Page 1

MARRAZKETA TEKNIKOA - POTENTZIA

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

1

POTENTZIA POTENTZIA

P

O

P puntuak eta zirkunferentziak loturarik ez dutela iruditu arren, elkarren artean nolabaiteko harremana ezarri daitekela ikusiko dugu.

A2 A1 P

B2 O

B1 C1

C2 P puntutik pasa diren zuzen ebakitzaileak marraztuz gero, PA1, PA2, PB1, PB2... segmentuak sortzen dira. Segmentu hauek biderkatzen baditugu, ohartuko gara emaitza beti berdina ematen digula, hau da, konstantea dela. Ppotentzia = PA1 . PA2 = PB1 . PB2 = k Konstante horri potentzia izena ematen zaio.

A2 A1 P

O B1 B2

Goazen orain arte esandakoa frogatzera. Bi zuzen ebakitzaile marrazten baditugu, A1, A2, B1, B2 puntuak sortuko dira intersekzioetan. B1 A2 eta A1 B2 puntuak lotu eta gero, PA1B2 eta PA2B1 triangeluak izango ditugu. Kontura zaitez biak angelu berdinez osaturik daudela eta, ondorioz, euren aldeak proportzionalak direla. Orduan,


MARRAZKETA TEKNIKOA - POTENTZIA

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

2

PA2 PB1  PB2 PA1 Beraz,

PA1 . PA2 = PB1 . PB2 = k

POTENTZIAREN ESANAHIA Marraztutako zuzena, ebakitzailea izan beharrean, zirkunferentziaren zentrotik pasa bada,

P

A1

O

r A2

Ppotentzia = PA1 . PA2 = ( PO – r )(PO + r) = PO2 – r2 Gauzak horrela,  P zirkunferentziatik kanpo dagoenean PO > r, eta potentzia positiboa da.  P zirkunferentzian bertan dagoenean PO = r, eta potentzia ulua da.  P zirkunferentziaren barrualdean dagoenean PO < r, eta potentzia negatiboa da.

POTENTZIA KALKULATZEKO BESTE ERA BAT Hasieran marrazten genuen zuzen ebakitzailea, ukitzailea bada, orduan A1 eta A2 puntuek bat egiten dute leku berean, eta kasu horretan : Ppotentzia = PA1 . PA2 = t2

A1A2 t P

O


MARRAZKETA TEKNIKOA - POTENTZIA

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

3 ERRO ARDATZA Eman dezagun zirkunferentzia bakarra izan beharrean bi ditugula. Biekiko potentzia berdina duten puntuen leku geometrikoa erro-ardatza deitzen da. Bestela esanda, erro-ardatzaren gainean ditugun puntu guztiek potentzia bera dute zirkunferentzia batekiko eta bestearekiko.

P r1 O1

r2 O2

Erroâ&#x20AC;&#x201C;ardatza O1O2-rekiko zuzen elkartzuta da, eta, orokorrean, ez da erdiko puntutik pasatzen. Hona hemen horren froga:

Lehenengo eta behin, saiatuko gara erro-ardatzaren adierazpen matematikoa lortzen eta horretarako,

(x,y)

d1 d2 (P,Q) Zirkunferentzia

1

(M,N)

Zirkunferentzia

2

P puntuaren potentzia, 1 eta 2 zirkunferentziekiko berdina bada, Potentzia1 = Potentzia2 Eta ikusi dugunez, D12 - r12 = d22 - r22 Matematikoki , hori honela idatziko genuke:


MARRAZKETA TEKNIKOA - POTENTZIA

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

4

x  P  y  Q  - r 2

2

2

1

=

x  M  y  N  - r 2

2

2

1

x2 –2xP +P2 +y2 – 2yQ +Q2 – r12 = x2 –2xM + M2 + y2 – 2yN + N2 – r22 y ( 2N – 2 Q ) = x ( 2P – 2M ) + M2 + N2 – P2 –Q2 + r12 – r22 Beraz: y=

Ekuazio honek malda

P  M  x  M2  N2  P2  Q2  r 2  r 2  1 2 N  Q 

P  M  N  Q 

duen zuzena deskribatzen du.

Oraingoan, bi zirkunferentzien zentroak lotzen dituen zuzenaz arduratuko gara. Kasu honetan, (Q  N ) ( N  Q) y=xf = xf ( M  P) ( M  P)

Bigarren zuzenaren malda hau da:

-

( N  Q) ( M  P)

Gogora ezazu zuzen bi perpendikular direla batek malda positiboa duenean eta besteak negatiboa, eta gainera bata bestearen inbertsoa denean. Hori da aurreko kasuan gertatzen dena, beraz, eta frogatu nahi genuen bezala, erro–ardatza da O1O2-rekiko zuzen elkartzut bat.

