: ∞

1

1

1

x x (t + ) 3 x 3 3 3 Mx(t ) = E (e tx ) = ∫ e tx ⋅ e 4 dx = ∫ e tx ⋅ e 4 dx = ∫ e 4 dx = ⋅ 5 50 50 5 0

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1 1 t+ 4

=

3 1 5 (t + ) 4

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45. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:   1 f ( y ) =  (3 y + 2) para 3 < y < 5  40  0

Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad.

5 5 5  1  y2  75 1 1 1   27  ⋅ ( 3 y + 2 ) dy = ( 3 y + 2 ) dy = ⋅ 3 y dy + 2 dy ⋅ 3 + 2 y = + 10 −  + 6  ∫ = ∫3 40 ∫ ∫ 40 3 40  3 2   2 3  40  2 5

=

1 ⋅ 40 = 1 40

46. Dada la siguiente función 1 f ( x) = ⋅ e 3

−x 3

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Resp.: ∞

1 ∫0 3 e

−x 3

dx =

1 e 3∫ 0

−x 3

dx =

]

1 ⋅ − 3∫ e u du = e u = − e 3 0

−x 3

∞ 0  3 3 = − e + e =1  

47. Verificar si la siguiente función es de densidad

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 0 si x < 0  5x  F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 4 4  1 si x > 4 Resp.: 5x 5 5 x 2  5 16 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = 10 ∫0 4 4 ∫0 4 2  4 2 4

4

No es función de densidad de probabilidad

48. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por:

1 2  (1 − 3x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  3  0 eoc Determinar a) E (x ) b) Var ( x) Resp.: a) E (x ) 1

∫ 0

1 1  1 11 1 1 2 x (1 − 3 x ) 2 dx = ∫ x (1 − 3 x ) 2 dx = x dx − 6 x dx + 9 x 3 dx  ∫ ∫ ∫ 3 30 3 0 0 0  1  x2 x3 x 4  1 1 9 1 3 1 = +9 ⋅  −6 ⋅  =  −2 +  = ⋅ = 3 2 3 4  3 2 4 3 4 4

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x) 1

E(x 2 ) =

1 2 1 2 ∫0 3 x (1 − 3x) dx = 3

1

∫x

2

(1 − 3x ) 2 dx =

0

 1 2 3 4 ∫ x dx − 6 ∫ x dx + 9 ∫ x dx  3 0 0 0  1

1

1

1 x3 x4 x 5  1 1 3 9  1 19 19 =  −6 ⋅ +9 ⋅  = − + = ⋅ = 3 3 4 5  3  3 2 5   3 30 90

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) 19 1 304 − 90 214 107 − = = = = 90 16 1440 1440 720

49. Un grupo de personas va a jugar a los bowling y cada lanzamiento tiene un puntaje favorable o desfavorable según sea el caso Calcular la esperanza. ¿Es más probable que ganen o que pierdan? Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-3

-2

1

3

4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

Resp.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 1 1 1 1 -2 ⋅ + 1 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ 4 4 4 4 4

= -3 ⋅ =

−3 1 1 3 3 − + + +1 = 4 2 4 4 4

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

50. sea σ − A lg ebra T ⊆2 Ω y ( Ω,T ) un espacio medible. Cuál de las siguientes opciones no corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad. a) 0 ≤ P( A) ≤ 1 b) P (Ω) =1 ∞

∞ c) P (∩i =1 An) = P ( An) n =0

d) c) no corresponden e) Todas las Anteriores

51. sea Ω = {Marcelo, Fabian, Javiera, Yaz min, Daniela, Cristobal} estudiantes de la carrera de Ingeniería civil Industrial de la Universidad Católica De Chile. Veamos si

T ={Ω, Φ, {marcelo}, {Javiera, Yaz min, Cristobal}, {Fabian, Cristobal }} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Resp.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición C b) si A ∈ T ⇒ A ∈ T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra .

52. Verificar si la siguiente función dada por: f (x ) =

5 x +8 82

para x= 1,2, 3, 4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria.

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Resp.: Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene. f (1) =

13 58

, f ( 2) =

18 , 58

f (3) =

23 58

,

f ( 4) =

28 58

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x) ≥0

∑f (x) =1

x∈ Χ

Luego f (1) + f ( 2) + f (3) + f ( 4) =

13 18 23 28 82 + + + = =1 82 82 82 82 82

53. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

9 2  8c x 0 < x≤ 4  f ( x) =  0 eoc    Calcular

c

4 4 9 2 9 2 9 2 x 2  16 9 2 64 8 2 c x dx = ⋅ c x dx = ⋅c ⇒c =  = ⇒ c =8⇒c = ∫ ∫ 80 8 8 2 2 8 9 3 0

54. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

x> 0 0  F ( X ) =  5x − x3 0 ≤ x < 2 1 x≥ 2  1 4

1 3

Obtener P( X < ) P( X < ) Resp.: a) 1 4

1 4

1 4

1 x2  x4  5 1 160 − 1 159 P ( X < ) = ∫ (5 x − x 3 )dx = ∫ 5 x dx − ∫ x 3 dx = 5 ⋅  − − = = = 0,155 = 4 2  4  32 1024 1024 1024 0 0 0 b) 1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 x2  x4  5 1 89 P ( X < ) = ∫ (5 x − x 3 ) = ∫ 5 x dx − ∫ x 3 dx = 5∫ x dx − ∫ x 3 dx = 5 ⋅  −  = − = 3 2  4  18 324 324 0 0 0 0 0

55. Dada la siguiente tabla Calcular la esperanza, varianza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-3

-1

1 2

1 2

2 1 2

4 1 2

Resp.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f ( xi ) 1 1 1 1 +4 ⋅ + -1 ⋅ + 2 2 2 2 2

= -3 ⋅ =

−3 −1 2 + +1 +2 = =1 2 2 2

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Var ( Xi ) = ∑xi 2 ⋅ f ( xi )

1 2

1 2 9 1 30 = 15 = + +2+8 = 2 2 2

1 2

2 2 2 2 = ( − 3) ⋅ + ( − 1) ⋅ + ( 2 ) ⋅ + ( 4 ) ⋅

1 2

56. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

5  3 kx 0 < x ≤ 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular k 5 5 5 x2  5 10 3 kx dx = k x dx = k ⋅  = 2 → ⋅ 2k = 1 → k = 1 k = ∫ ∫ 30 3 0 3 2 3 3 10 2

2

57. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 k 3  6 7 ⋅ x 0 < x≤ 3  f ( x) =  0 eoc    Calcular k

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Resp.: 3

k 3 6k ∫0 6 7 x dx = 7

3

3 ∫ x dx = 0

6k x 3  6 ⋅  = 9⋅ k =1 7 3 7

54 7 k =1 ⇒ k = 7 54

58. La probabilidad de un alumno de obtener premio es 0,50; Si para lograr este objetivo estudia 12 horas ¿Cuál es la esperanza que lo logre? Resp.: E ( xi ) = 0,50 ⋅12 = 6 .

59. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

 2 4x  ε para x > 0 f ( x) =  3  0 eoc Resp.: ∞

Mx (t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

2 4x 2 e dx = 3 3

∫e 0

tx

⋅e 4 x dx =

2 3

∫e

x ( t +4 )

0

2 1 2 dx = ⋅ = 3 t +4 3(t +4)

60. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

  2 f ( y ) =  ( y + 2) para 3 < y < 6  63  0

Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad. Resp.:

6 6 6  2  y2  36 2 2 2  2 63 9  ⋅ ( y + 2 ) dy = ( y + 2 ) dy = ⋅ y dy + 2 dy = ⋅ + 2 y + 12 −  + 6 = ⋅ =1    = ∫3 63 ∫ ∫ ∫ 63 3 63  3 2  63 2  2 3  63  2 6

61. Dada la siguiente función f ( x) =

3 ⋅e 7

−x 7

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad

Resp.: ∞

3 ∫0 7 e

−3 x 7

3 dx = ∫ e 70

−3 x 7

]

3 7 dx = ⋅ − ∫ e u du = − e u = − e 7 30

−x 7

∞ 0  7  = −e + e 7 = 1 

− 3x 7 −3 du = dx 7

u=

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

62. Verificar si la siguiente función es de densidad

 0 si x < 0  5x  F (x) =  si 0 ≤ x ≤ 3 2  1 si x > 3 Resp.: 5x 5 5 x 2  5 9 45 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 2 2 ∫0 2 2 2 2 4 3

3

No es función de densidad de probabilidad

63. Sea Ω = {1,2,3,4,5,6} Conjunto de números de un dado Veamos si T ={Ω, Φ, {1,2}, {3,4,5,6}, {1,2,4}, {3,5,6}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Resp.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición C b) si A ∈ T ⇒ A ∈ T cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra . c) A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un σ − A lg ebra .

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

64. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:   1 f ( y ) =  (3x + 2) para 1 < x < 3 16  0

Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad.

3 3 3  1  x2  27 1 1 1  3  ⋅ ( 3 x + 2 ) dx = ( 3 x + 2 ) dx = ⋅ 3 x dx + 2 dx + 2 x = + 6 −  − 2   = ⋅ 3 ⋅ ∫1 16 ∫ ∫ ∫ 16 1 16  1 2 2   2 1  16  3

=

1 32 ⋅ =1 16 2

65. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad está dada por:

 2 131x  ε para x > 0 f (x) =  13  0 eoc  Resp.: ∞

Mx(t ) = E (e tx ) = ∫ e tx ⋅ 0

1

1

1

x x (t + ) 2 13 x 2 2 2 e dx = e tx ⋅ e 13 dx = ∫ e 13 dx = ⋅ ∫ 13 13 0 13 0 13

1

2 = 1 1 t+ 13 (t + ) 13 13

66. Dada la siguiente función

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

f ( x) =

−x

1 22 ⋅e 22

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Resp.: −x −x ∞ 0 ∞ −x ∞  1 22 1 1 u u 22 22 22 22 e dx = e dx = ⋅ − 22 e du = − e = − e = − e + e =1  ∫0 22 ∫0 22 ∫ 22 0 

]

67. Verificar si la siguiente función es de densidad

 0 si x < 0  2  2x F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 1 3  1 si x > 1 Resp.: 2x 2 2 2 x3  2 1 2 2 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 3 3 ∫0 3 3 3 3 9 1

1

No es función de densidad de probabilidad

68. Un jugador compra un juego de lotería. Si sale un número x gana dicho número de pesos, pero si no sale un número x pierde esa cantidad de pesos. Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

xi f(xi)

-3

-2

-1

2

3

5

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Resp.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi)

= ⋅ −3 ⋅

1 1 1 1 1 1 − 2 ⋅ −1 + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 5⋅ 6 6 6 6 6 6

3

2

1

2

3

5

4

= − 6 −6 −6 +6 +6 + 6 = 6 =0, 6 ≈1 peso Finalmente el jugador sale con saldo a favor

69. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

x> 0 0 1  F(X ) =  x − x2 0 ≤ x < 3 4 x≥ 3  1 1 4

Obtener P ( X < )

Resp.: a) 1 4

1 4

1 4

1 1 1 1 x2  x3  1 1 64 1 P ( X < ) = ∫ ( x − x 2 ) dx = ∫ x dx − ∫ x 2 dx = ⋅  −  = − = = ≈ 0,00260 4 4 4 4 2  3  128 192 24576 384 0 0 0

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

70. sea Ω = {Φ, Ω, gabriel , diego, claudio.Marcela} las cuales son alumnos destacados del 1 medio c del Liceo María Luisa Bombal Veamos si estos alumnos forman un σ − A lg ebra

T = {Φ , Ω {gabriel},{diego, Claudio, Marcela},{gabriel, diego}, {claudio, marcela} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra Resp.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes Por lo tanto es σ − A lg ebra . c)

A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T

Se cumple las 3 condiciones para ser σ − A lg ebra

71. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de dólares, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de dólares. ¿El juego es favorable para el jugador? Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

1

3

5

-2

-4

-6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Resp.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi)

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

=

1⋅

1 1 1 1 1 1 1 +3⋅ + + 5 −2 ⋅ −4 ⋅ − 6 ⋅ 6 6 6 6 6 6 6

1

3

5

2

4

6

3

= 6 +6 +6 −6 − 6 −6 = 6 =−0,5 ≈ −1 dólares Por lo tanto el juego no es favorable para el jugador.

72.Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad: f ( x ) = c ⋅ (3 + 5 x 2 ) si x ∈( 0,1) f ( x) = 0 si x ∉ (0,1)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0 y 1/4 Resp.: +∞

a) Se verifica

−∞

1

f ( x ) dx = 1⇒ ∫ c (3 + 5 x 2 ) dx = 1 0

 x 3   14  3 c  3x + 5 ⋅  =   c = 1 ⇒ c = ⋅ 3 3 14 

si x ≤ 0 0  x 3  3 x  F (x) = ∫ f (t)dt =   3x + 5 ⋅  si 0 < x ≤ 1 −∞  14  3  1 si x ≥ 1 

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

b) 1 1  14  4 4 1 3 3 3  x3  3 3 1    2 2 P (0 < X ≤ ) = ∫ (3 + 5 x ) dx = 3 dx + 5 x dx = 3 x + 3 ⋅ +  = ∫ ∫    4 14 14 0 14  3  14  4 64   0 0    

=

3 49 147 ⋅ = ≈ 0,1640 14 64 896

73. Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

para x < 1 0  2x  para 1 ≤ x < 2 5 F(X ) =   x 2 − 1 para 2 ≤ x ≤ 3  3 1 para x ≥ 3 

Obtener a) P ( X ≤ 2) Resp.: 2

P ( X ≤ 2) = ∫ 1

2 2x 2 2 x2  2 4 1 2 3 3 dx = ∫ x dx = − = ⋅ = = ⋅ 5 51 5 2  5  2 2  5 2 5

74. Sea X una variable aleatoria discreta que sólo toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 que tiene la distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla. X 0 1 23 4 P (X0.080.25 ϑ0.300.15

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) a) Calcule P ( ϑ ). b) Calcule E ( x ) . Resp. a) ϑ = 1 − 0,08 − 0,25 − 0,30 − 0,15 = 0,22 → P(ϑ) = 0,22 b) E ( x ) = 0 ⋅ 0,08 + 1 ⋅ 0,25 + 2 ⋅ 0,22 + 3 ⋅ 0,30 + 4 ⋅ 0,15 = 2,19

75.

