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DISTRIBUCIĂ“N HIPERGEOMÉTRICA Esta DistribuciĂłn se refiere a los experimentos estadĂ­sticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados â€œĂŠxitosâ€? y los restantes son considerados “fracasosâ€? Supongamos que se tiene un conjunto N de objetos de los cuales K son de una primera clase, y N –K son de una segunda clase. Suponga que de este conjunto se toma una muestra de tamaĂąo n, sin reemplazo y en donde el orden de os objetos seleccionados no importa. La muestra seleccionada. Entonces X tiene una distribuciĂłn hipergeomĂŠtrica con parĂĄmetros N, K y n, se escribe X ~ hipergeo(N, K, n)y su funciĂłn de probabilidad es: DefiniciĂłn de DistribuciĂłn HipergeomĂŠtrica Sean N: Cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra K: Cantidad de elementos existentes que se consideran â€œĂŠxitosâ€? n: TamaĂąo de la muestra. X: Variable aleatoria discreta /es la cantidad de resultados considerados â€œĂŠxitosâ€? que se obtienen en la muestra X=0, 1, 2,‌,n (son los valores que puede tomar X) Entonces, la distribuciĂłn de probabilidad de X es

đ?’‡(đ?’™) =

đ?‘˛ đ?‘ľ − đ?‘˛ ( )( ) đ?’™ đ?’? − đ?’™ , đ?‘ľ ( ) đ?’?

X=0,1, 2,‌n

Media y Varianza de la distribuciĂłn HipergeomĂŠtrica Media HipergeomĂŠtrica

đ?? = đ?‘Ź[đ?‘ż] = đ?’?

� �

Varianza HipergeomĂŠtrica

đ??ˆđ?&#x;? = đ?‘˝[đ?‘ż] =

đ?’?đ?‘˛ đ?‘ľ

(đ?&#x;? −

đ?’?đ?‘˛ đ?‘ľ

đ?‘ľ

đ?’?

đ?‘ľ

đ?&#x;?

)( − )

Ejemplo 1. Una caja contiene 9 baterĂ­as de las cuales 4 estĂĄn en buen estado y las restantes defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres baterĂ­as. Calcule la probabilidad en la muestra se obtengan, a) Ninguna baterĂ­a en buen estado b) Al menos una baterĂ­a en buen estado c) No mĂĄs de dos baterĂ­as en buen estado Respuesta. Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un experimento hipergeomĂŠtrico con


N=9 (Total de elementos del conjunto) K=4 (Total de elementos considerados “exitosâ€?) n=3 (TamaĂąo de la muestra) X cantidad de baterĂ­as en buen estado en la muestra Entonces la distribuciĂłn de probabilidad de X es:

đ?&#x;’ đ?&#x;— − đ?&#x;’ ( )( ) đ?’™ đ?&#x;‘ − đ?&#x;Ž , đ?&#x;— đ?&#x;‘

f(x)=

a)

x=0, 1, 2, 3

đ?&#x;’ đ?&#x;— − đ?&#x;’ ( )( ) P(X=0)=f(0)= đ?&#x;Ž đ?&#x;‘ đ?&#x;— − đ?&#x;Ž = 0.119 ( ) đ?&#x;‘

b) đ?&#x2018;?(â&#x2030;Ľ 1) = 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x2039; < 1) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201C;(0)? 0.1119 = 0.881 c) đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2030;¤ 2) = đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x2039; = 0) + đ?&#x2018;&#x192;(đ?&#x2018;&#x2039; = 1) + đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x2039; = 2) = đ?&#x2018;&#x201C;(0) + đ?&#x2018;&#x201C;(1) + đ?&#x2018;&#x201C;(2)

=

đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x2014; ( )( đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;&#x2018;

đ?&#x;&#x2014; đ?&#x;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x2019; đ?&#x;&#x2014; ) ( )( â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x17D; đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018;

