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Curso: SEG. DO TRABALHO / TEC. INFORMÀTICA

Turno: matutino

Disciplina: Matemática

Data: /

Modalidade: Integrado.

/

Turma: 1° Ano

Professor: LUIZ J DA SILVA No

Estudante:

1. PRIMEIROS CONCEITOS

O termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que dado um elemento x qualquer temos:

1.1 CONCEITOS PRIMITIVOS

x  A, se e somente se, x satisfaz P.

O conceito de CONJUNTO é PRIMITIVO, ou seja, NÃO DEFINIDO. Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros, são todos exemplos de conjuntos de coisas.

x  A, se e somente se, x não satisfaz P.

NOÇÕES DE CONJUNTOS

Convém notar que, em não se adotando uma definição matemática de CONJUNTO, recaímos no caso análogo da GEOMETRIA EUCLIDIANA, no qual, sem darmos uma definição para PONTO, RETA e PLANO, estamos interessados em saber o que podemos e o que não podemos fazer com esses entes geométricos. O mesmo se dá, portanto, aqui na TEORIA DOS CONJUNTOS. 1.2 NOTAÇÕES Quanto à notação dos conjuntos estabelecemos três formas, entre as usuais, de apresentar um conjunto. a)

c)

Conjunto determinado pelo diagrama de VennEuler. O diagrama de Venn-Euler consiste em representar o conjunto através de um círculo de tal forma que seus elementos e somente eles estejam no círculo. Se A = {a, e, i, o, u}, então

Conjunto determinado pela designação de seus elementos. É o caso em que o conjunto é dado pela enumeração de seus elementos. Indicamo-lo escrevendo os seus elementos entre chaves e separando-os, dois a dois, por uma vírgula. Exemplos:

b)

Exemplos:

Conjunto determinado pela propriedade de seus elementos. Conhecida uma propriedade P que caracterize os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado.

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

a

e

i

o u

2. CONJUNTO VAZIO

Seja A um conjunto. Se para todo elemento x, x  A, dizemos que A é um conjunto que não possui elementos. Chamamo-lo CONJUNTO VAZIO e o indicamos pela letra  do alfabeto norueguês.

A =   x, x  A

1


3. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA Para indicar o relacionamento entre elemento e conjunto. Exemplos:

4.2 RELAÇÃO DE INCLUSÃO

A definição de SUBCONJUNTO nos dá um relacionamento entre dois conjuntos que recebe o nome de RELAÇÃO DE INCLUSÃO. A RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA () e a Relação de Inclusão () são conceitualmente muito diferentes. Enquanto a INCLUSÃO é REFLEXIVA, a PERTINÊNCIA já não o é, ou seja, A  A é sempre verdadeira e A  A é sempre falsa.

4. SUBCONJUNTO OU PARTE  RELAÇÃO DE INCLUSÃO

Apesar disso, a INCLUSÃO e a PERTINÊNCIA se interligam segundo o que se segue:

4.1 DEFINIÇÃO

a) x  A  {x}  A

Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um SUBCONJUNTO ou PARTE de B e indicamos por A  B.

b) x  A  {x}  A

EXERCÌCIO DE SALA

Em símbolos:

A  B  (x) (x  A  x  B) 01. Por outro lado, A  B significa que A NÃO é um SUBCONJUNTO (PARTE) de B. Portanto, A  B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que não é elemento de B.

Sendo A = {a, {b}, , {1, 2}}, conclui-se que: (01)

aA

(02)

{b}  A

(04)

{a, b}  A

(08)

A

(16)

{1, 2}  A

Em símbolos:

A  B  (x) (x  A e x  B) Exemplo:

02.

Assinale os itens verdadeiros. (01)

{2}  {0, 1, 2}

(02)

{1, 2}  {0, 1, 2}

1.

{2, 4}  {2, 3, 4}

(04)

{{1}, 2}  {0, 1, 2}

2.

{2, 3, 4}  {2, 4}

(08)

{{1}, 2}  {0, 2, {1}, {2}}

3.

{5, 6}  {5, 6}

(16)

{{1}, 2}  {0, {1,2}}

(32)

  {0, 1, 2}

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

2


5. IGUALDADE DE CONJUNTOS

6.2 TEOREMA

Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é IGUAL a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A. Em símbolos:

“Se A tem k elementos, então IP(A) tem 2 elementos”.

k

6.3 PROPRIEDADES Seja um conjunto qualquer. Valem as seguintes propriedades:

A=B  AB e BA 1. A  IP(A) 2.   IP(A)

Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos.

