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Aテ前 I NUM I


El desarrollo de esta revista digital tiene la intención de darle a nuestros lectores una mejor perspectiva sobre las Variables de Estado, al finalizar su lectura podrán analizar y sintetizar sistemas de control discretos en tiempo usando dichos conceptos. Para ello nos encargaremos de suministrar herramientas que permitan diseñar usando el método analítico, además de determinar la solución correcta a las ecuaciones de entrada. Siguiendo en esta línea nos adentraremos en la función transferencia de pulso para determinar la matriz de la misma y finalmente representaremos sistemas discretos en tiempo usando el concepto de variable de estado

Grupo 2 – Teoría Control II


Dirección General

Enzo Capasso

Investigación y Edición

Enzo Capasso Julieta González Mota Maycol

Arte

Julieta González

Producción

Enzo Capasso

Corrector de Estilo

Maycol Mota

http://www.uftpreteoriacontrol.blogspot.com/


Por Enzo Capasso


Para conocer lo que conocemos como la Representaci贸n de Estados se considera necesario dividir su aprendizaje en diferentes partes a fin de hacer m谩s agradable su entendimiento. En tal sentido consideraremos su estudio en las siguientes secciones


MOTIVACIÓN

CONCEPTOS BÁSICOS


REPRESENTACIÓN DE ESTADOS ¿En qué se basa?


DE LA REPRESENTACION DE ESTADOS A LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA


DE LA REPRESENTACION DE ESTADOS A LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA


Por Enzo Capasso Son representaciones diversas de las ecuaciones de estado que se consiguen a través de cambios de base de la formulación original o a partir de la función de transferencia de un sistema Existen muchas maneras de llevar a cabo representaciones en el espacio de estado para el sistema de tiempo discreto, aquí presentaremos: • Forma Canónica Controlable • Forma Canónica Observable • Forma Canónica Diagonal • Forma Canónica de Jordan


De tal manera tendremos que Si un sistema esta definido mediante: (n)

( n −1)

(n)

( n −1)

y + a1 y +... + an −1 y + an y = b0 u + b1 u +... + bn−1 u + bn u

Puede escribirse como:

Ys b0 s n + b1s n−1 + ... + bn−1s + bn = n Us s + a1s n−1 + ... + an−1s + an


Quedando definido para la Forma Canónica Controlable mediante

 •  0  •x1    x2   0      =   x•   0  •n−1    x n  − an

y = [ bn − anb0

1

0

0

1

0

0

− an−1 − an−2

bn−1 − an−1b0

0   x1  0  0   x2  0          +  u      1   xn−1  0  − a1   xn  1 

 x1  x  b1 − a1b0 ]. 2  + b0u      xn 


Quedando definido para la Forma Canónica Observable mediante

 •  0 0 0  −a  bn − anb0  n   x1   •x1    x 2  1 0 0  − an−1   x2  bn−1 − an−1b0         u     +     =        x•        •n−1    x n  0 0  1 − a1   xn   b1 − a1b0 

y = [0

00

 x1  x  1]. 2  + b0u      xn 


Considerando la función de transferencia donde el denominador sólo posee raíces distintas:

Ys b0 s n + b1s n−1 + ... + bn−1s + bn = ( s + p1 )( s + p2 ) ( s + pn ) Us Expansión en fracciones parciales:

Ys c1 c2 cn = b0 + + ++ Us s + p1 s + p2 s + pn


 •  −p 0 0  0 x1  1    x 1 1  •   x2   − p2 0  0   x2  1              +  u   =       x•        •n−1   0  0 − pn   xn  1  x n   0

y = [ c1 c2

 x1  x  cn ]. 2  + b0u      xn 


Considerando la función de transferencia donde el denominador posee raíces múltiples:

Ys b0 s n + b1s n−1 + ... + bn−1s + bn = U s ( s + p1 ) 3 ( s + p4 ) ( s + pn ) Expansión en fracciones parciales:

Ys c1 c2 c3 c4 cn = b0 + + + + ++ 3 2 Us s + pn ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + p1 ) s + p4


•  0 0  x1  − p1 1 •    0 −p 1 0 1  x• 2      0 0 − p1 0 x 3 = •   0 0 − p4    0  x4         0 0 0 •   0  xn 

y = [ c1 c2

  x1  0   x  0   2      x3  1    +  u  0   x4  1            − pn   xn  1   

0 0 0

 x1  x  cn ]. 2  + b0u      xn 


Desarrollando las Formas Can贸nicas Por Enzo Capasso

A continuaci贸n desarrollaremos algunos ejercicios para obtener las diferentes Formas Can贸nicas, para ello analizaremos primeramente un ejemplo sobre los mismos para mejorar la capitaci贸n de los mismos.


