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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

1.- En la comuna de Cabral se ha organizado una inédita competencia entre 5 tortugas A, B, C, D, E. Si A tiene 5 veces más posibilidades de ganar que B, B a su vez el cuádruple de C, C el triple de D, y la tortuga del doble que e. ¿Calcular la probabilidad de ganar de cada tortuga?

Rep.: Como la suma de las probabilidades debe ser 1 (Por axioma) P ( E ) = P; D Tiene el doble de posibilidades de ganar que E, P ( D ) = 2 P , Como P (C ) = 3 ⋅ P ( D ) = 3 ⋅ 2 P = 6 P, también B tiene el cuádruple

C tiene el triple de D,

de posibilidades de ganar a C. P( B) = 4 ⋅ P (C ) = 4 ⋅ 6 P = 24 P

Finalmente A tiene el quíntuplo de posibilidades de ganara B Por lo tanto P ( A) = 5 ⋅ P( B ) = 5 ⋅ 24 P = 120 P

Entonces como la suma de las probabilidades es 1 tenemos: P + 2 P + 6 P + 24 P + 120 P = 1 153P =1 1 P= 153

En consecuencia

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P( A) = 120 P =

P (C ) = 6 P =

120 153

6 153

P( B ) = 24 P = 24 ⋅

P( D) = 2 P =

2 153

1 24 = 153 153

P( E ) =

1 153

a) cual es la probabilidad que C o D ganen Por axioma de eventos mutuamente exclusivos se tiene P ( AUB) = P ( A) + P ( B ) LUEGO P ({C , D}) = P (C ) + P ( D) =

6 2 8 + = 153 153 153

2.- Sean A y B eventos con P ( A) =

Hallar a) P ( B C )

5 8

b) P( A ∩ B C )

P( B) =

1 6

P( A ∩ B) =

1 3

C) P ( A CUB C )

Rep.:

C a) P( B ) = 1 − P ( B) = 1 −

1 5 = 6 6

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C b) P ( A ∩ B ) = P( A / B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) =

7 24

C C C c) P ( A UB ) = P ( A ∩ B ) = 1 − P ( A ∩ B ) = 1 −

2 2 = 3 3

3.- Se dibujan 3 círculos concéntricos de radio 3, 5, 7 CMS respectivamente dentro de un círculo de 9 CMS de radio. Un hombre recibe 20, 10, 5, 1 puntos según pegue en el blanco, dentro del círculo menor, en el anillo intermedio o exterior respectivamente. Suponga que el hombre da en el blanco con probabilidad de 1/3 y por lo tanto con la misma probabilidad que pegue en un punto del blanco como en otro. Hallar el valor esperado de los puntos que marca cada vez que dispara. Rep.:

1 5 10

20 Pts

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P ( 20) =

1 Area de 20 ptos ⋅ 3 areablanco

1 π (3) 2 1 = = ⋅ 3 π (9) 2 27

P (10) =

1 Area de 10 ptos ⋅ 3 areablanco

=

P (5) =

1 Area de 5 ptos ⋅ 3 areablanco

=

1 π (5) 2 − π (3) 2 16 ⋅ = 2 3 245 π (9)

1 π (7) 2 − π (5) 2 8 ⋅ = 2 3 81 π (9)

1 Area 1 pto π (9) 2 P (1) = ⋅ = =1 3 ⋅ Area blanco π (9) 2

4.- Un curso de manejo consta de5 mujeres y 8 hombres. De estos solo recibirán su licencia de conducir a) cuál es la probabilidad que 3 mujeres reciban su licencia b) Reciba su licencia exactamente 2 Hombres c) Reciba su licencia a lo más 2 mujeres. Rep.:

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a)

 5  8      3   0 10 5 P(A)= == 13 286 143   3 

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b)

 5  8      1   2 70 P( )=B =  13 143   3 

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c)

 5  8  5 8  5  8   +  +  0  1 2  1 P(C)=  13    3

=

276 138 = 286 143

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5.- Se tiene una bolsa con 20 fichas de una misma forma y tamaño las cuales tienen marcados los valores 50,10 y 5 pesos, la cantidad de cada una de ellas Es

8 de $50, 6 de $10, 6 de $5. Si se extraen 3 fichas determinar las

siguientes probabilidades:

Rep.: 20 fichas

 20 =Ω   = 1 40 3 

6 de $5 pesos

6 de $10 pesos 8 de $50 pesos ε ={15,20,25,30,60,65,70,105,110,150}

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 6  14     P(x= 15)= 3  0  = 0, 175  20   3 

 6  6  8      2 1 0 P(x 20)== = 0, 78  20    3  entretencionx1000.cl

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 6  6  8      0  3 0 P(x 30)== = 0,140  20   3 

 6  6  8      0 1 2 P(x= 10)1 = = 0,147  20   3 

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6.- Una fila para obtener entradas al cine está conformada por 9 personas de las cuales 4 tienen $500, 5 tienen $1000 y el cajero no tiene cambio, si se supone que las personas ocupan su lugar al azar. ¿Cuál es la probabilidad que las personas no deban esperar su cambio? Rep.: Como las personas ocupan su lugar al azar

consideramos espacio de

probabilidad donde Ω (espacio muestral) es

Ω={

P1.P2, P3, P 4, P5,....., P9)}

P1 = 500 o 100

∑Pi = $7000 CARD A

Sabemos que en este caso P ( A) = CARD Ω ∈2

Card=

 9   = 126  5

Se puede expresar de la siguiente manera A= { P1, P 2, P3........, P9)( P1, P 2,....., P9) ∈Ω P1=500

P9=1000

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Card(A)=5 Luego P ( A) =

5 126

7.- ¿Cuál de las siguientes expresiones no corresponde a un suceso aleatorio? a) Jugar un juego de azar b) Enfriar agua a 0º C. c) Lanzar una piedra y medir su alcance d) Apostar en una carrera de caballos

8.- En un curso de 60 alumnos, 1/2 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés y 1/4 habla los dos idiomas, ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo un idioma? a) 1/8 b) 3/4 c) 1/2 d) 5/6 Rep.:

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Se calculan los porcentajes y se ve la cantidad de alumnos de cada curso y luego se calcula la probabilidad

9.- ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio de un rifa para la cual se venden 20 listas y cada lista tiene 20 números, si Se compran 4 números? a.) 1/100 b). 1/10 c). 1/5 d). 1/4 Rep.: A) P ( A) =

10.-

4 1 = 400 100

Al lanzar un dado 2 veces consecutivas, ¿qué probabilidad hay de

obtener primero un 3 y luego un número par? a.) 1/3 b). 1/12 c.) 1/9 d). 2/3 Rep.: a) P ( A) =

1 1 1 ⋅ = 6 2 12

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11.-

En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la

probabilidad de que sean números distintos. A). 3/40 B) 1/59.280 C) 4/3.705 D) 192/247

12.-

Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje

menor que 5 ó mayor que 10? a) 1/72 b) 1/12 c) 1/4 d). 1/6 13.-

Si se tienen 46 pelotas de ping- pong son 15 blancas y 31 azules de

manera aleatoria, se toma una muestra de 7 de ellas, determine la probabilidad de que la muestre encuentre: a) exactamente 5 blancas b) A lo mas 3 pelotas blancas c) Que las 7 pelotas sean azules Rep.:

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a)

 15  31     5   2  P(X = 5) =  46   7 

= 0,02608

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b)

 15  3 1  5  3 1  +  + 07 1625 34 58102 P(x=4) = 0,8562 46 5324680

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c)

 15   31     P(x 7)== 07 = 26 957 = 0, 49128  4 6  5 3 24 6 8 0   7 

14.-

El Liceo Técnico Femenino necesita 4 profesores practicantes de Ped.

Matemáticas y computación, para realizar talleres con el fin de mejorar el bajo rendimiento de las alumnas. Para ello postularon 7 profesores de la UPLA, 10 de la UV y 5 de la PUCV.

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Determinar la probabilidad de que: a) los 4 profesores sean de la UPLA b) Que existan 2 de la UV y a lo más 2 de la PUCV. c) Que existan 3 profesores de la UV

a)

 7  10  5      4  0   35 = 2 7315   4  entretencionx1000.cl

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b)

7105 + 201 945+70 = 0,4  2  7315

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c)

 7  10 5  + 130 84+60 = 0,1968 2 7315  4

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15.- Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

para x < 0

0 x   F(X ) =  2  x− 1  2 1 

para 0 ≤ x < 1 para 1 ≤ x ≤ 1,5 para x ≥ 1,5

Obtener a) P (0,4 < X ≤ 1,3) b) P ( X > 5) Rep.:

0, 4

x 1 ∫0 2dx = 2

1, 3

0, 4

∫ x dx = 0

1 ∫1 ( x − 2 )dx =

1 x2  1  = ⋅ 0,08 = 0,04 2 2  2

1, 3

1 ∫1 x dx − 2

∫ dx = 2 [ x

1, 3

1

1

2

]

−x =

1 [1,69 −1,3] = 0,195 2

a) P (0,4 < X ≤ 1,3)

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P ( X >1,3) − P ( X < 0,4) 0,195

− 0,04

0,155

0, 5

b) P ( X > 5) = 1 − P ( X < 0,5) = 1 −

x 1 ∫0 2 dx = 1 − 2

x 1 x2  0,125 dx = 1 − = 0,9375   =1− ∫0 2 2 2  2

0,5

16.- Dados los siguientes valores

X

1 0,35

fx

2 0,15

3 ϑ

4 0,07

5 0,01

a) Determinar el valor de ϑ b) Representar Gráficamente la función de distribución de cuantía. c) P ( X > 2) d) P ( X > 2 / X < 5) e) E (x ) f) var(x ) Rep.: a) ϑ =1 −0,35 −0,15 −0,07 −0,01 = 0,145

c) P ( X > 2) = 1 − P ( X ≤ 2) =1-0,50 = 0,5

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d) P( X > 3 / X < 5) =

P (3 < X < 5) 0,07 = = 0,097 P ( X < 5) 0,715

x fx e) E ( X ) = x∑ ∈εx

= 1 ⋅ 0,35 + 2 ⋅ 0,15 + 3 ⋅ 0,45 + 4 ⋅ 0,07 + 5 ⋅ 0,01 =

0,35 + 0,3 + 0,435 +0,28 + 0,05

= 1,415

f) var( x ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) E ( X 2 ) = ∑x 2 fx X ∈ε

= (1) 2 ⋅ 0,35 + 4 ⋅ 0,15 + 9 ⋅ 0,145 + 16 ⋅ 0,07 + 25 ⋅ 0,01 = 0,35 + 0,6 +1,305 +1,12 + 0,25 = 3,625

var( x) = 3,625 − 2,0022

=1,6228

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17.-

Función de densidad del tiempo en minutos de concentración de los

alumnos durante una jornada escolar.

   30 f (t ) =  2 t ≥ 30 t  0

Determinar la Probabilidad que un estudiante escogido al azar tenga un tiempo De concentración: Rep.:

150

a) P (T > 150) = 1 − P (T ≤ 150) = 1 −

30

30 30  30 1 dt = 2  = = 2 t t  150 5

230

b)

P (170 < X < 230) = P ( X ≥ 170)

30 2 170 t

30

∫t

2

170

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30

1

c) E ( X ) = ∫t ⋅ t 2 dt = 30 ∫ t dt = 30 ⋅ ln t ] = ∞ 30

no existe esperanza

30

18.- Hacer el Grafico de la siguiente función

xi

-2 1/8

f ( xi )

1 1/4

3 1/2

Además encontrar esperanza, varianza y Desviación estándar en esta Distribución. Rep.:

E ( X ) = −2 ⋅

1 1 1 +1⋅ + 3 ⋅ 8 4 2

−2 1 3 3 + + = 8 4 2 2

=

1 1 1 E ( X 2 ) = (−2) 2 ⋅ + 1 ⋅ + 9 ⋅ 8 4 2

=

1 1 9 21 + + = 2 4 2 4

Var ( xi ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X )

=

21 9 12 − = =3 4 4 4

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Desviación Estándar

var( x ) = 3 ≈1,73

19.- La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

x> 0 0  F ( X ) =  2x − x 2 0 ≤ x < 1 1 x≥ 1  1 2

3 4

Obtener P( X < ) P ( X > ) Rep.: 1 2

1 2

1 2

2 3 a) P( X < 1 ) = ( 2 x − x 2 )dx = 2 x dx − x 2 dx = 2 ⋅ x  − x  = 2 − 1 = 5   ∫0 ∫0 ∫0 2 2  3  8 24 24

b) 1 1 1 1 1 3 x2  x3   1 9   1 27  P( X > ) = ∫ (2 x − x 2 ) = ∫ 2 x dx − ∫ x 2 dx = 2 ∫ x dx − ∫ x 2 dx = 2 ⋅  −  = 2 ⋅  −  −  − 4 2 3  2 32   3 192  3 3 3 3 3 4

=2⋅

4

4

4

4

7 27 57 − = 32 192 192

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20.- sea x una variable aleatoria cuya función de densidad esta dada por:  5 f ( x) = c ( x 3 − 4 x 2 ) para 0 < x < 1  2

a) Determinar el valor de c b) Calcular la Esperanza Rep.: 1 1 5 1 3  5 x 4  5 3 5 3 x3  2 2 2 c ( x − 4 x ) dx = c ( x − 4 x ) dx = c x dx − 4 x dx = c ⋅ − 4 ⋅ a) ∫  ∫  2 4  ∫0 2 ∫0 2 3    0 2 0  1

5 1

1

5

4

− 17

− 24

=1⇒ c = = c ⋅ − 4 ⋅  = c −  ⇒ c ⋅ 3 24 17 2 4 8 3 

b) 1 1 1 5 1  5 5 5 E ( X ) = ∫ x c ( x 3 − 4 x 2 )dx = c ∫ x( x 3 − 4 x 2 )dx = c ∫ ( x 4 − 4 x 3 )dx = c  ∫ x 4 dx ⋅ 4∫ x 3 dx  = 2 2 2 0 0 0 2 0 

− 24  5 x5   x4   5 1 1 1 c 17 = − 3 c  ⋅  −  4 ⋅  = c ⋅ − 4 ⋅  = − ⋅ c = − = 4 2 2 2 /1 4 2 5   4   2 5

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21.- Si A1 ,.........., A2 son conjuntos disjuntos ( Ai ∩ AJ = Φ para i ≠ j ) Entonces n

P (∪in=1 Ai ) = ∑ P ( Ai ) i =1

Dem P (∪

n i =1

n

Ai ) = ∑ P ( Ai ) i =1

Consideramos k +1 y usando definición la condición referente a prob aditiva y por hipótesis inductiva se tiene k

k +1

i =1

i =1

P (∪ik=+11 Ai ) = P ((∪ik=1 Ai ) ∪ Ak +1 ) = P (∪ik=1 Ai ) + P ( Ak +1 ) = ∑ P ( Ai ) + P ( Ak +1 ) = ∑ P ( Ai )

22.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X esta dada por:

x  F(X ) =  3 − x 0 

0< x< 1 1≤ x < c eoc

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Determinar: a) Calcular valor de c

Rep.:

1

∫ 0

c

(3 − x ) dx = 3 ∫ dx − 1

c

∫ x dx = 3x − 1

x2  c2 1 c2 1 ⇒ 3 c − − 3 + = 1 ⇒ 3 c − = 4 − ⇒ 3c −  2 2 2 2 2

6c − c 2 = 7 ⇒ c 2 − 6c + 7 = 0

Ecuación de segundo grado

6 ± 36 − 28 2

=

6 ± 8 6 ±2 2 2(3 ± 2 ) = = =3 ± 2 2 2 2

c1 = 4,4142 c 2 = 1,6

23.- La función de densidad de una variable continua es: f ( x) = ax 3 + 2b

si x ∈ (0,2)

f ( x) = 0

si x ∉(0,2)

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c2 7 = /⋅ 2 2 2


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Determinar a y b sabiendo que P (

−1 ≤ x ≤ 1) = 0,1357 2

Rep.:

2

2

( a x 3 + 2b) dx = a

0

2

x 3 dx + 2b

0

∫ 0

dx = a −

x4   + 2bx ] = 4

a ⋅ 4 + 4b = 1 ⇒ 4a + 4b = 1

 ax 4  a a a a 7a 3 ( ax + 2 b ) dx = + 2bx  = + 2b − +b= + + 3b = + 3b = 0,1357  ∫1 32 4 32 32  4  4 1

2

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones 4a + 4b = 1 /⋅ −7 7 a + 96b = 4,3424 / .4

−28a −28b = −7 28a +324b =17,3696

356b = 10,3696 10,3696 b= 356 b = 0,02912

Reemplazando en 1 se tiene 4a =1 −0,1165 0,8835 a= 4 a = 0,2208

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24.-

La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes

automovilísticos en EEUU tiene la siguiente función de densidad

 20 x(1 − x)3 si 0 < x ≤ 1  F ( x) =  0 eoc  

Calcular a)