Ariketa 1. Aurrerago aipatu dugu erro-ardatza, orokorrean, ez dela pasatzen zirkunferentzien zentroak lotzen dituen segmentuaren erditik. Egizu horren froga.

ERRO-ARDATZA MARRAZTEKO BIDEAK 

Zirkunferentzia ebakitzaileak direnean, erro-ardatza da A eta B intersekzioetatik pasa den zuzena. Konturatu zaitez A eta B puntuen potentzia nulua dela bi zirkunferentziekiko.


MARRAZKETA TEKNIKOA - POTENTZIA

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

5

A O1

O2

B

Zirkunferentzia ukitzaileak direnean, erro-ardatza amankomuneko ukitzailea da. Kasu honetan ukiguneak du bi zirkunferentziekiko potentzia berdina, 0 hain zuzen, eta beraz, erro-ardatza hortik pasa behar da.

O1 O2

Kanpo zirkunferentziak direnean, beste zirkunferentzia laguntzaile bat erabiltzen da erroardatza aurkitu ahal izateko.

J

a

aile

O1

untz Lag

O2

Bi erro-ardatz laguntzaileak marraztu behar dira lehenengoz, eta gero haien intersekzioa den J puntua. Puntu honek potentzia berdina du hasieran emandako bi zirkunferentziekiko eta, beraz, hortik pasatuko da guk marraztu nahi dugun zuzena. 

Badugu beste modu bat ere erro-ardatza marrazteko. Segmentu kanpo ukitzaileen erdiko puntuek potentzia berdina dutenez bi zirkunferentziekiko, erro-ardatza horietatik pasatuko da.


MARRAZKETA TEKNIKOA - POTENTZIA

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

6

M1 t1 O2 O1 t2 

M2

Barne zirkunferentziak direnean, berdin jokatzen dugu. Zirkunferentzia laguntzailea marraztu eta aurreko kasuan emandako pausoak jarraituko ditugu.

O2

O1

La

gun

tza

ilea

Eta azkenik, zirkunferentzia zentrokideen erro-ardatza marraztea ezinezkoa da. Hau bi modutara uler daiteke: edo erro-ardatza infinitoan dagoela kontsideratuta, edo erroardatzik ez dagoela esanda. Erro-ardatz laguntzaileak paraleloak dira.

O 1 = O2

d1 = d2

Pot1 = Pot2 D1 - r12 = d22 - r22 D12- d22 = r12- r22 0 = r12 – r22 2

P


MARRAZKETA TEKNIKOA - POTENTZIA

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

7

ERRO-ZENTRUA Hiru zirkunferentzia izanik, hirurekiko potentzia berdina duen P puntuari erro-zentroa izena ematen zaio.

O2

O1

P O3

ARIKETAK 1. Marraztu R1=1 cm-ko eta R2= 2 cm-ko erradiodun bi zirkunferentzien erro-ardatza, ondoko kasuotan: a.- Zentruen arteko distantzia 5 cm denean. b.- Zentruen arteko distantzia 1.5 cm denean. c.- Zentruen arteko distantzia 0.6 cm denean. d.- Zentruen arteko distantzia 1 cm denean. a.-

b.-


MARRAZKETA TEKNIKOA - POTENTZIA

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

8 c.-

d.-

2. 6 cm-ko aldea duen triangelu aldekide baten erpinetan daude R1= 1 cm-ko , R2= 2 cmko eta R3= 3 cm-ko erradiodun zirkunferentzien zentroak. Aurki ezazu hiru zirkunferentzia horien erro-zentroa.


MARRAZKETA TEKNIKOA - POTENTZIA

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

9 3. Marraztu behar duzu M zentroa duen zirkunferentzia, hurrengo baldintza kontuan hartuz: P puntuak potentzia berdina izan behar du zirkunferentzia horrekiko eta irudian marraztuta daukazunarekiko.

M N

P

4. Marraztu emandako bi zirkunferentzien erro-ardatza eta aukeratu puntu bat, zeinetatik OO´segmentua 75º-ko angelupean ikusten den.

O1

O2

5. Bilatu emandako bi zirkunferentziekiko potentzia berdina duten puntuak. Puntu horien artean aukeratu hurrengo baldintza hau betetzen dutenak : OO´segmentua 60º-ko angelupean ikusi behar da.

O1

O2


MARRAZKETA TEKNIKOA - POTENTZIA

ARRIGORRIAGA INSTITUTUA

10

6. Bilatu AC aldean M puntua, hurrengo adierazpena egia izan dadin: AB 2 = AM.AC.

B

A

C

7. Aurkitu emandako hiru zirkunferentzien erro-zentroa.

8. Marraztu 3 cm-ko erradiodun zirkunferentziarekiko 25 cm2-ko potentzia duten puntuen leku geometrikoa.

POTENTZIA  

Marrazketa teknikoa. 2 Batx. Potentzia. Teoria eta ariketak

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you