Dada la siguiente Grafica

¿Cuál de las siguientes graficas son simetricas? a)solo a) b)solo b) c)solo c) d)Todas

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76. La distribucion acomulativa F ( x) es una funcion que cumple con las siguientes propiedades: a) F ( −∞) = 0 b) F (∞) =1 c) P( a < X < b ) = F ( b ) − F ( a ) d ( F ( x) ) = f ( x) d) dx e) Todas las Anteriores

77. La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo, entre la llegada de 2 corredores a la meta de una competición de atletismo escolar. Su función de densidad está dada por:

 −3x  k⋅ e f ( x) =  x> 0  0 eoc a) Determinar el valor de k b) Determinar función de distribución acumulativa. c) P( 3 < X < 6 ) Resp.: ∞

a) k ∫ e 0

−x 3

0

0

]

[

]

dx = k ∫ e u ⋅ −3du = −3k ∫ e u du = −3k ⋅ e u = −3k e ∞ − e 0 = −3k ⋅ −1 = 3k

−x 3 −1 du = dx 3

u=

Ahora se iguala a 1 para obtener el valor de k

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

1 3

3k = 1 → k = x

b) F ( x ) = ∫ f (t ) dt −∞

0

=

∫0 dt +

−∞

−x

= 1− e 3 c) P( 3 < X < 6 ) =

x

1 e 3∫ 0

−t 3

dt

x>0 6

1 e 3 ∫3

−x 3

[

] [

]

dx = F ( 6 ) − F ( 3) = 1 − e −2 − 1 − e −1 = e −1 − e −2 = 0,3019

78. dado X ={x, y, w, z} determinar si cada uno de los subconjuntos de X son topo log ias a) { X , φ, {x}, {x, y}, {x, z}} b) { X , φ, { y}, {x, w}, {x, w, z}} c) { X , { y}{ x, y}, { y, z}, {x, y, z}} Resp.: a) T1 no es una topología sobre X dado que: {x, y} ∪{x, z} ∉T1

b) T2 no es una topología sobre X dado que: {x, w} ∩{x, w, z} ∉T2

c) T3 es una topología sobre X dado que: satisface los axiomas necesarios.

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

79. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

8 2 2  3c x 0 < x≤ 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular

c

2 2 8 2 2 8 2 8 2 x 3  8 64 2 9 64 2 c x dx = c x dx = ⋅c ⇒ c2 = ⇒c = = ⇒ c = ∫ ∫ 30 3 0 3 3 3 9 64 9

64 8 = 9 3

80. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

x> 0 0  1  F(X ) =  x2 − x2 0 ≤ x < 2  5 x≥ 2  1 1 5

1 4

Obtener P ( X < ) P ( X < )

Resp.: a) 1 5

1 5

1 5

1 1 1 x3  1 x3  1 1 5 −1 4 P( X < ) = ∫ ( x 2 − x 2 )dx = ∫ x 2 dx − ∫ x 2 dx =  − ⋅  = − = = = 0,00213 5 5 5 3  5 3  375 1875 1875 1875 0 0 0

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

b) 1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 1 1 1 x3  1 x3  1 1 4 P ( X < ) = ∫ ( x 2 − x 2 ) = ∫ x 2 dx − ∫ x 2 dx = ∫ x 2 dx − ∫ x 2 dx = − = − = 4 5 5 5 3 5 3 192 960 960   0 0 0 0 0 = 0,00416

81. Dada la siguiente tabla Calcular la esperanza Los puntajes posibles de un juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-5

-1

1 4

1 4

3 1 4

6 1 4

Resp.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f ( xi )

= −5 ⋅ 5 4

1 1 1 1 −1 ⋅ + 3 +6 ⋅ 4 4 4 4 1 4

3 4

= − − + +

6 3 = 4 4

82. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

1 4 2 k x 0 < x ≤ 5 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular k 1

1

4 2 2 4 2 2 4 2 x2  1 4 1 4 40 2 10 k x dx = k x dx = k ⋅  = → ⋅ k =1→ k2 =1 k = →k= = 10 ∫ ∫ 50 5 0 5 2 8 5 8 40 4 2

83. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

 2 12 x  ε para x > 0 f ( x) =  9  0 eoc  Resp.: ∞

1

1

1

x x (t + ) 2 x 2 2 2 Mx(t ) = E (e ) = ∫ e ⋅ e 2 dx = ∫ e tx ⋅ e 2 dx = ∫ e 2 dx = ⋅ 9 90 90 9 0 tx

tx

1 t+

1 2

=

2 1 9(t + ) 2

84. La probabilidad de que un alumno aprueba la asignatura de Lenguaje y Comunicación es de 0,27; Si para lograr este objetivo estudia 4 horas

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

¿Cuál es la esperanza que lo logre? Resp.: E ( xi ) =0,27 ⋅4 =1,08

85. Verificar si la siguiente función es de densidad

 0 si x < 0  2  5x F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 2 8  1 si x > 2 Resp.: 5x 2 5 5 x3  5 8 5 2 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 8 8 ∫0 8 3 8 3 3 2

2

No es función de densidad de probabilidad

86. Sea Ω = {1,2,3,4,5} son los dígitos que presentan restricción para los vehículos del Gran Valparaíso

T ={Ω, Φ, {1,2,3}, {4,5}, {1,2,3,4}, {5}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Resp.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T

cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes Por lo tanto es σ − A lg ebra .

c) A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un σ − A lg ebra .

87. Sea Ω ={M , A, R, C , E , L, O} conjunto de letras que conforman un nombre masculino Veamos si

T = {Φ , Ω ,{M , A, R},{C, E, L, O},{E, L, O},{M , A, R, C}

Compuesta por estas letras. Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Resp.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T cumple con la condición ya que cada elemento de T tiene un complemento c)

Ω ∪Φ = Ω Ω ∪{M , A, R} = Ω Ω ∪{E , L, O} = Ω Ω ∪{C , E , L, O} ∪Φ = Ω

{M , A, R} ∪{C , E , L, O} ∪{E , L, O}, {M , A, R, C} = Ω

etc. T Es σ − A lg ebra (tribu) para Ω

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

88. Hallar el valor esperado de la siguiente distribución.

xi f ( xi )

-5

-3

1

3

6

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

2 1 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 5 ⋅ − 3 ⋅ + 1 ⋅ + 3 ⋅ + 6 ⋅ 5 5 5 5 5

5 5

= - −

-

3 1 3 6 2 + + + = 5 5 5 5 5

89. Se sortea una rifa en beneficio a los damnificados de la región de Coquimbo, la rifa posee un total de 18 números. Si su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el número ganador sea impar? Resp.: a= P (Ω)

Ω = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 } y el algebra Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P( k ) = k ⋅ i

i =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18

k = Constante de proporcionalidad

Luego 18

1

∑ ki = 1 ⇒ k ⋅ 171 = 1 ⇒ k = 171 i =1

P({ Que numero ganador salga impar})= P = ({1,3,5,7,9,11,13,15,17}) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 81 + + + + + + + + = 171 171 171 171 171 171 171 171 171 171

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

90. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

1 3 3 k x 0 < x ≤  25 4  f ( x) =  0 eoc    Calcular k 1 4

3 3 k x 3 dx = k ∫ 25 0 25

1 4

3 ∫ x dx = 0

3 x4  3 16 48 25600 k ⋅ = ⋅ k =1→ k =1 k = → k = 533, 3 25 4  25 1024 25600 48

91. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

 5 4x  ε para x > 0 f ( x) =  9  0 eoc Resp.: ∞

Mx (t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

5 4x 5 5 5 1 5 e dx = ∫e tx ⋅e 4 x dx = ∫e x ( t +4 ) dx = ⋅ = 9 90 90 9 t +4 9(t +4)

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

92. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:

  3 f ( y ) =  ( x 3 + 4) para − 1 < x < 3  62  0 Determinar efectivamente que f (x ) es una función de densidad de probabilidad.

Resp.:

3 3 3  1 1 1 1  3 3 3 ⋅ ( x + 4 ) dx = ( x + 4 ) dx = ⋅ x dx + 4 dx  = ∫ ∫−1 36 ∫ ∫ 36 −1 36 −1 −1  36 3

x4  81 1  ⋅  + 4 x  = + 12 −  − 4 4  4  4 1 144 = ⋅ =1 36 4

93. Un grupo de personas va a jugar paletas y cada lanzamiento tiene un puntaje favorable o desfavorable si logra pasar una línea demarcadora Calcular la esperanza. ¿Es más probable que ganen o que pierdan? Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-2

-1

1

2

3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

Resp.:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 1 1 1 1 -1 ⋅ + 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ 3 3 3 3 3

= -2 ⋅ =

−2 1 1 2 − + + +1 =1 3 3 3 3

94. sea σ − A lg ebra T ⊆2 Ω y ( Ω,T ) un espacio medible. Cuál de las siguientes opciones corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad. a) 0 ≤ P( A) ≤ 1 b) P(Ω) = 0 ∞

∞ c) P (∩i =1 An) = P ( An) n =0

d) c) corresponde e) Todas las Anteriores

95. Sea Ω = {daniel , Francisco, Juan, luisa, Daniela, Cristobal} estudiantes de la carrera de Ingeniería civil Industrial de la Universidad Católica De Chile. Veamos si

T ={Ω, Φ, {marcelo}, {Javiera, Yaz min, Cristobal}, {Fabian, Cristobal}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Resp.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra .

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

96. Verificar si la siguiente función dada por: f (x ) =

2 x +7 48

para x= 1,2, 3, 4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria. Resp.: Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene. f (1) =

9 48

, f ( 2) =

11 , 48

f (3) =

13 48

,

f ( 4) =

15 48

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x) ≥0

∑f (x) =1

x∈ Χ

Luego f (1) + f ( 2) + f (3) + f ( 4) =

13 18 23 28 48 + + + = =1 48 48 48 48 48

97. Sea x una variable aleatoria continua con distribución

7 4  5 c x 0 < x≤ 3  f ( x) =  0 eoc    Calcular

c

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

3 3 7 4 7 4 7 4 x2  9 7 4 9 45 45 4 c x dx = c x dx = ⋅c ⇒c = 4  = ⇒ c = ⇒c = ∫ ∫ 50 5 0 5 2 2 5 2 14 14

98. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

x> 0 0 1  F(X ) =  x − x2 0 ≤ x < 1 2 x≥ 1  1 1 2

1 3

Obtener P ( X < ) P ( X < ) Resp.: a) 1 2

1 2

1 2

1 1 1 1 x2  x3  1 1 24 − 16 8 P ( X < ) = ∫ ( x − x 2 )dx = ∫ x dx − ∫ x 2 dx = ⋅  −  = − = = = 0,020 2 2 2 2 2 3 16 24 384 384   0 0 0 b) 1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 1 1 1 1 x2  x3  1 1 45 P ( X < ) = ∫ ( x − x 2 ) = ∫ x dx − ∫ x 2 dx = ∫ x dx − ∫ x 2 dx = ⋅  −  = − = = 0,015 3 2 2 20 2 2  3  36 81 2916 0 0 0 0

99. Dada la siguiente tabla Calcular la esperanza, varianza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-4

-2

1 2

1 2

2 1 2

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5 1 2

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Resp.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 1 1 1 +5 ⋅ + -2 ⋅ + 2 2 2 2 2

= -4 ⋅ 4 2

2 2

2 2

= − − + +

100.

5 1 = 2 2

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

6 2  3 k x 0 < x≤ 3  f ( x) =  0 eoc    Calcular k 6 2 6 2 6 2 x2  9 6 9 1 1 k x dx = k x dx = k ⋅  = → ⋅ k = 1 → 9k 2 = 1 k 2 = → k = ∫ ∫ 30 3 3 2 2 3 2 9 3 0 3

3

101.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

 k  5 6 ⋅ x 0 < x≤ 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular k Rep.: 2

∫5 ⋅ 0

k 5k x dx = 6 6

2

∫ x dx = 0

5k x 2  5 10 6 3 ⋅  = ⋅ 2k = 1 k =1⇒ k = = 6 2 6 6 10 5

102. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

 5 3x  ε para x > 0 f ( x) =  2  0 eoc Rep.: ∞

Mx(t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

5 3x 5 e dx = 2 2

5 tx 3x ∫0 e ⋅e dx =2

∫e

x ( t +3 )

0

5 1 5 dx = ⋅ = 2 t +3 2(t +3)

103. La probabilidad de que un alumno aprueba la asignatura de estadística y probabilidades es de 0,40; Si para lograr este objetivo estudia 2 horas ¿Cuál es la esperanza que lo logre? Rep.:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

E ( xi ) =0,40 ⋅2 =0,80

104.