Función de densidad

b)

Función de distribución acumulada

c)

P ( x < 0,20)

a)

20

Rep.:

1

1

1

1

0

0

0

0

3 2 2 2 2 ∫ x (1 − x) dx = 20∫ x(1 − x)(1 − x) dx = 20��� x (1 − x) (1 − 2 x + x )dx = 20∫ ( x − x )(1 − 2 x + x )dx 1

20 ∫ ( x − 2 x 2 + x 3 − x 2 + 2 x 3 − x 4 )dx = 0

1

20 ∫ ( x − 3 x 2 + 3 x 3 − x 4 )dx =20( 0

x 2 3x 3 3x 4 x 5 1 3 1 1 − − − ) = 20( − 1 + − ) = 20 ⋅ =1 2 3 4 5 2 4 5 20

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3 2 3 4 5 b) F ( x) = 20 ∫ t (1 − t ) dt = 10 x − 20 x +15 x − 4 x 2

3

4

1  1  1  1  1  c) P( x < 0,20) = F   = 10  − 20  + 15  − 4  5

5

5

5

5

5

= 0,26272

25.-

La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2

llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada por:

 −3x  f (x) =  ke x > 0  0 eoc

a)

Determinar el valor de k

b)

Función de distribución acumulada

c)

P (3 < x ≤ 6)

d)

P ( x ≤ 9)

Rep.:

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a) ∞

∫ ke 0

u=

−x 3

−x 3

0,9

dx = k ∫ e 0

]

dx = k ∫ e u ⋅ − 3du = − 3k ⋅ e u = − 3k ⋅ e

−x 3

0

 1 −∞  → −3k ⋅ e −1 = 1 → 3k = 1 → k = 3 

[

]

−x 3 du =

−1 du 3

X

b) F ( x) =

0

f (t ) dt =

−∞

∫ 0 dt +

−∞

x

−t

1 e 3 dt = 1 − e ∫ 30

−x 3

F ( x) = 0, Para x<0

d ( F ( x)) 1 Luego = e dx 3

6

c) P (3 < x ≤ 6) =

1 e 3∫ 3

−x 3

−x 3

que es lo que se esperaba

dx = F (6) − F (3)

= [1 − e −2 ] − [1 − e −1 ] = 0,864 − 0,64 = 0,224

d) P ( x ≤ 9) = F (9) = [1 − e −3 ] = 0,95 La probabilidad que exceda los 9 minutos es 1- F (9) = 1 − 0,95 = 0,05

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156


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

26.-

Sea

una variable aleatoria continua tal que su función de

X

distribución es igual a: F ( X ) = 1 − e −x

para x > 0

Calcular: a) P ( x > 2) b) P (0,5 < x ≤ 1,5) c) P (ln(2) < x ≤ ln(3))

Rep.: Como F ( x ) = P ( X ≤ x ) entonces se tiene que: a) P ( x > 2) =1- P ( x ≤ 2) = 1- F ( 2) = 1 −(1 − e −2 ) = e −2 b) P (0,5 < x ≤ 1,5) = P ( x ≤ 1,5) − P ( x ≤ 0,5) = F (1,5) − F (0,5) = 1 − e −1,5 −1 + e −0,5 = e −0,5 − e −1,5

c) P (ln(2) < x ≤ ln(3)) = F (ln(3)) − F (ln(2)) = e − ln( 2 ) − e − ln(3) =

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1 1 1 − = 2 3 6

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

27.-

Sea

X

una variable aleatoria continua tal que su función de

distribución es igual a: F ( X ) = −2 − e −2 x

para x > 0

Calcular: a) P ( x > 2) b) P(1 < x ≤ 3) c) P (ln(1) < x ≤ ln(3))

Rep.: Como F ( x ) = P ( X ≤ x ) entonces se tiene que: a) P ( x > 2) =1- P ( x ≤ 2) = 1- F ( 2) = 1 − ( −2 − e −2 x ) = 3 +e −4 b) P (1 < x ≤ 3) = P ( x ≤ 3) − P ( x < 1) = F (3) − F (1) = − 2 − e −6 + 2 + e −2 = e −2 − e −6

c) P (ln(1) < x ≤ ln(3)) = F (ln(3)) − F (ln(1)) = − e −2 ln(1) + e −2 ln(3) = 1 −

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1 e

2 ln( 3)

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

28.-

Dado Ω = (1,2 ) Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un

σ − a lg ebra

F1 = {Φ ,

(1,2) ,  1, 3  ,  3 ,1}

F2 = {Φ ,

(1,2) ,  1, 3  ,  3 ,1 ,  1, 4  ,  4 ,1}

 2  2 

 2  2   3  3 

Rep.:  3 3  F1 No es un algebra porque Ω / 1,  =  ,1 ∉ F1  2 2 

 3 4  F2 No es un algebra porque 1,  ∪ ,1 ∉F2  2 3 

29.- Dado Ω = {1,3,5,7,9}. En alguna de las siguientes familias de conjuntos de números impares entre 1-10 es un σ − a lg ebra F1 = {Φ, {1,3}, {7,9}} F2 = {Φ, Ω, {1,3}, {5,7}, {3,7,9}, {1,5}} F3 = {Φ, Ω, {1,3,5}, {7,9}, {1,3}, {5,7,9}}

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Rep.: F1 No es un algebra ya que Ω ∉F1

F2 No es un algebra ya que no todos los elementos tiene su complemento F3 Es un algebra ya que cumple con todas las condiciones para que lo sea.

30.- Dado Ω = {1,5,7}. .completar {{5}, {7}} para obtener un algebra. Agregar más subconjuntos si es posible. Rep.: F = {Φ, {1,5,7}, {7}, {5,7}, {1}, {1,5}, {1,7}, {5}}

Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los requisitos para ser un σ − a lg ebra .

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31.- La función de densidad de una variable continua es: 1 f ( x ) = 5ax 2 + b si x ∈ (0,2) 3 f ( x) = 0 si x ∉(0,2)

Determinar a y b sabiendo que P(−1 ≤ x ≤ 2) = 0,1237 Rep.: 2

∫ 0

1 (5a x 2 + b) dx = 5a 3

2

∫ 0

1 x 2 dx + b 3

2

dx = 5a ⋅

0

x3  1   + b ⋅ x = 3 3 

5a ⋅

8 2 40 a 2 + b =1⇒ + b =1 3 3 3 3

  1 x3 1 40a 2 5a 1 2 ( 5 ax + b ) dx = 5 a ⋅ + b ⋅ x = + b+ + b = 40a + 2b + 5a + b  ∫−1 3 3 3 3 3 3 3   = 45a + 3b = 0,3711 2

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones 40a + 2b = 3

/⋅ −3

45a + 3b = 0,3711

/⋅2

−120a − 6b = −9 90a + 6b = 0,7422

− 30a = −8,2578 /⋅ −1 8,2578 a= 30 a = 0,27526

Reemplazando en 1 se tiene

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40 ⋅ 0,27526 + 2 b = 3 − 8,0104 b= 2 b = − 4,0052

32.-

La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes

automovilísticos en chile tiene la siguiente función de densidad

 30 x 2 (1 − x) 2 si 0 < x ≤ 1  F ( x) =  0 eoc  

Calcular a. Función de densidad b. Función de distribución acumulada c. P ( x < 0,25)

Rep.: 1 1 1 2  2 2 3 x ( 1 − 2 x + x ) dx = 30 x dx − 2 x dx + x 4 dx  a. 30 ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 0 0  1

 x3 x 4 x5  2 1 2 1  30  − 2 ⋅ +  = 30  − +  = 30 ⋅ =1 4 5  60 3 4 5  3

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2 3 4 5 b. F ( x ) = 12 ∫ t (1 − t ) dt = 10 x −15 x + 6 x

3

4 5 1  1  −15   + 6   4 4  4

c. P ( x < 0,25) = F  1  = 10  1  4 

= 0,1035

33.-

La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2

llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada por:

 −5x  f (x) =  3ke x > 0  0 eoc

a. Determinar el valor de k b. Función de distribución acumulada c. P (4 < x ≤ 6)

Rep.:

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a) ∞

−x

−x

3∫ k e 5 dx = 3k ∫ e 5 dx = 3k 0

u=

0

]

u u ∫ e ⋅ −5du = −15 k ⋅ e = −15 k ⋅ e 0

−x 4

 −∞  →−15 k ⋅ e −1 =1 →−15 k =1 →k 

[

]

−x 5

du =

−1 dx 5

X

b) F ( x) =

−∞

0

x

−∞

0

−t

−x

f (t ) dt = ∫ 0 dt + 3∫ e 5 dt = 3 − 3e 5

F ( x) = 0, Para x<0

d ( F ( x)) 1 Luego = e dx 5

6

−x 5

que es lo que se esperaba

−x

1 c) P (4 < x ≤ 6) = ∫ e 5 dx = F (6) − F ( 4) 5

=

4

 −6 −4  3 − 3e 5  −  3 − 3e 5         

= 3e

−4 5

− 3e

−6 5

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

34.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X está dada por:

x  F(X ) =  2 − x 0 

0< x< 2 2≤ x< c eoc

Calcular valor de c

Rep.: c

∫ 2

c

(2 − x) dx = 2∫ dx − 2

c

∫ x dx = 2 x − 2

x2  c2 c2 ⇒ 2 c − − 4 + 2 = 1 ⇒ 2 c − = 1 + 2 ⇒ 2c −  2 2 2

8c − c 2 = 6 ⇒ c 2 − 8c + 6 = 0

Ecuación de segundo grado

8 ± 64 − 24 2

=

8 ± 40 8 ± 2 10 2( 4 ± 10 ) = = = 4 ± 10 2 2 2

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c1 = 7,162 c 2 = 0,837

156

c2 = 3 /⋅ 2 2


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

35.- Sea Ω = {1,3,5,7}

conjunto de números primos Veamos si

T ={Φ, Ω, {1}, {3,5,7}, {1,3,5}, {7}}

Compuesta por estas números. Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T

cumple con la condición

Ya que cada elemento de c) si

T tiene un complemento.

A = ∪ An , n ∈IN ( numerable) ∀AN ∈T ⇒A ∈T n =0

Ω∪Φ =Ω Ω∪Φ Ω∪{1,3,5} = Ω Ω∪{7} = Ω Φ∪{3,5,7} ={3,5,7} T es una σ a lg ebra para Ω

36.- La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

4 1 3  ( x + 2 x ) dx 0 < x < 1 f ( x) =  3 5  0 Determinar esperanza y Varianza

1

1

1

4 1 4 8 3 2 4 a) E ( X ) = ∫ x ( x + 2 x )dx = ∫ x dx + ∫ x dx 3 5 15 0 30 0

= 1 1 4 8 4 4 x 3 8 x 5  4 x 3 8x 5  4 8 28 7 2 x dx + x dx = ⋅ + + + = = = = ∫ ∫ 15 0 30 15 3 3 5  45 15  45 15 45 15

var( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

1

1

1

4 1 4 1 3 2 3 5 E ( x ) = ∫ x ( x + 2 x ) dx = ∫ x dx + 2 ∫ x dx 30 5 305 0 2

1 1 4 8 5 4 x 4 8 x 6  x 4 4 x 6  1 4 69 23 3 x dx + x dx = ⋅ + + + = = = = 15 ∫0 3 ∫0 15 4 3 6  15 9  15 9 135 45

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

=

23 49 115 − 49 66 − = = 45 225 225 225

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37.- Sea x una variable aleatoria que representa. Los días de la semana y la probabilidad de que llueva Dada la siguiente información.

x p( x)

1 0,06

2 0,12

3 0,12

4 0,12

5 0,06

6 0,06

7 0,05

a) encontrar esperanza E ( x) = 1 ⋅ 0,06 + 2 ⋅ 0,12 + 3 ⋅ 0,12 + 4 ⋅ 0,12 + 5 ⋅ 0,06 + 6 ⋅ 0,06 + 7 ⋅ 0,05

= 1,25

Var ( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

E ( x 2 ) = 1 ⋅ 0,06 + 4 ⋅ 0,12 + 9 ⋅ 0,12 + 16 ⋅ 0,12 + 25 ⋅ 0,06 + 36 ⋅ 0,06 + 49 ⋅ 0,05

=

9,65

Var ( x ) = 9,65 −1,56

= 8,09

38.- Sea x una variable aleatoria continuaron distribución

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

 1 2 4x k f (x) =  5 7 si 0 < x ≤ 2  0

a) calcular el valor de k b) Hallar P (1 ≤ X ≤ 2)

P ( X ≤ 1)

Rep.: a) 1 2 4x 4 2 4 2 x2  4 2 8 2 35 k dx = k x dx = k ⋅ = k ⋅2 ⇒ k =1⇒ k 2 = ⇒k = ∫0 5 7 ∫ 35 0 35 2  35 35 8 2

2

2

35 ≈ 2,0916 8

2

1 1 1 x2 1 4 1  1 3 3 =  − = ⋅ = b1) P (1 ≤ X ≤ 2) = ∫ x dx = ∫ x dx = 2 21 2 2 2 2 2 2 2 4 1

b3) P ( X ≤ 1) =

1 1 1 x2  1 1 1 x dx = = ⋅ = 2 ∫0 2 2  2 2 4

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

39.- Dada la siguiente función −x

1 f ( x) = ⋅ e 16 16

0≤x<∞

Determinar a)

si la función anterior es una función de Probabilidad

Rep.: −x −x ∞ 0 ∞ −x ∞  1 16 1 1 u u 16 16 16 16 ∫0 16 e dx =16 ∫0 e dx = 16 ⋅ −16 ∫0 e du = e = − e  = −e + e = 1 

]

40.- La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por:

1 2  ( 3 + x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  27  0 eoc Determinar

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

a) E ( x) b) Var ( x)

Rep.: a) E (x ) = 1  1  x4 1 1 1 1  1 3 x3 x2  1 2 2 2 ∫0 27 x ( 3 + x ) dx = 27 ∫0 x ( x + 6 x + 9) dx = 27  ∫0 x dx + 6 ∫0 x dx + 9∫ x dx = 27  4 + 6 ⋅ 3 + 9 ⋅ 2  = 27 ⋅ 1

b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

E(x 2 ) = 1

∫ 0

1 1  1  x5 1 2 1 1 2 2 1 1 4 x4 x3  2 3 2 x ( 3 + x ) dx = x ( x + 6 x + 9 ) dx = x dx + 6 x dx + 9 x dx = ⋅ + 6 ⋅ + 9 ⋅   = ∫0 ∫0  27  5 27 27 ∫0 27  ∫0 4 3

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

=

47 1 752 − 270 482 − = = 270 16 4320 1458

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

41.-

Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la

siguiente distribución.

xi

-2

-1

2

3

1 3

1 3

1 2

1 2

f ( xi )

2 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 2 ⋅ − 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ 3 3 2 2

= -

∑xi

2

-

2 1 3 9 − +1 + = 3 3 2 6

1 1 1 1 ⋅ f ( xi ) =4 ⋅ +1⋅ +4 ⋅ + 9 ⋅ 3 3 2 2

=

4 1 4 9 8 + 2 + 12 + 18 40 20 + + + = = = 3 3 2 2 6 6 3

σ 2 = ∑xi 2 f ( xi ) − µ2

=

σ =

20 81 240 − 81 59 − = = 3 36 36 36

59 59 = ≈ 1,280 36 6

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42.-

Sea un juego de cartas con un naipe ingles y una sola pinta tal que la

probabilidad de las distintas cartas es proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con esta carta un numero impar. Rep.:

Ω = {1, 3, 5, 7, 9, 11,13} y el algebra a= P (Ω) Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P (k ) = p ⋅ i

i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

p = Constante de proporcionalidad para una carta impar Luego 13

1

∑ pi = 1 ⇒ p ⋅ 91 = 1 ⇒ p = 91 i =1

P({ Que salga impar})=

P = ({1,3,5,7,9,11,13})

1 3 5 7 9 11 13 37 + + + + + + = 91 91 91 91 91 91 91 91

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43.-

Sea X

una variable aleatoria continua de función de densidad de

probabilidad:

f ( x) = c ⋅ (2 + f ( x) = 0

1 5 x ) 3

si x ∈( 0,1)

si x ∉ (0,1)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad.

