Page 1

MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

1

TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK Transformazio geometrikoen bidez, aurretik dugun figura bat eralda dezakegu eta berri bat sortu. Beraz, operazio horietan, jatorrizko eta eraldatutako elementuak izaten ditugu. TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOEN ERABILERA Batzuetan arazo geometriko bat askatzeko oso operazio luze eta konplexuak egin behar dira. Horrelakoetan eta ezer baino lehenago, datuak transforma daitezke modu errazagoan agertzeko. Gero, ebazteko behar diren pausoak ematen dira , eta, azkenik, emaitza berriro eraldatzen da. Ondorioz, hasieran genuen problemaren emaitza izango dugu, baina modu errazago batean askatuta. Adibidez: praketako poltsikoan zulo bat egin zaigu eta konpondu nahi dugu. Prakei buelta emango diegu (transformazioa), gero josi egingo dugu poltsikoa (arazoa ebatzi) eta berriro ere buelta emango diegu prakei (alderantzizko transformazioa). Azkenean, prakak konponduta dauzkagu.

SAILKAPENA 1. Transformazio isometrikoak: jatorrizko neurriak eta angeluak ez dira aldatzen. Horiei, batzuetan, mugimendu izena ematen zaie. Adibidez: simetriak, traslazioa, biraketa. 2. Transformazio isomorfiko edo konformeak: bakarrik mantentzen da forma, hau da, angeluak ez dira aldatzen baina neurriak bai. Adibidez: homotezia. 3. Transformazio anamorfikoak: horietan forma aldatu egiten da. Adibidez: inbertsioa, homologia eta afinitatea. TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOEN ELEMENTUAK 

Elementu bereizgarriak Transformazio baten elementu bereizgarriek eraldaketa definitzen dute, hau da, finkatzen dute jatorrizko figura aldatzeko zein pauso eman behar diren.  Elementu bikoitzak Irudi bat eraldatu eta gero bere horretan mantentzen bada, orduan esaten da bikoitza dela.  Transformazioen produktua Transformazio batzuk elkarren segidan egiten direnean, esaten da azken figura transformazio horien produktua dela. Produktua ez da konmutatiboa. Hau da, ez da berdin lehendabizi traslazioa (A1) eta gero simetria (A2) egitea, edo lehendabizi simetria (B1) eta gero traslazioa (B2).

A1

Bigarren produktoaren emaitza

B2 Jatorrizko irudia

O

B1

A2

Lehenengo produktoaren emaitza


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

2

TRANSFORMAZIO ISOMETRIKOAK. MUGIMENDUAK PLANOAN Mugimenduak traslazioz, biraketaz edota simetriaz egiten diren kokapen aldaketak dira. Aurrerago esan dugun moduan, jatorrizko neurriak eta angeluak ez dira aldatzen.

Traslazioa,

norabide baten gainean egiten den mugimendu zuzena da. Elementu bereizgarria v bektorea da. Adierazteko modua: T(v)

Biraketa,

errotazio baten ondorengo mugimendua da. Zentroa eta angelua dira biraketaren elementu bereizgarriak. Adierazteko modua: B(O,F)

Simetria bi motatakoa izan daiteke: zentrala eta axiala. Simetria zentrala, 180ยบ-ko biraketa edo k = -1 konstantea duen homotezia baten antzeko operazioa da. Simetria zentroa zehaztuta egon behar da. Adierazteko modua: S(O) Simetria axialak eraldatzen du imajina ispilu baten antzera. Simetria ardatza ezaguna behar da izan. Adierazteko modua: S (e)


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

3

ARIKETAK 1- A´ A puntuaren simetrikoa da simetria zentral batean. Aurkitu simetria zentroa eta marraztu ABCDEF irudiaren simetrikoa.

B A C

E A´ F D

2- Birkokatu traslazioz ABCDEF irudia, d bektorearen arabera.

d B A C

E

F D


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

4

3- AB segmentua biraketa baten bidez A´B´bilakatzen da. Biraketaren zentroa O izanik eta angelua 225º, biratu ABCDEF irudia.