3. Se A tem k elementos, então A possui 2 subconjuntos.

Por outro lado, A  B significa que A é diferente de B. Portanto, A  B se e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A.

k

EXERCÍCIO DE SALA

Em símbolos:

A  B  A  B ou B  A

01.

Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?

02.

Julgue as proposições:

6. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO 6.1 DEFINIÇÃO Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se CONJUNTO DOS SUBCONJUNTOS (OU DAS PARTES) DE A e é indicado por IP (A). Em símbolos: IP(A) = {x | x  A}

(01)

O cardinal do conjunto {5, {5}, {5, 5}} é 2.

(02)

O cardinal do conjunto {x; x = (-1) n  N} é 2.

(04)

Sendo P(M) = {, {1}, {2}, {1, 2}} então M = {1, 2, }.

(08)

Sendo A = {x  Z; -2  x < 3}, o número 32 de subconjuntos de P(A) é 2 .

(16)

Se a e b são números reais quaisquer e M = {a, b, {a}, {b}, {a, b}} então n(M) = 5 ou n(M) = 2.

Assim sendo,

x  IP(A)  x  A

Exemplos: 1. A = {2, 4, 6}

n

e

IP(A) = {,{2}, {4},{6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, A} 2. B = {3, 5} IP(B) = {, {3}, {5}, B} Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

3


03.

04.

Sendo A = {1, 2, {2, 3}, }. Conclui-se que:

g) C є A

h) E є A

i) D є A

j) B  A l) D  A

(01)

{2}  P(A)

k) C  A

(02)

  P(A)

m) {E}

(04)

{2, 3}  P(A)

o) {E}  B

(08)

{{2, 3}}  P(A)

(16)

{}  P(A)

(32)

{2, 3}  P(A)

q) Φ

A

n) B  C p) E

A

Φ

C

Φ

7. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

Sobre os conjuntos numéricos, pode-se afirmar :

7.1 REUNIÃO OU UNIÃO

(01)

A soma de dois racionais é sempre um racional

Dados dois conjuntos A e B, chama-se REUNIÃO (ou UNIÃO) de A e B, e se indica por A  B, ao conjunto formado pelos elemento de A ou de B. Em símbolos:

(02)

O produto de dois irracionais é sempre irracional

(04)

A soma de um inteiro com fracionário nunca pode ser inteiro

(08)

Se x  N e y  Z , então x.y  Z

(16)

Se x  Q e y  Q’ , então x.y  Q’

(32)

O quociente de dois racionais sempre é racional

(64)

-0,212223... é um número racional

A  B = {x | x  A ou x  B}

A

B

AB

Exemplos: 1. {2, 3}  {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6} 05. Dados os conjuntos A = { 1, 2, {2}, 3, {3,4}, {a}} B = { {2, {a}, 4} C= {1,2}

2. {2, 3, 4}  {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} 3. {2, 3}  {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 4. {a, b}   = {a, b}

D = {{3,4}} E = {a}

7.2 INTERSECÇÃO

Classificar em verdadeiro ou falso as proposições:

a) {2} є A

b) 2 є A

c) {{2}} є A

d) {3, 4} є A

e) a  A

f) {a} є A

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

Dados dois conjuntos A e B, chama-se INTERSECÇÃO de A e B, e se indica por A  B, ao conjunto formado pelos elementos de A e de B. Em símbolos: A  B = {x | x  A e x  B}

4


X  S  X = S - X = CSX A

B S AB

X X

Exemplos:

Exemplos:

1.

{2, 3, 4}  {3, 5} = {3}

2.

{1, 2, 3}  {2, 3, 4} = {2, 3}

3.

{2, 3}  {1, 2, 3, 4} = {2, 3}

1. A = {2, 3, 4}  A = {0, 1, 5, 6}

4.

{2, 4}  {3, 5, 7} = 

2. B = {3, 4, 5, 6}  B = {0, 1, 2}

Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:

3. C =   C = S

7.3 SUBTRAÇÃO Dados dois conjuntos A e B, chama-se DIFERENÇA entre A e B, e se indica por A  B, ao conjunto pelos elementos que são de A e não são de B. Em símbolos:

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO FINITO

Seja A um conjunto com um número finito de elementos. Indicaremos por n(A) o NÚMERO DE ELEMENTOS DE A. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. valem as seguintes propriedades:

A  B = {x | x  A e x  B}

A

8.