Rep.:

a) Se verifica

+∞

1

−∞

0

1

∫ f ( x) dx = 1⇒ ∫ c (2 + 3 x

5

) dx = 1

 1 x6  1  37 18  c  2x + ⋅  = c  2 +  = c = 1 ⇒ c = ⋅ 3 6 37  18  18 

si x ≤ 0 0  6 x  18  x  F (x) = ∫ f (t)dt =   2x +  si 0 < x ≤ 1 −∞  37  18  1 si x ≥ 1 

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44.- La función de probabilidad de X es el numero de defectos de cada 5 metros de una malla rachel continuos de ancho uniforme es

xi

1 0,15

f ( xi )

2 0,25

3

ϑ

4 0,08

5 0,15

a) ϑ =1 − 0,15 − 0,25 − 0,15 − 0,08 = 0,37

b)

µ = ∑ xi

2

xi

= 1 ⋅ 0,15 + 2 ⋅ 0,25 + 3 ⋅ 0,37 + 4 ⋅ 0,08 + 5 ⋅ 0,15 = 0,15 + 0,50 +1,11 + 0,32 + 0,75 = 2,83

=

∑xi

2

⋅ f ( xi) = 1 ⋅ 0,15 + 4 ⋅ 0,25 + 9 ⋅ 0,37 +16 ⋅ 0,08 + 25 ⋅ 0,15

= 0,15 +1 + 3,33 +1,28 + 3,75 = 9,51

2 2 2 c) σ = ∑xi f ( xi ) − µ = 9,51 −8,0089 = 1,5011

d) P( X ≥ 3 / X ≥ 2) = P( A / B ) =

P ( A ∩ B) P( B)

=

P ( X ≥ 3) 0,6 = ≈ 0,7058 P ( X ≥ 2) 0,85

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e) P( X ≤ 4 / X ≥ 2) =

P( X ≤ 4) − P ( X < 2) 0,85 − 0,15 0,7 = ≈ 0,82 = 0,85 0,85 P ( X ≥ 2)

45.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X esta dada por:

0  2 x +1 f ( x) =   3  1

para x < − 1 para − 1 ≤ x < 1 para x ≥ 1

Determinar 1 3

a) P (−

1 3

x +1 1 1 1 1 dx = x 2 + 1 dx = < x < )= 3 3 −1 3 3 −1 3

∫(

2

3

=

)

[∫ x

2

]

dx + ∫ dx =

 1  x3  + x 3 3 

3

1  1 1 1 1  1 56 56 ⋅ + + + = ⋅ = 3  81 3 81 3  3 81 243

1  12  3 2  x +1 1 1 2  1 x −1 1 2 <x< )= ∫ dx = ∫ ( x + 1) dx =  ∫ x dx + ∫ dx  =  + x  b) P ( 4 2 3 3 −1 3 −1 3 3 −1 −1    4 4 4 4  1 2

2

1 2

= 1 1 1 1 1  8 + 96 + 1 + 48 153 1 51 17 ⋅ + + + = ⋅= ⋅ = = 3  24 2 192 4  192 192 3 192 64

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

46.-

Sea X

una variable aleatoria continua de función de densidad de

probabilidad:

f ( x) = c ⋅ (2 + 3 x 3 )

f ( x) = 0

si x ∈( 0,1)

si x ∉ (0,1)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad se que X este comprendida entre 0 y 1/2 Rep.: +∞

a) Se verifica

−∞

1

f ( x) dx = 1⇒ ∫ c ( 2 + 3 x 3 ) dx = 1 0

 x 4   11  4 c  2x + 3 ⋅  =  c = 1 ⇒ c = ⋅ 4 4 11 

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

si x ≤ 0 0  x 4  4 x  F (x) = ∫ f (t)dt =   2x + 3 ⋅  si 0 < x ≤ 1 −∞  11 4  1 si x ≥ 1  b)

1 1  12  2 2 1 4 4 x4  4  3    4  3 3 P (0 < X ≤ ) = ∫ ( 2 + 3 x )dx = 2 dx + 3 x dx = 2 x + 3 ⋅ 1+  = ∫ ∫    2 11 11 0 11  4  11  64   0 0    

4 67 67 = ⋅ = 11 64 176

47.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de mail que recibe una empresa a diario en un intervalo de 4 minutos y cuya función de probabilidad esta dado por:

P( X ) =

2e −3 ( 2) x x!

x= 0, 1, 2, 3, 4

Determinar la probabilidad para los antes mencionados valores de x Rep.:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

2 =0,100 P (0) = 2e −3 ( 2) 0 =2e −3 = 19,90

4 =0,201 P (1) = 2e −3 ( 2)1 =4e −3 = 19,90

8e −3 4 P (2) = 2e −3 ( 2) 2 = = 4e −3 = 0,201 2 19,90 16e −3 16 P (3) = 2e −3 (2) 3 = = = 0,134 6 119,4

32e −3 32 P ( 4) = 2e −3 ( 2) 4 = = = 0,067 24 477,6

−3 P (5) = 2e −3 ( 2) 5 = 64e = 64 = 0,0268 120 2388

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Grafica Funcion Cuantia 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Serie1

0

1

2

3

4

5

0,1

0,201

0,201

0,134

0,067

0,0268

x

48.-

Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la

siguiente distribución.

xi

-4

-2

1

4

f ( xi )

1 6

2 6

1 6

2 6

2 1 2 1 2 µ = ∑ xi xi = − 4 ⋅ − 2 ⋅ + 1 ⋅ + 4 ⋅ 6 6 6 6

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

= −

∑xi

2

4 4 1 8 1 − + + = 6 6 6 6 6

1 2 1 2 ⋅ f ( xi ) =16 ⋅ + 4 ⋅ +1 ⋅ +16 ⋅ 6 6 6 6

=

16 8 1 32 57 + + + = 6 6 6 6 6

Varianza

σ 2 = ∑xi 2 f ( xi ) − µ 2

=

57 1 342 −1 341 − = = ≈ 9,472 6 36 36 36

Desviación Estándar

σ =

341 ≈ 3,077 6

49.- Sea Ω = {1,2,3,4,5,6,7} el conjunto de notas posibles que resultan de un test en un colegio determinado. Cuales de los siguientes conjuntos conformado por estas notas son algebras. a) a1 = {Ω, Φ, {1,2,3}, {4,5,6,7}}

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b) a 2 = {Ω, Φ, {1,2}, {5,6,7}} c) a 3 = {Ω, {1,2}, {3,4,5,6,7}}

Rep.: a)

Es

σ − A lg ebra

ya

que

cada

elemento

de

a1

posee

su

complemento b)

No es un σ − A lg ebra ya que {1,2}c no pertenecen a a 2

c)

No lo es puesto que Ωc = Φ no pertenecen a a 3

50.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X esta dada por

2 2  3 x para 0 < x < 1  f ( x) =  3 − x para 1 ≤ x < c  0 eoc   Determinar a) el valor de c  

1 2

b) P X ≤ 

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Rep.:

c

c

c

1

1

1

a) ∫ (3 − x)dx = 3∫ dx − ∫ x dx = 3 x −

x2  c2 1 → 3 c − −3 + =1  2 2 2

6c − c 2 − 6 + 1 = 2

6 c −c 2 = 7

c 2 − 6c + 7 = 0

x=

6 ± 36 − 28 6 ± 8 6 ± 2 2 = = 2 2 2

x1 = 3 + 2 ≈ 4,414

x 2 = 3 − 2 ≈ 1,585

51.- Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

 0 para x < 0  F ( x) =  4 x 2  para x ≥ 0  2+ x

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

a) Encontrar función de Densidad de X 1 4

b) Calcular la Probabilidad P (0 ≤ X ≤ )

Rep.: a)

Como X es una variable aleatoria continúa , entonces

La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución

f ( x) =

d(

4x 2 ) 3+x = dx

d (4 x 2 ) (3 + x) (3 + x) ⋅ + 4x 2 ⋅ d 2 2 2 2 dx dx = ( 3 + x ) ⋅ 8 x + 4 x = 24 x + 8 x + 4 x = 24 x + 12 x = 12 x (2 + x ) (3 + x) 2 (3 + x) 2 (3 + x) 2 (3 + x) 2 ( 3 + x) 2

1 4

b) F ( x) = P(0 ≤ X ≤ ) =

4x 2 1 1 1 = F ( ) − F (0) = −0 = 3+x 4 13 13

52.- Verificar si la siguiente función dada por:

f (x ) =

3x 2 + 5 58

para x= 1, 2, 3

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria.

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Rep.: Al sustituir los diversos valores de x que se obtiene.

f (1) =

9 17 , f ( 2) = , 58 58

f (3) =

32 58

Se debe cumplir las siguientes condiciones f (x) ≥0

∑f (x) =1

x∈ Χ

Luego f (1) + f (2) + f (3) =

9 17 32 58 + + = =1 58 58 58 58

53.- Sea x una variable aleatoria continua con distribución

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

4 2  9 c x 0 < x≤ 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular

c

2 2 4 2 4 2 4 2 x 2  4 16 2 18 18 3 2 2 c x dx = c x dx = c ⇒c = =  = ⇒ c =1⇒ c = ∫ ∫ 90 9 0 9 2  2 18 16 16 4

54.- La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada por:

 0 x> 0  1 5 F ( X ) =  x − 4x 2 0 ≤ x < 3 6 1  x≥  1 3 1 4

1 5

Obtener P ( X < ) P ( X < )

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Rep.: a) 1 4

1 4

1 4

1 5 5 5 x2  x3  5 4 1 P( X < ) = ∫ ( x − 4 x 2 )dx = ∫ x dx − ∫ 4 x 2 dx = ⋅  − 4 ⋅  = − = = 0,0052 4 6 6 6 2 3  192 192 192 0 0 0

b)

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5 5 5 5 x2  x3  5 4 P ( X < ) = ∫ ( x − 4 x 2 ) = ∫ x dx − 4 ∫ x 2 dx = ∫ x dx − 4 ∫ x 2 dx = ⋅  − 4 ⋅  = − 5 6 6 60 6 2 3  300 375 0 0 0 0 =

1875 − 1200 = 0,006 112500

55.- Dada la siguiente tabla Calcular la esperanza, varianza, desviación Estándar. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-2

-1

1 2

1 4

4 1 2

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Rep.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f ( xi )

= −2 ⋅

1 1 1 −1 ⋅ + 4 2 4 2

2 2

1 4

= − − +

4 3 = 2 4

Var ( x) = E ( xi 2 ) − E 2 ( xi )

( ) = 4 ⋅ 12 + 1 ⋅ 14 + 16 ⋅ 12 = 42 + 14 + 162 = 414

E xi

2

( )

Var ( x) = E xi 2 − E 2 ( xi ) =

41 9 164 − 9 155 − = = ≈ 9,6875 4 16 16 16

Desviación Estándar σ = Var ( x) = 9,6875 ≈ 3,1124

56.-

Dado Ω = { 2,4,6 } .completar {{4}, {6}} para obtener un algebra.

Agregar más subconjuntos si es posible.

Rep.: entretencionx1000.cl

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

F = {Φ, {2,4,6}, {6}, {2,4}, {2}, {4,6}, {2,6}, {4}}

Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los requisitos para ser un σ − a lg ebra .

57.-

Sea X

una variable aleatoria continua de función de densidad de

probabilidad:

f ( x ) = c 2 ⋅ (1 + 3 x 3 )

f ( x) = 0

si x ∈( 0,1)

si x ∉ (0,1)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0 y 1/3 Rep.: +∞

a) Se verifica

−∞

1

f ( x) dx = 1⇒ ∫ c 2 (1 + 3 x 3 )dx = 1 0

 x4  7 4 c 2 x + 3 ⋅  = c 2 = 1 ⇒ c 2 = ⋅ ⇒ c = 4 4 7 

4 2 7 = 7 7

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

 0 si x ≤ 0  4 x  4 x  F (x) = ∫ f (t)dt =   x + 3 ⋅  si 0 < x ≤ 1 −∞  7 4   1 si x ≥ 1  1 P (0 < X ≤ ) = 3

b)

1

3

∫ 0

1 1  4 3 4 4  3 x4  4 1 3  3 3  (1 + 3x )dx = dx + 3 ∫ x dx =  x + 3 ⋅  =  + = 7 7  ∫0 4  7  3 324   7 0  

4 111 444 = ⋅ = ≈ 0,195 7 324 2268

58.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a una tienda comercial de Santiago. Dada la siguiente información.

x

0 1 0,0 0,17

p( x)

2 0,12

3 0,13

4 0,20

5 0,18

6 0,02

7 0,05

8 0,04

9 encontrar esperanza E ( x) = 0 ⋅ 0,09 + 1 ⋅ 0,17 + 2 ⋅ 0,12 + 3 ⋅ 0,13 + 4 ⋅ 0,20 + 5 ⋅ 0,18 + 6 ⋅ 0,02 + 7 ⋅ 0,05 + 8 ⋅ 0,04

= 3,29

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Var ( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

E ( x 2 ) = 0 ⋅ 0,09 + 1 ⋅ 0,17 + 4 ⋅ 0,12 + 9 ⋅ 0,13 + 16 ⋅ 0,20 + 25 ⋅ 0,18 + 36 ⋅ 0,02 + 49 ⋅ 0,05 + 64 ⋅ 0,04

= 15,25 Var ( x ) =15,25 −10,82

= 4,43 σ = var( x) = 4,43 ≈ 2,104..

Desviación Estándar

Grafica 0,25 0,2

f(x)

0,15

0,1 0,05 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

59.- Si la función de distribución de la variable aleatoria x esta dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

para x < 1 0  2x  para 1 ≤ x < 4 9 F(X ) =   1  x 2 − 1  para 4 ≤ x < 6  9 5  para x ≥ 6 1

Obtener a) P ( X ≤ 3)

3

a) P ( X ≤ 3) =

3

2x 2 2 x2 2 9 1  2 8 8 dx = x dx = ⋅ = ⋅ −  = ⋅ = ∫1 9 9 ∫1 9 2 9 2 2 9 2 9

60.- La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X esta dada por:

1 2  ( 2 + x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  43  0 eoc Determinar

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

a) E ( x) b) Var ( x)

Rep.: a)

E (x ) =

1  1  x4 1 1 1 1 1 3 x3 x2  1 2 2 2 ( ) x 2 + x dx = x ( x + 4 x + 4 ) dx = x dx + 4 x dx + 4 x dx = + 4 ⋅ + 4 ⋅  = ∫0 43 ∫0 ∫  43  4 43 ∫0 43  ∫0 3 2  43 1 43 1 = ⋅ = 43 12 12 1

b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x) E(x 2 ) = 1

∫ 0

1 1  1  x5 1 2 1 1 2 2 1  1 4 x4 x3  2 3 2 x ( 2 + x ) dx = x ( x + 4 x + 4 ) dx = x dx + 4 x dx + 4 x dx = ⋅ + 4 ⋅ + 4 ⋅   = ∫0 ∫0  43  5 43 43 ∫0 43  ∫0 4 3

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

=

152 1 21888 − 2580 19308 − = = = 0,0519 2580 144 371520 371520

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

61.-

Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la

siguiente distribución.

xi

-5

-2

-1

4

6

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

f ( xi )

2 1 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 5 ⋅ − 2 ⋅ − 1 ⋅ + 4 ⋅ + 6 ⋅ 5 5 5 5 5

5 5

= - −

∑xi

2

-

2 1 4 6 2 − + + = 5 5 5 5 5

1 1 1 1 1 ⋅ f ( xi ) = 25 ⋅ + 4 ⋅ +1 ⋅ +16 ⋅ + 36 ⋅ 5 5 5 5 5

=

25 4 1 16 36 82 + + + + = 5 5 5 5 5 5

σ 2 = ∑xi 2 f ( xi ) − µ2

=

82 4 410 − 4 406 − = = ≈ 16,24 5 25 25 26

Desviación Estándar σ = 16,24 ≈ 4,029

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

62.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos en la región de Valparaíso tiene la siguiente función de densidad

3 2 x ( 1 − x ) si 0 < x ≤ 2 2  F ( x) =  0 eoc   

Calcular a. Función de densidad b. Función de distribución acumulada c. P ( x < 0,10) Rep.: 2 2  32 3 2 2 2 3 x ( 1 − 2 x + x ) dx = x dx − 2 x dx + x dx a.   ∫0 ∫0 2 ∫0 2  ∫0 

3 x2 x 3 x 4  3  4 16 16  3 8 − 2 ⋅ + − + = ⋅ =1  = 22 3 4  2 3 4  2 12 2

Es función de densidad

3

3

3

2 2 3 4 b. F ( x ) = 2 ∫ t (1 − t ) dt = 4 x − x + 8 x 2

3

31  1  31  1  c. P ( x < 0,10) = F   =   −   +    10 

4  10 

 10 

4

8  10 

= 0,0075 − 0,001 + 0,000375

= 0,006875 entretencionx1000.cl

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

63.- La variable aleatoria X

representa el intervalo de tiempo entre 2

llegadas consecutivas a una tienda Falabella y su función de Probabilidad está dada por:

 −4x  f (x) =  2ke x > 0  0 eoc

a. Determinar el valor de k b. Función de distribución acumulada c. P (1 < x ≤ 3) Rep.: a)