De tal manera nos quedarĂ­a


EJERCICIOS PARA CONSIDERAR

Obtenga las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, observable y diagonal del siguiente sistema:

Y ( s) s+3 = 2 U ( s ) s + 3s + 2 Forma Canónica controlable 1   x1  0  x1   0  x  = − 2 − 3  x  + 1u  2     2   x  y = [3 1]  1   x2 

Forma Canónica observable  x1  0 − 2  x1  3  x  = 1 − 3  x  + 1u  2     2   x  y = [0 1]  1   x2 

Forma Canónica diagonal

 x1  − 1 0   x1  1  x  =  0 − 2  x  + 1u  2     2   x  y = [2 − 1]  1   x2 


EJERCICIOS PARA CONSIDERAR


Por Maycol Mota

Maycol Mota


Solución de las Ecuaciones de Estado Lineales en Tiempo Discreto y Variantes en el Tiempo El método de espacio de estados está basado en la descripción del sistema mediante n ecuaciones en diferencias, que se agrupan en una ecuación vectorial matricial en diferencias. Concepto de estado: El estado de un sistema dinámico es el conjunto mas pequeño de variables (llamadas variables de estado) tal que, el conocimiento de esas variables en un determinado instante t0 junto con el conocimiento de los valores de la señal de entrada para los instantes t _ t0, permite determinar el comportamiento y evolución del sistema para cualquier instante de tiempo t _ t0. Las variables de estado se agrupan en el llamado vector de estado y el espacio ndimensional que determinan los posibles valores de esas variables, se denomina espacio de estados. La dinámica de un sistema se puede describir en función del valor del vector de estados y de la señal de entrada (asumiendo que el sistema es no autónomo mediante  

Maycol Mota


Solución de las Ecuaciones de Estado Lineales en Tiempo Discreto y Variantes en el Tiempo Solución a un caso particular de sistema variante en el tiempo Generalmente buscar una solución para los sistemas variantes en el tiempo se hace más complicado, pero veamos un caso particular en donde se puede encontrar con relativa facilidad la solución: Teorema Hipótesis: Si A(t) y A(τ) son conmutables para todo t y τ, esto es: ,

,para todo t, para todo τ.

Entonces la matriz de transición para la ecuación es: [Ec. 31] Maycol Mota


Solución de las Ecuaciones de Estado Lineales en Tiempo Discreto y Variantes en el Tiempo Sistemas discretos Veamos el caso invariante en el tiempo. La ecuación de estado homogénea es: [Ec. 38] donde la matriz A es una matriz constante de nxn. Si esta matriz A es nosingular, entonces la matriz de transición toma la forma: [Ec. 39] ya que la misma satisface ambas condiciones de matriz de transición. Aca asumimos que k0 = 0 sin perder la generalidad ya que si k0 ≠ 0, reemplazamos k por k-k0 en la solución. Por lo tanto la tarea principal en la determinación de la matriz de transición consiste en calcular Ak. Maycol Mota


Solución de las Ecuaciones de Estado Lineales en Tiempo Discreto y Variantes en el Tiempo Los métodos para calcular Ak son análogos a aquellos para determinar exp(A.t):

Maycol Mota


Soluci贸n de las Ecuaciones de Estado Lineales en Tiempo Discreto y Variantes en el Tiempo

Maycol Mota


Soluci贸n de las Ecuaciones de Estado Lineales en Tiempo Discreto y Variantes en el Tiempo

Maycol Mota


Maycol Mota


M茅todo de la Transformada Z a la Soluci贸n de Ecuaciones de Estado en Tiempo Discreto Por Maycol Mota