Verificar si la siguiente función es de densidad

 0 si x < 0  2x  F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 3 9  1 si x > 3 Rep.: 2x 2 2 x2  2 9 dx = x dx = ⋅  = ⋅ =1 ∫0 9 9 ∫0 9 2  9 2 3

3

Es función de densidad de probabilidad 105. Sea Ω = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Conjunto de números de un juego Llamado UNO Veamos si

T ={Ω, Φ, {1,2,3,4,5}, {0,4,5,6,7}, {1,2,3,8,9}, {0,6,7,8,9}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición C b) si A ∈ T ⇒ A ∈ T cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes Por lo tanto es σ − A lg ebra . c) A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un σ − A lg ebra . 106. Sea Ω ={D, i, e, g , o} conjunto de letras que conforman un nombre femenino Veamos si

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

T ={Φ, Ω, {D, e, i}, {g , o}, {g , o, i}, {D, e}}

Compuesta por estas letras. Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T cumple con la condición ya que cada elemento de T tiene un complemento c)

Ω ∪Φ = Ω Ω ∪{i, a} = Ω Ω ∪{a, m, i} = Ω Ω ∪{m, a, r} ∪ Φ = Ω

{r , a} ∪{i, a} ∪{m} = Ω

etc. T Es σ − A lg ebra (tribu) para Ω

107.

xi

Hallar el valor esperado de la siguiente distribución. -2

-1

1

3

1 5

1 5

1 5

1 5

f ( xi )

2 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 2 ⋅ − 1 ⋅ + 1 ⋅ + 3 ⋅ 5 5 5 5

= -

-

2 1 1 3 1 − + + = 5 5 5 5 5

108. Se sortea una rifa en beneficio a los damnificados de la región de Valparaíso, la rifa posee un total de 15 números. Si su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el número ganador sea par? Rep.:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Ω = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 } y el algebra a= P (Ω) Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(k ) = k ⋅ i

i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

k = Constante de proporcionalidad

Luego 15

1

∑ ki = 1 ⇒ k ⋅ 120 = 1 ⇒ k = 120 i =1

P({ Que numero ganador salga par})= P = ({2,4,6,8,10,12,14}) 2 4 6 8 10 12 14 25 56 + + + + + + = = 120 120 120 120 120 120 120 120 120

109. Sea Ω el conjunto de casos posibles que resultan de la tirada de un dado. Ver cuáles de las siguientes clases de conjuntos son σ − A lg ebra

Sea Ω = {1,2,3,4,5,6} a) A1 = {Φ} b) A2 = {Φ,{1,3,5}, {2,4,6}, Ω} c) A3 = {Φ, {1,2,3}, {4}} 110.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 16 3 3  27 k x 0 < x ≤ 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular k

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

16 3 3 16 3 3 16 3 x 4  16 16 3 64 3 27 27 3 k x dx = k x dx = k ⋅ = ⋅ k =1→ k =1 k3 = →k =3 = ∫ ∫ 27 0 27 0 27 4  27 4 27 64 64 4 2

2

111. La probabilidad de un alumno de sacarse un 5 en una prueba de ingles es de 0,65; Si para lograr este objetivo estudia 7 horas ¿Cuál es la esperanza que lo logre? Rep.: E ( xi ) = 0,65 ⋅7 = 4,55

112. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

 7 53 x  ε para x > 0 f ( x) =  8  0 eoc  Rep.: ∞

5

5

5

x x (t + ) 7 x 7 7 7 Mx (t ) = E (e tx ) = ∫ e tx ⋅ e 3 dx = ∫ e tx ⋅ e 3 dx = ∫ e 3 dx = ⋅ 8 80 80 8 0

1 t+

5 3

=

7 5 8(t + ) 3

113. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

  3 f ( y ) =  ( x 2 + 6) para 1 < x < 3  62  0 Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad.

Rep.: 3 3 3 3  3 3 3 3  2 2 2 ⋅ ( x + 6 ) dx = ( x + 6 ) dx = ⋅ x dx + 6 dx  ∫1 62 ∫1  = 62 62 ∫1 62 ∫1

 x3  27 3 6 1  ⋅  + 6 x = + 18 −  + 6 = ⋅ 3  62 3  3

114. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 casas construidas en la zona centro del país

xi f ( xi )

1 0,09

2 0,12

3 ϑ

4 0,05

5 0,09

a) ϑ =1 − 0,09 − 0,12 − 0,06 − 0,09 = 0,64

b) P ( X ≥ 4 / X ≥ 2) = P( A / B ) =

c) P ( X ≤ 3 / X ≥ 2) =

P( A ∩ B) P( B) P ( X ≥ 4) 0,14 = = ≈ 0,15 P ( X ≥ 2) 0,9

P ( X ≤ 3) − P ( X < 2) P ( X ≥ 2)

=

0,85 − 0,09 0,76 = ≈ 0,9743 0,78 0,78

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

115. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución. Para

0 1  4 3  f (x) =  7 5  8  1 b) p ( x = 5) =

x <1

Para

1 ≤x <3

Para

3 ≤x <5

Para

5≤x≤7

Para

x ≥7

Determinar 3 1 5 a) p (3 <x ≤ 5) = p ( x ≤ 5) − p ( x < 3) = − = 7

4

28

5 8

116. Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

0   2x F ( X ) =  15    1

para x < 2 para 2 ≤ x < 4 para x ≥ 4

Obtener a) P ( X ≤ 4)

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Rep.: 4

P ( X ≤ 4) = ∫ 2

4 2x 2 2 x 2  2 16 4  2 12 4 dx = ∫ x dx = − = ⋅ = = ⋅ 15 15 2 15 2  15  2 2  15 2 5

117. Sea Ω = {0,1,2,3,4,5,6} el conjunto de los posibles resultados que resultan al jugar LOTO .cuales de las siguientes clases de conjuntos son algebras. a) a1 = {Ω, Φ, {1,2,3}, {0,4,5,6}, {0,3,4},¨{1,2,5,6}} b) a 2 = {Ω, Φ, {1,2}, {0,3,4}} c) a 3 = {φ, {1,2,3}, {0,4,5,6}} Resp: a) Es un σ − A lg ebra ya que cada elemento de a1 posee su complemento b) no es σ − A lg ebra ya que cada elemento de a 2 no pose complemento c) No es σ − A lg ebra ya que Φc = Ω no pertenecen a a 3

118. Determinar el valor de k para que la siguiente función sea de densidad: a) f ( x ) = 2kx −kx

para x > 0

Resp. ∞

0

0

−kx −kx ∫2kx dx = 2k ∫ x dx = 2k ⋅ −

]

1 x −kx dx = −∫ x −kx dx = −x ∞ + x 0 =1 k∫ 0 0

u = −kx du = −k dx

119.

Dada la siguiente Grafica

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la grafica antes dada? a) función continúa b) función inyectiva c) función de distribución acumulada. d) función de cuantía e) Ninguna de las Anteriores.

120. f ( x) =

Dada la siguiente función

1 ( 4 + 5x) 1 < x < 3 14 0 eoc

Verificar si la función es de densidad o no Resp: 1 4 5 4 5 x 2  12 45 4 5 56 ( 4 + 5 x ) dx = dx + x dx = ⋅ x + ⋅ = + − − = =2 ∫ ∫ ∫ 14 1 14 1 14 1 14 14 2  14 28 14 28 28 3

3

3

No es una Función de Densidad

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

121.

Dada la siguiente función

Determinar a qué tipo de función corresponde la Grafica anterior a) función Acumulativa b) función de cuantía c) función de distribución. d) función exponencial e) Ninguna de las Anteriores

122.

Dada la siguiente Grafica

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Ver si es verdadera o Falsa cada una de las siguientes Afirmaciones a) P( 5 ≤ X ≤ 6 ) = 10 b) P( 6 ≤ X ≤ 7 ) = 12

36

25 c) P ( 9 ≤ X ≤ 10) = 30 36 123.

V F V F V F

Verificar si la siguiente función es de distribución

 0 si x < 0 x  F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 4 6  1 si x > 4

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Rep.: x 1 1 x 2  1 16 4 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 6 6 ∫0 6 2  6 2 3 4

4

124. Sea Ω ≠ Φy T una familia para Ω . Diremos que T es una σ − A lg ebra Para Ω si cumple: a) Ω ∈ T b) A∈T ⇒ A C ∈T c) A = ∩ ∞ n =0 An, n ∈Q , ∀An ∈T d) Solo a y b e) Todas las Anteriores 125.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

1 2  5 cx 0 < x ≤ 4  f ( x) =  0 eoc    Calcular k 4 4 1 1 1 x 3  64 64 15 2 2 cx dx = ⋅ c x dx = ⋅ c ⇒ c =1 ⇒ c = = ∫ ∫ 50 5 0 5 3 3 15 64

126. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

 3 4x  ε para x > 0 f ( x) =  5  0 eoc Rep.: ∞

Mx(t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

3 4x 3 3 3 1 3 e dx = ∫e tx ⋅e 4 x dx = ∫e x ( t +4 ) dx = ⋅ = 5 50 50 5 t +4 5(t +4)

127. sea σ − A lg ebra T ⊆2 Ω y ( Ω,T ) un espacio medible. Diremos que la medida P es una medida de probabilidad si satisface las siguientes condiciones a) −1 ≤ P( A) ≤ 1 b) P (Ω) =1 ∞

∞ c) P(∪i =1 An) =∑P ( An ) n =0

d) Solo b y c e) Todas las anteriores 128. Sea Ω = {Φ, Ω, Carmona ,Vidal , Sanchez, Suazo,Valdivia} jugadores de la selección Chilena de Fútbol. Veamos si

T ={Φ, Ω, {Carmona}, {Vidal , Sanchez , Suazo}, {Carmona, Valdivia}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes {Carmona}c ∉T Por lo tanto No es σ − A lg ebra .

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

129. Si Ω={1,8,11,15,23,27,34} espacio muestral de número de asistentes a la clase de matemática del curso Primero Medio C Veamos si estos alumnos conforman un σ − A lg ebra T ={{1,8,34}, {11,15,23,27}, {1,11,23,27}, Ω, Φ}

Para que cumpla con las condiciones de ser un σ − A lg ebra Cual es el elemento que falta en T a) { 1,8,35 } b) { 8,15,34 } c) { 1,15,34 } d) { 1,8,34 } e) Ninguna de las anteriores.

130.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

2 2 2  3 c x 0 < x≤ 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular

c

2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 3  8 16 2 9 9 3 2 2 c x dx = ⋅ c x dx = ⋅c ⇒c = =  = ⇒ c =1⇒ c = ∫ ∫ 30 3 3 3 3 9 16 16 4 0

131. 15) Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de pesos, pero si no sale un número impar pierde esa cantidad de pesos. Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi

-5

-3

2

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4

6

134


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1 5

f(xi)

1 5

1 5

1 5

1 5

Rep.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 5

= −5⋅ − 3⋅ 5

3

1 1 1 1 + 2⋅ + 4 ⋅ + 6⋅ 5 5 5 5 2

4

6

4

= − 5 −5 +5 + 5 + 5 = 5 =0,8 pesos

132. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X esta dada por:

1  (4 − x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  5  0 eoc Determinar a) E (x )

b) Var ( x)

Resp: a) E ( x) = 1 1  1  x 2 x 3  1  4 1  1 10 1 1 11 1 1 2 x ( 4 − x ) dx = x ( 4 − x ) dx = 4 x dx − x dx  ∫0 5 ∫0  = 5 4 2 − 3  = 5  2 − 3  = 5 ⋅ 6 = 3 5 ∫0 5  ∫0 b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x) E(x 2 ) = 1 1 1  1  4 x 3 x 4  1  4 1  1 13 13 1 2 1 2 1 2 3 x ( 4 − x ) dx = x ( 4 − x ) dx = 4 x dx − x dx  ∫0 5 ∫0  = 5  3 − 4  = 5  3 − 4  = 5 ⋅ 12 = 60 5 ∫0 5  ∫0 1

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) 13 1 117 − 60 57 = − = = = 0,105 60 9 540 540

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133. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

x> 0 0  F ( X ) =  2x − x 4 0 ≤ x < 2 1 x≥ 2  1 5

1 2

Obtener P ( X < ) P ( X < )

Rep.: a) 1

1

1

5 5 5 1 x2  x5  1 1 625 − 1 624 P ( X < ) = ∫ (2 x − x 4 )dx = ∫ 2 x dx − ∫ x 4 dx = 2 ⋅  −  = − = = = 0,039 5 2  5  25 15625 15625 15625 0 0 0

b) 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 x 2  x5  1 1 39 4 4 4 P ( X < ) = ∫ (2 x − x ) = ∫ 2 x dx − ∫ x dx = 2 ∫ x dx − ∫ x dx = 2 ⋅  −  = − = = 0,24375 2 2  5  4 160 160 0 0 0 0 0

134. Dada la siguiente tabla Calcular la esperanza, varianza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-2

-1

1 4

1 4

1 1 4

3 1 4

Rep.:

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∑xi ⋅ f (xi)

E ( Xi ) =

∑xi

2

1 1 1 1 −1 ⋅ + 1 +3 ⋅ 4 4 4 4

=

−2 ⋅

=

− 2 −1 1 3 1 + + + = =0,25 4 4 4 4 4

⋅ f ( xi )

1 1 1 1 +1 ⋅ + 1 ⋅ + 9 ⋅ 4 4 4 4 4 1 1 9 15 = + + + = = 3,75 4 4 4 4 4

E ( xi 2 ) = 4 ⋅

Var ( Xi ) = E ( xi 2 ) − E 2 ( xi ) 15 1 59 ≈ 3,68 = − = 4 16 16

135.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

6 3  5 kx 0 < x ≤ 3  f ( x) =  0 eoc    Calcular k 6 6 6 x 4  81 6 81 243 10 3 3 kx dx = k x dx = k ⋅  = → ⋅ k =1 → k =1 k = ∫ ∫ 50 5 0 5 4 4 5 4 10 243 3