D

C

E A

O B

F

4- Marraztu berriro ABCDEFG irudia, baina A´B´ segmentuak agintzen duen moduan. G

A

F

E B D C

5- Marraztu irudi honen “e” ardatzarekiko simetrikoa. (Simetria axiala)

e

6- r eta s zuzenak eta MN segmentua ezagututa, ondokoa eskatzen da: muturrak r eta s-ren gainean dituen norabide eta luzera bereko beste segmentu bat marraztea. s

r

N M


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

5 7- AB segmentua, biraketa batez, A´B´ izatera pasa da. Kalkula ezazu biraketa horren zentroa eta angelua, eta amai ezazu poligonoaren biraketa horren arabera. D E C A´ A

F

B B´

TRANSFORMAZIO ISOMORFIKO EDO KONFORMEAK HOMOTEZIA Irudi homotetikoen angeluak berdinak dira, eta aldeak proportzionalak. Edozein transformazio definitzeko elementu bereizgarriak behar dira, eta homotezian ondoko hauek dira: k homotezi arrazoia edo konstantea, eta O homotezi zentroa. OA´ L´ Homotezi konstantea horrela definitzen da: k   OA L

L O A

Ohartu zaitez O zentroa eta A eta A´ homotetikoak beti daudela lerrokatuta. Konstantearen arabera, hainbat kasu aurki daitezke:  1 < k Kasu honetan, bigarren irudia jatorrizkoa baino handiagoa da. A´ A

O

L´/ L = k


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

6 

k =1 Irudi biak gainjarrita daude. Horrek esan nahi du puntu eta irudi guztiak elementu bikoitzak direla. A´ A

O

0 < k <1 Orduan, bigarren irudia jatorrizkoa baino txikiagoa da. A A´

O

k < 0 Kasu honetan OA´-k eta OA-k izango dute direkzio bera baino kontrako norabideak (batek positiboa eta besteak negatiboa), hau da, A eta A´ , O zentroaren alde desberdinetan egongo dira.

O

A

k = -1 Kasu berezi honetan bi aukera dauzkagu. Batetik pentsa dezakegu O zentroa duen simetria zentral bat dugula, edo bestetik 180º-ko biraketa baten aurrean gaudela.

O A

Ohar bat: O zentroa egon daiteke jatorrizko irudiaren barruan, gainean edo kanpoan. Esan daiteke, beraz, eskala ezberdinetan marraztuta dauden irudiak homotetikoak edo antzekoak ere badirela.


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

7 AZALEREN ETA BOLUMENEN ARTEKO ERLAZIOA Azter dezagun orain antzeko irudien azaleren arteko erlazioa:

Aldeak

L

L´/ L = k

Azalerak

A = LxL

A´= L´x L´

A´/ A = L´x L´/ L x L = k

 Hau da, aldeen arteko erlazioa k bada, orduan azaleren arteko erlazioa k 2 izango da. Modu berean, bolumenen arteko erlazioa k 3 izango da.

ARIKETAK 8.- Ondoko irudia izanik, marraztu antzekoa k = 3 izan behar dela kontutan izanik.

9.- Marraztu aurreko irudiaren homotetikoa marraztu k = 3/2 bada.

10.- Marraztu lehenengo adibidearen antzekoa k = 5 izanik.


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

8 11.- Irudi bi hauek antzekoak dira. Zein da antzekotasun konstantearen balorea?

12.- Marraz ezazu azalera lau aldiz handiago duen antzeko irudia:

13.- Marraztu azalera 3 aldiz handiago duen antzeko irudia:

14.- Marraztu azalera erdia duen antzeko triangelua.


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

9 15.- Kokatu bi zirkunferentzi hauen homotezi zentroa eta kalkulatu homotezi arrazoia.

O´ O

16.- Eta hauetan?

O O´

17.- Eta beste hauetan?

O´ O


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

10 18.- Marraztu 60mm-ko altuera duen pentagono erregular bat.