+

đ?&#x;&#x2014; đ?&#x;&#x2018;

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2019; ) (đ?&#x;&#x2019;)(đ?&#x;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2019;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? +đ?&#x;? đ?&#x;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;? đ?&#x;&#x2014; đ?&#x;&#x2018;

= 0.119 + 0.4762 + 0.3571 = 0.96523

Ejemplo 2. Un envío de siete guayas para grúas contiene dos defectuosas. Una compaùía adquiere en forma aleatoria tres de estas guayas. Si X es el número guayas defectuosas adquiridas por la compaùía, elabore la distribución discreta de probabilidad y represÊntela en un histograma de probabilidad. Solución Sea X la variable aleatoria cuyos valores x son los números posibles de guayas defectuosas adquiridas por una compaùía. Entonces x puede tener valores {0,1,2} Depende N=7, r=2 Calculemos las probabilidades:

đ?&#x2018;&#x201C;(0) = đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x2039; = 0) =

2 5 ( )( ) 0 3 7 ( ) 3

=

7 2

đ?&#x2018;&#x201C;(1) = đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x2039; = 1) =

2 5 ( )( ) 1 2 7 3

=

4 7


𝑓(2) = 𝑝(𝑋 = 2) =

2 5 ( )( ) 1 2 1 7 ( ) 7 3

x 0 probabilidad 2/7

1 4/7

2 1/7

DISTRIBUCIÓN UNIFORME Este modelo corresponde a una variable aleatoria continua cuyos valores tienen igual valor de probabilidad en un intervalo especificado para la variable. Sea

X: variable aleatoria continua. X tiene distribución uniforme si su densidad de probabilidad está dada por

a, b son los parámetros para este modelo Representación gráfica de la distribución uniforme continua

Se puede observar que f(x) cumple las propiedades de las funciones de densidad

MEDIA Y VARIANZA: DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA Definición: Sea

X: Variable aleatoria con distribución uniforme continua

Se obtienen directamente de las definiciones respectivas Demostración de la media


FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD De acuerdo a la definición establecida:

Para la distribución uniforme continua

Ejemplo. Cuando falla cierto componente de una máquina, esta debe detenerse hasta que sea reparado. Suponiendo que el tiempo de reparación puede tomar cualquier valor entre 1 y 5 horas. a) Calcule la probabilidad que la duración tome al menos 2 horas Solución X: Variable aleatoria continua (duración de la reparación) Tiene distribución uniforme, por lo tanto, su función de densidad es

b) Calcule el valor esperado de la duración de la reparación Solución

Ejemplo. Suponga que la reparación tiene un costo fijo de $100 y un costo variable de $10, el cual se incrementa cuadráticamente dependiendo de la duración. Calcule el valor esperado del costo de la reparación. Solución C: costo de la reparación (es una variable aleatoria continua) C = 100 + 10 x2


DISTRIBUCIĂ&#x201C;N DE PROBABILIDAD DE POISSON La distribuciĂłn de Poisson representa la probabilidad de que un evento aislado ocurra un nĂşmero especĂ­fico de veces en un intervalo de tiempo o espacio dado. La ocurrencia de eventos sĂłlo se verĂĄ afectada por casualidad o por el azar; por lo tanto, la posiciĂłn de un evento sĂłlo se verĂĄ afectada por la casualidad o por el azar; por lo tanto, La posiciĂłn de un evento no servirĂĄ para predecir la localizaciĂłn de cualquier otro evento especĂ­fico. AdemĂĄs, los datos acerca de un intervalo de tiempo o espacio tampoco facilitan la predicciĂłn del nĂşmero de eventos que se presentarĂĄn en otro evento. Un experimento de Poisson tiene las siguientes caracterĂ­sticas.