3

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136. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 3 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por: P( X ) =

3e −5 ( 4) x x!

x= 0, 1, 2, 3

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x Rep.: 3 =0,0205 P (0) = 3e −5 ( 4) 0 =3e −5 = 146,166 12 =0,0820 P (1) = 3e −5 ( 4)1 =3e −5 = 146,166

P (2) = 3e −5 ( 4) 2 =

48e −5 24 = = 0,1641 2 146,166

192e −5 32 P (3) = 3e −5 ( 4) 3 = = = 0,2189 6 146,166

Grafico 0,25

0,2189

0,2 0,1641

f(x)

0,15 Serie2 0,1 0,05

0,082

0,0205

0 0

1

2

3

x

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137. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución.

xi

-3

-2

-1

2

f ( xi )

1 6

1 6

1 6

1 6

3 1 6

5 1 6

2 1 1 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 3 ⋅ − 2 ⋅ − 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 5 ⋅ 6 6 6 6 6 6

=

∑xi

2

−3 2 1 2 3 5 4 − − + + + = 6 6 6 6 6 6 6

1 1 1 1 1 1 ⋅ f ( xi) =9 ⋅ + 4 ⋅ +1 ⋅ + 4 ⋅ + 9 ⋅ + 25 ⋅ 6 6 6 6 6 6

=

9 4 1 4 9 25 52 + + + + + = 6 6 6 6 6 6 6

σ 2 = ∑xi 2 f ( xi ) − µ2

=

52 16 312 −16 296 − = = ≈ 8, 2 6 36 36 36

Desviación Estándar

σ =

296 ≈ 2,867 6

138. Sea Ω={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24} el conjunto de números pares de las bolas a sortearse en el juego KINO decir cuales de las siguientes clases de conjuntos son algebras. a) a1 = {Ω, Φ, {2,4,6}, {8,10,12,14}, {18,20,22,24}} b) a 2 = {Ω, Φ, {2,4,6,8,10,12,14}, {16,18,20,22,24}} c) a 3 = {Ω, {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}, {22,24}}

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Resp: d) No es un σ − A lg ebra ya que {2,4,6}c no pertenecen a a1 e) Es σ − A lg ebra ya que cada elemento de a 2 posee su complemento f) No lo es puesto que Ωc = Φ no pertenecen a a 3 139. Si la función de densidad de la variable aleatoria X esta dada por

5 2  2 x para 0 < x < 2   1 f ( x) =  4 − x para 2 ≤ x < c  2  0 eoc   Determinar a) el valor de c Rep.: c

∫ (4 − 2

1 1 1 x2  c2 x )dx = 4 ∫ dx − ∫ x dx = 4 x − ⋅  → 4c − − 8 +1 = 1 2 22 2 2 4 2 c

c

4c −

c2 = 8 /⋅ 4 4

16c − c 2 = 32 c 2 − 16c + 32 = 0

x = 16 ±

x = 16 ±

256 −128 2

(

128 16 ± 8 2 8 2 ± 2 = = 2 2 2

(

c1 = 4 2 + 2

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)

(

c2 = 4 2 − 2

)

)

134


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140. Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

 0 para x < 0  F ( x) =  2 x 2  para x ≥ 0  3+ x a) Encontrar función de Densidad de X b) Calcular la Probabilidad P( −1 ≤ X ≤ 2) Resp: a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución 2x 2 ) = 3 + x f ( x) = dx 2 d (2 x ) (3 + x) (3 + x) ⋅ + 2x 2 ⋅ d 2 2 2 2 dx dx = ( 3 + x ) ⋅ 4 x + 2 x = 12 x + 4 x + 2 x = 12 x + 6 x = 6 x (2 + 3 x) (3 + x) 2 (3 + x) 2 (3 + x) 2 (3 + x) 2 ( 3 + x) 2 d(

b) F ( x) = P(−1 ≤ X ≤ 2) =

2x 2 8 3 = F ( 2) − F ( −1) = −1 = 3+x 5 5

141. La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos en chile tiene la siguiente función de densidad

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3 2 x ( 1 − x ) si 0 < x ≤ 1  15  F ( x) =  0 eoc    Calcular a) Función de densidad b) Función de distribución acumulada c) P( x < 0,20) Rep.: a)

84 6

1

2 ∫ x (1 − 2 x + x ) dx = 0

1 1 1  84  2 x dx − 2 x dx + x 3 dx  ∫ ∫ ∫ 6 0 0 0 

84  x 2 x 3 x 4  84 − 2 ⋅ +  = 6 2 3 4  6

b) F ( x) =

 1 2 1  84 1  2 − 3 + 4  = 6 ⋅ 12 = 1

84 168 3 84 4 t (1 − t ) 2 dt = 7 x 2 − x + x ∫ 6 18 24 3 4 168  1  84  1    +   18  5  24  5  5  5  = 0,28 − 0,0746 + 0,0056 = 0,211

c) P( x < 0,20) = F  1  = 7 ⋅  1 

2

142. La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 3 llegadas consecutivas de buses Tur Bus en el Terminal de Viña del Mar y su función de Probabilidad está dada por:

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 2 −12x  3k e x > 0 f ( x) =   0 eoc a) Determinar el valor de k b) P(1 < x ≤ 2)

Rep.: a) ∞

−x

−x

3∫ k e dx = 3k ∫ e 12 dx = 3k 2 2

12

2

0

0

−x  u 2 u 2 2 −∞ 12 e ⋅ − 12 du = − 36 k ⋅ e = − 36 k ⋅ e  → −36k ⋅ e −1 = 1 → ∫0 

]

[

→k 2 =

−x 12 −1 du = dx 12

u=

b) P(1 < x ≤ 2) =

2

−x

1 e12 dx = F ( 2) − F (1) 12 ∫ 1 −1

=

−1

1 1 ⋅ e 6 − e 12 12 12

143. Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

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]

1 →k 36


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para x < 1

0  2  3x F(X ) =  8    1

para 1 ≤ x < 2 para x ≥ 2

Obtener 3 2

a) P ( X ≤ )

Rep.: 3

3

2 3 2 2 3 P ( X ≤ ) = 3x dx = 3 x 2 dx = 3 x  = 3 ⋅  27 − 1  = 3 ⋅ 19 = 19 ≈ 0,2968  ∫1 8 2 8 ∫1 8 3  8  24 3  8 24 64

144.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

k  2 x 0 < x≤ 4  f ( x) =  0 eoc    Calcular k Rep.: 4

4

k k k x2 x dx = x dx = ⋅ ∫0 2 2 ∫0 2 2

] = 16 = 4k = 1 4

k=

1 4

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145. La probabilidad de recorrer todo el sur de Chile de una Ciudad A hasta una B sin pinchar gomas es 0,68; al hacer 15 viajes de A a B ¿Cuál es el numero mas probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático? Rep.: E ( xi ) = 0,68 ⋅15 =10,2 ≈10 Viajes.

146. la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

3 x  ε para x > 0 f ( x) =  4  0 eoc

Rep.: ∞

Mx (t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

3 x 3 e dx = 4 4

∫e 0

tx

3 ⋅e x dx = 4

∫e

x ( t +1)

0

3 1 3 dx = ⋅ = 4 t +1 4(t +1)

147. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:   2 f ( y ) =  ( y + 1) para 3 < y < 6  33  0

Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad.

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Rep.: 6 6 6  2  y2  36 2 2 2  9  33 2 ⋅ ( y + 1 ) dy = ( y + 1 ) dy = ⋅ y dy + dy ⋅ + y = + 6 −  + 3 = ⋅ =1 ∫ = ∫3 33 ∫ ∫ 33 3 33  3 2 33 2   2 3  33  2 6

148. f ( x) =

Dada la siguiente función −x

1 25 ⋅e 25

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: −x −x −x ∞ 0 ∞  1 25 1 1 u u 25 45 45 45 e dx = e dx = ⋅ − 25 e du = e = − e = − e + e =1  ∫0 25 ∫0 25 ∫ 25 

]

149. Sea X una variable aleatoria discreta que sólo toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5 y que tiene la distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla. X 0 1 23 4 5 P (X 0.050.30 ϑ0.200.100.05 ) a) Calcule P ( ϑ ). b) Calcule μ y σ. Rep. a) P ( ϑ ) = 1 - 0.05 - 0.30 - 0.20 - 0.10 - 0.05 = 0.30 b) μ = 0·0.05 + 1·0.30 + 2·0.30 + 3·0.20 + 4·0.10 + 5·0.05 = 2.15 σ² = 0.05· (0 - 2.15)² + 0.30·(1 - 2.15)² + 0.20·(2 - 2.15)² + ... + 0.05·(5 2.15)² = 1.5275; σ = √1,5275 = 1,2359

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150.

Verificar si la siguiente función es de distribución

 0 si x < 0 x  F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 5 5  1 si x > 5 Rep.: x 1 1 x 2  1 25 5 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 5 5 ∫0 5 2 5 2 2 5

5

151. Sea Ω ≠ Φy T una familia para Ω . Diremos que T es una σ − A lg ebra Para Ω si cumple: a) b) c) d) e)

Ω∈T

A∈T ⇒ A C ∈T A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T

Solo a y c Todas las Anteriores 152. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X esta dada por:

 3(1 − x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  eoc 0 Determinar a) E (x ) b) Var ( x)

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Rep.: a) E ( x) = 1 1 1   x 2 x3  1 1 1 1 2 3 x ( 1 − x ) dx = 3 x ( 1 − x ) dx = 3 x dx − x dx = 3 ∫   −  = 3 −  = 3 ⋅ = ∫0 ∫0 ∫ 3 6 2  2 3 2 0 0  b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) 1

E(x 2 ) = 1 1 1 2   x3 x 4  1 1 1 1  2 2 3 3 x ( 1 − x ) dx = 3 x ( 1 − x ) dx = 3 x dx − x dx = 3 = ∫   −  = 3 −  = 3 ⋅ ∫0 ∫0 ∫ 4 12 4 3 4  3 0 0  1

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) 1 1 − =0 = 4 4

Var ( x) de una constante es 0 .Por lo tanto la Varianza es una

Constante. 153.

Sea E un evento para el cual P ( E ) > 0 Comprobar

que la funcion de probabilidad Condicional P ( A ) satisface

E

axiomas de un espacio de probabilidad, esto es: Para un evento A

0 ≤ P( A ) ≤ 1 E

Rep.: Se tiene que A ∩ E ⊂ E ⇒ P ( A ∩ E ) ≤ P ( E ) Así P ( A ) =

E

P ( A ∩E ) ≤1 P( E )

Esto es 0 ≤ P ( A ) ≤ 1

E

154. sea σ − A lg ebra T ⊆2 Ω y ( Ω,T ) un espacio medible. Diremos que la medida P es una medida de probabilidad si satisface las siguientes condiciones a) 0 ≤ P( A) ≤ 1 b) P (Ω) =1

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∞ c) P(∪i =1 An) =∑P ( An ) n =0

d) Todas las anteriores 155. sea Ω = {Φ, Ω, juan, luis , marcela, leonor , francisca} alumnos destacados de un determinado colegio. Veamos si

T ={Φ, Ω, {luis}, {marcela, francisca, leonor}, { juan, luis, leonor}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición C b) si A ∈ T ⇒ A ∈ T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra . Si Ω = {1,3,5,7} espacio muestral de números primos y T = {{1}, {3,5}, {1,7}, Ω, Φ} Para que cumpla con las condiciones de ser un σ − A lg ebra 156.