19.- Triangelu baten aldeak 4, 5 eta 6 zenbakiekiko proportzionalak dira, eta bere zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa 50 mm-koa da. Marraztu triangelua.

20.- Marraztu ABCDE pentagonoaren homotetikoa. O (homotezi zentroa) eta k = 2/5

D C O

E

A

B


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

11

21.- Marraztu ABCDE pentagonoaren homotetikoa. O (homotezi zentroa) eta k =-3/2

D C E

O

A

B

22.- O zentrodun zirkunferentzia izanda, marraztu behar dituzu irudi homotetiko bi; a.- C1 (homotezi zentroa) eta k =2 b.- C2 (homotezi zentroa) eta k =-2

C2 O C1

22.- Inskriba ezazu OPQ triangeluan azalera handieneko karratua.

P

O

Q


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

12 TRANSFORMAZIO ANAMORFIKOAK

INBERTSIOA O puntu finkoa eta k konstantea izanik, esaten da A´ puntua A-ren inbertsoa dela O, A eta A´ lerrokatuta daudenean eta ondoko erlazioa betetzen denean: OA . OA´ = k Horrelakoetan, O puntuari deitzen zaio inbertsio-zentroa edo inbertsio-poloa, eta k konstanteari inbertsio-potentzia.  k > 0 denean, inbertsioa positiboa da, eta A eta A´ O-ren alde berean daude.

O

A

k>0 

k < 0 denean, inbertsioa negatiboa da, eta A O-ren alde batera dago eta A´ bestera.

A

O

k<0 A´ A-ren inbertsoa bada, orduan A A´-rena da, biderkaketa konmutatiboa baita. Hau da: OA . OA´= OA´. OA Inbertsioaren elementuak:  Elementu bereizgarriak: O poloa (edo zentroa) eta k potentzia.  Elementu bikoitzak: * k > 0 denean, O inguruan eta k distantziara dauden puntu guztiak bikoitzak dira, bakoitza bere inbertsoa da eta. Puntu bikoitzeko zirkunferentzia osatzen dute (hemendik aurrera pbz izenez ezagutuko duguna). * k < 0 denean, zirkunferentzia bikoitza da, baina puntuak ez. Izan ere, puntu bakoitzaren inbertsoa dago diametroaren beste muturrean. * O puntutik pasa diren zuzen guztiak ere bikoitzak dira, nahiz eta puntu bakoitza ez izan.

ZELAN KOKATU GRAFIKOKI PUNTU BATEN INBERTSOA 1 Lehenengo eta behin, pbz marraztu behar da, hau da, zentroa O puntuan eta erradioa duen zirkunferentzia. 2 Puntua zirkunferentziaren gainean badago eta k > 0 bada, inbertsoa berbera da. Aldiz k > 0 bada, orduan inbertsoa diametroaren beste muturrean dago.

k


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

13 pbz

pbz

A = A´

O

k<0

A

O

k<0

3 Puntua zirkunferentziatik kanpo badago, lehendabizi P puntuaren polarra marraztuko dugu (gogoratu hori egiteko marraztu behar ditugula P-tik pasa diren zuzen ukitzaileak, eta gero U1 eta U2 ukiguneak lotu). P-ren inbertsoa ,P´, dago OP eta polarraren arteko intersekzioan. pbz

U1

O

P

U2

P eta P´ inbertsoak direla esan dugu, eta ondoko lerrotan frogatuko dugu. Goiko irudia arretaz aztertu ondoren, hurrengo ondorioak aterako ditugu: OP´ OU1 cos a = = , beraz OU1 OP OP´. OP = OU1 .OU1= k  k , orduan OP´. OP = k eta horrek esan nahi du P eta P´ inbertsoak direla.