a. El nĂşmero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, es independiente del nĂşmero que se tiene en cualquier otro intervalo. b. La probabilidad de que un solo resultado ocurra durante un lapso muy corto o en una pequeĂąa regiĂłn, es proporcional a la magnitud del intervalo de tiempo o espacio, y no depende del nĂşmero de resultados que se produzcan fuera del intervalo considerado. c. La probabilidad de que ocurra mĂĄs de un resultado en ese breve lapso o de que caiga en un pequeĂąo espacio resulta despreciable. DefiniciĂłn Sea X la variable aleatoria que representa el nĂşmero de resultados que se producen en un intervalo de tiempo o espacio dado; la distribuciĂłn de Poisson estĂĄ da por. đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Ľ; đ?&#x153;&#x2021;) =

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = 0,1,2 â&#x20AC;Ś đ?&#x2018;Ľ!

Media y Varianza de DistribuciĂłn de Poisson Media Poisson

đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x2122;

đ?? đ?&#x2019;&#x2122; = đ??&#x2C6; DesviaciĂłn estĂĄndar Poisson

đ??&#x2C6;đ?&#x2019;&#x2122; = â&#x2C6;&#x161;đ?? đ?&#x2019;&#x2122;


Ejemplo 1. En el departamento de mantenimiento de mĂĄquinas se recibe un promedio de 6 solicitudes de servicio por dĂ­a. a) ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que se reciban exactamente 3 solictudes por dĂ­a? b) Estimar la media, la varianza y la desviaciĂłn estĂĄndar SoluciĂłn Sea X el nĂşmero de solicitudes de servicio por dĂ­a, que recibe el departamento de mantenimiento. a)

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ = 6; đ?&#x2018;Ľ = 3 => đ?&#x2018;?(3; 6) =

b)

đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ = 6 = đ?&#x153;&#x17D;

2 đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;6 63 3!

=0,089

đ?&#x153;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x161;đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x161;6 = 2,45

Ejemplo 2. En Promedio, cada rollo de 400 metros de aluminio laminado tiene tres defectos ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que un espacio de 100 metros no tenga ningĂşn defecto? SoluciĂłn Sea x el nĂşmero de defectos que puede tener el laminado por espacio. Ya que el promedio por cada 400 metros es 3, entonces por 100 metros serĂĄ

đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;Ľ =

100(3) 400

= 0,75 (đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;

đ?&#x153;&#x2021; = (0,75); đ?&#x2018;Ľ = 0 â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;?(0; 0.75) =

đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;0,75 (0,75)0 0!

= 0,747

DISTRIBUCIĂ&#x201C;N BINOMIAL Esta es una distribuciĂłn importante y de uso frecuente. Corresponde a experimentos con caracterĂ­sticas similares a un experimento de Bernoulli, pero ahora es de interĂŠs la variable aleatoria relacionada con la cantidad de â&#x20AC;&#x153;ĂŠxitosâ&#x20AC;? que se obtienen en el experimento. CaracterĂ­sticas de un experimento binomial ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

La cantidad de ensayos que se realizan es finita. Sea esta cantidad n. Cada ensayo tiene Ăşnicamente dos resultados posibles: â&#x20AC;&#x153;ĂŠxitoâ&#x20AC;? o â&#x20AC;&#x153;fracasoâ&#x20AC;?. Todos los ensayos realizados son independientes. La probabilidad de â&#x20AC;&#x153;ĂŠxitoâ&#x20AC;? en cada ensayo permanece constante. Sea este valor p.

Sean X: Variable aleatoria discreta cuyo valor representa la cantidad de ensayos considerados â&#x20AC;&#x153;ĂŠxitosâ&#x20AC;? en cada serie de n ensayos realizados. x= 0,1,2,â&#x20AC;Ś,n valores que puede tomar X p= valor de probabilidad de que cada resultado sea â&#x20AC;&#x153;ĂŠxitoâ&#x20AC;? Entonces, la distribuciĂłn de probabilidad de X es:


Demostración En los n ensayos se han producido x éxitos y n - x fracasos, por lo tanto siendo ensayos independientes la probabilidad de obtener estos resultados es p x (1-p) n- x . Pero en los n ensayos realizados hay fracasos. Este número es entonces un factor El se

símbolo obtienen

formas diferentes de obtener los n-x para el valor de probabilidad anterior.

nCx

representan el número de combinaciones o arreglos diferentes que con n elementos, tomando un grupo de elementos.