Cual es el elemento que falta en T a) {2, 4,5} b) {4, 6,7} c) {1,5} d) {3, 5,7} e) Ninguna de las anteriores. 157.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

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5  3 cx 0 < x ≤ 5  f ( x) =  0 eoc    Calcular k 5 5 5 5 5 x 2  25 5 25 15 cx dx = ⋅ c x dx = ⋅ c ⇒ c= ⇒ c= = ∫ ∫ 30 3 0 3 2 2 3 2 2

158. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

 5 2x  ε para x > 0 f ( x) =  4  0 eoc Rep.: ∞

Mx(t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

5 2x 5 e dx = 4 4

5 tx 2x ∫0 e ⋅e dx =4

∫e

x ( t +2 )

0

5 1 5 dx = ⋅ = 4 t +2 4(t +2)

159. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de pesos, pero si no sale un número impar pierde esa cantidad de pesos. Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-4

-2

3

5

7

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

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Rep.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 1 1 1 1 +5 ⋅ +7 ⋅ -2 ⋅ + 3 5 5 5 5 5

= -4 ⋅ =

−4 2 3 7 9 − + +1 + = =1,8 ≈2 5 5 5 5 5

pesos

160. sea Ω = {Φ, Ω, juan, luis , marcela, leonor , francisca} alumnos destacados de un determinado colegio Veamos si T ={Φ,{luis}, {marcela, francisca, leonor}, { juan, luis, leonor}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra Rep.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra . 161. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

x> 0 0  F ( X ) =  3x − x 3 0 ≤ x < 1 1 x≥ 1  1 4

2 6

Obtener P( X < ) P( X > )

Rep.: 1 4

1 4

1 4

2 4 a) P( X < 1 ) = (3 x − x 3 )dx = 3 x dx − x 3 dx = 3 ⋅ x  − x  = 3 − 1 = 95   ∫0 ∫0 ∫0 4 2  4  32 1024 1024

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b) 1 1 1 1 1 2 x2  x4  16  1 4  1 P ( X > ) = ∫ (3 x − x 3 ) = ∫ 3 x dx − ∫ x 3 dx = 3∫ x dx − ∫ x 3 dx = 3 ⋅  −  = 3 ⋅  −  −  − 6 2 4  2 72   4 5184  2 2 2 2 2 6

=3⋅

6

6

6

6

32 609 96 1280 6912 − 1280 5632 − = − = = 72 5184 72 5184 5184 5184

162. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de dólares, pero si no sale un número impar pierde esa cantidad de dolares. ¿El juego es favorable para el jugador? Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

1

3

5

-2

-6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Rep.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 1 1 1 1 −2 ⋅ −6 ⋅ + 3 ⋅ +5 6 6 6 6 6

= 1 ⋅ 1

3

5

2

6

1

= 6 +6 +6 −6 −6 = 6 =0,16 dólares Por lo tanto el juego es favorable para el jugador. 163.Luís dispara a una arco de fútbol en 3 ocasiones. Siendo X el número de aciertos obtenidos. Calcular la función de Distribución de X Rep.:

X Es una variable aleatoria Discreta que toma los valores 0, 1, 2,3, con probabilidad no nula. La función de densidad es: f (0) =

1 3 3 1 , f (1) = , f ( 2) = , f (3) = 8 8 8 8

La función de distribución será: F(X ) = 0 x < 0

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

F(X ) = 1

8

F(X ) = 4

8

0≤ x < 1 1≤ x < 2

F(X ) = 7 2 ≤ x < 3 8 F ( X ) =1

164.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 2kx 0 < x ≤ 3  f (x) =  0 eoc   Calcular k 3

3

2 ∫ kx dx = 2k ∫ x dx = 2k 0

0

x2 2

] = 9 →9k = 1 2

k=

1 9

165. La probabilidad de recorrer Chile en un auto y quedar en pana es 0,65 ; al hacer 17 viajes de A a B ¿Cuál es el numero mas probable de viajes que se puede realizar sin el riesgo de quedar en pana? Rep.: E ( xi ) = 0,65 ⋅17 =11,05 ≈11 Viajes.

166. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad esta dada por:

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

 2 25 x  ε para x > 0 f ( x) =  3  0 eoc  Rep.: ∞

2

2

2

x x (t + ) 2 x 2 2 2 5 Mx (t ) = E (e tx ) = ∫ e tx ⋅ e 5 dx = ∫ e tx ⋅ e 5 dx = ∫ e dx = ⋅ 3 30 30 3 0

1 t+

2 5

=

2 2 3 (t + ) 5

167. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:

  1 1 f ( y ) =  ( y + 4) para 1 < y < 5  40 3  0 Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad. Rep.:

5 5 5  1 1 y 2  1  25 1 1 1 1 1 1 1 ⋅ ( y + 4 ) dy = ( y + 4 ) dy = ⋅ y dy + 4 dy ⋅ + 4 y = ⋅ + 20 − −  = ∫1 40 3 ∫ ∫ ∫ 40 1 3 40 3 1 6  40  6 1  40 3 2 5

=

25 + 120 − 1 − 24 120 1 = ⋅ =1 6 3 40

168.

Verificar si la siguiente función es de densidad

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

 0 si x < 0  2 x F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 2 3  1 si x > 2

Rep.: x2 1 1 x3  1 8 8 2 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 3 3 ∫0 3 3 3 3 9 2

2

No es función de densidad de probabilidad 169. f ( x) =

Dada la siguiente función −x

1 12 ⋅e 12

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: −x −x ∞ 0 ∞ −x ∞  1 12 1 1 u u 12 12 12 12 e dx = e dx = ⋅ − 12 e du = e = − e = − e + e =1  ∫0 12 ∫0 12 ∫ 12 0 

]

170. Un grupo de amigos va a jugar a la plaza Baby Fútbol y cada lanzamiento al arco tiene un puntaje favorable o desfavorable según sea el caso . Calcular la esperanza. ¿Es más probable que ganen o que pierdan? Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi

-2

-1

1

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3

4

134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

1 3

f(xi)

1 3

1 3

1 3

1 3

Rep.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 3

= − 2 ⋅ −1⋅ 2

1

1 1 1 1 +1⋅ + 3 ⋅ + 4⋅ 3 3 3 3 1

3

4

5

= − 3 −3 +3 +3 +3 = 3 171. sea σ − A lg ebra T ⊆2 Ω y ( Ω,T ) un espacio medible. Cual de las siguientes opciones corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad. a) 0 ≤ P( A) ≤ 1 b) P (Ω) = 2 ∞

∞ c) P (∩i =1 An) = P ( An) n =0

d) Todas las Anteriores 172.

sea

Ω = {Eduardo, jaqueline, Javier , Yazna, Donatella, Cristobal}

estudiantes de la carrera de Ingeniería comercial de la Universidad Valparaíso Veamos si

T = {Ω , Φ ,{Eduardo},{Javier,Yazna, Cristobal},{Donatel a, Eduardo},{ jaqueline, yazna} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición C b) si A ∈ T ⇒ A ∈ T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra .

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

173.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 16 2 3  9 c x 0 < x≤ 3  f ( x) =  0 eoc    Calcular

c

3 3 16 2 3 16 2 16 2 x 4  81 16 81 2 1 1 3 2 2 c x dx = c x dx = c ⇒c =  = ⇒ ⋅ c = 1 ⇒ 36c = 1 ⇒ c = ∫ ∫ 9 0 9 9 4 4 9 4 36 6 0

174. f ( x) =

Dada la siguiente función −x

1 12 ⋅e 12

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: −x −x ∞ 0 ∞ −x ∞  1 12 1 1 u u 12 12 12 12 e dx = e dx = ⋅ − 12 e du = e = − e = − e + e =1  ∫0 12 ∫0 12 ∫ 12 0 

]

175. Dada la siguiente tabla Calcular la esperanza Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi

-3

-1

2

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3

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

1 4

f(xi)

1 4

1 4

1 4

Rep.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi)

= −3⋅ 3 4

1 1 1 1 −1 ⋅ ⋅+ 2 +3 ⋅ 4 4 4 4 1 4

2 4

= − − + +

176.

3 1 = 4 4

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

2 2  9 kx 0 < x ≤ 1  f ( x) =  0 eoc    Calcular k 2 2 2 x3  1 2 2 27 2 2 kx dx = k ∫ x dx = k ⋅  = ⋅ k = 1 → k =1 k = ∫ 90 9 0 9 3 3 9 27 2 1

1

177. La probabilidad de un alumno de sacarse un 7 en una prueba de matemáticas en 0,35; Si para lograr este objetivo estudia 8 horas ¿Cuál es la esperanza que lo logre? Rep.:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

E ( xi ) = 0,35 ⋅8 = 2,8

178. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

 3 23 x  ε para x > 0 f ( x) =  4  0 eoc  Rep.: ∞

2

2

2

x x (t + ) 3 x 3 3 3 3 Mx(t ) = E (e tx ) = ∫ e tx ⋅ e 3 dx = ∫ e tx ⋅ e 3 dx = ∫ e dx = ⋅ 4 40 40 4 0

1 t+

2 3

=

3 2 4(t + ) 3

179. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:

  3 f ( y ) =  ( x 2 + 3) para 1 < x < 2 16  0 Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad. Rep.: 2 2 2  3 3 3 3  2 2 2 ⋅ ( x + 3 ) dx = ( x + 3 ) dx = ⋅ x dx + 3 dx  = ∫ ∫1 16 ∫ ∫ 16 1 16  1 1  16 2

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 x3  8 1  3 16 ⋅  + 3 x  = + 6 −  + 3 = ⋅ 3  16 3 3  3

134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

180. 1 f ( x) = ⋅ e 8

Dada la siguiente función −x 8

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: x x x ∞ 0 ∞ ∞ −  1 −8 1 1 u u 8 8 7 7 e dx = e dx = ⋅ − 8 e du = − e = − e = − e + e =1  ∫0 8 ∫ 8∫ 8 0 0 

]

−x 8 1 du = − dx 8

u=

181.

Verificar si la siguiente función es de densidad

 0 si x < 0  7x  F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 2 4  1 si x > 2 Rep.: 7x 7 7 x2  7 4 7 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 4 4 ∫0 4 2  4 2 2 2

2

No es función de densidad de probabilidad

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

182. Sea Ω = {1,2,3,4,5,6} Conjunto de números de un dado T = {Ω, Φ, {1}, {4,5,6}, {2,3,4,5,6}, {1,2,3}} Veamos si Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición C b) si A ∈ T ⇒ A ∈ T cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra . c) A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un σ − A lg ebra . 183. Sea Ω ={m, a, r , i, a} conjunto de letras que conforman un nombre femenino Veamos si

T ={Φ, Ω, {a, m, i}, {r , a}, {i, a}, {m, a, r}}

Compuesta por estas letras. Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T cumple con la condición ya que cada elemento de T tiene un complemento c)

Ω ∪Φ = Ω Ω ∪{i, a} = Ω Ω ∪{a, m, i} = Ω Ω ∪{m, a, r} ∪ Φ = Ω

{r , a} ∪{i, a} ∪{m} = Ω

etc. σ − A lg ebra (tribu) para Ω Es T

184. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución.

xi

-3

-1

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1

4

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

f ( xi )

1 5

1 5

2 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 3 ⋅ − 1 ⋅ + 1 ⋅ + 4 ⋅ 5 5 5 5

= -

1 5

1 5

-

3 1 1 4 1 − + + = 5 5 5 5 5

185. Se sortea una rifa en beneficio a los damnificados del sur, la rifa posee un total de 10 números. Si su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el número ganador sea impar? Rep.:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} y el algebra a= P (Ω) Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(k ) = k ⋅ i

i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

k = Constante de proporcionalidad

Luego 10

1

∑ ki = 1 ⇒ k ⋅ 55 = 1 ⇒ k = 55 i =1

P({ Que numero ganador salga impar})=

P = ({1,3,5,7,9})

1 3 5 7 9 25 5 + + + + = = 55 55 55 55 55 55 11

186. Sea Ω el conjunto de casos posibles que resultan de la tirada de un dado. Ver cuáles de las siguientes clases de conjuntos son σ − A lg ebra a) A1 = {Φ, Ω} b) A2 = {Φ, {1,3,5}, {2,4}, Ω}

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

c) A3 = {Φ, {1,2,3}}

187. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 casas construidas como mediaguas en el Sur

xi

1 0,13

f ( xi )

2 0,16

3 ϑ

4 0,04

5 0,08

a) ϑ =1 − 0,12 − 0,18 − 0,05 − 0,09 = 0,59

b) P ( X ≥ 4 / X ≥ 2) = P( A / B ) =

c) P( X ≤ 4 / X ≥ 2) =

P( A ∩ B) P( B) P ( X ≥ 4) 0,12 = = ≈ 0,137 P ( X ≥ 2) 0,87

P( X ≤ 4) − P ( X < 2) P ( X ≥ 2)

=

0,92 − 0,13 0,79 = ≈ 0,9080 0,71 0,87

188. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución.

0 1  3 3  f (x) =  8 5  9  1

Para

x <0

Para

0 ≤x <2

Para

2 ≤x <4

Para

4≤x≤6

Para

x ≥7

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Determinar 3 1 1 a) p (2 <x ≤ 4) = p ( x ≤ 4) − p ( x < 2) = − = 8

b) p ( x = 5) =

3

24

5 9

189. Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

0   6x F ( X ) =  21    1

para x < 3 para 3 ≤ x < 6 para x ≥ 6

Obtener a) P ( X ≤ 4) Rep.: 4

P ( X ≤ 4) = ∫ 3

4 6x 6 6 x 2  6 16 9  6 7 dx = x dx = ⋅ − = ⋅ =1 = 21 21 ∫3 21 2  21  2 2  21 2

190. Sea Ω = {0,1,2,3,4} el conjunto de los casos posibles que resultan de jugar al sorteo Polla 4 cuales de las siguientes clases de conjuntos son algebras. a) a1 = {Ω, {1,2}, {0,4}, {0,3,4},¨{1,2,3}} b) a 2 = {Ω, Φ, {1,2}, {0,3,4}} c) a 3 = {φ, {1,2,3}, {0,4}} Resp:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

g) no es un σ − A lg ebra ya que Ωc no pertenecen a a1 h) Es σ − A lg ebra ya que cada elemento de a 2 posee su complemento i) No lo es puesto que Φc = Ω no pertenecen a a 3

191. Si la función de densidad de la variable aleatoria X esta dada por

2  5 x para 0 < x < 2  f ( x) =  4 − x para 2 ≤ x < c  0 eoc   Determinar b) el valor de c Resp: c

c

c

2

2

2

∫ (4 − x)dx = 4∫ dx − ∫ x dx = 4 x −

x2  c2 −8 + 2 =1  → 4c − 2 2 4c −

c2 =7 2

8c − c 2 = 14

c 2 − 8c + 14 = 0 64 − 56 2 8 8± 2

c1 = 5,414 c 2 = 2,585

192. Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

 0 para x < 0  F ( x) =  4 x 3  para x ≥ 0  3+ x a) Encontrar función de Densidad de X 1 2

b) Calcular la Probabilidad P (0 ≤ X ≤ )

Resp: b) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución 4x3 ) = f ( x) = 3 + x dx d (4 x 3 ) (3 + x) (3 + x) ⋅ + 4x3 ⋅ d 2 2 3 3 2 3 3 2 dx dx = ( 3 + x ) ⋅ 12 x + 4 x = 12 x + 36 x + 4 x = 16 x + 36 x = 4 x (4 x + 9) (3 + x) 2 (3 + x) 2 (3 + x) 2 (3 + x) 2 ( 3 + x) 2 d(

1 2

b) F ( x) = P (0 ≤ X ≤ ) =

4x3 1 1 1 = F ( ) − F ( 0) = − 0 = 3+ x 2 7 7

193. Un Grupo de personas juega al popular UNO este juega solo con las cartas de color amarillo pero son el 9 ósea que espacio muestral va a ser igual a Ω = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} , ¿Cual es la probabilidad que al sacar una carta salga par? Rep.: Ω = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} Y el algebra a= P (Ω)

Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P (c ) = c ⋅ i

i = 0,1,2,3,4,5,6,7,8

c = Constante de proporcionalidad

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Luego 8

1

∑ ci = 1 ⇒ c ⋅ 36 = 1 ⇒ k = 36 i =0

P({ Que salga par})=

P = ({2,4,6,8})

2 4 6 8 20 5 + + + = = 36 36 36 36 36 9

194. La probabilidad de recorrer todo el norte de Chile de desde Arica hasta La Serena sin pinchar gomas es 0,70; al hacer 11 viajes de arica a La serena ¿Cuál es el numero mas probable de viajes que se realizaran sin pinchadura de neumático? Rep.: E ( xi ) = 0,70 ⋅11 =7,7 ≈ 8 Viajes.