4 P zirkunferentziaren barruan badago, orduan alderantzizko ordenan egin beharko genuke aurrean azaldutakoa. Ikus dezakegu kanpoko puntu baten inbertsoa zirkunferentziaren barruan aurkituko dugula beti, eta barrukoaren inbertsoa, kanpoan. Era berean, puntu bat pbz-tik gertu dagoenean, bere inbertsoa ere gertu dago. Ez hori bakarrik, puntua pbz-ren zentroaren ondoan dagoenean, bere inbertsoa kilometro batzuk haratago joaten zaigu; eta puntua zentroan bertan dagoenean, orduan inbertsoak infinitora ihes egiten du.

KASU BEREZIAK Hurrengo lerrotan, kasu berezi batzuk aztertuko ditugu:  Pbz-ren zentrotik pasa den zuzena  Pbz-ren zentrotik pasa ez den zuzena  Pbz-ren zentrotik pasa den zirkunferentzia  Pbz-ren zentrotik pasa ez den zirkunferentzia


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

14

1.- Pbz-ren zentrotik pasa den zuzena. Zuzenaren alderantzizko irudia zuzena bera da; beraz, r bikoitza da. Bakarrik pbz-ren gainean dauden puntu biak dira bikoitzak. Beste guztiak, aldiz, ez dira. pbz

O

B = B´

( Gogoratu pbz-ren erradioa

k

A = A´

r = r´

dela)

2.- Pbz-ren zentrotik pasa ez den zuzena. Zuzen honen inbertsoa da O-tik pasa den zirkunferentzia. Bere kokapena zehazteko, P puntuaren inbertsoa aurkitu behar dugu. P´inbertso horrek eta O-k mugatzen dute zirkunferentziaren diametroa. r

pbz

P

O

3.- Pbz-ren zentrotik pasa den zirkunferentzia. Zirkunferentzia horren inbertsoa da O-tik pasa ez den zuzen bat. pbz

O

P

4.- Pbz-ren zentrotik pasa ez den zirkunferentzia. Honen irudi inbertsoa da O-tik pasa ez den beste zirkunferentzia bat.

pbz

O

pbz

O

pbz

O


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

15

ARIKETAK 23.- Jakinda A´ A-ren inbertsoa dela eta O inbertsio-zentroa aurki itzazu ondokoak: a.- Inbertsio-konstantea. b.- Puntu bikoitzeko zirkunferentzia (pbz). c.- C eta D puntuen inbertsoak. d.- s zuzenaren inbertsoa. e.- F zentrodun zirkunferentziaren inbertsoa. f.- A zentrodun zirkunferentziaren inbertsoa.

s

C F A

O

D

24.- Jakinda O inbertsio-zentroa dela eta kostantea k = 9 cm x cm marraztu triangeluaren irudi inbertsoa.

A O

C

B


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

16

25.- Marraztu AB-ren inbertsoa, jakinda O inbertsioaren zentroa dela, eta A puntu bikoitza.

A O

C

B

26.- Marraztu AB-ren inbertsoa, jakinda O inbertsioaren zentroa dela, eta A puntu bikoitza.

O

A

B

27.- O inbertsio-zentroa da, eta konstantea k = -9 cm x cm. Marraztu triangeluaren inbertsoa.

O


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

17 28.- O inbertsio-zentroa da, eta konstantea k = -4 cm x cm. Marraztu triangeluaren inbertsoa.

O N

M

P

29.- Aurkitu emandako zirkunferentzierdiaren inbertsoa, jakinda A inbertsio-zentroa dela eta B eta C elementu bikoitzak.

B

A

C

30.- Marraztu behar duzu emandako zirkunferentziaren inbertsoa, jakinda A´ puntua A-ren inbertsoa dela, eta B´ puntua B-rena.

B B´ A´ A


MARRAZKETA TEKNIKOA - TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

18

31.- Marraztu emandako figuraren inbertsoa. O puntua poloa da, eta A eta A´ inbertsoak.

O A A´

32.- Marraztu emandako figuraren inbertsoa. O puntua poloa da, eta A eta A´ inbertsoak.

O A´

A

TRANSFORMAZIO GEOMETRIKOAK  

Marrazketa teknikoa. 2 Batx. Transformazio geometrikoak. Teoria eta ariketak

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you