Ejemplo 1. Se realizan 8 lanzamientos de un dado. Calcule la probabilidad de obtener 4 veces el número 6. Respuesta. Este experimento tiene las características de un experimento binomial con: n = 8: Cantidad de ensayos (independientes) p = 1/6 Probabilidad que cada ensayo sea “éxito” (sale el 6) X: Variable aleatoria discreta (cantidad de veces que sale el 6) x = 0, 1, 2, ..., 8 Valores que puede tomar X Por lo tanto el modelo con los datos para este problema es:

De donde se obtiene

Ejemplo 2. Una fábrica tiene una norma de control de calidad consistente en elegir al azar diariamente 20 artículos producidos y determinar el número de unidades defectuosas. Si hay dos o más artículos defectuosos la fabricación se detiene para inspección de los equipos. Se conoce por experiencia que la probabilidad de que un artículo producido sea defectuoso es 5%. Encuentre la probabilidad de que en cualquier día la producción se detenga al aplicar esta norma de control de calidad. Respuesta Esta situación corresponde a un experimento binomial n = 20 Cantidad de ensayos (independientes) p = 0.05 Probabilidad de éxito (constante) X: Variable aleatoria discreta (cantidad de artículos defectuosos) x = 0, 1, ..., 20 Valores que puede tomar X

Entonces


PARĂ METROS Y VARIABLE Los parĂĄmetros de un modelo de distribuciĂłn de probabilidad se refieren a los valores que pertenecen a un problema particular. Para la distribuciĂłn binomial los parĂĄmetros son n y p. Una vez que estĂĄ definido el problema, se puede calcular la probabilidad correspondiente a cualquiera de los valores que puede tomar la variable aleatoria X. Se puede usar la siguiente notaciĂłn para distinguir entre variable y parĂĄmetros:

En el ejemplo anterior, el modelo de distribuciĂłn de probabilidad se puede escribir:

MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIĂ&#x201C;N BINOMIAL DefiniciĂłn: Sea X: variable aleatoria discreta con distribuciĂłn binomial con parĂĄmetros n, p Entonces Îź = E(X) = np Media de X 2 Ď&#x192; = V(X) = np(1-p) Varianza de X Ď&#x192;=â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) DesviaciĂłn tĂ­pica Ejemplo 3. Encuentre la media y la varianza para el ejemplo del control de calidad en la fĂĄbrica. Respuesta: Îź = np = 10 (0.1) = 1 2

Ď&#x192; = npq = 10(0.1)(0.9) = 0.9 Îź representa la cantidad promedio de artĂ­culos defectuosos que se obtienen cada dĂ­a


σ2 es una medida de la variabilidad o dispersión de los valores de X. DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL Es una generalización de la distribución binomial. Se presenta cuando los resultados de cada ensayo tienen más de dos resultados posibles. Se supondrá que los ensayos son independientes y que la probabilidad se mantiene constante para cada tipo de resultado. Sean n: cantidad de ensayos realizados k: cantidad de resultados diferentes que se pueden obtener en cada ensayo Sean las variables aleatorias discretas: X1: Cantidad de resultados de tipo 1 X2: Cantidad de resultados de tipo 2 ... Xk : Cantidad de resultados de tipo k Tales que x1 + x2 + . . . + xk = n Sean las probabilidades correspondientes a cada tipo de resultado p1: Probabilidad que el resultado sea de tipo 1 p2: Probabilidad que el resultado sea de tipo 2 ... pk: Probabilidad que el resultado sea de tipo k Tales que p1 + p2 + . . . + pk = 1 Las variables aleatorias X1, X2, . . . Xk tienen distribución multinomial. Entonces, la distribución de probabilidad de X1, X2, . . . Xk está dada por la función