B

1. B  A  n(A  B) = n(A)  n(B)

AB

2. n(A  B) = n(A)  n(A  B)

O conjunto A  B é também conhecido por CONJUNTO COMPLEMENTAR DE B EM RELAÇÃO a A e, para tal, usa-se a notação CA B. Portanto:

3. A  B =   n(A  B) = n(A) + n(B)

4. n(A  B) = n(A) + n(B)  n(A  B)

CA B = A  B{x | x  A e x  B} 5. n(A) = k  n [IP(A)] = 2

k

Exemplos: 1. A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} CA B = A  B = {1, 3} e CB A = B  A =  Observação :

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

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que 23 responderam sim às duas; 42 alunos responderam não as duas perguntas. Conclui-se que o colégio A tem:

EXERCÍCIOS DE SALA 01.

Com os seguintes conjuntos :

05.

(UNEB) Em um vestibular 80 alunos acertaram pelo menos uma questão entre as questões nº 1 e nº 2. sabe-se que 70 deles acertaram a questão nº 1 e 50 a questão nº 2. O número de alunos que acertaram ambas as questões é igual a:

06.

(UFBA) Uma pesquisa realizada com um grupo de pessoas revelou a seguinte preferência pelas revistas A, B e C.

A = { -1, 2, 3} B = { 0, -1} C = { 2, 3, 5} e todos no conjunto universo U = {-1, 0, 2, 3, 4, 5}. Determine

02.

a)

(A  C) - B

b)

A -B

c)

( A B)  C

d)

A  ( B  C)

e)

(A  B) - C

Dados os três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elementos de A  (B  C) , sabendo-se:

109 lêem a revista A; 203 lêem a revista B; 162 lêem a revista C; 025 lêem a revista A e B; 041 lêem as revistas B e C;

a)

A  B tem 26 elementos.

028 lêem as revistas A e C;

b)

A  C tem 10 elementos.

005 lêem as três revistas;

c)

A  B  C tem 7 elementos.

115 não lêem revista. Das informações conclui-se:

03.

04.

Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se:

a)

quantas crianças existem na escola?

b)

quantas crianças são meninas ou são ruivas?

(01)

500 pessoas foram consultadas.

(02)

051 pessoas lêem somente a revista A.

(04)

176 pessoas não lêem as revistas B ou C.

(08)

094 pessoas pelo menos duas revistas.

(16)

223 pessoas lêem as revistas A ou B e não lêem a revista C.

(UFBA) No colégio A fez-se uma pesquisa entre os alunos, com duas perguntas apenas: Gosta de futebol? Gosta de cinema? 75 alunos responderam sim a primeira pergunta e 86 responderam sem a segunda pergunta, sen do

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

6


9.

INTERVALOS NUMERICOS

03.

Chama-se intervalo numérico ao conjunto de todos os números reais, limitados por dois outros. Representaremos o conjunto R por um eixo orientado e temos dois números quaisquer a e b com a < b

(OSEC) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e} o conjunto: (A  C)  (C  B)  (A  B  C) é:

a)

{a, b, c, e}

b)

{a, c, e}

c)

A

d)

{b, d, e}

e)

{a, b, c, d}

INTERVALO FECHADO ( a  x  b) ou [a,b] INTERVALO ABERTO 04. ( a < x < b ) ou ]a,b[

(PUC) Sabendo-se que A e B são subconjuntos de U, A  B = {c, d}, A  B = {a, b, c, d, e, f} e A

C

 {e,f , g, h, i}, então:

( a  x < b) ou [a,b[

a)

n(A) = 2 e n(B) = 4

INTERVALO FECHADO À DIREITA

b)

n(A) = 4 e n(B) = 2

( a < x  b) ou ]a,b]

c)

n(A) = 3 e n(B) = 3

d)

n(A) = 4 e n(B) = 4

e)

n(A) = 1 e n(B) = 5

INTERVALO FECHADO À ESQUERDA

U

EXECÍCIOS DE CASA 05. 01.

(UnB) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número máximo de subconjuntos distintos é:

a)

{; {b}}  A

a)

21

b)

{; {a}}  A

b)

128

c)

{{a}; {b}}  A

c)

64

d)

{; b}  A

d)

n.d.a.

e)

{a; b}  A

06. 02.