TRANSFORMADA Z DE UNA ECUACION DIFERENCIA


FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA, H(z) Para encontrar la funci贸n de transferencia del sistema, H(z) se resuelve la ecuaci贸n (38-1) para Y(z)/H(z). Esto produce:

(39-1)


EJEMPLO


Por Maycol Mota


Discrtetización de las Ecuaciones de Estado en Tiempo Continuo


Discrtetización de las Ecuaciones de Estado en Tiempo Continuo


Discrtetización de las Ecuaciones de Estado en Tiempo Continuo


Maycol Mota


Transformación de Similitud Un sistema es representado usando variables de estado a través de realizaciones, las cuales consisten de una ecuación de estado y una ecuación de salida (en términos vectoriales). Las realizaciones básicamente son descripciones de un mismo sistema que dependen del método usado para obtenerlas y que en ciertos casos permiten visualizar o calcular fácilmente algunas de las características o propiedades del sistema. Las realizaciones más usadas son las formas canónicas: controlable, observable, de Jordan o diagonal o en paralelo, cascada o serie y las realizaciones físicas en las cuales los estados están asociados a la energía almacenada dinámicamente en el sistema.

Maycol Mota


Transformaci贸n de Similitud

Maycol Mota


Transformaci贸n de Similitud

Maycol Mota


Transformaci贸n de Similitud

Maycol Mota


Transformaci贸n de Similitud

Maycol Mota


Transformaci贸n de Similitud

Maycol Mota


Maycol Mota


Matriz de Función de Transferencia Pulso Por Julieta González

Un sistema en tiempo discreto de una entrada y una salida se puede representar o modelar mediante una función de transferencia pulso. La extensión función transferencia pulso a un sistema en tiempo discreto de varias entradas y varias salidas da la matriz de función de transferencia pulso.


Matriz de Función de Transferencia Pulso Sistemas discretos De igual manera, podemos describir en forma genérica a un sistema discreto por la siguiente representación por variable de estado x(k + 1) = f ( x (k ), u (k ), k ) y (k ) = g ( x (k ), u (k ), k )

ecuación de estado

[Ec. 6.a] ecuación de salida

Donde k, k+1 representan los instantes consecutivos de las series de variables, x(k) es el vector de estados (discreto), u(k) es la serie del vector de entradas, e y(k) es el vector de salida todos en el instante k. Estos vectores nuevamente son de dimensión n, m y p respectivamente. Esta forma de representación es válida para los sistemas discretos nolineales e invariantes en el tiempo en forma general.

[Ec. 6.b]


Si el sistema representado por las ecuaciones 6, es un sistema lineal, la dependencia del vector de estado en un nuevo tiempo x(k+1) y la salida y(k) pasa a ser lineal: lineal x(k + 1) = A(k ) ⋅ x( k ) + B (k ) ⋅ u (k ) y (k ) = C (k ) ⋅ x(k ) + D(k ) ⋅ u (k )

[Ec. 8.a] Ec. 8.b

Donde A es una matriz de n x n, B es una matriz de n x m (n filas x m columnas), C es una matriz de p x n, y D una matriz de p x m, que pueden ser dependientes del instante k. Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del instante de tiempo k: x(k + 1) = A ⋅ x(k ) + B ⋅ u (k ) y (k ) = C ⋅ x ( k ) + D ⋅ u ( k )

Ec. 9.a

Ec. 9.b

De manera similar pueden definirse nuevamente aquí, los sistemas propios y los sistemas estrictamente propios, y en éstos últimos consecuentemente la matriz D se hace nula (no hay transmisión directa de ninguna de las entradas a ninguna de las salidas).


