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CARMEN ARRIERO VILLACORTA E ISABEL GARCÍA GARCÍA

B. MANEJO GENERAL DEL PROGRAMA DERIVE 1. INTRODUCCIÓN Este capítulo pretende introducir al usuario en el uso general del programa realizando las operaciones que son más habituales al trabajar con contenidos matemáticos de secundaria. Dada la sencillez de manejo del programa se entiende que la mejor forma de aprender su funcionamiento es a través de actividades guiadas con las ayudas específicas que se aportan en cada una de ellas. Por otra parte, el archivo “B MANEJO GENERAL.dfw” recoge la resolución de estas actividades. Para consolidar los contenidos se recomienda realizar las actividades propuestas, que aparecen en el apartado 3 de este capítulo. La solución de estas actividades se encuentra en el archivo “B ACTIVIDADES PROPUESTAS.dfw”

2. ACTIVIDADES GUIADAS Introducción a la ventana de álgebra

2.1. Introduce y simplifica la expresión:

(x + y) ⋅ (x 2 − y 2 ) x4 − y4

El símbolo para multiplicar en DERIVE es el asterisco (*) o un espacio en blanco. Cuando el producto sea de dos términos entre paréntesis, se escriben uno a continuación del otro sin emplear ningún símbolo. El símbolo de potencia es ^. Una vez escrita la expresión en la línea de edición elige la opción de carla de una sola vez.

para introducirla y simplifi-

2.2. Realiza la descomposición en factores de los siguientes polinomios x3 + 4x2 - 5x y

x3 - 6x + 5. Introduce cada polinomio y a continuación selecciona sucesivamente los comandos: Simplificar / Factorizar / (Variable x, Forma racional) / Factorizar

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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE

2.3. Simplifica la fracción:

x3 + 4x2 − 5x . x3 − 6x + 5

Para copiar cualquier expresión de la ventana de trabajo en la línea de edición se selecciona con el ratón y se pulsa la tecla F3. Si se escribe el símbolo = al final de la expresión escrita en la línea de edición, ésta se simplifica y aparece junto a la expresión inicial en la ventana de trabajo.

2.4. Desarrolla la expresión: (x − 2)5 (x + 3)6 . Introduce el polinomio y a continuación selecciona sucesivamente los comandos: Simplificar / Expandir / (Variable x, Forma racional) / Expandir

2.5. Calcula

(2 + 3 i)2 2−i

.

Para escribir el número imaginario i se utiliza el símbolo î.

2.6. Derive trabaja en aritmética exacta y es capaz de manejar números muy grandes.

Compruébalo simplificando 500! ¿Sabrías calcular cuántas cifras tiene este número? Activa los siguientes comandos: Opciones / Ajustes de Modo... / Presentación y selecciona notación científica, con 2 dígitos, como indica la siguiente imagen:

Introduce la expresión: 500! = Por último restablece las preferencias de salida: Opciones / Ajustes de Modo... / Presentación / Restablecer / Aceptar

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2.7. Derive puede hacer aproximaciones numéricas con precisión arbitraria.

Escribe el número π de forma exacta y aproximada con una precisión de 20 dígitos. Por defecto Derive aproxima (≈) con 10 dígitos, para cambiar la precisión de los resultados a 20, una vez introducido el número, se seleccionan sucesivamente los siguientes comandos: Simplificar / Aproximar… / (Dígitos de precisión: 20) / Aproximar

2.8. Desarrolla la expresión: sen (α + β). Primero activa los siguiente comandos: Opciones/Ajustes de Modo.../Simplificación/Trigonometría/Expand/Aceptar

Introduce la expresión escribiendo en la línea de edición: sin (α + β) = Por último, restablece las preferencias de simplificación: Opciones/Ajustes de Modo.../Simplificación/Restablecer/Aceptar

2.9. Resuelve la ecuación x4 – 1 = 0. Introduce la expresión en la ventana algebraica, selecciónala y elige Resolver

/ Método algebraico / Dominio Real / Resolver

2.10. Resuelve la ecuación x4 – 1 = 0 en el cuerpo de los números complejos C. Selecciona la expresión y elige: Resolver

/ Método algebraico / Dominio Complejo / Resolver

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2.11. Derive permite calcular de manera aproximada las soluciones de una ecuación

cuando no se pueden obtener de forma exacta. Por ejemplo, resuelve: x – cos x = 0 Si se siguen los mismos pasos que en las dos ecuaciones anteriores el programa da como solución la misma ecuación. Por ello, para resolverla elige: Resolver

2.12. Define la función f(x)=

/ Método numérico / Resolver

x2 − 2 y calcula f(2), f(-3) y f 2

( 12).

