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8ª Edição – -Junho 2009 Calheta


Humor

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Desafio 1 Observe bem a figura ao o lado. lado Depois, retire dois palitos de maneira que a figura fique com apenas dois quadrados em vez de quatro.

Anedota Um homem no paraíso diz a Deus: - Senhor, para vós quanto são 1000 anos? - 1 minuto. - E 1000 euros? - 1 cêntimo. - Então, dê-me um cêntimo! - Está bem, mas espera 1 minuto!

E tudo continua a ser possível…

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Curiosidade Supõe que queres multiplicar dois números com estas características: •

o primeiro algarismo de ambos é igual;

a soma do segundo algarismo de cada um dos números

é 10. Por

exemplo,

queremos

efectuar

a

seguinte

multiplicação, sem usar calculadora, nem papel: 76 x 74 O 1.º algarismo de cada um dos números é 7 e a soma dos segundos é 10 (6 + 4 = 10). •

1.º passo: passo Como o 1.º algarismo é 7, multiplicas pelo

número que vem a seguir 8, calculas 7 x 8 = 56; •

2.º passo: passo Multiplicas os dois últimos algarismos de

cada um dos números, ou seja, 6 x 4 = 24. Ficas então a saber que: 76 x 74 = 5624 Experimenta com outros números nas mesmas condições destes (não te esqueças que os primeiros algarismos têm de ser iguais e a soma dos segundos algarismos tem de ser 10).

E esta, heim?? 4


Desafio 2 Este é o aspecto do visor da calculadora do André. Para chegar a este resultado, ele multiplicou o primeiro número por quatro, somou um e multiplicou novamente por cinco. Qual foi o número inicial?

Desafio 3

Ordena os cinco amigos por alturas, começando pelo mais baixo: A Ana é 10 cm mais alta que o João. O Paulo mede 127 cm. cm A Luísa é 8 cm mais alta que a Ana. O João é 5 cm mais baixo que o Paulo. O António mede menos 10 cm que a Luísa.

Anedota Duas loiras conversam: - Sabes quem eu vi? - Quem? -Vi o meu professor de Matemática. - E gostavas dele? - Gostava, mas um dia por causa dele estraguei as minhas unhas numa árvore! - Então porquê? - Não é que o meu professor mandou-me me achar a raiz quadrada. 5


Curiosidade Criptografia (Do Grego kryptós, "escondido", e gráphein, "escrita") é o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a informação pode ser transformada da sua forma original para outra ilegível, de forma que possa ser conhecida apenas por seu destinatário (detentor da "chave secreta"), o que a torna difícil de ser lida por alguém não autorizado. Assim sendo, só o receptor da mensagem pode ler a informação com facilidade. É um ramo da Matemática, parte da Criptologia [1]. Nos dias actuais, onde grande parte dos dados é digital, sendo representados por bits, o processo de criptografia é basicamente feito por algoritmos que baralham os bits desses dados a partir de uma determinada chave ou par de chaves, dependendo do sistema criptográfico escolhido. http://pt.wikipedia.org/wiki/Criptografia Agora tenta desvendar a seguinte mensagem 2627 337427, a pista é … o telemóvel é teu amigo! Quando conseguires descobrir o significado da mensagem escreve uma mensagem encriptada para o para o e-mail do laboratório com pistas para a resolução e para o ano sairá no vosso jornal. 6


Enigma 1 As torneiras

Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra enche o mesmo tanque em trĂŞs horas. Quanto

tempo levarĂĄ

o

tanque a encher com as duas torneiras abertas ao mesmo tempo?

Enigma 2 Quantos cubos formam esta figura?

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Humor: Um matemático, um físico, um informático, um químico, um biólogo e um linguista tentam demonstrar que todos os números ímpares são primos. O matemático: "1 é primo, 2 e 3, também, 5 e 7 também, mas 9 não é primo! Esta regra é fraca!" O físico: "1 é primo, 2 e 3, também, 5 e 7 também são primos. 9 não é primo, é um resultado experimental aberrante. 11 e 13 são primos... A regra é verdadeira." O informático: "1 é primo, 2 é primo, 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, 9 não é primo, 9 não é primo, 9 não é primo" O químico: "1 é primo, 2 é primo, 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, 9 é primo, 11 é primo, 13 é primo, etc... Portanto a regra é verdadeira." O biólogo: "1 é primo, 2 é primo, 3 é primo, 4 é primo" O linguista: "O que é um número primo?"