195.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 k 2  5 3 ⋅ x 0 < x≤ 5  f ( x) =  0 eoc    Calcular k Rep.: 5

∫5 0

k 2 5k x dx = 3 3

5

2 ∫ x dx = 0

5k x 3  125 5 ⋅ = ⋅ k =1 3 3 3 3

625 9 k =1 ⇒ k = 9 625

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

196. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad esta dada por:

 5 2x  ε para x > 0 f ( x) =  4  0 eoc Rep.: ∞

Mx(t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

5 2x 5 e dx = 4 4

tx 2x ∫e ⋅e dx = 0

5 4

∫e

x ( t +2 )

0

5 1 5 dx = ⋅ = 4 t +2 4(t +2)

197. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:   2 f ( y ) =  ( y + 1) para 2 < y < 4  24  0

Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad. Rep.: 4 4 4  2 2 2 2  ⋅ ( y + 1 ) dy = ( y + 1 ) dy = ⋅ y dy + dy  = ∫ ∫2 24 ∫ ∫ 24 2 24  2 2  24 4

198. 1 f ( x) = ⋅ e 8

 y2  16 2 24 4  ⋅ + y  = + 4 −  + 2 = ⋅ =1 2  24 2 2  2

Dada la siguiente función −x 8

0≤x<∞

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Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: ∞

1 ∫0 8 e

−x 8

dx =

1 e 8 ∫0

−x 8

199.

dx =

]

1 ⋅ − 8∫ e u du = e u = − e 8 0

−x 8

∞ 0  8 8  = −e + e = 1 

Verificar si la siguiente función es de densidad

 0 si x < 0 x  F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 7 7  1 si x > 7 Rep.: x 1 1 x 2  1 49 7 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 7 7 ∫0 7 2  7 2 2 7

7

No es función de densidad de probabilidad

200. Sea Ω ≠ Φy T una familia para Ω . Diremos que T es una σ − A lg ebra Para Ω si cumple: a) Ω ∈ T b) A∈T ⇒ A C ∉T c) A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T d) Solo a y c e) Todas las Anteriores 201. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X esta dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

 2(1 − x) 2 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  eoc 0 Determinar a) E (x ) b) Var ( x) Rep.: a) E ( x) 1 1 1  2 x ( 1 − x ) dx = 2 x ( 1 − x ) dx = 2 x dx − x 2 dx   ∫0 ∫0 ∫ ∫ 0 0  2 3 x x  1 1 1 1  = 2 −  = 2 −  = 2 ⋅ = 3  6 3 2 3  2 1

b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x) 1 1 1 2  2 2 2 x ( 1 − x ) dx = 2 x ( 1 − x ) dx = 2 x dx − x 3 dx  ∫ ∫0 ∫0 ∫ 0 0  1

E(x 2 ) =

x 3 x 4  1 1 1 1  =2  −  =2  −  = 2 ⋅ = 4  12 6 3 4  3

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) 1 1 3 1 − = = = 6 9 54 18

202.

Sea E un evento para el cual P ( E ) > 0 Comprobar

que la función de probabilidad Condicional P ( A ) satisface

E

axiomas de un espacio de probabilidad, esto es: Para un evento A

0 ≤ P( A ) ≤ 1 E

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Rep.: Se tiene que A ∩ E ⊂ E ⇒ P ( A ∩ E ) ≤ P ( E ) Así P ( A ) =

E

P ( A ∩E ) ≤1 P( E )

Esto es 0 ≤ P ( A ) ≤ 1

E

203. sea σ − A lg ebra T ⊆2 Ω y ( Ω,T ) un espacio medible. Cual de las siguientes opciones no corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad. a) 0 ≤ P( A) ≤ 1 b) P(Ω) = 0 ∞

∞ c) P (∩i =1 An) = P ( An) n =0

d) b) y c) no corresponden e) Ninguna de las Anteriores 204. sea Ω = {Daniela, Jorge, Yamile, Daniel , Cristina} estudiantes de la carrera de ingeniería ambiental de la Universidad de Playa Ancha. Veamos si T ={Ω, Φ, {Jorge}, {Yamile, Cristina , Danila}, {Jorge, Daniel}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición C b) si A ∈ T ⇒ A ∈ T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra .

205. f (x ) =

3 x +7 58

Verificar si la siguiente función dada por: para x= 1,2, 3, 4

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria. Rep.: Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene. f (1) =

10 58

, f ( 2) =

13 , 58

f (3) =

16 58

,

f ( 4) =

19 58

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x) ≥0

∑f (x) =1

x∈ Χ

Luego f (1) + f ( 2) + f (3) + f ( 4) =

206.

10 13 16 19 58 + + + = =1 58 58 58 58 58

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

8 2  5c x 0 < x≤ 6  f ( x) =  0 eoc    Calcular

c

6 6 8 2 8 2 8 2 x 2  36 8 2 36 180 6 5 c x dx = ⋅ c ∫ x dx = ⋅ c ⇒ c = ⇒ c2 = ⇒c = = ∫ 50 5 5 2 2 5 2 16 4 0

207. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad esta dada por:

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

 5 2x  ε para x > 0 f ( x) =  3  0 eoc Rep.: ∞

Mx(t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

5 2x 5 5 5 1 5 e dx = ∫e tx ⋅e 2 x dx = ∫e x ( t +2 ) dx = ⋅ = 3 30 30 3 t +2 3(t +2)

208. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

 9 3x  ε para x > 0 f ( x) =  2  0 eoc Rep.: ∞

Mx(t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

9 3x 9 e dx = 2 2

9 tx 3x ∫0 e ⋅e dx =2

∫e

x ( t +3)

0

9 1 9 dx = ⋅ = 2 t +3 2(t +3)

209. Un grupo de niños se ponen a jugar a las bolitas y cada lanzamiento tiene un puntaje favorable o desfavorable según sea el caso Calcular la esperanza. ¿Es más probable que ganen o que pierdan? Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi

-3

-1

1

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3

5

134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

1 5

f(xi)

1 5

1 5

1 5

1 5

Rep.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 1 1 1 1 -1 ⋅ + 1 ⋅ + 3 ⋅ + 5 ⋅ 5 5 5 5 5

= -3 ⋅ =

−3 1 1 3 5 5 − + + + = =1 5 5 5 5 5 5

Es más favorable que

ganen 210. 17) Sea Ω = {Patricia, Beatriz , Carolina , Matias, Guillermo, } alumnos Tesistas de una determinada Universidad. Veamos si

T = {Φ ,Ω ,{Patricia},{Beatriz, Matias,Carolina,Guil ermo},{Patricia, Matias, Beatriz}, {Guil ermo,Carolina}} Compuesta por estos alumnos. Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T Tanto el subconjunto Como su complemento pertenecen a T c) A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un σ − A lg ebra .

211. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

x> 0 0  F ( X ) =  3x − x 4 0 ≤ x < 1 1 x≥ 1  1 3

1 2

Obtener P ( X < ) P ( X > )

Rep.: a) 1 3

1 3

1 3

1 x2  x5  1 1 1215 − 6 1209 403 P ( X < ) = ∫ (3x − x 4 )dx = ∫ 3 x dx − ∫ x 4 dx = 3 ⋅  −  = − = = = 3 2  5  6 1215 7290 7290 2430 0 0 0 b) 1 1 1 1 1 1 x2  x5  1   1 1  1 P ( X > ) = ∫ (3 x − x 4 ) = ∫ 3 x dx − ∫ x 4 dx = 3∫ x dx − ∫ x 4 dx = 3 ⋅  −  = 3 ⋅  −  −  − 2 2 5  2 8   5 160  1 1 1 1 1 2

2

2

2

2

3 31 9 31 180 − 31 149 = − = = =3⋅ − 8 160 8 160 160 160

212. Un jugador lanza un dado. Si sale un número par gana dicho número de pesos, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de pesos. ¿El juego es favorable? Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-3

-1

1 4

1 4

3 1 4

5 1 4

Rep.:

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f (xi) 1 1 1 1 +5 ⋅ + -1 ⋅ + 3 4 4 4 4

= -3 ⋅ =

−3 −1 3 5 4 + + + = =1 4 4 4 4 4

Por lo tanto el juego es favorable para el jugador. 213.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 5kx 0 < x ≤ 4  f (x) =  0 eoc   Calcular k 4

4

0

0

5∫ kx dx = 5k ∫ x dx = 5k ⋅

214.

x 2  16 16 1 → ⋅ 5k = 1 → 40k = 1 k = = 2 2 2 40

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 k 2  2 9 ⋅ x 0 < x≤ 6  f ( x) =  0 eoc    Calcular k Rep.: 6

∫2 0

k 2 2k x dx = 9 9

6

2 ∫ x dx = 0

2k x 3  216 2 ⋅ = ⋅ k =1 9 3 3 9

432 27 k =1 ⇒ k = 27 432

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

215. La probabilidad de un alumno de obtener un 7 en una prueba de matemáticas es 0,60; Si para lograr este objetivo estudia 15 horas ¿Cuál es el número más probable de opciones que tiene de lograrlo de un total de 10? Rep.: E ( xi ) = 0,60 ⋅15 = 9 .

216. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

 2 4x  ε para x > 0 f ( x) =  3  0 eoc Rep.: ∞

Mx (t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

2 4x 2 e dx = 3 3

tx 4x ∫e ⋅e dx = 0

2 3

∫e

x ( t +4 )

0

2 1 2 dx = ⋅ = 3 t +4 3(t +4)

217. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

  2 f ( y ) =  ( y + 2) para 3 < y < 6  63  0

Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad. Rep.:

6 6 6  2  y2  36 2 2 2  2 63 9  ⋅ ( y + 2 ) dy = ( y + 2 ) dy = ⋅ y dy + 2 dy = ⋅ + 2 y + 12 −  + 6 = ⋅ =1    = ∫3 63 ∫ ∫ ∫ 63 3 63  3 2  63 2  2 3  63  2 6

218. 1 f ( x) = ⋅ e 5

Dada la siguiente función −x 5

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: ∞

1 ∫0 5 e

−x 5

dx =

1 e 5 ∫0

−x 5

dx =

]

1 ⋅ − 5∫ e u du = e u = − e 5 0

−x 5

∞ 0  5 5 = − e + e =1  

−x 5 −1 du = dx 5

u=

219.

Verificar si la siguiente función es de densidad

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

 0 si x < 0  3x  F (x) =  si 0 ≤ x ≤ 5 5  1 si x > 5 Rep.: 3x 3 3 x 2  3 25 15 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 5 5 ∫0 5 2  5 2 2 5

5

No es función de densidad de probabilidad 220. Sea Ω = {Marcela, Javiera, Luis , Cristian, Claudia} estudiantes destacados Veamos si T ={Ω, Φ, {Marcela, Javiera}, {Luis , Cristian, Claudia}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra . c) A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T Por lo tanto cumple con 3 condiciones es un σ − A lg ebra . 221. Sea σ − A lg ebra T ⊆2 Ω y ( Ω,T ) un espacio medible. Cual de las siguientes opciones NO corresponden a una condición para ser espacio de probabilidad. a) 0 ≤ P( A) ≤ 1 b) P (Ω) =1

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

∞ c) P (∩i =1 An) = P ( An) n =0

d) NO corresponden e) Todas las Anteriores 222. Sea Ω = { juan, Francisca, felipe, luis, Claudio, Catalina} estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial de la Universidad de Playa Ancha.

T = {Ω , Φ ,{ juan},{ felipe, Claudio, Catalina},{luis},{Francisca}

Veamos si

Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición C b) si A ∈ T ⇒ A ∈ T No cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto No es σ − A lg ebra . 223. f (x ) =

Verificar si la siguiente función dada por:

5 x +4 64

para x= 1,2, 3, 4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria. Rep.: Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene. f (1) =

9 64

, f ( 2) =

14 , 64

f (3) =

19 64

,

f ( 4) =

24 64

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x) ≥0

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

∑f (x) =1

x∈ Χ

Luego f (1) + f ( 2) + f (3) + f ( 4) =

224.