MEDIA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL Se puede calcular la media y varianza de cada variable aleatoria considerando a las demás variables aleatorias como otra variable: Sea Xi cualquiera de las variables discretas de la distribución binomal Entonces Media de Xi

µ=E(Xi)npi

Varianza de Xi

σ = V(Xi)=npi(1-pi), i=1,2,…,k

2


Ejemplo Cada artículo producido por una fábrica puede ser aceptable, regular o defectuoso, con probabilidad 0.85, 0.10, y 0.05 respectivamente. Si se toman 5 artículos para examinarlos, calcule la probabilidad que 4 sean aceptables, 1 sea regular y ninguno defectuoso. Es un experimento multinomial con n=5 X1: X2: X3: p1=0.85 p2=0.10 p3=0.05

Cantidad de artículos tomados para examinar Cantidad de artículos aceptables Cantidad de artículos regulares Cantidad de artículos defectuosos Probabilidad que un artículo sea aceptable Probabilidad que un artículo sea regular Probabilidad que un artículo sea defectuoso

La distribución de probabilidad para este experimento es:

Entonces

NOTA. Este problema puede reducirse a dos variables definiendo X3 = 5 – X1 – X2 mientras que p3 = 1 – (p1 + p2) con lo cual, la distribución de probabilidad es:

Ejemplo. Las probabilidades son de 0.40, 0.20, 0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención a) 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren?, b) 4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto?, c) 5 hayan llegado en auto? Solución: a) n = 9 x1= # de delegados que llegan por aire = 3 x2= # de delegados que llegan en autobús = 3 x3= # de delegados que llegan en auto = 1 x4= # de delegados que llegan en tren = 2 p1 = probabilidad de que un delegado llegue por aire = 0.40 p2 = probabilidad de que un delegado llegue en autobús = 0.20 p3 = probabilidad de que un delegado llegue en auto = 0.30


p4 = probabilidad de que un delegado llegue en tren = 0.10

b) n=9 x1 = 4 por aire; x2 = 1 en autobús; x3 = 2 en auto; x4 = 2 en tren;

p1 = 0.40 p2 = 0.20 p3 = 0.30 p4 = 0.10

c) n=9 x1= 5 lleguen en auto; p1 = 0.30 x2 = 4 (lleguen por aire o autobús o tren); p2 = 0.40+0.20+0.10 = 0.70

Ejemplo. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8: 4: 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros. Solución: a) n=8 x1 = 5 rojos; x2 = 2 negros; x3 = 1 blanco;

b) n=8 x1 = 3 rojos; x2 = 2 negros; x3 = 3 blancos;

p1= prob. Sean rojos = 8/16 = 0.50 p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25 p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25

p1 = 0.50 p2 = 0.25 p3 = 0.25

Ejemplo. Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6 personas con edad de votar, determine la probabilidad


de que: a) 2 voten por el partido verde, 1 por el azul y 3 por el resto de los partidos, b) 2 voten por el partido verde y 4 por el azul. Soluci贸n: a) n = 6 x1= 2 voten por partido verde; p1= prob. que una persona vote por partido verde = 0.52 x2= 1 vote por partido azul; p2 = prob. que una persona vote por partido azul = 0.40 x3= 3 voten por otros partidos; p3 = prob. que una persona vote por otros partidos = 0.08

b)n = 6 x1= 2 voten por el partido verde; p1= prob. que una persona vote por partido verde=0.52 x2= 4 vote por partido azul; p2 = prob. que una persona vote por partido azul = 0.40 x3= 0 voten por otros partidos; p3 = prob. que una persona vote por otros partidos = 0.08

Distribuciones discretas  
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