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Enigma 3 Descobre os números representados por cada símbolo:

problemas: As letras em lugar dos números Resolve a operação. A mesma letra representa o mesmo número.

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A Colmeia Aqui tens um pedaço de uma colmeia – um grupo de sete hexágonos. Consegues escrever os números de 1 a 7, um em cada hexágono, de forma que a soma nas três linhas que passam pelo centro seja sempre igual a 12? NOTA: As três linhas mencionadas são as seguintes: Humor Demonstração: Se não existe um gato com duas caudas, Existe um com três!

Por hipótese, hipótese nenhum gato tem duas caudas. (1) Como cada gato tem uma cauda, por cada gato a mais, obteremos mais uma cauda. (2) Ou seja, um gato tem mais uma cauda que nenhum gato. (3) Por (1) e (3) concluímos que um gato tem (2 +1) caudas. Ou seja um gato tem três caudas. c.q.d. (como queremos demonstrar) 10


Agora para pensar: 1. Sabendo que o losango a sua área?

mede ede 6 unidades de lado. Qual é

2. Imagina agora que queres medir a área de um terreno com a forma: Pensa como podes fazê-lo, lo, dividindo a região em vários triângulos.

Enigma 4 A charada das idades! O Zéfiro quer saber a idade do avô de um amigo. Como este sabe que o Zéfiro gosta de desvendar um bom enigma, diz-lhe: “O O meu neto tem aproximadamente tantos dias quantas as semanas do meu filho, e tem tantos meses quantos os meus anos. Os trêss juntos temos 140 anos. Consegues descobrir quantos anos tenho eu?” Dica: Podes relacionar entre si as idades dos três, usando as mesmas unidades.

anedotas Todas as funções foram ao baile anual das funções, festa obrigatória para todo o jet set desta área. No meio de muita alegria e animação, o logaritmo e o seno notaram que uma função passeava sozinha pelo jardim, com o ar mais infeliz do mundo. Apesar de não o a reconhecerem de onde estavam resolveram chegar-se se ao pé dela para saber se ela estaria com algum problema. Quando se aproximaram repararam que se tratava da exponencial, conhecida de longa data do logaritmo apesar das divergências entre eles: - Que se passa para estares aqui sozinha e não lá dentro com os outros? - Ah! É a minha triste sorte, o que é que queres? Eu já me tentei integrar mas fico sempre na mesma! 11


Enigma 5 Partilhar O Zéfiro e outros cinco amigos querem dividir entre eles um bolo com cobertura de chocolate, com a forma de um cubo com 18 centímetros de lado. De que modo, os seis amigos devem repartir o bolo, sem que nenhum fique prejudicado? Há uma maneira única de fazer esta partilha? Lembra-te que todos querem igual quantidade de cobertura! Dica: Pensa que se seis pessoas querem comer bolo, então cada grupo de três irá partilhar uma metade.

Nota: Visto esta ser a última edição deste ano, as respectivas soluções estarão on-line no nosso site no início do mês de Julho. http://matlandiacalheta.com.sapo.pt

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Soluções da Edição Anterior (7ª Edição): Desafio 1 Desafio 2

(1) André (2) Jonas (3) Filipe Trata-se de uma série de três números. O (4) Sílvio (5) Lauro enunciado diz que o maior (o número de peixes da irmã) é o dobro do menor (João). E afirma que a irmã tem dois a mais do que ele. Só há um número que multiplicado por dois é o mesmo que somado a dois; o próprio 2. Assim, a sequência é: 2 (João), 3 (Inara) e 4 (Irmã).