2 ∫ ke

−x 4

0

dx = 2k ∫ e 0

−x 4

]

dx = 2k ∫ e u ⋅ − 4du = − 8k ⋅ e u = − 8k ⋅ e

−x 4

0

 −∞  → −8k ⋅ e −1 = 1 → 8k = 1 

[

]

k=

u =− du =

x 4

−1 dx 4

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1 8


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

X

b) F ( x ) =

0

f (t ) dt =

−∞

∫ 0 dt +

−∞

3

c) P (1 < x ≤ 3) =

1 e 4 ∫1

=

−x 4

−t

x

1 e 4 dt = 1 − e 4 ∫0

−x 4

dx = F (3) − F (1)

3 1 −  −    1 −e 4  −1 −e 4     

64.- La función de densidad de una variable continua es:

f ( x) = 3ax 2 + f ( x) = 0

1 xb si x ∈ (0,1) 2 si x ∉(0,1)

Determinar a y b sabiendo que P (−1 ≤ x ≤ 2) = 0,1025 Rep.:

1

∫ 0

2

1 (3a x 2 + bx ) dx = 3a 2

2 ∫ (3ax +

−1

1

∫ 0

1 x 2 dx + b 2

1

∫ x dx = 3a ⋅ 0

x3  1 x 2  1 1 1  + b⋅  = 3a ⋅ + b = 1 ⇒ a + b = 1 3 2 2 3 4 4

 1 x3 1 x2  3a 1 3 bx )dx = 3a ⋅ + b ⋅  = 8a + b + − b ⇒ 9a + b = 0,1025 2 3 2 2  3 4 4  = 36a + 3b = 0,41

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

4a + b = 4

/⋅ −3

36a + 3b = 0,41

−12a −3b = −12 36a +3b = 0,41

24a = −11,59 −11,59 a= 24 a = −0,4829

Reemplazando en 2 se tiene

36 ⋅ −0,4829 + 3b = 0,41 0,41 +17,3844 b= 3 b = 5,931

65.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X esta dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

0 3 x +2 f ( x) =   7  1

para x < 1 para 1 ≤ x < 3 para x ≥ 3

Determinar 3

3

3 2 2 3 a) P (1 < x < ) = x + 2 dx = 1 x 3 + 2 dx = 1 2 ∫ 7 7 ∫1 7 1

(

=

)

[∫ x

3

]

dx + 2 ∫ dx =

 1 x4  + 2 x 7 4 

1  81 1  1 129 129 ⋅  + 3 − − 2 = ⋅ = ≈ 0,2879 7  64 4 448  7 64

2 2 2  1 x4  x3 + 2 1 1 3 3 dx = ∫ x + 2 dx = ∫ x dx + 2 ∫ dx  =  + 2 x  b) P ( x ≤ 2) = ∫ 7 71 7 1  1 1  7 4 2

(

)

= 1 16 1  1 23 23 ⋅  + 4 − − 2 = ⋅ = ≈ 0,8214 7 4 4 28  7 4

66.- Si X es el número de bolas a sortearse en el LOTO Determinar el valor esperado de la variable aleatoria h( x ) = 4 x 3 +1

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Rep.:

Cada resultado posible tiene probabilidad

6

E (h( x)) = ∑(4 x 3 + 1) ⋅ x =1

1 se obtiene: 6

1 6

1 1 1 1 1 1 (4 ⋅ 13 + 1) ⋅ + (4 ⋅ 2 3 + 1) ⋅ + (4 ⋅ 33 + 1) ⋅ + ( 4 ⋅ 4 3 + 1) ⋅ + ( 4 ⋅ 5 3 + 1) ⋅ + ( 4 ⋅ 6 3 + 1) ⋅ 6 6 6 6 6 6 1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

= 5 ⋅ + 33 ⋅ + 109 ⋅ + 257 ⋅ + 501 ⋅ + 865 ⋅

=

1 6

5 33 109 257 501 865 1770 + + + + + = = 295 6 6 6 6 6 6 6

67.- Suponga que la función de distribución de la variable aleatoria X es:

 0 para x < 0  F ( x) =  5x 2  para x ≥ 0  2+ x a) Encontrar función de Densidad de X 4 3

b) Calcular la Probabilidad P(1 ≤ X ≤ )

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Rep.: a. Como X es una variable aleatoria continúa , entonces La función de densidad se encuentra al derivar la función de distribución Ahora escribo la función de otra manera para trabajarla mas fácilmente f ( x) =

(2 + x) ⋅

d(

5x 2 ) 2+x = dx

d (5 x 2 ) (2 + x) + 5x 2 ⋅ d 2 2 2 dx dx = ( 2 + x ) ⋅ 10 x + 5 x = 20 x + 10 x + 5 x = 5 x ( 4 + 3 x ) (2 + x) 2 (2 + x) 2 ( 2 + x) 2 ( 2 + x) 2

4 3

b. F ( x) = P(1 ≤ X ≤ ) =

5x 2 4 80 3 5 8 5 3 = F ( ) − F (1) = ⋅ − ⋅ = − = =1 2+x 3 9 10 3 3 3 3

68.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado jumbo de Valparaíso. Dada la siguiente información. Encontrar Esperanza, varianza, Desviación Estándar, Gráfico

x

0 1 0,0 0,12

p( x)

2 0,15

3 0,13

4 0,20

5 0,14

6 0,10

7 0,05

8 0,06

5

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156


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

a) encontrar esperanza E ( x) = 0 ⋅ 0,05 + 1 ⋅ 0,12 + 2 ⋅ 0,15 + 3 ⋅ 0,13 + 4 ⋅ 0,20 + 5 ⋅ 0,14 + 6 ⋅ 0,10 + 7 ⋅ 0,05 + 8 ⋅ 0,06

= 3,74

Var ( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

E ( x 2 ) = 0 ⋅ 0,05 + 1 ⋅ 0,12 + 4 ⋅ 0,15 + 9 ⋅ 0,13 + 16 ⋅ 0,20 + 25 ⋅ 0,14 + 36 ⋅ 0,10 + 49 ⋅ 0,05 + 64 ⋅ 0,06

= 18,48 b) Var ( x) =18,48 −13,98 = 4,5 c) Desviación Estándar σ = Var ( x) = 4,5 ≈ 2,1213

d) Grafico

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Grafica Cuantia 0,25

0,2

f(x)

0,15

0,1

0,05

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

69.-

Sea

X

una variable aleatoria continua tal que su función de

distribución es igual a: F ( X ) = −2 − e −2 x

para x > 0

Calcular: a) P ( x >1) b) P (0 < x ≤ 2) Rep.: Como F ( x ) = P ( X ≤ x ) entonces se tiene que: a) P ( x >1) =1- P ( x ≤1) = 1- F (1) = 1 − (−2 − e −2 x ) = 3 +e −2

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

b) P (0 < x ≤ 2) = P ( x ≤ 2) − P ( x < 0) = F ( 2) − F (0) = − 2 − e −4 + 2 + e −0 = 1 −e −4

70.-

Dado Ω = ( 7,8) Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un

σ − a lg ebra

F1 = {Φ ,

( 7,8) ,  7, 15  ,  15 ,8 }

F2 = {Φ ,

( 7,8) ,  22 ,8  ,  15 ,8  ,  7, 15  }

2  2 

 3  2  

2

Rep.:  15   15  F1 Es un algebra porque Ω /  7,  =  ,8  ∈ F1  2 2 

 22   15  ,8  ∪ ,8  ∉F2 F2 No es un algebra porque   3  2 

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

71.-

Dado Ω = {Carolina P, Carolina C , Matias , Guillermo }. alumnos tesistas

Ped Matemáticas computación cual de las siguientes familias de es un σ − a lg ebra

F1 = {Ω, {CarolinaP, CarolinaC}, {Matias, Guillermo}} F2 = {Φ, Ω, {Matias}, {Guillermo}, {CarolinaC , Guillermo, CarolinaC}, {Matias, CarolinaC , CarolinaP}} F3 = {Φ,{Matias, CarolinaP}, {Guillermo}, {CarolinaC}, }

Rep.: F1 No es un algebra ya que Φ ∉F1

F2

Es un algebra ya que todos los elementos tiene su complemento

F3 No un algebra ya que Ω∉ F3 , además todos los elementos no tienen su

complemento.

72.- La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

3 1 2  ( x + 3x ) dx 0 < x < 1 f ( x) =  2 5  0 Determinar esperanza y Varianza

1

a) E ( X ) = ∫ 0

1

1

3 1 3 1 3 x ( x + 3 x 2 ) dx = ∫ x 2 dx + ∫ 3 x 3 dx 2 5 205 20

= 1 1 3 9 3 3 x 3 9 x 4  x 3 9 x 4  1 9 17 2 x dx + x dx = ⋅ + + + = = = 10 ∫0 2 ∫0 10 3 2 4  10 8  10 8 80

var( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) 1

E(x 2 ) =

1

1

3 1 3 1 3 x 2 ( x + 3 x 2 )dx = ∫ x 3 dx + ⋅ 3∫ x 4 dx ∫ 20 5 205 2 0

1 1 3 9 4 3 x 4 9 x 5  3x 4 9 x 6  3 9 39 3 x dx + x dx = ⋅ + ⋅ = + + = = ∫ ∫ 10 0 20 10 4 2 5  40 10  40 10 40

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x) =

39 289 6240 − 289 5961 − = = = 0,929 40 6400 6400 6400

Desviación Estándar σ = 0,929 ≈ 0,963

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

73.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X está dada por:

0  3  3x + 4 f ( x) =   60  1

para x < 2 para 2 ≤ x < 4 para x ≥ 4

Determinar 3

a) P(2 < x < 3) = ∫ 2

=

[

]

3  3x 3 + 4 1 1 1  x4 3 3 dx = 3 x + 4 dx = 3∫ x dx + 4 ∫ dx = + 4 x 3 ∫ 60 60 2 60 60  4 

(

)

1  243  1 211 211 ⋅ + 12 − 12 − 8 = ⋅ = 60  4 240  60 4

74.-

Sea

X

una variable aleatoria continua tal que su función de

distribución es igual a: F ( X ) = −4 − e −5 x

para x > 0

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Calcular: a) P ( x >1) b) P(1 < x ≤ 3) Rep.: Como F ( x ) = P ( X ≤ x ) entonces se tiene que: a) P ( x >1) =1- P ( x ≤1) = 1- F (1) = 1 − (−4 − e −5 x ) = 5 +e −5 b) P (1 < x ≤ 3) = P ( x ≤ 3) − P ( x < 1) = F (3) − F (1) = − 4 − e −15 + 4 + e −5 = e −4 − e −8 75.-

Dado Ω = ( 4,5) Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un

σ − a lg ebra

F1 = {Φ ,

( 4,5) ,  4, 9  ,  9 ,5 }

F2 = {Φ ,

( 4,5) ,  9 ,5  ,  4 ,5  , ( 3,5) }

 2  2 

2  3 

Rep.:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

 9 9  F1 Es un algebra porque Ω /  2,  =  ,5  ∈ F1  2 2 

9  4  F2 No es un algebra porque  ,5  ∪ ,5  ∉F2 2  3 

76.- Dado Ω = {Marcelo, Juan, Diego}. cual de las siguientes familias de es un σ − a lg ebra

F1 = {Ω, {Marcelo}, { Juan, Diego}} F2 = {Φ, Ω, {Juan}, {Diego}, {Marcelo, Juan}, {Marcelo, Diego}} F3 = {Φ, {Diego}, { juan, marcelo}, {Marcelo}, {Juan, }}

Rep.: F1 No es un algebra ya que Φ ∉F1

F2

Es un algebra ya que todos los elementos tiene su complemento

F3 No un algebra ya que Ω∉ F3 , además todos los elementos no tienen su

complemento.

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

77.- Sea x una variable aleatoria continua con distribución

1 2x k f (x) =  4 8 si 0 < x ≤ 1  0

a)

calcular el valor de k

b)

Hallar P(0 ≤ X ≤ ) P( ≤ X ≤ )

1 4

1 4

1 2

Rep.: 1 2 x 1 2 1 x2  1 2 1 1 2 64 dx = k ∫ x dx = k 2 ⋅  = k ⋅ ⇒ k =1⇒ k2 = ⇒ k = 64 = 8 a) ∫ k 4 8 32 0 32 2  32 2 64 1 0 1

1

1

1

2 4 1 x 1 1 1  b1) P(0 ≤ X ≤ ) = 2 x dx = 2 x dx = 2 ⋅ = 2 ⋅ − 0 = 2 ⋅ = ∫0  32  4 ∫0 2 32 16   4

1

b2) P (

1 1 ≤X ≤ )= 4 2

2

1

4

1

2

2 x dx = 2 ∫ x dx = 2 ⋅ 1

4

x2 1 1  = 2⋅  −  2  8 32 

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= 2 ⋅ 323  = 163

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

78.- La función de densidad de una variable continua es:

f ( x ) = 4ax 2 + f ( x) = 0

1 xb si x ∈ (0,1) 3 si x ∉(0,1)

Determinar a y b sabiendo que P ( −1 ≤ x ≤ 2) = 0,1254 Rep.:

1

∫ 0

1 (4a x + bx ) dx = 4a 3 2

1

∫ 0

1 x dx + b 3 2

1

∫ x dx = 4a ⋅ 0

x3  1 x 2   + b⋅  = 3 3 2

4a ⋅

1 1 4a 1 + b =1⇒ + b =1 3 6 3 6

 1 x3 1 x2  32 4 4 1 36 3 2 ( 4 ax + bx ) dx = 4 a ⋅ + b ⋅ a+ b+ a− b⇒ a + b = 0,1254  = ∫−1 3 3 3 2  3 6 3 6 3 6  = 72a + 3b = 0,7524 2

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones 8a + b = 6

/⋅ −3

72a + 3b = 0,7524

− 24a −3b = −18 72a + 3b = 0,7524

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48a = −17,247 a=

− 17,247 48

a = − 0,359

Reemplazando en 2 se tiene

72 ⋅ −0,359 + 3b = 0,7524 0,7524 + 25,848 b= 3 b = 8,866

79.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X está dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

0 3 x +3 f ( x) =   8  1

para x < 2 para 2 ≤ x < 3 para x ≥ 3

Determinar 5

5

3 2 2 5 a) P (2 < x < ) = x + 3 dx = 1 x 3 + 3 dx = 1 ∫2 8 2 8 ∫2 8

(

=

)

[∫ x

3

]

dx + 3∫ dx =

 1  x4  + 3x 8 4 

1  625 15  1 465 465 ⋅ + − 4 − 6 = ⋅ = = 0,90 8  64 2 512  8 64

5  52  4 2  x +3 1 1   1x 7 5 dx = ∫ ( x 3 + 3) dx =  ∫ x 3 dx + 3∫ dx  =  + 3 x  b) P( < x < ) = ∫ 3 2 8 87 8 7 8 4 7 7    3 3 3 3  5 2

3

5 2

= 1  625 15 2401 21 202500 + 155520 − 153664 − 145152 59204 1 59204 ⋅ + − − = ⋅= ⋅ = = 0,3568 8  64 2 324 3 20736 20736 8 165888

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

80.- Sea Ω = {1,3,5,7,9}

conjunto de números impares menores a 10 Veamos

si T ={Φ, Ω, {1}, {3,5,7,9}, {1,3,5}, {7,9}}

Compuesta por estas números. Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T

cumple con la condición

Ya que cada elemento de c) si

T tiene un complemento.