Ejemplo: Considere un sistema multivariable (MIMO) con dos entradas ( u1, u2) y dos salidas (y1, ,y y2), expresado mediante las siguientes ecuaciones diferenciales: .

  y 1 + 2 ⋅ y 1 + y 2 − 3 ⋅  y 1 + y 2  + t ⋅ ( y1 − y 2 ) = u1  

•••

••

••

••

y 2 + 5 ⋅ y 2 − 3 ⋅ y 1 + 2 ⋅ ( y 2 − y1 ) = u 2

Este sistema es linear variante en el tiempo. Para determinar una descripción por variable de estado para el mismo, asignemos nombres a las siguientes variables: x1 = y1 •

x2 = y1 ••

x3 = y 1

x4 = y 2 •

x5 = y 2

[Ec. 10.b]


Reescribiendo las ecuaciones 10, las mismas quedan de la siguiente manera: •

x 3 + 2 ⋅ x 3 + x 5 − 3 ⋅ ( x 2 + x5 ) + t ⋅ ( x1 − x 4 ) = u1 •

x 5 + 5 ⋅ x5 − 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ ( x 4 − x1 ) = u 2

Ec. 11.a

Ec. 11.b

Reemplazando la ecuación 11.b dentro de 11.a de manera que solo quede la derivada primera de x3 en la primera ecuación, obtenemos las ecuaciones de estado, considerando que: •

••

x1 = y 1 = x 2 x 2 = y 1 = x3 x 4 = y 2 = x5 Que escrita en forma matricial es: •

 x1   0 x   0  2   x3  =  − ( 2 + t )     x4   0  x5   2

1 0 0 0   x1  0 0  0 1 0 0   x 2  0 0   u1  0 − 2 2 + t 8  ⋅  x3  + 1 − 1 ⋅        u2 0 0 0 1   x 4  0 0    3 0 − 2 − 5  x5  0 1 

Ec. 12


Y además, además como

x1 = y1

y

x4 = y 2

la ecuación de salida es:

 x1  x  2 y 1 0 0 0 0  1       y  = 0 0 0 1 0  ⋅ x 3   x   2   4  x5 

Ec. 13

Notar que la matriz D es igual a cero en este ejemplo, esto es: las salidas no dependen en forma directa de las entradas (el sistema es estrictamente propio).


Por Julieta Gonzรกlez


La representaci贸n en el espacio de estado de un sistema lineal en tiempo discreto e invariante en el tiempo de orden n, con r entradas y m salidas, se puede dar mediante

Donde x(k) es un vector-n, u (k) es un vector-r y y (k) es un vector-m, G es una matriz de n * n, H es una matriz de n * r, C es una matriz de m * r. Al tomar las transformadas z de las ecuaciones anteriores tenemos:


Dada la definición de función de transferencia pulso exige la suposición de condiciones iniciales cero, aquí también suponemos que el estado inicial x(0) es cero. Entonces obtenemos:

y

donde

F(z) se conoce como matriz de función transferencia pulso. Se trata de una matriz de m * r. La matriz de función de transferencia pulso F(z) caracteriza la dinámica de entrada/salida del sistema de tiempo discreto


En vista que la inversa de la matriz (zI-G) se puede escribir de la siguiente forma:

La matriz de funci贸n de transferencia pulso F(z) se puede dar mediante la ecuaci贸n:


O bien


Conociendo la Matriz Funci贸n Transferencia Pulso Por Julieta Gonz谩lez

Nada mejor para entender cualquier tema de estudio que el uso de ejemplos y problemas, estos permiten identificar argumentos, variables y constantes de tal manera que nos facilita razonar cualquier ecuaci贸n que se nos presente


Matriz de Función de Transferencia Pulso C(Z) BnZn + bn-1Zn-1 + ... + B1Z + bo R(Z) = n Z + an – 1Z n-1 + … + a1 Z + ao Se realiza la descomposición en fracciones simples de la forma: Y(Z) U(Z)

Donde: λ1 = VALORES PROPIOS DE LA MATRIZ A P1 = VARIABLE JORDAN

Tiene multiplicidad uno su base es simple ó unitaria

bn = n VARIABLE En descomposición se obtiene el siguiente Modelo de Estado: Donde U(Z) U(Z) Xn (Z) = U(Z) = R(Z) X1 (Z) = Z - λ Z-λ Y(Z) = C(Z) 1

n

U(Z) Z - λ2

X1 (Z) =

U(Z) Z - λ3

X1 (Z) =


Antes de imprimirlo, piensa en el ambiente


Control II