9 14 19 24 64 + + + = =1 64 64 64 64 64

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

8 2  3c x 0 < x≤ 1  f ( x) =  0 eoc    Calcular

c

1 1 8 2 8 2 8 2 x2  1 8 2 1 3 3 3 2 c x dx = c x dx = ⋅c ⇒c = = = 0,4330  = ⇒ c = ⇒c = ∫ ∫ 30 3 0 3 2 2 3 2 16 4 16

225. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

x> 0 0 1  F( X ) =  x − x3 0 ≤ x < 2 4 x≥ 2  1 1 2

1 4

Obtener P( X < ) P( X < )

Rep.:

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

a) 1 2

1 2

1 2

1 1 1 1 x2  x4  1 1 2 −1 1 P ( X < ) = ∫ ( x − x 3 )dx = ∫ x dx − ∫ x 3 dx = ⋅  − − = = = 0,0156 = 2 4 4 4 2 4 32 64 64 64   0 0 0 b) 1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 1 1 1 1 x2  x4  1 1 7 P ( X < ) = ∫ ( x − x 3 ) = ∫ x dx − ∫ x 3 dx = ∫ x dx − ∫ x 3 dx = ⋅  −  = − = = 0,00 4 4 4 40 4 2  4  128 1024 1024 0 0 0 0

226. Dada la siguiente tabla Calcular la esperanza Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-4

-3

1

1 5

1 5

1 5

3 1 5

5 1 5

Rep.: E ( Xi ) =

=

∑xi ⋅ f (xi) 1 + 5

−4⋅ 4 5

3 5

1 5

− 3⋅

= − − + +

227.

1 1 1 1 +1 +3 ⋅ + 5 ⋅ 5 5 5 5

3 5 2 + = 5 5 5

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

4 2x  6 k 2 0 < x≤ 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular k 2 2 4 2 x 4 2 4 2 x2  4 4 4 2 16 12 2 3 3 k dx = k x dx = k ⋅  = → ⋅ k =1→ k 2 =1 k 2 = →k = = ∫ ∫ 30 2 6 6 2 2 6 2 12 16 4 2 0

228.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 k 1  2 7 ⋅ x 0 < x≤ 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular k Rep.: 1

1

k 2k 2 2k x 2  1 2k 2 56 2 ⋅ x dx = x dx = ⋅  = ⋅ =1 k = 1⇒ k = = 28 ∫0 7 ∫ 7 0 7 2 8 7 56 2 2

229. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

 5 2x  ε para x > 0 f ( x) =  7  0 eoc Rep.: ∞

Mx (t ) =E (e tx ) =∫e tx ⋅ 0

5 2x 5 e dx = 7 7

5 tx 2x ∫0 e ⋅e dx =7

∫e

x ( t +2 )

0

5 1 5 dx = ⋅ = 7 t +2 7(t +2)

230. La probabilidad de que un alumno reprueba la asignatura de estadística y probabilidades es de 0,50; Si para lograr aprobar estudia 4 horas ¿Cuál es la esperanza que lo logre? Rep.: E ( xi) =0,50 ⋅4 =2

231.

Ver si la siguiente función es de densidad

 0 si x < 0  2x  F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 2 5  1 si x > 2 Rep.: 2x 2 2 x2  2 4 4 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 5 5 ∫0 5 2  5 2 5 2

2

NO es función de densidad de probabilidad

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

232. Sea Ω={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25} Conjunto de números impares de un juego llamado kino Veamos si

T ={Ω, Φ, {1,3,5,7,9}, {11,13,15,17,19,21,23,25}, {1,3,5,7,9}, {11,13,15}} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición C b) si A ∈ T ⇒ A ∈ T no cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento No se encuentran presentes Por lo tanto no es σ − A lg ebra . c) A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T Por lo tanto no cumple con 3 condiciones es un σ − A lg ebra . 233. Sea Ω ={M , a, n, u, e, l} conjunto de letras que conforman un nombre masculino Veamos si

T ={Φ, Ω, {M , a, n}, {u , e, l}, {M }, {a, n, u , e, l}}

Compuesta por estas letras. Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T cumple con la condición ya que cada elemento de T tiene un complemento c)

Ω ∪Φ = Ω Ω ∪{i, a} = Ω Ω ∪{a, m, i} = Ω Ω ∪{m, a, r} ∪ Φ = Ω

{r , a} ∪{i, a} ∪{m} = Ω

etc. T Es σ − A lg ebra (tribu) para Ω

234.

xi

Hallar el valor esperado de la siguiente distribución. -3

-1

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1

4

134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

f ( xi )

1 4

1 4

1 4

2 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 3 ⋅ − 1 ⋅ + 1 ⋅ + 4 ⋅ 4 4 4 4

= -

1 4

-

3 1 1 4 1 − + + = 4 4 4 4 4

235. Se sortea una rifa en beneficio a los damnificados de la región del Maule, la rifa posee un total de 16 números. Si su probabilidad es proporcional al número de la rifa comprado ¿Calcular la probabilidad que el número ganador sea impar? Rep.: P (Ω)

Ω = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 } y el algebra a= Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P( k ) = k ⋅ i

i =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16

k = Constante de proporcionalidad

Luego 16

1

∑ ki = 1 ⇒ k ⋅ 136 = 1 ⇒ k = 136 i =1

P({ Que numero ganador salga impar})= P = ({1,3,5,7,9,11,13,15}) 1 3 5 7 9 11 13 15 64 + + + + + + + = ≈ 0,470 136 136 136 136 136 136 136 136 136

236. Sea Ω el conjunto de casos posibles que resultan de la tirada de un dado. Ver cuáles de las siguientes clases de conjuntos son σ − A lg ebra

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Sea Ω = {1,2,3,4,5,6} a) A1 = {Φ, Ω, {1,3}, {2,4,5,6}} b) A2 = {Φ,{1,3}, {2,4}, Ω} c) A3 = {Φ, {1,2,3}, {4,5,6}} 237.

Sea x una variable aleatoria continua con distribución

 16k 3 x 3 0 < x ≤ 2  f (x) =  0 eoc   Calcular k

2

2

0

0

16 ∫ k 3 x 3 dx = 16k 3 ∫ x 3 dx = 16k 3 ⋅

x4  16 3 1 1 1 3 3 →k =3 =  = 16 ⋅ k = 1 → 64k = 1 k = 4 4 64 64 4

238. La probabilidad de un alumno de sacarse un 6 en una prueba de Biología es de 0,58; Si para lograr este objetivo estudia 3 horas ¿Cuál es la esperanza que lo logre? Rep.: E ( xi ) = 0,58 ⋅3 =1,74

239. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad esta dada por:

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

 5 54 x  ε para x > 0 f ( x) =  3  0 eoc 

Rep.: ∞

4

4

4

x x (t + ) 5 x 5 5 5 5 Mx(t ) = E (e tx ) = ∫ e tx ⋅ e 5 dx = ∫ e tx ⋅e 5 dx = ∫ e dx = ⋅ 3 30 30 3 0

1 t+

4 5

=

5 4 3(t + ) 5

240. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:

   4 f ( y ) =  ( y 3 + 8) para 1 < y < 2 111  0 Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad. Rep.: 2 2 2 2  4 y4  16 4 4 4  3 1  3 3 ⋅ ( y + 8 ) dy = ( y + 8 ) dy = ⋅ y dy + 8 dy ⋅ +8 y  = +16 −  + 8 ∫ = ∫1 111 ∫ ∫ 111 1 111  1 111 4 4 4     1  =

4 111 ⋅ =1 111 4

241. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 casas construidas en la zona sur del país

xi f ( xi )

1 0,09

2 0,19

3 ϑ

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4 0,16

5 0,11

134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

a) ϑ =1 − 0,09 − 0,19 − 0,16 − 0,11 = 0,45

b) P( X ≥ 3 / X ≥ 2) = P( A / B ) =

c) P( X ≤ 4 / X ≥ 3) =

P ( X ≤ 4) − P ( X < 3) P ( X ≥ 3)

= 242. 1 f ( x) = ⋅ e 5

P ( A ∩ B) P( B ) P ( X ≥ 3) 0,72 = = ≈ 0,79 P ( X ≥ 2) 0,91

0,89 − 0,28 0,61 = ≈ 0,847 2 0,72 0,72

Dada la siguiente función −x 5

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: ∞

1 ∫0 5 e

−x 5

dx =

1 e 5 ∫0

−x 5

243.

dx =

]

1 ⋅ − 5∫ e u du = e u = − e 5 0

−x 5

∞ 0  5 5  = −e + e = 1 

Verificar si la siguiente función es de densidad

 0 si x < 0  2x  F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 2 4  1 si x > 3

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Rep.: 2x 2 2 x2  2 4 dx = x dx = ⋅  = ⋅ =1 ∫0 4 4 ∫0 4 2  4 2 2

2

Es función de densidad de probabilidad

244. La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X esta dada por:

1 2  (1 − 5x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  5  0 eoc Determinar a) E (x ) b) Var ( x) Rep.: a) E (x ) 1

∫ 0

1 11 1 1 x (1 − 5 x) 2 dx = ∫ x (1 − 5 x) 2 dx = ∫ x dx −10 5 50 5 0 =

1

2 ∫ x dx + 25 0

1

∫x 0

3

 dx  

1 x x x  1  1 10 25  1 41 41 + 25 ⋅ − + = ⋅ =  −10 ⋅ = 5 2 3 4  5 3 4 2  5 12 60 2

3

4

b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

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134


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

1

1 2 1 2 E ( x ) = ∫ x (1 − 5 x) dx = 5 5 0 2

1

∫x

2

(1 − 5 x ) 2 dx =

0

 1 2 3 4 ∫ x dx −10 ∫ x dx + 25∫ x dx  5 0 0 0  1

1

1

1 x3 x4 x 5  1 1 10 25  1 170 34 =  −10 ⋅ + 25 ⋅  = − + = ⋅ = 5 3 4 5  5  5  5 60 60 3 4

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) 34 1681 2040 −1681 359 − = = = 0,099 = 60 3600 3600 3600

245. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme es

xi

1 0,17

f ( xi )

2 0,22

3 ϑ

4 0,15

5 0,12

a) ϑ =1 − 0,17 − 0,22 − 0,15 − 0,12 = 0,34 b)

=

µ = ∑ xi

∑xi

2

2

xi

= 1 ⋅ 0,17 + 2 ⋅ 0,22 + 3 ⋅ 0,34 + 4 ⋅ 0,15 + 5 ⋅ 0,12 = 0,17 + 0,44 +1,02 + 0,6 + 0,6 = 2,83

⋅ f ( xi ) = 1 ⋅ 0,17 + 4 ⋅ 0,22 + 9 ⋅ 0,34 +16 ⋅ 0,15 + 25 ⋅ 0,12

= 0,17 + 0,88 + 3,06 + 2,4 + 3 = 9,51 2 2 2 c) σ = ∑xi f ( xi) − µ

= 9,51 −8,0089 = 1,5011

0 1  7 4  f (x) =  7 2  7  1

246. Dado que la variable aleatoria es discreta x tiene la función de distribución. Para

x <1

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel iniciación

Para

1 ≤x <3

Para

3 ≤x <5

Para

5≤x≤7

Para

x ≥8

Determinar 4 1 3 a) p ( 2 <x ≤ 5) = p ( x ≤ 5) − p ( x < 2) = − = 7

b) p ( x = 6) =

7

7

2 7

247. Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa de telefonía móvil a diario en un intervalo de 4 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por: P( X ) =

e −3 ( 2) x x!

x= 1, 2, 3, 4

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x Rep.: 2 =0,1005 P (1) = e −3 ( 2)1 =2e −3 = 19,90

P (2) = e −3 ( 2) 2 =

4e −3 2 = =0,1005 2 19,90

8e −3 8 P (3) = e −3 ( 2) 3 = = = 0,067 6 119,4 16e −3 16 P ( 4) = e −4 ( 2) 4 = = = 0,03350 24 477,6

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248. Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución.

xi

-3

f ( xi )

1 4

-1

1

4

1 4

1 4

1 4

2 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 3 ⋅ − 1 ⋅ + 1 ⋅ + 4 ⋅ 4 4 4 4

= −

∑xi

2

⋅ f ( xi ) =9 ⋅

=

3 1 1 4 1 − + + = 4 4 4 4 4

1 1 1 1 +1 ⋅ +1 ⋅ +16 ⋅ 4 4 4 4

9 1 1 16 27 + + + = 4 4 4 4 4

σ 2 = ∑xi 2 f ( xi ) − µ2

=

σ =

27 1 108 −1 107 − = = ≈ 6,6875 4 16 16 16 107 ≈ 2,586 4

249. Sea Ω = {1,2,3,4,5,6} el conjunto de los casos posibles que resultan de la tirada de un dado decir cuales de las siguientes clases de conjuntos son algebras. a) a1 = {Ω, Φ, {1,2,3}, {4,5,6}} b) a 2 = {Ω, Φ, {1,2}, {3,4,5,6}} c) a 3 = {Ω,{1,2,3}, {4,5,6}} Resp: a) Es un σ − A lg ebra ya que {1,2,3}c pertenece a a1

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b) Es σ − A lg ebra ya que cada elemento de a 2 posee su complemento c) No lo es puesto que Ωc = Φ no pertenecen a a 3

250. Si la función de densidad de la variable aleatoria X esta dada por

2  3 x para 0 < x < 1  f ( x) =  4 − x para 1 ≤ x < c  0 eoc   Determinar c) el valor de c Resp: c

c

c

1

1

1

∫ (4 − x)dx = 4∫ dx − ∫ x dx = 4 x −

x2  c2 1 → 4 c − − 4 + =1  2 2 2 4c −

c2 1 =4− 2 2

4c −

c2 7 = 2 2

8 c −c2 = 7

c 2 − 8c + 7 = 0 ( c − 7)(c −1) ) = 0 c1 = 7 c 2 = 1 2 2 2 x2  2 1 1 x dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 3 3 ∫0 3 2 3 2 3 1