A = ∪ An , n ∈IN ( numerable) ∀AN ∈T ⇒A ∈T n =0

Ω∪Φ =Ω Ω∪Φ Ω∪{1,3,5} = Ω Ω∪{1} = Ω Φ∪{7,9} ={7,9} T es una σ a lg ebra para Ω

81.- La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

3 1 2  ( x + 2x ) dx 0 < x < 1 f ( x) =  5 4  0 Determinar esperanza y Varianza

1

1

1

3 1 3 1 2 3 2 3 a) E ( X ) = ∫ x ( x + 2 x ) dx = ∫ x dx + ∫ 2 x dx 5 4 504 50 0

= 1 1 3 6 3 3 x 3 6 x 4  3x 3 6 x 4  1 6 7 2 x dx + x dx = ⋅ + + + = = = ∫ ∫ 20 0 50 20 3 5 4  60 20  20 20 20

var( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

1

1

1

3 1 3 1 3 3 2 2 4 E ( x ) = ∫ x ( x + 2 x ) dx = ∫ x dx + ⋅ 2 ∫ x dx 50 4 504 5 0 2

1 1 3 6 4 3 x 4 6 x 5  3x 4 6 x 6  3 6 555 111 3 x dx + x dx = ⋅ + ⋅ = + + = = = ∫ ∫ 20 0 50 20 4 5 5  80 25  80 25 2000 400

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x) =

111 49 111 − 49 62 − = = = 0,155 400 400 400 400

Desviación Estándar σ = 0,155 = 0,393

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

82.- Sea x una variable aleatoria continuaron distribución

9 2x k f (x) =  2 9 si 0 < x ≤ 1  0

a) calcular el valor de k b) Hallar P (1 ≤ X ≤ 2) P ( X ≤ 1)

Rep.: a) 9 2 x 9 2 9 2 x2  9 2 9 81 2 36 k dx = k x dx = k ⋅ = k ⋅ ⇒ k =1⇒ k 2 = ⇒k = ∫0 2 9 ∫ 18 0 18 2  18 2 36 81 1

1

36 6 = 81 9

b1) 2

2

324 324 324 x 2 324  4 1  324 3 972 x dx = x dx = ⋅ = − = ⋅ = = 0, 3 ∫  1458 1458 1 1458 2 1458  2 2  1458 2 2916 1

P (1 ≤ X ≤ 2) = ∫

b2) P( X ≤ 1) =

1 324 324 x 2  324 1 324 x dx = ⋅ = = 0,1 = ∫ 1458 0 1458 2  1458 2 2916

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

83.-

Sea X

una variable aleatoria continua de función de densidad de

probabilidad:

f ( x) =

5 2 1 c ⋅ (1 + x 2 ) 6 2

f ( x) = 0

si x ∈( 0,2 )

si x ∉ (0,2)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0y 1

Rep.: +∞

a) Se verifica

−∞

2

f ( x) dx = 1⇒ ∫ c 2 (1 + 0

1 2 x ) dx = 1 2

5 2  1 x 3  100 2 6 c x + ⋅  = c = 1⇒ c = ⋅ 6  2 3  36 10

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

 0 si x ≤ 0  3 x  3 x  F (x) = ∫ f (t)dt =   x +  si 0 < x ≤ 2 −∞  10  6   1 si x ≥ 2  1 1  3  3 1 3  1 1 x3  3  1  (1 + x 2 )dx =  ∫ dx + ∫ x 2 dx  =  x + ⋅  = 1 +  10 2 10  0 20 2 3  10  6  0  10 

1

b)

=

P(0 < X ≤ 1) = ∫ 3 7 7 ⋅ = 10 6 20

84.- La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por:

1 2  ( 3 + x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  8  0 eoc Determinar a) E ( x) b) Var ( x)

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Rep.: a) E ( x) =

1  1  x4 1 11 1 1 3 x3 x2  1  1 2 2 2 ( ) x 3 + x dx = x ( x + 6 x + 9 ) dx = x dx + 6 x dx + 9 x dx = + 4 ⋅ + 9 ⋅ +    = ⋅ ∫0 8 ∫0 ∫  8 4 8 ∫0 8  ∫0 3 2  8  4 1 67 67 = ⋅ = 8 12 96 1

b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x) E(x 2 ) = 1

∫ 0

1 1  1  x5 1 2 11 1  1 x4 x3  1 1 2 x ( 3 + x ) dx = ∫ x 2 ( x 2 + 6 x + 9) dx =  ∫ x 4 dx + ∫ 6 x 3 dx + 9 ∫ x 2 dx  =  ⋅ + 6 ⋅ +9⋅  =  8 80 8  0 4 3 8 5 0 0  85

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

=

85.-

47 4489 433152 − 359120 74032 − = = = 0,1004 80 9216 737280 737280

Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la

siguiente distribución.

xi

-3

-2

-1

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3

4

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

f ( xi )

1 5

1 5

2 1 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 3 ⋅ − 2 ⋅ − 1 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ 5 5 5 5 5

= -

∑xi

2

1 5

1 5

-

3 2 1 3 4 1 − − + + = 5 5 5 5 5 5

1 1 1 1 1 9 4 4 9 23 ⋅ f ( xi ) =9 ⋅ + 4 ⋅ +1 ⋅ + 9 ⋅ +16 ⋅ = + + + = 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4

σ 2 = ∑xi 2 f ( xi ) − µ2 =

σ=

1 5

23 1 92 −1 91 − = = 4 16 16 16

91 91 = = 2,3848 16 4

86.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos en Sudáfrica tiene la siguiente función de densidad

 9x (1 − x) 2 si 0 < x ≤ 1  F ( x) =  0 eoc  

Calcular

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

a. Función de densidad b. Función de distribución acumulada c. P( x < 0,20) Rep.: 1 1 1  2 9 ∫ x (1 − 2 x + x ) dx = 9  ∫ x dx − 2 ∫ x dx + ∫ x 3 dx  0 0 0 0  1

a.

2

x2 x3 x4  9 −2⋅ +  =9 3 4  2

1 9 1 2 1   2 − 3 + 4  = 9 ⋅ 12 = 12

No es función de densidad

9

9

2 2 3 4 b. F ( x) = 9 ∫ t (1 − t ) dt = 2 x − 6 x + 4 x 2

3

9 1  1  9 1  1  c. P( x < 0,20) = F   =   − 6   +   5 

2 5

5

4

4 5 

= 0,18 − 0,048 + 0,0036

= 0,1356

87.-

La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2

llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

 −5x  3ke x > 0 f ( x) =   0 eoc

a. Determinar el valor de k b. Función de distribución acumulada c. P (2 < x ≤ 4) Rep.: a)

3∫ ke

−x 5

0

u =−

dx = 3k ∫ e 0

−x 5

]

dx = 3k ∫ e u ⋅ − 5du = −15k ⋅ e u = −15k ⋅ e

−x 5

0

 −∞  → −15k ⋅ e −1 = 1 →15k = 1  1 k= 15

[

]

x 5

du =

−1 dx 5

X

0

x

−t

1 e 5 dt = 1 − e b) F ( x ) = ∫ f (t ) dt = ∫ 0 dt + ∫ 15 −∞ −∞ 0

−x 5

F ( x) = 0, Para x<0

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

d ( F ( x)) 1 Luego = e dx 15

4

c) P (2 < x ≤ 4) =

1 e 15 ∫2

=

88.-

Sea

X

−x 5

−x 5

que es lo que se esperaba

dx = F ( 4) − F (2)

4 2 −  −    1 −e 5  −1 −e 5     

una variable aleatoria continua tal que su función de

distribución es igual a: F ( X ) = 1 − e −2 x

para x > 0

Calcular: a) P ( x > 2) b) P (1 < x ≤ 2) Rep.: Como F ( x ) = P ( X ≤ x ) entonces se tiene que: a) P ( x > 2) =1- P ( x ≤ 2) = 1- F ( 2) = 1 − (1 − e −4 ) = e −4 b) P (1 < x ≤ 2) = P ( x ≤ 2) − P( x < 1) = F (2) − F (1) = 1 − e −4 −1 + e −2

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

= e −2 − e −4

89.- Dado Ω = (1,2 ) Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un σ − a lg ebra

F1 = {Φ ,

(1,2) ,  1, 3  ,  3 ,1}

F2 = {Φ ,

(1,2) ,  1, 3  ,  3 ,1 ,  1, 4  ,  4 ,1}

 2  2 

 2  2   3  3 

Rep.:  3 3  F1 No es un algebra porque Ω /  0,  =  ,1 ∉ F1  2 2 

 3 4  F2 No es un algebra porque 1,  ∪ ,1 ∉F2  2 3 

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

90.-

Dado Ω = {6,7,8,9}. En alguna de las siguientes familias de un

conjuntos un σ − a lg ebra F1 = {Φ, {6,7}, {8,9}}

F2 = {Φ, Ω, {6,7}, {8}, {6,7,9}, {8,9}}

F3 = {Φ, Ω, {7,8}, {9}, {6}, {6,7,8}}

Rep.: F1 No es un algebra ya que Ω ∉F1

F2 Es un algebra ya que cumple con todas las condiciones

F3 No es un algebra ya que cumple con todas las condiciones para que lo

sea.

91.- Dado Ω= { 1,4,5 } .completar {{4}, {5}} para obtener un algebra. Agregar más subconjuntos si es posible. Rep.: F = {Φ, {1,4,5}, {5}, {1,4}, {1}, {4,5}, {1,5}, {4}}

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los requisitos para ser un σ − a lg ebra .

92.- Sea X

una variable aleatoria continua de función de densidad de

probabilidad:

f ( x) = c ⋅ (1 + 2 x 2 )

f ( x) = 0

si x ∈( 0,1)

si x ∉ (0,1)

a. Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b. Probabilidad de que X este comprendida entre 0 y 1/2 Rep.: +∞

a) Se verifica

−∞

1

f ( x) dx = 1⇒ ∫ c (1 + 2 x 2 ) dx = 1 0

 x3  5 3 cx + 2⋅  = c = 1⇒ c = ⋅ 3 3 5 

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

 0 si x ≤ 0  3 x  3 x  F (x) = ∫ f (t)dt =   x + 2 ⋅  si 0 < x ≤ 1 −∞  5 3   1 si x ≥ 1  1 P (0 < X ≤ ) = 2

b)

1

2

∫ 0

3 (1 + 2 x 2 )dx = 5

1 1  2 3  2 2 dx + 2 ∫ x dx  = 5  ∫0  0  

3 x3  x + 2 ⋅  = 5 3

3 1 1  + = 5  2 12 

3 7 7 = ⋅ = = 0,35 5 12 20

93.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar a supermercado 10. Dada la siguiente información.

x

0 1 0,0 0,18

p( x)

2 0,10

3 0,15

4 0,25

5 0,15

6 0,03

7 0,03

8 0,03

8 encontrar esperanza E ( x) = 0 ⋅ 0,08 + 1 ⋅ 0,18 + 2 ⋅ 0,10 + 3 ⋅ 0,15 + 4 ⋅ 0,25 + 5 ⋅ 0,15 + 6 ⋅ 0,03 + 7 ⋅ 0,03 + 8 ⋅ 0,03

= 3,21

Var ( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

E ( x 2 ) = 0 ⋅ 0,08 + 1 ⋅ 0,18 + 4 ⋅ 0,10 + 9 ⋅ 0,15 + 16 ⋅ 0,25 + 25 ⋅ 0,12 + 36 ⋅ 0,03 + 49 ⋅ 0,03 + 64 ⋅ 0,03

= 13,4 Var ( x) =13,4 −10,3

= 3,1

Desviación Estándar σ = var( x) = 3,1 ≈1,76..

94.- Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

para x < 1 0  5x  para 1 ≤ x < 3 2 F(X ) =   1  x − 1  para 3 ≤ x < 5  8 2  para x ≥ 5 1

Obtener 4 3

a) P ( X ≤ )

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b) P ( X > 3) Rep.: 4 P( X ≤ ) = 3

4

3

∫ 1

5x 5 dx = 2 2

16  5 x2  5  9 1  16 1  5 7 35 ∫1 x dx = 2 2  = 2 ⋅  2 − 2  = 18 − 2  = 2 ⋅ 18 = 36 = 0,972      

4

3

P ( X > 3) = 5 5 5 1 1 1 1  x 2 1  25 5 9 3  14 1 7 ( x − ) dx = x dx − dx = − − + = ⋅ = = 0,875  − x = ∫3 8 ∫3 2 2 ∫3 8  2 2  2 2 2 2  2 8 8

95.- Un jugador lanza un dado. Si sale un número impar gana dicho número de pesos, pero si no sale un número par pierde esa cantidad de pesos. Calcular la esperanza, Varianza, Desviación. Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-6

-3

3

4

5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

Rep.:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

E ( Xi ) = ∑xi ⋅ f ( xi ) = − 6 ⋅ −

1 1 1 1 1 −3⋅ +3 + 4 ⋅ + 5⋅ = 5 5 5 5 5

6 3 3 4 5 3 − + + + = =0,6 ≈1 5 5 5 5 5 5

( )

E xi 2 = ∑xi 2 ⋅ f ( xi )

1 1 1 1 1 E ( xi 2 ) = 36 ⋅ + 9 ⋅ + 9 ⋅ + 16 ⋅ + 25 ⋅ 5 5 5 5 5

Var ( xi ) = E ( xi 2 ) − E 2 ( xi )

=

=

36 9 9 16 25 95 + + + + = 5 5 5 5 5 5

95 9 475 − 9 466 − = = 5 25 25 25

Desviación Estándar:

σ = Var ( x) =

466 = 25

466 = 4,317 5

96.- sea Ω = {Φ, Ω, Nigeria , Sudafrica, Ghana, Camerun}

Países representantes de

África en el mundial de fútbol. Veamos si

T = {Φ ,{Nigeria},{Sudafrica, Camerun, Ghana},{Nigeria, Sudafrica},{Camerun,Ghana}

Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra Rep.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento entretencionx1000.cl

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Se encuentran presentes c) cumple con la 3 condición Cumple con las 3 condiciones por lo tanto es σ − A lg ebra .

97.-

La función de distribución o acumulativa de una variable aleatoria dada

por:

x> 0 0  F ( X ) =  4 x − 3x 2 0 ≤ x < 1 1 x≥ 1  2 3

1 3

Obtener P ( X < ) P ( X > )

Rep.: 2

2

2

2 3 3 3 3 a) P( X < 2 ) = (4 x − 3 x 2 )dx = 4 x dx − 3 x 2 dx = 4 ⋅ x  − 3 ⋅ x  = 8 − 8 = 16   ∫0 ∫0 ∫0 3 2 3  9 27 27

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

b) 1 x2  x3  2 1 P( X > ) = ∫ (4 x − 3 x 2 ) = ∫ 4 x dx − ∫ 3 x 2 dx = 4 ∫ x dx − 3∫ x 2 dx = 4 ⋅  − 3 ⋅  = 2 − 1 − + 3 2 3 9 27 1 1 1 1 1 =

1

1

1

1

1

3

3

3

3

3

54 − 27 − 6 + 1 22 = 27 27

98.- Determine la función generatriz de momentos de la variable aleatoria x , cuya densidad de probabilidad está dada por:

 5 79 x  ε para x > 0 f ( x) =  8  0 eoc  Rep.: ∞

7

7

7

x x (t + ) 5 x 5 5 5 9 Mx(t ) = E (e tx ) = ∫ e tx ⋅ e 9 dx = ∫ e tx ⋅ e 9 dx = ∫ e dx = ⋅ 8 80 80 8 0

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1 7 t+ 9

=

5 7 8(t + ) 9

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99.- Si la densidad de probabilidad de la v aleatoria continúa está dada por:

  1 f ( x) =  ( x 3 + 6) para 1 < x < 3  32  0 Determinar

efectivamente

que f (x ) es

una

función

de

densidad

de

probabilidad. Rep.: 3 3 3  1 1 1 1  3 3 3 ⋅ ( x + 6 ) dx = ( x + 6 ) dx = ⋅ x dx + 6 dx  = ∫ ∫1 32 ∫ ∫ 32 1 32  1 1  32 3

x4  81 1  1 128 ⋅  + 6 x  = + 18 −  + 6 = ⋅ =1 4  32 4 4  4

100.- La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2 llegadas consecutivas de Tiroleso y Guacondo caballos del hípico de Santiago y su función de Probabilidad está dada por:

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 −3x  5ke x > 0 f ( x) =   0 eoc

a) Determinar el valor de k b) Función de distribución acumulada c) P (3 < x ≤ 6)

Rep.: a) ∞

5∫ ke 0

u=

−x 3

dx = 5k ∫ e 0

−x 3

]

dx = 5k ∫ e u ⋅ − 3du = −15k ⋅ e u = −15k ⋅ e 0

−x 3

 1 −∞  → −15k ⋅ e −1 = 1 →15k = 1 → k = 15 

[

]

−x 3

du =

−1 dx 3

X

0

x

−t

1 b) F ( x) = ∫ f (t ) dt = ∫ 0 dt + ∫ e 3 dt = 1 − e 30 −∞ −∞

−x 3

F ( x) = 0, Para x<0

d ( F ( x)) 1 Luego = e dx 3

−x 3

que es lo que se esperaba

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6

c) P (3 < x ≤ 6) =

1 e 3∫ 3

−x 3

dx = F (6) − F (3)

= [1 − e −2 ] − [1 − e −1 ] = 0,864 − 0,64 = 0,224

101.-

Sea

X

una variable aleatoria continua tal que su función de

distribución es igual a: F ( X ) = 1 − 2e −2 x

para x > 0

Calcular: a) P ( x > 2) b) P (2 < x ≤ 3) c) P (ln(2) < x ≤ ln(4)) Rep.: Como F ( x ) = P ( X ≤ x ) entonces se tiene que: a) P ( x >1) =1- P ( x ≤ 2) = 1- F (2) −2 x = 1 − (1 − 2e −2 x ) = 2e = 2 ⋅

1 = 0,037 e4

b) P (2 < x ≤ 3) = P ( x ≤ 3) − P( x < 2) = F (3) − F (2) entretencionx1000.cl

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= 1 − 2e −6 −1 + 2e −4 = 2e −4 − 2e −6 = 0,037 − 0,00504 = 0,0319 c) P(ln(2) < x ≤ ln(4)) = F (ln(4)) − F (ln(2)) = 2e − ln( 4 ) − 2e − ln(8)

102.-

Dado Ω = {7,8,9,10}. En alguna de las siguientes familias de un

conjuntos un σ − a lg ebra F1 = {Φ, Ω, {7,8}, {9,10}}

F2 = {Ω, {7}, {8,9,10}, {7,8}, {9,10}}

F3 = {Φ, Ω, {7,8}, {9,10}, {8,9,10}, {7}}

Rep.: F1 Es un algebra ya que cada complemento ∈F1

F2 No es un algebra ya que falla 2 condición {Ω}c = φ

F3 Es un algebra ya que cumple con todas las condiciones para que lo sea.