(Londrina) Sendo A {b}  a  b  , então:

(PUC) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}} podemos afirmar:

{;

a;

{b}}

com

(Cesgranrio) Sejam M, N e P conjuntos. Se M  N = {1, 2, 3, 5} e M  P = {1, 3, 4}, então M  N  P é: a)

a)

BA

b)

{1, 2, 3, 5}

b)

A=B

c)

{1, 3}

c)

AB

d)

{1, 2, 3, 4, 5}

d)

a=A

e)

{1, 3, 4}

e)

{A}  B

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

=

7


07.

08.

(Objetivo) o número dos conjuntos X que satisfazem: {1; 2}  X  {1, 2, 3, 4} é: a)

3

b)

4

c)

5

d)

6

e)

7

(Londrina) Se A = {1}, B = {0; 1} e E = {0; 1; 2}

então

09.

Produto

(A  B) é o conjunto: E

C

a)

b)

{0}

c)

{1}

d)

{0; 2}

e)

{1; 2}

Nº de Consumidores

A

120

B

180

C

250

AeB

40

AeC

50

BeC

60

A, B e C

30

Nenhum dos três

180

O conjunto das pessoas consultadas constitui uma amostra. Note-se que os três primeiros dados da tabela (120, 180 e 250) não representam os que consomem apenas A ou apenas B ou apenas C, e sim o número total de consumidores dos 3 produtos (isolados ou conjuntamente). Nessas condições, quantas pessoas foram consultadas?

(PUC-RIO) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente:

a)

500

b)

560

17% têm casa própria

c)

610

22% têm automóvel

d)

730

e)

910

8% têm casa própria e automóvel Qual o percentual dos que não tem casa própria nem automóvel? 11. 10.

(UFGO) Numa certa idade são consumidos três produtos A, B e C, sendo:

(PUC) Numa comunidade constituída de 1.800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.

A  um tipo de desodorante B  um tipo de sabonete C  um tipo de creme dental Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos foram colhidos os dados da tabela abaixo:

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

Program E as Número de Telespe 40 0 ctadores

N

122 0

H

Ee N

Ne H

E e E, N e H H

108 22 0 0

800

180

100

8


15. Através desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:

12.

13.

14.

(UCSAL) Se A = { , 3, {3}, {2,3}}, então :

a)

{2,3}  A

b)

2A

a)

200

c)

A

b)

os dados do problema estão incorretos

d)

3A

c)

900

e)

{3} A

d)

100

e)

n.d.a.

16.

(UFBA) Sendo M = p(N)  Q’ , tem-se

(UCSAL) Indica-se por n(X) o nº de elementos de um conjunto X. Se n(A) = 3 , n(B) = 4 e n(AB) = 2, quantos subconjuntos tem o conjunto A B ?

2 }  M

a)

{0, -1,

b)

{0, 1,

c)

{{0,1}, 2 }  M

d)

{ 2}  M

e)

0M

2}  M

a)

36

b)

12

c)

32

d)

18

e)

5

(UFBA) O número 3 5  4 3  15 pertence a : 3 a)

Q’+

b)

Z

c)

N

d)

Z+

e)

Q’-

*

17.

(UCSAL) Sejam A e B dois subconjuntos do universo e sabendo que n(E) = 100, n(A-B) =3x, AB n(B) = 5x , n(AB) = x e n[ CE ] = x + 19, n(A - B) é :

a)

9

b)

45

c)

36

d)

27

e)

28

(UFBA) O conjunto - solução da equação 2

(x + 4) - 2 = (x - 3)(x + 2) é subconjunto de : a)

N

b)

Z

c)

Q

d)

Q’

e)

R+

*

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

9


18.

19.

20.

(UFB) Se o conjunto A tem 15 elementos e o conjunto B tem 12 elementos, o nº de elementos que pertencem a A ou b, sabendo que os que pertencem a A e B são 5, é :

a)

22

b)

27

c)

32

d)

45

e)

20

21.

22.

(UCSAL) Numa sala de aula existem 19 garotas, 20 crianças que usam óculos, 6 rapazes que não usam óculos e 9 garotas que não usam óculos. O nº de alunos da sala é :

Quantos jogam tênis e não jogam vôlei ? a)

26

b)

36

c)

46

d)

56

e)

73

Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei ? a)

19

b)

29

c)

39

d)

49

e)

59

a)

42

b)

36

c)

35

d)

29

a)

10

e)

28

b)

20

c)

30

d)

40

e)

50

23.