Desafio 3 Um corte na horizontal e dois cortes na vertical Desafio 4 Desafio 5 A Sr.ª Helena tem 5 sobrinhos, o mais novo deu 6€ ao irmão mais velho e 4€ as restantes. Enigma1 Começamos pelo Paulo e vamos usando as condições dadas, o João é mais baixo que o Paulo 5 cm Depois usamos a condição da Ana ser + alta 10 cm que o João. E assim sucessivamente. R: João <Paulo <António <Ana <Luísa (122 cm <127 cm <130 cm <132 cm <140 cm) Enigma2 Comprimento Largura

Rectângulo 6 2 Comp= 3larg

Quadrado 3 5 Comp≠ ≠larg

Rectângulo 9 3 Comp= 3larg

Quadrado 6 6 Comp=larg

Enigma3 É o número 25 (ímpar), pois 2*5=10 e 2+5=7, além disso 25 <100 e D100 Enigma 4 Na capoeira há 4 coelhos e 3 galinhas

2 x + 4 ( 7 − x ) = 20 ⇔ 2 x + 28 − 4 x = 20 ⇔ −2 x = 20 − 28 ⇔ x =

−8 = 4 (coelhos) −2

7 − x = 7 − 4 = 3 (galinhas) Problemas Relógio Digital A hora indicada no relógio muda de segundo a segundo. Portanto, o número de casos possíveis num dia é igual ao número de segundos que o dia tem: 1 dia = 24 x 60 x 60 = 86 400 segundos. Vamos agora contar o número de casos favoráveis, isto é, em que todos os algarismos são diferentes. Comecemos pelas 0 horas. O visor do relógio terá afixado uma hora do tipo: 0:BC.DE Para B (que varia entre 0 e 5) há 5 possibilidades (1, 2, 3, 4 e 5) e para D há só 4 (porque tem de ser diferente de 0 e de B). Para C (que varia de 0 a 9) há 7 possibilidades (porque tem de ser diferente de 0, B e D) e para E há 6 possibilidades (porque tem de ser também diferente de C).


Portanto para as 0 horas, o número de casos possíveis é: 5 x 4 x 7 x 6 = 840. Para a hora 1, o raciocínio é idêntico. Há portanto também 840 casos. O mesmo se passa nas horas 2, 3, 4 e 5: cada uma corresponde a 840 casos. Passemos à hora 6. O visor do relógio terá afixado uma hora do tipo: 6:BC.DE Para B há 6 possibilidades (de 0 a 5) e para D há só 5 (porque tem de ser diferente de B). Para C (que varia de O a 9) há 7 possibilidades (porque tem de ser diferente de 6, B e D) e para E há 6 possibilidades (porque tem de ser também diferente de C). Portanto para as 6 horas, o número de casos possíveis é: 6x5x7x6=1260. O mesmo acontece nas horas 7, 8 e 9, cada uma com 1260 casos. Vejamos agora a hora 10. O visor do relógio terá afixado uma hora do tipo: 10:BC.DE Para B há 4 possibilidades (de 2 a 5) e para D há só 3 (porque tem de ser diferente de B). Para C (que varia de 0 a 9) há 6 possibilidades (porque tem de ser diferente de 1, 0, B e D) e para E há 5 (porque tem de ser também diferente de C). Portanto para as 10 horas, o número de casos possíveis é: 4 x 3 x 6 x 5 = 360. Na hora 11 não há nenhum caso favorável (repetem-se os uns). As horas 12, 13, 14 e 15 são iguais à hora 10. Cada uma tem 360 casos. Analisemos a hora 16. O visor do relógio terá afixado uma hora do tipo: 16:BC.DE Para B há 5 possibilidades e para D há 4. Para C há 6 possibilidades e para E há 5. Portanto para as 16 horas, o número de casos possíveis é: 5 x 4 x 6 x 5 = 600. O mesmo acontece nas horas 17, 18 e 19. As horas 20, 21 e 23 são iguais à hora 10. Cada uma tem 360 casos. Na hora 22 há sempre repetição de algarismos. Então, o número de casos favoráveis é: 840 x 6 + 1260 x 4 + 360 x 8 + 600 x 4 = 15 360. A probabilidade de olharmos para o relógio e os algarismos estarem todos diferentes é: 15360/86400 = 0,17778 ou 17,8%