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103.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de personas que va a comprar al Homecenter un conjunto de materiales de construcción. Dada la siguiente información.

x

0 1 0,0 0,14

p( x)

2 0,11

3 0,16

4 0,21

5 0,12

6 0,11

7 0,06

8 0,02

7 encontrar esperanza E ( x) = 0 ⋅ 0,07 + 1 ⋅ 0,14 + 2 ⋅ 0,11 + 3 ⋅ 0,16 + 4 ⋅ 0,21 + 5 ⋅ 0,12 + 6 ⋅ 0,11 + 7 ⋅ 0,06 + 8 ⋅ 0,02

= 3,52

Var ( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

E ( x 2 ) = 0 ⋅ 0,07 + 1 ⋅ 0,14 + 4 ⋅ 0,11 + 9 ⋅ 0,16 + 16 ⋅ 0,21 + 25 ⋅ 0,12 + 36 ⋅ 0,11 + 49 ⋅ 0,06 + 64 ⋅ 0,02

= 16,56 Var ( x ) = 16,56 −12,39

= 4,17

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Funcion Cuantia 0,25 0,21 0,2 0,16 0,14

f(x)

0,15

0,12

0,11 0,1

0,11

0,07

Serie2 0,06

0,05

0,02

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

104.- Si la función de distribución de la variable aleatoria x está dada por:

0   2 x F ( X ) =  15    1

para x < 2 para 2 ≤ x < 4 para x ≥ 4

Obtener

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a) P ( X ≤ 4) Rep.: 4

P ( X ≤ 4) = ∫ 2

4 2x 2 2 x 2  2 16 4  2 12 8 dx = x dx = ⋅ −  = ⋅ = = ∫ 15 15 2 15 2  15  3 3  15 3 15

105.- La densidad de cierta característica química de algunos compuestos viene dada por la siguiente función

0  3x  f ( x) =   0,76  0

x≤ 0 0 < x ≤ 0,6 0,6 < x ≤ 1,5 x > 1,5

Calcular: 1. Los 3 primeros momentos ordinarios son E ( x ), E ( x 2 ), E ( x 3 ) 2. Esperanza matemática y Varianza 3. E (3x + 4 x 3 − 2 x 2 )

Rep.:

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1) E( x) =

0,6

1, 5

0, 6

1, 5

0

0,6

0

0,6

0, 6

1, 5

0

0,6

2 2 ∫ 3x dx + ∫ 0,76 x dx = 3 ∫ x dx + 0,76 ∫ x dx = 3 ⋅

0,6

1, 5

( ) ∫ 3x dx + ∫ 0,76 x

E x2 =

3

0

E(x

0,6

0,6

3

2

) = ∫ 3x 0

dx = 3 ∫ x 3 dx + 0,76 ∫ x 2 dx = 3 ⋅

1, 5 4

dx +

x3 x2  + 0,76 ⋅  = 0,216 + 0,855 − 0,1368 = 0,9342 3 2 

0, 6

1, 5

3 ∫ 0,76 x dx = 3 ∫ x dx + 0,76 ∫ x dx = 3 ⋅ 3

4

0, 6

0

0, 6

x4  x3  + 0 , 76 ⋅   = 0,0972 + 0,855 − 0,054 = 0,8982 4 3 x5  x4   + 0,76 ⋅  = 0,046 + 0,961 − 0,0118 = 0,9952 5  4 

2) E( x) =

0,6

1, 5

0, 6

1, 5

0

0,6

0

0, 6

2 ∫ 3x dx +

2 ∫ 0,76 x dx = 3 ∫ x dx + 0,76 ∫ x dx = 3 ⋅

x3 x2  + 0,76 ⋅  = 0,216 + 0,855 − 0,1368 = 0,9342 3 2

Var ( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) = 0,8982 − 0,8727

= 0,0255 3) E ( 3x + 4 x 3 − 2 x 2 ) = 3 ⋅ E ( x ) + 4 ⋅ E ( x 3 ) − 2 E ( x 2 ) = 3 ⋅ 0,9342 + 4 ⋅ 0,9952 − 2 ⋅ 0,8982 = 4,987

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106.- Dada la siguiente función Discreta

x

-1

- 2

3

f(x)

1 8

3 4

3 8

4 1

encontrar esperanza 1 3 3 E ( x) = 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ 1 8 4 8 1 8

6 4

9 8

=− − + +4 =

28 8

Var ( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

1 3 3 1 27 180 E ( x 2 ) = 1 ⋅ + 4 ⋅ + 9 ⋅ + 16 ⋅ 1 = + 3 + + 16 = 8 4 8 8 8 8

180 784 − 8 64

Var ( x) =

=

656 64

Desviación Estándar

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

σ = Var ( x) =

656 ≈ 3,201 8

Tercer Momento α3 ( x) =

s3 σ3

1 3 3 s 3 = ∑xi 3 ⋅ f ( xi) =1⋅ + 8 ⋅ + 27 ⋅ + 64 ⋅1 8 4 8 =

1 24 81 642 321 + + + 64 = = 8 4 8 8 4

σ 3 = ∑xi 3 f ( xi) − µ3

=

321 21952 19136 − = 4 512 512

321 321 512 164352 ⋅ = α3 ( x) = 4 = 19136 4 19136 76544 512

Cuarto Momento

α4 ( x ) =

s4 σ4

1 3 3 s 4 = ∑xi 4 ⋅ f ( xi ) =1⋅ +16 ⋅ +81 ⋅ + 256 ⋅1 8 4 8 =

1 48 243 2388 + + + 256 = 8 4 8 8

σ 4 = ∑xi 4 f ( xi ) − µ 4

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

=

2388 614656 608000 − = 8 4096 4096

2388 2388 4096 1222656 8 α3 ( x) = = ⋅ = 608000 8 608000 608000 4096

107.- Verificar si la siguiente función dada por:

f ( y) =

2 y +13 72

para y = 1,2, 3, 4

Cumple con las condiciones como función de probabilidad de una variable aleatoria. Rep.: Al sustituir los diversos valores de y que se obtiene.

f (1) =

15 72

, f ( 2) =

17 , 72

f (3) =

19 72

,

f ( 4) =

21 72

Se debe cumplir las siguientes condiciones f ( y ) ≥0

∑f ( y ) =1

x∈ Χ

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Luego f (1) + f ( 2) + f (3) + f ( 4) =

15 17 19 72 + + + =1 72 72 72 72

108.- La función de densidad de una variable continua es: f ( x) = 2ax 2 + 3b f ( x) = 0

si x ∈ (0,2) si x ∉(0,2)

Determinar a y b sabiendo que P (−1 ≤ x ≤ 1) = 0,0134 Rep.: 2

∫ 0

2

(2a x 2 + 3b) dx = 2a

3

x 3 dx + 3b

0

∫ 0

dx = 2a ⋅

x3   + 3b ⋅ x ] = 3

2a ⋅

8 16 a +6 b =1⇒ +6 b =1 3 3

  2 x3 2a 4 2 ( 2 ax + 3 b ) dx = 2 a ⋅ + 3b ⋅ x  = a + 3b + + 3b = a + 6b = 0,0134  ∫−1 3 3 3   3 = 4a + 18b = 0,0402 1

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones 16a +18b = 3 4a +18b = 0,0402 /⋅ −1

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

12a = 2,9598 a=

2,9598 12

a = 0,2466 Reemplazando en 1 se tiene 16 ⋅ 0,2466 +18 b = 3 − 0,9456 b= 18 b = − 0,0525

109.-

La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes

ocurridos en la ciudad de Valparaíso tiene la siguiente función de densidad

3 2  2 x(1 − x) si 0 < x ≤ 2  F ( x) =  0 eoc   

Calcular a. Función de densidad b. Función de distribución acumulada c. P( x < 0,20) Rep.:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

2 2  32 3 2 2 2 x ( 1 − 2 x + x ) dx = x dx − 2 x dx + x 3 dx  ∫ ∫ ∫ ∫ 20 2 0 0 0 

a.

3 x2 x 3 x 4  3  4 16 16  3 8 −2⋅ + − + = ⋅ =1  = 22 3 4  2 3 4  2 12 2

2

b. F ( x ) =

3 3 3 t (1 − t ) 2 dt = x 2 − x 3 + x 4 ∫ 20 4 8

c. P( x < 0,20) = 2

3

4

3 1  3 1 3 150 − 40 + 3 113 1  3 1  1  F  =   −   +   = − + = = ≈ 0,0226 5 4 5 5 8 5 100 125 5000 5000 5000        

110.- Si A1 ,.........., A2 son conjuntos disjuntos ( Ai ∩ AJ = Φ para i ≠ j ) Entonces n

P (∪in=1 Ai ) = ∑ P ( Ai ) i =1

Dem P (∪

n i =1

n

Ai ) = ∑ P ( Ai ) i =1

Consideramos k +1 y usando definición la condición referente a prob aditiva y por hipótesis inductiva se tiene k

k +1

i =1

i =1

P (∪ik=+11 Ai ) = P ((∪ik=1 Ai ) ∪ Ak +1 ) = P (∪ik=1 Ai ) + P ( Ak +1 ) = ∑ P ( Ai ) + P ( Ak +1 ) = ∑ P ( Ai )

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156


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

111.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X está dada por:

x  F(X ) =  3 − x 0 

0< x< 1 1≤ x < c eoc

Calcular valor de c

Rep.: 1

∫ 0

c

(3 − x ) dx = 3 ∫ dx − 1

c

∫ x dx = 3x − 1

x2  c2 1 c2 1 − 3 + = 1 ⇒ 3c − = 4 − ⇒ 3c −  ⇒ 3c − 2 2 2 2 2

6c − c 2 = 7 ⇒ c 2 − 6c + 7 = 0

Ecuación de segundo grado

6 ± 36 − 28 2

=

6 ± 8 6 ±2 2 2(3 ± 2 ) = = =3 ± 2 2 2 2

c1 = 4,4142 c 2 = 1,6

112.- La función de densidad de una variable continua es:

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c2 7 = /⋅ 2 2 2


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

f ( x) = ax 3 + 2b

si x ∈ (0,2)

f ( x) = 0

si x ∉(0,2)

Determinar a y b sabiendo que P (

−1 ≤ x ≤ 1) = 0,1357 2

Rep.:

2

2

( a x 3 + 2b) dx = a

0

2

x 3 dx + 2b

0

∫ 0

dx = a −

x4   + 2bx ] = 4

a ⋅ 4 + 4b = 1 ⇒ 4a + 4b = 1

 ax 4  a a a a 7a 3 ( ax + 2 b ) dx = + 2 bx +b= + + 3b = + 3b = 0,1357   = + 2b − ∫1 32 4 32 32  4  4 1

2

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones 4a + 4b = 1 /⋅ −7 7 a + 96b = 4,3424 / .4

−28a −28b = −7 28a +324b =17,3696

356b = 10,3696 10,3696 b= 356 b = 0,02912 Reemplazando en 1 se tiene

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

4a =1 −0,1165 0,8835 a= 4 a = 0,2208

113.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos en EEUU tiene la siguiente función de densidad

 20x(1 − x)3 si 0 < x ≤ 1  F ( x) =  0 eoc   Calcular a. Función de densidad b. Función de distribución acumulada c. P( x < 0,20)

Rep.: a)

20 1

∫ x (1 − x) 0

1

3

1

1

dx = 20∫ x (1 − x )(1 − x ) dx = 20 ∫ x (1 − x ) (1 − 2 x + x )dx = 20 ∫ ( x − x 2 )(1 − 2 x + x 2 ) dx 2

0

2

0

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0

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

1

20 ∫ ( x − 2 x 2 + x 3 − x 2 + 2 x 3 − x 4 )dx = 0

1

20 ∫ ( x − 3 x 2 + 3 x 3 − x 4 )dx =20( 0

x 2 3x 3 3x 4 x 5 1 3 1 1 − − − ) = 20( − 1 + − ) = 20 ⋅ =1 2 3 4 5 2 4 5 20

3 2 3 4 5 b) F ( x) = 20 ∫ t (1 − t ) dt = 10 x − 20 x +15 x − 4 x 2

3

4

1  1  1  1  1  c) P( x < 0,20) = F   = 10  − 20  + 15  − 4  5

5

5

5

5

5

= 0,26272

114.- La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2 llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada por:

 −3x  f (x) =  ke x > 0  0 eoc

a) Determinar el valor de k b) Función de distribución acumulada

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

c) P (3 < x ≤ 6) d) P ( x ≤ 9) Rep.: a) ∞

∫ ke

−x 3

0

u=

0,9

dx = k ∫ e

−x 3

0

]

dx = k ∫ e u ⋅ − 3du = − 3k ⋅ e u = − 3k ⋅ e 0

−x 3

 1 −∞  → −3k ⋅ e −1 = 1 → 3k = 1 → k = 3 

[

]

−x 3

du =

−1 du 3

X

0

x

−t

1 b) F ( x) = ∫ f (t ) dt = ∫ 0 dt + ∫ e 3 dt = 1 − e 30 −∞ −∞

−x 3

F ( x) = 0, Para x<0

Luego

d ( F ( x)) 1 = e dx 3

6

c) P (3 < x ≤ 6) =

1 e 3∫ 3

−x 3

−x 3

que es lo que se esperaba

dx = F (6) − F (3)

= [1 − e −2 ] − [1 − e −1 ] = 0,864 − 0,64 = 0,224 d) P ( x ≤ 9) = F (9) = [1 − e −3 ] = 0,95 La probabilidad que exceda los 9 minutos es 1- F (9) = 1 − 0,95 = 0,05

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

115.-

Sea

X

una variable aleatoria continua tal que su función de

distribución es igual a: F ( X ) = 1 − e −x

para x > 0

Calcular: a) P ( x > 2) b) P (0,5 < x ≤ 1,5) c) P (ln(2) < x ≤ ln(3)) Rep.: Como F ( x ) = P ( X ≤ x ) entonces se tiene que: a) P ( x > 2) =1- P ( x ≤ 2) = 1- F ( 2) = 1 − (1 − e −2 ) = e −2 b) P (0,5 < x ≤ 1,5) = P ( x ≤ 1,5) − P ( x ≤ 0,5) = F (1,5) − F (0,5) = 1 − e −1,5 −1 + e −0,5 = e −0,5 − e −1,5

c) P (ln(2) < x ≤ ln(3)) = F (ln(3)) − F (ln(2)) = e − ln( 2 ) − e − ln(3) =

116.-

Sea

X

1 1 1 − = 2 3 6

una variable aleatoria continua tal que su función de

distribución es igual a: entretencionx1000.cl

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

F ( X ) = −3 − e −4 x

para x > 0

Calcular: a) P ( x >1) b) P(1 < x ≤ 2) Rep.: Como F ( x ) = P ( X ≤ x ) entonces se tiene que: a) P ( x > 2) =1- P ( x ≤1) = 1- F (1) = 1 − (−3 − e −4 x ) = 4 +e −4 b) P(1 < x ≤ 2) = P ( x ≤ 2) − P( x < 1) = F ( 2) − F (1) = − 3 − e −8 + 3 + e −4 = e −4 − e −8

117.-

Dado Ω = ( 2,3) Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un

σ − a lg ebra

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F1 = {Φ ,

( 2,3) ,  2, 5  ,  5 ,3}

F2 = {Φ ,

( 2,3) ,  5 ,3 ,  4 ,3 ,  2, 5  }

 2  2 

 2   3   2

Rep.:  5 5  F1 es un algebra porque Ω /  2,  =  ,3  ∈ F1  2 2 

 5 4  F2 No es un algebra porque  2,  ∪  ,3  ∉F2  2 3 

118.- Dado Ω = { juan, pedro, luis}. cual de las siguientes familias de es un σ − a lg ebra

F1 = {Ω, { juan}, { pedro, luis}} F2 = {Φ, Ω, { pedro}, {luis}, { juan, luis}, { juan, pedro}} F3 = {Φ, {luis}, { juan, pedro}, { pedro}, { juan, luis}}

Rep.: F1 No es un algebra ya que Φ ∉F1

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

F2

Es un algebra ya que no todos los elementos tiene su complemento

F3 No un algebra ya que Ω∉ F3

119.- Dado Ω = {0,1,2}. .completar {{0}, {1}} para obtener un algebra. Agregar más subconjuntos si es posible.