Sejam 3 conjuntos finitos A,B e C. Determine o nº de elementos de A(BC) sendo n(AB) = 20, n (AC) = 10 e n(ABC) = 5.

a)

20

b)

25

c)

15

d)

30

e)

5

24.

Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez ?

(UFBA)Na figura, a parte sombreada representa :

B

A

Questões de 21 a 22 Num grupo de 99 pessoas, 40 jogam vôlei; 20 jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis; 18 jogam vôlei e tênis; 11 jogam as três modalidades. O nº de pessoas que jogam xadrez é igual ao nº de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se :

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

C

10


(01)

[ (ABC) -C]  (AC)

(02)

(AB) - C

(04)

A(B-C)

(08)

(B-C)  (A-C)  ( AC)

(16)

(A-C)  B

27.

(UFBA) Considerando-se os conjuntos A,B e C representados abaixo e sabendo-se que : n (AB) = 24 ; n (A  B) = 4 ; n( BC) = 16 n (A-C) = 11 ; n( B-C) = 10

25.

B Pode-se afirmar : A

(UFBA) Considerando-se os conjuntos A = { xN; x< 4}, B = {xZ ; 2x + 3 = 7} e 2 C= { xR ; x + 5x + 6 = 0} , pode-se concluir :

(01)

AB=A

(02)

A  C = {2,3}

(04)

A - B = {0,1,3}

(08)

AC=R

(16)

(B  C)  A

(32)

CZ = Z -

A

28.

(01)

n(A-B) = 8

(02)

n(ABC) = 1

(04)

n( B - (AC)) = 12

(08)

n((AB) -C) = 4

(16)

n(B - (AB)) = 12

C

(UFBA) Uma pesquisa realizada com um grupo de pessoas revelou a seguinte preferência pelas revistas A, B e C. 109 lêem a revista A;

*

203 lêem a revista B; 162 lêem a revista C; 025 lêem a revista A e B;

26.

(UFBA) Considere os conjuntos : A = { xZ ; x  25} ;

041 lêem as revistas B e C;

2

028 lêem as revistas A e C;

n

B = { xZ ; x = (-1) . (2n+1) ; 0n3 };

005 lêem as três revistas;

2

C = { xZ ; x + 1 = 0 } , pode-se concluir :

115 não lêem revista. Das informações conclui-se:

(01)

A soma dos elementos de A  B = 3

(02)

Sendo y o menor elemento de ABD, então |y| = 7

(04)

O maior elemento de CB é 7

(08)

O cardinal do conjunto D é 1

(16)

CZ = Z - B

D

B

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

(01)

500 pessoas foram consultadas.

(02)

051 pessoas lêem somente a revista A.

(04)

176 pessoas não lêem as revistas B ou C.

(08)

094 pessoas pelo menos duas revistas.

(16)

223 pessoas lêem as revistas A ou B e não lêem a revista C.

11


29.

(UFBA) Sendo M = p(N)  Q’ , tem-se

TEORIA DOS CONJUNTOS

Símbolos a)

{0, -1,

b)

{0, 1,

c)

2 }  M

: pertence

: existe

{{0,1}, 2 }  M

: não pertence

: não existe

d)

{ 2}  M

: está contido

e)

0M

2}  M

: não está contido

30.

(Ita/2000) Denotemos por n(x) o número de elementos de um conjunto finito X. sejam A,B e C conjuntos tais que n( A B) = 8, n( A  C) = 9, n(B C) = 10,n(ABC) = 11e n(ABC) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a:

a)

11

b)

14

c)

15

d)

18

e)

25

: para todo (ou qualquer que seja) : conjunto vazio

: contém

N: conjunto dos números naturais

: não contém

Z : conjunto dos números inteiros

/ : tal que

Q: conjunto dos números racionais

: implica que

Q'= I: conjunto dos números irracionais

: se, e somente se

R: conjunto dos números reais

GABARITO DOS TESTES DE CASA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

-

B

E

A

D

A

D

B

D

69%

1

C

A

C

B

C

E

C

D

A

C

2

D

B

E

B

13

21

19

19

21

C

3

A

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul

12


Matérial de conjuntos  

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