Para definir una función en Derive se escribe f(x):=”expresión” Para borrar el contenido de una función no basta con eliminar la expresión en la que se haya definido, sino que se debe escribir f(x):= Para calcular los valores de la función pedidos, se escribe, sucesivamente, en la línea de edición: f(2) = f(-3) =

( )

f 12 =

1   1 −  2 sin 2 x  x

2  2.13. Calcula los siguientes límites lim+ x ⋅ Ln(x) ; lim x→0 x →0

Introduce la expresión y luego utiliza una de las dos opciones: 1. Cálculo / Límites / Variable: x, Valor: 0, Ambos / Simplificar 2. El icono

../ Variable: x, Valor: 0, Ambos / Simplificar

 sen x   + e2x 2.14. Calcula la derivada de la función: g(x) = ln  cos x  Define la función g(x), g(x):= Para introducir el número e, selecciona con el ratón la letra “e” que aparece en la barra de símbolos matemáticos situada en la parte inferior derecha de la pantalla. Para calcular la función derivada escribe en la línea de edición g’(x) = También se puede obtener la función derivada con el icono ∂ o eligiendo sucesivamente los comandos: Cálculo / Derivadas.../Variable: x, Orden: 1 / Simplificar

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2.15. Calcula las siguientes integrales:

0

1 x

dx ;

∫ sin

15

xdx .

Introduce la expresión y elige: Cálculo / Integrales... /Variable: x … / Simplificar

También se puede calcular con el icono

.

−1 k  1   2.16. Dada la matriz M =  − 2 k 0  , calcula: k − 1 − 1 0  

a) La matriz traspuesta de M. b) El determinante de M. c) Averigua para qué valores de k la matriz M tiene inversa y calcula su expresión.

Para introducir la matriz M escribe en la línea de Edición la expresión: M := [ 1, -1, k; -2, k, 0; k-1, -1, 0]

También se puede utilizar un asistente del programa eligiendo el icono

.

Introducción a la ventana gráfica 2D

Para representar una función f(x) se siguen los siguientes pasos: Primero, se introduce la expresión de f(x) en la ventana algebraica. A continuación, se selecciona la función y se hace clic en el icono . Por último, cuando aparezca la ventana gráfica, de nuevo se pulsa en .

2 2.17. Representa la función f(x)= x − 4 .

2 Para introducir la función x − 4 , se escribe en la línea de edición:

ABS(x^2 - 4)

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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE

2.18. Representa gráficamente la función f(x) =

1 y sus rectas tangentes en x = 1 y 1+ x2

en x = -2.

Define f(x) :=

1 y calcula f’(x). 1+ x2

Escribe la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = a: y - f(a) = f’(a) (x - a) Para calcular la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 1, resalta la expresión anterior y elige: Simplificar / Sustituir Variable / Variable = a Nuevo Valor = 1 / Simplificar

Repite este procedimiento para a = -2. Una vez representada cambia la escala para mejorar la presentación.

2.19. Representa gráficamente el triángulo P(-1,1), Q(1, -2) y R(2, 3)

Introduce, definiéndolos previamente, cada uno de los puntos, P:= [-1, 1] Q:= [1, -2] R:= [2, 3] Escribe en la línea de edición: [P, Q, R, P]. Selecciona [P, Q, R, P]. Elige los comandos: Ventana / Nueva Ventana 2D

Estando en la ventana gráfica elige: Opciones / Pantalla / Puntos… / Conectar: Sí, Tipo de línea: Solid / Aceptar

Por último selecciona el icono:

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3. ACTIVIDADES PROPUESTAS x 4 − 16 . x 2 (x2 − x − 6)

3.1.

Introduce y simplifica la expresión

3.2.

Factoriza el polinomio x4 – 4 x3 + 8 x2 –16 x + 16

3.3.

Utilizando la tecla F3 introduce y simplifica la fracción:

3.4.

Desarrolla la expresión: 5x − 8 .

3.5.

Calcula 12 de forma exacta y aproximada con una precisión de 15 dígitos.

3.6.

Con la ayuda del menú Opciones / Ajustes de Modo... / Presentación expresa en notación científica 600! + 356 ¿Cuántas cifras tiene este número?

3.7.

Resuelve en el cuerpo de los números reales, R, y en el de los complejos, C, la ecuación x3 – 3x2 = 3 – 5x.

3.8.

Resuelve de forma exacta y aproximada la ecuación 2x + sen x = 2.

3.9.

Desarrolla la expresión: tag (α + β).

(

x4 − 4x3 + 8x2 − 16x + 16 . x 4 − 16

)

2

3.10. Simplifica (cos2 a - sen2 a) y calcula su valor para a = 30º y a = π.

3.11. Define la función f(x)=

 2 3x2 − 2x . y calcula f(2), f(-2) y f   x+2  2 

3.12. Considerando la función f(x), del ejercicio anterior, calcula los siguientes límites:

lim f(x)

x→ 2−

lim

x→ 2+

f(x)

lim

f(x)

x → ±∞

3x2 − 2x 3.13. Representa gráficamente la función f(x)= y su recta tangente en el punto x+2

de abscisa x = 3.

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ACTIVIDADES DE MATEMÁTICAS PARA SECUNDARIA CON DERIVE

k 1   3.14. Dada la matriz M =  2  , calcula: 1 k 

a) El determinante de M. b) Averigua para qué valores de k la matriz M tiene inversa y calcula su expresión para k = -3. 3.15. Representa gráficamente un paralelogramo.

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