Rep.: F = {Φ, {0,1,2}, {0}, {1,2}, {1}, {0,2}, {0,1}, {2}}

Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los requisitos para ser un σ − a lg ebra .

120.- La función de densidad de una variable continua es:

f ( x) = 3ax 3 + f ( x) = 0

1 xb 5

si x ∈ (0,2) si x ∉(0,2)

Determinar a y b sabiendo que P(−1 ≤ x ≤ 2) = 0,1237 Rep.:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

2

∫ 0

1 (3a x + bx ) dx = 3a 5 3

2

1 x dx + b 5

2

0

x3  1 x 2  8 2 24 a 2 ∫0 x dx = 3a ⋅ 3  + 5 b ⋅ 2  = 3 a ⋅ 3 + 5 b = 1 ⇒ 3 + 5 b = 1 2

 1 x3 1 x2  24a 2 1 3 ( 3 ax + bx ) dx = 3 a ⋅ + b ⋅ + b + a − b = 240 a +12b + 30a − 3b  = ∫−1 5 3 5 2  3 5 10  = 270a + 9b = 3,711 2

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones 120a + 6b =15

/⋅ −3

270a + 9b = 3,711

/⋅2

−360a −18b = −45 540a +18b = 7,422

180a = −37,578 a=

− 37,578 180

a = − 0,208 Reemplazando en 1 se tiene 120 ⋅ −0,208 + 6 b =15 39,96 b= 6 b = 6,66

121.-

La

variable

aleatoria

que

representa

la

proporción de accidentes automovilísticos en chile tiene la siguiente función de densidad

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

 15 2 2 x ( 2 − x ) si 0 < x ≤ 1 8  F ( x) =  0 eoc   

Calcular a. Función de densidad b. Función de distribución acumulada c. P( x < 0,20) Rep.: 15 a. 8 15 8

1 1  15  1 2 3 4 x ( 4 − 4 x + x ) dx = 4 x dx − 4 x dx + x dx   ∫0 ∫0 ∫0 8  ∫0  1

2

2

 x3 x4 x 5  15 −4⋅ + 4 ⋅ = 3 4 5  8 

15

1  15 8 4 −1 +  = ⋅ =1  3 5  8 15 

5

15

3

2 3 4 5 b. F ( x) = 8 ∫ t (2 − t ) dt = 2 x − 8 x + 8 x

3

c. P( x < 0,20) = F  1  = 5 ⋅  1  5 

=

2 5 

4 5 15  1  3 1    +   8 5  8 5 

1 3 3 500 − 75 + 3 428 107 − + = = = = 0,017 50 1000 25000 25000 25000 6250

122.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X está dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

0 2 x +2 f ( x) =   4  1

para x < 1 para 1 ≤ x < 2 para x ≥ 2

Determinar 1 3

1 2

1 2

a) P ( < x < ) = ∫

=

1 3

1 2

x +2 1 1 dx = ∫ x 2 + 2 dx = 4 41 4 2

(

)

[∫ x

2

]

dx + 2∫ dx =

 1  x3  + 2 x 4 3 

3

1 1 1 2  1 235 235 ⋅  +1 − −  = ⋅ = =0,090 4  24 81 3  4 648 2592

1 1 1 1 3  x2 +2 1 1 1  1 x dx = ∫ ( x 2 + 2 ) dx = ∫ x 2 dx + 2 ∫ dx  =  + 2 x b) P ( < x < 1) = ∫ 4 41 4 1 43 2 1 1    2 2 2 2 

= 1 1 1 21 1 7  8 + 24 − 1 − 24 ⋅ +2− − 1 = ⋅= ⋅ = 4 3 24  24 24 3 24

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

123.- Sea Ω = {2,4,6,8}

conjunto de números pares menores a 10 Veamos si

T ={Φ, Ω, {2}, {4,6,8}, {2,4}, {6,8}}

Compuesta por estas números. Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra

Rep.: a) Ω ∈ T Cumple con esta condición b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T

cumple con la condición

Ya que cada elemento de c) si

T tiene un complemento.

A = ∪ An , n ∈IN ( numerable) ∀AN ∈T ⇒A ∈T n =0

Ω∪Φ =Ω Ω∪Φ Ω∪{4,6,8} = Ω Ω∪{2} = Ω Φ∪{6,8} ={6,8} T es una σ a lg ebra para Ω

124.- La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

4 1 3  ( x + 3x ) dx 0 < x < 1 f ( x) =  5 3  0 Determinar esperanza y Varianza

1

1

1

4 1 4 1 2 4 3 4 a) E ( X ) = ∫ x ( x + 3 x )dx = ∫ x dx + ∫ 3 x dx 5 3 503 50 0

= 1 1 4 12 4 4 x 3 12 x 5  4 x 3 12 x 5  4 12 640 128 2 x dx + x dx = ⋅ + + + = = = = ∫ ∫ 15 0 5 0 15 3 5 5 45 25  45 25 1125 225

var( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

1

1

1

4 1 4 1 3 2 3 5 E ( x ) = ∫ x ( x + 3 x )dx = ∫ x dx + 3∫ x dx 50 3 503 0 2

1 1 4 12 5 4 x 4 12 x 6  x 4 2 x 6  1 2 7 3 x dx + x dx = ⋅ + ⋅ = + + = = 15 ∫0 5 ∫0 15 4 5 6  15 5  15 5 15

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

=

7 16384 23625 −16384 7241 − = = = 0,1430 15 50625 50625 50625

σ = 0,1430 = 0,378

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

125.- Sea x una variable aleatoria continuaron distribución

 9 3 9x k f (x) =  4 8 si 0 < x ≤ 3  0

a) calcular el valor de k b) Hallar P (1 ≤ X ≤ 3) P( X ≤ 2) Rep.: a) 9 3 9x 81 3 81 3 x 2  81 3 9 729 3 64 64 4 k dx = k x dx = k ⋅ = k ⋅ ⇒ k =1⇒ k3 = ⇒k =3 = ∫0 4 8 ∫ 32 0 32 2  32 2 64 729 729 9 3

3

b1) 3

P (1 ≤ X ≤ 3) = ∫ 1

b2) P( X ≤ 1) =

3

5184 5184 5184 x 2 5184  9 1  5184 10368 x dx = x dx = ⋅ = − = ⋅2 = ∫  23328 23328 1 23328 2 23384  2 2  23384 23384

1 5184 5184 x 2  5184 1 5184 162 x dx = ⋅ = = = ∫ 23328 0 23328 2  23328 2 46656 1458

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

126.-

Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de

probabilidad:

f ( x) = c ⋅ (1 + f ( x) = 0

1 3 x ) 3

si x ∈( 0,2 )

si x ∉ (0,2)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0y 1 Rep.: +∞

a) Se verifica

−∞

2

f ( x ) dx = 1⇒ ∫ c (1 + 0

1 3 x )dx = 1 3

 1 x 4  10 3 c x + ⋅  = c = 1⇒ c = ⋅ 10  3 4 3

 0 si x ≤ 0  4 x  3 x  F (x) = ∫ f (t)dt =   x +  si 0 < x ≤ 2 −∞  10  12   1 si x ≥ 2  entretencionx1000.cl

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

1 1  3  3 1 3  1 1 x4  3  1 (1 + x 3 )dx =  ∫ dx + ∫ x 3 dx  =  x + ⋅  = 1 +  10 3 10  0 30 3 4  10  12  0  10 

1

P (0 < X ≤ 1) = ∫

b)

=

3 13 13 ⋅ = 10 12 40

127.- La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por:

1 2  ( 2 + x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  16  0 eoc Determinar a) E ( x) b) Var ( x)

Rep.:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

E (x ) =

a)

1 1 1  1  x4 1 1 1  3 x3 x2  1 2 2 2 ( ) x 2 + x dx = x ( x + 4 x + 4 ) dx = x dx + 4 x dx + 4 x dx = + 4 ⋅ + 4 ⋅   = ∫0 16 ∫0 ∫  16  4 16 ∫0 16  ∫0 3 2  16 1 43 43 = ⋅ = 16 12 192 1

b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) E(x 2 ) = 1

∫ 0

1 1  1  x5 1 2 1 1 2 2 1 1 4 x4 x3  2 3 2 x ( 2 + x ) dx = x ( x + 4 x + 4 ) dx = x dx + 4 x dx + 4 x dx = ⋅ + 4 ⋅ + 4 ⋅   = ∫0 ∫0  16  5 16 16 ∫0 16  ∫0 4 3

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

=

128.-

19 1849 700416 − 221880 478536 − = = = 0,1081 120 36864 4423680 4423680

Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la

siguiente distribución.

xi f ( xi )

-3

-1

2

3

1 4

1 4

1 4

1 4

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

2 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 3 ⋅ − 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ 4 4 4 4

= -

∑xi

2

⋅ f ( xi ) =9 ⋅

3 1 2 3 1 − + + = 4 4 4 4 4

1 1 1 1 9 1 4 9 23 +1⋅ +4 ⋅ + 9 ⋅ = + + + = 4 4 4 4 4 4 4 4 4

σ 2 = ∑xi 2 f ( xi ) − µ 2 =

σ =

-

23 1 92 −1 91 − = = 4 16 16 16

91 91 = ≈ 2,3848 16 4

129.- Si la función de densidad de la variable aleatoria X está dada por:

x  F(X ) =  4 − x 0 

0< x< 1 1≤ x < c eoc

Calcular valor de c Rep.: c

∫ 1

c

(4 − x) dx = 4∫ dx − 1

c

∫ x dx = 4 x − 1

x2  c2 1 c2 7 ⇒ 4 c − − 4 + = 1 ⇒ 4 c − = 1 + ⇒ 4c −  2 2 2 2 2

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c2 9 = /⋅ 2 2 2


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

8c − c 2 = 9 ⇒ c 2 − 8c + 9 = 0

Ecuación de segundo grado

8 ± 64 − 36 2

=

8 ± 28 8 ± 2 7 2( 4 ± 7 ) = = =4 ± 7 2 2 2

c1 = 6,645 c 2 = 1,35

130.- La función de densidad de una variable continua es: f ( x ) = 3ax 3 + 4b

si x ∈ (0,3)

f ( x) = 0

si x ∉(0,3)

Determinar a y b sabiendo que P(−1 ≤ x ≤ 2) = 0,1357 Rep.: 3

∫ 0

3

(3a x + 4b) dx = 3a 3

∫x

3

3

dx + 4b

0

∫ 0

x4  dx = 3a ⋅  + 4b ⋅ x ] = 4

3a ⋅

81 243 a + 12 b = 1 ⇒ + 12 b = 1 4 4

  x4 3a 3 ( 3 ax + 4 b ) dx = 3 a ⋅ + 4b ⋅ x  = 12a + 8b − + 4b = 48a + 32b − 3a +16b  ∫−1 4 4   = 45a + 48b = 0,5428 2

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones 243a + 48b = 4 45a + 48b = 0,5428

/⋅ −1

243a + 48b = 4 − 45a − 48b = −0,5428

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

198a = 3,4572 a=

3,4572 198

a = 0,01746 Reemplazando en 1 se tiene 243 ⋅ 0,01746 + 48 b = 4 − 0,24 b= 48 b = − 0,005

131.- La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos en EEUU tiene la siguiente función de densidad

 12x(1 − x) 2 si 0 < x ≤ 1  F ( x) =  0 eoc  

Calcular a. Función de densidad b. Función de distribución acumulada c. P ( x < 0,10)

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156


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Rep.: 1

2 a. 12 ∫ x (1 − 2 x + x )dx = 12 0

x2 x3 x4  12  −2⋅ +  = 12 3 4  2

1 1 1  2 x dx − 2 x dx + x 3 dx  ∫ ∫ ∫ 0 0 0 

1 1 2 1  − +  = 12 ⋅ =1  12 2 3 4 

2 2 3 4 b. F ( x) = 12 ∫ t (1 − t ) dt = 6 x − 8 x + 3 x 2

3

1  1  1  1  c. P ( x < 0,10) = F   = 6   −8   + 3   10 

 10 

 10 

 10 

4

= 0,0523

132.- La variable aleatoria X representa el intervalo de tiempo entre 2 llegadas consecutivas a una tienda y su función de Probabilidad está dada por:

 −4x  2ke x > 0 f ( x) =   0 eoc

a) Determinar el valor de k b) Función de distribución acumulada c) P(4 < x ≤ 8) d) P ( x ≤ 4)

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Rep.: a) ∞

2 ∫ ke

−x 4

0

u=

dx = 2k ∫ e 0

−x 4

]

dx = 2k ∫ e u ⋅ − 4du = − 8k ⋅ e u = − 8k ⋅ e

−x 4

0

 1 −∞  → −8k ⋅ e −1 = 1 → 8k = 1 → k = 8 

[

]

−x 4

du =

−1 dx 4

X

b) F ( x) =

0

f (t ) dt =

−∞

∫ 0 dt +

−∞

x

−t

1 e 4 dt = 1 − e 8 ∫0

−x 4

F ( x) = 0, Para x<0

Luego

d ( F ( x)) 1 = e dx 2

8

c) P(4 < x ≤ 8) =

1 e 2 ∫4

−x 4

−x 4

que es lo que se esperaba

dx = F (8) − F (4)

= [1 − e −2 ] − [1 − e −1 ] = 0,864 − 0,64 = 0,224

d) P ( x ≤ 4) = F ( 4) = [1 − e −1 ] = 0,64

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

133.-

Sea

X

una variable aleatoria continua tal que su función de

distribución es igual a: F ( X ) = 1 − e −x

para x > 0

Calcular: a) P ( x >1) b) P (1 < x ≤ 2) c) P (ln(1) < x ≤ ln(2)) Rep.: Como F ( x ) = P ( X ≤ x ) entonces se tiene que: a) P ( x >1) =1- P ( x ≤1) = 1- F (1) = 1 − (1 − e −1 ) = e −1 b) P (1 < x ≤ 2) = P ( x ≤ 2) − P( x < 1) = F (2) − F (1) = 1 − e −2 −1 + e −1 = e −1 −e −2

c) P (ln(1) < x ≤ ln(2)) = F (ln(2)) − F (ln(1)) = e − ln(1) − e − ln( 2 ) = 1 −

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1 1 = 2 2

156


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

134.-

Dado Ω = ( 0,1) Es alguna de las siguientes familias de conjuntos un

σ − a lg ebra

F1 = {Φ ,

( 0,1) ,  0, 1  ,  1 ,1}

F2 = {Φ ,

( 0,1) ,  0, 1  ,  1 ,1 ,  0, 2  ,  2 ,1}

 2  2 

 2  2   3  3 

Rep.:  1  1  F1 No es un algebra porque Ω /  0,  =  ,1 ∉ F1  2 2 

 1 2  F2 No es un algebra porque  0,  ∪  ,1 ∉F2  2 3 

135.-

Dado Ω = {5,6,7,8}. En alguna de las siguientes familias de un

conjuntos un σ − a lg ebra F1 = {Φ, {5,7}, {6,8}}

F2 = {Φ, Ω, {5,7}, {5}, {6,7,8}, {6,8}}

F3 = {Φ, Ω, {5,7}, {5}, {6}, {6,7,8}}

Rep.: entretencionx1000.cl

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

F1 No es un algebra ya que Ω ∉F1

F2 No es un algebra ya que falla la 3 condición ya que {1} ∪{3,4} ∉F2

F3 Es un algebra ya que cumple con todas las condiciones para que lo sea.

136.-

Dado Ω = {5, 6,7} .completar {{6}, {7}} para obtener un algebra.

Agregar más subconjuntos si es posible. Rep.: F = {Φ, {5,6,7}, {7}, {5,7}, {6}, {5,6}, {6,7}, {5}}

Se conforma un total de 8 subconjuntos, los cuales cumplen con los requisitos para ser un σ − a lg ebra .