Castelo de Cartas: O 1º andar é formado por um triângulo (duas cartas inclinadas e outra por baixo). O andar que se segue é formado por 2 triângulos. E assim sucessivamente: cada vez que descemos um andar, o número de triângulos aumenta uma unidade. Portanto, se o castelo tiver N andares, haverá N triângulos na base (embora estes não sejam triângulos completos, mas consideraremos isso mais à frente). Então, o número (T) de triângulos do castelo é: T = 1 + 2 + 3 + 4 +... + (N-l) + N Para obter o resultado desta soma, pode-se agrupar as parcelas duas a duas: a primeira com a última, a segunda com a penúltima, etc. Existem N/2 pares de parcelas, todos com o mesmo valor: N+1. Então, T = (N + 1) x N/2 Como cada triângulo é formado por 3 cartas, temos de multiplicar por 3. Mas como no andar de baixo, que tem N triângulos, faltam as cartas de baixo, temos de subtrair N para obter o total de cartas. Fica então: C=3N+1 Já temos a fórmula que dá o número C de cartas de um castelo com N andares. Como a Elisa usou baralhos completos de 52 cartas, este número C tem de ser múltiplo de 52. Logo, como 52 = 13 x 2 x 2, C tem de ser múltiplo de 13.

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Visto que 13 é um número primo, então verifica-se obrigatoriamente que ou N é múltiplo de 13 ou 3N+l é múltiplo de 13. Temos de procurar a solução mais baixa para N porque o Nuno disse que este era o primeiro castelo que usava baralhos completos. Se 3N + 1 = 13, vem N = 4, mas substituindo na fórmula que dá o número de cartas obtém-se C = 26, que não é múltiplo de 52. Se 3N + 1= 26 ou 39, o valor de N não é inteiro e portanto não serve. Se 3N + 1 = 52, vem N = 17 e C = 442 que também não é múltiplo de 52. Passemos a ver a outra hipótese: N é múltiplo de 13. Se N = 13, vem C = 260. Está encontrada a solução porque 260 é múltiplo de 52. A EIisa fez um castelo de 13 andares, usando exactamente 5 baralhos de cartas. Diga-se, por curiosidade, que o castelo seguinte com esta propriedade é o que tem 56 andares e para o qual seriam precisos 91 baralhos.

Adivinha Os passarinhos são: 100x100x100=1.000.000

Enigma 5 Podemos começar por fazer um esquema dos vários lugares na sala de espectáculos do seguinte modo, donde notamos que o lugar j da fila i corresponde ao número 42 x (i - 1) + j. Uma vez feito este plano é simples responder às questões. 1. Como 500 = 42 x 11 + 38, então a cadeira número 500 está na fila 12, que corresponde à letra “L”, e no lugar número 38. Assim, o bilhete tem o código “L38”. Do mesmo modo, 168 = 42 x 4, e então a cadeira número 168 está na 4a fila, que corresponde à letra “D”, e no lugar número 42. Este bilhete tem o código “D42”. 2. Uma vez que 839 = 42 x 19 + 41, a cadeira número 839 está na vigésima fila (letra “T”) e no lugar número 41. Além disso, 840 = 20 x 42, logo a cadeira número 840 está no 42º lugar da mesma fila. Por outro lado, 841 = 42 x 20 + 1 e 842 = 42 x 20 + 2, pelo que estas duas cadeiras ocupam os lugares 1 e 2 da vigésima primeira fila (letra “U”), portanto a família não vai ficar junta.

Enigma 6 O terreno em causa pode ser esboçado do seguinte modo: Agora, aplicando, sucessivamente, o Teorema de Pitágoras aos vários triângulos com um dos lados de comprimento conhecido, conseguimos descobrir os valores de a, b, c e d, bem como o comprimento da diagonal em falta. Temos então: Subtraindo agora a equação (2) à (1) obtemos e adicionando (3) e (4) vem a2 + d2 = 242− 62 + 222. Representado por x o valor que pretendemos calcular, e usando novamente o Teorema de Pitágoras, temos por fim a2 +d2 = x2 = 242−62 +222 = 1024 e então o comprimento da diagonal que o Zéfiro deveria medir é x = 1024 = 32

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Laboratório de Matemática MatLândia (Antiga Sala de Estudo Pav. 4)

Professores de Matemática Escola Básica e Secundária da Calheta Professores organizadores: Prof. Marisa Silva Prof. Nélia Nascimento Prof. Sofia Grandão Prof. Tânia Marinho

e-mail: mnst.labmat@gmail.com Visita-nos: http://matlandiacalheta.com.sapo.pt

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