1

251. Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

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 0 para x < 0  F ( x) =  2 x 2  para x ≥ 0  3+ x a) Encontrar función de Densidad de X b) Calcular la Probabilidad P (0 ≤ X ≤ 1) Resp: a) Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución 2x 2 ) = 3 + x f ( x) = dx 2 d (2 x ) (3 + x) (3 + x) ⋅ + 2x 2 ⋅ d 2 2 2 2 dx dx = ( 3 + x ) ⋅ 4 x + 2 x = 12 x + 4 x + 2 x = 12 x + 6 x = 3 x (4 + 2 x) (3 + x) 2 (3 + x) 2 (3 + x) 2 (3 + x) 2 ( 3 + x) 2 d(

b) F ( x) = P (0 ≤ X ≤ 1) =

2x 2 2 2 = F (1) − F (0) = − 0 = 3+x 4 4

252. La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de fallas en el Pavimento continuos es:

xi

1 0,24

f ( xi )

2 0,20

3 ϑ

4 0,16

5 0,22

a) ϑ =1 − 0,24 − 0,20 − 0,16 − 0,22 = 0,18 b)

=

µ = ∑ xi

∑xi

2

2

xi

= 1 ⋅ 0,24 + 2 ⋅ 0,20 + 3 ⋅ 0,18 + 4 ⋅ 0,16 + 5 ⋅ 0,22 = 0,24 + 0,40 + 0,54 + 0,64 +1,1 = 2,92

⋅ f ( xi ) = 1 ⋅ 0,24 + 4 ⋅ 0,20 + 9 ⋅ 0,18 +16 ⋅ 0,16 + 25 ⋅ 0,22

= 0,24 + 0,80 +1,62 + 2,56 + 5,5 =10,72

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2 2 2 c) σ = ∑xi f ( xi ) − µ

= 10,72 −8,5264 = 2,1936 d) P( X ≥ 4 / X ≥ 2) = P( A / B ) =

e) P( X ≤ 3 / X ≥ 2) =

P( A ∩ B) P( B) P ( X ≥ 4) 0,38 = = = 0,5 P ( X ≥ 2) 0,76

P ( X ≤ 3) − P ( X < 2) P ( X ≥ 2)

=

0,62 − 0,24 0,38 = ≈ 0,678 0,56 0,56

253. Sea X una variable aleatoria continua tal que su función de distribución es igual a: F ( X ) = −3 − e −3 x

para x > 0

Calcular: a) P ( x >1) b) P(1 < x ≤ 2) c) P (ln(1) < x ≤ ln(3)) Rep.: Como F ( x) = P ( X ≤ x) entonces se tiene que: a) P ( x >1) =1- P ( x ≤1) = 1- F (1) = 1 − (−3 − e −3 x ) = 4 + e −3 b) P(1 < x ≤ 2) = P ( x ≤ 2) − P ( x < 1) = F ( 2) − F (1) = − 3 − e −6 + 3 + e −3 = e −3 − e −6

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c) P (ln(1) < x ≤ ln(3)) = F (ln(3)) − F (ln(1)) = − e −3 ln(1) + e −3 ln(3) = 1 −

1 e

3 ln( 3)

254. Dado Ω = (1,3) Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un σ − a lg ebra

F1 = {Φ , (1,3) , (1,2) , ( 2,3)} F2 = {Φ ,

(1,2) ,  1, 3  ,  3 ,1 ,  1, 5  ,  5 ,1}  2  2   2  2 

Rep.: F1 Es un algebra porque Ω / (1,2 ) = ( 2,3) ∈ F1  3  5  F2 Es un algebra porque 1,  ∪ ,1 ∈F2  2 2 

255. Dado Ω = {2,4,6,8,10}. En alguna de las siguientes familias de conjuntos de números pares entre 1-10 es un σ − a lg ebra

F1 = {Φ, {2,4,6}, {8,10}} F2 = {Φ, Ω, {2,4}, {6,8,10}, {2}, {4,6,8,10}} F3 = {Φ, Ω, {2,4}, {6}, {4,6}, {10}}

Rep.: F1 No es un algebra ya que Ω ∉F1 F2 Es un algebra ya que no todos los elementos tiene su

complemento F3 No es un algebra ya que cumple con todas las condiciones para que lo sea.pues cada elemento no tiene su complemento 256. Dado Ω = {2,3,4}. .completar {{3}, {4}} para obtener un algebra. Agregar más subconjuntos si es posible.

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Resp: F = {Φ, {2,3,4}, {3}, {2,3}, {4}, {2}, {3,4}, {2,4}}

Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los requisitos para ser un σ − a lg ebra . 257. f ( x ) = 4ax 2 +

La función de densidad de una variable continua es: 1 b 4

si x ∈(0,1)

f ( x) = 0

si x ∉(0,1)

Determinar a y b sabiendo que P(1 ≤ x ≤ 2) = 0,072 Rep.: 1

(4a x 2 +

0

2

∫ (4ax 1

2

+

1

1 b) dx = 4a 4

x 2 dx +

0

1 b 4

1

dx = 4a ⋅

0

x3  1   + b ⋅ x = 3 4 

4a ⋅

1 1 4a 1 + b =1⇒ + b =1 3 4 3 4

  1 x 1 32a 2 4a 1 b)dx = 4a ⋅ + b ⋅ x = + b+ + b = 128a + 6b + 16a + 3b 4 3 4 3 4 3 4   = 144 a + 9b = 0,36 3

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones 16a + 3b =12

/⋅ −3

144a + 9b = 0,36 − 48a −9b = −36 144 a + 9b = 0,36

128a = −35,64 ⋅ a=

− 35,64 128

a = − 0,27843 Reemplazando en 2 se tiene

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144 ⋅ −0,27843 + 9 b = 0,36 40,4539 b= 9 b = 4,4948

258. La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos en chile tiene la siguiente función de densidad

 15 2 2 x ( 1 − x ) si 0 < x ≤ 2  16  F ( x) =  0 eoc    Calcular d) Función de densidad e) Función de distribución acumulada f) P ( x < 0,50) Rep.: 15 b) 16

2 2 2  15  2 3 4 ∫0 x (1 − 2 x + x ) dx = 16 ∫0 x dx − 2∫0 x dx + ∫0 x dx 2

2

2

15  x 3 x4 x 5  15 8 32  15 16 + = −8 + = ⋅ =1  −2 ⋅  16  3 4 5  16 3 5  16 15

b) F ( x) =

15 2 5 3 15 4 3 5 t (1 − t ) 2 dt = x − x + x ∫ 16 16 32 16 3 4 5 5 1  15  1  3 1    −   +   32  2  16  2   2  16  2  = 0,039 − 0,029 + 0,00585 = 0,01585

c) P ( x < 0,50) = F  1  =

259. La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2 llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada por:

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 −3x  4ke x > 0 f ( x) =   0 eoc a. Determinar el valor de k b. P (2 < x ≤ 3)

Rep.: a) ∞

−x

−x

4 ∫ k e dx = 4k ∫ e 3 dx = 4k 3

0

0

]

u u ∫ e ⋅ −3du = −12 k ⋅ e = −12 k ⋅ e 0

−x 3

 −∞  →−12 k ⋅ e −1 =1 →−12 k  

[

]

−x 3 −1 du = dx 3

u=

3

−x

1 b) P (2 < x ≤ 3) = ∫ e 3 dx = F (3) − F ( 2) 32

=

1 ⋅e 3

−3 3

1 − e 3

−2 3

260. Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

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para x < 0

0  2x  F(X ) =  3    1

para 1 ≤ x < 2 para x ≥ 3

Obtener a) P ( X ≤ 3) Rep.: 2

P ( X ≤ 2) = ∫ 1

2x 2 2 x2  2 4 1  2 3 dx = ∫ x dx = − = ⋅ =1 = ⋅ 3 31 3 2  3  2 2  3 2 2

261. Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x, cuya densidad de probabilidad esta dada por:

 2 15x  ε para x > 0 f ( x) =  8  0 eoc  Rep.: ∞

1

1

1

x x (t + ) 2 x 2 2 2 Mx(t ) = E (e tx ) = ∫ e tx ⋅ e 5 dx = ∫ e tx ⋅ e 5 dx = ∫ e 5 dx = ⋅ 8 80 80 8 0

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1 t+

1 5

=

2 1 8 (t + ) 5

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262. Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa esta dada por:   2 f ( y ) =  (5 x + 4)  75  0

para − 1 < x < 3

Determinar efectivamente que f ( y ) es una función de densidad de probabilidad.

3 3 3  2  x2  45 2 2 2  5  ⋅ ( 5 x + 4 ) dx = ( 5 x + 4 ) dx = ⋅ 5 x dx + 4 dx ⋅ 5 + 4 x = + 12 −  − 4  = ∫−1 75 ∫ ∫ ∫ 75 −1 75  −1 2   2 −1  75  2 3

=

2 75 ⋅ =1 75 2

263. f ( x) =

1 ⋅e 6

Dada la siguiente función −x 6

0≤x<∞

Determinar a) si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: ∞

1 ∫0 6 e

−x 6

dx =

1 e 6 ∫0

264.

−x 6

dx =

]

1 ⋅ − 6 ∫ e u du = − e u = − e 6 0

−x 6

∞ 0  6 6 = − e + e =1  

Verificar si la siguiente función es de densidad

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 0 si x < 0  2  6x F ( x) =  si 0 ≤ x ≤ 3 5  1 si x > 3 Rep.: 6x 2 6 2 6 x 3  6 27 54 dx = x dx = ⋅ = ⋅ = ∫0 5 5 ∫0 5 3 5 3 5 3

3

No es función de densidad de probabilidad

265. Un jugador compra un juego de lotería. Si sale un número x gana dicho número de euros, pero si no sale un número x pierde esa cantidad de euros. Calcular la esperanza.

Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-3

-2

1

3

5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

Rep.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f ( xi ) 1 1 1 1 1 -2 ⋅ +1 + 3 ⋅ + 5 ⋅ 5 5 5 5 5

= -3 ⋅ 3

2

1

3

5

4

= −5 −5 +5 +5 +5 = 5 =0,8 ≈1 euro Finalmente el jugador sale con saldo a favor

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266.

sea

Ω = {Φ, Ω, A lg ebra, Trigonometria, Estadistica, Geometria} las

cuales son áreas de relevancia en las matemáticas Veamos si

T = {Φ , Ω {A lg ebra},{Trigonometria, Estadistica, Geometria},{A lg ebra, Estadistica}, {Trigonometria, Geometria} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra Rep.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento Se encuentran presentes Por lo tanto es σ − A lg ebra . c)

A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T

Se cumple las 3 condiciones para ser σ − A lg ebra

267. La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

x> 0 0 1  F( X ) =  x − x3 0 ≤ x < 2 2 x≥ 2  1 1 3

Obtener P( X < )

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Rep.: a) 1 3

1 3

1 3

1 1 1 1 x2  x4  1 1 8 P ( X < ) = ∫ ( x − x 3 ) dx = ∫ x dx − ∫ x 3 dx = ⋅  − − = ≈ 0,0246 = 3 2 2 2 2 4 36 324 324   0 0 0

268. Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de dólares, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de dólares. ¿El juego es favorable para el jugador? Calcular la esperanza. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

1

3

5

-2

-4

-6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Rep.: E ( Xi ) =

=

∑xi ⋅ f (xi) 1⋅ 1

1 1 1 1 1 1 1 +3⋅ + + 5 −2 ⋅ −4 ⋅ − 6 ⋅ 6 6 6 6 6 6 6 3

5

2

4

6

3

= 6 +6 +6 −6 − 6 −6 = 6 =−0,5 ≈ −1 dólares Por lo tanto el juego no es favorable para el jugador. 269. Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad: f ( x ) = c ⋅ (3 + 5 x 2 ) si x ∈( 0,1) f ( x) = 0 si x ∉ (0,1)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad se que X este comprendida entre 0 y 1/4 Rep.:

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a) Se verifica

+∞

1

−∞

0

∫ f ( x) dx = 1⇒ ∫ c (3 + 5 x

2

) dx = 1

 x 3   14  3 c  3x + 5 ⋅  =   c = 1 ⇒ c = ⋅ 3 3 14 

si x ≤ 0 0  x 3  3 x  F (x) = ∫ f (t)dt =   3x + 5 ⋅  si 0 < x ≤ 1 −∞  14  3  1 si x ≥ 1  b) 1 1  14  4 4 1 3 3 3  x3  3 3 1    2 2 P (0 < X ≤ ) = ∫ (3 + 5 x ) dx = 3 dx + 5 x dx = 3 x + 3 ⋅ +  = ∫ ∫    4 14 14 0 14  3  14  4 64   0 0    

=

3 49 147 ⋅ = ≈ 0,1640 14 64 896

270. Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

para x < 1 0  2x  para 1 ≤ x < 2 5 F(X ) =   x 2 − 1 para 2 ≤ x ≤ 3  3 1 para x ≥ 3 

Obtener a) P ( X ≤ 2)

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7 3

b) P( X ≤ ) Rep.: 2 2x 2 2 x2  2 4 1 2 3 3 P ( X ≤ 2) = ∫ dx = ∫ x dx = = ⋅ = = ⋅ − 5 51 5 2  5  2 2  5 2 5 1 2

7

7

7

3 3 3 3 7 P ( X ≤ ) = ( x 2 − 1 )dx = x 2 dx − 1 dx = x − 1 x  = 343 − 7 − 8 + 2  = 118  ∫2 ∫2 3 3 3 ∫2 3 3  81 9 3 3  81

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Nivel de Iniciacion