137.-

Demostrar la certeza o falsedad de la siguiente propuesta sean

f1 x , f 2 x

Dos funciones de densidad y X 1 , X 2 Constantes no negativas tales que x1 + x 2 = 1

y

entonces

h(x ) = X 1 f 1 ( x ) + X 2 f 2 ( x ) sea

una

función

de

Densidad. Rep.: h(x ) = X 1 f 1 ( x ) + X 2 f 2 ( x )

Para

0 ≤ X 1 , X 2 y f 1 ( x ) y f 2 ( x ) función

de

densidad entretencionx1000.cl

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

a) Como

X 1 , X 2 son positivos entonces X 1 f 1 ( x ) + X 2 f 2 ( x ) es mayor o

igual a cero ∞

− ∞

− ∞

b) ∫ ( X 1 f 1 ( x ) + X 2 f 2 ( x )) dx = X 1 ∫ f 1 ( x) dx

+

X2 ∫

− ∞

f 2 ( x ) dx

= X1 + X 2 =1 h( x) Es función de densidad

138.f ( −1) =

Sea x una variable Aleatoria discreta con función de densidad 1 4

f (0) =

7 4

f (1) =

1 4

Evaluar

P ( X − 1 ) ≥ 1) 3 Rep.: El recorrido de la variable es R = {−1,0,1}

P( X − 1 ) ≥ 1) = P( X − 1 ≥ 1 3 3 = P( X ≥ 1 + 1 = P ( X ≥ 1,3

o − ( X − 1 ) ≥ 1) 3 o X ≤ −1+ 1 ) 3

3 o

X ≤ −0,6) = P ( X = −1) =

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1 4

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

139.-

Sea

, Ω) y ( ΩT

( K , Tk ) son

2

espacios

topológicos

donde

TΩ = {Φ, Ω} Tk = 2 Ω , Ω) a) Determinar Tribu de Borel (B [TΩ]) asociado al espacio topológico ΩT

b) Sobre el espacio medible (Ω, B[TΩ]) defina una medida de probabilidad Rep.: a)

La tribu de Borel asociada a este espacio es

B[TΩ]) ={

Φ ,Ω } = T

b) p : B[TΩ]) →[0,1] tal que

 0 si A = Φ P( A) =   1 si A = Ω

140.- La función densidad de probabilidad de una variable aleatoria x dada por:

1 2 2  ( x + x ) dx 0 < x < 1 f ( x) =  5 3  0

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Determinar esperanza y Varianza y Desviación Estándar

1

1 5 0

2 3

2 a) E ( X ) = ∫ x ( x + x ) dx =

1

1

1 2 3 x dx + ∫ x 2 dx 5 ∫0 3 0

= 1 1 2 1 2 2 x4 1 x3  x4 x3  1 1 3 1 3 x dx + x dx = ⋅ + + = + = = = ∫ ∫ 15 0 50 15 4 5 3  30 15  30 15 30 10

var( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

1

E(x 2 ) =

1

1

1 2 1 2 x 2 ( x 2 + x )dx = ∫ x 4 dx + ∫ x 3 dx ∫ 50 3 503 0

1 1 2 1 3 2 x5 1 x 4  2x5 x 4  2 1 115 4 x dx + x dx = ⋅ + ⋅ = + = + = ∫ ∫ 15 0 50 15 5 5 4  75 20  75 20 1500

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

=

115 1 115 −15 100 − = = ≈ 0,06 1500 100 1500 1500

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

141.- Sea x una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de unas 8 horas. Dada la siguiente información.

x p( x)

1 0,21

2 0,15

3 0,11

4 0,17

5 0,20

6 0,08

7 0,05

8 0,03

Encontrar esperanza E ( x) = 1 ⋅ 0,21 + 2 ⋅ 0,15 + 3 ⋅ 0,11 + 4 ⋅ 0,17 + 5 ⋅ 0,20 + 6 ⋅ 0,08 + 7 ⋅ 0,05 + 8 ⋅ 0,03

= 3,59 Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

E ( x 2 ) = 1 ⋅ 0,21 + 4 ⋅ 0,15 + 9 ⋅ 0,11 + 16 ⋅ 0,17 + 25 ⋅ 0,20 + 36 ⋅ 0,08 + 49 ⋅ 0,05 + 64 ⋅ 0,03

= 16,77 Var ( x ) =16,77 −12,88

= 3,89

142.- Sea x una variable aleatoria continua con distribución

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

9 2x k f (x) =  2 4 si 0 < x ≤ 2  0

Calcular el valor de k Hallar P (1 ≤ X ≤ 2) P(0 ≤ X ≤ 1 ) P ( X ≤ 1 )

2

4

Rep.: a) 9 2 x 9 2 9 2 x2  9 2 4 36 2 16 16 4 2 k dx = k x dx = k ⋅ = k ⋅ ⇒ k =1⇒ k2 = ⇒k = = = ∫0 2 4 ∫ 8 0 8 2 8 2 16 36 36 6 3 2

2

2 2 1 1 1 x2 1 4 1  1 3 3 =  − = ⋅ = b1) P (1 ≤ X ≤ 2) = ∫ x dx = ∫ x dx = ⋅ 2 21 2 2 2 2 2 2 2 4 1

1

b2) P (0 ≤ X ≤ 1 ) = 2

2

1 1 x dx = ∫0 2 2

1

2

∫ x dx = 0

1 x 2  1 1  1 ⋅  =  − 0 = 2 2  2 8  16

1

1 4 1 x2  1 1 1 1 b3) P( X ≤ ) = ∫ x dx = = ⋅ =  4 2 2 2  2 32 64 0

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

143.- La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por:

1  (4 − x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  9  0 eoc Determinar a) E ( x) b) Var ( x)

Rep.: a) E ( x) = 1  1  4 x 2 x 3  1  4 1  1 10 10 1 1 1 1  1 5 2 x ( 4 − x ) dx = x ( 4 − x ) dx = 4 x dx − x dx −  = ⋅ −  = ⋅ = =  =  ∫0 9 ∫ ∫ ∫ 9 0 9  0 3  9  2 3  9 6 48 24 0  9  2 1

b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

E(x 2 ) = 1

∫ 0

1  1 1 2 11 1  1 x (4 − x) dx = ∫ x 2 (4 − x) dx = 4 ∫ x 2 dx − ∫ x 3 dx  = 9 9 0 9  0 0  9

 x 3 x 4  1  4 1  1 13 13 −  =  − = ⋅ = 4 ⋅ 4  9  3 4  9 12 108  3

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

=

13 25 7488 − 2700 4788 − = = = 0,0769 108 576 62208 62208

144.- Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución.

xi

-2

-1

1

1 2

1 2

1 2

f ( xi )

2 1 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 2 ⋅ − 1 ⋅ + 1 ⋅ + 3 ⋅ 2 2 2 2

= -

∑xi

2

⋅ f ( xi ) =4 ⋅

3 1 2

-

2 1 1 3 1 − + + = 2 2 2 2 2

1 1 1 1 +1⋅ +1 ⋅ + 9 ⋅ 2 2 2 2

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

=

4 1 1 9 4 + 1 + 1 + 9 15 + + + = = 2 2 2 2 2 2

σ 2 = ∑xi 2 f ( xi ) − µ2

=

σ =

145.-

15 1 30 −1 29 − = = = 7,25 2 4 4 4

7,25 ≈ 2,6925

Sea un dado tal que la probabilidad de las distintas caras es

proporcional al número de puntos inscritos en ellas, Hallar la probabilidad de obtener con este dado un número impar. Rep.:

Ω = {1,2,3, 4,5,6} y el algebra a= P (Ω) Cada suceso elemental es un suceso y su probabilidad es P(k ) = k ⋅ i

i = 1,2,3,4,5,6

k = Constante de proporcionalidad

Luego

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

6

1

∑ ki = 1 ⇒ k ⋅ 21 = 1 ⇒ k = 21 i =1

P({ Que salga impar})=

P = ({1,3,5})

1 3 5 9 3 + + = = 21 21 21 21 7

146.- La función de densidad de probabilidad de una variable Aleatoria X está dada por:

3 2  (1 − 3x) 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =  4  0 eoc

Determinar a) E ( x) b) Var ( x) c) desviación estándar

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Rep.: a) E ( x)

1

∫ 0

3 3 x (1 − 3 x) 2 dx = 4 4 =

1

2 ∫ x (1 − 3x) dx = 0

1 1 3 3  2 x 1 − 6 x + 9 x dx =  x dx − 6 4 ∫0 4 ∫0

(

)

1  2 3 x dx + 9 ∫0 ∫0 x dx  1

3  x2 x3 x4  3 1 9 3 3 9 − 6 ⋅ + 9 ⋅ −2+ = ⋅ =  =  4 2 3 4  4 2 4  4 4 16

b) Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x )

1

E(x 2 ) =

3 2 3 2 ∫0 4 x (1 − 3 x) dx = 4

1

2 2 ∫ x (1 − 3x) dx = 0

1

(

)

3 x 2 1 − 6 x + 9 x 2 dx ∫ 40

1 1 1  3  x3 3 2 x4 x 5  3 1 6 9  3 38 114 3 4 = − 6 ⋅ + 9 ⋅ − + = ⋅ = x dx − 6 x dx + 9 x dx   4 3 = ∫0 ∫0 4 5  4 3 4 5  4 60 240 4 ∫0  

Var ( x) = E ( x 2 ) − E 2 ( x)

= c)

114 81 29184 −19440 9744 − = = = 0,158 240 256 61440 61440

Desviación estándar

Var ( x ) ≈ 0,398

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

147.- La función de probabilidad de X de defectos de cada 5 metros de la pavimentación de una calle con ancho uniforme es

xi

1 0,21

f ( xi )

2 0,18

3 ϑ

4 0,09

5 0,22

a) ϑ =1 − 0,21 − 0,18 − 0,09 − 0,22 = 0,3

b)

µ = ∑ xi

2

xi

= 1 ⋅ 0,21 + 2 ⋅ 0,18 + 3 ⋅ 0,3 + 4 ⋅ 0,09 + 5 ⋅ 0,22 = 0,21 + 0,36 + 0,9 + 0,36 +1,1 = 2,93

=

∑xi

2

⋅ f ( xi) = 1 ⋅ 0,21 + 4 ⋅ 0,18 + 9 ⋅ 0,3 +16 ⋅ 0,09 + 25 ⋅ 0,22

= 0,21 + 0,72 + 2,7 +1,44 + 5,5 =10,57

2 2 2 c) σ = ∑xi f ( xi ) − µ

= 10,57 −8,58 = 1,99

d) P ( X ≥ 3 / X ≥ 2) = P( A / B ) =

P ( A ∩ B) P( B)

=

P ( X ≥ 3) 0,61 = ≈ 0,772 P ( X ≥ 2) 0,79

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

148.- Sea x una variable aleatoria continuaron distribución

 3 2 3x k f (x) =  2 4 si 0 < x ≤ 3  0

a) calcular el valor de k b) Hallar P (1 ≤ X ≤ 2) P ( X ≤ 1) Rep.: 3 2 3x 9 2 9 2 x2  9 2 9 81 16 16 4 k dx = k x dx = k ⋅  = k ⋅ ⇒ k 2 =1⇒ k2 = ⇒k = = ∫0 2 4 ∫ 8 0 8 2 8 2 16 81 81 9 3

a)

3

2 2 2 2 2 x2 2 4 1  2 3 1 =  − = ⋅ = b1) P (1 ≤ X ≤ 2) = ∫ x dx = ∫ x dx = ⋅ 9 91 9 2 9 2 2 9 2 3 1

b3) P( X ≤ 1) = 149.-

1 2 2 x2  2 1 1 x dx = = ⋅ = 9 ∫0 9 2  9 2 9

Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de

probabilidad:

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

f ( x) = c ⋅ (1 +

1 2 x ) 4

f ( x) = 0

si x ∈( 0,2 )

si x ∉ (0,2)

a) Hallar la constante c y la función de distribución de probabilidad. b) Probabilidad de que X este comprendida entre 0y 1 Rep.: +∞

a) Se verifica

−∞

2

f ( x) dx = 1⇒ ∫ c (1 + 0

1 2 x ) dx = 1 4

 1 x3  8 3 c x + ⋅  = c = 1⇒ c = ⋅ 8  4 3 3

 0 si x ≤ 0  3 x  3 x  F (x) = ∫ f (t)dt =   x +  si 0 < x ≤ 2 −∞  8  12   1 si x ≥ 2  b)

=

1 1 1  3 3 1 3 1 1 x3  3  1 P(0 < X ≤ 1) = ∫ (1 + x 2 )dx =  ∫ dx + ∫ x 2 dx  =  x + ⋅  = 1 +  8 4 8 0 40 4 3  8  12  0  8

3 13 13 ⋅ = 8 12 32

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

150.-

Hallar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la

siguiente distribución.

xi

-2

-1

4

1 3

1 3

1 3

f ( xi )

2 1 1 1 µ = ∑ xi xi = − 2 ⋅ − 1 ⋅ + 4 ⋅ 3 3 3

= -

∑xi

2

-

2 1 4 1 − + = 3 3 3 3

1 1 1 ⋅ f ( xi ) =4 ⋅ +1⋅ +16 ⋅ 3 3 3

=

4 1 16 21 + + = =7 3 3 3 3

σ 2 = ∑xi 2 f ( xi ) − µ 2

= 7−

1 63 −1 62 = = 9 9 9

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

151.-

sea

σ − A lg ebra T ⊆2 Ω

siguientes opciones

y ( Ω,T ) un espacio medible. Cuál de las

corresponden a una condición para ser espacio de

probabilidad. a) 0 ≤ P( A) ≤ 2 b) P (Ω) =1 ∞

∞ c) P (∩i =1 An) = P ( An) n =0

d) Todas las Anteriores

152.- sea Ω = {monomio, binomio, trinomio, polinomio} clasificación de expresiones algebraicas según su número de términos Veamos

si

T = {Ω , Φ ,{ polinomio},{monomio, binomio, trinomio},{binomio,trinomio},{monomio, polinomio} Cumple con las condiciones para ser σ − A lg ebra Rep.: a) Ω ∈ T

Cumple con esta condición

b) si A ∈ T ⇒ A C ∈ T cumple con esta condición Ya que el complemento de cada elemento

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

se encuentran presentes Por lo tanto es σ − A lg ebra . c) A = ∪∞ n =0 An, n ∈IN , ∀An ∈T Cumple con las 3 condiciones por lo tanto es un σ − A lg ebra .

153.- Sea x una variable aleatoria continua con distribución

3 2 3  2 c x 0 < x≤ 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular

c

2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 x4  3 1 2 2 2 c x dx = c ∫ x dx = c  = 4 ⇒ ⋅ 4c = 1 ⇒ 6c = 1 ⇒ c = ⇒ c = ∫ 20 2 0 2 4 2 6

1 6

154.- Dada la siguiente función x

1 f ( x ) = ⋅ e 16 16

0≤x<∞

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

Determinar si la función anterior es una función de Probabilidad Rep.: x x x ∞ 0 ∞ ∞  1 16 1 1 u u 16 16 16 16 e dx = e dx = ⋅ 16 e du = e = e = e + e =1  ∫0 16 ∫0 16 ∫ 16 0 

]

155.-

Dada la siguiente tabla

Calcular la esperanza, Varianza, Desviación Estándar Los resultados posibles del juego con sus respectivas probabilidades es el siguiente: xi f(xi)

-3

-2

1

3

1 5

1 5

1 5

1 5

5 1 5

Rep.: E ( Xi ) =

∑xi ⋅ f ( xi ) 1 5

= −3⋅ − 2⋅

1 1 1 1 +1 +3 ⋅ + 5 ⋅ 5 5 5 5

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

3 5

2 5

1 5

3 5

= − − + + +

5 3 = 5 5

2

Var ( x) = E ( xi ) − E 2 ( xi ) 2 E ( xi ) = ∑ xi ⋅ f ( xi )

2

1 5

1 5

1 5

1 5

= 9 ⋅ + 4 ⋅ + 1 ⋅ + 9 ⋅ + 25 ⋅ =

1 5

9 4 1 9 25 48 + + + + = 5 5 5 5 5 5

2

Var ( x) = E ( xi ) − E 2 ( xi ) =

48 9 240 − 9 231 − = = 5 25 25 25

Desviación estándar

Var ( x) =

231 = 25

231 ≈ 3,039 5

156.- Sea x una variable aleatoria continua con distribución

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Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

 36 2  8 k x 0 < x≤ 2  f ( x) =  0 eoc    Calcular k

36 2 36 2 36 2 x 2  36 4 2 144 2 16 16 1 k x dx = k x dx = k ⋅ = ⋅ k =1→ k =1 k2 = →k = = ∫ ∫ 8 0 8 8 2 8 2 16 144 144 3 0 2

2

157.- Si la función de distribución de la variable aleatoria X está dada por:

0  2 x +2 f ( x) =   4  1

para x < − 2 para − 2 ≤ x < 2 para x ≥ 2

Determinar 4

4

2 3 3 4 a) P(1 < x < ) = x + 2 dx = 1 x 2 + 2 dx = 1 3 ∫ 4 4 ∫1 4 1

(

)

[∫ x

2

]

dx + 2 ∫ dx =

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 1  x3  + 2 x 4 3 

156


Teoría de probabilidad y variable aleatoria Nivel proyección

=

1  64 8 1 91  1 91 ⋅  + − − 2 = ⋅ = 4  81 3 3  4 81 324

6

6

6

6

3 5 5  x2 +2 15 1 5 6  1 x dx = ∫ ( x 2 + 2 ) dx = ∫ x 2 dx + 2 ∫ dx  =  + 2 x b) P (1 < x < ) = ∫ 4 41 4 1 43 5  1 1  

= 1  216 12 1 241 1 241  216 + 900 − 125 − 750 ⋅ + − − 2 = ⋅= ⋅ = ≈ 0,1606 4  375 5 3 375 375 4 1500 

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Nivel de Proyeccion